Exposé de l`immeuble

Lista III de Estruturas Algébricas
IM - UFRJ 2015/01
1. Seja G um grupo e Z(G) = {x ∈ G | xg = gx∀g ∈ G}.
(a) Mostre que Z(G) / G.
(b) Mostre que se o grupo quociente G/Z(G) é cı́clico, então G é abeliano.
(c) Se G é um p-grupo, então p|]Z(G) (use a equação de classes).
(d) Conlua que um grupo de ordem p2 , p primo, é comutativo.
2. Sejam G um grupo e C = {H | H < G} o conjunto dos subgrupos de G. Para
cada g ∈ G defina ρg : C → C por ρg (H) = gHg −1 . Mostre que ρg é uma
permutação do conjunto C.
3. Seja G um grupo de ordem 112 132 , mostre que que G é um grupo abeliano.
4. Seja G um grupo de ordem 42 e H < G de ordem 3. Mostre que ]NG (H) = 6 ou
42. Mostre que G possui um subgrupo de ordem 6.
5. Seja p < q primos e G um grupo de ordem pq. Mostre que G é abeliano se e
somente se possui um único p-subgrupo de Sylow.
6. Seja G um grupo abeliano de ordem pn q m , p e q primos distintos. Mostre que para
cada divisor k da ordem de G existe um subgrupo de ordem k. (Este resultado
vale para qualquer grupo abeliano finito.)
7. Sejam p e q primos distintos. Mostre que se G é um grupo de ordem pq ou p2 q,
então G não é um grupo simples.
8. Classifique, a menos de isomorfismo, todos os grupos de ordem 33 e também de
ordem 18.
9. Sejam G um grupo e H < G de ı́ndice primo p.
(a) Quantos subgrupos conjugados a H podem existir?
(b) Suponha que p é o menor primo dividindo a ordem de G, conclua que H
é normal em G (dica: seja H < G tal que (G : H) = p, considere a
representação ρ de G no conjunto das classes de equivalência {gH | g ∈ G}
via multiplicação por elementos de G e mostre que Kerρ ⊆ H.)