Evolution d`une singularit e de type cusp dans une poche de tourbillon

Revista Matematica Iberoamericana
Vol. 16, N.o 2, 2000
Evolution
d'une singularite
de type cusp dans
une poche de tourbillon
Raphael Danchin
Resume. Dans cet article, on etudie l'evolution de singularites dans la
frontiere de poches de tourbillon pour les equations de la mecanique des
uides incompressible en dimension deux. On s'interesse en particulier
aux singularites de type cusp qui, d'apres des simulations numeriques
recentes, semblent stables.
On prouve ici que le champ de vitesse engendre par une poche de
tourbillon ayant un cusp, est lipschitzien (ce qui n' est pas le cas pour
une singularite de type coin par exemple). On etablit alors un resultat
de persistance globale en temps d'un certain type de regularite conormale du tourbillon, par rapport a une famille de champs de vecteurs
s'annulant en un point singulier, et qui generalise la structure de cusp.
On en deduit en particulier la stabilite pour tout temps du cusp
avec conservation de l'ordre d'element.
Abstract. We investigate the evolution of singularities in the boundary
of a vortex patch for two-dimensional incompressible Euler equations.
We are particularly interested in cusp-like singularities which, according to numerical simulations, are stable. In this paper, we rst prove
that, unlike the case of a corner-like singularity, the cusp-like singularity generates a lipschitzian velocity. We then state a global result of
persistence of conormal regularity with respect to vector elds vanish281
282
R. Danchin
ing at a singular point, which generalizes the structure of cusp. This
entails the stability of cusp-like structures for all time with conservation
of the order of the cusp.
0. Introduction.
Le systeme d'Euler decrit l'evolution de la vitesse et de la pression
d'un uide parfait incompressible. Si t 2 R et x 2 R d , on note v(t; x)
la vitesse au point x a l'instant t et p(t; x), la pression. Le couple (v; p)
verie alors
8
(@t + v r) v = ;rp ;
>
<
(E)
div v = 0 ;
>
:
vjt = v0 ;
ou v0 est donnee.
On s'interesse ici au cas d = 2. Au champ v on associe le tourbillon
! = @1 v2 ; @2 v1 qui verie une simple equation de transport
(@t + v r) ! = 0 ;
(T)
!jt = !0 :
Connaissant ! et sous des conditions d'integrabilite susantes, on peut
alors retrouver la vitesse gr^ace a la relation de Biot-Savart
Z
2 2
1
1
v (t; x) = ; 2 jxx ;;yyj2 !(y) dy ;
R
(BS)
Z
1 1
v2(t; x) = 21 jxx ;;yyj2 !(y) dy :
R
Designons par le ot de v, c'est-a-dire la solution de
=0
=0
2
2
(t; x) = x +
t
Z
0
v(s; (s; x)) ds :
Formellement, l'equation (T) assure donc que !(t; x) = !0( t;1(x)).
Le theoreme suivant demontre par V. Yudovitch en 1963 (voir [Yu])
donne un cadre rigoureux au raisonnement precedent. En eet, introduisons l'espace E des perturbations d'energie nie des solutions stationnaires regulieres de (E) dont le tourbillon est a support compact
n
o
? Z jxj
x
2
1
E = u + : u 2 L et = jx2j
g() d ; g 2 C0 (R nf0g) :
0
Evolution
d'une singularite de type cusp
283
Theoreme 0.1. Supposons que v0 2 E , div v0 = 0 et !0 2 La \ L1
pour un a 2 [1; +1[ . Alors (E) admet une unique solution (v; p) dans
C (R ; E ) L1
(R ; L2 ) telle que ! 2 L1 (R ; La \ L1 ). De plus v est dans
loc
L1
loc (R ; L1 ) et est quasi-lipschitzien : il existe K 2 L1
loc (R ) telle que
jv(t; x) ; v(t; y)j K (t) jx ; yj (1 ; log jx ; yj) ; si 0 < jx ; yj 1 :
Enn, v admet un ot
continu unique et on a !(t; x) = !0 ( t;1(x)).
Le champ v n'est pas lipschitzien, mais un resultat d^u a Wolibner
(voir [W]) assure cependant que t appartient a la classe de Holder
C exp (;C tk! kL1\La ) ou C1 est une constante universelle. On sait
depuis que ce resultat est optimal en general (voir [BCh]).
L'etude des poches de tourbillon est un probleme classique lie au
systeme d'Euler incompressible en dimension deux. Il s'agit de decrire
l'evolution des solutions de (E) dont la donnee initiale a pour tourbillon la fonction caracteristique d'un ouvert borne 0. Le theoreme de
Yudovitch donne l'existence et l'unicite d'une solution dont le tourbillon a l'instant t est la fonction caracteristique de l'ouvert t = t (
0 ),
l'incompressibilite assurant que t et 0 ont m^eme mesure.
Toutefois, on ne peut rien dire a priori sur l'evolution de la regularite de la frontiere a l'aide du seul theoreme de Yudovitch.
Une premiere reponse a cette question est donnee par J.-Y. Chemin
en 1990 (voir par exemple [Ch2, Chapitre 5]). Il obtient le resultat
suivant:
1
0
Theoreme 0.2. Supposons que @ 0 soit une courbe simple de classe
C r avec r 2 ]1; +1[ nN . Alors la solution v de Yudovitch associee au
tourbillon initial 1
reste lipschitzienne pour tout temps et verie
krv(t)kL1 CeCt :
0
De plus, pour tout temps, @ t reste de classe C r .
Signalons que ce resultat a ete redemontre a l'aide de techniques
dierentes dans [BeC] et [S].
Lorsque la frontiere initiale a des singularites, la solution n'est plus
lipschitzienne en generale, mais la regularite locale de la frontiere est
neanmoins preservee comme l'indique le theoreme suivant:
Theoreme 0.3. Supposons que @ 0 soit une courbe simple de classe
C r avec r 2 ]1; +1[ nN , en dehors d'un ferme 0 . Alors pour tout
284
R. Danchin
temps, @ t reste une courbe simple de classe C r en dehors du ferme
t = t (0).
On renvoie a [Ch2, Chapitre 9] pour la preuve originale dans le cas
r 2 ]1; 2[ , et a [Da] pour la preuve dans le cas general.
Le sujet n'est pas clos pour autant. Certes, aucune singularite ne
peut appara^tre dans les parties initialement regulieres d'une poche de
tourbillon, mais les simulations persistent a nous montrer l'emergence
de structures lamentaires qui deviennent vite indiscernables d'un cusp
(voir par exemple [ZHR], [Bu] ou [Dr]). Generiquement, tout se passe
comme si la singularite de type cusp etait un \attracteur" pour les structures regulieres (ce phenomene ne se limite d'ailleurs pas aux poches
de tourbillon: il est assez general en mecanique des uides). Ceci ne
contredit pas les resultats de regularite globale cites precedemment:
les seules estimations connues sur les quantites geometriques liees a la
frontiere croissent doublement exponentiellement en temps.
Des simulations numeriques recentes reposant sur un algorithme
adaptatif multi-echelle et le principe d'interpolation dyadique de Deslauriers-Dubuc [DD] ont permis d'etudier de plus pres le cas de singularites de type cusp ou coin (voir [CD]). Au vu des resultats obtenus,
la singularite de type cusp semble stable alors que le coin est instable.
Dans cet article, nous nous proposons de montrer le resultat suivant.
Theoreme 0.4. Si @ 0 est reguliere en dehors d'un point x0 et
presente un cusp en x0 , alors la solution v de Yudovitch est dans
L1
loc (R ; Lip(R 2 )) et verie
krv(t)kL1 CeCt
pour une constante C ne dependant que des donnees initiales. De plus,
pour tout temps @ t reste reguliere en dehors de xt et presente un cusp
xt = t (x0). Enn, l'ordre d'element du cusp est preserve. C'esta-dire que, s'il existe > 0 tel que j
0 \ B (x0; h)j = O(h2+ ), alors
j
t \ B (xt ; h)j = O(h2+ ) pour tout t 2 R .
Nous prouverons en fait un resultat de propagation de structures
geometriques elees un peu plus generales que le \cusp ordinaire", et
le cusp dans le theoreme precedent doit ^etre entendu comme une singularite veriant j
0 \ B (x0; h)j = O(h2+ ) pour un > 0 mais ne
possedant pas necessairement de demi-tangente. En fait, nous verrons
Evolution
d'une singularite de type cusp
285
qu'un analogue du Theoreme 0.4 s'applique egalement pour un tourbillon initial du type !0 = !0 1
avec 0 presentant un coin, a condition que !0 soit susamment regulier et s'annule au niveau du coin.
Tout ceci sera precise dans la premiere section de l'article. Notons ici
que l'hypothese d'element > 0 est essentielle puisque l'on sait par
exemple que le champ de vitesse associe a un tourbillon fonction caracteristique d'un ouvert borne ayant un coin, n'est pas lipschitzien (voir
[Ch2]).
Signalons enn que N. Depauw a prouve recemment un resultat
geometrique plus precis sur la stabilite du cusp, mais qui n'est que
local en temps (voir [De]).
Avant d'enoncer le resultat de stabilite dans toute sa generalite, ce
qui fera l'objet de la premiere section, donnons ici une idee succincte
de sa preuve et des principales dicultes rencontrees.
Il convient d'abord de remarquer que les hypotheses d'element
de type cusp (cela appara^tra plus clairement dans la Section 1) sont
stables par le ot de v des que rv est borne.
La premiere partie de la demonstration consiste donc a obtenir une
estimation stationnaire de rv sachant que le tourbillon ! a une structure elee. Cette estimation stationnaire fait l'objet de la troisieme
section de l'article.
On pourrait croire alors qu'a partir de cette estimation, le theoreme
s'obtient par l'habituelle procedure consistant a regulariser la donnee
initiale, demontrer des estimations uniformes en grande norme sur la
solution regularisee puis passer a la limite en petite norme. Mais les
hypotheses faites ici sur la donnee initiale ne sont pas stables par convolution: ceci appara^t de facon evidente dans le cas de la fonction
caracteristique d 'un cusp, par exemple.
Tout le probleme consiste donc a demontrer le Theoreme 0.4 sans
regulariser la donnee initiale. Dans la Section 4, nous serons amenes a
prouver d'abord une version pauvre du theoreme a temps petit et avec
perte de regularite en utilisant uniquement les resultats de [Ch2] pour
des singularites generales, et des estimations a perte qui font l'objet de
la Section 2. L'estimation stationnaire de la troisieme partie pour le
gradient de la vitesse servira ensuite a montrer a posteriori que la vitesse
reste lipschitzienne et que la geometrie elee est, de ce fait, transportee
sans perte de regularite par le ot de la solution. De proche en proche,
on montre alors un resultat global en temps.
Dans tout l'article, on adoptera la convention d'Einstein pour la
sommation sur les indices repetes. Par ailleurs, sauf mention contraire,
0
286
R. Danchin
v designera un champ de vitesse de R 2 a divergence nulle.
1. Denitions, notations et enonce des resultats.
Dans cette partie, on enonce un theoreme de propagation de structures geometriques degenerees en un point, de type \ele", pour le
systeme d'Euler incompressible en dimension deux. Nous verrons que
ce type de structure comprend le cas des poches de tourbillon avec singularite de type cusp. L'enonce du theoreme de propagation reprend
largement le concept de regularite conormale par rapport a une famille
de champs de vecteurs (voir [Bo1], [A] et [Ch1]). Cependant, pour pouvoir caracteriser les structures singulieres qui nous interessent a l'aide
de champs de vecteurs au moins continus (plus precisement a coecients dans une classe de Holder C " avec " 2 ]0; 1[ ), nous avons ete
amenes a utiliser des champs s'annulant au point singulier et a imposer
au tourbillon une condition de support ele pres de ce point.
1.1. Espaces fonctionnels a geometrie singuliere de type ele.
L'objet de la denition suivante et de preciser le type de geometries
singulieres qui nous interesse. Pour la denition des espaces de Holder,
on renvoie a la Section 2.1.
Denition 1.1. Soit x0 2 R 2 , " 2 ]0; 1[ et > 0. On appellera
geometrie (; ")-elee en x0 la donnee d'un couple (; X ) ou =
fh gh>0 est une famille de fonctions de R 2 dans R et X = fXg2 est
une famille de champs de vecteurs sur R 2 , ces deux familles veriant
en outre :
i) il existe inversible bilipschitzienne de R 2 dans R 2 avec (0) =
x0 et g 2 C01 (R 2 ) valant 1 pres de 0, telles que si gh(x) = g(x=h) pour
h > 0, on ait h = gh ;1 ,
ii) chaque champ X est a coecients et a divergence dans C " ,
iii) 0 < I (X ) d=ef x2 supp
inf sup jxjX;(xx)jj < +1 ,
0
2
iv) 0 < J (X ) d=ef x62 supp
inf sup jX (x)j < +1 .
2
1
1
Evolution
d'une singularite de type cusp
287
On pose alors
kX k" = kX k" + kdiv Xk"
e
et
I (X ) = min fI (X ); J (X )g :
Remarque 1.1. Pour des raisons techniques qui appara^tront dans
la derniere partie, nous denissons egalement une notion de geometrie
(; ; ")-elee en x0 pour 2 ]0; 1]. Lorsque = 1, cette denition
concide avec la precedente. Si 2 ]0; 1[ , on remplace la condition i)
par la condition suivante:
i') il existe bijective de R 2 dans R 2 avec (0) = x0 , de classe
C ainsi que son inverse et g 2 C01 (R 2 ) valant 1 pres de 0, telles que,
si gh(x) = g(x=h) pour h > 0, on ait h = gh ;1 .
Denition 1.2. Soit X un champ de vecteurs. On denit formellement
l'action de X sur u par la formule X (x; D) u = @i (X iu) ; u div X:
Nous allons maintenant construire des espaces de distributions lies
aux geometries elees que nous venons de denir. Nous verrons dans
la Section 1.3 que ces espaces contiennent notamment les fonctions caracteristiques de domaines simplement connexes presentant une singularite de type cusp.
Denition 1.3. Soit x0 2 R 2 , > 0, > 0, a 2 [1; +1[ , 2 ]0; 1],
" 2 ]0; 1[ et 2 ]0; "[ . Posons = 2=(2 + ). Soit (; X ) une geometrie
(; ; ")-elee en x0 . On dira que ! appartient a l'espace C;" (X ) (on
omet la dependance en a et ) si et seulement si les quatre conditions
suivantes sont veriees :
i) k!k d=ef k!kL1\La < +1 ,
ii) sup kX (x; D) !k";1 < +1 ,
2
iii) N (X; !) d=ef sup h(;")= kX(x; D)(h!)k;1 < +1 ,
2
h2 ]0;1]
iv) N(!) d=ef sup h;(2+) kh!kL1 < +1 .
h2 ]0;1]
288
R. Danchin
On pose alors
N (X; !) = N (X; !) + sup kX(x; D) !k";1 ;
2
N (!) = N(!) + k!k ;
et
N(!) sup ekXk" + N (X; !)
2
k! k;"
:
;X =
I (X )
Remarque 1.2. En pratique, on choisit = 1 si bien que est
bilipschitzienne. L'utilisation de fonctions h = gh ;1 pour ex-
primer la petitesse du support du tourbillon pres du point singulier
peut para^tre inutilement compliquee. Cependant, cette denition a
l'avantage de pouvoir se propager a l'aide du ot de la solution si l'on
pose t;h = h t;1 . On obtient alors des valeurs de Nt (!t ) et de
N (Xt ; !t) constantes au cours du temps. Ce fait est tres important car
il permet une majoration de rv par une quantite constante multipliee
par un logarithme de quantites qui, elles, sont susceptibles de cro^tre
rapidement au cours du temps (voir le Theoreme 3.1).
Remarque 1.3. Supposons que = 1. Si la condition i) est veriee, la
condition iv) est alors equivalente a l'existence d'une constante K telle
que k!kL (B(x ;h)) Kh2+ pour h 2 ]0; 1]. Cette condition signie que
le support de ! est ele pres de x0 ou que !(x) est domine par une
puissance strictement positive de jx ; x0j lorsque x est proche de x0. En
particulier, lorsque ! est la fonction caracteristique d'un ouvert borne,
cette condition est veriee si la frontiere est susamment reguliere au
voisinage de x0 et presente un cusp en x0 . Elle ne l'est pas en revanche si
la frontiere presente un coin en x0 car il existe alors une constante c > 0
telle que kh!kL c h2 . Quant a la condition iii), nous verrons dans
la Section 1.3 que, dans les cas pratiques, elle est une consequence des
injections de Lp dans C ;2=p , de la structure (1; ")-elee de la geometrie
et de la condition iv).
1
0
1
Evolution
d'une singularite de type cusp
289
1.2. E nonce du resultat principal.
Denissons d'abord la notion de champ de vecteurs transporte par
le ot.
Proposition 1.1. Soit v un champ de vecteurs lipschitzien et son
ot. Soit " 2 ]0; 1[ et X0 un champ de vecteurs a coecients et divergence dans C " . On note Xt le champ transporte de X0 par le ot
a l'instant t, deni par Xt(x) = X0(x; D) t( t;1 (x)). Alors Xt est
solution de
(
(@t + v r) X = X (x; D) v ;
(TG)
Xjt = X0 :
=0
Demonstration. Il sut de deriver en temps la relation Xt ( t (x)) =
X0(x; D) t(x) et de revenir a la denition du ot.
On peut maintenant enoncer le theoreme de propagation de structures elees.
Theoreme 1.1. Soit x0 2 R 2 , " 2 ]0; 1[ , > 0, 2 ]0; "[ , a 2 [1; +1[
et (0 ; X0) une geometrie (1; ")-elee en x0 . Soit v0 2 E tel que
div v0 = 0. Supposons de plus que le tourbillon initial !0 appartienne a
C;" (X0) et que l'on ait
i
; h ; avec = 2 :
(1.1) " 2 ]; 1[ et 2 0; " "" +
2+
Notons v la solution de (E) de donnee initiale v0 et son ot. Alors on
a rv 2 L1
(t ; Xt)
loc (R ; L1 (R 2 )). De plus, pour tout temps t, le couple
reste une geometrie (1; ")-elee en xt ou t;h = 0;h t;1, fXt; g2
est la famille transportee de fX0;g2 par le ot de v et xt = t (x0 ),
et !(t) 2 C;" (Xt ). Plus precisement, il existe une constante L0 ne
dependant que des conditions initiales et une constante C ne dependant
que de ", , a et , telles que
(1.2)
krv(t)kL1 CL0 N (!0) eCtN (! ) ;
(1.3)
;"
CtN (! ) ; 1)) :
k!t k;"
;Xt C k!0 k;X exp (CL0 (e 0
0
0
0
0
0
290
R. Danchin
Remarque 1.4. En reprenant les resultats de [Ch2, Chapitre 9] sur
les poches de tourbillon singulieres, on montre aisement que, sous les
hypotheses du Theoreme 1.1, rv(t) est dans L1
loc (R 2 nfxt g) pour tout
temps. On prouve en fait l'existence d'une constante C0 ne dependant
que des donnees initiales et d'une constante C ne dependant que des
parametres de regularite, telles que pour tout h 2 ]0; 1]
C k!0 k t
(1.4) jrv(t; x)j C (1 ; log h) k!0 k eC e
0
;
si jx ; xt j h :
Cependant il ne semble pas raisonnable d'essayer de propager les hypotheses geometriques faites dans le Theoreme 1.1 sans perte de regularite et en utilisant uniquement l'inegalite (1.4). L'exemple donne dans
[BCh] et qui montre que la regularite du ot associe a une poche de
tourbillon singuliere peut se degrader de maniere exponentielle en temps
semble indiquer qu'une telle entreprise serait vouee a l'echec.
1.3. Deux exemples d'application du Theoreme 1.1.
Dans cette partie, on montre que les hypotheses du Theoreme 1.1
sont satisfaites pour une large classe de donnees initiales !0 .
Le premier exemple correspond au cas ou !0 = !0 1
avec 0
ayant une frontiere reguliere en dehors d'un point ou elle a une singularite de type cusp, et !0 fonction de classe C " pour un " 2 ]0; 1[. On
suppose que la singularite se trouve a l'origine, que le cusp est oriente
suivant l'axe des abscisses et que le contact entre les deux branches est
d'ordre ni.
0
Proposition 1.2. Soit > 0, " 2 ]0; 1[ , 0 un ouvert borne tel que 0 2
@ 0 et que @ 0nf0g soit de classe C 1+" . Supposons plus precisement
qu'il existe > 0 et deux fonctions f1 et f2 denies sur [0; ] et telles que
0 concide localement avec f(x1; x2); f1(x1 ) < x2 < f2(x1 )g. Posons
l(x) = (f2(x) ; f1 (x))=2 et g(x) = (f1(x) + f2 (x))=2 et supposons enn
que l et g verient les proprietes suivantes :
i) l et g sont de classe C 1+" sur ]0; ],
ii) l(0) = l0(0) = g(0) = g0(0) = 0 et les applications h 7;! h g0(h)
et h 7;! h (l0=l)(h) sont prolongeables en 0 par continuite, le prolongement obtenu etant de classe C " sur [0; ],
iii) il existe C > 0 tel que C ;1 h1+ l(h) C h1+ sur [0; ].
Evolution
d'une singularite de type cusp
291
Donnons-nous par ailleurs !0 2 C " (R 2 ) et posons !0 = !0 1
.
Alors il existe une geometrie (; X ) (1; ")-elee en 0 telle que !0 2
C;" (X ) pour tout 2 ]0; "[ . En particulier, si " > 2=(2 + ), !0 verie
les hypotheses du Theoreme 1:1.
0
Preuve. Remarquons que, d'apres iii), la limite de h (l0 =l)(h) en 0 est
forcement egale a 1 + . On prolonge alors les fi sur [;; ] par parite
et on pose
et
X (0; x2) = (1 + ) x2 @2
0
X (x) = x1 @1 + x1l(lx(x)1 ) (x2 ;g(x1))+x1 g0(x1 ) @2 ; si 0 < jx1j :
1
Soit 2 C01 (B (0; )) valant 1 sur B (0; =2). On pose alors X1(x) =
(x) X (x) si jxj et on prolonge X1 par 0 en dehors de B (0; ). Il
est clair que, pour 0 < x1 et i 2 f1; 2g, on a
X (x1; fi(x1)) = x1 (@1 + fi0 (x1) @2) ;
donc X1 est tangent a @ 0. De plus, X1 est clairement de classe C " et
div X (x1; x2) = 1 + x1 (l0=l)(x1) donc div X1 est de classe C " gr^ace a
ii).
On considere ensuite une equation F de classe C 1+" de @ 0 telle
que sur un voisinage V0 de @ 0nB (0; =2), on ait jrF (x)j c > 0. Soit
e 2 C01 (V0 ) valant 1 sur @ 0nB (0; =2). On pose alors
X2 =(1 ; ) e r?F ; X3 =(1 ; ) (1 ; e) @1 et X4 =(1 ; ) (1 ; e) @2 :
Ces trois champs sont visiblement a coecients et divergence dans C "
et il est clair que pour x 62 B (0; =2), max fjX2(x)j; jX3(x)j; jX4(x)jg c=2.
Posons = f1; 2; 3; 4g et h (x) = (x=h). Pour montrer que (; X )
est une geometrie (1; ")-elee en 0, il faut prouver que
jX (x)j < +1 :
0 < xinf
sup
2 2 jxj
1
Ceci resulte visiblement de la denition de X1 et de l'hypothese ii).
Il ne reste plus qu'a montrer que !0 2 C;" (X ). Il est clair que i)
est veriee puisque !0 2 L1 \ L1 . Par construction des champs X, on
292
R. Danchin
a X (x; D) !0 = 0 pour 2 f3; 4g. Par ailleurs, comme X1 et X2 sont
tangents a @ 0, le Lemme 1 de l'appendice applique avec a = !0 et
b = 1
nous assure que X(x; D) !0 2 C ";1 pour 2 f1; 2g. Donc ii)
est veriee. Enn, l'hypothese iii) entra^ne immediatement la nitude
de N (!0).
Comme les champs X2, X3 et X4 sont nuls au voisinage de 0, il ne
reste plus qu'a prouver que pour 2 ]0; "[ , on a kX1 (x; D) !0 h k;1 Ch(";)= . En appliquant a nouveau le Lemme 1 de l'appendice avec
cette fois-ci a = !0 et b = h 1
, il vient X1 (x; D) !0 2 C ";1 ,
X1(x; D) h !0 2 C ;1 et
0
0
kX1(x; D) h !0 k;1
C (kh 1
k;" (ekX1k" k!0 k" + kX1(x; D) !0 k";1 )
+ k!0 kL1 kX1(x; D) (h 1
)k;1 ) :
0
0
En utilisant les injections L2=(";) ,! C ;" et L2=(1;) ,! C ;1 (voir
[T] par exemple), on obtient
kh 1
k;" C kh 1
kL = "; Ch(";)= ;
kX1(x; D) (h 1
)k;1 C k2h 1
kL = ; kX1(x; D) hkL1
Ch(1;)=
Ch(";)= :
0
0
0
2 (
)
0
2 (1
)
La condition iii) est donc veriee.
Remarque 1.5. La Proposition 1.2 s'applique en particulier au cas ou
0 concide localement avec f(x1; x2) : jx2j < x1+g pour un > 0.
1
Le champ X est alors egal a x1 @1 + ( + 1) x2 @2 .
Remarque 1.6. En utilisant l'incompressibilite, il n'est pas dicile de
montrer qu'avec les hypotheses de la Proposition 1.2, on a pour tout
temps t,
(1.5)
N (!0) = Nt (!t ) :
0
Comme est de plus lipschitzien puisque v l'est, il y a visiblement
conservation de l'ordre d'element de la poche pres de la singularite.
Evolution
d'une singularite de type cusp
293
Si !0 est la fonction caracteristique d'un domaine borne regulier en
dehors de x0 , la propriete (1.5) signie que l'intersection de 0 avec des
boules B (x0; h) a une mesure de l'ordre de h2+ et que t jouit de la
m^eme propriete en xt = t (x0 ).
Les resultats du Theoreme 1.1 sont en revanche insusants pour
assurer la conservation des hypotheses faites a la Proposition 1.2. En
particulier, si @ 0 admet une demi-tangente en x0, rien ne garantit
l'existence d'une demi-tangente en xt pour @ t .
Nous donnons un deuxieme exemple d'application du Theoreme
1.1. On suppose encore que !0 = !0 1
mais, cette fois-ci @ 0 a
un coin. Nous montrons dans la proposition suivante que l'on peut
encore avoir !0 2 C;" (X ) si !0 a de bonnes proprietes d'annulation au
voisinage de l'origine.
0
Proposition 1.3. Soit " 2 ]0; 1[ , 0 un ouvert borne tel que 0 2 @ 0 et
que @ 0nf0g soit de classe C 1+" en dehors de 0. Supposons qu'il existe
> 0 et deux fonctions f1 et f2 denies sur [0; ], de classe C 1+" et
telles que 0 concide localement avec f(x1; x2) : f1(x1) <x2 <f2 (x2)g.
Posons l(x) = (f2(x);f1(x))=2 et g(x) = (f1(x)+f2(x))=2 et supposons
en outre que l0 (0) > 0.
Donnons-nous par ailleurs !0 2 C " (R 2 ) telle que de plus r!0 2
L2=(1;") au voisinage de 0 et !0 (0) = 0. Posons !0 = !0 1
. Alors
il existe une geometrie (; X ) (1; ")-elee enp0 telle que !0 2 C";" (X )
pour tout 2 ]0; "[ . En particulier, si " > 3 ; 1, !0 verie les hypotheses du Theoreme 1.1.
0
Preuve. Elle ressemble beaucoup a celle de la proposition precedente,
aussi n'en donne-t-on pas tous les details. Apres avoir prolonge les fi
sur [;; ], on pose cette fois-ci
x
;
f
(
x
)
x
;
f
(
x
)
2
2
1
2
1
1
0
0
; f1(x1)
@2 :
X (x) = l(x1) @1 + f2 (x1)
2
2
En remarquant que div X = 2 l0(x) et en posant encore X1 = X , on
obtient un champ tangent a @ 0, a coecients et divergence dans C " .
On peut alors denir comme precedemment des champs X2, X3 et X4
ainsi qu'une geometrie (1; ")-elee en 0.
On a clairement !0 2 L1 \ L1 et l'appartenance de X (x; D) !0
a C ";1 resulte toujours du Lemme 1 de l'appendice. De plus, les hypotheses !0 (0) = 0 et !0 2 C " entra^nent j!0 (x)j = O(jxj") et donc la
nitude de N" (!0).
294
R. Danchin
Enn, X1(x; D) (h !0 ) = !0 X1(x; D) h + 1
h X1(x; D) !0.
Donc, en utilisant encore les injections de Sobolev, puis l'inegalite de
Holder, on a
kX1(x; D) (h !0)k;1 C (k!0 2h kL = ; kX1(x; D) hkL1
+ k2h r!0 kL = ;" kh X1kL = "; )
Ch1+";
Ch(";)= :
0
2 (1
)
2 (1
)
2 (
)
Remarque 1.7. Plus generalement, le Theoreme 1.1 peut s'appliquer a
un certain nombre de donnees initiales utilisees dans [Ch2, Chapitre 9]
ou dans [Da]: il convient simplement d'imposer au tourbillon une condition d'annulation a un ordre susamment eleve pres de la singularite.
2. Estimations a perte pour les equations de transport.
Apres un bref rappel sur la theorie de Littlewood-Paley inhomogene, on demontre dans cette partie une estimation a perte pour les
equations de transport par un champ de vitesse quasi-lipschitzien. L'estimation obtenue servira dans la derniere partie a propager des geometries elees avec perte de regularite et a temps petit, etape preliminaire
a la preuve du Theoreme 1.1.
2.1. Theorie de Littlewood-Paley.
On rappelle ici les bases de la theorie de Littlewood-Paley. Pour
plus de details, on pourra par exemple consulter [Ch2].
Proposition 2.1. Soit C R d , la couronne de centre 0 de petit rayon
3=4, de grand rayon 8=3 et B R d , la boule de centre 0 et de rayon
4=3. Il existe deux applications 2 C01 (B) et ' 2 C01 (C ) telles que
X
( ) + '(2;q ) = 1 ;
pour tout 2 R d ;
q 2N
1 2 ( ) + X '2 (2;q ) 1 ;
3
q 2N
pour tout 2 R d :
Evolution
d'une singularite de type cusp
295
On denit alors des operateurs p et Sp de L(S 0 (R d ); C 1(R d ))
qui correspondent a des decoupages des distributions en morceaux de
frequences voisines de 2p pour p et plus petites que 2p pour Sp .
Plus precisement, posons h = F ;1 ', eh = F ;1 et
p u = 0 ;
si p ;2 ;
;1 u = (D) u = eh ? u ;
p u = '(2;p D) u = 2pd
Sp u = (2;p D) u =
Z
X
qp;1
h(2p y) u(x ; y) dy ;
q u = 2pd
Z
si p 0 ;
h(2p y) u(x ; y) dy :
e
On montre la convergence de Sp vers l'identite au sens des distributions
temperees.
Le lemme
suivant, qui exprime la quasi-orthogonalite des termes
P
de la serie p u, est une consequence immediate de la Proposition
2.1.
Lemme 2.1. Soient u et v, deux elements de S 0 (R d ). On a alors
p q u 0 ;
si jp ; qj 2 ;
q (Sp;1 u pv) 0 ;
si jp ; qj 5 ;
p (q u r v) 0 ;
si q r ; 5 et jp ; rj 2 :
On peut maintenant donner une caracterisation des espaces de
Holder a l'aide de la decomposition de Littlewood-Paley. Cette caracterisation permet d'etendre de maniere naturelle la denition des espaces de Holder a tout reel.
Denition 2.1. Soit r 2 R . On note C r (R d ), l'espace des distributions
temperees u telles que
kukr d=ef sup 2qr kq ukL1 < 1 :
q;1
296
R. Danchin
Remarque 2.1. Lorsque r
2 R + nN , cette denition redonne les es-
paces de Holder usuels avec des normes equivalentes. Par exemple,
si r 2 ]0; 1[ , il existe une constante C universelle telle que, pour tout
u 2 C r (R d ), on ait
kukr kuk 1 + sup ju(x) ; u(y)j C kuk :
L
C
jx ; yjr
r (1 ; r) r
x6=y
On prendra garde au fait que, lorsque r 2 N , l'espace C r (Rd ) ainsi
deni contient strictement l'ensemble des fonctions bornees a derivees
d'ordre r bornees. Pour eviter les confusions, on le notera alors C?r (R d ).
Denition 2.2. On dira qu'une suite fuq gq2N est a frequences dans des
boules dyadiques s'il existe R 0 tel que pour tout q 2 N , supp fuq g B (0; 2q R). On dira qu'elle est a frequences dans des couronnes dyadiques s'il existe 0 r r0 tels que pour tout q 2 N , supp fuq g C (0; 2q r; 2q r0 ).
Le lemme suivant sera fort utile dans les parties suivantes:
Lemme 2.2. Soit fuq gq;1 a frequences dans des boules dyadiques.
On suppose qu'il existe r > 0 et une constante
K 0 telle que pour tout
P
;
qr
1
q ;1, kuq kL K 2 . Posons u = q;1 uq . Alors u 2 C r (R d )
et il existe une constante C 0 independante des uq et de r telle que
1+r
kukr C r K :
Soit fuq gq;1 a frequences dans des couronnes dyadiques. On suppose
qu'il existe r 2 R et une constantePK 0 telle que pour tout q ;1,
kuq kL1 K 2;qr . Posons u = q;1 uq . Alors u 2 C r (R d ) et il
existe une constante C 0 independante des uq et de r telle que
kukr C 1+jrj K :
Denissons maintenant, d'apres [Bo2], le paraproduit.
Denition 2.3. Soient u 2 S (R d ) et v 2 S (R d ). On appelle
paraproP
d
duit de u par v, l'element Tu v 2 S (R ) deni par Tu v = q Sq;1u q v.
On notera par ailleurs R(u; v), le reste de u et v, deni par R(u; v) =
Evolution
d'une singularite de type cusp
297
e v o
e
q u
q = q;1 + q + q+1 . Enn, on posera Tu0 v =
q q u P
Tu v + R(u; v).
Remarque 2.2. On a pour tout (u; v ) 2 (S (R d ))2 , u v = Tu v + Tv u +
R(u; v).
Remarque 2.3. Si Y est un champ de vecteurs, on appellera parachamp l'operateur TY i @i et on le notera TY par souci de concision.
Il est clair que la Denition 2.3 garde un sens dans un grand nombre
d'espaces fonctionnels. Nous aurons besoin du lemme suivant:
Lemme 2.3. L'operateur T est bilineaire continu de L1 C r dans C r .
Si t < 0, il est egalement continu de C t C r dans C r+t . L'operateur R
est continu de C t C r dans C r+t des que r + t > 0. De plus, il existe
des constantes C universelles telles que
(2.1)
kTu vk C jrj+1 kukL1 kvk ;
r
jr+tj+1
(2.2) kTu vkr+t C ;t
(2.3)
r
pour tout r 2 R ;
kukt kvkr ; pour tous r 2 R ; t < 0 ;
r+t+1
kR(u; v)kr+t Cr + t kukt kvkr ;
pour tous (r; t) 2 R 2 ; r + t > 0 :
Le lemme suivant clarie le comportement des operateurs de Fourier homogenes dans les espaces de Holder et les proprietes de commutation du paraproduit avec de tels operateurs.
Lemme 2.4. Soit m 2 R et R > 0. Soit f une application de C 1 (R d )
homogene de degre m en dehors de la boule B (0; R). Il existe alors une
constante C ne dependant que de R telle que, pour tout reel r et pour
tout t < 1, on ait
(2.4)
kf (D) uk C jrj+jmj+1 kuk ;
r;m
(2.5)
(2.6)
jrj+jmj+1
r
k[Tu ; f (D)] vkr;m+t C 1 ; t krukt;1 kvkr ;
k[Tu ; f (D)] vkr;m+1 C jrj+jmj+1 krukL1 kvkr :
298
R. Danchin
2.2. E quations de transport avec perte.
Le lemme suivant generalise un lemme de [BCh] sur les equations
de transport. Cette generalisation porte sur le second membre de
l'equation que l'on suppose un peu moins regulier que la quantite transportee.
Lemme 2.5. Soit 2 ]0; 1[ , s 2 [ ; 1; 1 ; ] et (V; G) un couple de
fonctions positives et localement integrables sur R + . Il existe alors une
constante C universelle veriant les proprietes suivantes :
Posons
Z t
C
t = s ; V ( ) (1 + G( )) d
0
et soit T un reel tel que T ; 1.
Soit v un champ de vecteurs a divergence nulle tel que rv 2
1
L ([0; T ]; C?0) et krv(t)k0 V (t) pour t 2 [0; T ], et f0 une fonction
de classe C s. Soient f , g1 et g2 trois fonctions telles que
sup kf (t)kt < +1 ;
t2[0;T ]
sup kg1(t)kt < +1 ;
t2[0;T ]
et
kq g2(t)kL1 (q + 2) 2;qt G(t) V (t) kf (t)kt :
Supposons que, sur l'intervalle [0; T ], on ait
@t f + div (fv) = g1 + g2 ;
(T )
fjt = f0 :
Alors on a
=0
kf (t)kt 2 kf0ks +
(2.7)
pour tout t 2 [0; T ].
t
Z
0
kg1( )k d ;
Preuve. Commencons par supposer que v est C 1 a derivees veriant
les hypotheses du lemme. En appliquant l'operateur q a (T ), il vient
(Tq )
(@t + v r) q f = q g1 + q g2 + [v r; q ] f ;
q fjt = q f0 :
=0
Evolution
d'une singularite de type cusp
299
Pour estimer le commutateur, on fait une decomposition en paraproduit
et reste
[v r; q ] f = R1 + R2 + R3 ;
avec
R1 = [Tvj ; q ] @j f ;
R2 = T@j q f vj ; q T@j f vj ;
R3 = @j (R(vj ; q f ) ; q R(vj ; f )) :
Ces dierents termes se majorent a l'aide des lemmes 2.3 et 2.4. Dans
[Ch2, Chapitre 4], il est montre que
C
1
kR2kL 1 ; 2;qt krvk0 kf kt
t
et
C
1
kR3kL 1 + 2;qt krvk0 kf kt :
t
Pour majorer kR1kL1 , on ne peut pas utiliser (2.6) puisque rv 62 L1 .
En revenant a la denition du paraproduit, on trouve que
R1 =
X
[Sq0;1 vj ; q ] @j q0 f :
jq;q0j4
Or
[Sq0;1 vj ; q ] @j q0 f (x)
Z
= h(y) (Sq0;1 vj (x) ; Sq0;1 vj (x ; 2;q y)) @j q0 f (y) dy :
Rd
Donc, en utilisant la formule de Taylor avec reste integral a l'ordre 1,
on obtient
k[Sq0;1 vj ; q ] @j q0 f kL1 C 2;q kSq0;1 rvkL1 kq0 rf kL1
C (q + 2) V (t) 2;qt kf kt ;
d'ou
(2.8)
k[v r; q ] f kL1
(
q
+
2)
V
(
t
)
C 1 ; 2 2;qt kf kt :
t
300
R. Danchin
Par ailleurs, en integrant (Tq ), on trouve
q f (t; x) = q f0(t; t;1(x))
Z
t
(q g1 + q g2 + [v r; q ] f )(; ( t;1(x))) d :
0
Donc, en utilisant (2.8), il vient
+
t
Z
kq f (t; )kL1 kq f0 kL1 +
0
2;q kg1( )k d
Z
t 1 + G( ) Z
t
(q + 2) 2;q V ( ) kf ( )k d :
2
1
;
0
En multipliant les deux membres par 2qt et en prenant la borne superieure par rapport a q, on obtient
+C
kf (t)kt kf0kt +
0
kg1( )k
+ C sup kf ( )k
2[0;t]
Z
t
sup 2(q+2)t V ( ) (q + 2) 2;(q+2) (1 + G( )) d :
q;1
0
En posant C = 2 C= log 2, on trouve l'inegalite desiree. Dans le cas
ou v n'est plus suppose regulier, on pose vn = Sn v. On montre alors
aisement des estimations independantes de n sur les quantites voulues
et une propriete de convergence dans des espaces plus grossiers (voir
[BCh]). On en deduit encore (2.7).
Remarque 2.4. Lorsque le champ v est lipschitzien et que le second
membre est aussi regulier que la quantite transportee, on obtient bien
s^ur des estimations sans perte (voir par exemple [Ch2]): pour tout
r 2 ] ; 1; 1[ , il existe une constante C ne dependant que de r et telle
que, si T > 0 et si
@t f + div (fv) = g ;
fjt = f0 ;
pour t 2 [0; T ], alors on ait
=0
(2.9)
kf (t)kr kf0kr +
Z
t
R
kg( )kr e;C krv( 0)kL1 d 0 d
0
eC 0 krv( )kL1 d :
Rt
0
Evolution
d'une singularite de type cusp
301
3. Une estimation stationnaire pour le gradient de la vitesse.
Le but de cette partie est de prouver une estimation de la norme
lipschitzienne de la vitesse pour des champs de vitesse v de R 2 veriant
les hypotheses du Theoreme 1.1. Le theoreme obtenu ici est en fait
encore valable avec des hypotheses un peu plus generales et autorise
notamment des geometries (; ; ")-elees avec et pouvant ^etre
distincts de 1. Cette generalisation n'est pas un \luxe inutile" comme
nous le verrons dans la derniere partie lorsqu'il s'agira de propager
cette estimation stationnaire. De m^eme, observer que la constante de
l'estimation est continue par rapport aux parametres de regularite et
d'element s'averera indispensable.
On remarquera que l'estimation obtenue ne fait intervenir des
quantites liees a la geometrie elee et non conservees par le ot que de
maniere logarithmique. C'est cette propriete qui, comme dans le cas
de poches de tourbillons regulieres, permettra de propager la structure
singuliere initiale pour tout temps et d'obtenir encore une croissance de
krv(t)kL1 au plus exponentielle en temps.
Soit x0 2 R 2 . Dorenavant, on dira que fhgh>0 est une famille
concentree en x0 si et seulement si il existe deux applications g et veriant la condition i) de la Denition 1.1 (ou la condition i') de la
Remarque 1.1 si < 1), et telles que h (x) = g(;1(x)=h). On posera
alors !h = h !. Dans cette partie, on conviendra que k;1 k =
kr;1 kL1 si = 1.
En utilisant la continuite de l'inclusion de Lp (R 2 ) dans C ;2=p (R 2 )
(voir [T]) et le fait que ;1 @i @j est un operateur continu de Lp dans
Lp pour p 2 ]1; +1[ (voir [Ch2] par exemple), on montre facilement
que le gradient de la vitesse garde un \souvenir" du caractere ele
du tourbillon pres d'un point. Plus precisement, on obtient le lemme
suivant:
Lemme 3.1. Soit x0 2 R 2 , fh gh>0 une famille concentree en x0
et > 0. Supposons que ! 2 L1
loc . Soit enn h > 0 et 2 ]0; 2[ .
Alors il existe une constante C universelle telle que, si l'on pose vh =
;1 r? !h , on ait
krvhk; C h= N(!)
(2 ; ) ;
avec =
2 :
2+
Le resultat principal de cette section est le theoreme suivant:
302
R. Danchin
Theoreme 3.1. Soit a 2 [1; +1[ et D l'ensemble des quintuplets
(; ; ; "; ) veriant l'hypothese suivante
> 0;
< 1;
< " < 1;
(H)
"
;
"
"
;
0< <" "+
et
0< "+ :
ou l'on a pose = 2=(2 + ).
Soit x0 2 R 2 et (; X ) une geometrie (; ; ")-elee en x0 . Soient
g et deux applications veriant la condition i) de la Denition 1:1 si
= 1 ou la condition i') de la Remarque 1:1 si < 1 et R0 k;1 k tel
que g 1 sur B (0; R0). Soit enn v un champ de vecteurs a divergence
nulle, a gradient dans La et a tourbillon ! 2 C;" (X ). Alors on a
N(!) sup2 ekX k" + N (X; !) e+
k;1 k; 1 R0 I (X ) N(!)
ou C est une fonction continue de (; ; ; "; ) sur le domaine D.
krvkL1 C a N(!) log
Remarque 3.1. Le lecteur veriera aisement que, si = 1, = 1, et "
et verient les hypotheses du Theoreme 1.1, alors (; ; ; "; ) 2 D.
La demonstration du Theoreme 3.1 reprend les idees principales
du [Ch2, Theoreme 3.3.2] que nous enoncons ici.
Proposition 3.1. Il existe une constante C telle que pour tout " 2
]0; 1[ , pour tout a 2 [1; +1[ et pour tout ferme du plan, on ait la
propriete suivante.
Soit fX g2 une famille de champs de vecteurs a coecients et
divergence dans C " et telle que de plus
I (; X ) d=ef xinf
sup jX (x)j > 0 :
62 2 Alors si v est un champ de vecteurs a divergence nulle, a gradient dans
La et a tourbillon ! dans L1 tel que de plus sup2 kX(x; D) !k";1 <
+1, on a
krvkL1 (c )
1 + k! k sup2 kX k" :
C"a k!k log e + sup2 kX(x; D")k!!kk"I;(
; X)
e
Evolution
d'une singularite de type cusp
303
Ce resultat joint au lemme suivant qui montre que la contribution de la partie elee du tourbillon dans le calcul du gradient de la
vitesse reste bornee lorsqu'on s'approche de la singularite, permettront
de prouver le Theoreme 3.1.
Lemme 3.2. Sous les hypotheses du Theoreme 3:1, il existe un polyn^ome P (x; y; z) ne s'annulant que pour x y z = 0, z = 1, x = y ou y = z
et tel que pour 0 < h 1, c1 > 0 et vh = ;1 r? !h , on ait
krvhkL1 (supp nB(x ;c h = ))
1
0
1
1
N (!) sup2 ekX k" + N (X; !) N (!)
:
P (; =; ") log e +
c1 I (X ) N(!)
Pour demontrer ce resultat, nous aurons besoin du lemme suivant
qui est un ranement du [Ch2, Lemme 3.3.1] prenant en compte le
caractere ele du support du tourbillon. Ce lemme peut-^etre vu comme
un resultat d'interpolation logarithmique entre les espaces C?0 et C .
Lemme 3.3. Soit Y un champ de vecteurs a coecients C " (" 2 ]0; 1[)
non identiquement nul sur R 2 et h > 0. On suppose de plus qu'il existe
2 ]0; 1[ tel que Y (x; D)vh 2 C (R 2 ). Alors il existe une constante C
universelle telle que, pour 0 < "0 < ", on ait
kY (x; D) vhkL1 min f;C" ; "0 g kY kL1 krvh k0
kY (x; D)vhk + h"0 = N(!) kY k" log e + "0 (" ; "0 ) kY k 1 krv k
:
L
h 0
Demonstration. On commence par decouper le terme Y (x; D) vh en
basses et hautes frequences
Y (x; D) vh = SN (Y (x; D) vh) +
X
qN
q (Y (x; D) vh) :
Pour la partie hautes frequences, on a simplement
(3.1)
X
q N
q (Y (x; D) vh) C 2;N kY (x; D) vhk :
304
R. Danchin
Par ailleurs,
SN (Y (x; D)vh) = SN (TY j @j vh ) + SN (T@j vh Y j + R(Y j ; @j vh )) :
En utilisant la continuite du paraproduit de L1 C?0 dans C?0 , on a
(3:2)
kSN (TY j @j vh )kL1 C N kY kL1 krvh k0 :
Pour le dernier terme, on ecrit
SN (T@j vh Y j + R(Y j ; @j vh))
= SN
X
qN +2
Sq+2 @j vh q Y j + SN
X
qN +3
e q @j vh q Y j :
En utilisant une transformation d'Abel, on montre que
SN
X
qN +2
Sq+2 @j vh q Y j
= SN +3 Y j SN +4 @j vh ;
X
qN +1
Sq+1 Y j q+1 @j vh ;
ce qui donne
(3.3)
SN
X
qN +2
Sq+2 @j vh q Y j
C N kY kL1 krvhk0 :
Le Lemme 3.1 nous permet alors d'ecrire les inegalites suivantes
SN
X
qN +3
e q @j vh q Y j
C
C
X
qN +3
X
ke q @j vhkL1 kq Y j kL1
0
2;q(";" ) krvh k;"0 kY k"
qN +3
C 2;N (";"0 ) h"0 = N (!) kY k :
"
"0 (" ; "0 )
En utilisant cette derniere inegalite ainsi que (3.1), (3.2) et (3.3), on
obtient
kY (x; D) vhkL1 C N kY kL1 krvh k0
0
h" = N (! )
k
Y
(
x;
D
)
v
k
h
;
N"
+2
;
"0 (" ; "0 ) kY k" +
3
Evolution
d'une singularite de type cusp
305
avec "3 = min f";"0 ; g. On trouve alors le resultat desire en choisissant
0
h" = N (! ) kY k + kY (x; D ) v k 1
h "
:
N = 1 + " log
0
0
" (" ; " ) kY kL1 krvh k0
3
Demonstration du Lemme 3.2. Une simple application de la Proposition 3.1 permet d'armer que pour tous h > 0 et c1 > 0, on a rvh 2
L1 (supp 1 nB (x0; c1h1= )). Malheureusement, l'estimation obtenue a
un comportement en log h pour h tendant vers 0. Nous allons montrer
ici que l'on peut obtenir une estimation independante de h en contr^olant
soigneusement toutes les puissances de h gr^ace aux lemmes 3.1 et 3.3.
Soit donc y0 2 supp 1 nB (x0; c1h1= ). Quitte a translater les
dierentes quantites manipulees, on peut toujours supposer que x0 = 0.
On xe alors une fois pourR toutes une approximation de l'identite
2 C01 (B (0; 1)) telle que = 1. Il existe par ailleurs 2 tel
que 2 jX(y0)j jy0j I (X ). On xe et on omettra l'indice dans
le reste de la demonstration du Lemme 3.2. Posons
n
1
o
j
X
(
y
)
j
2
U = y 2 R : jX (y )j 2 :
0
Soit = ;2 (;1 ) ? 1U avec = (jX (y0)j=(4 kX k" ))1=". Il est clair
que
3 jX (y )j jX (y)j 7 jX (y )j ) ((y) = 1) :
(3.4)
0
0
4
4
De m^eme, on a
j
X
(
y
)
j
9
0
ou jX (y)j 4 jX (y0)j ) ((y) = 0) :
(3.5) jX (y)j 4
Posons Y = X . De (3.4) et (3.5), on deduit
(3.6)
kY kL1 94 jX (y0)j et Y (y0) = X (y0) :
Remarquons maintenant que
jY (y0)j2 @12 = Y 1(y0 ) Y (x; D) @1 ; Y 2 (y0) Y (x; D) @2 + (Y 2 (y0))2 ;
jY (y0)j2 @22 = Y 2(y0 ) Y (x; D) @2 ; Y 1 (y0) Y (x; D) @1 + (Y 1 (y0))2 ;
jY (y0)j2 @1 @2
= Y 1 (y0) Y (x; D) @2 + Y 2(y0 ) Y (x; D) @1 ; Y 1 (y0) Y 2 (y0) :
306
R. Danchin
Comme vh = ;1 r? !h, ceci entra^ne gr^ace au Lemme 3.3 et a (3.6),
jrvh (y0)j
vh k0
C k!h kL1 + minkr
f; " ; "0 g
(3.7)
kY (x; D) vhk + h"0 = N(!) kY k" log e + "0 (" ; "0 ) jX (y )j krv k
;
0
h 0
pour tout "0 tel que 0 < "0 < ".
Estimation de kY k" . On utilise le fait que k k" et k kL1 +sup0<jx;yj<1
(j (y) ; (x)j)=jx ; yj" sont des normes equivalentes dans C " , d'apres
la Remarque 2.1. Supposons que x soit dans supp (Y ). E crivons
(3.8)
Y (y) ; Y (x) = (y) (X (y) ; X (x)) + ((y) ; (x)) X (x) :
On obtient alors
(3.9)
jY (y) ; Y (x)j C jx ; yj" (kX k" + jX (x)j ;") :
Par ailleurs, en utilisant (3.5), on voit que x 2 supp (Y ) entra^ne
jX (x)j 9 jX (y0)j=4. Donc d'apres (3.9) et la denition de , on a
jY (y) ; Y (x)j C jx ; yj" kX k" :
Finalement, comme kY kL1 kX kL1 , on obtient donc
(3.10)
kY k" C kX k" :
Estimation de kY (x; D) vhk . On a Y (x; D) vh = X (x; D) vh, donc
kY (x; D) vhk kk kX (x; D) vhk :
En revenant a la denition de , on en deduit que
(3.11)
="
k
X
k
"
kY (x; D) vhk C jX (y )j kX (x; D) vhk :
0
Evolution
d'une singularite de type cusp
307
Il s'agit donc maintenant de majorer kX (x; D) vhk . Posons ;1 (D) =
(1 ; (D)) ;1 r? . De la denition du paraproduit, on deduit que
Tu w = Tu (1 ; (D)) w. Ceci permet decrire
(3.12)
X (x; D) vh = R1 + R2 + R3 + R4 + R5
avec
R1 = ;1 (D) X (x; D) !h ;
R2 = [TX j ; ;1(D)] @j !h ;
R3 = ;1 (D) R(!h; div X ) ;
R4 = ;;1 (D) (T@j !h X j + @j R(!h; X j )) ;
R5 = T@j vh X j + R(@j vh ; X j ) :
Comme ;1 (D) est un operateur pseudo-dierentiel de degre ;1, l'inegalite (2.4) entra^ne immediatement
(3.13)
kR1 k Ch(";)= N (X; !) :
En utilisant les lemmes 2.3 et 2.4, on montre aisement que,
kR2k 1 C; " krvh k;" kX k" ;
kR4k C" krvh k;" kX k" ;
kR5k ("C; ) krvh k;" kX k" :
Le Lemme 3.1 donne donc
(3.14)
(";)=
kRi k " (1Ch; ") (" ; )2 N(!) kX k" ;
pour i 2 f2; 4; 5g. Quant a R3 , il verie
(3.15)
(";)= Ch
kR3k (" ; ) N (!) kdiv X k" :
308
R. Danchin
Finalement, en reunissant les relations (3.12), (3.13), (3.14) et (3.15),
on obtient
Ch(";)= (N (X; !) + N(!) ekX k" )
kX (x; D) vhk :
" (1 ; ") (" ; )2
On en deduit d'apres (3.11) que
Ch(";)= (N (X; !) + N(!) ekX k" )
kY (x; D) vhk " (1 ; ") (" ; )2
(3.16)
="
jXkX(yk")j :
0
En prenant "0 = = dans (3.7) puis en y injectant les inegalites (3.10)
et (3.16), on trouve apres quelques majorations faciles,
jrvh (y0)j
C k!hkL1
+ krvh k0
P (; =; ")
= N (! ) kX k"
h
log e + jX (y )j krv k
0
h 0
e
("+ )=" N (X; ! )+ N (! ) e
kX k" k
X
k
(
"
;
)
=
"
+h
:
e
jX (y0)j
kX k" krvhk0
Compte tenu des hypotheses sur et , de h 1 et de
jX (y0)j I (X ) jy0j c1 I (X ) h= ;
on obtient
jrvh(y0 )j C k!hkL1
h k0
+ P (;krv=;
")
N (! ) e
kX k" + N (X; !) log e + krvh k0 ekX k"
e
("+ )="
e
"
ckIX (kX" )
+ ckIX k(X
:
1 1 )
Evolution
d'une singularite de type cusp
309
On en deduit que, si c1 I (X ) ekX k" , on a
jrvh (y0 )j
P (; C=; ")
k!hkL1 + krvh k0
(3.17)
N (! ) e
e
kX k" + N (X; !) k
X
k
"
log e + c I (X ) :
krvh k0 ekX k"
1 Si c1 I (X ) ekX k" , on majore
e
kX k"
c1 I (X )
par
e
kX k" ("+)=" :
c1 I (X )
Il s'agit ensuite de remarquer que
(3.18)
log (e + x y ) max f1; g log (e + x y) ;
pour tout 0, (x; y) 2 ([1; +1[ )2. Ceci permet encore d'obtenir
(3.17). Comme de plus krvh k0 C k!hk C k!k, des majorations
elementaires permettent alors d'obtenir l'estimation voulue.
Lemme 3.4. Soit p 2 [1; +1[ et v un champ de vitesse a divergence
nulle et a tourbillon ! dans Lp . Alors il existe une constante C universelle telle que, si x 62 supp (!),
jrv(x)j C p k!kLp (d(x; supp (!)));2=p :
Demonstration. Supposons p > 1 et posons p0 = p=(p ; 1). D'apres
la loi de Biot-Savart (BS), puis des majorations elementaires,
Z
1
jrv(x)j 2 jxj!;(yy)jj2 dy
Z
1=p0
dy
1
2 k!kLp
0
supp (!) jx ; y j2p
Z +1
1=p0
dr
;
1
=p
(2) k!kLp
0
d(x;supp (!)) r2p ;1
C p k!kLp (d(x; supp (!)));2=p :
310
R. Danchin
Lorsque p = 1, la majoration est immediate a partir de la loi de BiotSavart.
Demonstration du Theoreme 3.1. D'apres la Proposition 3.1, si
x0 = 0, on a rv 2 L1 (R2 nf0g), ce qui donne un sens aux calculs qui
loc
suivent, pour presque tout x.
Soit donc x 2 R2 nf0g. Posons R = (k;1 k; 1 R0)1= et h1 =
R =(;) . Par hypothese, on a donc h1 1.
Cas ou x est proche de la singularite. Supposons que jxj h11= R=2.
On pose alors h = (2 jxj=R) de telle sorte que h h1 . Pour estimer
jrv(x)j, on utilise la decomposition suivante
rv(x) = rvh (x) + r(v ; vh )(x) :
Le premier terme s'estime gr^ace au Lemme 3.2 applique avec c1 = R=4
et a l'inegalite (3.18) pour remplacer (R=4) par R. On obtient
jrvh (x)j P (; C=; ") N(!)
(3.19)
N (!) sup2 ekXk" + N (X; !) log e +
:
R I (X ) N(!)
Majoration de r(v ; vh )(x). Posons q1 = [(log2 h1 ; log2 h)= ] de telle
sorte que 2q h h1 2(q +1) h. On ecrit ensuite
qX
;1
(3.20) r(v ; vh )(x) =
r(v2 q h ; v2q h)(x)+ r(v ; v2q h )(x) :
q=0
1
1
1
( +1)
1
Le premier terme pourra ^etre estime a l'aide du Lemme 3.4. En eet,
on a
jr(v2 q
h
( +1)
(3.21)
; v2q h )(x)j C k2 q h! ; 2q h !kL
(d(x; supp (2 q h ; 2q h)));2 :
1
( +1)
( +1)
Comme et ;1 sont dans C , on a
(3.22)
B (z0 ); k;r1 k
1= (B (z0; r)) ;
Evolution
d'une singularite de type cusp
311
pour tous z0 2 R 2 , r > 0. Il est clair que supp (2 q h ; 2q h ) R 2 n(B (0; 2q h R0 )). Donc en utilisant (3.22), on obtient
( +1)
supp (2 q
( +1)
h
; 2q h) R 2 nB (0; 2q h1= R) :
De plus, par denition de h, on a 2q h1= R = 2q+1 jxj. Donc
d(x; supp (2 q
h
( +1)
; 2q h)) 2q jxj ;
pour q 2 N . D'apres (3.21) et la denition de N (!), il vient
jr(v2 q
( +1)
h
; v2q h )(x)j C (2(q+1) h)2+ N(!) (2q jxj);2
q+2 j)(2+) ;2
N (!) :
C (2 Rjx(2+
)
En revenant a la denition de q1 et de h1 , on trouve donc
q ;1
1
X
q=0
r(v2 q
h
( +1)
; v2q h)(x)
2+;2=
(2+);2 (2+) ;2
4
h
j
x
j
1
C ; N (!) h
R(2+)
(2+);2=
C;2 N (!) h1 R2
C;2 N (!) :
(3.23)
Majoration de r(v ; v2q h )(x). Elle repose sur la Proposition 3.1.
On adjoint a la famille fX g2 un champ Y de classe C 1 , supporte dans (B (0; 2q h R0 )) et a composantes valant sup2 ekX k
sur (B (0; 2(q ;1) h R0 )). Comme
1
1
1
d((B (0; 2(q ;1) h R0)); R2 n(B (0; 2q h R0))) 2q ;1 h1= R ;
1
1
1
un tel champ peut ^etre choisi de telle sorte que
kY kr C r (2q h1= R);r sup ekX k ;
1
2
pour tout r > 0 :
312
R. Danchin
Notons fX0 g0 20 la famille obtenue en adjoignant a la precedente le
champ Y . On applique alors la Proposition 3.1 avec cette nouvelle
famille et le champ de vecteurs ve a divergence nulle et a tourbillon egal
a !e d=ef (1 ; 2q h ) !. On obtient
1
krvekL1
C ak!e k
0 20 ekX0 k + sup0 20 kX0 (x; D) !e k;1 :
log e + k!e k sup
k!e k inf fJ (X ); (2q R h1= ) I (X )g
1
E tant donnees les hypotheses de support sur !e et Y , on a Y (x; D) !e 0.
Par ailleurs, il est clair que k!e k k!k. Enn,
X (x; D) !e = X (x; D) ! ; X (x; D) !2q h :
1
Donc
kX(x; D) !e k;1 kX(x; D) !k;1 + (2q h)(";)= N (X; !) :
1
Comme par denition de q1 , on a 2q h h1 1 et 2q h1= h11= 2q +1 h1= , on obtient
1
1
1
krvekL1
1= R);1; sup ekX k + N (X; ! ) k
!
k
(
h
C
a
2 1
:
2 k!k log e +
1
=
k!k inf fJ (X ); Rh1 I (X )g
En revenant a la denition de R et de h1 , on obtient
h11= R = (k ;1k; 1 R0)1=(;) :
Il ne reste plus qu'a utiliser (3.18) pour eliminer les puissances de
R0 k ;1k; 1 dans le logarithme. On trouve
e
N (X; !) :
(3.24) krvekL1 C2a k!k log e + k!k sup20 kX;1k;+
k!k R k k 1 I (X )
Evolution
d'une singularite de type cusp
313
Les relations (3.19), (3.23) et (3.24) donnent nalement, pour jxj R=(;) =2,
(3.25)
jrv(x)j (C;a2) 2 N(!)
log e +
N (!) sup2 ekXk" + N (X; !) :
R0 k ;1k; 1 I (X ) N(!)
La majoration de rv sur R 2 nB (0; R=(;) =2) est une simple consequence de la Proposition 3.1. Pour trouver l'estimation voulue, on
elimine les puissances de R0 k ;1k; 1 indesirables dans le logarithme a
l'aide de (3.18).
4. Un resultat de propagation de structures elees.
Cette partie est consacree a la demonstration du Theoreme 1.1.
Sachant qu'avec le type de geometrie qui nous interesse, le gradient
de la vitesse est borne, il serait tentant d'appliquer les methodes que
l'on utilise habituellement pour demontrer des resultats de propagation
de geometries singulieres dans les E.D.P. hyperboliques.
Schematiquement, ces methodes consistent a regulariser les
donnees initiales par convolution avec des approximations de l'identite,
a demontrer des estimations uniformes pour ces solutions regularisees
portant notamment sur la geometrie que l'on veut propager (c'est ici
qu'interviennent les estimations uniformes sur le gradient de la vitesse),
puis a passer a la limite.
Dans le cas qui nous interesse, ce genre de methode para^t dicile
a appliquer. En particulier, l'etape de contr^ole des normes des solutions
regularisees semble delicate. En eet, les elements de C;" (X ) se pr^etent
mal a la regularisation car, conformement au principe d'incertitude, on
perd alors les proprietes d'element pres d'un point, ce qui emp^eche
donc de contr^oler le gradient de la vitesse regularisee via le Theoreme
3.1, a l'aide de quantites ne portant que sur la geometrie elee.
C'est pourquoi nous avons opte pour une autre approche. La
premiere chose a remarquer est que l'existence et l'unicite d'une solution est assuree par le theoreme de Yudovitch et que, comme on l'a
deja mentionne dans la Remarque 1.4, cette solution est en fait quasilipschitzienne et a gradient borne localement en dehors de la singularite.
314
R. Danchin
Tout se ramene donc a montrer que cette solution est a gradient borne
et propage la geometrie elee initiale.
La premiere etape de la demonstration consiste a prouver que
cette geometrie est eectivement transportee sans perte de regularite
et jusqu'au temps T si l'on sait de plus que rv 2 L1 ([0; T ] R2 ). Ceci
fait l'objet de la Proposition 4.1. Nous demontrons ensuite, dans le
Lemme 4.1, l'existence d'un > 0 que l'on peut minorer a l'aide des
donnees initiales, et tel que rv 2 L1 ([0; ] R2 ). Pour cela, on remarque que, comme le tourbillon est dans La \ L1 , on peut obtenir des
estimations uniformes de la norme C?0 des solutions regularisees. Gr^ace
aux estimations a perte de la partie 2, on peut donc esperer obtenir
des estimations uniformes a temps petit et avec perte de la solution
regularisee et donc appliquer le Theoreme 3.1 sur un petit intervalle de
temps.
La derniere etape consiste alors a conjuguer la Proposition 4.1 et
le Lemme 4.1 pour \pousser" le temps de persistance de la geometrie
elee initiale.
Premiere etape. Il s'agit de prouver la proposition suivante.
Proposition 4.1. Soit T > 0 et v0 un champ de vecteurs veriant
les hypotheses du Theoreme 1:1. Supposons que la solution v de (E)
verie rv 2 L1 ([0; T ] R 2 ). Soit fXt;g2 la famille transportee de
fX0;g2 par le ot de v, t;h = 0;h t;1 et xt = t (x0 ). Alors pour
tout temps t 2 [0; T ], la geometrie (t ; Xt) reste (1; ")-elee en xt , et
!t 2 C;" (Xt). De plus, il existe une constante C ne dependant que de
", de , de et de a, et telle que pour tout t 2 [0; T ], on ait
(4.1)
(4.2)
krv(t)kL1 C L0 N (!0 ) eCtN (! ) ;
kX (x; D) ! k e
kXt; k" C ekX0;k" + 0;k! k 1 0 ";1
0 L
CtN !
eCL (e ;1) ;
kXt;(x; D) !tk";1
0
(4.3)
(4.4)
0
0
0
0
( 0)
C kX0;(x; D) !0k";1 eCL (e
0
CtN0 (!0 )
;1)
I1(Xt ) I1 (X0) e;CL (e
0
CtN0 (!0 )
;
;1) ;
Evolution
d'une singularite de type cusp
(4.5)
avec
CtN0 (!0 )
;" CL (e
k!t k;"
;Xt C k!0 k;X e
0
L0 = log e +
0
kr;1 kL1 k!0 k;"
;X
R0N (!0 )
et R0; veriant les conditions du Theoreme 3.1.
0
315
;1) ;
0
Demonstration. En revenant a la denition de Xt et en utilisant
l'equation du tourbillon, on montre aisement que
(@t + v r) Xt;(x; D) ! = 0 ;
(@t + v r) div Xt; = 0 ;
(@t + v r) Xt; = Xt; (x; D) v :
On se sert alors des estimations sur les equations de transport de la
Remarque 2.4 et de l'inegalite suivante
(4.6)
kXt; (x; D) vk" C (k!k0 kdiv Xt;k"
+ krvkL1 kXt;k" + kXt; (x; D) !k";1)
qui se demontre facilement a l'aide de la decomposition (3.12) et des
lemmes 2.3 et 2.4. On obtient
(4.7)
(4.8)
kXt;k" (kX0;k" + C t (kX0;(x; D) !0k";1
Rt
+ k!0 kL1 kdiv X0;k")) eC krv( )kL1 d ;
0
R
kdiv Xt; k" kdiv X0;k" eC t krv( )kL1 d ;
0
Rt
(4.9) kXt;(x; D) !tk";1 kX0;(x; D) !0k";1 eC krv( )kL1 d :
0
Conservation de la geometrie. Comme v(t) est lipschitzienne pour
t 2 [0; T ], t est bilipschitzienne de R2 dans R 2 . On en deduit que t
verie la condition i) de la Denition 1.1.
Montrons que (t ; Xt) est une geometrie (1; ")-elee en xt :
En revenant a la denition du ot, on obtient pour tout y 2 R 2 ,
(4.10)
@t X0;(x; D) t(y) = rv(t; t(y)) X0;(x; D) t(y) :
316
R. Danchin
En integrant cette expression entre les instants t et 0 puis en appliquant
le lemme de Gronwall, il vient
R
jX0;(y)j jX0;(x; D) t(y)j e t krv( )kL1 d :
0
En appliquant cette derniere relation en y = t;1(x) et en remarquant
que x 2 supp t;1 entra^ne t;1(x) 2 supp 0;1, on obtient
R
J (Xt) J (X0) e; t krv( )kL1 d :
(4.11)
0
Par ailleurs,
jx ; xt j kr t kL1 j t;1(x) ; x0j ;
et en revenant a la denition du ot, il est facile de prouver que
R
kr t1kL1 e t krv( ) d kL1 :
(4.12)
0
On en deduit que
jXt;(x)j jX0;( t;1 (x))j e;2 R t krv( )kL1 d :
jx ; xt j j t;1(x) ; x0 j
0
En regroupant ce dernier resultat avec (4.10), on obtient nalement
(4.13)
Rt
I1(Xt ) I1 (X0) e;2 krv( )kL1 d :
0
E tude du tourbillon. Comme, par denition, les fonctions t;h sont
constantes le long des lignes de ot, et qu'il en est de m^eme pour le
tourbillon, on a (@t + v r) t;h ! = 0. L'incompressibilite assure alors
la conservation des normes Lr de ! et de ! t;h. On en deduit que
(4.14)
Nt (!t ) = N (!0) ;
0
por tout t 2 [0; T ] :
De m^eme, comme
Xt; (x; D) !t;h = ! Xt;(x; D) t;h + t;h Xt;(x; D) !
et comme Xt; (x; D) t;h est aussi constante le long des lignes de ot
(il sut d'utiliser la commutation entre @t + v r et Xt; (x; D) pour le
voir), on en deduit que (@t + v r) Xt;(x; D) !t;h = 0.
Evolution
d'une singularite de type cusp
317
En utilisant la Remarque 2.4 puis en regroupant avec (4.9), on
obtient
Rt
N (Xt; !t ) N (X0; !0) eC krv( )kL1 d :
Cette derniere inegalite combinee avec (4.7), (4.8), (4.13) et (4.14) et
le fait que
C t N (!0 ) eCtN (! ) ;
entra^ne
0
0
0
(4.15)
0
;" eC R t (krv( )kL1 +N (! )) d :
k!tk;"
C
k
!
k
0 ;X
;Xt
0
0
0
0
D'apres le Theoreme 3.1, on a
krv(t)kL1
CNt (!t ) log
e+
kr;1 kL1 kr t;1 kL1 k!t k;"
;Xt R0 Nt (!t )
:
Donc, d'apres (4.12), (4.14) et (4.15), des majorations immediates donnent
Z t
1
1
krv(t)kL CN (!0) L0 + krv( )kL d :
0
0
Une simple application du lemme de Gronwall donne (4.1) puis la relation suivante
(4.16)
t
Z
0
krv( )kL1 d L0 (eCtN (! ) ; 1) :
0
0
Un report de cette inegalite dans (4.7), (4.8), (4.9), (4.11) et (4.15)
acheve la preuve de la proposition.
Deuxieme etape. Il existe > 0 tel que rv 2 L1 ([0; ] R 2 ).
Ce resultat est assure par la Remarque 1.4 et le lemme suivant.
Lemme 4.1. Soit v0 un champ de vecteurs de E veriant les hypotheses
du Theoreme 1:1. Notons v la solution de Yudovitch de (E) avec donnee
initiale v0 . Soit K une fonction croissante continue positive telle que,
si xt = t (x0), on ait pour tout temps t,
krv(t; )kL1 (R nB(xt ;h))
C1 k!0k K (t) :
1 ; log h
h2 ]0;1]
(4.17) kv(t; )kL1 + sup
2
318
R. Danchin
Alors il existe une constante universelle C telle que si l'on pose T =
2 (1 ; )=C k!0k , on ait rv 2 L1 ([0; ] R 2 ) pour
o
n
2
= min T; 2 C 1k! k log 1 + ("" +;) "(1;+K(;T )) " :
1 0
Preuve. Remarquons tout d'abord que m^eme si, a priori, v n'est pas
lipschitzien, la relation (4.17) assure que r t est localement borne en
dehors de xt et, d'apres (4.26) ci-apres, t1 ; Id 2 C exp(;C k! tk ) .
Ceci permet donc de denir, selon la Proposition 1.1, une notion de
famille de champ de vecteurs transportee par le ot, en dehors des
points singuliers xt . On prolonge les champs obtenus par 0 en xt . La
denition t;h = 0;h t;1 est egalement licite.
La premiere partie de la preuve du Lemme 4.1 consiste a montrer que, sur un intervalle de temps [0; T ] avec T susamment petit,
la geometrie (t ; Xt) est (t ; t; "t )-elee en xt avec des parametres
d'element t et de regularite t et "t qui se degradent au cours du
temps (plus precisement, t est une fonction croissante et continue de
t valant 1 en 0, t est decroissante continue valant 1 en 0 et "t est
decroissante continue et vaut " en 0). En outre, !t 2 Ct ;"t (Xt ). Ces
resultats font l'objet du Lemme 4.2 et permettront ensuite de montrer,
via le Theoreme 3.1, que rv(t) est borne, tant que les conditions
1
(4.19) "t > ; 0 < t 1 "t ; tt
t
1+ "
t
!
0
"
;
t
et 0 < t < "t " + t
sont satisfaites, donc sur un petit intervalle de temps non vide.
Lemme 4.2. Sous les hypotheses du lemme precedent, il existe une
constante universelle C telle que, si l'on pose T = 2 (1 ; )=(C k!0k )
et
t = e;C k! k t ;
1
(4.20)
0
t = 1 + (K (t) + 1) (eC k! k t ; 1) ;
"t = " ; 1 ;C k!0 k t
1
et
0
t = ; 1 ;C k!0 k t ;
la geometrie (t ; Xt) reste (t ; t; "t )-elee pour tout t 2 [0; T ]. De
Evolution
d'une singularite de type cusp
319
plus, on a
(4.21)
(4.22)
(4.23)
(4.24)
kX0;(x; D) !0k";1 ;
k!0k
kXt;(x; D) !tk"t ;1 2 kX0;(x; D) !0k";1 ;
Nt (Xt ; !t) 2 N (X0; !0) ;
Nt (!t ) = N (!0 ) ;
kXt;k"t C ekX0;k" +
e
0
It (Xt) I1L((Xt)0) ;
(4.25)
avec
(1+K (t))(e C k! k t ;1)
e
L(t) = (max f1; diam (supp ) + 2 t C k! k K (t)g)t
0
1 0
ou C est une constante ne dependant que de " et de .
3 1
0
Demonstration. Elle exploite d'une part que jrv (t; x)j cro^t comme
(1 ; log jx ; xtj), ce qui entra^ne une degradation de l'indice t, d'autre
part que v est seulement quasi-lipschitzien a priori, ce qui, d'apres le
Lemme 2.5, provoque une perte lineaire de regularite dans les estimations sur les champs de vecteurs transportes. Comme de plus le ot
de v perd aussi de la regularite au cours du temps (voir la relation
(4.26) ci-dessous), on a egalement une decroissance de l'indice .
1) Conservation des hypotheses de type ele. Rappelons d'abord
que, d'apres [Ch2] par exemple, le ot de v verie
(4.26)
jz1 ; z2 j e;eC k! kt
e
1
0
1 (z1 ) ; 1 (z2 )j jz1 ; z2 j e;C k! k t
j
t
t
;
impliquement
1
0
e
e
ou C1 est une constante universelle et z1 , z2 sont dans R 2 .
En integrant l'expression (4.10) entre t et 0 puis en appliquant le
lemme de Gronwall, on obtient
(4.27)
R
jX0;(y)j jX0;(x; D) t(y)j e t jrv(; (y))j d :
0
320
R. Danchin
Soit x tel que jx ; xt j e1;e C k! kt . En appliquant (4.26) a ;01
avec z1 = x et z2 = xt , on constate
que pour tout 0 2 [0; t], on a
0
j ;01(x) ; ;01(xt )j e1;eC k! k . Ceci permet d'appliquer a nouveau
(4.26) a 0 , z1 = ;01 (x) et z2 = ;01 (xt ). On trouve nalement
2 1
1
j
0
0
0
C k! k ;01 (x) ; ;01 (xt )j e jx ; xt j e 1 0 ;
e
pour tout 0 2 [0; t] :
D'apres (4.17), on a
jrv(; ( t;1(x)))j C1 k!0k K ( ) (1 ; log j ( t;1 (x)) ; x j) :
D'ou
R
jX0;( t;1(x))j jXt;(x)j eC k! k K (t) t (1;log(j ;0 (x); ;0 (xt )j) d 0
R
0
jXt;(x)j eC k! k K (t) t eC k! k (1;log jx;xt j) d 0
jXt;(x)j eK (t)(1;log jx;xt j)(eC k! kt ;1) :
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
Enn,
j
donc
jX0;( t;1 (x))j
j t;1(x) ; x0 j
1
0
C k! k t
;1 (x) ; x0 j e jx ; xt j e 1 0 ;
t
e
jXt;(x)j
K (t)(eC1 k!0 k t ;1)+eC1 k!0 k t
jx ; xt j
e(K (t)+1)(eC k! k t ;1) :
1
0
En revenant a la denition de I1 (X0), de t;1 et de t , on en deduit
(4.28) I1 (X0) inf
x2supp t;1
jx;xt jexp(1;exp(2C1 k!0 k t))
j
X
(
x
)
j
t;
sup jx ; x jt e(t ;1) :
t
2
D'apres (4.26), on a, pour 2 [0; t], si
j ;1(x) ; ;1(xt )j e1;eC k! k
1
alors
jx ; xt j e1;e C k! kt :
2 1
0
t 0 (2 + )
Evolution
d'une singularite de type cusp
321
Pour x 2 R d tel que jx ; xt j > e1;e C k! k t , on a donc
2 1
0
j ;1(x) ; ;1 (xt )j > e1;eC k! k
t :
En revenant aux relations (4.17) et (4.27), et en procedant comme dans
le cas jx ; xt j e1;e C k! k t on montre alors que
1
2 1
0 (2 + )
0
jX0;( t;1(x))j jXt;(x)j eK (t)e C k! k t (eC k! k t ;1) :
2 1
0
1
0
En revenant a la denition de It et en utilisant (4.28), on en deduit
nalement l'inegalite (4.25).
2) E volution de la regularite de la famille Xt;.
i) Regularisation. On regularise la donnee initiale en posant vn;0 =
Sn v0 . Soit vn la solution correspondante de (E) et n son ot. On
xe 2 et, pour alleger les notations, on omet l'indice dans cette
partie. On note alors Xn le champ de vecteurs transporte de X0; par
n . Rappelons que les hypotheses !0 2 La \ L1 et v0 2 + L2 susent
2
pour assurer que vn est une suite de Cauchy de L1
loc (R ; + L ). Comme
par ailleurs il existe une constante universelle C1 telle que krvn (t)k0 C1 k!0k , on obtient v 2 L1
(R ; C?1 ) avec convergence de vn vers v dans
loc
tous les espaces L1
loc (R ; C 1; ) tels que > 0. Une application de [Ch2,
Lemme 5.5.2] entra^ne alors que, pour tout T > 0, f n gn2N est bornee
dans L1 ([0; T ]; Id + C exp(;C k! k T ) ) et converge dans tous les espaces
L1 ([0; T ]; Id + C exp(;C k! k T ); ) avec > 0.
1
1
0
0
ii) Estimations uniformes avec perte de regularite. Nous allons maintenant montrer des estimations a perte pour Xn , div Xn et
Xn (x; D) !n. En utilisant le Lemme 2.5 et les relations
(@t + vn r) Xn(x; D) !n = 0 et (@t + vn r) div Xn = 0 ;
on obtient directement l'existence d'une constante universelle C telle
que, en denissant T et "t selon l'enonce du lemme, on ait
(4.29)
kdiv Xt;nk"t 2 kdiv X0k" ;
kXt;n(x; D) !t;nk"t ;1 2 kX0(x; D) !0k";1 :
(4.30)
Pour estimer Xn , on part de la relation
(@t + vn r) Xn = Xn(x; D) vn
322
R. Danchin
et on ecrit Xn(x; D) vn = R1 + R2 + R3 + R4 + R5 comme en (3.12).
En utilisant les lemmes 2.3 et 2.4, et en remarquant que =2 "t "
pour t 2 [0; T ], on obtient
kR1k"t C kXn(x; D) !nk"t;1 ;
C k!n k0 kXnk"t
;
kR2k"t 1;"
C k!n k0 kdiv Xn k"t
kR3k"t ;
C k!n k0 kXnk"t
:
P
Enn, R5 = R(@j vn ; X j ) + q Sq;1 @j vn q Xnj et
kR4k"t kR(@j vn ; X j )k"t C krvn k0 kXn k"t
et
kSq;1 @j vn q Xnj kL1 q 2;q"t krvn k0 kXn k"t :
On a donc (@t + vn r) Xn = g1;n + g2;n avec
kg1;nk"t (1C; ") (k!0k ekXn k"t + kXn(x; D) !nk"t;1 ) ;
kq g2;nkL1 C (q + 2) 2;q"t k!0 k kXn k"t :
Le Lemme 2.5 applique avec = 1 ; donne donc l'estimation suivante
Z t
C
kXt;nk"t 2 kX0k" + (1 ; ") k!0k (kX;nk" + kdiv X;nk" )
0
+ kX;n(x; D) !;nk" ;1 d :
En remarquant que T C=k!0 k et en utilisant les inegalites (4.29) et
(4.30), il vient
kX0(x; D) !0k";1 + k! k Z t kX k d :
kXt;nk"t C kX0k" +
0
;n "
k!0 k
0
e
Evolution
d'une singularite de type cusp
323
Une application du lemme de Gronwall permet alors d'obtenir l'estimation
kX0 (x; D) !0k";1 ;
e
(4.31)
kXn (t)k"t C kX0k" +
k!0 k
pour t 2 [0; T ].
iii) Convergence. Rappelons que X0(x; D) t;n = Xt;n t;n . On
vient de montrer que fXn gn2N est bornee dans L1 ([0; T ]; C T ) et on
sait que f n gn2N est bornee dans L1 ([0; T ]; Id + C e;C k! kT ), donc
1
(4.32)
0
X0 (x; D) n est bornee dans L1 ([0; T ]; C T e;C k! k T ) :
1
0
D'autre part,
X0(x; D) t;n ; X0 (x; D) t = div (X0 ( t;n ; t )) ; ( t;n ; t ) div X0 :
Comme n ; Id converge vers ; Id dans L1 ([0; T ] R2 ), on en deduit
que X0 (x; D) n converge vers X0(x; D) dans L1 ([0; T ]; C ;1). Une
interpolation avec (4.32) donne, pour tout > 0,
X0 (x; D) n converge vers X0 (x; D)
;C k! k T ;
dans L1 ([0; T ]; C T e
):
1
0
E tudions maintenant la convergence de fXngn2N . On a
;1 (x)) ; X0 (x; D) t;n( ;1 (x))
Xt;n (x) ; Xt (x) = X0(x; D) t;n( t;n
t
;
1
+ X0(x; D) ( t;n ; t )( t (x)) :
D'apres (4.32), le dernier terme converge vers 0 dans L1 ([0; T ] R 2 ).
De plus,
;1 (x)) ; X0 (x; D) t;n ( ;1 (x))j
jX0(x; D) t;n( t;n
t
;1 (x) ; ;1 (x)jT e;C k! k T :
kX0 (x; D) t;nkT e;C k! k T j t;n
t
1
1
0
0
De (4.32) et des proprietes de convergence du ot, on deduit que Xn
tend vers X dans L1 ([0; T ] R 2 ). Par interpolation avec (4.29) et
(4.31), on trouve l'inegalite (4.21).
324
R. Danchin
Il reste a prouver l'estimation (4.22). On ecrit
Xn(x; D) !n ; X (x; D) ! = div (!n (Xn ; X )) ; !n div (Xn ; X )
+ div (X (!n ; !)) ; (!n ; !) div X :
Au vu des resultats precedents, la convergence des deux premiers termes vers 0 dans L1 ([0; T ]; C ;1) est claire. En decomposant les deux
derniers en paraproduit et reste, on montre nalement que Xn (x; D) !n
tend vers X (x; D) ! dans L1 ([0; T ]; C ;1). Gr^ace a l'estimation uniforme (4.30), on obtient donc l'inegalite (4.22).
3) Evolution de la regularite de la famille ft;h gh>0. Soient et
g, deux applications veriant la condition i) de la Denition 1.1 pour
f0;hgh>0 . L'application est donc bilipschitzienne, verie (0) = x0
et on a 0;h(x) = g(;1 (x)=h).
Si l'on pose t = t , t est visiblement bijective de R 2 dans
2
R , de classe C exp(;C k! k t) ainsi que son inverse, verie t (0) = xt et
t;h (x) = g(;t 1(x)=h).
On en deduit que ft;h gh>0 verie la condition i') de la Remarque 1.1 avec l'indice t = e;C k! k t . La geometrie (t ; Xt) est donc
(t ; t; "t )-elee en xt .
1
0
1
0
4) Conservation des hypotheses d'element sur le tourbillon.
Comme par hypothese, les fonctions t;h sont transportees par le ot et
comme le tourbillon est constant le long des lignes de ot, on a !t;h =
!0;h t;1 . L'incompressibilite assure donc que Nt (!t ) = N (!0 ).
De m^eme, en remarquant que les champs @t +v r et Xt commutent,
on prouve que (@t + v r)(Xt (x; D) !t;h) = 0, ce qui assure d'apres le
Lemme 2.5, que
Nt (Xt ; !t) 2 N (X0; !0) :
Ceci acheve la demonstration du Lemme 4.2.
0
Fin de la preuve du Lemme 4.1. Gr^ace au Lemme 4.2, on peut
appliquer le Theoreme 3.1 et donc prouver que rv(t) est borne pour
tout temps t 2 [0; T ] tel que la condition (4.19) soit satisfaite.
En remarquant que "t ; t = " ; , on constate que la condition
(4.19) est satisfaite tant que
"t > ;
t 1 + t " ; t
"t
et
1 + " t < " 2+"t :
t
t
325
Evolution
d'une singularite de type cusp
Il n'est pas dicile de verier que, etant donnees les hypotheses faites
sur et ", la premiere et la troisieme relations sont automatiques sur
[0; T ].
Comme pour t 2 [0; T ], on a 1 + t ="t 1 + =", on en deduit que
(4.19) est satisfaite tant que
(4.33)
t 2 [0; T ] et t 1 + " " ; :
t
Comme K est croissante, on a t=t 1 + (1 + K (T ) (e2C k! k t ;
1)) ; sur [0; T ]. On etablit facilement qu'en denissant comme en
(4.18), la relation (4.33) est veriee. On peut alors conclure a l'aide du
Theoreme 3.1 en observant en particulier que sur [0; ], le quintuplet
(; t ; t; "t ; t ) reste dans un compact de D, ce qui permet d'avoir
une constante C independante du temps dans le Theoreme 3.1, puis en
appliquant les estimations du Lemme 4.2.
1
0
Remarque 4.1. Les hypotheses du Theoreme 1.1 assurent que "2 ;
" ; ; " > 0. On a donc bien > 0 dans le Lemme 4.1.
Troisieme etape. On pousse le temps de persistance de la geometrie
elee.
Il sut simplement de prouver que rv 2 L1
loc (R ; R 2 ), la Proposition 4.1 entra^nant alors la conclusion du Theoreme 1.1. Gr^ace a la
reversibilite en temps de (E), il sut en fait de montrer que rv 2
L1
loc (R + ; R 2 ).
Supposons par l'absurde que rv 62 L1
(R; L1 (R 2 )). Soit T ? , le
loc
plus petit temps tel que rv 62 L1 ([0; T ?] R 2 ). Rappelons que d'apres
(1.4), la condition (4.17) est satisfaite avec K (t) = C eC eCk! k t . On a
donc T ? > 0. Denissons
n
2
" ; ; " o :
e = min T; T ? ; 2 C 1k! k log 1 + (1 +" K;(T +
T ? )) (" + ) 1 0
0
0
Posons T0 = T ? ; e=2, ve(t; x) = v(t + T0 ; x) et Ke (t) = K (t + T0 ). En
posant Xe0; = XT ; et en utilisant la Proposition 4.1, on constate que
les hypotheses du Lemme 4.1 sont veriees: on a bien !e0 2 C;" (Xe0).
Une simple application du Lemme 4.1 donne donc rve 2 L1 ([0; ] R2 )
avec
o
n
2
= min T; 2 C 1k! k log 1 + " ; e " ; ; " :
1 0
(1 + K (T )) (" + ) 0
326
R. Danchin
Comme Ke (T ) K (T + T ? ), on a e, et donc en particulier rv 2
L1 ([0; T ? + =2] R 2 ). Ceci contredit rv 62 L1 ([0; T ?]; L1(R 2 )).
On en deduit donc que rv 2 L1
loc (R ; L1 (R 2 )), ce qui acheve la
demonstration du Theoreme 1.1.
Remarque 4.2. Le Theoreme 1.1 est egalement valable pour une
geometrie initiale (0; X0) (; ; ")-elee et un tourbillon initial !0 2
Cp;" (X0) a condition que
2 ]; 1] ; " 2 ]; 1[ ;
i
h et 2 i0; " " ; h ;
2 0; " "" ;
+
"+
avec = 2=2 + . La preuve est exactement la m^eme.
Remarque 4.3. Il va de soi qu'au prix d'une surcharge technique
supplementaire, le Theoreme 1.1 peut ^etre generalise a des geometries
elees en un nombre ni de points.
Appendice.
Dans cet appendice, on prouve quelques resultats admis dans la
Section 1.3. On montre entre autres que, si !0 = !0 1
ou !0 est de
classe C " et 0 est un ouvert a frontiere C 1+" , et si X0 est un champ
tangent a @ 0 a coecients et a divergence dans C " , alors X0 (x; D) !0 2
C ";1 . C'est une consequence immediate du lemme suivant.
0
Lemme 1. Soit " 2 ]0; 1[ , 2 ]0; "[ et X un champ de vecteurs a
coecients et divergence dans C " (R d ). Si a 2 C " (R d ) et b 2 C ;" (R d )
avec en outre X (x; D) b 2 C ;1 (R d ), alors on a X (x; D) a 2 C ";1 (R d )
et X (x; D) a b 2 C ;1 (R d ). Plus precisement, il existe une constante
C ne dependant que de " et et telle que
(1)
kX (x; D) ak";1 C (ekX k" kak0 + kX kL1 kak") ;
kX (x; D) a bk;1 C (ekX k" kak" kbk;" + kakL1 kX (x; D) bk;1
(2)
+ kbk;"kX (x; D) ak";1 ) :
De plus, la deuxieme inegalite reste valable lorsque = " a condition
de supposer b 2 L1 et de remplacer kbk;" par kbkL1 .
Evolution
d'une singularite de type cusp
327
Preuve. La premiere inegalite est immediate. On ecrit
(3)
X (x; D) a = TX a + T@i a X i + @i R(X i; a) ; R(div X; a)
et on applique le Lemme 2.3.
Supposons 2 ]0; "[ . Pour demontrer la deuxieme inegalite, on
commence par remarquer que, en vertu du Lemme 2.3, on a Ta b 2 C?0
et Tb0 a 2 C avec
kTa bk0 C kakL1 kbk0
et
kTb0 ak C kbk;" kak" :
On ecrit alors X (x; D) a b = X (x; D) Tab + X (x; D) Tb0a. En reprenant
la decomposition (3) avec Tb0 a au lieu de a, on obtient
(4)
kX (x; D) Tb0ak;1 C ekX k" kbk;" kak" :
Le terme X (x; D) Tab est plus delicat a traiter. On ecrit
(5) X (x; D) Tab = TX Ta b + T@iTab X i + @i R(X i; Tab) ; R(div X; Tab) :
Gr^ace au Lemme 2.3, les trois derniers termes sont dans C ";1 et verient l'estimation voulue.
Pour montrer que TX Ta b 2 C ";1 , il faut remarquer d'une part que
TX a 2 C ";1 et TX b 2 C ;1 , d'autre part que le parachamp TX verie
\presque" l'identite de Leibniz, c'est-a-dire que
TX Ta b = TTX a b + Ta TX b + R
ou le terme de reste R appartient a C ;1 . Pour un enonce rigoureux
de ce dernier resultat, on pourra par exemple se referer a [Da, Corollaire 2.2] qui donne
(6)
kTX Ta bk;1 C (kX k" kakL1 kbk;"
+ kakL1 kTX bk;1 + kbk;" kTX ak";1 ) :
En decomposant en paraproduit et reste, on montre que
kTX a ; X (x; D) ak";1 C ekX k" kak0
et
kTX b ; X (x; D) bk;1 C ekX k" kbk;" :
328
R. Danchin
D'apres (6), on a donc
kTX Ta bk;1 C (ekX k" kakL1 kbk;"
+ kakL1 kX (x; D) bk;1 + kbk;" kX (x; D) ak";1 ) :
Il ne reste plus qu'a revenir a (4) et (5) pour conclure.
Dans le cas = ", le raisonnement precedent reste valable a condition de remplacer partout kbk;" par kbkL1 : c' est une consequence
de l'inegalite (2.1) et de [Da, Corollaire 2.2].
Remerciements. L'auteur exprime toute sa gratitude a J.-Y. Chemin
et P. Gerard pour leurs nombreuses suggestions a propos de ce travail.
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Recibido: 27 de octubre de 1.998
Raphael Danchin
Laboratoire d'Analyse Numerique, Paris 6
175 rue du Chevaleret
75013 Paris, FRANCE
[email protected]