cours traitement numerique des signaux

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15 janvier
COURS TRAITEMENT NUMERIQUE DES SIGNAUX
2014
I. GENERALITE.
I.1. Définitions de base.
Un signal désigne l'information relative à une grandeur physique qui évolue dans le temps.
Il sert de vecteur à une information et constitue la manifestation physique d’une grandeur
mesurable (courant, tension, force, température, pression, etc.). Les signaux les plus
couramment utilisés sont les signaux électriques. Mais ces signaux sont les plus souvent des
traductions de signaux physiques comme des signaux acoustiques, sismiques, de température
ou de pression. L'obtention des signaux électriques à partir des variations d'une grandeur
naturelle se fait à l'aide d'un capteur ou d'un transducteur.
On distingue généralement deux types de signal électrique : les signaux analogiques (ou
continus) et les signaux numériques (ou discrets).
Le bruit est défini comme tout phénomène perturbateur gênant la perception ou
l’interprétation d’un signal, par analogie avec les nuisances acoustiques (interférence, bruit de
fond, etc.). La différentiation entre le signal et le bruit est artificielle et dépend de l’intérêt de
l’utilisateur : les ondes électromagnétiques d’origine galactique sont du bruit pour un
ingénieur des télécommunications par satellites et un signal pour les radioastronomes.
La théorie du signal a pour objectif fondamental la "description mathématique" des
signaux. Cette représentation commode du signal permet de mettre en évidence ses
principales caractéristiques (distribution fréquentielle, énergie, etc.) et d’analyser les
modifications subies lors de la transmission ou du traitement de ces signaux.
Le traitement du signal est la discipline technique qui, s’appuyant sur les ressources de
l’électronique, de l’informatique et de la physique appliquée, a pour objet l’élaboration ou
l’interprétation des signaux porteurs d’information. Il désigne l'ensemble des opérations que
l'on fait subir à un signal (analogique ou numérique) pour le transformer en un autre signal
(par exemple de la musique codée sur un CD qui est transformée en un signal acoustique).
On distingue généralement le traitement analogique du signal et le traitement
numérique du signal. Le premier tient du génie électrique et nécessite résistances, bobines,
condensateurs, transistors, etc., tandis que le second s’opère par des programmes
informatiques sur des ordinateurs ou des puces dédiées (DSP, Digital Signal Processor). Un
outil très puissant pour étudier les signaux analogiques est la transformée de Fourier ou les
développements en séries de Fourier pour les signaux périodiques, et celui pour les signaux
numérique est la transformée de Fourier discrète.
Les fonctions du traitement du signal peuvent se diviser en deux catégories : l’élaboration
des signaux (incorporation des informations) et l’interprétation des signaux (extraction des
informations). Les principales fonctions intégrées dans ces deux parties sont les suivantes :
 Élaboration des signaux ;
 Synthèse ;
 Création de signaux de forme appropriée en procédant par exemple à une combinaison
de signaux élémentaires ;
 Modulation, changement de fréquence : moyen permettant d’adapter un signal aux
caractéristiques fréquentielles d’une voie de transmission ;
 Codage : traduction en code binaire (quantification), etc. ;
 Interprétation des signaux ;
 Filtrage : élimination de certaines composantes indésirables ;
 Détection : extraction du signal d’un bruit de fond (corrélation) ;
 Identification : classement d’un signal dans des catégories préalablement définies ;
Mr Mazoughou Goépogui
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 Analyse : isolement des composantes essentielles ou utiles d’un signal de forme
complexe (transformée de Fourier) ;
 Mesure : estimation d’une grandeur caractéristique d’un signal avec un certain degré
de confiance (valeur moyenne, etc.)
I.2. Bref rappel historique.
Historiquement, le traitement des signaux apparaît au début du XXème siècle en même
temps que l’électronique (détection et amplification de signaux faibles). On peut cependant
noter que les premiers travaux datent du XIXème siècle avec l’invention du télégraphe
électrique (Morse, Cooke, Wheatstone ; 1830), du téléphone (Bell, 1876) et de la radio
(Marconi, Popov, 1895).
Hormis la contribution apportée par Fourier (1822, travaux sur la propagation de la
chaleur), la théorie du signal apparaît en 1930 avec les premiers travaux de Wiener et
Kintchnine sur les processus aléatoires, et ceux de Nyquist et Hartley sur la quantité
d’informations transmise sur une voie télégraphique.
Les contributions essentielles au traitement du signal et à la théorie du signal
n’interviennent qu’après la seconde guerre mondiale (invention du transistor en 1948, travaux
de Shannon sur la communication, de Wiener sur le filtrage optimal et de Schwartz sur les
distributions).
I.3. Classification des signaux.
Il existe différents modes de classification.
I.3.1. Classification morphologique.
On distingue ici les signaux analogiques et les signaux numériques.
Les signaux analogiques ou continus (Fig.1.1) sont des signaux qui peuvent être
représentés par des fonctions continues du type x(t), où t est une variable continue (par
exemple la tension v(t) dans un circuit électrique).
Les signaux numériques ou discret (Fig.1.2) sont des signaux qui peuvent être
représentés par des suites de nombres du type x[n] où n représente le numéro d'échantillon
(par exemple des signaux dans baladeur numérique). Un signal discret n'est défini que pour
des instants tk appartenant à un ensemble dénombrable {t1, t2, t3, t4, . . . tn,}. Les signaux
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rencontrés dans la nature sont généralement des signaux analogiques. Tout traitement
numérique (discret) de ces signaux nécessite au préalable une opération de numérisation.
I.3.2. Classification spectrale.
On classe les signaux suivant la bande de fréquence qu’ils occupent. On distingue les
signaux à variation lente ou signaux basse fréquence et les signaux à variation rapide ou
signaux haute fréquence.
Fig.1.3a. Signal basse fréquence
Fig.1.3b. Signal haute fréquence.
I.3.2. Classification typologique.
On distingue les signaux suivant que leur évolution est déterministe ou aléatoire.
Un signal déterministe est un signal qui peut être prédit par un modèle mathématique
connu. On distingue deux sous classes : les signaux périodiques (x(t) = x(t + T) où T est la
période du signal) et les signaux apériodiques.
Un signal aléatoire est un signal qui a un comportement imprévisible. On le décrit grâce à
des outils statistiques (densité de probabilités, moyenne, variance, etc.).
I.4. Domaines d’application du traitement du signal.
Le traitement du signal se rencontre dans de nombreux domaines et fait partie intégrante de
la plupart des appareils que nous utilisons quotidiennement. Son champ d’application se situe
donc dans tous les domaines concernés par la perception, la transmission ou l’exploitation des
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informations véhiculées par ces signaux. Les applications du traitement du signal sont donc
nombreux et variés dont entre autre :
 La communication homme machine, synthèse de la parole, transformation texteparole et inverse, reconnaissance de parole, identification et vérification du locuteur.
 La télécommunications, codage et restauration de la parole, courrier vocal, télécopie,
audionumérique (CD, DAB), TV numérique, compression et transmission d'images,
cryptage et protection, transmission de données, télé informatique, annulation d'écho,
codage à débit réduit, télé et visioconférence, téléphonie cellulaire, ...
 La défense, systèmes d'armes, surveillance, guidage, navigation.
 La biophysique, génie biomédical, ECG, radiographie, tomographie, scintigraphie,
gammagraphie, échographie, ...
 L’acoustique, aérienne, sous-marine, sonar, ultrasons, …
 La géophysique, sismique, de surface, océanographique, télédétection.
 L’électromagnétisme, radar, radionavigation, optique, astrophysique.
 L’automobile injection électronique, ABS, positionnement global, commande
d'assiette adaptative.
 La musique, numérique, MIDI, échantillonneurs (sampleurs), synthétiseurs,
mélangeurs, réverbération et écho, effets spéciaux, filtrage, enregistrement (DAT).
 L’instrumentation, capteurs, métrologie, analyse spectrale, génération de signaux,
analyses de transitoires, DPLL.
 Le graphisme et l’imagerie, rotation 3D, vision, reconnaissance de formes,
restauration d'images, stations de travail, animation, cartographie.
I.5. Avantages et inconvénients du traitement numérique.
I.5.1. Avantages.
Aujourd’hui, de plus en souvent, le traitement des signaux se fait sous forme numérique. Le
numérique présente en effet un grand nombre d’avantage tels que :
 La reproductibilité des systèmes ;
 L’absence de dérive en temps ou en température ;
 L’absence de réglages compliqués ;
 La possibilité de traitement adaptatif ;
 Etc.
I.5.2. Inconvénients.
 Coût : élevé pour des réalisations simples ;
 Vitesse : bande passante large = vitesse de calcul élevé ;
 Complexité : réalisation à la fois matérielle et logiciel ;
L’ingénieur aura donc à choisir entre le traitement numérique et celui analogique et son
choix se fera sur des critères de :
 Coût de développement ;
 Consommation ;
 Coût des composants ;
 Performance souhaitée (en particulier le rapport signal sur bruit exigé).
I.6. Architecture d’un système de traitement numérique.
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Le traitement numérique d’un signal analogique requiert 4 opérations.
1. Le calculateur prend connaissance du signal d’entrée aux instants nTE ; TE étant
supérieur à la durée de calcul : c’est l’échantillonnage.
2. Les échantillons du signal analogique doivent être codés par convertisseur analogique
numérique (CAN) : c’est la quantification.
3. L’unité de calcul (processeur + programme) détermine les échantillons de sortie grâce
à un algorithme combinant les échantillons précédents d’entrée et de sortie.
4. Après calcul, les échantillons correspondant au signal traité sont à nouveau convertis
en un signal analogique au moyen d’un convertisseur numérique analogique (CNA) :
c’est la restitution.
Toutes ces opérations sont cadencées au rythme d’une horloge de fréquence FE = 1/TE
x(nTE)
x(t)
Echantil
lonnage
xn
yn
μP
CAN
y(nTE)
CNA
Filtre de
restituti
on
y(t)
HORLOGE
Fig.1.4. Architecture d’un système de traitement numérique.
I.7. L’algorithme.
L’algorithme est une relation de récurrence qui lie la réponse yn à l’instant nTE aux
nombres xn, xn-1,… et yn-1, yn-2,… C’est lui qui détermine la fonction réalisée par le système.
En pratique, on cherche souvent à reproduire la réponse d’un système analogique.
L’algorithme peut alors être obtenu à partir de l’équation différentielle du système analogique
copié ou de sa fonction de transfert.
Montrons, à partir d’un exemple simple, qu’il est possible de réaliser, par la méthode
numérique, la réponse d’un circuit analogique. Choisissons un circuit du premier ordre, de
type RC par exemple (figure ci-dessous, régi par l’équation différentielle suivante :
𝝉
𝒅𝒚
+𝒚=𝒙
𝒅𝒕
Avec x = cte =E
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Fig.1.5. Filtre analogique RC.
La transposition de la dérivée dy/dt peut se faire à partir de sa définition mathématique :
𝒅𝒚
∆𝒚
= 𝐥𝐢𝐦
𝒅𝒕 ∆𝒕→𝟎 ∆𝒕
Pour ∆𝒕 = 𝑻𝑬 petit on peut admettre que :
𝒅𝒚 ∆𝒚 𝒚𝒏 − 𝒚𝒏−𝟏
≈
=
𝒅𝒕 𝑻𝑬
𝑻𝑬
L’équation différentielle devient alors :
𝒚𝒏 − 𝒚𝒏−𝟏
𝝉
+ 𝒚𝒏 = 𝒙 𝒏
𝑻𝑬
L’algorithme (ou relation de récurrence) correspondant au circuit du 1° ordre est donc :
𝒚𝒏 =
𝑻𝑬
𝝉
𝒙𝒏 +
𝒚
𝝉 + 𝑻𝑬
𝝉 + 𝑻𝑬 𝒏−𝟏
La méthode numérique donne presque la même réponse. L’erreur est due à l’approximation
faite pour transposer la dérivée et serait plus faible en diminuant TE, c’est-à-dire en
augmentant la fréquence d’échantillonnage.
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II. OUTILS MATHEMATIQUES DU TRAITEMENT
NUMERIQUE DES SIGNAUX.
II.1. Eléments sur les distributions.
Définition 2.1.1. (Fonction généralisée de Dirac).
On définit la distribution δ(t-t0) (ou fonction généralisée) de Dirac au point t0 la
distribution telle que :
La distribution δ(t-t0) de Dirac est une fonction généralisée nulle partout sauf en t0, et
infiniment grande en t0, si bien que, lorsqu'on la multiplie par une fonction test ϕ(t) et que l'on
intègre sur T, on obtient la relation précédente.
La distribution de Dirac est l'outil mathématique permettant de décrire une action
concentrée en un point.
Fig.2.1. Représentation graphique d’une fonction de Dirac.
Définition 2.1.2. (Peigne de Dirac).
On définit le peigne de Dirac, la distribution Φ(t-t0) telle que :
∞
∞
〈𝜱, 𝝓〉 = ∫ 𝜱(𝒕 − 𝒕𝟎 )𝝓(𝒕)𝒅𝒕 = ∫ ∑ 𝜹(𝒕 − 𝒏𝒕𝟎 )𝝓(𝒕)𝒅𝒕 = ∑ 𝜹(𝒏𝒕𝟎 )
𝑻
𝑻 𝒏=−∞
𝒏=−∞
La fonction généralisée peigne de Dirac permet de prélever des échantillons à intervalle
régulier.
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Fig.2.2. Représentation graphique d’un peigne de Dirac.
II.2 Le produit de convolution.
Définition 2.2.1. (Le produit de convolution).
On appelle produit de convolution l'opération suivante :
Propriété 2.2.1. (Commutation du produit de convolution).
Le produit de convolution est commutatif.
Propriété 2.2.2. (Distribution du produit de convolution).
Le produit de convolution est distributif.
Propriété 2.2.3. (Association du produit de convolution).
Le produit de convolution est associatif.
Propriété 2.2.4. (Élément neutre du produit de convolution).
La fonction généralisée de Dirac est l'élément neutre du produit de convolution.
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Propriété 2.2.5. (Décalage en temps par convolution avec la fonction de Dirac).
Il est possible de décaler une fonction g(t) d'une quantité t0 en utilisant le produit de
convolution :
Propriété 2.2.6. (Périodisation par convolution avec le peigne de Dirac).
𝒈(𝒕) ∗ 𝜱(𝒕 − 𝒕𝟎 ) = ∑ 𝒈(𝒕 − 𝒏𝑻)
𝒏
Cette propriété montre que convoluer une fonction g(t) avec un peigne de Dirac de période
T, revient à construire une fonction périodique de période T dont le motif élémentaire est
donné par g(t).
II.3. Séries de Fourier.
La transformée de Fourier est l’un des outils, si non l’outil fondamental du traitement des
signaux. Elle permet d’associer à la forme d’onde habituelle, la représentation d’un signal en
fonction de sa variable d’évolution, une autre représentation, complémentaire, dans le
domaine fréquentiel.
L’utilisation de cette description fréquentielle permet en outre de caractériser simplement
les filtre et faciliter leur conception. Nous introduirons d'abord le développement en séries de
Fourier qui est une approximation d'une fonction par d'autres trigonométriques. Les séries de
Fourier s'appliquent aux signaux périodiques tandis que la transformée de Fourier concerne
les signaux apériodiques.
Définition 2.3.1. (Décomposition en séries de Fourier).
Soit une fonction périodique f(t) de période T. La décomposition en séries de Fourier de la
fonction g(t) est :
𝟐𝝅𝒏𝒕
𝟐𝝅𝒏𝒕
𝒈(𝒕) = 𝒂𝟎 + ∑[𝒂𝒏 𝐜𝐨𝐬 (
) + 𝒃𝒏 𝐬𝐢𝐧 (
)]
𝑻
𝑻
𝒏≥𝟏
Les coefficients a0, an et bn sont donnés par les formules d’Euler :
𝑻/𝟐
𝟏
𝒂𝟎 =
∫ 𝒈(𝒕)𝒅𝒕
𝑻
−𝑻/𝟐
𝑻/𝟐
𝟐
𝟐𝝅𝒏𝒕
𝒂𝒏 =
∫ 𝒈(𝒕) 𝐜𝐨𝐬 (
) 𝒅𝒕
𝑻
𝑻
−𝑻/𝟐
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𝑻/𝟐
𝟐
𝟐𝝅𝒏𝒕
𝒃𝒏 =
∫ 𝒈(𝒕) 𝐬𝐢𝐧 (
) 𝒅𝒕
𝑻
𝑻
−𝑻/𝟐
a0 est appelé la composante continu ou valeur moyenne du signal périodique g(t).
Théorème 2.3.1. (Existence de la décomposition en séries de Fourier).
Soit g(t) une fonction périodique de période T. Si g(t) est continue par morceaux et possède
une dérivée à droite et à gauche en tout point (pas nécessairement égales), alors g(t) peut être
décomposée en séries de Fourier.
Propriété 2.3.1. (Décomposition d'une fonction paire).
Soit g(t) une fonction paire et périodique de période T, sa décomposition en séries de
Fourier s’écrit :
𝟐𝝅𝒏𝒕
𝒈(𝒕) = 𝒂𝟎 + ∑[𝒂𝒏 𝐜𝐨𝐬 (
)]
𝑻
𝒏≥𝟏
Propriété 2.3.2. (Décomposition d'une fonction impaire).
Soit g(t) une fonction impaire et périodique de période T, sa décomposition en séries de
Fourier s'écrit :
𝟐𝝅𝒏𝒕
𝒈(𝒕) = ∑[𝒃𝒏 𝐬𝐢𝐧 (
)]
𝑻
𝒏≥𝟏
Propriété 2.3.3. (Forme complexe de la décomposition en séries de Fourier).
La forme complexe de la décomposition en séries de Fourier s'écrit :
+∞
𝒈(𝒕) = ∑ 𝒄𝒏 𝒆𝒋(
𝟐𝝅𝒏𝒕
)
𝑻
−∞
Avec :
𝑻/𝟐
𝟐𝝅𝒏𝒕
𝟏
𝒄𝒏 =
∫ 𝒈(𝒕)𝒆−𝒋( 𝑻 ) 𝒅𝒕
𝑻
−𝑻/𝟐
On peut écrire :
𝒄𝒏 =
Avec :
𝟏
(𝒂 − 𝒋𝒃𝒏 )
𝟐 𝒏
|𝒄𝒏 | =
𝟏
√𝒂𝟐𝒏 + 𝒃𝟐𝒏
𝟐
𝒃𝒏
𝒂𝒓𝒈(𝒄𝒏 ) = −𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 ( )
𝒂𝒏
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La suite |𝒄𝒏 | s'appelle le spectre d'amplitude de g(t) et 𝒂𝒓𝒈(𝒄𝒏 ) le spectre de phase.
Définition 2.3.2. Si un signal g(t) est développable en série de Fourier alors :
 hn(t)= ancos(2πnt/T)+ bnsin(2πnt/T) est la nième harmonique du signal (n>1) ;
 h1(t)= a1cos(2πt/T)+ b1sin(2πt/T) est le fondamental du signal.
On remarque que la décomposition en série de Fourier permet de passer d'une
représentation continue (g(t)), à une représentation discrète (cn) à condition que la fonction
continue soit périodique. Nous allons retrouver cette propriété lors de l'étude du théorème de
l'échantillonnage.
Exemple 2.3.1. x(t)=-1 sur ]- π,0[ et x(t)=1 sur [0, π [.
x(t) est continue par morceaux sur [-π, π] et dérivable à gauche et à droite en tout point,
d'autre part x(t) est impaire donc tous les coefficients an sont nuls.
bn 

1 2
2 
2 1
2 1
1

x ( t ) sin ntdt   sin ntdt   cos nt    cos n  

 0
 0
 n
n
0   n
bn 

2
1  (1) n
n

Si n = 2p+1 alors
b 2 p 1 
4
(2p  1)
Donc x ( t )  4  sin t  1 sin 3t  1 sin 5t  ... 

Pour 𝑡 =
𝜋
𝜋
2
3

1
sin( 2p  1) t  ...
2p  1

on obtient :
4 1
x ( 2 ) = 1 et 1 = 𝜋 (1 +
𝜋
5
1
1
1
(−1)
3
1
(−1)𝑝
+ 5 + ⋯ + 2𝑝+1 + ⋯ )
(−1)𝑝
donc 4 = 1 − 3 + 5 − 7 … + 2𝑝+1 + ⋯ )
Donc
(1) n 
 .

2
n

1
4
n 0
Exemple 2 : x(t)=t² sur [-π, π]
x(t) est continue par morceaux sur [-π, π] et dérivable à droite et à gauche en tout point, de
plus x(t) est paire donc les coefficients bn sont nuls.
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Après deux intégrations par parties successives permettant d'abaisser le degré de la partie
polynomiale, on obtient alors :
II.4. Transformée de Fourier.
Dans la partie précédente, nous avons vu qu'il était possible de décomposer toutes fonctions
périodiques sous la forme de séries de Fourier. Dans ce paragraphe, nous allons essayer
d'étendre cette idée de décomposition en fonctions élémentaires à une gamme de fonctions
plus grande que les seules fonctions périodiques.
Ainsi, la transformée de Fourier s'applique aux signaux non périodiques mais à énergie
finie c'est-à-dire :
+∞
∫ |𝒈(𝒕)|𝟐 𝒅𝒕 < ∞
−∞
Définition 2.4.1. (Transformée de Fourier).
On appelle transformée de Fourier de la fonction g(t), la fonction notée 𝑔̂(𝜔) telle que :
+∞
̂ (𝝎) = ∫ 𝒈(𝒕)𝒆(−𝒋𝝎𝒕) 𝒅𝒕
𝒈
−∞
Définition 2.4.2. (Transformée de Fourier inverse).
On appelle transformée de Fourier inverse de la fonction 𝑔̂(𝜔), la fonction notée g(t) telle
que :
+∞
𝟏
̂ (𝝎)𝒆(𝒋𝝎𝒕) 𝒅𝝎
𝒈(𝒕) =
∫ 𝒈
𝟐𝝅
−∞
Généralement on dénote la transformée de Fourier avec le symbole chapeau « ^ ». On
utilisera par la suite les notations suivantes :
̂ (𝝎) = 𝓕(𝒈(𝒕)) = 𝑻𝑭(𝒈(𝒕)) = 𝑮(𝝎)
𝒈
̂ (𝝎)) = 𝑻𝑭−𝟏 (𝒈
̂ (𝝎))
𝒈(𝒕) = 𝓕−𝟏 (𝒈
Exemple 2.4.1. (TF de la fonction porte).
Calculons la transformée de Fourier de la fonction porte définie par :
𝒈(𝒕) = {
𝟏,
𝟎,
𝑠𝑖 |𝑡| ≤ 1
𝑠𝑖 |𝑡| ≠ 1
D’après la définition, on a :
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+∞
̂ (𝝎) = ∫ 𝒈(𝒕)𝒆(−𝒋𝝎𝒕) 𝒅𝒕
𝒈
−∞
+𝟏
= ∫ 𝒆(−𝒋𝝎𝒕) 𝒅𝒕
−𝟏
=
𝟏
[𝒆−𝒋𝝎 ]+𝟏
−𝟏
−𝒋𝝎
= 𝟐 𝐬𝐢𝐧(𝝎)
On obtient une fonction continue de la variable ω.
Quelques remarques sur la transformée de Fourier :
1. La transformée de Fourier permet de passer d'une représentation dans l'espace des
temps à une représentation dans l'espace des fréquences.
2. g(t) et 𝑔̂(𝜔) peuvent être des fonctions complexes. Le plus souvent, nous serons
amenés à traiter le cas où g(t) est réelle et 𝑔̂(𝜔) est une fonction complexe à symétrie
hermitienne.
3. La transformée de Fourier inverse peut être interprétée de la façon suivante : g(t) se
décompose comme une somme 'infinie' de fonctions harmoniques (𝒆(𝒋𝝎𝒕) ) pondérées
par les coefficients 𝑔̂(𝜔).
4. 𝑔̂(𝜔) est le spectre de la fonction g(t).
5. ⌈𝑔̂(𝜔)⌉ est appelé module du spectre de g(t), cette quantité représente la contribution
de chaque harmonique.
6. arg(𝑔̂(𝜔)) est la phase du spectre, cette quantité représente le déphasage entre chaque
harmonique.
7. La transformée de Fourier est réversible : 𝑔(𝑡) = ℱ −1 [ℱ(𝑔(𝑡))].
Exemple 2.4.2. (Le son) :
Une grandeur de la vie quotidienne pour lequel il est naturel de parler de fréquence et de
spectre est le son. Tout le monde a déjà associé à un son les concepts de graves ou aigus. Ces
mots signifient respectivement qu'un son possède un spectre avec seulement des basses
fréquences ou seulement des hautes fréquences. On fait donc de la transformée de Fourier
sans le savoir !
La transformée de Fourier est donc une autre 'vision' de la fonction g(t). La visualisation du
spectre permet de voir les informations autrement. Cet outil est l'outil de base du traitement
des signaux.
Propriété 2.4.1. (Linéarité).
La transformée de Fourier d'une combinaison linéaire des fonctions f et g est la
combinaison linéaire des transformées de Fourier des fonctions f et g :
̂ (𝝎)
𝓕(𝒂𝒇(𝒕) + 𝒃𝒈(𝒕)) = 𝒂𝒇̂(𝝎) + 𝒃𝒈
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Propriété 2.4.2. (Dérivation).
̂ (𝝎) par jω :
L'opération de dérivation de la fonction g(t) revient à multiplier la fonction 𝒈
𝓕(
𝒅𝒈
̂ (𝝎)
) = 𝒋𝝎𝒈
𝒅𝒕
Cette propriété permet de passer d'une expression faisant apparaître des dérivées à une
expression de type polynôme en 𝝎.
Propriété 2.4.3. (Dérivée d'ordre supérieur).
Le résultat précédent s'étend sans difficulté aux dérivées d'ordre supérieur :
𝒅𝒏 𝒈
̂ (𝝎)
𝓕 ( 𝒏 ) = (𝒋𝝎)𝒏 𝒈
𝒅𝒕
Propriété 2.4.4. (Décalage dans le temps).
Un décalage d'une quantité t0 dans l'espace des temps correspond à multiplier la fonction
̂ (𝝎) par 𝒆(−𝒋𝝎𝒕𝟎 ) dans l'espace de Fourier :
𝒈
̂ (𝝎)
𝓕(𝒈(𝒕 − 𝒕𝟎 )) = 𝒆(−𝒋𝝎𝒕𝟎 ) 𝒈
Propriété 2.4.5. (Théorème de convolution).
Si f et g sont deux fonctions absolument intégrables sur l'axe des réels, alors la transformée
de Fourier du produit de convolution de f par g est le produit simple des transformées de
Fourier :
̂ (𝝎)
𝓕(𝒇(𝒕) ∗ 𝒈(𝒕)) = 𝒇̂(𝝎) ∗ 𝒈
Cette relation est très importante. Elle permet de 'transformer' un produit de convolution en
un produit simple. Elle justifie, à elle seule, l'emploi intensif de la transformée de Fourier en
traitement du signal.
Propriété 2.4.6. (Transformée de Fourier de la fonction généralisée de Dirac).
La transformée de Fourier de la fonction généralisée de Dirac est :
𝓕(𝜹(𝒕 − 𝒕𝟎 )) = 𝒆(−𝒋𝝎𝒕𝟎 )
Propriété 2.4.7. (Transformée de Fourier inverse de la fonction généralisée de Dirac).
𝓕−𝟏 (𝜹(𝝎 − 𝝎𝟎 )) = 𝒆(𝒋𝝎𝟎𝒕)
Propriété 2.4.8. (Transformée de Fourier des fonctions sinus et cosinus).
𝓕(𝒔𝒊𝒏(𝝎𝟎 𝒕)) =
𝒋
[𝜹(𝝎 + 𝝎𝟎 ) − 𝜹(𝝎 − 𝝎𝟎 )]
𝟐
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𝓕(𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟎 𝒕)) =
𝒋
[𝜹(𝝎 + 𝝎𝟎 ) + 𝜹(𝝎 − 𝝎𝟎 )]
𝟐
Propriété 2.4.9. (Transformée de Fourier du peigne de Dirac).
+∞
+∞
𝒏=−∞
𝒏=−∞
𝟏
𝒏
𝓕(𝜱(𝒕)) = 𝓕 [ ∑ 𝜹(𝒕 − 𝒏𝑻)] = ∑ 𝜹(𝒈 − )
𝑻
𝑻
Cette propriété montre que la transformée de Fourier d'un peigne de Dirac de période T est
un peigne de Dirac avec une fréquence de récurrence de 1/T et une amplitude de 1/T.
II.5. Transformée de Fourier, SLITT et filtrage.
On considère un filtre appartenant à la classe des SLITT (Systèmes linéaires et Invariants
par Translation dans le Temps). Rappelons que les systèmes linéaires et invariants par
translation dans le temps sont caractérisés par une équation de convolution :
+∞
𝒔(𝒕) = ∫ 𝒉(𝒕 − 𝒖)𝒆(𝒖)𝒅𝒖 = 𝒉(𝒕) ∗ 𝒆(𝒕)
−∞
s(t) est le signal de sortie du filtre, e(t) est le signal d'entrée du filtre et h(t) est la réponse
impulsionnelle du filtre. En effet, si e(t) = δ(t) alors s(t) = h(t), car la fonction généralisée de
Dirac est l'élément neutre du produit de convolution.
D'après le théorème de convolution, la transformée de Fourier de cette relation s'écrit :
̂ (𝝎)𝒆̂(𝝎)
𝒔̂(𝝎) = 𝑯
Définition 2.5.1. (Fonction de transfert).
On appelle fonction de transfert la fonction notée H(ω) reliant la sortie et l'entrée d'un
système linéaire et invariant dans le temps :
̂ (𝝎) =
𝑯
𝒔̂(𝝎)
𝒆̂(𝝎)
Cette fonction caractérise entièrement le système étudié, elle contient l'intégralité de ses
propriétés physiques.
On remarque que la réponse impulsionnelle du filtre et la fonction de transfert sont reliées
par la relation :
𝒉(𝒕) = 𝓕−𝟏 [𝑯(𝝎)]
L'information sur le filtre est contenue soit dans la réponse impulsionnelle h(t), soit dans la
fonction de transfert H(ω) qui sont deux représentations d'une même chose, l'une dans l'espace
des temps, l'autre dans l'espace des fréquences. Selon, le problème, il est plus intéressant de
travailler avec l'une ou l'autre de ces représentations.
Nous allons voir brièvement quelques filtres dont les caractéristiques sont fréquentielles.
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Exemple 2.5. (Filtre passe-bas du premier ordre).
On considère le filtre analogique de la figure ci-dessous. On note e(t) la tension à l'entrée
du circuit, s(t) la tension à la sortie. Dans la suite, pour alléger les notations, on pourra poser
τ=RC.
1. Etablir l’équation différentielle liant l'entrée et la sortie.
2. Calculer la transformée de Fourier de l'équation trouvée.
3. En déduire la fonction de transfert du filtre.
4. Tracer l'allure du gain en fréquences (log(|𝐻(𝜔)|).
5. Comment peut-on qualifier ce filtre ?
II.6. Transformées de Laplace.
La partie précédente a permis de mettre en place le formalisme des transformées de Fourier.
Cette transformée est bien adaptée aux problèmes impliquant des fonctions définies (et
intégrables) de moins infini à plus infini. Cependant, il existe d'autres problèmes avec des
conditions initiales du type "à t=0, ..." qui ne sont pas bien décrits par la transformée de
Fourier. On utilise pour ces cas la transformée de Laplace.
Définition 2.6.1. (La transformée de Laplace).
Soit une fonction f(t) causale i.e f(t)=0 pour t<0, On appelle transformée de Laplace de la
fonction f(t), la fonction F(p) (p étant un nombre complexe) définie par :
+∞
𝑭(𝒑) = ∫ 𝒇(𝒕)𝒆−𝒑𝒕 𝒅𝒕
−∞
Avec
𝐥𝐢𝐦𝒇(𝒕) 𝒆−𝒑𝒕 = 𝟎
𝒕→∞
Dans ce cours, la transformée de Laplace sera notée indifféremment F(p) = Ḷ(f(t)) =
TL(f(t)).
Théorème 2.6.1.
Si f(t) est ne fonction intégrable sur tout intervalle fini de l'axe des réels et qui ne diverge
pas en norme à l'infini plus vite qu'une exponentielle de type 𝑒 −𝑐𝑡 (avec ∈ ℝ ), alors sa
transformée de Laplace existe pour tout 𝑝 ∈ ℂ dont la partie réelle est plus grande que c
(R(p) > c).
Exemple 2.61. (Transformée de Laplace de la fonction Heaviside).
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Calculons la transformée de Laplace de la fonction de Heaviside.
𝟎,
𝒉(𝒕) = {
𝟏,
𝒕<𝟎
𝒕≥𝟎
La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est :
+∞
𝑯(𝒑) = ∫ 𝒆−𝒑𝒕 𝒅𝒕
𝟎
+∞
𝒆−𝒑𝒕
=[
]
−𝒑 𝟎
=
𝟏
𝒑
Théorème 2.6.2. (Transformée de Laplace inverse).
Soit f(t) une fonction admettant une transformée de Laplace F(p). Soit γ un nombre réel
plus grand que la partie réelle de tous les points où F(p) est singulière. La transformée de
Laplace inverse s'obtient par l'expression suivante :
𝜸+𝒋∞
𝟏
𝒇(𝒕) =
∫ 𝑭(𝜸 + 𝒋𝝎)𝒆(𝜸+𝒋𝝎)𝒕 𝒅𝝎
𝟐𝝅
𝜸−𝒋∞
En pratique, on calcule rarement les transformées de Laplace directe ou inverse. On utilise
des tables dans lesquelles, les fonctions usuelles et leur transformée ont été compilées.
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Table 2.1. Quelques exemples de transformées de Laplace.
Propriété 2.6.1. (Linéarité).
La transformée de Laplace d'une combinaison linéaire des fonctions f et g est la
combinaison linéaire des transformées de Laplace des fonctions f et g.
Ḷ[𝒂𝒇(𝒕) + 𝒃𝒈(𝒕)] = 𝒂𝑭(𝒑) + 𝒃𝑮(𝒑)
Propriété 2.6.2. (Dérivation).
𝒅𝒇
Ḷ ( ) = 𝒑𝑭(𝒑) − 𝒇(𝟎)
𝒅𝒕
Propriété 2.6.3. (Dérivée d’ordre supérieur).
𝒅𝒏 𝒇
𝒅𝒏−𝟏 𝒇
Ḷ ( 𝒏 ) = 𝒑𝒏 𝑭(𝒑) − 𝒑𝒏−𝟏 𝒇(𝟎) − 𝒑𝒏−𝟐 𝒇′ (𝟎) − ⋯ − 𝒏−𝟏 (𝟎)
𝒅𝒕
𝒅𝒕
Propriété 2.6.4. (Intégration).
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𝒕
Ḷ [∫ 𝒇(𝒖)𝒅𝒖] =
𝟎
𝟏
𝑭(𝒑)
𝒑
Propriété 2.6.5. (Décalage dans le temps).
Ḷ[𝒇(𝒕 − 𝒕𝟎 )𝒉(𝒕 − 𝒕𝟎 )] = 𝒆−𝒑𝒕𝟎 𝑭(𝒑)
Propriété 2.6.6. (Produit de convolution).
Ḷ[𝒇(𝒕) ∗ 𝒈(𝒕)] = 𝑭(𝒑)𝑮(𝒑)
II.7. La Transformée de Fourier à Temps Discret.
Lorsqu'on travaille avec des fonctions échantillonnées, on ne peut plus utiliser la
transformée de Fourier qui est un outil dédié aux fonctions continues. Pour cela, on introduit
la Transformée de Fourier à Temps Discret (TFTD).
Définition. (Transformée de Fourier à Temps Discret).
On appelle TFTD de x[n], la fonction X(ν) telle que :
+∞
𝑿(𝝂) = ∑ 𝒙[𝒏]𝒆−𝟐𝒋𝝅𝝂𝒏
−∞
Avec ν=f/Fe la fréquence réduite, f la fréquence en Hertz, et Fe la fréquence d'échantillonnage
(Fe = 1/Te où T est le pas de temps entre deux échantillons).
Cette définition appelle plusieurs remarques :
 ν est une variable continue (pas d'échantillons) ;
 x[n] est un signal numérique (échantillons) ;
 X(ν) est une fonction continue ;
 X(ν) est une fonction périodique de période 1 : X(ν + 1) = X(ν) ;
 En général, on restreint la représentation de X(ν) sur l'intervalle [0; 1[ ou [-1/2 ;1/2]
D'après cette définition, on constate que la TFTD est en fait la décomposition en série de
Fourier de la fonction X(ν) (sous sa forme complexe). Les coefficients de la décomposition
permettent de calculer les x[n] à partir des X(ν) :
𝟏/𝟐
𝒙[𝒏] = ∫ 𝐗(𝛎)𝒆𝟐𝒋𝝅𝛎𝐧 𝒅𝛎
−𝟏/𝟐
La TFTD apparaît comme l'outil naturel pour les signaux à temps discrets. Tout comme la
TFTC, la TFTD possède les propriétés de linéarité, translation dans le temps et de
convolution.
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II.8. La Transformée de Fourier Discrète.
La TFTD vue dans la partie précédente, ne peut pas être calculée sur ordinateur car c'est
une fonction continue. L'utilisation de calculateur impose d'introduire un nouvel outil qui ne
s'appliquerait qu'aux signaux discrets tel que :
𝑇𝐹𝐷
𝑥[𝑛] → 𝑋[𝑘]
Où x[n] est une suite d'échantillons en temps (n : indice des temps) et X[k] une suite
d'échantillons en fréquences (k : indice les fréquences).
Définition 8.1. Transformée de Fourier Discrète.
On appelle Transformée de Fourier Discrète la transformation reliant les suites x[n] et
X[k] :
𝑛−1
𝑋[𝑘] = ∑ 𝑥[𝑛]𝜔𝐾𝑛𝑘
𝑛=0
2𝑗𝜋
Où 𝜔𝐾 = 𝑒 − 𝐾
Définition 8.2. Transformée de Fourier Discrète inverse.
On appelle Transformée de Fourier Discrète inverse, la transformation reliant les suites
X[k] et x[n] :
𝐾−1
1
𝑥[𝑛] = ∑ 𝑋[𝑘]𝜔𝐾−𝑛𝑘
𝑁
𝑘=0
2𝑗𝜋
Où 𝜔𝐾 = 𝑒 − 𝐾
En pratique, pour le calcul de la TFD, on s'arrange pour que le nombre d'échantillons
fréquentiels soit supérieur au nombre d'échantillons temporels : K > N. On vient ensuite
compléter les échantillons temporels par des zéros de sorte que les calculs sont faits pour K
points en temps et en fréquences :
𝑥[𝑛],
𝑛 ≤𝑁−1
𝑥2 [𝑛] = {
0,
𝐾−1≥𝑛 ≥𝑁
En effet, on montre que les TFD de x[n] et de x2[n] sont égales dans ce cas :
𝐾−1
𝑋2 [𝑘] = ∑ 𝑥[𝑛]𝜔𝐾𝑛𝑘
𝑛=0
𝑁−1
= ∑ 𝑥[𝑛]𝜔𝐾𝑛𝑘
𝑛=0
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= 𝑋[𝑘]
Cette opération s'appelle faire du zero padding.
Tout comme la TFTC et la TFTD, la Transformée de Fourier discrète possède les propriétés
de linéarité et de translation.
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III. LES SIGNAUX ECHANTILLONNES.
III.1. L’échantillonnage.
III.1.1. Modélisation.
L’échantillonnage consiste à prélever la valeur du signal analogique x(t) aux instants nT E.
L’échantillonneur est représenté par un interrupteur que l’on ferme pendant une durée ε très
courte aux instants nTE.
TE
Fig.3.1. Echantillonnage d’un signal.
Le problème consiste à trouver une modélisation de la fonction « interrupteur », c’est-à-dire
la relation de passage de x(t) à xech(T). Pour cela, on peut associer une fonction
d’échantillonnage h(t) à l’interrupteur telle que h = 1 lorsque l’interrupteur est fermé et h = 0
lorsqu’il est ouvert. Dans ces conditions on peut écrire :
𝒙𝒆𝒄𝒉 (𝒕) = 𝒉(𝒕)𝒙(𝒕)
Faisons un zoom sur xech(t) au voisinage de t=0.
xech
xech
x(0)
x(t)
-ε/2
ε/2
t
-ε/2
ε/2
t
La durée ε de l’impulsion étant très courte devant la période d’échantillonnage T E, on peut
admettre que l’amplitude de l’impulsion est constante et égale à la valeur moyenne de x(t) sur
la durée ε.
+𝜺/𝟐
𝟏
𝒙(𝟎) =
∫ 𝒙(𝒕)𝒅𝒕
𝜺
−𝜺/𝟐
Pour simplifier, le signal échantillonné peut donc être assimilé à des impulsions
rectangulaires d’amplitude x(nTE).
III.1.2. Spectre du signal échantillonné.
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Si on suppose que l’unité de calcule réalise l’algorithme yn = xn alors le système doit
restituer un signal y(t) image de x(t). Cela suppose que le signal échantillonné comporte
toutes les harmoniques contenus dans x(t) à un facteur constant près et qu’il est possible de les
isoler.
En observant xech(t), il apparait évident que plus il y a d’échantillons par période T de x(t)
et plus on a de chance de restituer correctement x(t) ; ce qui conduit à penser que la fréquence
d’échantillonnage doit être la plus grande possible. Cependant, cette dernière ne pouvant être
infinie, quelle doit être sa valeur limite inférieur ?
Pour répondre à cette question, étudions le spectre de xech(t) pour un signal sinusoïdal de
fréquence f :
𝒙(𝒕) = 𝑿𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕) avec 𝜔 = 2𝜋𝑓
On a vu que 𝒙𝒆𝒄𝒉 (𝒕) = 𝒉(𝒕)𝒙(𝒕). Le spectre de xech se déduit donc de celui de h(t) représenté
sur la figure ci-dessous.
h(t)
1
-ε/2
+ε/2
2TE
TE
La fonction h(t), de fréquence FE, est paire et admet donc un développement en série de
Fourier avec des termes en cosinus :
𝒉(𝒕) = 𝑨𝟎 + ∑[𝑨𝒏 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝎𝑬 𝒕)]
𝒏≥𝟏
avec ωE = 2πFE
𝑨𝟎 =
𝜺
𝑻𝑬
𝜺/𝟐
𝟒
𝟒
𝟒
𝒏𝝎𝑬 𝜺
[𝐬𝐢𝐧(𝒏𝝎𝑬 𝒕)]𝜺/𝟐
𝑨𝒏 =
∫ 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝎𝑬 𝒕) =
𝐬𝐢𝐧 (
)
𝟎 =
𝑻𝑬
𝒏𝝎𝑬 𝑻𝑬
𝒏𝝎𝑬 𝑻𝑬
𝟐
𝟎
𝒏𝝎𝑬 𝜺
𝟐𝜺 𝐬𝐢𝐧 ( 𝟐 ) 𝟐𝜺
𝒏𝝎𝑬 𝜺
𝑨𝒏 =
=
𝒔𝒄 (
)
𝒏𝝎
𝜺
𝑬
𝑻𝑬
𝑻𝑬
𝟐
𝟐
On reconnaît la fonction « sinus cardinal » définie par sc(a) =sin(a)/a représentée sur la
figure ci-dessous.
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Le développement en série de Fourier de xech est obtenu en multipliant celui de h(t) par
x(t) :
𝒙𝒆𝒄𝒉 (𝒕) = 𝑨𝟎 𝑿 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕) + ∑[𝑨𝒏 𝑿 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕) 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝎𝑬 𝒕)]
𝒏≥𝟏
D’après la relation trigonométrique 2cosa.cosb=cos(a-b)+cos(a+b) ; on peut décomposer le
second terme :
𝒙𝒆𝒄𝒉 (𝒕) = 𝑨𝟎 𝑿 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕) + ∑
𝒏≥𝟏
𝑨𝒏 𝑿
[𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝎𝑬 − 𝝎)𝒕 + 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝎𝑬 + 𝝎) 𝒕]
𝟐
En remplaçant A0 et An par leurs valeurs on a :
𝒙𝒆𝒄𝒉 (𝒕) =
𝜺𝑿
𝜺𝑿
𝒏𝝎𝑬 𝜺
𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕) + ∑
𝒔𝒄 (
) [𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝎𝑬 − 𝝎)𝒕 + 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝎𝑬 + 𝝎) 𝒕]
𝑻𝑬
𝑻𝑬
𝟐
𝒏≥𝟏
𝒏𝝎 𝜺
Si on admet que 𝝎𝑬 𝜺 ≪ 𝟐𝝅 alors 𝒔𝒄 ( 𝟐𝑬 ) ≈ 𝟏 pour n petit.
La figure ci-dessous donne alors le spectre de xech(t).
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𝜀𝑋 𝑛𝜔𝐸 𝜀
𝑠𝑐
𝑇𝐸
2
Xech(f)
𝜀𝑋
𝑇𝐸
f
f
FE-f
FE
FE+f
2FE-f
2FE+f
L’enveloppe du spectre correspond à la valeur absolue du sinus cardinal.
On peut généraliser ce résultat pour une fonction x(t) non sinusoïdal mais périodique, dont les
harmoniques sont situés dans une plage [0,fM], en appliquant le principe de superposition
(figure ci-dessous).
X(f)
f
fM
FE
Xech(f)
Sc()
f
fM FE- fM FE
FE+ fM 2FE- fM FE
2FE+ fM
L’échantillonnage produit donc une reproduction du spectre autour des fréquences nFE.
III.1.3. Condition de restitution du signal.
Si on réalise yn = xn, le spectre de yech(t) à la sortie du CAN sera identique à la celui de
xech(t). La reconstitution de y(t), image de x(t), pourra se faire simplement par filtrage passebas de yech(t). La fréquence de coupure de ce filtre, appelée fréquence de restitution ou de
lissage (smoothing filter) devra se situer au milieu de l’intervalle [fM, FE-fM], c’est-à-dire à
FE/2.
Ainsi, la reconstitution est possible à condition qu’il n’y est pas repliement, c’est-à-dire
recouvrement des différentes plages du spectre comme le montre la figure ci-dessous.
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Xech(f)
FE/2
Repliement
du spectre.
f
fM FE- fM FE FE+ fM
2FE
2FE- fM
2FE+ fM
Pour éviter le phénomène de repliement, il faut avoir fM ≤ FE - fM soit :
FE ≥ 2fM
Le théorème de l’échantillonnage, appelé aussi théorème de Shannon s’énonce ainsi :
Soit x(t) un signal continu dont le spectre est tel que |𝑿(𝒇)| = 𝟎 si f > fc, pour
échantillonner ce signal et le reconstitué sans altération, la fréquence d'échantillonnage FE
doit être supérieure au double de la plus grande fréquence du spectre.
Ceci est une condition limite qui supposerait l’utilisation d’un filtre de restitution idéal. En
pratique, on choisit un rapport FE/fM toujours supérieur à 2.
Pour les CD par exemple, on échantillonne à 44kHz sachant que la bande passante de
l’oreille humaine est limitée à 17kHz en moyenne ; le rapport FE/fM est alors d’environ 2,6.
Pour être certain d’éviter le repliement, on peut borner le spectre du signal x(t) à FM˂FE/2
en plaçant en amont de l’échantillonneur un autre filtre passe-bas dit anti-repliement.
III.2. Le blocage.
La durée ε des échantillons est généralement très courte devant la période
d’échantillonnage. Or l’opération de conversion A/N est rarement instantanée de sorte qu’il
est toujours indispensable de figer les échantillons pendant la durée de conversion au moins.
En pratique, on réalise un blocage du signal échantillonné, c’est-à-dire le maintien du
niveau de chaque échantillon, pendant TE ; le bloqueur est alors dit d’ordre 0 (pas de variation
du signal entre deux instants d’échantillonnage). Cette opération peut être réalisée au moyen
d’un condensateur.
TE
C
Le signal échantillonné bloqué est ainsi constitué de marche d’escalier. La phase de
blocage dure TE, ce qui permet au CAN de réaliser la quantification de l’échantillon.
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La modélisation du bloqueur devient plus aisée dès lors qu’on idéalise la fonction
échantillonnage :
𝒙𝒆𝒄𝒉 (𝒕) = 𝒉(𝒕)𝒙(𝒕).
h(t) est une impulsion de Dirac noté δ(t). On peut ainsi généraliser ce résultat aux échantillons
x(nTE) qui sont le résultat d’une multiplication par la fonction de Dirac retardée de nTE :
δ(t-nTE)
Ainsi, le signal échantillonné peut être modélisé par la fonction x*(t) qui est définie par :
+∞
𝒙∗ (𝒕) = ∑ 𝒙(𝒏𝑻𝑬 )𝜹(𝒕 − 𝒏𝑻𝑬 )
−∞
Comme δ(t-nTE) est nulle en dehors de t=nTE, x(nTE) peut être remplacé par x(t) et sorti de la
somme :
+∞
∗
𝒙 (𝒕) = 𝒙(𝒕) ∑ 𝜹(𝒕 − 𝒏𝑻𝑬 )
−∞
∑+∞
−∞ 𝜹(𝒕 − 𝒏𝑻𝑬 ) définit la fonction « peigne de Dirac » notée pgn(t). L’échantillonnage idéal
équivaut donc à une multiplication par pgn(t) :
𝒙∗ (𝒕) = 𝒙(𝒕)𝒑𝒈𝒏(𝒕)
Le signal x*(t) représenté ci haut est purement théorique et ne constitue qu’un modèle
mathématique du signal échantillonné. Si on considère la fonction x*(t), il faut reprendre le
calcul effectué au paragraphe précédent avec la fonction pgn(t).
La fonction pgn(t), de fréquence FE, est paire ;donc :
𝒑𝒈𝒏(𝒕) = 𝑨𝟎 + ∑[𝑨𝒏 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝎𝑬 𝒕)]
𝒏≥𝟏
𝑨𝟎 =
𝒂𝒊𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒍′𝒊𝒎𝒑𝒖𝒍𝒔𝒊𝒐𝒏
𝟏
=
𝑻𝑬
𝑻𝑬
𝜺/𝟐
𝟒
𝟏
𝟒
𝟒
𝒏𝝎𝑬 𝜺
[𝐬𝐢𝐧(𝒏𝝎𝑬 𝒕)]𝜺/𝟐
𝑨𝒏 =
∫ 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝎𝑬 𝒕) =
𝐬𝐢𝐧 (
)
𝟎 =
𝑻𝑬
𝜺
𝜺𝒏𝝎𝑬 𝑻𝑬
𝜺𝒏𝝎𝑬 𝑻𝑬
𝟐
𝟎
𝒏𝝎𝑬 𝜺
𝟐 𝐬𝐢𝐧 ( 𝟐 )
𝟐
𝒏𝝎𝑬 𝜺
𝑨𝒏 =
=
𝒔𝒄 (
)
𝒏𝝎
𝜺
𝑬
𝑻𝑬
𝑻𝑬
𝟐
𝟐
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𝟐
𝜺→𝟎
𝑻𝑬
Pour x(t)=Xcos(ωt), le développement en série de Fourier de x*(t) est obtenu en multipliant
celui de pgn(t) par x(t). On montre alors que :
𝐥𝐢𝐦 𝑨𝒏 =
𝒙∗ (𝒕) =
𝑿
𝑿
𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕) + ∑ [𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝎𝑬 − 𝝎)𝒕 + 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝎𝑬 + 𝝎) 𝒕]
𝑻𝑬
𝑻𝑬
𝒏≥𝟏
Au facteur ε près on retrouve le même spectre que celui de xech sans le sinus cardinal.
Pour examiner les effets du bloqueur d’ordre 0 sur le spectre du signal échantillonné, il faut
s’intéresser à sa réponse fréquentielle et pour cela examiner sa fonction de transfert 𝐵(𝑗𝜔).
Considérons la réponse de l’échantillonneur-bloqueur pour une impulsion brève
d’amplitude unité appliquée à t=0.
x*(t)
1
0
x(t)
xEB(t)
1
t
0
Echantillonneur
idéal
Bloqueur
d’ordre 0
1
t
0
TE
TE
Dans l’hypothèse de l’échantillonnage idéal, la multiplication de x(t) par la png(t) donne une
impulsion unité unique en 0, c’est-à-dire la fonction de Dirac :
𝑥 ∗ (𝑡) = 𝛿(𝑡) → 𝑥 ∗ (𝑡) = 1
La transformée de Laplace de xEB(t) est obtenue en décomposant xEB(t) en deux fonction
échelon unité :
1 − 𝑒 −𝑝𝑇𝐸
𝑥𝐸𝐵 (𝑡) = 𝑢(𝑡) − 𝑢(𝑡 − 𝑇𝐸 ) → 𝑥𝐸𝐵 (𝑝) =
𝑝
On déduit alors la fonction de transfert B(p) du bloqueur d’ordre 0 :
−𝑗𝜔𝑇𝐸 𝑒
𝑥𝐸𝐵 (𝑝) 1 − 𝑒 −𝑝𝑇𝐸
1 − 𝑒 −𝑗𝜔𝑇𝐸
𝐵(𝑝) = ∗
=
⇒ 𝐵(𝑗𝜔) =
=𝑒 2
𝑥 (𝑝)
𝑝
𝑗𝜔
𝑗𝜔𝑇𝐸
2
−𝑒
𝑗𝜔
−𝑗𝜔𝑇𝐸
2
En utilisant les formules d’Euler, on obtient :
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𝐵(𝑗𝜔) =
−𝑗𝜔𝑇𝐸
𝑒 2
𝜔𝑇
𝜔𝑇𝐸
2𝑗 sin ( 2 𝐸 )
−𝑗𝜔𝑇𝐸 sin (
𝜔𝑇𝐸
𝐸
2 ) = 𝑇 𝑒 −𝑗𝜔𝑇
2 𝑠𝑐 (
= 𝑇𝐸 𝑒 2
)
𝐸
𝜔𝑇𝐸
𝑗𝜔
2
2
La figure ci-dessous donne l’amplification B en fonction de la fréquence.
𝐵(𝑓) = 𝑇𝐸 |𝑠𝑐 (
𝜋𝑓
)|
𝐹𝐸
Ainsi, le blocage se traduit par un simple filtrage passe-bas en sinus cardinal des
composantes du spectre de x*(t).
Restitution du signal.
L’échantillonnage produit donc une reproduction du spectre de x(t) autour des fréquences
nFE et le bloqueur réalise un filtrage passe-bas en sinus cardinal. Si on réalise yn = xn, le
spectre de yech(t) à la sortie du CNA sera identique à celui de xEB(t). Le signal de sortie y(t)
obtenu après filtrage (f-3dB)=FE/2) sera alors sensiblement déformé par rapport à x(t).
En pratique, on limite cette distorsion en choisissant FE˃˃fM de sorte que B = TE = cste sur
l’intervalle [0,fM]. Une autre solution consiste à utiliser un filtre passe-bas de restitution
présentant une courbe d’amplification qui varie suivant 1/sc(πf/FE) dans sa bande passante
afin de compenser l’affaiblissement introduit par le bloqueur.
III.2.1. Exemple d’échantillonneur bloqueur.
La figure ci-dessous donne un exemple d’échantillonneur-bloqueur réalisé à partir
d’amplificateurs opérationnel. Son principe de fonctionnement est le suivant :
Phase d'échantillonnage :
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L'échantillonnage consiste à prélever périodiquement la valeur de la tension ue(t).
Cette opération non linéaire est réalisée en utilisant un interrupteur électronique K
commandé au rythme d'un signal d'horloge uC(t) dont la période TE est la période
d'échantillonnage.
Phase de maintien :
A l'instant kTE , le condensateur C se charge avec la tension ue(kTE). Entre les
instants kTE et (1+k)TE , le condensateur ne se décharge pas ( i = 0) et maintient
constante la tension ( uEB (t) = ue(kTE)). La présence de l'amplificateur suiveur
permet d'avoir i = 0. A l'instant (1+k)TE , le condensateur C se charge avec la tension
ue[(k+1)TE]. Le signal uEB (t) est appelé signal échantillonné bloqué.
Conversion.
A l'entrée du convertisseur analogique-numérique, la tension échantillonnée bloquée
est maintenue constante pendant la période d'échantillonnage TE. La conversion est
possible dans la mesure où le temps de conversion TC est inférieur à TE .
III.3. La quantification.
Le signal échantillonné - bloqué peut, à ce stade, être converti sous forme binaire
(numérique) pour être stocké. Ce codage s'appelle la quantification. Le rôle de la
quantification est de donner une image binaire d’un signal analogique.
III.3.1. Principe.
A chaque niveau de tension est associée une valeur binaire codée sur n bits. n bits vont
permettre de distinguer 2n niveaux de tension répartis de -Vm à +Vm. On a ainsi un pas de
quantification :
2𝑉𝑚
𝑞= 𝑛
2

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Ainsi un signal de +/-5V codé sur 8 bits donnera un pas de quantification q=39mv. La
caractéristique d’entrée – sortie d’un CAN est une caractéristique en marche d’escalier.
Chaque palier a une largeur d’un pas de quantification q. Le passage d’un palier à un autre
correspond à une variation de ‘1’ du code.
Le pas de quantification est aussi appelé quantum. Il correspond à la résolution du
convertisseur. Le quantum est la plus petite variation de tension que le convertisseur peut
coder.
Figure 12 : Caractéristique entrée - sortie d’un CAN.
III.3.2. Choix du nombre de bits de quantification.
III.3.2.1 Choix classique.
Dans le cadre d’une simple acquisition, on peut se contenter de choisir ‘n’ vis à vis de la
résolution souhaitée.
III.3.2.2. Prise en compte du rapport signal sur bruit.
Dans le cadre d’une acquisition - restitution, ce qui est le cas pour l’audio numérique, on va
choisir le nombre de bits de codage par rapport au rapport signal sur bruit :
𝑆𝑁𝑅𝑑𝐵 = 10𝑙𝑜𝑔
𝑃𝑠𝑖𝑔𝑛𝑎𝑙
𝑃𝑏𝑟𝑢𝑖𝑡
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Les puissances sont ici calculées vis à vis d’une charge de 1Ω. Elles correspondent à la
moyenne quadratique du signal :
𝑃𝑣 = 〈𝑣 2 (𝑡)〉
Ainsi, dans le cas d’un signal sinusoïdal parcourant la pleine échelle du convertisseur, nous
obtenons avec une quantification linéaire centrée un rapport signal sur bruit :
𝑆𝑁𝑅𝑑𝐵 = 6𝑛 + 1.76𝑑𝐵
Ce qui signifie qu’un bit de code rajoute 6dB de rapport signal sur bruit.
Dans le cadre du Compact Disc, la prise en compte de la physiologie de l’oreille fait
apparaître un masquage sonore entre deux sons s’ils sont espacés de plus de 40dB. De plus,
les dynamiques musicales (Type Opéra) sont d’environ 40dB. Il faut donc un SNR d’au moins
80dB pour effectuer un enregistrement Haute-Fidélité. Un codage sur 14 bits suffit (85.76dB
de SNR). On utilise souvent un code sur 16 car cela représente 2 octets, ce qui, d’un point de
vue informatique est plus simple à gérer. On a donc pour le CD un enregistrement qui est
effectué avec un SNR de 96dB.
Pour un signal sinusoïdal d’amplitude Vsin (inférieur à la pleine amplitude E), le calcul du
SNR donne :
𝑉𝑠𝑖𝑛
𝑆𝑁𝑅𝑑𝐵 = 6𝑛 + 1.76𝑑𝐵 + 20𝑙𝑜𝑔
𝐸
Le SNR dans une quantification linéaire dépend de l’amplitude du signal.
III.4. Conversions analogique-numérique et numériqueanalogique.
III.4.1. Introduction.
Le monde physique est par nature analogique (dans la quasi-totalité des cas). Il est perçu
via des signaux analogiques (son, ondes visuelles, etc.) qui peuvent être traités par des
systèmes analogiques. Depuis une vingtaine d’années, le traitement numérique des données
prend le pas sur les approches purement analogiques. L’interface nécessaire entre le monde
analogique et un traitement numérique de donnés est réalisé par des convertisseurs
analogique–numérique (CAN, ou ADC pour Analog to Digital Converter en anglais1) et
numérique–analogique (CNA, ou DAC pour Digital to Analog Converter). Le rôle d’un CAN
est de convertir un signal analogique en un signal numérique pouvant être traité par un circuit
numérique, et le rôle d’un CNA est de reconvertir le signal numérique une fois traité en un
signal analogique.
Fig.2. Conversions et traitement numérique des données.
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III.4.2. Convertisseur analogique numérique.
III.4.2.1. Principe de la conversion analogique numérique.
Définition : Un convertisseur analogique – numérique (CAN) est un dispositif électronique
permettant la conversion d’un signal analogique en un signal numérique. La figure ci-dessous
présente le symbole d’un CAN à N bits.
Fig.2. Symbole d’un convertisseur analogique numérique.
III.4.2.2. Relation entre V et N(10).
Il est nécessaire de connaître la plage de tension convertie en entrée du CAN; cette plage
est définie par les deux tensions Vref+ et Vref- :
 Pour la tension V minimale (V = Vref-), le nombre en sortie sera N(10) = 0,
 Pour la tension V maximale (V = Vref+), le nombre en sortie sera N(10) = 2n,
Remarque : le nombre maximal en sortie est Nmax = 2n – 1 ; on ne pourra donc pas convertir
une tension égale à Vref+.
 La relation reliant V à N(10) est donnée par la relation ci-dessous.
Q est le quantum du convertisseur (plus petite variation de tension en sortie).
 La tension maximale en entré est donc :
III.4.2.3. Caractéristique des CAN réels.
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Les caractéristiques d’un CAN sont : le temps (limité par la vitesse de commutation des
interrupteurs électroniques. Il limite la fréquence d’échantillonnage) ; les erreurs de gain, de
décalage, et de linéarité.
III.4.2.2. Exemples de CAN.
 CAN à simple rampe.
La tension ue à convertir est comparée à une rampe de tension ur(t) (charge d'un
condensateur à courant constant I0).
 Tant que ue > ur(t), le compteur binaire s'incrémente à chaque impulsion d’horloge.
 Dès que ue = ur(t), le compteur s'arrête et son contenu est :
 CAN à comparaison directe.
La tension ue à convertir est comparée à une rampe "numérique" uCNA(t) (tension de sortie
du CNA dont l'entrée est la sortie du compteur).
 Tant que ue > uCNA , le compteur binaire s'incrémente à chaque impulsion d’horloge.
 Dès que ue = uCNA, le compteur s'arrête et son contenu est :
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 CAN à comparateur en échelle (flash).
Le montage comporte un ensemble de comparateurs. Les entrées "+" sont reliées entre elles
et on leur applique la tension ue à convertir. Une tension de référence Uref est divisée par un
réseau de résistances R et les fractions de Uref sont appliquées aux entrées "-" des
comparateurs. Enfin, un circuit de logique combinatoire délivre le nombre N(2) à partir des
sorties des comparateurs.
Principe de fonctionnement (prenons par exemple Uref = 5V):
 Les tensions appliquées aux entrées "-" des comparateurs sont : U0- = Uref/5 = 1V ;
U1- = 2V ; U2- = 3V ; U3- = 4V ; U4- = 2V.
Les tensions en sortie des comparateurs sont inscrites dans le tableau ci-dessous :
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III.4.3. Convertisseur numérique analogique (CNA).
La figure ci-dessous donne le symbole d’un convertisseur numérique analogique (DAC,
Digital to Analog Converter) à N bits; il peut être suivi, ou non, d’un filtre de lissage (passe
bas).
Fig. 2. Conversion numérique analogique.
Chacun des 2N mots binaires pouvant être appliqué en entrée est associé à la tension
analogique de sortie v (il peut s’agir également d’un courant) telle que :
b1 est le MSB (Most Significate Bit : le bit le plus significatif).
La figure ci-dessous présente la caractéristique de transfert idéale pour une entrée sur 3 bits.
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Fig.2. Caractéristique de transfert idéale d’un CNA 3 bits.
On définit le LSB (Less Significate Bit : le bit le moins significatif) ou quantum, comme
étant la plus petite variation possible de la tension de sortie correspondant à un changement du
bit de poids faible :
Les CNA ont les mêmes caractéristiques que les CAN.
III.4.2.2. Exemples de CNA.
 CNA à résistances pondérées.
(a0a1a2a3)2 représente le mot binaire à l'entrée du convertisseur.
N(10) = 23.a3 + 22.a2 + 21.a1 + 20.a0 = 8a3 + 4a2 + 2a1 + a0 est le nombre décimal.
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 Si le bit ai est égal à 0 alors l'interrupteur est relié à la masse.
 Si le bit ai est égal à 1 alors l'interrupteur est relié à Uref.
Relation US = f(N(10)).
 CNA à réseau R-2R avec sortie en courant.
Relation US = f(N(10)).
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IV. LES FILTRES NUMERIQUES.
Pour les traitements lourds, comme le filtrage des signaux vidéo par exemple, les structures
numériques remplacent avantageusement les circuits analogiques. En effet, la complexité du
gabarit du filtre à réaliser est sans effet sur la structure matérielle et affecte uniquement
l’algorithme, c’est-à-dire la composante logicielle du filtre. De plus, les structures numériques
sont faciles à reproduire, exempte de dérive en température et d’une fiabilité supérieure par
les ordres élevées.
Les méthodes de synthèses consiste, en pratique, à trouver la fonction de transfert isochrone
(en jω) du filtre analogique puis de la transposer dans le plan des z afin d’établir l’algorithme
à programmer.
IV.1. Définitions.
IV.1.1. Filtre numérique.
Nous notons un signal numérique de la façon suivante x[n], où n désigne le nième
échantillon du signal x. En fait, x[n] est une suite de nombres indexés par l'entier n. On
appellera filtre numérique, tout dispositif qui fait correspondre à un signal d'entrée numérique
x[n] un signal de sortie numérique y[n] :
x[n]→F→y[n]
IV.1.2. Filtre numérique linéaire.
On considère un filtre F qui agit de la façon suivante :
x1[n] →F→y1[n]
x2[n] →F→y2[n]
On dira que F est un filtre linéaire si à une combinaison linéaire en entrée λx1[n]+μx2[n]
correspond la même combinaison linéaire des signaux de sortie : λy1[n] + λy2[n].
λx1[n] + λx2[n] → F → λy1[n] + λy2[n]
IV.1.3. Filtre numérique invariant par translation dans le temps.
On dira que F est un filtre numérique invariant par translation dans le temps si pour une
entrée x[n] et une sortie y[n] (x[n] → F → y[n]), on a la propriété suivante :
x[n - n0] → F → y[n - n0]
Cette propriété traduit le fait que si on décale l'entrée d'une quantité n0, la sortie reste la
même mais elle subit le même décalage : le filtre est donc invariant par translation dans le
temps.
IV.2. Classification.
IV.2.1. Suivant leur réponse fréquentielle.
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𝑇
𝑇
FE/2
1
1
FE/2
BP
BP
f
0
f
0
fc
fc
Passe-bas
Passe-haut
𝑇
𝑇
FE/2
1
1
FE/2
BP
0
BP
f
fcb
f
0
fch
fcb
Passe-bande
fch
Réjecteur
On se limite à la bande de fréquence [0,FE/2] imposée par le théorème de Shannon.
IV.2.2. Suivant leur algorithme.
IV.2.2.1. Filtre non récursif ou RIF.
RIF = à Réponse Impulsionnelle Finie.
L’algorithme de ces filtres est de la forme :
𝑵
𝒚𝒏 = ∑ 𝒂𝒌 𝒙𝒏−𝒌
𝒌=𝟎
Les filtres RIF peuvent être représentés par le schéma fonctionnel de la figure ci-dessous.
a0
xn
TE
a1
∑
yn
retard
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Chaque échantillon de sortie yn dépend uniquement des échantillons d’entrée précédents.
Exemple 1 :
𝒙𝒏 + 𝒙𝒏−𝟏
𝒚𝒏 =
𝟐
On vérifie toujours que la réponse impulsionnelle des filtres RIF s’annule au bout d’un
nombre fini de période d’échantillonnage. On dit qu’elle est finie, d’où l’appellation « filtre à
réponse impulsionnelle finie ». Par définition, ils sont donc stables en toutes circonstances.
IV.2.2.1. Filtre récursif ou RII.
RII = à Réponse Impulsionnelle Infinie.
L’algorithme de ces filtres est de la forme :
𝑵
𝑴
𝒚𝒏 = ∑ 𝒂𝒌 𝒙𝒏−𝒌 + ∑ 𝒃𝒍 𝒚𝒏−𝒍
𝒌=𝟎
𝒍=𝟎
Les filtres RII peuvent être représentés par le schéma fonctionnel de la figure ci-dessous.
a0
xn
TE
a1
∑
retard
b1
yn
TE
Chaque échantillon de sortie yn dépend non seulement des échantillons d’entrée, mais aussi
des échantillons de sortie précédents.
Exemple 1 :
𝒙𝒏 + 𝒚𝒏−𝟏
𝒚𝒏 =
𝟐
𝒚𝒏 = 𝒙𝒏 + 𝟐𝒚𝒏−𝟏
On vérifie toujours que la réponse impulsionnelle des filtres RIF évolue toujours. On dit
qu’elle est infinie, d’où l’appellation « filtre à réponse impulsionnelle infinie ». La réponse
impulsionnelle peut diverger, ils ne sont donc pas toujours stables.
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IV.3. Filtrage temporel.
On appelle ici filtrage temporel, un filtre qui agit directement sur le signal d'entrée par une
équation récurrente (combinaison linéaire des échantillons d'entrée xn et de sortie yn).
IV.3.1. Equation récurrente.
La formulation de l’équation récurrente s’écrit comme suite :
 Filtre RIF :
𝑵
𝒚𝒏 = ∑ 𝒂𝒌 𝒙𝒏−𝒌
𝒌=𝟎
 Filtre RII :
𝑵
𝑴
𝒚𝒏 = ∑ 𝒂𝒌 𝒙𝒏−𝒌 + ∑ 𝒃𝒍 𝒚𝒏−𝒍
𝒌=𝟎
𝒍=𝟎
L'étude du filtrage temporel va être facilité par l'introduction d'un nouvel outil : la
transformée en z.
IV.3.2. La transformée en z.
IV.3.2.1. Définition.
Reprenons l’expression de x*(t) :
𝑥
∗ (𝑡)
∞
= 𝑥(𝑡)𝑝𝑔𝑛(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∑ 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇𝐸 )
𝑛=0
Cherchons la transformée de Laplace de x*(t) :
∞
∞
𝑥 ∗ (𝑝) = ∫ [𝑥(𝑡) ∑ 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇𝐸 )] 𝑒 −𝑝𝑡 𝑑𝑡
0
𝑛=0
Comme 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇𝐸 ) = 0 en dehors des instants t=nTE, alors :
∞
∞
∞
∞
𝑥 ∗ (𝑝) = ∫ [∑ 𝑥(𝑛𝑇𝐸 )𝑒 −𝑝𝑛𝑇𝐸 𝛿 (𝑡 − 𝑛𝑇𝐸 )] 𝑑𝑡 = ∑ [∫ 𝑥(𝑛𝑇𝐸 )𝑒 −𝑝𝑛𝑇𝐸 𝛿 (𝑡 − 𝑛𝑇𝐸 )𝑑𝑡]
0
𝑛=0
𝑛=0 0
∞
∞
= ∑ [𝑥(𝑛𝑇𝐸 )𝑒 −𝑝𝑛𝑇𝐸 ∫ 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇𝐸 )𝑑𝑡]
𝑛=0
0
∞
Or pour n donné, ∫0 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇𝐸 )𝑑𝑡 = 0 (par définition : aire de l’impulsion de Dirac), donc :
∞
𝑥
∗ (𝑝)
= ∑ 𝑥(𝑛𝑇𝐸 )𝑒 −𝑝𝑛𝑇𝐸
𝑛=0
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C’est une suit d’exponentielles. Pour simplifier, on effectue un changement de variable :
𝑒 −𝑝𝑇𝐸 = 𝑧 on obtient alors la transformée en z de 𝑥 ∗ (𝑡) :
∞
𝑥
∗ (𝑧)
= ∑ 𝑥(𝑛𝑇𝐸 )𝑧 −𝑛
𝑛=0
Application : transformée en z de la fonction échelon (ou fonction de Heavyside).
On rappelle que :
Par conséquent :
Pour établir ce résultat on utilise la propriété de sommation des séries géométriques :
On obtient ainsi :
 Les points tels x(z) = 0 sont appelés les zéro ;
 Les points tels x(z) → ∞ sont appelés les pôles.
IV.3.2.2. Propriétés.
Compte tenu de la parenté avec la transformée de Laplace, on retrouve bien sûr les mêmes
propriétés :
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Produit par une constante :
Somme de deux fonctions :
𝑨𝒙(𝒕) →𝑻𝒁 𝑨𝒙(𝒛)
𝒙𝟏 (𝒕) + 𝒙𝟐 (𝒕) →𝑻𝒁 𝒙𝟏 (𝒛) + 𝒙𝟐 (𝒛)
Théorème du retard :
Théorème de l’amortissement :
𝒙(𝒕 − 𝒌𝑻𝑬 ) →𝑻𝒁 𝒙(𝒛)𝒛−𝒌
𝒆−𝒂𝒕 𝒙(𝒕) →𝑻𝒁 𝑨𝒙(𝒛𝒆𝒂𝑻𝑬 )
Théorème de la valeur finale :
𝒙(∞) = 𝐥𝐢𝐦 𝒙(𝒏𝑻𝑬 ) = 𝐥𝐢𝐦[𝒛 − 𝟏]𝒙(𝒛)
𝒏→∞
𝒛→𝟏
IV.3.2.3. Transformation inverse.
La transformée en z, y(z), de la fonction y(t) recherchée est en général une fonction
rationnelle de deux polynômes dont le degré du numérateur est toujours (en électricité,…)
inférieur à celui du dénominateur :
𝑦(𝑧) =
𝑁(𝑧)
𝑁(𝑧)
=
𝐷(𝑧) (𝑧 − 𝑧1 )(𝑧 − 𝑧2 ) …
Les zi représentent les pôles de y(z) c’est-à-dire les valeurs de z pour lesquelles le
dénominateur est nul. Si le dénominateur est de degré n, alors y(z) admet n pôles. La fonction
décomposée s’écrit donc sous la forme :
𝑛
𝑦(𝑧) = ∑ 𝐴𝑖
𝑖=0
𝑧
(𝑧 − 𝑧𝑖 )
Les coefficients Ai sont à déterminer.
On peut remarquer alors que chacun des termes de la somme est la transformée en z d’une
fonction puissance :
𝑡
( )
𝑧
𝑇𝐸
𝐴𝑖
→ 𝐴𝑖 𝑧𝑖
(𝑧 − 𝑧𝑖 )
L’original y(t) de transformée y(z) est donc :
𝒏
𝒚(𝒕) =
𝒕
( )
𝑻𝑬
∑ 𝑨𝒊 𝒛𝒊
𝒊=𝟎
𝒏
= ∑ 𝑨𝒊 𝒆
(
𝒕
)𝒍𝒏𝒛𝒊
𝑻𝑬
𝒊=𝟎
IV. 4. Filtrage fréquentielle.
IV.4.1. Critère de stabilité d’un filtre.
Un système numérique est théoriquement stable lorsque tous les pôles zi de sa fonction de
transfert se situent à l’intérieur du cercle de rayon 1.
Autrement, on peut aussi dire qu’un système numérique est théoriquement stable lorsque
tous les pôles pi de sa fonction de transfert sont à partie réelle négative.
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IV.4.2. Fonction de transfert.
IV.4.2.1. Les filtres RIF.
Reprenons l’expression de l’équation temporelle des filtres RIF :
𝑵
𝑵
∞
𝒚𝒏 = ∑ 𝒂𝒌 𝒙𝒏−𝒌 ⇒ 𝒚(𝒛) = ∑ 𝒂𝒌 [∑ 𝒙𝒏−𝒌 𝒛−𝒏
𝒌=𝟎
𝒌=𝟎
𝒏=𝟎
]
𝒏−𝒌
𝑵
= ∑ 𝒂𝒌 𝒙(𝒛)𝒛−𝒌
𝒌=𝟎
𝑵
= 𝒙(𝒛) ∑ 𝒂𝒌 𝒛−𝒌
𝒌=𝟎
La fonction de transfert en z du filtre s'écrit ainsi :
𝑵
𝒚(𝒛)
𝑻(𝒛) =
= ∑ 𝒂𝒌 𝒛−𝒌
𝒙(𝒛)
𝒌=𝟎
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T(z) possède un pôle en z = 0. Ainsi d'après les propriétés de stabilité, on en déduit qu'un
filtre RIF est toujours stable.
IV.4.2.1. Les filtres RII.
Reprenons l’expression de l’équation temporelle des filtres RII :
𝑵
𝑴
𝑵
𝑴
𝒚𝒏 = ∑ 𝒂𝒌 𝒙𝒏−𝒌 + ∑ 𝒃𝒍 𝒚𝒏−𝒍 ⇒ 𝒚(𝒛) = 𝒙(𝒛) ∑ 𝒂𝒌 𝒛−𝒌 + 𝒚(𝒛) ∑ 𝒃𝒍 𝒛−𝒍
𝒌=𝟎
𝒍=𝟎
𝒌=𝟎
𝒍=𝟎
La fonction de transfert en z du filtre s'écrit ainsi :
𝑻(𝒛) =
−𝒌
∑𝑵
𝒚(𝒛)
𝒌=𝟎 𝒂𝒌 𝒛
=
−𝒍
𝒙(𝒛) 𝟏 − ∑𝑴
𝒍=𝟎 𝒃𝒍 𝒛
IV.4.3. Réponse fréquentielle.
Pour passer de T(z) à la fonction de transfert isochrone 𝑇(𝑗𝜔), il faudra effectuer le
changement de variable :
𝑧 ⇒ 𝑒 𝑗𝜔𝑇𝐸
 Filtre RIF.
𝑵
𝑻(𝒋𝝎) = ∑ 𝒂𝒌 𝒆−𝒋𝒌𝜔𝑇𝐸
𝒌=𝟎
 Filtre RII.
−𝒋𝒌𝜔𝑇𝐸
∑𝑵
𝒌=𝟎 𝒂𝒌 𝒆
𝑻(𝒋𝝎) =
−𝒋𝒌𝜔𝑇𝐸
𝟏 − ∑𝑴
𝒍=𝟎 𝒃𝒍 𝒆
IV.4.3.1. Filtre RIF du 1er ordre.
Un filtre RIF du premier ordre est un filtre dont l'équation récurrente a la forme :
yn = a0xn + a1xn-1
La transformée en Z de cette équation permet de calculer la fonction de transfert en z de ce
type de filtre :
T(z) = z-1(a0z + a1)
Il y a donc un pôle en z = 0 et un zéro en z1 = -a1/a0. . On a supposé que a0 et a1 sont des
réels, ainsi le zéro est réel.
Etudions à présent le gain en fréquences associé é ce filtre.
𝑻(𝒋𝝎) = 𝒆−𝒋𝜔𝑇𝐸 (𝒂𝟎 𝒆𝒋𝜔𝑇𝐸 + 𝒂𝟏 )
Exemple 3.1.
yn = 1/2(xn + xn-1) ⇒𝑇(𝑗𝜔) =
1+𝒆−𝒋𝜔𝑇𝐸
2
=
1+cos(𝜔𝑇𝐸 )−𝑗𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑇𝐸 )
2
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[1 + cos(𝜔𝑇𝐸 )]2 [𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑇𝐸 )]2
1 + cos(𝜔𝑇𝐸 )
𝜔𝑇𝐸
𝑇(𝑗𝜔) = √
+
=√
= |cos (
)|
4
4
2
2
𝑎𝑟𝑔[𝑇(𝑗𝜔)] = 𝜑 = tan−1 [
−𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑇𝐸 )
𝜔𝑇𝐸
]=−
1 + cos(𝜔𝑇𝐸 )
2
𝑇
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