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Méthode de Pryce pour les EDA
Jean-Claude Yakoubsohn
Institut de Mathématiques de Toulouse
Équipe MIP
[email protected]
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Méthode de Pryce
4-5 juin 2009
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Souvenirs lointains
θ
Newton : 1643-1727
~ = m~a
Seconde loi de Newton : F
′′
θ = −g sin θ
Galilée : 1564-1642
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Maupertuis et le principe de moindre action
Pierre Louis Moreau de Maupertuis : 1698-1759
Ce principe est que dans toutes les distributions de mouvement qui
se font dans la nature, la quantité d’action (qui est la somme des produits
des masses par les espaces qu’elles parcourent, i.e. par les vitesses avec
lesquelles elles les parcourent) était toujours la plus petite qu’il fut possible :
que dans le repos, les corps qui se tenaient en équilibre devaient être placés
de manière que s’il arrivait quelque petit mouvement, la quantité d’action
fut la moindre.
Éssai de cosmologie, 1751.
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Euler,Lagrange,Hamilton
Euler : 1707-1783
Lagrange : 1736-1813
Hamilton : 1805-1865
Le principe de Hamilton gouverne le mouvement d’un système de
coordonnées généralisées q.
Ce principe est modélisé par la fonction de Lagrange L(q, q ′ , t).
Le calcul des variations implique que la fonction L est extrémale si les
équations d’Euler sont satisfaites :
∂L
d ∂L
−
=0
∂q
dt ∂q′
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Formulation lagrangienne angulaire du mouvement du pendule
q = θ,
L(θ, θ′ , t) = θ′2 /2 − g (1 − cos(θ))
∂L
d
−
∂θ
dt
∂L
∂θ′
= θ′′ + g sin θ = 0
Équation différentielle du type x ′ = f (x).
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Formulation lagrangienne cartésienne du mouvement du pendule
L(x1 , x2 , x1′ , x2′ ) = (x1′2 +x2′2 )/2−gx2 −x3 (x12 +x22 −1)/2 =
q = (x1 , x2 , x3 ),
d
dt
∂L
∂q′


′′
x + x1 x3
∂L  ′′ 1
−
=
x2 + x2 x3 − g  = 0
∂q
x12 + x22 − 1
Équation différentielle du type f (X , X ′ ) = 0.
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F (X , Y ) = 0 n’implique pas toujours Y = ϕ(X )
Si la différentielle de F par rapport à Y est inversible alors Y est une
fonction continue de X :
Y = ϕ(X )
L’ensemble {(X , Y ) : F (X , Y ) = 0} est une variété différentiable de dimension
nombre de variables − nombre d’équations
′′
′′
Dans le cas X = (x1 , x2 ), Y = (x1 , x2 , x3 ) on a

′′
x1 + x1 x3
′′
F (X , Y ) =  x2 + x2 x3 − g 
x12 + x22 − 1


1 0 x1
et DY F (X , Y ) =  0 1 x2  est non inversible.
0 0 0

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Le problème de la réduction. De Jacobi(1840?) à Pryce (2001)
′′
′′
On note f1 := x1 + x1 x3 ,
f2 := x2 + x2 x3 − g ,
f3 := x12 + x22 − 1.
Le problème est de trouver des indices ci et di tel que l’on puisse réduire
′′
′′
l’ensemble {(x1 , x2 , x1 , x2 , x3 ) : f1 = 0, f2 = 0, f3 = 0} à une variété
différentiable du type :
(d1 )
{(x1 , . . . , x1
(d2 )
, x 2 , . . . , x2
(c1 )
{ f1 = 0, . . . , f1
Jacobi : 1804-1851
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(d3 )
) :
(c2 )
= 0, f3 = 0, . . . , f3
, x 3 , . . . x3
= 0, f2 = 0, . . . , f2
(c3 )
= 0}
Le but est d’effectuer cette réduction
en minimisant la dimension de la variété.
Il s’agit en définitive de minimiser la quantité :
d1 + d2 + d3 − c1 − c2 − c3
sous les contraintes
ordre de la dérivée de la
dj − ci ≥
variable j dans l’équation fi = 0
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Le problème d’optimisation de la réduction

2
∞
0
0 
Soit la matrice d’ordre des dérivées Σ =  −∞ 2
0
0 −∞

Problème primal
Problème dual ( assignment problem)
P
P
minimiser s = j dj − i ci
sous les contraintes :
dj − ci ≥ σij
ci ≥ 0
P
maximiser s = zij σij
sous
:
P
P les contraintes
z
=
1
z
=
ij
ij
j
i
zij = 0 ou 1.
Kuhn : 1925–
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Solution du problème dual : s = 2
S = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)} ou S = {(3, 1), (2, 2), (1, 3)}
Solution du problème primal
d = (2, 2, 0), c = (0, 0, 2)
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‘Recette’ pour la solution du problème dual : méthode de point fixe

2
∞
0
0 
Σ =  −∞ 2
0
0 −∞

S = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}
c 0 = (0, 0, 0)
d 1 = (max σi1 + c1 , max σi2 + c2 , max σi3 + c3 ) = (2, 2, 0)
i
c 1 = (d1 − σ11 ,
i
i
, d3 − σ23 , d2 − σ32 ) = (2 − 2, 2 − 2, 2 − 0) = (0, 0, 2)
d 2 = (2, 2, 0)
c 2 = c 1 STOP
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L’article de Jacobi
Voir
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http://www.lix.polytechnique.fr/˜ ollivier/
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L’article de Jacobi
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L’article de Jacobi
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Écriture du système réduit
f3 := x12 + x22 − 1
F1 (x1 , x2 ) ou F1 (x2 , x1 )
f3′ /2 := x1 x1′ + x2 x2′
F2 (x1 , x2 , x1′ , x2′ ) ou F2 (x1 , x2 , x2′ , x1′ )
′′
f1 := x1 + x1 x3
′′
f2 := x2 + x2 x3 − g
′′
′′
′′
f3 /2 := x1 x1 + x2 x2 + x1′2 + x2′2
′′
′′
F3 (x1 , x2 , x1′ , x2′ , x1 , x2 , x3 )
  ′′  

x1
1 0 x1
0
′′

−g
On remarque que :F3 =  0 1 x2   x2  + 
′2
′2
x1 x2 0
x1 + x2
x3


1
0 x1
1 x2  est égal à −2x12 − 2x22 = −2.
Or le déterminant de  0
2x1 2x2 0

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Système réduit
On résoud F3 = 0. On ne conserve que x1′′ = ... et x2′′ = ....
Finalement on doit résoudre :
x1′ = x11
x2′ = x21
′
2
2
x11
= −x1 x2 g − (x11
+ x21
)x1
′
2
2
x21
= x12 g − (x11
+ x21
)x2
sous les contraintes :
0 = x12 + x22 − 1
0 = x1 x11 + x2 x21
Système différentiel algébrique du type :
Y ′ = F (Y )
0 = G (Y )
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Résolution numérique de Y ′ = F (Y ) sous la contrainte G (Y ) = 0
Étape 1. Trouver un point initial Y0 tel que G (Y0 ) ∼ 0.
Soient t0 , h > 0.
Comment trouver une approximation Y1 de Y (t1 ) telle que G (Y1 ) ∼ 0?
Étape 2. On calcule une approximation Z1 de la solution de l’équation
Y ′ = F (Y ) Y (0) = Y0 .
Méthodes utilisées : Runge-Kutta etc... Réf : Hairer,Norsett,Wanner
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Calcul de la projection de G (Y ) = 0
Étape 3. On projette Z1 sur la variété
{Y : G (Y ) = 0 }
La projection de Z1 est Y1 .
On cherche à minimiser ||Y − Z1 ||2 sous la contrainte G (Y ) = 0.
On introduit L(Y , Λ) = ||Y − Z1 ||2 + 2G (Y )T Λ et on cherche (Y , Λ)
solution du système
Y − Z1 + DG (Y )T λ = 0
∇L(Y , λ) =
G (Y ) = 0
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Approximation d’une solution de ∇L(Y , λ) = 0
On utilise la méthode de Newton appliquée à ∇L(Y , Λ).
N∇L (Y , Λ) =
Y
Λ
−
I + D(DG (Y )T Λ) DG (Y )T
DG (Y )
0
−1
∇L(Y , Λ)
On calcule la suite
U0 = (Z1 , 0)T
Uk+1 = N∇L (Uk )
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Formalisation et synthèse
(j)
On pose xij := xi (t),
xi := xi0 ,
i = 1 : n,
j = 0 : ei et
x e = (x1 , . . . x1e1 , . . . xn , . . . , xnen )
(c1 )
Soient f (x e ) := (f1 (x e ), . . . fn (x e )) et f c = (f1
(cn )
, . . . , fn
)
Problème : trouver d = (d1 , . . . , dn ) et c = (c1 , . . . , cn ) tel
que la dimension
X
X
(dj + 1) −
(ci + 1)
j
i
de la variété
{x d : f c (x d ) = 0}
soit minimale.
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Formalisation et synthèse
Problème primal
Problème dual ( assignment problem)
P
P
minimiser s = j dj − i ci
sous les contraintes :
dj − ci ≥ σij
ci ≥ 0
P
maximiser s = zij σij
sous
:
P les contraintes
P
i zij =
j zij = 1
zij = 0 ou 1.
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Résultats 1
Il est possible de grouper les variables et les équations de telle sorte que le
système réduit du système initial f d (x e ) = 0 soit triangulaire par blocs.
Plus précisément
X−k = {xij : j = −k + di > 0},
F−k = {fij : j = −k + ci }
Si p = maxi ci et q = maxi di



F (X−k , . . . , X0 ) = 

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F−q (X−q )
F−q+1 (X−q , X−q+1 )
..
.
F0 (X−q , . . . , X0 )
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




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Résultats 2
Soit f (x e ) = 0 le systm̀e initial et F (X ) le système réduit triangulaire
par blocs.
1– Alors DX−k F−k (X−p , . . . , X−k ) est une sous matrice de
∂fi
J = ∂xj,dj −ci
2– Si J est inversible les systèmes F−k , k = 0 : p, sont de rang
maximun.
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Résultats 3
Supposons que F (X ∗ ) = 0 et DX0 F (X ∗ ) est inversible.
Alors il existe une fonction φ(X−k , . . . , X−1 ) tel que :
1- si x(t) est solution sur un intervalle centré en t ∗ de
X0 = φ(X−k , . . . , X−1 )
tel que
F−k (X̄−p , . . . , X̄−k ) = 0,
k =1:p
∗
∗
pour tout (X̄−p , . . . , X̄−k ) dans un voisinage de (X−p
, . . . , X−k
) et de t ∗ , alors x est solution de f (x e ) = 0 autour de t ∗ .
∗
∗
, . . . , X−k
) tel que toute solution de f (x e ) = 0 vérifiant, ”pour tout t
2– Il existe un voisinage de t ∗ et (X−p
∗
∗
, . . . , X−k
)”, est aussi solution de
autour de t ∗ (X−p (t), . . . , X−k (t)) est dans un voisinage de (X−p
F (X (t)) = 0
pour t autour de t ∗ .
3– On peut quantifier la taille des voisinages.
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