Analyse Comparative des Modèles de Contact Pneu - Revue e-STA

Analyse Comparative des Modèles de Contact Pneu
Chaussée
1
L. Seddiki
1
, A. Rabhi 2 , N.K. M ’Sirdi 2 et Y.Delanne3
CReSTIC Université de Reims Champagne Ardenne, BP 1039 Moulin de la housse, 51687 Reims Cedex 2, France
2
LSIS, CNRS UMR 6168. Domaine Universitaire St Jérôme, Avenure. Escadrille Normandie - Niemen
13397. Marseille Cedex 20. France.
3
LCPC: Division ESAR BP 44341 44 Bouguenais cedex
[email protected], [email protected]
Résumé — Nous présenterons une étude comparative de
plusieurs modèles de force longitudinale et transversale à
l’interface pneumatique chaussée. Cette information est utile
pour la modélisation de la dynamique des véhicules et pour
l’identification de ces forces en fonction des états dynamiques
observés. Il est important de faire un bon choix de modèle
suivant le but visé.
Mots clés — Pneumatique, force d’adhérence longitudinale,
force d’adhérence transversale, taux de glissement, charge.
I. INTRODUCTION
Dans l’étude du comportement dynamique du véhicule, le
pneumatique prend une part prépondérante. En effet, c’est par
le pneumatique que passe la majeure partie des efforts
appliqués au véhicule. Les forces générées entre le pneu et la
surface du sol déterminent en grande partie le mouvement du
véhicule. Il est important pour toute étude de comportement
dynamique du véhicule automobile d’étudier ces forces.
L’analyse physique et la modélisation des processus de
développement de ces forces dans l’aire de contact est un
sujet difficile qui fait toujours l’objet de nombreuses
recherches.
Il existe de nombreux modèles de calcul d’efforts. Dans cet
article , le choix des modèles étudiés est favorisé par la
simplicité de leurs mises en œuvre et répondent parfaitement
aux attentes du modélisateur. D’autres modèles existent, on
peut citer le modèle de Guo [1][2], Lugre [3][4][5], ces
modèles sont plus complexes, le premier est un modèle semi
analytique basé sur un concept d’état quasi-statique, le second
représente l’état dynamique interne du pneumatique, plus
précis mais très coûteux en temps de calcul. Une comparaison
des modèles choisis est effectuée par rapport aux essais réels
effectués par la société Michelin à la demande du LCPC à des
vitesses variables et à différentes charges.
Rappelons que les pneumatiques ont essentiellement trois
fonctions de base :
- supporter la charge verticale et amortir les déformations du
sol,
- développer les efforts longitudinaux qui accélèrent et
freinent le véhicule,
- développer les efforts transversaux qui permettent au
véhicule de tourner.
Nous présenterons et comparerons dans cet article, des
modèles physiques par rapport à un modèle paramétrique.
II. COMPORTEMENT LONGITUDINAL ET
TRANSVERSAL
Sous l’action des efforts appliqués par le véhicule (charge,
couple moteur, couple de freinage…), le pneu se déforme et
établit avec le sol une aire de contact. Les déformations de la
carcasse et les propriétés d’adhérence dans l’aire de contact
entraînent la génération des forces de réaction influant sur le
comportement du véhicule. Le torseur des forces et des
couples résultants de ces réactions est composé
principalement de la force longitudinale, de la force latérale,
et du moment d’auto alignement [6][7][8].
La relation qui existe entre la force longitudinale et la vitesse
relative du pneumatique par rapport au sol caractérise le
comportement longitudinal du pneumatique sur le sol.
La vitesse relative du pneumatique sur le sol définit un
glissement longitudinal sans dimension à l’interface pneu-sol,
exprimé en pourcentage [9][10]:
G % = 100(1 −
reff ω
Vr
)
(1)
La notation κ % est utilisée dans la suite de l’article.
reff : rayon efficace de la roue,
ω : vitesse rotation de la roue,
Vr : vitesse relative du véhicule sur le sol.
L’effort longitudinal Fx qui prend naissance à la surface de
contact (figure 1), est fonction du glissement pour une valeur
fixe de la vitesse relative.
L’effort latéral Fy s’exprime en fonction de l’angle de
dériveα du pneumatique, appelée caractéristique d’adhérence
transversale du pneumatique qui permet de générer
l’accélération transversale en virage et de résister aux
perturbations extérieures telles que les rafales de vent.
α = arctan(
Vy
Vx
)
(2)
avec V y la composante latérale de la vitesse de déplacement
du centre de la roue. Vx la v itesse de déplacement longitudinal
du centre de la roue.
La littérature est riche en développement et analyses
théoriques sur les comportements des pneumatiques.
Toutefois, on observe une complexité des développements
qui réside dans le caractère de couplage entre les différentes
composantes du torseur de forces.
Les efforts longitudinaux sont définis de la manière suivante :
{
}
Fx = D x sin Cx arctan B xκ − E x ( B xκ − arctan ( B xκ ) )  + Svx
(3)
Et pour les efforts latéraux :
{
(
)}
Fy = D y sin C y arctan B y κt − E y B y κt − arctan( By κt )  + S vy


(4)
avec :
κ : glissement longitudinal.
κ t : glissement latéral.
B : coefficient de raideur,
C : facteur de forme,
D : valeur maximale de la courbe,
E : courbure.
Figure1. Efforts sur le pneumatique
B. Les modèles physiques
Il existe de nombreux modèles de pneumatique, découplés
(longitudinal/transversal) ou couplés. Ils traitent souvent de
manière séparée les efforts longitudinaux et transversaux.
Dans notre étude on tiendra en compte surtout des modèles
couplés.
Un pneumatique est sollicité simultanément selon son axe
longitudinal et transversal. Une sollicitation longitudinale
réduit le potentiel transversal, et inversement une sollicitation
transversale réduit le potentiel longitudinal [1][2] .
Le couplage entre les comportements transversaux et
longitudinaux des pneumatiques doit être pris en compte lors
du développement de modèles visant à simuler des
sollicitations transversales et longitudinales combinées (mise
en virage en phase d’accélération, freinage en cours de virage
par exemple).
III. LES MODELES DE CONTACT PNEU CHAUSSEE
Cette section présente les principaux modèles de frottement
de la littérature permettant de décrire les forces générées à
l’interface roue/sol.
1. Modèle de Dugoff
C’est un modèle qui donne une relation analytique de la force
longitudinale et latérale en fonction de l’angle de dérive α ,
du taux de glissement κ et de la charge Fz avec un coefficient
de frottement fixe [14][15].
Les efforts longitudinal Fx et latéral Fy selon Dugoff sont les
suivants :
Fx = K x
κ
tan α
τ et Fy = K y
τ
1−κ
1− κ
(5)
avec :
σ < 1:(2 − σ )σ
(1− κ )µ Fz
τ =
et σ =
:1
2 K x2κ 2 + K y2 tan 2 α

Tel que :
κ : taux de glissement longitudinal.
K x et K y : raideurs longitudinale et latérale du pneumatique.
τ : introduit le couplage entre les efforts.
A. Le modèle paramétrique « Pacejka »
2. Modèle de Gim
Le modèle Pacejka [11][12][13], est une référence dans le
domaine pour ce type de modélisation du comportement du
pneumatique. C'est le modèle le plus couramment utilisé par
les fabricants de pneumatiques et les constructeurs
automobiles. La première version connue sous le nom de
"magic formula" a été présentée en 1987. Ce modèle de
nature empirique, identifie des paramètres qui correspondent
à des caractéristiques physiques du couple pneumatique/sol
(rigidité longitudinale et transversale, coefficient de
frottement maximum par exemple). Depuis plusieurs
améliorations ont été apportées pour tenir compte, entre
autres, des couplages tangentiels et des adaptations
spécifiques (introduction des coefficients correcteurs λi ). Ce
modèle utilise beaucoup de paramètres qui sont identifiés sur
la base de nombreuses mesures. Le modèle permet
d'approcher au mieux le comportement longitudinal et latéral
du pneumatique pour une vitesse donnée, pour une enveloppe
sur un revêtement donné pour un état thermo hydrique donné.
Ce modèle de Pacejka appelé "formule magique" permet de
calculer les interactions longitudinales Fx et latérales Fy (en
N) en fonction du glissement longitudinal, de dérive a (en
degrés), l'angle de carrossage ? et la force normale Fz :
Le modèle de Gim est un modèle analytique, il considère
séparément les effets du glissement longitudinal et de l’angle
de dérive. Dans [16] et [17], il calcul les différentes forces qui
agissent sur la roue à partir de la répartition de pression dans
le pneu, des différentes raideurs du pneumatique, et des
contraintes au niveau de l'aire de contact.
Il considère:
- L’aire de contact comme un rectangle,
- L’ensemble du modèle repose sur la détermination de la
pression le long de la surface de contact. C’est elle qui est à
l’origine de la force normale,
- La force normale est déduite de l’intégration de la pression
le long du contact.
Les efforts longitudinaux et latéraux sont fonction de la
charge verticale Fz , glissement longitudinal et latéral,
longueur de la surface de contact, rigidité longitudinale et
latérale et le coefficient de frottement.
Ceci donne finalement pour l’effort longitudinal:
Fx = Csκ ln2 + µ x Fz (1 − ln2 + 2 ln3 )
(6)
et pour l’effort latéral :
µ = ( c1 (1 − exp( −c2 S )) − c3 S exp( −c4 SVG )(1 − c5 Fz2 )
Fy = Cα κ t ln2 + µy F z (1 − 3ln2 + 2ln3 )
(7)
Tel que :
Cs = K xW / 2 , Cα = K yW / 2 e t l n = 2lr (1 −
agissent sur le pneumatique, ils évaluent le déplacement du
centre des résultantes (point de détachement) par rapport à la
projection verticale du centre de la roue [23][24].
Le coefficient de frottement est le suivant :
2
r
2Wl
(( K xκ) 2 + ( K yκ t ) 2 )1 / 2 )
3µ Fz
avec :
K x : raideur longitudinale de la roue par unité d’aire,
K y : raideur latérale par unité d’a ire.
ln : longueur de la surface de contact,
W : largeur du pneumatique (0.2 m).
Tel que : S = (κ 2 + κ t2 )1 / 2 .
avec :
c1 , c2 , c3 : paramètres fonction du sol.
c4 : est fonction de la vitesse maximale de conduite.
c5 : est fonction de la charge maximale de la roue.
S : glissement total.
VG : vitesse au centre de gravité du véhicule.
Fz : charge verticale.
κ=
3. Modèle dit Brush (Modèle de la brosse)
Ce modèle est aussi analytique [18], il représente les efforts
de contact en fonction du taux de glissement, la dérive, la
charge verticale, le coefficient de frottement et les raideurs du
pneumatique [19][21].
La dérive est définie comme étant la déformation du volume
de la gomme qui est entre la carcasse du pneu et le sol.
Les efforts longitudinaux sont définis de la manière suivante :
Kxσ x

(c σ )2 (c0 σ )3 
Fx =
3c 0σ − 3 0
+


(8)
µ Fz
µ Fz2 
( K x σ x ) 2 + ( K yσ y )2 
K yσ y

( c σ ) 2 (c 0σ )3 
3c0 σ − 3 0
+


µ Fz
µ Fz2 
(K xσ x ) 2 + (K y σ y ) 2 
κ=
Vr − Vm
et κ t = tan(α )
Vm
Pour un freinage
Vr − Vm
et κ t = (1 − κ )tan(α ) Pour une traction
Vr
(11)
(12)
Tel que : Vr = reff ω .
avec :
ω : vitesse de rotation de la roue,
reff : rayon effectif de la roue.
Vm : vitesse de déplacement longitudinal du centre de la roue.
L’effort longitudinal est définit comme suit :
et les efforts latéraux sont tels que :
Fy =
(10)
(9)
avec :
Fx = µ
Fz
(κ cos(α ) − cµ tκ t sin(α ))
S
(13)
L’effort latéral est le suivant :
σ = ( σx ) + ( σ y ) : la contrainte totale de glissement.
2
2
K x et K y : les rigidités longitudinale et transversale du
pneumatique.
κ
tan(α )
σx = −
et σ y = −
: contraintes respectivement
1+κ
1+κ
longitudinale et latérale.
κ : taux de glissement longitudinal.
α : angle de dérive.
µ : coefficient maximal de traction.
Fy = µ
Fz
( cµt κ t cos(α ) + κ sin(α ))
S
(14)
avec :
µ : coefficient de frottement.
Fz : charge verticale.
cµ t : coefficient de pondération (varie entre 0.9 et 0.95).
IV. RESULTATS ET COMPARAISON
4. Modèle de Kiencke
Pour ce modèle, Kiencke et Nielsen [22] utilisent deux
techniques :
La première est le calcul du coefficient de frottement par le
modèle de Burckhardt étendue, ce coefficient est fonction de
la résultante de glissement S , et des forces qui agissent sur le
pneumatique, basé sur la transformation de la vitesse du
centre de gravité.
La deuxième est le calcul des vitesses des différents points de
contact entre les roues et le sol. A partir des forces qui
Les résultats suivants illustrent le comportement du
pneumatique pour différentes charges, et différents
revêtements de chaussée.
L’implémentation est faite avec des coefficients de la formule
magique déterminée pour trois états de mouillage sur un
béton bitumineux.
Les identifications Pacejka Fx = f (Glissement ) ,
Fy = f ( Dérive) ont été réalisées à partir des mesures
expérimentales.
Figure 2. Efforts longitudinal et latéral selon Pacejka pour
différents revêtements de chaussée, avec Fz=3kN, V=20km/h
Figure 4. Efforts longitudinaux et latéraux selon Kiencke pour
différentes charges Fz.
Figure 5. Efforts longitudinaux et latéraux selon Pacejka.
Figure 3. Efforts Longitudinal et latéral pour différents
revêtements de chaussée Fz =7kN, V= 80km/h.
On remarque bien que pour une variation croissante de la
charge (figures 2 et 3), les efforts longitudinaux et latéraux
augmentent. Par contre pour une augmentation de la vitesse
on remarque que pour une chaussée à hauteur d’eau de 3mm,
l’effort longitudinal diminue, on conclut que l'état de la
surface du sol joue un rôle déterminant pour l’adhérence, une
hauteur d'eau sur la chaussée entraîne sa dégradation.
Figure 6. Efforts longitudinaux et latéraux selon Dugoff pour
différentes charges Fz.
En considérant les figures 4, 5 et 6, on peut conclure que :
- Les efforts longitudinaux et latéraux croissent en valeur
absolue en fonction de la charge pour les trois modèles.
- La force longitudinale est symétrique par rapport au
glissement. Le modèle de Kiencke a une convergence vers la
même valeur (en absolu) quand le glissement tend vers 100
ou -100 ceci d’après Pacejka [7]. Ce résultat n’est pas vérifié
pour le modèle de Dugoff car l’effort longitudinal tend vers
une valeur maximale.
- Les efforts latéraux selon Dugoff présentent une symétrie
par rapport à la dérive, ce qui est différent pour le modèle de
Kiencke, ceci est dû au couplage.
Les figures (7.a) et (7.b), illustrent une comparaison entre les
trois modèles Kiencke, Dugoff et Pacejka, on remarque qu’au
niveau de la partie linéaire croissante (zone de pseudo
glissement ou zone stable), les trois modèles progressent
linéairement de manière identique, pour des angles de dérive
faibles, c’est la zone d’adhérence totale (la valeur de la
rigidité est identique pour les trois modèles).
Pour la zone de pseudo-glissement et de glissement (partie
non linéaire croissante), une partie de l’aire de contact glisse,
le maximum est atteint pour des dérives de 6° pour les
modèles non couplés selon les pneumatiques (figure 5), et de
l’ordre de 3° pour les modèles couplés (figure 7.b).
Pour la zone décroissante (glissement total ou zone instable),
chaque modèle agit différemment, l’erreur de l’effort
longitudinal est de 500 N pour le modèle de Dugoff en
comparaison avec l’ensemble des points de la courbe issue
des essais expérimentaux de la « formule magique » de
Pacejka. L’erreur est inférieure à 500 N pour le modèle de
Kiencke.
L’existence de cette zone instable justifie la nécessité d’une
régulation de freinage (ABS) ou d’antipatinage (ASR), afin
d’améliorer la sécurité active des véhicules. Par ailleurs, le
comportement non linéaire et l’importante influence du
revêtement, l’usure, la pression et la vitesse …etc. rendent
difficile ces régulations ce qui explique qu’elles sont loin
d’être optimales [20][22].
Figure 7.a. Comparaisons de l’effort longitudinal des
modèles : Kiencke, Dugoff et Pacejka .
Figure 7.b. Comparaisons de l’effort transversal des modèles :
Kiencke, Dugoff et Pacejka .
La comparaison entre les modèles de la brosse et de Gim est
réalisée à partir de l’identification et l’estimation des
paramètres par rapport à la courbe de référence de Pacejka
(figures 8 et 9).
Le résultat de l’étude montre qu'il n'existe pas une grande
différence entre les trois modèles étudiés. Au niveau de
l’erreur de sortie, le modèle de brosse présente une erreur de
15%, par contre le modèle de Gim, l’erreur est inférieur a 5%.
La seule contrainte du modèle de Gim est la nécessité de
connaître les valeurs des raideurs k x et k y qui sont des
données difficiles à estimer, et pour cela on a développé un
algorithme basé su la méthode d’identification par gradient
pour estimer ces deux paramètres.
Figure 8. Réponses réelle et identifiée ( Fx , Fy =Pacejka ;
Fxe , Fye =Brosse).
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
Figure 9. Réponses réelle et identifiée ( Fx , Fy =Pacejka;
[13]
Fxe , Fye =Gim).
V. CONCLUSION
A ce jour, la formule magique de Pacejka est la plus
largement utilisée car elle est considérée comme la meilleure
représentation du comportement du pneumatique. Le modèle
MFTire modèle étendu de la formule magique, est fonction de
nombreux paramètres dont l’identification nécessite de
nombreux essais expérimentaux. Les autres modèles
présentés présentent l’avantage de la simplicité est sont
utilisable dans leur domaine de validité, par exemple les
modèles de Kiencke et de Dugoff qui introduisent les
paramètres principaux peuvent répondre parfaitement aux
attentes du modélisateur.
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
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