Rédiger des programmes de construction de figures géométriques

Les pratiques langagières en 6 e – Un réseau, un projet
Rédiger des programmes de construction de figures
géométriques
Par Françoise Lebranchu, lettres et Catherine Saglio, mathématiques
Cet atelier visant à travailler la spécificité du langage mathématique a été mené par deux professeurs : un
professeur de mathématiques et un professeur de français. L’objectif était d’amener les élèves à prendre
conscience de la diversité des langages, en particulier le langage des mathématiques.
Le groupe est constitué de huit élèves de niveau assez faible.
DESCRIPTIF DES SÉANCES
Séance 1 : fiche 1
Les objectifs de l’atelier ont tout d’abord été présentés aux élèves.
Dans un second temps, la fiche 1 du travail à effectuer a été distribuée deux fois, les élèves devant les
coller face à face dans leur cahier. La fiche de gauche sert pour le travail de recherche des élèves, la fiche
de droite permet de noter la consigne rédigée collectivement et en accord avec tous les élèves.
Le premier travail est simple, il s’agit de vérifier les acquis des élèves concernant le langage mathématique.
Ils doivent rédiger la consigne permettant de passer d’un état à l’autre d’une figure.
Les élèves ont rédigé quatre consignes très simples dans un premier temps. Chaque consigne proposée
par les élèves a été écrite au tableau par un professeur. Chacune d’entre elles a donné lieu à une
discussion entre les élèves eux-mêmes et les professeurs.
Ils ont procédé par élimination expliquant à chaque fois les raisons pour lesquelles ils n’étaient pas
d’accord avec telles ou telles propositions.
La discussion était très riche car certains élèves avaient fait des phrases très longues, d’autres courtes ;
certaines étaient rédigées au présent, d’autres à l’impératif, à l’infinitif… Certains avaient utilisé l’article
« un », les autres l’article « le ».
Chaque élève écoutait les autres, le professeur de mathématiques est intervenu pour mettre au point la
spécificité des codes mathématiques, le professeur de français a insisté sur les différentes manières de
formuler une injonction, l’utilisation des différents modes, sur la différence entre les articles… Tous les
élèves du collège suivent une progression commune en français et en mathématiques, il est donc facile
pour les enseignants de faire appel aux connaissances de ces derniers qui viennent de classes différentes.
En français, les notions de phrase injonctive et d’articles avaient été revues peu de temps auparavant.
Les élèves ont participé de manière active à la correction des deux premières consignes et ont fait les deux
suivantes avec plus de facilité en tenant compte des conseils donnés auparavant.
La séance s’est terminée par une synthèse élaborée par les élèves qui consistait à résumer ce qu’il faut
faire pour rédiger une consigne en mathématiques.
Dans un premier temps, chaque élève a rédigé sa propre synthèse et dans un second temps, les élèves et
les professeurs ont fabriqué une synthèse collective à partir des premiers jets des élèves. Ils sont arrivés à
la conclusion suivante.
Pour rédiger une consigne en mathématiques :
– la phrase doit être courte et simple ;
– le verbe doit être de préférence à l’infinitif ;
– il faut utiliser correctement le langage mathématique () [..] ;
– les articles doivent être bien choisis (un, le…).
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Fiche 1
Dans chacun des cas suivants, écrire une consigne permettant de passer de l’image de gauche à l’image
de droite.
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Exemple
Case de gauche vide, case de droite un point A est placé : il s’agit de rédiger la consigne « Placer un point
A ».
Case de gauche : 2 points A et B, case de droite : segment [AB] tracé.
Séance 2 : suite de la fiche 1
Les élèves ont commencé par rappeler le contenu de la synthèse écrite lors de la séance précédente. Ils
ont ensuite continué à rédiger les consignes des quatre figures suivantes.
Les élèves, cette fois-ci, ont bien compris la nécessité d’aller à l’essentiel, d’utiliser le mode infinitif mais ont
encore des problèmes avec la spécificité du langage mathématique.
Les quatre figures suivantes (5 à 8) concernaient des points non alignés et des triangles. Une assez longue
partie de la séance a porté sur l’utilisation de la virgule en français et en mathématiques. À l’aide
d’exemples précis et de nombreux parallèles, nous avons réfléchi sur la différence entre ABC- A, B, C- A, B
et C (figure 7 par exemple).
Sur la figure 5, trois points non alignés étaient placés. Les élèves ont toujours envie de préciser qu’il faut
placer « trois points de forme triangulaire ».
La discussion est revenue pour les figures 6 et 7 sur l’utilisation des déterminants « le » ou « un ».
De manière générale, à la fin de la séance, les enseignants ont eu l’impression que les élèves, même les
plus réservés et en difficulté avaient compris.
Séance 3 : fiche 2
La fiche est conçue de la même manière que la fiche 1 mais elle aborde des notions différentes : les droites
sécantes, perpendiculaires, parallèles et le cercle.
Les élèves ont plus de mal à se mettre au travail que lors de la séance précédente : une séance d’atelier a
été supprimée en raison d’une sortie scolaire et les notions abordées semblaient légèrement plus difficiles.
Pour la figure 9, il a fallu revoir la notion de codage des droites et des segments ( ), [ ] ainsi que la notion de
« milieu » et de « centre » qui n’est pas claire dans l’esprit des élèves.
Pour les figures suivantes, avant de passer à la rédaction des consignes, le professeur de mathématiques
a demandé aux élèves d’exprimer oralement les différences entre la case de gauche et la case de droite.
Pour la figure 10, la seule différence était l’apparition d’une lettre I à l’intersection des deux droites. La
discussion a longuement porté sur le choix du verbe « Placer » ou « Nommer ». De nouveaux mots sont
apparus « droites sécantes », « point d’intersection », les droites « se coupent » ou « se croisent ».
Le problème du déterminant « un » ou « le » est récurrent.
Pour les figures 11 et 11 bis, apparition de nouveaux codages : parallèle // et perpendiculaire 0.
Une droite supplémentaire passant par un point K et perpendiculaire à celle qui était donnée dans la case
de gauche devait apparaître. Certains élèves ont eu des difficultés pour nommer cette nouvelle droite et ne
parvenaient pas à comprendre qu’il fallait deux points pour nommer une droite et pas un seul point.
La figure 12 aborde la notion de « parallèles ». Cette fois-ci, les élèves n’ont pas eu de difficultés
particulières.
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Fiche 2
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Séance 4
Dans un premier temps, les élèves ont fini les exercices proposés sur la fiche 2.
Pour la figure 13, la discussion a eu lieu autour de la notion de « centre » et de « milieu ». Il a fallu redéfinir
la notion de « milieu » qui concerne un segment et la notion de « centre » qui concerne le cercle.
Les élèves avaient encore des difficultés pour choisir le déterminant « le » ou « un ».
Le professeur de mathématiques attendait la notion de « rayon » mais les élèves ont eu des difficultés pour
la trouver.
La figure 14 a ramené la discussion sur les mots « centre » et « milieu ». Cette fois-ci, la notion de
« diamètre » était attendue.
Les fiches 1 et 2 terminées, les élèves sont passés à un stade de difficulté supérieure dans la mesure où
ces deux dernières fiches avaient pour objectif de mettre en place des notions et de faire émerger un
certain nombre de difficultés croissantes au fil des figures. Les élèves, à l’issue de ce premier travail, ont
acquis différentes capacités : aller à l’essentiel, utiliser le langage mathématique et respecter les étapes
dans la chronologie des constructions géométriques.
Dans le second temps de la séance, les élèves devaient réaliser le programme de construction d’une figure
plus complexe que celles des fiches 1 et 2 nécessitant le réinvestissement de tout ce qui avait été appris
lors des séances précédentes.
Il s’agissait de décrire dans un triangle ABC la droite perpendiculaire à [BC] passant par A (fiche 3).
Le problème posé par cette figure est la droite perpendiculaire qui traverse le triangle.
Les élèves savent qu’ils ont trois choses à signaler dans leur programme :
le point T ;
la présence d’une droite ;
et la présence d’un angle droit.
Les élèves dans leur grande majorité placent le point T avant d’évoquer la droite sans préciser qu’il faut
passer par le point A et sans évoquer l’angle droit.
Pour montrer aux élèves les problèmes posés par leur programme, un des deux professeurs réalise au
tableau ce que lui dicte chacun des élèves. Très vite, ils comprennent qu’en ne respectant pas la
chronologie de la construction, on peut arriver à une construction très différente de celle attendue par le
professeur de mathématiques.
Chaque élève doit comprendre l’importance de la chronologie des étapes et l’utilité de bien utiliser le
langage mathématique.
Les élèves après une discussion collective sont arrivés à la bonne solution.
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Dans le troisième temps de la séance, les professeurs ont distribué deux figures géométriques différentes
(fiche 4).
Le groupe 1 (composé de quatre élèves) était chargé de rédiger le programme de construction du triangle
ABC (figure A). Chaque élève produisait individuellement.
Le groupe 2 (composé de quatre élèves) était chargé de rédiger le programme de construction du triangle
QTP (figure B). Même principe que pour l’autre groupe, chaque élève travaille individuellement.
Lorsque chaque élève a produit son programme, il le recopie sur une feuille et le donne à un élève du
groupe opposé (fiche 5).
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Fiche 3
a) Compléter les étapes 2 et 3 qui permettent de passer de l’étape 1 à l’étape finale.
Étape 1
B
A
Étape 3
Étape 2
B
B
A
A
Étape finale
B
A
T
C
C
C
C
b) Compléter le programme de construction ci-dessous permettant d’obtenir la figure de l’étape finale à partir de la figure de l’étape 1.
1. Soit le triangle ABC.
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
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Fiche 4, figure A
a) Compléter les étapes 2, 3 et 4 qui permettent de passer de l’étape 1 à l’étape finale.
etape 1
Etape 1
etape 2
A
Étape 3
AA
Étape 4
A
Étape finale
A
A
D
C
B
BB
CC
B
C
B
C
B
E
C
b) Compléter le programme de construction ci-dessous permettant d’obtenir la figure de l’étape finale à partir de la figure de l’étape 1.
1. Soit le triangle ABC.
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
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Fiche 4 figure B
a) Compléter les étapes 2, 3 et 4 qui permettent de passer de l’étape 1 à l’étape finale.
Étape 2
Étape 1
Etape 1
Étape 4
Étape 3
Q
Q
Étape finale
Q
Q
Q
K
T
T
P
T
P
T
P
T
P
D
(KD) // (TP)
P
b) Compléter le programme de construction ci-dessous permettant d’obtenir la figure de l’étape finale à partir de la figure de l’étape 1.
1. Soit le triangle TQP.
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
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Fiche 5
Programme de construction réalisé par ……………………….
Réalisation du programme de
……………………………………………………………………...
…………
construction par
1 ) Soit le triangle ABC.
…………………………………………
…………………………….…………...
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………..
Programme de construction réalisé par ……………………….
Réalisation du programme de
………………………………………………………………………
…………
construction par
1 ) Soit le triangle TQP.
…………………………….…………...
…………………………………………
………………………………………………………………………
Q
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
T
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
P
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Séance 5
N’ayant pas eu le temps d’échanger les programmes lors de la séance précédente, le travail est repris où il
s’était arrêté. Les élèves échangent donc leur programme et essaient de tracer la figure dont ils ont le
programme sous les yeux. Il s’avère que le travail n’est pas facile à réaliser et ils s’aperçoivent très vite
qu’ils ne sont pas assez rigoureux (ils ont oublié des éléments de la figure), que certains n’ont pas respecté
la chronologie des étapes, ont confondu la notion de droite « perpendiculaire » et de droite « parallèle »,
etc.
La correction de chaque figure est faite collectivement au tableau. La discussion est vive entre les élèves
qui ne sont pas d’accord entre eux. Des problèmes d’expression ont à nouveau fait surface dans la
rédaction des consignes.
Le deuxième temps de la séance a été consacré à une évaluation bilan : six figures travaillées dans les
fiches 1 et 2 du début de l’atelier ont été redonnées aux élèves pour qu’ils réécrivent à nouveau les
programmes de construction (fiche 6).
Le bilan est mitigé, les élèves ont certes progressé à l’écrit mais il reste des difficultés. Aucun élève n’a
réussi à construire les six programmes sans erreur. Les problèmes restent les mêmes : problème de
l’utilisation du langage mathématique (les élèves utilisent le verbe « se croiser » à la place de « se couper »
« milieu » à la place de « centre »), certains confondent la notion de « perpendiculaire » et « parallèle », le
choix du déterminant « le » ou « un » reste aléatoire même si une discussion importante a eu lieu avec le
professeur de français qui a vraiment insisté sur l’importance du choix des mots.
Un point positif toutefois, les élèves ont compris qu’il fallait aller à l’essentiel : les phrases étaient courtes,
comportaient toutes des symboles mathématiques et les verbes étaient bien au mode infinitif comme il avait
été décidé collectivement en début d’atelier.
Les professeurs étaient un peu déçus à la fin de l’atelier car ils avaient eu l’impression que les élèves
avaient véritablement progressé dans leur réflexion et leur analyse à l’oral et malgré cela les résultats écrits
n’ont pas donné entière satisfaction. Le professeur de mathématiques préconise de donner du travail à la
maison : quelques exercices d’entraînement et quelques formulations propres aux mathématiques à
apprendre par cœur. L’atelier n’a comporté que cinq séances, ce qui est trop court pour que des élèves
ayant des difficultés fassent des progrès significatifs à l’écrit.
Fiche 7, des exercices complémentaires travaillés avec un groupe d’un niveau supérieur ayant bénéficié
d’une séance supplémentaire.
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Fiche 6
Nom et prénom : …......…......…......…......…......…......…......…......…......…......…......…......…......…......
Évaluation : atelier géométrie
Dans chacun des cas suivants, écrire une consigne permettant de passer de l’image de gauche à l’image
de droite.
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Fiche 7
Exercice
Pour chacune des figures ci-dessous, compléter le programme de construction.
Figure 1
Figure 2
K
Figure 3
C
A
Q
C1
M
A
C
P
H
M
A
P
L
Programme de construction
1) Soit le triangle KLM.
K
C2
(AC) // (KP)
Programme de construction
1) Soient deux points A et M.
Programme de construction
1) Soit le triangle ACP.
Exercice
Compléter le programme de construction pour
obtenir la figure ci-dessous :
d
H
Exercice
Compléter le programme de construction pour obtenir
la figure ci-dessous :
d // (HT)
d
C
B
T
C
T
H
d // (HT)
B
Programme de construction :
1) Tracer un triangle BHT.
Programme de construction :
1) Tracer un triangle BHT.
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Exercice
Compléter le programme de construction
pour obtenir la figure ci-dessous :
Exercice
Compléter le programme de construction
pour obtenir la figure ci-dessous :
C
D
E
J
A
H
P
P
F
k
(DF)// (EP)
(AC) //(KP)
Programme de construction :
1 ) Soit le triangle DEF
Programme de construction :
1 ) Soit le triangle ACP
Exercice
Écrire un programme de construction
correspondant à la figure ci-dessous :
Exercice
Écrire un programme de construction
correspondant à la figure ci-dessous :
C
L
E
P
P
T
S
K
N
R
T
O
H
(PC)// (TE)
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