TP 12 : Étude expérimentale des oscillateurs - Correction

TP 12 : Étude expérimentale des oscillateurs - Correction
Objectifs : Ce TP a pour but de vous faire voir les principales caractéristiques des oscillateurs libres.
I°) Pendule simple et pendule pesant
Pendule simple : c'est un pendule modélisé par un solide ponctuel de masse m et de centre de gravité G, le tout
est accroché a un fil de longueur L = OG (le fil est inextensible).
Pendule pesant : c'est un pendule réel de masse m et de centre de gravité G, accroché à un fil de longueur L.
Pendule simple
Pendule pesant
La position de la masse est repéré par l'élongation angulaire θ par rapport à la verticale qui est la position
d'équilibre stable du pendule.
Dans la suite du TP, on négligera les frottements car l'amortissement est faible.
II°) Période T d'un pendule
Période d'un pendule : La période T d'un pendule est le temps que met la masse pour faire une oscillation.
(elle part est revient à sa position)
1°) D'après vous, quels paramètres peuvent influencer la période T du pendule.
Les seules paramètres que l'on peut modifier sont : l'élongation θmax, la longueur de la corde L, la masse
m.
a°) Isochronisme des petites oscillations
• Avec le pendule disponible sur votre bureau, vérifier que la période T ne dépend pas de l'angle θmax qui est
l'angle au départ.(Le pendule sera lâché sans vitesse initiale).
Utiliser Généris 5 pour faire les mesures. (Voir mode d'emploi) (dans ce cas L est fixé et vaut 0,6 m)
Avec généris on obtient le graphique suivant :
Courbe obtenue pour
θmax = 10°
T ≈ 1,56 s
θmax (°)
5°
10°
15°
20°
T (s)
1,56
1,56
1,57
1,57
2°) Pourquoi dit-on qu'il y a isochronisme des petites oscillations ?
La période T des oscillations est indépendante de l'élongation maximale du pendule.
(Du moment que θmax < 20° donc pour les petits angles)
b°) Influence de la masse sur la période
• Modifier la masse m du pendule et relever la période T. Compléter alors le tableau suivant :
(vous prendrez θmax < 20°) (dans ce cas L est fixé et vaut 0,6 m)
m (g)
50
100
150
T (s)
1,56
1,56
1,56
Conclure :
La période T des oscillations est indépendante de la masse m du pendule
c°) Influence de la longueur sur la période
• Faire varier la longueur L du pendule. (la masse m reste constante et θmax < 20° ).
Compléter alors le tableau suivant :
Voici ce que l'on obtient avec généris pour des longueurs L du tableau ci-dessous ::
L = 0,15 m
L = 0,30 m
L = 1,00 m
L (m)
0,15
0,30
0,60
1,00
T (s)
0,78
1,10
1,56
2,01
0,39
0,55
0,77
1,00
1
√ L(m 2 )
• Tracer alors sur du papier millimétré, l'évolution de T en fonction de
√ L . Faites alors une conclusion.
√L
On voit directement que T est proportionnel à √ L et que donc nous avons T=k √ L où k est le
coefficient directeur de la droite du graphique.
1
Calculons sa valeur : k=
−
2,01−0
=2,01s.m 2
1,00−0
d°) Analyse dimensionnelle
• Parmi les expression proposées ci-dessous, choisir celle qui correspond à la période T d'un pendule.
La 3ième est la seule qui soit correcte, en effet nous avons [ L]=m et [g]=m.s−2 et donc nous avons
[ L]
m
L
=
.
−2 = s donc T =2 π
[g]
g
m.s
√ √
√
• Grâce à la courbe précédente en déduire la valeur de g. En déduire la masse de la Terre MT.
√
1
−
L
On a trouvé que T =2 π
=k √ L avec k=2,01 s.m 2 le coefficient directeur de la droite.
g
Donc on en déduit que k=
2
2
2π
4π
4π
=9,77 m.s −2 .
soit encore g= 2 =
2
√g
k
2,01
On rappelle que le poids P est la force de gravitation exercée par un astre sur un objet de masse m placé à
sa surface de l'astre.
On a donc P=mg=
G m MT
RT
2
et donc g=
G MT
R T2
et donc la masse de la Terre vaut :
g RT 2 9,77×6400×10 3
MT=
=
=6,00×1024 kg
−11
G
6,67×10
III°) Pendule élastique vertical
a°) Méthode dynamique de détermination de k
Pendule élastique vertical: c'est un solide de masse m suspendu à un ressort de raideur k.
u
⃗
l0
l
Le ressort a une longueur a vide (sans masse accrochée) l0 et une longueur l s'il oscille. (cette longueur varie au
cours du temps du fait des oscillations).
• Rappeler l'expression de la force vectorielle ⃗
F exercée par un ressort sur un solide.
F =−k ( l −l 0 )⃗
u
La force exercée par le ressort sur la masse est de la forme suivante : ⃗
• Grâce aux unités de k et de m en déduire (comme précédemment) une expression possible de la période de ce
pendule.
D'après la formule précédente, on a [ k ]=N.m−1 et de même on sait que [ N ]=kg.m.s−2 (2nde loi de
Newton) soit finalement : [ k ]=kg.s−2
En plus nous savons que [ m ]=kg .
Avec ceci la seule possibilité pour avoir une durée et d'avoir l’opération suivante :
√ √
[ m]
kg
=
−2 = s
[k]
kg.s
On a l'intuition que finalement la période de ce pendule élastique doit avoir une formule similaire à la
m
précédente : T =2 π
k
√
• Faites varier la masse m accrochée à ce pendule et mesurer la période T avec un chronomètre.Compléter alors
le tableau suivant :
(Les ressorts utilisés sont différents donc ils ont des constantes de raideur k différentes)
m (kg)
0,050
0,100
0,150
0,200
√ m( kg 2 )
0,224
0,316
0,387
0,447
T (s)
0,57
0,80
0,98
1,14
1
• Tracer alors sur du papier millimétré, l'évolution de T en fonction de
√ m . En déduire alors la valeur de k.
On voit directement que T est proportionnel à √ m et que donc nous avons T=a √ m où a est le
coefficient directeur de la droite du graphique.
1
Calculons sa valeur : a=
On a trouvé que T =2 π
√
−
1,14−0
=2,53 s.m 2
0,450−0
m
=a √ m avec a le coefficient directeur de la droite.
k
Donc on en déduit que a =
2π
4 π 2 4π 2
=6,17 N.m−1 .
soit encore k= 2 =
2
√k
a
2,53
b°) Méthode de détermination statique de k
• Mesurer la longueur à vide du ressort l0 = 0,08 m
• Accrocher une masse m et mesurer la longueur du ressort
La masse accrochée est m = 0,100 kg sa longueur devient l = 0,24 m
• En appliquant la seconde loi de Newton (où la première) en déduire la valeur de k. Comparer
avec la valeur précédente.
En appliquant la seconde loi de Newton, nous avons ⃗
P+⃗
F = ⃗0 car ici la masse ne bouge
ère
pas donc son accélération est nulle (1 loi de Newton).
⃗
F
y
En projection sur la verticale : mg−k ( l− l 0 )=0 on en déduit immédiatement :
⃗
P
k=
m.g 0,100×9,81
=
=6,13 N.m−1 . Valeur en concordance avec la précédente.
l −l 0 0,24−0,08