Cours

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SOMMA I RE
1ÈRE
PARTIE
STATIQUE PAR LES MÉTHODES ÉNERGÉTIQUES ;
STABILITÉ DES ÉQUILIBRES
8.1.1
8.1.2
CONDITION NECESSAIRE ET SUFFISANTE D'EQUILIBRE D'UN POINT MATERIEL.
THEOREME DE D'ALEMBERT
568
A. Condition nécessaire d'équilibre
568
B. Condition suffisante de l'équilibre
568
THEOREME DE D'ALEMBERT POUR UN SYSTEME MATERIEL QUELCONQUE (EN STATIQUE)
569
A. Condition nécessaire de l'équilibre
569
B. Condition suffisante de l'équilibre
569
C. Equations d'équilibre
570
1. Paramètres indépendants
2. Paramètres liés par des relations de liaison
8.1.3
570
571
D. Exemples
572
ETUDE DE L'EQUILIBRE ET DE LA STABILITE POUR LES SYSTEMES DE SOLIDES
A FONCTION DE FORCE POUR LES FORCES DONNEES
578
A. Positions d'équilibre
578
B. Stabilité. Théorème de LEJEUNE-DIRICHET
578
1.
2.
3.
4.
Hypothèses générales d'application
Démonstration du théorème dans le cas de deux paramètres
Démonstration du théorème dans le cas de n paramètres
Remarques
C. Etude pratique de l'équilibre et de la stabilité lorsqu'il y a
fonction de force
1. Système à 1 paramètre. Exemple
2. Système à 2 paramètres. Exemple
3. Système à n paramètres
© [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés.
579
580
581
582
583
583
589
595
2ëme
PARTIE
ETUDE D E S M O U V E M E N T S V O I S I N S D ' U N E P O S I T I O N
D ' E Q U I L I B R E STABLE
8.2.1. HYPOTHESES DE LA THEORIE DES PETITS MOUVEMENTS
8.2.2. ETUDE DES PETITS MOUVEMENTS A UN PARAMETRE AUTOUR
D'EQUILIBRE STABLE
596
D'UNE POSITION
596
A. Conditions du problème
596
B. Linéarisation de l'équation du mouvement
597
C. Obtention directe de 1*équation linéaire
598
D. Solution de l'équation
599
E. Etude du mouvement
600
F. Exemple
606
G. Cas où les termes du second ordre dans le développement de U
sont aussi nuls
610
8.2.3. SYSTEME A 2 PARAMETRES
612
612
B. Linéarisation des équations du mouvement
614
C. Ecriture directe des équations linéarisées
617
D. Résolution du système différentiel
621
1. Principe de la résolution
2. L'équation caractéristique a deux racines réelles et
positives
3. Détermination des paramètres normaux _
'.'
4. Solution du système. Détermination de q et q^ lorsquTil y
621
a deux valeurs propres distinctes
5. Exemple de résolution : double pendule
6. Cas particulier où l'équation caractéristique a une racine
double
626
628
622
625
635
8.2.4. ETUDE GENERALE DES SYSTEMES A n PARAMETRES
638
A. Condition du problème
638
B. Linéarisation des équations
C. Forme du système différentiel. Principe de la résolution
639
641
D. Rappels et compléments sur la diagonalisation
643
E. Solution du système différentiel
649
F. Cas où il y a des racines multiples
651
8.2.5. EXTENSION DE LA METHODE AUX SYSTEMES A LIAISONS NON HOLONOMES
663
8.2.6. EXTENSION DE LA METHODE A DES SYSTEMES A LIAISONS IMPARFAITES
664
A. Hypothèses
664
B. Stabilité
664
C. Cas de liaisons donnant lieu à fonction de dissipation de
Rayleigh
664
D. Equation des petits mouvements dans le cas d'une fonction
dissipation de Rayleigh
665
E. Résolution - Nature des solutions
666
F. Propriétés remarquables des racines de l'équation caractéristique
668
IÈRE
PARTIE
STATIQUE PAR LES METHODES
ENERGETIQUES
STABILITE
DES
EQUILIBRES
- 568 -
A la suite des théorèmes généraux de la dynamique, nous avions
particularisé l'étude de la statique envisagée comme cas particulier de
la dynamique. Dans ce qui suit, nous allons procéder de façon comparable
avec les méthodes énergétiques et développer un chapitre de statique, cas
particulier de la dynamique par la méthode de LAGRANGE. Nous verrons qu'il
y a une grande analogie dans la démarche. Cependant, les méthodes énergétiques nous apporterons des éléments nouveaux en ce qui concerne la stabilité. Pour étudier la stabilité nous avions du écrire les équations du
mouvement et étudier la stabilité à posteriori. Nous n'avions d'ailleurs
pas pu fournir une justification rigoureuse du procédé. Nous verrons au
contraire que le théorème de. LEJEUNE-DIRICHLET lorsqu'il s'applique permet
d'étudier à priori la stabilité sans avoir à écrire les équations du mouvement.
8.1.1 CONDITION NECESSAIRE ET SUFFISANTE D'EQUILIBRE D'UN POINT MATERIEL. THEOREME
DE D'ALEMBERT
Nous avons vu que la condition nécessaire et suffisante d'équilibre était
dFe + dfi - 0
dFe
dF£
action extérieure agissant sur (P)
action intérieure agissant sur (P)
Posons
dF =
dFe + dF£.
La condition d'équilibre s'écrit
dF =
0
A. Condition nécessaire d'équilibre
Multiplions scalairement les deux membres par la vitesse virtuelle
V*(P) (arbitraire)
dF . V*(P) = 0
Dans une transformation virtuelle quelconque la puissance virtuelle développée par les actions mécaniques agissant sur P est nulle
B. Condition suffisante d'équilibre
Supposons que la puissance virtuelle développée par les actions
mécaniques soit nulle dans une transformation virtuelle quelconque :
dt . $*(P) - 0
.
- 569 -
La seule possibilité pour que cette relation soit toujours vérifiée est
dF
- 0
—*±
~**&
(elle pourrait l'être avec_^ dF ^ 0 pour le seul cas particulier où V (P)
serait perpendiculaire à dF). La condition est donc aussi suffisante.
Pour qu'un point matériel initialement en équilibre reste en équilibre^ il faut et il suffit que la puissance virtuelle développée soit nulle .
dans une transformation virtuelle quelconque.
8.1.2
THEOREME DE D'ALEMBERT POUR UN SYSTEME MATERIEL QUELCONQUE (EN STATIQUE)
Pour un point matériel P nous avons démontré que la condition
nécessaire et suffisante d'équilibre pour qu'un point matériel initialement en équilibre reste en équilibre était
dF^
dFg
dF^
+
dFi
«
0
: force extérieure agissant sur P
: force intérieure agissant sur P
Nous allons établir une condition nécessaire et suffisante (théorème de d'ALEMBERT) qui jouera le même rôle que les théorèmes généraux,
A. Condition nécessaire de l'équilibre
_^jif
Multiplions scalairement par V (P) les deux membres de l'équation vectorielle
dF^ . V*(P) + dF^ . V*(P) - 0
Pour le système matériel on a
dF^.V*(P) +
P€S
dFJ>V (P) =
0
P6S
Cfi
J
(ri
P^r^
ex*
CP
W T
- 0
en désignant
la puissance virtuelle développée par les forces extérieures et par^p. la puissance virtuelle développée par les forces intéu. y in
rieures,
Théorème : la puissance virtuelle développée par toutes les actions mécaniques est nulley quel que soit le champ de vitesse virtuelle.
B. Condition suffisante d'équilibre
Nous allons montrer que la condition est aussi suffisante.
Supposons un système initialement en équilibre avec la condition que dans
toute transformation virtuelle la puissance virtuelle développée par toutes
les actions mécaniques soit négative ou nulle
{?*
= J dle . TCP) +
P€S
| dli . f (P)
P€S
- 570 -
La configuration du système ne peut dépendre du temps. Car s'il en était
ainsi certains éléments du système seraient sûrement en mouvement, ce qui
du même coup rendrait sans objet notre étude.
Le champ de vitesse réelle appartient alors au champ de vitesse
virtuelle. Nous pouvons donc, comme transformation particulière, prendre
V*(P) = ^S(P). Parsuite npiis aurons
tj
= J ^
(puissance réelle)
£pe
or le théorème de l'énergie cinétique nous indique que <J ô =
dTê
-r—
Comme T0 = 0 (équilibre initial), l'énergie cinétique ne peut être que
croissante s'il y a mouvement car elle est toujours positive. On aurait
donc
frdm
<^/
> 0
ce qui est contraire à l'hypothèse
La seule solution est donc que le système reste en équilibre.
Théorème : Pour qu'un système matériel initialement en équilibre reste en
équilibre, il suffit que la puissance virtuelle développée par les actions
mécaniques soit négative ou nulle dans toute transformation virtuelle (trans
formation générale)
C. Equations d 1 équilibre
La puissance virtuelle peut se mettre sous la forme générale
ff*
=
Ql
qi* + ... + Q i q>* + ...
+QnqA*
Qi étant ici la force généralisée dans une transformation virtuelle quelconque avec
Qi -' QiD + Qi(Le) + Qi(Li) + Qic
QiD
correspondant aux actions données
aux
Qi(Le)
liaisons
extérieures
Qi(Li)
aux liaisons intérieures
Q£Q
aux actions de cohésion
Les conditions d'équilibre sont donc
Qi
=
0
Qi
- 0
Qn
- 0
Là encore nous allons retrouver l'intérêt des transformations virtuelles
compatibles
• 1 • Lê£.EâEâî?l£EëË-1Ë2S£»i2^ÉEÊS£lêS£s
Les transformations sont donc toujours compatibles. Les équations d'équilibre sont donc
*
Q. =
0
pour tout i
- 571 -
Nous pouvons envisager un certain nombre de cas particuliers :
* le système.est formé de solides parfaits
Q*
=
0
+ le système est formé de solides parfaits à liaisons parfaites
<£
=
5
°
Q
i(Le) «
°
Les équations d'équilibre sont donc
'
Q.
Qiai) '
=
0
°
pour tout i
Nous envisagerons à part, vu son importance, le cas où les actions
mécaniques données donnent lieu à fonction de force.
2. Lgs^paramètres_sont_lies_gar__des_relations de^liaisons
Supposons que les n paramètres soient liés par les relations
de la forme
fj(qi ••• qi ... qn)
!
=
°
ajiq{ +,..+ ajiq!« +....+
j = 1 ... h
ajûqi*
-
0
j-1... 1
Les vitesses virtuelles compatibles sont définies par
|ËiHq.«+ ...+!£j.qi*
+ ... + JËJ.q'*
aq,.
aq£ HI
aqn Mn
II
ajlq{»
+ ... + -ajiq»* + ... + ajnq]i* =
=
0
0
système qui peut se mettre sous la forme unique
III
{ ajiqj* + ... + ajiq!* + ... + ajnqi« -
0
j. - 1 ... (h+1)
Si l'on prend une transformation virtuelle compatible, la puissance
virtuelle :
/^s
!f* = Q?ql*+ ..- +Q*q{*+ ... -^^qA*
n'est nulle que pour les seules vitesses virtuelles vérifiant le système III.
En utilisant les multiplicateurs nous aurons donc les équations (en procédant
exactement comme pour les équations de LAGRANGE)
m
Q! *
h+1
I
j'«l
X a
j ji
=
£
°
=
* ••- n
Remarque : pour résoudre le problème nous avons n équations de LAGRANGE et
m = h+1 relations de liaisons. Le cas se présente de façon très différente
s'il y a des liaisons non holonomes. S'il y a des liaisons non holonomes
(1
* °}
:
a j i q { + ... +
aji q{
+ ...
+ a jn qi
= 0
Ces relations sont identiquement vérifiées à l'équilibre et nous n'avons en
fait que h relations utilisables. Le problème est alors indéterminé.
On applique à la manivelle (J) un
système d'actions mécaniques dont
le torseur TI est défini par
T
I
(*i - o
\ Sl(o) .^Î0
On applique à la coulisse (2) un
système d'actions mécaniques dont
le torseur 12 est défini par
T
2
-
F*0
JM2(A)
- 0
(*2
< -v
On repère le système par x,,e tel
que
QÎ = X' $„
6
1°/
=
(X0, $1)
Entre_les_2aramètres x, 9 nous avons la relation
x
x
- r cos(9-q)
cos a
u;
2°/ Les vitesses virtuelles compatibles sont définies par
sin(6~a)
cosa
«
+
«
_
3°/ ^s.iîâîsonsêtant_2âï£§Î£ê£> â Puissance virtuelle développée par
Tes seules actions données :
Si (0).ft* + F2 - V^(02) - Q
M 01* + F x f * - 0
(3)
Mais ceci n'est vrai que pour les seules vitesses virtuelles vérifiant la relation (2)
^°/
E2HE-EÉ22HËEÊ» nous pouvons procéder de deux manières
- on réduit au nombre minimum de paramètres, c'est à dire ici à 1 paramètre,
qui est alors indépendant (la liaison est holonome)
de (2) on tire
x'* = -r'^(â) 9'*
(3) s'écrit alors
FM' - F r sin(e~«)] e i* =
\__
COS dj
0
Cette relation doit être vérifiée quelle que soit la vitesse virtuelle
9'*. Donc
.
a)
M - F r Sin(9
cos" a = 0
- 573 -
- on conserve deux paramètres et l'on écrit la compatibilité à l'aide des
multiplicateurs
r
liEtosle'"
+ x'* = o x
cos a
M0f*
+
F xf*
*
0
on obtient les deux équations
/ M + X r
I
sln
vQ""oO
cos a
=
0
( F + X - 0
En éliminant X on retrouve immédiatement la relation entre F et M,
Exemple 2 : on demande de trouver lorsqu'il y a équilibre la relation entre
les couples appliqués sur l'arbre d'entrée et les arbres de sortie dans un différentiel d'automobile.
La figure est faite lorsque Y^ = YQ
(0^ - 0)
1°/ RêEllâSë
A (S0), (Si), (S2), (S3), (S^), (S5) on lie les repères (R0) ..
.. (RS) disposés comme l'indique la figure. On repère par 0j, 62, 63, 6^, 05
e-i = (X0,X!)
; 02 - (Y0,Y2)
; 03 - (Y0,Y3)
; 0^ = (Y0 ,Y^) ; :05 - <Xi,,X5)
Dans la suite on posera :
0J = cof
; 0^ = 0)|
; 03 = 0)§
; ©4 » cx)Ç
; 0$ m 0)5
2°/ Rêl£tion_de_liaison
II y a roulement sans glissement au contact des solides.
. vi(AK vi(A)
-
0
;
V5(A) - V f ( A )
VÇ(A)
-
-î? A ÔÂ
r^
=
0
f
' A
«- °JR
-A Kg
• Vj(A)
-'- - Ri, a)^ Z 0
R "I
-R^
L
L- ° JR
-J^Q
- 575 -
Vi(A)
_>
= flj A OiA
RI
r° i
=
(oî
r ~
A
-R4
L ° J RO
L° JRO
Vf(A)
vi(A)
=
=
- Ri u>f Zo
(- Ri* <»£ + R! tof) Zo
R! (oî - Ri+ o)^
. vl(B)
V|(B)
=
=
D'où la relation
0
(1)
0
= $|(B) - V£(B)
V|(B)
=
VKOit) + a§ A Ô^B
V!(0it)
=
^§(0,,) .-
V5(0i+)
=
R2 ^ Zn
n§ = n^ + 35 =
-.«5 A O^B =
=
to5
o)^
LO J R u
rî T R5 i
0)^
L
V?(B)
^Ç A ÔÔt = wÇ X4 A R2 Yif
0
A
J^
0
=
L° J^
r °
0
R
L"" 5 Â^
^
_R2 0)^ - RS ^5_J
V|(B)
=
Q|
A
-^.
OB
10
=
f ^]
0
A
LOJ^
V§(B)
=
r^n
R2
LO JRif
=
R2 ^2 ^
0
R2 o)£ - RS 0)^ - R2 co2 1 K
—
- 4
D ! où la relation
R2 (w; - o)2) ~ R5> co^
=
0
(2)
• vi(o
On procède exactement comme en B. Il suffit de changer RS en HRs
et 0)2 en 0)3
R2 (o>S - u!> + R5 (-5
-
0
. .
(3)
Nous avons donc:les-trois relations entre les cinq paramètres
R! o)î - R4 0)4
=
0
(1)
R2(o)^ - 0)2) - R5o)5
=
0
(2)
R2(a)£ - 0)3) + R5u)5 =
0
(3)
- 576 -
Nous pouvons par exemple garder ces cinq paramètres ou réduire à trois
seulement, qui .sont les paramètres principaux, 61, 62, 63. C'est ce que
nous ferons :
en ajoutant (2) et (3) membre à membre
2 u>£' - o)| - o)f
WÇ
o
en portant en (1)
.
soit
0
=
coS + ioS
^
o
3
RI o)f - R^ ^
=
2
= 0
2 |L o)î - o)| -.o>| = 0
(4)
&k
c'est à dire trois paramètres reliés par une relation de liaison (semiholonome)
Remarque : la relation que nous avons trouvée en cours de calcul nous
montre une propriété remarquable du différentiel.
1
w
*T
/ tT
KI (®'2 + §)'
wî
Faisons
•—*KI =
coî
=
2
o)| + k>3
Le différentiel permet d'additionner (ou de soustraire) des rotations. Plus
généralement c'est un mécanisme sommateur. Précisons
H1 - &•**&
6,
on peut toujours choisir
C
=
- 62*93*C
0
Supposons que l'on veuille additionner deux grandeurs x et y.
Faisons tourner l'arbre 2 d'un angle 62 •• kx et l'arbre 3 d'un angle 63 = ky.
L'arbre 1 tourne alors d'un angle 61 = k (x + y) c'est à dire proportionnel à la somme.
3. Calcul_de__la_2Hissance__virtuel
£HËliÊ«£22Eâ£îklS«âYË£«IâÎîâÎË2S
Les vitesses virtuelles compatibles sont définies par
2
|L ef* - ei* - e^*
-
o
(4)
K^
Dans une transformation virtuelle compatible la puissance virtuelle développée par les couples appliqués à (Si), (82), (83) est nulle
( Î!
j g .Q
à (Sj) : T!
à (S2) : T2
j 2
/ M2(0)
•••>
'•.
'
.
'
.
'
=
MÔg) ffî* +
M2(0) n°2*
Sj(0).Î0 = 0
S2(0).Î0
- 0
S3(0)J0
= 0
•
J3
M3(0)
à (S3) : T3
*
on posera
+ -S3(0) flf
o = M! ej* + M2 ei* + M3 95*
mais pour les seules vitesses vérifiant (4)
- 577 -
4 ° / 5Êl§£i22-ê2£lÊ»iÊ5-£2HElê S-î?ljt«î?2a.î!îa
On peut soit éliminer une vitesse virtuelle, soit employer
les multiplicateurs.
Eliminons par exemple 6]*
1
T?
01* = Y "R1 ( 0 £* + 63*)
0 =
en
Posant dans l'équation de d'ALEMBERT
(M2 + 1 MV |^)01* + (M3 + 1 M! |i) 05*
M
M2 + ~
l
2 RI
Les vitesses 02* et ©3* sont arbitraires, donc
M3 + {f^Mi
" 0
=
0
on en déduit immédiatement que les couples sur les roues (sorties du différentiel) sont égaux
M2 = M3
Ceci a une conséquence pratique très importante : si une roue passe sur un
sol parfaitement poli (verglas par exemple), le véhicule ne peut démarrer.
Supposons que ce soit le cas de la roue S f liée à l'arbre (2)
, L'action de (S2) sur (S2) est le torseur
T£ :{F£, Ml(0) }
avec
F2 H- F£
=
0
M^(0) + M2(0) - 0
Donc
%(0) .X0
=
- M2
L'action du sol sur (S2) est Fg t = N YQ
(pas de frottement)
Ecrivons le théorème des moments en 0
pour la roue (S2) en projection sur 0,X0
OÎ A ? Qt
S2 + S^(0)
-->
->
01 A F..
si
•>
«
r -Ril A f No i
L oj LoJ
=
=
0
f o0
IINJRO
•>
On a donc
M^(0).Xo
et par suite
=
0
ce qui entraine
M'2
M3
=
0
0
Aucun couple n'est transmis à la roue 3. On remédie à cette difficulté en supprimant l'action du différentiel totalement (crabotage sur les
tracteurs) ou partiellement (dispositif autobloquant sur les automobiles)
- 578 -
8.1.3
ETUDE DE L'EQUILIBRE ET DE LA STABILITE POUR LES SYSTEMES DE SOLIDES A FONCTION
DE FORCE POUR LES FORCES DONNEES
A. Positions d'équilibre
Nous avons vu que les conditions d'équilibre étaient
QiD = 0
ou
Q*D +
l Xj
Oji
= 0
J5*!
suivant que les paramètres étaient indépendants ou non. S'il y a fonction
de force pour les forces données, on aura
BU
îD " J^
*
iD
4
=
3U
"357
on peut donc énoncer le théorème :
Les positions d'équilibre sont obtenues pour les valeurs des paramètres qui rendent la fonction de force stationnaire.
Exemple : double pendule
U
= m g(li COS.6--+ 12 cos<j>) + C
Les positions d'équilibre sont obtenues pour les valeurs des paramètres
telles que
!£o
36 U
^ =Uo
94
B. Stabilité. Théorème de LEJEUNE-DIRICHET _
Enonçons ce théorème vu son extrême importance :
Si pour un système de valeur des paramètres q^ la fonction U présente
un maximum relatif isolé^ la position d'équilibre correspondante est stable.
- 579 -
Ce théorème est très efficace, mais ses conditions d'application
sont restrictives. Il faut donc soigneusement préciser les hypothèses.
1. Hypothèses générales dfapplication
II y a fonction de force (au sens strict, car si la configuration dépendait du temps certaines parties seraient en mouvement). Donc
U
=
U(q! ... qi ... qn)
~" la fonction U est uniforme et continue
- les solides sont parfaits à liaisons parfaites
a
- il y a équilibre pour qi = 0. C'est à dire que (-^—7)
0 pour V i
(tous les paramètres sont nuls à l'équilibre)
î Cli=s0
- la fonction de force est maximum pour qi = 0 et ce maximum est nul.
- il s'agit d'un maximum strict
Remarque 1. Le fait que l'équilibre soit obtenu pour q£ = 0 et que le maximum soit nul ne sont pas des hypothèses restrictives. On peut toujours se
ramener à ce cas par un changement de variable et par un choix convenable
de la constante qui intervient toujours dans la fonction de force
Exemple : pendule simple
Supposons que ZQ soit la verticale
ascendante. On a immédiatement
U
= •' - m g 1 cos<j> + C t e
L'équilibre est donné par —
dcj)
soit
=0
mgl sin<f> = 0 -*{T
La maximum est visiblement atteint
pour <J> = TT
U
. » m g 1 + C
maxi
°
Faisons le changement de paramètre
<j> - TT + q
U = m g 1 cosq + C
Pour
q = 0
<f> - TT. Le maximum correspond à q = 0
Choisissons maintenant
C = -m g 1
U = m g 1 cosq - m g l
"maxi '
(U)
q=0
=
et
°
Donc par ces changements l'équilibre est atteint pour
maximum et ce maximum est nul.
q = 0, U est alors
Remarque 2 : le fait que l'on ait des systèmes de solides parfaits à liaisons parfaites, que la configuration ne dépende pas du temps et qu'il y ait
fonction de force nous conduit à l'intégrale première
T
=
U
+
h
~ 580 -
2. Démonstration du théorème de LEJEUNE-DIRICHET dans le cas de
deux paramètres
Particularisons d'abord les hypothèses à deux paramètres
• U
=
U(qi-,q2)
. l'équilibre est obtenu pour
<!ir>
9<îl
qi -0
qi = 0
• °
; q2 = 0
<lir>qi-O - °
9<ï2
q 2 =0
q2 == 0
. U est maximum pour q = 0 ; qi = 0
. ce maximum est nul
U(Q,O) = 0
. il s'agit d'un maximum strict : |qj| < a
|q2J < a -^
l'égalité ne pouvant être atteinte que pour qi = 0, q2 = 0
u(qi,q£) < 0
L'indice 0 correspondant aux conditions initiales, on peut écrire
l'intégrale des forces vives sous la forme
T
(qi^î»^)
— U
(^1^2)
=s
T
(QI 0^20 ^îo ><i2o)
— U (
( iio>ci2o)
Imaginons trois axes de coordonnées qi, q2, z et introduisons la surface
d'équation z = U(qj,q2)
- 581 -
U(0,0) étant un maximum isolé, la surface (E) est tangente en 0 au plan
des qi,q£ et au voisinage de ce point elle se trouve en dessous du plan
tangent. Il existe donc sur (Z) une région (R) entourant 0 et dont tous
les points sauf 0 sont au-dessous du plan tangent. Nous pouvons limiter
(R) par un plan (H) parallèle à (0,qi,q2) et suffisamment voisin pour
que toute parallèle à Oz menée par un point M de (R) ne rencontre (R)
qu'en un point, (R) se projette sur le plan tangent en 0 suivant une aire
(r) entourant 0. Dès que le point m sortira de la région (r) le point
correspondant (M) de (I) sortira de la région (R) et passera donc audessous de (H). Désignons par h(négatif) la cote du plan (H). La région
(R) est caractérisée par
U(qi,q2)
>
h
L'intégrale des forces vives nous donne
T
-
U(qj ,q2) + T(q10,q20,qio>cl2o)
~
U(q10,q20)
mais T est toujours positive
U(qlfq2) -H T(q10,q20,qif0,q^0) -U(q10,q2Q) >
U(qi,q2>
>
Q.
soit
U(q1Q,q2Q) ~ T(qIQ,q2Q,qiQ,q2Q)
Relation qui doit toujours être vérifiée au cours du mouvement
Nous allons montrer que l'on peut choisir les conditions initiales
de manière que U(qi,q2) > h au cours du mouvement, c'est à dire que le point
M restera dans la région (R) donc m dans la région (r), En effet
. on peut choisir qjg et q2o de telle manière que
|U(qio,q20>|
<
2
+
U(q10,q20)
> y
car U est une fonction continue qui s'annule pour qi = 0 et q2 - 0. Il
suffit donc de choisir q^Q et q2o suffisamment faible
. on peut choisir qfo
et
T <
( llO» ( l20» c lio> c l2o)
qlo de manière que
<
2"
"*
" T(qi0,q20»(lio»cl2o)
>
J
car T = -j (îiqi2 + ^22^2^ + 2a^2 qî ql) est une forme quadratique
définie positive, qui ne peut s'annuler que pour qf = 0 et q£ Œ 0.. Il suffit
donc de choisir q|o et qlo suffisamment faible
Avec les conditions initiales choisies on aura donc U(qi,q2) > h
Par suite le point M sera tout au cours du mouvement dans la région (R) et
m dans la région (r), Par suite comme on peut choisir |h| aussi petit que
l'on veut, il en sera de même de |qi| et |q2| et il y aura stabilité.
3. Démonstration du théorème de LEJEUNE-DIRICHET pour un système
à n paramètres
Nous allons la conduire en trois temps :
a) Relation toujours vérifiée au cours du mouvement
L'intégrale des forces vives
T = U + h
peut s'écrire
T - U = TQ - UQ
- 582 -
T(qi,qP
" -U(qi) + T0(qio»qi0) - U0(qi0)
mais T est toujours positif
U(qi) + T0(qio,q{0) - U0(qi0) >
U(q£>
>
0
soit encore
U(qio) - T(qi0,q{0)
b) borne supérieure de U lorsque le yoint figuratif M = M(q\ ... q^ qn)
se déplace SUT la frontière d'un hyper cube de coté |e|
Supposons que le point figuratif M se déplace de manière qu'un
paramètre prenne la valeur ± e alors que les autres varient dans l'intervalle |-e, +e|
qi - ± e
+
Uj
=
UjCle, ..., q£, ... , qn)
qi - ± e
U£
=
Ui(qx, ..., ±e, ... ,qn)
qn = ± e
Un
=
Un(ql5 ..., qj,
, ±e)
Désignons par J \, ... , 5^ , ... , ^5n les bornes supérieures de
Ui » . . . , U£ ,...., Un.
Tous les ui sont négatifs et non nuls car U ne peut être nul que
si tous les paramètres sont simultanément nuls (maximum relatif isolé nul).
Désignons parc/le plus grand des nombres </£. On a donc
U
< J
J strictement négatif
c) on peut choisir des conditions initiales pour que le point figuratif
initialement à l'intérieur du aube reste à l'intérieur
Reprenons la relation toujours vérifiée au cours du mouvement
U(q£)
>
U(qio) - T(qi0,q{0)
- on peut choisir les positions initiales de manière que
KPl
|U(qi0)J
< ^
soit
^
-U(qi0) < -y
<p '•
oti
U(qio)
> f
ceci est possible car U(qô) s'annule avec q£Q- II suffit pour cela de
prendre |qxo| < ^ (convenable).
On a donc au départ
Uo(qjo) "To(qiO>q{o) > ^
donc
pendant tout le mouvement aussi
U > yP
Par suite le point figuratif ne peut sortir de l'hypercube car s'il en
sortait il devrait franchir la frontière et pour cela on aurait U ^ (p
ce qui est contradictoire avec la condition générale du mouvement
4. Remarques
a) Le théorème de LEJEUNE-DIRICHET est une condition suffisante de stabilité. On admettra,que les autres positions sont instables.
b) Les vitesses restent bornées au cours du mouvement. En effet
T
=
U(qi) + T0 - U0
- 583 ~
U(q£) est toujours négatif, donc comme T est toujours positif T
Or nous avons choisi les conditions initiales telles que
U0 - T0
donc
T
<
>^
soit
TÔ - U0
<
<
T0 - UQ
|vP|
|£P|
Mais T = — a^j q| qj forme quadratique définie positive (ne peut s1annuler que si les q{ sont tous nuls). Donc les q{ sont bornés par une certaine
valeur que l'on pourra toujours déterminer.
c) Extension du théorème de LEJEUNE-DIRICHET
Supposons qu f il y ait, outre les actions mécaniques donnant lieu
à fonction de force des actions mécaniques donnant un travail négatif (forces dissipatrices). Le théorème de LEJEUNE-DIRICHET s'applique encore.
En effet, écrivons le théorème de l'énergie cinétique :
_
dT
=
_
dU + Jfpf
T - T0
Wf
-
U - U0 + Wf
travail des résistances passives est négatif par hypothèse.
T
d'où
=
U + T0 - U0 + Wf
U + T0 - U0 + Wf
> 0
Donc, puisque Wf est négatif, on a nécessairement
U + TQ - UQ
-
U
>
>
0
U0 - T0
et la démonstration se poursuit comme précédemment.
C. Etude pratique de l'équilibre et de la stabilité lorsqu'il y a
fonction de force
1. Systèmes à un paramètre q
a) L'équilibre s'obtient en écrivant
-r- =
0
La résolution de cette équation donne les positions d'équilibre q*. Il y
en a en général plusieurs.
dÛ ¥
b) La stabilité s'étudie en calculant (-7—2:) , c'est à dire la valeur de la
dérivée seconde pour les positions d^lquilibre
Si
(TT)* < 0
l'équilibre est stable
dq^
exemple : équilibre et stabilité d'un pendule à deux masses
Un pendule muni de deux balanciers est
articulé en 0 sans frottement. Trouver
la condition de stabilité pour la position verticale <j> = 0
- 584 -
U
=
m2 g 12 cos<(> - mi g li cos<j> + C
U
=
g(m2!2 ""
m
i l i ) coscf) + C
Supposons dfabord que m2!2 ~ mili ^ 0où cette quantité est nulle.
Positions dféquilibre
Nous envisagerons à part le cas
-7— - - g(m2l2 ~ n^l^sint})
<$ - o — •* * - «
j : ::
II y a deux positions d'équilibre : <J> = 0 ; < f > = TT
Stabilité de la position <j> = 0
d2U
3^7 =
(
3F}+-0
-g(m2l2 - mili)cos<j)
=
-sâ - î1!)
* si m2l2 "" mlli > 0
* si m2l2 "mili < 0
équilibre stable
équilibre instable (dans ce dernier cas le centre
de gravité est en dessous de l'axe)
* cas particulier où ni2^2 ~ ml^l = 0
on a alors
U
=
cte
M = 0
3* "
II y a équilibre dans toutes les positions. On dit que l'équilibre est
astatique.
Le théorème de LEJEUNE-DIRICHET ne s'applique pas car il ne peut
y avoir maximum relatif isolé. Il est bien facile de voir que l'équilibre
est instable. L'intégrale des forces vives T « U + h donne
T
= Cte
T
=
T
= 1 (mglf -H mjl^cf)'2
1 (m2l| <()'2 -H mjlf c()'2)
<)>' « Cte = (j>5
d'où
()>
=
(j>5 t + 4>0
Même en prenant <£' et <t>o arbitrairement petit le système s'écartera de sa
position d'équilibre.
Ce modèle explique le fonctionnement d'un jouet très curieux,
l'oiseau de Kottabych.
- 586 -
0(7)
-
»(q*> * <f >,.,.. ï
4
40
si
* i(0'q,q. ^
q=q. ? * * < £ & q=q .?
OM. - °
o',) -
B ( ^ + j I (0. ? *i 1 «0, 5 »*...
fitë J^ premier terme non nul est d'ordre pair on peut avoir un maximum ou
un minimum
exemple
- 587 -
Le système est constitué de trois solides (S0), (S^), (S2) disposés comme l'indique la figure. Les liaisons (S^/CSg) et (S2)/(S0) sont des
liaisons prismatiques parfaites dont les axes sont orthogonaux. (S}) est
limité par une surface qui est cylindrique d f axe orthogonal aux axes des
liaisons prismatiques. Le contact (S1)/(S2) est ponctuel sans frottement au
point M.
A (S0) on lie le repère (R0) : (0, X0, ?0, Î0) tel que
X0
YQ
porté par l'axe de la liaison (Si)/(So) dirigé vers le
haut
porté par l'axe de la liaison
ZQ = XQ A YO
A (Sj) on lie le repère (R^ : (Ol, Xj, ?l, Zx) tel que
Xi = X0
É! = z0
?r - Zx A Xi
On repère (R^/^) par
00^" = s X0
On repère le mouvement de (S2)/(S0) par t, tel que ô£2
s=
t-ô
(Si) est relié à (SQ) par un ressort de raideur K. Lorsque s = 0,
le ressort est sans contrainte.
La masse de (Sj) est m et celle de (S2) M. Le rayon du cylindre
limitant (S2) est a.
* la fonction de force est
U =
- M g t - — s 2 + cte
on peut se ramener à un paramètre unique s (car s et t sont liés).
Dans le repère (RQ) l'équation du cercle est : (x-s)2.+ y2 = a2soit
x2 -H y2 - 2sx + s2 - a2 = 0
Les coordonnées de M appartenant à (S2) sont dans (RQ) x = 0
y = t -1
On exprime la liaison entre s et t en écrivant que le point M est sur
le cercle
• (t - l)2 + s2 - a2 = 0
soit
t2 - 2tl + l2 + s2 - a2 = 0
t
= 1 ± /az - sz
Avec le montage adopté on a nécessairement
t - 1 > 0
t
ce qui donne
fc
U = - j- s2 - Mg /az - sz + Cte
=
donc
1 + /az - s*
- 588 -
*
Positions d'équilibre
d£ =
dS
-k
+ , "g
ks
S
/a* - s*
S
=
[ +
Mg 1
|_k
/a* - s^J
S
Les positions d'équilibre sont données par les solutions de l'équation
o = .[-* * TA]
L
J
/ s = 0
( -k + 2 MiL^
.
v
/a - s2
La première relation donne
BJ
o
= 0
2 2
Me
La seconde s'écrit k2 - a? ~* s2
elle n'a de solution que si
s
0
ou
a2
ou
M2e2
= a
2
2
r^
2 2
rf— > 0
K.
Mg $ ka
S
s'il en est ainsi
so
/2z + /a
=
^
7
SFg
,B
. .
„
.
k^
positions S3nnetriques comme il
est
7
physiquement évident
M2 2^
s^3 . •« - /a2 - -, fz
k
Dans le cas particulier où Mg = ka il y a racine triple s^ = 8 2 = 8 3 = 0 .
Ce cas sera singulier pour la stabilité.
* Stabilité
<*2U _
dS7"
position
, .
K
Sl
Mgs2
(a - sz)^/z
Mg
/a -s 2
z
=0
z
2u
Mg
(•
TIT)
ds
Sl=0
si Mg < ka
si . Mg > ka
si Mg = ka
- - k +a.-&
l'équilibre est stable
l'équilibre est instable
(4--^)
• 0 Pour pouvoir conclure il faut dévelopS s=ss
l
per U(s) par la formule de TAILOR
«-«'')^.!*^'i*i,^'J* i,^
«-«(«)*^>'s*{,^*avec
d2u
ds2"
Mg = ka
=
-^z
- *!Ê +
Mg
a
(az - s^)1/^
0 = 3 Mgs |la2 - . 8 2)-3/2
j
ds s=o
<0>
' °
s'écrit
Mgs
(a* -s'*)3/*
+ S2(a2
_ s 2 } -5/2]
- 589 -
0
3 M g Qa2 - s 2 ) 3 / 2 + s 2 (a 2 - 8 2)5/2]
=
+ 3 M g s . 1g Qa2 - s 2 ) 3 / 2 + s 2 (a 2 - S 2 )5/ 2 J
Quelle que soit la valeur de la dérivée du crochet, le deuxième terme est
nul pour s = 0. Donc
(0)
as
n
ss=o
= S M . ga ^ t lar ) - 6f|
a
u = u0 + lff s H ...
L'équilibre n'est pas stable.
. .
position 82
rd
2
Ux
ÎF;
r W^
va 2 rz~-
.
8=82
Mgsj _
(a^ - s2)"^
L'équilibre est donc instable. Il en est de même pour la position symétrique
s = s3
2. Système à deux paramètres q^, q2
ftîï
*'
?)TT
a) Les positions d'équilibre s'obtiennent en écrivant -r— = 0 ; -r— = 0
La résolution de ces deux équations donne une série
*
^
de valeurs
{qi = qf ; q2 = <$}
b) Stabilité
Rappelons un résultat important sur les fonctions de deux variables.
Soit f(x,y) une fonction de deux variables que l'on suppose
pourvue de dérivées partielles continues jusqu'à l'ordre 3 indu et telles
que
3f
3f
^X0^0) - 0
^(x0,yo) - 0
On démontre que l'on a les cas suivant
1er cas
£f
2i£.. (V£L.)2
> o
BÎF " ây7
3x3y y
0<
maximum
«
2ème cas
32f
32f
(
3 2 f ).9 >
alF ' âF ' IT1?
|4
3xz > o
°
minimum
- 590 -
3ème cas
£_.
. —T7 - V( —)2
lE7
By
3x 9y'
< 0
' n i maxi ni mini
4ëme cas
^2^
d2^ «. 32f
z
3x * 3yz
3x 8y
=
II faut poursuivre le développement à l'aide de la
formule de TAYLOR jusqu'à
un ordre convenable
n
La condition de stabilité est donc pour une position d'équilibre
flî&o
A . ((_J_IL_)2 > o
c ;
^ * ' câq? *
3qi sqai
<0>. < »
Exemple : étude des positions d'équilibre et de la stabilité d'un système
formé de deux pendules orthogonaux
- 591 -
a) calcul de la fonction de force
U
=
M g Z
ÔÊ
=
ÛJÛ2
+ 02è
OG
=
1 Z2
+
Z2
=
52
"
+
C
Z étant la cote du point G
b X2
sin0
0
LcoseJ
«^RO
X x coscf)
+
?1 sin<|>
COS0
îi - . o
r sine
^
J
^Ro
î r - Î0
COS<() COS6
X2
_^
OG
Donc
=
s in
L-cosd> sin0
_
^RO
1 sinO + b coscf) cosô
b sin(f)
_1 cos6 - b cos<() sinô_
=
U = M g (1 cos0 - b coscj) sin0) + G
U
- M g 1 (cos0 - y cos^) sin0) H- C
b) positions d'équilibre
Elles sont données par les solutions des équations
8U
—
=
- M g 1 sin0 - M g b cosd> cos0
au
=
+ M g b sin<() sin0
ou
•r-r
ocp
d T o ù les équations
1°/
3U
— - 0
90
9U
; — = 0
9(j)
A - 1 sin0 - b coscj) cosô = 0
|
sincj) sin0 = 0
sin<{> = 0
<|> = 0
».0 J;;.-i../3 j;}:^...I20.
*
t8e.ti-./3 \n:;f0.
on a donc les configurations suivantes
o) étude de la stabilité de la position
2U
~2T
=
\J
J 0
l
= ""
- M g 1 cos6 + M g b cos<f> sinô
(0Vo
-
-M
8 1
. 1 - M S I *4
-
-îfi
e=-60°
JN2îT
(
=
^6=-60»
- 2M g1
<|)=0
3Û
—2-
s
+ M g b cos<f) sin6
d(f>
<0>9^60<fr»0
^
32U
3F}e=-,600
<t>=0
(
3Û
9?3^
•
+
- M g l /3^|
=
3
"IM
g X
M g b 8in4> cose
^2rr
âeadê
0
OU
60°
*:°
=
^
^ ^
on a immédiatement
<g)' < »
<W)* (W}* ~ (âë3^)*> °
L'équilibre est donc stable
-^
- 595 -
3. Système à n paramètres
(n > 2)
Les positions d'équilibre s'obtiennent facilement en écrivant
8U
—7 = n0
3qi
.
i
=
1 ... n
et en résolvant de système de n équations
Par contre l'étude de la stabilité ne peut se faire que par une
étude directe. Il n'y a pas de formulation comme nous l'avons vu pour un
et deux paramètres.
2ÈME P A R T I E
ETUDE
D'UNE
DES
MOUVEMENTS VOISINS
POSITION
D'EQUILIBRE
STABLE
- 596 -
Nous avons cherché précédemment les conditions d'équilibre et de
stabilité des systèmes. Mais notre étude ne peut se borner à ce résultat
car même lorsqu'il y a équilibre stable il y a en fait toujours mouvement
au voisinage de l'équilibre car en pratique les conditions initiales ne
seront jamais nulles. Il importe donc maintenant de connaître la nature du
mouvement qui prend naissance. Nous allons voir que l'on peut bâtir une
théorie très générale de ce type de mouvement sans employer les équations
exactes (systèmes non linéaires à coefficients non constants) mais des équations approchées linéaires. L'intérêt de la théorie que nous allons bâtir
est de fournir une mise en équation systématique de très nombreux problèmes.
Ces méthodes trouvent leur prolongement naturel en vibration.
8.2.1. HYPOTHESES DE LA THEORIE DES PETITS MOUVEMENTS
Au départ nous allons admettre des hypothèses restrictives :
- les liaisons sont holonomes, indépendantes du temps. On peut en particulier
réduire au nombre minimum de paramètres
- les liaisons sont parfaites au sens de Gauss ce qui signifie en pratique
qu'il n'y a pas de frottement
— il y a fonction de force U = u (q ...q....q ) (au sens strict les liaisons
1
n
étant indépendantes de t)
- la stabilité est obtenue par application du théorème de Lejeune-Dirichlet.
Nous verrons par la suite que l'on peut s'affranchir de certaines
hypothèses et qu'en particulier on pourra adapter la théorie à des systèmes
non holonomes et à des systèmes avec frottement. Nous verrons aussi que l'on
peut traiter des problèmes très importants en pratique où interviennent outre
les actions donnant lieu à fonction de force des actions connues en fonction du
temps (systèmes non conservatifs)
8.2.2. ETUDE DES PETITS MOUVEMENTS A UN PARAMETRE AUTOUR D'UNE POSITION D'EQUILIBRE
STABLE
Précisons les hypothèses générales :
- le système est a un paramètre q
- il y a fonction de force U = U(q)
- l'énergie cinétique est une forme quadratique définie positive
r\
T=
(
Ï [j I>
pes
dm
l «f2
soit
- 597 -
T = Y aq'2
a>0
- la position d'équilibre q
(—H-) = o
9q
->
est obtenue en résolvant l'équation
q - q
on a donc
&• °
- la position d'équilibre est stable
2
(—y) < 0 strictement
*3q q=q
Si (au
—j)* = 0 rien ne subsistera de la théorie que nous allons
3q
écrire. Il faudra faire une théorie spéciale.
2
(-Mj-) ^< 0
3q q=q
(strictement)
_
Pour étudier le mouvement voisin on pose q = q + q et l'on suppose
q petit ce qui est toujours possible car le système étant stable dans la position .q
on peut toujours avoir q<e arbitrairement fixé en prenant q'
et q
suffisamment faible (voir théorie de la stabilité par le théorème de LejeuneDirichlet).
B. Linéarisation de l'équation du mouvement
L'équation de Lagrange pour un système à un paramètre s'écrit
d_
dt
3T
9T
Bq f
w
= aq
_ H -'iïï. . H
3q
3q
f
d 3T
3a
,2 ^
tl
dt V " = ^ « + a < l
3T . 1- aq.
,2
_
aq..
. 1
aq ,2
. |H . „
On veut obtenir une équation linéaire à coefficients constant. C'est
ce qu'on appelle linéariser en mécanique (extension de la signification en
mathématique).
— on peut écrire l'équation exacte
Comme q = q* + q -> q' = q—f
q ft = q"
a?,+ i a?-2
. £, „
- 598 -
1. Dévelo££ement des fonctions a et u autour_de_la_£osition
ïLLÉSHÎliîîEê
a
2
1 (—
, 3 a )N * q—2 + .. .
q
3q
2
* + (_)
,3u *q-+ _ 1( ,3 )u?q -2+ _' 1
,3)3 Ux
-3 A
(
q + ...
= a* + (,3a N)
u = u
*
— +
q
3q
3q
2. Si_2_demeure_£etit_il_en_est_de_meme_de_2^
Nous avons vu en effet lors de l'étude de la stabilité que si
les |q\ | sont bornés, les |qf.| le sont également.
L'équation peut donc s'écrire
-"-Iî=°
3u
=
M
9u
^
3q
2 *
3 *
3u
,3 UN
— A 3 ,3 u^
~2 ^
^-(-y)
q + JT (-j) q +...
^
3q
3q
D'où la nouvelle forme
,3uv —
"1 —H /3 U * —
3 3 u x +... - 0
»-5T^
[.* ^*<^<.*...J,"-(^>
A
N
V
Réduite aux termes linéaires l'équation s'écrit :
Posons
a* ?' - A)* ? = 0
2 *
' 8'
(-^-^) = - C*
C* > 0
3q
L'équation s'écrit
a* q"11 + C
q" = 0
C. Qbtentation directe de l'équation linéaire
— «
., -.-. „„„ ^ . : ^cg
1• lSêEËiê-£Î2É£îSHê-SÎ5Eli£iÉë
Posons T « — a
o
J.
q'
L'énergie cinétique simplifiée s'obtient en remplaçant le coefficient a par sa valeur a* à l'équilibre.
2
- S2S££Î2S-Éê«£2E£ê-.§Î5Eliiilê :uc
2 *
Posons U - ^ -M) q2
Z
' 3qZ
D s --Ic*? 2
avec
C* - - (^f>* .
3q
- 599 -
La fonction de force simplifiée s'obtient en conservant seulement le terme
du second ordre dans le développement de U au voisinage de la position
d'équilibre.
3. Equation linéarisée
On constate qu'elle s'écrit directement
A a* - ^ -o
d
*>'
<
II suffit donc de calculer T
est immédiate.
3?
et U . L'écriture de l'équation du mouvement
D. Solution de l'équation
L'équation peut s'écrire
r* q" + ^ q - 0
a
/C*~
Posons fi = ./ —
Va
q" +fi2^ = 0
C'est l'équation d'un mouvement harmonique ; on cherche la solution
sous la forme
•"—
rt
q = A G
d'où l'équation caractéristique
r2 + Q2 « 0
r -Î0
q - A, C^ + A2 C"iflt
q^ = A
soit
B
et B
(cosftt+ isin fit) + A2 (cos Qt - isin fit)
q = B cos fit + B^ sin fit
se déterminent à l'aide des conditions initiales :
~q-*»
t-o
_ «l'-l'o
B
l
=
%
-il£
2 " fl
B
B
q'Q
cos fit +.—-— sin îît
q - q
H est la pulsation.
T
' - J est Ti-- 2—zrir
La période
.
_ , fréquence
. ,
La
est
J2 .
f_ = -—
- 600 -
On peut également mettre la solution sous la forme :
q" = B cos (fit t <J>)
avec
B > 0
En effet en développant nous avons :
q = B cos Qt.cos $ - B sin fit.sin $
Par identification nous avons :
B cos
<f> = q
B sin
°q' 0
<j> = - ——
au
soit
tg <|> =
?'0
—
nqo
La résolution donne deux déterminations. Mais comme on a B > 0 celle qui
convient est celle qui donne cos cj> du même signe que q
ou encore qui donne
sin <|> de signe opposé à q' .
- Donc <|> est entièrement déterminé par
tg * - - i?
Qq
o
q
cos <f> > 0
ou
qf
sin <|> < 0
cf> s'appelle l'angle de phase.
- B est déterminé par
••^T
B s'appelle l'amplitude.
E. Etude du mouvement
On emploiera suivant la commodité une des deux expressions
c[ = B cos
1ère exprès.
(flt ••• (j>)
B '*\ / q + —y
V °
£T
?'o
tg <f> - - ^—
q" cos $ > 0
avec
ou q'
sin cj) < 0
- 601 -
(
2ème exprès. <
*fo
-
q = q
cos fit + -rr— sin
fit
1. Pulsation x £ëriode ± _frécjuence
Nous avons vu que l'on appelle pulsation la quantité
»-R
Va
Le mouvement est périodique de période T
T - —r1
en sec
06
La fréquence est
f = I • V1
en Hz
<Hertz)
7
2. Vitesse
"q' = - BQsin (Qt * ^) ou
q"1 = B Q cos (fit + (j> + -|)
ce qui montre que l'on pourra facilement déduire la courbe de vitesse de la
courbe de déplacement.
•1 « cos (nt + *)
D
|
^ = COS
La valeur de
•—-
(fit + (() + y)
à t=t, est égale à la valeur de
Dû 6
1
•§• à t=t0 tel que
D
at2 + <() = ntj '+ 4. + Y
'2-',*râ
3. Accélération
"q11 « - Bfl
Tti
cos (Qt + 4>)
2-7T = - COS
(nt + (f>)
B/t
7»
"^
-a—rr et -J
B
2
Bu
sont simplement opposés.
^ • 2ÉElâ£ê5ËSt_Sli^
Le déplacement q est nul pour
cos (nt + <j>) = 0
fit
= -| -
^ + K TT
t - -22 n - AR + KKs© [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés.
2.
- 602 -
5. Le déglacement est niaximum_ou_minimum
pour
sin
cp = 0
soit
(Qt + <f>) = 0
ftt = - <f> + KTT
t - - A *b
6. RÊEi§êS£â£i2B
Le mouvement étant périodique nous le préciserons dans l'intervalle d'une période
rc - 4. . L st s ^ - i 4- —
2 ^
Q ft ^ ^ 2'ft . Q. B.
- 603 -
7. Conditionsînitiales_£articulières
Deux systèmes de conditions particulières se rencontrent très
souvent dans les essais :
a)
^'Q=O;^ °
On dit que l'on a un essai par lâcher
On obtient dans le cas du pendule
une telle condition en attachant le
pendule écarté par rapport à la verticale d f un angle q . On brûle alors le
fil.
fil brûlé à t=0
» - nu
« »- « j £
*
Si "q
> 0
n
o
q
B = Hq"
o
cos <j> doit être positif. Donc
<J> = 0
q = q
*
Si q"
cos Qt
< 0
B = -qo
q
cos <j> doit être positif. Donc
<|> = ïï
q = - q
cos (Qt + TT)
q = q Q cos Qt
Dans les deux cas on a :
q = q
o
cos Qt
On obtenait directement ce résultat en employant la formule
qf
q = q0 cos Œt +
o
n-
s in Qt
b) q « 0
q?
ï0
On dit que l'on fait un essai par percussion.
On obtient dans le cas du pendule une telle
condition en frappant le pendule avec un
marteau alors qu'il est au repos dans la
position verticale. On lui communique alors
une vitesse initiale sans le déplacer (nous
justifierons ceci en théorie du choc).
B = '«'G'
—
tg 4» -»• » 4. = - y
- 605 -
* Si q~'
> 0
q'
B = -jjS.
_
q ' Q sin <(, < 0 -*•
<J> = - |
^'
q = -^ cos (fit - j)
q"'
q = —pr— sin
Qt
u6
* Si ïï' < 0
0
B =
q'
pr-
qf
ù6
q"'
2 cos
•q - - -n q
8
''o
_—
sin
O
(j> < 0
->•
<j> = -r/.
(»t + f)
. fit
sin
Dans tous les cas on a donc :
- %
q = -r- sin Qt
On pouvait obtenir très rapidement ce résultats en prenant la formule
- 606 -
F. Exemple
Reprenons déjà un exemple déjà étudié par les théorèmes généraux.
Nous verrons mieux ainsi l'efficacité de la méthode lorsqu'elle s'applique.
- La masse de (S )
et (S ) est m.
- La masse de (S,,) : M
- La raideur du ressort
K
- Lorsque le ressort
est sans contrainte
TT
o= 3
9
- 607 -
1. Calcul_de_la_fonctIon_de_force^du^s^sterne
u = o, + u2 + u3 + UR
r
= mg ~ cos 6 + j mg£ cos 0 + 2 mg£ cos 0 - j £cos
U = 2 (m+M) g£ cos 0 - |
n2
- 2 £ j +C
£ cos 6 - -
2. Positions d'éguilibre du système
Les positions d'équilibre sont données pour les valeurs de 6 qui
rendent la fonction de force stationnaire.
|
| = - 2 (m+M) g£ sin 0 + K
= - sin 0
F
£ cos 0 - y
2 (m+M) g£ - K£
2
£ sin 0
K£2 1
cos 0 + ^y-
d'où les solutions :
0 = 0
*
sin 0 = 0
0^ = TT
*
à exclure vu le montage (- -y < 0 < —)
2 (M+m) g£ + 2 k£2 cos 0 - K£2 = 0
ecos 0 = -r-1 + 2 (M+m) :*
^
•+
JxJo
deux positions symétriques
0 =0
avec 0, = - 0^
4
0=0,
4
On désigne par 0
J
la valeur positive.
Ces deux positions n'existent rappelons le que si
cos 0 <: 1
M +m
K
soit
(ou cos 0.)
£
J[
£ ^ 4
L'égalité correspond à
0^ = 0, = 0. Il y a confusion des positions d'équilibre
3
' S£HËê.Ëê-Iâ-££§^îiîi§
^-y = - cos 0 F 2 (M+m) g£ - K£2 cos 0 + ^f- 1
L
2
d0
J
f
2 .
1
- sin 0
+ K£ sin 0
+
- 608 -
a) Stabilité de la position 6
- 0
<4>
= - [ 2 ( M + m ) g £ - ^ ]1
de e=o
L
ï£p
- Si
2 (M+m) g - -y > 0
K£
(M+m) g > —
•+
K£2
- Si 2 (M+m) g - =2
stabilité
<0
VQ
(M+m) g > -y-
+
instabilité
b) Stabilité de la position 0 = 0
(ou 0.)
= - K£2 sinV
J
e=e2
(^§)
da
La position d'inclinée est toujours stable lorsqu'elle existe.
K£2
c) Etude du cas particulier 2(m+M) g£ - —~- = 0
U •- 2 (M+m) g£ cos 6 - | F £ cos 6 - |
KO
2 (m+M) g£ = ^"J
cos 6 - | F £ cos 6 - | l 2 + C
U = ?j-
9
_ = - _|_ sin e + K
2
••JÏQ- "
—
£ cos 0 - -|
£ sin 0
2
sin 0 •»• K ^sin 0 cos 0 - -^y- sin 0
2
2
= K£ sin 0 + K£ sin 0 cos 0
—
* - K£
sin 0
1 - cos 0 (0 « 0 solution double!
2
du
2
F
1
2
2
—j = ~ K£ cos 0
1 - cos 0 • - KJl sin 0
L
d0
2
= — K£
cos 0 + K£
J
2
2
cos 0 - K£
2
d2U
2F
2
2 1
—y = - K£
cos 0 - cos 0 + sin 0
d0
L
J
2
sin 0
- 609 -
dÛ
—r- = - K£
2 P
- sin 0 + 2 cos 0 sin 0 + 2 sin 0 cos 0
L
de
= -" KJZ,
1
J
sin 0 - 1 + 4 cos 0
A) = o
d0
0=0
^-2. = - K£2 cos 0 - 1 + 4 cos 0 + 4 K£2 sin20
d0
'-
3K 2
A
=
*
d6 9=0
On peut donc écrire
U = U* - -jç K£2 î4 + ...
2 4
u-u*.!^
?
o
La fonction U est maximum pour 0 = 0 . L'équilibre est donc stable.
Nous voyons donc que l'on a pu étudier la stabilité a priori sans
avoir à écrire les équations du mouvement.
^* 5BlèÉe-â££-Ee£:'-ts 5ouve5ents-^âns«^ê.ca£ S®SÊaî aut2HE-ê
lâ-.E2§î£Î2B 6 = 0«
a) Calcul de l'énergie cinétique simplifiée
T° - T°j -H T°2 + T°3
1 F2
= j - m£
T°
2
+ 2 (m+M)Jl
= 1a(0).0'2
2
2 1
2
sin 0 0 '
avec
a(0) = -| m£2 + 2 (m+M)£2 sin20
e n posant 0 = 0 + 0
T°s = 1 [f m*2 + 2 (m+M)£2 sin20J
avec 0« donné par
cos03 = 1 + 2 (M+m) ^-
0~'2
soit
- 610 -
b) Calcul de la fonction de force simplifiée
H
(d\ â-2
U • • - JL
S- 2! (de2>
1
2
2
S = ~ 2K£ Sin 3
—2
U
c) Equation des petits mouvements
On a immédiatement :
(•| m£2 + 2 (m+2MH
«3
2
K Sln 6
_
sin20
sin 6?) ?" + K£
£•
9
0" -H 2
2~
-.
0
0" = 0
=
- m + 2 (m -»• 2M) sin 62
G
£-
ou
°
- Cas ou les ternies du second ordre dans le développement de U sont
aussi nuls
2 *
(
^
) - 0
dq^
II faut alors pousser le développement jusqu'à un ordre convenable.
On est naturellement dans le cas où la première dérivée qui ne s'annule pas
est d'ordre pair et négative (u* est maximum). Supposons que ce soit celle
du 4e ordre
U
°- **ÏT <$?*...
dq
ou encore
U = U* - —^ C* ~f + ...
avec
C* = - (
^
)
dq
"s = - À < * ï4
L'équation de Lagrange concernant les petits mouvements est donc
j- !!§. . !^. - °
dt
9?'
soit
3^
a* q" + -i C* q3 = 0
o
L'équation du mouvement n'est plus linéaire, cependant cette équation peut
s'intégrer
?' ?" +{ %-q3 q» = 0
a
^'2 + ' C* -4
~2~ 6^4" ~ q = cte
a
- 611 -
Supposons par exemple que pour
q =
-, 2
1
Lq0
q -4 ]
C* I~ - 4
TI 7
q - q0
__
q' = 0
t = 0
~ J
Et l'on peut intégrer comme nous l'avons déjà fait par séparation des
variables.
edt-
fë
\JÛ
v
Vv C
d
e - î l
î
, /4
qo q-4
v "
II faut suivre le mouvement et prendre chaque fois la détermination convenable (voir Th.G. p.422).
Le mouvement est périodique et nous pouvons calculer la période
(Théorèmes Généraux p.422).
T = 4 . i/ïT./Z f q ° f
V
Posons
V
c*
V
dq
/ - 4 - -4
q
J o v / qo
q = q s
o
T1
Q nr
a
l
H=T
v
- '^V?
o
(
ds
•'o y./7T7
Nous avons une intégrale elliptique.
La période varie en raison inverse de l'amplitude. Dans l'exemple précédent
lorsque
K*2
2 (m+M) g£ = ——
les positions d'équilibre sont confondues dans
l a position 0 = 0 .
Ts=lfm*2
U
s = -^
ë'2
K£
' ^
a*=fm£2
c* = + 3 ia2
T = _8_ /7ï~
\pv
K
'
%
f1
às
^\J~rr^
- 612 -
8.2.3. SYSTEMES A DEUX PARAMETRES
- Le système est à deux paramètres indépendants q
- Il y a fonction de force
et q^
u = u(q ,q«)
L'énergie cinétique est une forme quadratique définie positive des
vitesses q' et q\'
T=
l [ a i ,q1+ a22 il 4 2 al2 "'l ''2]
avec
a
a
n11 =
ll
J
=
ft
ll.(Vq2)
dm
<^r>
8q
ppcb
5
J
a
a
!2 -'al2
(q
rq2}
a
22 = H22(Vq2}
i912= f <^r>li • <^r>lodm ï a77 = f (^r> l9dm
9c
™
9c
l
J
pes
22
*
9(
J
pes
*
Mais d'après le théorème de SCHWARZ nous avons
,"5?*. ,1?, ,
(T—) (T—) dm
q
q
l
2
soit encore
f
/ ^T N
(-r—)
J ql
<
L pes
-1
2
'
f
dm
J
J
L pes
^TlTx 2 '
(T—) dm
q
2
2
a^ a^ - a j2 > 0
D'après la nature des coefficients nous avons en outre
•n > 0
Les coefficients a
a22>0
, a22, a - vérifient donc les relations
an > 0
a22>0
a
l l a 22~ a!2 " °
Remarque : On peut immédiatement retrouver ce résultat en considérant que
T est une forme quadratique définie positive.
- 613 ~
- La position d'équilibre est obtenue en résolvant les équations
<•£->
=o
3qj
A8q = o
2
ce qui donne les valeurs des paramètres pour la position d'équilibre
q, = q,*
q2 = q/
on aura donc par la suite
|"JÎL]
q
3q,
*
L M r%
=o
I—
9q2
= *= °
L -K \
0
q 2 -q 2
q 2 =q 2
Nous noterons par la suite pour alléger l'écriture
3u
1
_
(
. 9 q 'J q i = q i ** "
8u .
3q
*
r 8u 1
/J^L\
_
L 3q2 kV "
L
* **
i
q 2 =q 2
*
q2
q 2 =q 2
- La position d'équilibre est stable et la stabilité est obtenue par le
théorème de LEJEUNE-DIRICHLET
'~ 2 ~\2
3 u
9qi
< n
q,-i,*
.
2
i_!l-
•
2
Ui
2
3 u
' L^î
L l J q , = q*
, L^
2 j q , - q ,*
Jql X
q
2' q 2
q
q
*
Vq2
q
*
2 =q 2
9q 3q2
L
'
Jq.,-q,
q
2 =q 2
Notons que les deux relations entraînent nécessairement
>1
*<°
_ 3 q J q,=q,
2
q2=q*
Ce qui est évident les deux paramètres q
et q? ne jouant aucun rôle particu-
lier. Posons pour alléger l'écriture
2 1
JLïï,
f 2 1*
- LLi
- - r*
..*,?] ,X U*J " "
q2-q*
- 614 -
92u
~2
92u
2
_
~
*
Laq2Jq,=q,
m
r*
C
22
[ aq2_
q
2=q*
3qa2"3q
L . 2]qi=q;
.12 c *
*
2=q2
q
Les relations qui donnent la stabilité sont donc
c
n>0
C
22 > °
C
nc22-ci2>0
Relations qui ont la même forme que celles affectant les coefficients de
l'énergie cinétique.
Uj.
- Pour étudier le mouvement voisin on pose
et l'on suppose q
et q
et
= q
.._
J»
__
+ q et q^ = q2 •«• q^
petits ce qui est toujours possible car le système
étant stable dans la position q
|.q-j| < e
q
= q
et q? = q9 on peut toujours avoir
|q | < e , e étant arbitrairement petit, en prenant I q J / J f
IqlQU Uinl' I q 2ûl
su
ffisainment faibles (la stabilité existe a priori).
B. Linéarisation des équations du mouvement
Les équations de Lagrange s'écrivent
JL J2L - -IL
d-t 9q|
9q,
«
3U
9q,
A JL - 9T . au
dt
3q^
3q2
9q£
.. Q
0
On veut obtenir unjsystème de deux équations linéaires à coefficients
constants.
- 615 -
Comme on a posé
q
= q
+ q
q2 - q* + ?2
q',-?',
on a :
q",-?',
_
a'
q
.
_
et
= q'
2 q 2
= q"
2 q 2
qa"
1. Sim£lification des termes _d_
3T
3T
_d_ 3T
3T
aq'j ~ 3q j 6 dt 3q'2 ~ 3q 2
dt
âlY"*!! q'l
+a
!2 q < 2
A_^.= [
!
!
i
i
dt 3q'j
L9 «ïj
q-
+!!illq.
3 (
12-'
r 3a l2
+
3T
-^
+a
q»
11H 1
3a
i2l
q>
[
^
7
.1 f 3 a ilq
=
q'
'
+
l ^J q '2 V 2 - 1 2 q» 2
,2A
+2
2 ITT, i
9a
.
in^
3a
!2 q , +,
22
ql
i ' 2 r^ q 2j
,2\
On peut donc écrire alors
_L_§!
dt a q ' j
9Laq]
a
S
ll
a..
q
+
1
. a"
12 q 2
S
+
93
+
I
2
11
TT2
3a
3
q
H
qj
0 .2 +
q
l
[!!_L2_ _ I ^ 2 2 l
2 9 q
[ 3 q2
l J
.2
2
'.ql2
soit encore
d
3T
BT
dF^7~ H;
=
a
n
1
2
~lf + a
q
i
-.. +
i2q2
T,2 + foi . 1 !!22l -,2 + î -, -,
i + [ _ 3 q2
2 3 q j q2
3 q2 q 1 q 2
!!ll
q
3 q,
De même la deuxième équation donne
_d_ 9T
3T
dt 3q' 2 " 3q2
_
"
a
J2
1
+ 1
2
-,
1
q
&
22
9a
22 -2
—==• qq'
3 q
2
-„
2
q
+
F 9 a !2
—
L a q,
1 9 a
9a
ill-2
?2 — qq' + —==• qq ' qq'
2 3 q J i
3 q
1 2
- 616 -
Les termes contenant q!2 q'2 et q f
q-f
sont des termes qui demeurent petits
au cours du mouvement. En effet nous savons que si les paramètres q
demeurent petits au cours du mouvement, il en est de même de q
f
et q^
et q'
(voir démonstration du théorème de LEJEUNE-DIRICHLET). On peut donc écrire :
— 9T - 9T ~ «a T»
+ ~
77"
dt aq'j
3qj " i l q 1 a!2 q 2
JL-IÏ-JL-~ a& ïï"
-H a ïï»
dt 3q f 2
3q2 " 12 q 1 a22 q 2
Mais en outre on a en désignant les valeurs de a ., a i2* a22 Pour î " î *
q2 = q*
a,* , a* , a2* :
par
*
a
a
9a
_
_
3a
l l ' Vl +Tq7 q!+T^
22
= &
93
*
22
+
22 Tq7
- „ 9a22
i + Tq^
q
q
2 * '••
- ,
2 + •"
q
3a
9a
*
!2 !2 a ,« a
+ -r-— q + -r-— q + ...
12
12
3q
1
3 q_
2
Four avoir des termes du 1er ordre au second membre des expressions, on doit
donc écrire
_d_ 3T
3T
* —,,
dt 3q'1 ~ 3qj " a l l q 1
_d_ 3T
3T
* —H
dt 3q'2 ~ 3q2 = &12 q 1
3
* —„
12 q 2
. * -|
22 q 2
3
2. Simplification de la fonction de force
Développons u au voisinage de la position d'équilibre
—'*[(*:)* v(^f'2].4 ïëTv-'^r *>-<*
+
(Af?2l ^f
^[(^v^rv^^^^^-^"© [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés.
- 617 -
u
= u* - 1 \ C*}1 q'j2 + 2 C*2 q'1 q^ + C*2 q~2 J + termes du 3e ordre
•—- =
- C*j q"j - C J 2 q"2
+ termes du 2e ordre
g,,
-— =
£
__
"" C 12 q l ~ C22 q2 "*" termes du 2e ordre
Pour avoir des termes du 1er ordre dans les équations de Lagrange on doit
donc prendre
^"-cn Vc,2^2
3u
_*
•5^* " C 12
—
_
—
i "C22 q2
q
3. Expression des équations de Lagrange linéarisées
On peut donc écrire en ne conservant que les termes du rpemier
ordre
a
îi q "i * aÎ2 q I 2
+ c
n qi
+C
= 0
I2^2
a^2 ?', + a*22 q"2 + C*2 ?, + cJ2 ?2 - 0
Equations que nous pouvons écrire sous la forme matricielle
ra*
il
* i
!2
a
rC „*
ll
i—u
"i
q
I
C
i— i
i
o* -i
12
q
•f
â!2
a
22J
L^J
=0
LCl2
C
L^" 2 -
22j
C. Ecriture directe des équations linéarisées
1. Energie
cinétique
simglifiée
T^
_——— —-.«.-.—-.——
———.—
MMM.«.MOT
Posons
i r * —12 « * —, —,
.
* —.21
T S - T LE,, q| + * *n ï, *'2 + *22 *'2 J
L'énergie cinétique simplifiée s'obtient en remplaçant les coefficients a n
a
a
12
£2 Par leur vale^r à l'équilibre a^ , a J 2 , a22
sous forme matricielle
r *
T = i qr- qI-
^ n '.'
ïl a *2 "1
' \
2ji \*. .
_ a !2
i
a
. -t
l
22jLq*2_
- 618 r *
"n
Posons
a
* -i
i2
[T] =
*
Lal2
*
22J
a
La matrice [T] est une matrice symétrique à coefficients constants. Elle
correspond à une forme quadratique définie positive.
2- Fonction_de_force_sim£lifiee U^
Us - - i [ C^ ?,2 + 2 C*2 q 1 q2 + C*2 ?/ ]
Posons
La fonction de forte simplifiée s'obtient en prenant les termes du second
ordre dans le développement de u. Comme u est maximum la forme U est
D
toujours négative.
Donc
i |" JK
j G
_ o
île
q
+ 2 C2 q
*
2*1
q2 + C22 q2
est une forme quadratique définie
positive.
On peut écrire sous forme matricielle
u
U
s
. - l [ qqt qq i r
C
2 L r 2j
»
4
-C22
*
r „*
[Cll
Posons
C
C
*2]
F'"
22-l
L^ -
m
C
-i
12
[u] =
C*
_C12
C*
C
22_
La matrice [u] est symétrique réelle à coefficients constant.
T
et U
3. Ecriture
des équations linéarisées à partir de TU_g
———————————~——^_———————____._...-—-_—_._-.—*.._.-__-.__...__
^ «et
l—,
On constate que si l'on écrit les équations de Lagrange avec
on obtient immédiatement les équations linéarisées
JL
A - !3qj
îi _ l9!!s _ «
dt Sq'j
q]
d 9TS
dt 3q'2
T
3T
S
9q2
9U
S_Q
3q2
, qr-I q -f iP1*1
s4[ ,'
2J
*
_a!2
a 2
* l [?I»
a
*
—i
2 2 j [q 2.
- 619 -
r%*
u
s
=
* ~i
C
12
C
22j
i— "i
11
ï [V <2J
*
*
_C12
—
Lq2.
Comme on a vu le système s'écrit
a
X,
Î2~| |V,]
pn
C
Î 2 ] [ï,"
+
*
*
_a!2
a
[T ]
*
22 J [q 2 J
q
soit encore
rqll"'i
-
. 2j
=0
„
+ [u]
[_ l 2
iô
K
*
22
—
J
Lq2
-o
Pour écrire le système différentiel qui régit les petits mouvements autour
d'une position d'équilibre stable, il suffit de connaître les matrices des
formes simplifiées T et U .
s
s
Posons encore
-*•
V =
?,
52.
[ T ] . V" + [u] . V « 0
4. Exem2le_de_linéarisationi_Pendule d'Euler
- 620 ~
Reprenons l'exemple du pendule d'Euler que nous avons déjà étudié
par les théorèmes généraux et les équations de Lagrange.
a) Calcul de U
2
U = - k ~-
+ mg£ cos 0 + cte
b) Position d'équilibre
8U
—
9x
3U
—
,
= - kx
.'
n
= •- mg£
sine
|2-.o
-, x = o
8x
6 =
i£ - n
"* iU =°ir
ae
c) Stabilité
II est évident que U est maximum pour x=0 ; 0=0. La position '
x=0 , Q-O est une position d'équilibre stable. Nous pouvons donc appliquer
la méthode générale pour trouver les équations des petits mouvements autour
de cette position.
d) Equation des petits mouvements
Posons
x •« 0+x
x 1 « x"f
x" » x"fl
e - o+"ë
e' = ¥'
e" = ¥"
- Calcul de Ug
~~~"
v = -±£ + mëi(l .*! + £+...)
—2
—2
U g = •- —j— •- mg£ -y
TS.
T-T
Donc >
*^
X
^
V?
ou sous forme matricielle
[k
^-{[^^J-Lo
0 1 f x " .'
mg£j [?_
- Calcul de T.,
§.
T - y
d'où
1
r
(M+m) x
Tg = !
T
S
|2
2
+ ma 6 '
2
+ 2 mil x
6' cos 6 J
(M+m) x' 2 + m*2 ?'2 + 2 m£ x"' ET1]
. r_
_ i (M+m) m<^
x'
- 4 - x', 6'
2
L
-I [mi
m£ 2 J [ëT1.
f
- 621 -
- Les équations des petits mouvements s'écrivent donc sous forme matricielle
" M-Hn
[x f l 1
mfcl
|~K
0 "
.
m£
2
m£
x "
.
—f l
e
0
mg£
=0
—
0
On peut aussi les écrire sous la forme habituelle
(M+m) x" + m£ ?" + k x = 0
m£ x" + m£
?" + mg£ ? » 0
C'est le résultat que nous avions trouvé en linéarisant les équations trouvées
par les théorèmes généraux, mais la méthode employée ici est systématique et
nous verrons par ailleurs l'intérêt qu'elle présente pour la résolution.
D. Résolution du système différentiel
1. Principe de la résolution
La matrice [l] est une matrice symétrique réelle, par suite [l]
possède une matrice inverse JJTJ
. Multiplions donc les deux membres de
l'équation matricielle par [T]
V" + [l]"1 • [u] V = 0
Posons
[T]
. Tu] - [p] matrice dynamique (réelle). C'est le produit de
deux matrices symétriques
->
->•
v" -H [D] .v -• o
Si la matrice est diagonalisable dans la base de direction propre, nous
aurons en posant dans cette base
"*
fx 1
V" =
1
:
x2 J
x
X , X9 sont appelés paramètres normaux.
x
"*ïi r i °T [ i~
+ •
Y"
. 2J L
•
0
•
2
- o
J L 2.
Y
Nous allons montrer que l'opération de diagonalisation est toujours possible,
et que les valeurs propres A, et X« sont réelles et positives.
- 622 -
2. L f éûation_caracterist^^
Les valeurs propres de la matrice [p] sont obtenues en écrivant
-»•
•*
que
[D] v - x v
->•
V vecteur propre correspondant à la valeur propre X. Pour que ce système
linéaire ait une autre solution que la solution banale il faut et il suffit
que
[D] - [X] = 0
Calculons la matrice [D]
-1
M
•
,
1
»'
f *
a
oo
z
^
.2
*n°22->,2
Donc
f«l
[D] = —j
a
1
-
* ~"ai?
53-
[,;,
* *
*?
<"î. ',2 -a,2 » 0)
.',J
Fa *
22
* 1 fr*
C
"a!2
ll
*
fa!2
a*
a
ll S22 ~ S12
r*
i l j [l2
- * *
* _*
S
22 C l l "a!2 C12
* *
*2
a
ll a22 ~ 312
C
r* "
12
r*
22.
* *
* * 22 C 12 " 312 °22
* * _ *2
a
a
ll S22
!2
S
[D| =
* P*
* P*
il C 12 "a!2 C l l
* *
*2
^ a l l a22 " a!2
* r*
* r*
il C22 "a!2 C22
* *
*2
a
l l a22 " a!2
a
a
Lféquation caractéristique s'écrit donc :
P * * ' * *
a
22 C ll "" a!2 C12 _
*
*
*2. ""•
a
ll a22 •" a!2
* *
* *
C
a
C
22 12 " !2 22
* *
*2
a
ll a22 " a!2
a
- 0
* *
* *
L
a
l l 12 " !2 C l l
*• * _
*2
a
a
l l a22
!2
a
* *
* *
C
a
C
ll 22 " !2 12 _
* *
*2 "
a
l l a22 ~ a!2
a
soit en développant
/
\
\
S
* ^*
* ^*
22 C l l " a !2 C 12
a* a* - a*2,
11 22
12
* „*
* /-,*
/ * . * * * x / * ^ * * x , # .
\ / a i l C 22 " a !2 C 12 \ _ <allCl2~*12Cll"*22Cir*l2C22>
j \^
^~
?2~ ~XJ
/ * *
*2\ 2
/ \ a n a 22 - a ] 2
/
â,, a ^ - a ^ j
= 0
- 623 -
r * «*
|_ a 22
C
* „*
,* *
ll -a12C!2 ~X
(a
a
ll
*2Ni r * *
2 2 - a ! 2 ) J ['il
,
-
*
(a
C
*
* *
,* *
22--a12C12"
*
*
.
il C l 2 - a 1 2 C l l )
,
(a
*
*
*2v~i
!l a 22 ' a!2}J
^,*
*
\
(a
22 C 12 - S12 G22> =
Développons et ordonnons cette équation du second degré en A.
r
e\
a
*
*
*2 -i
l l a 22 - a ! 2 ]
,
*
^*
*
,2
, *
A
^*
*
\
^
22Cll -al2C22)
(a
+ (a
(a
*
*
^,*
•*
|~
*
*
*
*
l l S22 " a i 2 } L a n C 2 2 " a ! 2 C 1 2
*
~*
\
,
ilC22 ~ a!2C12).+
<a
*
^*
^,*'
*
ll.Cl2 "• a 12 C ll )
*
*
* o*
+a
2 2 C l l " a l2 C 12 J
N
x
*
«*
*
~*
~l ï
A
v
(a
22C12 ' al2C22) = °
Soit après simplification et mise en facteur et simplification par
a
*
ll
a
&
*
*2
22 " a !2
&2
£
(a n a 22 -a 12 ) x
2
I
>t
)t
5fc-
ît
>t
5t
£
I
•
£
4(2
- ^n C^ + a^C,, - 2 a J 2 C J 2 Jx + C,, C22 - C}2 = 0
Pour étudier les racines nous allons calculer le déterminant, la somme et
le produit de ces racines.
" £âl£Hl-lê.^
>t
I
*
+ a
>t
[allC22
A =
L(V a H C 22 - V a 22 C llj
, , )ie
A =
22 C ll -
2 a
& £ • {
l2 C 12j
vi i * * ' / * ^* i
-
+
)t
A =
4 (a
*
*4
(a
>t
>t
L(V a H
C
* ^*
a
a
*2 * ^*
r* ""3 \
C
*
[lV n 22
o
22 ' V a 22 C l l )
.4 r/ ar*a s1 C_*
r* C0*'
C
12 -
(C
&
îfc
&2
*
* \1
11 C 22 ' C12>
« \V/^r~*ll 22* ll* 22
,,*' ' l2* 12JJ
* \n
+ 2
C
V 11 22
+ 2
*\
a
,2)
+ a
C
*2
*2
l2 C12>
* ~* "ï1
/ p*
W a H a 22
+2
a
*2
*
ll a 22 C H C 22 - a i2 C H C 22 ' a li a 22 C 12
r / r* ~>
x-2
ll a 22 ' a !2>
C
. o
l l C 22 ' a !2 C 12> J
_ a /"â *C• *C * r
V ll 22 n 22
&
*
C
*
12 12
*2 *2 "1
" a i l S22 C l l C 22 " a!2 C 12 J
A =
[ J * _*•
r * *\
l V a l l C 2 2 - V a 22 C lll
+ 4
, / / * ,>
l V a H C 2 2 - V a 22 C ll
.
,
+ 4
l
\ *
*
*
„*
lV a il a 22 C ll C22 -
/ r*
+ 4
?
(Valla22
C
12
*
a
* *v
• (V a l l a 22 C l 1 C 22 ' a l2 C 12|
o
.
.
.
•
i2C12l
r~* *"'
-VC11C22
i r* * «"""F1
* 1
__^____
*
2
/ * o*
*\
a
l2)
O
• •
/ / * * * *
*
* I
-4lVana22CllC22-a12C12|
/N
~ 624 -
C
* = * (V<^2
F/T~:*T
Î2 - V^2 at2]
2 +
(V^22 -V^Tl ) '
/r~?\ 2 . / / * * _* _* i
J f l l C 2 2 - V a 22 C ll)
+ 4
* r* i
(Vana22CllC22-al2C12 J
II est maintenant facile de montrer que le crochet est lui aussi positif.
Il suffit de montrer que le terme
V
a
* * ^,* ~*
* ^*
lla22CllC12-ai2C12
est toujours positif. En effet on a
a
*
*
2*
lla22>a!2
a
C
*1C*22>CÎ*2
Donc
aV6C
^ / *
*
*
*
ya
C^
n a^Cjj
C
*
ll
tl
>
n
*
n
°
&
22>0
> 0
C
22>0
- a*{2 ^
C]2* > ^
0
On a donc finalement A ^ 0 lfégalité pouvant être obtenue lorsque les parenthèses sont nulles.
V
a
*
*' „*
^/^* ^*
*
l l a22'C12 "V C 11 C22 *a!2
*"*
i>T
a
C
V
ll
22
r~* ~*
-ya22Cll
=
°
=
_
°
Le crochet ne peut jamais être nul car le terme */a ia22CHC22 "" a l2 C 12
est strictement positif.
En conclusion l'équation caractéristique a donc deux racines réelles.
" Qâl£yl_ÉH-EE2âH^£
P
-
H 22 C 12
* *
*2
a
ll a 22 "a!2
D'après les relations que l'on a entre les coefficients le produit est
positif : P > 0.
" Q§l£!iI«lê-.lâ-£2SSîê
g
b
_
a
* • • * • • • * • • *
l l C22+a22Cll ï *
*2
a
l l S22 " a !2
2a
* *
12C12
Le dénominateur est positif. Le numérateur que nous désignerons par N peut
s'écrire
- 625 -
N =
1
1
f^r*
^s*
r*i*"
!
l V i l 22 -V 22 l l l
a
C
a
C
2
+ 2
(JT**• ,^l* «22* ~ 12* 1n*2 J ^
lV a l,
a
C
C
3
C
22
/ a~ ~ *a *
* âT1 a * *
est
Nous avons déjà vu que l'expression W i i 2 2 11 ?? " i 2 12
toujours positive. Par suite on a N > 0. Donc finalement la somme est
positive : S > 0.
En conclusion
A > 0
S > 0
P >0
Donc les deux racines de ^équation caractéristique
sont réelles et positives
Xj' > 0
X2 > 0
Remarquons que X = 0 ne peut être racine avec nos hypothèses.
3 • 3§£êESîSâ£Î2S-Éê2-EâEâK£lËS-.S2ESâîlî
Ecartons provisoirement le cas où l'on a une racine double
=
*1 ^2*
l'avons vu
Dans la base propre le système différentiel s'écrit comme nous
~x"il
x"2
Comme X
pi
o
° 1 [V
x2
x2
=0
et X. sont positifs on peut écrire
x, -nj.
^
+
x2 = «22
et Q2 sont appelées les pulsations propres du système. On obtient immédia-
tement deux équations différentielles séparées
X1^ + ti* Xj = 0
Xfl2 + Q* X2 = °
La solution est immédiate. Prenons la sous la forme
Xj = Aj cos (ftjt + *j).-
X2 - A2 cos - («2t + *2)
Les expressions ci-dessus sont appelées vibrations principales, vibrations
propreôu vibrations fondamentales On les appelle aussi modes de vibrations
de système.
Il y a 4 constantes arbitraires A , A , <j> , <j> .
- 626 ~
*• §2iH£i2S«èH.ËZË£l3ê^-2§££E3i5ê£i2S-^ê <li §£ ô ISESSLHlîl-X-S
deux_valeurs_2E2EIê£-ÉîS£ÎB££ËË
Pour passer des paramètres normaux X., X~ aux paramètres de
configuration qui définissent les petits mouvements autour de la position
d'équilibre il suffit de faire un changement de base. Désignons par
-»-»•
V et V9 les vecteurs de direction propre correspondant aux valeurs propres
X
et A 2 - Posons
f a n]
w, -
+
r°i2~
w2 =
_a2lj
L"22.
On passe des paramètres normaux X , X- aux paramètres de configuration Ç,»^
par le changement de base
*1 1 =
a
fXl
12~|
Kl
•
^q2J
•>
[a21
a 22 J
•*
r
[^ ^
->
W. et W2, vecteurs propres de [Dj correspondant aux valeurs propres de A
et A^ vérifient
[D] . S, = X j W j
[D] . w2 - x2w2
On sait en calcul matriciel que seul le rapport des éléments de chaque colonne est déterminé. Un des éléments de chaque colonne est choisi arbitrairement
(on verra ultérieurement comment utiliser cet arbitraire).
- La^gremière^relation^s^écritâussi
[T]"1 [U] . W, - A, W,
[u] . *} - AJ [T] . w,
" c îi
C
I21 K i l
C
C
Î2
C
îl a ll
C
Î2 "il
+C
Î2 a21
+C
22 a21
22
"21
T x i an
X
l aÎ2
= X
l aîl a ll + X l aÎ2 a21
= X
+ X
l aÎ2 a ll
l a*2 a21
(C,, - A, a^) «„ + (C*2- A, a*2) a2] = 0
(C*2- A, a*2) a n + (C*2 - A , a*2> a2, = 0
x
X
, a!2] ["11"
l S22
a
2l
- 627 ~
La première relation par exemple donne
*
*
C
ii
19 " a i? X 1
-IL.. J£
L£_L
a2,
a n X, - C n
a
a n choisi (ou a2,)
La deuxième relation donnerait
l l _ C 2 2 " a 22 X l
a
a
a
*2 X l " CÎ2
21
Ces deux rapports sont nécessairement égaux ou encore les équations sont
compatibles. C'est ce qui a été exprimé en écrivant lféquation caractéristique.
"" t§.éê!i5ÎÈSË«Eêi§£Î2S-.â25SêI§i£
*
*
a
!2
12 " !2 A2
- -;
—
a22
a i r X , -G,,
a
Û
ou
C
*
-a
2
. ..,
,
choisi (ou a^)
*
C
22
~ S22 X2
=—
—
12
a
*12 X 2-" C 12
22
on a donc
." q,
fotjj
a
q"2
Prenons par exemple
ot 12
a
21
ot'
- 1
22
f A j .cos ( f l j t + fj)"
A
2
COS
^2t "*" *2'^'
a.« = 1
qij = A j cos (Q t •«• < f ) j ) + A2 cos (^ 2 t + $£•
a
qz - A
r
L
*•
^
il
;V
X
12
*
l "
- aA
C
!2
*
ll
cos -(Q t -H cfO -H A
>
1
,
*
a
C
l l X 2""
11
^ 4 n cos ( O t - K | » )
- aQ \
i l
Lr
12
!2 2
- 628 -
On détermine A ,A
*1 = «10
Par les conditions initiales. Pour t=0
îô
;?
2= «20 ; «'l
=
^'lO
;?>
2 = ^20
?]0 = A] cos (^j + A2 cos <f>2
*
r*
* \
r*
l l . 1 " Cll
, ^ A a il A 2 " C l l
7
5— cos +1+ A2 7
»— COS +2
a
A
20 = A l
q
C]2 - a]2 AJ
^'lO = ~ A l "l
sin
tj2 - a]2 A 2
*î "A2 "2 sin
*
q
A
n
S
ll
<i>
2
*
X
l
"
C
ll
*
•
,'
a
A
n
H
i
2 "
r*
C
ll
.
.
20 = ' A l "l 7
^TSin '*! " A2 "2 7
3T— sin *2
C
a
a
A
A
12 " !2 l
12 !2 2
Et nous avons ainsi 4 équations pour déterminer 4 constantes.
5. Exemgle_de_résolution £ Petits 5ouvements_dûn_gendule_double
autour_de_sa_gosition_d^é3uilibre stable
(S ) est un pendule simple
de masse m. et de longueur
*r
(S9) est un pendule simple
de masse m. et de longueur
V
a) Calcul de U
U = m g£
cos 6
+ m2g (£
b) Positions dfëquilibre
3U
,
^
.
—-. - (mj + m2) gi, sin 0
|J = m2g£2 sin cj)
Les positions d'équilibre sont définies par
sine - 0
\l = °
| 6 = TT
sin * - 0
1* " °
|<j>
=
TT
cos 8 + £2 cos 0 )
- 629 -
» position d'équilibre stable
On constate immédiatement d'après la forme de U que U est maxi pour :
(0 = 0
h =o
Cette position est une position d'équilibre stable,
c) Equation des petits mouvements
0
—
—
û
U
•
a _ A
<|) — <f>
9
Nous calculons T et U
O
T
u
°-ï-, <'°G,>24»2<'V2
"- £j0 f cos 0 + £20f cos S
V°G2 -
rî 6 ' cose"
0
; (V°G ) =
1
}
£ 9 ' sine- fc.e sin $ K
L
'
^
0
-a
6' sine
L '
Jo
JR0
T° = -jm2 r^j2e'2 + a22 4'2 + 2 ij^ cos (e-$) . e'1*.' 1 + Ym,^j2 e'2
D'où
TS - j I (m,-hn2) £,2 F'2 + m2 £22 ^'2 + 2 Jl^ m2 ?' J« 1
r(m]+m2) A]2 ^£^-1 r?.T
S = 2p^'J
m2£j£2
T
|^j
U = m2g
D
i r
_
*'
m2£2
¥2
72
r2
1
(i -^- +...)+ £2 (1 -^-+ ...) + mjgJlj (1 - ~ ...)J
-2
S " ~ I [ (m2-fm,) £,8 e
+
- i
m2£2g *2 I
"(mj+m2) g£j
0
1
0
m2£2g
-,
f 6"!
T (nij-m^) g£j
"?"
us = -{[ê, ?]
<(>
Le système s'écrit donc :
2
(mj-hn2) £j
-,
m2£I£2
0
1 F 6"
+
m2£,£2
m2 £22
^"
=0
0
m2g£2
J
- 630 -
d) Résolution dans le cas où m «TIU ; fc,-^ = £
Nous faisons cette simplification uniquement pour conduire
les calculs facilement en mettant l'accent sur la méthode.
" £alcul_dejD].
~2 m£2
T
S
b
=
?f
I
> *']
L £
m£2 1 T?f "
2
m£ Z
2
m£ Z
o i nr*"
"2 mg£
us - - \ [ï, ? ]
<j> f
0
mg£
<f>
Le système différentiel des petits mouvements est donc
r
2 m£
2
m£
2 -i
r—l f -»
r
0
-i .
2 mg£
0 1 0
,
+
m£
2
m£
r
2 m£
M m£
r
2
* 0
—lf
$
2
m£
2
m£
;
2
m£
0
mg£
2-1
m£
r
W • -h
°V
m£
=
2
~
- m£
2-i
2«t2
" m£2
1_
2
m£
i -1 r -,
[l|
[uj =
2
i_~
m£
r
2
[_-»«2
r i
.
0
A-2.V-.V-.V
m£
[Tf
i2 mg£
[uj =
[ï] =
1
—
<{>
mg£
2 -i
2
2 mjl
0
2
m£
2
—o
m£^
2
m£ 2
1
2
—2
m£
m£
2
2 mg£
°
m
Sî'
- 631 -
f
2 SL
£
-il
£
[D] - 2f
2f
£
£ _
[2 f
" F"l
- f
1 [?
+
- 0
*"J r 2 f "fi [•
Soit encore
V f t + [Ô] . V
=0
avec
6
V=
*"
"" Y§lêHEË-EE2EIêË
Dans la base de direction propre
v
x
i - rL i2."
X
Le système s'écrit alors
x
x
" "ii [ i ° i rv
•f
[ 0
_X" 2 J
A2J
=0
[X2_
X. et X2 sont les valeurs propres de la matrice [D] c'est-à-dire les racines
de l'équation caractéristique :
2 &- X
£
-&
i
» 0
- 2f
2 •£• - X
a
SL
(2 f - X ) 2 - 2 &*
*
£
X
2
soit
-4f
£
+2^5£2
=0
=0
x =2
2
f-V 4
*
'
^=1(2-^)
X 2 = f (2
,
+N/"2)
£
- 632 -
a, =V2 -V2" Vf
S=V2+V*''Vf
On a donc immédiatement
"l + "lXl = °
X
x"2 + a2x2 = 0
X
l " AJ
cos
(V'-V'VF fc + *i)
X2 = A 2 cos ^ 2 + V â V f
C +
*2)
- Déterminâtion_des_vecteurs_groptes
II reste maintenant à revenir aux paramètres de configuration
Û
~ ? ] pu
i 2 ] |"xi"
sa
_ F J [a21
«22 J [X2_
["il"
avec
W.
=
vecteur propre correspondant à la valeur
propre A
21
_
->.
W^
=
J
|"a12"
vecteur propre correspondant à la valeur
propre X2
a22
->•
Détermination de W
*~
2 £&
.'2î
& ™i i~*
"
+2
T
n *~i
° -<*V2>f r
. î J La2l J
En développant la première ligne
[2f-(2-V2>î]«,l -f«21 = °
V2
Choisissons
a
« 1 ^ a ?l
a
=
«••
H -«21 - °
V^
11 *n
°2I
- 633 -
.w.».
r i"
2
=
k.
->•
Détermination de W
Cl
—
O
2
or -T
f
r-
-1
T"
^
' f i [°ii]
1
[«il
= (2 + T/2) |
;2t
2
[a2i_
f J ["22]
La première ligne donne
[2f- (2*
2)f] a
n
.-îa
2 2
-V"2a n - « 2 2
Choisissons
a.. = 1 •>
-0
-0
a 7 « = ""\2
w2 =
r!
;\T2_
On aura donc :
"¥
"i
i
A I cos <n t + $ )~
. *" J
i^
"^J LA2 cos
(Q t + (f> )
2
2-
F = A, cos (^2 - f2\y| t + *.,^ + A2 cos[^2Tj2t^| t + <f>2)
*" -
2 A, cos ^ 2 - f2.y| t + - * , ] -
2 A2 co^2 + y|I^| t + * 2 J
" 5l£êI5Î5â£Î22«âêS.£2BË£âS£ê£
Prenons par exemple comme conditions initiales :
pour
t=0
¥ » ê"
o
0"f = ê"1
o
é" = T '
o
= 0
1
Yé"
= yé"f = 0
o
0 o = A j cos cfïj + A 2 cos cf> 2
4TQ - \f2 A j cos (fjj - \[2 A2 cos c|>2
- 634 -
0 = - A
fi
0 = -
2 A
sin <|>
- A 2 ^ 2 sin <j> 2
fi
<f>
sin
+
2 AZ«
sin $
Les deux dernières équations donnent :
sin (()
Choisissons
<j>
= TT
(f>
= 0
sin <j>9 - 0
* 0
((>« = ïï par
<(>« = 0
(on aurait tout aussi bien pu choisir
exemple)
En portant dans les deux premières équations
?
o=Al+A2
^Q =
\[2 .(A,-A2)
*,-m^l
A
2-f(ë0-|)
La solution est donc maintenant entièrement déterminée
T
1
ë-{ (» 0 +^ «.(jr^fëtn (T 0 -î.«»(V» ^V? .)
^|(ê o .|)
cos( ^T^^ t .|(ê o -|.
" 5ËBÊE2He5.ËHE«lê-.521îYê5ïêS£
. si ? -*£ .
°
V"2
e" * e o cos fi.t
1
"^ = {2
0Q C O S - f i
t
Les deux pendules oscillent sur
fil
la basse fréquence
f = •=—
Alors ils sont en phase.
coM>f7TW.V?t)
- 635 -
.s,?- A
f2
0" = 6 cos Œ0t
o
2
4!" = - V2 ê"
cos Q t
Les deux pendules oscillent sur la haute fréquence
Q2
f9 = —
Z
On peut écrire :
6=8
27T
cos iï^t
J = \[2 ¥ cos (n t -H ir)
Les deux pendules sont en opposition de phase.
6- SâsjDarticullerôù^lJJguati^
double
~——-
X j. = X20
a) Condition pour avoir une racine double
o
A = 4
^
(Vail
+
~îP
(Vall
C
4
/
C
22
/ /~*
,
+
3
_|
^^
12-VC11
^îFf \
P*
a
*
ï
22Cll
C
1
a
^
!2
/ f~*
*~"
/*_,*' \
2
( V a l l a 2 2 -V a 22 C ll )
ll ] .
^*
C
22
O r-
x
f~*
22 -V a 22
(VaH
C
^^
*
* \1
22 - a ï.2 C 12)J
Le terme entre crochet ne peut être nul car le terme
/ r >t
>i
5t
^ ( V a 1 1 a ?2 C 1 1
C
^ i
22
>t
jt- \
" a !2 C 12
est strictement positif. Par suite A ne peut
être nul et l'équation caractéristique ne peut avoir une racine double que si
~~>f
a
ll
V
5F1
a
22
*
fi* I*"1
C
1 2 - V C n C 22
a
*
!2
"~* *
r* *
a
l l C 22 - V a 2 2 C l l
V
*
°
=
°
Ces deux relations peuvent s'écrire :
a
* a * c *2
n 22 i2 -
a*
ll
C
*
22
-
S
*
22
c
* ^*
*2 =
n C22ai2
C
*
ll
=
°
°
- 636 -
*
*
|l a22
*
*
C
l l C22
*
a
ll
a
*2
i2
*2
C
12
*
_ a22
a
m
^*
G
C
ll
*
22
Compte tenu de la 2ème relation la 1ère peut s'écrire
a
*2
ll
*2
!2
a
=
Cïï
a
*
*
a
ll
!2
=
'*
C
<2
""
p*
C
ll
12
Le signe + est seul possible. Etr effet
»
ai l
*
#
— > 0
(a et C - sont tous deux > 0)
P*
11
11
c
n
2
4>» (V^Tï «ïï-V ^^^-»
12
Finalement les relations qui conduisent à la racine double peuvent donc
aussi s'écrire : ________________
a
*
il
CC*
ll
a
*
, 22
a
*
!2
" CC*
22
" L C*
12
b) Solution du système dans le cas d'une racine double
La forme générale du système est
a
tl ^"l
a
Î2 ? "l
+
<2 ^"2 + Cîl «I
+a
22?t2
+ C
que l'on peut écrire
+C
t2^1
Î2 ^2
+C
=
22^2
°
=
°
- 637 -
•î, [*v4^,]-; 2 [^^ï 2 ]-°
L
a
q
+
r*
a
L
"il
q
r*
+a
t 2 [ ' i - r ,] *2 [X*-^ q 2 ] - o
a
a
!2
r*
r*
r*
C
11
22
12
.2
-j- = -j- - -j- = JT
Posons
!2
a
a
ll
22
a
22
!2
a
îl [ q "l
+
"2q,]
+a
Î2[^2
+
fi2
^2]=0
a
!2 [ï w i + " 2 ^ , ] + a *2 [ ? " 2 ^ 2 q 2 ] = o
Nous avons un système linéaire homogène dont les inconnus sont les expressions entre crochet. Le déterminant est :
*
3
«
^
»
*
3
12
*
=a
*
a
*
a
*2
n 22- ,2
+3
22
On sait qufil est toujours différent de zéro. Par suite le système admet
la seule solution banale :
q", + "2 q, - o
__
^
?f2 + « q 2 - 0
II y a découplage
La solution est immédiate :
"I I
q'TJ
q, = q10 cos nt + —— sin nt
- COS nt + qI20Sin nt
q
= q
2
20
~ÏÏ^~
- 637 -
a
C*
+
+a
t, [«"i ir- *,]
L
a
J
ll
I2 [X -ir '2] = °
L
a
C*
<2 [ « ' ,
+
L
*
a
!2
C*
- T *,] ^fX*-!2a
L
a
!2
22
p*
11
—_
Posons
C*
+
q
2j
=
°
p*
C
2 fl
. 22
-j- -12-j- 0S
ll
a
22
!2
a
a
n [^"i+n2î]+aÎ2[^2 + "2^]=0
Î2 [^"l
+n2
^l]
+a
22 [>V2q2]=0
Nous avons un système linéaire homogène dont les inconnus sont les expressions entre crochet. Le déterminant est :
S 2
^
*
a
!2
*
*
=a
* *
*2
lia22-a12
+3
22
On sait qufil est toujours différent de zéro. Par suite le système admet
la seule solution banale :
+ Jî2 q
?»
^
q
=
0
^
f!
+
2
«
q2
II y a découplage
-
0
La solution est immédiate :
~
-•
~o
q] - q]0 cosfit+ —g—
q = q- cos nt
2
20
sin Qt
q
*20 .
"*" ~~n— sin îît
- 638 -
8.2.4. ETUDE GENERALE DES SYSTEMES A n PARAMETRES
A. Condition du problème
Les hypothèses générales ont été indiquées au départ de l'étude.
Précisons toutefois certaines d'entre elles.
* Le système est à n paramètres indépendants ce qui signifie que s'il y
avait des liaisons holonomes on a réduit au nombre minimum de paramètres.
* L'énergie cinétique est donc une forme quadratique homogène définie
positive
T=
î ili|iaij q'iq'j
a
9P
3P
avec
,
ij ' j 9^ ' ^7
pes
dm
* II y a fonction de force U « U (q ,...,q.,...,q ) et les positions
d'équilibre sont obtenues en écrivant
3U
3^7-0
p°ur v i
La résolution des équations donne les configurations d'équilibres :
, *
*
*.,
V"qi-"qn}
{
Par la suite on aura donc
<>*- «
* La position d'équilibre est stable.
La stabilité est obtenue par le théorème de LEJEUNE - DIR.1CHLET
Si l'on développe U par la formule de Taylor nous avons au voisinage de
&
»v <__>
la position d'équilibre q. = q. en faisant q. = q. + q.
°=»* * [<f> ï,
*rr[^>ï,
*ïV[c
<$^
<f>' 4
<^]
<$<]] 2 *-*
° ]]3
- 639 -
le double crochet signifiant puissance symbolique le premier crochet est nul
(position d'équilibre). En développant :
*
i
n
n
32n
*
n
" • « * 7 i£, j£, 1*7%
n
n
3
*_ _
«i <j * JT i£, jï, ki, H, aq° »,k
_
<i «j
V"
D'après le théorème de LEJEUNE-DIRICHLET U est maximum dans la configuration
d'équilibre. Donc l'ensemble des termes du 2ème ordre
1
?
î'
* q~ q-
»V
2 i-i j-i aqi aq
i j
est une forme quadratique définie négative.
B. Linéarisation des équations
£
On pose
r
q.
= q.
^1
n1
—
q', l =^q fi.
->•
q".! =Mq l lf .
H
n
L'équation de Lagrange d'indice r , c x O ( q ) s'écrit
JL 9T _ 9T _ 9U
f
dt 3q
8q
3q
H r
Hr
^r
J
1°) Linéarisation des termes
dt 3q
3T
9q f
. =
?
L
a
i=l
mais
d
—
dt
,
n
-T
3T
i
A1
_ J.
3qr
2
3T
3T
q
ri
-——
8 q..
i
.
i
+
iil (dF *«>
q
M
n
n
E
i=l
r
v
3a
E
j-1
n
ii
i3
3q r
.
i
.
j
n
3a .
. q". 1- I
Z
El
ri q i
i=l j = l ~ 3 q .
n
q
1
n
a
/ AÛ
i
3 a .
a . = ,2 |
ri
j =l
A _ ? 4 _ = .Z
dt 3q' r
i=l
d
n
3
i=l
9 q^
i
v
=
—-
^
f
n
A o J^TQ
dïW;
Q
4
ri
rym
r\rp
— -r—:
1
a
q
n
i
a'
q
n
q'
q
i
qn '
j
j
3a .
n
n
3a. .
dtï^-^-iïiVi^ïijïi-Hj "'i-Vi lïuïi-î^ «'i^'j
Compte tenu de la symétrie des a.. on peut écrire :
- 640 -
,
~T
..„,
d
3T
3T
dt 3q'r " 3qr
Posons
n
£
ii
" i-1ari q i
, / 3a .
3a .
1 I
ri
rj
TT i —
+ -T—•*
2 ^ 3 q^
3 qt
n
n
J. Z
Z
2 i-1 j-1
3a.. \
11
—•*3 qr /
=
3a .
3a .
3a. .
ri
rj
ij
,
,
q
3Qj
3q £
3q r
iq j
|i
j
[r
-
Ce symbole est appelé symbole de Christoffel.
Avec cette notation on a donc
d
3T
3T
dFV;-^;
^^T^^^
dt 3 q f r
3qr
m
J
i=l %i
=
?
i-1
a
ri
?lf
+
q
i
q
.. x ï
?
i + i£l j£i
fi
L r
Jl
J
q
,
i
q
,
j
;. ? ri n- i-1 j-1 [
r
J
q
i
q
j
Nous avons vu que les q f . sont de même ordre que les q. donc on doit déjà
x
1$
écrire :
d ...3T
-_
—.
dt 3qf
Mais
^
a .» a .+
ri
ri
3T
.—
3q
s
î? a . q".
-ft
i=l
ri i
fL
3a . __
3a . __
. ri M q,-f...+ . rl H q
3q.
l
3q
n
M
n
i
n
_
au deuxième
ordre près
+ ...
Pour avoir en terme du premier ordre on doit donc prendre
*
a .~ a.
ri
ri
A 9T . 3T £ * -fl
dt 3qf " 3q = i=l ari q i
On obtient directement ce résultat en employant T :
o
T
s = îi f-ïjî^j
Tq est obtenu en remplaçant les a. . par leur valeur dans la configuration
D
^^7
d'équilibre et les q '. par les qf..
7^
tr
- 641 -
3U
2°) Linéarisation des termes -—
aq
9
En posant
u =u
C
*
/ 3 U >\
£•^ " ( 3
§7"" )
*
U
Prend la forme
*4 Jiji c Ij\^ + 3iJi Ji J/ gq .^%q k )* « i < j \ + --3U s - nZ
* —
c . q. '+ somme des termes du 2ème ordre
ri i
1=1
3q
Pour obtenir les termes linéaires il suffit de prendre U
D
n
n
* __ _
Z
I
r
a a
i=l j = l
ij qi qj
nU = -. JL
S
2
U_ est obtenu en prenant les termes du 2e ordre dans le développement de U.
S
û
L'équation de Lagrange<?o (q ) s'écrit donc :
^
£
1=1
* £
*a . q". + . E 1 C . q'. * 0
ri
i
1=1 ri
i
C. Forme du système différentiel. Principe de la résolution
On peut écrire finalement le système sous la forme
a
n^"l + •" + a în?n + C llïl' + •'•
a
în-^"l
+
'"
+a
ln ^"n * C ln ?1 + —
+C
l n V=°
* Cnn ?n = °
soit sous forme matricielle
?f
T
?
iT ii rir i"
+
U
=0
?
4
n
?
M"
n
[T] et [Uj étant les matrices (symétriques) des deux formes quadratiques
T et
s
V
La matrice (YJ étant symëttique la matrice [T]
sous la forme
?i
1
?
~ 'i F i" r ir '"
+
- nJ
q"
T
L J
existe et l'on peut écrire
U
L J L n_
7T
= 0
- 642 -
Posons
P1 1
V =
_
[D] = [ij
[u]
V
Le système s'écrit donc
->
Vfl
-*
+ [D] . V «
0
Dans sa base de configuration le vecteur
V
s'écrit
" q• i "
•
->
V -
q
i
•
•
. qn _
Faisons un changement de base tel que dans la nouvelle base
"V
x
i•
->
v =
•
X
n
On passe de l'ancienne base a la nouvelle par
~ q 'l F 1 "Xi"
q.
>J
=
P
X.
L JLV
La matrice [PJ est la matrice de passage.
Nous pouvons donc écrire le système différentiel sous la forme :
i r yx n i
i
P
r
"
n r i r Y"
fi
+
•
D
J Lx"n J L
x>i
P
I
= 0
J L .1 V
1
soit
x
" « ii r i" • [ i r ] r . i"
+
^
X fl
n J
P
(_
D
J
L
P
J
L
t
J L
I
Xn
=0
- 643 -
Nous allons montrer qu'il existe toujours une base (base de direction propre)
où la matrice [P]
[b] [F] est une matrice diagonale. C'est-à-dire que :
Xi
M"1 HH - F A. o
.° V
- Les scalaires X sont les valeurs propres de [Dj
- Les vecteurs de la nouvelle base sont les vecteurs propres de [bj :
->
A la valeur propre X. correspond le vecteur propre W..
Posons
->•
W. J
J
Vu]
a..
iJ
. anJ. J
- La matrice de passage est
lj
a
°ij
a .
nj
a
a
"°H
[P] = "il
a ,
ni
ln"
in
a
nn
Autrement dit les colonnes de [P] sont les vecteurs propres de [pj.
Nous désignerons maintenant cette matrice [PJ par jjo] .
Les résultats indiqués sont des éléments bien connus de la théorie
de la diagonalisation. Nous les compléterons par des résultats spécifiques
du fait que les matrices [T] et [il] sont des matrices symétriques.
D. Rappels et compléments sur la diagonalisation
-*
->
"^
1°) Le vecteur propre de [DJ est un vecteur W tel que [D] .W = XW
->•
X est la valeur propre associée au vecteur propre W . Cette relation peut
s'écrire
. _
.
{[D] -[XJ}. W = °
en posant
[Y] = A [l] ; [l]
[I]
Px
0"
" 1°V
étant la matrice unité
- 644 -
Posons :
~?r
•
->
W
a.
.1
-
a
n
La relation matricielle de définition peut s'écrire
"il-*' °1
d
lial
+
+ d
1 2 a 2 + •••
••• +
+ d
li
a
i
+
•'•
+ d
ln
(d
ii-A> "i + '•• + d i n a n
a
n
=
°
'• °
dnit a.1 + .... + d ni. a.i + .. . + (d nn-X.) a n
=0
Pour que ce système admette une solution autre que la solution banale, il
faut et il suffit que son déterminant soit nul.
"(d.il-X
- ,)
d.li
d,In
d.,
il
(d.. .) .....
n-X
d.
in
d
d
nit
ni
= 0
d • .
nn-X
C'est une équation de degré n. On l'appelle équation caractéristique. Ses
racines sont les valeurs propres. Elles sont en nombre n = {X ...X....X }.
Supposons d'abord les valeurs propres distinctes:
->
2°) Chaque valeur propre X. correspond un vecteur propre W.
tel que l'équation de définition soit vérifiée
fi)] .Jw. -Jx.J w.
3
J J
•+ •
{[D]
_ L[X.]}
W. LJ
JJ
J
0
ou
r
i
a,.
]
J
•+
avec
W. =
J
a..
ij
a .
. nJ -
en développant :
( d . f v ) a , . + . . . + d , . a . . + . . . + d, a .
11~X.
Ij
11 ij
In nj
= 0
d . t a , . + ... + ( d . . . ) a . . + ... + d. a . = 0
il I j
n-X.
ij
in nj
d
nit
a . . + ...
Ij
-H d . a . . + ... + v(d
. ) a . =
ni ij
nn-X/ nj
0
Ce système comme nous l'avons vu admet une solution autre que la solution
banale. C'est un système homogène, un élément de la colonne est arbitraire.
Si un élément est choisi par un procédé quelconque (nous verrons comment
on peut utiliser l'arbitraire) les autres sont entièrement déterminés.
En fait on détermine une direction propre.
- 645 -
La théorie ayant été rappelée il reste à montrer que les opérations indiquées
sont possibles et qu elles sont les propriétés des valeurs propres et des
vecteurs propres.
3. Les^valeurs^groEres^sont^reellesêtÊositives
—«.-.—.«.«.—.-.-.— «.— __......,__.«._—«.—™ —
Si W est un vecteur propre correspondant à la valeur propre X
nous avons
.
^
_^
{[T]~'. [U] }W r = X r Wr.
-»•
ou
->•
[u]
[T]J . w
LJ . w = x L
r
r
r
~
Multiplions les deux membres de cette relation par Wr vecteur conjugé
->•
W
T?—
-».
~'
->.
r
W fu]
= X W L. J[il . W
L J W
r
r
r r
r
on en déduit
de
_
=
Xr
Wr .
[U] . W
LJ
^
JL.
w'r .[T]. wr
au numérateur et au dénominateur figurent deux expressions positives du
fait que [u] et JY] sont les matrices de deux formes quadratiques définies
positives.
Les X étant réelles le rapport des composantes de chaque vecteur propre est
réel. Lorsque l'on choisit une des composantes étant donné l'arbitraire qui
subsiste on peut la prendre réelle. Par suite nous pourrons toujours avoir
les vecteurs propres réels.
_
. _
_
4. R§l§tions_dôrthogonalisation
Soient W et W deux vecteurs propres correspondant aux valeurs
r
o
propres ^r et ^distinctes.
i
On a montré que si W est un vecteur propre de [T] [u] associé à la valeur
propre X on a
_^
^
[u] . w - x [T] .w
on peut écrire
^
_^
DO • wr = xr [T] .wr
W • ws - x g [T] .ws
soit encore
^
_^
^
^
W's M - Wr = Xr Ws.[T].Wr
W'r [UJ.WS=
XsW'r[Tj.Ws ......
Mais comme les matrices [TJ et [Uj sont symétriques, les formes billinéaires
figurant aux premiers membres sont égales. Il en est de même de celles du
second membre
^
^
o - (x r -x g ) w g [T]. wr
- 646 -
->•f
W
Soit encore
-. -*
[TJ . W
r
o
ic
=0
Cette relation est appelée relation d'orthogonalisation. On a de même :
w's [uj. wr = o
On dit que les vecteurs propres sont orthogonaux avec une nouvelle définition de l'orthogonalité.
5• Normalisation
Nous avons vu qu'un arbitraire subsiste dans la détermination
des vecteurs propres. Nous avions par exemple levé cette indétermination en
choisissant une composante. Nous pouvons utiliser cet arbitraire autrement.
Nous choisirons les vecteurs propres vérifiant :
W f r .L[T]
J r.W = 1 v y r
On dit alors que l'on a "normalisé" les vecteurs propres.
Remarque 1 :
+
W
^
Les relations
w
peuvent s'écrire
+
[T] W = 0
+
[T]
L Jw = 1
r
r
+
+
W's DQ. Wr = ôsr
Le vocabulaire tire son origine de la généralisation de ce que nous connaissons dans un espace cartésien.
Remarque 2 :
Pour simplifier l'écriture posons
[T]
L J = [T..]
L XJJ
T..
= XJ
a?.
XJ
En outre
-^
~v]
•
Wr = a.
•.jr
•
a rr
•*
r i -*
wl
oSLLTJJ - w r
;
•*
WS0 =
J
Œ
n nz
Z
-i=l
, j- = ,l
T
Ks~
•
a.iS0
•
•
arS0
L -
-ij• a - iS
c a - jr
on peut donc écrire
j.jï, Ti:"isV'{sr
- 647 -
CÛetJsL
6. La matrice fal_9ui diagonalise frl"1!^! diagonalise simultanément
"""" "
a) La matrice [a] transforme \T~\ en une matrice unité
Soit [B| la matrice définie par
M
posons
=
I°G ' ET] M
(matrice congruente de [l] )
[a] - [a^ ]
W = [Ssi]
avec
3s£ = a.g
[B] =[3sr]
[A] - M
[a] = [A.r]
n
A. = .Z
T.. a.
ir
j =l
ij jr
B
n
» .Z
sr
i=l
n
B
= .Z.
sr
1=1
g .. A.
si ir
ou
a
. A.
is ir
n n
B - .Z .Z
T.. a. a.
sr
i=l j = l ij jr is
Bsr = Ssr
Par suite
si les vecteurs propres sont normalisés,
[a1^ [l] [a] = [l]
[ij matrice unité
[a] transforme [l] en une matrice unité par une transformation congruente.
b) La matrice [a] transforme [u] en une matrice diagonale
dont les éléments sont les X
Nous avons la relation
[u]
L J . w = xL J[T] . w
r
r
r
•-*•
Multiplions les deux membres par W
Wf
. W = X W 1 L J[l] . W
r
r s
r
en admettant les vecteurs propres normalisés
-*f
. •*•
W .u [uf.
W = X 6
J
s
r
r sr
s
L[ul
J
soit
- 648 -
Posons
[u] * L[il. j.1
LJ
U. . = C*.
ij
ij
ij
La relation précédente s'écrit donc
n .n
.Z I U.. a. a. = X 6
1=1 j = l ij is jr
r sr
Soit [E] la matrice définie par
[E] = [a] ' [llj [aj
Posons
(matrice congruente de U)
[C] = [U] [a];[G] = [c.J
;
[E] = [Egr]
En conservant les notations du paragraphe précédent :
C. - 1?, U . . a.
ir
j=l
ij j r
On a donc
n
E sr = i=l
£
3 si- C.ir
E
n
- .£
sr
1=1
a. C.
is ir
E
n
n
= .2 .£ U . . a.
a.
sr
i=l j = l ij is jr
E
sr
= X 6
r sr
ou encore
r
H-
À
l
\
0
0
X
n
ce qui permet d'écrire
[a]' [U] [a]
X
X °
L 0 \
La matrice [a] transforme la matrice [u] en une matrice diagonale par une
transformation congruente. Les éléments de cette matrice diagonale sont les
valeurs propres de la matrice [x[
[if] .
Ces deux résultants constituent un théorème bien connu de la théorie des
formes quadratiques.
c) Dans la nouvelle base des vecteurs propres normalisés T et
o
Uc prennent alors de formes remarquables
o
Dans la nouvelle base
r
\
T
S = 2 [x'1»"-.x'i.""x'n J
'
0
0
X'j
X'i
\
X
'n
- 649 -
T- - T T x î 2 •*• ...
S
2 ]_ 1
+ X! 2 •»• ...
i
+ X'2 I
n J
X
l
0
us = - l [ X l , ... , x . , ... , x j
x
S - - ï [ V X l . 2 . + -•
+ X
i
X
i
2 +
•'•
+X
l
x.
\| [ X n.
_ °
D
X
nXn2]
E. Solution du système différentiel
Dans la base de direction propre on a donc
~x"'l
ff
x .
X"
T'v
°
1
l**'
xi
+
nj
L
x.
0
An
Comme A . est positif posons
X1^
+ fij2 X j
0
X". + fi.2 X. =
1
1
1
0
+ fi 2 X
n
n
L
Xn
-
A . = fi. . E n développant
-
X"
n
J
=0
-
0
Nous avons n équations différentielles indépendantes qui sont celles d'un
mouvement harmonique.
X., ... , X. , ... , X
sont appelés paramètres normaux
fi , ..., fi. , ... , fi sont les pulsations propres
La
solution
de l'équation d'indice i est comme nous l'avons déjà vu :
X . = M. cosfi.t-+.N. sin fi.t
^ 1 1
i
i
i
Xi = Ai cos <Qit + *i>
Ce sont les vibrations fondamentales du système (ou principales).
La solution dans la base de configuration s'obtient alors à l'aide de la
matrice de passage.
- 650 -
q
1
?.
!"«,,
a,.
« ln
A, cos (n,t +*,)
a..,
a..
a.n
A. cos (Ojt + *.)
an «
*
n
=
q
nJ
L
a .
J
a
nn
J
Ln
A
cos (fi t + d> )
Les colonnes de la matrice ont un élément arbitraire. Apres avoir fait le
choix d'un élément, ces colonnes sont donc entièrement déterminées (ou après
avoir normalisé).
En développant on a donc
"q, = a . . A t cos (fi.t + <(> ) + .,.+
J J l l
l
1
q. = a.
A
a . . A. cos (fi.t + < f > . ) +...+
* J J
J
J
a. A cos (fi t+$ )
I n n
n n
cos (fi t + $ ) + ...+ a. . A. cos (fi.t + <f>.) + ...+ a.
q
= a . A, cos (fi,t •§•<()•)
H
n
ni 1
1 Yr
A cos (fi t+<j> )
•*-...+ a . A. cos v (fi.t * A..) +...+ a
A cosv (fi v t-i-è
)
nj j
j
*y
nn n
n ny
Le mouvement est la superposition des vibrations fondamentales.
Il y a 2n constantes à déterminer à l'aide des conditions initiales :
A, ... A. ... A
1
j
n
pour
t=0
q
H .=q.
i
^10
Q
H
î èY , ...é.
...é
y
y
l
j
n
f
.=q'.
i n 10
q. = a
A, cos <(>, + ... + a. . A. cos T<f>. + ... + a. A cosY é } n relations
10
il 1
1
ij j
j
in n
n
%
q! = - (a. fi, A f sin Y$.)•+...-•• a. . fi. A. sinY <f>. +...+ a. fi A siny <j> }
10
il 1 1
r
ij j j
j
in n n
n
n
relations?
Modes propres :
Le mouvement particulier tel que :
?! * A j o n
cos
qi = A I
cos ( ^ j t + f j )
^n
= A
l
ail
a
nl
COS
(fijt
&1*
+
+
est dit mode propre 1.
f,)
*1>J
?r
ou
q"j;
L ?nJ
an
=
Aj
ai]
^
cos (S t + <fO
- 651 -
Le mouvement particulier tel que
[~aij~
"<>"]
q.
-
a..
A.
_ qn J
cos (Q.t + <j>.)
L nJ
est dit mode propre j.
"aij"
Les colonnes telles que
a..
(formées des vecteurs propres) sont appelées
a .
.nJ colonnes des modes.
En résumé nous pouvons trouver la solution du système différentiel de
la manière suivante :
1- On calcule la matrice [^"'.[u]
2- On cherche les valeurs propres et l'on obtient les vibrations
fondamentales
3- On calcule les vecteurs propres et la matrice qui fait passer de
la base propre à la base de configuration
4- II reste à écrire - à l'aide de la matrice de passage - la solution
5- On détermine les constantes à l'aide des conditions initiales.
F. Cas où il y a des racines multiples
Lorsqu'il y a des racines multiples d'ordre k : X
= X ; ... ;
X. = À ; ... ; A, - X. Soient ? , » • • • > ? , k vecteurs propres correspondant
1
K,
1
K.
à cette valeur propre. Ils vérifient :
. KT M - p i - v ^ .
"
*
•
*
*
Ils sont orthogonaux aux autres vecteurs propres W, ., ... , W , ... , W .
K ** i
r
n
C'est-à-dire qu'ils vérifient tous
W'
r
[T]
L
J
- p. = 0
*i
Mais ils ne sont pas à priori orthogonaux entre.eux.
"**
"*"
->
->•
"^
Nous allons construire k vecteurs W, ... W. à partir de rpt...p....p
r
1
k
l
i r
- Pour le premier on peut poser
p
= W1
- 652 _>
-*
->
- p_ est orthogonal à W,
.. . W
x. y
tfi • i _.
n
construire W~ aussi orthogonal à W .
Posons
- > - > . - *
Wp = p« - a. W
+
. Nous allons à partir de p9
£
.
-*
et déterminons a. pour que W~ soit orthogonal
à W .
Multiplions à gauche par [T]
[T]. W2 = [T] p-,, - a, [T]. W,
->Multiplions à gauche par W
w'j-PO- w2 - w',. [T].J2 - a, w',. [T].W,
->
"*"
.
W^ sera orthogonal à W si
W'r[T). W2 = 0
ce qui détermine a
W'r[T].?2
a, = 5 r n +
Wj.frJ.w,
->
Si l'on a pris soin de normaliser W
W^ [T] . 'W
= 1
d'où
a
! - Wf , -[T|. P2
>
.
>
•
>
•
->.
- p^ est orthogonal à W, . ... W . Nous allons le remplacer par WQ
o
_^_
R+1
n
3
orthogonal en plus à W et W_ :
^3 =? 3 '•a2*l " a 3^2
Faisons la même opération que précédemment en multipliant à gauche par [T].
[T] W3 = [Tj £3 -a 2 [T] W, - a 3 [l] W£
"*"
"*"
Multiplions à gauche par W- et W9
w, DO .w3 = W j [T] p3 - cx 2 w, [T]W, - « 3 w, [T] w 2
W2 [Tj.W 3 = W2 [Tj|3
Mais
W [TJW
- oc2 W2 [Tjw, - a 3 W2 [l] W£
=0
W, [T]W3 = W, [T]^ - a 2 ^ [ T J W j
W 2 [T]W 3 = W 2 [T]p 3 - cx3 W 2 [T]W 2
- 653 +
W
-*
doit être orthogonal à W
•+
et W2
WjCrj^-o
w2[T]w3 = o
ce qui détermine a
et a«
W, [Tj ?
a
2
=
*—n -^ '
W, [Tf W,
W2 [T] ?3
a3
" ê 2 -H« 2
On peut ainsi déterminer de proche en proche des vecteurs orthogonaux
pour compléter la base.
S^^^ê-^êitfiÉ^K-d^ggîaêfi-mtl^glffi
- 654 -
—
rx>~
OA
1 • yl
0
-*°1A2 =
5AJ = £ Ifl X
F*2'
y
2
0 _
ÔAg = £4Q ?
V4 = £30 *
S
=
5^3 = £2() £
^T6 - - £5Q £
-£60 ^
Les masses A. et A^ sont assujetties par une liaison parfaite à demeurer
dans le plan des x, y . Ces masses sont supposées ponctuelles.
1. Calcul
de la fonction de force U ^
_«.._..___-.———-.—.«——.——.™™.
.
La fonction de force due au poids est constante car le système
se déplace dans un plan horizontal.
La fonction de force due au ressort est la somme des fonctions
de force dues à chaque ressort.
U= U
u
l *U2 * U3 *U4 * U5 * °6 + U7 + C
! - - ï ( £ i- £ io ) 2
A, - IV2>
AJA 2 = oT2 - ÔTj
x2 - x , + £ 1 Q -
y2-y,
-
o
(AjA 2 ) 2 = (x2 - x, + ilQ)2 + (72 ~ Y j ) 2
* 4
+ 2 £
10 <*2-*l>
X
9
2 ""
X
l
-ô<'-^)
x
—*IV 2 I
e
*,o
( 1 +
o "X
2
- I^-L)
IV 2 I « £, 0 + x2 - x,
-| (x 2 - X ] ) 2
U,
-
u
= - —
2
2
(a
U
2
-
e )2
70;
- 655 -
*2 - IV3I
0
..
(A2A3) =
t
-4-0
— 0
— Y
10
20
1.0
2
- 72
0
» 2
2
(A2A3) = £2Q - 2 £2Q x2
I1 A A 1I ~ P
— Y
2 3 ~ 20
2
4k
2
2S = ' T X2
U
U
3
~ T"
£
^3
30^
3 = 'VA!
£
_^
A A
24
=
rx2
£
30~y 2
0
(Â?4)2 - £30 - 2 £3Q y2
'VA' s V2
3S
4k
2
2
y
2
De même on aura
3k
2
4S = ' T ^
U
2
U
=- ^
x
U
5S
2 Xl
IT
U
k
2
6S=-2yl
2k
2
7S = ' T V2
U
Finalement
Ug - - 1
5 k X]2 H- 5 k x22 - 2 k X]x2 + 4 k Yj2 + 6 k y22 J
- 656 -
Soit sous forme matricielle
TT
U
S
S
=
"5k
-k
0
0 1
-k
5k
0
0
Q
o
1F
1
" "22 x ll» X 22 ' y i} > y22
L
J
0
4k
0
fxj "
x0
2
y.}
0
6k
0
y2
2• 5SêESÎê-£ÎSÉ£Î3HÊ»Si5EliÊî§ê
T - 1 m ( x j 2 + y j 2 ) -H 1 m (x' 2 + y f 2 >
T = T
fm
0
0
0 1 ]"x f
i
0
m
0
0
x'
S-2Lxil^Vfryf2j
0
0
m
0
y',
0
0
0
j r
T
"
yf
m
^ • SSB§£Î2BË_â!î«22ïïYê5?e.S£
Le système différentiel qui régit lféquation des petits mouvements s'écrit
fx1^"]
"m
0
0
Ol
0
m
0
0
x"2
0
1
0
0
0
m
0
0
m
y^
y
|~5k
-k
0
ûl
-k
5k
0
0
x£
0
0
4k
0
y}
0
0
0
6k
y2
+
f!
2
fxj"
" °
II est de la forme
[T| . v" + [u] . v - o
"x
avec
V -
X
2
yj
"m
"
[T| =
y2
0
0*
°
0
m
°
0
m
Q
°
m
0
0
0
soit encore
vt! + [XTû] . v
0
[u] =
T5k
-k
0
o"
-k
0
5k
0
0
4k
0
0
0
0
0
6k
- 657 -
4. Valeurs propres de [l]
m
0
0
1
ET -
0
[u]
0
-
0
0
m
0
0
,
m
0
0
0
0
m_
"f
"ï
°
-±
m
^
m
o
o
0
—
m
0
[T'hru]
L
JLJ -
0
0
0
°"
0
^
m
Les valeurs propres X vérifient
(J*-X)
m
*-x
m
-t
m
o
o
-*
m
^-x
m
o
o
0
0
0
0
Sk
— -x
m
o
0
o
(î-»
2
= 0
— -X
m
0
0
^-X
m
k
- m
o
— - X
m
o
0
+m
o
o
^-x
m
o
— - X
m
o
<£-»<f-w-4<£-»(£-»
m
(^-«(^-«[(f-»*-^2]
• o
2
2
(i!i - x ) (— - X )
m
m
,
À
l
=
= 0
4k
V
,
6k
X 0 = •—
3 m
II y a deux racines doubles.
_
A
2
=
4k
1T
. 6 k
X. = -—
4 m
o
0
It-x
m
- o
=0
- 658 - > • - » • - » • - » •
5. Vecteurs propres W , W ? , W , W
"*
"*"
a) Détermination de W. et W0 correspondant à A, = A =
l
£
1
2
•*•
-*•
Soient deux vecteurs propres p et p correspondant
AV
—
m
à la
valeur propre A. = ô
" a nl
("O|H"
a
Posons
2i
^
p, =
a
'2i
a,^
-v
p2 =
_ a 4ij
La'^.
-^
Détermination de W :
On choisit
W. = p. ; p
"—
5k - —4k
m
m
vérifie
-k.
^-^
m
m
-*
m
n
0
n
°
0
0
n
o
0
o
o
4k
4k
1
°
0
21
=
n
"
!
T
F a, ,
11
* - ^
m
m J
a
°
3i
L ^1-
En développant
k
k
m a l l "m
n
a
21
2k
— a..
m 41
=
°
= 0
Normalement un élément de la colonne est arbitraire ; mais ici du fait de
la racine double a,, est aussi arbitraire.
Choisissons
a
= 1
;
aq
= 0
Les équations donnent
a
21
= l
a
41
+
P
l
=
"1 "
1
0
_•()_
=
°
'- 659 -
-»Détermination de W0 :
•*•
^
Déterminons W~ par
W
•*
2=P2"alWl
• * • - * • - . ' .
p~ comme p vérifie
«
K. *
/^
* 11 'S» 21= °
K.
m
~
«'A,
m
4.1
=0
1
P9 =
z
af
ex |
31
0
Q i arbitraire
31
+
'
'
+
^
pour que W9 soit orthogonal à W. = p.
Nous allons maintenant déterminer a
On peut écrire :
w', [ij. p
a
=
1
W, [T]. Wj
m
1
m
a
.
0
F 1
1
D.1.0.0] [° " m j
'".[1.1.0.0] r m o ]
0 m
m _
•,-i"
W
2
" i l r i ~
i
i
•a
'3i
°
o j L°.
•*•
w_ =
2
"0
0
,
a'3,
_ 0
r
I ^3I
!i
0
0
- 660 -
Choisissons
a'
=
£
w2
= 1
" 0~
°
,
_ 0_
->•-*.
->
->.
Par ailleurs W. et W2 sont orthogonaux à W^ et W, .
•*
->•
6k
b) Détermination de W0 et W. correspondant
à X 0 = X, * —
r
3
4
3
4
m
Soient deux vecteurs propres p
et p
correspondant à A
= A .
Leurs composantes vérifient :
""
k
-m
k
-m
0
- - - -
0
m
m
"1 P"
0
O a
o
-^
m
0
0
0
T~
0
22
a
J2
k
°
0 a/0
J L ^^ J
L*
k
-2m
-m
-
0 0
=
2k
0
"1
a,0
1 2
m
i
-
Choisissons
+
"22
=
°
°32
=
°
a
^ = 1 alors
a.2 est arbitraire, prenons
->
p« =
•>
Pour p, nous
" 1 "•
-1
avons aussi
a' ] 2 +a' 2 2 = 0
a
'32
-»•'
"4 =
= 0
" 1
-1
0
.a'«_
->
->•
Déterminons W, orthogonal à W«
W, = ?4 - a2 %
a'
=
2k
0
a'
-*"
•>
W = p
0
*^
22
0
a,9 = 0
L °J
fa'.o
1 2
a'.,
32
- = - 1
Choisissons
Q
0
*-
0 - ^ 0
m
->-
ï2
o
-i
Ol
0
pour p« en développant
a
^
m
0
0
^^«.
°
- 661 -
w' M p
4
. _3
^
W3 [T] W3
o
" m O O O l f l
m 0
0
-1
0 0 m
0
0
0
0
0 m
m
0
0
a' 4 2
__ ._
0
1
0
[l,-1,0,0]
a
=
...
0 m 0 0
0 0 m 0
_ 0 0 0 mJ
-1, 0,0]
[l,
-1
0
L 0 _
a2 - 1
1
1
i r 1j "
w = - - 4
0
0
. '^J
[°.
a
." 0
0
0
.af«.
Choisissons o 1 42
.» = 1
0
W
4Œ
°}
«
^
. . ^
^* YîfeEâ£Î2SS^l2SÉâ5ÊS£§Iê£
Dans la base W j , W 2 , W , W le système s'écrit
X-11,
1
r L\f
"i
—
m
X"_
2
0
0
0
—
0
0
l r "
m
H-
X"_
J
X".
4 J
0
[_
X"
X"
i
/
X,
1
X0
2
o
0
—
0
0
0
rn
=
0
X,
—
mJ
X,
|_ 4 _
0
3
+ ^ X. » 0
X".
+^ X - 0
m 2
X". + Q. X, = 0
4 m A
m
l
3
+
^1 X
m
3
= 0
.- 663 ~
8.2.5. EXTENSION DE LA METHODE AUX SYSTEMES A LIAISONS NON HOLONOMES
Soit un système dont la configuration s'exprime à l'aide de n paramètres et comportant £ relations de liaison non holonomes (le nombre de paramètresest réduit en tenant compte des liaisons holonomes , s'il y en a)
Les relations sont de la forme
c u 1 q f 1 + . . . + a . . q l . + . . . + a . nq f = 0
jl
1
Ji
i
jn
n
avec
} Jj = l . . . £
a. . = a .. (q. ... Hq, • • • Hq )
Ji
ji
1
k
n
Posons comme précédemment
£, . __. '
mimim
q. = Mq. + 4q. 4 q' . 4
= qf.
H
i
i
i
i
i
*
a.. = a..1 -f
Ji
J
9a
•
ij
* _
J
q,
H +...+
Mi
i
3a..
* _
_• 1J
q,
4 +...-*•
8-qk
k
3a.. * —-il
9n
3qn
Pour obtenir des relations linéaires on doit prendre a., réduit à sa partie
*
-?1
constante a.. » valeur de a., dans la position d'équilibre.
Les équations deviennent donc
a.. qff +....+ a?, "q1. +...+ a? q"' ' • 0
Ji
i
ji
i
jn
n
} J = 1...&
Ces relations s'intègrent (elles sont devenues semi-holonomes)
a*, ?,+...+«*.?. + ...+a* n q n = Yj
}j-l...£
De ces relations on peut maintenant tirer £ paramètres en fonction des autres
et réduire au nombre minimum et avoir des paramètres indépendants. On est
ramené au problème précédent. Il faut cependant noter que la présence des
constantes y. conduira à des équations de petits mouvements qui ne seront
pas homogènes par rapport aux paramètres.
~ 664 -
8.2.6. EXTENSION DE LA METHODE A DES SYSTEMES A LIAISONS IMPARFAITES
A. Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que celles de la théorie générale
sauf en ce qui concernent les liaisons : elles ne sont pas parfaites ce
qui fait que la puissance virtuelle développée par les actions mécaniques
de liaison nfest pas nulle même dans une transformation virtuelle compatible. Nous supposerons que la puissance réelle développée par ces actions
mécaniques est négative.
B. Stabilité
Nous avons vu que le théorème de Lejeune-Dirichlet s'applique encore
si la puissance développée par les actions de liaisons est négative ou nulle.
Autrement dit avec cette hypothèse si le système sans frottement est^ stable
le système avec frottement est stable.
C. Cas de liaisons donnant lieu à fonction de dissipation de Rayleigh
Supposons qu'il y ait fonction de dissipation, on a :
1
b.. q 1 . q f .
E E
X
1J
* - 2 i j
J
soit encore sous forme matricielle
p>n .... bjïi rv,"
'-i^'i *'n}
b , .... b
ni
nn
•!
q fn
L .
avec
b., = b.. (q, ... q )
ij
ij
1
n
La fonction $ est une forme quadratique définie positive et nous avons vu
que la puissance développée par ces actions mécaniques était :
•£| *
^
,
3<j)
=
~"3?^
q
,
36
1 " '•• ~ Iq^
q
n
soit d'après le théorème d'Euler sur les fonctions homogènes
<^*
U
- - -2 +
La puissance est négative et permet l'application du théorème de LejeuneDirichlet.
- 665 -
D. Equation des petits mouvements dans le cas d'une fonction
dissipation de Rayleigh
Les équations de Lagrange s'écrivent :
d 3T
9T A 3<fr
au
n
+
=
dF^-^
-3q^"~"3T
°
n
n
n
r
r
r
r
^
*r - 1, ... . n
Pour obtenir un système linéaire à coefficients constants nous avons vu
qu'il fallait écrire les termes
_d_ 3T
3T
911 ^ £
* -t|
q
f
dt 3q
H r " 8q
*ir "" 9q
-ir ~i = l *ri i
£
i=l
ri qi
et que l'on obtenait directement ce résultats en employant T et U en
O
D
place de T et U. Voyons comment on peut obtenir directement la linéarisation
du terme ——f—
3q r
â^- Ji b ri^
mais
^ £ -qV
Bb . _
b r . = b r . ' + T li q j + . . . .
i
3b . _
q n + ...
n
+ -£i
Pour obtenir des termes linéaires à coefficients constants on doit donc
prendre
b .- b.
ri
ri
3q'r
ri Hq-.
i
^-b*.
On obtient directement ce résultat en employant au lieu de <() la fonction
de dissipation simplifiée <f> :
0v
1
y
y
)k.
« ± t . bï. q4' . q
'.
s
2 i j
i j i 4 j
V^^.-'n]^^
Lq'n.
ou encore
^ = 1 [>, ... q' n ] [*] .^
? n_
La matrice de (^ est obtenue en remplaçant les coefficients b.. par leur
valeur à l'équilibre b. ...
- 666 -
Les équations de Lagrange s'écrivent donc
n
n
n
* _
•* _ 1
.£ a . nq". + .Z
b . q . + . Z r . q. - - 0
i=l ri i
1=1
ri
i
i=l ri i
r - 1 .. .n
soit sous forme matricielle
[T] . v" +
Les matrices [T] [<fTj
T , U
^
!j
et <j>
D
[<j>]. v f + [uj. v = o
[jf] étant les matrices de 3 formes quadratiques
définies positives.
'
E. Résolution - Nature des solutions
On a un système différentiel linéaire à coefficients constants.
Nous ne pourrons d'une manière générale employer la méthode utilisée : il
faudrait pour cela pouvoir diagonaliser simultanément les 3 formes quadratiques. On cherchera comme il est d'usage les solutions sous la forme
A rt
q. = A.
e
L'équation générale d'indice i développée s'écrit en supprimant les étoiles
pour la simplicité de l'écriture :
a . , Mq"1' + ...
il
1
+ a. . q" ff . + ... + a. q"" + ... +
13
3
in Vn
b . , q"1 + ...
11 ^ 1
-i- b . . q" 1 . + ...
iJ
3
C. , nq"'
il l
+ ... + C. . q".
13 3
+ b. c[f + ...
in ^ n
+ . .. •«" C. nq"
in n
+
(i=l,,,n)
(^
*" '
=0
rt
~I
A
q'.Â
.re
q». - A . r 2 e r t
J
J
En portant dans l'équation ci-dessus et en regroupant en A ...A....A
2
2
À. (a. . r + b . 1 r + C . . ) + ...-»• A. (a. . r
1
il
il
il
J
ij
:
+ b. . r •#• c. .) + ...
ij
ij
•»• A (a. r2 -i- b. r + C. ) = 0
n
in
in
in
On obtient donc le système linéaire en A,...A....A
1
J
n
Al(anr2
+
A
+ b
l(aiir2
b n r + C, ,)*.. .Â. (a, .r 2 + b^r + C,J + .. -^(A^r 2 + b^r + C l n )-0
iir
+ C
i l >+ ' - ' t A j ^ j r 2
2
?
+
^jr*Cij> + ---+Vainr2^
A, (a t r +b . r - ^ C f ) + ... .+A.'(a .r +b . r + C . ) - f . . . + A (a
r
1 ni
ni
ni
J nj
nj
nj
n v nn
2
+ b
- °
nn
r + C
) = 0
nn
- 667 -
Pour que ce système linéaire et homogène en A. admette une solution autre
que la solution banale, il faut et il suffit que son déterminant soit nul :
(a n r 2 + b n r H(a./ +
C ] , ) + ... + (.,
.r 2 + b ^ r «• C,j)*.. .-Ka^r 2 + b^r + C ] n )
+ C.,)*...-^!2 + b..r + C..)*.. .-Ka^r2 + b. n r + C. n )
bilr
<anlr2 + bnlr + Cnl)+ -"+(anjr2 + V
=0
+C
nj)+ " ' '
^
n
/+ bnnr + V
C'est une équation de degré 2n en r : r
... r^
A la racine r. correspond pour q. la.solution
k
J
rt
Â
q. « A.
ek
Jk
jk
La solution générale est la superposition des solutions particulières.
Pour le système nous avons donc la solution
T
rjt
ri.tk
2nt
-
q, - A n e
r
—
+ ... + A l k e
it
r
i,t
+ ... Â^ê
A
r
6
q. = A., e ' -H ... -H A., e k * •" * Aj,2n
J>
J
Jl
Jk
r t
k
A
J]t ^ - . . + A
qn - A
nk, e
nJ e
A
... A.
... A
^
r t
+ ...n,2n
+ A 0 e2n
vérifient le système linéaire et homogène lorsqu'on
remplace r par rk.
A
lk
(a
lirk + b li r k + C,,)+ - - - + Ajk(aUrk + bljrk + ^j)*-* Ank(a.nrk+blnrn
+
..
(s)
A
cln) = o
2
2
(a. r -i-b.-r- + C. J + .. .-*• A., (a. . r, + b. . r. +C..)+...
1k il k
il k
il
jk
ij k
ij k
ij
+ A . (a. r2 -«• b. r. + C. y) « 0
nk
in k
in k
in
A
iv
JK
2
2
r +b
+c
1 A
ni
+ ...
ni i,k «ini i)"*"---ni " -u (a
jk.. r.
nj *kb . r.
nj + kC .)nj
(a
+ A . (a r . + b
r + C ) = 0
nk nn k
nn n
nn
Ce système admet une solution autre que la solution banale. Un des éléments
A
étant choisi arbitrairement, alors les autres sont entièrement déterminés. On choisira par exemple A . On peut dire encore que seuls les rapports
A
1K
jk
-r^— sont déterminés.
A
lk
- 668 -
F. Propriétés remarquables des racines de l'équation caractéristique
L'équation en A. d'indice i peut s'écrire en ordonnant les termes
par rapport à r
r
r
2
v(a..
il
A, +...+ a.. A. +...+ a. A y) +...+
1
ij j
in n
(b. , A, +...+ b.. A. +...+ b.
il
1
ij j
in
A )+...+
n
(C., A.. + ...+ C..A. +...+ C. A )
il
1
ij j
in n
=0
soit en écriture indicielle
2
r
n
n
n
.Z a. . A. •+ r .Z b. . A..' + .Z
J = l ij J
J = l iJ J
J=l
C. . A. = 0
iJ J
} i = 1 .. .n
on a n équations de ce type.
1 • Ça?.-lÊlL.ïLËSilïê8-- EêêiiÊË
Si les racines r sont réelles il en est de même des A..
Multiplions par A. les deux membres et faisons la sommation des n équations
«
r
n n
n n
n n
.Z
Z
a.
.
A.
A.
+
r
.2.
.E.
'b,
.
A.
A.
+
.Z.
1=1 j = l ij i j
i=l j = l ij i j 1=1 .Z,
j = l C...
ij A.i A.
j - 0
mais on peut aussi écrire en notation matricielle
[V
j, j, a.. A. A. = 2 [Al...A....An] [a..]
j.
ou
A
n^
1
N"
- 2 I A....A
L «
J
A 1 | T 1
n
J L S J
- .3
A.
A
n
C'est une forme quadratique définie positive car la matrice est celle de
l'énergie cinétique. En posant :
-+
A =
" Ai "
on a
A.
•Jl
L. A -I
n
n
n
.Z .Z
i=l j=l
+
a. . A. A. = T (A)
ij i j
•
'
\
T v(A) > 0
- 669 -
De même
FA ~
.1
.£ .2,
i-l'j-1
b.. A. A. = 2 A,...A
i-j • i J
L '
J
An
J L
b.
.
L
JJ
A.
;J
•
A
n
= 2 [V..A....An] [*J
rt'~
A.
A
n _
C'est une forme quadratique définie positive car la matrice est celle de
la fonction dissipation. Donc
n
E
i-l
n
^
.2
b. . A. A. - 2 <f)y (A)
j = l ij i j
y<j>
^
(A) > 0
on a encore :
TA""
.1
.S, .Z C. . A. A. =2 (A,...A
1=1 j = l ij i j
L 1
j
A
| C. .
A.
nJ L ijj
;J
uA
n -14
r^r
- 2
L A-J ...Aj
An
S
J Llu,,
J -oA.
An
.
C'est encore une forme quadratique définie positive car la matrice est celle
de la fonction de force. Donc :
n
n
£ .2.
1=1 J=l
+
C.. A. A. * 2 U v(A)
ij i j
+
U v (A) > 0
'
Finalement nous avons en reportant ces trois résultats dans l'équation
2
en r
r2 T (A) + r f (A) + U (A) = 0
Les racines en r ne peuvent être positives car cela exigerait
T(A) = 0
;
<|>(A) = 0
;
U(A) = 0
En conclusion^ lorsque l'équation caractéristique a des racines réelles,
ces racines sont négatives.
- 670 -
En fait ceci est un résultat que nous avions à priori. En effet d'après le
théorème de Lejeune-Dirichlet le système est stable. S'il y avait eu une
V
racine positive une solution du type q. = A. e
n'aurait pas été compaJ
JK
tibe avec la stabilité.
2- Ç§§«âê§-E§£Î2ÊË-.i5âSï2§i£ê§
A toute racine imaginaire
r
= a, + i$, de l'équation caracté-
ristique correspond une racine imaginaire conjuguée
r, = a, - ig, .
A r, correspond pour le paramètre —
q. la solution
—
q., = A., er^t
.
A r, correspond pour le paramètre q. la solution
K
J
q f « , = A1-., e
JK
JK.
A , ,...,A. ,... ,A
V
vérifie le système linéaire (s) lorsque l'on remplace
r par r, . Un des éléments étant choisi on peut déterminer tous les autres.
^'ir, ••• A1., •••À? ^
De même
vérifienlle système linéaire ( s) lors-
qu'on remplace r par r, . Ce qui revient à changer i en -i. Donc pour obtenir
A.
J «£
il suffit de remplacer r
R
par r. dans l'expression qui donne A. . On
K
obtient donc A',K à partir de A.
J
imaginaire conjuguée de A. .
JK
Posons
Donc
JK
JK
en changeant i en -i. A'
JK
est donc
^_
A.. « X., + i Y.,
jk
jk
jk
A'
= X., - i Y.,
jk
jk
2
Reprenons l'équation en r :
9
r
jk
n
n
n
- . Z . a. . A. + r .Z b. . A. + ...Z c. . A. = 0
J = l ij J
J-l ij J
1=1 iJ J
on a évidemment aussi
2
r
n
n
n
.Z a.. A. + r .Zt b.. A. •»• .Z c.. A.
i=l ji i
1=1 31 i
1=1 ji i
«
0
Ces relations sont vérifiées pour toute racine r, à laquelle correspond les
k
A., .
J
. .
Multiplions la le par A. et la seconde par A. puis faisons la somme
r
r
2
2
n
n
.Z
1=
—
n
n
_
n
n
^
A. A. + r . Z v . t b. . A. A. + .Z .Z c.... A. I. = 0
ij J i
1=1 J = l ij J i
i=l J=l ij J i
.2
1 J= l
a..
n
n
n
—
..
A.
A.
+
r
.2
.Z
a
ji i j
i=l j = l
n
.Z
Z
1=1 j = l
_
n
n
^
b . . A. A. + Z .Z c . . A. A. = 0
ij i j
1=1 j = l ij i j
- 671 -
mais
a.. = a...
ij
Ji
;
b. . = b...
iJ
Ji
;
C.. = C..
ij
Ji
r2 j, j, a.. (A.Â. + A.I.) + r j, .?, (A.Â. + A.I.)
+
n n
_
_
E
* C. . (A.A. -H A.A.) « 0
i=l J = l iJ
J i
iJ
or AX + Ajï. = (X. -H i Y.) (X,. - i Y£) + (X,, + i Y£) (X. - i Y^)
•* 2 (X.X. + Y.Y.)
i J
iJ
r2 ZZ ai. (X^. + Y£Y.) + r ZZ b^ (X^. + Y^.) -H ZZ C.,. (X£X. + Y^.) - 0
soit encore en employant les formes quadratiques déjà signalées :
r2 F T(X) + T(Y) J + r F cfr(X) + *(Y) J + U(X) + U(Y) = 0
en posant
X « |l X, .. ,,X
L
J
n
X
Y -l
L
J
Y. .. .Yn
J
J
Y
Nous pouvons faire le même travail avec la racine conjuguée r^. On aura donc :
F2 f T(X) -H T(Y)1 H- T f <|>(X) + -+(Y)1
+ U(X) + U(Y) = 0
r et r sont les racines imaginaires conjuguées de l'équation du second degré
r
<KX) + <KY)
+ r .. - _.
._ . 2.-o
T(X)
+
T(Y)
<KX) + *(Y)
a •- - -j
—^——^T(X) + T(Y)
^
avec
^
<|>(X) > 0 c|)(Y) > 0
^(x)> Q ^(Y)> Q
La partie réelle des racines imaginaires est donc négative.
Forme des solutions correspondant à des racines imaginaires.
Associons les solutions correspondant à deux racines imaginaires conjuguées
r, et "r.
—
r t
t
—
=
k
— rv
R
q..
-H q.. = A . ' e
+ A t]/e k
H
jk
^jk
jk
jk
\
=
V1 6k
F
s=
Vi6k
k
- 672 -
A.. = X.. + i Y.,
jk
jk
jk
A.. « X., - i Y.,
jk
jk
jk
jk + «jk
q
=
^ [(Xjk + i V
kt * i Sin ekt}
(C S 6
°
* (xjk -i V
-q\jk + q.-jk
M
posons
:
K
H
v [rX..
jk
« 2 e
(cos
V -£ sin 6kt}_
i
cos g - Y., sin g
k
jk
kj
2 X.. = B., cos à.
jk
jk
*k
2Y
jk= Bjk sin *k
B., et (j), sont déterminés par
B
2
2
2
jk= 4 (xjk * V
'^k'-lÎT
jk
?
jk + <jk
= B
jk ^
co. ( B k t + * k )
Pour q, nous avons donc
J
_
r t
_
r t
r t
_
r t
r t __
r t
l
R
q.-(A.f e
-H A . , e * ) -f...-H (A., e
+ A., e k ) + . . . + (A. e n +A. e n )
J
Jl
Jl
Jk
jk
jn
jn
ot t
—
î1"
k
q.=B. , ea cos ( B t t •*• *.)*...-••• B . . e
cos (g. t + <fr. ) + ...+ B , cos (6 t + <f> )
j jl
1
1
jk
k
k
nk
n
n
Comme les a
sont négatifs un terme tel que :
V
B., e
cos ( 6 , t + • < ) > , ) -+
0
pour
t-x»
On retrouve là encore le résultat connu à priorï : le système est stable.
(Conséquence du théorème de Lejeune-Diriehlet).
- 673 -
Pour le système nous avons donc finalement la solution :
ajt
akt
q} « B^ e
cos (3^+^) + ...+ B J k e
cos (3 k t+ <x k ) + • • •
+B n n
_ . _ _. q. « B. e
J
j
a
l l _ CO!^_.V
- t - - - - - - c T t
cos (B T t+<f> ) +...+ B. e
cos (B 1 t+<|> ) + ...
i
*
l
K,
K
J»^
a t
^_ ; ._.^____-___^^ ^v cos (^^ t>i _
+ B. e
jn
n
cos (g t•••<() )
_n_ ji_
aRt
+ B
e
nn
cos (6 t+<f> )
n
n
Remarque
x
=
¥
=
-^sin *k
jk
Y
jk
cos
*k
B.,
A
- -J^
Jk
2
Le système linéaire en A.fc est aussi vérifié pour les B., . Un élément étant
choisi arbitrairement tous les autres sont déterminés, ou encore seul le
rapport des éléments à un d'entre eux est déterminé.
On peut écrire :
B
?il1 f" ii]
q4
• J
.M
-
B.
J*
v cos
e
[BnlJ
r?ik" V
:
(6 t+<j> ) + ...+
*
i
BM
*J*^
e
cos (g. t+(j>, ) + . . .
R K
[Bnk_
": l n l « t
?jn
•
B
nn
e n
C S (3 t+<|) )
°
n
n
- 674 -
?i
!
que nous pouvons écrire aussi (par exemple) en choisissant B
~i r*i
=B
<j
H
r~
e
°l
VT
cos ( B j t ^ , ) * . . . +B l k
11
L
n
J
e
k
cos (B k t+* k ) + ...
1&
B.
_J£
LBnlJ
q
^
B.
J*
LBIkJ
1
+ B
B.
-J-
in
B.
In
a t
e
cos(B t+* )
n
n
B
nn
.V
Les colonnes sont entièrement déterminées. Il reste 2n constantes arbitraires
à déterminer par les conditions initiales.
Chaque coordonnée q. a un mouvement qui est la superposition de mouvements
harmoniques amortis de pseudo période
Tk -il
6
k '
Pour chaque pseudo période le rapport des amplitudes des différentes coordonnées est entièrement déterminé par la nature du système (a.., b.., C..)«
Les amplitudes absolues et les phases sont déterminées par les conditions
initiales :
pour t=0
, q"j = qf.o
' q f . - - q"f .
J
JO
3 • Çâ£.E§E£i£îîlîêE-.2H-.il-.Slï-.§-E§£^âî£5iE§£i2îî
Si b . . = 0
aussi
q". = B.
j
j
OL = 0
i
on a un système à liaisons parfaites On a alors
et les racines sont imaginaires pures.
cos C B - t - H f r . ) + . . . + B.
1 1
J*^
cos (B ^+((0 + . ..+ B.
K . K .
3^
cos (6 t+<f> )
n n
On retrouve bien le résultat de la théorie des petits mouvements des systèmes
à liaisons parfaites.

Cours

Transcription

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