Télécommande universelle

Aula 04
3.4 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA
A derivada de uma função num ponto x 0 é a declividade dessa função
nesse ponto. Sabe-se porém, que a declividade a de uma reta é a tangente do
ângulo θ que a reta forma com o sentido posit
ivo do eixo X, ou ainda, que é a
taxa de variação da distância vertical relativa à variação da distância horizontal.
y 2 − y1 ∆y
.
=
x 2 − x1 ∆x
Então: a = tgθ =
A diferença ∆x = x − x 0 é chamada acréscimo ou incremento da variável
x relativa a x0
e
diferença ∆y = f ( x) − f ( x 0 ) acréscimo ou incremento da
a
função f relativa a x0. O quociente
∆y f ( x) − f ( x 0 )
=
recebe o nome de taxa
∆x
x − x0
média de variação ou razão incremental de f relativa a x0.
f
s
f ( x 0 + h)
f
Q
t
f ( x0 )
P
f ( x0 )
P
θ
x0
x0
x0 + h
Considerando os gráficos citados, podemos notar que, fazendo o ponto
Q se aproximar do ponto P ,isto é , fazendo h tender a zero , observamos que a
reta s, secante
ao
gráfico, vai mudando o seu coeficiente angular, se
aproximando de sua posição limite, ou seja ,
aproximando-se da reta t,
tangente ao gráfico, cujo coeficiente angular é dado por : tg θ =
y − yo
∆y
=
.
x − xo
∆x
Dessa forma podemos dizer que a derivada de uma função f no ponto x 0
é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa
x 0 .Para obtenção dessa reta tangente , fazemos o uso da fórmula da
Geometria Analítica:
y - y 0 = a ( x - x 0 ) , onde a = f’( x 0 ) =
∆y
e P(x 0 ; y 0 ).
∆x
Questão 1. Achar a equação da reta tangente à curva f( x) = x² - 6x + 5 , no
ponto de abscissa.
x 0 = 2.
Solução:
x 0 = 2 ⇒ y 0 = - 3 e P( 2 , - 3 )
f’( x ) = 2 x – 6 ⇒ a = f’( 2 ) = 2(2) - 6 ∴ a = -2 e a equação da reta será:
y + 3 = - 2 (x – 2 ) ∴ y = -2 x + 1
Questão 2. Achar a equação da reta tangente à curva y = x³ - 2 x² + 4 , no
ponto de abscissa
x 0 = - 1.
Solução:
x 0 = - 1 ⇒ y 0 = 1 e P(- 1 , 1)
f’( x ) = 3x² - 4x ⇒ f’( - 1) = 7 ∴ a = 7.
Equação da reta: y – 1 = 7 ( x + 1) ∴ y = 7 x + 8
3.4.1 Variação de uma função
Crescimento e decrescimento de uma função
Teorema: Dada a função a função f , derivável em ]a , b[, então:
Se f’(x)>0 para todo x ∈ ]a, b[, então f é crescente em ]a, b[.
Se f’(x)<0 para todo x ∈ ]a, b[, então f é decrescente em ]a, b[.
Desta forma para se estudar a variação de uma função, procedemos da seguinte
maneira:
1. Derivamos a função.
2. Verificamos o sinal da derivada.
3. Fazemos então a variação.
3.4.2 Estudar a variação da função
f ( x) = x 3 − 12 x
.
1. Derivada: f(x) = x 3 − 12 x ⇒ f ' ( x) = 3 x 2 − 12
2. Sinal da derivada
x = 2
f’(x) = 0 ⇒ 3x 2 − 12 = 0 
 x = −2
++++↓ −−− ↓++++
−2
2
f ' ( x) > 0 → x < −2 ou x > 2 e
f ' ( x) < 0 ⇒ −2 < x < 2
3. Variação:
]
[]
[
f é crescente nos intervalos: − 00,− 2 e 2 ,+00
f é decrescente no intervalo: ]− 2,2[
3.4.3 Máximos e mínimos relativos
Teorema
Se f é uma função derivável em um intervalo ]a , b[ tal que f’(x0) = 0, então:
Se f” (x0) > 0, então x0 é abscissa de ponto de mínimo relativo.
Se f” (x0) < 0, então x0 é abscissa de ponto de máximo relativo.
Exemplo:
Determine os pontos de máximo e mínimo relativo, se existir, da função
f ( x) =
1 3
x − 2 x 2 + 3x + 1
3
Solução:
1 3
x − 2 x 2 + 3x + 1
3
f ' ( x) = x 2 − 4 x + 3
f " ( x) = 2 x − 4
f ( x) =
x1 = 1
f ' ( x ) = 0 ⇒ x − 4 x + 3 = 0
 x" = 3
É ponto de máximo relativo.
f " (1) = 2.1 − 4 = −2 < 0
É ponto de mínimo relativo.
f " (3) = 2.3 − 4 = 2 > 0
2
Desta forma podemos dizer que x = 1 é abscissa de ponto máximo e x
= 3 de ponto mínimo
3.4.4 Concavidade – ponto de inflexão
Teorema
Se f”(x)>0 para todo x ∈ ]a, b[, então f tem concavidade voltada para cima
(c.v.c.) em ]a, b[.
Se f”(x)<0 para todo x ∈ ]a, b[, então f tem concavidade voltada para baixo
(c.v.c.) em ]a, b[.
Se f”(x) tem sinais distintos nos intervalos ]a, c[ e ]c, b[ e se f é contínua em c,
então c é um ponto de inflexão (P.I) da função f.
Exemplo:
Estudar
a
concavidade
e
ao
ponto
de
x3 5 2
y=
− x − 14 x + 10
3 2
da
função
−−−−↓++++
5
2
Solução
f ' ( x) = x 2 − 5 x − 14
f " ( x) = 2 x − 5
f " ( x) = 0 ⇒ 2 x − 5 = 0 → x =
inflexão,
5
2
Para x>5/2
C.V.B em ]-00, 5/2[
C.V.B em ]5/2, +00[
P.I em x = 5/2
Para x<5/2
5
⇒ f " ( x) > 0 → f é côncava para cima
2
5
Para x < ⇒ f " ( x ) < 0 → f é côncava para baixo
2
5
Desta forma x = é abscissa de ponto de inf lexão
2
Para x >
3.4.5 Representação gráfica das funções utilizando derivadas
Para representar graficamente uma função sugerimos que sejam seguidos os
tópicos, a saber:
1. Domínio da função
2. Interseção com os eixos
3. Comportamento no infinito
4. Derivada
4.1. Sinal da derivada(crescimento e decrescimento)
4.2. Pontos de máximo ou mínimo
5. Segunda derivada(ponto de inflexão)
6. Esboço gráfico
.
Exemplo:
Construir o gráfico de f ( x) = x 3 − 3x + 4
1)
Domínio D f =
2)
Interseção com os eixos:
R
Para x = 0 x = 0 → y = 4 A(0 , 4)
3) Comportamento no infinito:
quando x → + ∞ ⇒ y → +∞
quando x → −∞ ⇒ y → −∞
4. Derivada
f’(x) = 3x2 – 3
5. Sinal da derivada
 x 1 = −1
f ( x ) = 0 ⇒ 3 x 2 − 3 = 0
 x" = 1
5.1. Crescimento e decrescimento
para y’ > 0 ⇒ x < −1 ou x > 1 a função é crescente
para y’ < 0 ⇒ −1 < x < 1 a função é decrescente
C
D
C
++++ ↓ −−−− ↓ ++++
−1
1
5.2.Pontos de máximo e mínimo
x = −1 → yPonto
= 6 B(máximo
−1, 6) ⇒ Bxé=ponto
−1 ⇒de
y máximo
=6
x = 1→ y = Ponto
2 → C (mínimo
1, 2)⇒ C éxponto
y mínimo
= 1 ⇒de
=2
6)Segunda derivada
f”(x) = 6x
6.1.Sinal de f”
f " ( x) = 0 ⇒ 6 x = 0 ⇒ x = 0
f " ( x) > 0 ⇒ x > 0 → concavidade para cima
f " ( x) < 0 ⇒ x < 0 → concavidade para baixo
−−−− ↓ ++++
0
6.2.Ponto de inflexão
x = 0 ponto de inflexão x = 0 x = 0 ⇒ y = 4 A(0 , 4) ponto de inflexão
7. Esboço gráfico
Acesse a Ferramenta Atividades e realize a Atividade 4.