Logique combinatoire

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Combinatoire
{
{
Lorsque l’état de la sortie dépend
exclusivement de l’état des entrées. On
appel cette logique la logique
combinatoire.
Exemple d’application:Un pont roulant
utilise principalement les notions de
logique combinatoire. Dans ce genre de
système, les déplacements du pont
avant ou arrière dépendent de
l’actionnement des boutons poussoirs
correspondant, pour la sécurité, le
premier bouton qui est activé a priorité
sur le second pour le déplacement en
sens inverse.
Le principe binaire
{
{
Depuis votre plus tendre enfance vous êtes habitué à compter en base 10.
Naturellement vous trouvez cela extraordinairement pratique et vous vous en
accommodez très bien. Le principe est simple, on dispose de 10 symboles
(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), si l'on dépasse le 9, il suffit de rajouter un 1 devant le chiffre
précédent, ceci nous indique une dizaine supplémentaire.
Tandis qu’un langage électrique ne possède que deux symboles numériques le 0 et
le 1.
Appareil
Klaxon
Lampe
Moteur
Relais
B. Poussoir N.O
B. Poussoir N.F
État logique (0)
(Désactivé)
État logique (1)
(Activé)
Ne sonne pas
Éteinte
Arrêté
Sans tension
Tension ne circule pas
Tension circule
Sonne
Allumée
En marche
Sous tension
Tension circule
Tension ne circule pas
Valeur binaire d ’un contact
Un contact normalement fermé d’un relais à l’état repos aura une valeur binaire de 1.
Un contact normalement fermé d’un relais alimenté aura au travail une valeur binaire
de 0.
Un contact normalement ouvert d’un relais aura au repos une valeur binaire de 0.
Un contact normalement ouvert d’un relais alimenté aura une valeur binaire de 1.
Table de vérité
{
{
{
Cet outil de travail nous permettra d’identifier toutes les possibilités que les actionneurs
peuvent exécuter, que soit une sortie active (1) ou non active (0).
Dans la première les actionneurs sont identifiés par des variables. Une table de vérité
se divise en deux c’est-à-dire , les variables d’entrées (Bouton poussoir, contact, etc..)
et les variables de sorties (relais, moteurs, lumière, solénoïdes, etc..)
Les variables d’entrées sont identifier par des lettres de l’alphabet de A à W. Les
variables de sorties sont identifiées par la terminologie « sortie » pour seulement une
variable et par des lettres non utilisées par les variables d’entrées pour plus d’une
sortie (ex: X, Y, Z).
A
B
Sortie
Conception d’une table de vérité
Pour concevoir une table de vérité il faut en premier lieu identifier le nombre de variable
d’entrée. Cette information nous permettra de déterminer toutes les possibilités possibles
que peuvent exécuter les variables entre elles.
Faut comprendre que les variables n’ont que deux possibilités 0 ou 1, active ou désactive,
ont dit d’eux qu’ils sont binaire (seulement deux possibilités).
On peut donc affirmer que le nombre de possibilités d’une variable exposant le nombre de
variable déterminera le nombres de combinaisons possibles.
Sachant le nombre de variable (2 exposant à la n), nous pourrons déterminer le nombre de
division de la table de vérité.
Exemple voir table de la page précédente:
Variable A et B = 2² = 4 lignes et 2 colonnes, la troisième colonne servira à identifier la
sortie.
Puis on identifiera chacun des casiers dans un ordre binaire. Exemple à la page suivante.
Premier case
Second case
Troisième case
Quatrième case
=
=
=
=
00
01
10
11
Table de vérité, identification de la sortie
A
0
B
0
0
1
1
1
0
1
Sortie
0
0
1
0
La colonne Sortie sera indiquer par un nombre binaire 0 ou 1. Le
nombre indiquer (0 ou 1) dans cette case dépendra de l’énoncé ou de
la composante à laquelle les conditions des variables activeront oui ou
non la sortie.
Exemple: La compagnie vous informes que le moteur (Sortie) devra
s’activer uniquement si le bouton A est enfoncé et pas le bouton B. Ce
qui signifie que la première ligne de la colonne sortie, on indiquera 0,
la seconde un 0, la troisième 1 et la dernière 0.
Simplification (table de vérité)
{
{
Comme le nombre de 1 est inférieure au nombre de 0, on tiendra compte que de la
ligne 3.
Pour que le moteur fonctionne on obtiendra le diagramme suivant:
Table de vérité à plusieurs de sortie
{
{
Il est possible qu’il soit nécessaire d’avoir plusieurs sorties à partir d’une table de
vérité.
Un bon exemple serait l’utilisation de deux moteurs électrique à partir d’un même
circuit électrique. Reprenons l’exemple précédent et ajoutons que le deuxième
moteur s’activera uniquement si les boutons A et B sont enfoncés.
A
B
Sortie X
Sortie Y
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
Résultat
Algèbre de Bool
{
L'algèbre de Boole est très utilisée dans les domaines de la logique et
de la théorie des ensembles. En effet, elle s'intéresse d’avantage à des
propositions et à leurs valeurs de vérité, qu'à des variables auxquelles
on attribue des valeurs numériques. Cette notion fut développée par
George Boole dès 1847.
{
L’algèbre de Boole s’applique en électronique, sur des systèmes
fluidiques, mécanique et en électricité.
{
Toute algèbre est composée de deux éléments: les variables et les
opérateurs.
{
Trois variables sont utilisées:
- l’addition, représenté par un point. ( • )
- multiplication, représenté par plus. (+)
- négation, représenté par une barre. ( ¯ )
Variable « ET » (•)
{
Ensemble des combinaisons
possibles avec deux boutonspoussoirs A et B.
a
b
R
Donc, (A • B). Si je pousse le
bouton A « et » B, la sortie
sera activée.
Fonction pneumatique
« ET »
« ET »
Variable «OU » (+)
{
a
R
b
Donc, A+B, si je pousse le bouton
A « ou » B, la sortie sera activée.
Fonctions pneumatiques
« OU »
Variable «NON » (¯ )
{
a
R
Donc, Ā. Si je ne pousse pas sur le
Bouton A, le relais sera activée.
« NON »
Z
A
1
A
Z
Autres fonctions
a
{
Fonction « NON-OU »
{
Fonction « NON-ET »
R
b
a
b
R
{
Fonction « OU
EXCLUSIF »
a
b
R
a
b
« NON-OU »
« NON-ET »
La logique booléenne
{
L ’algèbre booléenne dispose d ’un ensemble de Postulats, de
théorèmes et de lois fondamentaux qui définissent les règles de
base de la combinaison des variables booléennes.
À retenir
Exemples des
postulats
{Il
forment un ensemble de 8
règles qui régissent les
opérateurs {OU} {ET} {NON}
Exemples des
théorèmes
Un ensemble de
théorèmes s ’appliquent à
une seule variable
booléenne en présence des
opérateurs {OU} {ET}
{NON}
{
Exemples d’applications
{
A + AB = A
{
A + /AB = A + B
{
A (B + C) = AB + AC
{
A (A + B) = A +AB = A
Table de vérité
Table de vérité, ordre binaire
{
Les nombres sont inscrites dans l’ordre de comptage en binaire soit
(00), (01), (10), (11).
A
0
B
0
sortie
0
1
= A, B
1
1
0
1
= A, B
= A, B
= A, B
Table de vérité, type de montage
{
Les sorties sont variables en fonctions du type de montage.
{
Exemple: A + B = A ou B, circuit en OU
À la première ligne binaire si A = 0 et B = 0, la sortie sera = 0
À la deuxième ligne binaire si A = 0 et B = 1, la sortie sera = 1
Etc..
A
0
B
0
0
1
1
1
0
1
sortie
0
1
1
1
Table de vérité, simplification
{
{
Les valeurs qui nous intéressent sont ceux dont les sorties sont
activées =1
La réponse sera: (A
·
B)
+
(A
·
A
0
0
1
B
0
1
0
1
1
B)
+
(A
·
B)
sortie
0
1
1
1
Schéma correspondant à la table de
vérité du circuit en « OU »
A
B
A
B
A
B
Sortie
Table de vérité, plusieurs variables
{
{
{
Table de vérité plusieurs
variables, on doit déterminer
les variables ex: trois variables
= 2³ = 8 combinaisons
possibles.
Comptes en binaires selon le
nombre de variable (000),
(001), (010), (011), (100),
(101), (110) et (111)
4 variables = 16 combinaison.
Variables binaires: 0000, 0001,
0010, 0011, 0100, 0101, 0110,
0111, 1000, 1001, 1010, 1011,
1100, 1101, 1110 et 1111.
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
S
A·B
·
C
A
·
B
·
C
A
·
B
·
C
A
·
B
·
C
A
·
B
·
C
A
·
B
·
C
A
·
B
·
C
A
·
B
·
C
Exemple de table de vérité, après
application des théorèmes et postulat
a
a
b
R
R
b
A
B
ET
A
B
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
OU
0
1
1
1
Autres exemples
a
R
A
NON
0
1
1
0
Simplification par la méthode
Karnaugh
Tables de Karnaugh
{
La table de Karnaugh est une grille composé d’un certain nombre de
cases.
{
Ces cases sont établis en fonction des variables utilisées. (Comme la
table de vérité). Deux variables = 2², 2³, etc..
{
Chaque cases est numérotées dans un ordre précis.
{
Chacune des cases correspond aux entrées. (Comme la table de
vérité)
Les tables
Deux variables = 2² = 4 cases
Trois variables = 2³ = 8 cases
Quatre variables = 16 cases
Numérotation des cases
1
3
2
4
1
5
13
9
2
6
14
10
4
8
16
12
3
7
15
11
Deux variables = 2² = 4 cases
1
2
3
4
7
8
Trois variables = 2³ = 8 cases
5
6
Quatre variables = 16 cases
Identification des cases (variables)
En premier lieu on insère nos variables, à
l’horizontale c’est la variable A et à la
verticale correspond à la variable B.
Deuxièmement on insère les nombres binaires du
côté A et du B.
En dernier lieu insérer les variables dans chacun de
leur casier.
a
b
0
1
1
0
3
A· B
A· B
2
4
1
A· B
A· B
Insertion dans la Table de vérité
{
On identifie les lignes de la tables de vérités et on
les insères dans les colonnes de la table de
Karnaugh correspondante.
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
x
0
1
1
1
a
b
1
2
1
0
1
0
A· B
1
0
3
A· B
0
1
A· B
A· B
2
3
4
0
4
Groupement
{
Les cases avec un 1 peuvent être regroupés si remplie toute ces
conditions:
{
si les cases se touchent
{
Les cases avec un 1 peuvent être regroupés si sont à l’horizontal ou
à la verticale seulement.
{
{
le regroupement doit être 2 exposant n, donc seul, quatre, huit;.
Les extrémités peuvent se regrouper par la méthode de
l’enroulement (utilisable sur les 3 variables et plus).
Exemple de groupement à deux variables
Réponse du regroupement
{
{
À notre exemple c’est le
regroupement e qui correspond le
plus à notre table de vérité.
La réponse du premier regroupement
est: (A · B) + (A · B) = A
{
Deuxième regroupement:
A
B
0
0
(A · B) + (A · B) = B
{
0
Réponse: A + B
A·B
1
1
0
1
A·B
1
1
2
A·B
1
A·B
3
Plus de trois variables
{
Compléter la table de vérité
{
Compléter la table de Karnaugh
{
Regrouper les 1 (Méthode de l’enroulement s’applique)
{
Simplifier avec les lois de Boole
Trois variables
A
B
C
S
0
0
0
0
1
0
0
1
0
2
0
1
0
1
3
0
1
1
1
4
1
0
0
0
5
1
0
1
1
6
1
1
0
0
7
1
1
1
0
8
00
AB
C
0
1
1
01
0
1 3
A· B · C
2
A·B·C
0
A ·B
1 4
·
C
A· B· C
11
10
0
7
0 5
A· B
·C
0
8
A· B· C
1 6
A· B · C
A ·B
·
C
Méthode de l’enroulement
{
3 variables sens verticale
seulement.
{
4 variables; verticale et
horizontale
Exemple de groupement à trois variables
Exemple de groupement à quatre variables
Variante de la table de Karnaugh
{
C’est le même processus, il faut juste se poser la question?
{
Case 3: Est-ce que A est situé dans sa zone, non donc = 0
Case 3: Est-ce que B est situé dans sa zone, oui donc = 1
Case 3: Est-ce que C est situé dans sa zone, non donc = 0
{
Résultat de la case 3 = (A · B · C)
{
{
{
Case 7: Est-ce que A est situé dans sa zone, oui donc = 1
Case 7: Est-ce que B est situé dans sa zone, oui donc = 1
Case 7: Est-ce que C est situé dans sa zone, non donc = 0
{
Résultat de la case 7 = (A · B · C)
{
Simplification de la case 3 et 7 = (B · C)
{
Case 6 = (A · B · C)
{
Résultat final = (B · C) + (A · B · C)
{
{
B
1
0
A· B· C
C
2
0
A· B· C
1 3
A· B· C
0 4
A· B· C
1
7
0 5
8
A ·B· C
1 6
A ·B ·C
0
A ·B ·C
A ·B· C
A
Exercice #1
Préparé par Richard Roy
Procédure
{
À chacune des diapositives vous aurez l’énoncé (recommande de l’écrire au fur et à
mesure, afin d’intégrer la matière);
{
Puis la diapositive suivante vous donnera la réponse de l’auteur.
{
Pour faire l’exercice vous aurez besoin;
-
Règle
Feuille de papier (quadrillé de préférence)
Crayon mine
Efface
Document de logique
Énoncé du problème
{
{
{
{
On désire, dans cet exemple,
commander une porte pivotante entre
deux magasins.
Cette porte doit être commandée de
manière qu’elle puisse être ouverte et
fermée à partir de chaque magasin.
Dans chaque magasin, on dispose d’un
interrupteur A et B, comme le montre
la figure ci-dessous.
La porte doit être ouverte à partir d’un
magasin et fermée à partir de l’autre.
Solution
{
Il faut interpréter la fonction (ouvrir) en terme des deux interrupteurs A et B. La porte
doit être ouverte si seulement l’interrupteur A est enfoncé ou seulement si
l’interrupteur B est enfoncé.
{
Quand un interrupteur est déjà enfoncé, la porte se ferme.
{
La table de vérité possèdera deux variables A et B et une sortie.
{
Exercice:
Combien de case possèdera la table de vérité incluant l’identification des variables de la
sortie et des choix binaires?
15 cases
Table de vérité
{
{
Élaborez la table de vérité (sur votre
propre feuille d’exercice) et identifier
par le nombre 1 ou 0 la sortie.
Click lorsque tu sera prêt à vérifier ta
réponse.
Établir un circuit électrique à partir de la
table de vérité
{
{
Utiliser deux boutons poussoir (A et B)
et un relais (sortie).
réponse.
A
A
B
B
Sortie
Établir un circuit électronique à partir
de la table de vérité
Utiliser deux cellules « non » B.P (A et B), deux cellules « ET » et une cellule « OU »
(sortie).
Click lorsque tu sera prêt à vérifier ta réponse.
Établir un circuit pneumatique à partir
de la table de vérité
Et
Sortie
Non
Ou
A
B
Et
Non
Vérification de la séquence
Et
Sortie
{
{
Remplissez les cases en
fonction du circuit
pneumatique.
Non
Click lorsque tu sera prêt à
vérifier ta réponse.
Ou
A
B
B.P A
B.P B
Tige du vérin
Relâché (0)
Relâché (0)
Sort pas
Relâché (0)
Enfoncé (1)
Enfoncé (1)
Relâché (0)
Enfoncé
(1)
Enfoncé
(1)
Sort
Sort
Sort pas
Et
Non
Table de Karnaugh
{
{
Élaborez la table de Karnaugh (sur votre propre feuille
d’exercice) et identifier par le nombre 1 ou 0 les cases
appropriés et encerclez vos groupes.
Simplification
{
{
Appliquer les règles de simplification et
inscrire la réponse.
réponse.
Dernière étape
{
{
{
La dernière étape consiste à établir un schéma; électrique, électronique et
pneumatique et les comparées.
Vous remarquerez qu’aucune simplification n’est possible à partir de cette table
de Karnaugh, car les 1 sont disposés sur la diagonale et ne peuvent par
conséquent être groupés.
Réponse finale:
Conclusion
{
La table de Karnaugh ne peut simplifier la table de vérité si aucun groupement n’est
possible dans la table de Karnaugh
Exercice #2
Procédure
{
{
{
-
Règle
Crayon mine
Efface
Document de logique
{
{
{
{
Dans cette exemple, on désire
commander un système d’estampage à
partir de l’état de détecteurs de
position.
Dans ce système, les pièces sont
introduites dans la presse à estamper à
partir de trois côtés.
Trois capteurs d’approche permettent
de contrôler si les pièces sont
introduites dans la presse.
Le processus d’estampage est
déclenché lorsque la valeur du signal
de sortie d,au moins deux des
détecteurs est à l’état logique 1.
Solution
{
{
{
L’interprétation du plan de situation est la suivante. Appelons les détecteurs de position
A, B, et C.
Ainsi , pour que le processus d’estampage se déclenche, il faut qu’au moins deux des
trois interrupteurs A, B, C soient à l’état logique 1.
Exercice:
36 cases
Table de vérité
{
{
réponse.
table de vérité
{
{
Utiliser trois interrupteurs de fin de course à galet (A, B, C) et un relais
(sortie).
Table de Karnaugh
{
{
Élaborez la table de Karnaugh (sur
votre propre feuille d’exercice) et
identifier par le nombre 1 ou 0 les
cases appropriés et encerclez vos
groupes. Vous aurez trois groupes.
réponse.
Simplification
{
{
réponse.
(A · B · C) (A · B · C) =
A·B
(A · B · C) (A · B · C) =
B·C
Dernier regroupement:
(A · B · C) (A · B · C) =
A·C
Dernière étape
{
{
{
Vous remarquerez que la simplification a été possible à partir de cette table de
Karnaugh.
Réponse finale:
table de Karnaugh
Utiliser trois interrupteurs de fin de course à galet (A, B,
C) et un relais (sortie).
de la table de Karnaugh
{
Établir un circuit pneumatique à partir
de la table de Karnaugh
Et
Sortie
Ou
A
B
C
Et
Vérification de la séquence
{
{
Remplissez les cases en
fonction du circuit
pneumatique.
Click lorsque tu sera prêt à
vérifier ta réponse.
A
B
C
Sortie
Relâché
Relâché
Relâché
0
Relâché
Relâché
Enfoncé
0
Relâché
Enfoncé
Relâché
Relâché
Enfoncé
Enfoncé
0
1
Enfoncé
Relâché
Enfoncé
0
Enfoncé
Relâché
Enfoncé
1
Enfoncé
Enfoncé
Relâché
Enfoncé
Enfoncé
Enfoncé
1
1
Conclusion
{
À partir d’un ou plusieurs groupements la table de Karnaugh nous permettra de
simplifier une séquence.
Exercice #3
Procédure
{
{
{
-
Règle
Crayon mine
Efface
Document de logique
{
{
Un distributeur de boissons permet au
consonsommateur (trice) de
sélectrionner de l’eau chaude, du café
ou chocolat.
Par ailleurs, il n’est pas possible
d’obtenir de la boisson sans eau
chaude.
Solution
{
L’interprétation du plan de situation est la suivante. Appelons les soupapes
E = eau, C = café, et Ca = café.
{
{
Le robinet de la distributrice est identifié par R. Ce robinet est actionné si les conditions
de choix sont respectés.
Exercice:
36 cases
Table de vérité
{
{
réponse.
Table de Karnaugh
{
{
réponse.
Simplification
{
{
réponse.
(A · B · C) (A · B · C) =
A·C
(A · B · C) (A · B · C) =
A·B
Dernière étape
{
{
{
Vous remarquerez que la simplification a été possible à partir de cette table de
Karnaugh.
Réponse finale:
table de Karnaugh
Utiliser trois capteur (E, C, Ca) et un relais (sortie).
E
E
C
Ca
Sortie
Théorèmes et postulats
{
{
Malgré que la tableau de Karnaugh puisse simplifier les
séquences, il est parfois encore possible de réduire cette
équation avec l’aide des théorèmes et postulats
Théorème 3 = A · A = A
E
C
Ca
Sortie
Conclusion
{
{
À partir qu’un un ou plusieurs groupements sont possible la table de Karnaugh nous
aidera à simplifier une séquence combinatoire.
Après la table de Karnaugh il est encore possible de simplifier une équation.
Exercice #4
Procédure
{
{
{
-
Règle
Crayon mine
Efface
Document de logique
{
{
Un monte-charge est tiré par un câble
entraîné par un moteur possédant
deux sens de rotation: M pour la
montée et D pour la descente.
Deux interrupteurs de fin de course a
pour indiquer la position basse et b
pour indiquer la position haute, servent
à arrêter le monte charge au niveau
désiré.
Conditions de fonctionnement
À l’arrêt, le monte-charge est en position basse et seul l’interrupteur a est actionné.
L’opérateur (trice) actionne le bouton-poussoir « m » afin que le monte-charge monte.
L’action sur « m » est maintenue pendant toute la durée de la montée.
Dès que le monte-charge arrive en position haute, il actionne l’interrupteur b et s’arrête.
L’opérateur (trice) relâche alors « m » et le monte charge s’immobilise.
Pour faire descendre le monte-charge, l’opérateur (trice) appuie sur le bouton-poussoir
« d » et maintient son action durant toute la descente.
Dès que le monte charge arrive en position basse, il actionne l’interrupteur a et s’arrête.
L’opérateur (trice) relâche alors « d ».
Conditions supplémentaires
{
{
Si l’opérateur (trice) relâche le bouton-poussoir « m » ou « d » pendant la montée ou
la descente, selon le cas, le monte charge s’immobilise.
Si, par inadvertance, l’opérateur (trice) actionne les boutons-poussoirs « m » et « d »
simultanément, et ce, à n’importe quel moment, le monte-charge s’immobilise.
Solution
{
L’interprétation du plan de situation est la suivante.
a = galet du bas
b = galet du haut
m = Bouton poussoir
d = Bouton poussoir
Deux sorties sont nécessaire soit; Mo = monté et De =descente
{
Exercice:
102 cases
Table de vérité
{
{
réponse.
M
D
B
A
Mo
De
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
Table de Karnaugh pour monté
{
{
réponse.
1
13
5
0
2
0
6
0
4
14
8
3
0
0
1
12
0
15
0
1
10
16
7
0
0
0
0
9
0
11
0
0
Simplification
{
{
réponse.
1
13
5
0
2
0
6
0
9
0
14
0
1
10
0
1
(M · D · A · B) (M · D · A · B)
4
8
0
16
0
12
0
0
Réponse simplifier pour la monté:
3
(M · D · A)
7
0
15
0
11
0
0
Table de Karnaugh pour descente
{
{
réponse.
1
13
5
0
2
1
6
0
4
14
8
3
0
0
0
12
0
15
1
0
10
16
7
0
0
0
0
9
0
11
0
0
Simplification
{
{
réponse.
1
13
5
0
2
1
6
0
9
0
14
0
0
10
0
0
(M · D · A · B) (M · D · A · B)
4
8
0
16
0
12
0
0
Réponse simplifier pour la descente:
3
(M · D · B)
7
0
15
1
11
0
0
de 2 tables de Karnaugh
R
M
Monte
D
b
a
Descente
Établir un circuit électrique à partir de 2
tables de Karnaugh
M
M
D
D
a
Monte
b
Descente
Conclusion
{
À partir qu’un un ou plusieurs groupements sont possible la table de Karnaugh nous
aidera à simplifier une séquence combinatoire à deux sorties.

Logique combinatoire

Transcription

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