Introduction

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Introduction
Les plans fractionnaires
Autres plans à deux facteurs
Plans à trois niveaux
Les plans d’expériences pour l’estimation des effets
André Mas, I3M
LMGC, 1er et 8 Décembre 2009
André Mas, I3M
PE pour estimer les effets
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Introduction
Plan de l’exposé
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Introduction
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3
4
André Mas, I3M
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Introduction
Objectifs des PE
Les plans d’expériences ont essentiellement deux objectifs :
Dans un système avec une variable de sortie et plusieurs
variables d’entrée, quantifier les effets des variables d’entrée
sur la variable de sortie en un nombre minimal d’expériences
pour :
Sélectionner les variables/facteurs qui ont un effet significatif
Quantifier ces effets
Eventuellement classer les facteurs en fonction de leurs effets
Déterminer la combinaison optimale des facteurs d’entrée qui
permet d’optimiser la variable de sortie toujours en un nombre
minimal d’expériences (PE pour surface de réponses)
Dans les deux cas, on suupose qu’une relation du type
y = f (X1 , ...Xp ) (avec f inconnue) existe.
André Mas, I3M
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Le domaine expérimental
Pour chaque facteur il faut définir précisément un domaine
d’étude, un intervalle de variation [Xmin , Xmax ]
Etude de l’influence des facteurs⇒ on se limite à deux
bornes : Xmin et Xmax
Coût expérimental minimal...
On code le facteur Xmin 7→ −1 et Xmax 7→ +1
Si 2 facteurs le domaine expérimental est symbolisé par un
cube (en dimension plus élevée on parle d’hypercube).
Dans ce cas on ne fait des expériences qu’aux sommets du
cube.
Tout cela marche bien pour des variables continues...
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André Mas, I3M
Introduction
Les modèles mathématiques
Ils sont généralement polynômiaux de la forme :
P
P
y = pi=1 ai xi + pi,j=1 ai,j xi xj + ... + La réponse est y et xi = ±1 est un niveau du facteur i
Les termes ai sont appelés effet principaux du facteur xi
Les termes ai,j sont apppelés effet d’interaction entre les
facteurs i et j.
Tous ces coefficients sont calculés par la méthode des
moindres carrés de la régression linéaire
Attention : Il doit y avoir compatibilité entre le nombre de
paramètres inconnus et le nombre d’expériences à réaliser.
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André Mas, I3M
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Les plans complets à deux niveaux
Les plans complets balayent l’intégralité de 2p expériences
possibles
Si p = 2 le modèle asssocié à ce genre de plans est du type :
y = a0 + a1 x1 + a2 x2 + a1,2 x1 x2 + 4 équation et 4 inconnues !
Dans ce cas il n’est pas possible de définir et d’estimer σ
bε2
En général si k facteurs on parle de plan 2k , qui donne
également le nombre d’expériences à réaliser.. chiffre qui
augmente rapidement.
Distinguer matrice d’expériences et matrice du modèle.
Un exemple tout de suite...
André Mas, I3M
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Le principe
On souhaite réduire le nombre d’essais d’un plan complet à k
facteurs
Il est possible de diviser le nombre d’essais par une puissance
de 2 : on parle de plan 2k−p , ce qui veut dire k facteurs mais
2k−p essais. On a divisé par 2p le nombre initial d’essais.
Mais il y a un problème avec le modèle mathématique : le
nombre de coefficients à estimer devient supérieur au nombre
d’expériences effectuées : il y a plus d’inconnues que
d’équations.
Exemple : le plan 23−1 . Le modèle complet avec interactions
s’écrit :
y = a0 +a1 x1 +a2 x2 +a3 x3 +a1,2 x1 x2 +a1,3 x1 x3 +a2,3 x2 x3 +a1,2,3 x1 x2 x3
8 inconnues et on veut 4 essais ⇒ il faut éliminer des
inconnues
André Mas, I3M
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Contrastes
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4 équations donc on garde 4 inconnues... Nouveau modèle :
y = l0 + l1 x1 + l2 x2 + l3 x3
l0 = a0 + a1,2,3 , l1 = a1 + a2,3 , l2 = a2 + a1,3 , l3 = a3 + a1,2
Les coefficients li sont appelés Contrastes.
On dit que a0 et a1,2,3 sont aliasés.
Les contrastes sont estimés par les moindres carrés. Mais leur
interprétation est délicate.
On a souvent besoin d’effectuer des hypothèses pour remonter
des contrastes aux effets.
André Mas, I3M
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Quelques hypothèses classiques sur les contrastes
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Les interactions d’ordre supérieur à m sont nulles
Si un contraste est nul :
Soit les deux effets aliasés sont nuls → Hyp. classique
Soit les deux effets sont de signe opposés et s’annulent → Très
rare
Si deux contrastes sont faibles, leur interaction est faible
Attention : Si deux contrastes sont forts, il faut se méfier de
leur interaction qui peut être forte aussi.
Ces hypothèses sont très souvent vérifiées, mais il arrive qu’elles
ne soient pas réalistes (en fonction du contexte).
André Mas, I3M
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Construction pratique d’un plan fractionnaire
On veut construire un plan 2k−p pour k facteurs. On pose
n =k −p :
On choisit la matrice du modèle avec interactions d’un plan
complet 2n .
Il faut bien entendu 2n ≥ k...[Pourquoi ?]
On fait correspondre les n premiers facteurs du plan initial aux
n facteurs principaux du plan 2n .
Il reste à affecter les k − n facteurs restants du plan intial...
On choisit alors dans le plan 2n k − n colonnes correspondant
à des interactions. A chacune de ces interactions on associe
un des facteurs pricipaux du plan inital.
Si k = 5, on ne peut pas construire de plan 25−3 , si k = 6, on
peut construire des plans 26−1 , 26−2 , 26−3 et rien d’autre.
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André Mas, I3M
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Voici un plan 25−2 :
N. essai x1 x2
1
− −
2
+ −
3
− +
4
+ +
5
− −
6
+ −
7
− +
8
+ +
x3
−
−
−
−
+
+
+
+
x4 = x1 x2
+
−
−
+
+
−
−
+
Et un petit tableau récapitulatif :
Plan 2k−p
22 23
Nbre max de facteurs k 3
7
André Mas, I3M
x5 = x1 x3
+
−
+
−
−
+
−
+
24
15
25
31
26
63
27
127
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Aliasage
Dans l’exemple précédent on a posé (avec un abus de
notation) : 4 = 12 et 5 = 13. Ces relations lient, dans le plan
fractionnaire, les facteurs 4 et 5 aliasés au facteurs 1, 2 et 3.
En écrivant 42 = I = 124 et 52 = I = 135 on aboutit à
I = 135 = 124. Cette relation est appelée le générateur
d’aliases. Elle est cruciale parce qu’elle constitue la clé
permettant de reconstruire toutes les relations entre facteurs
et contrastes.
Quelques relations issues du plan précédent :
1 = 1 × I = 35 = 24, 2 = 1235 = 14, 3 = 15 = 1234
4 = 1345 = 12, 5 = 13 = 1245
Il y en a d’autres [Trouvez-les !]
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Aliasage et résolution
On a toujours intérêt à aliaser les facteurs principaux avec des
interactions d’ordre élevée. Ces dernières ont peu de chances
d’être significatives et peuvent donc être efficacement
recyclées.
Dans ce cas l’interprétation du plan est aussi facilitée.
La notion de résolution est un raccourci permettant de
quantifier globalement l’aliasage avec des interactions d’ordre
élevé.
Dans l’exemple précédent la résolution du plan est III.
Attention : avec un même plan fractionnaire des résolutions
différentes peuvent être atteintes en changeant juste les
aliasages.
Un exemple...
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Introduction
Résolution : définitions
Résolution III
Un plan de réslution III est un plan fractionnaire dans lequel les
facteurs principaux sont aliasés aux interactions d’ordre 2
Résolution IV
Un plan de résolution IV est un plan fractionnaire dans lequel les
facteurs principaux sont aliasés aux interactions d’ordre 3
Définition générale
La résolution d’un plan fractionnaire est le cardinal du plus petit
élément du groupe de générateur d’aliases
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André Mas, I3M
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Plans de Plackett-Burman
Basés sur des matrices d’Hadamard (orthogonales sans être de
taille 2p ). Tailles : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36... Générées
par permutation circulaire d’un vecteur initial.
Nombre d’essais intermédiaire avec les plans factoriels 2p
Modèle mathématique sans interactions :
P
y = a0 + ai xi
Méthode de construction [Expérimentique II.3 11-12]
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Introduction
Plans de Rechtschaffner
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Plans fractionnaires simplifiés pour des modèles simplifiés (pas
d’interaction d’ordre 3 ou plus)
3F-7E, 4F-11E, 5F-16E ,6F-22E
Modèle mathématique :
y = a0 +
P
ai xi +
P
ai,j xi xj
Plans saturés, résolution III, matrices non orthogonales
Etendus aux facteurs à trois niveaux et aux plans du second
degré.
Méthode de construction [Expérimentique II.5 - 10]
André Mas, I3M
Introduction
Autres plans à deux niveaux
Plans Taguchi (bien connus en Qualité) : Plans de
Plackett-Burman ou fractionnaires modifiés.
Plans de Koshal : Peu connus, modèle sans interaction, utiles
pour dégrossir.
Plans sursaturés avec effets principaux aliasés : si vraiment on
a beaucoup de facteurs ou si on veut être très économe
Plans purement algorithmiques (beaucoup d’essais mais
recherche d’optimalité).
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André Mas, I3M
Introduction
La plus grande économie est obtenue avec des plans à deux
niveaux mais on peut vouloir disposer de plus de précision, avec
des réglages pas trop coûteux. Les modèles mathématiques sont
exactement les mêmes.
Symbôles : +,0 et −.
Plans complets 3p : 27 essais pour trois facteurs...
Carrés latins : plans fractionnaires 33−1
Carrés gréco-latins : superposition de 2 CL 34−2 = L9 34
Carrés Hyper gréco-latins
: superposition deplusieurs CL. Ex :
5−3
5
4
= L16 4
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