Triangles

Collège Elie COUTAREL
Année 2008-2009.
G.MANDALLAZ.
Ecrit avec LATEX
Les triangles
1
Le triangle : constructibilité
1.1
Inégalité triangulaire
Propriété 1
Soient A, B et M trois points du plan.
F Si le point M ∈ [AB] alors :
AB = AM + M B
F Si le point M 6∈ [AB] alors :
AB < AM + M B
Conséquence : Dans tout triangle, la longueur d’un des côtés est inférieure à la somme des longueurs des 2
autres côtés :
AB ≤ AM + M B
1.2
Triangles constructibles
Propriété 2
Un triangle est constructible si la longueur de son plus grand côté est inférieure à la somme des longueurs de ses
2 autres côtés.
Exemple 1
Le triangle ABC tel que AB = 8, BC = 5 et AC = 6 est constructible.
En effet, son plus grand côté est [AB] tel que AB < AC + BC.
Pour construire le triangle ABC, on trace un de ses côtés puis en traçant 2 arcs de cercle de rayons égaux
aux longueurs des 2 autres côtés, on obtient le 3eme sommet de ce triangle.
1
Exemple 2
Le triangle M N P tel que M N = 4, M P = 9 et N P = 3 n’est pas constructible.
En effet, son plus grand côté est [M P ] tel que M P > M N + N P .
Si on essaie de le construire, on voit que les 2 arcs de cercle ne se coupent pas.
2
2.1
Les triangles particuliers
Le triangle isocèle
Définition 1
Un triangle isocèle (du grec ισoς = même et σκελoς = jambe) est un triangle qui a deux côtés de même longueur.
A est le sommet principal
[BC] est la base principale
2
2.2
Le triangle équilatéral
Définition 2
Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés de même longueur.
2.3
Le triangle rectangle
Définition 3
Un triangle rectangle est un triangle qui a un de ses angles droit.
B est le somment de l’angle droit
[AC] est l’hypoténuse (υπoτ εινoυσα=ligne sous-tendante)
3
3.1
Propriété des angles du triangle
Le triangle quelconque
Propriété 3
La somme des angles d’un triangle fait 180◦ .
Démonstration 1
La démonstration sera faite dans quelques chapitres.
3
3.2
Le triangle isocèle
Propriété 4
Les deux angles de la base principale d’un triangle isocèle sont de même mesure.
Exemple 3
Voir schéma ci-dessus.
3.3
Le triangle équilatéral
Propriété 5
Les angles d’un triangle équilatéral sont de même mesure et valent 60◦ .
Exemple 4
Voir schéma ci-dessus.
3.4
Le triangle rectangle
Propriété 6
La somme des angles aigus d’un triangle rectangle fait 90◦ .
Démonstration 2
Notons ABC un triangle rectangle en B.
D’après la propriété de la somme des angles d’un triangle : Â + B̂ + Ĉ = 180◦ .
Or B̂ = 90◦ donc  + 90◦ + Ĉ = 180◦ d’où  + Ĉ = 90◦ .
4