Conception d`une Pyramide de Keops

Conception d’une Pyramide de Keops
Sylvain GARCIA 1
1
[email protected]
http://www.sylvaingarcia.name
Table des matières
1 Définition des constantes
1
2 Définition des rapports de proportions
2
3 Notion de grandeurs visibles et invisibles
4
4 Notion de vitesse de la lumière
6
5 Méthode de construction
7
6 Analyse des autres relations
8
7 Conclusion
9
8 Références
9
9 Annexe
9
1
Définition des constantes
1.1
Nombre Phi
Nous allons maintenant introduire le nombre d’or qui est la solution positive de
l’équation 1 suivante :
x2 − x − 1 = 0
(1)
On notant ce nombre d’or ϕ on a les résultats 2 3 4 suivants :
ϕ2 − ϕ − 1 = 0
(2)
ϕ2 = ϕ + 1
(3)
ϕ = ϕ2 − 1
(4)
1
1.2
Nombre π
Soit un cercle de centre 0 et de rayon r et de périmètre p alors :
π=
p
2r
(5)
Figure 1 – pi
2
Définition des rapports de proportions
Nous allons ici exposer les différents rapports de proportions que l’on peut avoir
dans la grande pyramide. Nous noterons h la hauteur et c le coté de la base.
Le demi périmètre divisé par la hauteur vaut π :
2c
=π
h
La hauteur moins la demi base vaut 10π :
2c
= 10π
h
Le demi périmètre moins par la hauteur vaut 100π
(6)
h−
(7)
2c − h = 100π
(8)
La surface total visible divisé la surface invisible vaut ϕ
Svisible /Sinvisible = ϕ
(9)
Ici Sinvisible est l’aire de la base soit Sinvisible = 4c. Pour l’aire de Svisible , elle est
constituée de 4 triangles égaux. L’aire d’un triangle est :
Bh
(10)
2
ou B est la longueur de la base, h la hauteur. Pour la face de la pyramide :
A=
h=
B=c
q
c 2
2
2
+ h2
(11)
Figure 2 – Base et hauteur d’une des faces
Nous avons donc :
4c
q
c 2
2
2c2
+ h2
=ϕ
(12)
La hauteur plus la demi base vaut 100ϕ2
c
= 100ϕ2
2
√
La hauteur divisé la demi base vaut ϕ
h−
h
c
2
=
√
ϕ
(13)
(14)
Le périmètre du cercle circonscrit moins périmètre du cercle inscrit vaut la vitesse
de la lumière
Figure 3 – Le périmètre du cercle circonscrit et inscrit à la base
√
2cπ 2 2cπ
−
=V
2
2
3
(15)
3
Notion de grandeurs visibles et invisibles
Nous avons vu précédemment certaines des relations que nous avons dans la
pyramide. Afin de proposer un analyse sur la conception d’un tel forme respectant
toutes ces proportion, nous allons partir des notions de grandeur visible et invisible.
Il est intéressant de voir que
2c
=π
h
(16)
et
4c
q
c 2
2
2c2
+ h2
=ϕ
(17)
Ce qui implique que des opérations utilisant les notions de grandeurs visibles et
invisibles indique les constantes π et ϕ. Nous allons donc d’abords nous concentrer
sur ces deux rapports pour en déduire le point de départ éventuelle de la conception.
Puisque toute les autres ne sont que des variantes de ces constante mettons les de
coté pour le moment.
Il faut déjà savoir que pour tracer tout les types de pyramides à base carré,
deux paramètres sont nécessaires, qui sont la hauteur et un coté de la base. Afin de
pouvoir proposé un modèle numérique de pyramide respectant les deux conditions
16 et 17 il suffit d’exprimer la hauteur en fonction de la base. nous avons donc :
h=
2c
π
(18)
et
4c
q
q
2
c 2
2
2c2
+ h2
c 2
2
+ h2
=ϕ
=ϕ
c
r c 2
2
c 2
2
+ h2 =
+ h2 =
cϕ
2
c2 ϕ 2
4
c2 ϕ 2 c 2
h =
−
4
2
c 2
(ϕ2 − 1)
h2 =
2
cp 2
h=
ϕ −1
2
2
4
c√
ϕ
(19)
2
On peut voir ici un relation très intéressante qui implique que les équations 9 et
14 sont équivalente. On peut donc dire que l’une des deux n’est pas nécessaire pour
la conception de cette pyramide, car l’une est conséquence de l’autre.
Il faut résoudre maintenant le système d’équation 18 et 19. Pour cela il suffit de
tracer les deux courbes les représentant. La figure [4] illustre le résultat.
h=
Figure 4 – Modelisation des pyramides possibles
On peut voir que les deux relations 18 et 19, qui découle des 6 et 14, sont
équivalentes ! On peut bien voir que les courbes sont confondues. Pour être sure de
ce résultat, on peut aussi proposer un programme récursif afin de construire une
liste de valeurs c et h qui vérifie les deux relations et voir si la courbe représentative
de l’équation 19 tend à celle de la relation 18.
Nous voyons bien sur la figure [5] que les deux courbes se rejoignent, proportionnellement au pas de calcul utilisé et à la précision du test paramétré.
Nous avons donc :
Surf ace visible
Longueur horizontale visible
=π⇔
=ϕ
Longueur verticale invisible
Surf ace invisible
(20)
Toutes cette étude nous fait remarqué que nous avons là des relations qui ne
permettent pas de générer une pyramide unique, car toutes celles qui admettent
des grandeurs présent sur la droite sont valide. Par contre, on peut en déduire que
l’équivalence 20 implique une unicité dans le choix même de la forme géométrique :
pyramide à base carré. Pour pouvoir construire notre pyramide, il nous faut donc
une autre variable.
5
Figure 5 – Modélisation des pyramides possibles par une méthode récursive
4
Notion de vitesse de la lumière
Introduisant maintenant la notion de vitesse de la lumière. Il faut ainsi admettre
que la volonté première et de la déduite à partir de la base. La hauteur n’entre donc
pas en considération. On rappelle que
√
2cπ 2 2cπ
−
=V
(21)
2
2
Pour trouver toutes les base qui conviennent, il suffit d’exprimer le coté en fonction de la vitesse de la lumière. C’est à dire :
V
c= √
(22)
π 2−π
Traçons maintenant le même type de graphe que précédemment, en utilisant la
relation 6.
Nous voyons sur la figure [6] un point d’intersection unique qui correspond aux
longueurs : hauteur h et coté c. Ce raisonnement permet de mettre en évidence le
caractère unique de la pyramide en utilisant seulement deux relations qui sont la
vitesse de la lumière et π.
6
Figure 6 – Modélisation des pyramides en fonction de pi et de la vitesse de la
lumière
5
Méthode de construction
Pour avoir une pyramide ayant toutes ces propriété, nous devons donc avoir une
hauteur h et un coté de base c. Pour le coté, la relations 22 suffit, pour la hauteur,
il faut partir de :
2c
=h
π
(23)
p
2r
(24)
et en ajoutant la relation 5
π=
on a
2r
(25)
π
on peut donc faire une analogie, c’est à dire que 2c
représente le périmètre d’un
π
cercle. On a donc h qui vaut à un diamètre d’un cercle de périmètre 2c. Ce qui
revient à dire :
p=
2hπ
2
(26)
4c = 2hπ
(27)
2c =
et donc
7
Il faut voir maintenant que 4c représente le périmètre de la base et 2hπ le
périmètre d’un cercle de rayon h. Il en résulte donc que h découle d’une construction
d’un cercle ayant le même périmètre que la base. Avec h le rayon de ce cercle.
6
Analyse des autres relations
Maintenant que cette pyramide est assemblé et que nous avons déterminé ses
dimensions, on peut vérifier que les proportions avec les dérivés des nombres π et
ϕ sont bien concordant. Par la même méthode que précédemment, on déduit la
hauteur en fonction du coté pour tracer toutes les pyramides possibles.
Figure 7 – Modélisation des pyramides possibles en fonction de toutes les relations
Nous voyons sur la figure [7] que toutes les relations, sont concourantes en un
point qui correspond bien au dimensions de la pyramide de Gizeh. Ce qui prouve, en
admettant la connaissance et la volonté de vouloir représenter à travers elle toutes
ces relations et constantes, qu’elle est belle et bien unique. En faisant une analyse
récursive, en prenant toute les conditions en série que les seules dimensions possible
sont h = 146.6 et c = 230.4.
8
7
Conclusion
A travers ces démonstrations, on peut voir que la pyramide est bien unique par
ces dimensions. Cependant tout ça découle de la connaissance de celle ci à la base.
Mais néanmoins l’utilisation de deux relations permet d’en trouver ces valeurs. Il
est aussi intéressant de voir que :
Longueur horizontale visible
Surf ace visible
=π⇔
=ϕ
Longueur verticale invisible
Surf ace invisible
(28)
ce qui peut éventuellement démontré que seule le choix de cette structure en tant
que solide mathématique est unique et nécessaire. En couplant cela à la volonté
d’exprimer la vitesse de la lumière, on peut ainsi en trouver les dimensions.
Par contre il est aussi mis en évidence des relations équivalentes comme.
Surf ace visible
Hauteur
√
= ϕ⇔
=ϕ
Demi base
Surf ace invisible
8
Références
P. Pooyard - J. Grimault,
J. Grimault,
9
(29)
La révélation de pyramides , Film, 2012.
La révélation de pyramides , Top Secret, vol. 64, pp. 46–53, 2012.
Annexe
Pour les initiés au calcul P ython ou pour les amateurs de calcul numérique,
voici le code source du programme permettant de mettre en illustrations toutes les
proportions de la pyramides : http ://www.sylvaingarcia.name/pyramids.py
# −*− coding: utf−8 −*−
from pylab import *
print ""
phi = (1+sqrt(5))/2
c = arange(1,300,0.1)
h = arange(1,300,0.1)
= []
liste c
liste h
= []
liste ecart rel = []
9
iteration = len(c)
########################
# 2.cote / hauteur = pi
########################
for i in range(iteration) :
for j in range(iteration) :
if (3.14<(2*c[i])/h[j]<3.145):
liste c.append(c[i])
liste h.append(h[j])
nb pyr = len(liste c)
print "Le nombre de pyramides tel que 2.c / h = pi est de %s" %nb pyr
print ""
########################
# 2.cote − hauteur = 100.pi
########################
liste c
= []
liste h
= []
liste ecart rel = []
iteration = len(c)
for i in range(iteration) :
for j in range(iteration) :
if (314<(2*c[i])−h[j]<314.5):
liste c.append(c[i])
liste h.append(h[j])
nb pyr = len(liste c)
print "Le nombre de pyramides tel que 2.c − h = 100.pi est de %s" %nb pyr
print ""
########################
# hauteur − (cote / 2) = 10.pi
########################
= []
liste c
liste h
= []
liste ecart rel = []
iteration = len(c)
for i in range(iteration) :
for j in range(iteration) :
if (31.4<(h[j]−(c[i]/2))<31.45):
liste c.append(c[i])
liste h.append(h[j])
nb pyr = len(liste c)
print "Le nombre de pyramides tel que h − (c / 2) = 10.pi est de %s" %nb pyr
print ""
10
########################
# hauteur + (cote / 2) = 100.phiˆ2
########################
= []
liste c
liste h
= []
liste ecart rel = []
iteration = len(c)
for i in range(iteration) :
for j in range(iteration) :
if (261.7<(h[j]+(c[i]/2))<261.9):
liste c.append(c[i])
liste h.append(h[j])
nb pyr = len(liste c)
print "Le nombre de pyramides tel que h + (c / 2) = 100.phiˆ2 est de %s" %nb pyr
print ""
##################################################
# On calcule pour les 4 proprietes soient verifies
##################################################
= []
liste c
liste h
= []
liste ecart rel = []
iteration = len(c)
for i in range(iteration) :
for j in range(iteration) :
if (3.14<(2*c[i])/h[j]<3.145):
if (314<(2*c[i])−h[j]<314.5):
if (31.4<(h[j]−(c[i]/2))<31.45):
if (261.7<(h[j]+(c[i]/2))<261.9):
liste c.append(c[i])
liste h.append(h[j])
nb pyr = len(liste c)
##################################################
# On rajoute S vis / S inv
##################################################
print
print
liste
liste
liste
"<−−−−− On rajoute S vis / S inv −−−−−>"
""
c
= []
h
= []
ecart rel = []
iteration = len(c)
for i in range(iteration) :
for j in range(iteration) :
if (3.14<(2*c[i])/h[j]<3.145):
11
if (314<(2*c[i])−h[j]<314.5):
if (31.4<(h[j]−(c[i]/2))<31.45):
if (261.7<(h[j]+(c[i]/2))<261.9):
S inv = c[i]*c[i]
S vis = 4 * (c[i]*sqrt((c[i]/2)*(c[i]/2) + h[j]*h[j]) / 2)
S
= S vis / S inv
ecrat rel = 100*((S − phi) / phi)
liste c.append(c[i])
liste h.append(h[j])
nb pyr = len(liste c)
print ""
print "Le nombre de pyramides possibles est de %s" %nb pyr
#on cherche l'ecart minimum
mini y = 0
for i in range(len(liste ecart rel)):
if liste ecart rel[i] < liste ecart rel[mini y]:
mini y = i
print ""
print "Le cote optimal est %s" %liste c[mini y]
print "La hauteur optimale est %s" %liste h[mini y]
print ""
########################################################################
# On trace les 3 droites h = (2*c)/pi | h = 2*c−100*pi | h = 10*pi+(c/2)
########################################################################
c = arange(1,1000,0.01)
h = (2*c)/pi
plot(c,h, label='demi perimtre / hauteur = pi')
h = 2*c−100*pi
plot(c,h, label='demi perimtre − hauteur = 100.pi')
h = 10*pi+(c/2)
plot(c,h, label='hauteur −
demi cote = 10.pi')
h = 100*phi*phi − (c/2)
plot(c,h, label='hauteur + demi cote = 100.phiˆ2')
h = (c/2)*sqrt((phi*phi) − 1)
plot(c,h, label='h = (c/2)*sqrt(phi)')
c = (2*299.79)/((2*pi*sqrt(2) − 2*pi))
matrice 0 = [c for i in range(99900)]
plot(matrice 0,h, label='Perim circonscrit − Perim inscrit = V lum')
xlabel('Cote en m')
ylabel('Hauteur en m')
title('Modelisation des pyramides possibles')
12
legend()
show()
########################################################################
########################################################################
c = arange(1,100,0.1)
h = arange(1,100,0.1)
= []
liste c
liste h
= []
liste ecart rel = []
iteration = len(c)
for i in range(iteration) :
for j in range(iteration) :
S inv = c[i]*c[i]
S vis = 4 * (c[i]*sqrt((c[i]/2)*(c[i]/2)+h[j]*h[j]) / 2)
if (3.14<(2*c[i])/h[j]<3.145):
if (1.618<(2*c[i]*sqrt((c[i]/2)*(c[i]/2)+h[j]*h[j])/(c[i]*c[i]))<1.619):
liste c.append(c[i])
liste h.append(h[j])
nb pyr = len(liste c)
plot(liste c,liste h, label='Surface visible − Surface invisible = phi')
h = (2*c)/pi
plot(c,h, label='Demi perimtre / Hauteur = pi')
xlabel('Cote en m')
ylabel('Hauteur en m')
title('Modelisation des pyramides possibles')
legend()
show()
13