Djoumeni
Transcription
Djoumeni
MISE EN PLACE D’UN SYSTEME DE QUALITE DANS LES LABORATOIRES DES BRASSERIES DU CAMEROUN. Par : DJOUMENI ELISE DESIREE Maître ès Sciences Dirigé par : Dr. Eugène-Patrice NDONG NGUEMA Chargé de Cours à l’ENSP de Yaoundé Sous la supervision du : Pr. Henri GWET Chef de Département de Mathématiques et Sciences Physiques à l’ENSP de Yaoundé. Octobre 2007 Dédicaces Je dédie ce mémoire A A A A mon père, Takedo Henock, ma mère, Nando, mon frère, Yepgwa Appolinaire, Toute ma famille. Trouvez en ce modeste travail le symbole d’un effort qui veut satisfaire vos espoirs. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Remerciements Au moment où nous achevons ce travail, il serait très ingrat de ne pas signifier notre reconnaissance envers certaines personnes qui nous ont été d’une grande importance dans sa réalisation. X Qu’une reconnaissance première soit accordée à DIEU tout puissant qui m’a permis d’arriver à bout de ce travail. X Nous tenons ensuite à remercier le Pr Henri Gwèt pour la supervision de ce travail. X A tout le personnel de la S.A.B.C, en particulier à Madame Tchatchuing Marguerite et M Zo’obo Jean-Pierre pour leur soutien et leur bonne volonté. X Nous sommes entièrement reconnaissants à l’endroit des enseignants du MASTER dont les enseignements ont été enrichissants pour notre formation. Sans être exhaustif, ni exclusif, nous sommes redevables envers les personnes suivantes : ♦ Pr. Jean CHRISTOPHE THALABARD, ♦ Pr. Elisabeth GASSIAT, ♦ Dr. Eugène NDONG NGUEMA pour son entière disponibilité, ♦ Dr. Michel NDOUMBE NKENG. X Ce travail tout fait aujourd’hui a drainé la force pécuniaire de plus d’une personne. Nous pensons à : ♦ M. Djomouo Serge, ♦ M. Yepgwa Appolinaire, ♦ Mme Semeni Emilie, ♦ M. et Mme Tankeu, ♦ Mlle Djampa Viviane. Qu’ils trouvent en ce travail leur générosité sans cesse grandissante à mon égard. X Que le temps accordé par l’étudiante Djancho Irène Prudence dans la relecture de ce travail ne passe pas inaperçu. Je ne saurais oublier de remercier tous mes camarades Modzans pour le climat qui a régné dans le travail d’équipe. X Enfin, que tous ceux qui de près ou de loin ont apporté leur contribution à ma formation trouvent ici l’expression de ma profonde gratitude. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Table des figures Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Liste des tableaux Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Abréviations S.A.B.C : Société Anonyme des Brasseries du Cameroun. Blt : Bilatéral. Ult : Unilatéral. i.i.d : indépendant et identiquement distribué. ISO : International Organization for Standardization. LSL : Lower Specification limit. USL : Upper Specification Limit. B-inf : Borne Inférieure. B-sup : Borne Supérieure. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Avant-propos L’Ecole Nationale Supérieure Polytechnique, dans le souci d’une plus grande professionnalisation des étudiants et concomitamment de palier l’inadéquation formationemploi, a accepté d’accueillir en son sein le Master de Statistique, formation professionnalisante et d’initiation à la recherche bénéficiant de la collaboration et du soutien des Universités : Paris Orsay, Paris-Dauphine, Paris 5, Versailles, Institut National Polytechnique-HB (Côte d’Ivoire), INSERM (France). Ouverte au sein du Département de Mathématiques et de Sciences Physiques, elle est dédiée aux étudiants titulaires d’au moins une maîtrise en Mathématiques, toutes options confondues. Elle vise à donner à ceux-ci une armada d’outils statistiques imbibée d’initiation aux logiciels scientifiques en général, et statistiques en particulier. Elle vise également à donner un sens professionnel aux théories mathématiques dont disposent ces derniers. L’objectif général de cette formation est de donner aux étudiants, cadres supérieurs d’entreprises et d’administrations, et tout utilisateur de la statistique, une formation de haut niveau très concrète, classique quant aux techniques mathématiques utilisées, aussi moderne que possible quant à l’informatique et aux logiciels spécialisés utilisés. Ce Master apporte aux étudiants ayant les acquis fondamentaux en Mathématiques et en Statistiques, une formation professionnelle complémentaire dans le domaine du traitement de l’information et de son exploitation. Ainsi pour atteindre son apothéose (formation emploi), ses étudiants sont appelés à effectuer des stages d’imprégnation en entreprise d’une durée de trois à quatre mois. C’est dans cette perspective que s’inscrit mon stage à la S.A.B.C, où j’ai effectué mon stage dans de conditions pénibles. A l’issue de ce stage, nous présentons notre mémoire, résultat d’un travail de recherche effectué sous la supervision du Dr Eugène NDONG NGUEMA, sur le thème : «MISE EN PLACE D’UN SYSTEME DE QUALITE DANS LES LABORATOIRES DES BRASSERIES DU CAMEROUN.» Une telle étude s’avère nécessaire pour le laboratoire afin de revoir sa performance et surtout d’assurer la satisfaction des clients. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Résumé L’amélioration de la qualité est un souci permanent dans les industries de nos jours, ceci pour se réaffirmer vis-à-vis de la concurrence sans cesse croissante. En effet, dans les industries agroalimentaires, c’est l’un des défis majeurs du service de laboratoire et de contrôle de qualité. De nos jours, pour atteindre cet objectif, des normes de référence ont été fixées. Cette étude a été menée à la S.A.B.C qui est spécialisée dans la production et la vente des boissons hygiéniques, et qui est animée également par cette volonté de satisfaire sa clientèle. Elle traite à juste titre de la mise en place d’un système de qualité dans les laboratoires de la S.A.B.C. Les données proviennent des analyses physicochimiques sur 7 types de bières et ces différentes bières pour certains paramètres se sont plus ou moins écartées de la valeur de référence tout en restant dans l’intervalle de référence. Ce mémoire s’articule autour de trois principaux axes : le premier fait état des méthodes de contrôle de qualité dans les laboratoires ; le second axe, quant à lui, identifie les variables qui s’écartent de trop de la valeur de référence. Celles-ci ont été identifiées à l’aide des tests statistiques. Le troisième axe propose des variables qu’il faudrait contrôler davantage pour améliorer la qualité de chaque type de bière. Nous avons vu, par exemple, que c’était le cas pour les variables pH, Col, AA, UA, BO2 et EP. Mots-Clés – La bière est une boisson alcoolique obtenue par la fermentation de l’orge germée et aromatisée de houblon. – La qualité peut se définir comme "l’ensemble des caractéristiques d’une entité qui lui confèrent l’aptitude à satisfaire des besoins exprimés ou implicites". – Une norme industrielle est un référentiel publié par un organisme de normalisation comme par exemple ISO. C’est un référentiel incontestable commun proposant des solutions techniques et commerciales. – Un test statistique est utilisé comme une règle de décision entre deux hypoMémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 viii thèses. – Une analyse physico-chimique est une analyse, permettant de déterminer les caractéristiques de la bière. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Abstract Quality improvement is a permanent preoccupation in industrial companies nowadays ; this is due to the competition which is growing everyday. In fact, it is a major target in agro alimentary industries which is ensured by the Laboratory and the Quality Control Service. Research study has been carried in S.A.B.C, an agro alimentary industry specialised in the manufacturing and commercialization of hygienic beverage. S.A.B.C is committed to satisfying the customer needs and for that, it has implemented a quality system in its lab. The data used are obtained from 7 types of beers. Some analysed physicochemical parameters in the different beer deviated more or less from the known reference values, while remaining within the reference intervals. This study is built on three principal axes : the first is about quality control techniques in laboratories ; the second is about identifying variables which deviate from the known reference value. This identification was done using statistical analysis. The third axis proposes variables that should be controlled to ameliorate the quality of each beer type. Some of the variables that could be further controlled are pH, Col, AA, UA, BO2 and EP. Keys words – The beer is an alcoholic drink obtained by the fermentation of the barley germinated and flavored by hop. – The quality can be define as " all the characteristics of an entity which confer him the capacity to satisfy expressed or implicit needs ". – An industrial standard is a reference frame published by an organization of standardization such as for example ISO. It is a common undeniable reference frame proposing technical and commercial solutions. – A statistical test is used as a rule of decision between two hypotheses. – A physico-chemical analysis is an analysis allowing to determine the characteristics of the beer. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Introduction Le principal souci des entreprises commerciales est l’augmentation croissante et permanente de leur chiffre d’affaire. Pour ce qui est des entreprises exerçant dans le secteur agro-alimentaire, cette augmentation se fait d’abord à travers la qualité des produits qui, est le résultat des travaux effectués en laboratoire, ensuite par le contrôle de toute la chaîne de production. La principale raison qui régit ces deux facteurs est le fait que les entreprises évoluent dans une situation de concurrence. En effet, garantir la qualité des produits est essentiel dans l’agroalimentaire. Cela permet d’obtenir une certification, qui constituera un label pour l’entreprise et un argument commercial vis-à-vis de la distribution. Conscient donc de sa position de leader dans le secteur agroalimentaire au Cameroun, la S.A.B.C entend offrir à sa clientèle les produits avec le « risque zéro » et ceci en améliorant la qualité au fil du temps. Dès lors, elle doit prendre des dispositions pour atteindre cet objectif tout en réalisant le maximum de profit. C’est la raison pour laquelle il est nécessaire pour le service de laboratoire et contrôle qualité de faire des anticipations sur la qualité et, surtout, de s’entourer d’un véritable outil devant lui permettre de mieux apprécier le risque avant toute consommation. C’est dans cette optique que s’inscrit le thème soumis à notre réflexion «MISE EN PLACE D’UN SYSTEME DE QUALITE DANS LES LABORATOIRES DES BRASSERIES DU CAMEROUN», étude que nous avons menée à la Société Anonyme de Brasseries du Cameroun (S.A.B.C) à Douala Koumassi, Direction des usines. L’insécurité agro-alimentaire a amené certains organismes à fixer certaines normes comme référence pour palier cela. Dans l’industrie agroalimentaire, la certification des produits passe nécessairement par la qualité de ces derniers. Dans les laboratoires de la S.A.B.C, les analyses permettant de déterminer les composantes de la bière sont effectuées et la qualité chimique pour chaque bière est jugée suivant les critères du tableau 1. Les valeurs en rouge représentent les valeurs cibles ; à gauche et à droite de ces valeurs respectivement les valeurs inférieures et les valeurs supérieures admises. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 2 CRITERE EP AA COL PH GE CO2 B20 VDK UA BO2 BEAUFORT 10.8 11.2 11.0 77.0 81.0 79.0 5.00 7.00 6.00 4.00 4.30 4.15 1.5 5.20 5.70 5.45 0.60 0.12 17.0 21.0 19.0 0.40 CRITERE EP 22.0 9.00 4.30 1.5 5.70 0.60 0.12 24.0 5.80 20.0 6.00 22.0 0.40 84.0 9.00 8.00 4.40 4.00 1.5 6.20 0.60 0.12 24.0 5.10 21.0 83.9 83.9 PH 4.25 5.00 19.0 4.40 5.30 21.0 10.0 8.00 4.55 4.25 1.5 5.60 0.60 0.10 23.0 5.00 19.0 0.40 9.00 4.40 5.30 21.0 10.0 8.00 4.55 4.25 1.5 5.60 0.60 0.10 23.0 0.40 5.00 19.0 9.00 4.40 5.30 21.0 9.00 4.20 5.30 23.0 10.0 4.40 1.5 5.50 0.60 0.10 25.0 0.40 0.40 83.9 9.00 12.4 85.2 BFTLIGHT 11.0 11.4 11.20 8.00 BO2 20.0 5.45 82.0 12.0 MUTZIG 12.0 12.2 TURBORG 11.0 11.4 11.20 COL B20 VDK UA 5.20 12.2 CASTEL 11.6 11.8 80.0 82.0 7.00 8.00 4.0 4.20 AMSTEL 11.0 11.4 11.20 AA GE CO2 EXPORT 11.8 12.0 78.0 80.0 7.00 8.00 4.00 4.15 10.0 4.55 1.5 5.60 0.60 0.10 23.0 0.40 Tab. 1 – Normes des bières. EP : extrait primitif représente le taux de sucre de départ ; AA : atténuation apparente, taux de dégradation du sucre de départ et du sucre d’arrivée ; COL : couleur, pourcentage de coloration ; PH : potentiel d’hydrogène, degré d’acidité ou basicité ; GE : gaz étrangers, autres gaz différents du gaz carbonique ; CO2 : gaz carbonique ; Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 3 B20 : brillance 20, clarté de la bière ; VDK : dicétones vécicoles, changement du goût ; UA : amertume ; BO2 : bilan d’oxygène. Du tableau 1, nous pouvons faire les remarques suivantes : – il y a certains critères, qui doivent être dans un intervalle bien précis pour satisfaire la norme. Ceci concerne les critères EP, COL, CO2, UA, PH pour toutes les bières et le critère AA pour les bières Beaufort, Export, Castel, Beaufort light ; – d’autres critères, par contre, sont satisfaisants lorsqu’ils sont inférieurs à une valeur de référence, c’est le cas des critères GE, VDK, B20, BO2. – enfin, pour les bières Mutzig, Tuborg et Amstel, le critère AA doit être égal à une valeur de référence pour qu’il soit jugé satisfaisant. L’objectif dans notre travail étant donc la mise en œuvre d’un outil de contrôle de qualité, nous nous sommes donnés comme feuille de route : √ La première partie est consacrée à la présentation générale de la S.A.B.C et fait un condensé des différentes méthodes de contrôle de qualité. Elle est constituée de deux chapitres : – le premier chapitre fait une présentation générale de la S.A.B.C ; – le deuxième chapitre fait un condensé des différentes méthodes de contrôle de qualité, notamment les cartes de contrôle et l’indice de capabilité. √ La deuxième partie, quant à elle, est consacrée à la résolution du problème posé. Elle est constituée de quatre chapitres : – le premier chapitre présente les données et fait une étude descriptive sur les variables, – le deuxième chapitre est consacré à la construction des tests d’hypothèses, – le troisième chapitre à l’application des tests sur nos variables pour discerner les variables qui s’écartent de la valeur de référence tout en restant dans l’intervalle de référence, – le quatrième chapitre sera consacré à la détermination des probabilités d’appartenance de ces variables dans leur intervalle de référence. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Résumé exécutif Problème La qualité de la production est un souci permanent des Brasseries du Cameroun. La S.A.B.C est en partenariat avec la société Heineken et ce partenaire a mis en place un certain nombre de critères de convergence technique en matière de contrôle de qualité. Par le passé, le contrôle se limitait à utiliser les bonnes pratiques en matière de production, estimer le pourcentage atteint par le laboratoire par rapport à la norme de référence etc. Il s’avère que cela n’est pas suffisant et qu’il faut chercher à mettre en place un véritable système qualité labo suivant le référent Heineken et compatible avec ISO. Données Les données sont journalières et issues des analyses physico-chimiques, résultats des mois de décembre, mai, juin et juillet 2007 sur 7 types de bières. Une analyse physico-chimique est une analyse permettant de déterminer certaines caractéristiques de la bière. Chaque type de bière comporte 10 composantes analysées. Méthodologie Pour venir à bout de cette problématique, nous avons fait usage des tests d’hypothèses. Nous avons déterminé les intervalles de confiance pour chaque variable et relativement à chaque bière. Résultats Après avoir appliqué les tests d’hypothèses sur les différentes variables, nous avons noté que les variables pH, Col, AA, UA, BO2 et EP devraient être davantage contrôlées pour qu’elles se rapprochent de leur valeur de référence. Ainsi, la qualité de l’ensemble des bières pourrait être plus satisfaisante. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 5 B-inf et B-sup désignent respectivement les bornes inférieures et supérieures des intervalles de confiance à 95% du tableau 2 que nous proposons, afin de contrôler au mieux les variables. variables EP AA COL pH GE CO2 B20 VDK UA BO2 EXPORT CASTEL MUTZIG AMSTEL TURBORG B-inf B-sup B-inf B-sup B-inf B-sup B-inf B-sup B-inf B-sup 11.9 12 11.7 11.8 12.1 12.2 11.1 11.2 12.1 12.2 79.9 81 81.6 82.4 81.7 82.5 81.8 82.8 8.08 8.39 7.99 8.15 9.24 9.68 9.13 9.46 8.11 8.53 4.08 4.17 4.09 4.14 4.10 4.16 4.16 4.25 4.35 4.43 ∞ 1.30 ∞ 1.43 ∞ 1.30 ∞ 1.59 ∞ 1.37 5.43 5.55 5.96 6.02 5.40 5.52 5.23 5.36 5.44 5.55 ∞ 0.64 ∞ 0.59 ∞ 0.43 ∞ 0.42 ∞ 0.66 ∞ 0.09 ∞ 0.09 ∞ 0.10 ∞ 0.09 ∞ 0.09 21.5 22.4 21.6 21.9 23.1 23.6 21.2 21.8 22.3 23.0 ∞ 0.37 ∞ 0.36 ∞ 0.39 ∞ 0.45 ∞ 0.41 Tab. 2 – Intervalles de confiance des variables par bière. Conclusion et recommandations Le problème soulevé au départ reposait sur la mise en place d’un système de qualité dans les laboratoires de la S.A.B.C. A cet effet, nous avons faire recours aux tests d’hypothèses. Nous nous sommes orientés sur les tests basés sur la moyenne par rapport à une valeur de référence et par rapport à un intervalle de référence. Nous avons proposé les variables qui devraient être contrôlées davantage pour que la qualité chimique des bières dans les laboratoires de la S.A.B.C s’améliore davantage. Il aurait été, cependant souhaitable, de disposer d’une base de données suffisamment grande pour chaque type de bière (au moins 2 ans), question de soutenir les résultats des tests et de proposer des intervalles de confiance à 95% pour les bières Beaufort et Beaufort Light. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Première partie METHODES DE CONTRÔLE DE QUALITE DANS LES LABORATOIRES. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Chapitre 1 Présentation générale de la S.A.B.C La Société Anonyme des Brasseries du Cameroun (S.A.B.C en abrégé), société agro alimentaire spécialisée dans la fabrication et la distribution des boissons hygiéniques, est le leader du secteur industriel au Cameroun. Créée à Douala, le 03 février 1948, elle devient filiale du groupe Castel en 1990. Spécialisée au départ dans la production et la commercialisation des bières et boissons gazeuses, la société s’est diversifiée par la suite dans la production des emballages en verre creux, à travers sa filiale SOCAVER (Société Camerounaise de Verrerie), de l’eau minérale naturelle, à travers la SEMC (Société des Eaux Minérales du Cameroun). Les Brasseries du Cameroun produisent et commercialisent également des boissons alcoolisées à base de spiritueux avec CAVINEX, et sont présentes dans le secteur des vins grâce à sa filiale Canada Dry Cameroun (CDC) qui distribue sous l’enseigne « La Clé des Châteaux » une large gamme de produits de qualité allant des vins de table aux grands crus. Disposant d’un capital social de 11.083.630.000 FCFA, son siège social se trouve à Douala Koumassi. Ce capital social se dispense à travers ses différents actionnaires comme le montre le tableau 1.1. Actionnaires cotation en FCFA Pourcentage CASTEL et FRERES 5.496.263.754 49,58 ETRANGERS 2.153.549.309 19 ,43 SNI 1.753.340.266 15,82 HEINEKEN 97.234.351 08,77 NATIONAUX 709.352.320 06,40 TOTAL 11.083.630.000 100 Tab. 1.1 – Répartition du capital social de la S.A.B.C à travers ses différents actionnaires. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Présentation générale de la S.A.B.C 8 Afin de garantir une présence optimale de leurs produits sur tout le territoire camerounais, les Brasseries du Cameroun sont présentes dans les dix provinces du pays, grâce à cinq agences et 28 centres de distribution. 2 La direction de l’agence de l’Ouest est à Bafoussam. Créée en 1967, elle couvre les deux provinces de l’Ouest et du Nord-Ouest. Elle compte six centres de distribution. 2 Créée en 1948, l’agence du Littoral, dont la direction est basée à Douala, est la doyenne des cinq agences. Elle dispose de deux usines de production de bières et boissons gazeuses installées sur deux sites, Ndokoti et Koumassi, et de sept centres de distribution. 2 Créée en 1955, la direction de l’agence du Centre est basée à Yaoundé. Elle couvre trois provinces : le Centre, le Sud et l’Est. L’agence compte neuf centres de distribution. 2 Créée en 1966, la direction de l’agence du Nord est basée à Garoua. Elle couvre les trois provinces de l’Adamaoua, du Nord et de l’Extrême-Nord. L’agence contrôle six centres de distribution, dont trois concédés à des tiers. 2 A sa création en 1967, l’agence du Sud-Ouest disposait d’une usine de production de boissons gazeuses. Les conséquences de la crise économique des années 90 ont conduit l’entreprise à restreindre progressivement son activité uniquement à la distribution. La direction régionale des ventes est basée à Ombé. Elle couvre l’ensemble de la province du Sud-Ouest à travers 5 centres de distribution dont 2 concédés à des tiers. Tout en poursuivant leur vocation de producteur et de distributeur de boissons, Les Brasseries du Cameroun développe une stratégie de diversification verticale et horizontale. C’est ainsi que la Société Camerounaise de Verrerie (SOCAVER), la Société des Eaux Minérales du Cameroun (SEMC), Canada Dry Cameroon (CDC) et CAVINEX, filiales des Brasseries du Cameroun ont été créées. Responsabilité de la S.A.B.C Les Brasseries du Cameroun, entreprise citoyenne, s’inscrivent dans une démarche de responsabilité sociale permanente, avec un soutien appuyé aux programmes d’enseignement, de lutte contre le VIH-SIDA, de protection de l’environnement, de développement culturel et sportif ainsi que de promotion des entreprises locales. Services offerts par la S.A.B.C Pour vous accompagner dans l’organisation de vos manifestations, les Brasseries du Cameroun mettent à votre disposition un ensemble de services comprenant : Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 9 Présentation générale de la S.A.B.C – Bâches et chaises, – Bière à pression, – Salle de fête. Son organigramme fourni par le service du personnel se présente comme suit : Fig. 1.1 – Organigramme du service du personnel. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Présentation générale de la S.A.B.C 10 Fiche d’identification de la S.A.B.C RAISON SOCIALE : Société Anonyme des Brasseries du Cameroun SIGLE : S.A.B.C SIEGE SOCIAL : Douala, Koumassi (32, rue Prince Bell à Bali) CAPITAL : 11 083 630 000 FCFA BOITE POSTALE : 4036 Douala TELEPHONE : (237) 33 42 91 33 FAX : (237) 33 42 79 45 E-MAIL : S.A.B.C.siè[email protected] DATE DE CREATION : Février 1948 N˚ REGISTRE DE COMMERCE : 588 Douala N˚ STATISTIQUE : 0177010 E N˚ CONTRIBUABLE : M 0248 0000 0316 X ACTIVITES PRINCIPALES : Fabrication et la distribution des boissons hygiéniques TYPE : Société industrielle et commerciale PCA : Michel Palu DIRECTEUR GENERAL : André Siaka Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Chapitre 2 Carte de contrôle de qualité et Indice de capabilité d’un processus 2.1 Carte de contrôle de qualité Tout au long de cette étude, on entendra par qualité d’un produit, une certaine variable mesurée sur ce produit dont les valeurs doivent figurer dans une certaine limite pour que le produit soit jugé satisfaisant. En pratique, un produit a plusieurs variables de qualité. Dans un laboratoire, la qualité des résultats analytiques doit être démontrable. Ceci signifie que les résultats sont obtenus par une méthode analytiquement sous contrôle pendant l’analyse. En d’autres termes, des mesures répétées du même échantillon doivent fournir les mêmes caractéristiques statistiques entre autres la moyenne et l’écart-type. Cependant, beaucoup de facteurs peuvent empêcher qu’une méthode analytique soit sous contrôle. Nous pouvons citer : – les réactifs utilisés sont expirés ; – les réactifs mal préparés ou souillés ; – l’instrument mal calibré etc. Une manière efficace de détecter l’apparition d’un tel problème est l’utilisation des cartes de contrôle et l’indice de capabilité : ce sont les outils les plus utilisés pour surveiller la performance des analyses et de l’équipement. La carte de contrôle est l’un des outils de base utilisés pour la maîtrise statistique des procédés. C’est une représentation graphique constituée d’une suite d’images de la production. Elle permet de visualiser la variabilité du procédé en distinguant les causes aléatoires des causes assignables. Une carte de contrôle est un graphique représentant des images successives de la production, prises à une certaine « fréquence de prélèvement », à partir d’échantillons prélevés sur la production. On reporte sur le ou les graphiques de la carte les différents calculs effectués sur les échantillons (moyenne, écart-type, étendue, nombre, pourcentage, ...). Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Carte de contrôle de qualité et Indice de capabilité d’un processus 12 Le principe consiste à analyser un ou plusieurs échantillons en même temps que des échantillons de production. Le résultat analytique des échantillons témoins est reporté sur la carte de contrôle et graphiquement comparé aux limites de contrôle pour évaluer si l’analyse est ou pas sous contrôle. 2.1.1 Eléments de la Carte de contrôle – Le graphique qui est l’évolution suivant le temps d’un paramètre considéré. – Les limites de contrôle inférieur et supérieur résultant d’un calcul effectué à partir des valeurs relevées, ces limites sont calculées à partir de deux paramètres notamment la valeur moyenne m de l’échantillon témoin et de l’écart-type S correspondant. Il y a deux types de limites de contrôle généralement utilisées : les limites d’action et les limites d’alerte. Les seuils d’alerte sont indiqués à +2S et −2S de la moyenne ; les limites d’action sont fixées à +3S et −3S de la moyenne. Sur la base d’une répartition normale, 95,5% des résultats doivent se situer dans la fourchette de +2S et de −2S et 99,7% dans la fourchette de +3S et −3S [1], [3]. C’est le suivi de l’évolution de ces indicateurs qui permet de déterminer le fonctionnement du procédé. 2.1.2 Interprétation de la carte de contrôle Après une mesure de l’échantillon témoin, le résultat est reporté dans la carte et examiné d’après les règles de Shehwart. D’après celles-ci, le processus est hors contrôle si l’une des règles suivantes est violée : – un point est au-delà des limites d’action ; – deux points consécutifs compris du même côté de la moyenne entre la limite d’alerte (> 2S) et la limite d’action (< 3S) ; – une série de onze points du même côté au-dessus ou au-dessous de la moyenne ; – une série ascendante ou descendante de six points successifs. Tant que la valeur ne viole pas l’une de ces règles, la situation est dite « sous contrôle ». Sinon, il est improbable que la distribution des points soit uniquement due au hasard, la situation est dite « hors contrôle » [1]. Exemple 2.1.1. Quelques cartes de contrôle réelles pour la détection des causes spéciales de déréglage obtenues à partir de nos échantillons. Les 2 courbes de gauche de la figure 2.1 n’indiquent aucun signe de mauvais fonctionnement : aucune règle de Shewhart n’a été violée. Par contre, les 2 courbes de droite de la figures 2.1 signalent plusieurs signes de déréglage ; ceci signifie qu’au moins une Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Carte de contrôle de qualité et Indice de capabilité d’un processus 13 Fig. 2.1 – Exemples de cartes de contrôle. des règles n’a pas été respectée, donc le procédé n’est pas « sous contrôle ». Il faut donc arrêter la machine, analyser ce qui s’est passé et éliminer les causes de ce déréglage. 2.2 Indice de capabilité d’un processus Soient LSL et USL («Lower Specification limit» et «Upper Specification Limit»), les bornes de qualité dans lesquelles le produit, pour une variable donnée, doit se trouver pour être satisfaisant. Notons X, la variable de qualité. Elle est aléatoire et va varier d’un produit à l’autre. Soit σ, l’écart-type de X. Pour mesurer la qualité du processus de production par rapport à X, on utilise l’indice de capabilité du processus (process capablement index ) [1], U SL − LSL Cp = . 6σ Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Carte de contrôle de qualité et Indice de capabilité d’un processus 14 Idée derrière la formule : Si l’écart-type de X est σ et sa moyenne est µ, la plupart des valeurs de X seront dans l’intervalle [µ − 3 σ , µ + 3 σ]. Donc la longueur de la plage des valeurs de X est 6 σ. Si µ = U SL + LSL , 2 alors Cp mesure la capabilité du système à produire des valeurs à l’intérieur des Limites de spécification. – On estime qu’une valeur de Cp d’au moins 1 est nécessaire pour juger le processus de production satisfaisant. En effet, [µ − 3 σ , µ + 3 σ] doit être inclus dans [LSL , U SL]. Ce qui implique que 6 σ ≤ U SL − LSL, et donc 1 ≤ Cp . – En pratique, σ n’est pas connu et on l’estime par S en utilisant un échantillon de valeurs de X. ; Cp est alors estimé par : Ĉp = U SL − LSL . 6S En fait, cet indice peut être trompeur car, très souvent, on n’a pas µ= U SL + LSL . 2 Un meilleur estimateur de l’indice de capabilité du processus est donné dans [1] par : min(X − LSL , U SL − X) Cp = , 3S et son interprétation est la même que celle de Cp . Exemple 2.2.1. Les spécifications de la Castel pour la variable EP sont LSL = 11.6 et U SL = 12. Notre échantillon pour la Castel comprend 84 valeurs qui donnent X = 11.779 et S = 0.145. On obtient alors Ĉp = 0.412. Ce qui montre apparemment que le processus est en fait bien moins capable de satisfaire les spécifications. Pour le mettre sous contrôle, il faut le régler. En effet, pour qu’un indice de capabilité de processus soit vraiment informatif, il faut que le processus de production soit dans un état stationnaire. En contrôle de qualité, on dit que le processus est dans un état de contrôle statistique. Lorsque le processus n’est pas stationnaire (existence de tendance, de cycle), on dit que les variations du processus sont assignables. Dans ce cas, l’indice de capabilité du processus peut être trompeur parce que basé sur des données transitoires ou anormales. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Deuxième partie RESOLUTION DU PROBLEME. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Chapitre 3 Présentation des données et étude descriptive des variables. 3.1 Présentation des données. Les données dont nous disposons dans cette étude proviennent des analyses physicochimiques des bières de la S.A.B.C, agence de Douala-Koumassi où nous avions comme population d’étude les différentes bières analysées, pendant la période de Mai 2007 à Juillet 2007. ♦ Les variables représentant le type et la date de la bière sont la qualité : nom de la bière et le soutirage : date de mise en vente. ♦ Les principales variables utilisées pour apprécier la qualité d’une bière sont toutes quantitatives et sont présentées comme suit : EP : extrait primitif représente le taux de sucre de départ ; AA : atténuation apparente, taux de dégradation du sucre de départ et du sucre d’arrivée ; COL : couleur, pourcentage de coloration ; PH : potentiel d’hydrogène, degré d’acidité ou basicité ; GE : gaz étrangers, autres gaz différents du gaz carbonique ; CO2 : gaz carbonique ; B20 : brillance 20, clarté de la bière ; VDK : dicétones vécicoles, changement du goût ; UA : amertume ; BO2 : bilan d’oxygène. Notre base de données initiale des bières comporte 214 observations, reparties comme suit : – la bière Castel présente 84 observations de la base de données initiale, soit 39% ; – la bière Mutzig présente 39 observations de la base de données initiale, soit 18% ; – la bière Amstel présente 27 observations de la base de données initiale, soit 12,6% ; – la bière Export présente 26 observations de la base de données initiale, soit 12,1% ; Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Présentation des données et étude descriptive des variables. 17 – la bière Tuborg présente 25 observations de la base de données initiale, soit 11,6% ; – la bière Beaufort Light présente 9 observations de la base de données initiale, soit 4,2% ; – la bière Beaufort présente 4 observations de la base de données initiale, soit 1,8%. Nous obtenons donc le diagramme en secteurs de la figure 3.1. Fig. 3.1 – Répartition des bières dans la base de données initiale. 3.2 Etude descriptive des variables. Nous allons nous intéresser aux variables de la bière Castel et de la bière Mutzig, car nous avons eu, pour ces bières, des nombres respectifs supérieurs à 30. 3.2.1 Evolution journalière des variables Variable EP A l’exception de quelques variations, la figure 3.2 montre que la variable EP pour la bière Castel évolue de façon stable autour 11,7 et pour la bière Mutzig, elle évolue autour de 12,2. Variable AA De la figure 3.3, nous notons, une tendance ascendante en général, pour la variable AA en ce qui concerne ces deux bières. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Présentation des données et étude descriptive des variables. 18 Fig. 3.2 – Evolution journalière de l’EP pour les bières Castel et Mutzig. Fig. 3.3 – Evolution journalière de l’AA pour les bières Castel et Mutzig. Variable COL Nous remarquons, de temps à autre, sur la figure 3.4, des variations brusques de la variable COL, surtout pour la bière Mutzig. Elle n’évolue pas de manière normale. Variable GE Nous notons, sur la figure 3.5, des variations très brusques pour de la variable GE. Pour la bière Castel, en particulier, on note une opposition entre les premières réalisations (0 à 50) et les dernières réalisations (50 à 84) avec des pics. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Présentation des données et étude descriptive des variables. 19 Fig. 3.4 – Evolution journalière de la COL pour les bières Castel et Mutzig. Fig. 3.5 – Evolution journalière des GE pour les bières Castel et Mutzig. Variable BO2 Pour ce qui est de la variable BO2, la figure 3.6 montre qu’elle évolue de manière constante pour les premières observations. Par la suite, présente des variations avec plusieurs pics. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Présentation des données et étude descriptive des variables. 20 Fig. 3.6 – Evolution journalière du BO2 pour les bières Castel et Mutzig. 3.2.2 Histogrammes des variables. Histogramme de la variable pH On peut constater pour cette variable, une dissymétrie de la distribution des données (figure 3.7). De plus, la présence de 3 pics remarquables est notée, ce qui pourrait penser qu’il ya des valeurs aberrantes. Fig. 3.7 – Histogramme du pH. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Présentation des données et étude descriptive des variables. 21 Histogramme de la variable CO2 De la figure 3.8, on peut constater pour la bière Castel une dissymétrie de la distribution des données, qui décroît sensiblement.La présence de 3 pics est également notée ; on ne peut pas à priori, se prononcer sur sa distribution. Par ailleurs, pour la bière Mutzig, les données semblent symétriques autour de 5,4. Fig. 3.8 – Histogramme du CO2. Histogramme de la variable B20 Fig. 3.9 – Histogramme de B20. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Présentation des données et étude descriptive des variables. 22 De la figure 3.9, on peut constater également pour la bière Castel une dissymétrie de la distribution des données, qui décroît sensiblement. On ne peut pas à priori se prononcer sur sa distribution. Par ailleurs, pour la bière Mutzig, les données semblent symétriques autour de 0.45 et la distribution ressemble à celle d’une loi quasi normale. Histogramme de la variable VDK On peut constater pour cette variable une dissymétrie de la distribution des données (figure 3.10). On ne saurait déterminer la distribution. Fig. 3.10 – Histogramme du VDK. Histogramme de la variable UA Fig. 3.11 – Histogramme de l’UA. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Présentation des données et étude descriptive des variables. 23 Pour cette variable, on note une symétrie autour de 21.8 pour la bière Castel et autour de 23.5, pour la bière Mutzig. De plus les données semblent appartenir à une loi normale (voir figure 3.11). 3.2.3 Détection des valeurs aberrantes. Boîte à moustaches des variables EP et AA La présence des valeurs aberrantes est signalée pour l’EP et l’AA de la Castel et le diagramme en boîte de la figure 3.12 montre que les données de l’AA pour les deux bières sont concentrées vers le bas. Fig. 3.12 – Diagramme en boîte de l’EP et de l’AA pour les bières Castel et Mutzig. Boîte à moustaches des variables COL et pH On note la présence d’une seule valeur aberrante pour ces variables pour la Castel. Le diagramme en boîte de la variable pH pour la Mutzig montre une concentration des données vers le haut (voir figure 3.13). Boîte à moustaches des variables GE et CO2 De la figure 3.14, on note la présence de quelques valeurs aberrantes. La variable GE présente une grande concentration des données vers le haut, surtout pou la bière Mutzig. Ce qui se constatait sur le graphique de son évolution. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Présentation des données et étude descriptive des variables. 24 Fig. 3.13 – Diagramme en boîte de la COL et de du pH pour les bières Castel et Mutzig. Fig. 3.14 – Diagramme en boîte de la GE et du CO2 pour les bières Castel et Mutzig. Boîte à moustaches des variables B20 et VDK En ce qui concerne la variable B20 de la Castel, on note une grande dissymétrie vers le haut et la présence de 5 valeurs aberrantes est notée. De plus, il semble quasi normale pour la Mutzig. Ce qui se dégageait, dans le tracé de l’histogramme. Par contre, la présence d’aucune valeur aberrante n’est notée en ce qui concerne la variable VDK (voir figure 3.15). Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Présentation des données et étude descriptive des variables. 25 Fig. 3.15 – Diagramme en boîte de la B20 et de du VDK pour les bières Castel et Mutzig. Boîte à moustaches des variables UA et BO2 On voit sur la figure 3.16, qu’en ce qui concerne la variable UA, les valeurs sont sensiblement symétriques autour de la médiane, ce qui a été constaté, dans le tracé de l’histogramme. De plus, on ne note aucune valeur aberrante. Par contre, la présence de plusieurs valeurs aberrantes est notée, en ce qui concerne le BO2, ceci se dégageait du tracé de l’évolution en jours de cette variable par les différents pics signalés. Fig. 3.16 – Diagramme en boîte de l’UA et du BO2 pour les bières Castel et Mutzig. Remarque 3.2.1. De l’analyse descriptive sur nos variables, nous avons noté pour certaines variables, des variations brusques et la présence des valeurs aberrantes en général. Dans la suite, nous allons construire des tests d’hypothèses et les appliquer sur nos données pour tirer certaines conclusions d’après cette remarque. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Chapitre 4 Construction des tests d’hypothèses Dans toute la suite, nous allons nous intéresser à la comparaison de la moyenne d’un échantillon par rapport à une valeur de référence donnée et par rapport à un intervalle de référence. 4.1 Quelques rappels En statistique, tout comme en physique et en chimie, donner un résultat sans indication sur sa précision n’a que peu d’intérêt. Plutôt que de donner une estimation ponctuelle, on proposera un intervalle de confiance de manière à contrôler pour un niveau de confiance, les chances que le résultat aurait d’être confirmé si on renouvelait l’expérience. Définition 4.1.1. Soient (X1 , . . . , Xn ), un échantillon, P une loi de probabilité d’un caractère θ dans une population où est issu l’échantillon. On appelle un intervalle de confiance de niveau 1 − α du paramètre θ, un intervalle aléatoire de la forme [T1 , T2 ] où T1 et T2 (T1 ≤ T2 ) sont deux statistiques, fonction de l’échantillon, telle, que [6] Pr (θ ∈ [T1 , T2 ]) = 1 − α. 4.1.1 Echantillon quelconque Soient (X1 , . . . , Xn ), un échantillon d’une loi P de moyenne m et d’écart type σ. On montre dans [5] que, par le théorème central limite, on a pour n grand : √ n X−m σ L / n→∞ N (0, 1) , Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 approximativement. (4.1) c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 27 Construction des tests d’hypothèses Application : Soit Zβ , le β-quantile de la loi N (0, 1). On sait que Pr (N (0, 1) ≤ Zβ ) = β. Soient donc Z α2 et Z1− α2 , respectivement le α2 et le (1 − α2 )-quantiles de la loi N (0, 1). Alors, Pr (Z α2 ≤ N (0, 1) ≤ Z1− α2 ) = 1 − α =⇒ Pr (Z α2 ≤ Doù Pr √ X −m n ≤ Z1− α2 ) ≈ 1 − α. σ σ σ m ∈ X − √ Z1− α2 , X + √ Z1− α2 ≈ 1 − α. n n Si σ n’est pas connu, on l’estime par S et on obtient un intervalle de confiance bilatéral de niveau 1 − α donné par la relation : S S X − √ Z1− α2 ≤ θ ≤ X + √ Z1− α2 . n n (4.2) On montre dans [5] que, pour n grand, la relation suivante est vérifiée : X−√ S S Z1− α2 ≤ θ ≤ X + √ Z1− α2 . n−1 n−1 (4.3) Rappelons que X et S représentant respectivement la moyenne et la variance empirique de l’échantillon définies par : n n 1X X= Xi n i=1 4.1.2 et 2 1X S = Xi − X . n i=1 2 Echantillon Gaussien Soit (X1 , . . . , Xn ), un échantillon d’une loi normale de moyenne m et d’écart-type σ. Alors, √ n − 1 X−m ∼ tn−1 S (4.4) où tn−1 est la loi de Student à n − 1 degrés de liberté [5]. De manière similaire à la sous section 4.1.1, on obtient un intervalle de confiance exact de niveau 1 − α donné par la relation : X−√ S S α α tn−1 (1 − ) ≤ θ ≤ X + √ tn−1 (1 − ) 2 2 n−1 n−1 Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 (4.5) c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 28 Construction des tests d’hypothèses 4.2 Généralités sur les tests d’hypothèses. Un test, qu’il soit statistique ou pas, consiste à vérifier une certaine information hypothétique. Cette information concerne la population à laquelle on s’intéresse. Un test statistique permet d’adopter ou de réfuter une hypothèse, mais jamais de conclure avec certitude. Il existe deux grandes familles de tests : Les tests paramétriques Ce sont des tests qui présupposent que la loi inconnue ou pas appartient à une certaine famille de lois fixées dépendant d’un ou plusieurs paramètres (lois normales, lois exponentielles). Le paramètre en général est noté θ. Les tests non paramétriques Ces tests ne supposent pas que la loi inconnue appartient à une famille paramétrique particulière (test de Kolmogorov-Smirnov, test de Wilcoxon). Nous allons à présent introduire certaines notions importantes dans la construction d’un test d’hypothèses. Hypothèse nulle L’hypothèse selon laquelle on fixe a priori un paramètre d’une population à une valeur particulière porte traditionnellement le nom de l’hypothèse nulle et est notée H0 . C’est celle qu’on privilégie le plus. Hypothèse alternative Toute Hypothèse différente de l’hypothèse nulle s’appelle hypothèse alternative et est notée H1 . C’est celle qui est en compétition avec H0 . On note H0 vs H1 . Seuil de signification du test ou risque de première espèce Avant même de prélever l’échantillon, on doit déterminer la probabilité maximale acceptable de commettre une erreur de type I. Ce niveau de risque, appelé seuil de signification du test, est noté par la lettre α. α = PH0 [rejeter H0 ] Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 29 Construction des tests d’hypothèses Risque de deuxième espèce C’est l’erreur de type II que l’on commet en adoptant H0 alors que H1 est vraie. Elle est notée β et est donnée par : β = PH1 [ne pas rejeter H0 ] . Puissance d’un test 1 − β = π est appelée la puissance du test et est définie par : π = PH1 [rejeter H0 ] . Statistique de test Une statistique de test est une fonction des variables aléatoires représentant l’échantillon dont la valeur numérique obtenue pour l’échantillon considéré permet de distinguer entre H0 vraie et H0 fausse. Elle est choisie de préférence de sorte que sa loi (asymptotique) sous H0 soit connue. On dit qu’elle est une statistique pivotale [2], [5]. 4.3 4.3.1 Test bilatéral sur une moyenne par rapport à une valeur de référence Cas d’un échantillon Gaussien Dans toute la suite, T (X) est une statistique de test, fonction de l’échantillon théorique (X1 , . . . , Xn ) et T (x) est une réalisation de la variable aléatoire T (X) lorsqu’on a observé X = x, où X = (X1 , . . . , Xn ) et x = (x1 , . . . , xn ). Pour un échantillon gaussien, nous avons vu (voir formule 4.4) dans les rappels que T (X) = √ n−1 X −θ ∼ tn−1 , S où θ représente la moyenne de la population, X la valeur estimée de θ, S l’estimation de l’écart-type de notre échantillon, n le nombre d’observations dans notre échantillon et tn−1 est la loi de Student à n − 1 degrés de liberté. Donc, si nous voulons confronter les hypothèses H0 : θ = θ0 contre H1 : θ 6= θ0 , où θ0 est une valeur de référence donnée, il est naturel de baser notre test sur X. Nous avons vu (formule 4.5) dans les rappels qu’un intervalle de confiance pour θ de niveau Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 30 Construction des tests d’hypothèses 95% est donné par : S α S α tn−1 (1 − ) ≤ θ ≤ X + √ tn−1 (1 − ). 2 2 n−1 n−1 Ayant cet intervalle de confiance, si la valeur θ0 se situe dans cet intervalle, alors on accepte l’hypothèse H0 . Dans le cas contraire, on la conteste. Une approche alternative est de procéder comme suit : Supposons que nous voulions confronter ces mêmes hypothèses au niveau α (5%) comme habituellement (Ce test est appelé un test bilatéral car la vraie valeur de θ peut être de chaque côté de θ0 , c’est dire plus grande ou plus petite que θ0 ) [2]. X−√ Pour un seuil α choisi et ayant observé X = x, on cherche Cα tel que – si | T (X) |≤ Cα , alors on adopte H0 ; – si | T (X) |> Cα , on la rejette. Or, α = PH0 [rejeter H0 ] = PH0 [| T (X) |> Cα ] = 1 − PH0 [−Cα ≤ T (X) ≤ Cα ] . D’où Cα = tn−1 (1 − α2 ). On obtient donc la règle de décision suivante : – si | T (x) |≤ tn1 (1 − α2 ), alors on adopte H0 ; – si | T (x) |> tn−1 (1 − α2 ), alors on la rejette. Remarque 4.3.1. Dans cette règle de décision, θ a pris la valeur de θ0 dans la règle de définition de T (X) Calcul de la puissance π = = = = = α i PH1 [rejeter H0 ] = PH1 | T (X) |> tn−1 (1 − ) 2 √ α α X − θ0 1 − PH1 −tn−1 (1 − ) ≤ n − 1 ≤ tn−1 (1 − ) 2 S 2 √ √ α X −θ θ0 − θ 1 − Pr − tn−1 (1 − ) ≤ n − 1 ≤ n−1 S 2 S √ θ0 − θ α n−1 + tn−1 (1 − )/θ 6= θ0 S 2 √ √ θ0 − θ α θ0 − θ α n−1 − tn−1 (1 − ) ≤ tn−1 ≤ n − 1 + tn−1 (1 − )/θ 6= θ0 1 − Pr S 2 S 2 √ √ θ0 − θ α θ0 − θ α 1 + Ftn−1 n−1 − tn−1 (1 − ) − Ftn−1 n−1 + tn−1 (1 − ) . S 2 S 2 h Un estimateur de π est donné par √ √ θ0 − X α θ0 − X α π̂ = 1+Ftn−1 n−1 − tn−1 (1 − ) −Ftn−1 n−1 + tn−1 (1 − ) , S 2 S 2 où Ftn−1 est la fonction de répartition de tn−1 . Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 31 Construction des tests d’hypothèses 4.3.2 Cas d’un échantillon de loi quelconque Nous avons vu (formule 4.1) dans les rappels que, pour un échantillon non gaussien, on a : √ X −θ T (X) = n − 1 ∼ N (0, 1), approximativement. S où θ représente la moyenne de la population, X la moyenne de l’échantillon, S l’écart type de notre échantillon et n le nombre d’observations dans notre échantillon. Donc, si nous voulons confronter les hypothèses H0 : θ = θ0 H1 : θ 6= θ0 , contre où θ0 est une valeur de référence donnée, il est naturel de baser notre test sur X. Nous avons vu dans les rappels (voir relation 4.2) qu’un intervalle de confiance asymptotique pour θ de niveau 95% est donné, d’après (4.3) par : X − Z1− α2 √ S S ≤ θ ≤ X + Z1− α2 √ n−1 n−1 Cet intervalle est tel que, si nous le calculons un très grand nombre de fois avec des échantillons différents, 95% des fois environ, il contiendra la "vraie" valeur de θ. Si θ0 n’est pas dans notre intervalle, nous avons donc de bonnes raisons de penser que θ0 ne soit pas la "vraie" valeur de θ. Donc, il y a de grandes chances que H0 : θ = θ0 soit fausse. Par conséquent, nous pouvons rejeter H0 . La règle de décision, la puissance s’obtiennent comme dans la sous section 4.3.1. Remarque 4.3.2. Il est donc possible de trancher à l’aide d’un intervalle de confiance, deux hypothèses du type H0 : θ = θ0 4.4 4.4.1 vs H1 : θ 6= θ0 . Test unilatéral à droite sur une moyenne par rapport à une valeur de référence Cas d’un échantillon gaussien Ici, nous voulons plutôt confronter les hypothèses de type H0 : θ ≤ θ0 vs H1 : θ > θ0 . Soit α, le seuil de signification. Dans ce type de test, il y a une seule région de rejet située du côté spécifié par H1 d’aire α. En d’autres termes, on cherche Cα tel que : Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 32 Construction des tests d’hypothèses – si T (x) ≤ Cα , on accepte H0 ; – si T (x) > Cα , on rejette H0 de telle sorte que : α = PH0 [rejeter H0 ] = PH0 [T (x) > Cα ] = 1 − PH0 [T (x) ≤ Cα ] . D’où Cα = tn−1 (1 − α) = −tn−1 (α). On a la règle de décision finale suivante : – si T (x) ≤ −tn−1 (α), on accepte H0 ; – si T (x) > −tn−1 (α), on rejette H0 . Remarque 4.4.1. Dans cette règle de décision, θ a pris la valeur de θ0 dans la règle de définition de T (X) Calcul de la puissance π = PH1 [rejeter H0 ] = PH1 [T (X) > −tn−1 (α)] √ X − θ0 = 1 − PH 1 ≤ −tn−1 (α) n−1 S √ √ X −θ θ0 − θ = 1 − PH 1 n−1 ≤ −tn−1 (α) + n − 1 S S √ θ0 − θ − tn−1 (α)/θ > θ0 = 1 − Pr tn−1 ≤ n − 1 S √ √ θ0 − θ θ − θ0 = 1 − Ftn−1 n−1 − tn−1 (α) = Ftn−1 n−1 + tn−1 (α) S S Un estimateur de π est donné par √ X − θ0 + tn−1 (α) . π̂ = Ftn−1 n−1 S 4.4.2 Cas d’un échantillon quelconque On procède de façon analogue au cas précédent en considérant d’après 4.1, plutôt la statistique de test : T (X) = √ n−1 X −θ ∼ N (0, 1). S et en remplaçant le quantile et la fonction de répartition de la loi de Student par ceux de la loi normale centrée et réduite. Pour terminer cette section, voici quelques remarques d’ordre général. Remarque 4.4.2. 1. A moins que nous soyons certains de la direction du changement, il est toujours préférable d’utiliser un test bilatéral. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 33 Construction des tests d’hypothèses 2. Si nous avons à choisir entre faire un test d’hypothèses et faire un Intervalle de confiance, il est mieux de choisir l’intervalle de confiance, car celui-ci nous donne la direction du changement sans que nous ayons à la spécifier à priori dans l’hypothèse alternative. 4.5 Test bilatéral sur une moyenne par rapport à un intervalle de référence La majorité de nos bières, pour certaines variables, sont considérées conformes lorsque ces variables sont dans un intervalle de référence bien qu’elles ne soient pas égales à la valeur de référence de la variable. Cette situation nous conduit à construire un autre type de test bilatéral sur la moyenne relativement à cet intervalle de référence. Soit donc à confronter les hypothèses suivantes : H0 : θ ∈ [θ1 , θ2 ] contre H1 : θ ∈ / [θ1 , θ2 ], où θ représente la moyenne de l’échantillon, θ1 et θ2 les valeurs connues. Considérons toujours la statistique de test suivante : √ X −θ avec S Et considérons les statistiques suivantes : T (X) = T1 (X) = 4.5.1 n−1 √ n−1 X − θ1 S θ = θ1 T2 (X) = √ ou θ = θ2 . n−1 X − θ2 . S Cas d’un échantillon gaussien Soit α le seuil de signification, on cherche C1 et C2 vérifiant C1 < C2 et tel que – si T1 (x) ≥ C1 et T2 (x) ≤ C2 , on accepte H0 ; – si T1 (x) < C1 ou T2 (x) > C2 , on rejette H0 . Or PH0 [rejeter H0 ] = PH0 [T2 (X) > C2 ] + PH0 [T1 (X) < C1 ] √ √ X − θ2 X − θ1 = PH 0 n−1 n−1 > C2 + PH0 < C1 S S √ √ X −θ X −θ ≤ PH 0 n−1 > C2 + PH0 n−1 < C1 S S = PH0 [tn−1 > C2 ] + PH0 [tn−1 < C1 ] Pour avoir C1 et C2 , il suffit de poser α α PH0 [tn−1 > C2 ] = et PH0 [tn−1 < C1 ] = . 2 2 Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 34 Construction des tests d’hypothèses Ceci nous donne : C1 = tn−1 ( α2 ) et C2 = −tn−1 ( α2 ). D’où la règle de décision finale suivante : – si T1 (x) ≥ tn−1 ( α2 ) et T2 (x) ≤ −tn−1 ( α2 ), on accepte H0 ; – si T1 (x) < tn−1 ( α2 ) ou T2 (x) > −tn−1 ( α2 ), on rejette H0 . Calcul de la puissance h h α i α i π = PH1 [rejeter H0 ] = PH1 T1 (X) < tn−1 ( ) + PH1 T2 (X) > −tn−1 ( ) 2 2 √ √ X − θ1 X − θ2 α α = PH 1 n−1 < tn−1 ( ) + 1 − PH1 n−1 ≤ −tn−1 ( ) S 2 S 2 √ √ X −θ α θ1 − θ = PH 1 n−1 < tn−1 ( ) + n − 1 + S 2 S √ √ X −θ θ2 − θ α n−1 1 − PH 1 ≤ −tn−1 ( ) + n − 1 S 2 S √ √ θ1 − θ α θ2 − θ α = 1 + Ftn−1 n−1 + tn−1 ( ) − Ftn−1 n−1 − tn−1 ( ) . S 2 S 2 Un estimateur de π est donné par √ √ α α θ1 − X θ2 − X + tn−1 ( ) − Ftn−1 − tn−1 ( ) . π̂ = 1 + Ftn−1 n−1 n−1 S 2 S 2 4.5.2 Cas d’un échantillon quelconque On procède de façon analogue au cas précédent en considérant plutôt la statistique de test : √ X −θ T (X) = n − 1 ∼ N (0, 1) S et en remplaçant le quantile et la fonction de répartition de la loi de Student par ceux de la loi normale centrée et réduite. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Chapitre 5 Applications et résultats des tests Les résultats présentés dans ce chapitre ont été obtenus à l’aide du logiciel R version 2.4.1 et nous avons choisi la valeur seuil de 5% pour effectuer les tests. 5.1 Résultats des tests bilatéraux et unilatéraux par rapport à une valeur de référence Dans cette section, la P-value de Shapiro nous permet de savoir si nos variables sont issues d’une loi normale ou quelconque. Nous allons nous servir de cette valeur pour savoir quelle loi suit la statistique de test T (X) définie aux sections 4.3 et 4.4 du chapitre précédent, ainsi que les valeurs suivantes : – La valeur observée correspond à la réalisation t(x) de T (X) lorsque X = x. – La valeur Critique correspond à Cα définie dans la règle de décision. Pour un test Blt, pour les variables issues d’une loi normale et quelconque, elle vaut respectivement α Cα = tn−1 (1 − ) et Cα = z1− α2 . 2 – Le type de test effectué est Blt si la variable doit être égale à une valeur de référence ou Ult à droite si la variable ne doit pas dépassé une valeur de référence pour satisfaire la norme. – Si, pour une variable considérée, la valeur observée en valeur absolue est inférieure à la valeur critique (cas Blt) ou la valeur observée est inférieure à la valeur critique (cas Ult à droite), alors la conclusion de test accepte H0 . Dans le cas contraire, elle rejette H0 . Ces précisions vont nous permettre d’interpréter les différents tableaux qui suivent. Bière Castel Des résultats du tableau 5.1, nous constatons que la variables pH et UA présentent en moyenne un écart significatif par rapport à la valeur cible. Pour la bière Castel, ces 2 variables doivent être contrôlées pour améliorer la qualité de cette bière. Nous pouvons Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 36 Applications et résultats des tests donc conclure que la bière Castel, au vu des échantillons, est de qualité acceptable car la proportion des variables qui s’écartent en moyenne, par rapport à la valeur cible est de 2/10. Variables EP AA COL pH GE CO2 B20 VDK UA BO2 p-value de Shapiro 8.99 × 10−10 6.93 × 10−7 2.03 × 10−2 7.58 × 10−2 7.20 × 10−12 2.20 × 10−3 1.51 × 10−8 1.35 × 10−4 1.36 × 10−1 1.89 × 10−5 Valeur Valeur Puissance observée critique -1.27 1.96 0.24 0.34 1.96 0.06 1.76 1.96 0.42 -7.67 1.96 0.99 -2.728 -1.64 6.11 × 10−6 -0.27 1.96 0.05 -2.25 -1.64 4.89 × 10−5 -22.45 -1.64 0 -2.066 1.98 0.54 -10.06 -1.64 5.9 × 10−32 Type de test effectué Blt Blt Blt Blt Ult à droite Blt Ult à droite Ult à droite Blt Ult à droite Conclusion du test H0 accepté H0 accepté H0 accepté H0 rejeté H0 accepté H0 accepté H0 accepté H0 accepté H0 rejeté H0 accepté Tab. 5.1 – Récapitulatif des tests par rapport à une valeur de référence sur la Castel. Bière Mutzig Il ressort du tableau 5.2 que plusieurs variables (EP, AA, COL, pH, CO2, UA, VDK) montrent en moyenne un écart significatif par rapport à leur valeur de référence, soit une proportion d’écart de 7/10, ce qui est important. Statistiquement, on pourrait penser que la qualité de la bière Mutzig est mauvaise ; mais il faut tenir compte des limites inférieures et supérieures admises pour certaines variables. Néanmoins, il reste à comprendre les raisons pour lesquelles certains écarts sont significatifs. Bière Amstel Il ressort également des résultats du tableau 5.3 que plusieurs variables (AA, Col, PH, UA, GE, BO2) montrent en moyenne un écart significatif par rapport à leur valeur de référence, soit une proportion d’écart de 6/10, ce qui également important. Il faut trouver les causes de ce déréglage qui sont multiples. Bière Export Des résultats du tableau 5.4, nous constatons que les variables EP , B20 et Col présentent en moyenne un écart significatif par rapport à la valeur cible, ce qui correspond à une proportion d’écart de 3/10. Nous pouvons donc conclure que la bière Export au vu des échantillons est de qualité acceptable. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 37 Applications et résultats des tests Variables EP AA COL PH GE CO2 B20 VDK UA BO2 p-value de Shapiro 1.57 × 10−2 3.83 × 10−4 0.75 5.45 × 10−2 6.26 × 10−4 0.18 0.28 5.46 × 10−3 0.66 1.32 × 10−6 Valeur Valeur Puissance observée critique -2.90 1.96 0.83 -14.19 1.96 1 4.33 2.024 0.98 -4.55 1.96 0.99 -4.88 -1.64 3.36 × 10−11 5.23 2.024 0.99 -30.01 -1.68 3.04 × 10−29 -1.05 -1.64 3.44 × 10−3 2.94 2.024 0.82 -2.52 -1.64 1.53 × 10−5 Type de test Conclusion effectué du test Blt H0 rejeté Blt H0 rejeté Blt H0 rejeté Blt H0 rejeté Ult à droite H0 accepté Blt H0 rejeté Ult à droite H0 accepté Ult à droite H0 rejeté Blt H0 rejeté Ult à droite H0 accepté Tab. 5.2 – Récapitulatif des tests par rapport à une valeur de référence sur la Mutzig. Variables EP AA COL PH GE CO2 B20 VDK UA BO2 p-value de Shapiro 0.85 0.0089 0.17 0.11 0.01 0.14 0.17 0.016 0.009 1.62 × 10−8 Valeur Valeur Puissance observée critique -0.63 2.0555 0.088 -6.22 1.96 0.99 3.67 2.0555 0.94 -8.74 2.0555 0.99 -0.96 -1.64 0.0045 -0.05 2.0555 0.05 -34.09 -1.70 5.95 × 10−24 -4.32 -1.64 1.18 × 10−9 2.85 1.98 0.82 1.45 -1.64 0.422 Type de test effectué Blt Blt Blt Blt Ult à droite Blt Ult à droite Ult à droite Blt Ult à droite Conclusion du test H0 accepté H0 rejeté H0 rejeté H0 rejeté H0 rejeté H0 accepté H0 accepté H0 accepté H0 rejeté H0 rejeté Tab. 5.3 – Récapitulatif des tests par rapport à une valeur de référence sur l’Amstel. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 38 Applications et résultats des tests Variables EP AA COL PH GE CO2 B20 VDK UA BO2 p-value de Shapiro 0.16 4.05 × 10−5 0.46 0.02 0.057 0.47 7.58 × 10−5 0.01 0.59 8.76 × 10−5 Valeur Valeur Puissance observée critique -2.40 2.0595 0.63 1.57 1.96 0.35 3.10 2.0595 0.84 -0.84 2.0555 0.14 -5.35 -1.70 1.06 × 10−7 1.59 2.0595 0.32 -0.80 -1.64 7.31 × 10−3 -11.85 -1.64 7.86 × 10−42 -0.01 2.0595 0.05 -4.45 -1.64 5.41 × 10−10 Type de test effectué Blt Blt Blt Blt Ult à droite Blt Ult à droite Ult à droite Blt Ult à droite Conclusion du test H0 rejeté H0 accepté H0 rejeté H0 accepté H0 accepté H0 accepté H0 accepté H0 accepté H0 accepté H0 rejeté Tab. 5.4 – Récapitulatif des tests par rapport à une valeur de référence sur l’Export. Bière Tuborg Au vu du tableau 5.5, nous constatons que les variables Col, pH , BO2 et CO2 présentent en moyenne un écart significatif par rapport à leur valeur de référence soit une proportion d’écart de 4/9 pour la bière Tuborg. Une amélioration dans la qualité pour ces variables est nécessaire. Variables EP COL PH GE CO2 B20 VDK UA BO2 p-value de Shapiro 0.39 0.94 0.14 0.045 0.16 0.14 0.014 0.49 1.46 × 10−5 Valeur observée -0.36 12.48 4.61 -3.32 10.39 -2.94 -9.92 -1.90 -0.45 Valeur critique 2.063899 2.063899 2.063899 -1.64 2.063899 -1.71 -1.64 2.063899 -1.64 Puissance 0.06 1 0.99 3.32 × 10−7 0.99 5.01 × 10−5 2.87 × 10−31 0.43 1.78 × 10−2 Type de test effectué Blt Blt Blt Ult à droite Blt Ult à droite Ult à droite Blt Ult à droite Conclusion du test H0 accepté H0 rejeté H0 rejeté H0 accepté H0 rejeté H0 accepté H0 accepté H0 accepté H0 rejeté Tab. 5.5 – Récapitulatif des tests par rapport à une valeur de référence sur la Tuborg. Bière Beaufort Comme nous pouvons le constater sur le tableau 5.6, une variable s’est écartée en moyenne de manière significative de la valeur cible. On pourrait juger la bière Beaufort Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 39 Applications et résultats des tests de meilleure qualité. Cependant n’ayant eu que 4 observations de cet échantillon, nous ne saurons dire qu’il est représentatif de la dite bière en général. Il nous faut refaire les tests sur un échantillon beaucoup plus grand pour soutenir les résultats. Variables EP AA COL PH GE CO2 B20 VDK UA BO2 p-value de Shapiro 0.006 0.24 0.40 0.23 0.97 0.24 0.112 0.68 0.29 0.75 Valeur Valeur Puissance Type de test observée critique effectué 1.04 1.96 0.18 Blt 2.50 3.18 0.27 Blt 0.83 3.18 0.06 Blt -1.74 3.18 0.13 Blt -2.41 -2.35 0.008 Ult à droite -0.26 3.18 0.05 Blt -3.61 -2.35 0.004 Ult à droite -6.36 -2.35 0.001 Ult à droite 0.35 3.18 0.05 Blt -2.20 -2.35 0.009 Ult à droite Conclusion du test H0 accepté H0 accepté H0 accepté H0 accepté H0 accepté H0 accepté H0 accepté H0 accepté H0 accepté H0 rejeté Tab. 5.6 – Récapitulatif des tests par rapport à une valeur de référence sur la Beaufort. Bière Beaufort Light Il ressort des résultats du tableau 5.7, que plusieurs variables ( EP, AA, PH, UA, GE, VDK) montrent en moyenne un écart significatif par rapport à leur valeur de référence soit une proportion d’écart de 6/10, ce qui est important. Variables EP AA COL PH GE CO2 B20 VDK UA BO2 p-value de Shapiro 0.05 0.50 0.24 0.17 0.03 0.17 0.05 0.01 0.86 0.30 Valeur Valeur Puissance Type de test observée critique effectué 2.69 2.306 0.64 Blt 2.56 2.306 0.60 Blt 0.20 2.306 0.05 Blt 3.9 2.306 0.93 Blt 0.05 -1.64 0.055 Ult à droite -0.43 2.306 0.06 Blt -2.97 -1.85 0.0006 Ult à droite -1.37 -1.64 0.001 Ult à droite 2.52 2.306 0.58 Blt -2.09 -1.85 0.002 Ult à droite Conclusion du test H0 rejeté H0 rejeté H0 accepté H0 rejeté H0 rejeté H0 accepté H0 accepté H0 rejeté H0 accepté H0 rejeté Tab. 5.7 – Récapitulatif des tests par rapport à une valeur de référence sur la Beaufort Light. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Applications et résultats des tests 40 De l’analyse faite sur ces différents tableaux ; nous pouvons tirer les conclusions suivantes – la variable pH dans la majorité de ces bières (5/7) présente des valeurs qui s’écartent en moyenne de manière significative par rapport à la valeur de référence ; – Les variables EP, AA, Col, UA,BO2 sur les 7 bières étudiées présentent sur 3 bières le même problème. – ces variables peuvent être considérées comme les plus problématiques pour la qualité ; cerner les causes en termes de sources de défaillance et y apporter des solutions pourrait améliorer davantage la qualité des bières. 5.2 Quelques évolutions de la puissance pour différentes valeurs de la moyenne dans le cas bilatéral Nous rappelons la formule de la puissance dans ce cas : √ √ θ0 − θ α θ0 − θ α n−1 − tn−1 (1 − ) − Ftn−1 n−1 + tn−1 (1 − ) , π = 1 + Ftn−1 S 2 S 2 où θ0 représente la valeur cible de l’échantillon, θ la moyenne de l’échantillon et S l’écart-type empirique de l’échantillon. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 41 Applications et résultats des tests Fig. 5.1 – Courbes de la fonction puissance des variables EP, AA, COL, PH pour un test bilatéral de seuil 5% . Nous constatons que lorsque nous sommes sous H0 , la puissance prend la valeur du seuil 0.05 (trait horizontal sous la figure 5.1) et qu’elle augmente avec l’écart de la moyenne par rapport à la valeur cible. 5.3 Test bilatéral par rapport à un intervalle de référence. Dans cette section, les tableaux qui seront présentés sont les résultats du test H0 : θ ∈ [θ1 , θ2 ] contre θ∈ / [θ1 , θ2 ], où θ représente la moyenne de l’échantillon, θ1 et θ2 les valeurs connues. Les valeurs de ces tableaux correspondent à : – la p-value nous permet de savoir si nos variables sont issues d’une loi normale ou quelconque. Nous allons nous servir de cette valeur, pour savoir quelle loi suit les Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 42 Applications et résultats des tests statistiques de test √ X − θ1 X − θ2 et T2 (X) = n − 1 S S définies aux sections 4.5 du chapitre précédent. Valobs1 correspond à la réalisation T1 (x) de T1 (X) lorsque X = x. Valobs2 correspond à la réalisation T2 (x) de T2 (X) lorsque X = x. Valcrit1 correspond à C1 défini dans la règle de décision. Pour les variables issues d’une loi normale et quelconque, elle vaut respectivement C1 = tn−1 ( α2 ) et C1 = z α2 . Valcrit2 correspond à C2 défini dans la règle de décision. Pour les variables issues d’une loi normale et quelconque, elle vaut respectivement C2 = −tn−1 ( α2 ) et C2 = −z α2 . Si pour une variable considérée, Valobs1 est supérieure à Valcrit1 et Valobs2 est inférieure à Valcrit2, alors la conclusion de test accepte H0 dans le cas contraire, elle rejette H0 . T1 (X) = – – – – – √ n−1 Bière Castel En ce qui concerne l’intervalle de référence, toutes les variables en moyenne sont restées dans cet intervalle. Par rapport à cet intervalle, la qualité de cette bière est satisfaisante (tableau 5.8). Variables EP AA COL PH GE CO2 B20 VDK UA BO2 p-value 8.99 × 10−10 6.93 × 10−7 2.03 × 10−2 7.58 × 10−4 7.20 × 10−12 2.20 × 10−3 1.51 × 10−8 1.35 × 10−4 1.36 × 10−1 1.89 × 10−5 Valobs1 Valobs2 Valcrit1 Valcrit2 Puissance 11.26 10.33 25.27 11.53 20.11 12.98 34.82 70.32 18.59 78.21 -13.81 -9.65 -21.75 -26.88 -2.73 -13.54 -2.25 -22.45 -22.72 -10.06 -1.96 -1.96 -1.96 -1.96 -1.96 -1.96 -1.96 -1.96 -1.98 -1.96 1.96 1.96 1.96 1.96 1.96 1.96 1.96 1.96 1.98 1.96 0 0 0 0 1.37 × 10−6 0 1.27 × 10−5 0 0 0 Conclusion sur H0 Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Tab. 5.8 – Récapitulatif des tests par rapport à un intervalle de référence sur la Castel. Bière Mutzig En ce qui concerne l’intervalle de référence, toutes les variables en moyenne sont restées dans cet intervalle. Par rapport à cet intervalle, la qualité de cette bière est Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 43 Applications et résultats des tests acceptable, bien que la majorité des variables s’est écartée de la valeur cible (tableau 5.9). Variables EP COL PH GE CO2 B20 VDK UA BO2 p-value 1 × 10−2 0.57.75 5.45 × 10−2 6.26 × 10−4 0.18 0.28 5.46-03 0.66 1.32 × 10−6 Valobs1 Valobs2 Valcrit1 Valcrit2 Puissance 8.35 13.61 8.94 20.16 11.61 30.83 50.48 18.98 53.53 -14.15 -4.95 -18.04 -4.88 -1.14 -30.01 -1.057 -13.10 -2.52 -1.96 -2.02 -2.02 -1.96 -2.02 -2.02 -1.96 -2.02 -1.96 1.96 2.02 2.02 1.96 2.02 2.02 1.96 2.02 1.96 0 1.22 × 10−13 3.91 × 10−12 1.50 × 10−3 0 1.27 × 10−3 0 3.68 × 10−6 0 Conclusion sur H0 Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Tab. 5.9 – Récapitulatif des tests par rapport à un intervalle de référence sur la Mutzig. Bière Amstel En ce qui concerne l’intervalle de référence, toutes les variables en moyenne sont restées dans cet intervalle.Par rapport à cet intervalle, la qualité de cette bière est acceptable, bien que la majorité des variables s’est écartée de la valeur cible (tableau 5.10). Variables EP COL PH GE CO2 B20 VDK UA BO2 p-value 0.85 0.17 0.11 0.01 0.14 0.17 0.016 0.009 1.62 × 10−8 Valobs1 Valobs2 Valcrit1 Valcrit2 Puissance 7.84 15.78 -1.732 14.32 9.18 34.15 37.32 13.69 24.92 -9.09 -8.43 -15.76 -0.96 -9.29 -34.09 -4.32 -7.99 1.45 -2.055 -2.055 -2.055 -1.96 -2.055 -2.055 -1.96 -1.98 -1.96 2.055 2.055 2.055 1.96 2.055 2.055 1.96 1.98 1.96 1.41 × 10−10 3.89 × 10−11 3.74 × 10−1 1.73 × 10−3 1.58 × 10−11 0 1.63 × 10−10 0 3.05 × 10−1 Conclusion sur H0 Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Tab. 5.10 – Récapitulatif des tests par rapport à un intervalle de référence sur l’Amstel. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 44 Applications et résultats des tests Bière Export En ce qui concerne l’intervalle de référence, toutes les variables en moyenne sont restées dans cet intervalle. Par rapport à cet intervalle, la qualité de cette bière est satisfaisante (tableau 5.11). Variables EP AA COL PH GE CO2 B20 VDK UA BO2 p-value 0.16 4.05 × 10−5 0.46 0.02 0.057 0.47 7.58 × 10−5 0.01 0.59 8.76 × 10−5 Valobs1 Valobs2 Valcrit1 Valcrit2 Puissance 6.57 8.69 15.92 6.15 23.23 10.22 12.01 36.91 8.97 34.63 -11.36 -5.54 -9.71 -7.84 -5.35 -7.03 -0.79 -11.85 -9.007 -4.45 -2.05 -1.96 -2.05 -1.96 -2.05 -2.05 -1.96 -1.96 -2.05 -1.96 2.05 1.96 2.05 1.96 2.05 2.05 1.96 1.96 2.05 1.96 2.85 × 10−9 2.99 × 10−14 5.40 × 10−12 2.22 × 10−16 4.60 × 10−8 1.05 × 10−9 2.92 × 10−3 0 4.12 × 10−11 7.18 × 10−11 Conclusion sur H0 Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Tab. 5.11 – Récapitulatif des tests par rapport à un intervalle de référence sur la bière Export. Bière Tuborg En ce qui concerne l’intervalle de référence, toutes les variables en moyenne sont restées dans cet intervalle. Par rapport à cet intervalle, la qualité de cette bière est satisfaisante (tableau 5.12). Variables EP COL PH GE CO2 B20 VDK UA BO2 p-value 0.39 0.94 0.14 0.045 0.16 0.14 0.014 0.49 1.46 × 10−5 Valobs1 Valobs2 Valcrit1 Valcrit2 Puissance 13.92 26.54 14.30 16.95 20.76 21.23 30.86 9.29 35.95 -14.65 -1.57 -5.079 -3.32 0.02 -2.94 -9.92 -13.10 -0.45 -2.06 -2.06 -2.06 -1.96 -2.06 -2.06 -1.96 -2.06 -1.96 2.06 2.06 2.06 1.96 2.06 2.06 1.96 2.06 1.96 1.83 × 10−14 6.52 × 10−4 1.10 × 10−7 6.22 × 10−8 2.64 × 10−2 2.04 × 10−5 0 1.92 × 10−11 7.86 × 10−3 Conclusion sur H0 Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Tab. 5.12 – Récapitulatif des tests par rapport à un intervalle de référence sur la bière Tuborg. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 45 Applications et résultats des tests Bière Beaufort En ce qui concerne l’intervalle de référence, toutes les variables en moyenne sont restées dans cet intervalle.Par rapport à cet intervalle, la qualité de cette bière est satisfaisante (tableau 5.13). Variables p-value Valobs1 Valobs2 Valcrit1 Valcrit2 EP AA COL PH GE CO2 B20 VDK UA BO2 0.36 -1.20 -0.04 -4.03 -2.41 -2.87 -3.61 -6.36 -0.88 -2.20 -1.96 -3.18 -3.18 -3.18 -3.18 -3.18 -3.18 -3.18 -3.18 -3.18 1.96 3.18 3.18 3.18 3.18 3.18 3.18 3.18 3.18 3.18 0.006 0.24 0.40 0.23 0.97 0.24 0.112 0.68 0.29 0.75 1.72 6.22 1.71 0.53 6.93 2.35 5.71 19.09 1.59 14.33 Puissance Conclusion sur H0 0.05 Accepté 0.012 Accepté 0.03 Accepté 0.019 Accepté 0.0066 Accepté 0.010 Accepté 0.004 Accepté 0.0013 Accepté 0.02 Accepté 0.006 Accepté Tab. 5.13 – Récapitulatif des tests par rapport à un intervalle de référence sur la bière Beaufort. Bière Beaufort Light En ce qui concerne l’intervalle de référence, toutes les variables en moyenne sont restées dans cet intervalle. Par rapport à cet intervalle, la qualité de cette bière est acceptable, bien que la majorité des variables s’est écartée de la valeur cible (tableau 5.14). Nous pouvons conclure que toutes les variables dans l’ensemble des 7 bières sont restées dans l’intervalle de référence qui a été défini bien que la majorité s’écarte de la valeur de référence.La qualité de toutes les bières est donc acceptable. Il reste à présent à rechercher les causes de ces défauts et qualifier leur impact pour que ces variables se rapprochent au mieux de la valeur de référence qui est l’objectif principal. Remarque 5.3.1. Nous remarquons que dans la majorité des variables et ceci pour toutes les bières, les deux réalisations de la statistique de test, Valobs1 et Valobs2 ont des valeurs trop élévées par rapport aux valeurs critiques. Nous allons maintenant proposer le tableau récapitulatif des intervalles de confiance à 95% des variables pour chaque type de bière. Ces intervalles de confiance sont inclus Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 46 Applications et résultats des tests Variables p-value Valobs1 Valobs2 Valcrit1 Valcrit2 Puissance EP AA COL PH GE CO2 B20 VDK UA BO2 1.60 2.23 -8.76 0.04 0.05 -4.30 -2.97 -1.37 -1.64 -2.09 -2.30 -2.30 -2.30 -2.30 -1.96 -2.30 -2.30 -1.96 -2.30 -2.30 2.30 2.30 2.30 2.30 1.96 2.30 2.30 1.96 2.30 2.30 0.25 0.47 3.47 × 10−6 0.027 0.028 0.0026 0.00037 0.00042 0.0021 0.0011 0.05 0.50 0.24 0.17 0.03 0.17 0.05 0.01 0.86 0.30 3.77 2.90 9.16 7.89 14.80 1.50 13.74 10.07 6.68 37.03 Conclusion sur H0 Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Accepté Tab. 5.14 – Récapitulatif des tests par rapport à un intervalle de référence sur la bière Beaufort Light. dans les intervalles de référence des variables qui ont été fixés pour satisfaire les normes. Ainsi, à l’avenir pour une variable qui ne se trouverait pas dans l’intervalle du tableau 5.15, bien qu’il soit compris dans l’intervalle de référence, il faudra la contrôler pour prévenir les cas de déréglage. variables EP AA COL PH GE CO2 B20 VDK UA BO2 EXPORT CASTEL MUTZIG AMSTEL TURBORG B-inf B-sup B-inf B-sup B-inf B-sup B-inf B-sup B-inf B-sup 11.9 12 11.7 11.8 12.1 12.2 11.1 11.2 12.1 12.2 79.9 81 81.6 82.4 81.7 82.5 81.8 82.8 8.08 8.39 7.99 8.15 9.24 9.68 9.13 9.46 8.11 8.53 4.08 4.17 4.09 4.14 4.10 4.16 4.16 4.25 4.35 4.43 ∞ 1.30 ∞ 1.43 ∞ 1.30 ∞ 1.59 ∞ 1.37 5.43 5.55 5.96 6.02 5.40 5.52 5.23 5.36 5.44 5.55 ∞ 0.64 ∞ 0.59 ∞ 0.43 ∞ 0.42 ∞ 0.66 ∞ 0.09 ∞ 0.09 ∞ 0.10 ∞ 0.09 ∞ 0.09 21.5 22.4 21.6 21.9 23.1 23.6 21.2 21.8 22.3 23.0 ∞ 0.37 ∞ 0.36 ∞ 0.39 ∞ 0.45 ∞ 0.41 Tab. 5.15 – Intervalles de confiance des variables. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Chapitre 6 Calcul des probabilités 6.1 Quelques définitions Le but de ce chapitre est de pouvoir déterminer pour chaque variable, et ceci pour chaque type de bière, la probabilité d’appartenir à l’intervalle de référence correspondant. Pour y arriver, nous allons commencer par définir la fonction de répartition empirique d’une variable au vu des observations. Définition 6.1.1. (Confère [7]). Soit (x1 , . . . , xn ), échantillon i.i.d. On appelle statistique d’ordre de l’échantillon, les valeurs x(1) , . . . , x(n) égales aux xi avec i ∈ {1, 2, . . . , n} et rangées par ordre croissant : min {xi } = x(1) ≤ x(2) ≤ . . . ≤ x(n) = max {xi }. 1≤i≤n 1≤i≤n Définition 6.1.2. Soit X un caractère à valeurs dans R. On dit que X a une fonction de répartition FX sur R si : FX : R −→ [0 , 1] , t 7−→ FX (t) = Pr (X ≤ t). Ayant observé un échantillon i.i.d (x1 , . . . , xn ), réalisation de (X1 , . . . , Xn ), on estime alors FX (confère [5] et [7]) par : F̂X : −→ [0 , 1], t 7−→ F̂X (t) , avec F̂X (t) = 0 pour t < x(1) .. . i pour x(i) ≤ t ≤ x(i+1) n .. . 1 pour t > x(n) F̂X est appelée fonction de répartition empirique de l’échantillon théorique (X1 , . . . , Xn ). Ainsi, estimer la probabilité Pr (X ∈ [a , b]) , revient à calculer F̂X (b) − F̂X (a). 6.2 Résultats et interprétations Le tableau 6.1 donne la probabilité estimée pour que chaque variable soit comprise dans son intervalle de référence. Nous pouvons constater que la majorité des variables Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 48 Calcul des probabilités pour chaque type de bière, exceptées les variables AA pour les bières Mutzig et Amstel, BO2 et pH pour l’Amstel ont une probabilité d’au moins 0.6 de se trouver dans leur intervalle de référence. En effet, ce résultat ne confirme que le résultat des tests sur la moyenne par rapport à un intervalle de référence du chapitre précédent. La variable AA pour les bières Mutzig et Amstel a une probabilité presque nulle parce que la valeur de cette variable doit être égale à une valeur de référence. Variables EXPORT Ep 0.88 AA 0.92 COL 0.96 PH 0.84 GE 0.92 CO2 0.96 B20 0.769 VDK 1 UA 0.96 BO2 0.92 CASTEL MUTZIG 0.94 0.923 0.785 0 0.976 0.84 0.916 0.948 0.845 0.897 0.80 0.66 0.75 1 1 0.74 1 1 0.916 0.846 AMSTEL TURBORG 0.88 1 0.07 1 0.72 0.25 0.84 0.77 0.88 0.96 0.60 1 0.76 0.92 1 1 0.96 0.40 0.88 Tab. 6.1 – Probabilités des variables. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Conclusion La réalisation de cette étude nous a permis de lever un pan de voile sur le système de contrôle de qualité dans les laboratoires. Il convient à présent de rappeler les grands traits de ce travail. Ce rappel fera l’objet de cette conclusion, conclusion qui sera articulée autour de cinq points : Rappels des objectifs de travail Au départ de ce travail, nous nous sommes fixés certains objectifs, à savoir il était question de discerner les variables qui s’écartent de trop de la valeur cible. Cette première approche nous a permis de mettre en évidence l’influence importante des caractéristiques liées à la qualité sur nos bières. En fait, il est important de noter qu’il existe plusieurs facteurs influençant la qualité ; notamment la main-d’œuvre, les méthodes, les machines et les matières. Dès lors, il est néccessaire de les apporter des actions correctives pour assurer la complète résolution du problème. Rappel des hypothèses Au départ, nous étions préoccupés par le fait que certaines variables présentaient les valeurs qui n’étaient pas dans les normes et il fallait faire des tests pour voir si en moyenne l’écart était significatif. Rappel des résultats et implications sur ces hypothèses Les résultats obtenus nous confirment qu’effectivement certaines variables s’écartent de trop de la valeur de référence, notamment les variables PH, EP, AA, Col, UA, ce qui demande à détecter les causes de cet écart pour apporter les actions correctives. Nous avons également constaté que la qualité de la bière Mutzig devrait être revue car les paramètres pour cette bière ne sont pas satisfaisants. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Calcul des probabilités 50 Limites de la recherche Pendant nos travaux, nous avons rencontré beaucoup d’entraves. Les principales étaient liées à la formulation du thème, la disposition numérique des données et la connexion internet. Ce qui justifie le fait que l’étude soit faite uniquement sur les bières. Nous pouvons reprocher à ce travail la petitesse de l’échantillon. Axes futurs de la recherche Nous ne saurons achever ce travail sans rappeler que notre étude nous a beaucoup enrichi d’enseignements pratiques. Nous avons fait plus ample connaissance avec les réalités du monde de travail et surtout nous nous sommes frottés aux difficultés de la recherche scientifique. Comme tout travail de recherche, nos résultats sont susceptibles de critiques ou même d’extensions. En tenant compte de tout cela, une étude future sur un échantillon beaucoup plus grand que celui retenu dans la présente étude peut à coup sûr apporter des résultats fiables. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Annexes : Programmes R utilisés Lecture du tableau contenant le jeu de données tab=read.table("E:\\FICHE NORME BRASSERIES1.txt",h=T,dec=",") Construction des sous tableaux des bières tab2=tab[which(Qualité=="TBG"),] tab2=apply(tab2[,3:12],2,function(u){u[is.na(u)]=mean(u,na.rm=T);u}) tab2=tab2[,-2]#cas toutes ces valeurs sont non observées tab3=tab[which(Qualité=="EXP"),] tab3=apply(tab3[,3:12],2,function(u){u[is.na(u)]=mean(u,na.rm=T);u}) tab4=tab[which(Qualité=="AMS"),] tab4=apply(tab4[,3:12],2,function(u){u[is.na(u)]=mean(u,na.rm=T);u}) tab5=tab[which(Qualité=="BFT"),] tab5=apply(tab5[,3:12],2,function(u){u[is.na(u)]=mean(u,na.rm=T);u}) tab6=tab[which(Qualité=="CST"),] tab6=apply(tab6[,3:12],2,function(u){u[is.na(u)]=mean(u,na.rm=T);u}) tab7=tab[which(Qualité=="MTZ"),] tab7=apply(tab7[,3:12],2,function(u){u[is.na(u)]=mean(u,na.rm=T);u}) tab8=tab[which(Qualité=="BFL"),] tab8=apply(tab8[,3:12],2,function(u){u[is.na(u)]=mean(u,na.rm=T);u}) Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 52 Calcul des probabilités Courbe assorti des limites de contrôle ou carte de contrôle par(mfrow=c(2,2)) plot(tab6[,3],ylim=c(6,10),ylab="VALEUR",xlab="JOURS",type="l",col=4) abline(mean(tab6[,3])-2*sd(tab6[,3]),0,col=2,lwd=2) abline(mean(tab6[,3])+2*sd(tab6[,3]),0,col=2,lwd=2) abline(mean(tab6[,3])-3*sd(tab6[,3]),0,col="green",lwd=2) abline(mean(tab6[,3])+3*sd(tab6[,3]),0,col="green",lwd=2) abline(mean(tab6[,3]),0,col="6",lwd=2) title("EVOLUTION DE COL EN JOURS") mtext("figure 1",side=1,line=4,col=2) plot(tab6[,2],ylim=c(72,90),ylab="VALEUR",xlab="JOURS",type="l",col=4) abline(mean(tab6[,2])-2*sd(tab6[,2]),0,col=2,lwd=2) abline(mean(tab6[,2])+2*sd(tab6[,2]),0,col=2,lwd=2) abline(mean(tab6[,2])-3*sd(tab6[,2]),0,col="green",lwd=2) abline(mean(tab6[,2])+3*sd(tab6[,2]),0,col="green",lwd=2) abline(mean(tab6[,2]),0,col="6",lwd=2) title("EVOLUTION DE AA EN JOURS") mtext("figure 2",side=1,line=4,col=2) text(25,76,"limite d’action inférieure",col=1) text(40,78,"limite d’alerte inférieure",col=1) text(25,83,"moyenne",col=1) text(40,86.5,"limite d’alerte supérieure",col=1) text(40,88,"limite d’action supérieure",col=1) plot(tab6[,9],ylim=c(18,26),ylab="VALEUR",xlab="JOURS",type="l",col=4) abline(mean(tab6[,9])-2*sd(tab6[,9]),0,col=2,lwd=2) abline(mean(tab6[,9])+2*sd(tab6[,9]),0,col=2,lwd=2) abline(mean(tab6[,9])-3*sd(tab6[,9]),0,col="green",lwd=2) abline(mean(tab6[,9])+3*sd(tab6[,9]),0,col="green",lwd=2) abline(mean(tab6[,9]),0,col="6",lwd=2) title("EVOLUTION DE UA EN JOURS") mtext("figure 3",side=1,line=4,col=2) plot(tab6[,5],ylim=c(-1,4),ylab="VALEUR",xlab="JOURS",type="l",col=4) abline(mean(tab6[,5])-2*sd(tab6[,5]),0,col=2,lwd=2) abline(mean(tab6[,5])+2*sd(tab6[,5]),0,col=2,lwd=2) abline(mean(tab6[,5])-3*sd(tab6[,5]),0,col="green",lwd=2) abline(mean(tab6[,5])+3*sd(tab6[,5]),0,col="green",lwd=2) abline(mean(tab6[,5]),0,col="6",lwd=2) title("EVOLUTION DE GE EN JOURS") mtext("figure 4",side=1,line=4,col=2) Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 53 Calcul des probabilités Test bilatéral Vérification de la normalité, détermination de la valeur critique et de la valeur observée et calcul de la puissance f2=function(data.frame,vec,alpha) { vec1=c();vec2=c();tobs=c() n=nrow(data.frame) q=qt(1-alpha/2,n-1);z=qnorm(1-alpha/2) for(i in 1:ncol(data.frame)) { vec1[i]<-shapiro.test(data.frame[,i])[[2]] tobs[i]<-sqrt(n-1)*(mean(data.frame[,i])-vec[i])/sd(data.frame[,i]) if(vec1[i]>=0.05) vec2[i]<-power.t.test(n=nrow(data.frame), sd=sd(data.frame[,i]), sig.level=alpha,delta=abs(mean(data.frame[,i])-vec[i]), type=’one.sample’)[[5]] if(vec1[i]<0.05) vec2[i]<-1+pnorm(-tobs[i]-z)-pnorm(-tobs[i]+z) } res<-list(p.value1=vec1,quant1=q,quant2=z,puissance =vec2,ts=tobs) res} n=nrow(data.frame) Application bière Castel cible6=c(11.80,82.00,8.00,4.20,1.50,6.00,0.60,0.12,22.00,0.40) f2(tab6,cible6,0.05) bière Mutzig cible7=c(12.20,85.20,9.00,4.20,1.50,5.30,0.80,0.10,23.00,0.40) f2(tab7,cible7,0.05) bière Amstel cible4=c(11.20,83.9,9.00,4.40,1.50,5.30,0.80,0.10,21.00,0.4) f2(tab4,cible4,0.05) Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 54 Calcul des probabilités bière Export cible3=c(12.00,80.00,8.00,4.15,1.50,5.45,0.60,0.12,22.00,0.40) f2(tab3,cible3,0.05) bière Tuborg cible2=c(12.20,7.00,4.30,1.50,5.20,0.70,0.12,23.00,0.40) f2(tab2,cible2,0.05) bière Beaufort cible5=c(11.00,79.0,6.00,4.15,1.50,5.45,0.60,0.12,19.00,0.40) f2(tab5,cible5,0.05) bière Beaufort Light cible8=c(9.70,75.80,6.00,4.30,1.50,5.50,0.60,0.12,18.00,0.40) f2(tab8,cible8,0.05) Courbe de la puissance pour les 4 premières variables de la bière Amstel par(mfrow=c(2,2)) delta <- seq(-2, 2, length=27) for(i in 1:4) { <- NULL for (d in delta) { p <- append(p,power.t.test(delta=d, sd=sd(tab4[,i]), sig.level=0.05, n=27,type=’one.sample’)$power)} plot(p~delta, type=’l’,xlab=’écart de la moyenne par rapport à la cible’,ylab=’puissance’, main=’courbe de la puissance’,col=2) abline(v=0) abline(h=0.05,col=4)} Test unilatéral à droite,détermination de la valeur critique et de la valeur observée et calcul de la puissance f3=function(data.frame,vec,alpha) { vec1=c();vec2=c();tobs=c() n=nrow(data.frame) q=qt(alpha,n-1);z=qnorm(alpha) for(i in 1:ncol(data.frame)) { vec1[i]<-shapiro.test(data.frame[,i])[[2]] tobs[i]<-sqrt(n-1)*(mean(data.frame[,i])-vec[i])/sd(data.frame[,i]) if(vec1[i]>=0.05) vec2[i]<-pt(tobs[i]+q,n-1) if(vec1[i]<0.05) Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 55 Calcul des probabilités vec2[i]<-pnorm(tobs[i]+z) } res<-list(p.value1=vec1,puissance =vec2,quant1=q,quant2=z,ts=tobs) res } Application f3(tab6,cible6,0.05) f3(tab7,cible7,0.05) f3(tab4,cible4,0.05) f3(tab3,cible3,0.05) f3(tab5,cible5,0.05) f3(tab8,cible8,0.05) f3(tab2,cible2,0.05) Calcul de l’intervalle de confiance suivant la loi f4=function(data.frame,alpha) {vec=c();vec1=c();vec2=c() n=nrow(data.frame) q=qt(1-alpha/2,n-1);z=qnorm(1-alpha/2) for(i in 1:ncol(data.frame)) { vec[i]<-shapiro.test(data.frame[,i])[[2]] if(vec[i]>=0.05) vec1[i]<-mean(data.frame[,i])-(q*sd(data.frame[,i]))/sqrt(n-1) vec2[i]<-mean(data.frame[,i])+(q*sd(data.frame[,i]))/sqrt(n-1) if (vec[i]<0.05) vec1[i]<-mean(data.frame[,i])-(z*sd(data.frame[,i]))/sqrt(n-1) vec2[i]<-mean(data.frame[,i])+(z*sd(data.frame[,i]))/sqrt(n-1) } res<-list(inf=vec1,sup=vec2) res } Application f4(tab2,alpha=0.05) f4(tab3,0.05) f4(tab4,0.05) f4(tab5,0.05) f4(tab6,0.05) f4(tab7,0.05) f4(tab8,0.05) Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 56 Calcul des probabilités Test bilatéral sur une moyenne à par rapport à un intervalle donné f5=function(data.frame,inf,sup,alpha) { vec1=c();vec2=c();tobs1=c();tobs2=c() n=nrow(data.frame) q=qt(alpha/2,n-1);z=qnorm(alpha/2) for(i in 1:ncol(data.frame)) { tobs1[i]<-sqrt(n-1)*(mean(data.frame[,i])-inf[i])/sd(data.frame[,i]) tobs2[i]<-sqrt(n-1)*(mean(data.frame[,i])-sup[i])/sd(data.frame[,i]) vec1[i]<-shapiro.test(data.frame[,i])[[2]] if(vec1[i]>=0.05) vec2[i]<-1+pt(-tobs1[i]+q,n-1)-pt(-tobs2[i]-q,n-1) if(vec1[i]<0.05) vec2[i]<-1+pnorm(-tobs1[i]+z)-pnorm(-tobs2[i]-z) } res<-list(p.value1=vec1,quant1=q,quant2=z,puissance =vec2,ts1=tobs1,ts2=tobs2) res } bière Castel inf6=c(11.60,80.00,7.00,4.0,0,5.8,0,0,20.00,0) sup6=c(12,84.00,9.00,4.40,1.50,6.20,0.60,0.12,24.00,0.40) f5(tab6,inf6,sup6,0.05) bière Mutzig tab7.1= tab7[,-2] inf7=c(12.00,8.00,4.00,0,5.10,0,0,21.00,0) sup7=c(12.40,10.00,4.40,1.50,5.50,0.80,0.10,25.00,0.40) f5(tab7.1,inf7,sup7,0.05) bière Amstel tab4.1= tab4[,-2] inf4=c(11.00,8.00,4.25,0,5.00,0,0,19.00,0) sup4=c(11.40,10.00,4.55,1.50,5.60,0.80,0.10,23.00,0.4) f5(tab4.1,inf4,sup4,0.05) bière Export inf3=c(11.80,78.00,7.00,4,0,5.20,0,0,20.00,0) sup3=c(12.20,82.00,9.00,4.30,1.50,5.70,0.60,0.12,24.00,0.40) Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 57 Calcul des probabilités f5(tab3,inf3,sup3,0.05) bière Tuborg inf2=c(11.9,5.50,4.10,0,4.90,0,0,21.00,0) sup2=c(12.50,8.50,4.50,1.50,5.50,0.70,0.12,25.00,0.40) f5(tab2,inf2,sup2,0.05) bière Beaufort inf5=c(10.8,77.0,5.00,4.0,0,5.20,0,0,17.00,0) sup5=c(11.20,81.0,7.00,4.30,1.50,5.70,0.60,0.12,21.00,0.40) f5(tab5,inf5,sup5,0.05) bière Beaufort Light inf8=c(9.50,75.60,5.00,4.20,0,5.40,0,0,16.00,0) sup8=c(9.90,76.00,7.00,4.40,1.50,5.70,0.60,0.12,20.00,0.40) f5(tab8,inf8,sup8,0.05) Calcul des probabilités g=function(data.frame,vec1,vec2) {s<-c() for(i in 1:ncol(data.frame)) { s[i]<-ecdf(data.frame[,i])(vec2[i])-ecdf(data.frame[,i])(vec1[i]) } res=list(proba=s) res } bière Castel g(tab6,inf6,sup6) bière Mutzig tab7.1= tab7[,-2] g(tab7.1,inf7,sup7) bière Amstel tab4.1= tab4[,-2] g(tab4.1,inf4,sup4) bière Export g(tab3,inf3,sup3) Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Calcul des probabilités 58 bière Tuborg g(tab2,inf2,sup2) plot(ecdf(tab6[,1]) Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Bibliographie [1] Gérald Baillargeon. Introduction aux méthodes statistiques en contrôle de qualité : : les éditions SMG, 1980. [2] Jean-Marie Dufour. Logique et tests d’hypothèses : réflexions sur les problèmes mal Posés. [3] Guillaume Dulieu et Cédric Rogeaux. Utilisation des cartes de contrôle qualité en laboratoire. c 1996. [4] D. Mouhiroud. Introduction aux statistiques - [5] Eugène NDONG NGUEMA. Statistique Mathématique : cours de Master 2 de Statistique Appliquée. ENSP de Yaoundé I, 2007. [6] Bernard. Ycart. Estimations paramétriques et Tests Statistiques : Cahiers de Mathématique Appliquées. [7] Bernard. Ycart. Statistiques descriptives : Cahiers de Mathématique Appliquées. Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Table des matières Dédicaces i Remerciements ii Table des figures iii Liste des tableaux iv Abréviations v Avant-propos vi Résumé vii Abstract ix Introduction 1 Résumé exécutif 4 I METHODES DE CONTRÔLE DE QUALITE DANS LES LABORATOIRES. 6 1 Présentation générale de la S.A.B.C 7 2 Carte de contrôle de qualité et Indice de capabilité d’un 2.1 Carte de contrôle de qualité . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Eléments de la Carte de contrôle . . . . . . . . . . 2.1.2 Interprétation de la carte de contrôle . . . . . . . . 2.2 Indice de capabilité d’un processus . . . . . . . . . . . . . Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 12 12 13 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 i TABLE DES MATIÈRES II RESOLUTION DU PROBLEME. 3 Présentation des données et étude descriptive des 3.1 Présentation des données. . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Etude descriptive des variables. . . . . . . . . . . . 3.2.1 Evolution journalière des variables . . . . . 3.2.2 Histogrammes des variables. . . . . . . . . . 3.2.3 Détection des valeurs aberrantes. . . . . . . 15 variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Construction des tests d’hypothèses 4.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Echantillon quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Echantillon Gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Généralités sur les tests d’hypothèses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Test bilatéral sur une moyenne par rapport à une valeur de référence . 4.3.1 Cas d’un échantillon Gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Cas d’un échantillon de loi quelconque . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Test unilatéral à droite sur une moyenne par rapport à une valeur de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Cas d’un échantillon gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Cas d’un échantillon quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Test bilatéral sur une moyenne par rapport à un intervalle de référence 4.5.1 Cas d’un échantillon gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Cas d’un échantillon quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 16 17 17 20 23 26 26 26 27 28 29 29 31 31 31 32 33 33 34 5 Applications et résultats des tests 35 5.1 Résultats des tests bilatéraux et unilatéraux par rapport à une valeur de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.2 Quelques évolutions de la puissance pour différentes valeurs de la moyenne dans le cas bilatéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.3 Test bilatéral par rapport à un intervalle de référence. . . . . . . . . . . 41 6 Calcul des probabilités 6.1 Quelques définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Résultats et interprétations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 47 47 Conclusion 49 Annexes : Programmes R utilisés 51 Bibliographie 59 Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Table des figures 1.1 Organigramme du service du personnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1 Exemples de cartes de contrôle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 Répartition des bières dans la base de données initiale. 5.1 Courbes de la fonction puissance des variables EP, AA, COL, PH pour un test . . . . . . . Evolution journalière de l’EP pour les bières Castel et Mutzig. . . . . Evolution journalière de l’AA pour les bières Castel et Mutzig. . . . . Evolution journalière de la COL pour les bières Castel et Mutzig. . . Evolution journalière des GE pour les bières Castel et Mutzig. . . . . Evolution journalière du BO2 pour les bières Castel et Mutzig. . . . . Histogramme du pH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Histogramme du CO2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Histogramme de B20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Histogramme du VDK. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Histogramme de l’UA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagramme en boîte de l’EP et de l’AA pour les bières Castel et Mutzig. . . . . . . . . . . . . . Diagramme en boîte de la COL et de du pH pour les bières Castel et Mutzig. . Diagramme en boîte de la GE et du CO2 pour les bières Castel et Mutzig. . . . . . . . . . . . . . . . . Diagramme en boîte de la B20 et de du VDK pour les bières Castel et Mutzig. . Diagramme en boîte de l’UA et du BO2 pour les bières Castel et Mutzig. . . . . bilatéral de seuil 5% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 17 18 18 19 19 20 20 21 21 22 22 23 24 24 25 25 41 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007 Liste des tableaux 1 2 Normes des bières. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intervalles de confiance des variables par bière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 1.1 Répartition du capital social de la S.A.B.C à travers ses différents actionnaires. . . 7 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 Récapitulatif des tests par rapport à une valeur de référence sur la Castel. . . . . . 36 37 37 38 38 39 39 42 43 43 44 44 45 Récapitulatif des tests par rapport à une valeur de référence sur la Mutzig. . . . . Récapitulatif des tests par rapport à une valeur de référence sur l’Amstel. . . . . . Récapitulatif des tests par rapport à une valeur de référence sur l’Export. . . . . . Récapitulatif des tests par rapport à une valeur de référence sur la Tuborg. . . . . . . . Récapitulatif des tests par rapport à une valeur de référence sur la Beaufort Light. . Récapitulatif des tests par rapport à un intervalle de référence sur la Castel. . . . . Récapitulatif des tests par rapport à un intervalle de référence sur la Mutzig. . . . Récapitulatif des tests par rapport à un intervalle de référence sur l’Amstel. . . . . Récapitulatif des tests par rapport à un intervalle de référence sur la bière Export. . Récapitulatif des tests par rapport à une valeur de référence sur la Beaufort. Récapitulatif des tests par rapport à un intervalle de référence sur la bière Tuborg. Récapitulatif des tests par rapport à un intervalle de référence sur la bière Beaufort. Récapitulatif des tests par rapport à un intervalle de référence sur la bière Beaufort Light. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.15 Intervalles de confiance des variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 46 6.1 48 Probabilités des variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mémoire de Master de Statistique Appliquée. Promotion 3 c DJOUMENI ELISE DESIREE ENSP 2006-2007