Modélisation du comportement impactant d`un ensemble câble

Transcription

Numéro d’Ordre : 2008-39
Année 2008
THÈSE
présentée pour obtenir le titre de
Docteur de l’École Centrale de Lyon
Spécialité Mécanique
École doctorale de mécanique de Lyon (UCBL/INSA/ECL)
par
Nicholas LEIB
Modélisation du comportement impactant d’un
ensemble câble-gaine dans le domaine
fréquentiel
Application aux commandes à câbles
Soutenue le 15 Décembre 2008, devant le jury d’examen
P. Argoul
P. Cartraud
R. Dufour
S. Nacivet
L. Saillard
F. Thouverez
Chargé de Rercherche (HDR), ENPC/LAMI
Professeur du GéM, Ecole Centrale de Nantes
Professeur du LDMS, Insa de Lyon
Ingénieur de Recherche, PSA Peugeot-Citroën
Ingénieur de Recherche, PSA Peugeot-Citroën
Professeur du LTDS, Ecole Centrale de Lyon
Rapporteur
Rapporteur
Président du Jury
Examinateur
Examinateur
Directeur de thèse
i
ii
iii
iv
v
Patience et longueur de temps
Font plus que force ni que rage.
Le lion et le rat. Jean de La Fontaine.
vi
Résumé
Dans cette thèse nous étudions le comportement vibratoire des commandes à câbles d’une
boîte de vitesses automobile. La présence de jeux, qui assurent le montage et le fonctionnement de ces commandes, créent des vibro-impacts qui ont des répercussions acoustiques,
appelées grésillement, négatives pour le conducteur. L’objectif de cette thèse, réalisée en
collaboration avec PSA Peugeot-Citroën, est de comprendre l’origine du grésillement, et de
prédire son apparition dans les différentes configurations véhicules.
Dans un premier temps, nous traiterons les diverses méthodes qui existent pour résoudre
le problème non-linéaire dans le domaine fréquentiel. Nous proposerons une démarche pour
établir la réponse en fréquence sur la plage de fonctionnement du moteur, et une approche
pour estimer le contenu spectral hautes fréquences à la suite d’un calcul par balance harmonique. Ces méthodes sont appliquées sur un modèle vibro-impactant simplifié.
Dans un second temps, nous présenterons les divers essais qui ont permis de déterminer
l’origine vibratoire du grésillement, d’identifier les caractéristiques matériaux nécessaires
et d’établir une référence pour valider un modèle. Ensuite, un modèle éléments finis et les
résultats de corrélation sont présentés. Nous proposons alors un critère qui permet d’établir
rapidement si le système va grésiller ou non. Ce critère est enfin utilisé pour comparer le
niveau de grésillement sur plusieurs configurations véhicules.
Mots-clés :
commandes de boîte de vitesses, grésillement, méthodes non-linéaires, analyse de stabilité,
vibro-impacts
vii
viii
Abstract
In this thesis we study the dynamic behavior of a vehicle’s gearshift cables. To ensure proper assembly and functioning of the pieces, there are clearances in the system. The latter
cause a vibro-impacting phenomenon, called tizzing, that can bother the driver. The aim
of this work, done in collaboration with PSA Peugeot-Citroën, is to understand the sources
of cable tizzing, and predict its presence in different configurations.
The first part is devoted to presenting the different methods used to solve a nonlinear problem in the frequency domain. A method to determine the frequency response on a car
motor’s bandwidth is presented and an approach to estimate the high frequency content after a harmonic balance is proposed. These methods are applied on a simple vibro-impacting
system.
The next part presents the different experiments that were conducted to determine the
source of cable tizzing and identify the physical characteristics of the cable and its protective housing. A experimental testbench served as a reference to validate a finite element
model. Then, the model is presented and the correlation results are shown. A criterion is
proposed and helps establish whether or not, the system is going to tizz. Finally, the latter
is used to compare the tizzing level on different vehicle configurations.
Keywords : gearshift cables, tizzing nonlinear methods, stability analysis, vibro-impacts
ix
x
Remerciements
En premier lieu, je tiens à remercier le Professeur Louis Jezequel de m’avoir proposé ce
travail de recherche au sein du laboratoire D2S en collaboration avec PSA Peugeot-Citroën.
J’adresse aussi mes remerciements, avec une mention spéciale, au Professeur Fabrice Thouverez, mon directeur de thèse, qui a suivi de près et a su orienter ce travail dans les moments
difficiles.
Je remercie aussi Laurent Beaune et Samuel Nacivet de m’avoir fait confiance pour entreprendre ce projet. Une mention spéciale pour Samuel qui a toujours une montagne d’idées
et qui a su se montrer patient pour répondre à mes nombreuses questions.
Je remercie également Amandine Toussaint pour l’intérêt qu’elle a porté au projet et d’avoir
toujours voulu partager les résultats avec ses collègues. Je remercie aussi Laurent Saillard
pour l’intérêt qu’il a porté et les nombreux retours d’expériences qu’il a pu me fournir.
Je tiens également à remercier Wilfried Raguenet et Valérie Aubois de m’avoir permis de
réaliser des essais à PSA. Une mention spéciale à Grégory Autin, Lionel Vaslot et Stéphane
Lanotte qui n’ont pas compté leurs heures pour me faire découvrir les méandres des mesures
expérimentales. Merci à Olivier Rieu avec qui nous avons partagé nos découvertes.
J’adresse un grand merci à Stéphane Lemahieu et Bernard Jeanpierre qui m’ont aidé à
préparer et mener les différentes campagnes d’essais à Lyon.
Merci également à Emmanuelle Sarrouy et Denis Laxalde avec qui nous avons pu débattre,
de manière plus ou moins constructive, de nos difficultés dans la modélisation non-linéaire.
Je tiens aussi à remercier mes collègues de PSA de s’être intéressés aux matrices jacobiennes
et d’avoir rendu ces trois années très agréables.
Enfin, je remercie Anne qui m’a soutenu et avec qui j’ai pu partager, les petites réussites.
xi
xii
Table des matières
Résumé
vii
Abstract
ix
Remerciements
xi
Table des matières
xiii
Introduction
1
1 Formulation d’un problème de contact en éléments finis
7
1.1 Equations locales : formulation forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1
Principe des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2
Egalité variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3
Inégalité variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Discrétisation en éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Création de la matrice d’amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1
L’amortissement proportionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2
Amortissement de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.3
Amortissement de Caughey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.4
Amortissement de Rayleigh généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.5
Amortissement structural hystérétique . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Les méthodes de la dynamique non-linéaire
23
2.1 Introduction : la dynamique d’un système non-linéaire . . . . . . . . . . . . . 23
xiii
TABLE DES MATIÈRES
xiv
2.2 Résolution de systèmes d’équations non-linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1
Méthode du gradient ou de plus profonde descente . . . . . . . . . . . 31
2.2.2
Méthode du gradient conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.3
Méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.4
Méthodes de Levenberg-Marquardt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.5
Approximations numériques des dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.6
Méthode de Gauss-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.7
Méthode de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.8
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Méthodes temporelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1
Les intégrateurs temporels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.2
Méthodes de tirs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.3
Méthode de tirs multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.4
Méthode des différences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.5
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4 Méthodes fréquentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.1
La méthode de la balance harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.2
Réduction du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.3
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5 Techniques de suivie de solutions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5.1
Continuation séquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5.2
Continuation par paramétrisation de la longueur d’arc . . . . . . . . 61
2.5.3
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.6 Etude de la stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.6.1
Quelques définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.6.2
Théorie de Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.6.3
Bifurcations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.6.4
Calcul pratique de la matrice monodrôme . . . . . . . . . . . . . . . 69
3 Résolution pratique d’un problème avec contact
81
3.1 Méthodes temporelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.1.1
Les multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.1.2
Les méthodes de pénalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
TABLE DES MATIÈRES
3.1.3
xv
Les Lagrangiens augmentés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2 Les méthodes fréquentielles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.2.1
Les méthodes de pénalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2.2
Les Lagrangiens augmentés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2.3
Les Lagrangiens dynamiques : DLFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3 Récupération des hautes fréquences en balance harmonique . . . . . . . . . . 88
3.4 Application sur un modèle vibro-impactant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.4.1
Le modèle simplifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.4.2
Le comportement dynamique global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.4.3
Une compréhension plus fine du comportement dynamique . . . . . . 102
3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4 Corrélation essais/calculs
4.1 Description générale d’une commande de boîte de vitesses
107
. . . . . . . . . . 108
4.1.1
Implémentation dans le véhicule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.1.2
Structure du câble de passage ou de sélection . . . . . . . . . . . . . 108
4.2 L’origine vibratoire du grésillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.3 Caractérisation des filtrations côté boîte de vitesses . . . . . . . . . . . . . . 114
4.4 Caractérisation du câble interne et de la gaine . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.4.1
Caractérisation du câble interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.4.2
Caractérisation de la gaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.4.3
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.5 Corrélation essais/calculs sur la commande droite . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.5.1
Réponses stationnaires expérimentales de la commande . . . . . . . . 128
4.5.2
Le modèle éléments finis de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.5.3
Intégration temporelle directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.5.4
La balance harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.5.5
Critère de grésillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.5.6
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.6 Etude sur le système en configuration véhicule . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.6.1
Modèle éléments finis en configuration véhicule . . . . . . . . . . . . . 147
4.6.2
Câble plus raide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.6.3
Modification d’une condition aux limites sur le câble . . . . . . . . . 150
TABLE DES MATIÈRES
xvi
4.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Conclusion et perspectives
153
Bibliographie
155
Table des figures
165
Liste des tableaux
171
Annexe A
173
Introduction
Avec les efforts continus qui sont réalisés par l’industrie automobile pour isoler au maximum l’habitacle de la voiture des bruits du moteur, de roulement, et aérodynamique, des
bruits secondaires commencent à faire leur apparition. En effet, les jeux présents dans les
montages de véhicule sont potentiellement sources de vibrations qui peuvent avoir de multiples conséquences acoustiques. Ce travail de thèse se concentre plus particulièrement sur
le bruit de "grésillement" qui provient de la commande manuelle de boîte de vitesses. Ces
commandes, prévues pour encore une vingtaine d’années, se verront remplacées par des
commandes purement électriques. Comme illustré dans la figure 1 une commande manuelle
de vitesses est composée de deux câbles - une pour la sélection et l’autre pour le passage
de la vitesse - qui sont reliés à la boîte de vitesses et au boîtier de commande situé dans
l’habitacle de la voiture. Le passe tablier, qui comme son nom l’indique permet de traverser
le tablier, assure une certaine isolation acoustique entre le compartiment moteur et l’habitacle de la voiture.
Fig. 1: Une commande manuelle de boîte de vitesses
Les constations expérimentales effectuées durant ces dernières années ont permis de dégager
quelques règles associées à l’apparition du grésillement :
1
TABLE DES MATIÈRES
2
– il apparaît essentiellement sur les moteurs diesel car les excitations moteurs sont plus
importantes que sur les moteurs essence
– il apparaît généralement dans les hauts régimes stationnaires de fonctionnement du moteur
– il apparaît plus rapidement lorsque la commande est usée
– une simple pression sur le pommeau de la commande fait disparaître le phénomène
Un premier banc d’essai (fig. 2) de caractérisation réalisé par les services d’essais acoustiques
et vibration (EAVM) de PSA Peugeot Citroën a permis d’identifier plus clairement le
comportement vibratoire de la commande qui est à l’origine de la nuisance acoustique. La
Fig. 2: Banc d’essai utilisé au centre technique de La Garenne Colombes
commande est montée sur un marbre dans sa configuration véhicule, une extrémité est fixée
sur un pot vibrant et le boîtier est encastré sur le marbre. Le pot vibrant simule une montée
en régime du moteur et des mesures accélérométriques sont réalisées le long des câbles de
la commande. La figure 3 compare deux mesures prises pour un régime moteur de 4500
tr.min−1 soit une excitation harmonique au banc d’essai de 150 Hz (un tour du moteur est
équivalent à deux tours de l’axe primaire). La figure 3a relève la mesure accélérométrique du
système sans grésillement obtenue en appliquant une pression sur le pommeau de vitesses.
A l’excitation sinusoïdale du pot vibrant, la réponse vibratoire est purement sinusoïdale
avec la même fréquence. Dans la figure 3b on voit la réponse vibratoire de la commande
lorsqu’aucune pression n’est appliquée sur le pommeau de vitesses. Cette fois, à la réponse
sinusoïdale sans grésillement on superpose un signal périodique haute fréquence. C’est ce
comportement vibratoire qui va différencier une commande grésillante d’une commande
non grésillante.
3
100
100
50
50
Amplitude (m.s−2)
Amplitude (m.s−2)
TABLE DES MATIÈRES
0
−50
−100
−150
0.7
0
−50
−100
0.71
0.72
0.73
Temps (s)
(a) Sans grésillement
0.74
0.75
−150
0.7
0.71
0.72
0.73
Temps (s)
0.74
0.75
(b) Avec grésillement
Fig. 3: Réponses accélérométriques sur le banc d’essai pour une excitation de 150 Hz
Ce phénomène est connu depuis le début des années 2000 et pour y remédier divers solutions
sont utilisées : capotage acoustique, ressort en pied de levier, ajout de graisse, etc... Malheureusement ces solutions d’urgence sont coûteuses surtout lorsqu’elles sont appliquées en
grande série, et ne sont pas réutilisables car imaginées pour une configuration particulière.
L’idée de cette thèse est donc née dans ce contexte industriel.
Les objectifs industriels sont évidents, il s’agit d’éliminer le bruit de grésillement pour améliorer la sensation perçue par le client. Economiquement, cela revient à éviter l’application
de solutions "pansements" qui sont coûteuses. Plus en amont, lors de la conception, les
ingénieurs ont besoin d’un outil numérique qui permet de prévoir le comportement vibroacoustique de la commande et de tester virtuellement différentes solutions avant que celle-ci
soit montée sur un véhicule.
Les systèmes vibro-impactants sont le sujet de nombreuses études en raison du comportement non-linéaire qu’ils exhibent. Ces études se concentrent sur des systèmes à un ou
deux degrés de liberté et déterminent très précisément le comportement vibratoire autour
d’un mode propre. Ils identifient les zones de réponses périodiques, quasi-périodiques et
chaotiques. Ils décrivent les transitions vers le chaos. Quelques exemples se trouvent dans
les articles de Shaw et Holmes [1, 2], de Padmanabhan et Singh [3], Bapat [4], Wagg et
Bishop [5], Vielsack [6], Luo et Xie [7].
Ces travaux servent de base à de nombreux articles sur des applications qui se rapprochent
plus de notre problématique. Ainsi Fang et Wickert [8] étudient de manière expérimentale
l’impact d’une poutre contre un composant rigide. Ils démontrent qu’un tel système exhibe
4
TABLE DES MATIÈRES
les mêmes types de comportements dynamiques complexes que les systèmes masses-ressorts
dont on a parlé précédemment. Numériquement, ils effectuent un recalage avec un oscillateur masse-ressort et gèrent le contact avec une loi de restitution. Ils s’aperçoivent toutefois,
que ce modèle n’est pas assez complexe pour reproduire fidèlement l’ensemble des réponses
mesurées expérimentalement. Van de Vorst et al. [9] cherchent les réponses périodiques et
stationnaires d’un tel système et confirment la nécessité de retenir plusieurs modes afin
de reproduire fidèlement le comportement dynamique. Wang et Kim [10, 11] s’intéressent,
quant à eux, aux réponses transitoires d’un tel système. Une telle étude requiert de retenir
encore plus de modes pour représenter fidèlement les efforts de contact. Yin et Wang [12, 13]
étudient la réponse transitoire dynamique de deux tubes concentriques. Sous l’effet d’une
pression interne les deux tubes peuvent rentrer en contact. Ils confirment les conclusions
précédentes et montrent que le mode de résonance du système couplé se situe entre le mode
du tube extérieur et le mode des deux tubes considérés comme collés. La dynamique est très
complexe et les routes menant vers le chaos très diverses. Wagg et Bishop [14] et Knudsen
et Massih [15] présentent des études comparables.
D’autres applications mènent à de telles études. Ainsi, Azeez et Vakakis [16] ou Von Groll
et Ewins [17] étudient les réponses dynamiques d’un rotor qui rentre en contact avec ses
roulements à billes. Yigit et Christoforou [18] et Trindade et Sampaio [19] étudient l’impact
entre une colonne de forage et les parois. Ervin et Wickert [20] et Vielsack [6] repèrent
des délaminations dans des poutres multi-couches en observant les spectres des réponses
temporelles. Enfin, Potthast et al. [21] dimensionnent une perceuse à percussion à l’aide
d’un modèle vibro-impactant simplifié.
Au niveau scientifique, cette thèse va donc se baser sur ces travaux. Les aspects expérimentaux et numériques vont être abordés. D’un point de vue expérimental, il s’agit d’isoler
et de mieux comprendre l’origine vibratoire du phénomène de grésillement. Il s’agit aussi
d’estimer des paramètres matériaux et d’établir une référence pour effectuer une corrélation
entre les essais et les calculs. D’un point de vue numérique, il s’agit de proposer une modélisation reproduisant le comportement dynamique du système. Dans nos travaux, nous
essaierons de modéliser des impacts répétés à différents endroits sur le câble et gaine. Dans
les articles précédents, il n’y a généralement qu’un seul point de contact. Nous devrons aussi
estimer l’amplitude des hautes fréquences, car c’est un moyen pour faire la différence entre
une commande qui grésille et une commande qui ne grésille pas. De plus, il s’agit d’étudier
le comportement dynamique de la commande sur toute la plage de fréquence [0 − 200] Hz,
i.e. autour de plusieurs modes, et non seulement autour d’un mode. Enfin, le coût numérique de tous les calculs restera une préoccupation centrale.
Ce mémoire s’articule de la manière suivante. Nous commencerons par présenter la mise
en équation du problème continu mettant en jeu deux corps flexibles. Nous en dériverons
les formulations variationnelles afin de permettre la discrétisation en éléments finis. La
commande comportant beaucoup de matière visco-élastique nous présenterons différentes
TABLE DES MATIÈRES
5
façons de construire une matrice d’amortissement simple. Ce premier chapitre aboutit sur
les équations matricielles.
Tous les problèmes de contact étant non linéaires, nous présenterons dans le deuxième
chapitre les outils indispensables à la résolution des équations matricielles déterminées précédemment. Les algorithmes d’optimisation locale constituent la base de l’analyse non linéaire. L’intégration temporelle, les méthodes de tir et de balance harmonique permettent
de déterminer les solutions stationnaires d’un système soumis à une excitation harmonique.
Enfin, nous présenterons les notions de stabilité d’orbites périodiques et les moyens de trouver les points de bifurcations.
Le troisième chapitre apportera plus de précisions quant à la gestion pratique du contact
dans les domaines temporel et fréquentiel. Nous appliquerons toutes les méthodes décrites
précédemment afin de proposer une méthodologie pour réaliser l’analyse du comportement
dynamique de la commande de boîte de vitesses. Dans ce chapitre sera proposé une approche simple pour récupérer les hautes fréquences après une balance harmonique.
Enfin, nous reviendrons plus spécifiquement à l’étude de la commande de boîte de vitesses
dans le chapitre quatre. A travers des essais nous chercherons à comprendre l’origine vibratoire du grésillement. Une fois établie, nous effectuons une série d’essais de caractérisation
pour obtenir les paramètres physiques des différentes pièces de la commande afin de créer
une modélisation de référence. Ce modèle éléments finis de référence sera comparé avec des
essais. Pour finir, grâce aux méthodologies présentées dans le chapitre 3, nous testerons
numériquement différentes solutions technologiques pour réduire le grésillement dans une
commande de boîte de vitesses, approche qui sera réutilisée dans le futur par PSA Peugeot
Citroën.
6
TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 1
Formulation d’un problème de contact
en éléments finis
Dans ce chapitre, l’objectif est d’obtenir les équations matricielles relatives à un problème
impliquant deux corps élastiques en petits déplacements qui sont potentiellement en contact
avec frottement. Autrement dit, nous nous plaçons dans une formulation linéaire en ce qui
concerne les deux corps avec une interface non-linéaire. La loi de Coulomb est choisie pour
modéliser le frottement et la loi de contact unilatéral est utilisée pour la direction normale. A
partir de ces hypothèses nous formulons les équations locales, ou formulation dite forte, pour
ensuite déduire la formulation variationnelle utile pour la discrétisation en éléments finis.
Nous verrons que la formulation variationnelle d’un problème avec contact et frottement est
mathématiquement équivalent à résoudre un problème d’optimisation sous contraintes. Par
cette démarche on obtient aisément les matrices de raideur et de masse du système, c’est
pourquoi dans la dernière partie nous présenterons les méthodes généralement utilisées pour
intégrer de l’amortissement global dans la structure.
1.1
Equations locales : formulation forte
Considérons deux solides déformables A et B comme dans la figure 1.1. Les deux corps sont
représentés respectivement par les domaines ΩA et ΩB de R3 , de frontières ΓA et ΓB . Soit
nA et nB les normales extérieures en chaque point de ces frontières. Elles sont divisées en
trois parties distinctes pour chacun des deux corps :
B
A
B
– ΓA
S et ΓS sur lesquelles sont appliquées les charges surfaciques fS et fS
B
– ΓA
U et ΓU sur lesquelles sont appliquées des déplacements imposés
– ΓC , frontière commune aux deux corps qui subit les efforts de contact fC
Chaque corps subit des efforts volumiques supplémentaires notés fVA et fVB . Le problème posé
par la mécanique des milieux continus consiste à déterminer les champs de déplacements
7
8CHAPITRE 1. FORMULATION D’UN PROBLÈME DE CONTACT EN ÉLÉMENTS FINIS
Fig. 1.1: Problème de contact entre deux corps
uA et uB et les tenseurs de contraintes σ A et σ B satisfaisants à l’équation d’équilibre
div σ h + fVh = ρh üh
(1.1)
uh = uh0 sur ΓhU
(1.2)
où l’exposant h se réfère indifféremment au corps A ou B, et ρ la densité volumique. A
cette équation d’équilibre local s’ajoute les équations suivantes
h h
σ n
=
fSh
sur
ΓhS
(1.3)
où la première équation représente les conditions aux limites associées aux déplacements
imposés sur les frontières ΓhU , et la deuxième équation représente les efforts mécaniques
appliqués sur les frontières ΓhS .
A ces équations il faut ajouter les conditions de contact normal et tangentiel entre les deux
corps, repérées respectivement avec les indices N et T . Le vecteur représentant les efforts
de contact peut être décomposé suivant ses composantes normale et tangentielle
h h
fch = σN
n + σTh pour h = A, B
(1.4)
1.1. EQUATIONS LOCALES : FORMULATION FORTE
9
h
où σN
est un scalaire et σTh un vecteur. Les conditions de contact normal s’expriment
g(u) = uA nA + uB nB
≤ 0
A
B
σN
= σN
= σN ≤ 0
σN g(u) = 0
(1.5)
(1.6)
(1.7)
La première équation définie la distance entre les deux corps sur la frontière ΓC , la deuxième
équation est vraie en vertu du principe de l’action et de la réaction, et enfin la troisième
équation résume la condition de contact normal : si g(u) est différent de 0 alors la pression
de contact σN est forcément nulle, et si g(u) est nulle alors σN peut prendre une valeur finie.
Les efforts de contact tangentiels, liés au frottement entre les deux corps, s’expriment par
Φ = kσT k − µ |σN | ≤ 0
B
u̇A
= ξ
T − u̇T
(1.8)
∂
Φ
∂σT
ξ ≥ 0
ξΦ = 0
(1.9)
(1.10)
(1.11)
L’équation 1.8 n’est autre que la loi de frottement de Coulomb où µ ≥ 0 est le coefficient
de frottement. Les équations 1.9 et 1.10 obligent la direction de glissement a être opposée
à la direction des forces de frottement. L’équation 1.11 n’autorise le glissement que lorsque
la loi de Coulomb est vérifiée, i.e. Φ = 0. Si kσT k ≤ µ |σN | alors les deux corps adhèrent
B
et u̇A
T − u̇T = 0. ξ est nul s’il n’y a pas glissement, ou positif lorsqu’il y a glissement. Sa
valeur dépend de la fonction Φ [22]. L’ensemble de ces équations de contraintes normales
et tangentielles sont généralement définies comme les conditions de Kuhn-Tucker. La figure
1.2 illustre graphiquement ces conditions.
Fig. 1.2: (a) Loi de contact unilatéral (b) Loi de frottement de Coulomb
1.2
Formulation variationnelle
La résolution directe des équations locales est une tâche ardue pour un bon nombre de
problèmes. On leur préfère les formulations faibles qui découlent du principe d’Hamilton ou
du principe des puissances virtuelles. De nombreux livres de physique et de mathématique
[23, 24] traitent en détail ces formulations puisqu’elles sont à l’origine de la méthode des
éléments finis, c’est pourquoi nous ne chercherons pas à rentrer dans les détails. Toutefois, retenons que la formulation variationnelle présente de multiples avantages : elle offre
une manière relativement simple et générique pour construire le système d’équations d’un
problème car elle est basée sur un calcul énergétique. Seules, ces possibilités n’auraient
peut-être pas permis l’explosion de la méthode aux éléments finis, mais le développement
simultané des ordinateurs a offert le cadre idéal pour implémenter et tester ces méthodes
dans un grand nombre de domaines et sur des applications variées.
1.2.1
Principe des travaux virtuels
Le principe des travaux virtuels stipule que pour tout déplacement virtuel, infinitésimal
et compatible avec les conditions aux limites imposées sur un corps, le travail virtuel des
efforts internes est égal au travail virtuel des efforts extérieurs. Pour chaque corps A et B
nous pouvons donc écrire le bilan des travaux virtuels à partir de l’équation 1.1. Définissons
les espaces
V (Ωh ) = v h , v h = U h sur ΓhU
(1.12)
et
K = v = (v A , v B ) ∈ V (ΩA ) × V (ΩB ), g(v) ≤ 0 sur ΓC
(1.13)
K est l’espace des déplacements admissibles (qui respectent les conditions aux limites sur
ΓhU et les conditions de contact sur ΓC ) pour chaque corps A et B. On remarquera que
l’on ne précise pas l’ensemble dans lequel sont pris les déplacements. Le cadre fonctionnel
couramment employé par les mathématiciens utilise les espaces de Sobolev [24]. Dans la
suite, nous omettrons l’exposant h relié au corps A et B par souci de clarté. Soit v ∈ K
un champ de déplacements admissibles alors l’application du principe des travaux virtuels
donne
Z
Z
Z
ρü · vdΩ =
fV · vdΩ + div (σ) · vdΩ
(1.14)
Ω
Ω
Ω
En intégrant par parties le dernier terme de droite avec l’application de la formule de Green,
on aboutit à la forme connue du principe des travaux virtuels
Z
Z
Z
Z
σ · grad (v) dΩ + ρü · vdΩ =
fV · vdΩ +
fS · vdΓ
(1.15)
Ω
Ω
Ω
ΓS
La dernière intégrale peut se décomposer selon les frontières sur lesquelles on a des déplacements imposés (ΓU ), des efforts imposés (ΓS ) et des efforts de contact normaux et
1.2. FORMULATION VARIATIONNELLE
tangentiels (ΓC )
Z
Z
fS · vdΓ =
Γ
ΓU
fU · vdΓ +
Z
ΓC
σN n · vN dΓ +
11
Z
ΓC
σT · vT dΓ +
Z
ΓS
fS · vdΓ
(1.16)
Pour les deux corps élastiques, on peut reformuler le problème sous la forme habituellement
retrouvée dans la littérature [24, 25, 26]
∀v ∈ K
(ρü, v) + a(u, v) = L(v) + hfU , vi + hfCN , vi + hfCT , vi
(1.17)
où (ρü, v) représente le travail des efforts d’inertie, a(u, v) le travail des efforts internes,
L(v) le travail des efforts extérieurs, hfU , vi le travail des efforts nécessaires pour imposer
B
les déplacements sur ΓA
U et ΓU , et hfCT , vi le travail des efforts de frottement. Détaillons le
travail des efforts de contact normaux
Z
XZ
h h
h
hfCN , vi =
σN n · vN dΓ =
σN (u)g(v)dΓ
(1.18)
A,B
ΓC
ΓC
On remarque alors que si v = u alors la condition de contrainte normale 1.5 est respectée
et hfCN , ui = 0.
1.2.2
Egalité variationnelle
En reprenant l’équation 1.17, le problème peut être formuler de la façon suivante
Trouver u ∈ K tel que
(1.19)
∀ v ∈ K (ρü, v − u) + a(u, v − u) = L(v − u) + hfCN , v − ui + hfCT , v − ui
Le terme lié aux déplacements imposés disparaît car
B
sur ΓA
U × ΓU u = v = U ⇒ hfU , v − ui = 0
(1.20)
Cette égalité sur les variations du déplacement est la forme généralement utilisée dans les
grands codes éléments finis pour résoudre les problèmes de contact avec ou sans frottement.
Comme la surface réelle de contact ΓC et les efforts de contact sont inconnus, une méthode
incrémentale de type Newton est nécessaire pour obtenir la solution (voir 2.2).
En effet si g(u) = 0 alors on impose la contrainte supplémentaire sur les déplacements
v A nA + v B nB ≤ 0
(1.21)
La résolution de ce problème s’incrit dans un cadre mathématique plus large qui est l’optimisation sous contrainte. Nous développerons ce point dans le chapitre 3 consacré à la
résolution pratique d’un problème avec contact.
1.2.3
Inégalité variationnelle
En reprenant l’égalité variationnelle 1.19 et en suivant la démarche de Duvaut et Lions [27]
on peut montrer que ce problème est équivalent à
Trouver u ∈ K tel que
(1.22)
∀ v ∈ K (ρü, v − u) + a(u, v − u) + j(u, v) − j(u, u) ≥ L(v − u) + hfCN , v − ui
où
j(u, v) =
Z
ΓC
On peut alors remarquer que
µ |σN (u)| vTA − vTB dΓ
hfCN , v − ui =
Z
ΓC
σN (u)g(v)dΓ ≥ 0
(1.23)
d’après 1.5 et 1.6. En réinjectant cette équation dans l’inégalité 1.22, on obtient la forme
réduite
(ρü, v − u) + a(u, v − u) + j(u, v) − j(u, u) ≥ L(v − u)
(1.24)
Cette inégalité variationnelle est similaire à celle exposée par Oden et Kikuchi [28] ou
Simo et Laursen [22]. La résolution de ces problèmes semble délicate et est plus difficile
à implémenter dans les codes éléments finis. Une revue détaillée de ces méthodes peut se
trouver dans l’article de Mijar et Arora [29]. Dans la suite, nous nous concentrerons sur la
résolution de l’égalité variationnelle 1.19.
1.3
Discrétisation en éléments finis
Dans ce paragraphe, nous allons établir brièvement les matrices de raideur et de masse des
deux corps A et B élastiques dans le cadre de petits déplacements à partir de la formulation
variationnelle 1.19. Les conditions de contact seront traitées ultérieurement.
Dans toute analyse par éléments finis, les corps A et B sont représentés sous la forme d’un
assemblage d’éléments connectés par des noeuds qui se trouvent sur les bords ou à l’intérieur de chaque élément. La figure 1.3 présente un découpage possible du domaine Ω. Les
déplacements en chaque point de l’élément, mesurés dans un système local de coordonnées,
sont fonctions des déplacements aux noeuds de l’élément. Pour l’élément m occupant le
domaine Ωm et de frontière Γm on écrit
ˆ
δum (x, y, z) = H m (x, y, z)δu
(1.25)
ˆ un vecteur conteoù δu est le déplacement, H m représente la matrice d’interpolation et δu
nant les déplacements ui , vi , wi dans les trois directions à tous les noeuds du domaine Ω.
1.3. DISCRÉTISATION EN ÉLÉMENTS FINIS
13
Les déplacements au sein d’un élément ne dépendent que des déplacements aux noeuds
de cet élément. L’hypothèse de déformation infinitésimale faite sur les déplacements dans
Fig. 1.3: Discrétisation spatiale en éléments finis avec des quadrangles à 4 noeuds
l’équation 1.25 permet d’évaluer directement les déformations dans l’élément puisqu’elles
dépendent uniquement des déplacements. En différenciant les colonnes de H m on obtient
la relation
ˆ
ǫm = B m δu
(1.26)
où B m est la matrice des gradients des fonctions de forme H m . En prenant une loi de
comportement élastique nous pouvons écrire une relation entre les efforts dans l’élément m
et ses déformations
σ m = C m ǫm
(1.27)
L’équation 1.15 peut alors s’écrire comme un assemblage des travaux virtuels liés à tous les
éléments finis qui constituent le domaine complet Ω. A l’aide des équations 1.25, 1.26 et
1.27 on obtient
"
"
#
XZ
XZ
t
t
m,T m m
m m,t m
m
δu
H m,t fVm dΩm
B C B + ρ H H dΩ δu = δu
m
Ωm
m
+
XZ
m
Γm
Ωm
H m,t fSm dΓm
#
(1.28)
ˆ = U, on en déduit la forme matricielle suivante
En posant δu
MÜ + KU = FV + FS
(1.29)
La matrice M est la matrice de masse, K la matrice de raideur, FV le vecteur des forces
volumiques et FS le vecteur des forces surfaciques. Le vecteur Ü est le vecteur des accélérations nodales. Un tel assemblage est très intéressant d’un point de vue numérique car
il permet de réutiliser les matrices élémentaires qui sont déterminées une fois pour toute
pour chaque type d’élément fini qui existe. Ceci est vrai lorsque l’on traite des problèmes
linéaires, en non-linéaire ces matrices doivent être réassemblées à chaque itération de l’algorithme de résolution.
Dans l’ensemble des systèmes dynamiques, une partie de l’énergie est dissipée lors de vibrations. L’amortissement est généralement pris en compte dans les lois de comportement
des matériaux. Mais lorsque l’on souhaite intégrer la dissipation simplement on crée une
matrice d’amortissement global comme nous allons le voir dans le prochain paragraphe.
1.4
Création de la matrice d’amortissement
Tous les systèmes dynamiques dissipent de l’énergie lors de vibrations. Dans un câble tressé,
les fils individuels frottent les uns contre les autres. Dans un système avec des liaisons en
caoutchouc, la dissipation est un comportement intrinsèque au matériau. Le cisaillement
dans un fluide va lui aussi crée une dissipation. De manière générale, le frottement crée
de la dissipation dans un système mécanique, que ce soit entre les structures, ou à des
échelles plus fines. Comme l’amortissement peut provenir de multiples sources, nous nous
intéresserons aux méthodes qui permettent d’intégrer l’effet global de tous les mécanismes
de dissipation. Dans ce cas, on suppose que l’amortissement est idéalement réparti sur toute
la structure. Ces approches sont communément regroupées sous l’appellation d’amortissement proportionnel.
En pratique on procède de la manière suivante : une fois les fonctions de réponses en
fréquence mesurées et les taux d’amortissement identifiés, il s’agit de créer une matrice
d’amortissement global qui reproduise l’évolution des taux d’amortissements mesurés. Pour
illustrer cette démarche et présenter les différentes méthodes basons nous sur l’exemple utilisé par Adhikari [30]. La figure 1.4 présente le système. L’oscillateur est composé de N = 30
Fig. 1.4: Oscillateur linéaire composé de 30 éléments masse-ressort
éléments masse-ressort avec les caractéristiques suivantes m = 1 kg et k = 3.95 · 105 N.m−1 .
Les matrices de masse M et de raideur K se déterminent simplement. Des amortisseurs
sont définis entre la 8ème et 23ème masse. La matrice d’amortissement C se détermine aussi
1.4. CRÉATION DE LA MATRICE D’AMORTISSEMENT
15
simplement que la matrice de raideur. L’amortissement n’étant pas réparti de manière uniforme, on simule un cas réel où l’amortissement n’est pas proportionnel. L’objectif est de
créer une matrice d’amortissement simplifiée qui confère au système les mêmes propriétés
d’amortissement que la matrice d’amortissement réelle.
Notre système a donc l’équation matricielle suivante
M · Ü + C · U̇ + K · U = 0
(1.30)
Commme M, K, et C sont connues, la théorie des modes complexes nous permet de
connaître exactement tous les taux d’amortissements modaux par des relations analogues
aux quotients de Rayleigh
ψ̄rT Kψr
ψ̄rT Mψr
ψ̄rT Cψr
=
ψ̄rT Mψr
ωr2 =
2ωr ζr
où ωr est une pulsation propre, ζr le taux d’amortissement associé, et ψr les vecteurs propres
modaux (voir Ewins [31] pour plus de détails). Nous nous baserons sur les dix premiers
modes propres pour créer une matrice d’amortissement global.
1.4.1
L’amortissement proportionnel
L’amortissement proportionnel a été utilisé à l’origine car il permet de conserver le découplage entre les équations du mouvement projetées sur la base modale réelle (voir [31, 32]).
La méthode la plus directe consiste à écrire
C = MΦ · (2ΩΞ) · ΦT M
(1.31)
où M est la matrice de masse, Φ la matrice des vecteurs propres, Ω une matrice diagonale
avec les pulsations propres, et Ξ une matrice diagonale avec les taux d’amortissements.
Cette méthode permet de prendre en compte facilement une variation quelconque du taux
d’amortissement avec la fréquence. Toutefois il subsiste un problème de dimensions dans
l’équation 1.31 car la matrice de masse est souvent de plus grande taille que ΩΞ qui dépend
du nombre de modes qui ont été identifiés expérimentalement. Deux solutions s’offrent à
nous : soit nous choisissons un taux d’amortissement pour les modes non-identifiés, soit
nous calculons une pseudo-inverse comme il a été proposé par Adhikari [33]. Dans ce cas
nous ne retenons que les vecteurs propres de la base modale Φ qui correspondent aux modes
identifiés dans une matrice Φ̂.
T
−1
−1
T
T
T
T
C = Φ̂ Φ̂
Φ̂
· [2ΩΞ] · Φ̂ Φ̂
(1.32)
Φ̂
Ces résultats sont récapitulés dans la figure 1.5. Nous comparons les résultats des deux
méthodes d’identification avec les taux d’amortissement réels des 30 premiers modes. Dans
la première approche nous avons supposé un taux d’amortissement constant de 0.03 sur les
modes 11 à 30. Quelque soit la méthode, on voit que les 10 premiers modes sont correctement
estimés par la matrice C. Par contre, au delà du 10ème mode, la matrice d’amortissement
ne représente plus correctement l’évolution des taux d’amortissement réels. Dans un cas le
taux d’amortissement est constant et égal à 0.03 et lorsque nous utilisons la pseudo inverse,
les taux d’amortissement sont nuls.
0.07
Taux d’amortissement modal ζ
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
−0.01
0
20
40
60
80
100
120
Fréquence (Hz)
140
160
180
200
Fig. 1.5: Taux d’amortissement modaux pour 30 modes, (o) réels, (·) identifiés avec taux
constant sur les modes 11 à 30, (×) identifiés en utilisant une pseudo inverse
En somme, l’identification d’une matrice d’amortissement C à partir des taux d’amortissement modaux permet un recalage parfait avec les taux réels mesurés, quelque soit leur
évolution. Pour les taux d’amortissement non mesurés, le plus simple consiste à choisir
arbitrairement un taux d’amortissement constant. Cette approche semble pratique. Toutefois lorsque les modèles commencent à devenir importants, les manipulations matricielles
peuvent devenir fastidieuses.
1.4.2
Amortissement de Rayleigh
Parmi toutes les approches présentées ici, l’amortissement de Rayleigh est certainement la
plus utilisée et la plus simple en mettre en oeuvre. La matrice d’amortissement C est alors
17
définie comme une combinaison linéaire des matrices de masse et de raideur
C = αM + βK
(1.33)
Les coefficients α et β sont les coefficients de Rayleigh et ne sont pas connu a priori. Ils
doivent être déterminés expérimentalement. Le taux d’amortissement ζr du mode r est alors
lié aux coefficients α et β par la relation
1 α
ζr =
+ βωr
(1.34)
2 ωr
Taux d’amortissement ζ
où ωr est la pulsation propre du mode r. Cette relation définit l’évolution du taux d’amortissement en fonction de la fréquence et est représentée dans la figure 1.6. Nous voyons
0
0
Frequency (Hz)
Fig. 1.6: Evolution du taux d’amortissement modal en fonction de la fréquence pour un
amortissement de Rayleigh : (- -) amortissement proportionnel à la raideur (··) amortissement proportionnel à la masse (·) amortissement de Rayleigh
clairement l’influence des deux coefficients : α correpond à un amortissement proportionnel
à la masse et β à un amortissement proportionnel à la raideur. Le comportement dans
les basses fréquences correspond à l’asymptote de ζr lorsque ωr → 0. A l’inverse le comportement en hautes fréquences suit l’asymptote de ζr lorsque ωr → ∞. Ces remarques
sont essentielles car, contrairement à l’approche précédente, l’amortissement de Rayleigh
ne permettra pas de définir une matrice d’amortissement C qui reproduise exactement les
taux d’amortissement modaux mesurés.
Toutefois, il est possible de s’appuyer sur les données expérimentales pour déterminer les
valeurs α et β les plus pertinentes. Par exemple, à partir des pulsations ω1 et ω2 , et des taux
d’amortissement ζ1 et ζ2 identifiés expérimentalement on peut écrire le système suivant
α
β
2
·
= 2
ω1 − ω22
−ω22 ω1 ω12 ω2
ω1
−ω2
ζ1
·
ζ2
(1.35)
Toutefois, en pratique on identifie souvent plus que deux modes. Dans ce cas deux approches
s’offrent à nous. Soit nous définissons des coefficients de Rayleigh qui varient en fonction
de la plage de fréquence dans laquelle on excite le système, soit nous pouvons déterminer
les coefficients qui minimisent l’erreur entre les taux mesurés et les taux calculés sur toute
la plage de fréquence. Pour notre oscillateur sur lequel nous avons mesuré 10 modes, cette
dernière approche reviendrait à résoudre le problème
α
β
=2
h
−1 T i
ΩT Ω
Ω ζ
(1.36)
où
et
ω1 −1
ω2 −1
..
.
ω1
ω2
..
.
−1
ω10
ω10





(1.37)
ζ = [ζ1 ζ2 . . . ζ10 ]T
(1.38)



Ω=

La figure 1.7 présente les résultats obtenus sur notre exemple. La résolution du système
fournit α = −0.0750 s et β = 4.9 · 10−5 s−1 . Nous voyons que l’amortissement de Rayleigh
fournit une bonne approximation de l’amortissement dans notre système, même pour les
taux d’amortissement modaux que nous n’avons pas mesurés.
1.4.3
Amortissement de Caughey
Suivant les travaux de Rayleigh, Caughey [34] expose une généralisation des coefficients de
Rayleigh qui conserve la propriété d’orthogonalité de la base modale. La matrice d’amortissement peut être exprimée comme suit
"
#
X
j
C=M
αj M−1 K
(1.39)
j
Les coefficients de Rayleigh correspondent aux deux premiers termes de cette série. Gérardin
et Rixen [32] expliquent comment déterminer de manière systèmatique les coefficients αj .
La méthode est similaire à celle utilisée pour déterminer les coefficients de Rayleigh. Dans
19
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
−0.01
−0.02
0
20
40
60
80
100
120
Fréquence (Hz)
140
160
180
200
Fig. 1.7: Taux d’amortissement modaux (o) réels, (·) amortissement de Rayleigh
notre cas, nous avons identifié N = 10 modes, le système à résoudre est
(1.40)
Wα = ζ
où
W=

1


2
ω1−1
ω2−1
..
.
ω1
ω2
..
.
−1
ωN
ωN
ω13 · · · ω12N −3
ω23 · · · ω22N −3
..
..
.
.
2N −3
3
ωN · · · ωN






,
α
=




α1
α2
..
.
αN






,
et
ζ
=




ζ1
ζ2
..
.
ζN





Ici, il n’est pas possible de présenter les courbes des réponses, car nous avons eu des problèmes de conditionnement numérique de la matrice W, difficulté déjà soulevée par Gérardin
et Rixen [32].
1.4.4
Amortissement de Rayleigh généralisé
Adhikari [30] propose encore une extension. Les équations du mouvement resteront découplées si la matrice d’amortissement C s’exprime de la manière suivante
C = M · f M−1 K
(1.41)
où f est une fonction analytique continue aux voisinages des valeurs propres de M−1 K.
Cette approche lui permet d’identifier des fonctions d’amortissement types qui pourraient
être intrinsèques à différentes structures. D’après l’évolution des taux d’amortissement en
fonction de la pulsation propre, Adhikari [30] propose la fonction f suivante
(1.42)
f = a1 ω + a2 sin(a3 ω)
Une minimisation aux moindres carrées permet de déterminer les coefficients a1 , a2 , et a3
a1 = 0.0245 × 10−3 , a2 = −0.5622 × 10−3 et a3 = 9.0
(1.43)
La matrice d’amortissement prend alors la forme
√
√
C = 2a1 K + 2a2 M M−1 Ksin(a3 M−1 K)
(1.44)
La figure 1.8 présente les résultats de corrélation avec les données réelles. Nous voyons que
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
20
40
60
80
100
120
Fréquence (Hz)
140
160
180
200
Fig. 1.8: Taux d’amortissement modaux (o) réels, (·) amortissement de Rayleigh généralisé
cette forme d’amortissement proportionnel permet une meilleure corrélation que l’amortissement de Rayleigh. En effet, le taux d’amortissement modal simulé suit les variations du
taux d’amortissement réel, selon la fonction f . La corrélation pourrait être encore améliorée
en choisissant une fonction f plus compliquée. Comme dans l’amortissement de Rayleigh,
le taux d’amortissement des modes 11 à 30 est bien représenté puisque l’amortissement réel
suit une évolution plutôt continu et proportionnel au premier terme 2a1 K. L’inconvénient
de cette méthode est la lourdeur des calculs numériques.
1.4.5
Amortissement structural hystérétique
Jusqu’à maintenant nous n’avons introduit que des matrices d’amortissement visqueux.
Mais l’amortissement hystérétique est aussi souvent employé dans les calculs éléments finis.
1.5. CONCLUSION
21
La forme générale de l’équation du mouvement devient alors
MÜ + (K + iC) U = 0
(1.45)
Sans forme particulière, la matrice d’amortissement C couple les équations du mouvement
projetées sur la base modale. Comme précédemment en prenant une matrice proportionnelle
à la raideur on obtient
MÜ + K (1 + iη) U = 0
(1.46)
où η est le scalaire contenant la partie de l’énergie qui est dissipée dans le mouvement (le
facteur de perte). Toutefois, Crandall [35] et Inaudi [36] soulignent le caractère non causal
de telles forces d’amortissement. L’utilisation d’un tel modèle dans le domaine temporel est
en conséquence impossible. Par contre, lorsque l’on se place dans le domaine fréquentiel en
posant
U = ueiωt
(1.47)
où ω est la pulsation d’excitation on obtient
− ω 2 Mu + K (1 + iη) u = 0
(1.48)
La partie imaginaire de la raideur a maintenant une signification plus claire : l’amortissement est proportionnel au déplacement et en phase avec la vitesse d’un mouvement
harmonique. Ce modèle s’emploie donc dans le domaine fréquentiel et souvent avec des
assemblages de sous-structures [37, 38].
Les matrices d’amortissement visqueux et hystérétique ne sont évidemment pas les seules
façons de prendre en compte la dissipation dans des modèles éléments finis. Souvent, la
dissipation est introduite directement au travers des lois de comportements (modèles viscoélastiques de Maxwell, Zener ou Kelvin-Voigt).
1.5
Conclusion
Ce chapitre a été l’occasion pour nous de présenter les outils nécessaires pour mettre en
forme un problème de contact avec frottement entre deux corps élastiques. Après avoir établi
l’équation d’équilibre locale d’une structure continue, nous sommes passés à la formulation
variationnelle pour permettre la discrétisation en éléments finis. Nous avons distingué d’une
part les efforts linéaires élastiques dans la structure, et d’autre part les efforts non-linéaires
qui peuvent provenir de contact ou de frottement entre deux corps. L’amortissement pouvant provenir de nombreuses sources, nous avons présenté les méthodes les plus courantes
et les plus simples à mettre en oeuvre numériquement pour prendre en compte la totalité
des effets dissipatifs dans une structure. L’équation du mouvement que nous allons chercher
à résoudre dans la suite est donc
MÜ + CU̇ + KU = Fext + Fnl
(1.49)
où Fext représente les forces d’excitations extérieures et Fnl les forces non-linéaires de
contact et de frottement qui seront développées plus en détail dans le chapitre 3.
Chapitre 2
Les méthodes de la dynamique
non-linéaire
Dans ce chapitre nous allons développer un certain nombre d’outils qui sont nécessaires
à l’étude d’un problème dynamique non-linéaire. Les algorithmes itératifs de type Newton
constituent la base de toute résolution non-linéaire. La détermination des comportements
stationnaires peut se faire dans le domaine temporel par des intégrations temporelles (ou
méthodes de tir) ou dans le domaine fréquentiel par des méthodes du type balance harmonique. En dynamique non-linéaire, la stabilité des réponses stationnaires est un problème
essentiel, nous présenterons donc les outils nécessaires à l’étude de la stabilité. Toutefois
avant de faire le tour de ces outils, nous présenterons les différents types de comportements
dynamiques non-linéaires, en insistant sur les différences avec le comportement linéaire.
Seydel définit dans son article [39] les enjeux des calculs non-linéaires.
2.1
Introduction : la dynamique d’un système non-linéaire
Avant de présenter les différents outils qui permettent de calculer les régimes stationnaires
des systèmes non-linéaires dynamiques, nous allons présenter les différents comportements
auxquels on peut s’attendre. Un système dynamique peut avoir quatre types de comportements asymptotiques
–
–
–
–
la
la
la
la
réponse
réponse
réponse
réponse
converge
converge
converge
converge
vers
vers
vers
vers
un
un
un
un
point fixe
régime périodique
régime quasi-périodique
régime chaotique
Les deux premiers existent dans les systèmes linéaires et non-linéaires, et les deux autres
sont spécifiques aux systèmes non-linéaires.
23
24
CHAPITRE 2. LES MÉTHODES DE LA DYNAMIQUE NON-LINÉAIRE
Prenons l’exemple d’un oscillateur à deux degrés de liberté, illustré par la figure 2.1 Cet
Fig. 2.1: Un oscillateur vibro-impactant à deux degrés de liberté
oscillateur vibro-impactant est fréquemment utilisé dans les articles ([40, 3, 2, 1, 41]), d’une
part pour sa simplicité, et d’autre part pour la complexité des réponses qu’il exhibe. Il peut
avoir tous les types de réponses qui existent dans un système non-linéaire. Son équation
matricielle adimensionnelle est de la forme
sin(ωt)
y1
1
−1
ÿ1
1 0
(2.1)
=
+
0
y2
−1 1 + µk
ÿ2
0 µm
où
r
r
m2
m1
m1
k2
µm =
, µk = , ω = Ω
, t=T
, b = δk1
m1
k1
k1
k1
(2.2)
Le contact est géré par une simple loi de restitution. Au moment de l’impact t0 de la masse
m1 , la vitesse ẋ1 est inversée dans un rapport r par rapport à la vitesse d’arrivée
−
ẋ1 (t+
0 ) = −r ẋ1 (t0 )
(2.3)
Si la distance δ est très grande devant le déplacement de la masse m1 , aucun impact n’a
lieu et on se trouve en présence d’un oscillateur linéaire dont on connaît bien les caractéristiques. Lorsqu’aucune force d’excitation n’est appliquée, deux types de comportements
asymptotiques existent : ou le système est amorti et la réponse dynamique tend vers le point
d’équilibre statique (apériodiquement ou pseudo périodiquement), ou alors le système n’est
pas amorti et oscille infiniment. La réponse temporelle et le diagramme de phase du système
amorti se retrouvent dans la figure 2.2. Nous retrouvons la décroissance exponentielle de
la réponse vers la position d’équilibre. Cet aspect se retrouve aussi dans le diagramme de
phase où en partant de la condition initiale (1,0), on converge vers le point d’équilibre (0,0).
Lorsqu’une force d’excitation sinusoïdale de pulsation ω = 2π/T est appliquée sur la masse
m1 , le système linéaire est en régime forcé et on retrouve les graphes de la figure 2.3. La
réponse temporelle est périodique de même période T que l’excitation. Le diagramme de
phase est un cercle fermé, et sur le spectre de la réponse, nous ne retrouvons qu’une seule
raie qui correspond à la fréquence d’excitation. Nous en profitons pour introduire la section
de Poincaré. C’est une représentation stroboscopique du diagramme de phase. Elle est calculée en prenant un point du diagramme de phase toutes les périodes de l’excitation. Ainsi
2.1. INTRODUCTION : LA DYNAMIQUE D’UN SYSTÈME NON-LINÉAIRE
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
Vitesse
Déplacement
25
0
0
−0.2
−0.2
−0.4
−0.4
−0.6
−0.6
−0.8
−0.8
−1
0
50
100
Temps
150
200
−1
−1
−0.5
0
Déplacement
0.5
1
Fig. 2.2: Comportement dynamique de l’oscillateur libre amorti
dans ce cas nous retrouvons logiquement un seul point.
Ces deux types d’attracteurs existent aussi sur des systèmes non-linéaires. Mais l’attracteur périodique peut prendre des formes plus compliquées. Typiquement, une excitation de
période T peut engendrer des réponses périodiques de périodes autres que T . La figure 2.4
illustre la réponse de l’oscillateur avec la pulsation ω = 0.76. Plusieurs raies sont visibles
dans le spectre. La première raie correspond à la période 3T . Cette fois, le spectre contient
plus qu’une seule composante harmonique, contrairement au spectre du système linéaire.
Le diagramme de phase contient plusieurs boucles et la section de Poincaré présente maintenant 3 points.
Outre la possibilité de posséder des réponses périodiques avec une période différente de
celle de l’excitation, les systèmes non-linéaires peuvent aussi exhiber des attracteurs quasipériodiques ou chaotiques. La figure 2.5 présente le comportement dynamique lorsque la
réponse forcée est attirée vers un attracteur quasi-périodique (ω = 0.74). La réponse temporelle ne fournit pas beaucoup d’informations sur le comportement du système à part que
celui-ci est borné. Par contre le spectre fournit plus d’informations, le mouvement est régi
par plusieurs harmoniques fondamentales qui ne sont plus multiples les unes des autres. Un
mouvement est quasi-périodique lorsqu’il possède au moins deux fréquences incommensurables. C’est pour cette raison que la réponse temporelle paraît peu régulière. La section de
Poincaré d’un tel mouvement est une courbe fermée.
Le mouvement chaotique est le comportement dynamique le plus compliqué. Il ne présente
a priori aucun ordre comme en témoignent les réponses temporelles et les diagrammes de
phase de la figure 2.6. Le spectre de la réponse est plus large bande que précédemment. De
nombreuses fréquences supplémentaires se sont rajoutées autour des pics. Ce type d’attrac-
26
0.4
0.2
Vitesse
Déplacement
0.5
0
0
−0.2
−0.5
4300
4350
4400
Temps
−0.4
−0.5
0
Déplacement
0.5
1
0.2
Vitesse
Autospectre
0.25
0.15
0.1
0
−1
0.05
0
0
1
Pulsation
2
−2
−3
−2
−1
0
Déplacement
1
Fig. 2.3: Comportement dynamique de l’oscillateur vibro-impactactant pour ω = 0.73
1
2
0.5
1
Vitesse
Déplacement
0
−0.5
0
−1
−1
4300
−2
−1
4350
4400
Temps
0.25
−0.5
0
0.5
Déplacement
1
2
0.2
Vitesse
Autospectre
27
0.15
0.1
1
0
−1
0.05
−2
0
0
1
Pulsation
2
−2
−1
0
Déplacement
1
Fig. 2.4: Comportement 3T périodique de l’oscillateur vibro-impactant pour ω = 0.76
1
1
0.5
0.5
Vitesse
Déplacement
28
0
−0.5
−0.5
−1
4300
−1
−1
4350
4400
Temps
0.25
−0.5
0
0.5
Déplacement
1
0
Déplacement
0.5
1
0.2
Vitesse
Autospectre
0
0.15
0.1
0.5
0
0.05
0
0
1
Pulsation
2
−0.5
−0.5
Fig. 2.5: Comportement quasi-périodique de l’oscillateur vibro-impactant pour ω = 0.74
29
1
2
0.5
1
Vitesse
Déplacement
teur est souvent qualifié d’étrange : malgré cet apparent désordre, la réponse est bornée et
la section de Poincaré se limite à une zone précise de l’espace.
0
−0.5
0
−1
−1
4300
−2
−1
4350
4400
Temps
−0.5
0
0.5
Déplacement
1
0.15
0.1
Vitesse
Autospectre
1
0.05
0.5
0
−0.5
0
0
1
Pulsation
2
−0.8
−0.6
−0.4 −0.2
Déplacement
0
Fig. 2.6: Comportement chaotique de l’oscillateur vibro-impactant pour ω = 0.7519
Comme nous venons de le voir, un système non-linéaire simple possède de nombreux comportements dynamiques très différents les uns des autres. On peut imaginer que ces mêmes
types de comportement pourront avoir lieu sur la commande de boîte de vitesses que nous
désirons modéliser. Pour réaliser une étude pertinente sur notre commande, il s’agit dans
un premier temps de comprendre les outils numériques qui vont nous servir. Nous commencerons par présenter les méthodes pour résoudre des systèmes d’équations non-linéaires.
Ces méthodes constituent la base de toute étude non-linéaire. Nous verrons ensuite les
méthodes pour calculer les régimes stationnaires et déterminer leur stabilité. Nous verrons
enfin, comment toutes ces méthodes se combinent sur une application.
30
2.2
Résolution de systèmes d’équations non-linéaires
Quelque soit la formulation d’un problème non-linéaire, nous aurons souvent besoin de
résoudre un système d’équations non-linéaires. Dans un calcul statique, le caractère nonlinéaire de la matrice de raideur aboutit directement à un tel système. Dans un calcul
dynamique temporel, à chaque pas de temps nous devons résoudre un tel système. Enfin,
dans un calcul fréquentiel, nous obtenons un système d’équations algébriques non-linéaires.
Une approche pour comprendre les méthodes de résolution de ces systèmes est de se placer
dans un cadre mathématique plus général : l’optimisation de fonctions objectives. C’est
l’approche que nous prenons ici, car les méthodes de résolution de systèmes dérivent directement de ces méthodes. Un problème d’optimisation se pose de la manière suivante
Soit
Cherchons
F : Rn 7−→ R
(2.4)
x ∈ Rn tel que F (x) soit minimal
Il faut noter que la résolution d’un système d’équations non-linéaires est un cas particulier
de ce problème. En effet, le système ci-dessous
Soit
Cherchons
fi : Rn 7−→ R avec i ∈ [1, . . . , m]
x ∈ Rn tel que fi (x) = 0
(2.5)
peut se résoudre comme le problème initial (2.4) en posant
F (x) =
m
X
fi (x)2
(2.6)
i=1
Nous nous intéresserons donc à chercher le minimum local (ou le maximum en prenant −F )
de fonctions non linéaires. Ensuite nous exposerons les méthodes de résolution des systèmes
d’équations qui dérivent directement de ces méthodes d’optimisation et tirent profit de la
structure particulière de la fonction objective F associée. Différents types de méthodes
existent : soit elles se limitent à l’utilisation de l’information sur F , soit elles profitent aussi
de l’information sur les dérivées successives de F . Les premières sont utiles pour la minimisation de fonctions fortement non-linéaires ou qui possèdent de nombreuses discontinuités.
Heureusement la physique que nous traitons assure une certaine régularité (au moins C0 )
de ces fonctions. Nous omettrons aussi la présentation de méthodes d’optimisation globale,
qui reste un vaste sujet de recherche aujourd’hui en mathématiques [42].
L’ensemble des méthodes d’optimisation locale est basé sur un principe simple : descendre
la pente vers le minimum tel un skieur sur une piste. Une vue d’ensemble d’un algorithme
d’optimisation est présentée dans la figure (2.7). Il faut insister sur le fait qu’il faut connaître
une bonne approximation initiale de la solution, au risque de ne pas trouver la solution. De
plus, la nature non-linéaire du problème oblige d’adopter un schéma itératif de résolution.
2.2. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D’ÉQUATIONS NON-LINÉAIRES
31
Fig. 2.7: Vue d’ensemble d’un algorithme d’optimisation locale
Pour la suite, une direction de descente sk à l’itération k est définie telle que
(2.7)
F (xk+1 ) < F (xk )
2.2.1
Méthode du gradient ou de plus profonde descente
La méthode du gradient est la plus simple des méthodes de descente. La direction de
descente sk est simplement prise comme l’opposé du gradient de la fonction F
∂F ∂F
∂F
sk = −∇F = −
...
∂x1 ∂x2
∂xn
T
(2.8)
Il reste encore à déterminer la longueur de notre pas de descente. Pour cela, la méthode
immédiate consiste à chercher le minimum de F le long de la direction sk en résolvant
∂F (xk + αk sk )
=0
∂αk
C’est ce qu’on appelle un "line search" [42]. Il s’avère dans la pratique que la résolution de
cette équation est trop longue. Souvent on se contente d’une approximation de αk . Comme
on peut le remarquer, cette méthode est simple à implémenter. Mais on se rend bien compte
que plus on approche le minimum, plus la convergence va être ralentie car le gradient de F
tend vers 0.
32
2.2.2
Méthode du gradient conjugué
Cette méthode tient son succès de la résolution des systèmes d’équations linéaires. En
effet, grâce à sa faible complexité, elle s’applique facilement sur des problèmes de grande
dimension. On améliore la direction de recherche utilisée dans la méthode du gradient.
Entre deux itérations, les directions de recherche ne sont plus orthogonales entre elles, mais
chaque nouvelle direction de recherche va être "conjuguée" avec les précédentes. Ainsi, dans
l’algorithme précédent, on écrit
sk+1 = −∇F (xk+1 ) + βk sk
où βk =
[∇F (xk+1 ) − ∇F (xk )]T ∇F (xk+1)
∇F (xk )T ∇F (xk )
(2.9)
βk est donné en fonction de la formule de Polak-Ribière qui semble être, d’après l’expérience,
la plus efficace (en comparaison avec la formule de Fletcher-Reeves) [43]. Ces méthodes de
descente, quoique faciles à implémenter, sont moins utilisées en pratique car leur vitesse
de convergence est assez lente. On leur préfère les méthodes de Newton, qui tirent profit
d’une information supplémentaire : la dérivée seconde de la fonction objective F , la matrice
Hessienne H


∂2F
∂2F
∂2F
···
 ∂x2
∂x1 ∂x2
∂x1 ∂xn 


1
2

 ∂2F
∂
F


·
·
·
·
·
·

 ∂x ∂x
∂x22
(2.10)
H(x) = 
2
1



..
..
..
.
.


.
.
.
.


2
2
2
 ∂ F
∂ F 
∂ F
···
∂xn ∂x1 ∂xn ∂x2
∂x2n
2.2.3
Méthode de Newton
Cette méthode est basée sur le développement de Taylor à l’ordre deux de la fonction
objective F autour de la solution xk obtenue à l’itération k
1
F (xk + δ) = F (xk ) + ∇T F (xk )δ + δ T H(xk )δ + . . .
2
(2.11)
En posant δ = x − xk , l’objectif va être de minimiser ce développement quadratique ce qui
amène à chercher δk tel que
H(xk )δk = −∇F (xk )
(2.12)
Lorsque l’approximation quadratique (2.11) est valide, i.e. dans un voisinage de la solution x, la matrice Hessienne H est définie positive et le système linéaire précédent a une
unique solution1 . La solution suivante est alors donnée par : xk+1 = xk + δk . L’information
1
Ce système linéaire peut se résoudre par une méthode adaptée aux systèmes linéaires, Gauss-Seidel,
Crout, Cholesky,etc... [43]
33
supplémentaire fournie par la matrice Hessienne assure une convergence quadratique vers
la solution. Malheureusement, il n’est pas garanti que δk soit une direction de descente, et
dans ce cas l’algorithme aura du mal à converger. Pour régler ce problème on peut, comme
dans les méthodes de gradient, chercher la longueur du pas à faire dans la direction δk pour
assurer une décroissance de la fonction F entre les itérations k + 1 et k.
2.2.4
Méthodes de Levenberg-Marquardt
Dans les méthodes de gradient, nous avons vu que −∇F (xk ) était forcément une direction
de descente, ce qui n’est pas toujours le cas pour δk dans une méthode de Newton. Un moyen
direct pour s’assurer que δk est une direction de descente est de combiner les directions de
descente de Newton et du gradient. On va alors chercher une direction de descente sk qui
vérifie
(H(xk ) + λk I) sk = −∇F (xk )
(2.13)
Où I est la matrice identité et λk un scalaire déterminé à chaque itération en fonction de
la progression de F (xk ). Si F (xk+1 ) < F (xk ), sk est une direction de descente et on peut
diminuer λ pour profiter des renseignements sur H(xk ) (on s’approche d’une direction de
descente de Newton). Au contraire si F (xk+1 ) > F (xk ), sk n’est pas une direction de descente et on augmente λ pour tendre vers une méthode de plus profonde descente. Cette
méthode offre un algorithme très robuste pour les problèmes de minimisation locale : loin
de la solution, on profite de la robustesse des méthodes de gradient, et plus on s’approche,
plus on va converger vite grâce à la méthode de Newton.
Nous avons jusqu’ici exposé le principe générale des méthodes d’optimisations mais à ce
stade elles nécessitent encore la connaissance analytique du gradient et de la matrice Hessienne de F . Or ceci n’est pas toujours possible dans le cas de fonctions compliquées ou
présentant de nombreux paramètres.
2.2.5
Approximations numériques des dérivées
Les méthodes précédentes s’appliquent facilement si la matrice Hessienne est connue analytiquement. Malheureusement, son calcul "à la main" peut être difficile et très lourd, voire
impensable si on travaille avec de nombreux paramètres. On s’aperçoit dans la pratique
qu’une approximation bien choisie de la matrice s’avère suffisante pour trouver la solution
désirée. Trois approches sont alors possibles.
Calcul par différences finies
La matrice Hessienne est approchée par différences finies centrées ou différences finies avant.
Cette dernière est souvent préférée car elle est moins gourmande en temps de calcul et donne
34
une précision suffisante
∂F (x + hj ej ) ∂F (x)
−
∂xi
∂xi
Hij (x) =
hj
(2.14)
où ej est la base canonique de Rn (j ∈ [1, n]).
Calcul par interpolation polynomiale
Cette méthode consiste à approcher la fonction F par des polynômes autour de la solution
xk . On en déduit alors aisément le gradient et la matrice Hessienne de F . Cette approche
est a priori plus robuste que les approximations générées par la relation 2.14. Toutefois,
dans ces deux méthodes, le temps de calcul augmente rapidement avec la dimension du
problème. On leur préfère en général les méthodes quasi-Newtoniennes.
L’approche quasi-Newtonienne ou à métrique variable
Ces méthodes construisent une approximation définie positive B(xk ) de la matrice Hessienne
H(xk ) au fur et à mesure des itérations en utilisant les informations obtenues sur le gradient
de la fonction F . La direction de descente dépend à chaque itération de cette matrice
Hessienne approximée, et suffit pour aboutir finalement à la solution cherchée. La direction
de descente sera simplement donnée par
B(xk )sk = −∇F (xk )
Lorsqu’aucune approximation initiale existe, la matrice identité I est souvent utilisée comme
première approximation de la matrice Hessienne. L’idée consiste à mettre à jour la matrice
B(xk ) à chaque itération. Si nous posons
dk = xk+1 − xk
et φk = ∇F (xk+1 ) − ∇F (xk )
alors un calcul intégral nous permet d’écrire
Z 1
H(xk + γdk )dγ · dk = φk
(2.15)
0
Le terme entre crochet représente la matrice Hessienne moyenne sur le segment [xk , xk + dk ].
En imposant la condition quasi-Newtonienne Bk+1 dk = φk , la matrice Bk+1 correspond à la
matrice Hessienne moyenne définie par la relation 2.15. Même si une multitude de formules
de mises à jour existent [42], on retiendra la plus courante (et qui semble être la plus efficace)
Bk+1
T
Bk dk (Bk dk )T
φk φk T
= Bk −
+
+
η
d
B
d
vk vk T
k
k
k
T
T
dk Bk dk
φk d k
avec
vk =
35
Bk dk
φk
− T
T
φk dk dk Bk dk
Si on choisit η = 0, on fait l’approximation de Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS)
qui est certainement celle la plus largement utilisée et la plus robuste. Outre celle-ci, en
prenant η = 1 on obtient la première méthode de mise à jour quasi-Newtonienne écrite par
David-Fletcher et Powell (DFP). Ces méthodes d’approximation de la matrice Hessienne
sont très attractives, car pour un coût numérique quasiment identique aux méthodes de descente 2 , on passe d’une convergence linéaire à une convergence quadratique en garantissant
que B(xk ) soit définie positive.
2.2.6
Méthode de Gauss-Newton
Dans les paragraphes précédents, nous avons vu quelles étaient les principales méthodes
utilisées pour minimiser une fonction objective. Nous allons maintenant voir comment résoudre les systèmes d’équations et nous verrons que les méthodes de résolution sont très
similaires aux méthodes précédentes.
Considérons le système d’équations (2.5) non nécessairement carré. En réécrivant le problème sous la forme d’un problème aux moindres carrées (2.6), on pourrait directement
appliquer les méthodes d’optimisation vues dans la section précédente pour résoudre ce
problème. Toutefois, grâce à la structure particulière de la fonction F , on peut éviter le calcul de la matrice Hessienne et la convergence peut être améliorée. En effet, on peut réécrire
les dérivées ∇F (x) et H(x) de F par rapport à x

et




∇F (x) = ∇ f T (x)f (x) = 2 




∂f1 (x)
∂x1
∂f1 (x)
∂x2
..
.
∂f1 (x)
∂xn
∂f2 (x)
···
∂x1
∂f2 (x)
···
∂x2
..
..
.
.
∂f2 (x)
···
∂xn

∂fm (x)
∂x1 


··· 
 f (x) = 2J T f (x)

..

.

∂fm (x) 
∂xn
m
X
fi (x)∇2 fi (x)
H(x) = ∇2 f T (x)f (x) = 2J T J + 2
(2.16)
i=1
On notera que J n’est autre que la matrice jacobienne de la fonction vectorielle f (x).
Comme F (x) est minimisée au sens des moindres carrées, les composantes fi seront souvent
négligeables dans le deuxième terme de (2.16). L’approximation de Gauss-Newton consiste
2
La seule opération en plus à chaque itération est la remise à jour de la matrice Hessienne approximée
36
donc à écrire que
H(x) ≈ 2J T J
Par analogie avec la méthode de Newton 2.12, on détermine la direction de descente en
résolvant
T
J(xk ) J(xk ) sk = −J(xk )T f (xk )
L’application de cette méthode se fait exactement comme la méthode de Newton. Finalement, on tire profit de la structure de moindres carrées pour obtenir une relation plus
directe entre les dérivées premières et deuxièmes de F alors qu’il faudrait plusieurs itérations dans une méthode quasi-Newtonienne pour avoir une bonne approximation de H. On
peut ainsi espérer une convergence plus rapide vers la solution.
Comme dans une méthode de Newton, lorsque l’on se trouve loin de la solution on ne
peut pas garantir que le deuxième terme de (2.16) soit négligeable, sk n’est donc pas forcément une direction de descente. Pour résoudre ce problème, différentes solutions sont
envisageables. Fletcher et Xu [42] proposent un critère simple qui permet à l’algorithme de
choisir entre une direction de descente de Gauss-Newton ou une direction associée à une
approximation BFGS de la matrice Hessienne.
F (xk ) − F (xk+1) ≥ τ F (xk ) avec τ ∈ [0, 1]
Si le deuxième terme de (2.16) n’est pas négligeable, l’approximation de Gauss-Newton
est fausse et cette inégalité n’est pas vérifiée, on fait donc un pas quasi Newtonien. Au
contraire, si l’approximation de Gauss-Newton est vérifiée, la convergence quadratique implique F (xk+1) < F (xk ) et l’inégalité est vérifiée. On effectue un pas de Gauss-Newton.
Plutôt que d’utiliser un critère d’échange entre deux méthodes, on peut aussi réutiliser
l’approche imaginée par Levenberg et Marquardt. Powell [44] propose une méthode hybride
entre les directions de Gauss-Newton et de plus profonde descente. A cela, il restreint la
longueur de chaque pas à un domaine où il peut assurer que l’approximation de GaussNewton est correcte [45].
2.2.7
Méthode de Newton-Raphson
La méthode de Newton Raphson s’applique dans le cas particulier où l’on a autant d’équations que d’inconnues. C’est l’application de Gauss-Newton à ce cas particulier. La direction
de descente devient
J(xk )sk = −f (xk )
2.2.8
37
Conclusion
Aujourd’hui tous les grands codes de calculs scientifiques utilisent ces méthodes d’optimisation pour minimiser un problème aux moindres carrées ou résoudre un système d’équations
non-linéaires. Matlab [45] implémente plusieurs méthodes, par défaut f solve utilise la méthode hybride présentée par Powell. Abaqus [46] utilise une méthode quasi-Newtonienne
(BFGS) pour la remise à jour de la matrice Hessienne. Moyennant une adaptation en C++,
nous avons décidé d’utiliser la librairie Fortran Minpack, développé par Garbow [47], dont
le code informatique est libre de droits. Elle implémente la méthode hybride de Powell qui
semble être avec celle de Fletcher-Xu, une des plus polyvalentes.
38
2.3
Méthodes temporelles
L’intégration temporelle représente l’approche la plus directe pour résoudre un système
d’équations différentielles provenant d’une formulation aux éléments finis. Comme très peu
d’équations différentielles se résolvent de manière analytique, il est nécessaire de recourir à
des méthodes numériques. Leur principe réside en la construction progressive de la solution
à des pas de temps successifs. La popularité de ces méthodes découle de leur capacité à
traiter tout type de problèmes. Leur application à une étude du comportement dynamique
d’une structure soumise à une excitation périodique s’effectue naturellement, en commençant l’intégration à partir d’une condition initiale quelconque et en la poursuivant jusqu’à
ce que le régime permanent soit atteint. Cependant, le temps de calcul nécessaire pour
s’affranchir du régime transitoire peut s’avérer prohibitif, surtout pour des structures faiblement amorties.
Dans notre contexte d’une excitation harmonique de période T , les réponses stationnaires
auxquelles on peut s’attendre sont de trois types : nT -périodiques (n étant un entier non
nul), quasi-périodiques ou chaotiques. Lorsque la réponse est quasi-périodique ou chaotique,
seule une intégration temporelle directe permet de la calculer. Par contre, dans le contexte
assez fréquent d’une réponse nT -périodique, il est généralement plus judicieux de recourir
à des méthodes plus rapides comme les méthodes de tir ou comme nous le verrons dans
la prochaine section, les méthodes fréquentielles. Ces méthodes sont intéressantes dans la
mesure où l’on ne souhaite rien connaître de la phase transitoire.
2.3.1
Les intégrateurs temporels
La fin du chapitre précédent a permis d’établir l’équation dynamique du mouvement que
nous désirons résoudre. Il s’agit d’une équation différentielle ordinaire d’ordre deux, provenant de la discrétisation spatiale en éléments finis des équations aux dérivées partielles
établies à partir des équations fondamentales de la mécaniques des milieux continus. Pour
se rattacher à un cadre mathématique plus formel, ces équations différentielles ordinaires
sont traitées sous la forme d’équations d’ordre 1. En effet, quelque soit l’ordre d’une équation, on peut toujours se ramener à une équation d’ordre 1, moyennant une augmentation
de l’espace des solutions. On peut réécrire l’équation du mouvement 1.49 sous la forme
! ! 0
0
I
U
U̇
+
(2.17)
=
·
U̇
M−1 · (Fext + Fnl )
Ü
−M−1 K M−1 C
2.3. MÉTHODES TEMPORELLES
39
Ce problème aux conditions initiales est l’équivalent du problème de Cauchy qui se pose en
ces termes
Soit f : [t0 , t0 + T ] × Rn 7−→ Rn
ẏ(t) = f (t, y(t))
avec y(t0) = y0
(2.18)
On désire connaître l’évolution de la solution y entre t0 et t0 +T . Pour ce faire, on va chercher
une solution approchée sur le segment [t0 , t0 +T ] discrétisé. Soit hn la progression temporelle
telle que hn = tn+1 − tn et yn la solution approchée de y à t = tn . Nous avons choisi ici le
temps comme variable de discrétisation mais ces méthodes s’appliquent identiquement pour
toute autre variable. Par exemple, ces méthodes de résolution d’équations différentielles
ordinaires sont aussi utilisées dans les techniques de continuation (voir 2.5).
Généralités
Les méthodes se classent en deux grandes catégories : les méthodes explicites où yn+1 dépend
uniquement des solutions calculées aux pas précédents, et les méthodes implicites où yn+1
dépend des solutions calculées aux pas précédents et de la solution au temps tn+1 . En
conséquence, une fois la discrétisation faite, une méthode explicite fournit directement la
solution à yn+1 alors qu’une méthode implicite nécessite encore la résolution d’un système
d’équations de la forme
yn+1 = yn + φ(tn , yn , yn+1, hn )
(2.19)
où φ dépend de la méthode utilisée. Il faut noter que ce système d’équations peut être
linéaire ou non-linéaire, au quel cas il faut recourir à une stratégie itérative de type Newton
pour résoudre le problème.
Les méthodes explicites ont une complexité plus faible, et s’adaptent facilement aux systèmes non-linéaires. En contrepartie, elles sont conditionnellement stables (condition de
Courant pour une méthode de différences finies centrées voir [43, 32]). Cette condition de
stabilité oblige souvent à prendre un pas de temps très petit. Ces méthodes sont généralement utilisées pour des problèmes de dynamiques rapides et de propagations d’ondes, un
exemple typique dans l’industrie automobile est le calcul de crash.
Quant aux méthodes implicites, elles sont inconditionnellement stables lorsque le système
est linéaire. Et le choix d’un pas de temps plus grand peut compenser la plus grande complexité par rapport à une méthode explicite. Toutefois, une telle condition ne tient plus lors
de l’étude d’un système non-linéaire. Dans une méthode explicite, le choix d’un mauvais
pas de temps conduit inévitablement à une divergence de la solution et l’utilisateur s’en
apercevra très vite. Malheureusement, avec une méthode implicite, la solution peut rester
bornée et s’avérer fausse.
40
Une troisième voie hybride peut encore se trouver dans les méthodes dites de prédictioncorrection. Dans un premier temps, elles estiment la solution approchée à tn+1 par une
formule explicite, et la corrigent ensuite par des itérations par une formule implicite. Cette
approche permet de réduire le temps de calcul associé à la résolution de l’équation 2.19 par
rapport à une formulation implicite pure.
Méthodes numériques à un pas
L’objectif de toutes les méthodes de résolution d’ODE est d’extrapoler la valeur approchée
yn+1 à tn+1 à partir des valeurs connues aux pas de temps précédents. Pour les méthodes à
un pas, on intègre l’équation différentielle et on utilise des formules d’intégration numérique
pour le second membre.
Z
tn+1
tn
ẏdt = y(tn+1) − y(tn ) =
Z
tn+1
f (t, y(t))dt
(2.20)
tn
En intégrant le terme de droite avec une méthode des rectangles, on obtient le schéma
d’Euler explicite :
yn+1 − yn = hn f (tn , yn )
Et avec une méthode des rectangles en utilisant le point d’arrivée, on obtient le schéma
d’Euler implicite :
yn+1 − yn = hn f (tn+1 , yn+1)
Ces méthodes d’Euler sont peu utilisées en raison de leur imprécision. Toutefois, dans une
méthode de prédiction-correction, la formule d’Euler explicite peut servir pour prédire la
réponse au pas de temps suivant. Sinon, avec une méthode des trapèzes, on obtient le
schéma implicite de Crank-Nicolson :
yn+1 − yn =
hn
(f (tn , yn ) + f (tn+1 , yn+1 ))
2
Les méthodes d’intégrations sont très nombreuses et il faut se reporter à des livres spécialisées pour en saisir les différentes subtilités [48, 43, 49]. Toutefois, nous exposons ici le
déroulement de l’algorithme explicite à un pas le plus célèbre : la méthode de Runge-Kutta.
Pour améliorer la précision des méthodes, il faut travailler sur la méthode d’intégration
numérique qui est utilisée dans l’équation 2.20. Avec la formule d’intégration de Simpson,
on obtient une méthode largement répandue pour sa facilité d’implémentation et pour sa
précision qui est d’ordre 4 en hn . C’est la formule de Runge-Kutta d’ordre 4. Soit y0 donné
41
alors à chaque pas d’intégration, on réalise les calculs suivants
k1 = f (xn , yn )
1
1
k2 = f (xn + hn , yn + k1 )
2
2
1
1
k3 = f (xn + hn , yn + k2 )
2
2
k4 = f (xn + hn , yn + k3 )
hn
yn+1 = yn +
· (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 )
6
A chaque itération, cette méthode demande quatre évaluations de la fonction f . Il faut
noter qu’il est possible d’améliorer la précision de la méthode en améliorant l’intégration
numérique. Il existe des tableaux qui référencient tous les coefficients à utiliser en fonction
de la précision désirée. En contrepartie, le temps de calcul s’allonge.
Contrôle du pas
Pour améliorer l’efficacité de ces méthodes, on utilise généralement des méthodes d’incrémentation automatique du pas de temps. Nous ne les exposerons pas ici, mais leur principe
de base repose sur l’évaluation de l’erreur commise à chaque pas de temps. Les formules
de Dormand et Prince [50] opèrent sur les méthodes de Runge-Kutta et celles de Hibbitt
and Karlsson ([46]) sur les méthodes d’ordre deux que nous verrons dans la suite 2.3.1.
Ces deux techniques sont respectivement utilisées par défaut dans Matlab (ode45) et dans
Abaqus Standard. En fonction de cette erreur, on s’autorisera d’augmenter ou de réduire
le pas de temps suivant. Ainsi, à l’approche d’une discontinuité, comme un fort gradient de
déplacement, le pas de temps va être automatiquement réduit afin de conserver la même
précision. Lorsque la discontinuité devient trop forte, ce contrôle peut même servir de test
d’arrêt de l’algorithme d’intégration.
Ces méthodes de contrôle s’utilisent surtout avec des intégrations numériques à un pas.
Avec des schémas à pas multiples, la modification du pas de temps à chaque incrément
complique considérablement l’évaluation de la solution au pas de temps suivant.
Méthodes à pas multiples
Ces méthodes sont basées essentiellement sur le développement en série de Taylor de la
solution. On remplace ensuite les dérivées successives par des formules de différences finies
à droite ou à gauche. Ainsi les formules d’Adams-Bashforth sont des méthodes explicites,
où l’ordre de la méthode est déterminé par le nombre de termes conservés dans le dévelop-
42
pement. A l’ordre 2, on garde les trois premiers termes
yn+1
h2n
= yn + hn ẏn + ÿn + O(h3n )
2!
(2.21)
A l’aide de la relation 2.18 en remplaçant dfn /dt par les différences à gauche, on obtient la
relation explicite
hn
(2.22)
yn+1 = yn + (3fn − fn−1 ) + O(h3n )
2
Les formules de Adams-Moulton s’obtiennent de la même manière, sauf que l’on réalise un
développement en série de Taylor à gauche et on remplace les dérivées successives par des
différences à gauche. Ces méthodes sont des méthodes implicites.
yn = y(tn+1 − h) = yn+1 − hn ẏn+1 +
h2n
ÿn+1 + O(h3n )
2!
(2.23)
L’avantage de ces méthodes sur celles de Runge-Kutta est qu’elles ne nécessitent qu’une
seule évaluation de la fonction f à chaque pas de temps. En contrepartie, on remarque alors
qu’il y a un problème pour l’initialisation de la procédure car f−1 n’existe pas. Pour initialiser la procédure il faudra donc faire la (ou les) première(s) itérations avec une méthode
de type Runge-Kutta. Ceci fait partie des gros inconvénients des méthodes à pas multiples.
Leur implémentation est plus délicate et longue.
Méthodes de Prédiction-Correction
Ces méthodes bénéficient des avantages des méthodes d’intégration explicites et implicites.
Elles profitent de la précision et de la stabilité des méthodes implicites tout en diminuant les
contraintes liées aux temps de calcul souvent élevé. En effet, l’utilisation d’une prédiction
avec une méthode explicite va fournir une meilleure estimation initiale de la solution du
système d’équations non-linéaires 2.19. La procédure de résolution itérative sera d’autant
plus rapide. Toutefois, comme dans les méthodes à pas multiples l’implémentation est un
peu plus lourde puisqu’il faut coupler une méthode explicite, implicite, et une résolution de
systèmes d’équations non-linéaires.
Ci-dessous (figure 2.8) nous prenons le cas très simple d’un prédicteur d’Euler explicite
et d’un correcteur Euler implicite pour expliquer les différentes étapes qui existent dans
un tel algorithme. Cette approche s’appliquerait exactement de la même manière avec des
prédicteurs ou correcteurs d’ordres plus élevés.
Résolution d’équations différentielles du deuxième ordre
Même si les équations différentielles d’ordre deux peuvent se mettre sous forme de système
d’équations différentielles d’ordre un, il existe des méthodes qui permettent de résoudre
directement les équations d’ordre deux. Elles ont l’avantage d’être faciles à implémenter, et
Fig. 2.8: Un algorithme de prédiction-correction
43
44
présentent une meilleure précision que les méthodes d’ordre un à coût numérique équivalent.
Evidemment comme les équations du mouvement 1.49 issues de la mécanique sont d’ordre
2, la plupart des grands codes éléments finis implémentent des variations de la méthode de
Newmark ou des différences centrées. D’autres intégrateurs d’ordre deux sont la θ méthode
de Wilson, Houbolt, Bossak, Park, etc...
Le problème d’ordre deux se présente sous la forme
Soit f : [t0 , t0 + T ] × Rn 7−→ Rn
ÿ(t) = f (t, y(t), ẏ(t))
avec y(t0 ) = y0
et ẏ(t0 ) = ẏ0
(2.24)
Méthode de Newmark
Cette méthode est certainement la plus couramment implémentée dans les grands codes
de calculs par éléments finis (Abaqus/Standard, Nastran). Elle est inconditionnellement
stable pour des analyses linéaires, et sa stabilité devient conditionnelle dans les analyses
non linéaires. Elle consiste à relier les accélérations, les vitesses et les déplacements aux
instants tn+1 et tn par des intégrations numériques
1
yn+1 = yn + hn ẏn + h2n ( − β)ÿn + h2n β ÿn+1
2
ẏn+1 = ẏn + (1 − γ)hn ÿn + γhn ÿn+1
(2.25)
où γ et β dépendent de la formule d’intégration numérique choisie. La méthode la plus
couramment utilisée est celle de l’accélération moyenne où β = 0.25 et γ = 0.5.
L’étape suivante consiste alors à résoudre l’équation du mouvement à l’instant tn+1
ÿn+1 = f (tn+1 , yn+1, ẏn+1 )
(2.26)
Il est possible à partir des équations 2.25 d’exprimer l’équation 2.26 entièrement en fonction
de yn+1 et yn . On en déduit que la méthode de Newmark est une méthode implicite. Lorsque
le système est linéaire, l’implémentation peut être très efficace [24] et c’est ce qui a fait le
succès de la méthode. Lorsque le système est non-linéaire, la méthode est implémentée
comme une prédiction-correction. Hughes propose à chaque pas de temps une prédiction
de yn+1 et de ẏn+1 en prenant les accélérations ÿn+1 nulles. L’équation du mouvement 2.26
est alors un système d’équations non-linéaires à résoudre avec une procédure itérative de
Newton.
Il existe de nombreuses extensions pour améliorer cette méthode. La plus élégante est sans
45
doute celle de Hilbert Hughes et Taylor [32] qui introduisent de l’amortissement numérique
dans la solution par l’intermédiaire d’un facteur α compris entre 0 et 1/3. Il faut alors
résoudre
ÿn+1 = (1 − α) · f (tn+1 , yn+1, ẏn+1) + α · f (tn , yn , ẏn )
(2.27)
Cette approche permet notamment d’amortir rapidement les oscillations hautes fréquences
(et ainsi d’obtenir plus rapidement la solution finale). Toutefois, si le système est faiblement
amorti, l’introduction de cette dissipation artificielle peut nuire à la précision de la solution
finale.
Méthode des différences centrées
En prenant β = 0 et γ = 0.5 dans les équations 2.25, on trouve alors un schéma aux
différences finies qui constitue la base de tous les grands codes de dynamiques rapides
(Abaqus/Explicit, LS-Dyna, Nastran, PamCrash, Radioss). On obtient
yn+1 = yn + hn ẏn +
ẏn+1 = ẏn +
h2n
ÿn
2
(2.28)
hn
(ÿn + ÿn+1)
2
La démarche est maintenant différente. Au lieu d’utiliser l’équation du mouvement 2.24 au
temps tn+1 , on va l’utiliser au temps tn
ÿn = f (tn , yn , ẏn )
(2.29)
En substituant 2.28 dans cette dernière on obtient
yn+1
h2n
= yn + hn ẏn + f (tn , yn , ẏn )
2
(2.30)
On voit alors clairement la formulation explicite de la méthode. La solution à tn+1 s’obtient
uniquement à partir de la solution au pas de temps précédent. En pratique toutefois, cette
méthode ne s’implémente pas directement de cette manière. On préfère réécrire les équations
2.28 de manière à utiliser les vitesses au temps tn +hn /2. Une telle approche permet d’éviter
le calcul de h2n qui peut induire des erreurs numériques en raison de sa petitesse. Appliquée
à l’équation du mouvement issus des éléments finis, cette méthode présente une complexité
exceptionnellement faible si la matrice de masse est diagonale [46].
Conclusion
Dans cette dernière partie, nous nous sommes attachés à présenter les différents méthodes
qui existent pour intégrer les équations du mouvement. La variable indépendante est le
temps, cependant elles peuvent très bien être appliquées pour toutes les équations différentielles ordinaires. Notamment, nous verrons dans les techniques de continuation l’utilisation
46
d’un paramètre quelconque du système comme variable de discrétisation.
Les grands codes éléments finis implémentent généralement les méthodes d’ordre 2 que sont
les algorithmes de Newmark et des différences centrées. Mais dans de nombreux articles, dès
que l’on travaille sur des modèles avec quelques degrés de liberté, les auteurs se tournent
vers des techniques d’intégration plus précises développées sur des systèmes d’ordre 1.
Le choix du pas de temps est la difficulté principale dans une intégration temporelle. Lorsque
le problème est linéaire, un schéma implicite est inconditionnellement stable et un schéma
explicite est stable pourvu que le pas de temps soit inférieur à la plus petite période présente dans la réponse. En non-linéaire, ce raisonnement ne s’applique malheureusement
plus. De plus, dans le cas d’un schéma implicite, un pas de temps trop grand ne conduit
pas forcément à une divergence de la solution. Une approche basique pour résoudre ce problème serait de réaliser une deuxième intégration avec un pas de temps plus faible pour
voir si on converge vers la même réponse. Mais on peut aussi effectuer un bilan énergétique
entre deux pas de temps. Si sur un système non-linéaire conservatif l’énergie totale n’est
pas constante, le pas de temps ou le schéma d’intégration choisi n’est pas adapté car il
introduit trop d’amortissement numérique artificiel.
Ces méthodes permettent d’obtenir les réponses transitoires des équations du mouvement.
Utilisées pour déterminer les réponses stationnaires, elles peuvent s’avérer très coûteuses
en temps de calcul. Mais ce sont les seuls outils qui permettent de calculer une réponse
stationnaire chaotique, caractéristique des systèmes dynamiques non-linéaires. Toutefois
lorsque nous sommes en mesure d’émettre des hypothèses quant à la nature de la solution
finale, on peut profiter d’autres outils qui réduisent considérablement le temps de calcul.
Généralement lorsque l’excitation est périodique, on est en droit de supposer que la réponse
convergera vers un régime stationnaire périodique. Les deux prochaines sections présentent
différentes approches dans le domaine temporel et dans le domaine fréquentiel pour résoudre
ce problème.
2.3.2
47
Méthodes de tirs
La méthode la plus directe pour déterminer une solution périodique d’un système dynamique est de choisir une condition initiale quelconque et d’intégrer grâce à une des méthodes
exposées précédemment. Elle permet de déterminer aisément toutes les réponses qu’un système non-linéaire peut exhiber. Même si cette approche est clairement la plus générale et
la plus facile à implémenter elle présente au moins un inconvénient majeur : l’obtention du
régime stationnaire peut s’avérer très longue pour des systèmes faiblement amortis. Dans
la suite, nous nous attachons donc à présenter des méthodes qui permettent de déterminer
directement une solution périodique. Pour ce faire, il faut émettre une hypothèse concernant
la périodicité de la réponse, ici nous la prendrons égale à T . Précisons que cette période
n’a aucun lien avec la fréquence d’excitation, puisque ces méthodes peuvent s’appliquer sur
des systèmes auto-excités. Quelques exemples d’applications de cette méthode se trouvent
dans les articles de Sundararajan et Noah [51] (calcul de la réponse dynamique de rotor)
ainsi que Peeters et al. [52] (calcul de modes non-linéaires).
Cette méthode est définie par les mathématiciens comme un problème de conditions aux limites (boundary value problem), par opposition au problème de Cauchy qui est un problème
de conditions initiales (initial value problem). Il se pose en ces termes
Soit f : [t0 , t0 + T ] × Rn 7−→ Rn
Cherchons
ẏ(t) = f (t, y(t))
(2.31)
où y(t0 ) = y(t0 + T ) = y0
Ces méthodes vont être basées sur les méthodes d’intégrations temporelles. En effet, en
choisissant une condition initiale y0 , on va intégrer jusqu’à t0 + T et regarder la valeur de
la solution. Si la condition initiale a été choisie sur la trajectoire périodique, la solution à
t0 + T sera égale à la condition initiale, sinon il va falloir corriger la condition initiale pour
se rapprocher de la trajectoire périodique. Ce problème est équivalent à chercher les zéros
de la fonction vectorielle
H(y0 ) = y(t0 + T, t0 , y0 ) − y0
(2.32)
La résolution de ce système d’équations non-linéaires va se faire avec une procédure itérative
(0)
de Newton-Raphson. A partir d’une condition initiale y0 on va chercher la correction à
appliquer à chaque itération k afin d’aboutir à la solution finale y(t) à une tolérance près.
Cette démarche est illustrée dans la figure 2.9 pour un problème à deux dimensions.
L’algorithme de Newton demande de connaître l’expression de la jacobienne de H à chaque
itération
∂H
∂y
=
(t0 + T, t0 , y0 ) − I
(2.33)
∂y0
∂y0
Où I est la matrice identité. La différentiation du premier terme du second membre par
48
Fig. 2.9: Schéma itératif de la méthode de tir
rapport au temps donne
∂
∂t
∂y
∂y0
∂
=
∂y0
∂y
∂t
=
∂f
∂f ∂y
=
∂y0
∂y ∂y0
∂y
vérifie l’équation différentielle ordinaire
∂y0
∂f
∂y
∂y
∂
(t, t0 , y0 ) =
(t, y(t, t0, y0 ))
(t, t0 , y0)
∂t ∂y0
∂y
∂y0
(2.34)
Et on remarque alors que
avec les conditions initiales
∂y
(t0 , t0 , y0 ) = I
∂y0
(2.35)
(2.36)
car y(t0 , t0 , y0) = y0 . Ainsi la matrice ∂y/∂y0 à l’instant t0 + T peut se déduire de l’intégration de l’équation différentielle 2.35 avec les conditions initiales 2.36. Une autre approche
consisterait à calculer la jacobienne par différences finies : ce qui revient à intégrer l’équation du mouvement à partir de la condition initiale y0 perturbée selon toutes les directions.
Quoiqu’il en soit, le calcul de la matrice jacobienne demande de réaliser n intégrations d’un
système différentiel à n dimensions. On s’aperçoit très vite que le temps de calcul devient
excessif lorsque le nombre de degrés de liberté augmente. Pour réduire le temps de calcul,
il est possible d’utiliser des procédés de mise à jour de la matrice jacobienne avec des méthodes quasi-Newtonniennes (voir section 2.2) cependant ils en dégradent la qualité.
Ceci ne serait a priori pas un problème si l’obtention de la solution périodique était notre
49
seul objectif. En effet, contrairement à une intégration temporelle directe qui ne fournit
que des solutions stables, une méthode de tir est en mesure de déterminer les solutions
périodiques instables. Il faut donc pouvoir étudier la stabilité de la solution périodique
trouvée. Pour ce faire, une connaissance précise de la matrice ∂y/∂y0 est nécessaire [53] car
la stabilité dépend de ses valeurs propres comme nous le verrons dans la section 2.6.
2.3.3
Méthode de tirs multiples
Cette méthode est une extension directe de la méthode précédente à la différence près que
la période T est découpée en M sous intervalles [ti , ti+1 ] avec tM = t0 + T . Le principe
est identique : l’équation du mouvement est intégrée sur chaque intervalle à partir d’un
ensemble de conditions initiales y(ti). Ce processus est illustré dans la figure 2.10. Il faut
Fig. 2.10: Schéma d’une méthode de tirs multiples
évidemment assurer la continuité de la solution entre deux intervalles de temps : l’état
final de l’intégration sur l’intervalle [ti , ti+1 ] doit correspondre à l’état initial sur l’intervalle
[ti+1 , ti+2 ]. Cela est équivalent à chercher les zéros de la fonction H suivante

H1 (y0 , y1)
..
.



H(Y ) = 
 Hi (yi−1 , yi )

..

.
HM (yM −1, y0 )


 
 
 
=
 
 
 
y(t1 , t0 , y0 ) − y0
..
.
y(ti , ti−1 , yi−1 ) − yi−1
..
.
y(t0 + T, tM −1 , yM −1) − y0








(2.37)
t
où Y = y0t y1t · · · yM
−1 . Comme précédemment la résolution de H(Y ) = 0 se fait avec une
méthode de Newton-Raphson qui nécessite encore une fois la connaissance de la matrice
50
jacobienne dont la formule est donnée ci-dessous

∂H1
0
···
 ∂y0 −I

∂H2

 0
−I
···

∂y1

∂H
..
..
..
(Y ) = 
.
.
 .
∂Y

∂HM −1
 0
0
···

∂yM −2


−I
0
···
0
0
0
..
.
−I
∂HM
∂yM −1














(2.38)
Les blocs diagonaux de cette matrice sont alors évalués par une des deux méthodes présentées dans le paragraphe précédent. Ce découpage de la période permet d’améliorer la
convergence de la méthode [53]. Cela est en partie liée aux erreurs d’amplitude et de périodicité introduite par l’intégrateur temporel. Un autre avantage considérable de cette méthode
est la possibilité de calculer les blocs diagonaux indépendamment les uns des autres, ce qui
rend cette méthode facilement implémentable dans une architecture de calculs parallèles.
En revanche, même s’il faut moins d’itérations dans la procédure de Newton-Raphson, la
taille du système à résoudre passe de n à n × M, ce qui peut s’avérer problématique si l’on
travaille avec de nombreux degrés de liberté.
(0)
Il faut bien voir que la réussite de ces méthodes de tirs dépend du point de départ y0 . Plus
cette estimation initiale est proche de la solution finale, plus la convergence sera rapide. Par
contre lorsque l’on se situe loin de la solution, il se peut que l’algorithme ne converge pas.
Afin de pallier cette difficulté on couple en général ces méthodes de tirs avec des méthodes
de continuation, où les premiers pas sont "faciles" à déterminer.
2.3.4
Méthode des différences finies
Cette méthode est une alternative à la méthode de tir [54]. Son principe est simple, il s’agit
de s’appuyer sur un schéma d’intégration et d’y introduire la contrainte de périodicité. La
période [0, T ] est tout d’abord découpée en M intervalles réguliers [ti , ti−1 ] = ∆t. L’objectif
est alors de trouver une valeur approchée yi de la solution exacte y(ti ) au temps ti grâce
aux différences finies.
En utilisant une différence finie centrée pour approximer la dérivée dy/dt au temps ti+∆t/2
et une approximation de la fonction f par une règle trapezoïdale, on obtient les équations
1
(ti+1 − ti ) [f (ti+1 , yi+1) + f (ti , yi )]
2
avec i ∈ [0, M − 1]
yi+1 − yi =
Associées à la condition de périodicité yM = y0 , on a un système d’équations algébriques
2.4. MÉTHODES FRÉQUENTIELLES
51
non-linéaires qui va se résoudre avec une méthode de Newton.
Il faut noter que pour obtenir une précision acceptable, la période T doit être discrétisée
finement. Ce qui engendre rapidement des systèmes de grande taille (n×M). C’est pourquoi
c’est une méthode assez peu utilisée en dynamique. Toutefois, elle peut déterminer plus
facilement un cycle limite très instable qu’une méthode de tir car elle est moins sensible
aux conditions initiales [54].
2.3.5
Conclusion
Selon notre besoin, les méthodes temporelles peuvent déterminer les solutions périodiques
ou stationnaires. L’intégration temporelle permet de calculer tous les types de comportements non-linéaires avec des temps de calcul qui peuvent être longs. Les méthodes de tir
utilisent à bon escient l’hypothèse de périodicité de la réponse mais ne sont pas capables de
prévoir des régimes chaotiques ou quasi-périodiques. Les méthodes présentées dans la suite
tirent aussi profit de l’hypothèse de périodicité de la solution finale, mais opèrent dans le
domaine fréquentiel au lieu du domaine temporel.
2.4
Méthodes fréquentielles
Tout comme une méthode de tirs ou de différences finies, les méthodes fréquentielles ont
pour objectif de déterminer directement la réponse stationnaire et périodique d’une équation
différentielle ordinaire sans passer par le calcul de la réponse transitoire. Lorsque le système
est entièrement linéaire une excitation harmonique de période T va engendrer une réponse
harmonique de même période. Dans la théorie linéaire une équation du mouvement libre
de la forme
ẍ + 2ξ ẋ + ω02x = f0 cos(ωt)
(2.39)
possède une solution de la forme
x(t) = acos(ωt) + bsin(ωt)
(2.40)
où a et b dépendent de l’amplitude de l’excitation f0 , du taux d’amortissement ξ, et de
la pulsation propre ω0 . Malheureusement, lorsque le système présente des non-linéarités,
la solution n’est pas aussi immédiate car la réponse ne se décompose pas sur une seule
harmonique. Les non-linéarités peuvent venir exciter d’autres harmoniques. Toutefois, il
n’est pas absurde de supposer, sous certaines conditions, que la réponse de notre système
sera quand même périodique (et pas forcément de même période que l’excitation) et qu’il
sera possible de la décomposer en série de Fourier. Cette approche correspond à la méthode
dite de la balance harmonique. Dans la suite nous allons la présenter sous ces différentes
variantes.
52
2.4.1
La méthode de la balance harmonique
Initialement présentée comme un outil analytique par Cesari [55] dans les années 60, cette
méthode est de loin la plus efficace pour déterminer les réponses stationnaires d’une équation
différentielle à condition que l’on puisse supposer que la solution possède une harmonique
dominante. Toutefois si la réponse requiert plus d’harmoniques, cette approche se revèle inexacte. Dans les années 80, Lau [56, 57] développe l’incremental harmonic balance method
et Ferri [58] la Galerkin/Newton method (GNR) qui permettent de prendre en compte
plus d’harmoniques. Ferri [59] montrera que les deux méthodes sont équivalentes et diffèrent uniquement dans l’ordre dans lequel sont appliquées les procédures de Galerkin et de
Newton/Raphson. Dans ces méthodes, il faut encore réaliser beaucoup de développements
analytiques mais toute la résolution se fait de manière numérique. Les études paramétriques
deviennent alors moins lourdes à réaliser. Toutefois, le travail analytique est encore long et
peut induire facilement en erreur (Ferri [60]). Ling [61] et Cameron [62], en se basant sur les
travaux de Urabe [63], apportent la solution à ce problème en proposant une méthode qui
ne requiert plus aucun calcul analytique : the alternating time/frequency method (AFT).
Dans ce cas les efforts non-linéaires sont calculés dans le domaine temporel, puis grâce à
une transformée de Fourier sont déterminés dans le domaine fréquentiel.
Mise en équation du problème fréquentiel
L’hypothèse principale dans une balance harmonique consiste à supposer que la réponse
d’un système non-linéaire à une excitation périodique est périodique. Evidemment ce n’est
pas toujours le cas, même pour un oscillateur très simple des oscillations chaotiques peuvent
apparaître, comme nous l’avons vu dans l’introduction de ce chapitre. L’étape qui suit est
commune à toutes les variantes de la balance harmonique que nous allons présenter.
La solution en déplacement U de l’équation du mouvement matriciel 1.49 étant supposée
périodique, elle peut être décomposée en série de Fourier :
U(t) =
Uc0
+
∞
X
k
k
Uck cos(2π f t) + Usk sin(2π f t)
n
n
k=1
(2.41)
Uck est le vecteur des coefficients de Fourier associés au cosinus et Usk au sinus, f est la
fréquence d’excitation et n est un entier qui permet de prendre en compte un rapport entier
entre la fréquence fondamentale de l’excitation et celle de la réponse (en d’autres termes, il
permet de déterminer des solutions qui ont une période n fois plus grande que l’excitation).
En substituant (2.41) dans l’équation (1.49) on obtient le résidu suivant dans le domaine
53
temporel
∞ X
k 2
k
k
c
s
(K − (2π f ) · M) · Uk + 2π f C · Uk · cos(2π f t)
R(t) = K · U0 +
n
n
n
k=1
∞ X
k 2
k
k
s
c
(K − (2π f ) · M) · Uk − 2π f C · Uk · sin(2π f t) − Fnl − Fext
+
n
n
n
k=1
Pour déterminer les coefficients de Fourier, nous allons appliquer une méthode de résidus
pondérés bien connue dans le domaine de calcul par éléments finis [64]. Il s’agit de projeter
la solution exacte sur une base complète (ce que nous venons de faire) et de minimiser la
projection du résidu sur une autre (ou la même) base complète. Dans la balance harmonique,
on utilise naturellement la même base de Fourier et une telle procédure est dite de Galerkin.
C’est pourquoi certains auteurs se réfèrent à la méthode Galerkin-Newton-Raphson [61, 63,
59]. La projection du résidu sur la base de Fourier amène à
n/f
k
R · cos(2π f t) = 0 où k ∈ [0, ∞[
n
0
Z n/f
k
R · sin(2π f t) = 0 où k ∈ [1, ∞[
n
0
Z
En pratique, il n’est pas possible de résoudre cet ensemble infini d’équations, c’est pourquoi on ne retient généralement que les Nh premières harmoniques. Grâce aux propriétés
d’orthogonalités des fonctions trigonométriques et en regroupant les termes correspondants
à chaque harmonique on obtient le système d’équations suivant
Λ · Ũ = F̃nl + F̃ext



où Λ = 

K 0 ···
0
0 λ1 · · ·
0
.. .. . .
..
.
. .
.
0 0 · · · λ Nh
(2.42)



 k ∈ [1, Nh ]



k 2
k
2π f · C
 K − (2π n f ) · M

n
et λk = 

k
k 2
−2π f · C
K − (2π f ) · M
n
n
Ũ, F̃nl et F̃ext sont respectivement les Nh premiers coefficients de Fourier du déplacement,
54
des efforts non-linéaires et de l’excitation extérieure
Ũ =
U0 Uc1 Us1 Uc2 · · · UcNh UsNh
Fext,0 Fcext,1 Fsext,1 Fcext,2 · · · Fcext,Nh Fsext,Nh
= Fnl,0 Fcnl,1 Fsnl,1 Fcnl,2 · · · Fcnl,Nh Fsnl,Nh
F̃ext =
F̃nl
(2.43)
Ici, nous avons vu comment transformer l’équation différentielle 1.49 du mouvement dans le
domaine temporel en un système d’équations algébriques dans le domaine fréquentiel 2.42.
En somme, nous cherchons à équilibrer les coefficients de Fourier du déplacement Ũ, c’est
pourquoi l’ensemble de ces méthodes prend le nom générique de balance harmonique. Les
variations dans les méthodes présentées dans la suite se résument aux différentes manières
d’évaluer les coefficients de Fourier F̃nl des efforts non-linéaires et de résoudre le système
d’équations non-linéaires 2.42 qui en découle.
L’approche analytique
L’approche la plus directe [55] consiste à calculer directement les coefficients de Fourier
des efforts non-linéaires, sachant que généralement, on a leur expression explicite dans le
domaine temporel en fonction du déplacement et de la vitesse
Fnl (t) = Fnl U(t), U̇(t)
(2.44)
En reprenant la notation des équations (2.43), on peut écrire
Fnl,0
Fcnl,k
Fsnl,k
Z
f n/f
=
Fnl (t) dt
n 0
Z
k
2f n/f
Fnl (t) cos 2π f t dt
=
n 0
n
Z n/f
2f
k
=
Fnl (t) sin 2π f t dt
n 0
n
avec k ∈ [1, Nh ]
(2.45)
Une fois ces coefficients de Fourier déterminés, on connaît tous les termes qui interviennent
dans l’équation (2.42). Elle donne alors une relation entre l’amplitude de chaque harmonique
k et la fréquence d’excitation f . Cette approche s’avère très précise et de nombreuses
simplifications peuvent y être apportées lorsque la fonction non-linéaire est paire, impaire,
ou linéaire par morceaux [65], etc... Toutefois, on voit bien que cette méthode peut s’avérer
très fastidieuse car la résolution analytique n’est pas toujours évidente (et possible). De plus
elle n’est pas spécialement adaptée aux études paramétriques car il faut reprendre tous les
calculs si l’on veut modifier la forme de la non-linéarité ou le nombre d’harmoniques Nh
[66].
55
La balance harmonique incrémentale (IHB) ou la méthode de Galerkin Newton
Raphson (GNR)
Ces méthodes ont été développées pour réduire une partie du travail analytique à réaliser
dans le cas précédent. Elles sont équivalentes [59] et apportent deux contributions à la résolution de l’équation (2.42). Premièrement, cette dernière n’est plus résolue de manière
analytique mais numériquement avec un algorithme itératif de Newton (voir chapitre sur
la résolution de systèmes d’équations non-linéaires 2.2). Deuxièmement, les intégrales, similaires à (2.45), sont évaluées numériquement.
Cette méthode, grâce à la résolution entièrement numérique, permet retenir aisément plusieurs harmoniques dans le développement de Fourier. De ce fait, elle offre la possibilité
de travailler sur des non-linéarités fortes qui nécessitent un développement sur plusieurs
harmoniques et facilite les études paramétriques. Elle se révèle très efficace lorsque la nonlinéarité a une forme particulière [67]. Toutefois, elle possède encore quelques inconvénients :
– les développements analytiques sont fastidieux (dans une moindre mesure),
– les développements sont spécifiques à chaque type de non-linéarité,
– les temps de calcul ne sont pas systématiquement plus courts qu’une intégration temporelle directe
Alternating Frequency Time ou Fast Galerkin (FG)
Pour pallier ces lacunes, Ling [61] et Cameron [62] dérivent l’IHB pour en faire une méthode
généralisable à tout type de non-linéarité ne nécessitant aucun développement analytique.
L’idée consiste à faciliter le calcul des coefficients de Fourier des efforts non-linéaires. Comme
on connaît l’expression de ces efforts non-linéaires dans le domaine temporel, on pourrait
les évaluer dans ce domaine et ensuite utiliser une transformée de Fourier discrète comme
outil de conversion dans le domaine fréquentiel. Urabe [63] semble être le premier à se servir
de cette stratégie. L’implémentation la plus efficace utilise les avantages de la transformée
de Fourier rapide (FFT) développée par Cooley et Tukey [68] en 1965. Du coup, lors de la
résolution du systèmes d’équations non-linéaires (2.42), on effectue les étapes suivantes à
chaque itération
F F T −1
FFT
Ũ −→ U −→ Fnl = Fnl U(t), U̇(t) −→ F̃nl
Dans cette formulation générale, la balance harmonique permet d’étudier tout type de
non-linéarité sans devoir effectuer des développements analytiques. Elle ne restreint pas le
choix du solveur à un Newton-Raphson et permet de réaliser très efficacement des études
paramétriques. Une technique similaire est utilisée en mécanique des fluides [69, 66].
56
2.4.2
Réduction du système
Si le modèle donnant l’équation (1.49) a N degrés de liberté dans le domaine temporel,
il est facile de voir que le système matriciel (2.42) dans le domaine fréquentiel va être
d’ordre N(2Nh + 1). Le temps de résolution va dépendre directement de cet ordre. Il peut
s’avérer utile de condenser le système comme on le ferait avec une condensation de Craig et
Bampton. Dans le domaine fréquentiel, une réduction exacte est possible à condition que
les non-linéarités soient localisées (interfaces, liaisons). L’ordre du système fréquentiel va
dépendre alors du nombre de degrés de liberté non-linéaire, ce qui peut représenter un gain
considérable dans certains cas.
Condensation sur les degrés de liberté non-linéaires
Von Groll et Ewins [17] semblent être les premiers à proposer cette méthode de réduction. Il
s’agit dans un premier temps de réorganiser les degrés de liberté de l’équation (2.42) selon
les degrés de liberté non-linéaires (nl) et linéaires (ln)
Λnl,nl Λnl,ln
Λln,nl Λln,ln
·
Ũnl
Ũln
!
=
F̃nl
0̃
!
+
F̃ext,nl
F̃ext,ln
!
(2.46)
Ce qui aboutit au système réduit suivant
Λred · Ũnl = F̃ext,red + F̃nl
(2.47)
où
Λred = Λnl,nl − Λnl,nl · Λ−1
ln,ln · Λln,nl
F̃ext,red = F̃ext,nl − Λnl,nl · Λ−1
ln,ln · F̃ext,ln
Si le modèle a Nnl degrés de liberté non-linéaires, la taille du système (2.47) à résoudre passe
à Nnl (2Nh + 1). Une fois que ce dernier est résolu, il est facile de remonter aux déplacements
linéaires par la relation
F̃
−
Λ
Ũ
(2.48)
Ũln = Λ−1
·
ln
ln,nl
nl
ln,ln
Cette réduction se révèle très efficace. Toutefois si la dimension de Λln,ln devient grande (au
delà de 1000) il est nécessaire d’avoir un algorithme d’inversion de matrices qui soit optimisé
pour l’architecture de l’ordinateur (par exemple en utilisant la librairie ATLAS associé à
LAPACK). Pour des problèmes de très grande taille, c’est l’étape la plus consommatrice en
temps de calcul.
57
Condensation sur les degrés de liberté relatifs
Dans le cas de non-linéarités locales, la loi de comportement peut en général s’exprimer
en fonction du déplacement relatif des deux corps (ce qui est courant dans le cas de nonlinéarités de contact ou de frottement). La figure 2.11 illustre ce propos.
Fig. 2.11: L’effort non-linéaire en fonction du déplacement relatif
Si aucune autre source de non-linéarité affecte les degrés de liberté, la condensation du
paragraphe précédent peut être appliquée. Nacivet [70] propose alors de profiter de la forme
particulière de l’effort non-linéaire pour pousser la réduction plus loin. En réorganisant les
degrés de liberté selon les corps 1 et 2, nous avons
!
!
!
1,1
1
1
1
F̃
F̃
Λred Λ1,2
Ũ
ext,red
nl
nl
red
(2.49)
+
=
·
2,2
2
2
2
Λ2,1
Λ
F̃
F̃
Ũ
ext,red
nl
nl
red
red
En posant le déplacement relatif
ŨR = Ũ1nl − Ũ2nl
(2.50)
et en remarquant qu’en vertu du principe de l’action et de la réaction F̃1nl = −F̃2nl , nous
obtenons l’équation réduite
ΛR · ŨR = F̃ext,R + F̃1nl
(2.51)
avec
ΛR =
−1
Λ1,1
red
F̃ext,R = ΛR ·
h
+
−1
Λ2,2
red
Λ2,2
red
−1
−
−1
Λ1,2
red
− Λ1,2
red
−1
−
−1
Λ2,1
red
−1
i
−1
2,1 −1
1
F̃2ext,red − Λ2,2
F̃
−
Λ
ext,red
red
red
Une fois que l’équation (2.51) est résolue, F̃1nl est connue, F̃2nl l’est également. Par inversion
du système (2.49) (qui est linéaire cette fois), on peut déterminer directement Ũ1nl et Ũ2nl .
Ces réductions successives permettent de réduire un système initial de dimension N(2Nh +1)
à Nnl /2(2Nh + 1).
58
2.4.3
Conclusion
Ces méthodes de balance harmonique dans le domaine fréquentiel permettent de tirer profit
de l’hypothèse de périodicité de la solution finale. Nous verrons dans la suite du travail que
l’obtention de la solution périodique est beaucoup plus rapide que par une intégration
temporelle. Nous avons implémenté la méthode de balance harmonique avec la procédure
AFT pour évaluer les forces non-linéaires. C’est cette méthode qui semble la plus souple et
qui permet de faire varier facilement le nombre d’harmoniques retenu ainsi que les types de
non-linéarités. De plus, afin de limiter la taille des systèmes à résoudre par une méthode de
type Newton, nous utilisons les deux méthodes de condensation présentées précédemment.
2.5. TECHNIQUES DE SUIVIE DE SOLUTIONS PÉRIODIQUES
2.5
59
Techniques de suivie de solutions périodiques
Dans les sections précédentes, nous avons présenté différentes méthodes qui permettent de
calculer la réponse périodique d’un système dynamique. Le succès de ces méthodes dépend
fortement du point de départ utilisé dans l’algorithme de Newton pour résoudre le système
d’équations non-linéaires. Dans la suite, nous allons donc présenter quelques méthodes, qui
se regroupent sous l’appellation techniques de continuation (path-following methods) et
qui permettent d’améliorer l’estimation initiale de la réponse. Leur principe est simple :
en partant d’un endroit où l’obtention de la solution est facile (par exemple d’un endroit
où la réponse est linéaire), on va avancer par petits pas vers une zone où l’obtention de
la solution est plus compliquée. Et tout cela en fonction d’un paramètre de contrôle choisi
par l’opérateur. Il peut s’agir d’une amplitude, d’une fréquence d’excitation ou d’un taux
d’amortissement, etc... Une telle méthode est naturellement bien adaptée aux études paramétriques et tout particulièrement à l’obtention des diagrammes de bifurcation du système
étudié.
Que l’on utilise des méthodes temporelles ou fréquentielles pour déterminer la réponse
périodique d’un système, nous avons vu que le problème se résumait à chercher les zéros
d’une fonction H qui dépend des variables y du problème. Soit λ un paramètre quelconque
du système que nous prenons comme variable de contrôle. H dépend implicitement de λ et
la recherche de la solution périodique peut alors s’écrire sous la forme
H(y, λ) = 0
(2.52)
L’objectif d’une méthode de continuation est de tracer la suite de points (yk , λk ) déterminants la solution trouvée au pas k. Cette démarche s’apparente à celle utilisée lors de la
résolution des équations différentielles ordinaires (voir section 2.3). En effet, il est possible
de faire l’analogie entre le problème aux conditions initiales 2.18 et 2.52. En écrivant la
différentielle de 2.52 on obtient
dH =
∂H
∂H
dy +
dλ = 0
∂y
∂λ
(2.53)
ce qui permet d’écrire l’équation différentielle ordinaire d’ordre 1, similaire au problème
2.18
−1
∂H
∂H
dy
=−
(y, λ)
(2.54)
(y, λ) ·
dλ
∂y
∂λ
Dans les techniques présentées ci-dessous, on a recours à des méthodes d’intégration basées
sur une approche par prédiction-correction. Au pas k, on estime dans un premier temps
une solution (ŷk , λ̂k ) de l’équation 2.52 à l’aide des solutions calculées aux pas précédents.
Les prédicteurs sont nombreux et reprennent ceux utilisés dans l’intégration numérique.
On peut employer une prédiction sécante, tangente, polynomiale, ou d’Adams-Bashforth,
etc... Ensuite on corrige cette estimation avec un correcteur, généralement un algorithme
60
de Newton (voir section 2.2), pour trouver la solution (yk , λk ).
2.5.1
Continuation séquentielle
C’est la technique de continuation la plus simple et la plus directe à implémenter. A chaque
pas de l’algorithme, on cherche une solution yk de 2.52 pour un paramètre de contrôle λk
donné et fixe. Pour assurer la continuation d’un pas à l’autre, l’estimation est en général la
solution yk−1 trouvée au pas précédent d’où
(ŷk , λ̂k ) = (yk−1 , λk )
(2.55)
Ce couple est alors utilisé comme point de départ de l’algorithme de Newton qui permettra
de résoudre l’équation 2.52. La figure 2.12 représente graphiquement cette démarche pour
deux pas de continuation. Nous voyons que pour la recherche de la solution au pas k tout se
Fig. 2.12: Continuation séquentielle (–) solution exacte (· · · ) prédiction (- -) correction
passe bien car il existe une solution yk pour λk = λk+1 . Au voisinage du point de retournement (comportement habituel dans un système non-linéaire), aucune solution n’est trouvée
au pas k + 1. Pourtant la solution prédite (yk , λk+1) n’est pas très loin de la solution exacte.
Le problème vient du fait que l’on cherche yk+1 à λk+1 fixé.
Cette méthode s’utilise couramment sur les systèmes linéaires mais peut présenter des
insuffisances sur des systèmes non-linéaires. L’approche suivante comble cette lacune en
considérant que le paramètre de contrôle est une inconnue supplémentaire.
2.5.2
61
Continuation par paramétrisation de la longueur d’arc
Ces méthodes considèrent que λ est une inconnue au moment de la résolution de 2.52. Pour
assurer la fermeture du problème, il faut rajouter une équation de contrainte supplémentaire. L’idée consiste à paramétrer la courbe de réponse par son abscisse curviligne s, et non
plus par le paramètre de contrôle. Comme on ne peut pas connaître l’abscisse curviligne de
la courbe de réponse réelle, elle est approximée par la longueur de la ligne brisée définie par
l’ensemble des couples (yk , λk ). La longueur d’arc se calcul ainsi à chaque pas k
sk = sk−1 + ∆sk pour k ≥ 0
où ∆sk est une variable d’entrée à chaque pas. Elle détermine la longueur du pas sur l’arc
à chaque itération. L’initialisation se fait naturellement en posant s0 = 0.
Continuation arclength
Dans une continuation arclength, on va chercher une solution qui se trouve à l’intersection
entre la courbe de réponse exacte et une hypersphère de rayon ∆s centrée autour du point
(yk−1, λk−1 ) trouvé au pas précédent. On va chercher à résoudre le système augmenté suivant
(
H(yk , λk ) = 0
kyk − yk−1k2 + (λk − λk−1 )2 − ∆s2k = 0
(2.56)
La figure 2.13 illustre la progression de l’algorithme avec l’utilisation d’un prédicteur sécant.
C’est une prédiction extrêmement simple. Elle consiste à écrire


ŷk

λ̂k
yk−1 − yk−2
∆sk−1
λk−1 − λk−2
= λk−1 +
∆sk−1
= yk−1 +
La figure 2.13 illustre la démarche de prédiction correction au voisinage d’un point de
retournement. Cette fois, comme le paramètre de contrôle est une inconnue, l’algorithme
peut trouver une solution après un point de retournement.
Continuation pseudo-arclength
Une autre possibilité consiste à rechercher la solution à l’intersection de la courbe de réponse
et d’un hyperplan orthogonal à la tangente de la courbe au point (yk , λk ) et situé à une
distance ∆s de ce dernier. L’équation de la tangente s’obtient en écrivant que la différentielle
de H par rapport à s est nulle sur un point de la courbe de réponse (car H est nulle), soit
∂H
∂H
∂H
λ̇ = 0
=
ẏ +
∂s
∂y
∂λ
(2.57)
62
Fig. 2.13: Continuation arclength avec une prédiction sécante (–) solution exacte (· · · )
prédiction (- -) correction
où ẏ et λ̇ sont les dérivées par rapport à s. En normalisant les composantes du vecteur
directeur de la tangente
kẏk2 + λ̇2 = 1
(2.58)
on peut écrire le système augmenté à résoudre
(
H(yk , λk ) = 0
t
ẏk−1
(yk − yk−1 ) + λ̇k−1 (λk − λk−1 ) − ∆sk
=0
(2.59)
La deuxième équation de 2.59 définie l’hyperplan qui est orthogonal à la tangente unitaire au
point (yk−1, λk−1 ). Cette équation découle de la linéarisation de l’équation de l’hypersphère
définie en 2.56. ∆s représente la distance à laquelle on place l’hyperplan par rapport à la
solution (yk−1, λk−1). En conséquence, la nouvelle solution (yk , λk ) ne se trouvera pas à une
distance ∆s de l’ancienne comme dans une continuation arclength. La procédure est illustrée
dans la figure 2.14 avec une prédiction tangente. Cette prédiction vient naturellement avec
une continuation pseudo-arclength car le vecteur directeur de la tangente doit être calculé
pour imposer la contrainte dans 2.59. Mais a priori, rien n’empêche l’utilisation d’un autre
prédicteur à condition que le point prédit soit dans l’hyperplan.
Si pour la continuation arclength on est sûr de pouvoir trouver une intersection entre la
courbe de réponse et l’hypersphère, ce n’est pas toujours le cas dans la continuation pseudoarclength. Avec une tangente proche de l’horizontale sur la figure 2.14, le plan orthogonal
à la tangente ne coupe pas la courbe solution. Dans ce cas, on rencontrerait certainement
des problèmes de convergence puisque la prédiction serait loin de la solution exacte. Ces
problèmes peuvent toutefois être limités en prenant un ∆sk suffisamment petit.
63
Fig. 2.14: Continuation pseudo-arclength avec une prédiction tangente (–) solution exacte
(· · · ) prédiction (- -) correction
Quelques précisions concernant le prédicteur tangent
Le prédicteur tangent consiste à prendre le point (ŷk , λ̂k ) dans la direction de la tangente à
la courbe de réponse au point (yk−1, λk−1). Pratiquement, cette étape va se dérouler ainsi.
En utilisant les équations 2.57 et 2.58, et en remplaçant les dérivées avec des différences
finies on obtient les relations suivantes entre la solution prédite au pas k et la solution
connue au pas k − 1

∂H

 ∂H
∆λk = 0
∆yk +
∂y |k−1
∂λ |k−1
(2.60)

2
k∆yk k2 + ∆λ2
= ∆sk
k
où ∂H/∂y |k−1 et ∂H/∂λ|k−1 sont les dérivées partielles à la solution (yk−1 , λk−1). La première
équation de 2.60 donne la direction et la seconde la distance de la prédiction. Comme on a
aussi ∆yk = ŷk − yk−1 et ∆λk = λ̂k − λk−1 , la résolution conduit au couple (ŷk , λ̂k ) suivant

∆s


v
λ̂
=
λ
+
∆λ
=
λ
±
k
k−1
k
k−1

2

u
!−1


u


u ∂H
∂H

+1

t
·
∂y
∂λ
|k−1
|k−1
(2.61)




!

−1


∂H
∂H


 · (λ̂k − λk−1 )


·
ŷk = yk−1 + ∆yk = yk−1 −


∂y |k−1
∂λ |k−1
Naturellement, ce couple vérifie l’équation de paramétrisation des continuations de type
arclength et pseudo-arclength. Toutefois, on remarque qu’il reste une incertitude sur le
signe de ∆λk . Le choix s’effectue afin de préserver le même sens de parcours sur la courbe
de réponse. Pour cela, on recquiert que le produit scalaire entre les vecteurs tangents aux
64
points (yk−1 , λk−1) et (yk , λk ) soit positif [51]. On commence donc par choisir arbitrairement
le signe positif pour ∆λk . Si après résolution on ne vérifie pas l’inégalité
t
∆yk−1
· ∆yk + ∆λk−1 · ∆λk > 0
(2.62)
on recalcule la solution avec −∆λk . Cette procédure évite de fournir une estimation qui se
trouve vers une partie de la courbe déjà calculée et évite de revenir en arrière.
Toutefois il existe un autre inconvénient à ce prédicteur : il ne peut s’utiliser tel quel au
voisinage d’un point de retournement. En effet, la jacobienne ∂H/∂y est singulière à un
point de retournement. Il est donc impossible d’obtenir les incréments à partir de 2.61. En
réalité il y a peu de chance de tomber exactement sur ce point, mais à son voisinage la
jacobienne peut être mal conditionnée, engendrant des problèmes purement numériques.
Pour traiter ce cas particulier, le moyen le plus simple consiste à remplacer l’équation de
normalisation de 2.60 avec une autre (voir [71, 52]).
Lors de la mise en oeuvre de ces méthodes de continuation, il existe des techniques supplémentaires de gestion du pas et de mise à l’échelle qui sont importantes pour rendre
l’algorithme plus efficace et plus robuste. Afin de ne pas alourdir cette partie, ces aspects
pratiques sont traités dans l’annexe A.
2.5.3
Conclusion
Dans cette section, nous avons présenté différentes techniques de continuation qui permettent de suivre une solution en fonction d’un paramètre donné. Dans les calculs statiques, elles permettent de déterminer les solutions des systèmes après le flambement d’une
structure, et en dynamique elles permettent de tracer les courbes de réponses en fréquence
non-linéaires. Dans nos travaux, nous avons implémenté la méthode de continuation arclength, car elle évite tous les problèmes numériques liés à l’utilisation de la prédiction
tangente.
2.6. ETUDE DE LA STABILITÉ
2.6
65
Etude de la stabilité
Dans les sections précédentes de ce chapitre, nous avons vu des méthodes permettant de
déterminer la réponse périodique d’une équation différentielle ordinaire, et plus spécifiquement de l’équation du mouvement. Vis-à-vis de la stabilité de la solution, ces méthodes ne
sont pas toutes équivalentes. En partant d’une condition initiale donnée, une intégration
temporelle directe va traverser une phase transitoire avant de se stabiliser sur une solution
périodique si elle existe. En conséquence, une intégration temporelle directe ne fournira que
des solutions stables ou divergentes. Par contre, les formulations associées à la méthode de
tirs, de différences finies ou de balance harmonique offrent la possibilité de déterminer les
solutions périodiques instables du système.
Il devient alors nécessaire de se doter d’outils qui nous permettent de déterminer la nature
de la solution périodique calculée, c’est-à-dire stable ou instable. Nous fournirons dans ce
paragraphe quelques définitions de la stabilité et nous présenterons les outils pratiques qui
permettent le calcul de la stabilité dans le domaine temporel et fréquentiel.
2.6.1
Quelques définitions
Il existe de nombreuses définitions de la stabilité d’une solution y du problème de Cauchy
2.18 ou du problème de conditions aux limites 2.31. Voici les définitions les plus courantes.
1. Stabilité au sens de Lagrange
Une solution est stable au sens de Lagrange si elle est bornée
∃ M > 0 tel que ∀ t ky(t)k2 ≤ M
Cette définition est très générale car elle englobe toutes les réponses bornées d’un
système dynamique.
2. Stabilité au sens de Lyapunov
Une solution est stable au sens de Lyapunov si
∀ ǫ > 0, ∃ δ > 0 / ∀ z kz(t0 ) − y(t0 )k < δ ⇒ ∀ t > t0 kz(t) − y(t)k < ǫ
où z est une autre solution dont les conditions initiales sont proches de y. Si de plus
on a limt→∞ kz(t) − y(t)k = 0 alors la stabilité est qualifiée d’asymptotique. Cependant, cette définition est trop restrictive pour l’étude de la stabilité des systèmes
dynamiques. En effet, en partant de deux conditions initiales très proches, cette définition impose que les réponses restent proches l’une de l’autre pour tout temps t.
Or, comme il est courant dans des systèmes non-linéaires, la période des oscillations
peut être fonction des conditions initiales. Dans ce cas, on pourra toujours trouver
66
un temps t pour lequel les deux solutions ne seront pas proches, même si l’amplitude
des oscillations sont très proches.
3. Stabilité au sens de Poincaré
Une solution est stable au sens de Poincaré si
∀ ǫ > 0, ∃ δ > 0 et τ > t0 / ∀ z kz(τ ) − y(t0 )k < δ
⇒ ∃ t1 > t0 et t2 > t0 / kz(t1 ) − y(t2 )k < ǫ
Cette définition élargit la définition précédente, elle présente la notion de stabilité
orbitale. On examine comment la trajectoire (ou cycle limite) d’une autre solution
reste proche de la trajectoire étudiée. Si, de plus, la trajectoire de l’autre solution
tend vers la trajectoire étudiée alors la solution y est qualifiée d’asymptotiquement
stable.
C’est cette dernière définition de stabilité asymptotique qui va nous intéresser pour l’étude
de la stabilité locale des solutions périodiques. Le théorème de Hartman-Grobman [72, 73]
fournit ensuite le cadre mathématique formel qui permet d’établir l’équivalence entre la
stabilité du système non-linéaire et la stabilité du système linéarisé autour d’une solution
périodique.
2.6.2
Théorie de Floquet
La théorie de Floquet est celle qui est communément utilisée pour étudier la stabilité des
solutions périodiques d’un système dynamique. Elle a été développée à l’origine pour déterminer la stabilité de systèmes linéaires à coefficients périodiques (voir [74]). Pour nous
ramener à ce cadre formel il suffit de linéariser l’équation différentielle 2.18 autour d’une
solution ye de période T . Soit δy une perturbation alors
y(t) = ye (t) + δy
(2.63)
En remplaçant cette équation dans 2.18 et en développant à l’ordre 1 la fonction f , on
obtient
˙ = f (ye , t) + ∂f δy + O kδyk2
ẏe (t) + δy
(2.64)
∂y |ye
Mais comme ye est solution du problème 2.18 on obtient
˙ ≈ Jf (ye , t)δy
δy
(2.65)
où Jf (ye , t) est la jacobienne de la fonction f à la solution ye . Etant donné que ye est
T -périodique, il en est de même pour Jf . Cependant, T n’est pas forcément la période
minimale de cette matrice. Par exemple, si f contient des non-linéarités impaires, la jacobienne sera de période T /2. L’équation 2.65 s’intègre donc parfaitement dans le cadre de la
67
théorie de Floquet.
D’après la théorie des équations différentielles linéaires, l’ensemble des solutions d’un système d’ordre n peut être engendré par n vecteurs libres. Soit δY une matrice ayant dans
chaque colonne un de ces vecteurs. Toute solution s’exprime alors à partir de cette matrice
fondamentale.
Dans notre cas, Jf est périodique, donc toute base de la solution au temps t0 est aussi base
de la solution au temps t0 + T . Ainsi, la base de l’ensemble des solutions au temps t0 + T
est une combinaison linéaire de la base à l’instant t0
δY (t0 + T ) = Φ · δY (t0 )
(2.66)
On s’aperçoit alors que l’évolution de la solution après m périodes va être étroitement liée
à la matrice Φ qui s’appelle la matrice monodrôme
δY (t0 + mT ) = Φm · δY (t0 )
(2.67)
Les valeurs propres λi de cette matrice Φ sont les multiplicateurs de Floquet. Si elles sont
distinctes, il est possible de la diagonaliser dans C
Φ = P · D · P −1
(2.68)
où D est la matrice diagonale contenant les valeurs propres λi , et P la matrice orthogonale
de changement de base. Les vecteurs zi de la nouvelle base Z = δY · P ainsi formée sont
solutions de 2.65. On peut alors écrire 2.66 sous une forme plus simple
Z(t0 + T ) = D · Z(t0 ) soit zi (t0 + T ) = λi z(t0 )
(2.69)
ce qui implique après m périodes
zi (t0 + mT ) = λm
i zi (t0 )
(2.70)
On en conclut sans difficulté que chaque valeur propre λi fournit une mesure locale de la
divergence de la solution ye (t) selon les directions des vecteurs propres. Si m → ∞
zi (t) → 0
zi (t) → ∞
si
si
|λi | < 1
|λi | > 1
En conclusion, lorsque toutes les valeurs propres sont dans le cercle unité, la solution ye est
asymptotiquement stable. Lorsque une seule valeur propre est en dehors du cercle unité la
solution est instable, et la direction d’instabilité est donnée par le vecteur propre associé.
68
Lorsqu’un multiplicateur se trouve sur le cercle unité (|λi | = 1) la situation n’est plus aussi
claire, et aucune conclusion quant à la stabilité ne peut être avancée : une analyse nonlinéaire de la stabilité est nécessaire (utilisation d’un développement de Taylor d’ordre 2
de f ). Ces cas correspondent à la transition entre un état stable et instable. Pour λi = 1,
la solution particulière zi est T périodique. Pour λi = −1 la solution sera 2T périodique.
Lorsque λi n’est pas réel, il existe une seconde valeur propre qui lui est conjuguée car la
matrice monodrôme Φ est réelle. La combinaison des deux solutions particulières associées
zi et z̄i donne une solution quasi-périodique. La première pulsation est de 2π/T et la seconde
Im(λi )
ω = 2πarctan
(2.71)
Re(λi )
Si λi est une racine kième de l’unité, la solution est kT périodique et on retrouve les cas T
et 2T périodiques qui correspondent aux racines simple et double de l’unité.
La théorie de Floquet permet donc de calculer la stabilité locale d’une solution périodique
à travers le calcul des valeurs propres de la matrice monodrôme. En fonction de ces valeurs
propres, on peut déterminer vers quel type de réponses une solution instable va diverger.
C’est ce que nous allons voir par la suite.
2.6.3
Bifurcations
Une bifurcation correspond à un changement qualitatif du comportement du système (tel
que le nombre ou le type de solutions) au cours de l’évolution d’un ou plusieurs paramètres
dont dépend le système. Ainsi dans l’introduction de ce chapitre 2.1, nous avons vu l’évolution de la réponse stationnaire de l’oscillateur vibro-impactant en fonction de la pulsation
d’excitation. Plusieurs bifurcations ont eu lieu entre la réponse périodique à ω = 0.73 et
la réponse quasi-périodique à ω = 0.76. Précisons qu’une bifurcation locale est une modification du comportement du système au voisinage de la solution précédente. Tout autre
changement qualitatif sera désigné par le terme bifurcation globale.
Les bifurcations peuvent être classées en bifurcations continues ou discontinues. Une bifurcation continue est réversible sous une variation inverse des paramètres de contrôle. Une bifurcation discontinue est appelée aussi catastrophique car souvent elle modifie complètement
l’amplitude de la solution. Les différentes bifurcations peuvent s’enchaîner et se composer
d’une infinité de manières. De nombreux ouvrages [75] et articles [76, 77, 78, 7, 4, 79, 80]
traitent exhaustivement d’un type de bifurcation en particulier, c’est pourquoi nous n’irons
pas plus loin dans le classement.
La théorie de Floquet permet de fournir l’information essentielle. Lorsqu’un paramètre du
système évolue, une solution périodique initialement stable peut devenir instable. Cette
bifurcation se produit lorsque le plus grand des multiplicateurs de Floquet atteint le cercle
69
unité. A ce point, plusieurs phénomènes peuvent se produire : le multiplicateur peut quitter
le cercle unité de trois manières. Si le multiplicateur sort par +1, c’est une bifurcation du
type cyclic fold. Si le multiplicateur sort par -1, c’est un dédoublement de période. Et enfin,
si deux multiplicateurs complexes conjugués sortent du cercle unité, c’est une bifurcation
secondaire de Hopf (ou de Neimark). La figure 2.15 illustre ces trois transitions.
Fig. 2.15: Les principaux types de bifurcation en fonction de l’évolution des multiplicateurs
de Floquet
Retenons que les bifurcations de type cyclic fold et de dédoublement de période mènent
vers une solution périodique par contre, une bifurcation secondaire de Hopf provoque en
général un régime quasi-périodique.
2.6.4
Calcul pratique de la matrice monodrôme
La théorie de Floquet fournit un cadre mathématique rigoureux pour déterminer la stabilité d’une solution périodique. Elle se ramène à étudier les valeurs propres de la matrice
monodrôme. La partie réelle de celle-ci fournit l’enveloppe exponentielle de la solution de
l’équation différentielle 2.65. Plusieurs stratégies, dépendantes de la méthode de résolution,
sont alors possibles pour l’évaluation de la matrice monodrôme.
Le calcul direct
Nous avons dit dans la section 2.6.2 que l’ensemble des solutions de l’équation 2.66 aux
temps multiples de t0 pouvait être donné par une base de vecteurs libres. Cette remarque
permet de donner directement une méthode pour calculer la matrice monodrôme : la matrice
identité I d’ordre n est une matrice fondamentale car elle représente une base libre. En
intégrant une à une chaque colonne entre les instants t0 et t0 + T , on obtiendra une matrice
70
fondamentale au temps t0 + T , i.e.
δY (t0 + T ) = ΦI
(2.72)
La matrice fondamentale résultante n’est autre que la matrice monodrôme. Le calcul des
valeurs propres de cette matrice déterminera la stabilité de la solution ye . Le calcul de cette
matrice est assez long, puisqu’il faut réaliser un total de n intégrations. Si nous travaillons
sur une équation du mouvement classique avec N équations, il faut mettre cette équation
sous la forme d’une équation d’état d’ordre n = 2N. Pour des systèmes de grandes tailles,
de telles intégrations ne sont guère envisageables à l’heure actuelle.
Procédure de Friedmann
En pratique, il est courant d’approximer la matrice monodrôme en utilisant la procédure
de Friedmann [81]. Celle-ci est basée sur les travaux de Hsu [82] et consiste à découper la
période en un nombre fini M d’intervalles [tk , tk+1 ] sur lesquels la matrice jacobienne de H
est supposée constante et égale à une valeur moyenne. Par exemple, on peut prendre
Jf,k = Jf (yk , tk )
(2.73)
Ainsi sur chaque intervalle l’équation 2.65 devient une équation différentielle à coefficients
constants qui est intégrable analytiquement pour obtenir
δyk+1 = exp (Jf,k · (tk+1 − tk )) · δyk
(2.74)
Les intégrations successives sur tous les intervalles conduisent à l’approximation suivante
de la matrice monodrôme
M
Y
exp (Jf,k · (tk−1 − tk ))
(2.75)
Φ≈
k=1
Cette formulation n’est toutefois pas pratique en calcul numérique. Il convient mieux d’approcher chaque exponentielle matricielle par un développement en série entière, on se limite
alors à une troncature aux P premiers termes
!
M
P
Y
X
(Jf,k · (tk−1 − tk ))j
Φ≈
I+
(2.76)
j!
j=1
k=1
Les choix de M et P dépendent des applications et différents tests sont souvent nécessaires
pour trouver un bon compromis entre précision et temps de calcul [83]. Des simplifications
peuvent alléger le calcul de cette matrice. Si la matrice jacobienne Jf est de période T /2
alors que le mouvement est de période T , en intégrant sur une demi-période on obtient une
matrice monodrôme Φ̃ qui est reliée à la matrice monodrôme réelle par la relation Φ = Φ̃2
(en vertu de la relation 2.67). Le temps de calcul se trouve ainsi divisé par deux.
71
Etude de la stabilité après une méthode de tir
L’étude de stabilité sur une solution périodique déterminée par une méthode de tir 2.3.2
est facile car aucun calcul supplémentaire n’est nécessaire. En effet, la matrice monodrôme
n’est autre que le terme ∂y/∂y0 évalué autour de la solution ye .
Etude de la stabilité après une balance harmonique
Alors que la stabilité s’étudie naturellement après une méthode de tir, ce n’est pas aussi direct après une méthode fréquentielle comme la balance harmonique 2.4. En effet, la solution
obtenue est constituée des harmoniques du mouvement qui sont indépendantes du temps.
Or la théorie de Floquet étudie l’évolution d’une perturbation dans le domaine temporel.
L’approche la plus évidente consiste alors à réaliser une transformée inverse de Fourier sur
la solution fréquentielle pour obtenir la réponse périodique dans le domaine temporel. On
peut ensuite calculer par intégrations successives la matrice monodrôme et déterminer ses
valeurs propres. En partant de l’équation du mouvement 1.49, le système linéarisé d’ordre
1 à résoudre est le suivant
(2.77)
Ẏ = A · Y
où Y = (ǫ ǫ̇)
T
et

A = 
0
M−1 · −K +
I
∂Fnl
∂U |U0
−M−1 · C


U0 est la solution périodique, et ǫ la perturbation. On remarque que A est une matrice
à coefficients constants, sauf pour le terme ∂Fnl /∂U|U0 qui est la jacobienne des efforts
non-linéaires. La démarche suivie est résumée dans le graphique 2.16.
Il faut toutefois remarquer que la solution périodique Ũ0 calculée par balance harmonique
est une approximation de la solution réelle. Si la balance harmonique ne contient pas assez
d’harmoniques, la jacobienne ∂Fnl /∂U|U0 ne sera pas assez précise. Or, la matrice monodrôme dépend directement de cette jacobienne.
Etude de la stabilité dans le domaine fréquentiel
Nous venons de voir que pour se raccrocher à la théorie de Floquet, il est nécessaire de repasser dans le domaine temporel après une balance harmonique. Pour éviter cet aller-retour
entre le domaine temporel et fréquentiel, certains auteurs ont essayé de déterminer directe-
72
Fig. 2.16: Démarche pour étudier la stabilité d’une solution périodique obtenue par balance
harmonique
73
ment la stabilité d’une solution harmonique à partir de la réponse fréquentielle. Ainsi, Groll
et Ewins [17] proposent une adaptation dans le domaine fréquentiel de la méthode de Hill
qui s’utilise normalement dans le domaine temporel (voir [75]).
Supposons que nous avons déterminé par balance harmonique une solution périodique Ũ0
de l’équation dans le domaine fréquentiel et imposons une perturbation à cette solution
ǫ(t) = eαt s(t)
k=∞
X
k
k
c
c
s
où s(t) = s0 +
sk cos 2π f t + sk sin 2π f t
n
n
k=1
(2.78)
(2.79)
Remarquons que la perturbation est aussi supposée décomposable en série de Fourier. En
remplaçant U = U0 + ǫ(t) dans l’équation du mouvement et en réalisant une balance
harmonique, on obtient
h
i
(2.80)
Λ · Ũ0 + Λ + αΛ̂ + α2 M̂ Ũ0 eαt = F̃nl Ũ0 + S̃eαt + F̃ext
où S̃ est le vecteur des coefficients de Fourier de s(t). L’expression de Λ est connue par
l’équation 2.42 et
M̂ = diag(M, · · · , M)
(2.81)
et
avec





Λ̂ = 





C
Λ̂1
..
.
Λ̂k
..
.
Λ̂k









C
2kωM
Λ̂k =
−2kωM
C
αt
donne
Un développement limité au premier ordre de F̃nl Ũ0 + S̃e
∂ F̃
nl
F̃nl Ũ0 + S̃eαt ≈ F̃nl Ũ0 +
· eαt S̃
∂ Ũ |Ũ0
(2.82)
(2.83)
(2.84)
Ce qui conduit au problème aux valeurs propres suivant, compte tenu de l’équation 2.42
"
#
∂
F̃
nl
Λ + αΛ̂ + α2 M̂ −
· S̃ = 0̃
(2.85)
∂ Ũ |Ũ0
Après résolution de ce problème aux valeurs propres complexes, le signe de la partie réelle
74
va déterminer la stabilité de la solution périodique. En effet, si la partie réelle est négative, alors la perturbation va avoir une amplitude décroissante ce qui implique la stabilité
de la solution Ũ0 . Lorsque la partie réelle est positive alors la perturbation va avoir une
amplitude croissante et la solution Ũ0 est instable. La jacobienne ∂ F̃nl /∂ Ũ|Ũ0 n’est plus
la même que dans la théorie de Floquet. En effet, dans Floquet, c’était la jacobienne des
efforts non-linéaires exprimés dans le domaine temporel. Ici, elle est exprimée dans le domaine fréquentiel. Ceci est essentiel car après l’algorithme de Newton, nous disposons de la
jacobienne du résidu dans le domaine fréquentiel. Elle est égale à
∂
∂ R̃
F̃ext − ΛŨ − F̃nl
=
∂ Ũ kŨ0
∂ Ũ kŨ0
(2.86)
Or F̃ext ne dépend pas du déplacement d’où
∂ R̃
∂ F̃nl
= Λ−
∂ Ũ kŨ0
∂ Ũ |Ũ0
(2.87)
On peut directement réutiliser la jacobienne calculée lors de la procédure de Newton pour
évaluer 2.85. Cette approche a été appliquée avec succès dans certains cas [17], par contre
dans d’autres cas, elle présente des difficultés de convergence liées à la forme supposée de
la perturbation ǫ(t).
La méthode des échelles multiples
Il existe une autre possibilité pour étudier la stabilité d’une solution périodique directement
dans le domaine fréquentiel. Elle est tirée de Nayfeh et Mook [75] et est applicable lorsque
la non-linéarité n’est a priori pas trop forte. Elle consiste à ramener l’étude de la stabilité
d’une solution périodique à l’étude de la stabilité d’un point d’équilibre dans l’espace de
Fourier. Supposons que les coefficients de Fourier de la solution périodique U0 varient de
façon lente dans le temps par rapport à la période de la solution. Soit η l’échelle de temps
lente et τ l’échelle de temps rapide. Ainsi on a
U(t) = U(τ, η) =
ac0 (η)
+
k=N
Xh
k=1
ack (η) · cos (ωτ ) + bsk (η) · sin (ωτ )
(2.88)
L’échelle de temps lente est associée aux variations des coefficients de Fourier induites par
l’application d’une perturbation. Comme nous ajoutons une inconnue supplémentaire il
faut aussi une équation complémentaire. D’après Nayfeh et Mook [75], on peut se donner
la vitesse avec l’expression
k=N
Xh
∂U
= U̇(t) =
−kωack (η) · sin (ωτ ) + kωbsk (η) · cos (ωτ )
∂t
k=1
(2.89)
75
Cependant, en dérivant l’équation 2.88 on a
∂U
∂U
∂U
(t) =
(t) +
(t)
∂t
∂η
∂τ
k=N
Xh
āck (η) · cos (ωτ ) + b̄sk (η) · sin (ωτ )
= āc0 (η) +
(2.90)
k=1
k=N
Xh
+
k=1
−kωack (η) · sin (ωτ ) + kωbsk (η) · cos (ωτ )
(2.91)
où ā et b̄ représente une dérivée par rapport à l’échelle de temps η. En comparant cette
expression avec 2.89 on voit que
āc0 (η)
+
k=N
Xh
k=1
āck (η) · cos (ωτ ) + b̄sk (η) · sin (ωτ ) = 0
(2.92)
Compte tenu de cette égalité, l’accélération se calcule aisément et donne
∂2U
=
∂t2
+
k=N
Xh
k=1
k=N
Xh
k=1
−kωāck (η) · sin (ωτ ) + kω b̄sk (η) · cos (ωτ )
−(kω)2 ack (η) · cos (ωτ ) − (kω)2bsk (η) · sin (ωτ )
(2.93)
Si maintenant on réinjecte ces expressions des déplacements, vitesses et accélérations dans
l’équation du mouvement et que l’on réalise une balance harmonique, il vient
¯ = F̃ + F̃
Λ · Ũ + B · Ũ
ext
nl
(2.94)
¯ sont les vecteurs des coefficients de Fourier et ceux de leurs dérivées par rapport
où Ũ et Ũ
à l’échelle de temps lente η. La matrice Λ est toujours la même que précédemment et

avec

0




B=




Ψk =
Ψ1
..
.
Ψk
..
.
Ψk
0
2kωM
−2kωM
0









(2.95)
(2.96)
Une solution périodique de l’équation 2.94 doit vérifier
¯ =0
Ũ
(2.97)
76
Dans l’espace de Fourier, une solution périodique est un point d’équilibre de l’équation
suivante
¯ = F̃ − Λ · Ũ + F̃ = 0
Ũ
(2.98)
ext
nl
Le problème d’étude de la stabilité de la solution périodique va donc passer par l’étude de
la stabilité d’un point d’équilibre. Soit une perturbation ǫ, on injecte Ũ = Ũ0 + ǫ̃ dans
l’équation 2.94 et on obtient
(2.99)
Λ · Ũ0 + ǫ̃ + B · ǫ̃ = F̃ext + F̃nl Ũ0 + ǫ̃
Avec un développement limité au premier ordre autour de la solution périodique, comme
en 2.84, on a
∂ F̃nl
Λ · ǫ̃ + B · ǫ̃ −
.ǫ̃ = 0̃
(2.100)
∂ Ũ |Ũ0
En posant la dépendance temporelle de ǫ sous la forme ǫ = ǫeαη , on a le problème aux
valeurs propres suivant
#
"
∂ F̃nl
.ǫ = 0̃
(2.101)
Λ + αB −
∂ Ũ |Ũ0
Comme dans la méthode précédente, les valeurs propres de ce problème vont nous permettre de déterminer la stabilité de la solution Ũ0 : si elles ont toutes une partie réelle
négative alors la solution est stable, si une valeur propre a une partie réelle positive alors
la solution est instable. Cette méthode présente un avantage par rapport à la précédente
car le problème aux valeurs propres généralisées est d’ordre 1 et non plus d’ordre 2. Dans
le domaine fréquentiel elle a été utilisée par Laxalde [84] et Gouskov [85].
Application sur un oscillateur de Duffing
Appliquons les trois méthodes d’étude de stabilité précédemment décrites sur un oscillateur
bien connu et maîtrisé : l’oscillateur de Duffing. Son équation du mouvement canonique est
dx
d2 x
+ 2ξω0
+ ω02 kx + βx3 = fext
2
dt
dt
(2.102)
La non-linéarité cubique correspond a une non-linéarité géométrique. Sur une poutre en
grand débattement par exemple, cette non-linéarité correspond à la raideur supplémentaire
ajoutée par la tension de surface. Nous prenons les valeurs suivantes pour les paramètres
du modèle
ξ = 0.06, ω0 = 1, fext = f0 cos(ωt)
(2.103)
f0 , ω, et β varieront au cours de l’étude. Nous allons envisager plusieurs cas où l’influence de
la force non-linéaire est sans cesse grandissante. Pour calculer les courbes de réponses, nous
avons utilisé une continuation arclength avec une prédiction sécante autour de la pulsation
de résonance ω0 = 1. A chaque pas la solution périodique est calculée avec une balance
77
harmonique AFT et la stabilité est évaluée des trois manières présentées précédemment :
avec les multiplicateurs de Floquet, par la méthode de Hill et par la méthode des échelles
multiples. Une intégration temporelle sert de référence. Nous retenons 25 harmoniques dans
la balance harmonique pour limiter les erreurs de troncature.
Dans le premier cas, nous avons choisi f0 = 0.5, et β = 0.1. La figure 2.17 compare
les courbes de réponses obtenues par balance harmonique et l’intégration temporelle. La
corrélation parfaite des courbes montre que les 25 harmoniques sont suffisantes. Ensuite,
nous comparons les zones de stabilité calculées par les trois méthodes. Nous voyons qu’elles
sont identiques. Dans ce cas, le raidissement de la courbe de réponse est relativement faible
et la résonance surharmonique est très faible. Les flèches sur la courbe 2.17(d) montrent le
saut en amplitude de réponse au passage de la bifurcation de type "cyclic fold" lorsque l’on
effectue un balayage montant ou descendant.
7
7
(a)
6
min
5
max
−x
4
3
1
1
6
0.4
0.6
0.8
1
Pulsation
1.2
1.4
0
1.6
0.4
0.6
0.8
1
Pulsation
1.2
1.4
1.6
0.6
0.8
1
Pulsation
1.2
1.4
1.6
7
(c)
6
min
5
max
−x
4
x
3
(d)
5
4
3
x
min
4
2
7
−x
5
2
0
max
(b)
x
3
x
max
−x
min
6
2
2
1
1
0
0.4
0.6
0.8
1
Pulsation
1.2
1.4
1.6
0.4
Fig. 2.17: Réponses en fréquence de l’oscillateur de Duffing pour f0 = 0.5 et β = 0.1 (a)
Hill (b) Echelles Multiples (c) Floquet (d) Intégration temporelle (•) Stable (·) Instable
Dans le deuxième cas, nous considérons la même force d’excitation mais une non-linéarité
plus forte avec β = 1. La figure 2.18 illustre les résultats. Le pic de résonance est décalé
plus vers la droite que dans la figure 2.17 en raison de l’augmentation de β qui entraîne un
raidissement. Nous avons toujours une bonne corrélation entre l’intégration temporelle et
78
la balance harmonique. Une résonance superharmonique commence à apparaître à gauche
du pic de résonance principal. Nous n’avons pas cherché à capturer les résonances sous
harmoniques. Les études de stabilité menées avec les méthodes de Floquet 2.18(c) et des
échelles multiples sont identiques 2.18(b). Par contre nous constatons une nette dégradation
des zones de stabilité calculée avec la méthode de Hill 2.18(a). Ceci est certainement lié à
la forme, supposée harmonique, de la perturbation (voir eq. 2.78).
4
(a)
−x
min
3
1
0
3
2
1
0.5
1
1.5
Pulsation
0
2
4
(c)
−x
min
3
x
max
2
0.5
1
1.5
Pulsation
2
1
1.5
Pulsation
2
(d)
3
2
x
−x
min
4
max
(b)
x
max
2
x
max
−x
min
4
1
0
1
0.5
1
1.5
Pulsation
2
0
0.5
Fig. 2.18: Réponses en fréquence de l’oscillateur de Duffing pour f0 = 0.5 et β = 1 (a) Hill
(b) Echelles Multiples (c) Floquet (d) Intégration temporelle (•) Stable (·) Instable
La figure 2.19 illustre les courbes de réponses fréquentielles et l’intégration temporelle calculée pour f0 = 5 et β = 3. Les résonances surharmoniques sont bien plus nombreuses cette
fois et il y en a certaines qui ne sont pas capturées par la balance harmonique. Et ce parce
que la valeur moyenne du déplacement n’est plus nulle. Toutefois, il est possible de les capturer en recommençant une balance harmonique avec un point initial mieux adapté (avec
une valeur moyenne non nulle par exemple). Dans ce cas, l’hypothèse de variation lente
des coefficients de Fourier ne tient plus puisque l’on commence à voir apparaître des écarts
entre les zones de stabilité calculées par les échelles multiples 2.19(a) et Floquet 2.19(b).
xmax − xmin
10
79
(a)
8
6
4
2
0
xmax − xmin
10
1
2
3
4
Pulsation
5
6
7
8
1
2
3
4
Pulsation
5
6
7
8
1
2
3
4
Pulsation
5
6
7
8
(b)
8
6
4
2
0
xmax − xmin
10
(c)
8
6
4
2
0
Fig. 2.19: Réponses en fréquence de l’oscillateur de Duffing pour f0 = 5 et β = 3 (a)
Echelles Multiples (b) Floquet (c) Intégration temporelle (·) Stable (+) Instable
80
Conclusion
Dans cette partie, nous avons exposé trois approches différentes pour déterminer la stabilité
d’une solution périodique. La théorie de Floquet fournit un cadre mathématique rigoureux :
après une linéarisation de l’équation différentielle autour de la solution périodique on regarde
l’évolution d’une perturbation. Toutefois, après une balance harmonique, il faut repasser
dans le domaine temporel pour réaliser l’étude de stabilité et le calcul de la matrice monodrôme peut s’avérer long lorsque le nombre de degrés de liberté augmente. Les méthodes
de Hill et des échelles multiples permettent au contraire d’effectuer l’étude de stabilité dans
le domaine fréquentiel. Par contre, en traitant le cas simple de l’oscillateur de Duffing nous
avons vu que pour des non-linéarités plus fortes ces méthodes pouvaient ne pas être très
robustes. La justification de la méthode de Hill est effectuée dans le domaine temporel mais
la transposition directe dans le domaine fréquentiel semble poser quelques difficultés. Quant
à la méthode des échelles multiples, elle reste juste tant que les non-linéarités sont faibles.
En effet, l’hypothèse de l’échelle lente associée aux coefficients de Fourier n’est justifiée que
dans ce cadre particulier [75]. Toutefois, sa mise en application est très simple, et le calcul
de stabilité est beaucoup plus rapide qu’avec les multiplicateurs de Floquet. Et ce, même
lorsque le nombre d’harmoniques utilisé dans l’étude de stabilité augmente. Toutefois, si
la dimension du problème aux valeurs propres devient très grande alors la résolution du
problème nécessite un solveur sparse et une mise en forme particulière, car les matrices de
2.94 et 2.85 ne sont pas symétriques. Dans la suite des travaux, nous utiliserons toujours
la théorie de Floquet qui, en plus de sa précision, présente un autre avantage non négligeable : non seulement elle permet de déterminer la stabilité des solutions, mais elle permet
également de prédire la nature des bifurcations que rencontre le système.
Chapitre 3
Résolution pratique d’un problème avec
contact
Nous avons vu dans le chapitre 1 comment passer des équations continues d’un problème
de contact avec frottement entre deux corps aux équations matricielles de la formulation
par éléments finis. Dans ce chapitre, nous allons voir comment le contact et frottement sont
gérés de manière pratique dans les équations du mouvement. Les problèmes de contact et
de frottement rentrent dans la cadre mathématique d’optimisation sous contraintes et trois
approches sont généralement adoptées pour la résolution : les multiplicateurs de Lagrange,
les Lagrangiens augmentés et la méthode de pénalité. Dans ce chapitre nous allons voir,
dans un premier temps, comment ces méthodes sont appliquées dans le domaine temporel.
Nous verrons ensuite comment elles peuvent être adaptées dans le domaine fréquentiel.
3.1
Méthodes temporelles
La résolution d’égalités variationnelles sous contraintes s’inscrit dans un cadre mathématique plus large : l’optimisation sous contrainte. En se référant au livre de Fletcher [42],
trois méthodes principales sont utilisées : les multiplicateurs de Lagrange, les méthodes de
pénalité et les méthodes de Lagrangiens augmentés. Nous avons vu que la forme discrétisée
de l’équation du mouvement est
MÜ + CU̇ + KU − Fnl = Fext
(3.1)
On note dans cette équation que les termes Fnl et U sont des inconnues. Ils doivent vérifier
les contraintes liées au contact et à la loi de frottement de Coulomb. La discrétisation de
l’espace en éléments finis permet de définir une matrice A qui crée un lien entre les différents
degrés de liberté de l’élément de contact k. Ainsi la contrainte de non pénétration s’exprime
sous forme matricielle, pour chaque élément k
∀ k (AU − G0 )k ≤ 0
81
(3.2)
82
CHAPITRE 3. RÉSOLUTION PRATIQUE D’UN PROBLÈME AVEC CONTACT
A est la matrice des contraintes de contact et dépend de la discrétisation des surfaces de
contact et du type d’élément de contact. G0 est la matrice des séparations initiales entre
les noeuds. Dans notre étude nous nous limitons à des éléments de contact noeud à noeud
car nos maillages sont compatibles aux interfaces et on reste en petits déplacements. La
matrice A ne varie donc pas dans le temps. Par contre, il n’y a pas forcément d’efforts
de contact là où on a défini un élément de contact. En effet, si les noeuds de l’élément
k sont séparés, il n’y a aucune raison d’appliquer un effort dessus. De la même manière,
la prise en compte des efforts tangentiels s’effectue uniquement s’il y a un effort normal
entre les noeuds en contact. Dans cette partie sur la gestion temporelle du contact, nous
omettons les termes liés à l’inertie et l’amortissement sans perte de généralité. En effet,
une fois l’équation du mouvement discrétisée suivant un schéma d’intégration temporelle,
les équations non-linéaires à résoudre sont de la même forme que les équations discrétisées
d’un problème statique non-linéaire [86, 64].
3.1.1
Les multiplicateurs de Lagrange
Le problème que l’on cherche à résoudre au temps d’intégration tn est de la forme suivante

T


KU + A λ = Fext
(3.3)
AU = G0 pour les ddls bloqués


Loi de Coulomb pour les ddls glissants
Les conditions appliquées sur le système ne sont autres que les conditions de Kuhn Tucker
exprimées dans l’équation 1.8. On voit que les multiplicateurs de Lagrange λ sont exactement les opposés des forces de contact normal et tangentiel. Ces méthodes sont présentées
par Chen et Tsaï [87] pour résoudre des problèmes de contact en 2D. Wosle et Pfeiffer [88]
les utilisent aussi pour un système de plusieurs corps rigides liés par des contraintes unilatérales de frottement. Chaudhary et Bathe [86] appliquent cette méthode aux problèmes
3D avec des corps déformables. Abaqus [46] utilise cette même approche, dans laquelle est
définie une méthode spécifique pour gérer les changements d’état des éléments de contact :
– Lorsqu’un impact entre les deux noeuds est détecté, on arrête l’intégration temporelle en
cours.
– De nouvelles conditions initiales qui prennent en compte les sauts des vitesses et d’accélérations au moment de l’impact sont déterminées à l’aide d’une équation de choc
(conservation de la quantité de mouvement) en supposant que le choc est entièrement
plastique.
– L’intégration temporelle est alors poursuivie avec les nouvelles conditions initiales en
utilisant des multiplicateurs de Lagrange pour imposer les contraintes de contact. Si ces
multiplicateurs deviennent négatifs, alors le contact est rompu et la contrainte est retirée.
83
L’hypothèse d’impact plastique est importante pour deux raisons : elle permet d’intégrer
les effets de dissipation locale des zones de contact, et elle permet de faciliter la convergence
numérique.
La résolution par multiplicateurs de Lagrange permet de déterminer les solutions exactes
de problèmes contraints (tant qu’ils respectent les critères de convexité [42]). Toutefois les
multiplicateurs ajoutent des inconnues supplémentaires au problème, et la taille du système
à résoudre augmente.
3.1.2
Les méthodes de pénalité
L’objectif de ces méthodes est de remplacer le problème contraint initial par un problème
non contraint [42]. L’avantage de ces méthodes est de supprimer les inconnues supplémentaires introduites à travers les multiplicateurs de Lagrange. Dorénavant, la contrainte est
prise en compte de manière indirecte : elle est intégrée dans l’équation du mouvement à
travers l’utilisation d’un coefficient de pénalité ǫ. Dans un cas sans frottement, l’équation
que l’on cherche à résoudre devient à l’instant tn
(
KU − Fnl = Fext
Fnl = ǫN · (AU − G0 )
(3.4)
Dans ce cas, on suppose que les forces non-linéaires sont proportionnelles à l’interpénétration des noeuds en contact. Le cas avec frottement est présenté très clairement dans
les articles de Simo et Laursen [22, 89] et reprend les méthodes de prédiction-correction
utilisées en plasticité [90]. Si ǫN → ∞ alors on s’aperçoit que le terme AU − G0 associé
à la contrainte de contact 3.4 doit tendre vers 0 pour que l’effort non-linéaire reste borné.
Physiquement, on peut comparer le coefficient de pénalité ǫN à un ressort qui empêcherait
les noeuds de pénétrer. Contrairement aux multiplicateurs de Lagrange, cette méthode permet uniquement d’appliquer la contrainte approximativement. De plus, un coefficient de
pénalité très élevé provoque souvent des problèmes de conditionnement numérique [22, 42].
Par contre, l’implémentation d’une telle méthode est très simple. Les méthodes de barrière
[42] et des contraintes croisées [91] sont des variantes de cette méthode de pénalité.
3.1.3
Les Lagrangiens augmentés
Pour compenser les lacunes des deux méthodes précédentes, Powell et Hestenes [92, 22]
introduisent la méthode des lagrangiens augmentés. C’est une formulation hybride entre les
multiplicateurs de Lagrange et la méthode de pénalité. En effet, à l’instant tn il s’agit de
résoudre
(
KUj + AT λj = Fext
(3.5)
λj = λj−1 + ǫN · (AUj − G0 )
84
où j est une étape de résolution du système d’équations non-linéaires. Le principe consiste à
résoudre successivement l’équation du mouvement avec un coefficient ǫN faible afin d’éviter
les problèmes de conditionnement. A la fin de chaque résolution, la valeur de λ est augmentée de ǫN · (AUj − G0 ). Ainsi, si suffisamment d’itérations sont réalisées, il est possible de
converger vers la valeur du multiplicateur de Lagrange solution de l’équation 3.3. Le critère
d’arrêt est défini sur l’interpénétration des deux corps. L’initialisation de la méthode suppose que λ−1 = 0, ce qui implique que la première résolution est directement une méthode
de pénalité. Le cas complet avec frottement est traité clairement dans l’article de Simo et
Laursen [22] ou d’Alart et Curnier [93].
Tous les codes éléments finis implémentent ces trois méthodes de résolution. Lorsqu’une
solution précise est requise il vaut mieux travailler avec les multiplicateurs de Lagrange ou
les Lagrangiens augmentés. Ils donnent généralement les mêmes résultats avec des temps
de calcul comparables. Une première approche avec une méthode de pénalité peut toutefois
donner une très bonne solution approchée avec des temps de calcul nettement inférieurs.
Si les modèles commencent à devenir importants alors la méthode de pénalité est la seule
envisageable. Les codes de calculs explicites adoptent généralement cette approche. Toutefois, si l’amortissement structurel est faible, il faut faire attention au "chattering", rebonds
incontrôlables des deux corps rentrant en contact, qui peut empêcher les algorithmes de résolution de converger correctement [46]. Voyons maintenant comment nous pouvons prendre
en compte le contact dans le domaine fréquentiel.
3.2
Les méthodes fréquentielles
Nous avons vu dans le chapitre 2 2.4, comment il était possible de transposer le problème
temporel dans le domaine fréquentiel. Et, nous venons de voir comment il était possible de
résoudre un problème contraint dans le domaine temporel. On aimerait pouvoir appliquer
directement ces méthodes dans le domaine fréquentiel. Malheureusement les contraintes
issues du contact et frottement s’appliquent sur le déplacement réel, cela n’a pas de sens
d’appliquer les mêmes contraintes sur les coefficients de Fourier du déplacement. Cependant, nous allons voir comment l’AFT fournit un moyen d’appliquer des contraintes sur le
déplacement à travers l’application de forces non-linéaires Fnl bien choisies.
Dans la balance harmonique, nous cherchons à résoudre l’équation suivante par une procédure de Newton
R(Ũ) = Λ · Ũ − F̃ext − F̃nl = 0
(3.6)
Rappelons que dans la procédure AFT, on effectue la démarche suivante à chaque itération
de la résolution du système d’équations non-linéaires 2.42
F F T −1
FFT
Ũ −→ U −→ Fnl = Fnl U(t), U̇(t) −→ F̃nl
3.2. LES MÉTHODES FRÉQUENTIELLES
85
Cette démarche permet d’obtenir le déplacement dans le domaine temporel sur Nf points
d’une période (où Nf représente le nombre de points utilisés pour la transformée de Fourier rapide). Ne pourrait-on donc pas appliquer les méthodes précédentes sur cette partie
temporelle du déplacement ? Dans la suite, l’exposant n correspond au pas de temps tn avec
n ∈ [1, Nf ] ⇒ tn ∈ [0, T ]
(3.7)
où T est la période du mouvement.
3.2.1
Les méthodes de pénalité
Nous commençons par cette approche car c’est certainement la plus utilisée dans les procédures AFT. Comme dans le domaine temporel, nous allons supposer que la force de
contact est proportionnelle à l’interpénétration des deux corps en contact. Ainsi pour chaque
n ∈ [1, Nf ] nous allons écrire
Fnnl,N =
(
0
ǫN (AUn − G0 )
si AUn − G0 < 0
si AUn − G0 ≥ 0
(3.8)
On détermine ainsi facilement la force de contact normal sur une période. Le frottement va
être traité par une méthode de prédiction-correction. Ainsi, s’il existe un contact normal
au temps n, on va supposer bloqué l’état des noeuds dans la direction tangentielle. La force
de contact prédite est alors
n−1
n−1
n
Fn,pre
nl,T = Fnl,T + ǫT (AUT − AUT )
(3.9)
et ensuite on vérifie que cet effort vérifie les lois de Coulomb. S’il ne les vérifie pas, on le
corrige

n,pre
< µ Fn 
si Fn,pre
Fnl,T
nl,N
nl,T
n Fn,pre
n n,pre Fnnl,T =
(3.10)
nl,T

µ Fnl,N n,pre si Fnl,T ≥ µ Fnl,N F
nl,T
Dans l’équation 3.9, on remarque que l’effort nécessaire pour faire coller les deux noeuds est
proportionnel à la différence des déplacements relatifs entre deux pas de temps. On comprend alors comment cette prédiction-correction fonctionne : si l’incrément de déplacement
relatif est très grand, l’effort prédit sera grand et on ne respectera pas les conditions de
Coulomb de non frottement ; au contraire, si l’incrément de déplacement est faible, on les
respectera. Encore une fois, cette démarche est similaire à celles utilisées pour traiter la
plasticité dans les codes éléments finis [90]. Par cette approche très simple, on peut déterminer l’expression des forces non-linéaires Fnl sur une période du mouvement.
Dans les articles sur la balance harmonique [17, 62, 67, 94], on ne présente pas la méthode
de la sorte. On préfère dire que l’on définit une loi de contact régularisée ou adoucie car ces
86
lois permettent de prendre en compte les raideurs et les aspérités des surfaces de contact
ou alors les effets de raideurs dus à une discrétisation grossière de la surface de contact.
Grâce à cette régularisation, la convergence numérique est facilitée.
La loi de contact normal peut être encore régularisée à l’aide de la fonction exponentielle
suivante, où h représente l’interpénétration des deux noeuds


0
si h ≤ −c
n
0
(3.11)
Fnl,N =
h
h
fN

+1
exp
+1 −1
si h > −c

exp(1) − 1
c
c
De la même manière, des lois de comportement de type Bouc-Wen [95] ou de Jenkins [96]
peuvent également être adaptées au cas du frottement.
3.2.2
Les Lagrangiens augmentés
Nous proposons ici une adaptation de la méthode des Lagrangiens augmentés à la méthode
de balance harmonique. Nous ne développerons que le cas du contact normal. Le cas du
frottement se traite de la même manière. Contrairement à la méthode de pénalité, nous
n’allons pas chercher à résoudre 3.6 en une fois. Nous allons effectuer plusieurs résolutions
avec des efforts de contact non-linéaires qui sont augmentés entre chaque résolution. Soit j
l’exposant représentant la j-ième résolution non-linéaire, l’effort de contact non-linéaire au
temps tn s’ecrit alors
Fn,j
nl,N =
(
n,j−1
Fnl,N
n,j
Fn,j−1
− G0 )
nl,N + ǫN (AU
si AUn,j − G0 < 0
si AUn,j − G0 ≥ 0
(3.12)
Pour initialiser la procédure, on pose Fn,0
nl,N = 0 ∀ n. Cette méthode permet de résoudre
en plusieurs passes une équation du mouvement 3.6 qui serait "trop" non-linéaire pour
être résolue directement par une méthode de pénalité. Comme dans le cas temporel, si
suffisamment d’incréments sont réalisés, on peut atteindre la valeur des multiplicateurs de
Lagrange. Le critère d’arrêt assure que l’interpénétration des deux corps pendant le contact
est inférieure à une valeur tolérance choisie. L’estimation initiale à la résolution j est prise
comme étant la solution finale trouvée à j − 1. Cette approche permet de garantir une
certaine indépendance du résultat vis-à-vis du coefficient ǫN .
3.2.3
Les Lagrangiens dynamiques : DLFT
L’utilisation des multiplicateurs de Lagrange dans le domaine fréquentiel n’a pas encore
d’implémentation. Dans le domaine temporel, les multiplicateurs de Lagrange imposent des
contraintes d’égalités entre le déplacement de certains degrés de liberté et le déplacement
obtenu va donc respecter ces équations. Dans le domaine fréquentiel, il est moins évident
3.2. LES MÉTHODES FRÉQUENTIELLES
87
d’imposer des contraintes d’égalité sur les coefficients de Fourier du déplacement. Comme
dans les méthodes de pénalité ou de Lagrangiens augmentés, on peut agir sur le déplacement indirectement par l’application d’un effort non-linéaire bien choisi. Dans cette optique,
Nacivet et al. [70] propose une méthode qui permet d’imposer exactement les équations de
contrainte et permet de s’affranchir du choix des paramètres de régularisation de la loi de
contact : les Lagrangiens dynamiques.
Soit le terme
h
in
Ln = F F T −1 (F̃ext − Λ · Ũ) ∀ n ∈ [1, nfft]
(3.13)
Ce terme donne l’équilibre des forces de la partie linéaire du modèle au cours d’une période.
Il s’obtient de la même manière que le déplacement dans la procédure AFT. Maintenant
il s’agit de réaliser une procédure de prédiction-correction comme dans la méthode de
pénalité. Toutefois les efforts non-linéaires vont être définis autrement, on les choisit pour
qu’ils vérifient directement les équations d’équilibre. Pour le contact normal, on écrit
n
n
Fn,pre
nl,N = LN + ǫN (AU − G0 )
(3.14)
Ensuite, deux cas se présentent : si Fn,pre
nl,N < 0 alors l’effort normal est une tension et les
n,pre
deux noeuds se séparent ; si Fnl,N ≥ 0 alors les deux noeuds sont en contact et on pose
Fnnl,N = Fn,pre
nl,N . Dans ce cas, il peut exister des forces de frottement. En supposant l’état
collé des noeuds de contact, la force prédite s’écrit
n
n−1
n
n−1
Fn,pre
nl,T = LT + Fnl,T + ǫT (AUT − AUT )
(3.15)
On vérifie ensuite que cette force vérifie les lois de Coulomb. Si elle ne les vérifie pas, on
corrige

n,pre
< µ Fn 
si Fn,pre
Fnl,T
nl,N
nl,T
n Fn,pre
n,pre n Fnnl,T =
(3.16)
nl,T

µ Fnl,N n,pre si Fnl,T ≥ µ Fnl,N F
nl,T
On voit que les étapes de correction sont exactement les mêmes que dans la méthode de
pénalité. La subtilité de la méthode réside dans le fait que les forces non-linéaires n’ont
pas exactement les mêmes expressions que dans la méthode de pénalité, elles intègrent un
terme supplémentaire qui prend en compte le mouvement des deux corps. Si ces méthodes
de prédiction-correction étaient bien connues dans le domaine temporel, Nacivet et al. [70]
furent les premiers à généraliser ces approches au 3D dans le domaine fréquentiel.
Cette méthode a été décrite différemment par Nacivet [97] et Charleux [26] et possède
aussi une autre implémentation pour le frottement dans lequel la pénalisation est faite sur
la vitesse relative au lieu du déplacement relatif. L’avantage non négligeable de la DLFT
est que, contrairement à la méthode de pénalité, la solution obtenue semble présenter peu
de sensibilité à la valeur des coefficients de pénalisation ǫN et ǫT et permet d’obtenir les
résultats en des temps de calcul plus courts. Cette méthode a été appliquée avec succès
88
sur des problématiques de frottement en pied d’aube avec pas ou peu de séparation entre
les corps. Malheureusement, lors de vibro-impacts, nous avons rencontré des problèmes de
convergence de la méthode (en raison de la nature fortement non-linéaire de la contrainte de
contact normal). C’est pourquoi dans la suite nous nous attachons à utiliser les méthodes
de pénalité ou de Lagrangiens augmentés qui permettent d’obtenir des mêmes résultats que
les multiplicateurs de Lagrange utilisés dans le domaine temporel (voir 4.5.4).
3.3
Récupération des hautes fréquences en balance harmonique
Nous avons vu que la caractérisation du grésillement se fait essentiellement par l’apparition
de hautes fréquences sur les relevés accélérométriques. En effet, les vibro-impacts entre câble
et gaine créent des excitations large bande qui s’appliquent sur tout le système. Lors de
l’intégration temporelle d’un modèle vibro-impactant, ces hautes fréquences vont être naturellement excitées et vont se propager à travers le modèle éléments finis si on n’a pas fait
de réduction modale. Par contre, lors d’une balance harmonique on ne retient généralement
que les premières harmoniques du déplacement. On restreint immédiatement l’ensemble des
fréquences qui peuvent apparaître dans la réponse finale. Nous avons cherché une méthode
pour déterminer les hautes fréquences après une balance harmonique. Prenons l’exemple du
modèle vibro-impactant de la figure 3.1 où chaque corps possède 13 masses et 14 ressorts.
Fig. 3.1: Modèle vibro-impactant avec contact unilatéral
Nous avons pris les données suivantes : pour le corps 1, tous les ressorts sont de raideur
70000 N.m−1 et les masses de 0.02 kg, et pour le corps 2 tous les ressorts sont de raideur
100000 N.m− 1 et les masses de 0.009 kg. Seul le ressort entre les masses 19 et 20 est pris plus
raide avec une valeur de 500000 N.m−1 , l’intérêt étant de créer un mode haute fréquence
dissocié des autres modes. Ces choix permettent de répartir les modes des deux corps entre
65 et 1768 Hz. L’élément de contact unilatéral est placé entre les masses 7 et 20. Le jeu autorisé entre les deux masses est de 0.1 mm. Nous prenons un taux d’amortissement de 0.02
3.3. RÉCUPÉRATION DES HAUTES FRÉQUENCES EN BALANCE HARMONIQUE89
sur chaque mode, la matrice d’amortissement C est ensuite reconstruite comme expliqué
dans le premier chapitre. Nous appliquons une excitation sinusoïdale sur les masses 13 et 26
comme indiqué sur la figure. Dans la suite, la masse 19 est utilisé comme point d’observation.
Voici le problème auquel nous sommes confrontés à 64 Hz. Si nous retenons 3 harmoniques
dans la balance harmonique, nous couvrons les fréquences jusqu’à 3 ∗ 64 = 192 Hz. Or le
système ayant des modes jusqu’à 1768 Hz nous aimerions pouvoir connaître l’amplitude
des harmoniques au-delà de 192 Hz de l’accélération. La figure 3.2 illustre le problème. Les
courbes en pointillés sont calculées avec une balance harmonique avec 3 harmoniques et la
courbe en trait plein par une intégration temporelle à l’aide d’une méthode de Runge-Kutta.
Les contraintes de contact sont imposées par une méthode de pénalité avec un coefficient
de pénalité égal à 1000000 N.m−1 . Comme nous le voyons le déplacement (3.2(a)) est bien
représenté avec uniquement 3 harmoniques malgré un léger déphasage et une différence de
niveau sur l’effort d’impact (3.2(b)). Ce dernier est quasiment un dirac et va donc provoquer
une excitation sur une large plage de fréquence. En effet, l’accélération (3.2(c)) obtenue par
intégration temporelle présente bien des hautes fréquences. Dans le spectre (3.2(d)), on
voit bien ressortir le mode qui est à 1768 Hz. Toutefois, l’accélération issue de la balance
harmonique ne présente pas ce comportement vibratoire. On remarque toutefois que les
amplitudes des 3 premiers harmoniques corrèlent bien avec les amplitudes de la réponse de
référence.
Nous proposons ici une méthode pour récupérer ces hautes fréquences après la balance
harmonique. Une fois la balance harmonique réalisée, les efforts de contact non-linéaires ne
sont plus des inconnues, et nous avons une bonne estimation de la réponse sur une période
du mouvement. Pourquoi ne pas réutiliser cette information dans une nouvelle intégration
temporelle où seuls, le déplacement, la vitesse et l’accélération seraient les inconnues ? La
démarche adoptée est la suivante
1. Calcul du déplacement Ũ et des efforts non-linéaires F̃nl dans le domaine fréquentiel
par balance harmonique.
2. Détermination des efforts non-linéaires Fnl en temporel sur une période pour chaque
élément de contact à partir de F̃nl .
3. Détermination des déplacements U0 et vitesses U̇0 dans le domaine temporel au début de la période à partir de Ũ.
4. Intégration temporelle de l’équation du mouvement sur une période avec les conditions
initiales U0 et U̇0 .
M · Ü + C · U̇ + K · U = Fext + Fnl
(3.17)
Cette intégration est une intégration entièrement linéaire puisqu’il n’est plus néces-
90
−6
8
x 10
6
0.6
4
Effort de contact (N)
Déplacement (m)
2
0
−2
−4
−6
0.5
0.4
0.3
0.2
−8
(b)
(a)
0.1
−10
−12
0
0.005
0.01
0
0.015
0
0.005
Temps (s)
0.01
0.015
Temps (s)
60
1
10
40
0
Accélération (m.s−2)
10
20
0
−20
−40
−60
−2
10
−3
10
−4
(c)
0
−1
10
(d)
10
0.005
0.01
Temps (s)
0.015
0
500
1000
1500
Fréquence (Hz)
2000
2500
Fig. 3.2: Comparaison entre l’intégration temporelle (–) et la balance harmonique (- -)
avec 3 harmoniques sur une période à 64 Hz (a) Déplacement (b) Effort de contact (c)
Accélération (d) Spectre de l’accélération
saire d’utiliser une méthode de pénalité pour imposer les contraintes de contact, les
efforts de contact sont connus sur une période par Fnl .
5. Récupération des déplacements U, vitesses U̇ et accélérations Ü sur une période qui
contiennent les hautes fréquences du modèle complet.
L’étape 2 s’effectue en réalisant une transformée de Fourier inverse sur F̃nl . L’étape 3
s’effectue en faisant une transformée de Fourier inverse sur Ũ et en prenant le premier
terme de la période. Dans cette procédure, l’effort de contact est traité comme une force
d’excitation extérieure entièrement connue. La figure 3.3 présente les résultats. L’effort de
contact (3.3(b)) sur une période ne change pas puisqu’on l’a pris égal à l’effort de contact
calculé par la balance harmonique. Par contre sur le déplacement et l’accélération, on voit
clairement l’apparition de plus hautes fréquences induites par le choc, qui ne pouvaient pas
être prises en compte par la balance harmonique. De plus, alors que la balance harmonique
ne contient les fréquences que jusqu’à 192 Hz, les résultats nous permettent ici d’estimer
très correctement l’amplitude des modes au-delà de 192 Hz (3.3(d)).
Cette méthode dispose des mêmes limites que la balance harmonique. La figure 3.4 présente les résultats de l’application de cette méthode à 65 Hz avec 3 harmoniques pour le
calcul de la réponse fréquentielle. On se rapproche du premier mode propre du système. La
dynamique devient plus riche. Trois harmoniques suffisent pour représenter correctement
le déplacement (3.4(a)) mais ne suffisent plus pour représenter fidèlement les efforts de
contact (3.4(b)). En conséquence, les amplitudes en accélération estimées pour les hautes
fréquences par la méthode de réinjection ne sont plus aussi bonnes (3.4(c) et (d)) que dans
le cas précédent. Toutefois, les estimations sont meilleures qu’avec la balance harmonique
seule (3.4(d)). L’observation des efforts de contact permet de mieux comprendre (3.4(b)).
L’intégration temporelle donne trois impacts successifs pendant une période, alors que la
balance harmonique ne calcule qu’un seul impact. Comme la procédure de réinjection est
linéaire, l’injection d’un d’une impulsion au cours d’une période ne fournira pas le même
spectre que l’injection de trois impulsions successifs.
Pour améliorer l’estimation des hautes fréquences il faut améliorer l’estimation de l’effort
de contact entre les deux corps au cours d’une période. En retenant 10 harmoniques (autrement dit jusqu’à 10 ∗ 65 = 650 Hz) dans la balance harmonique, l’estimation des hautes
fréquences est meilleure comme on peut le voir dans la figure 3.5(d). Le déplacement, ainsi
que l’accélération sont mieux approchés (3.5(a) et (c)). Même si l’effort de contact est mieux
estimé (3.5(b)), on voit que l’effort réel est composé de trois impulsions alors que l’effort
calculé par la balance harmonique n’est constitué que de deux impulsions. Dans ce cas, on
ne peut espérer représenter exactement la réponse hautes fréquences du système. Toutefois,
on en fournit une bonne estimation.
Comme nous venons de voir, cette procédure de réinjection permet d’obtenir la réponse
92
−6
8
x 10
6
0.6
4
Déplacement (m)
2
0
−2
−4
−6
0.5
0.4
0.3
0.2
−8
(b)
(a)
0.1
−10
−12
0
0.005
0.01
0
0.015
0
0.005
Temps (s)
0.01
0.015
Temps (s)
60
1
10
40
0
10
20
0
−20
−40
−60
−2
10
−3
10
−4
(c)
0
−1
10
(d)
10
0.005
0.01
Temps (s)
0.015
0
500
1000
1500
Fréquence (Hz)
2000
2500
Fig. 3.3: Comparaison entre l’intégration temporelle (–) et la balance harmonique avec 3
harmoniques sur une période après (· · · ) la réinjection à 64 Hz (a) Déplacement (b) Effort
de contact (c) Accélération (d) Spectre de l’accélération
−5
1.5
x 10
2
1.8
1
1.6
Déplacement (m)
0.5
0
−0.5
−1
1.4
1.2
1
0.8
0.6
−1.5
0.4
−2
−2.5
(a)
0
(b)
0.2
0.005
0.01
0
0.015
0
0.005
0.01
0.015
Temps (s)
2
150
10
100
10
50
10
1
−2
Accélération (m.s )
0
−2
Temps (s)
0
−50
−100
−2
10
−3
10
−4
−150
−200
−1
10
10
(c)
0
0.005
0.01
Temps (s)
0.015
(d)
0
500
1000
1500
2000
Fréquence (Hz)
2500
3000
harmoniques sur une période avant (- - ) et après (· · · ) la réinjection à 65 Hz (a) Déplacement
(b) Effort de contact (c) Accélération (d) Spectre de l’accélération
94
−5
1.5
x 10
2
1.8
1
1.6
Déplacement (m)
0.5
0
−0.5
−1
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
−1.5
−2
(a)
0
(b)
0.2
0.005
0.01
0
0.015
0
0.005
0.01
0.015
Temps (s)
2
150
10
100
10
50
10
1
0
−2
Temps (s)
0
−50
−100
−2
10
−3
10
−4
−150
−200
−1
10
0
(d)
10
(c)
0.005
0.01
Temps (s)
0.015
0
500
1000
1500
2000
Fréquence (Hz)
2500
3000
harmoniques sur une période avant (- - ) et après (· · · ) la réinjection à 65 Hz (a) Déplacement
(b) Effort de contact (c) Accélération (d) Spectre de l’accélération
hautes fréquences d’un système après une balance harmonique dans laquelle nous n’avons
calculé que la réponse basse fréquence. Nous émettons cependant l’hypothèse que les réponses hautes fréquences et basses fréquences étaient découplées, mais les hautes fréquences
ont certainement une influence sur la réponse basses fréquences. On pourrait alors imaginer de prendre en compte ces hautes fréquences directement dans le calcul de la balance
harmonique, et par une procédure itérative récupérer une meilleure estimation des basses
fréquences également...
96
3.4
Application sur un modèle vibro-impactant
Dans les paragraphes précédents, nous avons présenté toutes les méthodes qui peuvent nous
être nécessaires pour déterminer le comportement vibro-impactant d’un système comme
l’ensemble câble-gaine qui constitue la commande d’une boîte de vitesses manuelles. De
nombreux articles combinent et utilisent ces méthodes sur différentes applications : Narayanan et Sekar [98] étudient le roulement de deux billes à l’aide d’une balance harmonique,
d’une continuation arclength et des multiplicateurs de Floquet ; Sundararajan et Noah [51]
étudient la stabilité d’un rotor avec une condensation modale, une méthode de tir, et des
multiplicateurs de Floquet ; Kim et al. [99] étudient un embrayage avec une balance harmonique couplée avec une méthode de Hill ; Ferreira et Serpa [100] utilisent une balance
harmonique analytique et une continuation arclength ; et Lesaffre et al. [101] utilisent une
méthode énergétique pour l’étude de stabilité d’un rotor.
Nous désirons maintenant avoir une approche qui puisse être applicable sur notre système.
Pour cela, nous allons travailler sur un système simplifié qui permettra de tester et mettre
en oeuvre de nombreux outils de l’analyse non-linéaire [102].
3.4.1
Le modèle simplifié
Ici, nous allons travailler sur un modèle analogue au précédent. Il est illustré dans la figure
3.6. Nous avons choisi de conserver un faible nombre de degrés de liberté afin que les calculs
ne soient pas trop lourds numériquement, tout en prenant soin d’avoir une densité modale
comparable au système câble gaine entre 0 et 200 Hz.
Fig. 3.6: Modèle vibro-impactant simplifié
Le système à les caractéristiques suivantes : les masses du corps 1 valent tous 0.1 kg et les
raideurs 50000 N.m−1 ; les masses du corps 2 valent 0.07 kg et les raideurs 70000 N.m−1 .
3.4. APPLICATION SUR UN MODÈLE VIBRO-IMPACTANT
97
L’obtention des matrices de masses et de raideurs est directe. Une résolution du système
aux valeurs propres associé donne les fréquences de résonance suivantes (tableau 3.1) pour
les corps 1 et 2. Nous prenons arbitrairement un taux d’amortissement modal de 0.05. La
Mode
Mode
Mode
Mode
Mode
Mode
Mode
1
2
3
4
5
6
7
Corps 1 Corps 2
44
62
86
122
125
177
159
225
187
265
208
294
221
312
Tab. 3.1: Modes propres des corps 1 et 2 (Hz)
matrice d’amortissement en coordonnées physiques C est reconstruite comme expliqué dans
la partie 1.4. L’excitation est sinusoïdale et est appliquée sur les masses 7 et 14 avec une
amplitude de 2.5 N.
3.4.2
Le comportement dynamique global
Dans une première approche, nous désirons déterminer rapidement le comportement global de la structure sur la plage de fréquence [35 − 200] Hz. Cette plage de fréquence est
typiquement celle considérée dans l’industrie automobile dès lors que l’on doit traiter des
excitations moteurs. Contrairement à l’ensemble des articles qui se focalisent sur le comportement autour d’un mode de résonance, nous allons donc essayer de donner une vue
d’ensemble du comportement vibratoire.
Pour ce faire nous allons combiner une méthode de continuation séquentielle dans laquelle,
à chaque pas de fréquence, on va réaliser une balance harmonique et une étude de stabilité
grâce aux multiplicateurs de Floquet. A chaque fréquence, nous réalisons la procédure du
graphique 2.16. Notre choix s’est orienté sur les multiplicateurs de Floquet car nous avons
vu en 2.6.4 que c’était la plus précise quelque soit le type de non-linéarité que l’on traite.
Nous retenons 30 harmoniques dans la balance harmonique, ce qui couvre largement tous
les modes présents dans le modèle même pour une excitation de 35 Hz. Encore une fois les
conditions de contact sont imposées par une méthode de pénalité (ǫ = 700000 N.m−1 ) et
on autorise 0.01 mm de jeu entre les masses 4 et 11 avant qu’ils n’entrent en contact. On
suppose que la période de la réponse a la même période que l’excitation, i.e. dans l’équation
2.41 on prend n = 1. Les résultats sont systématiquement comparés avec une intégration
temporelle pour en assurer la validité.
La figure 3.7a compare les résultats obtenus par la montée en régime dans le domaine fréquentiel et temporel. On voit que les amplitudes des réponses calculées sont identiques entre
98
35 et 153 Hz et entre 198 et 205 Hz. Par contre, elles sont considérablement différentes entre
153 et 198 Hz. Grâce à la figure 3.7b nous pouvons commencer à interpréter ces résultats.
Cette figure présente les résultats de stabilité de la réponse calculée par la balance harmonique. Deux états sont possibles après l’étude de stabilité : soit certains multiplicateurs de
Floquet sont en dehors du cercle unité et la réponse est instable, soit les multiplicateurs de
Floquet sont tous dans le cercle unité et la réponse T périodique est stable. Nous observons
donc qu’il y a 4 zones où la réponse périodique calculée est instable, entre 49 et 53 Hz,
autour de 65 Hz, autour de 101 Hz, et entre 153 et 198 Hz. Ceci explique déjà partiellement
pourquoi les résultats de la balance harmonique et de l’intégration temporelle sont différents. En effet, la réponse calculée par la balance harmonique est instable sur ces zones,
alors que l’intégration temporelle va naturellement diverger pour atteindre une solution
stable si elle existe.
Nous pouvons obtenir plus de détails concernant ces zones instables en observant les multiplicateurs de Floquet calculés après la balance harmonique. Les résultats sont confrontés
aux sections de Poincaré obtenues à partir de l’intégration temporelle. Les figures 3.8 et
3.9 montrent l’évolution de la stabilité entre 49 et 53 Hz. A 49 Hz, on arrive sur un point
de bifurcation qui est un dédoublement de période : un multiplicateur de Floquet quitte le
cercle unité par -1 (fig. 3.8a). La section de Poincaré (fig. 3.8b) présente bien 2 points, ce
qui confirme le dédoublement. A 51.3 Hz, les multiplicateurs de Floquet quittent le cercle
unité en tant que valeurs complexes conjuguées, la réponse devient donc quasi-périodique,
ce qui est confirmé par la section de Poincaré. C’est une courbe fermée dans l’espace des
phases, ce qui est caractéristique des réponses quasi-périodiques. A 53 Hz, la solution T
périodique redevient stable.
A 65 Hz, le système présente un comportement identique à celui observé pour 51.3 Hz. Deux
multiplicateurs de Floquet complexes et conjugués quittent le cercle unité. La réponse est
alors quasi périodique. A 101 Hz, il y a une nouvelle bifurcation de dédoublement de période. Nous n’avons pas jugé nécessaire d’illustrer ces deux derniers cas.
A 153 Hz, on a un nouveau dédoublement de période, en témoigne le multiplicateur de
Floquet qui sort du cercle unité par -1. Cette fois par contre, il reste à l’extérieur du cercle
unité jusqu’à 198 Hz. Les figures 3.10 et 3.11 montrent les multiplicateurs de Floquet qui
rentrent et qui sortent du cercle unité. On note une légère différence dans les fréquences de
bifurcation obtenues par la balance harmonique (fig. 3.10a, 3.11a) et par l’intégration temporelle (fig. 3.10b, 3.11b). Le retour dans le cercle unité des multiplicateurs de Lagrange ne
s’effectue pas tout à fait à la même fréquence que le passage au point fixe pour la section de
Poincaré. Cette différence provient certainement des erreurs de troncature dues à la balance
harmonique.
Nous avons vu dans cette partie qu’il était possible d’obtenir rapidement une vue d’ensemble
99
−5
16
x 10
Déplacement crête à crête (m)
14
12
10
8
6
4
2
40
60
80
100
120
140
Fréquence (Hz)
160
180
200
(a) L’amplitude crête à crête en fonction de la fréquence calculée par balance
harmonique (–) et par intégration temporelle (o)
1
0
40
60
80
100
120
140
Fréquence (Hz)
160
180
200
(b) Résultats de stabilité de la solution T périodique calculée avec la balance
harmonique (1) stable (0) instable
Fig. 3.7: Vue d’ensemble du comportement dynamique du modèle simplifié
100 CHAPITRE 3. RÉSOLUTION PRATIQUE D’UN PROBLÈME AVEC CONTACT
1
0.025
0.8
0.6
0.02
Vitesse (m.s−1)
Partie imaginaire
0.4
0.2
0
−0.2
0.015
0.01
−0.4
−0.6
0.005
−0.8
−1
−1.5
−1
−0.5
0
Partie réelle
0.5
0
−1
1
−0.5
(a) Multiplicateurs de Floquet
0
0.5
Déplacement (m)
1
1.5
2
−5
x 10
(b) Section de Poincaré
Fig. 3.8: Illustration du dédoublement de période à 49 Hz
−3
x 10
10
1
8
Vitesse (m.s−1)
Partie imaginaire
0.5
0
6
4
−0.5
2
−1
0
−1.5
−1
−0.5
0
Partie réelle
0.5
1
(a) Multiplicateurs de Floquet
1.5
−3.6
−3.4
−3.2
−3
−2.8
Déplacement (m)
−2.6
(b) Section de Poincaré
Fig. 3.9: Illustration de la bifurcation secondaire de Hopf à 51.3 Hz
−2.4
−5
x 10
f = 152.9 Hz
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1
f = 152 Hz
f = 153.1 Hz
0.02
Vitesse (m.s−1)
Partie imaginaire
f = 152 Hz
1
101
0.02
0
0
−0.02
−0.02
−0.04
−0.04
−1
−1
0
Partie réelle
f = 152.95 Hz
1
−1
0
−1
0
1
2
Déplacement (m) x 10−5
f = 153.15 Hz
1
f = 155 Hz
1
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
0
1
2
−5
x 10
f = 155 Hz
0.02
0.02
0
0
−0.02
−0.02
−0.04
−1
−1
−0.04
−1
−1
0
1
−1
0
−2
1
0
2
−2
0
−5
(a) Evolution des multiplicateurs de Floquet
2
4
−5
x 10
x 10
(b) Evolution des sections de Poincaré
Fig. 3.10: Illustration du dédoublement de période à 153 Hz
f = 198.7 Hz
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1
f = 198 Hz
Vitesse (m.s−1)
Partie imaginaire
f = 198 Hz
1
−1
−1
0
Partie réelle
f = 198.75 Hz
1
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1
0
0.02
0
0
−0.02
−0.02
1
−1
0
0.04
0.02
0
f = 200 Hz
1
−1
0.04
−0.04
−1
1
0
1
0.5
1
Déplacement (m) x 10−4
f = 198.95 Hz
0.02
0
−0.02
−0.02
1
−4
1
f = 200 Hz
0
0.5
0.5
−4
0.04
0
0
x 10
0.02
x 10
(a) Evolution des multiplicateurs de Floquet
−0.04
0.04
−0.04
−1
f = 198.9 Hz
−0.04
0
0.5
1
−4
x 10
(b) Evolution des sections de Poincaré
Fig. 3.11: Illustration du passage d’une réponse 2T périodique à une réponse T périodique
autour de 200 Hz
sur le comportement vibratoire non-linéaire d’un modèle vibro-impactant. Les zones d’instabilités ont été rapidement isolées et des dédoublements de période ainsi que des bifurcations
secondaires de Hopf ont été identifiées. L’approche par balance harmonique s’est révélée en
moyenne 10 fois plus rapide que l’intégration temporelle à chaque pas de fréquence. Comme
l’amplitude de réponse est correctement représentée jusqu’à 153 Hz, nous allons nous focaliser plus précisement sur l’obtention de la réponse entre 153 Hz et 198 Hz par la balance
harmonique.
3.4.3
Une compréhension plus fine du comportement dynamique
Dans le paragraphe précédent, nous avons supposé que la réponse du système était de même
période que l’excitation. De ce fait nous avons posé n = 1 dans l’équation 2.41. L’étude
de stabilité nous a montré que cette réponse périodique était instable entre 153 et 198 Hz
et qu’au point de bifurcation, la solution T périodique instable donnait lieu à une solution
2T périodique. Il nous faut donc adapter la balance harmonique pour calculer la solution
2T périodique en posant n = 2. Ce choix force le rapport entre la fréquence d’excitation et
la fréquence de réponse à 2. Si théoriquement cette approche est simple, la résolution ne
se passe pas aussi simplement en pratique. En effet, même si nous cherchons une solution
d’une période 2T , l’algorithme de résolution va généralement nous donner la réponse T
périodique instable calculée précédemment. Pour trouver le bassin d’attraction, on pourrait tester de nombreuses conditions initiales jusqu’à en trouver une qui converge vers la
solution 2T périodique. Nous proposons ici une autre méthode plus robuste pour trouver
un point sur la nouvelle branche de solution.
En fait, la matrice de monodromie calculée lors de l’étude de stabilité offre une information
supplémentaire qu’il ne faut pas négliger : le vecteur propre v0 associé à la valeur propre
qui sort du cercle unité donne la direction locale de divergence de l’équation 2.77. Ainsi si
nous ajoutons cette perturbation à la solution T périodique instable, on devrait rapidement
atteindre le cycle limite bifurqué (2T périodique). Ci-dessous nous résumons la procédure
avec une perturbation de 5% dans la direction locale de divergence v0 .
1. Détection du point de bifurcation de la solution T périodique
2. Identification du vecteur propre v0 donnant la direction locale de divergence associé
à la valeur propre sortant du cercle unité
3. Intégration temporelle sur quelques périodes de l’équation 1.49 avec les conditions
kU0 k
initiales U0 + 0.05
v0
kv0 k
4. Récupération de la valeur des 30 premières harmoniques à utiliser dans une balance
103
harmonique pour obtenir un point sur la nouvelle branche
La figure 3.12 illustre le résultat de l’application de cette approche. Dans la figure 3.12(a)
nous utilisons comme conditions initiales la solution T périodique instable calculée après la
balance harmonique. La solution 2T périodique est atteinte après 2000 périodes d’intégration. Dans la figure 3.12(b) nous utilisons les conditions initiales augmentés par la démarche
précédente. On remarque alors que la réponse 2T périodique est atteinte après seulement
80 périodes d’intégration. Les sous figures (c) et (d) présentent respectivement la solution
T périodique instable et la solution 2T périodique stable.
−5
Déplacement (m)
4
−5
(a)
x 10
4
2
2
0
0
−2
−2
−4
0
5
−5
4
10
Temps (s)
15
−4
0.5
4
2
2
0
0
−2
−2
−4
0
1
2
3
4
x 10
−4
14
(c)
0.55
−5
(b)
x 10
x 10
0.6
(d)
14.05
14.1
Fig. 3.12: Comparaison des vitesses de bifurcation en fonction des conditions initiales après
le dédoublement de période à 153 Hz
Maintenant qu’un point sur la branche 2T périodique a été déterminé, nous utilisons ce point
comme solution initiale dans une méthode de continuation arclength 2.5.2 associée à une
balance harmonique. Comme précédemment, nous effectuons une étude de stabilité à chaque
pas. La continuation arclength va nous permettre de suivre les points de retournement de
la solution 2T périodique. La figure 3.13 présente la réponse en fréquence globale de notre
modèle entre 153 et 198 Hz. Nous voyons qu’elle est plus compliquée que ce que nous avions
prévu par une continuation séquentielle. En partant du point de bifurcation à 153 Hz, nous
−5
x 10
13
stable 2T
12
11
Amplitude crête à crête (m)
10
9
Point de retournement :
snap back
and
snap through
8
7
stable T
stable 2T
6
instable 2T
5
instable T
stable T
4
Point de bifurcation : dédoublement de période
140
150
160
170
Fréquence (Hz)
180
190
200
Fig. 3.13: Réponse en fréquence détaillée du modèle simplifié entre 135 et 205 Hz, suivie
de la solution 2T périodique calculée par la balance harmonique (–) réponse stable (· · · )
réponse instable (o) intégration temporelle
suivons la solution 2T périodique. Un premier point de retournement se présente à 155.6
Hz où la solution devient instable jusqu’à un nouveau point de retournement à 140 Hz.
La branche suivante est stable de nouveau jusqu’à une série de points de retournement
où la solution devient successivement instable, stable, instable et enfin de nouveau stable
jusqu’à 198 Hz. La solution 2T périodique redevient T périodique à 198 Hz à travers un
double point de retournement (snap back and snap through). Le suivi de cette branche 2T
périodique nous a permis d’isoler toute une partie de la branche (entre 140 et 156 Hz) que
nous n’avions pas identifié par la continuation séquentielle. Les intégrations temporelles
confirment bien la présence de ces solutions.
3.5. CONCLUSION
3.5
105
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons présenté les méthodes pratiques pour prendre en compte le
contact et le frottement dans les études temporelles et fréquentielles. Les méthodes de pénalité et de Lagrangiens augmentés se sont avérées être les plus efficaces pour la résolution
de notre problème de vibro-impact. Leur mise en place est simple autant dans une intégration temporelle que dans le domaine fréquentiel et ne demande pas de prendre en compte
des inconnues supplémentaires, contrairement à une approche avec des multiplicateurs de
Lagrange.
En tronquant la série de Fourier, on empêche les modes hautes fréquences d’apparaître. De
ce fait, la balance harmonique limite forcément le contenu fréquentiel de la réponse dans
l’étude d’un système. L’effet est similaire à la troncature modale. Cependant, lors de problèmes vibro-impactant, les impacts excitent généralement une large bande de fréquences,
et lorsque le couplage avec les basses fréquences est faible nous avons proposé une méthode
pour récupérer l’amplitude de ces hautes fréquences par une procédure de réinjection.
Enfin, nous avons proposé une méthodologie qui permet de déterminer le comportement
vibratoire d’une structure sur une large plage de fréquence. Dans une première étape, nous
combinons une continuation séquentielle avec une balance harmonique et une étude de stabilité. Nous obtenons rapidement une vue d’ensemble des zones d’instabilités de la structure.
Une continuation arclength permet alors de déterminer plus précisement l’évolution des
réponses dans les zones instables. Il faut remarquer ici que cette approche a pu se faire
avec une balance harmonique car la solution reste entièrement périodique. Toutefois si les
bifurcations donnent naissance à des régimes quasi périodiques ou chaotiques, le suivi des
solutions devient difficile voire impossible. En effet, il est possible de calculer des solutions
quasi-périodiques avec la balance harmonique, mais la difficulté d’implémentation et la longueur des calculs ne justifie pas forcément l’utilisation de ces méthodes [57]. Quant aux
solutions chaotiques, il est impossible de les calculer par balance harmonique, la seule solution reste l’intégration temporelle.
Dans la suite, nous désirons appliquer ces méthodologies sur une commande de boîte de
vitesses et ainsi établir son comportement vibratoire sur la plage de fréquence entre 35 et
200 Hz. Cela constitue la dernière partie de cette thèse.
Chapitre 4
Corrélation essais/calculs
Les commandes manuelles de boîte de vitesses n’étant pas fabriquées par PSA, il est nécessaire de spécifier des cahiers de charges pour les fournisseurs. Ces documents ne fournissent
pas une description détaillée des pièces, mais spécifient un ensemble de prestations que
doit respecter la commande finie. Le fournisseur est ensuite libre de réaliser la commande
comme il le désire. Afin que le fournisseur tienne compte du grésillement dans la conception
de la commande, il a été nécessaire de créer une procédure d’essais, reproductible par le
fournisseur, qui permette de déterminer si la commande va grésiller lorsqu’elle est montée en véhicule. PSA a donc était contraint de réaliser un certain nombre d’essais qui ont
permis d’établir une procédure objective pour qualifier le comportement acoustique d’une
commande. Elle est alors intégrée dans le cahier des charges, et le fournisseur doit avoir
testé, au préalable, ses commandes avant de les livrer.
Lors de ces essais un certain nombre de points ont été soulevés, comme nous l’avons déjà
dit dans l’introduction générale de la thèse : le grésillement est sensible à la fréquence
d’excitation et l’application d’une pression sur le pommeau de vitesses fait disparaître systématiquement le grésillement. Initialement, nous espérions pouvoir réexploiter directement
ces essais pour valider notre modélisation numérique. Cependant, la configuration utilisée
et la complexité du montage ne permettait pas d’isoler spécifiquement le phénomène de
grésillement. Cette partie est donc consacrée aux expérimentations que nous avons menées
séparément de ces essais de spécification. Leur objectif est double : d’une part il s’agit de
mieux comprendre l’origine vibratoire du grésillement et d’autre part de réaliser des essais
qui vont permettre de valider une modélisation numérique. Nous présenterons donc le modèle éléments finis et nous comparerons les solutions stationnaires obtenues par intégration
temporelle et par balance harmonique avec les essais. Enfin nous proposerons des critères
qui peuvent être intégrés dans un outil de conception pour déterminer si oui ou non un
ensemble câble-gaine grésille.
107
108
4.1
CHAPITRE 4. CORRÉLATION ESSAIS/CALCULS
Description générale d’une commande de boîte de
vitesses
Avant d’aborder plus spécifiquement le phénomène non-linéaire qu’est le grésillement, nous
allons décrire brièvement l’implémentation de la commande dans le véhicule et les spécificités de chaque pièce du montage.
4.1.1
Implémentation dans le véhicule
La commande de boîte de vitesses permet au conducteur, à travers le pommeau dans l’habitacle de la voiture, de contrôler les commandes internes de la boîte de vitesses. Si aujourd’hui
on tend de plus en plus vers l’utilisation de boîtes de vitesses manuelles pilotées ou de boîtes
de vitesses automatiques, il n’est pas encore prévu de supprimer les commandes manuelles
à câbles telles que nous les étudions. Leur utilisation dans le futur est aussi assurée par le
développement des voitures à bas coût.
La commande manuelle est constituée de deux câbles. L’un permet la sélection d’une vitesse
et l’autre le passage de la vitesse choisie. Chacun de ces câbles est à son tour constitué d’un
câble interne et d’une gaine externe. Le câble interne est fixé d’un côte au levier de passage
et de l’autre côté à la boîte de vitesses. La gaine est aussi fixée sur le boîter et la boîte
de vitesses. C’est le câble interne qui assure la transmission des efforts entre le levier et
la commande interne de la boîte de vitesses. Comme tout câble, il est rigide en traction
mais ne résiste pas à la compression. C’est la gaine qui vient assurer le maintient du câble
lors de la compression. Un tel montage a été crée pour remplacer les systèmes à barres qui
ne permettaient pas de découpler suffisamment le groupe moto-propulseur de l’habitacle
de la voiture. La figure 4.1 présente l’implémentation d’une commande manuelle de la
Peugeot 307 sous le capot moteur. Une isolation acoustique entre le compartiment moteur
et passagers est réalisée à l’aide du passe-tablier. Regardons maintenant plus spécifiquement
la composition du câble de sélection ou de passage.
4.1.2
Structure du câble de passage ou de sélection
Les câbles de passage et de sélection sont faits de la même manière et leurs constituants
de base sont les mêmes : embouts, câble interne et gaine externe. Une photographie de ces
câbles avant montage en véhicule est présentée dans la figure 4.2. Nous voyons que le câble
interne est serti aux deux extrémités par des embouts de câbles qui sont guidés par les
tubes guides et fixés sur le levier et la boîte de vitesses par des rotules. Ces tubes guides
permettent d’améliorer l’agrément de passage de vitesses en rigidifiant les extrémités de la
commande. La gaine se termine par deux arrêts de gaine qui sont clipsés dans le boîtier
d’un côté et sur la boîte de vitesses de l’autre. Les embouts ne sont pas identiques : côté
4.1. DESCRIPTION GÉNÉRALE D’UNE COMMANDE DE BOÎTE DE VITESSES 109
Fig. 4.1: Installation d’une commande manuelle sous le capot
boîte de vitesses ils contiennent du jeu et sont filtrés (à l’aide de caoutchouc), alors que
côté boîtier, il n’y a aucune filtration qui isole la commande des vibrations.
Outre ce montage constitué de nombreuses pièces, les structures du câble interne et de la
gaine sont aussi compliquées. Ils sont composés de fils de fer tressés et en cela ressemblent
aux haubans utilisés sur les ponts en génie civil. La photographie 4.3 montre le câble dans
sa gaine. Les embouts de câble et arrêts de gaine ont été retirés (voir fig. 4.2). La figure
4.4 montre la section des deux éléments. Le câble est composé d’un fil central avec deux
couches de fils torsadés en sens inverse. La dernière couche est une bande métallique plate
enroulé autour des 19 fils centraux. Cette couche externe est en contact avec la première
couche interne de la gaine : un tube en plastique souple. Cette couche est recouverte d’une
bande enroulée, de fils de fers torsadés et enfin d’une couche de matériau viscoélastique qui
sert de protection.
Nous voyons à travers ces différentes images la complexité de la structure d’une commande
à câbles. Non seulement la structure est complexe, mais il y a aussi divers matériaux :
du métal, du caoutchouc et du plastique. Il va sans dire que pour réaliser un modèle non
linéaire de taille acceptable pour une résolution de la réponse dynamique du système, il
faudra poser de fortes hypothèses. Mais avant cela, nous allons présenter les premiers essais
qui ont permis de nous assurer que le grésillement provenait bien du battement entre le
câble et la gaine.
110
Fig. 4.2: Câble de passage et de sélection avant montage dans véhicule
Fig. 4.3: Câble interne et gaine dénudés
Fig. 4.4: Section du câble interne et de la gaine
4.2. L’ORIGINE VIBRATOIRE DU GRÉSILLEMENT
4.2
111
L’origine vibratoire du grésillement
Au début de la thèse nous avions encore des doutes concernant la source du phénomène
vibratoire présentée : est-ce le battement du câble dans la gaine, ou est-ce les embouts
présentant du jeu dans leur fixation qui viennent impacter périodiquement les rotules sur
lesquels ils sont attachés. Une première étude, se basant sur la deuxième hypothèse, avait
été menée mais elle n’avait pas aboutie [103], d’une part car on ne disposait pas de mesures
expérimentales, et d’autre part car le modèle adapté paraissait trop simple. Grâce aux essais menés par PSA sur véhicule et sur le banc final, les ingénieurs étaient persuadés que
le problème venait du battement entre le câble et la gaine. Notre première série d’essais a
donc consisté à vérifier sur un montage plus simple comment apparaissait le phénomène.
Pour cela nous avons utilisé le montage de la figure 4.5. Le câble est placé en position courbe
pour imiter la configuration véhicule. Afin de retirer toute possibilité de battement dans les
embouts de câble, ils ne sont attachés ni du côté boîte de vitesses, ni du côté boîtier. Les
arrêts de gaine sont, quant à eux, clipsés sur des pièces d’adaptation côté boîte de vitesses
et côté boîtier. Côté boîte de vitesses la pièce d’adaptation est directement fixée sur un pot
vibrant qui est contrôlé en accélération. La niveau vibratoire est mesuré sur la gaine côté
boîtier par un autre accéléromètre.
Fig. 4.5: Montage expérimental
Les relevés accélérométriques ne laissent plus de doute quant à l’origine du grésillement. On
voit clairement qu’en fonction du niveau d’excitation le grésillement apparaît ou disparaît,
et ce, sans que les embouts de câbles soient attachés sur les rotules. La figure 4.6 illustre
ce phénomène. Pour l’excitation la plus faible 4.6(a) l’impact entre le câble et la gaine est
quasiment inexistant : la réponse sur la gaine est sinusoïdale. En augmentant légèrement
l’excitation 4.6(b) on commence à voir apparaître un signal plus haute fréquence superposé
112
à la sinusoïde de base. Le niveau de ce signal haute fréquence augmente avec le niveau de
l’excitation (4.6(c) et (d)).
2
1
0
−1
−2
0
2
(a)
0.01
0.02
0.03
Temps (s)
0
−1
0
1
0
−1
0
0.01
0.02
0.03
Temps (s)
0.04
0.01
0.02
0.03
Temps (s)
0.04
2
(c)
1
−2
(b)
−2
0.04
2
0.01
0.02
0.03
Temps (s)
0.04
(d)
1
0
−1
−2
0
Fig. 4.6: Accélération sur la gaine pour différents niveaux d’excitations (a) 0.9 m.s−2 (b)
1.1 m.s−2 (c) 1.3 m.s−2 (d) 1.6 m.s−2
D’autres considérations nous font clairement accepter l’hypothèse du battement câble gaine.
Lorsque l’on applique une tension sur les deux côtés du câble, le grésillement disparaît
complètement. L’apparition du grésillement est de plus très sensible au positionnement
du câble dans la gaine. En effet si on déplace l’embout de câble entre les deux positions
illustrées dans la figure 4.7, on passe d’une situation où il y a grésillement à une situation
où il n’y en a plus (figure 4.8). Les conditions aux limites sur le câble semblent jouer un
rôle important.
Finalement, l’observation la moins facile à transcrire dans un rapport concerne le bruit
émis par le câble. Lorsque le niveau de l’excitation devient suffisamment fort, on entend
clairement un bruit de grésillement. En promenant l’oreille le long de la gaine, on distingue
clairement les zones où apparaît le battement câble-gaine.
4.2. L’ORIGINE VIBRATOIRE DU GRÉSILLEMENT
113
2
2
1.5
1.5
1
1
−2
Fig. 4.7: Deux positions différentes de l’embout de câble côté boîte de vitesses
0.5
0
−0.5
0.5
0
−0.5
−1
−1
−1.5
−1.5
−2
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Temps (s)
0.05
0.06
−2
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Temps (s)
0.05
0.06
Fig. 4.8: Accélération pour une excitation de 1.4 m.s−2 à 120 Hz pour différentes positions
du câble
114
Ces essais nous ont donc permis de mieux comprendre l’origine vibratoire du grésillement et
son cheminement (fig. 4.9) vers le passager du véhicule. Les excitations moteurs provoquent
le battement du câble et de la gaine. Ces impacts provoquent un premier rayonnement
acoustique, mais qui est surtout restreint au compartiment moteur car l’habitacle est isolé
par le passe tablier. Ces impacts créent aussi des vibrations hautes fréquences qui se propagent le long du câble et de la gaine. Elles sont transmises au boîtier à travers les arrêts de
gaine et les embouts de câble. Le boîtier est en plastique et présente de nombreuses surfaces
planes qui peuvent rayonner à leur tour dans l’habitacle de la voiture.
Fig. 4.9: Schéma de propagation des vibrations jusqu’à l’habitacle passager
Maintenant que nous avons isolé le phénomène physique, nous pouvons envisager de réaliser
des essais pour déterminer les paramètres matériaux des différentes pièces en vue d’une
modélisation par éléments finis. Dans la suite nous allons donc présenter les essais réalisés
sur les embouts de câble, arrêts de gaine, câble interne et gaine.
4.3
Caractérisation des filtrations côté boîte de vitesses
Nous présentons ici quelques résultats des essais que nous avons effectués sur les arrêts de
gaine et les embouts de câble filtrés. Ce sont des structures composées de plastiques, métal
et caoutchouc. Pendant un temps nous avons soupçonné ces pièces d’être responsables du
grésillement à cause de la présence de jeu, mais les essais précédents ont permis de déterminer que le grésillement apparaissait sans l’influence des embouts. Toutefois, il n’est pas
impossible que les embouts contribuent au grésillement. Les essais qui suivent nous fournissent des courbes de réponses hystérétiques qui donnent les caractéristiques statiques des
4.3. CARACTÉRISATION DES FILTRATIONS CÔTÉ BOÎTE DE VITESSES
115
différents embouts. Toutefois dans la modélisation finale présentée dans le paragraphe 4.6
nous n’intégrons pas encore ces pièces, c’est pourquoi nous ne présentons que succinctement
les résultats. Pour plus de détails il faut se référer au rapport ([104]).
Les essais ont été menés exclusivement sur les embouts de câble et arrêts de gaine côté boîte
de vitesses. Ces pièces ont été conçues pour fournir un découplage basse fréquence entre
le moteur et la commande. On s’attend donc à trouver une zone de rigidité très faible qui
assurera ce découplage. Pour réaliser ces essais, le vérin "1000 Hz" sur le centre technique
de La Garenne Colombes a été utilisé. C’est un instrument qui offre un moyen rapide
pour réaliser des caractérisations statiques et dynamiques. Il est utilisé généralement pour
caractériser les cales de suspension du groupe moto-propulseur. Pratiquement, il peut gérer
des excitations jusqu’à 800 Hz (au-delà, les modes de résonance de la structure commencent
à apparaître), des efforts allant de ±7000 N, et des déplacements de plusieurs millimètres.
Fig. 4.10: Verin 1000 Hz utilisé pour la caractérisation des pièces filtrantes
Ici, nous présentons uniquement la caractérisation statique de l’embout de câble. Le montage de l’embout et le résultat de la caractérisation sont montrés dans la figure 4.11 et 4.12.
Le vérin applique un effort compris entre -500 N et +500 N. Autour d’un déplacement nul,
nous observons la présence de jeu dans l’embout de câble qui vient assurer le découplage
à basse fréquence du câble et de la boîte de vitesse. En effet entre -0.5 mm et 0.5 mm,
116
il n’y a pratiquement pas de rigidité. Ces données sont conformes à celles données par le
fournisseur. Des études dynamiques permettent d’établir que dans la plage d’excitations du
moteur (jusqu’à 200 Hz), la rigidité dynamique ne dépend pas de la fréquence. Par contre
elle dépend fortement de la précharge initiale (ce qui paraît normal au vue de la courbe de
chargement statique).
Fig. 4.11: Montage pour caractériser la raideur d’un embout de câble filtré
500
400
300
Effort (N)
200
100
0
−100
−200
−300
−400
−500
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
Déplacement (mm)
1
1.5
2
2.5
Fig. 4.12: Courbe de réponse statique de l’embout de câble filtré
4.4. CARACTÉRISATION DU CÂBLE INTERNE ET DE LA GAINE
4.4
117
Caractérisation du câble interne et de la gaine
Dans ce qui suit, l’objectif pour nous est de déterminer des paramètres matériaux du câble et
de la gaine qui permettront de modéliser ces deux corps avec des poutres d’Euler-Bernoulli.
Nous avons souhaité simplifier au maximum la modélisation de ces corps en vue de réaliser
l’étude de leur comportement dynamique. En effet, nous désirons nous consacrer aux nonlinéarités de contact. Les rapports entre la longueur et le diamètre du câble et de la gaine
permettent d’envisager sans hésiter une telle modélisation
Lgaine
Lcable
≈ 260 et
≈ 80
2Rcable
2Rgaine
(4.1)
La dynamique des câbles et structures composites est un domaine actif de la recherche qui
trouve de nombreuses applications dans le génie civil. Afin d’avoir quelques notions concernant la dynamique des câbles tressés, nous résumons les résultats qui vont nous servir dans
l’interprétation de certains résultats. Deux approches sont généralement considérées dans
les travaux : soit on cherche à connaître le comportement dynamique global du câble sous
l’effet d’excitations externes ; soit on crée un modèle local pour déterminer les efforts internes et ensuite remonter au comportement global.
Dans le premier cas, on utilise la théorie des câbles dont l’hypothèse principale est de ne
considérer aucun moment de flexion dans la structure. On réalise des études modales en
se basant en général sur le critère d’Irvine [105]. Il quantifie le rapport entre l’élasticité
en traction du câble et la non-linéarité géométrique dûe aux grands déplacements. Cette
non-linéarité provoque alors des couplages entre les modes du câble qui peuvent aboutir à
des comportements quasi-périodiques et chaotiques [106, 107]. Chamberland propose différentes méthodes de contrôle actif pour limiter les débattements [108]. Avec l’allongement des
câbles et le grossissement de la section, il n’est pas toujours correct de négliger le moment
de flexion, dans ce cas on rajoute des termes de flexion dans la théorie [109]. Lorsque le
câble est soumis à une forte précontrainte, on préfère utiliser la théorie linéaire des poutres
pour identifier les propriétés des câbles [110, 111], mais une approche non-linéaire s’avère
plus juste [112].
Lorsque l’on cherche à connaître les efforts internes des câbles et entre les fils de fers torsadés on peut se reporter aux travaux de Costello [113]. Une étude bibliographique étendue
est présenté par Ghoreishi [114]. Dans de telles structures les efforts de traction, torsion et
flexion sont couplés. A partir de ces travaux, Nawrocki et Labrosse [115] développent un
modèle éléments finis dans lequel ils étudient les différents mouvements interfilaires. Même
s’ils ne considèrent pas le frottement entre les fils, ils montrent que lors de la flexion, les fils
glissent entre eux. Les modes de flexion du câble sont alors compris entre les deux cas extrêmes : pas de glissement entre les fils et glissement total. Cette non-linéarité de frottement
est une des caractéristiques les plus importantes dans la dynamique des câbles torsadés car
118
elle induit de forts taux d’amortissement. Ainsi Sauter [116, 96] présente sa thèse sur la
modélisation des amortisseurs de Stockbridge utilisés pour limiter le débattement causé
par le vent sur les lignes électriques. Gerges et Vickery [117] étudient aussi l’amortissement
présent dans les ressorts composés de câbles enroulés. Ils en déduisent que l’amortissement
augmente avec le niveau d’excitation. Cet amortissement est aussi utilisé dans le milieu
aérospatial pour limiter le mouvement des structures déployables [118].
Nous retenons de ces études que les effets non-linéaires dominants sont causés par les grands
déplacements, et par le frottement entre les fils de fers. Dans notre cas nous ne intéressons
pas aux grands déplacements puisqu’une fois la commande en place les débattements sont
de faible amplitude autour de la position d’équilibre statique. Mais dans la suite, nous allons
voir que le frottement interfilaire va avoir un rôle primordial dans la modélisation du câble
et de la gaine. Afin d’alléger les calculs nous allons travailler de la même manière que Otrin
[38] et Zhu [119] : nous allons considérer que les câbles sont des poutres d’Euler Bernoulli
qui ont des propriétés de raideur et amortissement variables en fonction de la fréquence et
l’amplitude de l’excitation.
4.4.1
Caractérisation du câble interne
Le câble est une structure de fils de fer comme nous l’avons vu dans l’introduction de cette
partie. Sa structure tressée lui confère une bonne rigidité en traction. De nombreux articles
traitent du comportement axial de tels câbles car lorsqu’ils sont utilisés comme haubans
de pont ils travaillent en traction. Par contre, il a été difficile de trouver des articles qui
déterminent des modules de flexion de câbles non soumis à une précontrainte. Comme
nous désirons modéliser le câble par une poutre d’Euler-Bernoulli, nous identifierons les
modes propres entre 0 et 200 Hz dans un premier temps et nous déterminerons ensuite des
paramètres matériaux qui permettront de recaler les modes propres mesurés et calculés par
la théorie d’Euler-Bernoulli ([32]).
Essais au marteau de choc
Nous avons utilisé le montage de la figure 4.13. En raison de la souplesse et légèreté du câble
il était plus facile de réaliser ces essais en conservant les fixations utilisées sur véhicule. Ceci
permet aussi de nous rapprocher de la configuration réelle. Avec un marteau de choc nous
venons taper sur la pièce de fixation (et non sur le câble directement) et nous relevons la
fonction de réponse en fréquence sur le câble par un accéléromètre. Ces essais ont permis
de rapidement localiser les modes propres dans le plan du câble. La figure 4.14 présente la
réponse en fréquence du câble pour une configuration où la tension appliquée est faible.
Fig. 4.14: Réponse en fréquence du câble
119
120
Recalage
Les propriétés géométriques de la pièce ont été mesurées et la densité a été déterminée par
pesée. Une minimisation par moindres carrés sur le module d’Young a permis de recaler
les fréquences propres de la poutre d’Euler-Bernoulli avec les fréquences propres expérimentales. Le tableau 4.1 présente les résultats de ce recalage. L’erreur maximale commise
sur une valeur propre des 6 premiers modes propres est inférieure à 10%. Les propriétés
matériaux et géométriques recalées sont les suivantes : E = 4.1010 N.m−1 , L = 0.85 m,
r = 0.001625 m, et ρ = 7700 kg.m−3 . Dans le calcul de la densité, nous avons retiré les
embouts et la longueur du câble est la longueur prise entre les deux sertissages des embouts.
Fréquences propres mesurées
Fréquences propres calculées
Mode 1
8
9
Mode 2 Mode 3 Mode 4 Mode 5
23
45
85
111
25
49
81
121
Mode 6
170
170
Tab. 4.1: Comparaison des fréquences propres expérimentales et numériques [Hz]
La valeur du module d’Young trouvé par ce recalage est du même ordre de grandeur que
celui trouvé par Otrin et Boltezar dans leur article [38]. Leur câble possède presque les
mêmes propriétés géométriques : seule la longueur change. Dans leur article, ils ne s’intéressent qu’au câble (et non à tout l’assemblage de la commande) et mènent des essais
supplémentaires pour déterminer un module d’Young et des coefficients de Rayleigh qui varient en fonction de la fréquence. Cette démarche est une voie d’amélioration envisageable.
Leur article nous fournit donc un ordre de grandeur des coefficients de Rayleigh à adopter
pour modéliser l’amortissement du câble, nous retenons α = 10 et β = 0.00002.
4.4.2
Caractérisation de la gaine
Initialement, nous avons voulu utiliser la même approche pour tester la gaine. Malheureusement l’utilisation d’un marteau de choc avec la gaine n’a pas été efficace. Le comportement
de cette dernière est fortement amorti et les courbes de réponses en fréquence étaient difficilement exploitables. Il a donc fallu utiliser un pot vibrant pour injecter plus d’énergie
dans le système. Comme lors des essais sur le câble nous avons choisi de conserver les arrêts
de gaine côté boîtier et côté boîte de vitesses pour se rapprocher de la situation réelle.
Essais
Le montage expérimental est présenté sur la photographie 4.15. La gaine est fixée au pot
vibrant à l’aide d’une pièce d’adaptation et nous avons placé des accéléromètres sur la
gaine proche du boîtier et sur le pot vibrant. Ce dernier va servir à contrôler l’excitation
du support.
121
Par rapport aux essais au marteau de choc, le pot vibrant permet de se placer dans des
conditions plus proches de la réalité. En effet, tout comme le moteur, le pot vibrant va
imposer une accélération harmonique sur la gaine et va nous permettre de connaître le
comportement dynamique de cette dernière sur toute une plage de fréquence entre 0 et 200
Hz. La figure 4.16 présente l’amplitude de la première harmonique de la gaine pour des
balayages à niveau d’excitation constant. La fréquence varie lentement entre 20 et 200 Hz
et l’amplitude de l’accélération d’entrée est maintenue constante au cours d’un balayage.
Elle varie entre 0.5 m.s−2 et 8 m.s−2 . Nous n’avons pas pu tracer systématiquement les
courbes sur toute la plage de fréquence en raison des limitations du pot vibrant.
Entre 20 et 200 Hz, nous relevons immédiatement trois modes propres. Même s’il n’est
pas visible ici, un quatrième existe à plus basse fréquence (autour de 15 Hz). Comme souvent dans les systèmes possédant des non-linéarités de frottement, les pics de résonance
se décalent vers la gauche du spectre lorsque l’excitation augmente : plus l’excitation est
forte, plus les frottements sont libérés et plus le système s’assouplit. La déformation des
courbes de réponse pour les niveaux d’excitations plus faible vient confirmer cette hypothèse ([70, 31]). Par contre, nous ne pouvons savoir si ce frottement a lieu entre les fils de
fer torsadés, entre les différentes couches de la gaine ou est intrinsèque au comportement du
caoutchouc dans l’arrêt de gaine côté boîte de vitesses. En effet ce décalage vers la gauche
dans le spectre pourrait aussi être attribué à l’effet Payne [95] : plus l’excitation harmonique sur un caoutchouc augmente plus la rigidité dynamique diminue. Elle atteint un seuil
minimum avant de remonter. La réalité est certainement une combinaison des deux effets.
Il faudrait approfondir les essais pour faire une distinction. Quoiqu’il en soit, cet inconnu
122
9
8
7
Excitation augmente
6
5
4
3
2
1
0
50
100
150
Fréquence (Hz)
200
250
Fig. 4.16: Réponses en fréquence de la gaine pour des excitations entre 0.5 m.s−2 et 8 m.s−2
123
ne nous empêche pas de choisir une modélisation qui intègre ces différents phénomènes.
Recalage
Nous allons utiliser une approche qui est analogue à celle présentée par Otrin et Boltezar
[38] ou Zhu et Meguid [119]. Afin de prendre en compte les effets non-linéaires dans une
modélisation simple, nous allons utiliser un module d’Young et des coefficients d’amortissement variables en fonction du niveau d’excitation. Le module d’Young est identifié de
la même manière que pour le câble : on minimise l’écart entre les valeurs propres expérimentales et numériques pour une modélisation Euler-Bernoulli de la gaine. Les résultats
de ce premier travail sont résumés dans le tableau 4.2. Il compare les fréquences propres
expérimentales et recalées des modes 3 et 4 pour différents niveaux d’excitation ainsi que
le module d’Young associé. L’erreur maximale commise sur les fréquences propres est de
10%. Les effets non-linéaires d’assouplissement de la gaine se retrouvent dans le fait que le
module d’Young diminue avec l’augmentation du niveau d’excitation.
Excitation (m s−2 )
0.5
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
f3,exp
119
113
107
103
102
101
f3,cal
125
122
117
111
109
106
f4,exp
218
213
207
195
192
185
f4,cal
214
208
202
190
187
181
E (1010 N m−1 )
1.419
1.337
1.233
1.118
1.087
1.022
Tab. 4.2: Modules d’Young recalés de la gaine en fonction du niveau d’excitation
Pour que l’identification soit complète, il reste à déterminer les taux d’amortissement modaux. Pour cela nous employons la méthode du pic qui est entièrement détaillée dans [31].
Cette approche suppose que tous les modes sont distincts. Du coup, chaque pic peut être
considéré comme associé à un unique mode et il existe une relation simple pour obtenir le
taux d’amortissement du mode i
∆fi
ξi =
(4.2)
2fi
où ξ est le taux d’amortissement, ∆f l’écart de fréquence à mi-hauteur, et f la fréquence
propre. Ces valeurs sont relevées sur les courbes de la figure 4.16. Des coefficients de Rayleigh sont déduits de ces taux d’amortissement par la relation 1.34 et servent de point de
départ pour une procédure itérative dans laquelle on modifie ces coefficients de Rayleigh
afin de recaler le maximum d’amplitude des modes 3 et 4. Le tableau 4.3 récapitule les
coefficients de Rayleigh obtenus par cette procédure itérative. Le sens physique de ces coefficients étant assez difficile à interpréter, nous avons aussi présenté les taux d’amortissement
modaux associés. On voit que le taux d’amortissement d’un mode augmente avec le niveau
d’excitation. Les autres paramètres géométriques ont été mesurés et la densité obtenue par
124
pesée : L = 0.68 m, r = 0.00414578 m, ρ = 5000 kg.m−3 . Le rayon r a été pris pour avoir
la même section que la gaine (dans notre modèle nous considérons une poutre pleine alors
qu’en réalité c’est un tube).
Excitation (m s−2 )
0.5
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
α (s−1 ) β (10−5 s)
90
0.05
97
0.95
83
3.1
75
5.0
95
4.0
113
3.0
ξ3
5.7
6.7
6.8
7.1
8.3
9.4
ξ4
3.4
4.3
5.3
6.1
6.4
6.7
Tab. 4.3: Coefficients de Rayleigh et taux d’amortissement modaux de la gaine en fonction
du niveau d’excitation
Afin de calculer les courbes de réponses en fréquence nécessaires au recalage des taux
d’amortissement, nous utilisons une approche dans le domaine fréquentiel. En créant un
modèle éléments finis de la gaine, on écrit l’équation du mouvement
MÜ + CU̇ + KU = Fext eiωt
(4.3)
où M, C, K sont respectivement les matrices de masse, d’amortissement de Rayleigh et de
raideur. Fext est l’amplitude de l’excitation harmonique appliquée sur le système et U le
déplacement. On peut chercher directement la solution stationnaire de cette équation sous
la forme
U(t) = Ũeiωt
(4.4)
où Ũ correspond aux déplacements harmoniques et ω à la pulsation d’excitation. En remplaçant cette solution dans l’équation du mouvement 4.3 on obtient
2
−ω M + iωC + K · Ũ = Fext
(4.5)
Grâce à cette relation il est très facile d’imiter le balayage fréquentiel effectué lors des essais
en modifiant la fréquence d’excitation.
La figure 4.17 compare les réponses en fréquence expérimentales et calculées pour différents
niveaux d’excitation à l’aide des modules d’Young et coefficients de Rayleigh recalés. Nous
voyons que la démarche adoptée permet de faire évoluer les courbes de réponses calculées
de la même manière que les courbes expérimentales en ce qui concerne les modes 3 et 4.
Nous avons porté plus d’attention sur le recalage de ces modes car leurs fréquences correspondent à la zone plus critique pour le grésillement. En conséquence, les amplitudes du
deuxième mode ne sont pas correctement recalées. Le recalage des coefficients de Rayleigh a
été effectué pour les modes 3 et 4, ce qui impose un amortissement très fort sur le deuxième
mode, qui n’est correct que pour une excitation de 2 m.s−2 (fig. 4.17c). On voit aussi les
125
autres limites de notre modélisation : les courbes calculées n’ont pas la même forme que
les courbes expérimentales car nous n’intégrons pas de frottement dans notre modèle. De
plus, comme lors de l’identification du câble, un recalage exact des fréquences propres n’est
pas possible car le module d’Young estimé n’intègre pas son évolution en fonction de la
fréquence.
126
0.8
0.6
0.4
0.2
3
50
100
150
200
Fréquence (Hz)
(c)
2
1.5
1
0.5
50
1.5
1
0.5
0
250
2.5
0
(b)
0
1
100
150
200
Fréquence (Hz)
4
4
5
1
0
(e)
50
100
150
200
Fréquence (Hz)
250
250
100
150
200
Fréquence (Hz)
250
100
150
200
Fréquence (Hz)
250
(d)
1
6
2
100
150
200
Fréquence (Hz)
2
5
3
50
3
0
250
2
(a)
50
4
3
2
1
0
(f)
50
Fig. 4.17: Réponses en fréquence expérimentales (–) et simulés (· · · ) pour différents niveaux
d’excitations (a) 0.5 m.s−2 (b) 1 m.s−2 (c) 2 m.s−2 (d) 3 m.s−2 (e) 4 m.s−2 (f) 5 m.s−2
4.4.3
127
Conclusion
Les essais présentés dans cette partie nous ont permis de comprendre la nature du grésillement et d’établir son cheminement du moteur vers l’oreille du passager. Initialement,
les données matériaux n’étaient pas connues. Ces essais avaient donc aussi pour objectif
de déterminer des ordres de grandeurs du module d’Young et des coefficients de Rayleigh
afin de pouvoir réaliser un modèle éléments finis de la commande complète. La décision de
modéliser ces éléments par des poutres d’Euler-Bernoulli était portée par le besoin de se
concentrer sur les vibro-impacts. Une telle approche permet de limiter les temps d’intégrations nécessaires pour représenter le grésillement (qui sont longs malgré tout, comme nous
le verrons dans la partie suivante). Rappelons les principales hypothèses que nous avons
posées
1. la modélisation du câble et de la gaine reste en deux dimensions. La torsion des fils
de fer peut provoquer des modes hors plan avec une excitation plan. Nous négligeons
cet aspect vu que l’excitation est faible.
2. on ne considère pas les embouts de câble. Comme nous l’avons vu dans la partie 4.2,
le grésillement peut apparaître sans que les embouts de câble soient fixés sur leurs
rotules.
3. les effets d’assouplissement et d’amortissement de l’arrêt de gaine filtré sont pris
en compte à travers le module d’Young et les coefficients de Rayleigh de la gaine.
Ce choix s’avère correct pour les modes 3 et 4. Pour les modes 1 et 2, il faudrait
intégrer un modèle plus précis de l’amortissement. Toutefois, le grésillement apparaît
généralement au-delà de 90 Hz, il n’a donc pas été jugé nécessaire d’approfondir cet
aspect pour le moment.
4. pour un niveau d’excitation donné, nous avons négligé la variation du module d’Young
en fonction de la fréquence. Ceci empêche de recaler exactement les fréquences propres
des poutres Euler-Bernoulli avec les fréquences propres expérimentales.
Les paramètres matériaux que nous avons identifiés dans cette partie vont nous permettre
de créer un modèle éléments finis et de réaliser la corrélation avec des essais de référence.
Nous allons voir cette démarche dans la prochaine partie.
128
4.5
Corrélation essais/calculs sur la commande droite
Dans les paragraphes précédents, nous nous sommes attachés à présenter les essais de
caractérisation des embouts, du câble et de la gaine. Maintenant que nous avons les données
matériaux nécessaires pour chaque pièce prise séparément, nous pouvons envisager de faire
une corrélation entre les essais et les calculs sur le système complet. Toutefois, la commande
complète utilisée dans les essais à PSA est trop compliquée pour la modélisation. Du coup,
nous préférons avoir un montage plus simple. Après avoir présenté le montage expérimentale
de la commande droite et les résultats d’essais, nous présenterons le modèle éléments finis
utilisé pour la corrélation. Dans un premier temps, le régime stationnaire sera calculé par
une intégration temporelle directe, et ensuite pour limiter les temps de calcul et obtenir le
comportement dynamique de l’assemblage sur toute la plage de fréquence 0-200 Hz nous
réaliserons une balance harmonique.
4.5.1
Réponses stationnaires expérimentales de la commande
Le montage expérimental est présenté dans la figure 4.18. Il est similaire au montage utilisé
précédemment pour la caractérisation de la gaine. Seul le câble de sélection est étudié
dans ce cas. Le parcours du câble est droit, les mousses de protection et le passe tablier
sont retirés. Le câble interne et la gaine sont attachés via leurs embouts sur une pièce
d’adaptation rigidement liée au pot vibrant. Cette pièce d’adaptation imite la fixation de
la commande sur la boîte de vitesses et présente un premier mode propre au-delà de 500
Hz. A l’autre extrémité, le câble est attaché au levier de vitesses et la gaine est clipsée dans
le boîtier.
L’excitation est contrôlée par un accéléromètre placé sur le pot vibrant et la réponse vibratoire est mesurée en un point de la gaine. Il est placé à 13.5 cm du boîtier. Comme dans
l’étude de la gaine seule, nous avons réalisé un balayage sinusoïdal entre 20 et 200 Hz. La
figure 4.19 présente les résultats pour des niveaux d’excitations entre 0.5 et 8 m.s−2 , où seul
le niveau de la première harmonique a été relevé. Les courbes de réponses sont similaires
aux courbes de réponses obtenues pour la gaine seule. Trois modes sont présents entre 20 et
200 Hz (avec un quatrième inférieur à 20 Hz). La gaine régit l’ensemble de la dynamique du
système. Toutefois les fréquences des modes propres sont décalées vers la gauche en raison
de la masse supplémentaire dûe à la présence du câble à l’intérieur de la gaine.
Même si ces essais fournissent des résultats importants concernant l’influence de la gaine
dans la réponse dynamique finale de l’assemblage, ils ne permettent pas de déterminer si
oui ou non la commande grésille. Ce sont les réponses temporelles à différents niveaux et
fréquences d’excitations qui le permettront. Pour une excitation de 106 Hz, nous nous trouvons autour du troisième mode du câble de sélection. La figure 4.20 illustre les réponses
périodiques pour des excitations comprises entre 0.5 et 4 m.s−2 . Pour le niveau d’excitation
4.5. CORRÉLATION ESSAIS/CALCULS SUR LA COMMANDE DROITE
129
Fig. 4.18: Montage expérimental du câble interne et de la gaine droits
le plus faible (4.20(a)), la réponse est une fonction sinus de même fréquence que l’excitation.
Dans ce cas nous n’entendons pas de grésillement sur la commande. Lorsque l’excitation
augmente (4.20(b), (c), (d)), un signal périodique haute fréquence est superposé au sinus de
base. Ceci est la caractéristique vibratoire du grésillement et représente le battement entre
le câble et la gaine. De plus, pour l’excitation la plus forte, on commence à entendre le grésillement sans microphone directionnel. Ces remarques sont essentielles car il est nécessaire
d’avoir les mêmes comportements physiques sur notre montage simplifié que sur le montage
complet utilisé à PSA. La figure 4.21 montre l’évolution de l’accélération et du déplacement
pour une excitation de 2 et 4 m.s−2 à une fréquence de 186 Hz. Sur les figures (a) et (b),
les réponses sont de la même période que l’excitation. Par contre, pour une excitation de
4 m.s−2 (figures (c) et (d)), la réponse est de période double par rapport à l’excitation. Le
comportement observé correspond à un dédoublement de période.
Ici, nous avons présenté quelques résultats obtenus sur un montage de la commande plus
simple que sur véhicule. Nous n’avons conservé qu’un seul câble (en l’occurrence le câble de
sélection) et le parcours de câble est droit. Cependant, nous avons montré que ce montage
simplifié possède les mêmes comportements dynamiques que la commande complète. Une
telle approche était motivée par le besoin d’avoir un cas pour lequel nous maîtrisons toutes
les données en vue de réaliser une corrélation essais-calculs [120, 121].
130
5
Excitation augmente
−2
4
3
2
1
0
50
100
150
Fréquence (Hz)
200
250
Fig. 4.19: Réponses en fréquence du câble de sélection pour des excitations entre 0.5 m.s−2
et 8 m.s−2
0
−5
0
(a)
5
0.02
Temps (s)
(c)
5
0
−5
0
0.02
Temps (s)
0.04
131
(b)
5
0
−5
0.04
0
Accélération [m.s−2]
0.02
Temps (s)
0.04
0.02
Temps (s)
0.04
(d)
5
0
−5
0
Fig. 4.20: Mesures expérimentales pour une excitation de 106 Hz pour différents niveaux
d’excitation : (a) 0.5 m.s−2 (b) 1 m.s−2 (c) 2 m.s−2 (d) 4 m.s−2
132
(a)
(c)
−2
5
−2
5
0
−5
−10
0.1
0.12
0.13
Temps (s)
0.14
0.11
0.12
0.13
Temps (s)
0.14
0.15
0.11
0.12
0.13
Temps (s)
0.14
0.15
(d)
(b)
−6
m)
2
1
Déplacement (10
−6
Déplacement (10
−5
−10
0.1
0.15
m)
2
0.11
0
0
−1
−2
0.1
1
0
−1
−2
0.11
0.12
0.13
Temps (s)
0.14
0.15
0.1
Fig. 4.21: Dédoublement de période à 186 Hz. Accélération (a) et déplacement (b) avant
le dédoublement pour une excitation de 2 m.s−2 . Accélération (c) et déplacement (d) après
le dédoublement pour une excitation de 4 m.s−2 .
4.5.2
133
Le modèle éléments finis de référence
Par une étude expérimentale, nous avons identifié l’origine vibratoire du grésillement : il
s’agit d’un battement entre le câble et la gaine. Nous avons vu qu’il apparaît à partir d’un
certain niveau d’excitation, qu’il induit des vibrations hautes fréquences dans les structures,
et qu’une simple contrainte sur le câble interne élimine complétement le phénomène. Notre
modèle numérique devra donc être capable de reproduire au plus juste l’ensemble de ces
phénomènes afin qu’il puisse être considéré comme représentatif du système.
Lors des essais sur câble et gaine seule, nous avons commencé à poser un certain nombre
d’hypothèses pour limiter la taille du modèle en vue d’un calcul dynamique : le modèle
est en deux dimensions, le câble interne et la gaine sont modélisés par des poutres d’Euler
Bernoulli, les embouts de câble ne sont pas modélisés, l’assouplissement et l’amortissement
de la gaine sont respectivement intégrés à travers des modules d’Young et des coefficients
d’amortissement variables en fonction du niveau d’excitation.
Ces hypothèses aboutissent au modèle éléments finis suivant qui doit pouvoir reproduire
fidèlement l’origine vibratoire du grésillement. Pour ce calcul de référence, le câble est
représenté par 73 éléments poutres et la gaine par 68 éléments. Chaque élément a une
longueur de 1 cm. Les autres paramètres sont pris égaux aux données trouvées dans les
paragraphes précédents. 31 éléments de contact sont répartis le long du câble et de la gaine.
Ils sont numérotés de 1 à 31 en partant de l’encastrement côté boîtier. Après l’application
de la gravité, le modèle ressemble à la figure 4.22 (la déformation est multipliée par 200).
Les points correspondent aux noeuds des éléments poutre et les traits de liaison entre câble
et gaine représentent les éléments de contact noeud-à-noeud. Cette étape de mise en gravité
est importante car elle permet de placer le câble dans la gaine. Le câble, qui est plus souple
en flexion que la gaine, va venir reposer contre la gaine. Le tableau 4.4 donne les efforts
de contact vu par le câble après une mise en gravité. Seuls les éléments dont les noeuds
rentrent en contact sont présentés. On remarque que les efforts de contact sont positifs ce
qui confirme bien que le câble repose s’appuie sur la gaine.
Element de contact
12
13
15
16
17
31
0.0031 0.0426 0.0056 0.0192 0.0192 0.2134
Tab. 4.4: Etat des éléments de contact après application de la gravité
4.5.3
Intégration temporelle directe
Nous avons préparé ce modèle éléments finis sous Abaqus en vue de réaliser l’intégration
temporelle. Le câble interne est contraint dans la gaine par des éléments de contact noeudà-noeud et lorsqu’il y a contact entre 2 noeuds, l’impact est considéré comme entièrement
plastique. Après l’impact, la condition de contact est imposée par des multiplicateurs de
134
Fig. 4.22: Modèle éléments finis après l’application de la gravité
Lagrange. L’algorithme de résolution est décrit plus précisément dans le paragraphe 3.1.1
ou [46]. Non seulement cette approche permet de modéliser la dissipation au moment de
l’impact, mais elle permet aussi d’éviter des problèmes numériques liés aux "rebonds" (chattering) entre les noeuds qui peuvent arriver lorsque le contact est élastique (par exemple
avec une méthode de pénalité [46]).
Nous nous intéressons au comportement dynamique qui caractérise le grésillement afin de
valider notre modélisation éléments finis. Nous allons observer l’accélération de la gaine au
point où se situe l’accéléromètre sur le banc d’essai pour quatre fréquences particulières :
à 106 Hz sur le troisième mode, à 186 Hz sur le quatrième mode, à 126 Hz et 156 Hz qui
sont entre ces deux modes.
Comportement vibratoire au voisinage de 106 Hz
La figure 4.23 compare les résultats des mesures et des intégrations temporelles sur l’ensemble câble-gaine à 106 Hz et pour différents niveaux d’excitations. Les courbes de gauche
sont les relevés expérimentaux et à droite sont les réponses calculées. Nous voyons immédiatement que le modèle représente l’évolution aussi bien qualitative que quantitative de la
réponse. Pour une excitation de 0.5 m.s−2 (fig. 4.23 (a)), aucun battement n’est relevé entre
le câble et la gaine. La réponse est alors purement sinusoïdale. Lorsque l’excitation augmente, un signal plus haute fréquence vient se superposer au sinus de base, caractéristique
du battement câble gaine. Pour une excitation de 1 m.s−2 (fig. 4.23 (b)), on commence
à voir l’apparition des impacts. Le niveau de l’harmonique de base est comparable. Par
135
contre, les impacts n’ont pas lieu en même temps. Pour une excitation de 2 m.s−2 (fig. 4.23
(c)), l’harmonique de base est toujours de bonne amplitude. Cette fois, les impacts sont
répartis identiquement sur une période même si l’amplitude n’est pas tout à fait respectée.
Pour une excitation de 4 m.s−2 (fig. 4.23 (c)), la corrélation des essais et du calcul est
quasi parfaite : l’impact provoque un pic de la même amplitude, le phasage de l’impact est
identique et il est amorti en des temps comparables. L’étude à cette première fréquence a
permis de voir que notre modèle était capable de reproduire très fidèlement le battement
câble gaine mesuré sur le banc d’essai. Nous reviendrons sur les écarts constatés plus loin.
1
1
(a)
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1
0
0.01
0.02
0.03
0.04
−1
0.05
(b)
2
0
−2
−2
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
4
0.03
0.04
0.05
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
2
0
0
−2
−2
−4
−4
0
−2
0.02
4
(c)
2
0.01
2
0
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
10
10
(d)
5
5
0
0
−5
−5
0
0.01
0.02
0.03
Temps (s)
0.04
0.05
Fig. 4.23: Comparaison des accélérations expérimentales (à gauche) et calculées (à droite)
pour différents niveaux d’excitations à 106 Hz (a) 0.5 m.s−2 (b) 1 m.s−2 (c) 2 m.s−2 (d) 4
m.s−2
136
La figure 4.24 compare les résultats des mesures et des intégrations temporelles à 126 Hz.
Dans cette zone, on se trouve entre les modes 3 et 4 de l’ensemble câble-gaine. En absence
de réponse modale de la gaine, on peut donc s’attendre à voir apparaître le grésillement
pour des niveaux d’excitations un plus élevés que précédemment. Pour 4 m.s−2 (fig. 4.24(d))
le système réel et le modèle ne présentent toujours pas un battement câble-gaine significatif.
Pour les quatre niveaux d’excitations, le niveau de l’harmonique de base est bien estimé.
1
1
(a)
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1
0
0.01
0.02
0.03
0.04
−1
0.05
(b)
1
0
−1
−1
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
2
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
1
0
0
0
2
(c)
1
1
0
0
−1
−1
−2
−2
0
0.01
0.02
0.03
0.04
−2
0.05
(d)
2
2
0
0
−2
−2
0
0.01
0.02
0.03
Temps (s)
0.04
0.05
m.s−2
137
Lorsque l’on compare les mesures expérimentales et les calculs pour une fréquence de 156 Hz
(fig. 4.25) on a une nette différence de comportements. Quelque soit l’excitation, le niveau
de l’harmonique de base est plutôt bien reproduite. Par contre, à partir d’une excitation de
2 m.s−2 (fig. 4.25(c) et (d)) de forts impacts apparaissent sur les courbes expérimentales.
On ne les retrouve pas sur les courbes accélérométriques calculées. Malheureusement pour
cette fréquence, il apparaît un mode très localisé dans le système que nous ne modélisons
pas. En effet, ce n’est plus un battement du câble et de la gaine, mais un battement du
sertissage du câble dans le tube guide. Comme notre modèle n’intègre ni le tube guide, ni
le sertissage de l’embout, il n’est pas possible de voir numériquement ce comportement.
0.4
0.4
(a)
0.2
0.2
0
0
−0.2
−0.2
−0.4
0
0.01
0.02
0.03
0.04
−0.4
0.05
1
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
1
(b)
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1
0
0.01
0.02
0.03
0.04
(c)
2
2
0
0
−2
−2
0
−1
0.05
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
10
(d)
10
5
5
0
0
−5
−5
−10
0
0.01
0.02
0.03
Temps (s)
0.04
0.05
−10
m.s−2
138
La figure 4.26 compare les résultats des mesures et des intégrations temporelles à 186 Hz.
Comme précédemment on voit bien que l’évolution qualitative de la réponse est respectée.
Pour de faibles excitations (fig. 4.26(a) et (b)) il n’y a pas de grésillement, par contre lorsque
l’excitation augmente le battement du câble et de la gaine est de plus en plus présent (fig.
4.26(c) et (d)). Même le dédoublement de période relevé expérimentalement est prédit par
le calcul (fig. 4.26(d)). Par contre, d’un point de vue quantitatif, nous sommes moins précis
que pour 106 Hz. De manière générale, le niveau de l’harmonique de base est légèrement
surestimé. Pour une excitation de 2 m.s−2 (fig. 4.26(c)) et 4 m.s−2 (fig. 4.26(d)) les impacts
ne sont pas bien reproduits. Voyons maintenant les raisons possibles de ces écarts.
1
1
(a)
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1
0
0.01
0.02
0.03
0.04
−1
0.05
(b)
2
0
−2
−2
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
4
0.02
0.03
0.04
0.05
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
4
(c)
2
2
0
0
−2
−2
−4
−4
0
0.01
2
0
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
10
(d)
10
5
5
0
0
−5
−5
−10
−10
0
0.01
0.02
0.03
Temps (s)
0.04
0.05
m.s−2
139
Commentaires
De manière générale, nous pouvons affirmer que notre modèle reproduit qualitativement le
comportement du câble et de la gaine pour des fréquences comprises entre 100 et 200 Hz.
Cette plage est la plus critique pour le grésillement. Sur les modes 3 (fig.4.23) et 4 (fig.4.26)
nous voyons apparaître un grésillement assez marqué pour de faibles niveaux d’excitations.
Au contraire, pour une excitation entre les deux modes de la gaine (fig.4.24), le seuil d’apparition du grésillement est plus élevé.
Pour certaines fréquences, les réponses sont aussi quantitativement très bonnes (fig.4.23). Il
est toutefois difficile d’en faire une généralité au vue des réponses calculées pour les autres
fréquences. Le phénomène de battement câble gaine est extrêmement rapide dans le temps
et localisé dans l’espace. De ce fait, notre recalage des modules d’Young et des coefficients
de Rayleigh est suffisant pour estimer correctement l’harmonique de base mais manque de
précision pour prédire systématiquement la bonne amplitude et le phasage des impacts. Les
écarts constatés entre essais et calculs sont principalement liés au recalage des paramètres
du câble et de la gaine (voir fig. 4.17 ou tab. 4.2 et 4.3). Si ce recalage n’est pas parfait,
les modes numériques du câble et de la gaine ne se trouvent pas aux mêmes fréquences
que ceux du montage expérimental. Par conséquent, les fréquences où battent le câble et la
gaine ne peuvent être identiques.
Il y a aussi d’autres sources d’erreurs. Le niveau des impacts et leurs temps caractéristiques
d’atténuation vont être sensibles à l’amortissement haute fréquence présent dans le modèle.
Or, les coefficients de Rayleigh ont été recalés sur 2 modes basses fréquences. De ce fait,
rien n’assure que le comportement haute fréquence de la gaine soit identique dans la réalité
et dans le modèle.
En somme, nous connaissons les sources de disparités entre les essais et les calculs. En
plus des hypothèses nécessaires pour créer le modèle éléments finis, les modes du câble
et de la gaine seuls ne sont pas identiques expérimentalement et numériquement. Dans
ces conditions, on ne peut s’attendre à obtenir rigoureusement les mêmes réponses pour un
phénomène de vibro-impacts comme le grésillement. Pour améliorer la prédiction il faudrait
une modélisation plus complexe du câble, de la gaine, et surtout des zones de contact. Mais
à un coût numérique important. En effet, les calculs d’intégrations temporelles menés ici
nécessitent déjà entre 11000 s et 110800 s sur une machine IBM Power 4 cadencée à 1.3
GHz. Or nous désirons connaître le comportement dynamique de la commande, non pas pour
quelques fréquences, mais sur toute la plage de fréquence [20 − 200] Hz. Ce qui nécessiterait
environ 30 jours de calcul pour connaître le comportement d’une commande (avec 50 pas
de fréquences où chaque calcul dure 50000 s). Dans un contexte d’avant projet un tel temps
de calcul n’est pas envisageable. C’est pourquoi dans la suite nous nous attachons à calculer
une réponse approchée par une méthode de balance harmonique.
140
4.5.4
La balance harmonique
Le paragraphe précédent a permis de valider nos choix de modélisation. Le modèle éléments
finis suivi de l’intégration temporelle précédente sera donc considéré comme la démarche de
référence pour prédire l’apparition ou non de grésillement sur notre système. Nous allons
voir dans cette partie que la balance harmonique permet de réduire considérablement le
temps de calcul. Toutefois, avant d’aller plus loin, il est nécessaire d’évaluer son efficacité
sur ce type de système.
Les solutions de la balance harmonique présentées dans la suite ont été calculées de la
manière suivante dans un code implémenté en C++ à l’aide des librairies Lapack [122],
Minpack [123] et Atlas [124]
1. la mise en gravité est réalisée sous Abaqus.
2. le code récupère les matrices de masses et de raideurs tangentes élémentaires, les états
des éléments de contact, et les déplacements aux noeuds du calcul Abaqus.
3. les matrices du câble et de la gaine sont réassemblées.
4. la balance harmonique est réalisée pour une excitation donnée.
Dans le cas d’une solution périodique, si une infinité d’harmoniques est retenue dans la
balance harmonique, celle-ci fournit exactement la même réponse qu’une intégration temporelle. En pratique, on ne retient que les premières harmoniques qui assurent une bonne
représentativité du comportement vibratoire du système. C’est ce que l’on va voir dans
notre application : le mouvement basses fréquences ainsi que les efforts d’impacts sont régis
par les premières harmoniques, même si les impacts induisent l’apparition de très hautes
fréquences.
Validation de la balance harmonique
Dans ce paragraphe, nous nous attachons à présenter les résultats de la balance harmonique
sur le modèle de référence présenté dans le paragraphe 4.5.2. Nous retenons 16 harmoniques
dans le développement de Fourier. Après condensation sur les degrés de liberté non-linéaires
et sur les déplacements relatifs (voir 2.4.2) il reste 31 degrés de liberté non-linéaires. Le
problème non-linéaire que nous devons résoudre comporte donc 31×(2 × 16 + 1) = 1023
inconnues. Pour les réponses calculées dans la suite, nous utilisons l’algorithme de balance
harmonique telle qu’il a été présenté dans la section 2.4.1. Les efforts non-linéaires sont
calculés dans le domaine temporel par AFT et sont gérés par une méthode de pénalité ou
de Lagrangiens augmentés.
La figure 4.27 compare les résultats de l’intégration temporelle réalisée sous Abaqus et les
141
résultats de la balance harmonique réalisée avec 16 harmoniques. Nous voyons qu’il y a
une très bonne corrélation entre les deux calculs pour ce niveau d’excitation (4 m.s−2 ) et
pour toutes les fréquences. Dans la figure 4.27 (b), le signal 2T périodique a été obtenu
en choisissant judicieusement les conditions initiales pour que l’algorithme converge sur la
solution 2T-périodique et non T-périodique.
Toutefois si les courbes d’accélérations sont très proches, elles ne sont pas identiques pour la
simple raison que nous ne retenons pas suffisament d’harmoniques dans le développement.
Lors d’impacts très forts (notamment 4.27 (a) et (b)), un pic très haute fréquence apparaît
sur le signal temporel, il faudrait retenir bien plus d’harmoniques pour le capturer avec
la balance harmonique. Malheureusement, les algorithmes de résolution peinent lorsque la
dimension du problème augmente.
La figure suivante 4.28 présente les efforts de contact au niveau de l’élément 13 pour
une excitation de 4 m.s−2 pour des fréquences différentes. Selon la fréquence d’excitation,
cet élément de contact est, ou en contact permanent (4.28(d)) ou en contact/séparation
(4.28(a),(b),(c)). Pour les deux cas où il y a pas ou peu d’impacts entre câble et gaine
(4.28(c),(d)), on a une très bonne corrélation entre les deux calculs. Lorsque le niveau des
impacts augmente (4.28(a),(b)), la disparité entre l’intégration temporelle et la balance
harmonique augmente. De manière macroscopique, on voit que les efforts de contact sont
identiques et se répartissent de la même manière dans le temps. Mais, en observant avec
plus de précision, on voit que chaque zone d’impacts est en réalité composée de plusieurs
impacts successifs qui n’ont pas les mêmes amplitudes dans les deux cas. Dans l’intégration
temporelle, le câble et la gaine restent collés pendant de courts moments, alors que dans
la balance harmonique ils "rebondissent" systématiquement. Ces différences s’expliquent
par la dissipation qui est introduite dans la loi de contact de l’intégration temporelle alors
que l’impact est entièrement élastique dans la balance harmonique. Comme nous l’avons
déjà dit, l’ajout de cette dissipation est nécessaire pour la convergence du calcul temporel.
Toutefois, si cette dissipation a une influence sur les efforts de contact, on conclut qu’elle
a une une faible influence sur le comportement dynamique globale de la structure car les
accélérations et déplacements calculés sont identiques dans les deux cas.
Temps de calcul
Nous avons montré dans cette partie que la balance harmonique permet de calculer les
mêmes réponses stationnaires que l’intégration temporelle sur l’ensemble câble-gaine. L’utilisation de la balance harmonique va permettre de déterminer le comportement vibratoire
de la commande sur la plage de fréquence 0-200 Hz en des temps acceptables, ce que l’intégration temporelle ne permet pas.
Les intégrations temporelles sont effectuées sur des processeurs IBM Power 4 cadencés à
142
10
10
(a)
5
5
0
0
−5
−5
−10
0
0.01
0.02
0.03
0.04
−10
0.05
20
0
−10
−10
0
0.01
0.02
0.03
0.04
−20
0.05
4
(c)
0.04
0.05
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
2
0
0
−2
−2
0
0.01
0.02
0.03
0.04
−4
0.05
4
0.03
4
2
4
(d)
2
2
0
0
−2
−2
−4
0.02
10
0
−4
0.01
20
(b)
10
−20
0
0
0.01
0.02
0.03
Temps (s)
0.04
0.05
−4
Fig. 4.27: Comparaison des accélérations issues de l’intégration temporelle (à gauche) et
de la balance harmonique (à droite) au même niveau d’excitation (4 m.s−2 ) pour différentes
fréquences d’excitation (a) 106 Hz (b) 186 Hz (c) 126 Hz (d) 156 Hz
143
0.15
(a)
0.1
0.1
0.05
0.05
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0
0.025
0.2
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.2
(b)
0.15
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0
0.025
0.05
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.04
0.03
0.03
0.02
0.02
0.01
0.01
0
0.005
0.01
0.015
0
0.02
0.05
0.005
0.05
(c)
0.04
0
0
0.01
0.015
0.02
0.05
(d)
0.04
0.04
0.03
0.03
0.02
0
0.005
0.01
Temps (s)
0.015
0.02
0
0.005
0.01
0.015
Fig. 4.28: Comparaison des efforts de contact sur l’élément 13 issus de l’intégration temporelle (à gauche) et de la balance harmonique (à droite) au même niveau d’excitation (4
m.s−2 ) pour différentes fréquences d’excitation (a) 106 Hz (b) 186 Hz (c) 126 Hz (d) 156
Hz
144
1.3 GHz. Chaque calcul est parallélisé sur deux processeurs de ce type, ce qui représente un
gain de temps de 1.6 par rapport au même calcul sur un processeur. La balance harmonique
est réalisée sur un processeur Intel Pentium M 2.13 GHz. La parallélisation du calcul temporel vient compenser la lenteur des processeurs, ainsi les deux calculs sont menés sur des
processeurs de cadences comparables. Nous comparons donc les temps de calcul en partant
de conditions initiales identiques dans le tableau 4.5. La balance harmonique présente des
Fréquence d’excitation (Hz)
Intégration temporelle (s)
Balance harmonique (s)
106
126
156
186
110800 19800 19100 105200
1350
500
460
1200
Tab. 4.5: Comparaison des temps de calcul entre l’intégration temporelle et la balance
harmonique pour différentes fréquences d’excitation
temps de calcul entre 40 et 100 fois plus rapide en fonction des fréquences. Une montée en
régime de 50 pas entre 100 et 200 Hz passe alors de 30 jours à moins d’une journée de calcul.
Le gain de temps est significatif. En réduisant le nombre d’harmoniques retenu aux dépens
de la précision, la montée en régime peut s’effectuer en quelques heures. Nous reviendrons
sur ce point dans l’application sur l’assemblage complet dans les paragraphes suivants.
4.5.5
Critère de grésillement
Jusqu’à présent nous avons montré que les résultats de l’intégration temporelle reproduisent
bien avec les données expérimentales et que la balance harmonique fournit la même réponse
que l’intégration temporelle pour des temps de calcul nettement inférieurs. Expérimentalement, le grésillement se distingue par l’apparition d’un bruit acoustique rayonné par la
commande et par l’apparition de hautes fréquences dans les mesures accélérométriques,
témoins des impacts qui ont lieu entre le câble et la gaine. Afin de concevoir une commande qui grésille moins il est nécessaire de déterminer un critère qui donne rapidement
une vue d’ensemble du comportement "grésillant" de la commande. Nous choisissons, pour
le moment, un critère sur les efforts d’impacts car il est raisonnable de supposer que le grésillement va être directement relié au nombre, et à l’amplitude des impacts entre câble et
gaine. Nous choissisons donc de prendre la moyenne des efforts de contact sur une période
des éléments où il y a contact et séparation. Les éléments où le contact est permanent n’ont
pas de conséquence sur le grésillement.
Dans la suite, nous regarderons donc si ce critère est capable de représenter l’évolution du
comportement dynamique de l’ensemble câble gaine.
Critère sur les efforts de contact
Le calcul présente l’avantage de fournir directement les efforts de contact entre le câble et
la gaine. L’inconvénient d’un tel critère est qu’il ne sera pas possible de l’utiliser pour faire
145
de la corrélation avec les essais, car c’est une donnée que nous ne pourrons pas mesurer sur
le banc expérimental. Toutefois, son exploitation est simple et ne demande aucun calcul
supplémentaire. Moyenner les efforts de contact sur une période pour tous les éléments de
contact où il y a impact permet de localiser immédiatement les zones où le battement câble
gaine est important. Ainsi dans la figure 4.29 nous comparons la moyenne des efforts d’impacts sur une période issus du calcul temporel (à gauche) et de la balance harmonique (à
droite). Nous constatons un comportement similaire pour les fréquences 106, 126 et 156 Hz
(4.29(a),(c),(d)). Pour une excitation de 186 Hz (4.29(b)), la corrélation est moins bonne,
c’est dû au fait que la réponse est 2T périodique : dans la balance harmonique nous couvrons
une bande de fréquence 2 fois moins large que dans le calcul de solutions T périodique pour
le même nombre d’harmoniques (à cause de l’entier n dans l’équation 2.41). Pour conserver
la même précision il faudrait réaliser la balance harmonique avec 32 harmoniques. Sur la
figure 4.29 on voit bien la répartition des impacts entre le câble et la gaine. Ils se situent
principalement au milieu de l’assemblage. Dans les cas les plus grésillants nous voyons qu’il
y a de nombreux points d’impacts (4.29(a),(b)). Pour une excitation de 126 Hz (4.29(c)),
il y a moins de points d’impacts entre câble et gaine, mais le niveau moyen est plus fort. Il
est donc difficile de définir par ce critère quel cas va être plus grésillant. Par contre, lorsque
l’excitation est de 156 Hz (4.29(d)), il est évident que ce cas est le moins grésillant : le
niveau moyen est plus faible et le nombre de points d’impacts est plus faible.
Si ce critère est simple d’utilisation pour localiser les zones d’impacts il ne permet pas
toujours de déterminer la situation la plus défavorable pour le grésillement. Cette difficulté
provient du fait que ce phénomène dépend du nombre de points d’impacts, des niveaux
d’impacts et aussi des durées d’impacts. En effet, plus la durée d’un impact est court, plus
l’excitation induite va être large bande.
4.5.6
Conclusion
Dans cette partie nous avons montré qu’il était possible de prédire numériquement le comportement dynamique de l’ensemble câble-gaine. Des essais simples ont permis d’établir une
référence qui a servi pour la corrélation entre essais et calculs. De plus nous avons montré
que la balance harmonique associée à un critère de grésillement permettait de déterminer
simplement et rapidement si un système est grésillant ou non. Dans la suite, nous allons
donc appliquer ce critère sur un cas industriel. Il s’agit de réaliser une étude paramétrique
sur un ensemble complet pour savoir quelles situations sont favorables ou non à l’apparition
du grésillement.
146
0.02
0.02
(a)
0
1
6
11
16
21
16
0
31
1
6
11
16
21
26
31
1
6
11
16
21
26
31
1
6
11
16
21
26
31
1
6
11
16
21
26
31
(b)
0.02
0
0.02
1
6
11
16
21
26
0
31
0.02
0.02
(c)
0
1
6
11
16
21
26
0.02
0
0
31
(d)
1
6
11
16
21
Elément de contact
26
31
0.02
0
Fig. 4.29: Comparaison des moyennes des efforts de contact issus de l’intégration temporelle
(à gauche) et de la balance harmonique (à droite) au même niveau d’excitation (4 m.s−2 )
pour différentes fréquences d’excitation (a) 106 Hz (b) 186 Hz (c) 126 Hz (d) 156 Hz
4.6. ETUDE SUR LE SYSTÈME EN CONFIGURATION VÉHICULE
4.6
147
Etude sur le système en configuration véhicule
Maintenant que nos calculs reproduisent les mesures expérimentales, nous pouvons entreprendre des études paramétriques sur le système complet tel qu’il est placé dans un véhicule.
Dans cette partie, nous allons modifier différents paramètres de conception et étudier l’influence qu’ils peuvent avoir sur le grésillement de notre système. Nous n’avons pas d’essais
avec lesquels faire une corrélation exacte, nous adopterons donc la démarche qui est susceptible d’être utilisé par des ingénieurs.
Les calculs sont effectués sur toute la montée en régime, nous désirons connaître le comportement vibratoire sur les 4 modes de résonance entre 0 et 200 Hz. Précisons encore une
fois que cette étude ne concerne que le battement du câble et de la gaine. Des phénomènes
supplémentaires qui apparaissent sur le banc d’essai n’apparaissent pas ici : en effet vers 50
Hz, il y a une résonance entre le câble et le levier de vitesse, et vers 150 Hz nous relevons
un fort battement du sertissage du câble dans son tube guide.
Notre souhait initial était de pouvoir calculer la réponse en fréquence comme elle a été
calculée dans le paragraphe 3.4 sur le modèle simplifié. Ainsi à chaque pas de fréquence
nous pouvons réaliser une étude de stabilité, et si nécessaire calculer la réponse T, 2T ou
4T périodique apparaissant après une bifurcation. Malheureusement, le calcul de stabilité
est irréalisable sur notre système en raison du temps de calcul qu’il nécessite. Comme
expérimentalement nous avons observé des instabilités uniquement sur de faibles plages de
fréquences, et surtout dans des fréquences vers 200 Hz, nous allons considérer que ce ne sera
pas très pénalisant d’omettre l’étude de stabilité en dehors de cette plage. Nous supposons
donc que la réponse stationnaire est toujours de même période que l’excitation.
4.6.1
Modèle éléments finis en configuration véhicule
Pour mieux se rapprocher de la réalité industrielle, nous utilisons un modèle éléments finis qui subit une déformation statique non-linéaire. Cette étape est réalisée avant le calcul
dynamique. Nous incluons un modèle simplifié du passe-tablier qui est nécessaire pour
maintenir la gaine en position. Le passe-tablier est modélisé simplement par un ressort de
raideur K= 1e6N.m−1 . La figure 4.30 illustre la déformation du câble et de la gaine après
cette étape de mise en position. Le câble et la gaine sont composés respectivement de 56
et 52 éléments. 25 éléments de contact sont répartis entre l’encastrement boîtier et la boîte
de vitesses. Contrairement à la configuration de validation 4.22, nous ne distinguons pas le
câble et la gaine, car leurs fibres moyennes sont superposées. L’excitation est appliquée sur
l’extrémité de ces derniers. Pour imiter les débattements du moteur, nous imposons un déplacement harmonique constant sur la plage de fréquence [35 − 200] Hz d’amplitude 10 µm.
Ne disposant pas de paramètres matériaux pour ce niveau d’excitation, nous choisissons
des données cohérentes avec les identifications réalisées dans la partie 4.4.
148
Fig. 4.30: Déformation statique du câble et de la gaine en configuration véhicule
Après la déformation statique, le câble et la gaine sont en contact uniquement en quelques
endroits. Le câble repose dans la gaine. Le tableau 4.6 présente uniquement les éléments
qui sont en contact avant le calcul dynamique. On remarque que l’effort sur le câble aux
éléments 3 et 4 est négatif. Ce positionnement est induit par le faible rayon de courbure
imposé sur la gaine par le passe-tablier.
Element de contact
1 2 3
4
13
14
15
16
17
18
25
48 2 -28 -0.6 0.01 0.05 0.002 0.01 0.02 0.01 0.36
Tab. 4.6: Etat des éléments de contact après la mise en position statique
Les résultats présentés dans la suite ont été obtenus par une méthode de continuation
séquentielle sur la fréquence d’excitation, combinée avec une balance harmonique dans laquelle nous avons retenu 6 harmoniques. Une telle approche a permis de déterminer le
comportement vibratoire de la commande sur la plage d’excitation [35 − 200] Hz en moins
de 6000 secondes.
La figure présente le critère de grésillement que nous avons choisi. Il s’agit de l’effort d’impact moyen au cours d’une période d’excitation relevé sur la gaine. Rappelons que seuls
les éléments de contact dans lesquels il y a des impacts sont retenus pour présenter les
4.6. ETUDE SUR LE SYSTÈME EN CONFIGURATION VÉHICULE
149
résultats. En abscisse on a les numéros des éléments de contact et en ordonnée la fréquence
d’excitation. Les couleurs déterminent le niveau de l’effort moyen d’impact. Plus elles sont
foncées, plus l’impact est important.
0
180
−0.005
160
Fréquence (Hz)
−0.01
140
−0.015
120
−0.02
100
−0.025
80
−0.03
60
−0.035
40
5
10
15
Elements de contact
20
25
Fig. 4.31: Efforts d’impacts (N) en fonction de la fréquence d’excitation et des éléments de
contact
Cette figure permet de localiser les zones où l’ensemble des impacts ont lieu entre le câble
et la gaine. Jusqu’à 60 Hz, il n’y a aucun impact entre le câble et la gaine. Entre 60 et
90 Hz, des impacts apparaissent dans les éléments 13 et 15. Ces éléments sont ceux sur
lesquels l’effort de contact statique est la plus faible. Ils commencent à décoller avant les
autres noeuds. A partir de 90 Hz, des impacts apparaissent dans l’élément 19 qui n’était pas
en contact après la déformation statique. Progressivement, il y a de plus en plus d’impacts
entre le câble et la gaine. A 160 Hz, 9 éléments de contact présentent des impacts.
Dans la suite, nous allons présenter brièvement les résultats sur des configurations légèrement différentes, dans lesquelles nous ne modifions qu’un seul paramètre à chaque fois. Il
faut noter que la modification d’un paramètre entraîne systématiquement une modification
de la configuration d’équilibre statique après la mise en configuration.
150
4.6.2
Câble plus raide
Dans ce cas nous modifions uniquement la raideur du câble. Nous la prenons deux fois plus
raide que dans le calcul précédent. La figure 4.32 présente les efforts d’impacts entre le câble
et la gaine en fonction des éléments de contact et de la fréquence d’excitation. Contrairement
au cas précédent, des impacts apparaissent dès 40 Hz. Mais le niveau général reste plus faible
et il y a moins d’éléments qui rentrent en contact autour de 160 Hz. On peut donc supposer
que le système sera moins grésillant que dans le cas précédent. Toutefois, nous retrouvons
ici les limites de ce critère évoquées précédemment. Il ne tient pas compte de la durée de
l’impact, donnée qui va avoir une conséquence directe sur la largeur de la bande spectrale
excitée.
0
180
−0.005
160
Fréquence (Hz)
−0.01
140
−0.015
120
−0.02
100
−0.025
80
−0.03
60
−0.035
40
5
10
15
Elements de contact
20
25
contact
4.6.3
Modification d’une condition aux limites sur le câble
Dans ce cas, nous modifions la configuration initiale en déplaçant l’extrémité du câble côté
boîte de vitesses d’1 millimètre dans la direction horizontale. Durant le calcul dynamique,
l’extrémité du câble est maintenue dans cette position. Ainsi les débattements horizontaux
sont nuls sur ce noeud. Les conséquences sur l’équilibre statique sont immédiates : seuls
les éléments 5, 21, 22, 23, et 24 ne sont pas en contact. La figure 4.33 présente les efforts
4.7. CONCLUSION
151
d’impacts entre le câble et la gaine.
0
180
−0.005
160
Fréquence (Hz)
−0.01
140
−0.015
120
−0.02
100
−0.025
80
−0.03
60
−0.035
40
5
10
15
Elements de contact
20
25
contact
Le comportement vibratoire est grandement modifié dans cette configuration. Des impacts
apparaissent uniquement dans les éléments 5 et 21. Dans ce cas, il est clair qu’il y a moins
de grésillement que dans les deux cas précédents. Ce calcul vient confirmer les observations
expérimentales : en appliquant une pression sur le pommeau de vitesse, le grésillement est
réduit, voire disparaît complètement en fonction de la pression appliquée. L’application de
cette pression provoque un déplacement de l’extrémité du câble. Ce déplacement provoque
une répartition différentes des efforts de contact statique entre le câble et la gaine. Comme
nous l’avons vu, presque tous les éléments de contact sont collés, ce qui est une situation
inverse des deux cas précédents. En conséquence le câble a moins de libertés pour débattre
dans la gaine.
4.7
Conclusion
Nous avons présenté dans un premier temps, les résultats des mesures expérimentales. Ces
mesures ont permis de déterminer l’origine du grésillement, et d’identifier les comportements non-linéaires de la gaine. Lorsque l’excitation sinusoïdale augmente, on remarque un
152
assouplissement dû aux frottements entre les fils constituant la gaine et au comportement
du caoutchouc de l’arrêt de gaine. Ces effets sont intégrés dans un modèle Euler-Bernoulli
à travers des modules d’Young et des coefficients de Rayleigh qui varient avec le niveau
d’excitation.
Un montage simplifié de la commande a permis d’établir une référence afin de valider la
modélisation éléments finis proposée. La corrélation est bonne aux différentes fréquences
étudiées. On s’aperçoit que le grésillement apparaît à partir d’une valeur seuil de l’excitation et varie en fonction des fréquences et des modes du câble et de la gaine.
Enfin, nous proposons un critère de grésillement sur les efforts de contact qui permet de
déterminer si le système va grésiller ou non. L’application des méthodes de calcul développées permet ainsi de connaître le comportement vibratoire de la commande sur la plage de
fonctionnement du moteur en des temps de calculs raisonnables. Nous confirmons par le
calcul les premières observations expérimentales qui avaient été faites : lorsque l’on applique
une tension horizontale sur le câble, le grésillement disparaît.
Conclusion et perspectives
Dans cette étude, réalisée en collaboration avec la société PSA Peugeot-Citroën, nous nous
sommes intéressés au grésillement des commandes à câbles des boîtes de vitesses. Dans un
premier temps, nous avons montré que ce phénomène acoustique était en partie causé par
des vibro-impacts entre le câble et la gaine.
Nous nous sommes donnés comme objectif de déterminer la réponse fréquentielle de notre
système sur la plage de fréquence de fonctionnement d’un moteur. La synthèse bibliographique traite des méthodes non-linéaires utilisées pour déterminer les réponses stationnaires
et la stabilité de ces réponses. Les méthodes basées sur la balance harmonique et une gestion
des efforts non-linéaires par AFT nous ont semblé les mieux adaptées pour des systèmes
avec de nombreux degrés de liberté non-linéaires. Le problème de vibro-impacts étant fortement non-linéaire, nous avons proposé une adaptation dans le domaine fréquentiel de la
formulation de Lagrangiens augmentés, classiquement utilisée dans le domaine temporel.
Une telle approche, en combinaison avec une méthode de continuation, permet d’obtenir de
manière plus robuste les réponses vibratoires. Nous avons montré aussi que les méthodes
d’étude de stabilité dans le domaine fréquentiel étaient restreintes aux faibles non-linéarités.
Nous avons donc eu recours à la théorie de Floquet.
Le grésillement ayant une manifestation hautes fréquences, nous avons cherché à récupérer
ce contenu spectral dans le calcul. Après un calcul par balance harmonique, nous avons proposé de réinjecter les efforts non-linéaires déterminés lors de la partie temporelle de l’AFT,
dans une intégration temporelle où les efforts de contact sont connus. Une telle approche
permet de récupérer et d’estimer le contenu hautes fréquences. Toutefois, nous avons vu
qu’elle était tributaire de la précision de la balance harmonique.
A travers ce travail, nous avons également fourni une modélisation éléments finis représentative de la réalité. Différents essais ont permis de caractériser les embouts de câble, les
arrêts de gaine, le câble et la gaine. Nous avons isolé les comportements dynamiques spécifiques de la gaine. Les non-linéarités peuvent être causées par le caoutchouc dans les arrêts
de gaine, ou par le frottement inter-filaire. Ces effets ont été intégrés dans le modèle par
des modules d’Young et des coefficients de Rayleigh variables en fonction de l’amplitude
d’excitation.
153
154
Un montage simplifié de la commande, excité par un pot vibrant, a permis d’établir une
référence qui a servi à la validation du modèle éléments finis. Ce dernier présente une bonne
corrélation qualitative avec la réalité. A certaines fréquences, la corrélation quantitative est
très bonne. Nous avons vu que la modification d’une condition aux limites sur le câble fait
disparaître le grésillement. Toutefois, comme toujours, notre modélisation a des limites : les
impacts étant très localisés autant dans l’espace que dans le temps, une corrélation exacte
demanderait une connaissance très précise des propriétés matériaux et une discrétisation
très fine du modèle. De plus, certains phénomènes, comme le battement du câble dans le
tube guide, ne sont pas représentés.
Cette thèse aboutit sur un code, implémenté en C++, qui permet de déterminer la réponse
vibratoire d’un ensemble câble-gaine sur la plage de fonctionnement d’un moteur en des
temps de calcul raisonnables. Nous avons proposé un critère sur les efforts de contact qui
permet de déterminer si oui ou non la commande va grésiller. Cette approche va permettre
de réaliser efficacement des études paramétriques, semblables à celles que nous avons présentées dans la dernière partie.
Les résultats de cette étude peuvent donc ouvrir sur les perspectives suivantes.
Au cours de cette étude, nous avons choisi des modèles simples pour le câble et la gaine.
Les choix de modélisations nous ont ammené à intégrer les non-linéarités de ces composants dans des modules d’Young et de Rayleigh variables. Ce choix impose de réaliser des
essais avant les calculs afin de déterminer les paramètres matériaux. En effet, les paramètres
que nous avons identifiés sur notre montage simplifié (câble et gaine droits), doivent varier
lorsque le système est mis dans la position véhicule. Avec une connaissance plus fine des
comportements du câble et de la gaine, nous pourrions être en mesure de proposer un modèle plus générique. Toujours dans l’objectif de se rapprocher de la réalité, une modélisation
3D du système semblerait intéressante.
Le critère de grésillement que nous avons proposé permet d’identifier et de comparer le
niveau de grésillement de différents systèmes. Toutefois, ce critère repose sur les efforts de
contact. Il serait intéressant de définir un critère qui ait plus de lien avec le comportement
acoustique de la commande. Une possibilité serait de développer la méthode de réinjection.
Quant à la perspective industrielle, il s’agit d’intégrer ce code dans l’ensemble des outils
disponibles pour les ingénieurs. Il leur sera alors possible d’imaginer et de tester numériquement différentes solutions technologiques afin d’en choisir une qui permette d’éliminer
le grésillement dans l’ensemble des configurations.
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164
BIBLIOGRAPHIE
Table des figures
1
Une commande manuelle de boîte de vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
Banc d’essai utilisé au centre technique de La Garenne Colombes
. . . . . .
2
3
Réponses accélérométriques sur le banc d’essai pour une excitation de 150 Hz
3
1.1 Problème de contact entre deux corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2 (a) Loi de contact unilatéral (b) Loi de frottement de Coulomb . . . . . . . .
9
1.3 Discrétisation spatiale en éléments finis avec des quadrangles à 4 noeuds
. . 13
1.4 Oscillateur linéaire composé de 30 éléments masse-ressort . . . . . . . . . . . 14
1.5 Taux d’amortissement modaux pour 30 modes, (o) réels, (·) identifiés avec
taux constant sur les modes 11 à 30, (×) identifiés en utilisant une pseudo
inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Evolution du taux d’amortissement modal en fonction de la fréquence pour
un amortissement de Rayleigh : (- -) amortissement proportionnel à la raideur
(··) amortissement proportionnel à la masse (·) amortissement de Rayleigh . 17
1.7 Taux d’amortissement modaux (o) réels, (·) amortissement de Rayleigh . . . 19
1.8 Taux d’amortissement modaux (o) réels, (·) amortissement de Rayleigh généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1 Un oscillateur vibro-impactant à deux degrés de liberté . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Comportement dynamique de l’oscillateur libre amorti . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Comportement dynamique de l’oscillateur vibro-impactactant pour ω = 0.73
26
2.4 Comportement 3T périodique de l’oscillateur vibro-impactant pour ω = 0.76
27
2.5 Comportement quasi-périodique de l’oscillateur vibro-impactant pour ω = 0.74 28
2.6 Comportement chaotique de l’oscillateur vibro-impactant pour ω = 0.7519 . 29
2.7 Vue d’ensemble d’un algorithme d’optimisation locale . . . . . . . . . . . . . 31
2.8 Un algorithme de prédiction-correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.9 Schéma itératif de la méthode de tir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
165
166
TABLE DES FIGURES
2.10 Schéma d’une méthode de tirs multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.11 L’effort non-linéaire en fonction du déplacement relatif . . . . . . . . . . . . 57
2.12 Continuation séquentielle (–) solution exacte (· · · ) prédiction (- -) correction
60
2.13 Continuation arclength avec une prédiction sécante (–) solution exacte (· · · )
prédiction (- -) correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.14 Continuation pseudo-arclength avec une prédiction tangente (–) solution
exacte (· · · ) prédiction (- -) correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.15 Les principaux types de bifurcation en fonction de l’évolution des multiplicateurs de Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.16 Démarche pour étudier la stabilité d’une solution périodique obtenue par
balance harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.17 Réponses en fréquence de l’oscillateur de Duffing pour f0 = 0.5 et β = 0.1 (a)
Hill (b) Echelles Multiples (c) Floquet (d) Intégration temporelle (•) Stable
(·) Instable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.18 Réponses en fréquence de l’oscillateur de Duffing pour f0 = 0.5 et β = 1 (a)
Hill (b) Echelles Multiples (c) Floquet (d) Intégration temporelle (•) Stable
(·) Instable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.19 Réponses en fréquence de l’oscillateur de Duffing pour f0 = 5 et β = 3
(a) Echelles Multiples (b) Floquet (c) Intégration temporelle (·) Stable (+)
Instable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.1 Modèle vibro-impactant avec contact unilatéral . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2 Comparaison entre l’intégration temporelle (–) et la balance harmonique (-) avec 3 harmoniques sur une période à 64 Hz (a) Déplacement (b) Effort
de contact (c) Accélération (d) Spectre de l’accélération . . . . . . . . . . . 90
3.3 Comparaison entre l’intégration temporelle (–) et la balance harmonique avec
3 harmoniques sur une période après (· · · ) la réinjection à 64 Hz (a) Déplacement (b) Effort de contact (c) Accélération (d) Spectre de l’accélération
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3 harmoniques sur une période avant (- - ) et après (· · · ) la réinjection à 65
Hz (a) Déplacement (b) Effort de contact (c) Accélération (d) Spectre de
l’accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
10 harmoniques sur une période avant (- - ) et après (· · · ) la réinjection à
65 Hz (a) Déplacement (b) Effort de contact (c) Accélération (d) Spectre de
l’accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.6 Modèle vibro-impactant simplifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
TABLE DES FIGURES
167
3.7 Vue d’ensemble du comportement dynamique du modèle simplifié . . . . . . 99
3.8 Illustration du dédoublement de période à 49 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.9 Illustration de la bifurcation secondaire de Hopf à 51.3 Hz . . . . . . . . . . 100
3.10 Illustration du dédoublement de période à 153 Hz . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.11 Illustration du passage d’une réponse 2T périodique à une réponse T périodique autour de 200 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.12 Comparaison des vitesses de bifurcation en fonction des conditions initiales
après le dédoublement de période à 153 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.13 Réponse en fréquence détaillée du modèle simplifié entre 135 et 205 Hz, suivie
de la solution 2T périodique calculée par la balance harmonique (–) réponse
stable (· · · ) réponse instable (o) intégration temporelle . . . . . . . . . . . . 104
4.1 Installation d’une commande manuelle sous le capot . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2 Câble de passage et de sélection avant montage dans véhicule . . . . . . . . . 110
4.3 Câble interne et gaine dénudés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.4 Section du câble interne et de la gaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.5 Montage expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.6 Accélération sur la gaine pour différents niveaux d’excitations (a) 0.9 m.s−2
(b) 1.1 m.s−2 (c) 1.3 m.s−2 (d) 1.6 m.s−2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.7 Deux positions différentes de l’embout de câble côté boîte de vitesses . . . . 113
4.8 Accélération pour une excitation de 1.4 m.s−2 à 120 Hz pour différentes
positions du câble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.9 Schéma de propagation des vibrations jusqu’à l’habitacle passager . . . . . . 114
4.10 Verin 1000 Hz utilisé pour la caractérisation des pièces filtrantes . . . . . . . 115
4.11 Montage pour caractériser la raideur d’un embout de câble filtré . . . . . . . 116
4.12 Courbe de réponse statique de l’embout de câble filtré . . . . . . . . . . . . . 116
4.14 Réponse en fréquence du câble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.16 Réponses en fréquence de la gaine pour des excitations entre 0.5 m.s−2 et 8
m.s−2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.17 Réponses en fréquence expérimentales (–) et simulés (· · · ) pour différents
niveaux d’excitations (a) 0.5 m.s−2 (b) 1 m.s−2 (c) 2 m.s−2 (d) 3 m.s−2 (e) 4
m.s−2 (f) 5 m.s−2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.18 Montage expérimental du câble interne et de la gaine droits
. . . . . . . . . 129
168
TABLE DES FIGURES
4.19 Réponses en fréquence du câble de sélection pour des excitations entre 0.5
m.s−2 et 8 m.s−2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.20 Mesures expérimentales pour une excitation de 106 Hz pour différents niveaux d’excitation : (a) 0.5 m.s−2 (b) 1 m.s−2 (c) 2 m.s−2 (d) 4 m.s−2 . . . . 131
4.21 Dédoublement de période à 186 Hz. Accélération (a) et déplacement (b)
avant le dédoublement pour une excitation de 2 m.s−2 . Accélération (c) et
déplacement (d) après le dédoublement pour une excitation de 4 m.s−2 . . . . 132
4.22 Modèle éléments finis après l’application de la gravité . . . . . . . . . . . . . 134
4.23 Comparaison des accélérations expérimentales (à gauche) et calculées (à
droite) pour différents niveaux d’excitations à 106 Hz (a) 0.5 m.s−2 (b) 1
m.s−2 (c) 2 m.s−2 (d) 4 m.s−2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
m.s−2 (c) 2 m.s−2 (d) 4 m.s−2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
m.s−2 (c) 2 m.s−2 (d) 4 m.s−2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
m.s−2 (c) 2 m.s−2 (d) 4 m.s−2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.27 Comparaison des accélérations issues de l’intégration temporelle (à gauche)
et de la balance harmonique (à droite) au même niveau d’excitation (4 m.s−2 )
pour différentes fréquences d’excitation (a) 106 Hz (b) 186 Hz (c) 126 Hz (d)
156 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.28 Comparaison des efforts de contact sur l’élément 13 issus de l’intégration
temporelle (à gauche) et de la balance harmonique (à droite) au même niveau
d’excitation (4 m.s−2 ) pour différentes fréquences d’excitation (a) 106 Hz (b)
186 Hz (c) 126 Hz (d) 156 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.29 Comparaison des moyennes des efforts de contact issus de l’intégration temporelle (à gauche) et de la balance harmonique (à droite) au même niveau
d’excitation (4 m.s−2 ) pour différentes fréquences d’excitation (a) 106 Hz (b)
186 Hz (c) 126 Hz (d) 156 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.30 Déformation statique du câble et de la gaine en configuration véhicule . . . . 148
4.31 Efforts d’impacts (N) en fonction de la fréquence d’excitation et des éléments
de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
TABLE DES FIGURES
169
de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Liste des tableaux
3.1 Modes propres des corps 1 et 2 (Hz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.1 Comparaison des fréquences propres expérimentales et numériques [Hz] . . . 120
4.2 Modules d’Young recalés de la gaine en fonction du niveau d’excitation . . . 123
4.3 Coefficients de Rayleigh et taux d’amortissement modaux de la gaine en
fonction du niveau d’excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.4 Etat des éléments de contact après application de la gravité . . . . . . . . . 133
4.5 Comparaison des temps de calcul entre l’intégration temporelle et la balance
harmonique pour différentes fréquences d’excitation . . . . . . . . . . . . . . 144
4.6 Etat des éléments de contact après la mise en position statique . . . . . . . . 148
171
Annexe A
Aspects pratiques des méthodes de continuation
Un point qu’il est important de saisir dans les méthodes de continuation avec paramétrisation de la longueur d’arc est le suivant. Comme le paramètre de contrôle est une inconnue,
et que les matrices du système 2.52 dépendent de ce paramètre, à chaque fois qu’il va être
modifié dans l’algorithme de Newton il va falloir recalculer les matrices. Dans une formulation fréquentielle, l’équation à résoudre est de la forme 2.42. Si le paramètre de contrôle est
la fréquence d’excitation f , il faut recalculer les matrices de raideur dynamique Λ à chaque
itération de l’algorithme de Newton. Ce processus peut s’avérer très lourd si le système a
beaucoup de degrés de liberté. C’est le principal inconvénient de ces méthodes.
A cela s’ajoute une limitation moins grave : ces méthodes permettent de suivre une branche
d’une solution périodique et passent facilement les points de retournement. Par contre, les
autres types de bifurcations donnent souvent naissance à plusieurs branches. Dans ce cas, il
faut déterminer le type de bifurcation à l’aide d’une étude de stabilité par multiplicateurs
de Floquet et réinitialiser une continuation en choisissant la branche sur laquelle on désire
connaître l’évolution.
En théorie donc, ces méthodes de continuation permettent le tracé effectif de la courbe
de réponse. En pratique, hormis les inconvénients précédents, il est courant de rencontrer
divers problèmes lors de leur utilisation, comme des mauvais conditionnements de matrices
(comme nous venons de le voir avec la prédiction tangente), des convergences très lentes de
l’algorithme de Newton, etc... Quelques considérations supplémentaires permettant d’améliorer considérablement la robustesse de ces méthodes sont présentées ci-dessous.
Gestion du pas
Dans toutes les méthodes de continuation apparaît le pas ∆sk . La valeur prise pour cet
incrément est primordiale, car d’un côté, un pas trop long donne une mauvaise approximation initiale (trop éloignée de la solution exacte) et par conséquent de nombreuses itérations
sont nécessaires pour converger, et d’un autre côté, un pas trop faible conduit à un nombre
de points à calculer excessif. Afin d’optimiser au mieux le temps de calcul, l’emploi d’un
173
pas variable est préconisé.
La gestion du pas de temps est très utilisée dans les méthodes d’intégration des équations
différentielles ordinaires, où l’adaptation du pas se fait sur des critères de précision. Dans le
cas présent, on a plutôt recours à des critères d’origine statistique. Le principe est d’utiliser,
pour le calcul de chaque point, le pas du calcul précédent multiplié par une constante β
(comme dans Levenberg-Marquardt 2.2.4). Ce coefficient multiplicateur dépend du nombre
d’itérations nécessaires pour atteindre la convergence dans le dernier calcul et doit permettre
d’augmenter le pas lorsque le solveur converge rapidement et de le diminuer si le nombre
d’itérations dépasse un certain seuil. On peut prendre à titre d’exemple
β=
Iopt
ou β = 2(Iopt −I)/4
I
(6)
où I est le nombre d’itérations du pas précédent et Iopt le nombre d’itérations souhaité [125].
Il est par ailleurs conseillé de borner la valeur du coefficient multiplicateur pour éviter que
celui-ci ne deviennent trop grand ou trop petit.
Mise à l’échelle
Lors de l’implémentation de ces méthodes de continuation il est possible et souvent nécessaire d’apporter quelques modifications afin de faciliter la convergence de l’algorithme de
Newton-Raphson. En effet, dans une continuation arclength ou pseudo-arclength il peut
y avoir plusieurs ordres de grandeurs de différences entre la variable y et le paramètre de
contrôle λ. Typiquement, dans les exemples que nous avons traité dans le domaine fréquentiel, le déplacement était de l’ordre de 10−5 m et le paramètre de contrôle, la pulsation ω,
était pluôt de l’ordre de 103 rad.s−1 . Même si les algorithmes de Newton disponibles effectuent des normalisations en interne, celles-ci ne font pas de différences entre les paramètres.
Ainsi, les normes utilisés vont contenir l’influence des déplacements et de la pulsation. Pour
pallier ce problème, il vaut mieux effectuer une mise à l’échelle préalable où les déplacements seront normalisés par des déplacements et la pulsation par une pulsation. Dans de
nombreux articles ce problème n’apparaît pas puisque les auteurs travaillent à partir d’une
équation différentielle adimensionnalisée.
L’approche que nous avons utilisé lors d’une balance harmonique est la suivante. Au pas
k de l’algorithme de continuation les harmoniques des déplacements sont normalisés par
rapport à l’harmonique prépondérant du déplacement de l’itération k − 1. Ainsi le terme
de normalisation à l’itération k s’écrit
ynorm =
p
a2max + b2max
(7)
où amax et bmax sont respectivement les coefficients de Fourier (cosinus et sinus) de l’harmonique contenant la majeure partie du déplacement. La pulsation est, quant à elle, sim-
plement normalisée par rapport à la pulsation trouvée au pas précédent. Si la continuation
est combinée avec une méthode de tir la normalisation des termes de déplacements pourrait
se faire avec ky0 k.
Une autre approche pour améliorer la convergence consiste à pondérer les termes de l’équation de contrainte par un facteur d’ajustement ξ. Avec une méthode arclength cela donne
ξ kyk − yk−1 k2 + (1 − ξ) (λk − λk−1 )2 − ∆s2 = 0
(8)
Mais se pose alors le problème du choix de ξ. Blair et al. [126] proposent la pondération
suivante
kyk−1k
kyk − yk−1k2
(9)
+ (λk − λk−1 )2 − ∆s2 = 0 avec σ =
2
σ
λk−1

Modélisation du comportement impactant d`un ensemble câble

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