Pb FFJM SCM - GPS FINAL_120515_FINALfinal+

Transcription

PARTICIPANTS : Christophe BIONDI / Marco TRUCCHI
[email protected] / [email protected]
PAGE : 1/53
Proposition de solution au
Mathematical Competitive Game 2014-2015
“Uncertainties in GPS Positioning”
Jeu proposé par
et
PAGE : 2/53
TABLE DES MATIERES
1.
ETAPES DU RAISONNEMENT MIS EN ŒUVRE ............................................................... 6
2.
TERMINOLOGIE ET HYPOTHESES ................................................................................... 6
2.1
Terminologie .............................................................................................................................................. 6
2.2
Hypothèses ................................................................................................................................................ 6
3. RESOLUTION DES EQUATIONS ET PRE-REPONSE A LA QUESTION 1 : POSITION
ATTENDUE DU RECEPTEUR .................................................................................................... 7
3.1
Objectif ....................................................................................................................................................... 7
3.2
Méthode de calcul ..................................................................................................................................... 7
3.3
Résultats .................................................................................................................................................... 7
4. CALCUL DE LA DENSITE DE PROBABILITE LIEE A L’INCERTITUDE SUR LA
POSITION D’UN SATELLITE...................................................................................................... 8
4.1
Objectif ....................................................................................................................................................... 8
4.2
Méthode de calcul ..................................................................................................................................... 8
4.3
Résultats .................................................................................................................................................. 10
PSEUDO-DISTANCE ENTRE UN SATELLITE ET LE RECEPTEUR ...................................... 11
6.
5.1
Objectif ..................................................................................................................................................... 11
5.2
Méthode de calcul ................................................................................................................................... 11
5.3
Résultats .................................................................................................................................................. 11
COMBINAISON DES 2 INCERTITUDES CALCULEES PRECEDEMMENT ..................... 12
6.1
Objectif ..................................................................................................................................................... 12
6.2
Calcul de la densité de probabilité suite aux deux incertitudes ........................................................ 12
6.2.1 Méthode analytique Vs méthode numérique ........................................................................................ 12
6.2.2 Logique du calcul de la densité de probabilité dans la croûte de 24m ................................................. 13
6.3
Résultats .................................................................................................................................................. 14
6.3.1 Macro faisant appel aux 2 fonctions densité des 2 incertitudes, définies respectivement par morceaux
sur [-2 ; 2] et [-10 ; 10] ........................................................................................................................................ 14
6.3.2 Interpolation polynomiale des résultats numériques de la macro......................................................... 15
6.3.3 Création de la fonction hh ..................................................................................................................... 15
PAGE : 3/53
7.
DETERMINATION DE TAU MIN ET TAU MAX ................................................................. 16
7.1
Objectif ..................................................................................................................................................... 16
7.2
Méthode d’étude de l’intersection des 5 croûtes ................................................................................. 16
7.2.1.1
Volume intersecté par 2 croûtes .................................................................................................. 16
7.2.1.2
7.2.1.3
7.2.1.4
Points d’intersection du prisme et du parallélépipède .................................................................. 19
7.3
Résultats .................................................................................................................................................. 19
8. DETERMINATION DES BORNES D’INTEGRATION ET REPONSE FINALE A LA
QUESTION 1 : POSITION ATTENDUE DU RECEPTEUR ....................................................... 20
8.1
Objectif ..................................................................................................................................................... 20
8.2
Méthode .................................................................................................................................................... 20
8.3
Résultats .................................................................................................................................................. 22
8.3.1 Bornes d’intégration .............................................................................................................................. 22
8.3.2 Réponse finale à la question 1 : position attendue du récepteur .......................................................... 22
9. REPONSE A LA QUESTION 2 : DETERMINATION D’UN VOLUME OU LE RECEPTEUR
A 90% DE CHANCES D’ETRE ................................................................................................. 23
9.1
Objectif ..................................................................................................................................................... 23
9.2
Détermination d’un pavé droit solution du problème, suivant les axes terrestres .......................... 23
9.2.1 Détermination de la valeur de l’intégrale « totale »............................................................................... 23
9.2.1.1
Méthode........................................................................................................................................ 23
9.2.1.2
Résultats....................................................................................................................................... 23
9.2.2 Détermination du pavé droit initial, départ du calcul itératif .................................................................. 24
9.2.2.1
Méthode........................................................................................................................................ 24
9.2.2.2
Résultats....................................................................................................................................... 24
9.2.3 Processus itératif pour arriver aux 90% ................................................................................................ 25
9.2.3.1
Méthode........................................................................................................................................ 25
9.2.3.2
Résultats....................................................................................................................................... 25
9.3
Détermination d’un pavé droit solution du problème, suivant les axes locaux ............................... 26
9.3.1 Méthode ................................................................................................................................................ 26
9.3.2 Résultats ............................................................................................................................................... 26
9.4
10.
Détermination d’une boule solution du problème ............................................................................... 27
CONCLUSION ................................................................................................................ 28
PAGE : 4/53
TABLE DES ANNEXES
ANNEXE 1 : RESOLUTION DU SYSTEME DE 4 EQUATIONS A 4 INCONNUES ................................. 30
ANNEXE 2 : CALCUL DE LA FONCTION FF ......................................................................................... 31
ANNEXE 3 : DEFINITION DE LA FONCTION FF ................................................................................... 32
ANNEXE 4 : DEFINITION DE LA FONCTION GG ................................................................................. 33
ANNEXE 5 : MACRO POUR CALCUL NUMERIQUE DE LA FONCTION HH ........................................ 34
ANNEXE 6 : DEFINITION DE LA FONCTION HH APRES EXTRAPOLATION ...................................... 35
ANNEXE 7 : DETERMINATION DE TAU MIN ET TAU MAX .................................................................. 39
ANNEXE 8 : PROBABILITES NON NULLES SUR LES PLANS Z = 4 653 445 A Z = 4 653 513 (PAS DE
1) .................................................................................................................................................... 42
ANNEXE 9 : DETERMINATION DES COTES DU PAVE DROIT INITIAL POUR CALCUL ITERATIF .... 51
TABLE DES ILLUSTRATIONS
Liste des tableaux
TABLEAU 1 : SYNOPTIQUE DES GRANDES ETAPES DU RAISONNEMENT ....................................... 5
TABLEAU 2 : SOLUTIONS DES 5 SYSTEMES DE 4 EQUATIONS A 4 INCONNUES ............................ 7
TABLEAU 3 : DISTRIBUTION DES PROBABILITES DE L'ERREUR SUR LA POSITION D’UN
SATELLITE....................................................................................................................................... 8
TABLEAU 4 : DISTRIBUTION DES PROBABILITES DE L'ERREUR SUR LA DISTANCE MESUREE .. 11
TABLEAU 5 : RESULTAT DES ITERATIONS SERVANT A DETERMINER LES COTES DU PAVE
DROIT SOLUTION DU PROBLEME DANS LES AXES TERRESTRES ......................................... 25
TABLEAU 6 : RESULTAT DES ITERATIONS SERVANT A DETERMINER LES COTES DU PAVE
DROIT SOLUTION DU PROBLEME DANS LES AXES LOCAUX .................................................. 27
Liste des figures
FIGURE 1 : SCHEMA EXPLICATIF DU RESULTAT DE L'ERREUR SUR LA POSITION D’UN
SATELLITE....................................................................................................................................... 9
FIGURE 2 : SCHEMA JUSTIFICATIF DE L'HYPOTHESE 1 .................................................................... 9
FIGURE 3 : REPRESENTATION GRAPHIQUE DE LA FONCTION FF ................................................. 10
FIGURE 4 : REPRESENTATION GRAPHIQUE DE LA FONCTION GG ................................................ 11
FIGURE 5 : SCHEMA EXPLICATIF POUR LE CALCUL DE LA DENSITE DE PROBABILITE DANS LA
CROUTE DE 24M........................................................................................................................... 13
FIGURE 6 : REPRESENTATION GRAPHIQUE DE LA FONCTION HH................................................. 14
FIGURE 7 : REPRESENTATION GRAPHIQUE DE LA FONCTION HH PAR MORCEAUX, SUR
INTERVALLES DE 0,4M................................................................................................................. 15
FIGURE 8 : SCHEMA EXPLICATIF DE L'INFLUENCE DE TAU SUR LE RAYON DE SPHERES ......... 16
FIGURE 9 : SCHEMA DES DIFFERENTS CAS POSSIBLE D'INTERSECTION DE 2 CROUTES ......... 17
FIGURE 10 : HYPOTHESE CONCERNANT LA SECTION DU TORE INTERSECTION DE 2 CROUTES17
FIGURE 11 : EXEMPLE DE PRISME ET PARALLELEPIPEDE DONT NOUS CHERCHONS
L'INTERSECTION .......................................................................................................................... 18
FIGURE 12 : ENSEMBLE DES POINTS A PROBABILITE NON NULLE (ROUGE EN HAUT ; ROUGE +
JAUNE EN BAS) DANS LE PLAN Z = 4 653 480 ........................................................................... 21
FIGURE 13 : LOCALISATION DE LA POSITION LA PLUS PROBABLE DU RECEPTEUR ................... 28
PAGE : 5/53
1. ETAPES DU RAISONNEMENT MIS EN ŒUVRE
Les travaux relatés dans ce document ont été réalisés selon les étapes suivantes :
LIBELLE DES ETAPES
Resolution du système de 5 équations
↓
Calcul de la densité de probabilité liee à l’incertitude sur la position d’un satellite
↓
Calcul de la densité de probabilité liée à l’incertitude sur la pseudo-distance entre un
satellite et le récepteur
↓
Combinaison des 2 incertitudes calculées précedemment
↓
Determination de Tau min et Tau max
↓
Détermination des bornes d’intégration, et réponse à la question 1
↓
Calcul du volume solution et réponse à la question 2
Tableau 1 : Synoptique des grandes étapes du raisonnement
PAGE : 6/53
2. TERMINOLOGIE ET HYPOTHESES
2.1 Terminologie
Les termes « boule » et « sphère » ont la même signification qu’usuellement en géométrie dans
l’espace, à savoir :
Sphère : surface constituée par l’ensemble des points situés à une même distance (appelée
rayon) d’un point donné (appelé centre).
Boule : volume constitué par l’ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à
une certaine distance (rayon) d’un point donné (centre).
Nous ajouterons ici le terme « croute », défini de la façon suivante :
Croûte : volume constitué par l’ensemble des points situés à la fois à une distance supérieure à
une distance donnée (appelée rayon min = Rmin), mais aussi à une distance inférieure à une
autre distance donnée (appelée rayon max = Rmax), par rapport à un point donné appelé
centre.
De façon simple, une croûte peut être considérée comme une sphère « avec une épaisseur »,
ou une boule creuse.
2.2 Hypothèses
Certaines hypothèses seront prises au cours de ce document.
Elles ont toutes pour but de faciliter grandement la résolution du problème, tout en ne
changeant la solution que de manière infinitésimale.
Ces hypothèses sont situées dans les paragraphes 4.2 (page 9) et 7.2 (page 17), et sont
clairement signalées.
PAGE : 7/53
3. RESOLUTION DES EQUATIONS ET PRE-REPONSE A LA QUESTION 1 : POSITION
ATTENDUE DU RECEPTEUR
3.1 Objectif
Cette première étape consiste à résoudre le système d’équations proposé, afin de déterminer
une première approximation de la position attendue du récepteur.
3.2 Méthode de calcul
Nous devons résoudre un système à 4 inconnues : x, y, z et Tau.
Or, l’énoncé propose les données pour 5 satellites, c'est-à-dire 5 équations.
Le système est donc « hyperstatique », et il y avait de fortes chances que l’on ne puisse trouver
de quadruplet (x,y,z,Tau) satisfaisant l’ensemble des 5 équations.
Nous nous sommes donc attachés à résoudre un système prenant en compte 4 équations
parmi les 5 proposées, selon le calcul décrit en annexe 1.
3.3 Résultats
Comme pressenti, il n’existe aucun quadruplet (x,y,z,Tau) satisfaisant les 5 équations.
Ainsi, nous avons calculé les quadruplets solutions pour chacun des 5 sous-ensembles de 4
équations prises parmi les 5 de l’énoncé.
Le tableau suivant liste les résultats obtenus, avec les informations suivantes :
- Quelles sont les équations utilisées pour ce calcul,
- Quelles sont les coordonnées du point solution, et la valeur de Tau associée,
- Quelle est l’erreur sur la 5ème équation.
Point solution
Equations
1, 2, 3, 4
1, 2, 3, 5
1, 2, 4, 5
1, 3, 4, 5
2, 3, 4, 5
ème
X [m]
Y [m]
Z [m]
4 343 409,122
4 343 405,899
4 343 420,473
4 343 409,934
4 343 408,184
-124 936,776
-124 940,616
-124 949,322
-124 936,872
-124 936,724
4 653 484,446
4 653 476,420
4 653 478,372
4 653 479,332
4 653 477,395
Tau [s]
Erreur sur 5
équation [m]
2,7291193.10-5
2,7263649.10-5
2,7297280.10-5
2,7278483.10-5
2,7274485.10-5
5,484
5,514
15,501
1,270
1,385
Tableau 2 : Solutions des 5 systèmes de 4 équations à 4 inconnues
La position attendue du récepteur la plus probable, avec comme données d’entrées les seules
équations, se situe au barycentre de ces 5 points, c'est-à-dire au point de coordonnées :
X = 4 343 410,72 m
Y = - 124 940,06 m
Z = 4 653 479,19 m
Nous verrons cependant à la fin du paragraphe 8 que cette position la plus probable peut être
grandement affinée en prenant en compte les incertitudes données dans l’énoncé.
PAGE : 8/53
POSITION D’UN SATELLITE
4.1 Objectif
Cette étape consiste à calculer l’ensemble des positions possibles (et leurs densités de
probabilité associées) en partant d’un point donné avec une certaine incertitude, et en
effectuant un déplacement d’une longueur fixe à partir de ce point.
Pour rappel, l’incertitude donnée par l’énoncé sur la position d’un satellite est la suivante :
distance to the center point
(in meters)
0-0.40
0.40-0.80
0.80-1.20
1.20-1.60
1.60-2
probability
(percentage)
30%
25%
20%
15%
10%
Tableau 3 : Distribution des probabilités de l'erreur sur la position d’un satellite
Cette répartition des probabilités étant parfaitement symétrique par rapport au centre du repère,
nous avons choisi de calculer les densités de probabilité pour une seule direction de l’espace,
en partant du point central.
Le résultat trouvé sera donc applicable à n’importe quelle direction choisie.
Le raisonnement se base sur la question suivante :
Si l’on choisit un point sur une droite de l’espace passant par le satellite, quelles sont
l’ensemble des positions du satellite qui auraient pu y amener, après une distance d ?
Prenons pour exemple un satellite et sa zone d’incertitude de +/- 2m (qu’on nommera boule B,
de centre O), pour lequel nous cherchons l’ensemble des positions possibles à l’issue de la
mesure d’une distance d, sur un axe donné.
PAGE : 9/53
Il apparait clairement, sur le schéma ci-dessous, que le point A est le seul à pouvoir donner un
point d’arrivée A’ à une distance maximale du satellite (égale à d + 2).
Il apparait également clairement que le point C est le seul à pouvoir donner un point d’arrivée C’
à une distance minimale du satellite (égale à d - 2).
B
C
D?
D?
D?
D?
D?
D?
d
D’
A
A’
C’
d
Figure 1 : Schéma explicatif du résultat de l'erreur sur la position d’un satellite
En revanche, tous les points de l’axe situés entre A’ et C’ peuvent avoir comme point de départ
une infinité de points situés dans la boule de 2m centrée sur le satellite.
Pour un point D’ situé entre A’ et C’, l’ensemble de ces points consiste en l’intersection de la
boule B avec la sphère de rayon d centrée en D’.
Nous avons alors besoin de faire une hypothèse.
Hypothèse 1 :
Le rayon de l’incertitude (2 mètres) est négligeable devant la longueur mesurée entre le satellite
et le récepteur (plus de 20 millions de mètres).
Nous considèrerons donc que l’ensemble des points de la boule B pouvant donner un
point D’ situé entre A’ et C’ est approximé à la tranche infinitésimale de cette boule
contenue dans le plan P, normal à (OD’) et situé à la distance d du point D’.
Nota : cette approximation est légitime, car l’erreur qu’elle engendre en position est de l’ordre
du dix-millième de millimètre !
Figure 2 : Schéma justificatif de l'hypothèse 1
PAGE : 10/53
Une fois cette hypothèse faite, étant donné que les 5 croûtes de la boule B ont des densités de
probabilité différentes, le calcul doit se faire dans 9 intervalles distincts, avec des formules
différentes, chacune prenant en compte les surfaces et les densités de probabilité associées de
chaque croûte dans la tranche concernée.
Les grandes étapes du calcul sont données en annexe 2.
4.3 Résultats
Pour un satellite S, ayant les incertitudes rappelées dans le tableau 3, la mesure d’une distance
d à partir de celui-ci peut donner l’ensemble des points contenus dans une croûte
d’épaisseur 4 mètres, avec les densités de probabilités suivantes (centrées en d) :
-
Si Ӏ X - d Ӏ > 2m :
P(X) = 0
-
Si 1,6 m < Ӏ X - d Ӏ < 2 m :
P(X) =
-
Si 1,2 m < Ӏ X - d Ӏ < 1,6 m :
P(X) =
-
Si 0,8 m < Ӏ X - d Ӏ < 1,2 m :
P(X) =
-
Si 0,4 m < Ӏ X - d Ӏ < 0,8 m :
P(X) =
-
Si 0 < Ӏ X - d Ӏ < 2 m > 0,4 m :
P(X) =
−
−
∗ ²
−
−
−
∗ ²
∗ ²
∗ ²
∗ ²
La représentation graphique de cette fonction, définie par morceaux sur [-2 ; 2], est la suivante :
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-2.4
-2
-1.6
-1.2
-0.8
-0.4
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
Figure 3 : Représentation graphique de la fonction ff
Nous appellerons cette fonction ff(x). Cette fonction est définie en annexe 3 (langage VBA).
PAGE : 11/53
5. CALCUL DE LA DENSITE DE PROBABILITE LIEE A L’INCERTITUDE SUR LA PSEUDODISTANCE ENTRE UN SATELLITE ET LE RECEPTEUR
5.1 Objectif
Cette étape consiste à calculer l’ensemble des positions possibles (et leurs densités de
probabilité associées) en partant d’un point fixe, et en effectuant un déplacement d’une
longueur donnée avec une certaine incertitude, à partir de ce point.
Pour rappel, l’incertitude donnée par l’énoncé sur la distance mesurée est la suivante :
pseudo-distance to the receiver
(in meters)
d-10 to d-8
d-8 to d-6
d-6 to d-4
d-4 to d-2
d-2 to d
pseudo-distance to the receiver
(in meters)
d to d+2
d+2 to d+4
d+4 to d+6
d+6 to d+8
d+8 to d+10
probability
5%
7.5%
10%
12.5%
15%
probability
15%
12.5%
10%
7.5%
5%
Tableau 4 : Distribution des probabilités de l'erreur sur la distance mesurée
La méthode utilisée est la même que celle utilisée dans le paragraphe précédent.
5.3 Résultats
Pour un satellite S situé en un point donné, la mesure à partir de ce point d’une distance d avec
les incertitudes rappelées dans le tableau 4, peut donner l’ensemble des points contenus
dans une croûte d’épaisseur 20 mètres, avec les densités de probabilités
suivantes (centrées en d) :
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
Figure 4 : Représentation graphique de la fonction gg
Nous appellerons cette fonction gg(x). Cette fonction est définie en annexe 4 (langage VBA).
PAGE : 12/53
6. COMBINAISON DES 2 INCERTITUDES CALCULEES PRECEDEMMENT
6.1 Objectif
Cette étape a pour but d’obtenir la densité de probabilité à l’intérieur de la croûte de 24m
résultant des 2 incertitudes de mesures explicitées dans les paragraphes 4 et 5, pour un
satellite donné.
6.2 Calcul de la densité de probabilité suite aux deux incertitudes
6.2.1 Méthode analytique Vs méthode numérique
Plusieurs méthodes sont possibles pour calculer cette densité de probabilité.
La méthode analytique, comme nous l’avons fait pour calculer chaque densité liée à une seule
incertitude, ou bien une méthode numérique.
La méthode analytique s’avère beaucoup plus longue ici, le nombre de cas possibles devenant
très grand.
En effet, pour chacune des 2 incertitudes initiales, le nombre d’équations à trouver pour décrire
la fonction densité de probabilité était seulement de 5.
Alors qu’ici, le nombre d’équations pour décrire la fonction densité de probabilité dans la croûte
de 24m correspond au nombre d’intervalles de 0,4m dans 24m, c'est-à-dire 60 !!
Nous avons donc procédé de la façon suivante :
-
Ecriture d’une macro faisant appel aux fonctions définies par morceaux des densités de
probabilités des 2 incertitudes (ff et gg),
-
Calcul numérique de la densité de probabilité dans la croûte de 24m, avec un pas très fin
(pas de 1mm pour chacune des 2 incertitudes).
-
Détermination de la forme des équations décrivant la densité de probabilité de la croûte
de 24m.
-
Interpolation polynomiale des points trouvés sur chaque intervalle de [-12 + k*0,4 ; -11,6
+ k*0,4], pour k allant de 0 à 59, avec la même forme d’équation qui serait trouvée
analytiquement (c’est-à-dire un polynôme du 5ème degré maximum).
PAGE : 13/53
6.2.2 Logique du calcul de la densité de probabilité dans la croûte de 24m
Le principe du raisonnement est le suivant :
Nous allons toujours nous placer sur un seul rayon, et considérer les 2 incertitudes de façon
consécutive.
La première incertitude pouvant donner un ensemble de points situés dans une portion de
+/- 2m avec une densité de probabilité ff connue, il faut se demander quel ensemble de points
peut être obtenu en appliquant ensuite, en partant du point obtenu, la seconde densité de
probabilité connue répartie sur une zone de +/- 10m.
Le raisonnement est illustré par le schéma ci-dessous.
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
t
0
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
1
0.5
0
-2 -1.2 -0.4 0.4 1.2
x
2
Figure 5 : Schéma explicatif pour le calcul de la densité de probabilité dans la croûte de 24m
PAGE : 14/53
Step 1 : suite à la 1ère incertitude, on a une densité de probabilité égale à ff(x) pour un x
appartenant à [-2 ; 2].
Step 2 : en partant de ce point, la 2nde incertitude donnera une autre densité de probabilité,
centrée sur x, égale à gg(t-x), pour un t appartenant à [-12 ; 12].
Pour une valeur de t donnée, la densité de probabilité associée hh(t) se calcule donc en
sommant, pour toutes les valeurs de x appartenant à [-2 ; 2], le produit ff(x) * gg(t-x).
6.3 Résultats
6.3.1 Macro faisant appel aux 2 fonctions densité des 2 incertitudes, définies
respectivement par morceaux sur [-2 ; 2] et [-10 ; 10]
Le calcul des 60 équations décrivant la fonction densité de probabilité étant très laborieux, nous
avons décidé d’écrire une macro afin de calculer numériquement les valeurs.
Cette macro fait appel aux fonctions ff et gg, et est explicitée en annexe 5 (langage VBA).
La représentation graphique de la fonction hh est la suivante :
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-0.02
Figure 6 : Représentation graphique de la fonction hh
10
12
PAGE : 15/53
6.3.2 Interpolation polynomiale des résultats numériques de la macro
La densité de probabilité dans la croûte de 24m se calcule en faisant le produit des 2 densités
élémentaires ff(x) et gg(t-x) et en intégrant suivant x.
Les fonctions ff et gg, bien que définies différemment selon les intervalles, sont toujours des
polynômes du second degré en x.
Ainsi, l’intégrale de leur produit sur un intervalle dont les bornes sont fonction de t donnera une
fonction polynomiale en t de degré maximum 5.
Les résultats donnés par la macro ont donc été scindés en 60 sous-groupes (par intervalles de
0,4m, voir graphique ci-dessous), et chacun d’entre eux a été interpolé par un polynôme de
degré 5.
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
-12
-10
-8
-6
0
-2
0
-0.02
-4
2
4
6
8
10
12
Figure 7 : Représentation graphique de la fonction hh par morceaux, sur intervalles de 0,4m
6.3.3 Création de la fonction hh
L’interpolation polynomiale de degré 5 a donc donné 60 équations permettant de définir la
fonction hh(t), pour t appartenant à l’intervalle [-12 ; 12].
ℎℎ
=
∙
−
Cette fonction est explicitée et définie en annexe 6 (langage VBA).
PAGE : 16/53
7. DETERMINATION DE TAU MIN ET TAU MAX
7.1 Objectif
La valeur de Tau a une influence sur le rayon des sphères des équations de base (et donc sur
Rmin et Rmax, respectivement les rayons minimal et maximal des croûtes).
Quand tau augmente, les sphères rétrécissent, et quand Tau diminue, les sphères augmentent
de rayon.
Cette étape consiste à déterminer quelles sont les valeurs de Tau min et max définies ainsi :
Tau min : valeur limite de Tau pour laquelle, pour toute valeur de Tau inférieure à celle-ci, les
sphères sont tellement grandes qu’aucun point de l’espace n’est commun aux 5 croûtes de
24m.
Tau max : valeur limite de Tau pour laquelle pour toute valeur de Tau supérieure à celle-ci, les
sphères sont tellement petites qu’aucun point de l’espace n’est commun aux 5 croûtes de 24m.
Exemple avec 3 cercles :
Tau >> Tau max
Tau > Tau max
Tau min < Tau < Tau max
Tau < Tau min
Figure 8 : Schéma explicatif de l'influence de Tau sur le rayon de sphères
7.2 Méthode d’étude de l’intersection des 5 croûtes
Etudier directement le volume intersecté par les 5 croûtes étant un peu difficile à concevoir
mentalement, nous avons décidé d’étudier l’intersection entre :
- le volume intersecté par 2 croûtes,
- et le volume intersecté par les 3 autres croûtes,
ce qui revient au même au final.
7.2.1.1 Volume intersecté par 2 croûtes
Dans l’absolu, 2 croûtes peuvent s’intersecter de 4 façons différentes :
- Cas 1 : Seuls les 2 Rmax s’intersectent,
- Cas 2 : Rmin et Rmax d’une croûte coupent seulement Rmax de l’autre,
- Cas 3 : Vice-versa du cas 2,
- Cas 4 : Rmin et Rmax des 2 croûtes s’intersectent tous entre eux.
PAGE : 17/53
Ci-dessous une vue en coupe de l’intersection de 2 croûtes, pour illustrer les 4 cas :
Cas 1
Cas 2 et 3
Cas 4
Figure 9 : Schéma des différents cas possible d'intersection de 2 croûtes
Le cas 1 peut arriver uniquement lorsque le point d’intersection est situé sur la droite passant
par le centre des 2 croûtes, ou dans un proche voisinage de celle-ci.
En pratique, le calcul montre que le point O est toujours extrêmement éloigné des axes passant
par le centre de 2 croûtes.
Le cas 1 peut donc être écarté.
Les cas 2 et 3 ne peuvent arriver que lorsque l’on cherche l’intersection de croûtes d’épaisseurs
différentes. Dans notre cas, les 5 croûtes font toutes 24m d’épaisseur.
Les cas 2 et 3 peuvent donc être écartés.
Seul le cas 4 nous intéresse. Nous allons faire une hypothèse à son sujet.
Hypothèse 2 :
Les rayons des croûtes (environ 20 millions de mètres) étant très largement supérieurs à
leur épaisseur (24 mètres), nous allons considérer que la section du tore constituant leur
intersection n’est pas constituée de 4 arcs de cercles, mais est un losange.
Zoom
Extrapolation
Figure 10 : Hypothèse concernant la section du tore intersection de 2 croûtes
N.B : La courbure est ici très largement exagérée.
Le volume intersecté par 2 croûtes est donc :
- Dans l’absolu, un tore de section losange,
- Localement, au voisinage de l’intersection des 5 croûtes, un parallélépipède de hauteur
infinie et à base losange, que nous appellerons prisme.
PAGE : 18/53
Pour connaitre le volume intersecté par 3 croûtes, il faut partir de celui intersecté par 2
premières croûtes(le prisme déterminé précédemment), et en faire l’intersection avec une 3ème.
Cela donne un parallélépipède, dont toutes les faces sont des parallélogrammes.
Trouver l’intersection entre 5 croûtes est équivalent à trouver l’intersection entre le
prisme formé par 2 d’entre elles, et le parallélépipède formé par les 3 autres.
Figure 11 : Exemple de prisme et parallélépipède dont nous cherchons l'intersection
La variation de Tau aura pour effet de faire se rapprocher, s’intersecter, puis s’éloigner ce
prisme et ce parallélépipède, comme indiqué ci-dessous :
Step1 : Tau est très grand
les croutes sont très petites, le prisme et le parallélépipède sont très loin l’un de l’autre.
Step 2 : Tau diminue petit à petit
Les croutes s’expansent, le prisme et le parallélépipède se rapprochent l’un de l’autre.
Step 3 : on atteint la valeur Tau max
Le prisme et le parallélépipède entrent en contact à cet instant. Les 5 croûtes
commencent donc à avoir une intersection non nulle pour cette valeur de Tau max
exacte.
Step 4 : Tau diminue encore
Le volume intersecté par le prisme et le parallélépipède augmente, passe par un
maximum, puis décroît.
Step 5 : on atteint la valeur Tau min
Le prisme et le parallélépipède cessent d’être en contact à cet instant. Les 5 croûtes ont
donc à nouveau une intersection nulle dès cette valeur de Tau min, et ce pour toutes les
valeurs de Tau inférieures.
PAGE : 19/53
7.2.1.4 Points d’intersection du prisme et du parallélépipède
Le prisme et le parallélépipède peuvent s’intersecter de 2 façons différentes :
- Soit le paralélépipède vient toucher une face du prisme avec un de ses sommets (ou
avec une de ses arêtes ou une de ses faces, mais de toutes façons, un sommet touche),
- Soit une arête du prisme vient toucher une arête du paralélépipède.
Dans tous les cas, l’intersection de ces 2 volumes correspond à l’intersection de 4 sphères,
chacune prise dans l’un des 4 ensembles suivants :
{C1min ; C1MAX} / {C2min ; C2MAX} / {C3min ; C3MAX} / {C4min ; C4MAX} / {C5min ; C5MAX}
Sachant que :
Cimin (i = 1 à 5) correspond à la sphère constituant la borne inférieure de la croûte de 24m du
ième satellite (pseudo distance -12m, corrigée avec c*Tau).
CiMAX (i = 1 à 5) correspond à la sphère constituant la borne supérieure de la croûte de 24m
du ième satellite (pseudo distance +12m, corrigée avec c*Tau).
7.3 Résultats
Le nombre de cas possible s’élevait à 80 (nombres de façons de choisir 4 croûtes parmi 5,
multiplié par le nombre de façon de choisir l’une des 2 sphères possibles – min ou MAX – pour
chacune des 4 croûtes).
Pour chacun des 80 cas possibles, nous avons calculé analytiquement le point de contact, avec
Tau associé. Ensuite, nous avons regardé à quelle distance le point obtenu était des 2 sphères
Cmin et CMAX de la croûte non prise en compte dans le système d’équations.
Ceci afin de savoir si le point de contact des 4 croûtes choisies était bien dans la 5ème ou non.
Nous avions alors 2 cas possibles pour les 2 distances ainsi obtenues :
- Si les 2 vecteurs entre le point d’intersection des 4 croûtes, et Cmin et CMAX de la 5ème
étaient dans le même sens (valeurs « Equat = 0 pour Cmin » et « Equat = 0 pour CMAX » en
rouge du tableau en annexe 7 toutes deux positives ou toutes deux négatives), cela
signifiait que le point était hors de la 5ème croûte. Ce cas était donc à écarter.
- Si les 2 vecteurs étaient dans des sens opposés, cela signifiait que le point était bien à
l’intérieur de la 5ème croûte.
Au final, dans seuls 26 cas parmi les 80, le point solution du système de 4 équations appartient
à la 5ème croûte (voir liste de ces cas en annexe 7).
Le passage en revue des valeurs de Tau pour ces 26 cas a permis de déterminer les valeurs
minimale et maximale de Tau :
Tau min = 2,71692E-05
Tau max = 2,73878E-05
Toutes les valeurs de Tau à l’extérieur de cet intervalle sont à exclure, car il n’y aurait alors
aucune intersection possible entre les 5 croutes données par les 5 satellites.
PAGE : 20/53
8. DETERMINATION DES BORNES D’INTEGRATION ET REPONSE FINALE A LA
QUESTION 1 : POSITION ATTENDUE DU RECEPTEUR
8.1 Objectif
Cette étape consiste à déterminer une portion d’espace « enveloppe », dans laquelle est situé
l’ensemble du volume intersecté par les 5 croûtes, pour toutes les valeurs acceptables de Tau.
Nous allons considérer que toutes les valeurs de Tau possibles sont équiprobables.
8.2 Méthode
La logique de cette étape est résumée ci-dessous :
Step 1 :
Ecriture d’une fonction qui associe à chaque point de l’espace le produit des 5 densités de
probabilités d’être à cet endroit dans chacune des 5 croûtes, en fonction de Tau.
Cette fonction renvoie donc la valeur zéro si le point n’est pas dans les 5 croûtes, et renvoie
une valeur non nulle dans les autres cas.
, , , ! = " ℎℎ#
#$
, , ,!
Step 2 :
Nous avons voulu visualiser le volume d’intersection des 5 croûtes, pour toutes les valeurs de
Tau, en faisant ressortir ces points de l’espace à valeur non nulle.
Pour cela, nous sommes partis du barycentre déterminé au paragraphe 3.3, et avons procédé
par coupes suivant des plans Z = constante.
Step 3 :
En augmentant Z petit à petit, jusqu’à ce qu’à ce que plus aucun point n’affiche une valeur non
nulle, nous avons déterminé la borne maximale d’intégration en Z.
En faisant de même, en diminuant la valeur de Z, nous avons déterminé la valeur minimale.
Les valeurs de X et Y ont été déterminées en prenant la valeur mini et maxi sur l’ensemble des
plans contenant des points non nuls.
Step 4 : nous avons divisé le volume où la densité de probabilité est supérieure à zéro en petits
parallélépipèdes pp.
Dans chaque parallélépipède de volume Vpp, nous avons calculé l’intégrale :
%&& =
,-./
,-#0
'( " ℎℎ#
)**
#$
, , ,!
+ !
La valeur Ppp est proportionnelle à la probabilité que le récepteur se trouve à l’intérieur du
parallélépipède pp.
PAGE : 21/53
Ci-dessous en exemple, l’ensemble des points à valeur non nulle du plan Z = 4 653 480.
On remarque bien l’intersection de ce plan avec 3 croûtes, du fait des 6 côtés parallèles 2 à 2,
voire même le début d’apparition d’un 7ème côté, en haut à droite.
La figure du bas montre que les valeurs obtenues sont bien plus grandes au centre.
Figure 12 : Ensemble des points à probabilité non nulle (rouge en haut ; rouge + jaune en bas) dans le plan
Z = 4 653 480
PAGE : 22/53
8.3 Résultats
8.3.1 Bornes d’intégration
Nous avons déterminé les bornes d’intégration suivantes, au-delà desquelles aucun point
n’appartient aux 5 croûtes :
4 343 378 < X < 4 343 441
- 124 957 < Y < - 124 915
4 653 444 < Z < 4 653 514
L’ensemble des plans Z = constante, pris avec un pas de 1m, est donné en annexe 8 et permet
de visualiser l’évolution du volume d’intersection des 5 croûtes.
8.3.2 Réponse finale à la question 1 : position attendue du récepteur
A l’issue du calcul précédent, nous avons déterminé quel point était le plus probable.
En effectuant plusieurs itérations en resserrant les parallélépipèdes pp sur leurs dimensions X,
Y et Z, nous avons pu préciser ce point jusqu’au millimètre près.
La position la plus probable du récepteur est donc la suivante :
X = 4 343 409,089 m
Y = - 124 936,948 m
Z = 4 653 478,558 m
PAGE : 23/53
9. REPONSE A LA QUESTION 2 : DETERMINATION D’UN VOLUME OU LE RECEPTEUR
A 90% DE CHANCES D’ETRE
9.1 Objectif
Cette étape consiste à déterminer un volume où le récepteur a 90% de chances de se trouver.
Nous sommes partis sur 2 types de volume :
- Un pavé droit dont les côtés sont contenus dans des plans X = constante, Y = constante
et Z = constante, X, Y et Z étant les axes du repère terrestre donné dans l’énoncé,
- Un pavé droit dont les côtés sont contenus dans des plans Xlocal = constante, Ylocal =
constante et Zlocal = constante, Xlocal, Ylocal et Zlocal étant les axes du repère local lié au
point le plus probable.
9.2 Détermination d’un pavé droit solution du problème, suivant les axes terrestres
9.2.1 Détermination de la valeur de l’intégrale « totale »
9.2.1.1 Méthode
La première étape était de déterminer quelle valeur était obtenue en effectuant l’intégrale
suivante, sur tout l’espace possible d’intersection des 5 croûtes, en faisant varier Tau :
%&& =
,-./
,-#0
'( " ℎℎ#
)**
#$
, , ,!
+ !
Une fois cette valeur totale obtenue, le but était d’obtenir un pavé droit pour lequel l’intégrale
calculée sur l’ensemble de son volume donnait 90% de la valeur de l’intégrale sur l’espace total.
9.2.1.2 Résultats
La valeur de l’intégrale sur l’ensemble de l’espace différait légèrement suivant le pas que nous
utilisions pour X, Y, Z et Tau.
Pas X
14/18 x PasZ *
14/18 x PasZ *
14/18 x PasZ *
Pas Y
12/18 x PasZ *
12/18 x PasZ *
12/18 x PasZ *
Pas Z
0,3
0,3
0,2
Pas Tau
2.10E-9
1.10E-9
1.10E-9
Valeur de l’intégrale totale
3.39399754699845000E-10
3.39399754679971000E-10
3.39399754151600000E-10
* : Le fait que nous ayons choisi des pas sur les axes X et Y respectivement égaux à 14/18ème
et à 12/18ème du pas suivant Z est expliqué dans le paragraphe suivant.
Pour le reste des calculs, nous avons décidé de garder un pas d’intégration de 2.10E-9
pour Tau, et de 0,2m pour Z.
PAGE : 24/53
9.2.2 Détermination du pavé droit initial, départ du calcul itératif
9.2.2.1 Méthode
Nous avons utilisé un calcul itératif, partant d’un premier pavé droit avec des longueurs de
côtés prédéfinies, et augmentant ou diminuant ces longueurs en fonction du résultat de
l’intégration, pour converger vers 90% de la valeur totale.
Une infinité de pavés droits peut être solution du problème.
C’est pour cela que nous avons décidé de fixer le ratio entre les différents côtés du pavé de la
manière qui nous a semblé la plus appropriée, c'est-à-dire de façon à ce que le pavé soit le plus
compact possible, et centré sur le point le plus probable.
Ce premier pavé, base de notre processus itératif, a donc été déterminé en plusieurs étapes :
Step 1 :
Nous avons déroulé les étapes du paragraphe 8 trois fois, suivant les axes X, Y et Z, puis
avons fait la somme des %&& de tous les parallélépipèdes sur chacun des plans.
Ceci afin de déterminer la distribution des valeurs suivant les plans.
Step 2 :
Nous avons ensuite déterminé, pour chacune des trois directions d’intégration, quelle était
l’étendue nécessaire pour obtenir environ 96,5% de la somme totale (car 0,965^3 ~ 0,90).
Le ratio entre les différentes étendues trouvées nous a servi de ratio entre les côtés du pavé
solution.
9.2.2.2 Résultats
La répartition des valeurs des intégrales sur les différents plans est donnée en annexe 9.
Le bilan, pour arriver à une valeur supérieure à 96,5%, est résumé dans le tableau ci-dessous.
Intégration faite suivant des plans
X = constante
Y = constante
Z = constante
Plan min
[m]
Plan max
[m]
Pourcentage des Ppp obtenus
entre plan min et plan max par
rapport à la totalité de l’espace
[%]
Delta entre plan
min et plan max
[m]
4343402
4343416
97,1
14
-124943
-124931
97,5
12
4653470
4653488
97,6
18
Afin que le pavé droit solution conserve ces dimensions, nous avons donc figé ainsi le rapport
des côtés : si côtéZ = A, alors côtéX = 14/18*A et côtéY = 12/18*A.
De même, nous avons gardé ces ratios pour les pas d’intégration suivant X, Y et Z, ceci afin
d’avoir le même nombre de pas d’intégration pour chaque direction.
PAGE : 25/53
9.2.3 Processus itératif pour arriver aux 90%
9.2.3.1 Méthode
Le calcul est parti d’un pavé droit ayant un côté Z de longueur 20m.
L’intégrale sur l’ensemble de ce pavé a été calculée, puis comparée à la valeur cible, c'est-àdire à 90% de la valeur de l’intégrale sur l’ensemble du volume d’intersection des 5 croûtes.
Le côté du pavé a ensuite été réajusté, en le divisant par le même rapport qu’entre les 2
intégrales précitées, et le calcul a été relancé.
9.2.3.2 Résultats
Le tableau ci-dessous liste les 20 dernières itérations, au bout desquelles nous avons pu
obtenir une intégrale égale à 90% de l’intégrale totale à 0,000000001 % près, pour un pavé
avec un côté suivant Z ayant une longueur de 19,295877m.
Les côtés suivant les axes X et Y se déduisent de celui obtenu suivant Z :
côtéX = 14/18 * côtéZ = 15,007904m
côtéY = 12/18 * côtéZ = 12,863918m
N°
itération
Côté Z du
pavé initial
Intégrale obtenue sur ce
pavé initial
Rapport entre l’intégrale obtenue sur ce
pavé initial et l’intégrale cible
(= 90% intégrale totale)
Côté Z du pavé
réajusté
0
19,3037842
3,05519531986E-10
1,00019562
19,3000088
1
19,3000088
3,05491012459E-10
1,00010225
19,2980356
2
19,2980356
3,05476098850E-10
1,00005343
19,2970046
3
19,2970046
3,05468304665E-10
1,00002791
19,296466
4
19,296466
3,05464232512E-10
1,00001458
19,2961847
5
19,2961847
3,05462105261E-10
1,00000761
19,2960378
6
19,2960378
3,05460994118E-10
1,00000398
19,295961
7
19,295961
3,05460413757E-10
1,00000208
19,2959209
8
19,2959209
3,05460110631E-10
1,00000108
19,2959
9
19,2959
3,05459952306E-10
1,00000057
19,2958891
10
19,2958891
3,05459869623E-10
1,0000003
19,2958834
11
19,2958834
3,05459826430E-10
1,00000015
19,2958804
12
19,2958804
3,05459803876E-10
1,00000008
19,2958788
13
19,2958788
3,05459792099E-10
1,00000004
19,295878
14
19,295878
3,05459785938E-10
1,00000002
19,2958776
15
19,2958776
3,05459782721E-10
1,00000001
19,2958774
16
19,2958774
3,05459781062E-10
1,00000001
19,2958772
17
19,2958772
3,05459780166E-10
1,000000003
19,2958772
18
19,2958772
3,05459779700E-10
1,000000002
19,2958772
19
19,2958772
3,05459779473E-10
1,000000001
19,2958771
Tableau 5 : Résultat des itérations servant à déterminer les côtés du pavé droit solution du problème dans
les axes terrestres
PAGE : 26/53
9.3 Détermination d’un pavé droit solution du problème, suivant les axes locaux
9.3.1 Méthode
La même méthode que celle du paragraphe 9.2 a été réutilisée pour la recherche d’un pavé
droit dont les côtés sont contenus dans des plans Xlocal = constante, Ylocal = constante et Zlocal =
constante.
Xlocal, Ylocal et Zlocal étant les axes du repère local au point le plus probable, Zlocal étant orienté
selon la verticale locale (vecteur normal au plan tangent à la Terre en ce point), Xlocal vers l’est
et Ylocal vers le nord.
La recherche d’une valeur supérieure à 96,5% de l’intégrale « totale » a montré dans ce cas
des valeurs d’environ 10-12m en X et Y, et d’environ 20m en Z.
Afin que le pavé droit conserve ces dimensions, nous avons donc figé ainsi le rapport des
côtés : si côtéZ = A, alors côtéX = A/2 et côtéY = A/2.
Ce choix représente un volume qu’un vrai utilisateur humain serait plus à même de comprendre
instantanément, à la fois en ce qui concerne les directions (haut, est-ouest, nord-sud), mais
aussi les dimensions (erreur latérale = moitié de l’erreur verticale).
9.3.2 Résultats
Le tableau ci-dessous liste les 28 dernières itérations, au bout desquelles nous avons pu
obtenir une intégrale égale à 90% de l’intégrale totale à 0,00000000001 % près, pour un pavé
avec un côté suivant Z ayant une longueur de 23,961694m.
Les côtés suivant les axes X et Y se déduisent de celui obtenu suivant Z :
côtéX = côtéY = 1/2 * côtéZ = 11,980847m
N°
itération
Côté Z du pavé
initial
Intégrale obtenue sur ce
pavé initial
Rapport entre l’intégrale obtenue sur
ce pavé initial et l’intégrale cible
(= 90% intégrale totale)
Côté Z du pavé
réajusté
0
23,98178077
3,055816264834E-10
1,000398899480
23,97221827
1
23,97221827
3,055236635041E-10
1,000209142978
23,96720569
2
23,96720569
3,054932478510E-10
1,000109569629
23,96457990
3
23,96457990
3,054773060985E-10
1,000057380262
23,96320489
4
23,96320489
3,054689556658E-10
1,000030043004
23,96248498
5
23,96248498
3,054645830326E-10
1,000015728081
23,96210810
6
23,96210810
3,054622937349E-10
1,000008233485
23,96191081
7
23,96191081
3,054610952754E-10
1,000004310024
23,96180754
8
23,96180754
3,054604678902E-10
1,000002256119
23,96175348
9
23,96175348
3,054601394884E-10
1,000001181013
23,96172518
10
23,96172518
3,054599675731E-10
1,000000618205
23,96171037
11
23,96171037
3,054598775890E-10
1,000000323619
23,96170261
12
23,96170261
3,054598304781E-10
1,000000169390
23,96169855
13
23,96169855
3,054598058252E-10
1,000000088682
23,96169643
PAGE : 27/53
14
23,96169643
3,054597929127E-10
1,000000046410
23,96169532
15
23,96169532
3,054597861558E-10
1,000000024289
23,96169473
16
23,96169473
3,054597826212E-10
1,000000012718
23,96169443
17
23,96169443
3,054597807700E-10
1,000000006658
23,96169427
18
23,96169427
3,054597798100E-10
1,000000003514
23,96169419
19
23,96169419
3,054597792890E-10
1,000000001809
23,96169414
20
23,96169414
3,054597790243E-10
1,000000000942
23,96169412
21
23,96169412
3,054597788919E-10
1,000000000509
23,96169411
22
23,96169411
3,054597788155E-10
1,000000000259
23,96169410
23
23,96169410
3,054597787759E-10
1,000000000129
23,96169410
24
23,96169410
3,054597787578E-10
1,000000000070
23,96169410
25
23,96169410
3,054597787496E-10
1,000000000043
23,96169409
26
23,96169409
3,054597787416E-10
1,000000000017
23,96169409
27
23,96169409
3,054597787397E-10
1,000000000011
23,96169409
Tableau 6 : Résultat des itérations servant à déterminer les côtés du pavé droit solution du problème dans
les axes locaux
9.4 Détermination d’une boule solution du problème
Nous aurions également aimé proposer une solution sous forme de boule, mais nous n’avons
pas pu mener le calcul à terme faute de temps.
Deux méthodes s’offraient à nous pour ce calcul : une plus exacte mais très laborieuse, et une
plus approximée mais plus simple.
Méthode exacte :
Il aurait fallu considérer ici de petits volumes d’intégration en forme de « portions de croûte »,
comme nous l’avons fait avec les petits parallélépipèdes constituant nos pavés solutions.
Cependant, la détermination du pavage d’une sphère avec N polygones s’avère très difficile, et
dépasse le cadre de la présente étude.
Nous avons donc choisi d’utiliser la méthode approximée.
Méthode approximée :
Cette méthode consiste à calculer Ppp pour l’ensemble de tous les petits parallélépipèdes du
volume intersection des 5 croûtes, puis à déterminer le diamètre de la sphère nécessaire pour
contenir les parallélépipèdes totalisant 90% de la valeur de l’intégrale totale.
Le résultat obtenu ne peut être précis que si les dimensions des parallélépipèdes sont
considérablement réduites aux abords de la sphère.
Avec le maillage que nous avons réalisé (uniforme sur tout l’espace, avec un pasZ de 0,2m),
nous pouvons seulement donner une approximation grossière du rayon de la boule centrée au
point le plus probable, à savoir 9,58m.
PAGE : 28/53
10. CONCLUSION
La position la plus probable du récepteur est le point suivant, nommé « best point » :
X = 4 343 409,089 m
Y = - 124 936,948 m
Z = 4 653 478,558 m
Reporté sur une carte, cela donne un point situé à une latitude de 46° 57’ 43,37’’ Nord et à
une longitude de 1° 38’ 51,51’’ Ouest , soit un point situé près de Nantes (voir carte cidessous), à un rayon de 6 366 763,263 m.
Rayon qui est étrangement proche du
rayon de la Terre calculé par l’abbé Picard
en 1670 : 6 369 140 m.
Le grand abbé Picard, qui a aussi
séjourné à Nantes en 1679 pour en définir
la latitude et la longitude exactes.
NANTES
Voir :
http://it.wikipedia.org/wiki/Raggio_terrestre
et http://fr.wikipedia.org/wiki/Jean_Picard
Figure 13 : Localisation de la position la plus probable du récepteur
PAGE : 29/53
Nous proposons 3 sets différents pour répondre à la question 2 :
Le récepteur a 90% de chances de se trouver dans :
Le pavé droit ayant les caractéristiques suivantes :
- centré sur le « best point », défini page précédente,
- ayant ses côtés contenus dans des plans X = constante, Y = constante et Z = constante,
X, Y et Z étant les axes du repère défini dans l’énoncé,
- ayant ses côtés de longueurs suivantes :
o côtéX = 15,007904m
o côtéY = 12,863918m
o côtéZ = 19,295877m.
------------------------------------
Le pavé droit ayant les caractéristiques suivantes :
- centré sur le « best point », défini page précédente,
- ayant ses côtés contenus dans des plans Xlocal = constante, Ylocal = constante et Zlocal =
constante, les axes Xlocal, Ylocal et Zlocal étant définis dans le paragraphe 9.3.1.
- ayant ses côtés de longueurs suivantes :
o côtéX = 11,980847m
o côtéY = 11,980847m
o côtéZ = 23,961694m.
------------------------------------
La boule ayant les caractéristiques suivantes :
- centrée sur le « best point », défini page précédente,
- ayant un rayon d’environ 9,58m.
PAGE : 30/53
ANNEXE 1 : Résolution du système de 4 équations à 4 inconnues
PAGE : 31/53
ANNEXE 2 : calcul de la fonction ff
P5 = 0,1
P4 = 0,15
Dans le cas général d’une
« tranche » d’épaisseur dx et de
surface S(x), on a :
P3 = 0,2
P2 = 0,25
P1 = 0,3 R1
R2
R3
R4
R5
X
% =1
#$
S(x)
Pi
5
4
PAGE : 32/53
ANNEXE 3 : définition de la fonction ff
Function ff(x As Double) As Double
Dim Rf(5), Pf(5), tempf(5), sommef(6) As Double
Rf(1)
Rf(2)
Rf(3)
Rf(4)
Rf(5)
=
=
=
=
=
0.4
0.8
1.2
1.6
2
Pf(1)
Pf(2)
Pf(3)
Pf(4)
Pf(5)
=
=
=
=
=
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
If (Abs(x) > Rf(5)) Then ff = 0
sommef(6) = 0
For i = 5 To 2 Step (-1)
tempf(i) = Pf(i) * (Rf(i) ^ 2 - Rf(i - 1) ^ 2) / (Rf(i) ^ 3 - Rf(i - 1) ^ 3)
sommef(i) = sommef(i + 1) + tempf(i)
Next i
If (Abs(x) < Rf(1)) Then
ff = 3 / 4 * (Pf(1) * (Rf(1) ^ 2 - x ^ 2) / (Rf(1) ^ 3) + sommef(2))
GoTo 10
End If
ff = 3 / 4 * (Pf(2) * (Rf(2) ^ 2 - x ^ 2) / (Rf(2) ^ 3 - Rf(1) ^ 3) + sommef(3))
GoTo 10
End If
GoTo 10
End If
GoTo 10
End If
ff = 3 / 4 * (Pf(5) * (Rf(5) ^ 2 - x ^ 2) / (Rf(5) ^ 3 - Rf(4) ^ 3))
GoTo 10
Else
GoTo 10
End If
10
End Function
PAGE : 33/53
ANNEXE 4 : définition de la fonction gg
Function gg(x As Double) As Double
Dim Rf(5), Pf(5), tempf(5), sommef(6) As Double, ff
Rf(1)
Rf(2)
Rf(3)
Rf(4)
Rf(5)
=
=
=
=
=
2
4
6
8
10
Pf(1)
Pf(2)
Pf(3)
Pf(4)
Pf(5)
=
=
=
=
=
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
If (Abs(x) > Rf(5)) Then ff = 0
sommef(6) = 0
For i = 5 To 2 Step (-1)
tempf(i) = Pf(i) * (Rf(i) ^ 2 - Rf(i - 1) ^ 2) / (Rf(i) ^ 3 - Rf(i - 1) ^ 3)
sommef(i) = sommef(i + 1) + tempf(i)
Next i
ff = 3 / 4 * (Pf(1) * (Rf(1) ^ 2 - x ^ 2) / (Rf(1) ^ 3) + sommef(2))
GoTo 10
End If
eRf(3) ^ 2 - x ^ 2) / (Rf(3) ^ 3 - Rf(2) ^ 3) + sommef(4))
GoTo 10
End If
GoTo 10
End If
ff = 3 / 4 * (Pf(5) * (Rf(5) ^ 2 - x ^ 2) / (Rf(5) ^ 3 - Rf(4) ^ 3))
GoTo 10
Else
GoTo 10
End If
10 gg = ff
End Function
PAGE : 34/53
ANNEXE 5 : macro pour calcul numérique de la fonction hh
Sub Macro_calcul()
Dim x As Double
Dim pas As Double
pasX = 0.001
pasT = 0.001
conta = 2
integraleT = 0
For t = -12 To 12 Step pasT
conta = conta + 1
Cells(conta, 1) = t
Cells(conta, 3) = 0
integraleX = 0
For x = -2 To 2 Step pasX
integraleX = integraleX + ff(x) * gg(t - x)
Next x
Cells(conta, 2) = integraleX * pasX
integraleT = integraleT + (integraleX * pasX)
Next t
Cells(3, 5) = integraleT * pasT
End Sub
PAGE : 35/53
ANNEXE 6 : définition de la fonction hh après extrapolation
Function hh(x As Double) As Double
x = Abs(x)
If (x > 12) Then
hh = 0
GoTo 10
End If
If (x < 0.4) Then
hh = -1.58681068569422 * 0.00001 * x ^ 5 + 2.32830634048951 * 0.000000001 * x ^ 4 +
1.26930186524987 * 0.001 * x ^ 3 - 2.81249847612298 * 0.01 * x ^ 2 - 1.14785040952007
* 0.000000001 * x + 0.17937518902157
GoTo 10
End If
If (x < 0.8) Then
hh = -3.92415095120668 * 0.00001 * x ^ 5 + 1.35041770944571 * 0.00000001 * x ^ 4 +
2.80239963904023 * 0.001 * x ^ 3 - 2.99497542466168 * 0.01 * x ^ 2 + 7.2691510945905
* 0.0001 * x + 0.179278506424472
GoTo 10
End If
If (x < 1.2) Then
hh = -1.0187248699367 * 0.0001 * x ^ 5 - 2.8172508498433 * 0.00000001 * x ^ 4 +
6.21015899814665 * 0.001 * x ^ 3 - 3.78075464133646 * 0.01 * x ^ 2 + 6.8848350614675
* 0.001 * x + 0.177656924647752
GoTo 10
End If
If (x < 1.6) Then
hh = -3.45655949786305 * 0.0001 * x ^ 5 - 1.65309778283641 * 0.00000001 * x ^ 4 +
1.75215445808135 * 0.01 * x ^ 3 - 7.43160567042003 * 0.01 * x ^ 2 + 0.04816753240098
* x + 0.161750455489056
GoTo 10
End If
If (x < 2) Then
hh = -2.90353037416935 * 0.001 * x ^ 5 + 6.51923950240052 * 0.000000001 * x ^ 4 +
0.123928922542837 * x ^ 3 - 0.480301268265574 * x ^ 2 + 0.613927557218533 * x 0.113166956458192
GoTo 10
End If
If (x < 2.4) Then
hh = -2.9050400480628 * 0.001 * x ^ 5 - 1.87428859863004 * 0.00000001 * x ^ 4 +
0.124231457302812 * x ^ 3 - 0.481995096677073 * x ^ 2 + 0.617194035782269 * x 0.115296164243676
GoTo 10
End If
If (x < 2.8) Then
hh = -3.49397771060467 * 0.0001 * x ^ 5 - 3.49248348123499 * 0.0000000001 * x ^ 4 +
PAGE : 36/53
1.82373273361009 * 0.01 * x ^ 3 - 7.21300159914953 * 0.01 * x ^ 2 + 0.057468769862549
* x + 0.128987666322054
GoTo 10
End If
If (x < 3.2) Then
hh = -1.11587345600128 * 0.0001 * x ^ 5 - 7.68341202619059 * 0.000000001 * x ^ 4 +
7.96716245822608 * 0.001 * x ^ 3 - 3.80644341141697 * 0.01 * x ^ 2 + 3.51706224381107
* 0.01 * x + 0.108871378040437
GoTo 10
End If
If (x < 3.6) Then
hh = -7.21798278391361 * 0.00001 * x ^ 5 - 5.5879359717962 * 0.000000001 * x ^ 4 +
8.42554540140555 * 0.001 * x ^ 3 - 5.53780950250436 * 0.01 * x ^ 2 +
0.111235360474094 * x + 1.45126233114433 * 0.01
GoTo 10
End If
If (x < 4) Then
hh = -2.92588141746819 * 0.0001 * x ^ 5 - 2.74740181403776 * 0.00000001 * x ^ 4 +
0.046287459373707 * x ^ 3 - 0.36145135719483 * x ^ 2 + 1.02799637333796 * x 0.952326848528767
GoTo 10
End If
If (x < 4.4) Then
hh = -2.77112238109112 * 0.0001 * x ^ 5 + 8.1490703933082 * 0.000000001 * x ^ 4 +
4.51733007794246 * 0.01 * x ^ 3 - 0.357989452742705 * x ^ 2 + 1.03396247265622 * x 0.976132011837799
GoTo 10
End If
If (x < 4.8) Then
hh = -3.39054968208075 * 0.00001 * x ^ 5 + 3.10828906892671 * 0.00000001 * x ^ 4 +
5.99892187456135 * 0.001 * x ^ 3 - 4.80635510929025 * 0.01 * x ^ 2 +
0.126073535500147 * x - 4.56518217196383 * 0.01
GoTo 10
End If
If (x < 5.2) Then
hh = -1.22049823403358 * 0.00001 * x ^ 5 + 1.09430401740488 * 0.00000001 * x ^ 4 +
2.70736967795528 * 0.001 * x ^ 3 - 2.46614487899102 * 0.01 * x ^ 2 + 7.13366695691275
* 0.01 * x - 1.33630426863432 * 0.01
GoTo 10
End If
If (x < 5.6) Then
hh = -1.22049823403358 * 0.00001 * x ^ 5 + 1.17870512654256 * 0.00000001 * x ^ 4 +
3.85360833024606 * 0.001 * x ^ 3 - 4.25429087095704 * 0.01 * x ^ 2 +
0.164320497397319 * x - 0.17453521269232
GoTo 10
End If
If (x < 6) Then
hh = -7.26185680832714 * 0.00001 * x ^ 5 + 9.02218378999453 * 0.0000000001 * x ^ 4 +
2.60914385318756 * 0.01 * x ^ 3 - 0.310040483637925 * x ^ 2 + 1.3652344977766 * x 2.08352093536006
PAGE : 37/53
GoTo 10
End If
If (x < 6.4) Then
hh = -7.1251968620345 * 0.00001 * x ^ 5 + 1.90630086382114 * 0.00000001 * x ^ 4 +
2.58873595157638 * 0.01 * x ^ 3 - 0.309322838967933 * x ^ 2 + 1.3697920397295 * x 2.1032705415233
GoTo 10
End If
If (x < 6.8) Then
hh = -8.82404856383801 * 0.000001 * x ^ 5 + 1.67055986495849 * 0.00000001 * x ^ 4 +
3.37839222047478 * 0.001 * x ^ 3 - 0.040801136281181 * x ^ 2 + 0.174935265823534 * x
- 0.22455614033919
GoTo 10
End If
If (x < 7.2) Then
hh = -3.42623388860375 * 0.000001 * x ^ 5 + 1.53668224707877 * 0.00000001 * x ^ 4 +
1.56549610837828 * 0.001 * x ^ 3 - 2.07901409722734 * 0.01 * x ^ 2 + 0.09656600883616
* x - 0.125398842603952
GoTo 10
End If
If (x < 7.6) Then
hh = -4.11964720115066 * 0.000001 * x ^ 5 + 2.08237906820623 * 0.00000001 * x ^ 4 +
2.43081091612112 * 0.001 * x ^ 3 - 3.68944867726497 * 0.01 * x ^ 2 +
0.203204026490853 * x - 0.367917993316701
GoTo 10
End If
If (x < 8) Then
hh = -2.69174634013325 * 0.00001 * x ^ 5 + 4.3073668620601 * 0.000000001 * x ^ 4 +
1.72049391840119 * 0.01 * x ^ 3 - 0.27366194486549 * x ^ 2 + 1.62232982111724 * x 3.38497386624782
GoTo 10
End If
If (x < 8.4) Then
hh = -2.66271163127385 * 0.00001 * x ^ 5 - 3.91446522375258 * 0.000000001 * x ^ 4 +
1.71520014337148 * 0.01 * x ^ 3 - 0.273874858794432 * x ^ 2 + 1.62997102184755 * x 3.41485326926037
GoTo 10
End If
If (x < 8.8) Then
hh = -3.40135738952085 * 0.000001 * x ^ 5 - 9.2841219229351 * 0.000000001 * x ^ 4 +
2.30619423928147 * 0.001 * x ^ 3 - 3.74182473635635 * 0.01 * x ^ 2 +
0.221901136545412 * x - 0.443577669232491
GoTo 10
End If
If (x < 9.2) Then
hh = -1.56274109031074 * 0.000001 * x ^ 5 - 1.63345248945282 * 0.000000001 * x ^ 4 +
1.26045612159942 * 0.001 * x ^ 3 - 0.022343971229627 * x ^ 2 + 0.144388417667717 * x
- 0.313251971482229
GoTo 10
End If
PAGE : 38/53
If (x < 9.6) Then
hh = -2.50256198341958 * 0.000001 * x ^ 5 - 1.28420652978605 * 0.000000001 * x ^ 4 +
2.40774034045899 * 0.001 * x ^ 3 - 4.66909204997438 * 0.01 * x ^ 2 +
0.334716840786948 * x - 0.834984775169692
GoTo 10
End If
If (x < 10) Then
hh = -1.815533687477 * 0.00001 * x ^ 5 - 1.64618640116979 * 0.0000000001 * x ^ 4 +
1.81572611912088 * 0.01 * x ^ 3 - 0.361792004882397 * x ^ 2 + 2.69495769805566 * x 7.11147412802592
GoTo 10
End If
If (x < 10.4) Then
hh = -1.80103547791077 * 0.00001 * x ^ 5 - 9.8089015414856 * 0.0000000001 * x ^ 4 +
1.80587009112969 * 0.01 * x ^ 3 - 0.360284527682822 * x ^ 2 + 2.68713039829545 * x 7.09987861732045
GoTo 10
End If
If (x < 10.8) Then
hh = -2.14408964893664 * 0.000001 * x ^ 5 - 1.32104121885286 * 0.0000000001 * x ^ 4 +
2.16701577987806 * 0.001 * x ^ 3 - 0.042938407830278 * x ^ 2 + 0.314796972572677 * x
- 0.80616649106956
GoTo 10
End If
If (x < 11.2) Then
hh = -6.31941077244846 * 0.0000001 * x ^ 5 - 1.02886593687822 * 0.0000000001 * x ^ 4
+ 6.45188294342347 * 0.0001 * x ^ 3 - 1.26799348440203 * 0.01 * x ^ 2 +
9.08686104601763 * 0.01 * x - 0.222208756681725
GoTo 10
End If
If (x < 11.6) Then
hh = -2.43382864084651 * 0.0000001 * x ^ 5 - 3.24078565852858 * 0.00000000001 * x ^ 4
+ 2.51031997304807 * 0.0001 * x ^ 3 - 4.89529946361527 * 0.001 * x ^ 2 +
3.42510859320544 * 0.01 * x - 7.93142685371767 * 0.01
GoTo 10
End If
If (x < 12) Then
hh = -9.84172625617674 * 0.00000001 * x ^ 5 - 4.81542691836603 * 0.000000000001 * x ^
4 + 1.02354151604969 * 0.0001 * x ^ 3 - 1.98409499427389 * 0.001 * x ^ 2 +
1.36052214752288 * 0.01 * x - 2.99314883702292 * 0.01
GoTo 10
Else
GoTo 10
End If
10
End Function
PAGE : 39/53
ANNEXE 7 : détermination de Tau min et Tau max
Equations
utilisées
Equat = 0
Equat = 0
pour Cmin pour CMAX
[m]
[m]
24,00
24,00
24,00
24,00
5,48 18,52
Sat 1
Sat 2
Sat 3
Sat 4
Sat 5
1
2
3
4
min
min
min
min
Sat 1
Sat 2
Sat 3
Sat 4
Sat 5
1
2
3
4
min
min
MAX
MAX
Sat 1
Sat 2
Sat 3
Sat 4
Sat 5
1
2
3
4
MAX
MAX
min
min
24,00
24,00
14,11
Sat 1
Sat 2
Sat 3
Sat 4
Sat 5
1
2
3
4
MAX
MAX
MAX
min
24,00
24,00
24,00
5,62
Sat 1
Sat 2
Sat 3
Sat 4
Sat 5
1
2
3
min
min
min
5
MAX
18,62
24,00
Sat 1
Sat 2
Sat 3
Sat 4
Sat 5
1
2
3
min
min
MAX
5
min
24,00
3,02
-
Sat 1
Sat 2
Sat 3
Sat 4
Sat 5
1
2
3
MAX
MAX
min
5
MAX
Sat 1
Sat 2
Sat 3
Sat 4
Sat 5
1
2
3
MAX
MAX
MAX
5
MAX
24,00
24,00
20,86
24,00
24,00
9,95
24,00
24,00
24,00
24,00
18,49
24,00
-
Point solution [m] ou [s]
X0
Y0
Z0
t
X0
Y0
Z0
t
-
24,00
24,00
3,14
-
24,00
24,00
9,89
X0
Y0
Z0
t
-
24,00
18,38
X0
Y0
Z0
t
-
24,00
24,00
24,00
5,38
-
X0
Y0
Z0
t
-
24,00
24,00
20,98
24,00
X0
Y0
Z0
t
24,00
14,05
-
X0
Y0
Z0
t
5,51
-
X0
Y0
Z0
t
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
4 343 409,12
124 936,78
4 653 484,45
2,72512E-05
4 343 440,73
124 939,49
4 653 509,97
2,73805E-05
4 343 377,52
124 934,06
4 653 458,92
2,72019E-05
4 343 395,09
124 953,49
4 653 449,51
2,72113E-05
4 343 420,01
124 923,81
4 653 511,54
2,73442E-05
4 343 428,46
124 954,10
4 653 479,44
2,72757E-05
4 343 383,33
124 927,14
4 653 473,40
2,72516E-05
4 343 405,90
124 940,62
4 653 476,42
2,73036E-05
PAGE : 40/53
Sat 1
Sat 2
Sat 3
Sat 4
Sat 5
1
2
min
min
4
5
min
min
Sat 1
Sat 2
Sat 3
Sat 4
Sat 5
1
2
min
min
4
5
MAX
MAX
Sat 1
Sat 2
Sat 3
Sat 4
Sat 5
1
min
3
4
5
min
min
MAX
Sat 1
Sat 2
Sat 3
Sat 4
Sat 5
1
min
3
4
5
MAX
min
min
Sat 1
Sat 2
Sat 3
Sat 4
Sat 5
1
min
3
4
5
MAX
min
MAX
Sat 1
Sat 2
Sat 3
Sat 4
Sat 5
1
min
3
4
5
MAX
MAX
MAX
Sat 1
Sat 2
Sat 3
Sat 4
Sat 5
1
MAX
3
4
5
min
min
min
Sat 1
Sat 2
Sat 3
Sat 4
Sat 5
1
MAX
3
4
5
min
MAX
min
Sat 1
Sat 2
Sat 3
Sat 4
Sat 5
1
MAX
3
4
5
min
MAX
MAX
15,50
-
-
24,00
24,00
8,50
24,00
24,00
X0
Y0
Z0
t
15,13
24,00
24,00
-
24,00
24,00
8,87
-
X0
Y0
Z0
t
4,29
24,00
-
24,00
19,71
24,00
24,00
-
X0
Y0
Z0
t
0,70
24,00
-
-
24,00
23,30
24,00
24,00
X0
Y0
Z0
t
6,25
24,00
24,00
-
24,00
17,75
24,00
-
X0
Y0
Z0
t
0,73
24,00
24,00
24,00
-
24,00
23,27
-
X0
Y0
Z0
t
4 343 440,26
124 939,43
4 653 512,90
2,73878E-05 = Tau max
3,27
24,00
24,00
24,00
X0
Y0
Z0
t
4 343 379,60
124 934,31
4 653 445,76
2,71692E-05 = Tau min
8,79
24,00
24,00
X0
Y0
Z0
t
3,24
24,00
-
X0
Y0
Z0
t
24,00
20,73
24,00
15,21
24,00
24,00
20,76
24,00
24,00
-
-
-
-
-
-
-
-
4 343 420,47
124 949,32
4 653 478,37
2,72573E-05
4 343 434,23
124 932,31
4 653 513,45
2,7377E-05
4 343 406,38
124 936,45
4 653 501,71
2,72941E-05
4 343 426,25
124 956,15
4 653 477,85
2,72676E-05
4 343 422,70
124 955,73
4 653 500,22
2,73232E-05
-
-
-
4 343 397,17
124 918,02
4 653 458,44
2,72338E-05
4 343 393,62
124 917,60
4 653 480,82
2,72894E-05
PAGE : 41/53
Sat 1
Sat 2
Sat 3
Sat 4
Sat 5
1
3
4
5
MAX
min
min
Sat 1
Sat 2
Sat 3
Sat 4
Sat 5
1
MAX
3
4
5
MAX
MAX
min
Sat 1
Sat 2
Sat 3
Sat 4
Sat 5
1
MAX
3
4
5
MAX
MAX
MAX
24,00
22,73
24,00
24,00
24,00
Sat 1
Sat 2
Sat 3
Sat 4
Sat 5
2
3
4
5
min
min
min
min
1,38
-
Sat 1
Sat 2
Sat 3
Sat 4
Sat 5
2
3
4
5
min
min
MAX
min
Sat 1
Sat 2
Sat 3
Sat 4
Sat 5
2
3
4
5
Sat 1
Sat 2
Sat 3
Sat 4
Sat 5
Sat 1
Sat 2
Sat 3
Sat 4
Sat 5
Sat 1
Sat 2
Sat 3
Sat 4
Sat 5
2
3
4
5
2
3
4
5
2
3
4
5
MAX
24,00
22,70
24,00
-
1,30
24,00
24,00
X0
Y0
Z0
t
6,83
24,00
X0
Y0
Z0
t
1,27
-
X0
Y0
Z0
t
-
22,62
24,00
24,00
24,00
24,00
X0
Y0
Z0
t
7,41
24,00
-
-
16,59
24,00
24,00
24,00
X0
Y0
Z0
t
min
min
MAX
MAX
1,35
24,00
24,00
-
22,65
24,00
24,00
-
X0
Y0
Z0
t
min
MAX
MAX
min
5,27
24,00
24,00
-
-
18,73
24,00
24,00
X0
Y0
Z0
t
-
MAX
min
min
MAX
21,50
24,00
24,00
2,50
24,00
24,00
-
X0
Y0
Z0
t
-
MAX
MAX
min
MAX
19,36
24,00
24,00
24,00
4,64
24,00
-
X0
Y0
Z0
t
24,00
17,17
24,00
24,00
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
4 343 395,92
124 953,59
4 653 444,28
2,71983E-05
4 343 413,49
124 937,29
4 653 456,95
2,72629E-05
4 343 409,93
124 936,87
4 653 479,33
2,73185E-05
4 343 408,18
124 936,72
4 653 477,40
2,72345E-05
4 343 418,13
124 919,79
4 653 481,64
2,72816E-05
4 343 422,24
124 920,01
4 653 512,50
2,73548E-05
4 343 437,16
124 939,29
4 653 483,15
2,73169E-05
4 343 379,21
124 934,16
4 653 471,64
2,7232E-05
4 343 398,24
124 953,66
4 653 473,15
2,72673E-05
PAGE : 42/53
ANNEXE 8 : probabilités non nulles sur les plans Z = 4 653 445 à Z = 4 653 513 (pas de 1)
PAGE : 43/53
PAGE : 44/53
PAGE : 45/53
PAGE : 46/53
PAGE : 47/53
PAGE : 48/53
PAGE : 49/53
PAGE : 50/53
PAGE : 51/53
ANNEXE 9 : détermination des côtés du pavé droit initial pour calcul itératif
Intégration faite sur des plans Z = constante
Somme des Ppp sur l’ensemble de l’espace : 3,3937903536263E-10
Plan Z = ? Somme des Ppp sur ce plan
Pourcentage des Ppp de ce plan par
4653444
0
0,0%
4653446
1,4757E-29
0,0%
4653448
1,2501E-23
0,0%
4653450
1,2075E-20
0,0%
4653452
1,2555E-18
0,0%
4653454
3,648E-17
0,0%
4653456
4,9728E-16
0,0%
4653458
4,1276E-15
0,0%
4653460
2,3269E-14
0,0%
4653462
1,0243E-13
0,0%
4653464
3,8553E-13
0,1%
4653466
1,2296E-12
0,4%
4653468
3,302E-12
4653470
7,7094E-12
1,0%
2,3%
4653472
1,6266E-11
4,8%
4653474
3,1647E-11
9,3%
4653476
5,3849E-11
15,9%
4653478
7,0481E-11
20,8%
4653480
6,4524E-11
19,0%
4653482
4,3588E-11
12,8%
4653484
2,4862E-11
7,3%
4653486
1,2706E-11
3,7%
4653488
5,6695E-12
1,7%
4653490
2,1075E-12
0,6%
4653492
6,6305E-13
0,2%
4653494
1,9181E-13
0,1%
4653496
5,1907E-14
0,0%
4653498
1,2146E-14
0,0%
4653500
2,1813E-15
0,0%
4653502
2,5657E-16
0,0%
4653504
1,6869E-17
0,0%
4653506
4,6502E-19
0,0%
4653508
2,6821E-21
0,0%
4653510
1,3407E-24
0,0%
4653512
8,9513E-31
0,0%
∑ = 97,6 %
PAGE : 52/53
Intégration faite sur des plans X = constante
4343378
0
0,0%
4343380
3,1412E-27
0,0%
4343382
1,5035E-22
0,0%
4343384
9,6483E-20
0,0%
4343386
6,2573E-18
0,0%
4343388
1,2029E-16
0,0%
4343390
1,2479E-15
0,0%
4343392
9,1228E-15
0,0%
4343394
5,1799E-14
0,0%
4343396
2,4313E-13
0,1%
4343398
9,885E-13
0,3%
4343400
3,4625E-12
Plan X = ? Somme des Ppp sur ce plan
4343402
1,029E-11
1,0%
3,0%
4343404
2,5557E-11
7,5%
4343406
5,1326E-11
15,1%
4343408
7,6996E-11
22,7%
4343410
7,6949E-11
22,7%
4343412
5,1362E-11
15,1%
4343414
2,6098E-11
7,7%
4343416
1,0835E-11
3,2%
4343418
3,7356E-12
1,1%
4343420
1,1098E-12
0,3%
4343422
2,8689E-13
0,1%
4343424
6,3086E-14
0,0%
4343426
1,137E-14
0,0%
4343428
1,5612E-15
0,0%
4343430
1,4374E-16
0,0%
4343432
6,7575E-18
0,0%
4343434
9,2171E-20
0,0%
4343436
1,4215E-22
0,0%
4343438
4,137E-27
0,0%
4343440
0
0,0%
∑ = 97,1 %
PAGE : 53/53
Intégration faite sur des plans Y = constante
-124957
0
0,0%
-124955
4,5633E-24
0,0%
-124953
9,5027E-18
0,0%
-124951
4,5775E-15
0,0%
-124949
1,001E-13
0,0%
-124947
7,2913E-13
0,2%
-124945
3,5958E-12
-124943
1,3234E-11
1,1%
3,9%
-124941
3,4079E-11
10,0%
-124939
6,89E-11
20,3%
-124937
9,9592E-11
29,3%
-124935
7,0021E-11
20,6%
-124933
3,2689E-11
9,6%
-124931
1,2356E-11
3,6%
-124929
3,3328E-12
1,0%
-124927
6,472E-13
0,2%
-124925
9,2432E-14
0,0%
-124923
5,6028E-15
0,0%
-124921
2,7963E-17
0,0%
-124919
2,3708E-22
0,0%
-124917
0
0,0%
Plan Y = ? Somme des Ppp sur ce plan
FIN DE DOCUMENT
∑ = 97,5 %

Pb FFJM SCM - GPS FINAL_120515_FINALfinal+

Transcription

Documents pareils

IREL : dossier individuel de bagne : Trucchi, Félix Michel Ange

Coupleur / Découpleur SAT-TV

Ré-ouverture du restaurant gastronomique de l

REF : CPL 2TV SAT 2160

Descriptif du sujet

jaquette

1/ sur Google, allez sur GMAIL L`intérêt de créer une adresse mail

pdf sat fr - Le Rosey Summer Camps

SAT.1 Gold est plus qu`une simple chaîne. SAT.1

Jeudi 3 Novembre Salade Marco Polo Sauté de bœuf