Le champ magnétique - Université Virtuelle de Tunis

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Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Technologie
Université Virtuelle de Tunis
Physique - électricité : TC1
Le champ magnétique
Concepteur du cours:
Jilani LAMLOUMI & Mongia BEN BRAÏEK
Attention !
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Physique électricité : TC1
I. INTRODUCTION
La magnétostatique est l'étude des champs magnétiques créés par les distributions
permanentes de courants, c'est à dire par des répartitions de courants volumiques,
superficielles ou filiformes, indépendantes du temps.
Par analogie avec les développements présentés pour l'étude du champ électrostatique,
nous énoncerons la loi de Biot et Savart , déduite à partir de l'interaction magnétique.
Nous en déduirons l'analogue du théorème de Gauss, connu sous le nom du théorème
d'Ampère. Il ne faut cependant appliquer l'analogie entre régimes électrostatique et
magnétostatique qu'avec prudence. Les différences essentielles entre électrostatique et
magnétostatique sont :
- Il est impossible d'isoler des masses magnétiques d'un signe déterminé,
contrairement aux charges électriques. Si on brise un aimant en deux, les deux morceaux
obtenus sont deux aimants.
- On ne peut définir la position des pôles d'un aimant et leur distance avec précision
mais seulement la direction de l'axe magnétique.
- Alors que le champ électrique est un vecteur le champ magnétique est un vecteur
spécial appelé pseudo-vecteur ou vecteur axial ; l'analogie ne s'étend donc pas aux
propriétés géométriques des champs électrique et magnétique qui sont en général
orthogonaux pour des sources (charges ou courants) de même symétrie.
2
Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI
- Alors que la force électrique a la même direction que le champ électrique, la force
magnétique qui s'exerce sur une charge en mouvement a une direction perpendiculaire au

champ magnétique B .
II. DEFINITION DU CHAMP MAGNETIQUE
Des phénomènes magnétiques sont observés depuis l'antiquité. Le plus ancien de ces
phénomènes est l'attraction exercée sur le fer par un minerai naturel (oxyde de fer : Fe 2 O3)
appelé alors magnétite d'où le nom de magnétisme. Le magnétisme est alors défini comme
étant la propriété qu’a un corps d'attirer le fer ou l'acier. Un tel corps est appelé aimant. Il
peut être orienté par la terre ; repousser ou attirer d'autres aimants. Ces interactions de
type magnétiques liées aux effets produits par des aimants relèvent en fait d'un type de
force à caractère plus général : interaction électromagnétique. C'est depuis le 19 ème siècle
et suite aux expériences d'Oersted et d'Ampère; que l'on ne pouvait plus dissocier les
phénomènes électriques des phénomènes magnétiques.
- La circulation d'un courant électrique le long d'un fil disposé au-dessus d'une
aiguille aimantée (boussole) fait dévier l'aiguille aimantée. Ainsi on met en évidence
l'existence de forces magnétiques dues au courant électrique.
- Un fil conducteur parcouru par un courant électrique et placé au voisinage d'un
aimant subit un déplacement dont le sens dépend du sens du courant. Un courant électrique
subit des effets d'origine magnétique.
- Deux fils conducteurs parallèles, parcourus par des courants électriques
s'attirent ou se repoussent.
Tous ces phénomènes ont la même origine. On peut donc conclure que dans la région où se
manifestent ces effets, règne un champ d'un type nouveau qu'on appellera champ


magnétique B ( B est en fait appelé induction magnétique ).
3
Comme en électrostatique, il sera donc possible de décrire ces effets avec la connaissance de

la seule grandeur physique vectorielle B .

Pour définir B il suffit de choisir un de ses effets observés expérimentalement.
Dans le système international, B s'exprime en Tesla (T). On utilise aussi le Gauss, unité du
système C G S (1 T = 104 G).
Remarques
- L'intensité du champ magnétique terrestre, au voisinage de la surface de la terre, vaut
environ 5.10-5 T soit 0,5 G.
- En laboratoire, on peut produire des champs magnétiques de l'ordre de 0,1 T à 2 T entre les
pôles d'un électroaimant et des champs de quelques dizaines de Teslas à l'aide de bobines
supraconductrices.
III. LOI DE BIOT ET SAVART
III.1. Force d'interaction entre deux courants
permanents
4
Considérons deux circuits(C1)et
(C1)
(C2) filiformes, immobiles, placés

d1
dans le vide et parcourus par des

F 12
M1
courants permanents I1 et I2
(fig.1). L'expérience montre qu'ils
(C2)
M2

d 2
I1
interagissent entre eux et
I2
Fig.1

la force F12 que le circuit (C1) d'intensité I1 exerce sur le circuit (C2) d'intensité I2 a pour

expression :
F 12

 0
4
 
r 

C2 C1 I 2 I1 d 2  d1  3 
r 


(1)




où r représente le vecteur M 1 M 2 qui joint l'élément de courant d 1 à l'élément d 2 et 0
est une constante caractéristique des propriétés magnétiques du vide, appelée perméabilité
magnétique et dépend du système d'unités choisi. Dans le système d'unités SI : 0 = 4  10-7
et s'exprime , comme nous le verrons plus loin, en Henry par m².

On montre que le circuit (C2) exerce sur le circuit (C1) une force F 21 qui satisfait au principe


de l'action et de la réaction F 21   F 12 .
III. 2. Loi de Biot et Savart
La formule (1) peut se mettre sous la forme

F 12
 


r 
 0
  I 2 d 2  
I1 d1  3 

C2
C
r 
 4 1



Or l'expression vectorielle entre parenthèses ne dépend que du circuit (C 1), on peut donc

considérer, comme nous l'avons fait en électrostatique pour E , que cette expression
5
exprime une modification des propriétés due à la présence du seul circuit (C 1). Cette

expression vectorielle définit le champ d'induction magnétique B1 au point M2 créé par le
circuit (C1) parcouru par un courant I1.

B1  0
4

C
1


I1 d 1 
r
r3
D'une manière générale, un circuit fermé filiforme (C) parcouru par un courant I crée en un

point M de l'espace un champ d'induction magnétique B (M) donné par :

B( M )  0
4



r
 C I d  r 3
(2)
Ce résultat découle des résultats purement expérimentaux et constitue ce qu'on appelle la
loi de Biot et Savart.

Un circuit (C) parcouru par un courant I, placé dans un champ d'induction magnétique B ,

est soumis à la force F 


C I d  B .
Remarques

1. Le champ d'induction magnétique B donné par la formule (2) peut être considéré comme
la résultante des champs élémentaires créés par les éléments de courants qui constituent le


circuit (C); Le champ d'induction élémentaire dB créé par l'élément d parcouru par le
 
courant I et situé en P, en un point M tel que PM r est donné par :

0 
I d  r3
dB 
4
r


I

P
6
M
d

u
Fig.2


0  u  r
I d  ; u 
dB 
4
r²
r

Ses caractéristiques sont :
- il a pour module :
dB 
 0 Id sin 
;
4
r²
 
  (d, u )


- il est perpendiculaire au plan défini par d et u
  
- son sens est tel que le trièdre ( d , r , dB ) est direct.
Toutefois, il est en général plus commode de déterminer le sens du champ d'induction

élémentaire dB à partir de l'une des règles suivantes :
Règle du bonhomme d'Ampère
Un observateur placé sur l'élément de courant de telle façon que le courant le traverse des
pieds vers la tête voit le champ magnétique orienté de sa droite vers sa gauche.
Règle de tire-bouchon.
Un tire-bouchon progressant dans le sens du courant voit sa rotation s'effectuer dans le sens
du champ magnétique.


2. Physiquement, le champ magnétique dB créé par un élément de courant I d n'a aucun

sens. En effet, il n'est pas possible d'isoler un élément d et le considérer parcouru par un

courant permanent I. On ne peut avoir div j  0 (régime permanent) que dans un circuit

fermé. Le champ élémentaire dB n'est donc pas mesurable. Seul aura donc un sens

physique le champ magnétique B créé par un circuit fermé (C).
7
3. La loi de Biot et Savart n'est valable rigoureusement que pour un courant continu
d'intensité constante (régime stationnaire). Si l'intensité varie assez lentement, par exemple
dans le cas d'un courant sinusoïdal de fréquence 50 Hz, la loi de Biot et Savart reste encore
applicable mais si les variations d'intensité sont rapides (courants haute fréquence HF) alors
il intervient d'autres phénomènes (telle que la propagation).
4. Principe de superposition pour l'induction



A la superposition géométrique des forces correspond, d'après F   I d  B , une
C
superposition géométrique des inductions . En effet la force exercée par n circuits sur le
circuit C peut se décomposer en n forces élémentaires créées par chaque circuit pris
individuellement, on a :

n 

n 


F   F i   (I d   Bi )   I d  B
C
i 1

n 
D'où : B   Bi
i 1
C
i 1

où Bi désigne l'induction, créée par le circuit Ci, au point M où se

trouve l'élément d .
III. 3. Expressions du champ magnétique
III. 3.1. Champ magnétique créé par une charge en mouvement

Une charge q animée d'une vitesse v est équivalente, en première approximation, à un

élément de courant I d . En effet:
si on considère un élément de longueur
d du circuit, la charge totale contenue
d
q
dans cet élément est :

v
S
dQ  n q S d  n q S vdt , où n est le
t
8
t+dt
Fig.3 du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI
Concepteur
nombre de charges mobiles par unité

de volume et v est la vitesse du
déplacement.
I

dQ
n qSv
dt


Donc : v dQ  I v dt  I d
De la loi de Biot et Savart, nous pouvons ainsi formuler une expression du champ

magnétique créé par une charge q animée d'une vitesse v en un point M situé à la distance
r. Soit :

0  r
qv 3
B
4
r

(3)
III.3.2. Champ magnétique créé par une distribution de courants
a. Cas d'une distribution de courants filiformes
Dans le cas d'un circuit filiforme
(les dimensions transversales des
fils sont négligeables) parcouru
par
un
d'intensité
courant
I,
le
continu
champ
magnétique créé en un point


M ( r  PM ) est :
9

B (M)  0
4


C I

d  r
(4)
r3
b. Cas d'une distribution de courants non filiformes
* Distribution volumique
Dans le cas d'une distribution volumique

de courants de vecteur densité j v , on a
M
()

:
u

   
I d    j v . dS d
 S


d
P
(C)
Fig.5

    j v d 2  j d

Le champ magnétique créé par cette distribution de courant en M est :
0
B (M) 
4


   ( )

j v (P)  r
d
r3
(5)
* Distribution superficielle
Si
la
distribution
courants
modélisée
de
peut
être
par
une
distribution superficielle
parcourue par un courant

M
r
(S)
dS

P
u
Fig.6
de vecteur densité j s , on
10
a:
 




I d  (  js . d' ) .d   js d²S  js dS
S
S
Le champ magnétique créé par une distribution superficielle de courant en un point M s'écrit
donc :
0
B (M) 
4


 S

j S (P)  r
r3
dS
(6)
Remarque

Calculons , à partir de l’expression du champ magnétique B , l’expression de sa divergence :




j(P)PM
j(P)PM
0
0
div B(r)  div
dτ   div
dτ
3
4   3
4 

PM
PM

[
]
[
]
(On peut intervertir l’opérateur divergence avec l’intégrale puisque la
divergence ne porte pas sur les variables décrivant la distribution de
charges).
Or, on a les deux propriétés suivantes ( voir annexe) :
  
 
    
rot grad f 0 et div (b  a)  a .rot bb.rot a
11
Par conséquent :

j (P)PM

div

PM
3
 
dτ  j (P)rot grad

[
 
1 - PM rot
j (P)
3


PM
PM
]
 

En outre, rot j 0 puisque j est une fonction du point source P, alors que l’opérateur
rotationnel ne fait intervenir que les dérivés par rapport aux coordonnées du point M où on

veut calculer B .
D’où finalement :

div B  0
III. 4. Exemples de calcul du champ magnétique
III. 4. 1. Symétries du champ magnétique

La loi de Biot et Savart donnant B est une intégrale vectorielle c'est à dire définie par trois
composantes, aussi, lorsque le problème ne se présente pas simplement, on doit calculer
successivement chacune des trois composantes Bx, By et Bz.
Fréquemment, dans le cas de systèmes de courants possédant un plan ou un axe de
symétrie, il est facile de connaître la direction du champ magnétique dans le plan ou sur l'axe
de symétrie, en composant les champs élémentaires créés par deux éléments de courant

disposés symétriquement. Connaissant la direction de B , on peut alors calculer le module

de B par une seule intégrale.
12
Dans l'utilisation de cette méthode, on remarque que les éléments de symétrie jouent un
rôle considérable, aussi on va établir deux résultats intéressants relatifs aux propriétés de

symétrie du champ B (M), déduites de la loi de Biot et Savart, en un point M d'un plan de
symétrie.
a. cas d'un plan de symétrie
on dit qu'une distribution de courants admet un plan de symétrie (), si en deux points P1 et


P2, symétriques par rapport à (), on a : j (P2 )  image /  j (P1 )

Le champ magnétique B (M), créé par une distribution de courants présentant un plan de
symétrie (), en tout point M du plan (), est orthogonal à ce plan de symétrie (Fig.7). (Cas
d'un fil infini ou d'un solénoïde infini). En effet :


Soient Id 1 et Id 2 , deux éléments de

courants
disposés
en
P1
et
P2
P1
d1
symétriquement par rapport à ()
   
(P1M  r1 ; P2 M  r2 ; r1  r2  r ) :

M
H
P2

d 2
Fig.7

Le champ élémentaire dB créé en M par l'ensemble de ces deux éléments de courants est :



0 I 
dB dB1dB2 
( d1  r 1  d 2  r 2 )
4
r3
r3
 
 
 
 
 
r1  P1M  P1H  HM et r2  P2 M  P2 H  HM   P1H  HM


  I
D'où : dB  0 3
4 r
13

 
 
  

(d 1  d 2 )  HM  (d 1  d 2 )  P1H 


 

Comme (d 1  d 2 ) est perpendiculaire au plan () et de même que P1H , le produit
 

 
vectoriel (d 1  d 2 )  P1H est nul. Par contre (d 1  d 2 ) est contenu dans le plan () qui

 

contient HM et le produit vectoriel (d 1  d 2 )  HM est perpendiculaire à


(); il en résulte que dB est perpendiculaire au plan () et par suite B ( M ) est
perpendiculaire au plan ().
b. cas d'un plan d'antisymétrie
on dit qu'une distribution de courants admet un plan d'antisymétrie ('), si en deux points P1


et P2, symétriques par rapport à ('), on a : j (P2 )   image / ' j (P1 ) .

Le champ magnétique B ( M ) , créé par une distribution de courants présentant un plan
d'antisymétrie ('), en tout point M du plan ('), est contenu dans ce plan de symétrie (')
(Fig. 8).
(Cas d'une spire). En effet :
  

  0 I (d  d )    
HM
1
2
dB
 
4r 3   
 ( d 1  d 2 )  P1H 






(d1 d 2 )  ( ' )
 (d1 d 2 )HM( ' )



HM à ( ' )

'
M
Fig.8
14
P1

d1
H
P2

d 2




Il en résulte que : dB  ( ' ) ,  Id1 et Id 2 du circuit et par suite B(M)  ( ' ) .
III.4.2. Champ magnétique créé par un fil rectiligne
parcouru par un courant I
Si
on
désigne
 
(u r , u  , u z )
la
orthonormée
associée
par
au
z
base

uz
I

u
directe
système

de
M
O
coordonnées cylindriques, le
Fig.9

plan (M,u r ,u z ) contenant
OM et le fil est un plan de
ur
z’
z
  OP
r  PM

symétrie. Le champ B ( M )
est donc normal à ce plan, il
est

porté

par u  :

B(M)B(M) u 



Ce résultat s'applique dans le
a
O
I d

2
B (M)
M
1

P u

uz
cas d'un fil de longueur finie ou
infinie.

z’
Fig.10

ur
u
Chaque élément de courant

I d crée au point M un

champ dB donné par:
15
 

 0 I d  PM
 I d
, de module : dB(M)  0 2 sin
dB (M) 
3
4 PM
4 r
Si on choisit comme variable , on a :

a
a
a²
sin  sin(  )  cos   r 
 r² 
2
r
cos
cos ² 
tg 

a
   a tg   d 
d
a
cos ² 
Soit :
dB(M) 
D'où : B(M )

Soit :
B(M )
0 I
cos  d
4 a
0 I
4a
2

1
cos d 
0 I
( sin  2  sin 1 )
4a

0 I
( sin  2  sin 1 ) u 
4a

Le champ B créé par un fil rectiligne de longueur infinie, en un point M distant de a du fil,
est obtenu en écrivant 1  

 I 
Soit : B (M)  0 u 
2 a


et  2  .
2
2
(8)
Remarque

Le vecteur B est tangent en M au cercle de rayon a et de centre O, il en est de même pour

tous les vecteurs B situés sur ce cercle. Les lignes de champ sont donc des cercles ayant
pour axe le courant et dont le sens est donné par la règle de tire - bouchon (ou du
bonhomme d'Ampère).
16
III.4.3. Champ magnétique créé par une spire
circulaire en un point de son axe
Soit une spire circulaire

filiforme de rayon R, de
centre O, parcourue par un
courant
P
I d
R
r
d'intensité
I(fig.11).

x'
O
de la spire est un plan
x

M dBx x
Fig.11
Tout plan contenant l'axe

x 'x

dB
I
d'antisymétrie.

Le champ B (M) créé en un point M de l'axe est dirigé suivant cet axe.

Un élément de courant I d de la spire, centré en P, crée en M un champ élémentaire


dB(M ) perpendiculaire à PM donné par :
 

 0 I d  PM
dB (M) 
4 PM 3



Puisque B ( M ) est porté par x' x, seule la composante de dB(M ) suivant x 'x nous
intéresse.
dBx (M)  dB(M) cos   dB(M) sin  (  
Soit:

 )
2
 

Avec: PM  r et (d , PM )  , on a :
2
 0 I d  0 I d
dB(M ) 
=
4 r 2
4 r 2
 I
Soit : dB x (M )  0 2 d sin 
4 r
17
Pour tous les éléments d ,  est le même. L'intégration de dB x sur toute la spire donne le
module du champ résultant B(M) . Donc :
B(M ) 
2R
o I
 IR
sin 
d  o
sin
0
4r²
2 r²
et comme r 
B(M ) 
R
, on obtient :
sin 
o I 3

2R sin
(9)
Ou en fonction de x :

 I
B (M)  o
2

R²
3
(R ² x ²) 2
ux
(10)
Remarques

1. Le champ magnétique B1 ( M ) créé par une bobine plate ayant N spires est


: B1 (M)  N B(M) .
2. Si M est confondu avec O, on a  
 I

et B(O)  o : C'est le champ magnétique créé
2
2R
au centre de la spire.

Le champ magnétique créé par une bobine plate en son centre est : B1 (O) 
o N I 
ux .
2R
3 - Allure de la courbe B(x)
B(x)
0 I
2R
18
O
Fig.12
x
0 I
2
B( x ) 
 B(O)
R²
3
(R ² x ²) 2
R3
3
(R ² x ²) 2
III.4.4. Champ magnétique créé par un solénoïde en un point de son axe
On
considère
solénoïde
un
de
I
longueur  comportant
N spires jointives de
même
rayon
R
x
régulièrement
réparties.
On
se
propose de déterminer
le champ magnétique
créé en un point M
1
M

dx
2

R
ux
Fig.13
quelconque de l'axe du
solénoïde.

Par raison de symétrie, B(M ) est dirigé suivant l'axe, son sens est donné par la règle de tirebouchon.
19
Soit une tranche du solénoïde d'épaisseur dx située à la distance x (fig.13 ) et vue du point M
sous l'angle . Cette tranche contient
Nd x
spires. En utilisant le résultat obtenu pour une

spire, on voit que le champ magnétique élémentaire créé par cette tranche sera :
dB(M) 
o I N
sin 3  dx
2R 
Si on désigne par n 
dB(M) 
N
le nombre de spires par mètre, on a :

o n I
sin 3  dx
2R
Choisissons comme variable d'intégration l'angle .
On a : tg 
Soit:
R
R
donc x 
x
tg
dB(M)  
, dx 
R
d
sin ² 
 o nI
sin d
2
En intégrant entre les angles 1 et  2 , il vient :
B(M )  -

B(M) 
Soit:
 o nI
2
2

1
sin d 
 0 nI
( cos  2  cos 1 )
2

 0 nI
( cos  2  cos 1 ) u x
2
(11)
Remarques
20
1. Si le point M est à l'intérieur du solénoïde,
la formule reste valable :


 nI
B(M)  0 ( cos  2  cos 1 ) u x
2

x'
1
M

2
x
Fig.14
2. Si le solénoïde est très long "infiniment long", dans ce cas :  2  0 , 1   et
cos  2  cos 1  2


B(M )   0 n I u x
D'où :
(12)
En pratique, il est impossible de réaliser des solénoïdes de longueur infinie, toutefois pour
un solénoïde de longueur   10R , le champ magnétique reste sensiblement constant sur
l'axe.
IV. CIRCULATION DU CHAMP MAGNETIQUE
THÉORÈME D'AMPÈRE
IV. 1. Circulation du champ magnétique dans le cas
d'un courant rectiligne filiforme indéfini
(infiniment long)
IV.1.1. Circulation élémentaire
21
Soit un fil infiniment long parcouru par un courant I, l'axe oz est confondu avec ce courant.

Le champ magnétique créé en un point M, distant de r de l'axe, est : B(M) 
z
o I 
u
2r

B
Quand on passe de M à M', la
M'

circulation élémentaire de B est :
M
I
 
dC  B . M M' , avec :
y
o





M M'  d  d r u r  rd u   dz k
Soit : dC 
o I
d
2

r
m'
m
x
Fig.15
Remarque
Cette circulation élémentaire ne dépend que de d, par conséquent sa valeur le long de
MM' est la même que celle calculée le long de sa projection mm'.
IV.1.2. Circulation le long d'un contour fermée 
La courbe fermée  n'entoure (n'enlace) pas le
courant
Nous pouvons donc prendre une courbe plane  (   AECDA ) contenue dans le plan
normal au courant.
22
 
 B . d  B2 CD  B1 AE
(Sur les côtés DA et EC, la circulation est

D

nulle car B  u r ). Or :
 I
k
CD   r2 et B 2 
 o
r2
2 r2
AE   r1 et B1 

A
 I
k
 o
r1 2 r1
x
r2
 r2
r1
r1
I
B2

B1 
B
E
Ainsi :
C
Fig.16
B2 CD  B1AE 
k
k
 r2   r1 = 0
r2
r1

Toute circulation de B le long d'un contour fermé qui n'entoure pas le courant est donc
nulle.
b. La courbe fermée  entoure le courant
Quand on décrit la courbe ,
l'angle  varie continuellement

B
()
jusqu'à la valeur 2  quand on fait
un tour . Donc :

I
Fig.17
C
23
 o I 2
d   o I
2  0
(13)

La circulation de B sur une courbe fermée quelconque entourant un fil conducteur est
égale à 0I.
Remarques

La circulation de B est positive si elle se fait dans le sens positif de , elle est négative si elle
se fait dans le sens contraire.
Le sens de parcours, le long de la courbe , est positif quand il se fait de la droite vers la
gauche de l'observateur d'Ampère placé sur le fil dans le sens du courant.
V. 2.Cas général
IV. 2. 1. Circulation élémentaire du champ
Soit un circuit C parcouru par un
courant
I.
En
un
point

B
M
quelconque, il crée une induction
d


B donnée par la loi de la Biot et


B 
C
M
M'
u
(C')
Savart :

da

(C)
Fig.8

 o I d  u
4 r ²



Pour un déplacement élémentaire da ( da  M M' ) , la circulation élémentaire du champ est
:
24


 I
d  u 
dC  B. da  o 
. da
4 ( C) r ²
 






 u da
 da d
d  u
da . (
)  d .
 u.
r²
r²
r²

Or :

La circulation de B s'écrit alors :


 I  da d
C   B. da  o  u .
4
r²
 
Supposons qu'au lieu de déplacer M en M', on laisse fixe M et on fait subir au circuit (C ) une




translation (  da ) qui l'amène en (C'), l'aire balayée est dS  (- da  d ) et la circulation de

 I  ( dS )
 I
  o  d
B devient alors : C  o  u .
4
r²
4

d est l'angle solide élémentaire sous lequel on voit cet élément de surface dS depuis le
point M.
Si on désigne par  l'angle solide sous lequel on voit depuis M le circuit (face sud du circuit),
l'angle solide sous lequel on voit depuis M' le circuit est  + d .
La surface balayée par (C) et les surfaces propres qu'il délimite dans ses positions initiale et
finale forment une surface fermée. L'angle solide sous lequel on voit de l'extérieur cette
surface est nul; donc la contribution en angle solide de la surface balayée est égale mais de
signe contraire à celle de la surface propre de (C). D'ou : d = - d
Et par conséquent :
dC 
Soit :
C 
o I
o I
d


d
4 
4 
oI
d
4
d étant la variation de l'angle solide sous lequel on voit du point M le circuit (en fait la
face sud du circuit).
25
IV.2.2.Circulation du champ magnétique le long
d'une courbe fermée
a. Courbe fermée enlaçant le courant
Pour simplifier, considérons une
spire plane parcourue par le

courant I. La circulation de B le
I

long de la courbe  est :
Fig.19

C  o I  d , avec  d  4

4 
D'où :
C 0 I
(14)
Remarques
- Si on se déplace sur la courbe  en sens inverse, la circulation sera négative et égale à (- µ0 I
).
Si on enlace n fois le courant dans le sens positif,
on a :C = nµo I
- Si on enlace une fois plusieurs courants, on a : C = µ0  Ii où  Ii désigne le courant total
enlacé, avec la convention suivante :
Un courant traversant () suivant la normale positive est affecté du signe (+) dans le cas
contraire du signe (-).
Courbe fermée n'enlaçant pas le courant
26
Si le chemin d'intégration (courbe fermée) n'enlace pas le circuit,  est uniforme et ne subit
pas de discontinuité   0 . D'où :

 
B . d  0
(15)
IV.3. Enoncé du théorème d'Ampère

Dans le vide, la circulation du vecteur induction magnétique B le long d'une courbe
fermée est égale au produit par µo de la somme algébrique des intensités des courants qui
traversent cette courbe.
C
 
 B . d   0  I i
(16)
Remarque
Le théorème d'Ampère en magnétostatique est analogue au
théorème de Gauss en électrostatique.
Exemples
27
I
I




n
n

 
 
 B. d   0 (I  I)  0
B . d   0 I
I1
I


I2


n
n

 
 
 B. d   0 (I 2  I1 )
B . d  2 0 I
Fig.20
28
IV.4. Applications du théorème d'Ampère
IV.4.1 Champ magnétique d'un conducteur
cylindrique indéfini

On se propose de déterminer le champ magnétique B(M ) créé par un conducteur
cylindrique de longueur infinie de rayon a et parcouru par un courant d'intensité I.



Le plan  (M, u r , k ) est un plan de symétrie. Le champ B(M ) est normal à ce plan, il est

porté par u  . La distribution de courants présente une symétrie cylindrique: indépendante
de toute translation et rotation autour de l'axe z'z. Le champ magnétique ne dépend donc
que de la distance r.


B(M)  B(r ) u 
* r<a
 
 B . d   o i  B 2  r   o i
z
l'intensité i étant l'intensité du
courant qui passe par le disque

a
u
de rayon r.
I
I
ij S
r ² 
r²
a ²
a²


I
k
B

M
r
M
a

ur
D'où :
B 2  r = 0 i   0
I 2
r
a²
I 
B  0 r u
2  a²

Soit :
z'
Fig.21
*r>a
29

B 2  r = 0 I  B 
o I 
u
2 r
Remarque
B(r)
Pour r = a, on a :
B
o I
 Bin (r  a )
2 a
Il
n'y
a
pas
 I
0
2 a
de
0
discontinuité du champ
magnétique B quand on
passe
de
l'intérieur
r=a
r
Fig.22
à
l'extérieur du conducteur.
IV.4.2. Champ d'un solénoïde infini
Un solénoïde, de longueur infinie et d’axe z’z, comporte n spires jointives par unité de
longueur. Les spires ont pour rayon R et sont parcourues par un courant d’intensité I.
1. En tenant compte de la symétrie, montrer, en utilisant le théorème d’Ampère, que le

champ magnétique B(M ) est uniforme à l’intérieur et à l’extérieur du solénoïde.
2. En faisant l’hypothèse que le champ est nul à l’extérieur du solénoïde, déterminer le

champ B(M ) à l’intérieur du solénoïde.
30

k



1. Le plan (M, u r , u  ) est un plan
z

de
B
symétrie.
est

B

ur
M
u
donc
perpendiculaire à ce plan, c’est à
I
dire parallèle à l’axe du solénoïde :

D
C


n .
B  B(r, , z) k .
(C3)
r1
Le solénoïde étant infini, il est
A
invariant dans toute translation
B
r1r2
parallèle à l’axe z'z et dans toute
(C1)

rotation autour de celui - ci : B ne
peut dépendre
z' r2
donc que de la
Fig.23
distance de l’axe au point où l’on


mesure : B(M)  B(r ) k
Dans un plan passant par l’axe, considérons deux courbes
d’Ampère (C 1) et (C3)
rectangulaires et de côtés parallèles ou perpendiculaires à l’axe, les côtés parallèles ayant
pour longueur commune  .
C
 
3
B . d  
 
AB
B . d  
 
BC
B . d  
 
CD
B . d  
 
DA
B . d
Aucune intensité de courant
 0  B (r2 )   0 - B (r1 )   [ B (r2 ) - B (r1 ) ] 

ne traverse (C3); la circulation de B sur (C3) est donc nulle : [ B (r2 ) - B (r1 ) ]  = 0 . Ce qui
donne B (r2 ) = B (r1 ) .

Le champ de vecteur B est donc uniforme à l’extérieur du solénoïde.
31

De même la circulation de B sur (C1) vaut [ B (r2 ) - B (r1 ) ]  . Cette courbe (C1) n’est


traversée par aucun courant : La circulation de B est donc nulle et B est uniforme à
l’intérieur du solénoïde.
I


2. Bex  B(r  R )  0
C
A (C2)
D
 
2
B . d  (B ex - Bin ) 
I
 (-Bin ) 
B
Fig.24

C
n
La courbe (C2) est traversée N fois par I dans le sens contraire de sa normale positive. La

circulation de B sur (C2) vaut :   0 N I
D’où :  B in    0 N I
Soit : Bin =  0
Avec n =

N
I = 0 n I

N
qui represente le nombre de spirespar unité de longueur.



D'où : B = Bint  n  0 I k
V. LE POTENTIEL VECTEUR
En électrostatique, le champ électrique dérive d'un potentiel scalaire.

Nous allons montrer que le vecteur champ magnétique B(M ) dérive lui aussi d'un potentiel
mais que ce potentiel est de nature vectorielle.
32



 
On sait que div rot  0 .On peut donc définir un vecteur A ( M ) tel que : B(M)  rot A(M)
(17)



A ( M ) est appelé potentiel vecteur du champ magnétique B(M ) . Les expressions de A ( M )
sont données par :
V.1. cas d'un circuit filiforme


o
A (M)   Id
4 C r
(18)
V.2. cas d'une distribution surfacique de courant


j dS
A(M )  o   s
4 ( S ) r

(19)
V.3. cas d'une distribution volumique de courant


j  d
A(M)  o   
(

)
4
r

(20)
VI. LES EQUATIONS LOCALES DU CHAMP MAGNETIQUE ET DU POTENTIEL
VECTEUR
VI. 1. Les équations locales du champ magnétique
 
L'expression du théorème d'Ampère est :  B. d   0 I
C
Dans le cas d'une distribution volumique du courant, on a :
 
I   ( j . n ) dS
S
C
Soit :
 
 
B.d  0  ( j . n ) dS
S
Or d'après le théorème de stockes :
33
C
 
 
  
B. d  rotB.dS   (rot B. n )dS
S
S
Soit encore :
S
 


(rotB   0 j ). n dS  0 : expression qui doit être nulle quelque soit la
surface S s'appuyant sur la courbe (C) . On en déduit donc que l'on doit avoir en chaque
point :
 

rot B  0 j
(21)
L'expression (21) représente la formule de Maxwell - Ampère, appelée aussi forme locale
du théorème d'Ampère.
Comme la divergence d'un rotationnel est toujours nulle, on en déduit que

 
: div B  divrot A  0

divB  0
(22)
Remarque

div B  0 
 
S B.dS  0 (d'après le théorème de Green Ostrogradski)

Le champ magnétique B est donc un champ de vecteurs à flux conservatif.
VI.2. Les équations locales du potentiel vecteur


Le potentiel vecteur A d'une distribution volumique de courant de densité j répartie à
l'intérieur d'un volume est défini par :


j
A  o 
d

4
r

34

Si on fait l'analogie entre A et le potentiel scalaire électrostatique V ( V 
V  
1
4 o
 

d et
r

), on aura en notation vectorielle :
o


A    o j
(23)
Dans les régions de l'espace où il n'y a pas de courants, on a :


A  0

 
 

Sachant que : B  rot A et rot B  0 j .
 

 




Et (rot B)  rot(rot A)  grad (div A)  A   o j





A    o j  grad (div A)  0  divA  cte , la constante peut être prise égale à zéro.

D’où : div A (M )0 : Condition de jauge de Coulomb (24)
Remarques

 
 
  
 
* B rot A   B. dS    rot A.dS   A . d
S
S
C

Le flux du vecteur B à travers une surface (S) limitée par une courbe (C) est égal à la

circulation du potentiel vecteur A le long de (C)
S
 
 
B. dS   A . d
C
* Analogie électrostatique - magnétostatique :
35
Electrostatique


Magnétostatique

E   grad V
 
B  rot A
 
div E 
o
rot B  0 j

o
A    o j
V  





div B  0

rotE  0
S
 
 Qi
E. dS 
 
o
 
C B. d   o  Ii
VII . Action magnétique sur les courantsForces magnétiques
VII.1. Actions exercées par des charges ponctuelles en
mouvement sur une charge ponctuelle elle
même en mouvement
On a vu en électrostatique, si toutes les charges ponctuelles sont au repos, elles créent en un
point M où est placée la charge ponctuelle q, elle-même au repos, un champ électrostatique



E et la charge q est alors soumise à une force F  q E .
36
Lorsque toutes les charges sont en mouvement, la force subie par la charge q n'a pas une
expression aussi simple. On montre que la force totale subie par la charge q comporte deux
composantes :



- Une force électrique de la forme F1  qE où le champ électrique E est indépendant
de la charge q ;
- Une force magnétique due en particulier au mouvement de la charge q de la


 

forme F 2  q v  B, v étant la vitesse de la charge q et B est le vecteur champ magnétique
créé par toutes les charges en mouvement autre que la charge q au point où est placée la
charge q à l'instant t.
La force totale agissant sur la charge q sera donc :




F  q ( E  v  B)
(25)
Cette force s'appelle force de Lorentz.
Remarque

Le champ magnétique B peut être créé également par un aimant ou une distribution de
courants. Ainsi, une charge ponctuelle q, placée dans une région où règne un champ




magnétique B et animée d'une vitesse v , sera soumise à une force magnétique q v  B .
VII.2. Loi de Laplace
Soit un circuit (C) filiforme parcouru par un courant continu d'intensité I et placé dans un

champ magnétique B extérieur. Un élément de longueur d  du circuit (C), contenant dq

 
charges mobiles, est soumis à une force magnétique : dF  dq v B




v dq  v I dt  I v dt  I d
Or
On en déduit la force magnétique agissant sur l'élément de longueur d  du circuit, appelée
force de Laplace :
37



dF  Id  B
(26)

L'expression ci-dessus constitue la loi de Laplace. Cette expression vectorielle de dF montre
que :



- dF est perpendiculaire au plan formé par d et B ;



- le trièdre ( d , B , dF ) est direct.


- le module de dF est : dF  I d B sin  ,  étant l'angle


entre d et B .
VII.3. Effet Hall

B
A
Soit un ruban (plaquette)
métallique plat de forme
+ + + + + + + + + + + + +
+ ++ + + + + + + + + + +

+ + + +
dFe
I
parallèlépipédique de

longueur a, de largeur b
et
d'épaisseur
d.
EH
d

Ce
C
b
dF m
d
ruban est placé dans un _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _* _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
champ
magnétique
a
_
_
_
_
_
_
_ _Fig.25
_ _ _ _ _

_ _
B permanent
-
et uniforme, perpendiculaire aux grandes faces (Fig. 25).
Le ruban est traversé suivant son épaisseur par un courant d'intensité I. Le courant I est dû

au mouvement des électrons libres, de vitesse v . En présence du champ magnétique, ces


électrons sont soumis à une force magnétique dFm , normale à v , qui est à l'origine d'une
accumulation d'électrons sur la face avant du ruban.
38





dFm  n q d v  B   ne v  Bd
( n : étant le nombre d'électrons contenus dans d ).
L'accumulation d'électrons sur la face avant et l'excès de charges positives sur la face arrière
sont à l'origine d'une différence de potentiel entre les deux faces du ruban et un champ

électrique E H appelé champ de Hall. Ce champ exerce sur les électrons libres du volume d




une force dFe opposée à dFm donnée par dFe  n q d E .



Le régime permanent est atteint quand : dFe  dFm  0
 


n q d ( v B  E H )  0
Soit :

D'où :


E H   v B
(27)
La différence de potentiel UH appelée tension de Hall sera donnée par :
C 

U H  VA VC   E H. d  b E H   b v B
A
 
Or
I   j . dS  n q v d b
Soit :
v
Par suite :
UH  
I
nqdb
Soit, en posant R H 
UH 
39
IB 1
d nq
1
, constante de Hall, on a :
nq
IB
RH
d
(28)
Remarques
1. Dans le cas où les charges mobiles sont des électrons RH < 0 et UH > 0.
2. La valeur du champ magnétique B étant connu, les mesures de la d.d.p U H et de l'intensité
du courant I permettent de déterminer la densité des porteurs et la nature des charges.
40

Le champ magnétique - Université Virtuelle de Tunis

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