Djoumeni

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Djoumeni
MISE EN PLACE D’UN
SYSTEME DE QUALITE DANS LES
LABORATOIRES DES BRASSERIES
DU CAMEROUN.
Par :
DJOUMENI ELISE DESIREE
Maître ès Sciences
Dirigé par :
Dr. Eugène-Patrice NDONG NGUEMA
Chargé de Cours à l’ENSP de Yaoundé
Sous la supervision du :
Pr. Henri GWET
Chef de Département de Mathématiques et Sciences
Physiques à l’ENSP de Yaoundé.
Octobre 2007
Dédicaces
Je dédie ce mémoire
A
A
A
A
mon père, Takedo Henock,
ma mère, Nando,
mon frère, Yepgwa Appolinaire,
Toute ma famille.
Trouvez en ce modeste travail le symbole d’un effort qui veut satisfaire vos espoirs.
Mémoire de Master de Statistique Appliquée.
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Remerciements
Au moment où nous achevons ce travail, il serait très ingrat de ne pas signifier notre
reconnaissance envers certaines personnes qui nous ont été d’une grande importance
dans sa réalisation.
X Qu’une reconnaissance première soit accordée à DIEU tout puissant qui m’a
permis d’arriver à bout de ce travail.
X Nous tenons ensuite à remercier le Pr Henri Gwèt pour la supervision de ce
travail.
X A tout le personnel de la S.A.B.C, en particulier à Madame Tchatchuing Marguerite et M Zo’obo Jean-Pierre pour leur soutien et leur bonne volonté.
X Nous sommes entièrement reconnaissants à l’endroit des enseignants du MASTER dont les enseignements ont été enrichissants pour notre formation. Sans être
exhaustif, ni exclusif, nous sommes redevables envers les personnes suivantes :
♦ Pr. Jean CHRISTOPHE THALABARD,
♦ Pr. Elisabeth GASSIAT,
♦ Dr. Eugène NDONG NGUEMA pour son entière disponibilité,
♦ Dr. Michel NDOUMBE NKENG.
X Ce travail tout fait aujourd’hui a drainé la force pécuniaire de plus d’une
personne. Nous pensons à :
♦ M. Djomouo Serge,
♦ M. Yepgwa Appolinaire,
♦ Mme Semeni Emilie,
♦ M. et Mme Tankeu,
♦ Mlle Djampa Viviane.
Qu’ils trouvent en ce travail leur générosité sans cesse grandissante à mon égard.
X Que le temps accordé par l’étudiante Djancho Irène Prudence dans la relecture
de ce travail ne passe pas inaperçu. Je ne saurais oublier de remercier tous mes
camarades Modzans pour le climat qui a régné dans le travail d’équipe.
X Enfin, que tous ceux qui de près ou de loin ont apporté leur contribution à ma
formation trouvent ici l’expression de ma profonde gratitude.
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Table des figures
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Liste des tableaux
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Abréviations
S.A.B.C : Société Anonyme des Brasseries du Cameroun.
Blt : Bilatéral.
Ult : Unilatéral.
i.i.d : indépendant et identiquement distribué.
ISO : International Organization for Standardization.
LSL : Lower Specification limit.
USL : Upper Specification Limit.
B-inf : Borne Inférieure.
B-sup : Borne Supérieure.
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Avant-propos
L’Ecole Nationale Supérieure Polytechnique, dans le souci d’une plus grande professionnalisation des étudiants et concomitamment de palier l’inadéquation formationemploi, a accepté d’accueillir en son sein le Master de Statistique, formation professionnalisante et d’initiation à la recherche bénéficiant de la collaboration et du soutien
des Universités : Paris Orsay, Paris-Dauphine, Paris 5, Versailles, Institut National
Polytechnique-HB (Côte d’Ivoire), INSERM (France).
Ouverte au sein du Département de Mathématiques et de Sciences Physiques, elle
est dédiée aux étudiants titulaires d’au moins une maîtrise en Mathématiques, toutes
options confondues. Elle vise à donner à ceux-ci une armada d’outils statistiques imbibée d’initiation aux logiciels scientifiques en général, et statistiques en particulier.
Elle vise également à donner un sens professionnel aux théories mathématiques dont
disposent ces derniers.
L’objectif général de cette formation est de donner aux étudiants, cadres supérieurs
d’entreprises et d’administrations, et tout utilisateur de la statistique, une formation
de haut niveau très concrète, classique quant aux techniques mathématiques utilisées,
aussi moderne que possible quant à l’informatique et aux logiciels spécialisés utilisés.
Ce Master apporte aux étudiants ayant les acquis fondamentaux en Mathématiques
et en Statistiques, une formation professionnelle complémentaire dans le domaine du
traitement de l’information et de son exploitation.
Ainsi pour atteindre son apothéose (formation emploi), ses étudiants sont appelés
à effectuer des stages d’imprégnation en entreprise d’une durée de trois à quatre mois.
C’est dans cette perspective que s’inscrit mon stage à la S.A.B.C, où j’ai effectué mon
stage dans de conditions pénibles.
A l’issue de ce stage, nous présentons notre mémoire, résultat d’un travail de recherche effectué sous la supervision du Dr Eugène NDONG NGUEMA, sur le thème :
«MISE EN PLACE D’UN SYSTEME DE QUALITE DANS LES LABORATOIRES DES BRASSERIES DU CAMEROUN.»
Une telle étude s’avère nécessaire pour le laboratoire afin de revoir sa performance
et surtout d’assurer la satisfaction des clients.
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Résumé
L’amélioration de la qualité est un souci permanent dans les industries de nos jours,
ceci pour se réaffirmer vis-à-vis de la concurrence sans cesse croissante. En effet, dans
les industries agroalimentaires, c’est l’un des défis majeurs du service de laboratoire et
de contrôle de qualité. De nos jours, pour atteindre cet objectif, des normes de référence
ont été fixées.
Cette étude a été menée à la S.A.B.C qui est spécialisée dans la production et la
vente des boissons hygiéniques, et qui est animée également par cette volonté de satisfaire sa clientèle. Elle traite à juste titre de la mise en place d’un système de qualité
dans les laboratoires de la S.A.B.C. Les données proviennent des analyses physicochimiques sur 7 types de bières et ces différentes bières pour certains paramètres se sont
plus ou moins écartées de la valeur de référence tout en restant dans l’intervalle de
référence.
Ce mémoire s’articule autour de trois principaux axes : le premier fait état des
méthodes de contrôle de qualité dans les laboratoires ; le second axe, quant à lui,
identifie les variables qui s’écartent de trop de la valeur de référence. Celles-ci ont été
identifiées à l’aide des tests statistiques. Le troisième axe propose des variables qu’il
faudrait contrôler davantage pour améliorer la qualité de chaque type de bière. Nous
avons vu, par exemple, que c’était le cas pour les variables pH, Col, AA, UA, BO2 et
EP.
Mots-Clés
– La bière est une boisson alcoolique obtenue par la fermentation de l’orge germée
et aromatisée de houblon.
– La qualité peut se définir comme "l’ensemble des caractéristiques d’une entité qui
lui confèrent l’aptitude à satisfaire des besoins exprimés ou implicites".
– Une norme industrielle est un référentiel publié par un organisme de normalisation comme par exemple ISO. C’est un référentiel incontestable commun
proposant des solutions techniques et commerciales.
– Un test statistique est utilisé comme une règle de décision entre deux hypoMémoire de Master de Statistique Appliquée.
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thèses.
– Une analyse physico-chimique est une analyse, permettant de déterminer les
caractéristiques de la bière.
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Abstract
Quality improvement is a permanent preoccupation in industrial companies nowadays ; this is due to the competition which is growing everyday. In fact, it is a major
target in agro alimentary industries which is ensured by the Laboratory and the Quality
Control Service.
Research study has been carried in S.A.B.C, an agro alimentary industry specialised
in the manufacturing and commercialization of hygienic beverage. S.A.B.C is committed to satisfying the customer needs and for that, it has implemented a quality system
in its lab. The data used are obtained from 7 types of beers. Some analysed physicochemical parameters in the different beer deviated more or less from the known reference
values, while remaining within the reference intervals.
This study is built on three principal axes : the first is about quality control techniques in laboratories ; the second is about identifying variables which deviate from
the known reference value. This identification was done using statistical analysis. The
third axis proposes variables that should be controlled to ameliorate the quality of each
beer type. Some of the variables that could be further controlled are pH, Col, AA, UA,
BO2 and EP.
Keys words
– The beer is an alcoholic drink obtained by the fermentation of the barley germinated and flavored by hop.
– The quality can be define as " all the characteristics of an entity which confer
him the capacity to satisfy expressed or implicit needs ".
– An industrial standard is a reference frame published by an organization of
standardization such as for example ISO. It is a common undeniable reference
frame proposing technical and commercial solutions.
– A statistical test is used as a rule of decision between two hypotheses.
– A physico-chemical analysis is an analysis allowing to determine the characteristics of the beer.
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Introduction
Le principal souci des entreprises commerciales est l’augmentation croissante et
permanente de leur chiffre d’affaire. Pour ce qui est des entreprises exerçant dans le
secteur agro-alimentaire, cette augmentation se fait d’abord à travers la qualité des
produits qui, est le résultat des travaux effectués en laboratoire, ensuite par le contrôle
de toute la chaîne de production. La principale raison qui régit ces deux facteurs est le
fait que les entreprises évoluent dans une situation de concurrence.
En effet, garantir la qualité des produits est essentiel dans l’agroalimentaire. Cela
permet d’obtenir une certification, qui constituera un label pour l’entreprise et un
argument commercial vis-à-vis de la distribution. Conscient donc de sa position de
leader dans le secteur agroalimentaire au Cameroun, la S.A.B.C entend offrir à sa
clientèle les produits avec le « risque zéro » et ceci en améliorant la qualité au fil du
temps. Dès lors, elle doit prendre des dispositions pour atteindre cet objectif tout en
réalisant le maximum de profit. C’est la raison pour laquelle il est nécessaire pour le
service de laboratoire et contrôle qualité de faire des anticipations sur la qualité et,
surtout, de s’entourer d’un véritable outil devant lui permettre de mieux apprécier le
risque avant toute consommation. C’est dans cette optique que s’inscrit le thème soumis
à notre réflexion «MISE EN PLACE D’UN SYSTEME DE QUALITE DANS
LES LABORATOIRES DES BRASSERIES DU CAMEROUN», étude que
nous avons menée à la Société Anonyme de Brasseries du Cameroun (S.A.B.C) à Douala
Koumassi, Direction des usines.
L’insécurité agro-alimentaire a amené certains organismes à fixer certaines normes
comme référence pour palier cela. Dans l’industrie agroalimentaire, la certification des
produits passe nécessairement par la qualité de ces derniers. Dans les laboratoires de
la S.A.B.C, les analyses permettant de déterminer les composantes de la bière sont
effectuées et la qualité chimique pour chaque bière est jugée suivant les critères du
tableau 1. Les valeurs en rouge représentent les valeurs cibles ; à gauche et à droite de
ces valeurs respectivement les valeurs inférieures et les valeurs supérieures admises.
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2
CRITERE
EP
AA
COL
PH
GE
CO2
B20
VDK
UA
BO2
BEAUFORT
10.8
11.2
11.0
77.0
81.0
79.0
5.00
7.00
6.00
4.00
4.30
4.15
1.5
5.20
5.70
5.45
0.60
0.12
17.0
21.0
19.0
0.40
CRITERE
EP
22.0
9.00
4.30
1.5
5.70
0.60
0.12
24.0
5.80
20.0
6.00
22.0
0.40
84.0
9.00
8.00
4.40
4.00
1.5
6.20
0.60
0.12
24.0
5.10
21.0
83.9
83.9
PH
4.25
5.00
19.0
4.40
5.30
21.0
10.0
8.00
4.55
4.25
1.5
5.60
0.60
0.10
23.0
5.00
19.0
0.40
9.00
4.40
5.30
21.0
10.0
8.00
4.55
4.25
1.5
5.60
0.60
0.10
23.0
0.40
5.00
19.0
9.00
4.40
5.30
21.0
9.00
4.20
5.30
23.0
10.0
4.40
1.5
5.50
0.60
0.10
25.0
0.40
0.40
83.9
9.00
12.4
85.2
BFTLIGHT
11.0
11.4
11.20
8.00
BO2
20.0
5.45
82.0
12.0
MUTZIG
12.0
12.2
TURBORG
11.0
11.4
11.20
COL
B20
VDK
UA
5.20
12.2
CASTEL
11.6
11.8
80.0
82.0
7.00
8.00
4.0
4.20
AMSTEL
11.0
11.4
11.20
AA
GE
CO2
EXPORT
11.8
12.0
78.0
80.0
7.00
8.00
4.00
4.15
10.0
4.55
1.5
5.60
0.60
0.10
23.0
0.40
Tab. 1 – Normes des bières.
EP : extrait primitif représente le taux de sucre de départ ;
AA : atténuation apparente, taux de dégradation du sucre de départ et du sucre
d’arrivée ;
COL : couleur, pourcentage de coloration ;
PH : potentiel d’hydrogène, degré d’acidité ou basicité ;
GE : gaz étrangers, autres gaz différents du gaz carbonique ;
CO2 : gaz carbonique ;
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3
B20 : brillance 20, clarté de la bière ;
VDK : dicétones vécicoles, changement du goût ;
UA : amertume ;
BO2 : bilan d’oxygène.
Du tableau 1, nous pouvons faire les remarques suivantes :
– il y a certains critères, qui doivent être dans un intervalle bien précis pour satisfaire la norme. Ceci concerne les critères EP, COL, CO2, UA, PH pour toutes les
bières et le critère AA pour les bières Beaufort, Export, Castel, Beaufort light ;
– d’autres critères, par contre, sont satisfaisants lorsqu’ils sont inférieurs à une
valeur de référence, c’est le cas des critères GE, VDK, B20, BO2.
– enfin, pour les bières Mutzig, Tuborg et Amstel, le critère AA doit être égal à
une valeur de référence pour qu’il soit jugé satisfaisant.
L’objectif dans notre travail étant donc la mise en œuvre d’un outil de contrôle de
qualité, nous nous sommes donnés comme feuille de route :
√
La première partie est consacrée à la présentation générale de la S.A.B.C et fait
un condensé des différentes méthodes de contrôle de qualité. Elle est constituée
de deux chapitres :
– le premier chapitre fait une présentation générale de la S.A.B.C ;
– le deuxième chapitre fait un condensé des différentes méthodes de contrôle de
qualité, notamment les cartes de contrôle et l’indice de capabilité.
√
La deuxième partie, quant à elle, est consacrée à la résolution du problème posé.
Elle est constituée de quatre chapitres :
– le premier chapitre présente les données et fait une étude descriptive sur les
variables,
– le deuxième chapitre est consacré à la construction des tests d’hypothèses,
– le troisième chapitre à l’application des tests sur nos variables pour discerner les
variables qui s’écartent de la valeur de référence tout en restant dans l’intervalle
de référence,
– le quatrième chapitre sera consacré à la détermination des probabilités d’appartenance de ces variables dans leur intervalle de référence.
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Résumé exécutif
Problème
La qualité de la production est un souci permanent des Brasseries du Cameroun. La
S.A.B.C est en partenariat avec la société Heineken et ce partenaire a mis en place un
certain nombre de critères de convergence technique en matière de contrôle de qualité.
Par le passé, le contrôle se limitait à utiliser les bonnes pratiques en matière de
production, estimer le pourcentage atteint par le laboratoire par rapport à la norme
de référence etc. Il s’avère que cela n’est pas suffisant et qu’il faut chercher à mettre
en place un véritable système qualité labo suivant le référent Heineken et compatible
avec ISO.
Données
Les données sont journalières et issues des analyses physico-chimiques, résultats
des mois de décembre, mai, juin et juillet 2007 sur 7 types de bières. Une analyse
physico-chimique est une analyse permettant de déterminer certaines caractéristiques
de la bière. Chaque type de bière comporte 10 composantes analysées.
Méthodologie
Pour venir à bout de cette problématique, nous avons fait usage des tests d’hypothèses. Nous avons déterminé les intervalles de confiance pour chaque variable et
relativement à chaque bière.
Résultats
Après avoir appliqué les tests d’hypothèses sur les différentes variables, nous avons
noté que les variables pH, Col, AA, UA, BO2 et EP devraient être davantage contrôlées
pour qu’elles se rapprochent de leur valeur de référence. Ainsi, la qualité de l’ensemble
des bières pourrait être plus satisfaisante.
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5
B-inf et B-sup désignent respectivement les bornes inférieures et supérieures des intervalles de confiance à 95% du tableau 2 que nous proposons, afin de contrôler au mieux
les variables.
variables
EP
AA
COL
pH
GE
CO2
B20
VDK
UA
BO2
EXPORT
CASTEL
MUTZIG
AMSTEL
TURBORG
B-inf B-sup B-inf B-sup B-inf B-sup B-inf B-sup B-inf B-sup
11.9
12
11.7
11.8
12.1
12.2
11.1
11.2
12.1
12.2
79.9
81
81.6
82.4
81.7
82.5
81.8
82.8
8.08
8.39
7.99
8.15
9.24
9.68
9.13
9.46
8.11
8.53
4.08
4.17
4.09
4.14
4.10
4.16
4.16
4.25
4.35
4.43
∞
1.30
∞
1.43
∞
1.30
∞
1.59
∞
1.37
5.43
5.55
5.96
6.02
5.40
5.52
5.23
5.36
5.44
5.55
∞
0.64
∞
0.59
∞
0.43
∞
0.42
∞
0.66
∞
0.09
∞
0.09
∞
0.10
∞
0.09
∞
0.09
21.5
22.4
21.6
21.9
23.1
23.6
21.2
21.8
22.3
23.0
∞
0.37
∞
0.36
∞
0.39
∞
0.45
∞
0.41
Tab. 2 – Intervalles de confiance des variables par bière.
Conclusion et recommandations
Le problème soulevé au départ reposait sur la mise en place d’un système de qualité
dans les laboratoires de la S.A.B.C. A cet effet, nous avons faire recours aux tests
d’hypothèses. Nous nous sommes orientés sur les tests basés sur la moyenne par rapport
à une valeur de référence et par rapport à un intervalle de référence. Nous avons proposé
les variables qui devraient être contrôlées davantage pour que la qualité chimique des
bières dans les laboratoires de la S.A.B.C s’améliore davantage.
Il aurait été, cependant souhaitable, de disposer d’une base de données suffisamment
grande pour chaque type de bière (au moins 2 ans), question de soutenir les résultats
des tests et de proposer des intervalles de confiance à 95% pour les bières Beaufort et
Beaufort Light.
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Première partie
METHODES DE CONTRÔLE DE
QUALITE DANS LES
LABORATOIRES.
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Chapitre 1
Présentation générale de la
S.A.B.C
La Société Anonyme des Brasseries du Cameroun (S.A.B.C en abrégé), société agro
alimentaire spécialisée dans la fabrication et la distribution des boissons hygiéniques,
est le leader du secteur industriel au Cameroun. Créée à Douala, le 03 février 1948, elle
devient filiale du groupe Castel en 1990.
Spécialisée au départ dans la production et la commercialisation des bières et boissons gazeuses, la société s’est diversifiée par la suite dans la production des emballages
en verre creux, à travers sa filiale SOCAVER (Société Camerounaise de Verrerie), de
l’eau minérale naturelle, à travers la SEMC (Société des Eaux Minérales du Cameroun).
Les Brasseries du Cameroun produisent et commercialisent également des boissons
alcoolisées à base de spiritueux avec CAVINEX, et sont présentes dans le secteur des
vins grâce à sa filiale Canada Dry Cameroun (CDC) qui distribue sous l’enseigne « La
Clé des Châteaux » une large gamme de produits de qualité allant des vins de table
aux grands crus.
Disposant d’un capital social de 11.083.630.000 FCFA, son siège social se trouve
à Douala Koumassi. Ce capital social se dispense à travers ses différents actionnaires
comme le montre le tableau 1.1.
Actionnaires
cotation en FCFA Pourcentage
CASTEL et FRERES
5.496.263.754
49,58
ETRANGERS
2.153.549.309
19 ,43
SNI
1.753.340.266
15,82
HEINEKEN
97.234.351
08,77
NATIONAUX
709.352.320
06,40
TOTAL
11.083.630.000
100
Tab. 1.1 – Répartition du capital social de la S.A.B.C à travers ses différents actionnaires.
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Présentation générale de la S.A.B.C
8
Afin de garantir une présence optimale de leurs produits sur tout le territoire camerounais, les Brasseries du Cameroun sont présentes dans les dix provinces du pays,
grâce à cinq agences et 28 centres de distribution.
2 La direction de l’agence de l’Ouest est à Bafoussam. Créée en 1967, elle couvre
les deux provinces de l’Ouest et du Nord-Ouest. Elle compte six centres de distribution.
2 Créée en 1948, l’agence du Littoral, dont la direction est basée à Douala, est la
doyenne des cinq agences. Elle dispose de deux usines de production de bières
et boissons gazeuses installées sur deux sites, Ndokoti et Koumassi, et de sept
centres de distribution.
2 Créée en 1955, la direction de l’agence du Centre est basée à Yaoundé. Elle
couvre trois provinces : le Centre, le Sud et l’Est. L’agence compte neuf centres
de distribution.
2 Créée en 1966, la direction de l’agence du Nord est basée à Garoua. Elle couvre les
trois provinces de l’Adamaoua, du Nord et de l’Extrême-Nord. L’agence contrôle
six centres de distribution, dont trois concédés à des tiers.
2 A sa création en 1967, l’agence du Sud-Ouest disposait d’une usine de production de boissons gazeuses. Les conséquences de la crise économique des années 90
ont conduit l’entreprise à restreindre progressivement son activité uniquement à
la distribution. La direction régionale des ventes est basée à Ombé. Elle couvre
l’ensemble de la province du Sud-Ouest à travers 5 centres de distribution dont
2 concédés à des tiers.
Tout en poursuivant leur vocation de producteur et de distributeur de boissons, Les
Brasseries du Cameroun développe une stratégie de diversification verticale et horizontale. C’est ainsi que la Société Camerounaise de Verrerie (SOCAVER), la Société des
Eaux Minérales du Cameroun (SEMC), Canada Dry Cameroon (CDC) et CAVINEX,
filiales des Brasseries du Cameroun ont été créées.
Responsabilité de la S.A.B.C
Les Brasseries du Cameroun, entreprise citoyenne, s’inscrivent dans une démarche
de responsabilité sociale permanente, avec un soutien appuyé aux programmes d’enseignement, de lutte contre le VIH-SIDA, de protection de l’environnement, de développement culturel et sportif ainsi que de promotion des entreprises locales.
Services offerts par la S.A.B.C
Pour vous accompagner dans l’organisation de vos manifestations, les Brasseries du
Cameroun mettent à votre disposition un ensemble de services comprenant :
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9
Présentation générale de la S.A.B.C
– Bâches et chaises,
– Bière à pression,
– Salle de fête.
Son organigramme fourni par le service du personnel se présente comme suit :
Fig. 1.1 – Organigramme du service du personnel.
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Présentation générale de la S.A.B.C
10
Fiche d’identification de la S.A.B.C
RAISON SOCIALE : Société Anonyme des Brasseries du Cameroun
SIGLE : S.A.B.C
SIEGE SOCIAL : Douala, Koumassi (32, rue Prince Bell à Bali)
CAPITAL : 11 083 630 000 FCFA
BOITE POSTALE : 4036 Douala
TELEPHONE : (237) 33 42 91 33
FAX : (237) 33 42 79 45
E-MAIL : S.A.B.C.siè[email protected]
DATE DE CREATION : Février 1948
N˚ REGISTRE DE COMMERCE : 588 Douala
N˚ STATISTIQUE : 0177010 E
N˚ CONTRIBUABLE : M 0248 0000 0316 X
ACTIVITES PRINCIPALES : Fabrication et la distribution des boissons hygiéniques
TYPE : Société industrielle et commerciale
PCA : Michel Palu
DIRECTEUR GENERAL : André Siaka
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Chapitre 2
Carte de contrôle de qualité et
Indice de capabilité d’un processus
2.1
Carte de contrôle de qualité
Tout au long de cette étude, on entendra par qualité d’un produit, une certaine
variable mesurée sur ce produit dont les valeurs doivent figurer dans une certaine limite pour que le produit soit jugé satisfaisant. En pratique, un produit a plusieurs
variables de qualité. Dans un laboratoire, la qualité des résultats analytiques doit être
démontrable. Ceci signifie que les résultats sont obtenus par une méthode analytiquement sous contrôle pendant l’analyse. En d’autres termes, des mesures répétées du
même échantillon doivent fournir les mêmes caractéristiques statistiques entre autres
la moyenne et l’écart-type. Cependant, beaucoup de facteurs peuvent empêcher qu’une
méthode analytique soit sous contrôle. Nous pouvons citer :
– les réactifs utilisés sont expirés ;
– les réactifs mal préparés ou souillés ;
– l’instrument mal calibré etc.
Une manière efficace de détecter l’apparition d’un tel problème est l’utilisation des
cartes de contrôle et l’indice de capabilité : ce sont les outils les plus utilisés pour surveiller la performance des analyses et de l’équipement.
La carte de contrôle est l’un des outils de base utilisés pour la maîtrise statistique
des procédés. C’est une représentation graphique constituée d’une suite d’images de la
production. Elle permet de visualiser la variabilité du procédé en distinguant les causes
aléatoires des causes assignables.
Une carte de contrôle est un graphique représentant des images successives de la
production, prises à une certaine « fréquence de prélèvement », à partir d’échantillons
prélevés sur la production. On reporte sur le ou les graphiques de la carte les différents
calculs effectués sur les échantillons (moyenne, écart-type, étendue, nombre, pourcentage, ...).
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Carte de contrôle de qualité et Indice de capabilité d’un processus
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Le principe consiste à analyser un ou plusieurs échantillons en même temps que des
échantillons de production. Le résultat analytique des échantillons témoins est reporté
sur la carte de contrôle et graphiquement comparé aux limites de contrôle pour évaluer
si l’analyse est ou pas sous contrôle.
2.1.1
Eléments de la Carte de contrôle
– Le graphique qui est l’évolution suivant le temps d’un paramètre considéré.
– Les limites de contrôle inférieur et supérieur résultant d’un calcul effectué à partir des valeurs relevées, ces limites sont calculées à partir de deux paramètres
notamment la valeur moyenne m de l’échantillon témoin et de l’écart-type S correspondant.
Il y a deux types de limites de contrôle généralement utilisées : les limites d’action
et les limites d’alerte. Les seuils d’alerte sont indiqués à +2S et −2S de la moyenne ; les
limites d’action sont fixées à +3S et −3S de la moyenne. Sur la base d’une répartition
normale, 95,5% des résultats doivent se situer dans la fourchette de +2S et de −2S
et 99,7% dans la fourchette de +3S et −3S [1], [3]. C’est le suivi de l’évolution de ces
indicateurs qui permet de déterminer le fonctionnement du procédé.
2.1.2
Interprétation de la carte de contrôle
Après une mesure de l’échantillon témoin, le résultat est reporté dans la carte et
examiné d’après les règles de Shehwart. D’après celles-ci, le processus est hors contrôle
si l’une des règles suivantes est violée :
– un point est au-delà des limites d’action ;
– deux points consécutifs compris du même côté de la moyenne entre la limite
d’alerte (> 2S) et la limite d’action (< 3S) ;
– une série de onze points du même côté au-dessus ou au-dessous de la moyenne ;
– une série ascendante ou descendante de six points successifs.
Tant que la valeur ne viole pas l’une de ces règles, la situation est dite « sous
contrôle ». Sinon, il est improbable que la distribution des points soit uniquement due
au hasard, la situation est dite « hors contrôle » [1].
Exemple 2.1.1. Quelques cartes de contrôle réelles pour la détection des causes spéciales de déréglage obtenues à partir de nos échantillons.
Les 2 courbes de gauche de la figure 2.1 n’indiquent aucun signe de mauvais fonctionnement : aucune règle de Shewhart n’a été violée. Par contre, les 2 courbes de droite
de la figures 2.1 signalent plusieurs signes de déréglage ; ceci signifie qu’au moins une
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Carte de contrôle de qualité et Indice de capabilité d’un processus
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Fig. 2.1 – Exemples de cartes de contrôle.
des règles n’a pas été respectée, donc le procédé n’est pas « sous contrôle ». Il faut donc
arrêter la machine, analyser ce qui s’est passé et éliminer les causes de ce déréglage.
2.2
Indice de capabilité d’un processus
Soient LSL et USL («Lower Specification limit» et «Upper Specification Limit»), les
bornes de qualité dans lesquelles le produit, pour une variable donnée, doit se trouver
pour être satisfaisant.
Notons X, la variable de qualité. Elle est aléatoire et va varier d’un produit à
l’autre. Soit σ, l’écart-type de X. Pour mesurer la qualité du processus de production
par rapport à X, on utilise l’indice de capabilité du processus (process capablement
index ) [1],
U SL − LSL
Cp =
.
6σ
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Idée derrière la formule :
Si l’écart-type de X est σ et sa moyenne est µ, la plupart des valeurs de X seront
dans l’intervalle [µ − 3 σ , µ + 3 σ].
Donc la longueur de la plage des valeurs de X est 6 σ.
Si µ =
U SL + LSL
,
2
alors Cp mesure la capabilité du système à produire des valeurs à l’intérieur des Limites
de spécification.
– On estime qu’une valeur de Cp d’au moins 1 est nécessaire pour juger le processus de production satisfaisant. En effet, [µ − 3 σ , µ + 3 σ] doit être inclus dans
[LSL , U SL]. Ce qui implique que 6 σ ≤ U SL − LSL, et donc 1 ≤ Cp .
– En pratique, σ n’est pas connu et on l’estime par S en utilisant un échantillon
de valeurs de X. ; Cp est alors estimé par :
Ĉp =
U SL − LSL
.
6S
En fait, cet indice peut être trompeur car, très souvent, on n’a pas
µ=
U SL + LSL
.
2
Un meilleur estimateur de l’indice de capabilité du processus est donné dans [1]
par :
min(X − LSL , U SL − X)
Cp =
,
3S
et son interprétation est la même que celle de Cp .
Exemple 2.2.1. Les spécifications de la Castel pour la variable EP sont LSL = 11.6
et U SL = 12. Notre échantillon pour la Castel comprend 84 valeurs qui donnent
X = 11.779 et S = 0.145. On obtient alors Ĉp = 0.412. Ce qui montre apparemment
que le processus est en fait bien moins capable de satisfaire les spécifications. Pour le
mettre sous contrôle, il faut le régler.
En effet, pour qu’un indice de capabilité de processus soit vraiment informatif, il faut
que le processus de production soit dans un état stationnaire. En contrôle de qualité,
on dit que le processus est dans un état de contrôle statistique. Lorsque le processus
n’est pas stationnaire (existence de tendance, de cycle), on dit que les variations du
processus sont assignables. Dans ce cas, l’indice de capabilité du processus peut être
trompeur parce que basé sur des données transitoires ou anormales.
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Deuxième partie
RESOLUTION DU PROBLEME.
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Chapitre 3
Présentation des données et étude
descriptive des variables.
3.1
Présentation des données.
Les données dont nous disposons dans cette étude proviennent des analyses physicochimiques des bières de la S.A.B.C, agence de Douala-Koumassi où nous avions comme
population d’étude les différentes bières analysées, pendant la période de Mai 2007 à
Juillet 2007.
♦ Les variables représentant le type et la date de la bière sont la qualité : nom de
la bière et le soutirage : date de mise en vente.
♦ Les principales variables utilisées pour apprécier la qualité d’une bière sont toutes
quantitatives et sont présentées comme suit :
EP : extrait primitif représente le taux de sucre de départ ;
AA : atténuation apparente, taux de dégradation du sucre de départ et du sucre
d’arrivée ;
COL : couleur, pourcentage de coloration ;
PH : potentiel d’hydrogène, degré d’acidité ou basicité ;
GE : gaz étrangers, autres gaz différents du gaz carbonique ;
CO2 : gaz carbonique ;
B20 : brillance 20, clarté de la bière ;
VDK : dicétones vécicoles, changement du goût ;
UA : amertume ;
BO2 : bilan d’oxygène.
Notre base de données initiale des bières comporte 214 observations, reparties
comme suit :
– la bière Castel présente 84 observations de la base de données initiale, soit 39% ;
– la bière Mutzig présente 39 observations de la base de données initiale, soit 18% ;
– la bière Amstel présente 27 observations de la base de données initiale, soit 12,6% ;
– la bière Export présente 26 observations de la base de données initiale, soit 12,1% ;
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Présentation des données et étude descriptive des variables.
17
– la bière Tuborg présente 25 observations de la base de données initiale, soit 11,6% ;
– la bière Beaufort Light présente 9 observations de la base de données initiale, soit
4,2% ;
– la bière Beaufort présente 4 observations de la base de données initiale, soit 1,8%.
Nous obtenons donc le diagramme en secteurs de la figure 3.1.
Fig. 3.1 – Répartition des bières dans la base de données initiale.
3.2
Etude descriptive des variables.
Nous allons nous intéresser aux variables de la bière Castel et de la bière Mutzig,
car nous avons eu, pour ces bières, des nombres respectifs supérieurs à 30.
3.2.1
Evolution journalière des variables
Variable EP
A l’exception de quelques variations, la figure 3.2 montre que la variable EP pour
la bière Castel évolue de façon stable autour 11,7 et pour la bière Mutzig, elle évolue
autour de 12,2.
Variable AA
De la figure 3.3, nous notons, une tendance ascendante en général, pour la variable
AA en ce qui concerne ces deux bières.
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Présentation des données et étude descriptive des variables.
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Fig. 3.2 – Evolution journalière de l’EP pour les bières Castel et Mutzig.
Fig. 3.3 – Evolution journalière de l’AA pour les bières Castel et Mutzig.
Variable COL
Nous remarquons, de temps à autre, sur la figure 3.4, des variations brusques de la
variable COL, surtout pour la bière Mutzig. Elle n’évolue pas de manière normale.
Variable GE
Nous notons, sur la figure 3.5, des variations très brusques pour de la variable
GE. Pour la bière Castel, en particulier, on note une opposition entre les premières
réalisations (0 à 50) et les dernières réalisations (50 à 84) avec des pics.
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Présentation des données et étude descriptive des variables.
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Fig. 3.4 – Evolution journalière de la COL pour les bières Castel et Mutzig.
Fig. 3.5 – Evolution journalière des GE pour les bières Castel et Mutzig.
Variable BO2
Pour ce qui est de la variable BO2, la figure 3.6 montre qu’elle évolue de manière
constante pour les premières observations. Par la suite, présente des variations avec
plusieurs pics.
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Présentation des données et étude descriptive des variables.
20
Fig. 3.6 – Evolution journalière du BO2 pour les bières Castel et Mutzig.
3.2.2
Histogrammes des variables.
Histogramme de la variable pH
On peut constater pour cette variable, une dissymétrie de la distribution des données
(figure 3.7). De plus, la présence de 3 pics remarquables est notée, ce qui pourrait penser
qu’il ya des valeurs aberrantes.
Fig. 3.7 – Histogramme du pH.
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Présentation des données et étude descriptive des variables.
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Histogramme de la variable CO2
De la figure 3.8, on peut constater pour la bière Castel une dissymétrie de la distribution des données, qui décroît sensiblement.La présence de 3 pics est également
notée ; on ne peut pas à priori, se prononcer sur sa distribution. Par ailleurs, pour la
bière Mutzig, les données semblent symétriques autour de 5,4.
Fig. 3.8 – Histogramme du CO2.
Histogramme de la variable B20
Fig. 3.9 – Histogramme de B20.
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Présentation des données et étude descriptive des variables.
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De la figure 3.9, on peut constater également pour la bière Castel une dissymétrie
de la distribution des données, qui décroît sensiblement. On ne peut pas à priori se
prononcer sur sa distribution. Par ailleurs, pour la bière Mutzig, les données semblent
symétriques autour de 0.45 et la distribution ressemble à celle d’une loi quasi normale.
Histogramme de la variable VDK
On peut constater pour cette variable une dissymétrie de la distribution des données
(figure 3.10). On ne saurait déterminer la distribution.
Fig. 3.10 – Histogramme du VDK.
Histogramme de la variable UA
Fig. 3.11 – Histogramme de l’UA.
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23
Pour cette variable, on note une symétrie autour de 21.8 pour la bière Castel et
autour de 23.5, pour la bière Mutzig. De plus les données semblent appartenir à une
loi normale (voir figure 3.11).
3.2.3
Détection des valeurs aberrantes.
Boîte à moustaches des variables EP et AA
La présence des valeurs aberrantes est signalée pour l’EP et l’AA de la Castel et
le diagramme en boîte de la figure 3.12 montre que les données de l’AA pour les deux
bières sont concentrées vers le bas.
Fig. 3.12 – Diagramme en boîte de l’EP et de l’AA pour les bières Castel et Mutzig.
Boîte à moustaches des variables COL et pH
On note la présence d’une seule valeur aberrante pour ces variables pour la Castel.
Le diagramme en boîte de la variable pH pour la Mutzig montre une concentration des
données vers le haut (voir figure 3.13).
Boîte à moustaches des variables GE et CO2
De la figure 3.14, on note la présence de quelques valeurs aberrantes. La variable
GE présente une grande concentration des données vers le haut, surtout pou la bière
Mutzig. Ce qui se constatait sur le graphique de son évolution.
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Fig. 3.13 – Diagramme en boîte de la COL et de du pH pour les bières Castel et Mutzig.
Fig. 3.14 – Diagramme en boîte de la GE et du CO2 pour les bières Castel et Mutzig.
Boîte à moustaches des variables B20 et VDK
En ce qui concerne la variable B20 de la Castel, on note une grande dissymétrie
vers le haut et la présence de 5 valeurs aberrantes est notée. De plus, il semble quasi
normale pour la Mutzig. Ce qui se dégageait, dans le tracé de l’histogramme. Par
contre, la présence d’aucune valeur aberrante n’est notée en ce qui concerne la variable
VDK (voir figure 3.15).
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Fig. 3.15 – Diagramme en boîte de la B20 et de du VDK pour les bières Castel et Mutzig.
Boîte à moustaches des variables UA et BO2
On voit sur la figure 3.16, qu’en ce qui concerne la variable UA, les valeurs sont
sensiblement symétriques autour de la médiane, ce qui a été constaté, dans le tracé de
l’histogramme. De plus, on ne note aucune valeur aberrante. Par contre, la présence de
plusieurs valeurs aberrantes est notée, en ce qui concerne le BO2, ceci se dégageait du
tracé de l’évolution en jours de cette variable par les différents pics signalés.
Fig. 3.16 – Diagramme en boîte de l’UA et du BO2 pour les bières Castel et Mutzig.
Remarque 3.2.1. De l’analyse descriptive sur nos variables, nous avons noté pour
certaines variables, des variations brusques et la présence des valeurs aberrantes en
général. Dans la suite, nous allons construire des tests d’hypothèses et les appliquer sur
nos données pour tirer certaines conclusions d’après cette remarque.
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Chapitre 4
Construction des tests
d’hypothèses
Dans toute la suite, nous allons nous intéresser à la comparaison de la moyenne d’un
échantillon par rapport à une valeur de référence donnée et par rapport à un intervalle
de référence.
4.1
Quelques rappels
En statistique, tout comme en physique et en chimie, donner un résultat sans indication sur sa précision n’a que peu d’intérêt. Plutôt que de donner une estimation
ponctuelle, on proposera un intervalle de confiance de manière à contrôler pour un
niveau de confiance, les chances que le résultat aurait d’être confirmé si on renouvelait
l’expérience.
Définition 4.1.1. Soient (X1 , . . . , Xn ), un échantillon, P une loi de probabilité d’un
caractère θ dans une population où est issu l’échantillon. On appelle un intervalle de
confiance de niveau 1 − α du paramètre θ, un intervalle aléatoire de la forme [T1 , T2 ]
où T1 et T2 (T1 ≤ T2 ) sont deux statistiques, fonction de l’échantillon, telle, que [6]
Pr (θ ∈ [T1 , T2 ]) = 1 − α.
4.1.1
Echantillon quelconque
Soient (X1 , . . . , Xn ), un échantillon d’une loi P de moyenne m et d’écart type σ.
On montre dans [5] que, par le théorème central limite, on a pour n grand :
√
n X−m
σ
L /
n→∞
N (0, 1) ,
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approximativement.
(4.1)
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Construction des tests d’hypothèses
Application :
Soit Zβ , le β-quantile de la loi N (0, 1). On sait que Pr (N (0, 1) ≤ Zβ ) = β. Soient
donc Z α2 et Z1− α2 , respectivement le α2 et le (1 − α2 )-quantiles de la loi N (0, 1). Alors,
Pr (Z α2 ≤ N (0, 1) ≤ Z1− α2 ) = 1 − α =⇒ Pr (Z α2 ≤
Doù
Pr
√ X −m
n
≤ Z1− α2 ) ≈ 1 − α.
σ
σ
σ
m ∈ X − √ Z1− α2 , X + √ Z1− α2
≈ 1 − α.
n
n
Si σ n’est pas connu, on l’estime par S et on obtient un intervalle de confiance
bilatéral de niveau 1 − α donné par la relation :
S
S
X − √ Z1− α2 ≤ θ ≤ X + √ Z1− α2 .
n
n
(4.2)
On montre dans [5] que, pour n grand, la relation suivante est vérifiée :
X−√
S
S
Z1− α2 ≤ θ ≤ X + √
Z1− α2 .
n−1
n−1
(4.3)
Rappelons que X et S représentant respectivement la moyenne et la variance empirique
de l’échantillon définies par :
n
n
1X
X=
Xi
n i=1
4.1.2
et
2
1X
S =
Xi − X .
n i=1
2
Echantillon Gaussien
Soit (X1 , . . . , Xn ), un échantillon d’une loi normale de moyenne m et d’écart-type
σ. Alors,
√
n − 1 X−m
∼ tn−1
S
(4.4)
où tn−1 est la loi de Student à n − 1 degrés de liberté [5].
De manière similaire à la sous section 4.1.1, on obtient un intervalle de confiance
exact de niveau 1 − α donné par la relation :
X−√
S
S
α
α
tn−1 (1 − ) ≤ θ ≤ X + √
tn−1 (1 − )
2
2
n−1
n−1
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(4.5)
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Construction des tests d’hypothèses
4.2
Généralités sur les tests d’hypothèses.
Un test, qu’il soit statistique ou pas, consiste à vérifier une certaine information
hypothétique. Cette information concerne la population à laquelle on s’intéresse. Un
test statistique permet d’adopter ou de réfuter une hypothèse, mais jamais de conclure
avec certitude. Il existe deux grandes familles de tests :
Les tests paramétriques
Ce sont des tests qui présupposent que la loi inconnue ou pas appartient à une
certaine famille de lois fixées dépendant d’un ou plusieurs paramètres (lois normales,
lois exponentielles). Le paramètre en général est noté θ.
Les tests non paramétriques
Ces tests ne supposent pas que la loi inconnue appartient à une famille paramétrique particulière (test de Kolmogorov-Smirnov, test de Wilcoxon).
Nous allons à présent introduire certaines notions importantes dans la construction
d’un test d’hypothèses.
Hypothèse nulle
L’hypothèse selon laquelle on fixe a priori un paramètre d’une population à une
valeur particulière porte traditionnellement le nom de l’hypothèse nulle et est notée
H0 . C’est celle qu’on privilégie le plus.
Hypothèse alternative
Toute Hypothèse différente de l’hypothèse nulle s’appelle hypothèse alternative et
est notée H1 . C’est celle qui est en compétition avec H0 . On note H0 vs H1 .
Seuil de signification du test ou risque de première espèce
Avant même de prélever l’échantillon, on doit déterminer la probabilité maximale
acceptable de commettre une erreur de type I. Ce niveau de risque, appelé seuil de
signification du test, est noté par la lettre α.
α = PH0 [rejeter H0 ]
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Construction des tests d’hypothèses
Risque de deuxième espèce
C’est l’erreur de type II que l’on commet en adoptant H0 alors que H1 est vraie.
Elle est notée β et est donnée par :
β = PH1 [ne pas rejeter H0 ] .
Puissance d’un test
1 − β = π est appelée la puissance du test et est définie par :
π = PH1 [rejeter H0 ] .
Statistique de test
Une statistique de test est une fonction des variables aléatoires représentant l’échantillon dont la valeur numérique obtenue pour l’échantillon considéré permet de distinguer entre H0 vraie et H0 fausse. Elle est choisie de préférence de sorte que sa loi
(asymptotique) sous H0 soit connue. On dit qu’elle est une statistique pivotale [2], [5].
4.3
4.3.1
Test bilatéral sur une moyenne par rapport à une
valeur de référence
Cas d’un échantillon Gaussien
Dans toute la suite, T (X) est une statistique de test, fonction de l’échantillon théorique (X1 , . . . , Xn ) et T (x) est une réalisation de la variable aléatoire T (X) lorsqu’on a
observé X = x, où X = (X1 , . . . , Xn ) et x = (x1 , . . . , xn ). Pour un échantillon gaussien,
nous avons vu (voir formule 4.4) dans les rappels que
T (X) =
√
n−1
X −θ
∼ tn−1 ,
S
où θ représente la moyenne de la population, X la valeur estimée de θ, S l’estimation
de l’écart-type de notre échantillon, n le nombre d’observations dans notre échantillon
et tn−1 est la loi de Student à n − 1 degrés de liberté.
Donc, si nous voulons confronter les hypothèses
H0 : θ = θ0
contre
H1 : θ 6= θ0 ,
où θ0 est une valeur de référence donnée, il est naturel de baser notre test sur X. Nous
avons vu (formule 4.5) dans les rappels qu’un intervalle de confiance pour θ de niveau
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30
Construction des tests d’hypothèses
95% est donné par :
S
α
S
α
tn−1 (1 − ) ≤ θ ≤ X + √
tn−1 (1 − ).
2
2
n−1
n−1
Ayant cet intervalle de confiance, si la valeur θ0 se situe dans cet intervalle, alors on
accepte l’hypothèse H0 . Dans le cas contraire, on la conteste. Une approche alternative
est de procéder comme suit : Supposons que nous voulions confronter ces mêmes hypothèses au niveau α (5%) comme habituellement (Ce test est appelé un test bilatéral
car la vraie valeur de θ peut être de chaque côté de θ0 , c’est dire plus grande ou plus
petite que θ0 ) [2].
X−√
Pour un seuil α choisi et ayant observé X = x, on cherche Cα tel que
– si | T (X) |≤ Cα , alors on adopte H0 ;
– si | T (X) |> Cα , on la rejette.
Or, α = PH0 [rejeter H0 ] = PH0 [| T (X) |> Cα ] = 1 − PH0 [−Cα ≤ T (X) ≤ Cα ] .
D’où Cα = tn−1 (1 − α2 ). On obtient donc la règle de décision suivante :
– si | T (x) |≤ tn1 (1 − α2 ), alors on adopte H0 ;
– si | T (x) |> tn−1 (1 − α2 ), alors on la rejette.
Remarque 4.3.1. Dans cette règle de décision, θ a pris la valeur de θ0 dans la règle
de définition de T (X)
Calcul de la puissance
π =
=
=
=
=
α i
PH1 [rejeter H0 ] = PH1 | T (X) |> tn−1 (1 − )
2
√
α
α
X − θ0
1 − PH1 −tn−1 (1 − ) ≤ n − 1
≤ tn−1 (1 − )
2
S
2
√
√
α
X −θ
θ0 − θ
1 − Pr
− tn−1 (1 − ) ≤ n − 1
≤
n−1
S
2
S
√
θ0 − θ
α
n−1
+ tn−1 (1 − )/θ 6= θ0
S
2
√
√
θ0 − θ
α
θ0 − θ
α
n−1
− tn−1 (1 − ) ≤ tn−1 ≤ n − 1
+ tn−1 (1 − )/θ 6= θ0
1 − Pr
S
2
S
2
√
√
θ0 − θ
α
θ0 − θ
α
1 + Ftn−1
n−1
− tn−1 (1 − ) − Ftn−1
n−1
+ tn−1 (1 − ) .
S
2
S
2
h
Un estimateur de π est donné par
√
√
θ0 − X
α
θ0 − X
α
π̂ = 1+Ftn−1
n−1
− tn−1 (1 − ) −Ftn−1
n−1
+ tn−1 (1 − ) ,
S
2
S
2
où Ftn−1 est la fonction de répartition de tn−1 .
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Construction des tests d’hypothèses
4.3.2
Cas d’un échantillon de loi quelconque
Nous avons vu (formule 4.1) dans les rappels que, pour un échantillon non gaussien,
on a :
√
X −θ
T (X) = n − 1
∼ N (0, 1), approximativement.
S
où θ représente la moyenne de la population, X la moyenne de l’échantillon, S l’écart
type de notre échantillon et n le nombre d’observations dans notre échantillon. Donc,
si nous voulons confronter les hypothèses
H0 : θ = θ0
H1 : θ 6= θ0 ,
contre
où θ0 est une valeur de référence donnée, il est naturel de baser notre test sur X. Nous
avons vu dans les rappels (voir relation 4.2) qu’un intervalle de confiance asymptotique
pour θ de niveau 95% est donné, d’après (4.3) par :
X − Z1− α2 √
S
S
≤ θ ≤ X + Z1− α2 √
n−1
n−1
Cet intervalle est tel que, si nous le calculons un très grand nombre de fois avec des
échantillons différents, 95% des fois environ, il contiendra la "vraie" valeur de θ. Si θ0
n’est pas dans notre intervalle, nous avons donc de bonnes raisons de penser que θ0
ne soit pas la "vraie" valeur de θ. Donc, il y a de grandes chances que H0 : θ = θ0
soit fausse. Par conséquent, nous pouvons rejeter H0 . La règle de décision, la puissance
s’obtiennent comme dans la sous section 4.3.1.
Remarque 4.3.2. Il est donc possible de trancher à l’aide d’un intervalle de confiance,
deux hypothèses du type
H0 : θ = θ0
4.4
4.4.1
vs
H1 : θ 6= θ0 .
Test unilatéral à droite sur une moyenne par rapport à une valeur de référence
Cas d’un échantillon gaussien
Ici, nous voulons plutôt confronter les hypothèses de type
H0 : θ ≤ θ0
vs
H1 : θ > θ0 .
Soit α, le seuil de signification. Dans ce type de test, il y a une seule région de rejet
située du côté spécifié par H1 d’aire α. En d’autres termes, on cherche Cα tel que :
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Construction des tests d’hypothèses
– si T (x) ≤ Cα , on accepte H0 ;
– si T (x) > Cα , on rejette H0 de telle sorte que :
α = PH0 [rejeter H0 ] = PH0 [T (x) > Cα ] = 1 − PH0 [T (x) ≤ Cα ] .
D’où Cα = tn−1 (1 − α) = −tn−1 (α).
On a la règle de décision finale suivante :
– si T (x) ≤ −tn−1 (α), on accepte H0 ;
– si T (x) > −tn−1 (α), on rejette H0 .
Remarque 4.4.1. Dans cette règle de décision, θ a pris la valeur de θ0 dans la règle
de définition de T (X)
Calcul de la puissance
π = PH1 [rejeter H0 ] = PH1 [T (X) > −tn−1 (α)]
√
X − θ0
= 1 − PH 1
≤ −tn−1 (α)
n−1
S
√
√
X −θ
θ0 − θ
= 1 − PH 1
n−1
≤ −tn−1 (α) + n − 1
S
S
√
θ0 − θ
− tn−1 (α)/θ > θ0
= 1 − Pr tn−1 ≤ n − 1
S
√
√
θ0 − θ
θ − θ0
= 1 − Ftn−1
n−1
− tn−1 (α) = Ftn−1
n−1
+ tn−1 (α)
S
S
Un estimateur de π est donné par
√
X − θ0
+ tn−1 (α) .
π̂ = Ftn−1
n−1
S
4.4.2
Cas d’un échantillon quelconque
On procède de façon analogue au cas précédent en considérant d’après 4.1, plutôt
la statistique de test :
T (X) =
√
n−1
X −θ
∼ N (0, 1).
S
et en remplaçant le quantile et la fonction de répartition de la loi de Student par ceux
de la loi normale centrée et réduite.
Pour terminer cette section, voici quelques remarques d’ordre général.
Remarque 4.4.2.
1. A moins que nous soyons certains de la direction du changement, il est toujours préférable d’utiliser un test bilatéral.
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Construction des tests d’hypothèses
2. Si nous avons à choisir entre faire un test d’hypothèses et faire un Intervalle
de confiance, il est mieux de choisir l’intervalle de confiance, car celui-ci nous
donne la direction du changement sans que nous ayons à la spécifier à priori dans
l’hypothèse alternative.
4.5
Test bilatéral sur une moyenne par rapport à un
intervalle de référence
La majorité de nos bières, pour certaines variables, sont considérées conformes
lorsque ces variables sont dans un intervalle de référence bien qu’elles ne soient pas
égales à la valeur de référence de la variable. Cette situation nous conduit à construire
un autre type de test bilatéral sur la moyenne relativement à cet intervalle de référence.
Soit donc à confronter les hypothèses suivantes :
H0 : θ ∈ [θ1 , θ2 ]
contre
H1 : θ ∈
/ [θ1 , θ2 ],
où θ représente la moyenne de l’échantillon, θ1 et θ2 les valeurs connues.
Considérons toujours la statistique de test suivante :
√
X −θ
avec
S
Et considérons les statistiques suivantes :
T (X) =
T1 (X) =
4.5.1
n−1
√
n−1
X − θ1
S
θ = θ1
T2 (X) =
√
ou θ = θ2 .
n−1
X − θ2
.
S
Cas d’un échantillon gaussien
Soit α le seuil de signification, on cherche C1 et C2 vérifiant C1 < C2 et tel que
– si T1 (x) ≥ C1 et T2 (x) ≤ C2 , on accepte H0 ;
– si T1 (x) < C1 ou T2 (x) > C2 , on rejette H0 .
Or
PH0 [rejeter H0 ] = PH0 [T2 (X) > C2 ] + PH0 [T1 (X) < C1 ]
√
√
X − θ2
X − θ1
= PH 0
n−1
n−1
> C2 + PH0
< C1
S
S
√
√
X −θ
X −θ
≤ PH 0
n−1
> C2 + PH0
n−1
< C1
S
S
= PH0 [tn−1 > C2 ] + PH0 [tn−1 < C1 ]
Pour avoir C1 et C2 , il suffit de poser
α
α
PH0 [tn−1 > C2 ] =
et PH0 [tn−1 < C1 ] = .
2
2
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Construction des tests d’hypothèses
Ceci nous donne : C1 = tn−1 ( α2 ) et C2 = −tn−1 ( α2 ).
D’où la règle de décision finale suivante :
– si T1 (x) ≥ tn−1 ( α2 ) et T2 (x) ≤ −tn−1 ( α2 ), on accepte H0 ;
– si T1 (x) < tn−1 ( α2 ) ou T2 (x) > −tn−1 ( α2 ), on rejette H0 .
Calcul de la puissance
h
h
α i
α i
π = PH1 [rejeter H0 ] = PH1 T1 (X) < tn−1 ( ) + PH1 T2 (X) > −tn−1 ( )
2
2
√
√
X − θ1
X − θ2
α
α
= PH 1
n−1
< tn−1 ( ) + 1 − PH1
n−1
≤ −tn−1 ( )
S
2
S
2
√
√
X −θ
α
θ1 − θ
= PH 1
n−1
< tn−1 ( ) + n − 1
+
S
2
S
√
√
X −θ
θ2 − θ
α
n−1
1 − PH 1
≤ −tn−1 ( ) + n − 1
S
2
S
√
√
θ1 − θ
α
θ2 − θ
α
= 1 + Ftn−1
n−1
+ tn−1 ( ) − Ftn−1
n−1
− tn−1 ( ) .
S
2
S
2
Un estimateur de π est donné par
√
√
α
α
θ1 − X
θ2 − X
+ tn−1 ( ) − Ftn−1
− tn−1 ( ) .
π̂ = 1 + Ftn−1
n−1
n−1
S
2
S
2
4.5.2
Cas d’un échantillon quelconque
On procède de façon analogue au cas précédent en considérant plutôt la statistique
de test :
√
X −θ
T (X) = n − 1
∼ N (0, 1)
S
et en remplaçant le quantile et la fonction de répartition de la loi de Student par ceux
de la loi normale centrée et réduite.
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Chapitre 5
Applications et résultats des tests
Les résultats présentés dans ce chapitre ont été obtenus à l’aide du logiciel R version
2.4.1 et nous avons choisi la valeur seuil de 5% pour effectuer les tests.
5.1
Résultats des tests bilatéraux et unilatéraux par
rapport à une valeur de référence
Dans cette section, la P-value de Shapiro nous permet de savoir si nos variables
sont issues d’une loi normale ou quelconque. Nous allons nous servir de cette valeur
pour savoir quelle loi suit la statistique de test T (X) définie aux sections 4.3 et 4.4 du
chapitre précédent, ainsi que les valeurs suivantes :
– La valeur observée correspond à la réalisation t(x) de T (X) lorsque X = x.
– La valeur Critique correspond à Cα définie dans la règle de décision. Pour un test
Blt, pour les variables issues d’une loi normale et quelconque, elle vaut respectivement
α
Cα = tn−1 (1 − ) et Cα = z1− α2 .
2
– Le type de test effectué est Blt si la variable doit être égale à une valeur de
référence ou Ult à droite si la variable ne doit pas dépassé une valeur de référence
pour satisfaire la norme.
– Si, pour une variable considérée, la valeur observée en valeur absolue est inférieure
à la valeur critique (cas Blt) ou la valeur observée est inférieure à la valeur critique
(cas Ult à droite), alors la conclusion de test accepte H0 . Dans le cas contraire,
elle rejette H0 .
Ces précisions vont nous permettre d’interpréter les différents tableaux qui suivent.
Bière Castel
Des résultats du tableau 5.1, nous constatons que la variables pH et UA présentent
en moyenne un écart significatif par rapport à la valeur cible. Pour la bière Castel, ces 2
variables doivent être contrôlées pour améliorer la qualité de cette bière. Nous pouvons
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Applications et résultats des tests
donc conclure que la bière Castel, au vu des échantillons, est de qualité acceptable car
la proportion des variables qui s’écartent en moyenne, par rapport à la valeur cible est
de 2/10.
Variables
EP
AA
COL
pH
GE
CO2
B20
VDK
UA
BO2
p-value
de Shapiro
8.99 × 10−10
6.93 × 10−7
2.03 × 10−2
7.58 × 10−2
7.20 × 10−12
2.20 × 10−3
1.51 × 10−8
1.35 × 10−4
1.36 × 10−1
1.89 × 10−5
Valeur
Valeur
Puissance
observée critique
-1.27
1.96
0.24
0.34
1.96
0.06
1.76
1.96
0.42
-7.67
1.96
0.99
-2.728
-1.64
6.11 × 10−6
-0.27
1.96
0.05
-2.25
-1.64
4.89 × 10−5
-22.45
-1.64
0
-2.066
1.98
0.54
-10.06
-1.64
5.9 × 10−32
Type de test
effectué
Blt
Blt
Blt
Blt
Ult à droite
Blt
Ult à droite
Ult à droite
Blt
Ult à droite
Conclusion
du test
H0 accepté
H0 accepté
H0 accepté
H0 rejeté
H0 accepté
H0 accepté
H0 accepté
H0 accepté
H0 rejeté
H0 accepté
Tab. 5.1 – Récapitulatif des tests par rapport à une valeur de référence sur la Castel.
Bière Mutzig
Il ressort du tableau 5.2 que plusieurs variables (EP, AA, COL, pH, CO2, UA, VDK)
montrent en moyenne un écart significatif par rapport à leur valeur de référence, soit
une proportion d’écart de 7/10, ce qui est important. Statistiquement, on pourrait
penser que la qualité de la bière Mutzig est mauvaise ; mais il faut tenir compte des
limites inférieures et supérieures admises pour certaines variables. Néanmoins, il reste
à comprendre les raisons pour lesquelles certains écarts sont significatifs.
Bière Amstel
Il ressort également des résultats du tableau 5.3 que plusieurs variables (AA, Col,
PH, UA, GE, BO2) montrent en moyenne un écart significatif par rapport à leur valeur
de référence, soit une proportion d’écart de 6/10, ce qui également important. Il faut
trouver les causes de ce déréglage qui sont multiples.
Bière Export
Des résultats du tableau 5.4, nous constatons que les variables EP , B20 et Col présentent en moyenne un écart significatif par rapport à la valeur cible, ce qui correspond
à une proportion d’écart de 3/10. Nous pouvons donc conclure que la bière Export au
vu des échantillons est de qualité acceptable.
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Applications et résultats des tests
Variables
EP
AA
COL
PH
GE
CO2
B20
VDK
UA
BO2
p-value
de Shapiro
1.57 × 10−2
3.83 × 10−4
0.75
5.45 × 10−2
6.26 × 10−4
0.18
0.28
5.46 × 10−3
0.66
1.32 × 10−6
Valeur
Valeur
Puissance
observée critique
-2.90
1.96
0.83
-14.19
1.96
1
4.33
2.024
0.98
-4.55
1.96
0.99
-4.88
-1.64
3.36 × 10−11
5.23
2.024
0.99
-30.01
-1.68
3.04 × 10−29
-1.05
-1.64
3.44 × 10−3
2.94
2.024
0.82
-2.52
-1.64
1.53 × 10−5
Type de test Conclusion
effectué
du test
Blt
H0 rejeté
Blt
H0 rejeté
Blt
H0 rejeté
Blt
H0 rejeté
Ult à droite H0 accepté
Blt
H0 rejeté
Ult à droite H0 accepté
Ult à droite
H0 rejeté
Blt
H0 rejeté
Ult à droite H0 accepté
Tab. 5.2 – Récapitulatif des tests par rapport à une valeur de référence sur la Mutzig.
Variables
EP
AA
COL
PH
GE
CO2
B20
VDK
UA
BO2
p-value
de Shapiro
0.85
0.0089
0.17
0.11
0.01
0.14
0.17
0.016
0.009
1.62 × 10−8
Valeur
Valeur
Puissance
observée critique
-0.63
2.0555
0.088
-6.22
1.96
0.99
3.67
2.0555
0.94
-8.74
2.0555
0.99
-0.96
-1.64
0.0045
-0.05
2.0555
0.05
-34.09
-1.70
5.95 × 10−24
-4.32
-1.64
1.18 × 10−9
2.85
1.98
0.82
1.45
-1.64
0.422
Type de test
effectué
Blt
Blt
Blt
Blt
Ult à droite
Blt
Ult à droite
Ult à droite
Blt
Ult à droite
Conclusion
du test
H0 accepté
H0 rejeté
H0 rejeté
H0 rejeté
H0 rejeté
H0 accepté
H0 accepté
H0 accepté
H0 rejeté
H0 rejeté
Tab. 5.3 – Récapitulatif des tests par rapport à une valeur de référence sur l’Amstel.
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Applications et résultats des tests
Variables
EP
AA
COL
PH
GE
CO2
B20
VDK
UA
BO2
p-value
de Shapiro
0.16
4.05 × 10−5
0.46
0.02
0.057
0.47
7.58 × 10−5
0.01
0.59
8.76 × 10−5
Valeur
Valeur
Puissance
observée critique
-2.40
2.0595
0.63
1.57
1.96
0.35
3.10
2.0595
0.84
-0.84
2.0555
0.14
-5.35
-1.70
1.06 × 10−7
1.59
2.0595
0.32
-0.80
-1.64
7.31 × 10−3
-11.85
-1.64
7.86 × 10−42
-0.01
2.0595
0.05
-4.45
-1.64
5.41 × 10−10
Type de test
effectué
Blt
Blt
Blt
Blt
Ult à droite
Blt
Ult à droite
Ult à droite
Blt
Ult à droite
Conclusion
du test
H0 rejeté
H0 accepté
H0 rejeté
H0 accepté
H0 accepté
H0 accepté
H0 accepté
H0 accepté
H0 accepté
H0 rejeté
Tab. 5.4 – Récapitulatif des tests par rapport à une valeur de référence sur l’Export.
Bière Tuborg
Au vu du tableau 5.5, nous constatons que les variables Col, pH , BO2 et CO2
présentent en moyenne un écart significatif par rapport à leur valeur de référence soit
une proportion d’écart de 4/9 pour la bière Tuborg. Une amélioration dans la qualité
pour ces variables est nécessaire.
Variables
EP
COL
PH
GE
CO2
B20
VDK
UA
BO2
p-value
de Shapiro
0.39
0.94
0.14
0.045
0.16
0.14
0.014
0.49
1.46 × 10−5
Valeur
observée
-0.36
12.48
4.61
-3.32
10.39
-2.94
-9.92
-1.90
-0.45
Valeur
critique
2.063899
2.063899
2.063899
-1.64
2.063899
-1.71
-1.64
2.063899
-1.64
Puissance
0.06
1
0.99
3.32 × 10−7
0.99
5.01 × 10−5
2.87 × 10−31
0.43
1.78 × 10−2
Type de test
effectué
Blt
Blt
Blt
Ult à droite
Blt
Ult à droite
Ult à droite
Blt
Ult à droite
Conclusion
du test
H0 accepté
H0 rejeté
H0 rejeté
H0 accepté
H0 rejeté
H0 accepté
H0 accepté
H0 accepté
H0 rejeté
Tab. 5.5 – Récapitulatif des tests par rapport à une valeur de référence sur la Tuborg.
Bière Beaufort
Comme nous pouvons le constater sur le tableau 5.6, une variable s’est écartée en
moyenne de manière significative de la valeur cible. On pourrait juger la bière Beaufort
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Applications et résultats des tests
de meilleure qualité. Cependant n’ayant eu que 4 observations de cet échantillon, nous
ne saurons dire qu’il est représentatif de la dite bière en général. Il nous faut refaire les
tests sur un échantillon beaucoup plus grand pour soutenir les résultats.
Variables
EP
AA
COL
PH
GE
CO2
B20
VDK
UA
BO2
p-value
de Shapiro
0.006
0.24
0.40
0.23
0.97
0.24
0.112
0.68
0.29
0.75
Valeur
Valeur Puissance Type de test
observée critique
effectué
1.04
1.96
0.18
Blt
2.50
3.18
0.27
Blt
0.83
3.18
0.06
Blt
-1.74
3.18
0.13
Blt
-2.41
-2.35
0.008
Ult à droite
-0.26
3.18
0.05
Blt
-3.61
-2.35
0.004
Ult à droite
-6.36
-2.35
0.001
Ult à droite
0.35
3.18
0.05
Blt
-2.20
-2.35
0.009
Ult à droite
Conclusion
du test
H0 accepté
H0 accepté
H0 accepté
H0 accepté
H0 accepté
H0 accepté
H0 accepté
H0 accepté
H0 accepté
H0 rejeté
Tab. 5.6 – Récapitulatif des tests par rapport à une valeur de référence sur la Beaufort.
Bière Beaufort Light
Il ressort des résultats du tableau 5.7, que plusieurs variables ( EP, AA, PH, UA,
GE, VDK) montrent en moyenne un écart significatif par rapport à leur valeur de
référence soit une proportion d’écart de 6/10, ce qui est important.
Variables
EP
AA
COL
PH
GE
CO2
B20
VDK
UA
BO2
p-value
de Shapiro
0.05
0.50
0.24
0.17
0.03
0.17
0.05
0.01
0.86
0.30
Valeur
Valeur Puissance Type de test
observée critique
effectué
2.69
2.306
0.64
Blt
2.56
2.306
0.60
Blt
0.20
2.306
0.05
Blt
3.9
2.306
0.93
Blt
0.05
-1.64
0.055
Ult à droite
-0.43
2.306
0.06
Blt
-2.97
-1.85
0.0006
Ult à droite
-1.37
-1.64
0.001
Ult à droite
2.52
2.306
0.58
Blt
-2.09
-1.85
0.002
Ult à droite
Conclusion
du test
H0 rejeté
H0 rejeté
H0 accepté
H0 rejeté
H0 rejeté
H0 accepté
H0 accepté
H0 rejeté
H0 accepté
H0 rejeté
Tab. 5.7 – Récapitulatif des tests par rapport à une valeur de référence sur la Beaufort Light.
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Applications et résultats des tests
40
De l’analyse faite sur ces différents tableaux ; nous pouvons tirer les conclusions
suivantes
– la variable pH dans la majorité de ces bières (5/7) présente des valeurs qui
s’écartent en moyenne de manière significative par rapport à la valeur de référence ;
– Les variables EP, AA, Col, UA,BO2 sur les 7 bières étudiées présentent sur 3
bières le même problème.
– ces variables peuvent être considérées comme les plus problématiques pour la
qualité ; cerner les causes en termes de sources de défaillance et y apporter des
solutions pourrait améliorer davantage la qualité des bières.
5.2
Quelques évolutions de la puissance pour différentes valeurs de la moyenne dans le cas bilatéral
Nous rappelons la formule de la puissance dans ce cas :
√
√
θ0 − θ
α
θ0 − θ
α
n−1
− tn−1 (1 − ) − Ftn−1
n−1
+ tn−1 (1 − ) ,
π = 1 + Ftn−1
S
2
S
2
où θ0 représente la valeur cible de l’échantillon, θ la moyenne de l’échantillon et S
l’écart-type empirique de l’échantillon.
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Applications et résultats des tests
Fig. 5.1 – Courbes de la fonction puissance des variables EP, AA, COL, PH pour un test bilatéral
de seuil 5% .
Nous constatons que lorsque nous sommes sous H0 , la puissance prend la valeur
du seuil 0.05 (trait horizontal sous la figure 5.1) et qu’elle augmente avec l’écart de la
moyenne par rapport à la valeur cible.
5.3
Test bilatéral par rapport à un intervalle de référence.
Dans cette section, les tableaux qui seront présentés sont les résultats du test
H0 : θ ∈ [θ1 , θ2 ]
contre
θ∈
/ [θ1 , θ2 ],
où θ représente la moyenne de l’échantillon, θ1 et θ2 les valeurs connues. Les valeurs de
ces tableaux correspondent à :
– la p-value nous permet de savoir si nos variables sont issues d’une loi normale ou
quelconque. Nous allons nous servir de cette valeur, pour savoir quelle loi suit les
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Applications et résultats des tests
statistiques de test
√
X − θ1
X − θ2
et
T2 (X) = n − 1
S
S
définies aux sections 4.5 du chapitre précédent.
Valobs1 correspond à la réalisation T1 (x) de T1 (X) lorsque X = x.
Valobs2 correspond à la réalisation T2 (x) de T2 (X) lorsque X = x.
Valcrit1 correspond à C1 défini dans la règle de décision. Pour les variables issues
d’une loi normale et quelconque, elle vaut respectivement C1 = tn−1 ( α2 ) et C1 =
z α2 .
Valcrit2 correspond à C2 défini dans la règle de décision. Pour les variables issues
d’une loi normale et quelconque, elle vaut respectivement C2 = −tn−1 ( α2 ) et
C2 = −z α2 .
Si pour une variable considérée, Valobs1 est supérieure à Valcrit1 et Valobs2 est
inférieure à Valcrit2, alors la conclusion de test accepte H0 dans le cas contraire,
elle rejette H0 .
T1 (X) =
–
–
–
–
–
√
n−1
Bière Castel
En ce qui concerne l’intervalle de référence, toutes les variables en moyenne sont
restées dans cet intervalle. Par rapport à cet intervalle, la qualité de cette bière est
satisfaisante (tableau 5.8).
Variables
EP
AA
COL
PH
GE
CO2
B20
VDK
UA
BO2
p-value
8.99 × 10−10
6.93 × 10−7
2.03 × 10−2
7.58 × 10−4
7.20 × 10−12
2.20 × 10−3
1.51 × 10−8
1.35 × 10−4
1.36 × 10−1
1.89 × 10−5
Valobs1
Valobs2
Valcrit1
Valcrit2
Puissance
11.26
10.33
25.27
11.53
20.11
12.98
34.82
70.32
18.59
78.21
-13.81
-9.65
-21.75
-26.88
-2.73
-13.54
-2.25
-22.45
-22.72
-10.06
-1.96
-1.96
-1.96
-1.96
-1.96
-1.96
-1.96
-1.96
-1.98
-1.96
1.96
1.96
1.96
1.96
1.96
1.96
1.96
1.96
1.98
1.96
0
0
0
0
1.37 × 10−6
0
1.27 × 10−5
0
0
0
Conclusion
sur H0
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Tab. 5.8 – Récapitulatif des tests par rapport à un intervalle de référence sur la Castel.
Bière Mutzig
En ce qui concerne l’intervalle de référence, toutes les variables en moyenne sont
restées dans cet intervalle. Par rapport à cet intervalle, la qualité de cette bière est
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Applications et résultats des tests
acceptable, bien que la majorité des variables s’est écartée de la valeur cible (tableau
5.9).
Variables
EP
COL
PH
GE
CO2
B20
VDK
UA
BO2
p-value
1 × 10−2
0.57.75
5.45 × 10−2
6.26 × 10−4
0.18
0.28
5.46-03
0.66
1.32 × 10−6
Valobs1
Valobs2
Valcrit1
Valcrit2
Puissance
8.35
13.61
8.94
20.16
11.61
30.83
50.48
18.98
53.53
-14.15
-4.95
-18.04
-4.88
-1.14
-30.01
-1.057
-13.10
-2.52
-1.96
-2.02
-2.02
-1.96
-2.02
-2.02
-1.96
-2.02
-1.96
1.96
2.02
2.02
1.96
2.02
2.02
1.96
2.02
1.96
0
1.22 × 10−13
3.91 × 10−12
1.50 × 10−3
0
1.27 × 10−3
0
3.68 × 10−6
0
Conclusion
sur H0
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Tab. 5.9 – Récapitulatif des tests par rapport à un intervalle de référence sur la Mutzig.
Bière Amstel
En ce qui concerne l’intervalle de référence, toutes les variables en moyenne sont
restées dans cet intervalle.Par rapport à cet intervalle, la qualité de cette bière est
acceptable, bien que la majorité des variables s’est écartée de la valeur cible (tableau
5.10).
Variables
EP
COL
PH
GE
CO2
B20
VDK
UA
BO2
p-value
0.85
0.17
0.11
0.01
0.14
0.17
0.016
0.009
1.62 × 10−8
Valobs1
Valobs2
Valcrit1
Valcrit2
Puissance
7.84
15.78
-1.732
14.32
9.18
34.15
37.32
13.69
24.92
-9.09
-8.43
-15.76
-0.96
-9.29
-34.09
-4.32
-7.99
1.45
-2.055
-2.055
-2.055
-1.96
-2.055
-2.055
-1.96
-1.98
-1.96
2.055
2.055
2.055
1.96
2.055
2.055
1.96
1.98
1.96
1.41 × 10−10
3.89 × 10−11
3.74 × 10−1
1.73 × 10−3
1.58 × 10−11
0
1.63 × 10−10
0
3.05 × 10−1
Conclusion
sur H0
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Tab. 5.10 – Récapitulatif des tests par rapport à un intervalle de référence sur l’Amstel.
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Applications et résultats des tests
Bière Export
En ce qui concerne l’intervalle de référence, toutes les variables en moyenne sont
restées dans cet intervalle. Par rapport à cet intervalle, la qualité de cette bière est
satisfaisante (tableau 5.11).
Variables
EP
AA
COL
PH
GE
CO2
B20
VDK
UA
BO2
p-value
0.16
4.05 × 10−5
0.46
0.02
0.057
0.47
7.58 × 10−5
0.01
0.59
8.76 × 10−5
Valobs1
Valobs2
Valcrit1
Valcrit2
Puissance
6.57
8.69
15.92
6.15
23.23
10.22
12.01
36.91
8.97
34.63
-11.36
-5.54
-9.71
-7.84
-5.35
-7.03
-0.79
-11.85
-9.007
-4.45
-2.05
-1.96
-2.05
-1.96
-2.05
-2.05
-1.96
-1.96
-2.05
-1.96
2.05
1.96
2.05
1.96
2.05
2.05
1.96
1.96
2.05
1.96
2.85 × 10−9
2.99 × 10−14
5.40 × 10−12
2.22 × 10−16
4.60 × 10−8
1.05 × 10−9
2.92 × 10−3
0
4.12 × 10−11
7.18 × 10−11
Conclusion
sur H0
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Tab. 5.11 – Récapitulatif des tests par rapport à un intervalle de référence sur la bière Export.
Bière Tuborg
En ce qui concerne l’intervalle de référence, toutes les variables en moyenne sont
restées dans cet intervalle. Par rapport à cet intervalle, la qualité de cette bière est
satisfaisante (tableau 5.12).
Variables
EP
COL
PH
GE
CO2
B20
VDK
UA
BO2
p-value
0.39
0.94
0.14
0.045
0.16
0.14
0.014
0.49
1.46 × 10−5
Valobs1
Valobs2
Valcrit1
Valcrit2
Puissance
13.92
26.54
14.30
16.95
20.76
21.23
30.86
9.29
35.95
-14.65
-1.57
-5.079
-3.32
0.02
-2.94
-9.92
-13.10
-0.45
-2.06
-2.06
-2.06
-1.96
-2.06
-2.06
-1.96
-2.06
-1.96
2.06
2.06
2.06
1.96
2.06
2.06
1.96
2.06
1.96
1.83 × 10−14
6.52 × 10−4
1.10 × 10−7
6.22 × 10−8
2.64 × 10−2
2.04 × 10−5
0
1.92 × 10−11
7.86 × 10−3
Conclusion
sur H0
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Tab. 5.12 – Récapitulatif des tests par rapport à un intervalle de référence sur la bière Tuborg.
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Bière Beaufort
En ce qui concerne l’intervalle de référence, toutes les variables en moyenne sont
restées dans cet intervalle.Par rapport à cet intervalle, la qualité de cette bière est
satisfaisante (tableau 5.13).
Variables p-value Valobs1
Valobs2
Valcrit1
Valcrit2
EP
AA
COL
PH
GE
CO2
B20
VDK
UA
BO2
0.36
-1.20
-0.04
-4.03
-2.41
-2.87
-3.61
-6.36
-0.88
-2.20
-1.96
-3.18
-3.18
-3.18
-3.18
-3.18
-3.18
-3.18
-3.18
-3.18
1.96
3.18
3.18
3.18
3.18
3.18
3.18
3.18
3.18
3.18
0.006
0.24
0.40
0.23
0.97
0.24
0.112
0.68
0.29
0.75
1.72
6.22
1.71
0.53
6.93
2.35
5.71
19.09
1.59
14.33
Puissance Conclusion
sur H0
0.05
Accepté
0.012
Accepté
0.03
Accepté
0.019
Accepté
0.0066
Accepté
0.010
Accepté
0.004
Accepté
0.0013
Accepté
0.02
Accepté
0.006
Accepté
Tab. 5.13 – Récapitulatif des tests par rapport à un intervalle de référence sur la bière Beaufort.
Bière Beaufort Light
En ce qui concerne l’intervalle de référence, toutes les variables en moyenne sont
restées dans cet intervalle. Par rapport à cet intervalle, la qualité de cette bière est
acceptable, bien que la majorité des variables s’est écartée de la valeur cible (tableau
5.14).
Nous pouvons conclure que toutes les variables dans l’ensemble des 7 bières sont
restées dans l’intervalle de référence qui a été défini bien que la majorité s’écarte de la
valeur de référence.La qualité de toutes les bières est donc acceptable. Il reste à présent
à rechercher les causes de ces défauts et qualifier leur impact pour que ces variables se
rapprochent au mieux de la valeur de référence qui est l’objectif principal.
Remarque 5.3.1. Nous remarquons que dans la majorité des variables et ceci pour
toutes les bières, les deux réalisations de la statistique de test, Valobs1 et Valobs2 ont
des valeurs trop élévées par rapport aux valeurs critiques.
Nous allons maintenant proposer le tableau récapitulatif des intervalles de confiance
à 95% des variables pour chaque type de bière. Ces intervalles de confiance sont inclus
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Applications et résultats des tests
Variables p-value Valobs1
Valobs2
Valcrit1
Valcrit2
Puissance
EP
AA
COL
PH
GE
CO2
B20
VDK
UA
BO2
1.60
2.23
-8.76
0.04
0.05
-4.30
-2.97
-1.37
-1.64
-2.09
-2.30
-2.30
-2.30
-2.30
-1.96
-2.30
-2.30
-1.96
-2.30
-2.30
2.30
2.30
2.30
2.30
1.96
2.30
2.30
1.96
2.30
2.30
0.25
0.47
3.47 × 10−6
0.027
0.028
0.0026
0.00037
0.00042
0.0021
0.0011
0.05
0.50
0.24
0.17
0.03
0.17
0.05
0.01
0.86
0.30
3.77
2.90
9.16
7.89
14.80
1.50
13.74
10.07
6.68
37.03
Conclusion
sur H0
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Accepté
Tab. 5.14 – Récapitulatif des tests par rapport à un intervalle de référence sur la bière Beaufort
Light.
dans les intervalles de référence des variables qui ont été fixés pour satisfaire les normes.
Ainsi, à l’avenir pour une variable qui ne se trouverait pas dans l’intervalle du tableau
5.15, bien qu’il soit compris dans l’intervalle de référence, il faudra la contrôler pour
prévenir les cas de déréglage.
variables
EP
AA
COL
PH
GE
CO2
B20
VDK
UA
BO2
EXPORT
CASTEL
MUTZIG
AMSTEL
TURBORG
B-inf B-sup B-inf B-sup B-inf B-sup B-inf B-sup B-inf B-sup
11.9
12
11.7
11.8
12.1
12.2
11.1
11.2
12.1
12.2
79.9
81
81.6
82.4
81.7
82.5
81.8
82.8
8.08
8.39
7.99
8.15
9.24
9.68
9.13
9.46
8.11
8.53
4.08
4.17
4.09
4.14
4.10
4.16
4.16
4.25
4.35
4.43
∞
1.30
∞
1.43
∞
1.30
∞
1.59
∞
1.37
5.43
5.55
5.96
6.02
5.40
5.52
5.23
5.36
5.44
5.55
∞
0.64
∞
0.59
∞
0.43
∞
0.42
∞
0.66
∞
0.09
∞
0.09
∞
0.10
∞
0.09
∞
0.09
21.5
22.4
21.6
21.9
23.1
23.6
21.2
21.8
22.3
23.0
∞
0.37
∞
0.36
∞
0.39
∞
0.45
∞
0.41
Tab. 5.15 – Intervalles de confiance des variables.
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Chapitre 6
Calcul des probabilités
6.1
Quelques définitions
Le but de ce chapitre est de pouvoir déterminer pour chaque variable, et ceci pour
chaque type de bière, la probabilité d’appartenir à l’intervalle de référence correspondant. Pour y arriver, nous allons commencer par définir la fonction de répartition
empirique d’une variable au vu des observations.
Définition 6.1.1. (Confère [7]). Soit (x1 , . . . , xn ), échantillon i.i.d. On appelle statistique d’ordre de l’échantillon, les valeurs x(1) , . . . , x(n) égales aux xi avec i ∈ {1, 2, . . . , n}
et rangées par ordre croissant :
min {xi } = x(1) ≤ x(2) ≤ . . . ≤ x(n) = max {xi }.
1≤i≤n
1≤i≤n
Définition 6.1.2. Soit X un caractère à valeurs dans R. On dit que X a une fonction
de répartition FX sur R si : FX : R −→ [0 , 1] , t 7−→ FX (t) = Pr (X ≤ t).
Ayant observé un échantillon i.i.d (x1 , . . . , xn ), réalisation de (X1 , . . . , Xn ), on estime
alors FX (confère [5] et [7]) par : F̂X : −→ [0 , 1], t 7−→ F̂X (t) , avec
F̂X (t) =















0 pour
t < x(1)
..
.
i
pour x(i) ≤ t ≤ x(i+1)
n
..
.
1 pour
t > x(n)
F̂X est appelée fonction de répartition empirique de l’échantillon théorique (X1 , . . . , Xn ).
Ainsi, estimer la probabilité Pr (X ∈ [a , b]) , revient à calculer F̂X (b) − F̂X (a).
6.2
Résultats et interprétations
Le tableau 6.1 donne la probabilité estimée pour que chaque variable soit comprise
dans son intervalle de référence. Nous pouvons constater que la majorité des variables
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Calcul des probabilités
pour chaque type de bière, exceptées les variables AA pour les bières Mutzig et Amstel,
BO2 et pH pour l’Amstel ont une probabilité d’au moins 0.6 de se trouver dans leur
intervalle de référence. En effet, ce résultat ne confirme que le résultat des tests sur la
moyenne par rapport à un intervalle de référence du chapitre précédent. La variable
AA pour les bières Mutzig et Amstel a une probabilité presque nulle parce que la valeur
de cette variable doit être égale à une valeur de référence.
Variables EXPORT
Ep
0.88
AA
0.92
COL
0.96
PH
0.84
GE
0.92
CO2
0.96
B20
0.769
VDK
1
UA
0.96
BO2
0.92
CASTEL MUTZIG
0.94
0.923
0.785
0
0.976
0.84
0.916
0.948
0.845
0.897
0.80
0.66
0.75
1
1
0.74
1
1
0.916
0.846
AMSTEL TURBORG
0.88
1
0.07
1
0.72
0.25
0.84
0.77
0.88
0.96
0.60
1
0.76
0.92
1
1
0.96
0.40
0.88
Tab. 6.1 – Probabilités des variables.
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Conclusion
La réalisation de cette étude nous a permis de lever un pan de voile sur le système
de contrôle de qualité dans les laboratoires. Il convient à présent de rappeler les grands
traits de ce travail. Ce rappel fera l’objet de cette conclusion, conclusion qui sera
articulée autour de cinq points :
Rappels des objectifs de travail
Au départ de ce travail, nous nous sommes fixés certains objectifs, à savoir il était
question de discerner les variables qui s’écartent de trop de la valeur cible. Cette première approche nous a permis de mettre en évidence l’influence importante des caractéristiques liées à la qualité sur nos bières.
En fait, il est important de noter qu’il existe plusieurs facteurs influençant la qualité ;
notamment la main-d’œuvre, les méthodes, les machines et les matières. Dès lors, il est
néccessaire de les apporter des actions correctives pour assurer la complète résolution
du problème.
Rappel des hypothèses
Au départ, nous étions préoccupés par le fait que certaines variables présentaient
les valeurs qui n’étaient pas dans les normes et il fallait faire des tests pour voir si en
moyenne l’écart était significatif.
Rappel des résultats et implications sur ces hypothèses
Les résultats obtenus nous confirment qu’effectivement certaines variables s’écartent
de trop de la valeur de référence, notamment les variables PH, EP, AA, Col, UA, ce
qui demande à détecter les causes de cet écart pour apporter les actions correctives.
Nous avons également constaté que la qualité de la bière Mutzig devrait être revue car
les paramètres pour cette bière ne sont pas satisfaisants.
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Calcul des probabilités
50
Limites de la recherche
Pendant nos travaux, nous avons rencontré beaucoup d’entraves. Les principales
étaient liées à la formulation du thème, la disposition numérique des données et la
connexion internet. Ce qui justifie le fait que l’étude soit faite uniquement sur les
bières. Nous pouvons reprocher à ce travail la petitesse de l’échantillon.
Axes futurs de la recherche
Nous ne saurons achever ce travail sans rappeler que notre étude nous a beaucoup
enrichi d’enseignements pratiques. Nous avons fait plus ample connaissance avec les
réalités du monde de travail et surtout nous nous sommes frottés aux difficultés de la
recherche scientifique. Comme tout travail de recherche, nos résultats sont susceptibles
de critiques ou même d’extensions. En tenant compte de tout cela, une étude future
sur un échantillon beaucoup plus grand que celui retenu dans la présente étude peut à
coup sûr apporter des résultats fiables.
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Annexes : Programmes R utilisés
Lecture du tableau contenant le jeu de données
tab=read.table("E:\\FICHE NORME BRASSERIES1.txt",h=T,dec=",")
Construction des sous tableaux des bières
tab2=tab[which(Qualité=="TBG"),]
tab2=apply(tab2[,3:12],2,function(u){u[is.na(u)]=mean(u,na.rm=T);u})
tab2=tab2[,-2]#cas toutes ces valeurs sont non observées
tab3=tab[which(Qualité=="EXP"),]
tab3=apply(tab3[,3:12],2,function(u){u[is.na(u)]=mean(u,na.rm=T);u})
tab4=tab[which(Qualité=="AMS"),]
tab4=apply(tab4[,3:12],2,function(u){u[is.na(u)]=mean(u,na.rm=T);u})
tab5=tab[which(Qualité=="BFT"),]
tab5=apply(tab5[,3:12],2,function(u){u[is.na(u)]=mean(u,na.rm=T);u})
tab6=tab[which(Qualité=="CST"),]
tab6=apply(tab6[,3:12],2,function(u){u[is.na(u)]=mean(u,na.rm=T);u})
tab7=tab[which(Qualité=="MTZ"),]
tab7=apply(tab7[,3:12],2,function(u){u[is.na(u)]=mean(u,na.rm=T);u})
tab8=tab[which(Qualité=="BFL"),]
tab8=apply(tab8[,3:12],2,function(u){u[is.na(u)]=mean(u,na.rm=T);u})
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Calcul des probabilités
Courbe assorti des limites de contrôle ou carte de contrôle
par(mfrow=c(2,2))
plot(tab6[,3],ylim=c(6,10),ylab="VALEUR",xlab="JOURS",type="l",col=4)
abline(mean(tab6[,3])-2*sd(tab6[,3]),0,col=2,lwd=2)
abline(mean(tab6[,3])+2*sd(tab6[,3]),0,col=2,lwd=2)
abline(mean(tab6[,3])-3*sd(tab6[,3]),0,col="green",lwd=2)
abline(mean(tab6[,3])+3*sd(tab6[,3]),0,col="green",lwd=2)
abline(mean(tab6[,3]),0,col="6",lwd=2) title("EVOLUTION DE COL EN
JOURS")
mtext("figure 1",side=1,line=4,col=2)
plot(tab6[,2],ylim=c(72,90),ylab="VALEUR",xlab="JOURS",type="l",col=4)
abline(mean(tab6[,2])-2*sd(tab6[,2]),0,col=2,lwd=2)
abline(mean(tab6[,2])+2*sd(tab6[,2]),0,col=2,lwd=2)
abline(mean(tab6[,2])-3*sd(tab6[,2]),0,col="green",lwd=2)
abline(mean(tab6[,2])+3*sd(tab6[,2]),0,col="green",lwd=2)
abline(mean(tab6[,2]),0,col="6",lwd=2) title("EVOLUTION DE AA EN
JOURS") mtext("figure 2",side=1,line=4,col=2) text(25,76,"limite
d’action inférieure",col=1) text(40,78,"limite d’alerte
inférieure",col=1) text(25,83,"moyenne",col=1)
text(40,86.5,"limite d’alerte supérieure",col=1)
text(40,88,"limite d’action supérieure",col=1)
plot(tab6[,9],ylim=c(18,26),ylab="VALEUR",xlab="JOURS",type="l",col=4)
abline(mean(tab6[,9])-2*sd(tab6[,9]),0,col=2,lwd=2)
abline(mean(tab6[,9])+2*sd(tab6[,9]),0,col=2,lwd=2)
abline(mean(tab6[,9])-3*sd(tab6[,9]),0,col="green",lwd=2)
abline(mean(tab6[,9])+3*sd(tab6[,9]),0,col="green",lwd=2)
abline(mean(tab6[,9]),0,col="6",lwd=2) title("EVOLUTION DE UA EN
JOURS")
mtext("figure 3",side=1,line=4,col=2)
plot(tab6[,5],ylim=c(-1,4),ylab="VALEUR",xlab="JOURS",type="l",col=4)
abline(mean(tab6[,5])-2*sd(tab6[,5]),0,col=2,lwd=2)
abline(mean(tab6[,5])+2*sd(tab6[,5]),0,col=2,lwd=2)
abline(mean(tab6[,5])-3*sd(tab6[,5]),0,col="green",lwd=2)
abline(mean(tab6[,5])+3*sd(tab6[,5]),0,col="green",lwd=2)
abline(mean(tab6[,5]),0,col="6",lwd=2) title("EVOLUTION DE GE EN
JOURS")
mtext("figure 4",side=1,line=4,col=2)
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Calcul des probabilités
Test bilatéral
Vérification de la normalité, détermination de la valeur critique et de la
valeur observée et calcul de la puissance
f2=function(data.frame,vec,alpha) {
vec1=c();vec2=c();tobs=c()
n=nrow(data.frame)
q=qt(1-alpha/2,n-1);z=qnorm(1-alpha/2)
for(i in 1:ncol(data.frame))
{
vec1[i]<-shapiro.test(data.frame[,i])[[2]]
tobs[i]<-sqrt(n-1)*(mean(data.frame[,i])-vec[i])/sd(data.frame[,i])
if(vec1[i]>=0.05)
vec2[i]<-power.t.test(n=nrow(data.frame),
sd=sd(data.frame[,i]),
sig.level=alpha,delta=abs(mean(data.frame[,i])-vec[i]),
type=’one.sample’)[[5]]
if(vec1[i]<0.05)
vec2[i]<-1+pnorm(-tobs[i]-z)-pnorm(-tobs[i]+z) }
res<-list(p.value1=vec1,quant1=q,quant2=z,puissance =vec2,ts=tobs)
res}
n=nrow(data.frame)
Application
bière Castel
cible6=c(11.80,82.00,8.00,4.20,1.50,6.00,0.60,0.12,22.00,0.40)
f2(tab6,cible6,0.05)
bière Mutzig
cible7=c(12.20,85.20,9.00,4.20,1.50,5.30,0.80,0.10,23.00,0.40)
f2(tab7,cible7,0.05)
bière Amstel
cible4=c(11.20,83.9,9.00,4.40,1.50,5.30,0.80,0.10,21.00,0.4)
f2(tab4,cible4,0.05)
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Calcul des probabilités
bière Export
cible3=c(12.00,80.00,8.00,4.15,1.50,5.45,0.60,0.12,22.00,0.40)
f2(tab3,cible3,0.05)
bière Tuborg
cible2=c(12.20,7.00,4.30,1.50,5.20,0.70,0.12,23.00,0.40)
f2(tab2,cible2,0.05)
bière Beaufort
cible5=c(11.00,79.0,6.00,4.15,1.50,5.45,0.60,0.12,19.00,0.40)
f2(tab5,cible5,0.05)
bière Beaufort Light
cible8=c(9.70,75.80,6.00,4.30,1.50,5.50,0.60,0.12,18.00,0.40)
f2(tab8,cible8,0.05)
Courbe de la puissance pour les 4 premières variables de la bière Amstel
par(mfrow=c(2,2)) delta <- seq(-2, 2, length=27) for(i in 1:4) {
<- NULL for (d in delta) {
p <- append(p,power.t.test(delta=d, sd=sd(tab4[,i]), sig.level=0.05,
n=27,type=’one.sample’)$power)}
plot(p~delta, type=’l’,xlab=’écart de la moyenne par rapport à
la cible’,ylab=’puissance’, main=’courbe de la puissance’,col=2)
abline(v=0) abline(h=0.05,col=4)}
Test unilatéral à droite,détermination de la valeur critique et de
la valeur observée et calcul de la puissance
f3=function(data.frame,vec,alpha) {
vec1=c();vec2=c();tobs=c()
n=nrow(data.frame)
q=qt(alpha,n-1);z=qnorm(alpha)
for(i in 1:ncol(data.frame))
{
vec1[i]<-shapiro.test(data.frame[,i])[[2]]
tobs[i]<-sqrt(n-1)*(mean(data.frame[,i])-vec[i])/sd(data.frame[,i])
if(vec1[i]>=0.05)
vec2[i]<-pt(tobs[i]+q,n-1)
if(vec1[i]<0.05)
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Calcul des probabilités
vec2[i]<-pnorm(tobs[i]+z)
}
res<-list(p.value1=vec1,puissance =vec2,quant1=q,quant2=z,ts=tobs)
res
}
Application
f3(tab6,cible6,0.05)
f3(tab7,cible7,0.05)
f3(tab4,cible4,0.05)
f3(tab3,cible3,0.05)
f3(tab5,cible5,0.05)
f3(tab8,cible8,0.05)
f3(tab2,cible2,0.05)
Calcul de l’intervalle de confiance suivant la loi
f4=function(data.frame,alpha) {vec=c();vec1=c();vec2=c()
n=nrow(data.frame)
q=qt(1-alpha/2,n-1);z=qnorm(1-alpha/2)
for(i in 1:ncol(data.frame))
{
vec[i]<-shapiro.test(data.frame[,i])[[2]]
if(vec[i]>=0.05)
vec1[i]<-mean(data.frame[,i])-(q*sd(data.frame[,i]))/sqrt(n-1)
vec2[i]<-mean(data.frame[,i])+(q*sd(data.frame[,i]))/sqrt(n-1)
if (vec[i]<0.05)
vec1[i]<-mean(data.frame[,i])-(z*sd(data.frame[,i]))/sqrt(n-1)
vec2[i]<-mean(data.frame[,i])+(z*sd(data.frame[,i]))/sqrt(n-1)
}
res<-list(inf=vec1,sup=vec2)
res
}
Application
f4(tab2,alpha=0.05) f4(tab3,0.05) f4(tab4,0.05) f4(tab5,0.05)
f4(tab6,0.05) f4(tab7,0.05) f4(tab8,0.05)
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Calcul des probabilités
Test bilatéral sur une moyenne à par rapport à un intervalle
donné
f5=function(data.frame,inf,sup,alpha) {
vec1=c();vec2=c();tobs1=c();tobs2=c()
n=nrow(data.frame)
q=qt(alpha/2,n-1);z=qnorm(alpha/2)
for(i in 1:ncol(data.frame))
{
tobs1[i]<-sqrt(n-1)*(mean(data.frame[,i])-inf[i])/sd(data.frame[,i])
tobs2[i]<-sqrt(n-1)*(mean(data.frame[,i])-sup[i])/sd(data.frame[,i])
vec1[i]<-shapiro.test(data.frame[,i])[[2]]
if(vec1[i]>=0.05)
vec2[i]<-1+pt(-tobs1[i]+q,n-1)-pt(-tobs2[i]-q,n-1)
if(vec1[i]<0.05)
vec2[i]<-1+pnorm(-tobs1[i]+z)-pnorm(-tobs2[i]-z)
}
res<-list(p.value1=vec1,quant1=q,quant2=z,puissance =vec2,ts1=tobs1,ts2=tobs2)
res
}
bière Castel
inf6=c(11.60,80.00,7.00,4.0,0,5.8,0,0,20.00,0)
sup6=c(12,84.00,9.00,4.40,1.50,6.20,0.60,0.12,24.00,0.40)
f5(tab6,inf6,sup6,0.05)
bière Mutzig
tab7.1= tab7[,-2] inf7=c(12.00,8.00,4.00,0,5.10,0,0,21.00,0)
sup7=c(12.40,10.00,4.40,1.50,5.50,0.80,0.10,25.00,0.40)
f5(tab7.1,inf7,sup7,0.05)
bière Amstel
tab4.1= tab4[,-2] inf4=c(11.00,8.00,4.25,0,5.00,0,0,19.00,0)
sup4=c(11.40,10.00,4.55,1.50,5.60,0.80,0.10,23.00,0.4)
f5(tab4.1,inf4,sup4,0.05)
bière Export
inf3=c(11.80,78.00,7.00,4,0,5.20,0,0,20.00,0)
sup3=c(12.20,82.00,9.00,4.30,1.50,5.70,0.60,0.12,24.00,0.40)
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Calcul des probabilités
f5(tab3,inf3,sup3,0.05)
bière Tuborg
inf2=c(11.9,5.50,4.10,0,4.90,0,0,21.00,0)
sup2=c(12.50,8.50,4.50,1.50,5.50,0.70,0.12,25.00,0.40)
f5(tab2,inf2,sup2,0.05)
bière Beaufort
inf5=c(10.8,77.0,5.00,4.0,0,5.20,0,0,17.00,0)
sup5=c(11.20,81.0,7.00,4.30,1.50,5.70,0.60,0.12,21.00,0.40)
f5(tab5,inf5,sup5,0.05)
bière Beaufort Light
inf8=c(9.50,75.60,5.00,4.20,0,5.40,0,0,16.00,0)
sup8=c(9.90,76.00,7.00,4.40,1.50,5.70,0.60,0.12,20.00,0.40)
f5(tab8,inf8,sup8,0.05)
Calcul des probabilités
g=function(data.frame,vec1,vec2) {s<-c() for(i in
1:ncol(data.frame)) {
s[i]<-ecdf(data.frame[,i])(vec2[i])-ecdf(data.frame[,i])(vec1[i])
} res=list(proba=s) res }
bière Castel
g(tab6,inf6,sup6)
bière Mutzig
tab7.1= tab7[,-2] g(tab7.1,inf7,sup7)
bière Amstel
tab4.1= tab4[,-2] g(tab4.1,inf4,sup4)
bière Export
g(tab3,inf3,sup3)
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Calcul des probabilités
58
bière Tuborg
g(tab2,inf2,sup2) plot(ecdf(tab6[,1])
Mémoire de Master de Statistique Appliquée.
Promotion 3
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Bibliographie
[1] Gérald Baillargeon. Introduction aux méthodes statistiques en contrôle de qualité : :
les éditions SMG, 1980.
[2] Jean-Marie Dufour. Logique et tests d’hypothèses : réflexions sur les problèmes mal
Posés.
[3] Guillaume Dulieu et Cédric Rogeaux. Utilisation des cartes de contrôle qualité en
laboratoire.
c 1996.
[4] D. Mouhiroud. Introduction aux statistiques - [5] Eugène NDONG NGUEMA. Statistique Mathématique : cours de Master 2 de
Statistique Appliquée. ENSP de Yaoundé I, 2007.
[6] Bernard. Ycart. Estimations paramétriques et Tests Statistiques : Cahiers de Mathématique Appliquées.
[7] Bernard. Ycart. Statistiques descriptives : Cahiers de Mathématique Appliquées.
Mémoire de Master de Statistique Appliquée.
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Table des matières
Dédicaces
i
Remerciements
ii
Table des figures
iii
Liste des tableaux
iv
Abréviations
v
Avant-propos
vi
Résumé
vii
Abstract
ix
Introduction
1
Résumé exécutif
4
I METHODES DE CONTRÔLE DE QUALITE DANS LES
LABORATOIRES.
6
1 Présentation générale de la S.A.B.C
7
2 Carte de contrôle de qualité et Indice de capabilité d’un
2.1 Carte de contrôle de qualité . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Eléments de la Carte de contrôle . . . . . . . . . .
2.1.2 Interprétation de la carte de contrôle . . . . . . . .
2.2 Indice de capabilité d’un processus . . . . . . . . . . . . .
Mémoire de Master de Statistique Appliquée.
Promotion 3
processus
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
11
11
12
12
13
c
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2006-2007
i
TABLE DES MATIÈRES
II
RESOLUTION DU PROBLEME.
3 Présentation des données et étude descriptive des
3.1 Présentation des données. . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Etude descriptive des variables. . . . . . . . . . . .
3.2.1 Evolution journalière des variables . . . . .
3.2.2 Histogrammes des variables. . . . . . . . . .
3.2.3 Détection des valeurs aberrantes. . . . . . .
15
variables.
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4 Construction des tests d’hypothèses
4.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Echantillon quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Echantillon Gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Généralités sur les tests d’hypothèses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Test bilatéral sur une moyenne par rapport à une valeur de référence .
4.3.1 Cas d’un échantillon Gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Cas d’un échantillon de loi quelconque . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Test unilatéral à droite sur une moyenne par rapport à une valeur de
référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Cas d’un échantillon gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Cas d’un échantillon quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Test bilatéral sur une moyenne par rapport à un intervalle de référence
4.5.1 Cas d’un échantillon gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Cas d’un échantillon quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
16
17
17
20
23
26
26
26
27
28
29
29
31
31
31
32
33
33
34
5 Applications et résultats des tests
35
5.1 Résultats des tests bilatéraux et unilatéraux par rapport à une valeur
de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Quelques évolutions de la puissance pour différentes valeurs de la moyenne
dans le cas bilatéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3 Test bilatéral par rapport à un intervalle de référence. . . . . . . . . . . 41
6 Calcul des probabilités
6.1 Quelques définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Résultats et interprétations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
47
47
Conclusion
49
Annexes : Programmes R utilisés
51
Bibliographie
59
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2006-2007
Table des figures
1.1
Organigramme du service du personnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1
Exemples de cartes de contrôle.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
Répartition des bières dans la base de données initiale.
5.1
Courbes de la fonction puissance des variables EP, AA, COL, PH pour un test
. . . . . . .
Evolution journalière de l’EP pour les bières Castel et Mutzig. . . . .
Evolution journalière de l’AA pour les bières Castel et Mutzig. . . . .
Evolution journalière de la COL pour les bières Castel et Mutzig. . .
Evolution journalière des GE pour les bières Castel et Mutzig. . . . .
Evolution journalière du BO2 pour les bières Castel et Mutzig. . . . .
Histogramme du pH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Histogramme du CO2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Histogramme de B20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Histogramme du VDK. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Histogramme de l’UA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Diagramme en boîte de l’EP et de l’AA pour les bières Castel et Mutzig. .
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Diagramme en boîte de la COL et de du pH pour les bières Castel et Mutzig. .
Diagramme en boîte de la GE et du CO2 pour les bières Castel et Mutzig. . .
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Diagramme en boîte de la B20 et de du VDK pour les bières Castel et Mutzig. .
Diagramme en boîte de l’UA et du BO2 pour les bières Castel et Mutzig. . . . .
bilatéral de seuil 5% .
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Mémoire de Master de Statistique Appliquée.
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18
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19
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25
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c
DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP
2006-2007
Liste des tableaux
1
2
Normes des bières. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intervalles de confiance des variables par bière. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
5
1.1
Répartition du capital social de la S.A.B.C à travers ses différents actionnaires. . .
7
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
Récapitulatif des tests par rapport à une valeur de référence sur la Castel. . . . . .
36
37
37
38
38
39
39
42
43
43
44
44
45
Récapitulatif des tests par rapport à une valeur de référence sur la Mutzig. . . . .
Récapitulatif des tests par rapport à une valeur de référence sur l’Amstel. . . . . .
Récapitulatif des tests par rapport à une valeur de référence sur l’Export. . . . . .
Récapitulatif des tests par rapport à une valeur de référence sur la Tuborg. . . . .
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Récapitulatif des tests par rapport à une valeur de référence sur la Beaufort Light. .
Récapitulatif des tests par rapport à un intervalle de référence sur la Castel. . . . .
Récapitulatif des tests par rapport à un intervalle de référence sur la Mutzig. . . .
Récapitulatif des tests par rapport à un intervalle de référence sur l’Amstel. . . . .
Récapitulatif des tests par rapport à un intervalle de référence sur la bière Export. .
Récapitulatif des tests par rapport à une valeur de référence sur la Beaufort.
Récapitulatif des tests par rapport à un intervalle de référence sur la bière Tuborg.
Récapitulatif des tests par rapport à un intervalle de référence sur la bière Beaufort.
Récapitulatif des tests par rapport à un intervalle de référence sur la bière Beaufort
Light. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.15 Intervalles de confiance des variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
46
6.1
48
Probabilités des variables.
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Mémoire de Master de Statistique Appliquée.
Promotion 3
c
DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP
2006-2007