Christian Bourgois : entretien avec l`éditeur français de J.R.R. Tolkien1

PROF. BIRA
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LISTA DE EXERCÍCIOS
DIVISORES E MDC
QUESTÃO 1
(UNESP 2006) Considere o número inteiro 3 600, cuja fatoração em primos é 3 600 = 24 ⋅ 32 ⋅ 52. Os divisores inteiros e positivos de 3 600 são os números
da forma 2x ⋅ 3y ⋅ 5n, com x ∈ {0, 1, 2, 3, 4}, y ∈ {0, 1, 2} e n ∈ {0, 1, 2}.
Determine:
(a) o número total de divisores inteiros e positivos de 3 600 e quantos desses
divisores são também divisores de 720.
(b) quantos dos divisores inteiros e positivos de 3 600 são pares e quantos são
quadrados perfeitos.
QUESTÃO 2
(Unicamp 2004) Sabe-se que o número natural D, quando dividido por 31,
deixa resto r ∈ ℕ e que o mesmo número D, quando dividido por 17, deixa
resto 2r.
(a) Qual é o maior valor possível para o número natural r?
(b) Se o primeiro quociente for igual a 4 e o segundo quociente for igual a 7,
calcule o valor numérico de D.
QUESTÃO 3
(Unicamp 2003) Sejam a e b dois números inteiros positivos tais que mdc(a, b) = 5 e o mmc(a, b) = 105.
(a) Qual é o valor de b se a = 35?
(b) Encontre todos os valores possíveis para (a, b).
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QUESTÃO 4
(UFSCAR 2002) Considere as seguintes informações:
• o máximo divisor comum entre dois números também é um divisor da
diferença entre esses números;
• se o máximo divisor comum entre dois números a e b é igual a 1, mdc(a, b) = 1, o mínimo múltiplo comum desses números será igual ao seu
produto, mmc(a, b) = ab.
(a) Prove que o máximo divisor comum entre dois números consecutivos é
igual a 1;
(b) determine dois números consecutivos, sabendo que são positivos e o
mínimo múltiplo comum entre eles é igual a 156.
QUESTÃO 5
(UNESP 2001) Durante um evento, o organizador pretende distribuir, como
brindes, a alguns dos participantes, caixas (kits), com o mesmo conteúdo,
formado de camisetas e chaveiros. Sabe-se que ele possui exatamente 200
camisetas e 120 chaveiros.
(a) Decomponha os números 200 e 120 em fatores primos.
(b) Determine o número máximo de caixas, com o mesmo conteúdo, que o
organizador conseguirá formar utilizando todos os chaveiros e camisetas
disponíveis.
QUESTÃO 6
(Unicamp 2001) O teorema fundamental da aritmética garante que todo número
natural r > 1 pode ser escrito como um produto de números primos. Além
disso, se r = p1t1 p2t2 … pntn, em que p1, p2, …, pn são números primos
distintos, então o número de divisores positivos de r é d(r) = (t1 + 1)(t2 + 1) … (tn + 1).
(a) Calcule d(168), isto é, o número de divisores positivos de 168.
(b) Encontre o menor número natural que tem exatamente 15 divisores
positivos.
QUESTÃO 7
(UFG 2000) Dois números são ditos “amigáveis" se um é a soma dos divisores
próprios de outro. Divisores próprios são todos os divisores positivos do
número, exceto o próprio número. Verifique se os números 220 e 284 são
amigáveis.
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QUESTÃO 8
(UNESP 2000) Sejam x = 180 e y = 100.
(a) Decomponha x e y em fatores primos.
(b) Determine o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de x e y.
QUESTÃO 9
Quantos divisores inteiros positivos tem o número dado por 25 ⋅ 38 ⋅ 73?
QUESTÃO 10
Determine o conjunto dos divisores do número 750.
QUESTÃO 11
Os números 72 e 140 são primos entre si? Justifique sua resposta.
QUESTÃO 12
Determine os dois menores números naturais não nulos pelos quais devemos
dividir os números 150 e 180, respectivamente, a fim de obtermos quocientes
iguais.
QUESTÃO 13
O número 24 ⋅ 3a ⋅ 53 tem 120 divisores inteiros positivos. Qual é o valor de a?
QUESTÃO 14
Dos divisores comuns aos números 48 e 72, determinar:
(a) o maior deles (mdc);
(b) os pares;
(c) os que são divisíveis por 3.
QUESTÃO 15
Calcule o mdc entre os números a seguir:
(a) 120 e 384
(b) 3 600 e 4 050
(c) 185, 222 e 259
(d) 128, 136, 256 e 440
(e) 3 234 e 4 158
(f)
504, 672, 882 e 546
(g) 6 804, 47 952 e 228 456
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QUESTÃO 16
Encontrar todos os números compreendidos entre 100 e 500 que tenham 102
por mdc.
QUESTÃO 17
Calcular os dois menores números pelos quais devemos dividir 180 e 204 a fim
de que os quocientes sejam iguais.
QUESTÃO 18
Determinar os divisores comuns aos números 80 e 130 que são múltiplos de 5.
QUESTÃO 19
Dados os dois números: 182 e 238, verificar que o mdc entre eles é também o
mdc entre o menor (182) e a sua diferença (238 – 182).
QUESTÃO 20
Quer-se circundar de árvores, plantadas à máxima distância comum, um
terreno de forma quadrilátera. Quantas árvores são necessárias, se os lados do
terreno têm 3 150, 1 980, 1 512 e 1 890 metros?
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