Trigonométrie – Exercices

Trigonométrie – Exercices - Corrigé
Exercice 1.
1. x réel,
( )
a.
( )
b.
( )
( ) (
( )
(
( )
( )
( )
(
(
)
( ))
(
( )
(
)
)
( (
)
)
( )
(
(
)
( )
( )
))
( )
)
(
)
( )
( )
2.
√
a. On donne
.
√
(
)
√
(
)
√
√
√
√
[
], donc

(
)
(
)
√
√
√
et
√
√
.
b.
√
√

donc

3.
4.
√
(
)
(
)
√
√
√
donc
(
)
(
)
est un réel tel que
(
)
(
)
√
√
√
√
√
√
et
√
√
√ (√
)
√ (
√ )
√
.
a. On a :
( )
√
Or
, donc
et
√
√
√
.
√
Trigonométrie – Exercices - Corrigé
b.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
√
√
(
(
(
Exercice 2.
1. Pour tout réel x,
(
)
(
(
)
(
2. Pour tout réel x,
D’une part :
(
)
(
(
)
(
)
D’autre part :
(
)(
)
(
Ainsi pour tout réel x on a :
(
)
( )
√
)
)
)
)
)
(
)
(
)
√
(
√
(
√
)
√
√
√
)
(
(
(
)
.
)
)
(
) )
(
)
)
)
(
)
(
)(
)
Exercice 3. Résoudre des équations et inéquations trigonométriques en s’aidant du cercle trigonométrique
(noté ).
1.
√
a.
( )
L’ensemble des solutions sur
b.
(
)
√
(
)
√
(
)
√
L’ensemble des solutions sur
( ) est
de l’équation
(
{
}.
)
de l’équation
(
√
)
{
est
}.
c.
Or
(
). L’ensemble des solutions sur
de l’équation
est
{
}.
d.
(
L’ensemble des solutions sur
de l’équation
)
est
{
}.
Trigonométrie – Exercices - Corrigé
2.
√
a.
√
Pour résoudre l’inéquation
réels x solutions de l’inéquation sont les réels x dont les abscisses des points images sur
√
√
et on trace la droite d’équation
, on trace le cercle
. Les
sont inférieures strict à
(partie verte).
Par lecture graphique,
] l’ensemble des solutions de l’inéquation est
sur ]
]
sur [
]
]
[
[ l’ensemble des solutions de l’inéquation est
]
b. √
√
√
Pour résoudre l’inéquation
[
.
√
√
, on trace le cercle
et on trace la droite d’équation
solutions de l’inéquation sont les réels x dont les abscisses des points images sur
√
√
. Les réels x
sont inférieures ou égales à
(partie verte).
Par lecture graphique,
] l’ensemble des solutions de l’inéquation est
sur ]
[
sur [
]
]
]
[ l’ensemble des solutions de l’inéquation est
[
c.
Or pour tout réel x,
sont les réels qui s’écrivent sous la forme :
, et les réels x tels que
Ainsi l’ensemble des solutions de l’inéquation
est
Sur ]
]
Sur [
] l’ensemble des solutions de l’inéquation est
[ l’ensemble des solutions de l’inéquation est
]
[
{
[
[
}.
]
].
]
[.
d.
Pour résoudre l’inéquation
, on trace le cercle
et on trace la droite d’équation
réels x solutions de l’inéquation sont les réels x dont les ordonnées des points images sur
strict à
. Les
sont supérieures
(partie verte).
Par lecture graphique,
] l’ensemble des solutions de l’inéquation
sur ]
est
]
sur [
est
[
]
]
[ l’ensemble des solutions de l’inéquation
[
[
]
[
Trigonométrie – Exercices - Corrigé
3. Tableau de signes de l’expression (
(
)(
)
)(
+
+
+
0
0
)
+
-
0
0
+
-
0
0
+
+
+