Oscillations libres dans un circuit RLC série
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CHAPITRE 8 Oscillations libres dans un circuit RLC série r Manuel pages 175 à 193 Choix pédagogiques Ce chapitre est le troisième et dernier chapitre consacré à l’évolution des systèmes électriques. Après avoir étudié séparément les dipôles RC et RL conduisant à des évolutions monotones de tension ou d’intensité, il s’agit d’associer maintenant les deux « réservoirs » d’énergie que constituent le condensateur et la bobine. L’intérêt de cette association est lié à la complémentarité des deux dipôles qui la constituent : – le condensateur assure en effet une évolution sans discontinuité de la charge d’une de ses armatures et donc de la tension à ses bornes mais pas de l’intensité du courant ; – la bobine permet quant à elle une évolution continue de l’intensité du courant mais ne garantit pas celle de la tension à ses bornes. De cette complémentarité, on attend donc, dans un dipôle LC, une évolution de tension ou d’intensité différente de celle vue précédemment. Dans un premier temps, il s’agira donc : – d’observer l’évolution de la tension aux bornes du condensateur d’un circuit RLC et d’étudier l’influence d’une augmentation de la résistance du circuit ; – de constater que, pour de faibles valeurs de résistances, l’évolution n’est plus monotone mais oscillante ; – d’étudier les échanges d’énergie entre le condensateur et la bobine. Dans un deuxième temps, comme dans les deux chapitres précédents, nous mènerons une étude analytique du dipôle constitué ici en établissant : – l’équation différentielle du circuit LC ; – l’expression de la période des oscillations à partir d’une solution mathématique proposée pour l’équation différentielle ; – la valeur des constantes, fonctions des conditions initiales. La séance de travaux pratiques permettra de réinvestir les connaissances du cours et de revenir sur le fait que la résistance inévitable de la bobine entraîne un amortissement des oscillations dans le circuit. Ce sera alors l’occasion de montrer qu’il est possible de maintenir l’amplitude des oscillations constante en utilisant un dispositif d’entretien et d’en étudier la fonction d’un point de vue énergétique. 8 • Oscillations libres dans un circuit RLC série 49 ■ Découvrir et réfléchir Activité expérimentale 1 Commentaire. Pour mettre en évidence la différence avec un dipôle RC, nous commençons naturellement ce chapitre par l’observation de la tension aux bornes du condensateur d’un circuit RLC. Cette activité expérimentale est le support essentiel de la première partie du cours basée sur l’observation des évolutions temporelles de tension dans un circuit RLC série. Elle permet de dégager les différents modes de fonctionnement du circuit (régimes apériodique et pseudopériodique) selon la résistance et de montrer l’existence d’un régime « limite » obtenu lorsque la résistance du circuit tend vers 0 : le régime périodique. Réponses aux questions 1. Pour de faibles valeurs de R, l’évolution de uC(t) est oscillante et non monotone puisque uC(t) diminue puis augmente successivement, au lieu de décroître (ou croître) continuellement. 2. Oscillogramme a : R devrait être nulle, régime périodique. Oscillogramme b : R doit être non nulle mais faible, régime pseudopériodique. Oscillogramme c : R doit être élevée, régime apériodique (pas d’oscillations). 3. Pour R non nulle mais faible, les oscillations sont : – libres car aucun dispositif extérieur du circuit RLC n’impose les oscillations et notamment leur fréquence ; – amorties car l’amplitude des oscillations diminue au cours du temps. Activité documentaire 2 Commentaire. Cette activité peut être menée en classe ou donner matière à réflexion en travail à la maison. Elle permet de réinvestir les connaissances acquises dans les deux chapitres précédents afin, notamment, de faire la liaison entre l’évolution de la tension aux bornes d’un condensateur étudiée dans l’activité 1 et l’intensité du courant. Mais elle permet surtout à l’élève de conduire seul l’étude énergétique dans le but : – de mettre en évidence les échanges d’énergie entre le condensateur et la bobine qui donnent lieu aux oscillations ; – d’expliquer l’influence de la résistance d’un point de vue énergétique. Réponses aux questions dq . dt [1]. Si uC(t) est extrémale, duC = 0 dt 1. a. q (t) = C uC(t) ; i (t) = Ainsi, i(t) = C duC dt soit i (t) = 0. b. Les courbes du document 3 sont compatibles avec ce résultat : uC(t) est extrémale aux instants de dates t0 , t2 et t4 par exemple, et i(t) est nulle à ces mêmes instants. 50 2. Lorsque uC(t) décroît (de t0 à t2 par exemple), duC dt est donc négative et i (t) doit l’être aussi d’après [1], ce qui est en accord avec la courbe correspondante du document 3. De même, lorsque uC(t) croît (de t2 à t4), duC est positive et i (t) aussi. dt 3. élec(t) = 1 C u C2(t) ; mag(t) = 1 L i 2(t). 2 2 4. date t0 t0 t = 0 s t1 signe de uC uC (t) 0 valeur MAX de |uC (t)| t1 t1 t t2 t2 t2 t t3 t3 t3 t t4 t4 uC 0 uC = 0 uC 0 uC 0 uC 0 uC = 0 uC 0 uC 0 c NULLE c MAX c NULLE c MAX signe de q q q q q q q q=0 q=0 q(t) 0 0 0 0 0 0 0 valeur MAX NULLE NULLE c c MAX c c MAX de |q(t)| état du conden- CHARGÉ CHARGÉ DÉCHARGÉ CHARGÉ CHARGÉ CHARGÉ DÉCHARGÉ CHARGÉ CHARGÉ sateur valeur de MAX NULLE NULLE c c MAX c c MAX élec(t) signe de i=0 i0 i0 i0 i=0 i0 i0 i0 i=0 i(t) valeur NULLE MAX MAX c c NULLE c c NULLE de |i(t)| valeur de NULLE c MAX MAX c NULLE c c NULLE mag(t) 5. élec diminue puis augmente au cours des oscillations. Cette énergie est cédée à la bobine puis restituée par elle au condensateur. Il y a échange continuel d’énergie entre la bobine et le condensateur. 6. Si on introduit un conducteur ohmique dans le circuit, l’énergie totale (t) = élec(t) + mag(t) du circuit RLC va diminuer par transfert thermique dans le conducteur ohmique. Le phénomène responsable de cette évolution est l’effet Joule. ■ Réfléchir et appliquer Travaux pratiques Commentaires. Il s’agit tout d’abord de réinvestir les connaissances concernant : – la période propre des oscillations (étude préalable) ; – les différents régimes et l’étude de la pseudopériode (manipulation 1) ; – les transferts d’énergies (manipulation 2). Pour compléter l’activité 1 de la partie Découvrir et réfléchir, nous avons choisi d’utiliser, lors cette séance, une interface d’acquisition de données reliée à un ordinateur. Il est toutefois possible de remplacer celle-ci par un oscilloscope à mémoire en adaptant les valeurs de L et C. Pour la manipulation 2, il faudra alors se munir d’un logiciel permettant le transfert des données vers l’ordinateur ou utiliser une feuille de calcul déjà préremplie avec des valeurs de uC en fonction du temps. Compte tenu de la durée des manipulations 1 et 2, la manipulation 3 est plutôt menée par le professeur. Elle permet de clôturer le chapitre en montrant l’existence du dispositif d’entretien des oscillations mentionné ou pas en cours. S’il n’en a pas été question en cours, le rôle de ce dispositif d’un point de vue énergétique peut être traité lors de la séance ou lors du cours suivant. Réponses aux questions = 2π 5, 0 × 10–3 × 1, 0 × 10–6 = 4,4 × 10–4 s. b. 5 T0 = 2,2 ms et 6 T0 = 2,6 ms ; ∆t = 2,5 ms permet une observation pendant 5 à 6 pseudopériodes. 2. a. régime n° 1 n° 2 n° 3 n° 4 pseudopseudopseudoapériodique périodique périodique périodique Le régime est pseudopériodique dans le cas n° 2 car uC(t) passe régulièrement par 0 mais l’amplitude des oscillations n’est pas constante (le régime n’est donc pas périodique) mais diminue. b. Plus R augmente, plus l’amplitude des oscillations décroît rapidement. L’amortissement est bien d’autant plus important que R est élevée. 3. a. uC (V) b. La résistance non nulle de la bobine nous empêche d’obtenir un régime périodique. 7. Le dispositif d’entretien fournit continuellement l’énergie dissipée par transfert thermique. 8. Les oscillations entretenues sont périodiques : leur amplitude est constante. Leur forme semble être sinusoïdale. 1. a. T0 = 2π LC cas Pour limiter cette diminution d’énergie, il faut diminuer la résistance du circuit, notamment celle du conducteur ohmique que l’on peut régler à 0 Ω. 9. T T0 = 4,5 × 10–4 s ; écart relatif : T – T0 = 2 %. T0 Complément Mini-TP évalué Matériel : – générateur de tension continue 6 V ; – boîte ×10 ×100 de conducteurs ohmiques ; – conducteur ohmique de résistance R = 10 Ω ; – condensateur de capacité C inconnue ; – bobine d’inductance notée L de 5 mH ; – interrupteur à deux positions ; – ordinateur muni d’une interface d’acquisition et d’un logiciel de traitement de données ; – multimètre ayant la fonction capacimètre. Travail à faire t 0 = 3T • Réaliser le montage suivant. T 1 2 i R E uC C (L, r) t (ms) Pour mesurer T avec précision, on mesure la durée correspondant à plusieurs pseudopériodes (∆t0 = 3T par ∆t exemple), puis on déduit T par le calcul (T = 0 ). 3 b. Mesures possibles dans les cas n° 1, n° 2 et n° 3. c. Les écarts obtenus sont voisins de 3 %. d. Les résultats sont convenables et les écarts sont liés aux faits que la résistance du circuit n’est pas nulle et qu’il existe des incertitudes sur L et C et sur la mesure de ∆t0. 4. élec(t) diminue quand mag(t) augmente et inverse- • Connecter l’interface d’acquisition afin de visualiser l’évolution au cours du temps de la tension uC . Reproduire le schéma et représenter les branchements réalisés. • Paramétrer le logiciel d’acquisition en adoptant une durée totale d’acquisition voisine de quelques millisecondes et un nombre de points de mesure suffisant. Ne pas modifier le mode de synchronisation. • Appeler le professeur, charger le condensateur et réaliser l’acquisition de uC aux cours de la décharge du condensateur dans la bobine. • Transférer les résultats vers un logiciel de traitement de données. ment. Il y a donc échange continuel d’énergie entre le condensateur et la bobine. • Mesurer avec précision la pseudopériode T des oscillations en indiquant la méthode utilisée pour réaliser cette mesure. 5. (t) diminue au cours du temps. 6. a. L’effet Joule est responsable de cette variation : il y • En supposant l’amortissement négligeable, déterminer la valeur de la capacité C du condensateur. a dissipation d’énergie par transfert thermique du fait de la résistance du circuit. • Appeler le professeur et mesurer C à l’aide d’un multimètre. Les deux valeurs de C sont-elles compatibles ? 8 • Oscillations libres dans un circuit RLC série 51 T ↔ nH = 7, 5 = 2,73 div ; 2,75 T = b × nH = 14 ms. Grille d’évaluation APPEL 1 – représentation des branchements – circuit correct – branchements corrects de l’interface Paramétrage correct – durée de quelques millisecondes – nombre de points de mesure suffisant * ** ** c. q (t) = C uC (t) ; q (t) est proportionnelle à uC (t) avec un coefficient de proportionnalité positif. Ainsi, l’évolution de uC(t) correspond à celle de q (t) au facteur C près. dq d. i = = C duC . dt dt 2 e. (t) = élec(t) + mag(t) = 1 C u C (t) + 1 L i 2(t). 2 2 d u C Or uC(t0) est maximale, (t0) = 0 soit i (t0) = 0. dt 2 Ainsi (t0) = 1 C u C (t0). 2 uC (t0) ↔ nV = 2,8 div avec kVA = 2 V/div ; uC(t0) = kVA × n V = 2 × 2,8 = 5,6 V. (t0) = 1 × 10 × 10–6 × (5,6)2 = 1,6 × 10–4 J. 2 6 Corrigé dans le manuel. * * Exploitation – valeur de T = 4,4 ms – précision de la mesure : mesure d’une durée de plusieurs pseudopériodes * * – T = T0 = 2 π LC T2 – soit C = 2 = 1,0 µF 4π L * * APPEL 2 – utilisation correcte du multimètre – comparaison à la valeur tirée de la mesure de T ** ** ■ Exercices 7 Les oscillogrammes a et c correspondent à des tensions de même période (donc L et C identiques) mais l’amortissement (donc R) est plus important dans le cas a . Exercices d’application a correspond au couple n° 2, b au couple n° 3 et c au couple n° 1. 8 a. À t0 = 0 s : 4 a. 2 (t0) = élec(t0) + mag(t0) = 1 C u C (t0) + 1 L i 2(t0) 2 2 = 1 C E 2 + 0 = 1 × 0,10 × 10–6 × (6,0)2 2 2 voie 1 E L C uC = 1,8 × 10–6 J = 1,8 µJ. R b. Voir schéma pour les branchements de l’oscilloscope. c. R faible R élevée uC (en V) uC (en V) E E 0 0 b. Si mag(t) est maximale, mag(t) = (t0). Alors C (t) est nulle. 2 c. mag(t) est maximale implique 1 L i max = (t0) soit : 2 imax = 2 (t0 ) . L 2 × 1, 8 × 10–6 A.N. : imax = = 4,2 × 10–3 A = 42 mA. 2, 0 × 10–3 9 1. a Vrai. t (s) t (s) –E 2. a Faux. T d. Pour R faible, le régime est pseudopériodique. Pour R élevée, le régime est apériodique. 5 a. qC (L, r) i voie A uC r' b. 2,75 T ↔ 7,5 div avec b = 5 ms/div ; 52 b Faux. c Faux : uC(t0) = E et i (t0) = 0 soit uNM = 0 (courbe 2). b Vrai. c Faux : 2 1 = 1 C u C (t0) + 2 = 1 C E2 + 0 = 2 1 L i 2(t ) 0 2 1 × 1,0 × 10–6 × (4,0)2 = 8,0 µJ. 2 3. a Faux. b Faux. c Vrai : 2T = 8,4 ms donc T = 4,2 ms. T est la durée séparant des passages consécutifs de uC(t) par une valeur nulle, uC(t) variant dans le même sens. 4. a Faux. b Faux. c Vrai : à t1 = 0,7 ms, i (t1) = uNM (t1) 1,7 4,2 mA. = R 4, 0 × 102 5. a Faux. 11 a. 5 T = 12,5 – 2,5 = 10,0 ms soit T = 2,00 ms. b Vrai. c Faux : 2 2 = 1 C u C (t1) + 1 L i 2(t1) 2 2 = 1 × 1,0 × 10–6 × (1,7)2 + 1 × 0,40 × (4,2 × 10–3)2 2 2 = 5,0 × 10–6 J = 5,0 µJ. b. T0 = k LC . T . LC Si T0 = T alors k LC = T soit k = A.N. : k = 2,00 × 10–3 1,0 × 10–6 × 100 × 10–3 = 6,3. c. Les oscillations sont amorties du fait de la dissipation d’énergie par transfert thermique (effet Joule) dans le conducteur ohmique de résistance R. L’amplitude des oscillations décroît en conséquence. 6. a Vrai. b Faux. c Faux : 3 = 1 – 2 = 3,0 µJ. 12 Corrigé dans le manuel. 10 1. i i q uC C di1 = 0 lorsque le régime stationnaire dt est établi (i1 est constant). 13 1. a. uL(t) = L L uL R i K A i2 uR i1 q D’après la loi d’additivité des tensions : uC (t) + uL(t) = 0 uL E q (t ) d 2q q(t ) di = 0 ou +L + L 2 = 0. C dt C dt d 2q 1 Ainsi q (t ) = 0. + dt 2 LC 2. a. [T0] = [k ] [C ]α[L]β (1). L uC C soit [Q] dq . Or i (t ) = . [U ] dt IT Ainsi [Q ] = I T et donc [C ] = (2). [U ] [U ] T di uL(t) = L implique [L ] = (3). dt I q (t) = C uC(t) soit [C ] = (1), (2) et (3) donnent : I T α [U ] T β [T0] = 1 = I α–β [U ]β–α T α+β. [U ] I Comme [T0] = T, il vient : α–β=β–α=0 α+β=1 { soit { α2α==β1 1 uBA uC C B b. D’après la loi d’additivité des tensions : uBA(t) + uC(t) = 0 soit L di + uC (t) = 0. dt d2uC duC dq d(C uC ) i= d’où LC + uC (t) = 0 = =C dt dt dt dt 2 d2uC 1 soit + uC (t) = 0 (1). LC dt 2 dq = – Qm 2π sin 2π t + ϕ . dt T0 T0 À t0 = 0 s, q (t0) = C uC (t0) et i (t0) = 0 soit : et q L 1 Ainsi α = β = 1 et T0 = k C 2 L 2 = k LC . 2 2π b. q (t) = Qn cos t + ϕ ; T 0 i (t) = b. uC (t) = uL(t) = 0. Or q(t) = C uC(t) donc q(t) = 0. dq i2 = = 0 car q (t) = cte (q (t) = 0 pour tout t). dt c. En régime stationnaire, i1 = I0. Or d’après la loi des nœuds en A : i = i1 + i2. En régime stationnaire, i = I0 + 0 = I0. D’après la loi d’additivité des tensions : E = uL + uR. E En régime stationnaire : E = 0 + R I0 soit I0 = = 0,48 A. R 2. a. A i Qm cosϕ = C uC (t0) (4) 2π sin ϕ = 0 (5). – Qm T0 (5) donne sinϕ = 0 soit ϕ = 0 ou π. (4) donne, avec ϕ = 0, Qm = C uC(t0) = 12,0 µC. REMARQUE : Avec ϕ = π, Qm = – C uC(t0) = – 12,0 µC, solution non valable car Qm 0 par définition. c. • Détermination de T0 2π 2π 2π uC (t) = Um cos t + ϕ ; duC = – Um sin t + ϕ ; T0 T0 dt T0 2 d2uC = – Um 2π cos 2π t + ϕ . 2 dt T0 T0 8 • Oscillations libres dans un circuit RLC série 53 (1) donne : 2π 2π 2 2π U – Um cos t + ϕ + m cos t + ϕ = 0, LC T0 T0 T0 2 2π 2π 1 soit Um cos t + ϕ – + = 0 pour tout t. LC T0 T0 2π Ainsi, comme Um ≠ 0 et cos t + ϕ n’est pas la foncT 0 2π 2 1 tion nulle, il faut que – + = 0, d’où : LC T0 2 2 2π 2π du = – E sin t soit d u = – 4π E cos 2π t . dt T0 T dt 2 T02 T0 0 L’équation différentielle donne alors : 2π 1 2π 4π2 E cos t = 0 – 2 E cos t + T0 T0 LC T0 2π 4 π 2 1 soit E cos t – 2 + = 0 pour tout t. LC T0 T0 Le terme en cosinus n’est pas nul pour tout t, E ≠ 0 ; on 4π 2 1 doit donc avoir – 2 + = 0, ce qui impose : LC T0 T0 = 2π LC . T0 = 2π LC . • Détermination de Um et ϕ Conditions initiales : E car le sens R du courant à t0 = 0 s est de A vers B dans la bobine, donc opposé au sens positif choisi pour i(t). à t0 = 0 s, uC(t 0) = 0 et i (t0) = – i1(t0) = – I0 = – Ainsi Umcos ϕ = 0 (2) et C Um 2π E sin ϕ = (3). T0 R (2) donne ϕ = ± π . 2 (3) donne : 2π E = soit Um = – LC E : – avec ϕ = – π : – C Um T0 R 2 RC solution inacceptable, car Um 0 par définition ; 2π E – avec ϕ = + π : + C Um = soit Um = LC E. T0 R 2 RC d. T0 = 2π LC soit T 02 = 4π2 LC. Ainsi L = A.N. : L = 0,58 H. T02 . 4π 2 C 14 Corrigé dans le manuel. 15 a. Le régime est pseudopériodique puisque l’amplitude des oscillations décroît. La résistance de la bobine est faible. Dans le cas contraire, u (t) diminuerait sans forcément osciller. b. i q u C L u1 16 a. La grandeur visualisée sur la voie 1 est la tension uDM(t). b. L’oscillogramme a correspond à un régime pseudopériodique. uDM(t) effectue des oscillations mais leur amplitude diminue au cours du temps. c. L’amortissement des oscillations est dû à la dissipation, par effet Joule, d’énergie dans le conducteur ohmique de résistance R, sous forme d’un transfert thermique. 2 d. (t) = élec(t) + mag(t) = 1 C u DM (t) + 1 L i 2(t). 2 2 À t0 = 0 s et t1 = 2T, uDM (t) est maximale. Avec les orientations choisies : dq i(t) = et q(t) = C uDM(t). dt Ainsi i(t) = C duDM . dt Si uDM(t) est maximale, i = 0. i On a donc : 2 (t0) = 1 C u DM (t0) + 0 2 2 (t1) = 1 C u DM (t1) + 0 2 { L’énergie dissipée par effet Joule au cours des deux premières pseudopériodes est donc : ∆ = (t0) – (t1) 2 2 = 1 C [u DM (t0) – u DM (t1)]. 2 K2 L R voie 1 D q uDM C M k = 2V/div. uDM(t0) ↔ 2,2 div uDM(t1) ↔ 1,3 div { D’après la loi d’additivité des tensions : u (t) + u1(t) = 0. d i Ainsi u (t) + L = 0. dt dq dC u du = =C Or i = ce qui implique : dt dt dt 2 u (t) + LC d u = 0 dt 2 ou encore : d2u 1 u (t) = 0. + dt 2 LC 2π c. u (t) = E cos t donne : T0 54 uDM(t0) = 2 × 2,2 = 4,4 V et uDM(t1) = 2 × 1,3 = 2,6 V. A.N. : ∆ = 1 × 1,0 × 10–6 × [4,42 – 2,62] = 6,3 × 10–6 J = 6,3 µJ. 2 e. Pour obtenir a , on ferme K1 avec K2 en O pour charger le condensateur, puis on ouvre K1 et on bascule K2 en A. Pour obtenir b , on ferme K1 avec K2 en O, puis on ouvre K1 et on bascule K2 en B. f. G apporte continuellement l’énergie nécessaire pour compenser les pertes par effet Joule. g. Les oscillations sont périodiques entretenues. L’amplitude des oscillations reste constante. h. T0 = 2π LC = 4,4 × 10–4 s. Or 2T ↔ 9 div soit T ↔ n = 4,5 div. dans le même sens, à intervalles de temps réguliers. Les oscillations sont donc pseudopériodiques. En prenant T = T0, on a donc T0 = kn soit k = T0 = 0,1 ms/div. n Exercices de synthèse 17 1.a. Voie 1, on visualise uAB(t). b. Voie 2, on visualise uDB(t). 2.a. A 2. Graphiquement, 3T = 48 × θ donc : 48 θ T= , T = 2,27 ms. 3 1 1 = 3. a. f = = 441 Hz 440 Hz. La hauteur T 2, 27 × 10–3 du son est celle du la3. b. f (la4) = 2f (la3) donc T0(la4) = 1 T0(la3) soit : 2 i q uAB 2π LC ’ = 1 × 2π LC et 2 L uL C B D’après la loi d’additivité des tensions : uAB(t) + uL(t) = 0. Pour obtenir f’ = 880 Hz, on doit diviser la capacité du condensateur par 4. U (t ) c. Um(t3) = (0,77)5 Um(t2) soit m 3 = (0,77)5 = 0,27. Um (t2 ) Graphiquement : Um(t3) ↔ 1,7 cm Um(t2) ↔ 0,45 cm { q (t ) dq di Soit = 0. Or i(t) = . +L dt C dt On a donc q (t ) d2q d2q 1 q (t ) = 0. + + L 2 = 0 ou C dt 2 LC dt b. T0 = 2π LC . Um (t3 ) 0, 45 = 0,26. = 1,7 Um (t2 ) Les valeurs sont compatibles. d. 40 ms correspondent à environ 18 pseudopériodes. Pour t ’ = 18T et t0 = 0 s : Um (t ’) = (0,77)18 = 9,1 × 10–3 soit 0,91 %. Um (t0 ) 3.a. T01 = 2π 1, 0 × 4, 0 × 10–6 = 13 ms. De même, T02 = 6,3 ms et T03 = 13 ms. b. Sur le graphique a : 4T3 = 50 ms soit Ta = 12,5 ms. Ainsi Les graphiques a et b correspondent donc à E1 ou E3 car Ta = Tb T01 T03. Toutefois, sur le graphique b , l’amortissement est plus important que sur le graphique a . b correspond donc à E3 où R est plus élevée que pour E1 et a correspond à E1. Pour c , 4Tc = 25 ms soit Tc = 6,25 ms T02. c correspond à E2. 18 A. 1. T0 = 2π LC . 2. [T0] = [2π] [L]1/2[C]1/2. [C] = Um (t ’) 1 %. Um (t0 ) C. élec(t) = Sur le graphique b : Tb = 12,5 ms également. Or q(t) = C uC(t) et i(t) = 1 C ’ = 1 C ; C’ = C. 4 2 dq ce qui implique : dt [Q] = I T [U ]–1. [U ] 1 1 2 2 C u AB (t) et mag(t) = L i (t) ; 2 2 (t) = élec(t) + mag(t). a. uAB(t1) 0 V ; élec(t1) 0 J ; 1 est principalement emmagasinée dans la bobine. b. uAB(t2) est maximale donc : du AB du AB (t2)= 0 V . s–1 et i (t2) = C (t2) = 0 A. dt dt Ainsi mag(t2) = 0 J et 2 est emmagasinée dans le condensateur. c. (t) diminue au cours du temps (l’amplitude des oscillations décroît donc élec max décroît et (t) décroît). Ceci est dû à la dissipation sous forme de transfert thermique par effet Joule à cause de la résistance de la bobine. 19 A. 1. a. 3T = 74 ms ; T = 24,7 ms. b. K i di impose [L] = [U ]T I–1. uL(t) = L dt Ainsi : [T0] = ([U ]T I–1)1/2(I T [U ]–1)1/2 = T [U ]1/2 I–1/2 I1/2 [U ]–1/2. [T0] = T : T0 a bien la dimension d’une durée et son unité est la seconde. i (L, r) q uC C 3. T0 = 2π 3, 29 × 10–6 × 40 × 10–3 = 2,28 × 10–3 s = 2,28 ms. q(t) = C uC (t) et i (t) = B. 1. Les oscillations ne sont pas périodiques puisque leur amplitude diminue. En revanche, uAB(t) passe par 0, c. Entre les instants de date tA et tB, |uC (t)| et donc |q(t)| diminuent : le condensateur se décharge. duC dq , donc i (t) = C . dt dt 8 • Oscillations libres dans un circuit RLC série 55 duC (tA)= 0 et i (tA) = 0, ce dt que l’on peut vérifier sur la courbe i = f (t). duC Entre tA et tB, uC (t) diminue donc 0 soit dt i (t) 0. Le courant circule donc en sens inverse de celui indiqué sur le schéma entre tA et tB. 2. a. 2(t) = 1 L i 2(t). Or à t0 = 0 s, i (t0) = 0 A, donc 2 2(t0) = 0 J. La courbe 2 est celle de 2(t). La courbe 1 est celle de 1(t) et la courbe 3, celle de (t). b. (t) diminue du fait de la dissipation par transfert thermique (effet Joule) à cause de la résistance interne de la bobine. d. uC(tA) est maximale donc B.1. T0 = 2π LC = 2π 1, 0 × 15 × 10–6 = 24 ms. 2π 2 2 2. a. 1(t) = 1 C u C (t) = 1 C U m sin2 t + ϕ . T0 2 2 1 2 2(t) = L i (t) 2 2π 2π duC avec i(t) = C = C Um cos t + ϕ . T T dt 0 0 2 2π 2 2π Ainsi 2(t) = 1 L C 2U m cos2 t + ϕ . 2 T0 T0 2π 1 2 2π 2 cos2 t + ϕ . = 1 C U m sin2 t + ϕ + CUm 2 T T 2 0 0 2 1 2 2 Avec cos α + sin α = 1, on aboutit à (t) = CUm . 2 Um étant une constante, (t) est constant. Pour aller plus loin 20 1. a. d2u = 0. dt 2 2π 2 2π mag(t) = 1 L C 2 E 2 sin2 t + ϕ . T0 T0 2 Ainsi avec T0 = 2π LC , on aboutit à : 2π 2π (t) = 1 C E 2 cos2 t + ϕ + 1 C E 2 sin2 t + ϕ T T 0 0 2 2 2π 2π 1 C E 2 cos2 t + ϕ + sin2 t + ϕ 2 T T 0 0 1 = C E 2. 2 C et E sont des constantes donc (t) est constante. (t) = 2. a. Si r est non nulle, (1) donne u(t) + L di + r i(t) = 0. dt du d2u + LC 2 = 0 (2). dt dt 2 b. (t) = 1 C u (t) + 1 L i 2(t). Or (f 2)’ = 2 f f ’, donc : 2 2 d du di = C u (t ) × + L i (t ) × dt dt dt 2 = C u (t ) × du + L C du × C d u dt dt dt 2 2 = C du u (t ) + LC d u2 . dt dt i d2u du =–rC , donc : dt dt 2 du 2 d du du =C × – r C = – r C = – r i 2 (t ) . dt dt dt dt Or d’après (2), u(t) + LC q C uL D’après la loi d’additivité des tensions : u(t) + uL(t) = 0 (1) avec q = Cu(t) dq di du soit u(t) + L = 0 avec i(t) = =C . dt dt dt 56 u(t) + LC b. (t) = élec(t) + mag(t). 2π 2 • élec(t) = 1 C u (t) = 1 C E 2 cos2 t + ϕ . T0 2 2 1 2 • mag(t) = L i (t) 2 2π 2π du sin t + ϕ . avec i (t) = C =–CE T0 dt T0 Ainsi u(t) + r C b. (t) = 1(t) + 2(t) u Donc : d est bien négative, ce qui traduit que (t) diminue. dt La diminution de (t) par unité de temps correspond à la puissance dissipée par effet Joule à travers la résistance de la bobine.
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