Christian ZAMBOTTO www.decf-finance.fr.st

Transcription

Évaluation des projets d’investissement
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L'analyse prévisionnelle ne serait pas complète si elle se limitait à l'élaboration du plan de financement. Pour la majorité des projets, le calcul de la rentabilité des investissements et du coût des sources de financement est mené parallèlement, en utilisant pour l'essentiel les mêmes données prévisionnelles.
Nous n'envisagerons dans ce cours que les investissements productifs (de renouvellement, de modernisation, d'expansion) demandant à être rentabilisés. Les investissements non productifs (de prestige, de sécurité, sociaux) ne répondant pas à des critères prioritaires financiers de choix ne font pas l'objet d'une évaluation quantitative. Ce choix
n'est jamais définitif. Un investissement de sécurité, type lutte contre la pollution, qui a pu être réalisé à une époque
pour améliorer l'image de l'entreprise ou les conditions de travail, peut, compte tenu de l'évolution de la législation
devenir un investissement productif par le biais des économies de dépenses liées par exemple à l'instauration de taxes
sur les rejets.
Démarche prévisionnelle
Objectif
Plan de financement
Trésorerie prévisionnelle
équilibrée
Evaluation des projets
d'investissement
Rentabilité économique suffisante
(rentabilité des fonds investis)
Evaluation des projets de
financement
Coût minimum des sources de
financement
Evaluation globale des projets
d'investissement et de
financement
Rentabilité financière suffisante
(rentabilité des fonds propres)
Investissements non
productifs : de prestige, de sécurité,
sociaux
Investissements
productifs de renouvellement, de modernisation,
d’expansion
Christian ZAMBOTTO
1- La démarche : séparation des flux de trésorerie
La recherche d'un financement optimal est une étape indépendante du choix des investissements. La démarche
consiste à rattacher les flux de trésorerie aux cycles auxquels ils se rapportent. Selon les préoccupations du décideur,
on s'attachera à analyser tout ou partie des flux de trésorerie.
Flux de trésorerie des opérations d'exploitation
A
Flux de trésorerie des opérations d'investissement
B
Flux économiques
A+B
Mesure de la rentabilité économique
Flux de trésorerie des opérations de financement
provenant des tiers
C
Calcul du coût des sources de
financement
Solde des flux de trésorerie prévisionnels
A+B+C
Mesure de la rentabilité financière
2- Présentation du tableau de flux de trésorerie prévisionnels
La séparation des flux de trésorerie prévisionnels par opérations conduit à présenter un tableau proche du plan de
financement, basé sur le tableau de flux de trésorerie de l'OEC. Il s'en distingue cependant sur quelques points.
Plan de
financement
présenté
selon le
tableau de
flux de trésorerie
de l'OEC
Classification différente de certains postes :
charges d'intérêt, impôt sur les bénéfices
Suppression de postes : prix de cession
de l'immobilisation remplacée, modification
et rémunération des fonds propres
Tableau de flux
de trésorerie
des projets
d'investissement
et de financement
Prise en compte de la valeur terminale
du projet
-1-
21- Classification différente de certains postes
211- Charges d'intérêt
Elles sont obligatoirement rattachées au cycle de financement pour permettre le calcul du coût du financement.
Christian ZAMBOTTO
212- Impôt sur les bénéfices
Il est ventilé dans chacun des cycles :
cycle d'exploitation : impôt sur le résultat d’exploitation,
cycle d'investissement : impôt sur éventuelles plus ou moins-values de cession,
cycle de financement : économies d'impôts sur charges de financement.
22- Disparition de postes
221- Prix de cession de l’immobilisation remplacée
Si l’étude porte sur le remplacement d’une immobilisation, le prix de cession net d’impôt de l’immobilisation
remplacée est ignoré.
L’étude d‘un nouvel investissement (entrée dans le cycle d’investissement) retient, lors du calcul de sa rentabilité, la
valeur future de sortie du cycle d’investissement à travers la notion de valeur terminale. Il convient donc de ne pas la
retenir deux fois : une fois lors du calcul de sa rentabilité prévisionnelle et une nouvelle lors de l’étude de la rentabilité
prévisionnelle de l’immobilisation future qui viendra la remplacer.
222- Flux de financement provenant des actionnaires
Seuls les financements provenant des tiers sont évalués dans le cycle de financement. La rentabilité des fonds
propres est prise en compte par le biais du taux d’actualisation
Ne sont donc pas retenus dans le cycle de financement : augmentation et réduction de capital, distribution de dividendes.
23- Prise en compte de la valeur terminale du projet
Les flux de trésorerie prévisionnels d'un projet d'investissement peuvent être évalués avec une certaine fiabilité sur un
horizon de 3 à 10 ans. Cela n'induit pas obligatoirement un arrêt d'activité après cette échéance. Au-delà de la
période de prévision, l'investissement pourra parfois encore être exploité mais la prévision précise des flux économiques de trésorerie devient trop aléatoire. On estime alors globalement les flux ultérieurs par une valeur terminale.
Diverses méthodes sont alors possibles.
231- Évaluation patrimoniale des actifs
C’est la méthode généralement retenue. La valeur terminale correspond à la valeur résiduelle des immobilisations et
au besoin en fonds de roulement d’exploitation.
la valeur résiduelle des immobilisations est normalement leur valeur de marché comme lors de l’évaluation des
actifs d’exploitation dans la méthode de l’actif net comptable corrigé. L'hypothèse de continuité de l'exploitation
étant retenue, il n'y pas lieu d'imposer une éventuelle plus-value de cession. Par simplification, on retient parfois la
valeur nette comptable.
la valeur terminale des opérations d’exploitation correspond à la récupération du besoin en fonds de roulement
d’exploitation.
232- Évaluation par les flux
Pour les investissements à long délai de vie ou lors de l’évaluation d’une entreprise, la valeur terminale est déterminée
en actualisant, sur un nombre déterminé d’années ou à l’infini, un flux de trésorerie, supposé constant (ou croissant).
Ce flux de trésorerie sera, par exemple, le dernier flux économique prévu dans le tableau des flux de trésorerie.
EXEMPLE
Les flux de trésorerie économiques (exploitation et investissement) d’un projet d’investissement sont les suivants :
Flux économiques
Début N
-540 000
N
133 333
N+1
166 667
N+2
210 000
N+3
210 000
N+4
210 000
Sachant que le coût moyen pondéré du capital est de 15%, calculons la valeur terminale en (N+4) du projet sur la base
du dernier flux économique :
actualisé sur 10 ans ;
actualisé à l’infini : on parle dans ce cas de capitalisation.
Actualisation sur 10 ans du dernier flux :
210 000 ×
1 − 1,15−10
= 1053 941
0,15
-2-
Capitalisation du dernier flux :
210 000 ×
1 − 1,15 −∞ 210 000
=
= 1400 000
0,15
0,15
Christian ZAMBOTTO
24- Synthèse des correctifs
Par exemple le plan de financement définitif d’un projet doit être modifié ainsi :
Plan de financement
Flux de trésorerie liés à l'activité
Résultat brut d'exploitation ou EBE (1)
Variation du BFRE (2)
3 700 000
3 700 000
3 700 000
2 000 000
= Flux net de trésorerie d'exploitation (3)=(1)-(2)
Charges d' intérêt
Impôts sur les bénéfices
(2 000 000)
3 700 000
(262 500)
(745 833)
3 700 000
(175 000)
(775 000)
3 700 000
(87 500) A reclasser
(804 167) A ventiler
= Flux net de trésorerie généré par l'activité (A)
(2 000 000)
2 691 667
2 750 000
2 808 333
Flux de trésorerie liés à l'investissement
Acquisitions d'immobilisations
Cessions d'immobilisations
(6 000 000)
250 000
= Flux net de trésorerie lié à l'investissement (B)
Valeur terminale du projet d'investissement
Flux de trésorerie liés au financement
Dividendes versés
Augmentation de capital en numéraire
Emission d'emprunts
Remboursement d'emprunts
= Flux net de trésorerie lié au financement (C)
Variation de trésorerie (A) + (B) + (C)
A supprimer
(5 750 000)
0
0
0
XXXX A ajouter
(65 000)
(65 000) A supprimer
A supprimer
2 000 000
5 250 000
7 250 000
(500 000)
(1 750 000)
(1 750 000)
941 667
(1 750 000)
(1 815 000)
935 000
(1 750 000)
(1 815 000)
993 333
EXEMPLE :
Désirant assurer la croissance de sa production et s’étendre sur de nouveaux marchés, l’entreprise MARCHAL envisage le lancement d’un nouveau produit pour le début de l’année N.
Une étude de marché a permis d’obtenir les prévisions suivantes pour les années N à N+4.
Année
Quantités vendues
N
8 000
N+1
10 000
N+2
12 000
N+3
12 000
N+4
12 000
Pour réaliser ce programme, l’entreprise devrait acquérir, début N, de nouveaux équipements dont le coût total
s’élèverait à 500 000 euros, durée d’utilisation prévue sur 5 ans, amortissement linéaire.
Conditions d’exploitation
Prix de vente d’un produit : 50 euros
Coût variable unitaire décaissable (hors coût de financement) : 25 euros
Charges fixes décaissables annuelles : 35 000 euros
Le besoin en fonds de roulement d’exploitation de ce nouveau produit est évalué à 36 jours de chiffre d’affaires HT.
Hypothèse de stabilité des prix.
Modalités de financement
un emprunt au taux annuel de 5% financera 70% du montant des équipements. Cet emprunt disponible début N
sera remboursable sur 5 ans par amortissements constants, le première annuité venant à échéance dans un an.
le solde par autofinancement.
Informations diverses
Par simplification, les recettes et dépenses sont supposées se réaliser à la fin de chaque période y compris l’impôt sur
les bénéfices qui est rattaché à l’exercice lui ayant donné naissance.
-3-
La rentabilité exigée par les actionnaires, compte tenu du risque économique et du niveau d’endettement de
l’entreprise est de 12%.
Le taux d’impôt sur les bénéfices retenu pour l’étude prévisionnelle est de 33 1/3%.
La valeur terminale sera estimée par la valeur vénale de l’immobilisation estimée à 20 000 € et la récupération du
besoin en fonds de roulement d’exploitation.
Présentons les flux de liquidités de ce projet.
Christian ZAMBOTTO
Travaux préparatoires
N
8 000
Quantités vendues
Chiffre d'affaires HT
Charges variables décaissables
Charges fixes décaissables
EBE
BFRE nouvelle activité
Variation BFRE
N+1
10 000
N+2
12 000
N+3
12 000
N+4
12 000
400 000
500 000
600 000
600 000
600 000
-200 000
-35 000
165 000
40 000
40 000
-250 000
-35 000
215 000
50 000
10 000
-300 000
-35 000
265 000
60 000
10 000
-300 000
-35 000
265 000
60 000
0
-300 000
-35 000
265 000
60 000
0
Calcul de l’impôt sur les bénéfices attaché aux cycles d’exploitation et d’investissement du projet.
Le raisonnement se fait en termes de produits et de charges et non d’encaissements et de décaissements.
Cycle d'exploitation
EBE
Dotations / amortissements
Bénéfice avant impôt
Impôt sur les bénéfices sur
opérations d'exploitation
N
N+1
N+2
N+3
N+4
165 000
-100 000
65 000
215 000
-100 000
115 000
265 000
-100 000
165 000
265 000
-100 000
165 000
265 000
-100 000
165 000
21 667
38 333
55 000
55 000
55 000
Tableau d’amortissement de l’emprunt et conséquences fiscales
N
N+1
Capital dû début de période
350 000
280 000
Charge d'intérêt
17 500
14 000
Amortissement
70 000
70 000
Annuité
87 500
84 000
Restant dû fin période
280 000
210 000
Economie d'impôt sur
charges d'intérêt
5 833
4 667
N+2
210 000
10 500
70 000
80 500
140 000
N+3
140 000
7 000
70 000
77 000
70 000
N+4
70 000
3 500
70 000
73 500
0
3 500
2 333
1 167
-4-
Synthèse des flux de liquidités du projet
Début N
N
N+1
N+2
N+3
N+4
215 000
-10 000
265 000
265 000
265 000
-40 000
165 000
-10 000
-21 667
-38 333
-55 000
-55 000
-55 000
133 333
166 667
210 000
210 000
210 000
-500 000
0
0
0
0
0
-540 000
133 333
166 667
210 000
210 000
210 000
Flux d'exploitation
Christian ZAMBOTTO
EBE (1)
( ψ∃BFRE (2)
Impôt sur les bénéfices des
opérations d'exploitation (3)
Flux net de trésorerie
d'exploitation (A) = (1 + 2 + 3)
-40 000
Flux d'investissement
Acquisition du matériel
Flux net de trésorerie
d'investissement (B)
Flux économiques
(A + B)
-500 000
Valeur terminale
20 000
60 000
80 000
Investissement
Récupération du BFRE
Valeur terminale (C)
Flux économiques corrigés
(A + B + C)
Flux de financement
provenant des tiers
Emprunt
-540 000
133 333
166 667
210 000
210 000
290 000
-70 000
-17 500
-70 000
-14 000
-70 000
-10 500
-70 000
-7 000
-70 000
-3 500
5 833
4 667
3 500
2 333
1 167
350 000
-81 667
-79 333
-77 000
-74 667
-72 333
-190 000
51 666
87 334
133 000
135 333
217 667
350 000
Amortissement de l'emprunt
Charges d'intérêt
Economie d'impôt sur charge
d'intérêt
Flux net de trésorerie de
financement (D)
Flux net de trésorerie global
(A +B + C + D)
Remarque : nous utiliserons souvent par la suite la notion de capacité d’autofinancement (CAF) d’exploitation correspondant à l’EBE corrigé de l’impôt sur les bénéfices des opérations d’exploitation.
-5-
3- La mesure de la rentabilité économique
31- Prise de décision en avenir certain
311- Méthodes sans actualisation
A- Taux de rendement comptable
Cette méthode est la seule qui considère les bénéfices et non les flux de trésorerie.
Taux de rendement comptable =
Bénéfice annuel moyen
Investissement initial en immobilisations
L’entreprise se fixe arbitrairement un taux limite et élimine les projets pour lesquels le taux de rendement est inférieur à
cette limite. Cette méthode simple est actuellement dépassée.
EXEMPLE
Des immobilisations, dont le prix d'acquisition est 200 000 euros, procureront les bénéfices annuels suivants pour
chacune des cinq années à venir : 30 000 , 35 000 , 40 000 , 45 000 , 50 000
Bénéfice annuel moyen = 40 000
Taux de rendement comptable = 40 000 / 200 000 = 20%.
B-Le délai de récupération du capital investi
Principe de la méthode
Le délai de récupération correspond au nombre de périodes nécessaires pour récupérer le montant de l'investissement
ou, en raisonnant sur la somme des flux d'investissement et d'exploitation pour que la somme des flux de trésorerie
soit nulle.
EXEMPLE
Les flux de trésorerie prévisionnels des opérations d'investissement et d'exploitation de deux projets d'investissement
exclusifs sont les suivants :
Christian ZAMBOTTO
Périodes
Flux de trésorerie
Projet A
Flux cumulés
Flux de trésorerie
Projet B
Flux cumulés
0
1
-1000
-1000
-1000
-1000
2
500
-500
300
-700
3
4
400
-100
400
-300
300
200
400
100
50
250
500
600
Flux économiques cumulés
1000
2 ans
4 mois
2 ans
9 mois
500
Projet A
Projet B
0
-500
-1000
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
Périodes
Si l'on fait l'hypothèse de linéarité des flux au cours d'une période, les délais de récupération sont :
2 ans + 1 an x 100 /200 = 2 ans 4 mois
-
pour le projet A de :
-
pour le projet B de : 2
ans + 1 an x 300 / 400 = 2 ans 9 mois
-6-
L'utilisation du critère du délai de récupération conduit à privilégier le projet A bien que les recettes totales dégagées
par le projet B soient supérieures.
Christian ZAMBOTTO
Appréciation de la méthode
Calculs simples et rapides : tout projet dont le délai de récupération est inférieur
à la norme préalablement définie par l'entreprise peut être retenu.
Basée sur le concept de trésorerie, la méthode favorise la liquidité des actifs et
prend naturellement en compte le risque d'illiquidité.
La récupération rapide des flux engagés permet de saisir de nouvelles opportunités et de s'adapter aux modifications de l'environnement.
Points
forts
La méthode ne prend en compte ni le montant initial de l'investissement, ni les
flux générés au-delà du délai de récupération.
Par souci de liquidité, le critère de rentabilité est complètement délaissé.
La méthode pénalise les investissements à long délai de récupération, caractéristique des investissements de croissance.
Points
faibles
Cette méthode simple est utilisée comme complément à d'autres méthodes plus élaborées.
312- Méthodes fondées sur l’actualisation
L'actualisation tient compte :
de l'échelonnement des flux de trésorerie dans le temps,
du risque lié à l'incertitude du futur.
A- Méthode de la valeur actuelle nette (VAN)
Les flux économiques sont actualisés au taux défini par l'entreprise. Si la valeur actuelle nette est positive, le projet est
accepté.
EXEMPLE
Dans l'exemple précédent, le taux de rentabilité économique requis est de 10%. Calculons la valeur actuelle nette des
deux projets.
VAN( A ) = −1000 + 500 × 1,1−1 + 400 × 1,1−2 + 300 × 1,1−3 + 50 × 1,1−4 = 44,67
VAN(B) = −1000 + 300 × 1,1−1 + 400 × 1,1−2 + 400 × 1,1−3 + 500 × 1,1− 4 = 245,34
Les deux projets ont une rentabilité économique supérieure au taux requis (VAN > 0) mais étant exclusifs l'un de l'autre, il convient de retenir le projet B qui offre la plus forte valeur actuelle nette.
B- Signification de l’actualisation
Le taux d’actualisation joue un double rôle selon que la trésorerie dégagée par le projet d’investissement est négative ou positive.
Signification du taux d’actualisation
Recherche de
Taux de rémunération exigé par les
négatifs
financements
apporteurs de capitaux
Flux
économiques
Excédent de trésorerie
Taux de placement
dégagés
des excédents de trésorerie
positifs
à réinvestir
EXEMPLE
Soit un investissement C de 1 000 générant deux flux économiques de 550.
Ce projet est financé par un emprunt au taux de 5% remboursable in fine capital et intérêts soit :
1 000 x 1,052 = 1 102,50.
Calculons la valeur actuelle nette (VAN) des flux économiques à 5%.
Flux économiques
VAN flux économiques : -
Périodes
(1)
0
(1 000,00)
1
550,00
2
550,00
1000 + 550 x (1,05)-1 + 550 x (1,05)-2 = 22,68
-7-
Ce qui équivaut à calculer la VAN des flux nets à 5%.
Périodes
Flux de financement
(2)
Flux nets de trésorerie
(1) + (2)
VAN flux nets : 550
0
1 000,00
0,00
1
0,00
550,00
2
(1 102,50)
(552,50)
x 1,05-1 – 552,50 x 1,05-2 = 22,68
22,68 correspond à l’accroissement de valeur de l’entreprise après rémunération des sources de financement à
5%. Une VAN négative signifie que les flux économiques ne sont pas suffisants pour rémunérer les sources de financement.
Calculons maintenant la valeur nette future (VNF), c’est-à-dire la somme des flux économiques actualisés en période
2, soit :
n
2
VNF = VAN x (1+i) = 22,68 x 1,05 = 25
VNF =
¾
¾
- 1000 x 1,052 + 550 x 1,051 + 550 = 25
-1000 x (1,05)2 = - 1 102,50 correspond au montant de l’emprunt à rembourser en période 2
550 x 1,051 signifie que le flux économique positif de la première année a été réinvesti au taux
d’actualisation de 5%.
C- Méthode du taux interne de rentabilité (TIR) ou taux de rendement interne (TRI)
C’est le taux tel que la valeur actuelle nette des flux économiques soit égale à zéro. Le taux interne de rentabilité économique correspond à la rémunération maximale qui peut être accordée aux ressources engagées
dans le projet.
Comme la VAN, il correspond également au taux de réinvestissement des flux économiques positifs ; ce qui est peu
réaliste si le TIR calculé est élevé.
Christian ZAMBOTTO
EXEMPLE
Reprenons les projets A et B
Projet A :
0 = −1000 + 500 × (1 + t )−1 + 400 × (1 + t )−2 + 300 × (1 + t )−3 + 50 × (1 + t )−4 => t = 12,65%
Projet B :
0 = −1000 + 300 × (1 + t )−1 + 400 × (1 + t )−2 + 400 × (1 + t )−3 + 500 × (1 + t )−4 => t = 20,02%
D- Comparaison entre VAN et TIR
Si la méthode du taux interne de rentabilité présente l'avantage de ne pas avoir à choisir de taux puisque c'est la variable du problème, des difficultés peuvent surgir lors de son calcul.
a- Classements discordants
Lors de l'étude de projets exclusifs, valeur actuelle nette et taux interne de rentabilité peuvent donner des classements
discordants.
EXEMPLE
Soient deux projets exclusifs D et E. Calculons la valeur actuelle nette des deux projets en faisant varier le taux d'actualisation entre 6 % et 21%.
Projet D
Projet E
Flux économiques (investissement + exploitation)
Périodes
0
1
2
Flux de la période
-1000
300
500
Flux de la période
-1000
500
600
3
600
250
TIR
16,79%
18,46%
-8-
6%
7%
8%
9%
10%
11%
12%
13%
14%
15%
16%
17%
18%
19%
20%
21%
VAN
VAN
projet D projet E
232
216
207
196
183
176
159
157
137
138
115
120
94
103
73
86
53
69
33
53
15
37
-4
22
-21
7
-39
-8
-56
-22
-72
-36
Projet D
Projet E
300
Valeur actuelle nette
Taux
200
16,79%
18,46%
100
9,63%
0
-100
6%
8%
10%
12%
14%
16%
18%
20%
22%
Taux d'actualisation
On appelle taux d'indifférence le taux pour lequel la valeur actuelle nette des deux projets est égale.
Calculons le taux d'indifférence.
VAN (D) = VAN(E) =>
VAN(D) – (VAN(E) = 0
-200.(1+i)-1 –100.(1+i)-2 + 350.(1+i)-3 = 0
en multipliant les 2 membres par (1+i)3
-200.(1+i)2 –100.(1+i)1 + 350 = 0 => i = 9,6291%
On peut vérifier que lorsque le taux d'actualisation est inférieur au taux d'indifférence, le classement des projets devient
discordant.
Le TIR nous fait retenir le projet : E
la VAN le projet : D
Christian ZAMBOTTO
Dans cette situation, la méthode de la valeur actuelle nette doit être privilégiée, le taux d'actualisation correspondant au coût effectif des ressources.
b- Taux interne de rentabilité inexistant
Dans certains cas le TIR n'est pas défini alors que le calcul de la VAN reste possible.
EXEMPLE
Soient les flux économiques d'un projet F. Calculer le taux interne de rentabilité économique.
Périodes
Flux économiques
Flux actualisés à 10%
0
-1000
-1000
1
2000
1818
2
-1100
-909
VAN
-91
- 1 000 + 2 000 x (1 + t)-1 – 1 100 x (1+t)-2 = 0
Multiplions les 2 membres par (1 + t )2 / 1 000
- (1 + t)2 + 2 x (1 + t) – 1,1 = 0
Posons
z = (1 + t)
2
- z + 2.z – 1,1 = 0
∆ = -0,4 < 0 => Pas de racines réelles
c- Existence de plusieurs taux internes de rentabilité
Le solde annuel de trésorerie résultant des flux d'exploitation et d'investissement peut changer plusieurs fois de signe
au cours de la durée de vie de l'investissement. Ce cas se rencontre fréquemment à la fin de l'exploitation lorsqu'une
nouvelle dépense d'investissement doit être engagée pour remettre en état les lieux : talutage d'une gravière, reboisement d'une carrière, réhabilitation d'une friche industrielle. D'une manière générale il peut y avoir autant de TIR qu'il y a
de changements de signes dans la succession des flux nets (équation de degré n : n racines).
Dans cette situation, il est nécessaire de privilégier la valeur actuelle nette.
-9-
EXEMPLE
Soit un projet G caractérisé par deux flux économiques négatifs. (Calcul sous Excel : voir feuille masquée)
Périodes
Recettes nettes d'exploitation
Flux économiques
80
60
40
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120
0
-1000
-1000
1
2
700
700
3
600
600
4,63%
0%
5%
4
500
500
5
400
400
6
-1500
100
-1400
100
100
29,71%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
Taux d'actualisation
Le calcul du TIR nous donne deux solutions 4,63 % et 29,71%. Aucune des deux solutions ne se justifie plus que l'autre. Si les sources de financement exigent un taux de rémunération de 10%, la VAN est de 53.
Dans cette situation, seule la VAN donne un résultat significatif.
Christian ZAMBOTTO
E-Choix entre des projets mutuellement exclusifs
Il s’agit de choisir entre des projets qu’il n’est pas possible de réaliser ensemble (par exemple : construire une usine à
Vatry ou une usine en Irlande). Le classement des projets selon le critère de la VAN ou du TRI n’est pas toujours aisé.
a- Projets de durée de vie différentes
EXEMPLE
Soient les flux économiques de deux projets exclusifs H et I. Calculons la valeur actuelle nette au coût du capital de
10%.
Périodes
0
1
2
3
4
5
6
Projet H
-1500
500
500
500
500
500
500
Projet I
-1500
800
800
800
VAN(H) = 677,63
VAN(I) = 489,48
Sur le critère de la VAN H semble préférable à I. C’est oublier qu’après 3 ans un nouveau projet peut être envisagé
après le projet I.
Trois solutions sont possibles.
¾ Renouvellement à l’identique du projet le plus court
Renouvelons I à l’identique après 3 ans
Projets I + I
Flux économiques
0
-1500
-1500
1
2
800
800
800
800
3
-1500
800
-700
4
5
800
800
6
800
800
800
800
VAN (I + I) = 857,27
Conclusion :
I + I préférable à H
- 10 -
Cette méthode simpliste n’est applicable que dans le cas particulier où la durée du projet le plus long est un multiple de
la durée du projet le plus court.
Christian ZAMBOTTO
¾ Calcul sur la durée la plus courte
Raisonnons sur 3 ans. La valeur vénale de l’investissement H après 3 ans est de 600.
Projet H
Flux économiques
0
-1500
-1500
1
2
500
500
3
600
500
1100
500
500
VAN (H) = 194,21
Conclusion :
I avec une VAN = 489,48 est préférable à H dont la VAN est de 194,21
¾ Calcul de la rente annuelle : méthode de l’annuité équivalente
Cette méthode, préférable aux 2 précédentes consiste à calculer l’annuité constante au coût du capital correspondant
à la création annuelle moyenne de valeur sur la durée de vie du projet.
Annuité équivalente du projet H
0
1
677,63
677,63 =
a
2
3
4
5
6
a
a
a
a
a
1 - 1,1-6
0,1
a.
a = 155,59
Annuité équivalente du projet I
0
1
2
3
489,48
b
b
489,48 =
Conclusion : Projet
b
b.
1 - 1,1-3
0,1
b = 196,83
I préférable au projet H
b- Projets de montants différents
Si le critère du taux interne de rentabilité semble judicieux pour comparer des investissements de montant différent, il y
a lieu de raisonner sur les flux de trésorerie différentiels pour porter un jugement correct.
Le critère de la VAN est cependant préférable.
EXEMPLES
Soient les flux économiques de deux projets exclusifs J et K. Calculons le TIR et la valeur actuelle nette au coût du
capital de 15%.
Périodes
0
1
2
3
4
5
TIR
VAN à 15%
Projet J
-400
130
130
130
130
130
18,72%
36
Projet K
-300
100
100
100
100
100
19,86%
35
Projet différentiel J-K
-100
30
30
30
30
30
15,24%
1
Conclusion
TIRE de K > TIRE de J
et
VAN de J > VAN de K
Il faut retenir le projet J qui crée le plus de valeur (36).
Cependant on pourra lui préférer le projet K à condition de pouvoir investir le
complément de 100 (400 – 300) à un TIR supérieur à 15,24% (ou avec une VAN >1).
- 11 -
Soient les flux économiques de deux projets exclusifs L et M. Calculons la valeur actuelle nette au coût du capital de
15%.
Périodes
0
1
2
3
4
5
TIR
VAN à 15%
Projet L
-400
125
125
125
125
125
16,99%
19
Projet M
-300
100
100
100
100
100
19,86%
35
Projet différentiel L-M
-100
25
25
25
25
25
7,93%
-16
Conclusion
TIRE de M > TIRE de L
et
VAN de M > VAN de L
Il faut retenir le projet M.
Choisir L serait une aberration car l’investissement différentiel de 100 détruit de la
valeur (VAN = -16).
F-Choix entre des projets non exclusifs en cas de rationnement du capital
Si les projets étudiés ne sont pas exclusifs l'un de l'autre, tous les projets dont la VAN est positive pourraient être acceptés si l'entreprise disposait du capital suffisant pour les financer en même temps. On est cependant parfois limité
par l'insuffisance du capital.
Remarque : le rationnement du capital est une anomalie en économie de marché. En théorie, l’entreprise devrait pouvoir se procurer
tout le capital nécessaire à condition d'en payer le coût. Le rationnement peut cependant se rencontrer dans la réalité :
au niveau des divisions d'entreprise, la direction générale limite les budgets d'investissement dont disposent les directeurs de divisions,
au niveau de l'entreprise, les banques peuvent refuser de nouveaux emprunts car elles estiment que le taux d'endettement est trop élevé ou, encore, les actionnaires dirigeants sont hostiles à une augmentation de capital qui leur ferait
perdre la majorité.
a-
Indice de rentabilité (ou indice de profitabilité)
Indice de rentabilité =
Σ des recettes nettes d’exploitation actualisées = 1 +
Σ des dépenses nettes d’investissement actualisées
Investissements actualisés
Christian ZAMBOTTO
On classe les projets par ordre décroissant de leur indice de rentabilité et l'on retient les meilleurs jusqu'à ce que la
totalité du capital disponible soit employée.
EXEMPLE
Considérons une entreprise (ou une division d'entreprise) qui étudie de nombreux projets A, B, C, D, dont les caractéristiques sont les suivantes :
Projet
Montant initial de
l'investissement
Valeur actuelle
nette des flux
économiques
A
90 000
3 600
B
50 000
1 750
C
30 000
1 500
D
20 000
400
Indice de rentabilité
1 + 3 600 / 90 000
1 + 1 750 / 50 000
1 + 1 500 / 30 000
1 + 400 / 20 000
1,040
1,035
1,050
1,020
Le capital dont dispose l'entreprise (ou la division) est limité à 150 000. Le classement des projets est le suivant :
Projet
Indice de
rentabilité
Capital
nécessaire
Cumul du
capital
C
A
B
D
1,050
1,040
1,035
1,020
30 000
90 000
50 000
20 000
30 000
120 000
Accepté
VAN
VAN cumlulée
O
O
N
N
1 500
3 600
1 500
5 100
La méthode de l'indice de rentabilité permet d'approcher la solution mais ne garantit pas une solution optimale. On de
manière empirique améliorer la solution.
- 12 -
Projet
Indice de
rentabilité
Capital
nécessaire
Cumul du
capital
Accepté
VAN
VAN cumlulée
C
1,050
30 000
30 000
O
1 500
1 500
A
1,040
90 000
120 000
O
3 600
5 100
B
1,035
50 000
D
1,020
20 000
400
5 500
N
140 000
O
b- Programmation linéaire
Le problème peut être formalisé par un programme linéaire. La programmation linéaire classique, avec des variables
continues, suppose que les projets puissent être fractionnés Sinon, il faudrait recourir à la programmation linéaire en
nombres entiers.
EXEMPLE
Désignons par les variables XA, XB, XC, XD les programmes A, B, C, D. Ces variables prennent la valeur 1 quand le
programme est réalisé et la valeur 0 quand il est refusé.
L’objectif est de maximiser la somme des VAN.
Le programme linéaire est le suivant :
Maximiser Z = 3
600 XA + 1 750 XB + 1 500 XC + 400 XD
Contraintes générales
XA, XB, XC, XD ≥ 0
Contraintes de réalisation des projets
XA ≤ 1
XB ≤ 1
XC ≤ 1
XD ≤ 1
Contrainte de ressources
90 000.XA + 50 000.XB + 30 000.XC + 20 000.XD ≤ 150 000
Christian ZAMBOTTO
La solution optimale du système est: XA=1, XB=1, XC=1/3, XD=0
Les projets A et B et 1/3 du projet C sont retenus. Les VAN des projets retenus totalisent 5 850.
G- VAN et TIR intégrés ou globaux
Il est possible d’éviter que le taux d’actualisation soit à la fois le taux de rémunération des ressources et de placement
des excédents de trésorerie en définissant un taux de réinvestissement des flux économiques positifs différent du taux
d’actualisation de la VAN ou du TIR.
Cette méthode est surtout intéressante lorsque le taux interne de rentabilité est élevé, l’hypothèse de réinvestissement
des flux positifs à ce taux étant peu vraisemblable ou en cas de TIR multiples.
EXEMPLE
Reprenons le projet G. Les excédents de trésorerie dégagés sont réinvestis à 5%. Le coût des sources de financement
est de 10%.
Capitalisons les recettes nettes d’exploitation (RNE) en période 6 au taux de 5%. Calcul excel ci-dessous.
Périodes
Investissement
RNE
RNE capitalisées à 5%
Flux nets
0
-1 000,00
1
700,00
893,40
2
600,00
729,30
3
500,00
578,81
4
400,00
441,00
-1 000,00
5
6
Total
-1 500,00
100,00
100,00
105,00
100,00 2 847,51
1 347,51
La VAN est calculée en actualisant à 10% les flux d’investissement et le total des recettes d’exploitation capitalisées.
- 1 000 + [ 2 847,51 – 1 500 ] x 1,1-6 = -239,27
VAN intégrée ou globale :
Le TIR intégré ou global (TIRG) est le taux tel que la VAN des flux d’investissement et des recettes d’exploitation capitalisées est nul.
- 1 000 + [ 2 847,51 – 1 500 ] x (1+TIRG)-6 = 0
=> TIRG = 5,10%
La VAN globale est négative et le taux interne de rentabilité global est inférieur au coût des ressources de 10%. Le
projet G n’est pas rentable.
- 13 -
32- Prise de décision en avenir aléatoire ou incertain
Christian ZAMBOTTO
Nous avons précédemment considéré implicitement que les recettes et dépenses futures étaient certaines. La VAN,
calculée en fonction des flux de trésorerie était donc certaine, elle aussi.
En réalité, les événements futurs sont aléatoires (ou probabilisables, c'est-à-dire qu'on peut leur affecter des probabilités) ou même, incertains (c'est-à-dire que leurs probabilités sont inconnues). Les projets présentent donc un risque.
321- Marge de sécurité d’un projet
Rappelons que le risque d'exploitation peut être caractérisé par la différence entre le chiffre d'affaires et le seuil de
rentabilité, dite marge de sécurité. Cette approche est applicable au risque d'un projet d'investissement.
Le seuil de rentabilité, deuxième terme de cette différence, est défini soit, de façon traditionnelle (seuil de rentabilité
comptable), soit par référence à la VAN (seuil de rentabilité financier).
A- Seuil de rentabilité comptable
Le seuil de rentabilité traditionnel (dit seuil de rentabilité comptable) est le niveau du chiffre d'affaires qui annule le
résultat comptable prévisionnel du projet.
EXEMPLE
Un investissement de 400 000 devrait permettre de réaliser un chiffre d'affaires annuel de 500 000 pendant cinq ans.
Les charges fixes d'exploitation annuelles s'élèveraient à 150 000 (dont 80 000 d'amortissement de l'investissement).
Le taux de marge sur coût variable serait de 35 %.
Le taux de l'impôt sur les sociétés est 33 1/3%. Le coût des capitaux est de 10 %.
Seuil de rentabilité comptable :
(SR x 0,35 - 150 000) = 0 => SR = 150 000 / 0,35 = 428 571
Marge de sécurité: CA - SR = 500 000 – 428 571 = 71 429
Remarque : le seuil de rentabilité comptable est indépendant du taux de l'impôt et du coût des capitaux.
B- Seuil de rentabilité financier
La notion traditionnelle du seuil de rentabilité comptable est discutable car le coût du capital investi n'intervient pas
dans la définition de ce seuil. En effet, il ne suffit pas que l'entreprise ait un résultat simplement équilibré pour qu'elle
soit rentable. Il faut que le bénéfice soit suffisant pour assurer la rémunération requise aux apporteurs des capitaux.
Il est possible de définir un seuil de rentabilité au sens strict. C'est le chiffre d'affaires pour lequel la VAN de l'investissement est égale à zéro.
EXEMPLE
Reprenons l'exemple précédent. Désignons par CA le chiffre d'affaires.
Le résultat d’exploitation annuel avant impôt est de :
0,35 . CA
L’impôt d’exploitation annuel est de :
– 150 000
(0,35 . CA – 150 000) / 3
= 0,1167 . CA – 50 000
Le flux net annuel de trésorerie d’exploitation est égal à l’EBE moins l’impôt d’exploitation :
0,35 . CA - 70 000 – (0,1167 . CA - 50 000) =0,2333 . CA – 20 000
La VAN de l'investissement est de :
- 400 000 + (0,2333 . CA – 20 000) . 1 – 1,1-5 = 0,8844 . CA – 475 816
0,1
La VAN s'annule pour CA ≅ 538 000 €
Remarquons que le seuil de rentabilité financier est plus élevé que le seuil de rentabilité comptable.
Marge de sécurité : aucune,
le chiffre d’affaires prévu est inférieur au seuil de rentabilité
financier.
Le chiffre d’affaires prévu est insuffisant pour assurer une rémunération des ressources à 10%.
322- Décision d'investissement en avenir aléatoire
A- Méthodes empiriques de prise en considération du risque
Les procédés empiriques suivants permettent traditionnellement la prise en compte du risque dans le calcul de la VAN.
- 14 -
a- Diminution de la durée du projet. Cette méthode consiste à actualiser les flux de trésorerie générés par le projet
sur une durée inférieure à la durée de vie du projet. Plus le projet est risqué, plus le nombre d'années négligées dans
les calculs est grand.
b Abattements sur les recettes prévues : méthode de l'équivalent certain. Cette méthode consiste à remplacer,
dans les calculs, les recettes risquées par des recettes fictives certaines. Ces recettes certaines sont inférieures aux
recettes risquées. Elles sont supposées équivalentes aux recettes risquées du point de vue du décideur.
Équivalent certain = recette risquée x coefficient
Le coefficient est toujours inférieur à un. Il est plus faible pour un décideur prudent que pour un décideur audacieux.
c- Adjonction d'une prime de risque au taux d'actualisation. Le taux d'actualisation doit rémunérer le temps et le
risque.
Taux d'actualisation = Taux sans risque + prime de risque (voir coût des fonds propres)
B- Méthode probabiliste d'analyse
a- Appréciation du seul critère de l’espérance mathématique
La valeur actuelle nette (VAN), calculée en fonction de flux aléatoires, est elle-même une variable aléatoire caractérisée par son espérance mathématique et sa variance (ou son écart-type).
Le choix d’un investissement sur le critère de l’espérance mathématique de la VAN conduit à ne prendre en
compte le facteur risque que de manière imparfaite par le biais du taux d’actualisation.
EXEMPLE
Organisez un jeu dans la classe dont 3 actions vous sont proposées. Vous devez impérativement retenir l’une de ces 3
actions :
Action 1 : mise de 100 euros, gain (somme reçue) de 3 000 euros avec une probabilité de 0,10
Action 2 : mise de zéro, gain certain (probabilité 1) de 100 euros
Action 3 : mise de 5 000 euros, gain de 20 000 euros avec une probabilité de 0,50
Indiquez votre choix : …………Choix
personnel : action 2
Christian ZAMBOTTO
Calculer les espérances mathématiques de résultat des 3 actions :
E(Ra1) =
(- 100 x 1)
+ (3 000 x 0,1 + 0 x 0,9)
= + 200
E(Ra2) =
(0 x 1)
+ (100 x 1)
= + 100
E(Ra3) =
(-5 000 x 1) + ( 20 000 x 0,5 + 0 x 0,5)
= + 5 000
Le seul critère de l’espérance mathématique conduit à retenir : ………..l’action
Conclusion :
3
Le choix ne se fait exclusivement sur l’espérance mathématique de résultat.
La prise en compte du risque intervient : risque de ruine pour certains, impossibilité de mettre la mise pour d’autres.
b - Arbitrage entre espérance mathématique et variance
Le décideur cherche à maximiser l'espérance mathématique de la VAN (mesure de la rentabilité) et à minimiser la
variance de la VAN (mesure du risque).
EXEMPLE
Considérons les projets suivants dont on connaît l’espérance mathématique et la variance de la valeur actuelle nette
(VAN).
Projet
E(VAN)
V(VAN)
P1
12 000
9 000 000
P2
15 000
7 840 000
P3
17 000
8 410 000
Classer ces projets sur le double critère rentabilité risque.
P2 domine P1
rentabilité plus forte et risque plus faible
P3 domine P1
rentabilité plus forte et risque plus faible
Reste à classer P2 et P3 :
sur la rentabilité
P3 préférable à P2
- 15 -
sur le risque
P2 préférable à P3
Comment arbitrer ?
Christian ZAMBOTTO
c- Calcul de l’Espérance mathématique et de la variance de la VAN
EXEMPLE
Un investissement de 80 MEUR est supposé procurer les CAF d'exploitation suivantes (en MEUR).
Hypothèse pessimiste
Hypothèse la plus probable
Hypothèse optimiste
Probabilités
0,30
0,40
0,30
H1
H2
H3
Année 1
20
30
40
Année 2
25
40
50
Année 3
30
50
60
Le coût du capital est de 10%
Cas 1 : Si une hypothèse se réalise une année donnée, rien ne présage qu’elle se réalisera les années suivantes : les
flux de trésorerie d’une année sont indépendants des flux de trésorerie des autres années.
H1
H2
H3
Σ
pi
0,30
0,40
0,30
1,00
R1
20,00
30,00
40,00
2
pi.Ri
120,00
360,00
480,00
960,00
pi. Ri
6,00
12,00
12,00
30,00
R2
25,00
40,00
50,00
pi. Ri
7,50
16,00
15,00
38,50
2
pi.Ri
187,50
640,00
750,00
1 577,50
R3
30,00
50,00
60,00
pi. Ri
9,00
20,00
18,00
47,00
E(R1) =
30
E(R2) =
38,5
E(R3) = 47
V(R1) =
960 – 302 = 60
V(R2) =
1 577,50 – 38,502 = 95,25
V(R3) = 2
+ 30 x 1,1-1 + 38,5 x 1,1-2
E(VAN) =
-80
V(VAN) =
60 x 1,1-2
σ(VAN) =
13,94
+ 95,25 x 1,1-4
+ 47 x 1,1-3
2
pi.Ri
270,00
1 000,00
1 080,00
2 350,00
350 – 472 = 141
= 14,40
+ 141 x 1,1-6 = 194,23
Cas 2 : Si une hypothèse se réalise une année donnée, elle se réalisera les années suivantes : les flux de trésorerie
d’une année sont parfaitement corrélés avec ceux des autres années.
H1
H2
H3
Σ
-1
-2
-3
R1.(1+i)
R2 R2.(1+i)
R3 R3.(1+i)
Si
(a)
(b)
(c)
(a)+(b)+(c)
0,30 20,00
18,18 25,00
20,66 30,00
22,54
61,38
0,40 30,00
27,27 40,00
33,06 50,00
37,57
97,90
0,30 40,00
36,36 50,00
41,32 60,00
45,08
122,76
1,00
pi
R1
E(VAN des flux positifs) =
94,40
E(VAN des flux nets) =
- 80 + 94,40 = 14,40
V(VAN des flux nets) =
9 485,18 – 94,402 = 573,82
σ(VAN) =
23,95
pi.Si
18,41
39,16
36,83
94,40
pi.Si
2
1 130,34
3 833,48
4 521,36
9 485,18
C- Décisions séquentielles et arbres de décision
a- Définitions
Lorsque le projet implique plusieurs décisions d'investissement qui se succèdent dans le temps, on représente l'ensemble des décisions et des événements par un arbre de décision.
Une décision est un choix effectué librement par le décideur.
Un événement est imposé de l'extérieur au décideur. Il est affecté d'une probabilité.
- 16 -
b-
Structure des arbres de décision
Événement 1 : probabilité p1
Décision 1
Christian ZAMBOTTO
Décision 2
L'arbre de décision est un graphe orienté qui représente la succession des décisions et des événements. Parmi les
sommets du graphe (ou nœuds), on distingue des nœuds de décisions et des nœuds d'événements.
¾
¾
Nœuds de décisions. Un nœud de décisions représente un choix entre plusieurs décisions. Il est figuré par un
carré. Chaque décision conduit à un nœud d'événements (voir ci-après). La racine de l'arbre de décision est toujours un nœud de décisions.
Nœuds d'événements. Un nœud d'événements représente une alternative entre plusieurs événements. Il est figuré par un cercle. À chaque événement sont attachées une VAN et une probabilité. La somme des probabilités affectées aux événements d'un nœud égale 1. Pour chaque nœud, on calcule l'espérance mathématique de la VAN
(et, éventuellement, la variance).
c- Procédure
À chaque nœud de décisions, la décision qui a la préférence est celle qui conduit au nœud d'événements pour lequel
E(VAN) est maximale.
Le calcul s'effectue en remontant le temps de la fin vers le début. L’arbre est progressivement modifié en éliminant, à
chaque nœud de décisions, les branches des décisions dominées.
EXEMPLE
La capacité de production de la société Sambeau est saturée à la suite du succès rencontré par le lancement récent
d'un de ses nouveaux produits. Le flux de trésorerie annuel dégagé est de 200K€. Cette société anticipe la poursuite
de la croissance des ventes de ce produit, mais l'intensité de la croissance dépend de la conjoncture économique.
Compte tenu de cette incertitude, la société a le choix entre trois politiques :
¾ ne pas faire d'investissement. Dans ce cas le flux de trésorerie annuel obtenu sera de 200K€.
¾ construire une usine moyenne. Le montant de l'investissement est alors de 500K€. Cet investissement lui permettrait de faire face à l'évolution de la demande en cas de conjoncture modérée. Le flux de trésorerie annuel obtenu
serait de 300K€. Par ailleurs, et si nécessaire, la société pourrait mettre en place une année plus tard une extension pour un montant de 400K€. Cette extension ne pourra être réalisée que la première année pour des raisons
de contrainte financière. Le flux de trésorerie dégagé après mise en service de l'extension serait de 700K€, en cas
de conjoncture favorable.
¾ construire une usine de taille importante d'un montant de 1 000K€. Les flux attendus sont de 700K€ par an si la
conjoncture est favorable.
L'horizon considéré est de cinq ans. Le taux d'actualisation est de 10%.
La première année, il y a 40% de chances que la conjoncture soit favorable. Dans ce dernier cas, il y a 60% de chances qu'elle le reste pour les années suivantes.
A contrario, si la conjoncture est défavorable (c'est-à-dire si la conjoncture est modérée) en première année (probabilité de 60%), il y a une probabilité de 90% qu'elle le reste pendant les quatre autres années.
Calculer l'espérance mathématique des valeurs actuelles nettes des différentes politiques d'investissement.
- 17 -
Conjoncture des
4 années suivantes
E(VAN) = 965
Extension
Conjoncture
1ère année
p = 0,4
Favorable
E(VAN) = 767
Usine moyenne
Favorable : p = 0,6 (1)
VAN
1 426
Défavorable:p = 0,4 (2)
274
(3)
637
Favorable : p = 0,1 (4)
1 426
Défavorable:p = 0,9 (5)
274
(6)
637
F + F : p = 0,24 (7)
1 654
F + D : p = 0,16 (8)
501
D + F : p = 0,06 (9)
1 290
D + D : p = 0,54 (10)
137
(11)
758
E2
D2
Pas d'extension
VAN = 637
E1
E(VAN) = 389
Extension
E3
Défavorable
p = 0,6
D3
D1
Pas d'extension
VAN = 637
Grande usine
E4
Christian ZAMBOTTO
E(VAN) = 629
Pas d'investissement
VAN = 758
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
-500
-500
-500
= (1)
= (2)
= (3)
-1 000
-1 000
-1 000
-1 000
- 400 x 1,1-1
- 400 x 1,1-1
+ 300 x 1,1-1
+ [700.(1 - 1,1-4) / 0,1] x 1,1-1
-5
+ 300.(1 - 1,1 ) / 0,1
+ 300.(1 - 1,1-5) / 0,1
+ 700.(1 - 1,1-5) / 0,1
+ 700 x 1,1-1
+ [300.(1 - 1,1-4) / 0,1] x 1,1-1
-1
+ 300 x 1,1
+ [700.(1 - 1,1-4) / 0,1] x 1,1-1
+ 300.(1 - 1,1-5) / 0,1
200.(1 - 1,1-5) / 0,1
= 1 426
= 274
= 637
= 1 426
= 274
= 637
= 1 654
= 501
= 1 290
= 137
= 758
Conclusions
Décision 1 : Au départ, faire une usine moyenne
Si la première année la conjoncture est favorable
Sinon
Décision 2 : Faire l’extension
Décision 3 : Ne pas faire l’extension
L’espérance mathématique de la valeur actuelle nette est de 767 K€.
- 18 -
323- Décision d'investissement en avenir incertain
En avenir incertain, le centre de décision pour valoriser le résultat des actions n'a pas la possibilité :
de tenir compte de l'expérience tirée du passé (extrapolation impossible),
de procéder à une expérimentation (marché test),
d'affecter une probabilité aux différents résultats possibles.
Les critères de choix sont subjectifs et fonction du degré d'optimiste qui guide le comportement du décideur.
Prenons un exemple pour mieux appréhender ces critères de décision.
EXEMPLE
Soit la matrice donnant les valeurs actuelles nettes de 4 stratégies possibles selon 4 états de la nature susceptibles de
survenir.
États de la nature
Stratégies
S1
S2
S3
S4
N2
N3
N4
5 000
3 000
6 000
5 500
4 000
5 500
3 500
4 500
2 500
2 000
4 000
2 000
6 000
3 500
4 500
1 500
a- Critères extrêmes
a1- Critère optimiste : MAXIMAX (maximum des maximums)
Le principe de ce critère est de choisir la stratégie susceptible de rapporter le gain maximum. Ce critère néglige totalement le risque, pour ne retenir que l'aptitude d'une stratégie à réaliser un gain élevé. Il correspond à un comportement offensif, optimiste et risqué.
EXEMPLE :
États de la nature
Stratégies
S1
S2
S3
Christian ZAMBOTTO
N1
S4
Maximum
Maximax
Choix
6 000
5 500
6 000
5 500
6000
S1
ou
S3
6 000
a2- Critère pessimiste de Wald : MAXIMIN (maximum des minimums)
On considère l'environnement systématiquement hostile (réaction de la concurrence). On cherche à assurer un
résultat minimum en évitant les risques les plus importants.
Pour chaque décision, on retient le résultat le plus faible. La stratégie sélectionnée est celle qui fournit le résultat
le plus élevé parmi ces minimums.
EXEMPLE :
États de la nature
Stratégies
S1
S2
S3
S4
Minimum
2 500
2 000
3 500
1 500
Maximin
Choix
3 500
S3
b- Critères Intermédiaires
b1- Critère de LAPLACE-BAYES - PrIncipe de la raison insuffisante
S'il n'y a aucune raison de croire que tel état de la nature a plus de chance de se réaliser que tel autre, alors les
évènements peuvent être jugés équiprobables.
On calcule la moyenne arithmétique simple de chaque décision pour retenir la stratégie correspondant au résultat
le plus élevé. Ce critère de décision ne prend pas en compte le risque (même résultat que si l'on calcule l'espérance mathématique).
- 19 -
EXEMPLE :
États de la nature
Stratégies
S1
Moyenne
4 375
3 500
4 500
3 375
S2
S3
S4
Maximum
Choix
4 500
S3
b2- CrItère de HURWICZ - Utilisation d’un Indice d’optimisme
Ce critère est intermédiaire entre le Maximax et le Maximin. Chaque décision est repérée par son meilleur résultat
« M » et son plus mauvais « m ». On calcule alors :
H = a .M + (1-a) . m avec « a » compris entre 0 et 1. Cet indice est fonction du degré d'optimisme du décideur.
Pour l'ensemble des actions, on sélectionne alors celle qui engendre la plus grande valeur.
Ce critère est souvent contesté. Le choix de "a" est arbitraire. De plus, seules les valeurs extrêmes sont prises en
compte. Ne sont-elles pas les plus improbables ?
EXEMPLE : avec a = 0,7
États de la nature
Stratégies
S1
Minimum
m
Maximum
M
0,7 x M
+ 0,3 x m
2 500
2 000
3 500
1 500
6 000
5 500
6 000
5 500
4 950
4 450
5 250
4 300
S2
S3
S4
Maximum
Choix
5 250
S3
Christian ZAMBOTTO
Que devient la méthode si :
-
a =1 ?
Maximax
-
a=0?
Maximin
b3- Critère de SAVAGE : critère des regrets
Ce critère privilégie la prudence. Si l'on disposait d'une connaissance parfaite de l'état de la nature qui va se
réaliser, on retiendrait alors la stratégie donnant le résultat le plus élevé. On calcule le manque à gagner entre
cette valeur et la valeur correspondant à la stratégie choisie si cet état de la nature survient. Une matrice des
manques à gagner est réalisée. La décision à retenir est celle pour laquelle le regret maximal est le plus faible. Il
s'agit du minimax des regrets.
EXEMPLE
États de la nature
Stratégie optimale
Résultat maximum
N1
N2
N3
N4
S3
6 000
S2
5 500
S3
4 000
S1
6 000
Matrice des manques à gagner
États de la
nature
Stratégies
S1
S2
S3
S4
N1
N2
N3
N4
Maximum
1 000
3 000
0
500
1 500
0
2 000
1 000
1 500
2 000
0
2 000
0
2 500
1 500
4 500
1 500
3 000
2 000
4 500
Minimax
Choix
1 500
S1
- 20 -
4- Le coût des sources de financement
Le financement d'un investissement est réalisé par des ressources propres d'origine interne (autofinancement) ou
externe (augmentation de capital) ou par des dettes financières.
Ces ressources doivent être rémunérées. Le calcul du coût du financement est classique pour les emprunts, il est
plus délicat pour le crédit-bail et les fonds propres.
Christian ZAMBOTTO
Le financement d'un projet est la plupart du temps réalisé par combinaison de plusieurs ressources. Le coût du
financement global repose sur la notion de coût moyen pondéré du capital.
41- Coût moyen pondéré du capital (CMP)
Lorsque l’entreprise a recours à plusieurs sources de financement, le coût moyen du financement dépend du coût
de chacune des ressources.
CMP = Cfp ×
Cfp
Cd
D
CP
CP
D
+ Cd ×
D + CP
D + CP
Coût des fonds propres ou taux de rentabilité requis par les actionnaires
Coût de la dette financière après impôt
Valeur de marché des dettes financières
Valeur de marché (boursière par exemple) des fonds propres
Le CMP doit être calculé à partir des valeurs de marché qui représentent le capital investi à un instant donné et
non à partir des valeurs comptables.
Le CMP n’est valide qu’à la condition que la structure de financement soit stable.
EXEMPLE
Les ressources d’une société sont constituées de 1 000 000 actions cotées 650 euros et de 200 000 obligations
remboursables à 1 000 euros, cotées 1 100 euros (Taux d’intérêt orientés à la baisse).
Le coût des fonds propres est de 15% et le coût de la dette après impôt de 5%.
Valeur de marché des capitaux propres :
650 millions d’euros.
Valeur de marché de la dette :
220 millions d’euros.
CMP : 15% x 650/(650+220) + 5% x 220/(650+220) = 12,47%
42- Coût des dettes financières
Le coût d’une dette financière correspond au taux de revient après impôt de cette ressource. Le taux de revient
est le taux qui égalise la somme prêtée à la valeur actuelle des paiements ou, en raisonnant sur les flux nets de
trésorerie, le taux tel que la valeur actuelle des flux de trésorerie soit nulle.
421- Coût des emprunts
Pour un emprunt à taux fixe, ne comportant d’autre charge que l’intérêt, l’intérêt étant versé à terme échu, le
coût de l’emprunt correspond au taux d’intérêt après impôt soit :
Coût de l’emprunt = taux d’intérêt x (1 - taux d’impôt sur les bénéfices)
Dans les cas plus complexes, le calcul du taux de revient passe par la détermination des flux prévisionnels de
trésorerie.
EXEMPLE
Une société émet début (n) un emprunt obligataire au taux de 5% composé de 10 000 obligations de nominal
1 000 euros.
Ces obligations sont émises au pair et remboursables in fine à 1 010 euros fin (n+4).
Les frais d'émission de l’emprunt de 100 000 euros constituent des charges de l’exercice (n).
Les frais annuels de service de la dette s’élèvent à 10.000 euros.
Le taux d'impôt retenu est de 33 1/3% et l’entreprise est bénéficiaire.
Calculer le coût de cet emprunt.
Calculons l’influence de l’impôt sur les bénéfices sur ce financement.
Calcul des économies d'impôt sur charges
21
Périodes
Charges financières
(1)
Frais d'émission
Frais annuels de gestion
Amortissement des primes
de remboursement
(2)
Total des charges fiscales
(a)
Economies d'impôt
(a) x 33 1/3%
(n)
(n+1)
(n+2)
(n+3)
(n+4)
500 000
100 000
10 000
500 000
500 000
500 000
500 000
10 000
10 000
10 000
10 000
20 000
630 000
210 000
20 000
530 000
176 667
20 000
530 000
176 667
20 000
530 000
176 667
20 000
530 000
176 667
(1) 10 000 x 1 000 x 5% = 500 000
(2) amortissement de la prime au prorata des intérêts courus ou linéairement sur 5 ans
Les flux prévisionnels de trésorerie sont les suivants :
Tableau des flux de financement
Périodes
Début (n)
(n)
(n+1)
Emprunt
Remboursement
d'emprunt
(1)
(3)
(n+3)
(n+4)
-500 000
-500 000
-500 000
-10 100 000
-500 000
-500 000
-10 000
210 000
-300 000
-10 000
176 667
-333 333
-10 000
176 667
-333 333
-10 000
-10 000
176 667
176 667
-333 333 -10 433 333
(2)
Coupon annuel
Frais d'émission
(n+2)
10 000 000
-100 000
Frais de gestion
Economies d'impôts
9 900 000
(1) Emission au pair, c'est-à-dire à la valeur nominale
(2) Remboursement au prix de remboursement
(3) Les frais d'émission sont décaissés début (n), le gain d'impôt n'intervient que fin (n).
Christian ZAMBOTTO
Le coût de l’emprunt est donné par l’équation :
9 900 000 – 300 000 x (1+t)-1 – 333 333 x (1+t)-2 – 333 333 x (1+t)-3 – 333 333 x
(1+t)-4 – 10 433 333 x (1+t)-5 = 0
d’où t = 3,6702%
422- Coût du crédit-bail
La difficulté de calcul du coût d’un financement par crédit-bail provient de la nécessité de ne retenir que les flux
de financement. Or, dans un contrat de crédit-bail, les flux d’investissement et de financement ne sont pas distincts. La société de crédit-bail met directement l’immobilisation à disposition de l’entreprise sans provoquer de
mouvements de trésorerie (encaissement du financement, paiement de l’immobilisation) comme pour un emprunt
par exemple.
Pour assurer la comparabilité des différentes sources de financement, le crédit-bail est analysé, comme lors
du diagnostic financier, en une acquisition d’immobilisation doublée d’un emprunt, l’option d’achat étant
levée.
Appelons
P
montant du projet d'investissement financé par crédit-bail,
L
montant du loyer,
t
taux anticipé d'impôt sur les bénéfices,
A
amortissement économique pratiqué en cas d'acquisition.
Le montant du projet (- P) est rattaché aux opérations d'investissement et son financement (+ P) est rattaché au cycle de financement permettant la prise de décision séparée ; le décaissement total (- P + P) reste nul.
Le loyer est assimilé à une annuité de remboursement d'emprunt : amortissement du capital emprunté et
charge financière.
L'économie d'impôt sur le loyer est retraitée en économie d'impôt sur amortissement rattachée au cycle
d'investissement et en économie d'impôt sur charge d'intérêt rattachée au cycle de financement.
Rentabilité
économique
- P
+A.t
Opérations d'investissement
Acquisition de l'immobilisation
Economie d'impôt sur amortissement
Quelle que soit
la modalité
de financement
22
Opérations de financement
Financement par un emprunt à 100%
Loyer assimilé à une annuité d'emprunt
(remboursement du capital + intérêt
+P
- L
Coût du
crédit-bail
+L.t
- A.t
+L.t-A.t=
(L - A) . t soit économie
d'impôt sur charge d'intérêt
Economie d'impôt sur loyer
Perte d'économie d'impôt sur
amortissement
EXEMPLE
Soit un contrat de crédit-bail portant sur un matériel, valeur à neuf 100 000 HT, amortissable en linéaire sur 5 ans.
Ce contrat est conclu début (n) pour 3 ans moyennant le versement de 3 loyers annuels payables d'avance de
35 000 chacun.
Un dépôt initial de garantie de 5 000 couvrant l'option d'achat est demandé.
Ce matériel devant être utilisé durant 2 années supplémentaires, l'option d'achat sera levée.
Au terme des 5 ans, la valeur de revente sera d'environ 3 000.
Le taux d'impôt retenu est de 33 1/3 % et l'entreprise est bénéficiaire.
Le dépôt de garantie est enregistré par l'entreprise au compte « 275 Dépôts et cautionnements » c'est -à-dire en
compte d'immobilisation et non en compte de charge.
Calcul des pertes d'économie d'impôts sur amortissements
Périodes
(n)
(n+1)
(n+2)
Amortissements économiques
(1)
Amortissements pratiqués
(2)
Perte d'amortissement
(3) = (1) - (2)
Perte d'économie d'impôt
(4)=(3) x 33 1/3%
Périodes
20 000
20 000
20 000
20 000
6 667
20 000
6 667
20 000
6 667
Flux de trésorerie réels du contrat de crédit-bail
Début (n)
(n)
(n+1)
(n+2)
-5 000
Dépôt de garantie
-35 000
Christian ZAMBOTTO
-35 000
11 667
-35 000
11 667
-40 000
-23 333
-23 333
11 667
Séparation des flux en flux économiques et flux de financement
Flux économiques (pour mémoire)
Périodes
Début (n)
(n)
(n+1)
(n+2)
20 000
2 500
17 500
5 833
(n+3)
(n+4)
833
833
(n+3)
833
833
(n+4)
-100 000
Acquisition du matériel
Economie d'impôt sur amort. (*)
Flux économiques
(A)
(*) Elément de la CAF d'exploitation
-100 000
6 667
6 667
6 667
6 667
Flux de financement
Début (n)
(n)
(n+1)
Périodes
100 000
-5 000
Mise à disposition du matériel
Dépôt de garantie
-35 000
Loyers
Perte d'économie d'impôt /
amortissements
(B)
60 000
6 667
6 667
(n+2)
6 667
6 667
6 667
6 667
(n+3)
(n+4)
5 000
-5 000
Valeur de rachat du contrat
Flux de financement
20 000
2 500
17 500
5 833
11 667
Economie d'impôt sur amortissement
(n+4)
5 000
-5 000
Valeur de rachat du contrat
Loyers
(n+3)
-35 000
11 667
-35 000
11 667
11 667
-6 667
-30 000
-6 667
-30 000
-6 667
5 000
-5 833
-5 833
-5 833
-5 833
-23 333
11 667
834
834
Contrôle
Flux totaux (1) + (2)
(A)+(B)
-40 000
-23 333
23
Le coût du crédit-bail est donné par l'équation :
60 000 – 30 000 x (1+r)-1 – 30 000 x (1+r)-2 + 5 000 x (1+r)-3 – 5 833 x (1+r)-4
– 5 833 x (1+r)-5 = 0
d’où r = 5,7902%
Sachant que l’entreprise peut également se financer par un emprunt dont le coût a été calculé précédemment,
calculer la valeur actuelle nette du crédit-bail à ce taux et conclure.
Soit t le taux de l’emprunt de 3,6702%
La VAN du crédit bail est de :
60 000 – 30 000 x (1+t)-1 – 30 000 x (1+t)-2 + 5 000 x (1+t)-3 – 5 833 x (1+t)-4
– 5 833 x (1+t)-5 = - 2 285
La VAN est négative ; le coût de l’emprunt est inférieur au coût du crédit-bail.
43- Coût des fonds propres
Les actionnaires recherchent une rémunération, soit sous forme de dividendes, soit sous forme d’augmentation
de la valeur de leurs titres.
431- Modèles d’évaluation basés sur les dividendes
A- Modèle d’évaluation à dividendes constants
L’entreprise qui procède à une augmentation de capital s’engage à fournir à ses actionnaires une rémunération
sous forme de dividendes et ce jusqu’à sa disparition. Supposons une stabilité du dividende dans le temps.
Soient V, la valeur de l’entreprise, estimée par son cours boursier par exemple, D, les dividendes distribués.
V correspond à la valeur actuelle des dividendes actualisés au taux de rémunération i exigé des actionnaires.
1 − (1 + i)−n
D
Si n → +∞ , alors (1 + i)−n → 0 et V →
i
i
D
Le coût des fonds propres est donc égal à i =
V
Christian ZAMBOTTO
Nous pouvons écrire : V = D ×
EXEMPLE : Le cours moyen de bourse des derniers mois d’une société est de 550 euros, le dividende du dernier
exercice de 30 euros.
Coût des fonds propres : 30 / 550 = 5,45%.
B- Modèle de Gordon Shapiro à dividendes croissants
Supposons une croissance régulière du dividende au taux g, g étant inférieur au coût des fonds propres i. Nous
avons : V = D × (1 + i)−1 + D × (1 + g) × (1 + i)−2 + D × (1 + g)2 × (1 + i)−3 + ... + D × (1 + g)n−1 × (1 + i)−n
V = D × (1 + i)−1 ×
(1 + i)−n × (1 + g)n − 1 = D × (1 + i)−n × (1 + g)n − 1
g−i
(1 + i)−1 × (1 + g) − 1
Si n → +∞ , avec g < i , V →
D
i−g
Le coût des fonds propres est donc égal à
i=
D
+g
V
EXEMPLE : Le cours moyen de bourse d’une société est de 700 euros, le futur dividende de 30 euros, le taux de
croissance espéré des dividendes de 2%.
Coût des fonds propres : 30 / 700 + 2% = 6,29%.
Le taux de croissance des dividendes g est fonction du taux de rétention des bénéfices b et du taux de rentabilité
des capitaux propres investis r :
Taux de rétention
b = mise en réserves / bénéfices = 1 – (dividendes / bénéfices)
Taux de rentabilité des capitaux propres investis
r = bénéfices / capitaux propres investis
Le taux de croissance annuel de l’entreprise et donc des dividendes est de :
g = r . b = B/CP x (1- D)/B = (1-D)/CP = Mise en réserves */ CP = Investissement */CP
* les réserves sont supposées réinvesties
24
EXEMPLE : Une entreprise dispose d’un bénéfice B0 de 100 pour des capitaux propres investis CP0 de 1 000.
Le dividende versé en période 1 correspond à 60% du bénéfice B0.
Calculer r et b.
Taux de rentabilité des capitaux investis
r = 100 / 1 000 = 10%
b = 1 – 60% = 40%
Taux de rétention des bénéfices
Calculer le taux de croissance des dividendes.
g = r . b = 10% . 40% = 4%
Vérification : CP1 = CP0 + mise en réserves = 1 000 + 40%.100 = 1 040
Si le taux de rentabilité des capitaux investis r est de 10% => B1 = 1 040 . 10% = 104
Le dividende sera D1 = 104 . 60% = 62,40
Le taux de croissance des dividendes g est bien de : (62,40 – 60) / 60 = 4%.
En déduire le taux de rentabilité requis par les actionnaires sachant que la valeur boursière de cette entreprise est de 1 500.
i = 60/ 1 500 + 4% = 8%
Coût des fonds propres :
432- Bénéfice par action et taux de capitalisation des capitaux propres
Sur les marchés financiers, on utilise souvent le Price Earning Ratio (PER) pour juger de l'évaluation d'un titre :
PER = Cours du titre / Bénéfice par action
L'inverse de ce ratio est appelé Earning Price Ratio ou coefficient de capitalisation des bénéfices (CCB)
CCB = Bénéfice par action / Cours du titre
Ce modèle ne permet en réalité qu'exceptionnellement de définir le coût des fonds propres.
Ce modèle retient les hypothèses suivantes :
le bénéfice est entièrement distribué, c'est-à-dire une croissance zéro par autofinancement,
le bénéfice B0 est constant dans le temps.
∞
Nous obtenons : P0 =
∑ B × (1+ i')
0
−t
d’où P0 =
Christian ZAMBOTTO
t =1
avec
B0
i’
P0
B0
i'
et
i' =
B0
P0
Bénéfice par action
Coefficient de capitalisation des bénéfices
Valeur du titre
Sous cette condition de distribution de la totalité du bénéfice, nous pouvons écrire :
D0 B0
P0 =
=
or
D0 = P0 d' où i = i'
i
i'
Rejetons maintenant cette hypothèse peu vraisemblable de distribution totale du bénéfice et raisonnons à partir d'un exemple.
Soient 3 entreprises A, B, C ayant même activité, même endettement et donc même classe de risque. A priori, le taux de capitalisation des revenus, significatif du taux de rentabilité requis est le même i =15%.
Les 3 entreprises ont le même bénéfice B0. = 100 mais des opportunités anticipées de croissance très différentes.
Entreprise A
L'entreprise A distribue 100% de son bénéfice. Elle ne connaît aucune croissance autofinancée.
Sa valeur de marché est de : P0 = D0/i = 100 / 0,15 = 666,67
Or B0 = D0 ce qui permet de calculer le taux de capitalisation des bénéfices i’ :
P0 = B0 / i' => i' = B0 / P0 = 100 / 666,67 = 15%
Conclusion : le modèle de capitalisation des bénéfices donne le même résultat que le modèle de capitalisation des dividendes.
Entreprise B
Des opportunités exceptionnelles de croissances sont envisagées.
Le taux de rétention des bénéfices est de : b = 50%. Le taux de rentabilité des capitaux propres réinvestis est de r = 20%.
Son taux de croissance des dividendes est de : g = r . b = 20% . 50% = 10%
En utilisant le modèle de Gordon Shapiro, nous obtenons :
P0 = D0 / (i - g) = 50 / (0,15 - 0,10) = 1 000
Supposons que cette valeur soit bien observée sur le marché. L'application du modèle de capitalisation des bénéfices donne un
taux de capitalisation :
i’= B0 / P0 = 100 / 1 000 = 10%
Ce taux observé ne correspond pas au taux de rentabilité requis par les actionnaires de B : i = 15%.
Il faut tenir compte des opportunités de croissance. Vérifions.
Année 1 : l'entreprise investit 50 avec un taux de rentabilité de 20%
25
La valeur actuelle nette de cet investissement au taux requis de 15% est égale à :
VAN1 = - 50 + 10/0,15 = 16,67
Le bénéfice de l'année 1 est égal à B1 = B0 + 10 = 110.
Année 2 : l'entreprise investit 50% du bénéfice soit 55. Selon le même principe, elle obtient un valeur actuelle nette de :
VAN2 = - 55 + 20%.55 / 0,15 = -55 + 73,33 = 18,33
On peut vérifier que :
VAN2 = VAN1 . (1 + r . b) = VAN1 . (1 + g) = 16,67 . (1,10) = 18,33
En généralisant, la somme des VAN des projets anticipés actualisées donne la valeur actuelle des opportunités de croissance
notée VAOC :
-1
-2
-3
VAOC = VAN1 . (1 + i) + VAN2 . (1 + i) + VAN3 . (1 + i) +…
-1
-2
2
-3
VAOC = VAN1 . (1 + i) + VAN1 . (1 + g) . (1 +i) + VAN1 . (1 + g) . (1 + i) +…
Si g < i, nous obtenons :
VAOC = VAN1 / (i - g) = 16,67 / (0,15 - 0,10) = 333,33
La valeur du titre B est égale à :
P0 = B0 / i + VAOC = 100 / 0,15 + 333,33 = 1 000
En supposant que l'action cote effectivement P0, comment retrouver i, le taux de rentabilité requis par
le marché à partir de i’, taux de capitalisation des bénéfices observé ?
B0
B0
B0
P0
P0
= P0 − VAOC ⇒ i =
=
×
= i'×
i
P0 − VAOC P0 P0 − VAOC
P0 − VAOC
Vérifions sur notre exemple :
i = 10%. 1 000 / 666, 67 = 15%
Entreprise C
Cette entreprise réinvestit 50% de ses bénéfices à un taux r = 15%.
Nous avons g = r . b = 15% . 50% = 7,5%
VAN1 = - 50 + 15% . 50 / 0,15 = 0 d'où VAOC = 0
La valeur du titre C est égale à :
P0 = B0 / i + VAOC = 100 / 0,15 + 0 = 666,67
i= i’
Christian ZAMBOTTO
Conclusion : la valeur des capitaux propres est différente de la valeur de capitalisation des bénéfices si le bénéfice
non distribué est réinvesti à un taux différent du taux de rentabilité requis par le marché.
si
r>i
VAOC > 0
P0 > B0 / i
si
r<i
VAOC < 0
P0 < B0 / i
433- Les apports de la théorie des marchés financiers
Le calcul du coût des fonds propres fait référence à la notion de valeur de l’entreprise. Pour établir cette relation, appelons :
• Vn = CPn, la valeur d’une entreprise non endettée, limitée à la valeur de ses capitaux propres,
• Ve = CPe + De, la valeur d’une entreprise endettée constituée de la somme de la valeur de ses fonds propres et de ses dettes.
On démontre que la valeur de l’entreprise endettée Ve peut s’exprimer en fonction de la valeur de l’entreprise non
endettée Vn ayant la même structure d’actifs :
Ve = Vn + De x t
avec t : taux d’impôt sur les bénéfices
Vérifions cette relation par l’exemple.
Deux entreprises, N non endettée et E endettée sécrètent un flux économique annuel avant impôt constant et
perpétuel de FT = 1 000.
Le taux d’impôt sur les bénéfices est de t = 33 1/3%.
L’entreprise E a contracté un emprunt perpétuel de 4 000 au taux i = 4%.
Calculons la rémunération annuelle des apporteurs de ressources et de l’Etat.
Rémunération
Actionnaires
Prêteurs
Rémunération totale
des ressources
Etat
N
FT x (1 - t)
E
E-N
(FT - i x De) x (1 - t)
1 000 x 2/3 =
667 (1 000 - 0,04 x 4 000) x 2/3 =
0 i x De = 0,04 x 4 000 =
560
160
FT x (1 - t) =
FT x t =
667 FT x (1 - t) + i x De x t =
333 (FT - i x De) x t =
720 i x De x t =
280 - i x De x t =
53
-53
L’entreprise E rémunère mieux ses sources de financement en bénéficiant d’une minoration d’impôt. Actualisons
ce gain annuel (i x De x t), supposé se reproduire à l’infini au taux sans risque i :
26
1 − (1 + i)−∞ i x De x t
=
= De x t ce qui correspond au gain de valeur de l’entreprise E par rapport à
i
i
l’entreprise N : Ve – Vn = De x t.
i × De × t ×
Christian ZAMBOTTO
La valeur des capitaux propres CPn et CPe des entreprises N et E s’obtient en actualisant à l’infini la rémunération annuelle des actionnaires au coût des fonds propres Cfpn et Cfpe.
FT × (1 − t )
(FT - i × De) × (1 − t )
CPn =
et CPe =
Cfpn
Cfpe
Le coût des fonds propres est donc égal à :
FT × (1 − t ) FT × (1 − t )
(FT - i × De) × (1 − t )
et Cfpe =
Cfpn =
=
CPn
Vn
CPe
Exprimons le coût des fonds propres de l’entreprise endettée E en fonction du coût des fonds propres de
l’entreprise non endettée N.
(FT - i × De) × (1 − t ) FT × (1 − t ) Vn i × De × (1 − t ) FT × (1 − t ) Vn i × De × (1 − t )
=
×
−
=
×
−
Cfpe =
CPe
CPe
Vn
CPe
Vn
CPe
CPe
Or : Ve = Vn + De x t
Vn i × De × (1 − t )
= Cfpn ×
−
CPe
CPe
et
Ve = CPe + De d’où
Vn = CPe + De x (1 - t)
En remplaçant Vn dans Cfpe :
CPe + De × (1 − t ) i × De × (1 − t )
Cfpe = Cfpn ×
−
CPe
CPe
Après simplification :
Cfpe = Cfpn + (Cfpn - i) × (1 − t ) ×
De
CPe
Le coût des fonds propres de l’entreprise endettée s’accroît avec l’endettement ; une prime de risque est
demandée par les actionnaires.
On en déduit une relation entre le CMP de l’entreprise endettée et celui de l’entreprise non endettée.
CPe
De
CMPe = Cfpe ×
+ i× (1 − t )×
De + CPe
De + CPe
De ⎤
CPe
De
⎡
= ⎢Cfpn + (Cpfn − i) × (1 − t ) ×
⎥ × De + CPe + i× (1 − t ) × De + CPe
CPe
⎣
⎦
De
⎛
⎞
⎟
Or CMPn = Cfpn, après simplification, on obtient : CMPe = CMPn × ⎜1 − t ×
De + CPe ⎠
⎝
Le coût moyen pondéré du capital de l’entreprise endettée baisse avec le niveau d’endettement.
L’économie enregistrée liée à la déductibilité des intérêts fait plus que compenser le supplément de rentabilité
requis par les actionnaires de l’entreprise endettée.
L’utilisation de l’équation du modèle d’équilibre financier (MEDAF) permet de reformuler le coût des capitaux
propres.
Le coût des fonds propres d’une entreprise cotée s’exprime en fonction de la rentabilité de l’actif sans risque
(obligation d’Etat par exemple), de la rentabilité du marché et du coefficient de sensibilité de la rentabilité de
l’action à la rentabilité du marché.
E(Rj) = Rf +βj x [E(Rm) – Rf) avec
E(Rj)
Espérance de rentabilité du titre j ou coût des fonds propres de l’entreprise j
E(Rm) Espérance de rentabilité du marché
Rf
Coût de l’actif sans risque
βj
= Covariance (Rj,Rm) / Variance(Rm)
Coefficient de sensibilité du rendement du titre j à la variation de la rentabilité du marché
Posons cette équation pour nos entreprises N et E.
n
Entreprise N non endettée
E(Rn) = Rf +βn x [E(Rm) – Rf]
Entreprise E endettée
E(Re) = Rf +βe x [E(Rm) – Rf]
o
E(Rn) correspond à Cfpn et E(Re) à Cfpe.
De
, remplaçons Cfpn par son expression n E(Rn) tirée du
Dans l’équation Cfpe = Cfpn + (Cfpn - i) × (1 − t ) ×
CPe
MEDAF.
De
Cfpe = Rf + β n × (E(Rm) − Rf ) + (Rf + β n × (E(Rm) − Rf ) - i) × (1 − t ) ×
CPe
Posons coût de la dette i = taux sans risque Rf . Nous obtenons :
27
E(Re) =
Rf
+
Taux sans risque
β n × (E(Rm) − Rf )
+ β n × (E(Rm) − Rf ) × (1 − t ) ×
+ prime de risque économique
De
CPe
+ prime de risque financier
p
Christian ZAMBOTTO
Le coût des fonds propres d’une entreprise endettée correspondant au coût de l’actif sans risque augmenté d’une prime de risque économique correspondant à la classe de risque de l’entreprise ou de
l’investissement envisagé et d’une prime de risque financier liée au niveau d’endettement.
De ⎤
⎡
Des équations o et p, on déduit : β e = β n × ⎢1 + (1 − t ) ×
CPe ⎥⎦
⎣
EXEMPLE
Deux entreprises, N non endettée et E endettée, dont les actifs économiques sont identiques sécrètent un flux de
trésorerie économique annuel avant impôt constant et perpétuel de FT= 700.
Le risque systématique de l’entreprise non endettée est βn = 1,25.
Le taux de rentabilité du marché est de 12%, le coût de l’actif sans risque 4% et le taux d’impôt sur les bénéfices
de 33 1/3%.
Le coût des fonds propres de N, égal à son CMP, est de :
E(Rn)= Rf + βn x [E(Rm) - Rf] = 4% + 1,25 x (12% - 4%) = 14%
La valeur de l’entreprise non endettée est égale à la valeur actuelle des flux économiques au taux de 14%, le
nombre de termes étant infini :
Vn = CPn = FT x (1 - t) / E(Rn) = 700 x 2/3 / 0,14 = 3 333
L’entreprise E a eu recours à un emprunt perpétuel de 1 000 au taux sans risque. La valeur de l’entreprise E est
égale à :
Ve = Vn + t x De = 3 333 + 1/3 x 1 000 = 3 666 = CPe + De => CPe = 2 666
Le taux de rentabilité requis par les actionnaires de E est de :
E(Re) = Rf + βn x [E(Rm) - Rf] + βn x [E(Rm) - Rf] x (1 - t) x De/CPe
E(Re) = 4% + 1,25 x (12% - 4%) + 1,25 x (12% - 4%) x 2/3 x 1 000/2 666 = 16,50%
Ou en calculant βe = βn x [1 + (1 - t) x De/Cpe] = 1,25 x (1 + 2/3 x 1 000/2 666 = 1,5625
E(Re) = Rf + βe x [E(Rm) - Rf] = 4% + 1,5625 x (12% - 4%) = 16,50%
Vérifions la valeur des capitaux propres de E en actualisant le flux annuel revenant aux actionnaires au taux de
16,50%, le nombre de termes étant infini :
CPe = (FT – Rf x De) x (1-t) / E(Re) = (700 – 4% x 1 000) x 2/3 / 0,165 = 2 666
Le coût moyen pondéré des sources de financement de E est égal à :
CMPe = E(Re) x CPe / (CPe + De) + Rf x (1 - t) x De / (CPe + De)
= 16.50% x 2 666 / 3 666 + 4% x 2/3 x 1 000 / 3 666 = 12,727%
ou en fonction de CMPn :
CMPe = CMPn x [1 - t x De / (De + CPe)] = 14% x (1 – 1/3 x 1 000 / 3 666) =12,727%
28
5- Synthèse des décisions d’investissement et de financement
La finalité de tout investissement productif est de maximiser la valeur de l’entreprise, c’est-à-dire la rentabilité des fonds propres.
51- La démarche
Christian ZAMBOTTO
Plusieurs méthodes, résumées ci-dessous, permettent d’évaluer la rentabilité globale d’un projet.
Séparation des flux de trésorerie du projet en :
- flux économiques (flux d’investissement + flux d’exploitation)
- flux de financement étranger (emprunt, crédit-bail)
FE
FF
Calcul du coût des fonds propres compte tenu du seul risque économique du projet
(coût des fonds propres en l’absence d’endettement)
Cfpn
Calcul du coût des sources de financement étranger
CSF (FF)
Ajustement du coût des fonds propres :
prise en compte de la prime de risque financier
Calcul du coût moyen
pondéré du capital
CMP(Cfpe, CSF)
Valeur actuelle
nette des flux
économiques
actualisés au
CMP
VAN(FE,CMP)
Cfpe
Flux nets totaux
FN= FE + FF
Taux interne
de rentabilité
économique
Valeur actuelle
nette des flux
nets actualisés
au coût des
fonds propres
Taux
de
rentabilité
financière
TIRE(FE)
VAN(FN, Cfpe)
TRF(FN)
Valeur actuelle nette de base des flux
économiques actualisés au coût des
fonds propres compte tenu du seul
risque économique :
VAN de base (FE, Cfpn)
Valeur actuelle nette des flux de
financement étranger au coût normal de
la dette : VAN (FF)
VAN ajustée =
VAN de base +
VAN du financement
Le projet d’investissement et son financement sont acceptables si :
VAN(FE,CMP)
TIRE(FE)
>0
> CMP
Les flux économiques permettent
de rémunérer les sources
de financement
VAN(FN,Cfpe)
TRF(FN)
>0
>Cfpe
Les flux nets permettent
de rémunérer les
fonds propres
VAN ajustée
>0
Le projet accroît
la valeur de
l’entreprise
52- Mise en œuvre des diverses méthodes
Raisonnons à partir d’un exemple.
La société GRILLET projette un investissement d’un montant de 1000 et d’une durée de vie économique de 5
ans.
Les flux économiques après impôt du projet sont les suivants :
Flux économiques
-1 000
220
250
250
280
300
TIRE
8,95%
Le taux d’impôt sur les bénéfices retenu est de 33 1/3%.
Trois solutions de financemement sont étudiées :
Solution 1 : financement à 100% par fonds propres. Compte tenu du risque économique du projet, les
actionnaires exigent une rémunération de 9%.
Solution 2 : financement à 70% par fonds propres et 30% par un emprunt remboursable dans 5 ans in fine
au taux de 6% avant impôt. Ce taux correspond au coût normal de la dette de l’entreprise.
Les flux de trésorerie attachés à l’emprunt sont les suivants :
29
Périodes
Flux de capital
0
1
Christian ZAMBOTTO
Taux de revient
3
4
300
4,00%
-12
-12
-12
-12
-12
-12
Solution 3 : financement par crédit-bail
Les flux de financement attachés au contrat de crédit-bail sont les suivants :
Périodes
0
1
2
3
Matériel
Loyers de crédit-bail
1 000
-260
-260
-260
-260
20
-240
20
-240
20
-240
Levée option d'achat
Incidence de l'impôt
Flux de financement
Taux de revient
5
300
Intérêts nets d'impôt
Flux de financement
2
740
5,33%
-12
-12
4
-300
-12
-312
5
-100
20
-80
-33
-33
Le montant de l’investissement est de 1 000. Le crédit-bail finance 740 ; le solde de 260 est financé par fonds
propres.
Remarque : il n’est pas possible de comparer directement les solutions 2 et 3 sur le seul critère du taux de
revient. L’emprunt est certe moins coûteux, mais il ne finance que 30% de l’investissement contrairement au
crédit-bail qui finance 74%. Si le bras de levier (Cfpn –i) joue à l’avantage du crédit le moins coûteux, le bras de
levier (De/CPe) joue à l’avantage du crédit-bail. Les méthodes que nous allons mettre en œuvre doivent
permettre de lever ce dilemme.
521- Méthodes basées sur les flux économiques
5211- Ajustement du coût des propres au niveau de l’endettement
Le coût des fonds propres est majoré de la prime de risque financier liée au niveau d’’endettement.
De
avec :
Cfpe = Cfpn + (Cfpn - i) × (1 − t ) ×
CPe
Cfpn
= 9%
coût des fonds propres compte tenu du seul risque économique
i
= 6%
taux sans risque estimé par le coût normal de la dette
De et CPe
valeurs de marché de la dette et des capitaux propres. Par simplification, retenons les valeurs
comptables initiales pour De et CPe.
Le coût des fonds propres est donc égal à :
Solution Dette D Capitaux propres CP
Coût des fonds propres
1
0
1 000
Cfpn = 9%
2
300
700
Cfpe = 9%
3
740
260
+ (9% - 6%) x 2/3 x 300 / 700 = 9,86%
Cfpe = 9% + (9% - 6%) x 2/3 x 740 / 260 = 14,69%
5212- Calcul du CMP et de la VAN des flux économiques
Le coût moyen pondéré se déduit du coût des sources de financement et permet de calculer la valeur actuelle
nette des flux économiques actualisés à ce taux.
Solution
Coût moyen pondéré du capital
VAN(FE,CMP)
1
2
3
9,00%
9,86% x 700 / 1 000
14,69% x 260 / 1 000
+ 4% x
300 / 1 000 = 8,10%
+ 5,33% x 740 / 1 000 = 7,76%
-1
24
33
5213- Prise de décision
¾ Sur le critère de la VAN des flux économiques
le financement à 100% par fonds propres doit être rejeté : VAN < 0,
le financement par crédit-bail maximise la valeur créée : VAN = 33
¾ Sur le critère du taux interne de rentabilité économique
Comparons le TIRE de 8,95% au CMP. Les conclusions sont identiques :
le financement à 100% par fonds propres doit être rejeté : TIRE < CMP,
le CMP le plus faible est celui faisant intervenir le financement par crédit-bail.
30
En conclusion, le projet doit être adopté et financé par crédit-bail.
522- Méthodes basées sur les flux nets
5221- Calcul des flux nets de trésorerie et des taux de rentabilité financière
Les flux nets de trésorerie correspondent à la somme des flux économiques et des flux de financement.
Solution 1
Périodes
0
1
2
3
4
5
Flux économiques
-1 000
220
250
250
280
300
Flux nets
-1 000
220
250
250
280
300
TRF *
8,95%
* Le taux de rentabilité financière (TRF) est le taux tel que la valeur actuelle des flux nets revenant aux actionnaires est nulle. Dans la solution 1, le taux est identique au taux interne de rentabilité économique, l’investissement
étant financé à 100% par fonds propres.
Solution 2
Périodes
Flux économiques
0
-1 000
1
300
-700
12,55%
Flux de financement
Flux nets
TRF
2
3
4
5
220
250
250
280
300
-12
208
-12
238
-12
238
-12
268
-312
-12
Solution 3
Périodes
Flux économiques
Flux de financement
Flux nets
TRF
0
-1 000
740
-260
13,43%
1
2
3
4
5
220
250
250
280
300
-240
-20
-240
10
-240
10
-80
200
-33
267
Christian ZAMBOTTO
5222- Calcul de la VAN des flux nets
La VAN est la somme des flux nets actualisés au coût des fonds propres.
Solution
1
2
3
Coût des fonds
propres
9,00%
9,86%
14,69%
VAN des flux nets
-1
43
-13
Taux de rentabilité
financière
8,95%
12,55%
13,43%
5223- Prise de décision
¾ Sur le critère de la VAN des flux nets
- les financements à 100% par fonds propres et par crédit-bail doivent être rejetés : VAN < 0,
- le financement par emprunt maximise la valeur créée : VAN = 43.
¾ Sur le critère du taux de rentabilité financière
Comparons le taux de rentabilité financière au coût des fonds propres :
- les financements à 100% par fonds propres et par crédit-bail doivent être rejetés : taux de rentabilité financière <
coût des fonds propres
- le taux de rentabilité financière en cas d’emprunt est largement supérieur au coût des fonds propres.
En conclusion, le projet doit être adopté et financé par emprunt.
Ce classement, discordant par rapport aux méthodes basées sur les flux économiques, provient de la
surestimation de la prime de risque financier exigée par les actionnaires en cas de financement par
crédit-bail.
De
:
Dans la relation Cfpe = Cfpn + (Cfpn - i) × (1 − t ) ×
CPe
- le raisonnement en valeurs comptables sous-estime le poids des capitaux propres,
- la structure de financement De/CPe a été considérée comme stable, alors que dans le financement par créditbail De/CPe baisse au cours du temps.
Le calcul de valeur actuelle nette ajustée permet d’éviter ces biais.
31
523- Méthode de la valeur actuelle nette ajustée
Cette méthode, simple à mettre en œuvre, permet de mieux comprendre les deux sources de création de valeur :
gains liés aux flux économiques et gains liés à l’endettement qui permet d’abaisser le CMP.
VAN ajustée
VAN de base
+
VAN du financement
La VAN de base représente la valeur créée par le projet si ce dernier est financé entièrement par capitaux
propres. Elle s’obtient en actualisant les flux économiques au taux requis par les actionnaires, compte tenu du
seul risque économique du projet.
La VAN du financement mesure la valeur créée par la décision de financement. Elle prend en compte
principalement le gain lié à la déductibilité des intérêts, les éventuelles bonifications d’intérêt. Elle consiste à
actualiser les flux de financement au coût normal de la dette de l’entreprise.
Reprenons l’exemple précédent. La VAN de base est de –1
Calculons la VAN du financement en actualisant les flux de financement au coût normal de la dette de 6%.
Solution 2 : financement par emprunt
Périodes
0
Flux de financement
VAN à 6%
1
300
25
2
-12
3
-12
4
-12
5
-12
-312
On peut vérifier que dans ce cas précis, la valeur créée correspond à la valeur actuelle des économies d’impôt
liées à la déductibilité des charges d’intérêt :
300 × 6% × 33 1 / 3% ×
1 − 1,06 −5
= 25
0,06
Solution 3 : financement par crédit-bail
Périodes
0
Flux de financement
VAN à 6%
Christian ZAMBOTTO
=
740
10
1
2
3
-240
-240
-240
4
5
-80
-33
Calculons la VAN ajustée des trois solutions de financement :
VAN de base
Financement intégral par fonds propres
Financement par emprunt
Financement par crédit-bail
-1
-1
-1
VAN du financement VAN ajustée
0
25
10
-1
24
9
Le calcul de la VAN ajustée montre que le financement intégral par fonds propres n’est pas envisageable. C’est
l’effet de levier créé par l’endettement ou le crédit-bail qui permet de satisfaire aux conditions de rentabilité du
projet, l’emprunt étant la meilleure solution.
32

Christian ZAMBOTTO www.decf-finance.fr.st

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