1 TD n 1 : dénombrement - Intranetetu... (27/02/2006

MA311
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Exercices corrigés
1
TD n◦ 1 : dénombrement
Exercice 1
On considère un groupe de n personnes. Quelle est la probabilité que deux d’entre elles aient le même jour
d’anniversaire ? (On suppose qu’il n’y a pas d’années bissextiles)
Exercice 2
Un savant possède 22 livres dans son bureau, 12 livres de maths et 10 livres de physique. Il souhaite ranger
ses livres sur une étagère.
1. Combien y a t-il de rangements possibles s’il souhaite ranger ses livres de façon à ce que les livres de
maths soient groupés ensemble et les livres de physique ensemble?
2. Combien y a t-il de rangements possibles si la seule chose qui compte est que les livres de maths soient
groupés ensemble ?
Exercice 3
Robert fait ses affaires pour aller skier. Son armoire est remplie de 10 paires de gants. Il décide de prendre
4 gants.
Le problème est que Robert est un garçon dans la lune et qu’il choisit les gants au hasard.
Quelle est la probabilité qu’il tire:
1. deux paires complètes? ( veinard )
2. au moins une paire?
3. une paire et une seule ?
Exercice 4
On dispose d’une urne contenant n boules, dont m sont noires, le reste étant des boules blanches.
On effectue un tirage sans remise de r boules parmi ces n boules. Calculer la probabilité de tirer k boules
noires dans un tel tirage.
Exercice 5
Un joueur de Poker recoit une main de 5 cartes d’un jeu de 32. Quelle est la probabilté que sa main
contienne:
1. Une seule paire ?
2. deux paires ?
3. un brelan ?
4. un carré ?
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2
Exercice 6
On considère les lettres du mot : ANNIVERSAIRE
1. Combien de mots peut on former avec ces lettres ? (On ne se préoccupera pas du sens des mots formés)
2. Combien de mots commençant et finissant par une voyelle peut on former ?
3. Combien de mots peut on former si on veut que toutes les voyelles soient groupées ensemble ?
Correction de l’Exercice 1
Il est ici plus facile de calculer la probabilité de l’évènement contraire: A =aucune des n personnes n’a la
même date d’anniversaire
On donne des numéros aux n personnes, et on note dans un n−uplet leurs dates d’anniversaire.
L’ensembles des résultats possibles est donc Ω = {(d1 , d2 , . . . , dn ), di = date d’anniversaire de la ième personne}
Quel est le cardinal de Ω? C’est évidemment 365n (Pour chaque di , il y a 365 choix possibles).
Calculons card(A):
Si aucune des personnes n’a la même date d’anniversaire, alors les di sont 2 à 2 distincts.
Donc A = {(d1 , d2 , . . . , dn ), di = dj si i = j}. Par définition, card(A) = An365 (A est l’ensemble des n−arrangements)
Donc
P (2 personnes ont la même date d’anniversaire) = 1 −
An365
365n
Correction de l’Exercice 2
1. Il y a deux choix: Soit les livres de maths sont à gauche, soit ils sont à droite. Ensuite, à l’intérieur du
bloc des livres de maths, on peut faire 12! rangements différents. Et dans le groupe des livres de physique,
on peut faire 10! rangements différents.
D’où
2.10! 12! rangements possibles
2. Ici, le bloc des livres de maths peut avoir plusieurs positions: être à gauche, avoir 1 livre de physique à
gauche et le reste à droite, 2 livres de physique à gauche et le reste à droite, etc. ce qui fait 11 positions.
Ensuite, on peut comme précédemment permuter les livres de maths de 12! façons et les livres de physique
de 10! façons. D’où
11.10! 12! rangements possibles
Correction de l’Exercice 3
4 possibilités.
1. On suppose qu’il choisit les gants simultanément. Il y a donc C20
2 façons de choisir les 2 paires.
Il a C10
Donc P ( il choisit 2 paires ) =
2
C10
4 0.009
C20
2. On va calculer la probabilité de l’évènement contraire: { tous les gants proviennent de paires différentes
}
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3
4 façons de choisir les 4 paires d’où proviennent les gants. Ensuite, pour une paire, il y a 2 choix
Il y a C10
possibles.
D’où P ( il tire au moins 1 paire ) = 1 −
4 24
C10
0.307
4
C20
3. En notant E1 = {il tire 2 paires}, E2 ={il tire au moins une paire} et E3 = {il tire 1 paire et 1 seule}, on a:
E2 = E1 ∪ E3 . Or E1 et E3 sont disjoints, donc P (E2 ) = P (E1 ) + P (E3 ).
D’où P ( il choisit 1 paire et 1 seule) = 1 −
4 24
2
C10
C10
−
4
4 0.297
C20
C20
On peut aussi le calculer directement, en écrivant P ( il choisit 1 paire et 1 seule) =
10C92 22
4
C20
Correction de l’Exercice 4
On peut ici raisonner de deux manières différentes. Le tirage effectué, on peut considerer le résultat comme:
1. une partie à r éléments de l’ensemble des n boules, où l’ordre n’intervient pas.
2. Une liste ordonnée de r boules.
1ere méthode
L’ensemble des résultats possibles a dans ce cas Cnr éléments.
k façons de tirer les k boules noires, et C r−k façons de tirer les boules blanches.
il y a Cm
n−m
Donc P ( il y a k boules noires dans le tirage)=
k C r−k
Cm
n−m
Cnr
2eme méthode
L’ensemble des résultats possibles a dans ce cas Arn éléments.
Choissisons les instants où on a tiré les k boules noires. Il y a Crk possibilités.
Ensuite, on a Akm façons de tirer les k boules noires, et Ar−k
n−m façons de tirer les r − k boules blanches.
Donc P ( il y a k boules noires dans le tirage)=
k
Akm Ar−k
n−m Cr
Arn
(On vérifie qu’on trouve bien le même résultat avec les 2 méthodes)
Correction de l’Exercice 5
Le problème de l’exercice est de comprendre ce que demande l’énoncé et de connaitre les règles du poker
(ce qui n’est pas trop mon cas...)
En fait, la solution que je donne n’est peut etre pas exacte du point de vue du poker, car je me suis rendu
compte qu’il existait d’autres figures que la paire, les 2 paires, le brelan, le full ou le carré. Par exemple la
couleur: dans la solution que je donne je n’en tiens pas compte.
1. Choisissons la paire: Il y a 8 choix pour la valeur; ensuite il y a C42 façons de choisir les 2 cartes qui
composent la paire.
Ensuite il reste 3 cartes à choisir. Ces 3 cartes doivent être de valeur différente, car si deux d’entre elles
ont la même valeur, on a 2 paires; elles doivent aussi ne pas avoir la même valeur que celle de la paire
choisie, sinon on aurait un brelan.
Ce qui laisse 3 valeurs à choisir parmi 7; ensuite on a 4 couleurs possibles pour chaque valeur choisie.
D’où
8C42 C73 43 possibilités
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2. Choisissons les valeurs des 2 paires: C82 possibilités. Une fois choisies ces 2 valeurs, on a C42 possibilités
pour choisir les 2 cartes qui compose une paire. Ensuite, il reste une carte à choisir, qui ne doit pas
avoir la même valeur que les 2 valeurs déjà choisies (sinon on aurait un full): ce qui donne 6.4= 24 cartes
possibles. On obtient
2
C82 C42 24 possibilités
3. On choisit la valeur du brelan: 8 choix possibles. On choisit les 3 cartes du brelan: C34 choix. Ensuite il
faut choisir les 2 cartes restantes: elles ne peuvent pas avoir la même valeur, (sinon on a un full), elles
doivent avoir une valeur différente de celle du brelan (sinon on a un carré); Il faut donc choisir 2 valeurs
parmi les 7 valeurs possibles restantes. Ensuite 4 choix pour chaque carte. On obtient
8C43 C72 42 possibilités
(la aussi se pose un problème sémantique: si la main contient un full, dit-on en langage de poker qu’elle
contient un brelan ??? je ne sais pas, dans mon calcul j’ai estimé que non)
4. Choisissons la valeur du carré: 8 possibilités; ensuite on a 28 possibilités pour la carte restante. On
obtient
8.28 possibilités
Correction de l’Exercice 6
1. 1er méthode:
Il y a 2 A, 2 E, 2 R, 2 I et 2 N; et 1 V et 1 N.
12
10
8
Plaçons les A: il y a
façons de faire; Ensuite, il y a
façons de placer les E, puis
façons
2
2
2
pour les R, et ainsi de suite. Il reste ensuite le V et le N à placer sur les 2 places qui restent: on a 2 choix.
On obtient donc 2
12
2
10
2
8
6
4
mots possibles.
2
2
2
2ième méthode: Il y a 12 lettres dans le mot ANNIVERSAIRE. En les permutant, on obtient 12! mots
possibles.
Cependant, il y a 2 A, 2 E, 2 R, 2 I et 2 N. Il faut donc diviser 12! par 2!2!2!2!2! ( car en permutant les
A, les E ..., on obtient les mêmes mots).
On obtient donc
12!
12!
= 5 = 14968800 mots possibles.
2!2!2!2!2!
2
2. On va distinguer 2 cas:
1er cas: Les 2 voyelles du début et de la fin sont identiques.
Il y a 3 types de voyelles différentes: A, E, I. On a donc 3 façons la voyelle qui commence et finit le mot.
Ensuite, il faut calculer le nombre de mots faisables avec les 2 types de voyelles identiques restantes ( 2
A et 2 E par exemple si on a choisi le I pour commencer et finir le mot) et les 2N, 2R, le S et le V.
10
Avec un raisonnement identique à celui de la question 1), on obtient 2
2
8
6
4
mots possibles.
2
2
2
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Exercices corrigés
10
Dans ce cas, on trouve donc 3.2
2
5
3.10!
3.10!
8
6
4
= 4 mots
=
2
2
2
2!2!2!2!
2
2ième cas: Les 2 voyelles du début et de la fin ne sont pas identiques.
3
Choisissons les 2 types de voyelles parmi les 3 qui seront au début et à la fin du mot. Il y a
façons.
2
Ensuite on peut les permuter de 2 façons.
Ensuite il reste comme lettres: 2 N, 2 R, 1 V, 1 R, 2 ( type de voyelle non choisie pour commencer le
mot), 1 voyelle identique à celle du début , 1 voyelle identique à celle de la fin.
10
8
6
Avec ces lettres, on peut former
4! mots.
2
2
2
3.10!
3
10
8
6
On obtient donc 2
4! = 2 mots.
2
2
2
2
2
Conclusion: Il y a donc
3.10! 3.10!
+ 2 = 3402000
24
2
3. Le bloc des voyelles a 7 places possibles. A l’interieur de ce bloc, il y a ( cf question 1))
ranger les voyelles. Ensuite, il y a ( cf question 1)) 26!3 façons de ranger les autres lettres.
On a donc
2
6!
23
façons de
7!6!
= 113400 façons de ranger les lettres.
25
TD n◦ 2 : probabilités conditionnelles et indépendance
Exercice 7
On considère un groupe de personnes.
Parmi ces personnes figurent des medecins (8%) et des profs de maths (15%), et des gens normaux (77%)
C’est bien connu: les profs de maths écrivent très mal. Mais dans ce domaine ils sont battus par les
médecins, qui écrivent encore plus mal.
Ainsi 50% des profs de maths écrivent de facon illisible, mais cette proportion atteint 70% des medecins.
Quand aux gens normaux, seuls 30% ecrivent de façon incompréhensible.
On considère un mot écrit par une personne du groupe.
1. Quelle est la probabilité que ce mot soit illisible ?
2. Le mot est en effet illisible. Quelle est la probabilité qu’il ait été écrit par une main noble ? (c’est a dire
par un prof de math)
Exercice 8 ( formule des probabilités conditionnelles en cascade)
Soit (Ω, A, P ) un espace probabilisé. Soient A1 , A2 , ..., An des évènements.
1. Montrer que
P (A1 ∩ A2 ∩ ...An ) = P (A1 )P (A2 |A1 )...P (An |A1 ∩ A2 ∩ ...An−1 )
(on suppose que P (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) = 0)
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6
2. On considère une urne qui contient n boules noires et n boules blanches. On tire deux par deux, sans
remise, toutes les boules de l’urne. Quelle est la probabilité d’obtenir à chaque tirage deux boules de
couleur différentes?
Exercice 9
Les Anglais et les Américains orthographient le mot rigueur, respectivement, rigour et rigor. On trouve
dans un hôtel parisien ce mot sur un bout de papier. Une lettre est prise au hasard dans ce mot, c’est une
voyelle. Or 40% des anglophones de l’hôtel sont des Anglais et les 60% restants sont Américains. Quelle est la
probabilité que l’auteur du mot soit anglais ?
Exercice 10 (Indépendance)
On considère une famille. Soit A l’événement: ”la famille a des enfants des deux sexes” et B l’évènement: ”la
famille a au plus un garçon”.
1. Montrer que A et B sont indépendants si la famille a trois enfants.
2. Montrer que A et B ne sont pas indépendants si la famille a deux enfants.
Exercice 11
Un joueur de foot s’entraine à tirer des penaltys. La probabilité qu’il réussise est p. Il tire n penaltys. Les
tirs sont supposés indépendants. Calculer la probabilité qu’il réussisse k penaltys. (k ≤ n)
Exercice 12
On considère un jeu de 32 cartes truqué qui possède deux dames de coeur.
1. On tire n cartes au hasard dans le jeu. Calculer la probabilité de s’apercevoir que le jeu est truqué.
2. On suppose n = 4 et on renouvelle l’expérience consistant à tirer 4 cartes du jeu (en remettant les 4
cartes tirées à chaque fois). Quel est le nombre minimum d’expériences à réaliser pour qu’on s’apercoive
que le jeu est truqué avec une probabilité de 0.95?
Exercice 13
1
.
Un quart d’une population a été vaccinée. Si on est vacciné, on tombe malade avec une probabilité de
20
Parmi les malades, il y a 4 non-vaccinés pour 1 vacciné.
Quelle est la probabilité pour un non-vacciné de tomber malade?
Exercice 14 (encore des maladies)
On considére une maladie dont est atteinte 1% de la population.
Si on est malade, on meurt avec la probabilité 0.5. Il existe un traitement contre la maladie, qui fait qu’un
individu malade et traité n’a plus que 10% de chances de mourir.
Le test de dépistage permet de detecter 80 % des malades, mais désigne aussi à tort 3% de personnes saines.
Or si une personne saine est traitée, elle meurt dans 2% des cas.
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1. Si on effectue aucun test de dépistage, quelle est la probabilité de mourir de cette maladie?
2. On décide de procéder à un dépistage généralisé et à un traitement des individus désignés comme malades.
Quelle est la probabilité de mourir dans ce cas? (a cause de la maladie ou du traitement )
Correction de l’Exercice 7
On note A1 l’évènement : ”la personne qui a écrit le mot est un prof de math”, A2 = ”la personne qui a écrit
le mot est un médecin”, A3 = ”la personne qui a écrit le mot est normale”
On a d’après l’énoncé P (A1 ) = 0.15, P (A2 ) = 0.08, P (A3 ) = 0.77
Les évènements (A1 , A2 , A3 ) forment un système complet d’évènements.
En effet, ils sont 2 à 2 disjoints, de probabilité non nulle, et recouvrent tous les cas possibles.
1. Pour cette question, on applique la formule des probabilités totales:
P ( le mot est illisible ) = P ( le mot est illisible |A1 )P (A1 ) + P ( le mot est illisible |A2 )P (A2 )
+ P ( le mot est illisible |A3 )P (A3 )
= 0.5 ∗ 0.15 + 0.7 ∗ 0.08 + 0.3 ∗ 0.77
= 0.362
2. On utilise ici la formule de Bayes.
P (A1 | le mot est illisible ) =
=
P ( le mot est illisible |A1 )P (A1 )
P ( le mot est illisible )
0.5 ∗ 0.15
= 0.207
0.362
Correction de l’Exercice 8
1. On développe le membre de droite; On a :
P (A2 |A1 ) =
P (A2 ∩ A1 )
P (A3 ∩ A2 ∩ A1 )
, P (A3 |A2 ∩ A1 ) =
...
P (A1 )
P (A2 ∩ A1 )
Donc
P (A1 ∩ A2 ∩ ...An ) = P (A1 )
P (A1 ∩ A2 ∩ ...An )
P (A2 ∩ A1 )
...
P (A1 )
P (A1 ∩ ... ∩ An−1 )
D’où le résultat.
2. On pose Ai = on tire 2 boules de couleur différente au ième tirage.
On a facilement P (A1 ) =
n2
2 ,
C2n
P (A2 |A1 ) =
ce qui s’est passé aux tirages précédents.
(n−1)2
2
C2n−2
. . . En effet, le conditionnement nous permet de savoir
D’où le résultat:
P ( boules différentes à chaque tirage ) =
=
1
n2 (n − 1)2
...
2
2
1
C2n
C2n−2
2n (n!)2
2n!
après calculs
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Exercices corrigés
8
Correction de l’Exercice 9
Notons V = la lettre choisie dans le mot est une voyelle, C = le lettre choisie est une consonne, A1 = le mot
est écrit par un anglais, A2 = le mot est écrit par un américain.
P (V |A1 )P (A1 )
On cherche donc P (A1 |V ). D’après la formule de Bayes, P (A1 |V ) = P (V |A1 )P
(A1 )+P (V |A2 )P (A2 )
P (V |A1 ) = 36 ( si l’auteur du mot est anglais, c’est rigour qui comporte 6 lettres dont 3 voyelles )
Or
P (V |A2 ) = 25
D’où
0, 5.0, 4
P (A1 |V ) =
0, 5.0, 4 + 25 0, 6
Correction de l’Exercice 10
1. Listons toutes les possibilités possibles: si la famille a 3 enfants, la composition de celle ci est
{G, G, G}, {G, F, G}, {F, F, G}, {F, F, F }
(4 posiblités, sans tenir compte de l’ordre de naissance des enfants. Si on décide de tenir compte de
l’ordre, ce qui est un choix possible, on trouve 8 possibilités)
P (A ∩ B) = P ( la famille a exactement un garçon)= 14 (un seul cas favorable: {F, F, G})
Or P (A) = 24 ( les cas {G, F, G} et {F, F, G}), de même P (B) = 24 .
D’où l’indépendance de A et B, puisque P (A ∩ B) = P (A)P (B)
2. . Il n’y a plus que 3 eventualités possibles dans ce cas: {G, G}, {F, G}, {F, F }
P (A ∩ B) = 13 , et P (A) = 13 , P (B) = 23 . On a plus d’indépendance.
Correction de l’Exercice 11 Vu en cours
Correction de l’Exercice 12
1. S’apercevoir que le jeu est truqué, c’est tirer les 2 dames de coeur parmi les n; si on doit tirer les n cartes,
et que pour deux d’entre elles nous n’avons pas le choix, cela revient à tirer n − 2 cartes parmi les 30 qui
n tirages possibles. Donc
restent. Or il y a en tout C32
P (voir que le jeu est truqué ) =
n−2
C30
n
C32
2. C’est le même raisonnement que l’on a fait dans un exercice du cours.
On cherche k tel que P ( s’apercevoir de l’erreur en k tirages) ≥ 0.95.
Il est plus simple de calculer P ( ne pas s’apercevoir de l’erreur en k tirages). En effet, si on note p =
probabilité de s’apercevoir de l’erreur lors d’un tirage, on a
P ( ne pas s’apercevoir de l’erreur en k tirages) = (1 − p)k
par indépendance des tirages
On cherche donc k tq 1 − (1 − p)k ≥ 0.95. On calculé p à la question précédente, ici on trouve p =
k ≥ 247
3
248
et
MA311
Exercices corrigés
Correction de l’Exercice 13
Notons : V = être vacciné, M = être malade.
On notera V le contraire de V .
D’après l’énoncé, on peut écrire: P (M |V ) =
1
20 ,
9
P (V |M ) = 15 , P (V ) = 14 .
On cherche x = P (M |V ). On a:
x =
=
P (M, V )
P (V )
P (V |M )P (M )
P (V )
Or: P (M ) = P (M |V )P (V ) + P (M |V )P (V ) ( formule des probas totales ). D’où:
x =
=
P (V |M ) P (M |V )P (V ) + P (M |V )P (V )
P (V )
P (V |M ) P (M |V )P (V ) + xP (V )
P (V )
4
Or P (V |M ) = .
5
D’où
4 1
x=
5 20
1
4
1−
1
4
1
4
+x ⇔x=
5
15
Correction de l’Exercice 14
Notons: M = être malade, M o = mourir, D = être désigné positif par le test.
D’après l’énoncé, on sait que: P (M ) = 0.01, P (M o|M, D) = 0.5, P (D|M ) = 0.8, P (D|M ) = 0.03,
P (M o|D, M ) = 0.1, P (M o|D, M ) = 0.02
On aura besoin par la suite des valeurs suivantes:.
P (D) = P (D|M )P (M ) + P (D|M )P (M ) = 0.8 ∗ 0.01 + 0.03 ∗ 0.99 = .0377
P (D, M ) = P (D|M )P (M ) = 0.8 ∗ 0.01 = 0.008
P (D, M ) = P (D|M )P (M ) = 0.03 ∗ 0.99 = 0.0297
P (M, D) = P (M ) − P (D, M ) = 0.01 − 0.008 = 0.002
1. On cherche P (M o).
Dans ce cas, il n’y a pas de test donc P (M o) = P (M o|M, D)P (M, D) + P (M o|M , D)P (M , D) = 0.5 ∗
0.01 + 0 ∗ 0.99 = 0.005
2. C’est plus compliqué.
On a: P (M o) = P (M o|M )P (M ) + P (M o|M )P (M ).
(a) Calculons P (M o|M ) =
P (M o, M )
.
P (M )
P (M o, M ) = P (M o, M, D) + P (M o, M, D)
= P (M o|M, D)P (M, D) + P (M o|M, D)P (M, D)
= 0.1 ∗ 0.008 + 0.5 ∗ (0.002) = 0.0018
D’où P (M o|M ) =
0.0018
0.01
= 0.18
MA311
Exercices corrigés
(b) Calculons P (M o|M ) =
10
P (M o, M )
.
P (M )
P (M o, M ) = P (M o, M , D) + P (M o, M , D)
= P (M o|M , D)P (M , D) + P (M o|M , D)P (M , D)
= 0.02 ∗ 0.0297 + 0 = .000594
D’où P (M o|M ) =
0.000594
0.99
= 0.0006
(c) D’où le résultat: P (M o) = 0.18 ∗ 0.01 + 0.0006 ∗ 0.99 = .002394
On constate donc que la probabilité de mourir est plus faible; il vaut donc mieux faire effectuer un
traitement systématique des personnes détectées. Et tant pis pour les personnes traitées à tort et
qui mourront des suites du traitement...
3
TD n◦ 3 : V.A discrètes
Exercice 15
On considère une v.a X prenant 5 valeurs k1 , ..., k5 . On a regroupé ces valeurs dans le tableau:
ki
P (X = ki )
k1
a
k2
a
12
k3 k4
a
3
a
4
k5
a
2
1. Calculer la valeur du paramètre a.
2. Calculer E(X), var(X).
Exercice 16
Dans un zoo on a regroupé dans le même parc 10 chameaux, 5 lamas et 4 dromadaires. Un visiteur prend
au hasard 3 animaux en photo.
On note X = nombre de bosses présentes sur la photo.
1. Calculer la loi de X.
2. Calculer E(X) et var(X)
Exercice 17
On considère un réseau où on transmet des bits. Chacun de ses bits a une probabilité p d’être détruit ou
perdu. Une trame formée de n bits est erronée si il manque au moins un bit.
1. Quelle est la probabilité qu’une trame soit erronée?
2. Si on doit emettre 104 trames consécutivement (et de maniere indépendante), combien de trames intactes
peut on espérer recevoir?
3. Combien peut on espérer recevoir de trames intactes avant l’arrivée de la première trame erronée?
Exercice 18
Robert vit mal son célibat et décide pendant cette soirée de quitter cette condition difficile. Il n’est pas
très doué pour la séduction, et adopte la tactique suivante: il va voir chaque fille jusqu’à ce que l’une d’entre
elle accepte ses propositions.
La probabilité qu’une fille accepte ses propositions est p.
MA311
Exercices corrigés
11
1. On note X = nombre d’essai avant qu’une jeune fille cède à sa demande. Calculer la loi de X.
2. Au bout de combien d’essais peut il espérer sortir du célibat ?
Exercice 19
Le nombre de clients entrant dans un magasin en un jour suit une loi de Poisson P oi(λ). Ce magasin
possède n caisses, chaque client choisit sa caisse au hasard parmi les n. On note X = nombre d’utilisateurs de
la caisse 1.
1. On suppose que tous les clients entrant achètent au moins un article. Calculer la loi de X, et en déduire
le nombre moyen de clients passant à la caisse 1
2. On suppose que 1 client sur 10 n’achete rien et ne passe pas à la caisse. Calculer la loi de X.
Exercice 20
Le nombre N d’enfants d’une famille d’une population est une v.a de loi de Poisson de paramètre λ. Chaque
enfant a la probabilité p d’avoir un gène A, et ceci de façon indépendante. Soit X le nombre d’enfants d’une
famille ayant le gène A et Y le nombre d’enfants de la famille ne l’ayant pas.
1. Quelle relation existe-t-il entre N , X, Y ?
2. Pour n ∈ N et k ∈ {0...n}, déterminer P (X = k|N = n). Calculer la loi de X.
3. Déterminer la loi de Y .
4. Montrer que X et Y sont indépendantes.
5. Application. λ = 2, p = 0, 4. Déterminer la probabilité pour une famille d’avoir 3 enfants présentant le
gène A et 2 enfants ne l’ayant pas.
Exercice 21
Un fleuriste doit faire un bouquet de 2p + 1 roses blanches pour un client. Son stock de roses est consitué
de 4n roses, dont n sont blanches. (2p + 1 < n)
Mais, troublé par une cliente venant d’entrer, il choisit les roses au hasard. Soit Xn le nombre de roses
blanches dans le bouquet.
1. Calculer la loi de Xn
2. Que se passe t-il si n tend vers +∞?
Correction de l’Exercice 15 Pas de problème
Correction de l’Exercice 16
MA311
Exercices corrigés
12
1. On determine d’abord l’ensemble des valeurs que peut prendre X.
Au pire il y a 3 lamas et 0 bosses, au mieux il y a 3 chameaux, donc 6 bosses sur la photo. Donc
X ∈ {0, 1 . . . 6}.
Ensuite on en déduit le tableau suivant:
k
0
1
2
3
4
5
6
P (X = k)
C53
3
C19
C52 C41
3
C19
1 C2
C42 C51 + C10
5
3
C19
1 C1
C43 + C41 C10
5
3
C19
2 + C 1C 2
C51 C10
5 4
3
C19
2
C41 C10
3
C19
3
C10
3
C19
On vérifie bien que
P (X = k) = 1
k
2. On trouve E(X) = et var(X) =
Correction de l’Exercice 17
1. On a P (trame erronée)=1−P (trame correcte)= 1 − (1 − p)n
2. X = nombres de trames intactes reçues.
On a affaire au schéma classique d’une loi binomiale. (nombre de succès dans la réalisation de 104
épreuves de Bernoulli indépendantes). Si on note q = P (trame correcte), on a donc X ∼ B(104 , q). Donc
E(X) = 104 q = 104 (1 − p)n
3. Notons Y = nombre de trame intactes reçues avant de recevoir la premiere trame erronée. On a P (Y =
k) = q k (1 − q)
Pour faire une analogie avec le cours (nombre de tentatives que met un joueur de foot à réussir son
penalty), Y + 1 est un loi géométrique de paramètre q . Or l’espérance d’une telle loi géométrique est
1
1−q .
q
1
⇒ E(Y ) = 1−q
Donc E(Y ) + E(1) = 1−q
Correction de l’Exercice 18
1. On est en présence d’un schéma géométrique: la v.a prend ses valeurs dans {0, . . .} = N et P (X = k) =
p(1 − p)k
Attention, ce n’est pas (c’en est presque une!) la loi géométrique telle qu’elle a été définie dans le cours;
il y a une translation de 1: la v.a X + 1 est géométrique de paramètre p
2. On cherche donc E(X). Or E(X + 1) =
1
1−p ,
donc
E(X) =
Correction de l’Exercice 19
p
1−p
MA311
Exercices corrigés
13
1. C’est un exercice important, car on doit employer la formule des probabilités totales, ce qui arrive
fréquemment.
Le principe de raisonnement est le suivant: On est incapable de calculer directement la loi de X, car cette
loi depend du nombre de clients qui sont entrées dans le magasin, or ce nombre est aléatoire !
Notons N = nombre de clients qui sont entrées dans le magasin. D’après l’énoncé, N ∼ P oi(λ). Si N = k
(si je sais combien de clients sont entrées), il est facile de calculer P (X = k) En effet, cela revient à choisir
parmi les k ceux qui sont passés à la caisse 1, sachant que pour un client, P ( passer à la caisse= n1 . C’est
un schéma binomial.
Récapitulons : je connais
Posons p = n1 . On a:
k
la loi de N : P (N = k) = e−λ λk!
la loi conditionnelle de X sachant N : P (X = i|N = k) = Cki
P (X = i) =
=
=
+∞
k=0
+∞
k=i
+∞
P (X = i|N = k)P (N = k)
Cki pi (1 − p)k−i e−λ
−λ i i
= e−λ
Or
+∞
(λ(1 − p))k−i
k=i
(k − i)!
n
n
P (X = i|N = k)P (N = k)
k=i
= e
1 i n−1 k−i
pλ
+∞
Ci
k
k!
k=i
+∞
i (λp)
i!
k=i
car on a forcément X ≤ N
λk
k!
λk−i (1 − p)k−i
(λ(1 − p))k−i
(k − i)!
= eλ(1−p) . D’où
P (X = i) =
e−λp
(λp)i . Ainsi
i!
X ∼ P oi(λp)
2. C’est exactement le même raisonnement, sauf que p ne vaut plus
1
n,
mais
9
10n .
Correction de l’Exercice 20
1. On a N = X + Y
2. Pour n ∈ N et k ∈ {0...n}, on a P (X = k|N = n) = Cnk pk (1 − p)n−k .
En effet, si on sait que la famille possède n enfants, que X = k, on a forcément n − k enfants avec le gène
B.
On en déduit :
P (X = k) =
=
+∞
n=k
+∞
P (X = k|N = n)P (N = n)
Cnk pk (1 − p)n−k e−λ
n=k
= e−λ pk λk
= e−λ
+∞
Cnk n−k
λ
(1 − p)n−k
n!
n=k
+∞
k
(λp) k!
λn
n!
n=k
(λ(1 − p))n−k
(n − k)!
MA311
Exercices corrigés
14
+∞
(λ(1 − p))n−k
= eλ(1−p)
(n − k)!
Or
n=k
D’où
P (X = k) =
e−λp
(λp)k . Ainsi
k!
X ∼ P oi(λp)
3. Par le même raisonnement, Y ∼ P oi(λ(1 − p).
4. Soient k ∈ N, q ∈ N. calculons P (X = k, Y = q).
On a {X = k, Y = q} ⊂ {N = k + q}. Donc
P (X = k, Y = q) = P (X = k, Y = q, N = k + q)
= P (X = k, Y = q|N = k + q)P (N = k + q)
e−λ
k
k
q
k+q
(λ)
=
Ck+q p (1 − p)
(k + q)!
(λp)k −λ(1−p) (λ(1 − p))q
e
= e−λp
k!
q!
D’où P (X = k, Y = q) = P (X = k)P (Y = q). QED
5. Application. λ = 2, p = 0, 4.
On cherche P (X = 3, Y = 2). Par indépendance, P (X = 3, Y = 2) = P (X = 3)P (Y = 2) = 0.008
Correction de l’Exercice 21
1. P (Xn = k) =
Akn A2p+1−k
k
3n
C2p+1
.
A2p+1
4n
Rmq: en raisonnant d’une autre manière, on peut aussi trouver P (Xn = k) =
2p+1−k
Cnk C3n
2p+1
C4n
(ce qui est la
même chose !)
2. Quand n → +∞, on a : Akn ∼ nk .
En effet, Akn est un polynôme en n; en +∞, il est donc equivalent à son terme de plus haut degré.
On en déduit:
P (Xn = k) ∼
k
Donc P (Xn = k) −−−−−
→ C2p+1
n→+∞
k (3n)2p+1−k
(4n)2p+1
1 k 3 2p+1−k
4
On parle de convergence en loi.
4
n
k
C2p+1
TD n◦ 4 : V.A continues
4
=
k
C2p+1
k 2p+1−k
1
3
4
4
. Quand n est grand, la loi de Xn est la loi B(2p + 1, 14 ).
MA311
Exercices corrigés
15
Exercice 22
La vitesse d’une molécule au sein d’un gaz homogène en état d’équilibre est une variable aléatoire dont la
fonction de densité est donnée par
f (x) = ax2 exp(−bx2 ) si x > 0, f (x) = 0 sinon
m
où b = 2kT
et k, T, m sont respectivement la constante de Boltzmann, la température absolue et la masse
de la molécule. Évaluer a en fonction de b.
Exercice 23 (Calcul de densités)
1. Soit X une variable aléatoire continue ayant pour densité
f (x) = rx−(r+1) si x ≥ 1 et f (x) = 0 sinon. (r > 2)
(a) Donner l’espérance et la variance de X.
(b) Trouver la densité de la variable aléatoire Y = ln(X)
2. Soit X une v.a de loi N (0, 1). calculer la densité de Y = eX
3. Soit λ ∈ R+∗ , soit U une v.a de loi uniforme sur [0, 1]. On considère X = −
ln(U )
.
λ
(a) Pourquoi peut on dire que X existe presque surement?
(b) Calculer la loi de X
Exercice 24
On considère une requête informatique. Deux serveurs A et B peuvent la traiter; le routeur envoie la requête
au serveur A dans x% des cas, sinon à B.
Le serveur B traite la requete selon un temps SB qui suit une loi Exp(1), le serveur A fait le même travail
selon un temps SA qui suit une loi Exp( 12 ).
1. Quel serveur est le plus rapide en moyenne?
2. On note T = temps de traitement de la requete. Calculer la loi de T
3. Quelle valeur donner à x pour qu’en moyenne, le temps T soit inférieur à 1.25 ?
Exercice 25 (Minimum de 2 v.a de loi exponentielles)
1. Soient T1 et T2 2 v.a indépendantes de loi exponentielle de paramètre λ1 et λ2 .
On considère la v.a Z = min(T1 , T2 ). Calculer la loi de Z
2. Généraliser au cas de n v.a (X1 , ..., Xn ) suivant respectivement des lois Exp(λi )
3. Robert attend au bureau de poste. Devant lui sont deux guichets occupés.
Soient X1 et X2 les temps d’occupation respectifs des deux guichets, on suppose que X1 et X2 sont
indépendants st suivent des lois Exp(λ1 ) et Exp(λ2 ).
On note Y = le temps d’attente de Robert. Calculer la loi de Y .
MA311
Exercices corrigés
16
Exercice 26 Une entreprise fabrique du chocolat. Une presse façonne les tablettes dont le poids X (exprimé
en grammes suit une loi N (m, σ 2 ), avec σ = 3.
Le réglage de la presse permet de modifier m par pas de 0.1 sans affecter σ.
Les services de contrôle permettent que 2.5% des articles puissent peser moins que le poids net mentionné
sur l’emballage.
1. Determiner m pour respecter la loi si on indique 250 g sur l’emballage.
2. On décide de vendre les paquets par lots de 2, avec comme indication 500 g. Calculer m dans ce cas. Si
on vend 100 000 plaques, quelle est en moyenne l’économie réalisée ?
(On se souviendra que la loi de la somme de 2 v.a indépendantes de loi N (m1 , σ12 ) et N (m2 , σ22 ) est la loi
N (m1 + m2 , σ12 + σ22 ))
Exercice 27 Un appareil éléctrique fonctionne avec 3 piles P1 , P2 , P3 . Chacune de ces piles Pi a une durée
de vie Xi , qui est une v.a de loi Exp(λ). On suppose de plus que les 3 durées de vie sont indépendantes.
L’appareil cesse de fonctionner dès que 2 de ses piles sont mortes. On note T la durée de fonctionnement
de l’appareil.
1. Calculer G, la fonction de répartition de T .
2. T admet elle une densité? Si oui, la calculer.
Exercice 28 Robert entre chez le coiffeur. Celui ci est occupé avec un client. La coupe dure (exactement) 30
min, et celle ci a débuté selon une durée aléatoire uniformément répartie entre 0 et 30 min.
Calculer la probabilité que t minutes après l’entrée de Robert, le coiffeur n’ait pas fini la coupe.
Correction de l’Exercice 22
Il suffit de vérifier que
1. f (x) ≥ 0
2. R f (x)dx = 1
Il suffit d’avoir a ≥ 0 pour que la première condition soit vraie. Pour la deuxième par contre, il faut faire un
calcul.
+∞
2
f (x)dx = 1 ⇔
ax2 e−bx dx
R
0
a +∞ −bx2
−x −bx2 +∞
e
]0 +
e
dx (IP P )
= a[
2b
2b 0
√
a π
a +∞ −bx2
√
e
dx =
=
2b 0
2b 2 b
√
a π
=
3
4b 2
3
D’où a =
4b
√2
π
MA311
Exercices corrigés
17
Correction de l’Exercice 23
1.
•
+∞
xf (x)dx =
E(X) =
R
= E(X) =
1
+∞
−r+1
rx
1−r
r
r−1
=
xrx−(r+1) dx
1
• On a par ailleurs var(X) = E(X 2 ) − E(X)2 . Calculons E(X 2 ):
2
x2 f (x)dx
E(X ) =
R
+∞
=
1
=
rx−r+2
dx
=
xr−1
2−r
r
+∞
r
r−2
donc
r
−
var(X) =
r−2
r
r−1
1
2
• On demande la densité de ln(X). Notons g cette densité. g est la dérivée de Fln(X) , la fonction de
répartition de ln(X). Or ∀a ∈ R, Fln(X) (a) = P (ln(X) ≤ a)
Notons d’abord que P (ln(X) ≤ a) = 0 si a ≤ 0, car X ≥ 1
P (ln(X) ≤ a) = P (X ≤ ea )
car ex est croissante
= FX (ea )
Ainsi Fln(X) (a) = FX (ea ). Dérivons cette relation, on obtient:
Fln(X) (a) = ea (FX ) (ea ) ⇔ g(a) = f (ea )ea car (FX ) = densité de X!
0 si a ≤ 0
g(a) =
r
ea
ea(r+1)
D’où
0 si a ≤ 0
=
re−ra
Rmq: ln(X) ∼ Exp(r)
2
x
√1 e− 2 ), et on note g la densité de eX .
2π
eX , et ensuite la dériver pour trouver g. Soit
2. On va noter f la densité de X (donc f (x) =
On va calculer la fonction de répartition de
FeX (a) = P (eX ≤ a).
On a trivialement P (eX ≤ a) = 0 si a ≤ 0 car eX ≥ 0. On prend donc a > 0.
P (eX ≤ a) = P (X ≤ ln(a))
car ln est croissante
= FX (ln(a))
Donc en dérivant cette relation:
(FeX ) (a) = (FX ) (ln(a))
g(a) =
=
1
a
1
f (ln(a))
a
ln(a)2
1
√ e− 2
a 2π
a ∈ R, calculons
MA311
Exercices corrigés
La densité de eX est donc g(a) =
18
⎧
⎨0 si a ≤ 0
⎩
√1 e−
a 2π
ln(a)2
2
sinon
3. (a) X est définie si U > 0. Or P (U ≤ 0) = P (U = 0) = 0 car U est une v.a à densité.
Ainsi P (X n’est pas définie)= 0
(b) Soit x ∈ R.
• Si x ≤ 0, on a bien sûr P (X ≤ x) = 0.
• Sinon, si x ≥ 0, :
− ln(U )
≤ x)
λ
= P (U ≥ e−xλ ) car ln est croissante
P (X ≤ x) = P (
= 1 − e−λx
Donc X ∼ Exp(λ).
Correction de l’Exercice 24
1. En moyenne, le temps que met A à accomplir sa tache est E(SA ) =
Ainsi B est plus rapide en moyenne.
1
1
2
= 2; pour B c’est E(SB ) =
1
1
= 1.
2. Soit a ∈ R. Calculons P (T ≤ a). Si a ≤ 0, on a P (T ≤ a) = 0. On prend donc a ≥ 0.
On a 2 cas: soit la requête est traitée par A, soit elle est traitée par B.
On est donc dans la sitution de l’utilisation de la formule des probabilités totales. On note P (A) = P (la
requete passe par A), idem pour P (B).
P (T ≤ a) = P (T ≤ a|A)P (A) + P (T ≤ a|B)P (B)
= P (T ≤ a|A)x + P (T ≤ a|B)(1 − x)
Mais
a
t
P (T ≤ a|A) = 0 12 e− 2 dt car SA ∼ Exp( 12 )
a
P (T ≤ a|B) = 0 e−t dt car SB ∼ Exp(1)
Donc
a
P (T ≤ a) = x(1 − e− 2 ) + (1 − x)(1 − e−a )
a
= 1 − (1 − x)e−a − xe− 2
3. On a
+∞
E(T ) =
0
= (1 − x) + 2x = x + 1
On a donc 1 + x ≤ 1, 25 ⇔ x ≤ 0, 25
Correction de l’Exercice 25
+∞
P (T ≥ a)da =
0
a
(1 − x)e−a + xe− 2 da
MA311
Exercices corrigés
19
1. Soit x ∈ R+ . L’évènement (Z > x) est egal à l’évènement (T1 > x; T2 > x)
En effet, si le minimum de deux nombres est plus grand que x, cela revient à dire que ces deux nombres
sont plus grands que x.
Donc :
P ((Z > x) = P (T1 > x; T2 > x)
= P (T1 > x)P (T2 > x) par indépendance
= e−λ1 x e−λ2 x = e−(λ1 +λ2 )x
Donc P (Z < x) = 1 − e−(λ1 +λ2 )x , ce qui prouve que Z ∼ Exp(λ1 + λ2 ) ( si x < 0, on trouve trivialement
P (Z < 0) = 0)
2. Montrons par récurrence que la loi de min(T1 , ..., Tn ) est Exp(λ1 + λ2 + ... + λn ).
• Si n = 1, c’est evidemment vrai.
• Soit n ≥ 1. Supposons que la loi de min(T1 , ..., Tn−1 ) est la loi Exp(λ1 + ... + λn ), et calculons la loi
de min(T1 , ..., Tn ) .
Si on note Z = min(T1 , ...Tn−1 ), on a:
⎧
⎨ Z et Tn indépendantes
Z et Tn suivent des lois exponentielles de paramètres (λ1 + ... + λn−1 ) et λn
⎩
min(T1 , ..., Tn ) = min(Z, Tn )
Donc d’après la question 1), la loi de min(T1 , ..., Tn ) est donc la loi Exp((λ1 + ... + λn−1 ) + λn ).
• Donc: ∀n ∈ N, la loi de min(T1 , ..., Tn ) est une loi exponentielle dont la paramètre est la somme des
paramètres des Ti .
Correction de l’Exercice 26
1. On cherche m tel que P (X > 250) ≥ 0.975. On a :
P (X > 250) = P (
Or si X ∼ N (m, σ 2 ),
250 − m
X −m
>
)
σ
σ
X −m
∼ N (0, 1).
σ
> α) ≥ 0.975.
La table nous indique que si α = 1.96, P ( X−m
σ
250 − m
⇔ m = 250 − 1.96σ ⇔ m=244.12
On a donc 1.96 =
σ
2. On cherche maintenant m tel que P (X1 + X2 > 500) ≥ 0975, où X1 et X2 représentent les poids de 2
tablettes fabriquées. X1 et X2 sont donc indépendantes et suivent toutes deux des lois N (m, σ 2 ).
X1 + X2 suit donc la loi N (2m, 2σ 2 ). On a:
500 − 2m
X − 2m
> √
)
P (X > 500) = P ( √
2σ
2σ
√
500 − 1.96 2σ
500 − 2m
√
= 1.96 ⇔ m =
⇔ m=245.8
On a donc comme au 1)
2
2σ
MA311
Exercices corrigés
20
En moyenne, chaque plaque pèse donc m = 245.8 grammes. En moyenne, on gagne donc 4.2 g par tablette
si le réglage avait été simplement fait sur m = 250
Ce qui fait, sur 100 000 plaques, une écomomie de 420000 g... 420 tonnes de chocolat, ce qui n’est pas
négligeable !!!
Correction de l’Exercice 27
1. Soit x ∈ R. Calculons P (T ≤ x)
• Si x < 0 , on a evidemment P (T ≤ x) = 0.
• Sinon,
P (T ≤ x) = P ( 2 piles au moins sont tombées en panne pendant l’intervalle [0, x])
= P ( 2 piles exactement sont en panne ) + P ( les 3 piles sont en panne)
Notons p = P (une pile choisie au hasard tombe en panne pendant [0, x]). Les piles ayant des durées
de vie indépendantes, les évènements ’Pi est en panne’ et ’Pj est en panne’ sont indépendants. Donc:
P (T ≤ x) = C32 p2 (1 − p) + p3
Or p = P (D1 < x) = 1 − e−λx .
Donc P (T ≤ x) = 3e−λx (1 − e−λx )2 + (1 − e−λx )3
0 si x < 0
La loi de T est donc donnée par: P (T ≤ x) =
3e−λx (1 − e−λx )2 + (1 − e−λx )3 sinon
Remarque: en développant, on obtient une expression plus simple: G(x) =
0 si x < 0
1 + 2e−3λx − 3e−2λx sinon
2. La fonction de répartition de G, calculée à la question précédente, est continue et de classe C 1 par
morceaux; ainsi T possède une dénsité qui est la dérivée de G.
Le densité de T est donc donnée par:
0 si x < 0
−6e−3λx + 6e−2λx sinon
Correction de l’Exercice 28
Notons U le temps (en minutes) que le coiffeur a déjà passé avec le client qu’il coiffe à l’entrée de Robert.
D’après l’énoncé, ce temps suit une loi uniforme sur [0, 30].
Ainsi, la coupe va durer encore (30 − U ) minutes. Soit t ≥ 0
P ( le coiffeur n’a pas fini sa coupe t minutes apres l’entrée de Robert) = P (30 − U > t) = P (U < 30 − t)
⎧
30 − t ≤ 0
⎨ 0 si 30 ≤ t
30−t
t
si 0 ≤ 30 − t ≤ 30 =
si 0 ≤ t ≤ 30
1 − 30
Or P (U < 30 − t) =
⎩
⎩ 30
1 si 30 ≤ 30 − t
1 si t = 0
⎧
⎨ 0
si
MA311
5
Exercices corrigés
21
TD n◦ 5 : Couples de v.a
Exercice 29 Soient X et Y deux v.a discrètes dont la loi conjointe est donnée par le tableau suivant:
X Y
4
8
1
3
4
0.1 0.2 0.3
0.1 0.2 0.1
1. Déterminer les lois marginales de X et Y
2. X et Y sont elles indépendantes ?
Exercice 30
On considère Robert et Brad dans une soirée. Ces deux jeunes hommes tentent de sortir du célibat en
faisant des propositions aux jeunes filles présentes, jusqu’à ce que l’une d’entre elles acceptent.
Chaque demoiselle refuse les propositions de Robert avec la probabilité r, et celles de Brad avec la probabilité b.
On note U = nombre d’essais avant que Robert ne sorte du célibat.
V = nombre d’essais avant que Brad ne sorte du célibat.
1. Quelles lois suivent U et V ?
2. On suppose que U et V sont indépendantes. Calculer P (U < V )
Exercice 31 (Loi de sommes de v.a)
Soient X et Y deux v.a indépendantes, de loi Exp(λ) et Exp(α) . Montrer que la densité de X + Y est
−αx −e−λx
1]0,+∞[ (x)
f (x) = λα e λ−α
Exercice 32
1. Montrer qu’il existe c tel que f (x, y) = c[1 + xy(x2 − y 2 )]1[−1,1] (x)1[−1,1] (y) soit une densité de probabilité
sur R2 .
2. Soit (X, Y ) un couple ayant f (x, y) comme densité. Expliciter les lois de X et Y .
Exercice 33 (Utilisation des lois conjointes pour calculer des probabilités)
Robert a décroché un rendez vous avec une jeune fille. Celle ci l’attend. Le temps qu’elle patiente avant de
partir suit une loi Exp( 15 ).
Robert lui est coincé par les embouteillages. Le temps qu’il met avant de rejoindre le point de rendez vous
suit une loi uniforme sur [1, 5].
1. calculer la probabilité que Robert ne rate pas son rendez vous
2. Même question si le temps qu’il met pour arriver suit une loi Exp(λ)
MA311
Exercices corrigés
Exercice 34
Soit X une v.a de loi N (0, 1), et Y une v.a discrète de loi :
22
P (Y = 1) = 12
P (Y = −1) =
1
2
On suppose que X et Y sont indépendantes, et on pose Z = XY .
1. Calculer la loi de Z
2. Les v.a Z et X sont elles indépendantes?
Exercice 35
Robert est amoureux de Stéphanie, mais il n’ose pas lui dire. Il sait qu’elle passe tous les jours entre 14h
et 15h au même endroit, et qu’elle reste assise 10 minutes à cet endroit. Robert passe à cet endroit, et attend
10 minutes pour voir la belle. Passé ce délai, il s’en va. On suppose qu’ils arrivent indépendamment l’un de
l’autre à des instants uniformément distribués entre 14h et 15h.
1. Calculez la probabilité que Robert réussisse à voir la jolie Stéphanie
2. Maintenant Robert change sa stratégie, il n’arrive plus au hasard entre 14h et 15h, mais à une heure fixée
x. Quelle est la probabilité qu’il apercoive la jeune fille?
Exercice 36 (Macabre)
On suppose que des coeurs arrivent à un hopital suivant le processus suivant: Le premier coeur arrive à la
date T1 , le deuxieme met un temps T2 à arriver après que le premier coeur soit arrivé. T1 et T2 sont deux v.a
de loi exponentielle Exp(µ)
Deux malades attendent d’être greffés. Le premier coeur va au premier patient, si celui est encore en vie;
sinon au second (s’il est encore en vie...) On suppose que leurs durées de vie (qui sont indépendantes) suivent
des lois exponentielles de paramètre λ1 et λ2 . Ces durées de vie sont indépendantes des arrivées des coeurs!
Calculer la probabilité que le premier patient soit greffé, que le second soit greffé.
Correction de l’Exercice 29
1. On applique le cours, il suffit de sommer les lignes pour avoir la loi margnale de X: on obtient
P (X = 4) = 0.1 + 0.2 + 0.3 = 0.6
P (X = 8) = 0.1 + 0.2 + 0.1 = 0.4
On somme les colonnes pour la loi marginale de Y .
2. Les v.a X et Y ne sont pas indépendantes: on a par exemple P (X = 4, Y = 1) = 0.1 d’après le tableau.
Mais d’autre part, on a: P (Y = 1)P (X = 4) = 0.2 ∗ 0.6 = 0.12 d’après le calcul des lois marginales. Donc
P (Y = 1)P (X = 4) = P (X = 4, Y = 1).
Correction de l’Exercice 30
MA311
Exercices corrigés
23
1. L’ensemble des valeurs que peuvent prendre U et V est {0, 1, . . .}. En effet, si Robert réussit du premier
coup, avant de sortir du célibat il n’a fait aucun essai. On peut éventuellement se tromper en disant que
U ∈ {1, . . .}, car l’enoncé est un peu flou.
On a ensuite P (U = k) = r k (1 − r) et P (V = k) = bk (1 − b) (schéma d’une loi géométrique).
2. On doit calculer une probabilité où interviennent conjointement 2 v.a, et où ces 2 v.a sont de loi discrète.
Dans ce genre de situation, on utilise toujours la formule des probabilités totales qui permet de fixer V
à une valeur, et donc de calculer facilement P (U < V ).
P (U < V ) =
=
+∞
k=0
+∞
P (U < V |V = k)P (V = k)
P (U < k|V = k)P (V = k)
k=0
=
+∞
P (U < k)P (V = k)
car U et V sont indépendantes
k=0
Avant de finir ce calcul, nous devons calculer P (U < k). On remarque que si k = 0, cette probabilité est
nulle. Si k = 0:
P (U < k) =
k−1
P (U = i) =
i=0
= (1 − r)
k−1
r i (1 − r)
i=0
k−1
r i = (1 − r)
i=0
1 − rk
1−r
(formule sur les sommes géométriques)
= 1 − rk
Donc
P (U < V ) =
+∞
P (U < k)P (V = k) =
k=0
+∞
P (U < k)P (V = k)
k=1
+∞
+∞
k k
(1 − r )b (1 − b) = (1 − b)
bk − (rb)k
=
k=1
= (1 − b)
=
rb
b
−
1 − b 1 − rb
k=1
b(1 − r)
1 − rb
Correction de l’Exercice 31 On applique le cours:
Si X et Y sont indépendantes, si X possède une densité fX , si Y possède une densité fY , alors X + Y
possède une densité gX+Y donnée par:
+∞
fX (u − t)fY (t)dt
gX+Y (u) =
−∞
Appliquons ce résultat ici, avec fX (t) = λe−λt 1R+ (t) et fY (t) = αe−αt 1R+ (t). On obtient:
+∞
λe−λ(u−t) 1R+ (u − t)αe−αt 1R+ (t)dt
gX+Y (u) =
−∞
MA311
Exercices corrigés
24
Or 1R+ (t) = 0 si t < 0, donc
gX+Y (u) =
• 1er cas : u < 0.
+∞
Alors dans l’expression
0
+∞
0
λe−λ(u−t) 1R+ (u − t)αe−αt dt
λe−λ(u−t) 1R+ (u − t)αe−αt 1R+ (t)dt, u − t < 0 et ainsi 1R+ (u − t) = 0.
Donc
gX+Y (u) = 0
• 2ième cas : u ≥ 0.
/ R+ ⇔ u < t. D’où
On a: 1R+ (u − t) = 0 si u − t ∈
u
λe−λ(u−t) αe−αt dt
u
−λu
eλt e−αt dt
= λαe
0
u
−t(α−λ)
−λu e
= λαe
λ−α
gX+Y (u) =
0
0
λα −λu −u(α−λ)
e−αu − e−λu
e
(e
− 1) = λα
λ−α
λ−α
=
La réunion des deux cas se note donc gX+Y (u) = λα e
−αu −e−λu
λ−α
1R+ (u)
Correction de l’Exercice 32
⎧
⎨f (x, y) ≥ 0 (1)
1. pour être une densité, f doit vérifier deux conditions:
⎩
f (x, y)dxdy = 1
(2)
R2
Examinons la condition (2).
R2
1
1
f (x, y)dxdy =
−1 −1
1 1
1
−1
1
−1
−1
1
1
−1
1
y 3 xdxdy
x ydxdy =
Or par symétrie il est clair que
−1
−1
−1
−1
R2
x y dxdy − c
1
1
f (x, y)dxdy =
c = 4c
−1
−1
1
4
On vérifie qu’avec ce choix pour c, la condition (1) est aussi vérifiée.
ainsi (2) ⇔ c =
Donc f est une densité ⇔ c =
1
4
1
1
3
3
Donc
1
c dxdy + c
=
c(1 + xy(x2 − y 2 )) dxdy
y 3 x dxdy
−1
−1
MA311
Exercices corrigés
25
2. On applique le cours. La densité marginale de X est donnée par:
fX (u) =
f (u, y)dy
R
1
1
(1 + uy(u2 − y 2 ))1[−1;1] (u)dy
=
−1 4
1 1
= 1[−1;1] (u)
(1 + u3 y + uy 3 )dy
4 −1
1 1
1 1 3
1 1 3
dy + 1[−1;1] (u)
u ydy + 1[−1;1] (u)
uy dy
= 1[−1;1] (u)
4 −1
4 −1
4 −1
1
1
1 3 y2
1 y4
+ +1[−1;1] (u) u
= 2.1[−1;1] (u) + +1[−1;1] (u) u
4
2 −1
4
4 −1
= 2.1[−1;1] (u)
D’où
fX (u) = 2.1[−1;1] (u)
Par symétrie, on obtient
fY (u) = 2.1[−1;1] (u)
Correction de l’Exercice 33
1. On note U le temps que Robert met pour venir au rdv, et X le temps que la jeune fille met avant de
partir.
P (Robert ne rate pas la belle) = P (U ≤ X)
= P ((U, X) ∈ B),
où B = {(u, v) ∈ R2 tq u ≤ v}
f(U,V ) (u, v)dudv
=
B
La densité f(U,V ) du couple (U, V ) est le produit des densités de U et de V car ces 2 v.a sont indépendantes.
1 v
1 ⎧
⎫ e− 5 dudv
P (Robert ne rate pas la belle) =
⎪
⎪
4 ⎪
⎨ u ∈ [1, 5] ⎪
⎬ 5
v
≥
0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎭
u≤v
1 5 +∞ 1 − v
e 5 dvdu
=
4 1 u
5
1 5 −u
1 5 − v +∞
du =
e 5 du
−e 5
=
4 1
4 1
u
u 5
1
−5e− 5
=
4
1
5 −1
e 5 − e−1
=
4
2. Même raisonnement, mais ici U ∼ Exp(λ). Reprenons les calculs:
λ v
1 ⎧
⎫ e− 5 e−λu dudv
P (Robert ne rate pas la belle) =
⎪
⎪
4 ⎪
⎨ u≥0 ⎪
⎬ 5
v
≥
0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
u≤v ⎭
+∞
+∞
1 −v
e 5 dvdu
λe−λu
=
5
0
u
+∞
1
λe−(λ+ 5 )u du
=
0
=
λ
λ+
1
5
MA311
Exercices corrigés
26
Correction de l’Exercice 34
1. Soit a ∈ R, calculons P (Z ≤ a):
P (Z ≤ a) = P (Z ≤ a|Y = 1)P (Y = 1) + P (Z ≤ a|Y = −1)P (Y = −1)
1
1
= P (X ≤ a|Y = 1) + P (−X ≤ a|Y = −1)
2
2
1
(P (X ≤ a) + P (−X ≤ a))
car X et Y sont indépendantes
=
2
1
(P (X ≤ a) + P (X ≥ −a))
=
2
Mais X ∼ N (0, 1); par symétrie de la loi normale P (X ≥ −a) = P (X ≤ a) (faire le dessin) donc
P (Z ≤ a) = P (X ≤ a) ⇔ la loi de Z est la loi N (0, 1)
2. A voir la tête de Z et X, on a pas trop d’idées sur le résultat: pour résoudre cette question, une méthode
s’impose: appliquer le cours et calculer, pour a et b quelconques, P (Z ≤ a; X ≤ b) et regarder si on a
P (Z ≤ a; X ≤ b) = P (Z ≤ a)P (X ≤ b)
On fait le calcul au brouillon, et a priori ca n’a pas l’air de vouloir de se simplifier: trouvons donc un
contre exemple.
P (Z ≤ −1; X ≤ 1) = P (XY ≤ −1; X ≤ 1|Y = 1)P (Y = 1) + P (XY ≤ −1; X ≤ 1|Y = −1)P (Y = −1)
⎛
⎞
=
1⎜
⎟
⎝P (X ≤ −1; X ≤ 1|Y = 1) + P (−X ≤ −1; X ≤ 1|Y = −1)⎠
! !
2 =P (X≤−1)
=
=P (X=1)=0
1
P (X ≤ −1)
2
D’autre part, P (Z ≤ −1)P (X ≤ 1) = P (X ≤ −1)P (X ≤ 1) car Z et X ont la même loi. Comme
P (X ≤ 1) = 12 , on a bien
P (Z ≤ −1)P (X ≤ 1) = P (Z ≤ −1; X ≤ 1)
Correction de l’Exercice 35
Correction de l’Exercice 36
Notons V1 et V2 les durées de vie respectives des deux patients. D’après l’enoncé, V1 ∼ Exp(λ1 ), V2 ∼ Exp(λ2 )
et ce sont deux v.a indépendantes.
1. Dire que le premier patient est gréffé, cela revient à dire que T1 < V1 . (sa durée de vie est plus grande
MA311
Exercices corrigés
27
que le temps que met le premier coeur à arriver)
P (T1 < V1 ) = P ((T1 , V1 ) ∈ A)
=
µe−µt1 λ1 e−λ1 v1 dt1 dv1
A
+∞ +∞
=
t1
0
+∞
=
µe−µt1 λ1 e−λ1 v1 dv1 dt1
+∞
µe−µt1 −e−λ1 v1
dt1
t1
0
2
t1 , v1 ∈ R+
où A =
t1 < v1
+∞
µe−(µ+λ1 )t1 dt1
+∞
µ
−(µ+λ1 )t1
= −
e
µ + λ1
0
µ
=
µ + λ1
=
0
2. Le deuxième patient est gréffé dans deux cas:
• le premier patient prend le premier coeur et le deuxième survit suffisamment pour qu’on lui greffe
le deuxieme coeur: T1 < V1 et T1 + T2 < V2
• Le premier patient meurt avant de recevoir le premier coeur, et le deuxieme patient est gréffé avec
ce coeur: T1 > V1 et T1 < V2
On cherche donc P (T1 < V1 ; T1 + T2 < V2 ) + P (T1 > V1 ; T1 < V2 ).
P (T1 < V1 ; T1 + T2 < V2 ) =
=
=
=
=
=
=
=
⎫ µe−µt1 µe−µt2 λ e−λ1 v1 λ e−λ2 v2 dt dt dv dv
1
2
1 2 1 2
t1 , t2 , v1 , v2 > 0 ⎪
⎪
⎬
t1 < v1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎩
t1 + t2 < v2
∞ ∞ ∞ ∞
µe−µt1 µe−µt2 λ1 e−λ1 v1 λ2 e−λ2 v2 dv1 dv2 dt1 dt2
0
0
t1 +t2 t1
∞ ∞ ∞
+∞
µe−µt1 µe−µt2 λ2 e−λ2 v2 −e−λ1 v1
dv2 dt1 dt2
t1
0
0
t1 +t2
∞ ∞ ∞
µe−(µ+λ1 )t1 µe−µt2 λ2 e−λ2 v2 dv2 dt1 dt2
0
0
t1 +t2
∞ ∞
+∞
µe−(µ+λ1 )t1 µe−µt2 −e−λ2 v2
dt1 dt2
t1 +t2
0
0
∞ ∞
µe−(µ+λ1 +λ2 )t1 µe−(µ+λ2 )t2 dt1 dt2
0
0
+∞ +∞
µ
µ
−(µ+λ1 +λ2 )t1
−(µ+λ2 )t2
−
e
e
−
µ + λ1 + λ2
µ + λ2
0
0
µ
µ
µ + λ2 µ + λ1 + λ2
⎧
⎪
⎪
⎨
MA311
Exercices corrigés
28
D’autre part,
⎫ µe−µt1 λ e−λ1 v1 λ e−λ2 v2 dt dv dv
1
2
1 1 2
t1 , v1 , v2 > 0 ⎪
⎪
⎬
t1 > v1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎩
t1 < v2
∞ +∞ +∞
=
µe−µt1 λ1 e−λ1 v1 λ2 e−λ2 v2 dv2 dt1 dv1
⎧
⎪
⎪
⎨
P (T1 > V1 ; T1 < V2 ) =
0
v1
∞ +∞
0
v1
∞ +∞
0
=
=
=
0
=
=
=
v1
∞
+∞
µe−µt1 λ1 e−λ1 v1 −e−λ2 v2
dt1 dv1
t1
µe−(µ+λ2 )t1 λ1 e−λ1 v1
−λ1 v1
λ1 e
µ
µ + λ2
∞
µ
e−(µ+λ2 )t1
−
µ + λ2
+∞
dv1
v1
λ1 e−(λ1 +µ+λ2 )v1 dv1
0
+∞
µ
λ1
−(λ1 +µ+λ2 )v1
e
−
µ + λ2
λ1 + µ + λ2
0
µ
λ1
µ + λ2 λ1 + µ + λ2
Donc P ( le deuxieme patient est gréffé) =
6
t1
µ
µ
µ
λ1
+
µ + λ2 µ + λ1 + λ2 µ + λ2 λ1 + µ + λ2
TD n◦ 6 : Convergences de v.a
Exercice 37 (Surbooking)
Le surbooking est une pratique employée par les compagnies aeriennes qui consiste à vendre plus de billets
qu’il n’y a de places dans l’avion, car on a constaté que 15% des personnes qui ont réservé une place ne viennent
pas. Or une place non occupée coûte très cher...
1. Sur un vol de 100 places, la compagnie accepte 120 réservations. Quelle est la probabilité qu’il y ait plus
de 90 personnes présentes?
2. Toujours sur un vol de 100 places, combien peut on accepter de réservations si on veut etre sur à 90 %
qu’il n’ y ait pas de clients insatisfaits?
Exercice 38 (les fameux sondages)
On veut estimer le pourcentage p de réponses positives à un référendum. On fait donc un sondage parmi n
individus, et on pose Fn = fréquence de réponses positives observée dans ce sondage.
On cherche n0 , le plus petit entier n tel que la probabilité que Fn diffère de p de plus de α soit inférieure à
c ∈]0; 1[.
Calculez n0 si on prend c = 0.05, α = 0.01 dans les deux cas suivants:
1. Si on sait que p ∈]0; 0.3[
MA311
Exercices corrigés
29
2. Si on ne sait rien sur p !
Exercice 39 (L’aiguille de Buffon: suite)
On rappelle les résultats suivants:
Si on jette une aiguille de longueur l sur une table rayée dont les lignes sont espacées de D cm, la probabilité
2l
que l’aiguille coupe une ligne est
πD
1. Proposer une méthode pour calculer π
2. Combien de lancers effectuer si on veut une valeur approchée de π à 0.1 près, fiable à 95% ?
Exercice 40
Les statisticiens on établi que la probabilité qu’un homme de 45 ans vive encore dans 60 ans est de 0.05.
Une société d’assurance vient de vendre à 300 hommes de 45 ans une police d’assurance-vie.
On note X le nombre de personnes, qui parmi ces 300, atteindront 105 ans.
1. (a) Donner la loi de X
(b) Calculer p1 la probabilité pour que l’assureur débourse de l’argent pour au moins 298 contrats.
2. On choisit d’approcher X par une loi de Poisson.
(a) Quel paramètre choisir pour la loi de Poisson ?
(b) Calculer dans ce cas une valeur approchée de p1
3. On choisit d’approcher X par une loi normale.
(a) Quel paramètres choisir pour la loi normale ?
(b) Calculer dans ce cas une valeur approchée de p1
4. Comparer les résultats.
Correction de l’Exercice 37
1 si la ième personne qui a reservé vient
1. On pose Xi =
0 sinon
D’après l’énoncé, on a P (Xi ) = 0.85: Les Xi suivent donc la loi B(0.85). Elles sont indépendantes (les
personnes n’ont pas de lien entre elles).
Notons m = E(Xi ) = 0.85 et σ =
%
var(X) = 0.357
On cherche P (X1 + X2 + . . . + X120 ≥ 90)
90 − 120m
X1 + X2 + . . . + X120 − 120m
√
≥ √
)
120σ
120σ
= P (Z ≥ −3.06)
P (X1 + X2 + . . . + X120 ≥ 90) = P (
MA311
Exercices corrigés
On a posé Z =
X1 +X2 +...+X
1 20−120m
√
, qui
120σ
30
suit la loi N (0, 1) d’après le TCL.
les Xi sont indépendantes, de même loi
les Xi possèdent une espérance et une variance
On peut appliquer ce théorème car:
P (X1 + X2 + . . . + X120 ≥ 90) = P (Z ≥ −3.06) = P (Z ≤ 3.06) par symétrie de la loi normale
0.99
2. Cette fois, le problème est différent: on cherche n tel que P (X1 + . . . + Xn ≤ 100) ≥ 0.9.
P (X1 + . . . + Xn ≤ 100) ≥ 0.9 ⇔ P (
Or, d’après le TCL,
la relation cherchée.
X1 +...+X
√ n −nm
nσ
100 − nm
X1 + . . . + Xn − nm
√
≤ √
) ≥ 0.9
nσ
nσ
∼ N (0, 1). D’après la table, il suffit d’avoir
100−nm
√
nσ
≥ 1.29 pour avoir
100 − nm
√
≥ 1.29 ⇔ (100 − nm)2 ≥ 1.292 nσ 2
nσ
⇔ n2 m2 − n(1.29σ 2 + 200m) + 104 ≥ 0
⇔ n ≤ 111.9 ou n ≥ 123.6
Avoir n ≥ 123.6 est impossible , la condition est donc la suivante: n ≤ 111.9. Il faut reserver au plus 111
sièges.
Correction de l’Exercice
38
1 si la ième personne interrogée répond oui
On pose Xi =
0 sinon
D’après l’énoncé, on a P (Xi ) = p: Les Xi suivent donc la loi B(p). Elles sont indépendantes (les personnes
n’ont pas de lien entre elles).
Notons m = E(Xi ) = p et σ =
Avec ces notations, on a Fn =
%
var(X) =
X1 +...+Xn
.
n
%
p(1 − p).
On cherche donc n tel que P (|Fn − p| ≥ α) ≤ c
X1 + . . . + Xn
− p| ≥ α) ≤ c
n
X1 + . . . + Xn − np
| ≥ α) ≤ c
⇔ P (|
n
√
nα
X1 + . . . + Xn − np
√
|≥
)≤c
⇔ P (|
nσ
σ
P (|Fn − p| ≥ α) ≤ c ⇔ P (|
On pose Z =
N (0, 1).
X1 +...+X
√ n −np
nσ
pour simplifier, car d’après le TCL (les Xi vérifient toutes les hypothèses), Z ∼
√
nα
)≤c
σ √
nα
)≤c
1 − P (|Z| ≤
√σ
nα
) − 1) ≤ c
1 − (2P (Z ≤
σ√
nα
2−c
≤ P (Z ≤
)
2
√σ
nα
)
0.975 ≤ P (Z ≤
σ
(|Fn − p| ≥ α) ≤ c ⇔ P (|Z| ≥
⇔
⇔
⇔
⇔
Il suffit d’après la table de prendre
√
nα
σ
≥ 1.96 ⇔ n ≥
1.962 ∗ σ 2
α2
Mais se pose un problème... σ 2 est inconnu ! il dépend de p, que l’on cherche à estimer.
MA311
Exercices corrigés
31
1. Dans cette question, on a une idée de l’ordre de grandeur de p (ce qui arrive souvent dans la pratique).
L’idée est : je ne connais pas σ, mais je vais arriver à l’encadrer.
σ 2 = p(1 − p)
Une rapide étude de fonction montre que σ 2 croit quand p ∈ [0, 12 ], puis décroit quand p ∈ [ 12 , 1]. Ici, on
a donc toujours σ ≤ 0.3(0.7).
Pour revenir à notre problème, il suffit donc de prendre n ≥
1.962 ∗ σ 2
. On obtient:
α2
1.962 ∗ 0.3(0.7)
et on aura toujours n ≥
α2
n ≥ 8068 personnes à interroger. C’est beaucoup!
2. On refait le même raisonnement, sauf qu’ici la seule majoration de σ 2 dont on dispose est σ 2 ≤ 14 . On
obtient n ≥ 9604
Correction de l’Exercice 39
touchant une ligne
1. D’après la loi des grands nombres, si on lance beaucoup d’aiguilles, le rapport nb d’aiguilles
nb d’aiguilles lancées
2l
va tendre vers πD
. Il suffit donc de lancer beaucoup d’aiguilles pour calculer une valeur approchée de
2l
πD , donc de π.
2.
• Le problème qui se pose est le suivant: je vais arriver facilement, avec cette méthode, à calculer une
2l
, donc en fait de π1 . Mais si j’approche π1 à 0.1 près, approcherais-je π à 0.1
valeur approchée de πD
près ?
1
1
et 0.5
:
Ce n’est pas du tout evident, par exemple 0.4 et 0.5 sont proches à 0.1 près, mais pas 0.4
1
1
−
=
0.5
0.4
0.5
& &
&
&
& &
&1 1& &b − a&
&
&: on s’apercoit donc du fait suivant: si & 1 & ≤ 1, alors 0.1 ≤ 0.1, d’où
&
&
En fait on a & − & = &
ba
ba
&
a b
ba
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&1 1&
& − & ≤ 0.1 ⇒ & 1 − 1 & ≤ 0.1 ⇒ | = & b − a & ≤ 0.1 ⇒ |b − a| ≤ 0.1
&a b &
& ba &
&a b &
ba
ba
Or ici, a = π et b =approximation de π. Comme on sait que π ≥ 1, on aura bien
1
ba
≤ 1.
• Calculons donc une valeur approchée de π1 à 0.1 près:
1 si le i ième lancer est réussi
Les Xi sont des v.a indépendantes de Bernoulli, elles
Posons Xi =
0 sinon
vérifient toutes les hypothèses du théorème central limit et de la loi des grands nombres. On a
2l
E(Xi ) = P (Xi = 1) = p = πD
Une valeur approchée de
2l
πD
⇔
⇔
⇔
⇔
est
X1 +...+Xn
:
n
On cherche donc n tel que
&
&
& D(X1 + ... + Xn ) 1 &
− && ≤ 0.1) ≥ 0.95
P (&&
2ln
π
&
&
& D(X + ... + X ) − n 2l &
1
n
&
π &
P (&
& ≤ 0.1) ≥ 0.95
&
&
2ln
&
&
& D(X + ... + X − 2l n) &
1
n
&
&
πD
P (&
& ≤ 0.1) ≥ 0.95
&
&
2ln
&
&
& X + ... + X − 2l n & 0.1(2l)
n
&
& 1
πD
)& ≤
≥ 0.95
P (&
&
&
n
D
&
&
& X + ... + X − 2l n & 0.1(2l)√n
n
&
& 1
πD
√
)& ≤
≥ 0.95
P (&
&
&
nσ
Dσ
MA311
Exercices corrigés
32
%
%
X +...+Xn − 2l n
2l
où σ = var(Xi ) = p(1 − p), où p = πD
. D’après le TCL, la loi de Y = 1 √nσ πD est la loi
N (0, 1).
&
&
& D(X1 + ... + Xn ) 1 &
&
P (&
− && ≤ 0.1) ≥ 0.95
2ln
π
√
0.1(2l) n
≥ 0.95
⇔ P (|Y | ≤
Dσ√
0.1(2l) n
) − 1 ≥ 0.95
⇔ 2P (Y ≤
Dσ
√
0.1(2l) n
) ≥ 0.975
⇔ P (Y ≤
Dσ
2
√
n
1.96Dσ
=
1.96
⇔
n
=
D’où, en cherchant sur la table 0.1(2l)
Dσ
0.1(2l)
%
%
σ = p(1 − p) est inconnu, on peut le majorer en écrivant p(1 − p) ≤ 12 (cf exercice sur les
sondages)
2
1.96D
lancers
Ainsi on devra effectuer n = 0.2(2l)
Correction de l’Exercice 40
1. (a) La loi de X est une loi binomiale de paramètres n = 300 et p = 0.05
(b) p1 = P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = .2926752598 ∗ 10−4
2. (a) On choisit comme paramètre np = 15
(b) p1 = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = .3930844818 ∗ 10−4
3. (a) On a X = X1 + . . . X300 , où les Xi sont
% des lois de bernoulli indépendantes. On peut donc appliquer
le TCL et affirmer que X ∼ N (np, np(1 − p), car E(Xi ) = p et var(Xi ) = p(1 − p).
%
(b) On pose σ = np(1 − p) = 3.774917218
p1 = P (X ≤ 2)
13
X − 15
≤−
= P(
σ
σ
= P (Y ≤ −3.4437) où Y ∼ N (0, 1)
= P (Y ≥ −3.4437)
où Y ∼ N (0, 1) par symétrie de la loi normale
= 1 − P (Y ≤ 3.4437) = 1 − 0.99966
= .34 ∗ 10−3
4. L’approximation par la loi normale est moins bonne que celle par la loi de Poisson, car la loi normale est
continue et que la loi binomiale ne l’est pas.
7
TD n◦ 7: Données statistiques
Exercice 41 (production cinématographique)
Le tableau ci dessous regroupe le nombre de films produits en 1999 par certains pays:
MA311
Exercices corrigés
Canada
Allemagne
Belgique
Brésil
Espagne
Etats-Unis
France
Inde
Danemark
Israel
Pakistan
45
88
11
40
82
520
200
764
22
8
50
33
Italie
Japon
Algérie
Mexique
Suede
Royaume Uni
Portugal
Liban
Russie
Suisse
Pologne
108
265
1
22
31
103
15
12
16
31
25
1. Comment regrouper ces données pour qu’elles soient plus lisibles?
2. Calculer la moyenne de cette série.
3. Calculer médiane et quartiles.
Exercice 42 Voici les notes qu’ont obtenu les étudiants d’une classe à un devoir:
13
13,5
2
8,5
9
16,5
8
9
6
11,5
4
4
11,5
17
12
9,5
9,5
12
14,5
10,5
8
12
5
4
4,5
6
11,5
11,5
7
7
5
2
20
2
4
10,5
5,5
10
9
16
4
5,5
5,5
14,5
9
16
1
8
10
10
1. Regrouper ces données
2. Représenter graphiquement ces données.
3. Calculer la moyenne et l’écart type de cette série.
4. Determiner les paramètres de dispersion de la série. Le devoir était il bien conçu à votre avis?
Exercice 43 (Les Rongeurs et le blé)
On considère le tableau suivant donnant le lien entre la population de rongeurs d’un pays et le prix du blé
( en euros/quintal):
Année t
R Rongeurs (millions)
P Prix
0
22
48
1
15
60
2
8
72
3
35
20
4
42
12
5
28
28
1. Y a-t-il une corrélation linéaire entre le nombre de rongeurs et le temps, entre le prix et le temps, entre
les rongeurs et le prix ?
2. La corrélation ”devinée” en 1. est elle valide ?
3. Calculer les coefficients de la droite d’ajustement
4. Peut-on réellement affirmer qu’il y a un lien entre R et P ?
MA311
Exercices corrigés
34
Exercice 44
Une entreprise cherche à faire la promotion d’un de ses produit.
Elle a relevé les données suivantes:
X= Publicité dépensée (k$)
Ventes (en milliers)
400
200
800
350
600
310
1000
380
700
320
900
360
800
340
500
250
1. La corrélation semble être de quel type ?
2. Calculer le coefficient de corrélation linéaire
3. Chercher un meilleur ajustement
4. A l’aide de l’ajustement obtenu, donner une prévision de la valeur que l’on devra dépenser si on souhaite
vendre 430 000 unités du produit.
Correction de l’Exercice 41
1. Il n’y a pas de réponse unique à cette question: L’idée est de choisir des classes pour qu’un histogramme
permette de ”bien” lire ces données. La seule contrainte à respecter est de faire au moins 5 classes (c’est
ce qui est pratiqué)
Je propose le choix suivant:
7
6
5
4
3
2
1
0
10
20
40
60
80
100
160
220
220
280
780
2. On trouve x = 111, 77
3. La médiane est M e = 35, 5 (il y a 22 valeurs, la médiane est la valeur entre la 11 et la 12ième ). Le 1er
quartile est 16, le troisième est 103.
Correction de l’Exercice 42
1. le plus naturel est de regrouper les notes avec des classes de même amplitude: [1, 2], [2, 3], . . .
8
7
effectifs
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Notes
2.
MA311
Exercices corrigés
35
3. On trouve comme moyenne 8,91 et 4,35 comme ecart type.
4. La médiane est 9, le 1er quartile est 5,5 le troisième 11,5.
La moyenne et la médiane sont proches: c’est bon signe, cela veut dire que les notes se répartissent de
façon à peu près égales de part et d’autres de la moyenne.
De même, le 1er quartile est proche de 5(= 20
4 ), ce qui suggère une bonne répartition. Par contre le fait
que le 3ième quartile 11,5 soit en dessous de 15(= 3 20
4 ) suggère qu’il y a eu peu de bonnes notes.
l’ecart type est elevé: ce qui montre qu’il y a eu de gros écarts entre les notes.
Pour conclure, on peut dire que ce devoir a bien mis en evidence les différents niveaux des élèves (écart
type elevé) et une certaine hétérogénéité de la classe. (quartiles proches des quarts). La moyenne semble
un peu basse par contre...
Correction de l’Exercice 43
1. Les courbes suivantes nous suggèrent un lien entre les rongeurs et le prix.
45
45
40
40
35
Rongeurs
Rongeurs
35
30
25
20
30
25
20
15
10
15
5
10
0
5
0
1
0
2
3
4
5
6
temps
0
10
20
30
40
Prix
50
3
Temps
4
60
70
80
80
70
60
Prix
50
40
30
20
10
0
0
1
2
5
6
2. le coefficient de corrélation linéaire est
r=
−246, 6
σP R
−0.98
=
σP σR
11, 5 ∗ 21, 6
ce nombre est (en valeur absolue) proche de 1, la correlation est valide.
3. Avec les formules du cours, on trouve a = −1, 85 et b = 86, 48
4. Il parait étrange, ce lien entre les souris et le prix du blé ! (et effrayant, car se dire que le nombre de
souris conditionne le prix de notre pain n’est pas rassurant sur la fragilité de ce prix) En réalité, il n’y a
pas de lien direct, mais ces deux grandeurs dépendent d’un même paramètre: la quantité de blé produit.
Plus il y a de blé, plus il y a de rongeurs, et plus le blé est bon marché.
MA311
Exercices corrigés
36
Correction de l’Exercice 44
1. On trouve la courbe suivante:
400
350
300
Ventes
250
200
150
100
50
0
0
200
400
600
800
1000
1200
Dépenses
ce qui suggère un lien de type logarithmique ventes = a ln(depenses) + b
2. En calculant le coefficient de corrélation linéaire pour les données ventes et depenses, on trouve 0.92
3. En prenant comme données les ventes et ln(depenses), on obtient un coefficient de corrélation linéaire de
0.98, ce qui est meilleur qu’à la question précédente
D’après les formules du cours, on trouve V entes = 192, 2864703 ∗ ln(Depenses) − 941, 7233638
4. En prenant V = 430, on doit résoudre 430 = 192, 2864703 ∗ ln(x) − 941, 7233638 ⇔ x = 1257k$
8
TD n◦ 8 :Estimation
Exercice 45
On a réalisé une étude portant sur les temps de transmissions de fichiers informatiques à travers un réseau.
On obtient le tableau: (temps en s)
12.7
11.3
12.5
13.4
12.5
13.3
14.5
12.3
12.5
11.7
13.7
10.7
10.6
15.1
10.5
11.4
13.7
12.4
12.2
12.5
11.9
13.7
14.4
12
14.1
12.5
13.5
13.3
13.3
14.1
12.6
14.5
12.2
13.3
1. Calculer la moyenne et la variance empirique de cet echantillon.
2. Donner une estimation ponctuelle de µ et σ 2
3. Donner un intervalle de confiance pour la moyenne µ au seuil de confiance de 95%
Exercice 46
Mêmes questions avec le tableau suivant, donnant le temps par jour passé devant la télé par des enfants:
1.5
2
2
2
0
2.5
1
0.5
1.75
2.25
3
3.5
2.5
3.5
2.75
4
1
3
3
2.75
1.5
3.5
1
2
MA311
Exercices corrigés
37
Exercice 47 (estimation d’une proportion)
On a vu comment estimer la moyenne d’une v.a. On se demande maintenant comment calculer une proportion p.
Exemple: Robert cherche l’école qui l’acceuillera à la rentrée prochaine. Il visite l’une d’entre elles lors
d’une journée portes ouvertes, et se demande quelle est la proportion p de filles dans cette école (un de ses
critères de choix).
Il apercoit en tout 110 élèves de l’école, et parmi eux 21 filles.
1. Montrer comment, en utilisant les résultats du cours, on peut estimer p.
2. Donner une estimation ponctuelle de p, puis une estimation par intervalle, au seuil de confiance de 95 %.
Le problème est que l’échantillon n’est pas réellement choisi au hasard: le responsable local du recrutement
ayant sans doute demandé aux rares filles de l’école de venir montrer leur charmant visage...
Correction de l’Exercice 45
1. On trouve x = 12, 79 et s2 = 1, 3
2. Pour l’estimation ponctuelle, on prend µ = x = 12, 79 et σ 2 =
n 2
n−1 s
= 1, 34 (car n = 34)
3. Pour l’estimation par intervalle, on reprend les formules du cours (vous en avez le droit, vous n’étes pas
obligés de refaire la démonstration). Ici c = 0.95, on doit trouver un nombre α tel que P (X ≤ α) = 1+c
2
si X ∼ N (0, 1).
Ce qui donne α = 1, 96. Si l’intervalle de confiance est [x − a, x + a], ce nombre α vaut
√
√
= 1.16∗1.96
= 0.39
a = σ1.96
n
34
√
na
σ .
D’où
L’intervalle de confiance est donc [12.72; 12.86]
Correction de l’Exercice 46
1. On trouve x = 2.19 et s2 = 1, 017
2. Pour l’estimation ponctuelle, on prend µ = x = 2.19 et σ 2 =
n 2
n−1 s
3. Ici c = 0.95, on doit trouver un nombre α tel que P (X ≤ α) =
1+c
2
= 1.06 (car n = 24)
si X ∼ N (0, 1).
Ce qui donne α = 1, 96. Si l’intervalle de confiance est [x − a, x + a], ce nombre α vaut
√
√
= 1.03∗1.96
= 0.41
a = σ1.96
n
24
√
na
σ .
D’où
L’intervalle de confiance est donc [1.77; 2.6]
Correction de l’Exercice 47
On a vu, dans les 2 exercices précédents, comment estimer une moyenne. Dans cet exercice, ce qui est
demandé est (a priori) différent: on demande d’estimer une proportion. Il s’agit donc ici d’être capable de faire
le lien entre ces deux problèmes, qui en fait sont les mêmes.
MA311
Exercices corrigés
38
1 si la ième personne vue par Robert est une fille
0 sinon
Ces v.a sont des v.a de loi de Bernoulli. Le paramètre est P (Xi = 1) = p, soit la proportion que l’on
cherche à estimer: Or E(Xi ) = p. Estimer p revient donc à estimer E(Xi ), ce que l’on sait faire.
1. Considérons les v.a Xi =
2. On est donc dans le schéma suivant: On a 110 observations d’une v.a de loi B(p). Le tableau regroupant
ces valeurs observées est donc un tableau à 110 cases, comportant 21 ”1” et 89 zéros. On applique les
formules du cours:
• Une estimation ponctuelle de p est donc x =
21
110
= 0.19.
• Calculons une estimation
21 2 de p par intervalle
'de confiance.
21
− 110
= 0.1544 (en effet, i x2i = 89, car les xi valent 1 ou 0)
On a s2 = 110
n 2
s = 0.1559. On peut appliquer les formules du cours: L’intervalle est [x −
On estime σ 2 par n−1
√
a, x + a], avec ici c = 0.95, la table nous fournit donc 1, 96 qui correspond à
√
1,96√ 0.1559
110
na
σ .
Donc a =
1,96σ
√
n
=
= 0.07387
L’intervalle de confiance pour p est donc [0.11, 0.26]
Quelques remarques fondamentales sur cet exercice:
(a) Un intervalle de confiance du type [11%, 26%] beaucoup plus de possibilités pour p que l’estimation
ponctuelle 19%. Cela parait moins satisfaisant du point de vue pratique, mais c’est quand même
beaucoup plus ”sûr” que l’estimation ponctuelle: rappellons qu’il y a 95 % de chances pour que
p ∈ [11%, 26%].
(b) Par contre, on a aucune idée de la position que p occupe dans l’intervalle: la théorie ne nous donne
aucun renseignement.
(c) Ce genre de questions est au coeur du problème des sondages politiques. Par exemple, si le dernier
sondage pour le référendum européen donne un intervalle de confiance à 95% du type [49, 53] pour le
oui, que peut on en déduire ? pas grand chose, et c’est le problème car si mathématiquement entre
49 et 51 il n’y a pas bcp de différence, politiquement c’est une autre musique. Un autre problème
se pose aussi dans les sondages pré-élections, c’est qu’il sont basés sur la bonne foi des personne
intérrogées: or ce n’est pas toujours le cas. Ces sondages sont, pour cette raison, à distinguer des
sondages faits après coup, par exemple les sondages de mesures d’audience type audimat, qui eux
se basent sur des faits constatés.