Théorème de Pythagore Exercices corrigés

Théorème de Pythagore
Exercices corrigés
Sont abordés dans cette fiche :







Exercice 1 : calcul de la longueur de l’hypoténuse
Exercice 2 : calcul de la longueur d’un côté adjacent à l’angle droit
Exercice 3 : calcul de longueurs dans un triangle quelconque muni d’une hauteur
Exercice 4 : mesure de la diagonale d’un carré de côté
Exercice 5 : aire et périmètre d’un quadrilatère
Exercice 6 : cercle circonscrit à un triangle, aire d’un disque et périmètre d’un cercle
Exercice 7 : tangente à un cercle
Rappel : Hypoténuse dans un triangle
Dans un triangle rectangle, L'HYPOTÉNUSE est le côté non adjacent
à l'angle droit, c’est-à-dire le côté opposé à l'angle droit. Il s’agit en fait
du côté le plus long de ce triangle.
Hypoténuse
Angle droit
Rappel : Théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle, alors, d’après le THÉORÈME DE PYTHAGORE, le carré de la longueur de
l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Autrement dit, d’après le théorème de Pythagore, on a l’égalité suivante :
𝐵
𝐴
Hypoténuse
𝐴
𝐶
𝐵
𝐴
Hypoténuse
𝐶
𝐶
Hypoténuse
𝐵
Le triangle
est rectangle en
Le triangle
est rectangle en
Le triangle
est rectangle en
donc, d’après le théorème de donc, d’après le théorème de donc, d’après le théorème de
Pythagore :
Pythagore :
Pythagore :
A quoi sert le théorème de Pythagore ?

à calculer une longueur
Attention ! Le théorème de
Pythagore ne s’applique que dans
un triangle rectangle.
Théorème de Pythagore – Exercices corrigés
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1
Exercice 1 (1 question)
Niveau : facile
𝑂
Soit un triangle
.
Calculer
rectangle en , tel que
et
.
𝑈
𝐼
Correction de l’exercice 1
Analysons tout d’abord la figure et récapitulons les
informations fournies par l’énoncé.




𝑂
Hypoténuse
Le codage de la figure montre clairement que l’angle
̂ est un angle droit, donc que le triangle
est
rectangle en .
L’énoncé indique également que le triangle
est
𝑈
rectangle en .
Par ailleurs, on connaît deux longueurs, celles des côtés
et
de l’angle droit.
L’hypoténuse du triangle est le segment
: ce côté est en effet opposé à l’angle droit.
𝐼
Remarques importantes à prendre en compte dans tout exercice de géométrie :


Dans cet exercice, l’unité de longueur est commune à tous les segments puisqu’il s’agit du millimètre. Il
ne faut jamais oublier d’exprimer chacune des mesures dans la même unité afin de ne pas fausser les
calculs.
Ne pas confondre les écritures
et
. En effet,
désigne un segment alors que
désigne
une distance.
Proposons désormais une correction détaillée de l’exercice, étape par étape.

1ère étape : On repère ce qu’on pourrait appeler « la configuration de Pythagore ».
D’après l’énoncé, le triangle

est rectangle en et a donc pour hypoténuse le côté
.
2ème étape : On précise le théorème auquel on va faire appel.
Donc, d’après le théorème de Pythagore, on a l’égalité suivante :

3ème étape : On applique le théorème de Pythagore en prenant le soin de bien écrire l’égalité.
⏟
⏟
⏟
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2

4ème étape : On remplace les longueurs connues par leurs mesures respectives, exprimées dans la
même unité.

5ème étape : On résout l’équation.
Pour tous nombres
positifs 𝐴 et 𝐵,
√𝐴
𝐵
√𝐴
√𝐵
Par conséquent, on a :
√

√
√
√
𝑂𝑈 désigne une longueur, donc elle
est positive. On cherche donc le
nombre positif qui, élevé au carré,
donne
. Ce nombre s’appelle la
RACINE CARRÉE de
et se
√
6ème étape : On conclut.
La longueur de l’hypoténuse
, notée
, est égale à
.
note √
.
Remarque : Il faut toujours veiller à écrire le résultat exact, sauf si l’énoncé invite à donner une valeur
approchée, sans oublier d’indiquer l’unité (s’il y a une unité !).
Proposons désormais une correction pouvant être notée sur la copie.
D’après l’énoncé et d’après le codage de la figure, le triangle
l’hypoténuse du triangle.
est rectangle en . Le côté
désigne donc
Donc, d’après le théorème de Pythagore, on a l’égalité suivante :
D’où, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures respectives, exprimées dans la même unité :
Par conséquent, on a :
√
⏟
Par conséquent, dans le triangle
rectangle en , l’hypoténuse
mesure
.
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Exercice 2 (1 question)
Soit la figure
Niveau : facile
ci-contre.
Donner la valeur exacte de
millimètre près.
𝑁
et une valeur approchée de
au
𝑐𝑚
𝑈
𝑚𝑚
𝐿
Correction de l’exercice 2
Commençons par exprimer les longueurs dans la même unité (par
exemple en millimètres, notamment afin d’obtenir des nombres
entiers naturels et donc afin de faciliter par la suite les calculs).
Hypoténuse
𝑁


𝑚𝑚
D’après la figure, le triangle
est rectangle en .
𝑈
Donc, d’après le théorème de Pythagore, on a l’égalité suivante :
𝑚𝑚
C’est-à-dire, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures
respectives :
𝐿
D’où :
afin de n’avoir que
(on soustrait dans chaque membre
membre à droite du signe
(car
dans le
)
)
Si 𝐴 ≥
√𝐴
𝐵
et 𝐵 ≥
√𝐴
√𝐵
Il en résulte que :
√
√
⏟
√
√
√
⏟ √
√
√
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4
√
En conclusion,
√
√
√
√
(valeur exacte).
Avec la calculatrice, en tapant √ , on obtient
arrondie au millimètre près par défaut).
Remarque : On peut également écrire
. Ainsi,
(valeur approchée arrondie au millimètre près par défaut).
Exercice 3 (2 questions)
Sur la figure ci-contre,
triangle
.
(valeur approchée
Niveau : moyen
représente une hauteur du
𝑂
Calculer
et en déduire une valeur approchée au
millimètre près de la longueur du segment
.
𝑐𝑚
𝐶
𝐻
𝑐𝑚
𝑈
𝑐𝑚
Correction de l’exercice 3
Rappel : Hauteur dans un triangle
Une HAUTEUR est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. Dans un
triangle non aplati, il existe donc 3 hauteurs, concourantes en un point unique appelé ORTHOCENTRE du
triangle.
Sur la figure proposée,
représente
une
hauteur du triangle
.
Autrement dit, la droite
est perpendiculaire
à
, ce qui signifie que
les triangles
et
sont tous les deux des
triangles rectangles en .
𝑂
Sommet du
triangle
𝑐𝑚
𝐶
Pied de la
hauteur
𝐻
𝑐𝑚
𝑈
𝑐𝑚
Côté opposé
au sommet
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1- Commençons par calculer
.
𝑂
Nous venons de montrer que le triangle
est
rectangle en donc, d’après le théorème de Pythagore,
on a l’égalité suivante :
En remplaçant les longueurs connues par leurs mesures
respectives, on obtient :
𝑐𝑚
𝐶
𝐻
𝑈
𝑐𝑚
𝑐𝑚
D’où :
𝐻𝑂
𝐻𝑂
√
Il s’ensuit que :
Le segment
mesure
2- Calculons désormais
𝐻𝑂
√
√
𝐻𝑂
.
.
𝑂
Nous avons montré que, comme
représente une
hauteur du triangle
,
est rectangle en .
𝑐𝑚
Comme le triangle
est rectangle en , d’après le
théorème de Pythagore, l’égalité suivante est vérifiée :
𝐶
En remplaçant les longueurs connues par leurs
mesures respectives, on obtient :
𝑐𝑚
𝐻
𝑐𝑚
𝑈
𝑐𝑚
Par conséquent,
√
√
mesure √
√
√
√
(valeur exacte), soit
√
√
(valeur arrondie au millimètre près par excès).
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Exercice 4 (2 questions)
Niveau : moyen
Soit un carré de côté .
1- Calculer, en fonction de , la longueur de ses diagonales.
2- D’après la question précédente, combien mesure alors la diagonale d’un carré d’aire
?
Correction de l’exercice 4
1- La figure ci-contre représente un carré
de côté .
𝑎
𝐴
est un carré dont les diagonales sont donc
deux de même longueur.
et
, toutes
𝑎
Un carré est un quadrilatère possédant 4 angles droits et des côtés de
même mesure.
On a donc en particulier :

est un triangle rectangle en

est un triangle rectangle en
𝐵
𝑎
𝐷
𝐶
𝑎
donc, d’après le théorème de Pythagore, on a l’égalité suivante :
D’où :
√
√
√
√
√
√
En conclusion, dans un carré de côté , les diagonales mesurent √ .
2- Déterminons la mesure de la diagonale d’un carré d’aire
Soit
Ici,
l’aire d’un carré de côté . Alors,
donc
Un carré d’aire
. Ainsi,
.
.
√
√
√
a pour côtés des segments mesurant
D’après la question 1-, si un carré a pour côté
ici,
, les diagonales du carré mesurent √
Rappel : Périmètre et aire d’un
carré de côté 𝒄
.


𝑃 𝑟𝑖𝑚 𝑡𝑟𝑒
𝐴𝑖𝑟𝑒 𝑐 𝑐
𝑐
𝑐
.
, alors ses diagonales mesurent √
.
. Comme
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Exercice 5 (1 question)
Niveau : moyen
On considère la figure ci-contre.
Les triangles
et
sont respectivement rectangles en
Calculer l’aire et le périmètre du quadrilatère
𝐵
et en .
𝑐𝑚
.
𝐴
𝑐𝑚
𝐶
𝑐𝑚
𝐷
Correction de l’exercice 5
Commençons par déterminer la mesure de chacun des segments qui composent le quadrilatère
D’après l’énoncé, le triangle
est rectangle en
théorème de Pythagore, on a l’égalité suivante :
donc, d’après le
.
𝐵
𝑐𝑚
D’où, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures
respectives :
𝐴
𝑐𝑚
𝐶
𝑐𝑚
C’est-à-dire :
𝐷
Par conséquent :
√
√
mesure donc
.
D’après l’énoncé, le triangle
suivante :
est rectangle en
donc, d’après le théorème de Pythagore, on a l’égalité
D’où, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures respectives :
C’est-à-dire :
Par conséquent :
√
√
mesure donc
.
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Rappel : Périmètre d’un quadrilatère quelconque
Le périmètre d'un quadrilatère, quel qu’il soit, est égal à la somme de la mesure de ses 4 côtés. Ainsi, si
est un quadrilatère, le périmètre
du quadrilatère
est donné par la formule :
Dès lors, il est possible de calculer le périmètre
du quadrilatère
Le périmètre du quadrilatère
.
est égal à
.
Rappel : Aire d’un quadrilatère quelconque et d’un triangle

Pour calculer l’aire d’un quadrilatère quelconque, c’est-à-dire l’aire d’un polygone à 4 côtés non
particulier, il convient de décomposer son aire en aires de polygones particuliers (comme des carrés,
des rectangles, des losanges, des trapèzes, des parallélogrammes ou des triangles). L’aire du
quadrilatère quelconque est alors égale à la somme des différentes aires qui le composent.

L’aire
d’un triangle est donnée par la formule :
hauteur
base
L’aire d’un triangle rectangle est donnée par le produit des
longueurs des côtés de l’angle droit, que divise 2.
Calculons enfin l’aire
L’aire
du quadrilatère
se compose de l’aire
du triangle
.
du quadrilatère
du triangle
et de l’aire
Autrement dit, l’aire
et
.
𝐵
.
𝐴
𝐶
est égale à la somme des aires
𝐷
C’est-à-dire :
L’aire du quadrilatère
est égale à
.
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Exercice 6 (1 question)
Niveau : moyen
est un point du cercle de diamètre
et
.
tel que
𝑈
1- Calculer la mesure du diamètre
du cercle cicontre.
2- En déduire le périmètre du cercle et l’aire du disque de
diamètre
.
𝐵
𝐿
Correction de l’exercice 6
1- Calculons la mesure du diamètre
contre.
du cercle ci𝑈
est un point du cercle de diamètre
circonscrit au triangle
de diamètre
le triangle
est rectangle en .
donc le cercle est
. Par conséquent,
𝐵
𝐿
Donc, d’après le théorème de Pythagore, on a l’égalité
suivante :
D’où, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures
respectives :
Il en résulte que :
√
Le diamètre du cercle est égal à
.
2- Calculons le périmètre du cercle et l’aire du disque de diamètre
.
Rappel : Aire d’un disque et périmètre d’un cercle

Aire
d’un disque de rayon :

Aire
d’un disque de diamètre
:

Périmètre
d’un cercle de rayon :

Périmètre
d’un cercle de rayon
:
( )
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D’après la question précédente, le cercle a pour diamètre

Ainsi, en notant
⏟
le périmètre du cercle de diamètre
D’autre part, en notant
⏟
mesure
)
.
l’aire du disque de diamètre
, on a :
(on peut aussi écrire
L’aire du disque de diamètre
mesure
)
⏟
.
Exercice 7 (2 questions)
La droite
de rayon .
Niveau : facile
est tangente en au cercle de centre
est un point de
.
.
, on a :
⏟
(on peut également écrire
Le périmètre du cercle de diamètre

, c’est-à-dire pour rayon
et
𝑑
, tel que
𝐼
𝑀
et tel que
𝑂
1- Calculer le rayon du cercle.
2- En déduire, à l’unité près, le périmètre du
cercle et l’aire du disque de centre et de
rayon .
Correction de l’exercice 7
Rappel : Tangente à un cercle
Soit
un cercle de centre
La TANGENTE au cercle
et de rayon
en
un point de ce cercle.
est la droite
perpendiculaire à la droite
𝑑
1- Cherchons à préciser la mesure du rayon
du cercle de centre .
D’après l’énoncé, la droite
est tangente en au
cercle de centre et de rayon . Donc, par définition
de la tangente à un cercle en un point,
est
perpendiculaire à
. Autrement dit, le triangle
est rectangle en .
passant par .
𝐼
𝑀
𝑂
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Ainsi, d’après le théorème de Pythagore, on a l’égalité suivante :
D’où, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures respectives :
D’où :
Par conséquent,
√
En conclusion, le rayon du cercle est égal à
.
2- Dès lors, précisons, à l’unité près, le périmètre du cercle et l’aire du disque de centre
.

En notant
et de rayon
le périmètre du cercle, on a :
(arrondi à l’unité près par excès)
Le périmètre du cercle mesure environ

D’autre part, en notant
L’aire du disque mesure environ
.
l’aire du disque, on a :
.
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