Lusitanien Femelle,Gris 1998

3. Qual ´e o trabalho necess´ario para formamos a configura¸c˜ao de trˆes part´ıculas, todas com a mesma carga
q, supondo que tais part´ıculas est˜ao, de in´ıcio, infinitamente afastadas?
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2014/1 – Primeira Prova: 24/03/2014
Teste
˜
VERSAO:
A
(a)
(b)
~ e = qE
~ ,
F
Formul´
ario
I
1
~ = k0 q rˆ
~ ·dA
~ = Qint ,
E
,
onde
k
=
E
0
r2
4πǫ0
ǫ0
S
qq ′
~ =E
~ 0 /K ,
,
E
U = k0
r
Z
~ ·dA
~ ,
~ = nq~v ,
J
J
I=
(c)
~ = −∇V
~ ,
E
V = k0
q
r
C = Q/V
(d)
(e)
5. Uma corrente ´e estabelecida num tubo de descarga de
g´as quando uma diferen¸ca de potencial (ddp) ´e aplicada entre os dois eletrodos no tubo. O g´as se ioniza,
os el´etrons movem-se em dire¸c˜ao ao terminal positivo
e os ´ıons positivos em dire¸c˜ao ao terminal negativo.
Em um tubo de descarga de hidrogˆenio, 7,00 × 1018
el´etrons e 3,00 ×1018 pr´otons passam atrav´es da se¸c˜ao
reta do tubo a cada segundo. Quais s˜ao o m´odulo I da
corrente el´etrica e o sentido do vetor densidade de corrente el´etrica neste tubo de descarga? Lembre-se que
o m´odulo da carga do el´etron vale 1,60×10−19 C.
2k0 q 2
.
a
4k0 q 2
.
a
5k0 q 2
.
a
6k0 q 2
.
a
3k0 q 2
.
a
V = RI ,
S
Se¸c˜
ao 1.
(a)
I = 1,60 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(b)
I = 0,640 A. Sentido: do terminal positivo
para o negativo.
(c)
I = 1,60 A. Sentido: do terminal negativo
para para o positivo.
(d)
I = 0,640 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(e)
I = 1,12 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(f)
I = 1,12 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
M´
ultipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
2. Considere as seguintes afirmativas: (I) No interior de
um condutor em equil´ıbrio eletrost´atico, o potencial
el´etrico ´e sempre nulo. (II) Se o campo el´etrico ´e
nulo em um determinado ponto do espa¸co, o potencial el´etrico tamb´em ser´a nulo nesse ponto. (III) Se o
potencial el´etrico ´e nulo em um determinado ponto do
espa¸co, o campo el´etrico tamb´em deve ser nulo nesse
ponto. Qual(is) delas ´e(s˜ao) verdadeira(s)?
1. Um capacitor de placas planas e paralelas, imersas no
v´acuo, ´e conectado a uma bateria de for¸ca eletromotriz constante. Se a distˆancia entre as placas do capacitor ´e duplicada enquanto o capacitor permanece
conectado a bateria, a energia armazenada no capacitor
(a)
quadruplica.
(b)
duplica.
(c)
n˜ao se altera.
(d)
reduz-se a metade.
(e)
reduz-se a um quarto.
(a)
Apenas a I.
(b)
Apenas a II.
(c)
Apenas a III.
(d)
Apenas a I e a II.
(e)
Apenas a I e a III.
(f)
Apenas a II e a III.
(g)
Todas s˜ao verdadeiras.
(h)
Nenhuma ´e verdadeira.
4. Uma esfera isolante com carga Q uniformemente
distribu´ıda ´e envolvida por uma casca esf´erica,
concˆentrica, condutora, e de carga qc , com raio interno
a e raio externo b (b > a). A densidade superficial de
carga na parede interna da casca condutora vale:
(a)
0.
(b)
−
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
1
6. Um condutor, carregado com carga Q, possui uma
cavidade esf´erica em seu interior. Nessa cavidade, h´a
duas part´ıculas, de cargas q e −q. Chame de regi˜ao I
o espa¸co fora do condutor, de regi˜ao II o condutor, e
de regi˜ao III a cavidade. Qual das op¸c˜oes a seguir
descreve corretamente o comportamento do campo
el´etrico nas trˆes regi˜oes?
Q
.
4πa2
Q
.
4πa2
Q
−
.
4πb2
Q
.
4πb2
Q + qc
.
4πa2
Q + qc
.
4πb2
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
2
~ I = ~0, E
~ II =
~ III
E
6 ~0 e E
~ I 6= ~0, E
~ II 6= ~0 e E
~ III
E
~ I 6= ~0, E
~ II = ~0 e E
~ III
E
~ I = ~0, E
~ II = ~0 e E
~ III
E
6= ~0.
6= ~0.
6= ~0.
= ~0.
~ I 6= ~0, E
~ II = ~0 e E
~ III = ~0.
E
7. Considere um ene´agono (pol´ıgono de nove lados) regular, com part´ıculas de carga q em cada um de seus
v´ertices, exceto um deles, conforme mostrado na figura. Qual ´e a for¸ca el´etrica resultante sobre uma
part´ıcula, de carga −q, no centro do pol´ıgono?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
8. Das afirmativas abaixo, assinale a u
´ nica que ´e incorreta.
(a)
O campo el´etrico produzido por um corpo com
carga total igual a zero pode ser diferente de
zero.
(b)
O campo el´etrico no interior de um material
diel´etrico ´e sempre zero, mesmo que ele esteja
em uma regi˜ao com campo el´etrico.
(c)
O campo el´etrico entre as placas de um capacitor isolado diminui quando a regi˜ao entre
suas placas ´e completamente preenchida por
um material de constante diel´etrica K > 1.
(d)
Quando um material diel´etrico ´e inserido entre as placas de um capacitor, surge uma densidade superficial de carga induzida nas superf´ıcies do diel´etrico que causa a mudan¸ca da
capacitˆancia.
(e)
9k0 q 2
ˆ.
x
a2
9k0 q 2
ˆ.
x
a2
8k0 q 2
ˆ.
− 2 x
a
8k0 q 2
ˆ.
x
a2
k0 q 2
ˆ.
x
a2
k0 q 2
ˆ.
− 2 x
a
−
Figura 1: Quest˜ao discursiva 1
Quando um material diel´etrico ´e inserido entre
as placas de um capacitor, ´e poss´ıvel submeter
esse capacitor a maiores diferen¸cas de potencial, sem que ocorra a ruptura diel´etrica.
Se¸c˜
ao 2. Quest˜
oes discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Um fio de comprimento 2L foi carregado de modo a dotar a metade superior com densidade linear de
carga λ e a metade inferior com densidade linear de carga −λ, onde λ ´e uma constante positiva.
(a) Determine o campo el´etrico (m´odulo, dire¸c˜ao e sentido) num ponto P situado a uma distˆancia x do fio, na
perpendicular a partir de seu ponto m´edio. [1,4 ponto]
(b) Obtenha o potencial el´etrico no ponto P supracitado. [0,5 ponto]
(c) Mesmo para grandes distˆancias (|x| ≫ L), o campo el´etrico n˜ao ´e exatamente nulo. Qual ´e o comportamento
do campo el´etrico, como fun¸c˜ao de x, nessa aproxima¸c˜ao? Interprete seu resultado. [0,7 ponto]
Figura 2: Quest˜ao discursiva 2.
(c) Considere agora uma part´ıcula de carga q, ainda no mesmo ponto supracitado. Determine a energia potencial
associada a` intera¸c˜ao dessa part´ıcula com o campo el´etrico produzido pelos an´eis? [0,4 ponto]
2. [2,6 pontos] Dois an´eis circulares, de mesmo raio L, perpendiculares ao eixo X, tˆem seus centros em x = −L e
x = L. Ambos possuem a mesma carga total Q, uniformemente distribu´ıda.
(a) Determine o potencial el´etrico devido aos an´eis, em um ponto gen´erico do eixo X, com abscissa x, tomando
tal potencial como zero no infinito (x → ∞)? [1,2 ponto]
(b) Usando o potencial do item (a), determine o campo el´etrico devido aos an´eis, no mesmo ponto supracitado.
[1,0 ponto]
3
4
~ ·y
ˆ
dEy = dE
k0 dq
ˆ
= 2 ˆr · y
r
y
k0 λ dy
−
=
2
r
r
y dy
.
= −k0 λ
(x2 + y 2 )3/2
Logo,
Ey = −2k0 λ
Z
L
y dy
y=0 (x2
+ y 2 )3/2
,
(1)
o que sugere a seguinte substitui¸c˜ao trivial de vari´aveis:
u := x2 + y 2
=⇒
du = 2y dy .
Inserindo isso na Eq. (1), obtemos
x2 +L2
du/2
u3/2
2 +L2
x
u−1/2 = −k0 λ
.
(−1/2) 2
Ey = −2k0 λ
Z
u=x2
u=x
Figura 3: Gabarito da quest˜ao discursiva 1.
Finalmente, pois,
~
E(x,
y = z = 0) = 2k0 λ
Gabarito para Vers˜ao A
√
1
1
−
2
2
|x|
x +L
ˆ.
y
(2)
1. (d)
5. (a)
(b) Para o c´alculo do potencial no mesmo ponto, tamb´em usaremos o princ´ıpio de superposi¸c˜ao, desta feita para
potenciais, obviamente. Devido, contudo, `a simetria da distribui¸c˜ao de carga, com respeito ao eixo X, ´e ´obvio que
o potencial resultante em qualquer ponto de tal eixo ´e identicamente zero:
2. (h)
6. (c)
V (x, y = z = 0) = 0 .
3. (e)
7. (f)
4. (b)
8. (b)
(c) Basta tomarmos o limite, usando a aproxima¸c˜ao do binˆomio de Newton,
Se¸c˜
ao 1.
M´
ultipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
(1 + ε)α ≃ 1 + α u + . . .
Se¸c˜
ao 2. Quest˜
oes discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolu¸
c˜
ao:
(a) Usaremos o princ´ıpio de superposi¸c˜ao para calcular o campo el´etrico resultante devido ao bast˜ao “dipolar”.
Para tanto, percebemos, por simetria, que a u
´ nica componente que restar´a ´e a componente y, dada por (cf. Fig. 12)
1
(ε, α ∈ R, |u| ≪ 1) ,
da Eq. (2), quando |x| ≫ L, ou seja, para ε := x/L → 0. Obtemos, ent˜ao,
1
1
~
√
ˆ
−
lim E = lim 2k0 λ
y
|x|≫L
|x|≫L
x2 + L2 |x|
#
"
1
1
p
ˆ
y
−
= 2k0 λ
2
|x|
|x| 1 + (L/x)
o
−1/2
2k0 λ n
ˆ
=
1 + (L/x)2
−1 y
|x|
1 L2
2k0 λ
ˆ.
1−
+
.
.
.
−
1
=
y
|x|
2 x2
2
Finalmente, ent˜ao,
k0 ~p
k0 λL2
~
ˆ=− 3 .
y
lim E(x,
y = z = 0) = −
3
x
x
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2014/1 – Primeira Prova: 24/03/2014
Teste
˜
VERSAO:
B
|x|≫L
Tal express˜ao ´e justamente aquela do campo el´etrico de um dipolo (“pontual”), em um ponto de seu plano m´edio,
a uma distˆancia |x| de seu centro (|x| ≫ L), sendo o seu vetor momento de dipolo el´etrico dado justamente por
~p = QLˆ
y,
onde Q = λL, e L desempenhando justamente o papel da extens˜ao do dipolo, ou seja, a distˆancia entre os pontos
m´edios de cada um dos dois segmentos (acima e abaixo da origem).
2. Resolu¸
c˜
ao:
~ e = qE
~ ,
F
(a) Usaremos o princ´ıpio de superposi¸c˜ao para potenciais, ou seja,
V (x, y = z = 0) = V− (x, y = z = 0) + V+ (x, y = z = 0) .
U = k0
Aqui V− ´e o potencial devido ao anel com centro em x = −L, ou seja,
k0 Q
V− (x, y = z = 0) =
r−
k0 Q
,
=p
L2 + (x + L)2
I=
Se¸c˜
ao 1.
Logo, o potencial resultante ´e
Z
S
e V+ ´e o potencial devido ao nale com centro em x = L, ou seja,
k0 Q
V+ (x, y = z = 0) =
r+
k0 Q
.
=p
2
L + (x − L)2
V (x, y = z = 0) = k0 Q
Formul´
ario
I
1
~ = k0 q rˆ
~ ·dA
~ = Qint ,
E
,
onde
k
=
E
0
r2
4πǫ0
ǫ0
S
n
−1/2 2
−1/2 o
L2 + (L + x)2
+ L + (x − L)2
.
(3)
(b) Devido a` simetria axial da distribui¸c˜ao de cargas nos an´eis, o campo el´etrico resultante ter´a somente componente
x, igual a [cf. Eq. (3)]:
∂V (x, y = z = 0)
∂x −3/2
−3/2
1 2
1 2
L + (L + x)2
L + (x − L)2
2(L + x) + −
2(x − L) ,
= −k0 Q
−
2
2
Ex (x, y = z = 0) = −
qq ′
,
r
~ =E
~ 0 /K ,
E
C = Q/V
~ = nq~v ,
J
V = RI ,
~ ·dA
~ ,
J
1. Uma corrente ´e estabelecida num tubo de descarga de
g´as quando uma diferen¸ca de potencial (ddp) ´e aplicada entre os dois eletrodos no tubo. O g´as se ioniza,
os el´etrons movem-se em dire¸c˜ao ao terminal positivo
e os ´ıons positivos em dire¸c˜ao ao terminal negativo.
Em um tubo de descarga de hidrogˆenio, 7,00 × 1018
el´etrons e 3,00 ×1018 pr´otons passam atrav´es da se¸c˜ao
reta do tubo a cada segundo. Quais s˜ao o m´odulo I da
corrente el´etrica e o sentido do vetor densidade de corrente el´etrica neste tubo de descarga? Lembre-se que
o m´odulo da carga do el´etron vale 1,60×10−19 C.
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
I = 0,640 A. Sentido: do terminal positivo
para o negativo.
(e)
(c)
I = 1,60 A. Sentido: do terminal negativo
para para o positivo.
(d)
(c) Para tal item, s´o precisamos multiplicar o potencial no ponto x pela carga da part´ıcula, ou seja,
n
−1/2 2
−1/2 o
U = k0 qQ L2 + (L + x)2
+ L + (x − L)2
.
I = 0,640 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(e)
I = 1,12 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(f)
I = 1,12 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
~
E(x,
y = z = 0) = k0 Q
x+L
[L2 + (x + L)2 ]3/2
3
+
x−L
[L2 + (x − L)2 ]3/2
)
ˆ.
x
q
r
2. Uma esfera isolante com carga Q uniformemente
distribu´ıda ´e envolvida por uma casca esf´erica,
concˆentrica, condutora, e de carga qc , com raio interno
a e raio externo b (b > a). A densidade superficial de
carga na parede interna da casca condutora vale:
I = 1,60 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(
V = k0
M´
ultipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
(a)
ou, finalmente,
~ = −∇V
~ ,
E
(f)
(g)
1
0.
Q
.
4πa2
Q
.
4πa2
Q
.
−
4πb2
Q
.
4πb2
Q + qc
.
4πa2
Q + qc
.
4πb2
−
5. Considere um ene´agono (pol´ıgono de nove lados) regular, com part´ıculas de carga q em cada um de seus
v´ertices, exceto um deles, conforme mostrado na figura. Qual ´e a for¸ca el´etrica resultante sobre uma
part´ıcula, de carga −q, no centro do pol´ıgono?
3. Um capacitor de placas planas e paralelas, imersas no
v´acuo, ´e conectado a uma bateria de for¸ca eletromotriz constante. Se a distˆancia entre as placas do capacitor ´e duplicada enquanto o capacitor permanece
conectado a bateria, a energia armazenada no capacitor
(a)
quadruplica.
(b)
duplica.
(c)
n˜ao se altera.
(d)
reduz-se a metade.
(e)
reduz-se a um quarto.
(a)
(b)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
4. Considere as seguintes afirmativas: (I) No interior de
um condutor em equil´ıbrio eletrost´atico, o potencial
el´etrico ´e sempre nulo. (II) Se o campo el´etrico ´e
nulo em um determinado ponto do espa¸co, o potencial el´etrico tamb´em ser´a nulo nesse ponto. (III) Se o
potencial el´etrico ´e nulo em um determinado ponto do
espa¸co, o campo el´etrico tamb´em deve ser nulo nesse
ponto. Qual(is) delas ´e(s˜ao) verdadeira(s)?
(a)
Apenas a I.
(b)
Apenas a II.
(c)
Apenas a III.
(d)
Apenas a I e a II.
(e)
Apenas a I e a III.
(f)
Apenas a II e a III.
(g)
Todas s˜ao verdadeiras.
(h)
Nenhuma ´e verdadeira.
9k0 q 2
ˆ.
x
a2
9k0q 2
ˆ.
x
a2
8k0 q 2
ˆ.
− 2 x
a
8k0q 2
ˆ.
x
a2
k0 q 2
ˆ.
x
a2
k0 q 2
ˆ.
− 2 x
a
−
8. Das afirmativas abaixo, assinale a u
´ nica que ´e incorreta.
7. Um condutor, carregado com carga Q, possui uma
cavidade esf´erica em seu interior. Nessa cavidade, h´a
duas part´ıculas, de cargas q e −q. Chame de regi˜ao I
o espa¸co fora do condutor, de regi˜ao II o condutor, e
de regi˜ao III a cavidade. Qual das op¸c˜oes a seguir
descreve corretamente o comportamento do campo
el´etrico nas trˆes regi˜oes?
(c)
(d)
(e)
~ I = ~0, E
~ II 6= ~0
E
~ II =
~ I 6= ~0, E
E
6 ~0
~ I 6= ~0, E
~ II = ~0
E
~ I = ~0, E
~ II = ~0
E
~ III =
eE
6 ~0.
~ III 6= ~0.
eE
~ III 6= ~0.
eE
~ III = ~0.
eE
~ I 6= ~0, E
~ II = ~0 e E
~ III = ~0.
E
(a)
O campo el´etrico produzido por um corpo com
carga total igual a zero pode ser diferente de
zero.
(b)
O campo el´etrico no interior de um material
diel´etrico ´e sempre zero, mesmo que ele esteja
em uma regi˜ao com campo el´etrico.
(c)
O campo el´etrico entre as placas de um capacitor isolado diminui quando a regi˜ao entre
suas placas ´e completamente preenchida por
um material de constante diel´etrica K > 1.
(d)
Quando um material diel´etrico ´e inserido entre as placas de um capacitor, surge uma densidade superficial de carga induzida nas superf´ıcies do diel´etrico que causa a mudan¸ca da
capacitˆancia.
(e)
Quando um material diel´etrico ´e inserido entre
as placas de um capacitor, ´e poss´ıvel submeter
esse capacitor a maiores diferen¸cas de potencial, sem que ocorra a ruptura diel´etrica.
Se¸c˜
ao 2. Quest˜
oes discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Um fio de comprimento 2L foi carregado de modo a dotar a metade superior com densidade linear de
carga λ e a metade inferior com densidade linear de carga −λ, onde λ ´e uma constante positiva.
6. Qual ´e o trabalho necess´ario para formamos a configura¸c˜ao de trˆes part´ıculas, todas com a mesma carga
q, supondo que tais part´ıculas est˜ao, de in´ıcio, infinitamente afastadas?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
2
2k0q 2
a
4k0q 2
a
5k0q 2
a
6k0q 2
a
3k0q 2
a
.
.
.
Figura 4: Quest˜ao discursiva 1
.
.
(a) Determine o campo el´etrico (m´odulo, dire¸c˜ao e sentido) num ponto P situado a uma distˆancia x do fio, na
perpendicular a partir de seu ponto m´edio. [1,4 ponto]
3
(b) Obtenha o potencial el´etrico no ponto P supracitado. [0,5 ponto]
(c) Mesmo para grandes distˆancias (|x| ≫ L), o campo el´etrico n˜ao ´e exatamente nulo. Qual ´e o comportamento
do campo el´etrico, como fun¸c˜ao de x, nessa aproxima¸c˜ao? Interprete seu resultado. [0,7 ponto]
2. [2,6 pontos] Dois an´eis circulares, de mesmo raio L, perpendiculares ao eixo X, tˆem seus centros em x = −L e
x = L. Ambos possuem a mesma carga total Q, uniformemente distribu´ıda.
Figura 5: Quest˜ao discursiva 2.
(a) Determine o potencial el´etrico devido aos an´eis, em um ponto gen´erico do eixo X, com abscissa x, tomando
tal potencial como zero no infinito (x → ∞)? [1,2 ponto]
(b) Usando o potencial do item (a), determine o campo el´etrico devido aos an´eis, no mesmo ponto supracitado.
[1,0 ponto]
(c) Considere agora uma part´ıcula de carga q, ainda no mesmo ponto supracitado. Determine a energia potencial
associada a` intera¸c˜ao dessa part´ıcula com o campo el´etrico produzido pelos an´eis? [0,4 ponto]
Figura 6: Gabarito da quest˜ao discursiva 1.
Gabarito para Vers˜ao B
Se¸c˜
ao 1.
M´
ultipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (a)
5. (f)
2. (b)
6. (e)
3. (d)
7. (c)
4. (h)
8. (b)
Se¸c˜
ao 2. Quest˜
oes discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolu¸
c˜
ao:
(a) Usaremos o princ´ıpio de superposi¸c˜ao para calcular o campo el´etrico resultante devido ao bast˜ao “dipolar”.
Para tanto, percebemos, por simetria, que a u
´ nica componente que restar´a ´e a componente y, dada por (cf. Fig. 12)
4
1
Finalmente, ent˜ao,
k0 ~p
k0 λL2
~
ˆ=− 3 .
y
lim E(x,
y = z = 0) = −
3
x
x
~ ·y
ˆ
dEy = dE
k0 dq
ˆ
= 2 ˆr · y
r
y
k0 λ dy
−
=
2
r
r
y dy
.
= −k0 λ
(x2 + y 2 )3/2
Logo,
Ey = −2k0 λ
Z
|x|≫L
Tal express˜ao ´e justamente aquela do campo el´etrico de um dipolo (“pontual”), em um ponto de seu plano m´edio,
a uma distˆancia |x| de seu centro (|x| ≫ L), sendo o seu vetor momento de dipolo el´etrico dado justamente por
~p = QLˆ
y,
onde Q = λL, e L desempenhando justamente o papel da extens˜ao do dipolo, ou seja, a distˆancia entre os pontos
m´edios de cada um dos dois segmentos (acima e abaixo da origem).
L
y dy
y=0
(x2 + y 2 )3/2
,
(1)
o que sugere a seguinte substitui¸c˜ao trivial de vari´aveis:
2
u := x + y
2
(a) Usaremos o princ´ıpio de superposi¸c˜ao para potenciais, ou seja,
=⇒
du = 2y dy .
V (x, y = z = 0) = V− (x, y = z = 0) + V+ (x, y = z = 0) .
Aqui V− ´e o potencial devido ao anel com centro em x = −L, ou seja,
k0 Q
V− (x, y = z = 0) =
r−
k0 Q
,
=p
L2 + (x + L)2
Inserindo isso na Eq. (1), obtemos
x2 +L2
du/2
u3/2
2 +L2
x
u−1/2 = −k0 λ
.
(−1/2) 2
Ey = −2k0 λ
Z
u=x2
u=x
Finalmente, pois,
2. Resolu¸
c˜
ao:
~
E(x,
y = z = 0) = 2k0 λ
√
1
1
−
2
2
|x|
x +L
ˆ.
y
(2)
e V+ ´e o potencial devido ao nale com centro em x = L, ou seja,
k0 Q
V+ (x, y = z = 0) =
r+
k0 Q
.
=p
2
L + (x − L)2
Logo, o potencial resultante ´e
(b) Para o c´alculo do potencial no mesmo ponto, tamb´em usaremos o princ´ıpio de superposi¸c˜ao, desta feita para
potenciais, obviamente. Devido, contudo, a` simetria da distribui¸c˜ao de carga, com respeito ao eixo X, ´e o´bvio que
o potencial resultante em qualquer ponto de tal eixo ´e identicamente zero:
V (x, y = z = 0) = 0 .
V (x, y = z = 0) = k0 Q
2
∂V (x, y = z = 0)
∂x −3/2
−3/2
1 2
1 2
L + (L + x)2
L + (x − L)2
2(L + x) + −
2(x − L) ,
= −k0 Q
−
2
2
Ex (x, y = z = 0) = −
(ε, α ∈ R, |u| ≪ 1) ,
da Eq. (2), quando |x| ≫ L, ou seja, para ε := x/L → 0. Obtemos, ent˜ao,
1
1
~
√
ˆ
−
lim E = lim 2k0 λ
y
|x|≫L
|x|≫L
x2 + L2 |x|
#
"
1
1
p
ˆ
y
−
= 2k0 λ
2
|x|
|x| 1 + (L/x)
o
−1/2
2k0 λ n
ˆ
=
1 + (L/x)2
−1 y
|x|
1 L2
2k0 λ
ˆ.
1−
+
.
.
.
−
1
=
y
|x|
2 x2
(3)
(b) Devido a` simetria axial da distribui¸c˜ao de cargas nos an´eis, o campo el´etrico resultante ter´a somente componente
x, igual a [cf. Eq. (3)]:
(c) Basta tomarmos o limite, usando a aproxima¸c˜ao do binˆomio de Newton,
(1 + ε)α ≃ 1 + α u + . . .
n
−1/2 2
−1/2 o
L2 + (L + x)2
+ L + (x − L)2
.
ou, finalmente,
~
E(x,
y = z = 0) = k0 Q
(
x+L
[L2 + (x + L)2 ]3/2
+
x−L
[L2 + (x − L)2 ]3/2
)
ˆ.
x
(c) Para tal item, s´o precisamos multiplicar o potencial no ponto x pela carga da part´ıcula, ou seja,
n
−1/2 2
−1/2 o
U = k0 qQ L2 + (L + x)2
+ L + (x − L)2
.
3
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2014/1 – Primeira Prova: 24/03/2014
Teste
˜
VERSAO:
C
~ e = qE
~ ,
F
Formul´
ario
I
1
~ = k0 q rˆ
~ ·dA
~ = Qint ,
E
,
onde
k
=
E
0
r2
4πǫ0
ǫ0
S
qq ′
~ =E
~ 0 /K ,
,
E
U = k0
r
Z
~ ·dA
~ ,
~ = nq~v ,
J
J
I=
~ = −∇V
~ ,
E
V = k0
q
r
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
I = 1,60 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(b)
I = 0,640 A. Sentido: do terminal positivo
para o negativo.
(c)
I = 1,60 A. Sentido: do terminal negativo
para para o positivo.
V = RI ,
(d)
I = 0,640 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(e)
I = 1,12 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(f)
I = 1,12 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
M´
ultipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Uma esfera isolante com carga Q uniformemente
distribu´ıda ´e envolvida por uma casca esf´erica,
concˆentrica, condutora, e de carga qc , com raio interno
a e raio externo b (b > a). A densidade superficial de
carga na parede interna da casca condutora vale:
(a)
(a)
C = Q/V
S
Se¸c˜
ao 1.
2. Um capacitor de placas planas e paralelas, imersas no
v´acuo, ´e conectado a uma bateria de for¸ca eletromotriz constante. Se a distˆancia entre as placas do capacitor ´e duplicada enquanto o capacitor permanece
conectado a bateria, a energia armazenada no capacitor
0.
Q
.
4πa2
Q
.
4πa2
Q
.
−
4πb2
Q
.
4πb2
Q + qc
.
4πa2
Q + qc
.
4πb2
−
(a)
quadruplica.
(b)
duplica.
(c)
n˜ao se altera.
(d)
reduz-se a metade.
(e)
reduz-se a um quarto.
4. Um condutor, carregado com carga Q, possui uma
cavidade esf´erica em seu interior. Nessa cavidade, h´a
duas part´ıculas, de cargas q e −q. Chame de regi˜ao I
o espa¸co fora do condutor, de regi˜ao II o condutor, e
de regi˜ao III a cavidade. Qual das op¸c˜oes a seguir
descreve corretamente o comportamento do campo
el´etrico nas trˆes regi˜oes?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1
5. Das afirmativas abaixo, assinale a u
´ nica que ´e incorreta.
3. Uma corrente ´e estabelecida num tubo de descarga de
g´as quando uma diferen¸ca de potencial (ddp) ´e aplicada entre os dois eletrodos no tubo. O g´as se ioniza,
os el´etrons movem-se em dire¸c˜ao ao terminal positivo
e os ´ıons positivos em dire¸c˜ao ao terminal negativo.
Em um tubo de descarga de hidrogˆenio, 7,00 × 1018
el´etrons e 3,00 ×1018 pr´otons passam atrav´es da se¸c˜ao
reta do tubo a cada segundo. Quais s˜ao o m´odulo I da
corrente el´etrica e o sentido do vetor densidade de corrente el´etrica neste tubo de descarga? Lembre-se que
o m´odulo da carga do el´etron vale 1,60×10−19 C.
~ I = ~0, E
~ II =
E
6 ~0
~ I 6= ~0, E
~ II 6= ~0
E
~ I 6= ~0, E
~ II = ~0
E
~ I = ~0, E
~ II = ~0
E
~ III =
eE
6 ~0.
~ III 6= ~0.
eE
~ III 6= ~0.
eE
~ III = ~0.
eE
~I=
~ II = ~0 e E
~ III = ~0.
E
6 ~0, E
2
(a)
O campo el´etrico produzido por um corpo com
carga total igual a zero pode ser diferente de
zero.
(b)
O campo el´etrico no interior de um material
diel´etrico ´e sempre zero, mesmo que ele esteja
em uma regi˜ao com campo el´etrico.
(c)
O campo el´etrico entre as placas de um capacitor isolado diminui quando a regi˜ao entre
suas placas ´e completamente preenchida por
um material de constante diel´etrica K > 1.
(d)
Quando um material diel´etrico ´e inserido entre as placas de um capacitor, surge uma densidade superficial de carga induzida nas superf´ıcies do diel´etrico que causa a mudan¸ca da
capacitˆancia.
(e)
Quando um material diel´etrico ´e inserido entre
as placas de um capacitor, ´e poss´ıvel submeter
esse capacitor a maiores diferen¸cas de potencial, sem que ocorra a ruptura diel´etrica.
6. Considere um ene´agono (pol´ıgono de nove lados) regular, com part´ıculas de carga q em cada um de seus
v´ertices, exceto um deles, conforme mostrado na figura. Qual ´e a for¸ca el´etrica resultante sobre uma
part´ıcula, de carga −q, no centro do pol´ıgono?
7. Qual ´e o trabalho necess´ario para formamos a configura¸c˜ao de trˆes part´ıculas, todas com a mesma carga
q, supondo que tais part´ıculas est˜ao, de in´ıcio, infinitamente afastadas?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
2k0q 2
a
4k0q 2
a
5k0q 2
a
6k0q 2
a
3k0q 2
a
.
.
.
.
.
8. Considere as seguintes afirmativas: (I) No interior de
um condutor em equil´ıbrio eletrost´atico, o potencial
el´etrico ´e sempre nulo. (II) Se o campo el´etrico ´e
nulo em um determinado ponto do espa¸co, o potencial el´etrico tamb´em ser´a nulo nesse ponto. (III) Se o
potencial el´etrico ´e nulo em um determinado ponto do
espa¸co, o campo el´etrico tamb´em deve ser nulo nesse
ponto. Qual(is) delas ´e(s˜ao) verdadeira(s)?
9k0 q 2
ˆ.
x
a2
9k0 q 2
ˆ.
x
a2
8k0 q 2
ˆ.
− 2 x
a
8k0 q 2
ˆ.
x
a2
k0 q 2
ˆ.
x
a2
k0 q 2
ˆ.
− 2 x
a
−
(a)
Apenas a I.
(b)
Apenas a II.
(c)
Apenas a III.
(d)
Apenas a I e a II.
(e)
Apenas a I e a III.
(f)
Apenas a II e a III.
(g)
Todas s˜ao verdadeiras.
(h)
Nenhuma ´e verdadeira.
Figura 7: Quest˜ao discursiva 1
Figura 8: Quest˜ao discursiva 2.
Se¸c˜
ao 2. Quest˜
oes discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Um fio de comprimento 2L foi carregado de modo a dotar a metade superior com densidade linear de
carga λ e a metade inferior com densidade linear de carga −λ, onde λ ´e uma constante positiva.
(a) Determine o campo el´etrico (m´odulo, dire¸c˜ao e sentido) num ponto P situado a uma distˆancia x do fio, na
perpendicular a partir de seu ponto m´edio. [1,4 ponto]
(b) Obtenha o potencial el´etrico no ponto P supracitado. [0,5 ponto]
(c) Mesmo para grandes distˆancias (|x| ≫ L), o campo el´etrico n˜ao ´e exatamente nulo. Qual ´e o comportamento
do campo el´etrico, como fun¸c˜ao de x, nessa aproxima¸c˜ao? Interprete seu resultado. [0,7 ponto]
(a) Determine o potencial el´etrico devido aos an´eis, em um ponto gen´erico do eixo X, com abscissa x, tomando
tal potencial como zero no infinito (x → ∞)? [1,2 ponto]
(b) Usando o potencial do item (a), determine o campo el´etrico devido aos an´eis, no mesmo ponto supracitado.
[1,0 ponto]
(c) Considere agora uma part´ıcula de carga q, ainda no mesmo ponto supracitado. Determine a energia potencial
associada a` intera¸c˜ao dessa part´ıcula com o campo el´etrico produzido pelos an´eis? [0,4 ponto]
2. [2,6 pontos] Dois an´eis circulares, de mesmo raio L, perpendiculares ao eixo X, tˆem seus centros em x = −L e
x = L. Ambos possuem a mesma carga total Q, uniformemente distribu´ıda.
3
4
~ ·y
ˆ
dEy = dE
k0 dq
ˆ
= 2 ˆr · y
r
y
k0 λ dy
−
=
2
r
r
y dy
.
= −k0 λ
(x2 + y 2 )3/2
Logo,
Ey = −2k0 λ
Z
L
y dy
y=0 (x2
+ y 2 )3/2
,
(1)
o que sugere a seguinte substitui¸c˜ao trivial de vari´aveis:
u := x2 + y 2
=⇒
du = 2y dy .
Inserindo isso na Eq. (1), obtemos
x2 +L2
du/2
u3/2
2 +L2
x
u−1/2 = −k0 λ
.
(−1/2) 2
Ey = −2k0 λ
Z
u=x2
u=x
Figura 9: Gabarito da quest˜ao discursiva 1.
Finalmente, pois,
~
E(x,
y = z = 0) = 2k0 λ
Gabarito para Vers˜ao C
√
1
1
−
2
2
|x|
x +L
ˆ.
y
(2)
1. (b)
5. (b)
(b) Para o c´alculo do potencial no mesmo ponto, tamb´em usaremos o princ´ıpio de superposi¸c˜ao, desta feita para
potenciais, obviamente. Devido, contudo, `a simetria da distribui¸c˜ao de carga, com respeito ao eixo X, ´e ´obvio que
o potencial resultante em qualquer ponto de tal eixo ´e identicamente zero:
2. (d)
6. (f)
V (x, y = z = 0) = 0 .
3. (a)
7. (e)
4. (c)
8. (h)
(c) Basta tomarmos o limite, usando a aproxima¸c˜ao do binˆomio de Newton,
Se¸c˜
ao 1.
M´
ultipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
(1 + ε)α ≃ 1 + α u + . . .
Se¸c˜
ao 2. Quest˜
oes discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolu¸
c˜
ao:
(a) Usaremos o princ´ıpio de superposi¸c˜ao para calcular o campo el´etrico resultante devido ao bast˜ao “dipolar”.
Para tanto, percebemos, por simetria, que a u
´ nica componente que restar´a ´e a componente y, dada por (cf. Fig. 12)
1
(ε, α ∈ R, |u| ≪ 1) ,
da Eq. (2), quando |x| ≫ L, ou seja, para ε := x/L → 0. Obtemos, ent˜ao,
1
1
~
√
ˆ
−
lim E = lim 2k0 λ
y
|x|≫L
|x|≫L
x2 + L2 |x|
#
"
1
1
p
ˆ
y
−
= 2k0 λ
2
|x|
|x| 1 + (L/x)
o
−1/2
2k0 λ n
ˆ
=
1 + (L/x)2
−1 y
|x|
1 L2
2k0 λ
ˆ.
1−
+
.
.
.
−
1
=
y
|x|
2 x2
2
Finalmente, ent˜ao,
k0 ~p
k0 λL2
~
ˆ=− 3 .
y
lim E(x,
y = z = 0) = −
3
x
x
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2014/1 – Primeira Prova: 24/03/2014
Teste
˜
VERSAO:
D
|x|≫L
Tal express˜ao ´e justamente aquela do campo el´etrico de um dipolo (“pontual”), em um ponto de seu plano m´edio,
a uma distˆancia |x| de seu centro (|x| ≫ L), sendo o seu vetor momento de dipolo el´etrico dado justamente por
~p = QLˆ
y,
onde Q = λL, e L desempenhando justamente o papel da extens˜ao do dipolo, ou seja, a distˆancia entre os pontos
m´edios de cada um dos dois segmentos (acima e abaixo da origem).
2. Resolu¸
c˜
ao:
~ e = qE
~ ,
F
(a) Usaremos o princ´ıpio de superposi¸c˜ao para potenciais, ou seja,
Formul´
ario
I
1
~ = k0 q rˆ
~ ·dA
~ = Qint ,
E
,
onde
k
=
E
0
r2
4πǫ0
ǫ0
S
V (x, y = z = 0) = V− (x, y = z = 0) + V+ (x, y = z = 0) .
U = k0
Aqui V− ´e o potencial devido ao anel com centro em x = −L, ou seja,
k0 Q
V− (x, y = z = 0) =
r−
k0 Q
,
=p
L2 + (x + L)2
I=
S
e V+ ´e o potencial devido ao nale com centro em x = L, ou seja,
k0 Q
V+ (x, y = z = 0) =
r+
k0 Q
.
=p
2
L + (x − L)2
Se¸c˜
ao 1.
Logo, o potencial resultante ´e
V (x, y = z = 0) = k0 Q
n
−1/2 2
−1/2 o
L2 + (L + x)2
+ L + (x − L)2
.
(3)
(b) Devido a` simetria axial da distribui¸c˜ao de cargas nos an´eis, o campo el´etrico resultante ter´a somente componente
x, igual a [cf. Eq. (3)]:
∂V (x, y = z = 0)
∂x −3/2
−3/2
1 2
1 2
L + (L + x)2
L + (x − L)2
2(L + x) + −
2(x − L) ,
= −k0 Q
−
2
2
Ex (x, y = z = 0) = −
ou, finalmente,
~
E(x,
y = z = 0) = k0 Q
(
x+L
[L2 + (x + L)2 ]3/2
+
x−L
[L2 + (x − L)2 ]3/2
Z
)
ˆ.
x
qq ′
,
r
~ =E
~ 0 /K ,
E
C = Q/V
~ = nq~v ,
J
V = RI ,
~ ·dA
~ ,
J
V = k0
q
r
M´
ultipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Considere as seguintes afirmativas: (I) No interior de
um condutor em equil´ıbrio eletrost´atico, o potencial
el´etrico ´e sempre nulo. (II) Se o campo el´etrico ´e
nulo em um determinado ponto do espa¸co, o potencial el´etrico tamb´em ser´a nulo nesse ponto. (III) Se o
potencial el´etrico ´e nulo em um determinado ponto do
espa¸co, o campo el´etrico tamb´em deve ser nulo nesse
ponto. Qual(is) delas ´e(s˜ao) verdadeira(s)?
(a)
Apenas a I.
(b)
Apenas a II.
(c)
Apenas a III.
(d)
Apenas a I e a II.
(e)
Apenas a I e a III.
(f)
Apenas a II e a III.
(g)
Todas s˜ao verdadeiras.
(h)
Nenhuma ´e verdadeira.
2. Um capacitor de placas planas e paralelas, imersas no
v´acuo, ´e conectado a uma bateria de for¸ca eletromotriz constante. Se a distˆancia entre as placas do capacitor ´e duplicada enquanto o capacitor permanece
conectado a bateria, a energia armazenada no capacitor
(c) Para tal item, s´o precisamos multiplicar o potencial no ponto x pela carga da part´ıcula, ou seja,
n
−1/2 2
−1/2 o
U = k0 qQ L2 + (L + x)2
+ L + (x − L)2
.
3
~ = −∇V
~ ,
E
1
(a)
quadruplica.
(b)
duplica.
(c)
n˜ao se altera.
(d)
reduz-se a metade.
(e)
reduz-se a um quarto.
3. Uma esfera isolante com carga Q uniformemente
distribu´ıda ´e envolvida por uma casca esf´erica,
concˆentrica, condutora, e de carga qc , com raio interno
a e raio externo b (b > a). A densidade superficial de
carga na parede interna da casca condutora vale:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
5. Um condutor, carregado com carga Q, possui uma
cavidade esf´erica em seu interior. Nessa cavidade, h´a
duas part´ıculas, de cargas q e −q. Chame de regi˜ao I
o espa¸co fora do condutor, de regi˜ao II o condutor, e
de regi˜ao III a cavidade. Qual das op¸c˜oes a seguir
descreve corretamente o comportamento do campo
el´etrico nas trˆes regi˜oes?
0.
Q
−
.
4πa2
Q
.
4πa2
Q
−
.
4πb2
Q
.
4πb2
Q + qc
.
4πa2
Q + qc
.
4πb2
(a)
(b)
(c)
4. Considere um ene´agono (pol´ıgono de nove lados) regular, com part´ıculas de carga q em cada um de seus
v´ertices, exceto um deles, conforme mostrado na figura. Qual ´e a for¸ca el´etrica resultante sobre uma
part´ıcula, de carga −q, no centro do pol´ıgono?
(d)
(e)
~ I = ~0, E
~ II 6= ~0
E
~ II =
~ I 6= ~0, E
E
6 ~0
~ I 6= ~0, E
~ II = ~0
E
~ I = ~0, E
~ II = ~0
E
~ III =
eE
6 ~0.
~ III 6= ~0.
eE
~ III 6= ~0.
eE
~ III = ~0.
eE
~ I 6= ~0, E
~ II = ~0 e E
~ III = ~0.
E
8. Das afirmativas abaixo, assinale a u
´ nica que ´e incorreta.
7. Uma corrente ´e estabelecida num tubo de descarga de
g´as quando uma diferen¸ca de potencial (ddp) ´e aplicada entre os dois eletrodos no tubo. O g´as se ioniza,
os el´etrons movem-se em dire¸c˜ao ao terminal positivo
e os ´ıons positivos em dire¸c˜ao ao terminal negativo.
Em um tubo de descarga de hidrogˆenio, 7,00 × 1018
el´etrons e 3,00 ×1018 pr´otons passam atrav´es da se¸c˜ao
reta do tubo a cada segundo. Quais s˜ao o m´odulo I da
corrente el´etrica e o sentido do vetor densidade de corrente el´etrica neste tubo de descarga? Lembre-se que
o m´odulo da carga do el´etron vale 1,60×10−19 C.
(a)
I = 1,60 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(b)
I = 0,640 A. Sentido: do terminal positivo
para o negativo.
(c)
I = 1,60 A. Sentido: do terminal negativo
para para o positivo.
(d)
I = 0,640 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(e)
I = 1,12 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(f)
I = 1,12 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(a)
O campo el´etrico produzido por um corpo com
carga total igual a zero pode ser diferente de
zero.
(b)
O campo el´etrico no interior de um material
diel´etrico ´e sempre zero, mesmo que ele esteja
em uma regi˜ao com campo el´etrico.
(c)
O campo el´etrico entre as placas de um capacitor isolado diminui quando a regi˜ao entre
suas placas ´e completamente preenchida por
um material de constante diel´etrica K > 1.
(d)
Quando um material diel´etrico ´e inserido entre as placas de um capacitor, surge uma densidade superficial de carga induzida nas superf´ıcies do diel´etrico que causa a mudan¸ca da
capacitˆancia.
(e)
Quando um material diel´etrico ´e inserido entre
as placas de um capacitor, ´e poss´ıvel submeter
esse capacitor a maiores diferen¸cas de potencial, sem que ocorra a ruptura diel´etrica.
Se¸c˜
ao 2. Quest˜
oes discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Um fio de comprimento 2L foi carregado de modo a dotar a metade superior com densidade linear de
carga λ e a metade inferior com densidade linear de carga −λ, onde λ ´e uma constante positiva.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
6. Qual ´e o trabalho necess´ario para formamos a configura¸c˜ao de trˆes part´ıculas, todas com a mesma carga
q, supondo que tais part´ıculas est˜ao, de in´ıcio, infinitamente afastadas?
9k0 q 2
ˆ.
x
a2
9k0 q 2
ˆ.
x
a2
8k0 q 2
ˆ.
− 2 x
a
8k0 q 2
ˆ.
x
a2
k0 q 2
ˆ.
x
a2
k0 q 2
ˆ.
− 2 x
a
−
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
2
2k0q 2
a
4k0q 2
a
5k0q 2
a
6k0q 2
a
3k0q 2
a
.
.
.
.
Figura 10: Quest˜ao discursiva 1
.
3
(a) Determine o campo el´etrico (m´odulo, dire¸c˜ao e sentido) num ponto P situado a uma distˆancia x do fio, na
perpendicular a partir de seu ponto m´edio. [1,4 ponto]
(b) Obtenha o potencial el´etrico no ponto P supracitado. [0,5 ponto]
(c) Mesmo para grandes distˆancias (|x| ≫ L), o campo el´etrico n˜ao ´e exatamente nulo. Qual ´e o comportamento
do campo el´etrico, como fun¸c˜ao de x, nessa aproxima¸c˜ao? Interprete seu resultado. [0,7 ponto]
2. [2,6 pontos] Dois an´eis circulares, de mesmo raio L, perpendiculares ao eixo X, tˆem seus centros em x = −L e
x = L. Ambos possuem a mesma carga total Q, uniformemente distribu´ıda.
Figura 12: Gabarito da quest˜ao discursiva 1.
Figura 11: Quest˜ao discursiva 2.
(a) Determine o potencial el´etrico devido aos an´eis, em um ponto gen´erico do eixo X, com abscissa x, tomando
tal potencial como zero no infinito (x → ∞)? [1,2 ponto]
(b) Usando o potencial do item (a), determine o campo el´etrico devido aos an´eis, no mesmo ponto supracitado.
[1,0 ponto]
(c) Considere agora uma part´ıcula de carga q, ainda no mesmo ponto supracitado. Determine a energia potencial
associada a` intera¸c˜ao dessa part´ıcula com o campo el´etrico produzido pelos an´eis? [0,4 ponto]
Gabarito para Vers˜ao D
Se¸c˜
ao 1.
M´
ultipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (h)
5. (c)
2. (d)
6. (e)
3. (b)
7. (a)
4. (f)
8. (b)
Se¸c˜
ao 2. Quest˜
oes discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolu¸
c˜
ao:
(a) Usaremos o princ´ıpio de superposi¸c˜ao para calcular o campo el´etrico resultante devido ao bast˜ao “dipolar”.
Para tanto, percebemos, por simetria, que a u
´ nica componente que restar´a ´e a componente y, dada por (cf. Fig. 12)
4
1
Finalmente, ent˜ao,
k0 ~p
k0 λL2
~
ˆ=− 3 .
y
lim E(x,
y = z = 0) = −
3
x
x
~ ·y
ˆ
dEy = dE
k0 dq
ˆ
= 2 ˆr · y
r
y
k0 λ dy
−
=
2
r
r
y dy
.
= −k0 λ
(x2 + y 2 )3/2
Logo,
Ey = −2k0 λ
Z
|x|≫L
Tal express˜ao ´e justamente aquela do campo el´etrico de um dipolo (“pontual”), em um ponto de seu plano m´edio,
a uma distˆancia |x| de seu centro (|x| ≫ L), sendo o seu vetor momento de dipolo el´etrico dado justamente por
~p = QLˆ
y,
onde Q = λL, e L desempenhando justamente o papel da extens˜ao do dipolo, ou seja, a distˆancia entre os pontos
m´edios de cada um dos dois segmentos (acima e abaixo da origem).
L
y dy
y=0
(x2 + y 2 )3/2
,
(1)
o que sugere a seguinte substitui¸c˜ao trivial de vari´aveis:
2
u := x + y
2
(a) Usaremos o princ´ıpio de superposi¸c˜ao para potenciais, ou seja,
=⇒
du = 2y dy .
V (x, y = z = 0) = V− (x, y = z = 0) + V+ (x, y = z = 0) .
Aqui V− ´e o potencial devido ao anel com centro em x = −L, ou seja,
k0 Q
V− (x, y = z = 0) =
r−
k0 Q
,
=p
L2 + (x + L)2
Inserindo isso na Eq. (1), obtemos
x2 +L2
du/2
u3/2
2 +L2
x
u−1/2 = −k0 λ
.
(−1/2) 2
Ey = −2k0 λ
Z
u=x2
u=x
Finalmente, pois,
2. Resolu¸
c˜
ao:
~
E(x,
y = z = 0) = 2k0 λ
√
1
1
−
2
2
|x|
x +L
ˆ.
y
(2)
e V+ ´e o potencial devido ao nale com centro em x = L, ou seja,
k0 Q
V+ (x, y = z = 0) =
r+
k0 Q
.
=p
2
L + (x − L)2
Logo, o potencial resultante ´e
(b) Para o c´alculo do potencial no mesmo ponto, tamb´em usaremos o princ´ıpio de superposi¸c˜ao, desta feita para
potenciais, obviamente. Devido, contudo, a` simetria da distribui¸c˜ao de carga, com respeito ao eixo X, ´e o´bvio que
o potencial resultante em qualquer ponto de tal eixo ´e identicamente zero:
V (x, y = z = 0) = 0 .
V (x, y = z = 0) = k0 Q
2
∂V (x, y = z = 0)
∂x −3/2
−3/2
1 2
1 2
L + (L + x)2
L + (x − L)2
2(L + x) + −
2(x − L) ,
= −k0 Q
−
2
2
Ex (x, y = z = 0) = −
(ε, α ∈ R, |u| ≪ 1) ,
da Eq. (2), quando |x| ≫ L, ou seja, para ε := x/L → 0. Obtemos, ent˜ao,
1
1
~
√
ˆ
−
lim E = lim 2k0 λ
y
|x|≫L
|x|≫L
x2 + L2 |x|
#
"
1
1
p
ˆ
y
−
= 2k0 λ
2
|x|
|x| 1 + (L/x)
o
−1/2
2k0 λ n
ˆ
=
1 + (L/x)2
−1 y
|x|
1 L2
2k0 λ
ˆ.
1−
+
.
.
.
−
1
=
y
|x|
2 x2
(3)
(b) Devido a` simetria axial da distribui¸c˜ao de cargas nos an´eis, o campo el´etrico resultante ter´a somente componente
x, igual a [cf. Eq. (3)]:
(c) Basta tomarmos o limite, usando a aproxima¸c˜ao do binˆomio de Newton,
(1 + ε)α ≃ 1 + α u + . . .
n
−1/2 2
−1/2 o
L2 + (L + x)2
+ L + (x − L)2
.
ou, finalmente,
~
E(x,
y = z = 0) = k0 Q
(
x+L
[L2 + (x + L)2 ]3/2
+
x−L
[L2 + (x − L)2 ]3/2
)
ˆ.
x
(c) Para tal item, s´o precisamos multiplicar o potencial no ponto x pela carga da part´ıcula, ou seja,
n
−1/2 2
−1/2 o
U = k0 qQ L2 + (L + x)2
+ L + (x − L)2
.
3