Etude expérimentale et modélisation des vibrations mécaniques des

3e Conférence Francophone de Modélisation et Simulation "Conception, Analyse et Gestion des Systèmes Industriels"
MOSIM'01 – du 25 au 27 avril 2001 Troyes (France)
Etude expérimentale et modélisation des vibrations mécaniques des systèmes
électromécaniques de conversion d'énergie
Stanislav L. Koschinsky, Yuri V. Kolokolov*
Kondo H. Adjallah
Department of Design and Technology of Electronic
Systems,
State Technical University of Orel,
29, Naugorskoe Shosse, 302030, Orel, Russia,
tel. 7 0862 421661, fax 7 0862 416684,
E-mail: [email protected], [email protected]
Département Génie des Systèmes Industriels
Université de Technologie de Troyes
12, rue Marie Curie – BP 2060
10010 Troyes Cedex – France
tel. +33 325 71 56 31, fax +33 325 71 56 49
e-mail: [email protected]
RESUME : On présente une approche d'analyse et de modélisation des systèmes technologiques à risque. Pour
l’élaboration de cette approche, on utilise à titre expérimental une plate-forme électromécanique de conversion d'énergie, représentative des systèmes technologiques à risque. On propose alors une démarche pour la modélisation et
l'analyse de leurs comportements dynamiques. Cette démarche permet d'élaborer un modèle suffisamment exact et simple pouvant reproduire en simulation l'ensemble des scénarios de développement des dynamiques du système considéré.
Ces modèles mathématiques serviront à élaborer un système d’aide à la conception et au diagnostic fiables des EECS.
MOTS-CLES : système dynamique, système électromécanique, modéliser, bifurcation, vibration
1 INTRODUCTION
L'utilisation des systèmes de conversion d'énergie est
très largement répandue dans les processus technologiques à risque. La complexité de structure, l'importante
quantité du flux d'énergie à contrôler, le niveau requis de
fiabilité et de sécurité, ainsi que le coût élevé de ces
systèmes exigent la mise au point d'approches quantitative et qualitative appropriées à leur conception. Pour
leur sûreté de fonctionnement, il est en plus nécessaire
d'élaborer des méthodes de detection, d'isolation et de
diagnostic précoce de leurs défaillances. Pour cela, certaines caractéristiques spécifiques sont à respecter, si l'on
tient compte des remarques suivantes:
a) L'approche méthodologique moderne d'analyse
quantitative et de conception des EECS est basée sur la
bifurcation [Nayfeh et al, 1998; Ueda et al, 1998]. Cette
approche est un outil efficace aussi bien pour simplifier
les modèles dynamiques des EECS (en vue de réduire
l'ordre des modèles) que pour garantir leur adéquation
(i.e. garantir la reproductibilité des scénarios qualitatifs
de développement des dynamiques des EECS).
b) Une des approches modernes de construction de
systèmes de détection précoce de défaillance utilise les
observateurs non linéaires d’état [Adjallah, 1993]
[Isermann et al, 1992]. Elle se base sur la détection des
signes précurseurs de défaillance qui peuvent être révélés
dans le comportement dynamique d’un système par
l’intermédiaire de ses variables d’état. Pour cela, les
modèles dynamiques des EECS doivent satisfaire les
exigences de description mathématique exact (i.e.
reproductibilité
des
scénarios
qualitatifs
du
développement des dynamiques des EECS avec les
variations dans les paramètres du système) et sa
suffisance est nécessaire pour construire un système de
détection de défaillance [Kolokolov et al, 2000].
Pour cela, il est nécessaire de prendre en compte les caractéristiques spécifiques de la topology des EECS et les
conséquences spécifiques à leurs dynamiques non linéaires, pour le développement d’approches de modélisation.
Dans ce cas, les investigations ont pour but de vérifier le
degré d’adéquation entre les approches de modélisation
des EECS par la comparaison des résultats théoriques et
expérimentaux que l’on suppose pratiquement indispensables.
2 DESCRIPTION DE L’INSTALLATION ET DES
RESULTATS EXPERIMENTAUX
L’objet des travaux présentés dans ce papier est une installation électromécanique constituée de machines tournantes électriques entrainant une charge mécanique non
uniforme et une génératrice électrique à courant continu,
dont la structure est représentée par la figure 1. Des systèmes réels, tels que les motopompes par exemples, peuvent être modélisés suivant la même démarche.
L’objectif de ces travaux est de construire le modèle
dynamique le mieux adapté à la description des vibrations mécaniques dans le cas présent, et de mener une
recherche expérimentale sur les paramètres d'influence
des vibrations de cette catégorie de systèmes.
La charge électromécanique du système est constituée
par une résistance active placée dans le circuit d’induit
de la génératrice, et sa puissance varie par pallier de 0,6
kW entre 0,6 et 4,8 kW. La non uniformité de la charge
mécanique entrainée par l’intermédiaire de l’arbre du
moteur est obtenue par addition de masses au disque
MOSIM'01 – du 25 au 27 avril 2001 – Troyes (France)
d’équilibrage (voir figure 1, disk 1). Cette non uniformité entraine des balourds sur la partie rotative en phase
de fonctionnement. La somme de la masse d’arbre du
moteur et de la masse du disque d’équilibrage est de
16,7 kg. La masse de l’installation est de 700 kg. Les
expérimentations ont été menées en utilisant des masses
additionnelles de 0,24 kg et 0,36 kg disposées à une distance de 0,12 m du centre du disque d’équilibrage.
Balancing Mechanical
disk 1 fix coupling
D.C. Motor
rotation à 8,87 Hz, masse d’équilibrage de 0.24 kg, et
puissance de charge génératrice à 0,6 kW).
vibrations, m
0,68·10
-3
Balancing
disk 2
D.C. Generator
-3
-1,02·10
Control desk
~
~
0
Gear
box
M
3,55
time, s
Figure 2. Exemple de série temporelle des vibrations
horizontales.
M
R*
1
2
Coupling
mechanism
~
Generator’s
excitation
winding
IN F O R M A T IO N
IN P U T
A D A PT E R
IB M P C A T
internal bus
1 - rotational speed sensor,
2 - vibration sensors (horizontal and vertical).
Moteur cc : 6kW, 1500 tr.mn-1;
Générateur cc: 6kW, 3000 tr.mn-1.
Figure 1. Schéma structurel de l’installation
Les informations provenant des capteurs de vibration
(accéléromètres placés sur la structure du moteur), du
capteur de vitesse de rotation du moteur (codeur incrémental) et des enroulements d’exitation et d’induit du
moteur te de la génératrice (mesures d'intensité et de
tension) sont échantillonnées et enregistrés sur un PC.
La démarche expérimentale était la suivante : le processus de démarrage (respectivement d’arrêt) du moteur
avec des masses sur le disque d’équilibarge a été étudié.
La tension d’alimentation des enroulements d’induit du
moteur a été variée suivant des valeurs discrètes (variations quasi statiques) dans une plage allant de 30 V à 230
V, par pallier de 5 V. Dans ce cas, les séries de données
ont été échantillonnées des modes quasi stationnaires
correspondant à des tensions particulières de l’induit du
rotor (vitesses de rotation particulières de l’arbre).
Remarquons qu’aucune différence significative n’a été
révélée entre les vibrations suivant les axes horizontal et
vertical dan le plan transversal du moteur, au cours de
l’expérience. C’est pourquoi seules les vibrations horizontales seront considérées dans ce qui suit.
Une série de mesures typiques des vibrations horizontales du moteur est représentée sur la figure 2 (vitesse de
On peut distinguer aisément sur la figure 2 des composantes de basse fréquence et haute fréquence dans le
spectre des vibrations. Chacune de ces composantes est
induite pour différentes raisons que nous allons considérer séparément.
2.1
Composante Haute Fréquence des vibrations
En général, les spectres des composantes de haute fréquence sont constituées :
- de l’harmonique principale qui correspond à la fréquence de rotation fr de l’arbre du moteur, et d’autres
harmoniques élevées qui sont induites par des forces
élastiques non linéaires et autres colisions internes,
- des harmoniques d’odre ni (nifr) proportionnelles à la
fréquence de rotation de l’arbre, qui sont induites par les
colisions entre les dents des engrenages des réducteurs
de vitesse (ici, les ni correspondent au nombre de dents
des engrenages) et leurs harmoniques combinatoires,
- des bruits induits par l’environnement de l’installation.
Comme résultat des études spectrales des composantes
de haute fréquence dans les séries temporelles des différentes expériences, il a été révélé que l’énergie des vibrations est esssentiellement portée par les premières
harmoniques (fr, 2fr, etc), et c'est une caractéristique que
de trouver dans les spectres des composantes haute fréquence des harmoniques de rangs paires et impaires.
Cela signifie que la composante haute fréquence correspond à une source d'oscillations non symétriques.
La figure 3 montre des diagrammes d’intensité de vibration en fonction de la fréquence de rotation pour le premier harmonique fr (diagrammes 1 et 2), et pour le
deuxième harmonique 2fr (diagrammes 3 et 4). Les diagrammes 1 et 3 ont été obtenus pour une masse
d’équilibrage de 0,36 kg, et les diagrammes 2 et 4 ont été
tracés pour une masse d’équilibrage de 0,24 kg.
MOSIM'01 – du 25 au 27 avril 2001 – Troyes (France)
vibrations, m
10
Avec:
-3
1
10
c1
k
= 2ς 1ω 1 , 2 = ω 22 ,
m1
m2
k1
= ω12 ,
m1
c1
k
k
= 2ς 1ω1 ,
= b1 ,
= b2 .
m1
k1
k2
2
-4
3
4
F1 =f(x1)
10
c1
m, ε
-5
x1(t)
ϖt
m1
10
O1
-6
6
10
F=f(x1-x2)
100
frequency, Hz
x2(t)
Figure 3. Intensité de vibration en fonction de la fréquence de rotation. Diagrammes 1 : harmonique fr avec
une masse de 0,36 kg. Diagrammes 2 : harmonique fr
avec une masse de 0,24 kg. Diagrammes 3 : harmonique
2fr avec une masse de 0,36 kg. Diagrammes 4 : harmonique 2fr avec une masse de 0,24 kg.
On distigue facilement sur la figure 3, un pic de résonance spécifique autour des fréquences 10 Hz et 25 Hz
pour l’harmonique principale, et autour des fréquences
25 Hz et 50 Hz pour l’harmonique f = 2fr. L’apparition
de pics de résonance principale aux fréquences ≈10 Hz,
≈25 Hz peut être facilement expliquée du point de vue de
la mécanique classique linéaire [Tse et al., 1963; Babakov 1968]. Supposons que la structure de l’installation
ne vibre pas, alors le système considéré peut être représenté par le schéma équivalent, de la figure 4, avec des
paramètres condensés.
m2
F2 =f(x2)
En supposant linéaire tout couplage élastique, tel que
F1=k1x1, F2=k2x2, F=k(x1-x2), on déduit le modèle mathématique correspondant au schéma de la figure 4 sous
la forme [Tse et al., 1963] :




2
2
= −2ς1ω1 ⋅ y1 − (1 + b1 )ω1 ⋅ x1 + b1ω1 ⋅ x2 


m
εϖ 2 ⋅ sin(ϖt )
+

m1



= −2ς 2ω 2 ⋅ y2 − (1 + b2 )ω 22 ⋅ x2 + b2ω 22 ⋅ x1 

dx1
= y1,
dt
dy1
dt
dy2
dt
dx2
= y2
dt
(1)
O2
ε - radius of disbalance
a)
x1
b)
Dans la représentation de la figure 4, la masse m1 représente la somme des masses de l’arbre du moteur et celle
du disque (disk 1) d’équilibrage (voir figure 1), et la
masse m2 représente la la masse de l’arbre de la génératrice. Le couplage entre le moteur et la génératrice est
supposé non élastique. La masse d’équilibrage m placée
sur un rayon ε du disque 1 tournant à la witesse ϖ est
une source de vibration.
c2
misplacement of center of mass
Figure 4. Schéma équivalent de l’installation (a), et
schéma équivalent de l’arbre du moteur avec
l’équilibrage (b).
Les fréquences de résonance ω1 and ω2 des arbres peuvent être déterminées à partir des configurations et propriétés physiques des arbres, et ces fréquences correspondent approximativement aux valeurs ≈10Hz, ≈25Hz.
Les coefficients d’amortissement ζ1 et ζ2 ainsi que la
rigidité de leur couplage mutuel élastique peuvent être
estimés (ou plutôt ajustés) sur la base de données expérimentales.
Ce modèle mathématique est représenté par deux oscillateurs couplés [Haken, 1983]. Le modèle approxime
assez bien le pic de résonance, mais il n’est pas capable
de decrire les distortions de forme des signaux de vibration (apparition des composantes ultra-harmoniques) et
une résonance d’ultra-harmonique à la fréquence ≈50Hz
de rang impair 2fr. Dans les travaux de [Krukov, 1984] et
[Babakov 1968] l’apparition des résonances d’ultraharmoniques dans des systèmes similaires est décrite par
la présence du couplage non linéaire F(x) = k(x)+k(x)3
MOSIM'01 – du 25 au 27 avril 2001 – Troyes (France)
entre les éléments de ce système. Par ailleurs, [Krukov,
1984] indique que l'aspect de la résonance ultraharmonique pour l’harmonique de rang impair intervient
de façon ‘‘raide’’ uniquement pour les circuits oscillants
symétriques.
2.2
Composante Basse Fréquence des vibrations
La composante basse fréquence des vibrations est représentée par des oscillations apériodiques avec des fréquences fondamentales de l’ordre de ≈fr/20 (il s’écarte de
0,4 Hz à 1,1 Hz), avec une intensité approximativement
équivalente à l’intensité de la composante haute fréquence. L’étendu de mesure de fréquence (1Hz-10kHz )
des accéléromètres Bruel & Kjaer type 8325 utilisés
comme capteurs de vibration dans les expérimentations,
n’a pas permis de donner une estimation quatitative de la
composante basse fréquence des vibrations.
On peut supposer [Babakov 1968] que la raison principale d’apparition de composantes basse fréquence dans
le spectre des vibrations est une oscillation axiale distribuée le long de l’arbre du moteur. Le modèle de la figure
4 n’est donc pas suffisant pour estimer les paramètres
relatifs à ces oscillations.
3
CONCLUSIONS
Une recherche expérimentale sur les vibrations des machines tournantes avec masse d’équilibrage met en évidence dans le spectre des vibrations des composantes
basse et haute fréquence. Il a été mis en évidence que
l’apparition des composantes basse fréquence et haute
fréquence sont induites pour différentes raisons, et décrite par différents modèles mathématiques avec des
paramètres respectivement distribués et condensés. De
plus, il a été montré qu’il est indispensable d’affiner les
modèles bien connus des oscillateurs mécaniques couplés pour expliquer l’apparition d’une résonance ultraharmonique de rang impair dans le spectre des composantes haute fréquence des vibrations. Les investigations
futures sur cette plateforme visent à établir des modèles
mathématiques suffisement exacts pour élaborer un système fiable d’aide à la conception et au diagnostic précoce des EECS.
4
REFERENCES
Isermann R., B. Freyermuth. Fault detection, supervision, and safety for technical processes (SAFEPROCESS'91). Oxford [England] ; New York : Pergamon
Press, 1992.
Nayfeh A.H., A.M. Harb, C.-M. Chin, A.M.A. Hamdan
and L. Mili. Application of bifurcation theory to subsynchronous resonance in power systems. Int. J. Bifurcation and Chaos. Vol.8. No.1.157-172. 1998.
Ueda Y., Y. Ueda, H.B. Stewart, R.H. Abraham. Nonlinear resonance in basin of two coupled swing under
periodic forcing. Int. J. Bifurcation and Chaos.
Vol.8. No.6.1183-1197. 1998.
Kolokolov Yu.V., Koschinsky S.L. and Adjallah K.H.
The Mathematical Problems of Forecasting Adequacy of Emergency Situations in the Dynamics of the
Pulse Energy Conversion Systems when Using Bifurcation Approach. Proceedings from conference
“Mathematical problems for maintenance and reliability (MMR’2000)”, France, Bordeaux, 4-7 July
2000. – pp. 603-606.
Tse F.S., I.E. Morse, R.T. Hinkle. Mechanical vibrations. Allyn and Bacon Inc., Boston, 1963.
Babakov I.M.. The theory of oscillation. Moscow, Nauka, 1968. (in Russian).
Haken H.. Advanced synergetic. Instability hierarchies
of self-organizing systems and devices. (Russian edition, Moscow, Mir, 1985 translated from SpringerVerlag, 1983).
Krukov B.I.. Forced oscillations in substantially nonlinear systems. Moscow, Mashinostroenie, 1984. (in
Russian).
Adjallah K. Contribution au diagnostic des systèmes par
observateur d'état. Thèse de doctorat de l'Institut
National Polytechnique de Lorraine, octobre 1993.
5
REMERCIEMENTS
Cet artricle est le résultat d’un travail de collaboration
entre l’Université Technique d’Etat d’Orel (Russie) et
l’Universite de technologie de Troyes (France), pour la
maintenance et la fiabilité des systèmes électromécaniques de conversion d’énergie. Ce travail a été supporté
financièrement par une subvention du Conseil Régional
de Champagne Ardenne (France).