Frédéric Lago - laboratoire plasma et conversion d`energie

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Université Paul Sabatier
U.F.R. Physique Chimie Automatique
THESE
Pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L'UNIVERSITE TOULOUSE III
Discipline : Physique et ingénierie des plasmas de décharge
Présentée et soutenue
Par
Frédéric LAGO
Modélisation de l'interaction entre un arc
électrique et une surface : application au
foudroiement d'un aéronef.
Soutenue le 26 Mars 2004 devant la commission d'examen :
Président :
M. Gilles FLAMANT, Directeur de recherche au C.N.R.S., I.M.P. Odeillo
Rapporteurs :
M. Bruno CHERON, Professeur de l'Université de Rouen
M. Daniel HENRY, Chargé de recherche au C.N.R.S., Ecole centrale de Lyon
Examinateurs :
Mlle. Natacha LUCIUS, Ingénieur d'étude, EADS CCR Suresnes
M. Manitra RAZAFINIMANANA, Professeur de l'Université Paul Sabatier, Toulouse
M. Jean-Jacques GONZALEZ, Chargé de recherche au C.N.R.S., Toulouse
Centre de physique des Plasmas et de leurs Applications de Toulouse – UMR 5002 –
118, Route de Narbonne – 31062 TOULOUSE cedex 4
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Université Paul Sabatier
U.F.R. Physique Chimie Automatique
THESE
Pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L'UNIVERSITE TOULOUSE III
Discipline : Physique et ingénierie des plasmas de décharge
Présentée et soutenue
Par
Frédéric LAGO
Modélisation de l'interaction entre un arc
électrique et une surface : application au
foudroiement d'un aéronef.
Soutenue le 26 Mars 2004 devant la commission d'examen :
Président :
M. Gilles FLAMANT, Directeur de recherche au C.N.R.S., I.M.P. Odeillo
Rapporteurs :
M. Bruno CHERON, Professeur de l'Université de Rouen
M. Daniel HENRY, Chargé de recherche au C.N.R.S., Ecole centrale de Lyon
Examinateurs :
Mlle. Natacha LUCIUS, Ingénieur d'étude, EADS CCR Suresnes
M. Manitra RAZAFINIMANANA, Professeur de l'Université Paul Sabatier, Toulouse
M. Jean-Jacques GONZALEZ, Chargé de recherche au C.N.R.S., Toulouse
Centre de physique des Plasmas et de leurs Applications de Toulouse – UMR 5002 –
118, Route de Narbonne – 31062 TOULOUSE cedex 4
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A ma famille, à tout ceux qui me sont chers.
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Ce travail a été effectué au sein de l'équipe "Arc électrique et procédés plasmas thermiques" du
Centre de physique des Plasmas et de leurs Applications de Toulouse.
Je tiens à remercier Monsieur Alain GLEIZES, Directeur de recherche au C.N.R.S., de m'avoir
accueilli au sein de son laboratoire et de son groupe de recherche. Ses compétences scientifiques et
ses conseils avisés ont permis l'accomplissement de ce travail dans d'excellentes conditions.
Je tiens à exprimer ma profonde reconnaissance à Monsieur Jean-Jacques GONZALEZ, Chargé
de recherche au C.N.R.S., qui a dirigé ce travail de thèse. Sa disponibilité et ses discussions
fructueuses ont permis l'aboutissement de ce mémoire. Je le remercie aussi pour sa bonne humeur
et sa confiance qu'il a su m'accorder tout au long de ce travail.
J'exprime ma gratitude à Monsieur Gilles FLAMANT, Directeur de recherche au C.N.R.S., pour
m'avoir fait l'honneur de présider le jury de ma thèse.
Je remercie aussi Monsieur Bruno CHERON, Professeur à l'Université de Rouen et Monsieur
Daniel HENRY, Chargé de recherche au C.N.R.S., pour m'avoir fait l'honneur d'examiner ce travail
en tant que rapporteur et d'avoir participer au jury. Leurs critiques ont permis la rédaction finale de
ce mémoire.
Ma reconnaissance va également à Monsieur Manitra RAZAFINIMANANA, Professeur de
l'Université Paul Sabatier de Toulouse, pour l'attention et les conseils apportés à ce travail.
Je remercie Mademoiselle Natacha LUCIUS, ingénieur d'étude chez EADS CCR à Suresnes, qui
a eu la gentillesse de participer à mon jury de thèse, pour l'attention et le soutien qu'elle a su
manifester à l'égard de ce manuscrit.
J'exprime aussi toute ma reconnaissance à Monsieur Pierre FRETON, pour avoir participé à
l'accomplissement de ce mémoire. Je le remercie pour ses discussions fructueuses qui ont permis de
faire avancer mon travail ainsi que mes connaissances scientifiques, le tout dans une bonne humeur
inoubliable.
Je tiens à exprimer ma profonde sympathie à Monsieur Jacques ROLLAND, Assistant Ingénieur
C.N.R.S., pour son immense gentillesse et sa joie de vivre.
J'exprime, ensuite, tout ma sympathie aux personnes que j'ai pu côtoyer durant ces années de
thèse au sein du laboratoire : Philippe, Yann, Laurence, Mathieu, Béa, Xavier… et tant d'autres qui
me pardonneront, je l'espère, de ne pas les avoir cités.
Enfin, je remercie vivement mes amis qui m'ont apporté une aide morale précieuse durant ces
années passées à Toulouse et notamment Pascale (pour ses talents de cuisinière) et Emilie (Miss
Mémé-téo).
Ma reconnaissance va, enfin, à Monsieur Albert DONY pour la réalisation matérielle de ce
mémoire.
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- 10 -
AUTEUR :
Frédéric LAGO
TITRE :
Modélisation de l'interaction entre un arc électrique et une surface : application au foudroiement
d'un aéronef.
DIRECTEUR DE THESE :
Jean-Jacques GONZALEZ
LIEU ET DATE DE SOUTENANCE :
Centre de physique des Plasma et de leurs Applications de Toulouse, le 26 Mars 2004.
RESUME :
Ce travail porte sur l’étude de l’interaction d’un arc électrique avec une surface. Il a pour finalité
la mise en place d’une modélisation prenant en compte les différents mécanismes intervenants dans
le transfert d’énergie, principalement par conduction, rayonnement, flux électrique. Le modèle
développé à partir du code commercial FLUENT (méthode des volumes finis) permet l’étude de
configurations bidimensionnelles (2D) et tridimensionnelles (3D). Après une étape de comparaison
et de validation des résultats avec des données expérimentales, une étude paramétrique est
présentée : nature du matériau, distance inter électrodes, intensité du courant, gaz ambiant. Enfin
dans un dernier temps le modèle 3D en transitoire est appliqué sur des matériaux hétérogènes
utilisés dans l’aéronautique afin d’estimer les flux de chaleur et la dégradation de l’anode.
MOTS-CLES :
Arc électrique
2D/3D
Modélisation numérique
Transitoire
Transferts d’énergie
Matériaux composites
Vapeurs métalliques
Déviation du pied d’arc
DISCPLINE :
Physique et ingénierie des plasmas de décharge.
- 11 -
- 12 -
Table des matières
- TABLE DES MATIERES -
INTRODUCTION GENERALE. ......................................................................................... 19
CHAPITRE I : LA FOUDRE. .............................................................................................. 27
I) HISTORIQUE................................................................................................................................................. 29
II) CONNAISSANCES ACTUELLES DU PHENOMENE ............................................................................ 32
1°) DIFFERENTS TYPES D’ORAGE ....................................................................................................................... 32
2°) DISTRIBUTION STATISTIQUE DES ORAGES ET MOYENS DE DETECTION ......................................................... 33
3°) LE NUAGE D’ORAGE ET PHENOMENES PRECURSEURS .................................................................................. 34
4°) DEROULEMENT D’UN COUP DE FOUDRE ....................................................................................................... 36
a) Classification des coups de foudre.......................................................................................................... 36
b) Mécanismes du coup de foudre descendant ............................................................................................ 37
III) LA FOUDRE EN AERONAUTIQUE........................................................................................................ 38
1°) LES EFFETS DE LA FOUDRE SUR UN AERONEF............................................................................................... 39
a) Effets indirects de la foudre .................................................................................................................... 39
b) Effets directs de la foudre........................................................................................................................ 40
2°) LA REGLEMENTATION INTERNATIONALE ..................................................................................................... 41
a) Onde de courant foudre pour l’aéronautique ......................................................................................... 41
b) "Zoning" d’un aéronef............................................................................................................................. 44
IV) CONCLUSION............................................................................................................................................. 45
CHAPITRE II : DONNEES DE BASE. ............................................................................... 47
I) PROPRIETES DE TRANSPORT DU PLASMA......................................................................................... 49
II) PROPRIETES DE TRANSPORT DU MATERIAU.................................................................................. 54
1°) MATERIAUX METALLIQUES ......................................................................................................................... 54
2°) MATERIAU COMPOSITE ................................................................................................................................ 57
a) Chaleur spécifique .................................................................................................................................. 58
b) Conductivités thermiques longitudinales et transversales ...................................................................... 59
c) Conductivités électriques longitudinales et transversales....................................................................... 61
d) Autres propriétés utilisées....................................................................................................................... 62
III) PROPRIETES DE TRANSPORT DES VAPEURS METALLIQUES – LOIS DE MELANGE.......... 62
- 13 -
Table des matières
IV) AUTRES PROPRIETES UTILES.............................................................................................................. 66
V) CONCLUSION .............................................................................................................................................. 68
CHAPITRE III : MODELISATION EN DEUX DIMENSIONS. ..................................... 69
I) MODELE MATHEMATIQUE...................................................................................................................... 71
1°) HYPOTHESES ............................................................................................................................................... 71
2°) EQUATIONS UTILISEES ................................................................................................................................. 72
3°) MODELISATION DE L’ANODE ....................................................................................................................... 74
a) La couche de transition "plasma-matériau"............................................................................................ 75
b) Condition sur la surface de l’anode. ....................................................................................................... 76
4°) DOMAINE DE CALCUL ET CONDITIONS AUX LIMITES .................................................................................... 79
5°) METHODE NUMERIQUE ................................................................................................................................ 82
a) Quelques rappels sur "la méthode de Patankar" – Diffusion pure ......................................................... 82
b) Schémas numériques pour les problèmes de convection-diffusion.......................................................... 84
c) Algorithmes de résolution pour le couplage pression-vitesses................................................................ 87
d) Schéma à l'interface plasma-matériau .................................................................................................... 88
II) RESULTATS ET DISCUSSIONS................................................................................................................ 90
1°) ETUDE EXPERIMENTALE DE HSU [HS] ......................................................................................................... 90
2°) ETUDE EXPERIMENTALE DE SCHMIDT ET SPECKHOFER [SC-1] .................................................................... 93
3°) ETUDE EXPERIMENTALE DE NESTOR [NE]................................................................................................... 94
4°) BILAN SUR LA COMPARAISON AVEC LES TRAVAUX DE LA LITTERATURE ..................................................... 96
III) RESULTATS ET ETUDES PARAMETRIQUES .................................................................................... 96
1°) INFLUENCE DU MAILLAGE ........................................................................................................................... 96
2°) CHAMP DE TEMPERATURES ET DENSITES DE COURANT ................................................................................ 98
3°) COMPOSANTES DU FLUX APPLIQUE A L'ANODE .......................................................................................... 100
4°) INFLUENCE DU FLUX RAYONNE PAR LE PLASMA ........................................................................................ 101
5°) INFLUENCE DU FLUX RAYONNE PAR LE MATERIAU .................................................................................... 106
6°) BILAN EN PUISSANCES ............................................................................................................................... 107
7°) INFLUENCE DE L'EFFET JOULE ................................................................................................................... 109
8°) INFLUENCE DU MATERIAU D’ANODE.......................................................................................................... 110
9°) INFLUENCE DES VAPEURS METALLIQUES ................................................................................................... 111
10°) INFLUENCE DU MODELE DE RAYONNEMENT ............................................................................................ 115
11°) INFLUENCE DU PASSAGE DU COURANT DANS L’ANODE ............................................................................ 122
III) CONCLUSION........................................................................................................................................... 123
- 14 -
Table des matières
CHAPITRE IV : MODELISATION EN TROIS DIMENSIONS. .................................. 127
I) MODELE MATHEMATIQUE.................................................................................................................... 129
1°) HYPOTHESES UTILISEES............................................................................................................................. 129
2°) EQUATIONS UTILISEES ............................................................................................................................... 130
3°) MODELISATION DE L’ANODE ..................................................................................................................... 132
II) DOMAINE DE CALCUL ET CONDITIONS AUX LIMITES............................................................... 134
III) COMPARAISON 2D/3D ........................................................................................................................... 136
IV) COMPARAISON AVEC LA LITTERATURE....................................................................................... 139
1°) COMPARAISON AVEC L'ETUDE DE SPECKHOFER ET SCHMIDT [SP] ............................................................ 139
2°) COMPARAISON AVEC L'ETUDE DE BLAIS [BL-2] ........................................................................................ 140
V) APPLICATION D'UNE FORCE CONVECTIVE EXTERIEURE ........................................................ 149
VI) CONCLUSIONS......................................................................................................................................... 153
CHAPITRE V : APPLICATION DU MODELE AU MATERIAU COMPOSITE....... 155
I) MODELE MATHEMATIQUE DE L'ETUDE EN DEUX DIMENSIONS ............................................. 157
1°) HYPOTHESES ............................................................................................................................................. 157
4°) DOMAINE DE CALCUL ET CONDITIONS AUX LIMITES .................................................................................. 160
5°) METHODE NUMERIQUE .............................................................................................................................. 161
6°) PROCEDURE DE CONVERGENCE EN TEMPOREL........................................................................................... 162
II) RESULTATS ET DISCUSSIONS SUR L'ETUDE EN DEUX DIMENSIONS ..................................... 163
1°) VALIDATION DES DEVELOPPEMENTS DANS LE MATERIAU COMPOSITE ....................................................... 163
2°) ETUDE PARAMETRIQUE SUR L'INTENSITE DE L'ARC .................................................................................... 166
3°) ETUDE PARAMETRIQUE SUR L'EFFET JOULE DANS LE MATERIAU COMPOSITE ............................................ 174
4°) CONCLUSION SUR L'ETUDE EN DEUX DIMENSIONS ..................................................................................... 175
III) MODELE MATHEMATIQUE DE L'ETUDE EN TROIS DIMENSIONS ......................................... 175
1°) HYPOTHESES ............................................................................................................................................. 175
4°) DOMAINE DE CALCUL ET CONDITIONS AUX LIMITES .................................................................................. 178
5°) SIMULATION DU DEPLACEMENT DE L'AVION.............................................................................................. 179
6°) ETUDE DE L'ARC DE FOUDRE DEVIE PAR UN PROFIL DE VITESSES DE BLASIUS ........................................... 181
- 15 -
Table des matières
IV) CONCLUSION........................................................................................................................................... 189
CONCLUSION GENERALE. ............................................................................................ 191
BIBLIOGRAPHIE. .............................................................................................................. 197
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- 17 -
- 18 -
Introduction générale.
- 19 -
- 20 -
Introduction générale
Les plasmas sont considérés comme le quatrième état de la matière. Ils complètent les autres
états, généralement plus connus, que sont les solides, les liquides et les gaz. Un plasma est un
milieu ionisé électriquement neutre composé d'électrons, d'ions et de particules neutres
comme les atomes ou les molécules. Il se distingue d'un gaz ordinaire de par sa capacité à
conduire l'électricité. Dans les plasmas, on distingue deux grandes catégories : les plasma
chauds et les plasmas froids. Les plasmas chauds sont les plasmas de fusion nucléaire et se
retrouvent, à l'état naturel, composant les étoiles ou les magnétosphères des planètes. Leur
température est de l'ordre du million de degrés. Les plasmas froids, quant à eux, ont une
température qui peut atteindre au maximum quelques dizaines de milliers de degrés. Ils
peuvent se diviser en deux branches : les plasmas hors équilibre et les plasmas thermiques.
Les plasmas hors équilibre se caractérisent par le fait que les particules lourdes ont une
température de l'ordre de la température ambiante alors que les électrons ont une énergie
suffisante pour assurer l'ionisation du milieu. Ils sont souvent créés à basse pression (P<1atm)
et servent essentiellement au niveau du traitement de surface, dépollution,… Dans les plasmas
thermiques, les collisions sont suffisantes pour assurer l'équipartition de l'énergie entre les
différentes espèces du système. Ils se caractérisent par une température unique et sont souvent
générés, à pression atmosphérique, sous forme d'arcs électriques. Ce sont ces arcs électriques
que nous allons étudier tout au long de ce travail.
Plus précisément, un arc électrique peut être défini comme une décharge à fort courant
traversant un gaz entre deux électrodes [Va]. Il se caractérise par le fait qu'il génère des
écoulements gazeux de fortes importances (de l'ordre de la centaine de mètres par seconde)
par combinaison du courant qui le traverse et du champ magnétique auto-induit. Il existe,
principalement, trois gros types de génération d'arcs électriques : les arcs libres, les arcs
soufflés et les décharges RF. Les arcs libres sont créés entre une cathode pointue ou plate et
une anode. Aucun mécanisme extérieur ne vient stabiliser la décharge : l'écoulement
stabilisateur étant généré par effet Maecker. Les arcs soufflés sont basés sur le même principe
que les arcs libres. La seule différence est l'injection d'un gaz qui stabilise la colonne de
plasma. Cette injection se fait le plus souvent au proche voisinage de la cathode et peut
s'effectuer ou axialement, ou en vortex. On obtient ainsi une décharge bien stable et gainée.
Enfin, les décharges RF sont, quant à elles, maintenues par un système extérieur de type
capacitif ou inductif, qui par son champ électromagnétique a un effet stabilisateur de la
décharge.
A l'heure actuelle, les arcs électriques sont présents dans de nombreuses applications
industrielles telles que la métallurgie (la découpe plasma et la soudure) ou le traitement des
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déchets. Dans ces configurations, l'anode est souvent représentée par la plaque à couper ou à
souder et le plasma constitue la source d'énergie. Les arcs électriques sont aussi présents dans
certains dispositifs comme les disjoncteurs haute et basse tensions. Dans ces procédés, l'arc
électrique est créé par séparation de contacts lors d'une surtension dans le système électrique.
Le plasma n'est plus utilisé en tant que source mais il permet l'évacuation de l'excès d'énergie
engendré par la surtension. Suivant les applications ou les dispositifs précédemment cités,
différents gaz plasmagènes sont utilisés : pour la soudure ou la découpe, l'argon est le plus
souvent employé car il est peu réactif avec le métal à traiter. Son utilisation est généralement
complétée par d'autres gaz comme l'azote, l'oxygène ou l'hélium. Pour ce qui est des
disjoncteurs, le SF6 est le gaz le plus utilisé de par son fort pouvoir de coupure. Malgré cela,
son utilisation dans les disjoncteurs a tendance à diminuer car ce gaz génère, lors de la
création de l'arc, des composés fluorés néfastes pour l'environnement. Et puis il existe des
phénomènes naturels comme la foudre qui sont à l'origine de décharges électriques. Parmi les
effets indésirables, on peut citer le foudroiement en vol d'un aéronef. C'est à ce dernier
phénomène que nous allons nous intéresser dans le cadre de ce travail de thèse. Etant donnée
la complexité des mécanismes physiques à étudier, le caractère temporel, l'aspect
tridimensionnel, nous démarrerons notre étude avec un certain nombre d'hypothèses et une
géométrie simplifiée. Tout au long de ce travail, nous inclurons progressivement les
mécanismes tout en nous rapprochant de la configuration du foudroiement de l'aéronef.
Pour étudier et optimiser un procédé ou contrôler les effets engendrés dans le plasma, la
seule connaissance de la décharge n'est pas suffisante et l'interaction de l'arc avec des parois
environnantes ou des électrodes doit être prise en compte. Cependant, tous les exemples cités
ci-dessus présentent des géométries souvent extrêmement complexes où l'arc ne possède plus
forcément un axe de symétrie naturel. Avec l'amélioration des capacités de calcul des
ordinateurs, les modèles et les simulations ont permis de meilleures connaissances au niveau
macroscopique et microscopique des décharges. Les premiers codes de calcul étaient
unidimensionnels (1D). Moyennant certaines hypothèses et la résolution de l'équation
d'Elenbaas-Heller, ils permettaient, via l'obtention du profil de la température, de caractériser
et d'étudier de nombreuses situations et paramètres. Avec l'amélioration des puissances de
calcul, sont arrivés ensuite les codes bidimensionnels (2D) où l'axisymétrie de l'arc était
supposée. Ces outils 2D sont encore très utilisés de nos jours, et interviennent dans des cas où
la symétrie de l'arc est conservée. Ces développements commencent à être bien maîtrisés et
sont souvent couplés avec des modules plus complexes en vue de se rapprocher des
problématiques telles que l'interaction avec le réseau (application aux lampes, aux
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disjoncteurs haute tension), le couplage avec un modèle PSI-cell (application projection) ou le
couplage avec des codes ANSYS (effets électromagnétiques pour disjoncteurs basse tension).
En tenant compte de la puissance actuelle des processeurs, les temps de calculs relatifs à ces
modèles 2D deviennent très abordables. De nos jours, les modélisations tridimensionnelles
(3D) de l'arc commencent à apparaître dans des géométries souvent simplifiées mais elles
permettent de mieux caractériser les écoulements et de remettre en question certains
comportements prédits par les modèles 2D.
EADS CCR à Suresnes a, dans ses attributions, le souci de caractériser le phénomène du
foudroiement d'un aéronef et de quantifier les dégâts occasionnés sur les matériaux de
fuselage. Devant la lourdeur et le peu d'accessibilité de certaines valeurs par les
manipulations, le modèle reste un outil complémentaire de l'expérience. EADS CCR a donc
eu besoin de la mise en place d'un modèle permettant d'étudier l'interaction d'un arc avec un
matériau et de déterminer la dégradation occasionnée par l'arc de foudre.
Ce travail va donc avoir pour objectif final de modéliser l'interaction de l'arc de foudre
avec le fuselage d'un avion. Comme nous le verrons plus en détail, le foudroiement d'un avion
n'est pas un phénomène rare et peut entraîner d'importants dégâts sur les matériaux de
fuselage et notamment sur les matériaux composites. Nous montrerons aussi qu'il existe une
réglementation internationale qui a mis en place un profil d'onde de courant type utilisable par
les avionneurs et qui permet de mieux représenter l'arc de foudre. Nous nous intéresserons
plus précisément à une partie continue de cette onde de courant qui peut être légitimement
modélisée par le biais d'un arc libre de quelques centaines d'ampères selon Larsson [La-1],
[La-2] et Uhlig [Uh].
Nous avons utilisé, pour cette modélisation, le code commercial FLUENT version 4.5 car
c'est un outil numérique bien maîtrisé par l'équipe du CPAT "Arc électrique et procédés
plasmas thermiques" et qui possède les éléments indispensables pour l'analyse des résultats
tridimensionnels via les interfaces utilisateurs. La modélisation de l'interaction de l'arc de
foudre étant un problème complexe, nous l'abordons progressivement, par étapes successives.
Ainsi, afin de procéder à la modélisation du foudroiement, nous étudions une géométrie
simple d'arc libre dans de l'argon impactant une anode en matériau métallique. C'est une
configuration très étudiée dans la littérature et qui permettra une première étape de validation
de notre code. Ce code permet aussi de tenir compte de la présence de vapeurs métalliques
issues de la vaporisation de l'anode et de quantifier les flux d'énergie apportés au matériau par
le plasma. Comme l'arc, dans la configuration d'un foudroiement, subit une force convective
le déflectant, il perd alors sa symétrie naturelle et un modèle tridimensionnel est nécessaire
- 23 -
pour le représenter. Nous passerons, donc, à une modélisation 3D de l'interaction d'un arc
libre, soumis à des forces extérieures, avec un matériau d'anode. Nous prendrons en compte la
présence des vapeurs métalliques dans la colonne de plasma ainsi que les effets qu'ils peuvent
générer. Nous appliquerons enfin nos développements à une configuration plus réaliste de
foudroiement en considérant l'interaction d'un plasma d'air avec une anode en matériau
composite.
Dans le premier chapitre, nous ferons un bref rappel historique sur "la foudre" qui aboutira
aux connaissances actuelles sur cette manifestation. Nous verrons que la foudre n'est pas un
phénomène rare et qu'elle présente une menace réelle pour les avionneurs. C'est encore plus
vrai avec l'utilisation des matériaux composites qui ont fait leur apparition au niveau du
fuselage des avions et qui, de par leurs propriétés non conductrices, peuvent entraîner des
dégâts importants sur les appareils.
Dans le deuxième chapitre, nous ferons un bilan de toutes les propriétés
thermodynamiques et de tous les coefficients de transport nécessaires pour les différentes
étapes de la modélisation. Nous ferons ainsi un récapitulatif des données de base des
matériaux métalliques utilisés puis nous définirons les matériaux composites et présenterons
les données de base enregistrées par EADS CCR à Suresnes.
Dans le troisième chapitre, nous modéliserons l'arc libre en deux dimensions et son
interaction avec un matériau d'anode. Les matériaux utilisés seront, dans cette partie, le
cuivre, le fer ou l'aluminium. Ils permettront de comparer et de valider les développements au
niveau de la colonne de plasma, au niveau des flux ainsi que des densités de courant
transférés à l'anode avec des résultats expérimentaux issus de la littérature. Ces validations
ainsi effectuées, nous procèderons à des études paramétriques sur cette configuration d'arc et
notamment, nous nous attarderons sur l'influence de vapeurs métalliques sur les flux
transférés et sur l'influence du passage du courant dans l'anode.
Dans le quatrième chapitre, nous effectuerons la modélisation tridimensionnelle de la
configuration d'arc libre lorsque la colonne de la décharge est soumise à une force extérieure.
Tout d'abord pour valider les développements 3D de l'arc ou du transfert d'énergie nous
utiliserons un arc non déflecté et comparerons nos résultats avec ceux obtenus en 2D. Ensuite,
nous appliquerons une force d'origine magnétique qui permettra de valider indirectement le
transfert d'énergie via le déplacement du pied d'arc à l'anode en comparant avec des résultats
obtenus expérimentalement. Nous appliquerons aussi une force convective extérieure,
configuration sur laquelle nous regarderons plus précisément le transfert d'énergie à l'anode.
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Enfin, dans le cinquième chapitre, nous nous placerons dans la configuration plus réaliste
du foudroiement d'un avion. Nous étudierons la configuration d'arc libre où un plasma d'air
impactera une anode en composite. Tout d'abord, nous effectuerons des développements 2D
où nous examinerons plus particulièrement les flux d'énergie transférés à l'anode. Enfin, dans
une dernière partie, nous étudierons l'accrochage de l'arc sur un matériau composite lorsque la
colonne est soumise à une force extérieure convective simulant le déplacement de l'avion dans
l'air.
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Chapitre I : La foudre.
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Chapitre I : La foudre
Depuis l’aube de l’humanité, la foudre et le tonnerre ont inspiré crainte et émerveillement à
l’homme. Ce dernier a longtemps rattaché ces phénomènes à une cause surnaturelle contre
laquelle on ne résiste pas. Ainsi la foudre était associée à la colère des dieux et à la notion de
châtiment pour les fautes ou les pêchés. On en retrouve des représentations chez tous les
peuples et dans toutes les religions [He].
De nos jours, grâce aux progrès scientifiques, l'on sait que les orages proviennent des
décharges électriques initiées par un nuage électrisé. Les principaux aspects physiques
deviennent assez bien connus notamment les phénomènes précurseurs ainsi que la décharge à
proprement parler.
Malheureusement, malgré toutes ces avancées scientifiques effectuées au niveau de la
connaissance de l’arc de foudre, l’orage reste un phénomène que l’homme ne peut maîtriser.
Il essaye donc d'en contrôler et limiter les effets. C'est le cas notamment pour le foudroiement
des habitations par l'utilisation de systèmes parafoudres, des disjoncteurs sur les réseaux de
distributions, ou encore des systèmes de protection utilisés sur les lignes téléphoniques [Ro].
L'arc de foudre peut aussi être néfaste dans l'aviation, lorsqu'il perturbe l'électronique
embarquée ou lorsqu'il impacte la voilure des aéronefs. Dans ce dernier cas, la problématique
est d'autant plus sérieuse avec l'avènement, dans l'aéronautique, des matériaux composites
(peu conducteurs électriquement). Les avionneurs, à l’heure actuelle, n'empêchent pas l'avion
d’être foudroyé mais essayent de quantifier l’impact de l’éclair sur l'avion par une meilleure
connaissance des phénomènes régissant le transfert d'énergie et sa propagation.
I) Historique
Dès l’époque préhistorique, des peintures rupestres décrivent la foudre comme une pierre
ou une hache lancée du ciel, détruisant tout sur son passage. Dans le Mercantour, plusieurs
motifs datant de quelques 2500 ans avant notre ère peuvent être observés : sur le site de
Fontanalbe, ce sont des motifs représentant des personnages dont les bras levés vers le ciel
sont prolongés par ce qui peut être interprété comme des éclairs qui ont été découverts. Ce
sont les plus anciennes représentations de la foudre qui ne sont liées à aucune divinité mais
qui correspondent à des observations de la nature faites par les premiers hommes.
Pendant l’antiquité, en Mésopotamie, la plus ancienne représentation de la foudre se trouve
sur un sceau de la première époque de Babylone datant d’environ 2000 ans avant J.C. Elle fut
découverte lors des fouilles d’Isin et représente une divinité féminine tenant des éclairs dans
- 29 -
ses mains. Durant cette période, la foudre représente l’instrument des divinités mythologiques
comme : Seth en Egypte, Indra en Inde, Ishkur chez les Sumériens ou bien Teshup chez les
Hourrites. En Chine, la divinité qui présidait au mystère de la foudre était Lei-Tsu. Il avait
pour adjoints, le prince du tonnerre Lei-Kung et la reine de la foudre Tien-Mu, qui est
représentée tenant dans chaque main un miroir à l’aide desquels elle émet de la lumière et des
éclairs. Sur le continent américain, les Aztèques croyaient au dieu Tlaloc tandis que les
Indiens d’Amérique du Nord pensaient que les éclairs provenaient de la lumière réfléchie par
les ailes d’un oiseau mythique, le battement des ailes produisant le son du tonnerre. En
Afrique noire, depuis des siècles et aujourd'hui encore, la puissance de la foudre est détenue
par le sorcier du village. En Europe, chez les Grecs, le maître des dieux était Zeus et son
attribut distinctif était la foudre, symbole de sa divinité. Chez les romains, l’équivalent était
Jupiter et chez les anciennes peuplades germaniques Thor.
Dans la Grèce antique, des philosophes comme Aristote ou, plus tard, Sénèque dans ses
"Questions naturelles" vont essayer de donner des explications plus rationnelles du
phénomène : selon eux, la foudre résulterait de la transformation de l’air réchauffé en feu.
Malheureusement, les connaissances de l’époque ne peuvent donner d’interprétations
valables. Néanmoins, une distinction est déjà faite entre éclairs (décharge entre deux nuages)
et foudre (décharge entre nuage et sol).
Au Moyen Age, une très ancienne coutume des paysans français consistait à porter dans sa
poche par temps d’orage une pierre de foudre : une fulgurite (roche formée par la vitrification
de sols siliceux sous l’effet de la forte chaleur produite par le courant de foudre lors de son
impact au sol). Ils récitaient en même temps : "Pierre, pierre, gardes-moi du tonnerre !" ou
adressaient des prières à des saints comme sainte Barbe, saint Donat ou saint Théodore.
Toujours au Moyen Age, selon l’église, une "catastrophe naturelle" était avant tout la punition
d’une faute individuelle ou collective. Aussi, pour lutter contre le pêché, les ecclésiastiques
proposaient des exempla qui devaient contribuer à imposer des croyances et des modèles de
comportement. La foudre y joue un grand rôle et ils sont la source de récits spectaculaires
mais peu rigoureux.
Au XVIème siècle on retrouve une multitude d’informations provenant de traités de
naturalistes physiciens ou de météorologues. Notamment, il y est décrit des phénomènes
précurseurs d’un orage appelés les "feux de Saint Elme", qui apparaissaient aux sommets
d’aspérités ou de pointes de toute nature. Ceux-ci avaient une application pratique pour les
navigateurs et dans certains châteaux. Dès que le temps se couvrait, l’apparition de couronnes
lumineuses au sommet de piques verticales avertissait de l’approche d’un orage.
- 30 -
Le XVIIème siècle va essayer de proposer des interprétations rationnelles du phénomène
orageux. Ainsi, pour Descartes, dont la théorie s’est inspirée de celle de Sénèque, "le tonnerre
se manifeste lorsque les nuages tombent sur d’autres situés plus bas. L’air contenu entre ces
deux nuages, étant comprimé par cette chute soudaine, produit un dégagement de chaleur,
d’où résulte l’apparition de l’éclair et le bruit qui caractérise le tonnerre". Cette période ne
sera pas marquée par des découvertes majeures au niveau de la foudre mais par une meilleure
connaissance d’un autre phénomène : l’électricité.
Le XVIIIème siècle, siècle des lumières, marque le début de l’ère scientifique. C’est
l’Anglais William Walle, en 1708, qui va émettre, en premier, la relation qui existe entre
l’éclair et l’étincelle électrique. En 1745, une invention capitale va rapprocher un peu plus la
foudre de l’électricité : la bouteille de Leyde par P. Van Musschenbroek. La nature électrique
de la foudre va se concrétiser par l’expérience de Marly-la-ville initiée par Buffon et Dalibard,
le 10 mai 1752. Benjamin Franklin (1707-1790) entreprend les premières expériences sur les
décharges atmosphériques et met, lui aussi, en évidence la nature électrique de la foudre au
cours de la fameuse expérience du cerf volant, le 2 septembre 1752. De 1755 à 1760, ses
travaux basés sur l’observation de bâtiments frappés par la foudre permettent la mise au point
du paratonnerre dont plusieurs monuments vont être équipés. Cette invention se propage et se
vulgarise à tel point que la mode s’en empare et que l’on propose des parapluies ou des
chapeaux paratonnerres. La prise de conscience du danger de ces paratonnerres et plus
généralement des expériences effectuées sur le foudroiement se fait lors de l’accident mortel
du physicien de Saint-Pétersbourg, le professeur G.W. Richmann en 1753. A cette époque, la
plupart des expériences liées à la foudre se faisaient dans ce que l’on appelait des "salons de
physique". Le physicien allemand tentait de mesurer l’intensité électrique d’un nuage d’orage
par le biais d’une tige de Franklin isolée du sol et installée dans son propre salon. La barre
métallique a été frappée par la foudre, a accumulé les charges et c’est le corps de Richmann
qui a servi de conducteur électrique et écoulé les charges vers le sol.
Le XIXème siècle n’apporta que peu de nouvelles connaissances sur la physique de la
foudre et des orages. La photographie naissante avait toutefois permis de prendre de
nombreux clichés d’éclairs et de coups de foudre, ce qui rendit possible de préciser des
paramètres tels que leur trajectoire, la longueur de leur partie visible, et leur durée. Mais, le
XIXème siècle s’attacha surtout à rassembler des statistiques concernant le nombre, la
répartition des victimes de la foudre, et les diverses manifestations par lesquelles elle frappe
êtres vivants, édifices et objets. On enregistre durant ce siècle, en France uniquement, plus de
dix milles tués, soit 100 par an en moyenne, avec un maximum de 187 tués en 1892.
- 31 -
Au XXème siècle, une percée importante dans les techniques d’observation photographique
de la décharge de foudre fut rendue possible grâce à l’invention de Sir Charles Vernonboys en
1926 : la caméra à objectifs tournants. Elle permettait d’analyser avec beaucoup plus de
finesse la trajectoire et le nombre de décharges successives au cours d’un même coup de
foudre. C’est aussi à cette époque qu’apparaît un dispositif qui, pour la première fois, va
permettre une estimation correcte de l’amplitude des courants de foudre : le barreau
magnétique. Mais c’est à partir de la deuxième guerre mondiale que la connaissance du
phénomène électrique a fait le plus de progrès de par la nécessité de protéger les installations
électriques et téléphoniques notamment.
Ce rappel historique sur la foudre a été synthétisé et extrait de quelques auteurs spécialistes
du phénomène [He], [Ro], [Uh].
II) Connaissances actuelles du phénomène
De nos jours, la foudre est la principale cause de mise hors service des installations
électriques ainsi que téléphoniques. Elle est aussi la source majeure d’interférences au niveau
des communications radio. Cependant, ces effets sur l’environnement ne sont pas tous aussi
néfastes. En effet, elle joue aussi un rôle important dans le maintien de la charge électrique au
sol et c’est donc un composant essentiel du circuit électrique terrestre global.
Le nuage orageux est généralement un cumulo-nimbus : un nuage dont le sommet a la
forme d’une enclume et dont la base est plate. Sa base peut se situer à une altitude comprise
entre 500 et 2000m tandis que son sommet peut atteindre des altitudes de 15000m. Il existe
différents types d’orage parmi lesquels on peut distinguer les orages de type frontaux, les
orages orographiques ou bien les orages thermiques.
1°) Différents types d’orage
Les orages frontaux sont issus de la rencontre de deux masses d’air dont les températures
et les taux d’humidité présentent des différences plus ou moins marquées. Dans cette classe
d’orages, on peut distinguer les orages de type front chaud, et les orages de type front froid.
Les orages à front chaud se forment lorsque l’air instable s’élève puis parcourt la surface
frontale de ce phénomène. Leur front peut occuper des centaines de kilomètres, et est donc
très étendu. Leur largeur ne dépasse pas, la plupart du temps, une cinquantaine de kilomètres.
- 32 -
Le ciel se charge alors de cumulo-nimbus sporadiques avec des courants ascensionnels peu
intenses. Ces nuages ont une forme avec des contours gonflés à cause de ces mouvements
convectifs. Les orages à front froid sont issus de la montée rapide et brutale d’un air chaud et
humide le long de la ligne frontale entraînant ainsi d’énormes et intenses courants d’air. Ces
orages sont pour la plupart d’une violence extrême.
Les orages orographiques sont généralement causés par la poussée vers le haut d’un air
chaud et humide dû à la topographie de la région (montagne, …) : les cumulo-nimbus qui se
forment grâce au vent montent alors toujours à des altitudes de plus en plus élevées par
rapport au relief environnant. Par contre, ces nuages se dissolvent sous l’effet de ce même
vent. Le réchauffement de l’air près du sol est un autre facteur venant s’ajouter à la
topographie du terrain. Ces orages se produisent surtout en période chaude. Ils éclatent
principalement sur les reliefs et restent toujours au même endroit. Si les conditions
météorologiques restent stationnaires, il peut arriver qu'ils se produisent pendant plusieurs
jours et toujours au même moment de la journée.
Les orages thermiques ou de chaleur surviennent lorsque les sols sont surchauffés et l’air
saturé en humidité, comme au niveau des tropiques par exemple. D’importants mouvements
convectifs peuvent engendrer des supercellules orageuses provocant des précipitations
abondantes et des coups de foudre exceptionnellement intenses et durables. La particularité de
ces orages est qu’ils peuvent éclater à n’importe quelle heure de la journée ou de la nuit
également, contrairement aux autres orages. Ils n’éclatent qu’en saison chaude, l’après-midi
sur la terre ferme et la nuit en mer. Ces orages peuvent se répéter plusieurs jours de suite.
2°) Distribution statistique des orages et moyens de détection
La sévérité orageuse d’une région est caractérisée par son niveau kéraunique (keraunos
signifie foudre en grec). Le niveau kéraunique d’un lieu représente le nombre de jours par an
où le tonnerre a été entendu. Cela ne fournit aucune indication sur la densité de foudroiement
de ce lieu. La connaissance de cette donnée permet l’établissement de statistiques. En France,
le niveau kéraunique moyen est d’environ 20. Il dépend fortement de la morphologie du
terrain : il dépasse 30 au niveau des régions montagneuses et est inférieur à 10 au niveau des
régions côtières [He]. Au niveau mondial, le niveau kéraunique est assez hétérogène : il peut
dépasser les 200 en Ouganda, en Indonésie ou dans la forêt amazonienne et est très faible
dans les zones de hautes pressions océaniques ainsi qu’au niveau des pays situés au-dessus du
60ème parallèle.
- 33 -
La notion de niveau kéraunique est trop peu adaptée pour donner une mesure utilisable de
la sévérité orageuse. Les mesures de détection actuelles donnent une information plus
intéressante : la densité de coup de foudre au sol. Elle est exprimée en nombre de coups par
kilomètre carré et par an. Ce nombre est de deux en moyenne sur notre territoire. En France, il
existe un réseau national nommé "Météorage" qui rassemble sous forme de base de données
les amplitudes et les densités des coups de foudre. Grâce à des capteurs situés au sol,
Météorage détecte les impacts de foudre nuage-sol à partir de l’onde électromagnétique émise
et envoie les informations à un centre de traitement en temps réel. Ces données sont bien plus
fiables que celle obtenues grâce au niveau kéraunique. Un autre réseau, complémentaire de
Météorage est implanté en France : c’est le système Safir. Il permet de détecter, l’activité
électrique des nuages et en particulier les éclairs intra-nuages qui précèdent les coups de
foudre au sol.
Des relations empiriques plus ou moins complexes ont été établies entre la densité de
foudroiement au sol Nd et le niveau kéraunique Nk suivant les caractéristiques
météorologiques locales. Pour la France, on admet que [Ro] :
N d = 0.04 N 1k.25
(Eq. I-1)
Pour un niveau kéraunique moyen de 20 on obtiendrait avec cette formule une densité de
foudroiement d’environ 1.7 coups de foudre par an et par kilomètre carré. Cette densité de
foudroiement est de l’ordre de 0.2 à 4 pour l’Europe et peut atteindre des valeurs de 10 pour
les Etats-Unis, l’Afrique du Sud ou le Mexique. Malheureusement, cette valeur de la densité
peut varier d’une région à l’autre, influencée par des facteurs locaux topologiques ou
géologiques.
3°) Le nuage d’orage et phénomènes précurseurs
Le phénomène orageux se situe principalement au niveau de la troposphère. Cette dernière
se situe à des altitudes de l’ordre de 20km au niveau de l’équateur et de 6km au niveau des
pôles. La troposphère est constituée d’air instable avec des courants ascendants chauds et
humides.
Au sein d’un nuage orageux typique, de violents courants ascendants provoque la
collisions de différents types d’hydrométéores (grêlons, eau surfondue, neige, cristaux de
- 34 -
glace, …). Le frottement entre ces hydrométéores engendre une électrisation suivie d’une
séparation de charges variant avec la taille de ces derniers. Les particules les plus légères,
porteuses de charges positives, sont attirées vers le sommet du nuage par des effets convectifs
ascendants tandis que les particules lourdes, porteuses de charges négatives, sont attirées vers
la base du nuage par des effets gravitationnels. Ces charges sont réparties dans deux zones
(Figure I-1) :
- Une zone inférieure, chargée négativement, composée de gouttes d’eau et de neige qui se
situe à des altitudes de l’ordre de 4 à 8 km et où règnent des températures de l’ordre de -10°C
à -20°C. Il est à noter qu’au niveau de la base du nuage se situe souvent une poche de charges
positives.
- Une zone supérieure, chargée positivement, composée essentiellement de cristaux de
glace qui se situe à des altitudes de 8 à 16 km et où les températures avoisinent les -25°C
jusqu’à -60°C.
Le nuage d’orage ressemble donc à un véritable dipôle. Lorsque le champ électrique de
claquage dans l’air est atteint, une décharge électrique peut s’opérer soit entre deux zones du
nuage (éclair), soit entre le nuage et le sol (foudre).
Figure I-1 : Répartition des charges électriques au sein d'un cumulonimbus ordinaire.
Au niveau du sol, la différence de charges entre le nuage et le sol permet d’avoir un champ
électrique qui, par beau temps, est de l’ordre de 100V/m (champ orienté de l’atmosphère vers
- 35 -
le sol). Lors de l’approche du nuage d’orage, ce champ électrique commence à s’inverser et
croître pour atteindre des valeurs de l’ordre de -10 à -15kV/m. A partir de ce moment, on peut
dire qu’une décharge au sol est imminente. Ceci est valable pour un sol totalement plan.
On sait que la présence d’aspérités peut augmenter le champ local par effet de pointe. Ce
champ local ainsi augmenté est souvent largement suffisant pour déclencher des avalanches
électroniques et ainsi ioniser l’air ambiant à ces aspérités : c’est l’effet couronne. Ce
phénomène se manifeste sous la forme d’effluves bleutées et de crépitements. Leur longueur
peut varier de quelques centimètres à quelques dizaines de centimètres, selon la taille de
l’aspérité. Ce sont les feux de Saint-Elme. Ces décharges couronnes ont pour influences de
diminuer le champ électrique pour qu’une décharge au sol puisse se produire.
4°) Déroulement d’un coup de foudre
a) Classification des coups de foudre
La plupart des coups de foudre sont initiés par une prédécharge intermittente et faiblement
lumineuse appelée traceur par bond (stepped leader) qui se déplace, comme son nom
l’indique, par bonds avec une vitesse proche de 105m.s-1. La distance parcourue entre chaque
bond est de l’ordre de la dizaine de mètres. Au cours de sa progression, ce traceur se ramifie
pour emprunter les chemins de moindre résistance.
Avant d’expliciter les mécanismes de déroulement d’un coup de foudre (décharge entre
nuage et sol) il est nécessaire de les classifier selon le sens de propagation du traceur :
-
les coups de foudre descendants : développement du traceur à partir du nuage.
-
les coups de foudre ascendants : développement du traceur à partir du sol.
En pays plat, le coup de foudre descendant est le plus fréquent. C’est son mécanisme que
nous allons étudier dans le paragraphe suivant. Pour qu’un coup de foudre ascendant se
produise, il faut la présence d'une proéminence importante telle qu’une tour, un immeuble ou
une montagne. C’est une des raisons pour lesquelles le coup de foudre ascendant se produit
généralement en zone montagneuse.
De plus, on classe les coups de foudre selon le sens d’écoulement du courant principal.
Conventionnellement, on définira :
-
le coup de foudre négatif lorsque la partie négative du nuage se décharge.
-
le coup de foudre positif lorsque la partie positive du nuage se décharge.
- 36 -
Dans l’étude qui suit, on se limitera aux coups de foudre négatifs car ils représentent près
de 90% du foudroiement, en France.
La Figure I-2 décrit les différents types de coups de foudre existants répertoriés par Berger
[Be].
Figure I-2 : Les différents types de traceurs : a) Traceur négatif descendant normal; b) Traceur positif
ascendant; c) Traceur positif descendant; d) Traceur négatif ascendant.
b) Mécanismes du coup de foudre descendant
Dans le cadre du déroulement d’un coup de foudre descendant et négatif, le traceur (dans
ce cas négatif) prend naissance au sein du nuage et progresse en direction du sol par bonds
successifs (Figure I-3). Lors de la progression de ce traceur, on observe des ramifications vers
le bas ainsi qu’un accroissement au niveau de sa luminosité. Lorsque le traceur descendant se
rapproche du sol, les décharges couronnes vont se transformer en traceurs ascendants et vont
alors se diriger vers le traceurs descendant. Lorsque la jonction est effectuée entre un traceur
par bonds et un traceur ascendant, il s’établit un canal conducteur entre le nuage et le sol qui
va permettre le passage d’un courant de forte intensité. On observe alors un trait d’une forte
intensité lumineuse qui progresse depuis le sol jusqu’au nuage avec une vitesse de l’ordre de
108m.s-1 : c’est l’arc en retour (return stroke). En empruntant le canal formé par la rencontre
des deux traceurs, les charges positives neutralisent, au cours de leur progression, les charges
négatives emmenées par le traceur descendant. Le diamètre moyen du canal conducteur a été
estimé à 2 ou 3 centimètres au maximum. Le courant véhiculé par cet arc en retour peut varier
de quelques dizaines à plusieurs centaines de milliers d’ampères. La température atteinte est,
elle, de l’ordre de 30000K. Le réchauffement brutal et extrêmement élevé de l’air entraîne une
formidable surpression de ce dernier. La pression du canal étant plus élevée que celle de l’air
environnant, il s’ensuit une forte dilatation, une explosion du canal qui se propage sous forme
d’onde de choc acoustique : c’est le tonnerre.
- 37 -
Figure I-3 : Phases caractéristiques de l'évolution d'un coup de foudre négatif descendant : a) descente du
traceur par bonds; b) initiation des traceurs ascendants; c) rencontre entre un traceur ascendant et le traceur
descendant par bonds, puis écoulement du courant d'arc en retour.
L’arc en retour dure près d’une dizaine de millisecondes. Dans le canal fortement ionisé,
donc conducteur, formé par le premier arc en retour, plusieurs décharges peuvent alors se
développer : ce sont les arcs subséquents. Alors que la première décharge est précédée du
traceur par bonds, les décharges subséquentes sont précédées d’un traceur continu, beaucoup
plus rapide (des vitesses de l’ordre de 106m.s-1) et qui est appelé trait pilote (dart leader).
En général, un coup de foudre dure de 0.2 à 2s et comporte en moyenne 4 arcs en retour.
La première décharge est souvent la plus importante au niveau de l'amplitude du courant.
Mais il existe un faible courant non négligeable, de l’ordre de quelques centaines d’ampères,
qui continue à s’écouler lors des décharges subséquentes : c’est le courant persistant.
Une bonne maîtrise des connaissances des mécanismes non seulement de l’initiation de la
décharge mais aussi de sa propagation a permis l'obtention de paramètres pour la mise en
place d'études expérimentales et théoriques. Ces avancées ont donné une meilleure restitution
de la description des phénomènes de l’arc de foudre et ont permis aux chercheurs d’appliquer
ces résultats à des domaines différents pour l’amélioration des systèmes de protections des
appareils électriques ou des avions. Dans le paragraphe suivant, nous proposons de regarder
plus en détails la prise en compte de la menace foudre dans l'aéronautique.
III) La foudre en aéronautique
Le phénomène de foudroiement d’un avion n’est pas un phénomène rare : un avion de
ligne, par exemple, est foudroyé en moyenne 1 à 2 fois par an. Ce type d'accident se situe
- 38 -
dans 95% des cas dans les phases ascendantes ou descendantes de l'appareil : c'est à dire pour
des vitesses d'avion de l'ordre de 100m.s-1 et des altitudes inférieures à 5km [Um].
La construction aéronautique actuelle se caractérise par l’utilisation de systèmes
électroniques ainsi que de matériaux légers. La tendance à réduire la taille des systèmes
électroniques ainsi que leur puissance de fonctionnement à pour effet d’augmenter leur
sensibilité aux perturbations électromagnétiques telles que celles engendrées par la foudre. De
plus, les structures constituées de matériaux partiellement ou non conducteurs tels que les
matériaux composites offrent une protection moins efficace contre la foudre que les structures
en aluminium classique.
En même temps, la compréhension du phénomène de foudroiement en vol a fait une
avancée considérable notamment grâce aux campagnes menées en vol dans les années 80 aux
Etats-Unis et en France [Um]. Néanmoins, il est impossible de représenter un foudroiement
d’avions dans son ensemble que ce soit par essai expérimental ou par modélisation
numérique. Cela est dû au caractère stochastique de l’arc de foudre. Une façon de contourner
le problème a été la mise en place, au travers d’une réglementation internationale, d’un coup
de foudre typique ainsi que d’un protocole expérimental sur lesquels les avionneurs peuvent
se baser. De plus, les paramètres utilisés par cette réglementation ont été maximisés afin
d’être sûr que dans la réalité ces maxima ne seront pas atteints simultanément.
1°) Les effets de la foudre sur un aéronef
La foudre peut donc soit être à l’origine de perturbations électromagnétiques au niveau de
l’électronique embarquée (effets indirects) soit causer des dégâts thermomécaniques au
niveau du fuselage de l’aéronef (effets directs). Ce sont ces effets que nous allons décrire à
présent.
a) Effets indirects de la foudre
Ce sont les effets induits par le courant foudre dans les câblages et les équipements par
couplage électromagnétique (induction, agressions en champs électriques et magnétiques).
Ces effets restent relativement importants : avec l’apparition des matériaux composites,
l’avion ne constitue plus une cage de Faraday comme avec un avion entièrement métallique.
Ainsi, le passage du courant foudre au travers d’un avion induira sur les différents câblages,
- 39 -
essentiellement par couplage électromagnétique, des phénomènes transitoires de tension et de
courant et éventuellement des claquages localisés. De plus, il est important de connaître ces
phénomènes transitoires pour se protéger de leurs effets possibles : au-delà de la destruction
du composant qu’ils peuvent engendrer, il ne faudrait pas qu’une perturbation transitoire soit
perçue par un calculateur électronique comme une information.
b) Effets directs de la foudre
Les effets directs de la foudre sur un aéronef rassemblent l’ensemble des dommages
physiques perçus par l’avion ou par les équipements embarqués dus à l’attachement direct du
canal de foudre ou par la conduction du courant de foudroiement à l’intérieur du fuselage. Ces
effets directs sont surtout de type thermomécanique et peuvent être répertoriés par la liste
suivante :
-
Echauffement par effet Joule : cela représente la puissance dissipée sous forme de
chaleur dans un conducteur à la suite d’un passage du courant. Elle est égale à RI2.
-
Dommages thermiques au point d’attachement de l’arc : une perforation par brûlure ou
une érosion du matériau peut se produire au point d’attachement de l’arc. La plus
grande partie de l'énergie est dissipée dans la proximité immédiate ou à la surface
même du matériau par conduction. La chaleur régnant au point d’attachement peut être
telle qu’il est possible d’avoir fusion voire vaporisation du métal.
-
Formations de points chauds : des points chauds peuvent se former au niveau de la
surface interne du revêtement d’un aéronef. Le risque associé à ces points chauds est
l’inflammation de carburant ou d’autres substances hautement inflammables.
-
Dommages provoqués par onde de choc acoustique : L’échauffement brutal du canal de
foudre en lui même va provoquer une onde de choc axiale. La sévérité du choc va
dépendre de la valeur crête du courant ainsi que du temps de montée de celui-ci. En
général, les ondes de choc acoustiques sont sans effets sur les revêtements métalliques
mais peuvent engendrer des ruptures sur les revêtements en composite qui, eux, sont
plus rigides.
-
Pression magnétique de l’arc : cette pression est proportionnelle au carré de l’intensité
de l’arc et inversement proportionnelle à sa surface conductrice. Elle va jouer un rôle
important pour de très fortes intensités d’arc et pour de faibles sections de conducteur.
- 40 -
-
Formation d’étincelles : Des étincelles peuvent se produire lorsque des courants de
hautes intensités traversent la jonction entre deux matériaux conducteurs. La plupart
des étincelles de type thermique se produisent à proximité des points chauds au niveau
de la jonction des pièces lorsque la pression entre ces dernières est nulle ou voisine de
zéro.
Ces effets directs vont être à l’origine de dommages considérables au niveau du fuselage et
vont faire l’objet de notre étude notamment pour ceux qui concernent l’effet Joule et la
dissipation de l’énergie par conduction. Malheureusement, l’interaction foudre-aéronef est un
phénomène difficile à quantifier de par l’aspect probabiliste et fortement non répétitif du
phénomène. La mise en place d'une réglementation internationale a permis de normaliser
l'ensemble de ces statistiques.
2°) La réglementation internationale
La première version de la réglementation internationale date de 1972 et a été établie par la
SAE (Society of Automotive Engineers) pour développer l’amélioration des protections
foudre des aéronefs et pour standardiser les tests en laboratoire [Fi]. Celle que les avionneurs
utilisent actuellement n’est qu’une évolution et une amélioration de cette dernière.
a) Onde de courant foudre pour l’aéronautique
La première étape a été de définir une menace foudre qui soit majorante des cas de
foudroiement qu’un aéronef est susceptible de subir. Cette menace est définie à l’aide de
données de foudroiement au sol [Be]. En effet, c’est uniquement dans cette configuration que
l’on dispose de données statistiques conséquentes. Par ailleurs, les résultats obtenus lors des
campagnes d’essais en vol suggèrent que les foudroiements en vol sont minorants par rapport
à ceux au sol.
Dans la normalisation en vigueur, l’environnement naturel du foudroiement est représenté
par les composantes A, B, C et D (Figure I-4). L’onde ainsi définie couvre 99% des coups au
sol en sévérité. Les différents paramètres permettant de définir cette onde sont :
-
l’intensité crête du courant
-
les temps de montée et de descente du front d’onde
-
la charge transférée égale à ∫ idt (en C)
- 41 -
-
l’intégrale d’action égale à
∫i
2
dt (en A2.s) : cela représente l’habilité du courant à
déposer de l’énergie sur un objet résistif.
Figure I-4 : Onde de courant type appliquée lors d’un foudroiement d’un avion.
Chaque composante représente une phase différente du courant de foudroiement :
-
Composante A – courant de la première décharge en retour : cette composante a une
amplitude crête de 200kA ± 10% , une intégrale d’action de 2 × 10 6 A 2 .s ± 20% et une
durée totale de 500µs au plus. Le temps de montée (à rapprocher de celui de la
composante D) de 10% à 90% de la valeur crête doit être inférieure à 50µs. Cette
composante peut causer des dommages par effets directs ou par effets indirects.
-
Composante B – courant intermédiaire : cette composante a une amplitude moyenne de
2kA ± 20% et un transfert de charges de 10C ± 10% en 5ms ± 10% . Cette composante
correspond à une phase de transition de la décharge et n’est applicable que pour
l’analyse des effets directs.
-
Composante C – courant continu : cette composante transfère une charge de
200C ± 20% en un temps compris entre 0.25 et 1 seconde, d’une amplitude de 200 à
800 Ampères. Cette composante d’amplitude limitée peut causer des dégâts,
- 42 -
notamment thermiques, très importants du fait de la grande quantité de charges qu’elle
dépose. Il s'agit de cette composante que nous allons étudier tout au long de ce travail.
-
Composante D – courant des décharges secondaires : cette composante a une amplitude
crête de 100kA ± 10% , une intégrale d’action de 0.25 × 10 6 A 2 .s ± 20% et une durée
totale de 500µs au plus. Le temps de 10% à 90% de la valeur crête doit être inférieur à
25µs.
On définit également les formes d’onde H et I qui correspondent aux phénomènes de
multiple burst et de multiple stroke. Cela correspond respectivement aux phénomènes
précédant l’attachement initial de l’arc et aux phénomènes de décharges en retour.
De façon beaucoup plus mathématique, ces composantes peuvent se mettre sous la forme
d’une différence d’exponentielles [Fi] :
I (t ) = I 0 [exp(− αt ) − exp(− β t )]
(Eq. I-2)
Les paramètres inhérents à chaque composante sont récapitulés dans le Tableau I-1 cidessous :
Composante
Composante
Composante
Composante
Composante
Composante
A
B
C
D
H
I
I 0 ( A)
218810
11300
400
109405
10572
54703
α ( s −1 )
11354
700
NA
22708
187191
22708
β ( s −1 )
647265
2000
NA
1294530
19105100
1294530
I crête ( A)
200000
4173
400
100000
10000
50000
1.4 × 1011
NA
NA
1.4 × 1011
2 × 1011
0.7 × 1011
NA
NA
NA
NA
Paramètres
(di dt )
max
à
-1
t=0 (A.s )
(di dt )
max
(A.s-1)
1.0 × 1011 à
t=0.5µs
1.0 × 1011 à
t=0.25µs
NA
0.5 × 1011 à
t=0.25µs
Intégrale
d’action
2.0 × 10 6
0.5 × 10 6
NA
(A2.s)
Tableau I-1 : Paramètres de l'onde de courant utilisée dans l'aéronautique.
- 43 -
0.0625 × 10 6
Les diverses parties d’un avion ne sont pas exposées de façon identique au risque de
foudroiement. Un aéronef est donc découpé en zones exposées à une partie de la menace
décrite par l’onde de courant précédente correspondant à une ou plusieurs phases du
foudroiement.
b) "Zoning" d’un aéronef
La définition de ces zones a aussi constitué une étape de la réglementation internationale.
Elles sont représentées sur la Figure I-5 suivante :
Figure I-5 : Représentation du "zoning" d'un aéronef tel qu'il est définit par la réglementation
internationale [Go].
La zone 1 (A et B) correspond aux parties de l’avion pour lesquelles il y a une forte
probabilité d’attachement initial de l’arc de foudre.
La zone 2 (A et B) correspond aux parties de l’avion pour lesquelles il y a une forte
probabilité d’être traversées par le pied d’arc apparu initialement en zone 1 et qui a été soufflé
de par le déplacement de l’aéronef (zone de balayage).
- 44 -
La zone 3 correspond aux autres parties de l’avion. Elle correspond donc aux parties de
l’avion ou il y a une faible probabilité d’attachement de l’arc de foudre.
Les suffixes A et B pour les zones 1 et 2 correspondent aux probabilités de stagnation de
l’arc de foudre au niveau de la zone considérée. Pour le suffixe A, le temps de stagnation du
pied d’arc dans la zone sera court tandis que pour le suffixe B, le temps de stagnation sera
élevé.
On peut constater que les parties de l'avion les plus exposées à l'attachement de l'arc de
foudre sont le radôme (coupole qui se situe au niveau du nez de l'avion), les bouts des ailes et
des empennages ainsi que les réacteurs. La partie principale où va se déplacer l'arc, une fois
celui-ci attaché, est essentiellement le fuselage et une partie des ailes.
Ainsi, le "zoning" d’un avion permet d’avoir la cartographie de l’avion corrélée avec les
niveaux d’énergie attendus au niveau de chacune des zones (Figure I-6) :
Figure I-6 : Ondes de courant requises sur les différentes zones d'un aéronef [Go].
IV) Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons présenté l'évolution des connaissances sur la foudre : partant
des mythes et légendes pour arriver aux acquis actuels plus rigoureux et scientifiques. Ces
derniers ont permis à l'homme de mettre en place une meilleure protection au niveau de
l'individu et de son environnement : les habitations, les installations électriques et
téléphoniques, les avions,...
- 45 -
Nous avons ensuite rappelé les connaissances actuelles sur l'arc de foudre et le nuage
d'orage. Nous avons aussi expliqué, de façon plus détaillée, les différentes étapes du
déroulement d'un coup de foudre.
Nous avons vu que le foudroiement d’un aéronef n’est pas un phénomène rare et qu'il
représente une menace réelle pour le fuselage d’un avion. La réglementation internationale a
permis de mettre en place une uniformisation au niveau des normes pour les avionneurs. Son
but n’est pas d’éviter aux matériaux de fuselage d’être foudroyés mais d’assurer leur tenue
lors du foudroiement. Pour cela, de nombreux tests expérimentaux ont lieu afin d’assurer la
validité du matériau et de certifier leur mise en application au niveau de l’aéronef. Ces essais
restent cependant relativement lourds et nécessitent de nombreuses précautions de
manipulation.
L'outil numérique s'avère donc indispensable pour épauler l'étude et la compréhension du
transfert d'énergie, notamment de la composante continue C. Il permet, une fois validé,
d'appréhender les mécanismes du transfert d'énergie dans de multiples configurations sans
cumuler les essais expérimentaux. Il permet aussi d'obtenir des informations plus
microscopiques non accessibles par l'expérience. C'est dans cette optique que s'inscrit ce
travail de thèse, dont l'objectif est de modéliser l'interaction arc-matériau afin de quantifier les
flux transférés et d'en déduire les possibles dommages.
- 46 -
Chapitre II : Données de
base.
- 47 -
- 48 -
Chapitre II : Données de base
L'étude que nous allons mener, fait intervenir différentes natures de milieux : un milieu
gazeux dans lequel l'arc électrique va se créer, un milieu solide sur lequel l'arc impacte. Sous
l'effet de l'interaction de l'arc avec le matériau, des vapeurs viendront, suivant les conditions
opératoires, ensemencer le milieu plasma. De nombreuses propriétés thermodynamiques et
coefficients de transport sont donc nécessaires pour la description de notre problématique.
La finalité de notre étude concerne l'analyse du transfert d'énergie provenant d'un arc
électrique dans l'air sur un matériau en composite. Cependant, les phases de développement et
de validation de notre modèle font intervenir, afin de se caler sur les configurations
expérimentales de la littérature, d'autres milieux gazeux (argon) ou solides (fer, cuivre ou
aluminium). Si les conditions opératoires sont telles qu'elles conduisent à la vaporisation des
matériaux, interviennent alors les phases vapeurs du fer, du cuivre et de l'aluminium. Nous
nous trouvons alors en présence d'un milieu hétérogène ensemencé de vapeurs métalliques.
Les coefficients de transport nécessaires à la mise en place du modèle, décrit dans les
chapitres suivants, sont alors la viscosité µ ( kg.m −1 .s −1 ), la conductivité thermique κ
( W.m −1 .K −1 ), la conductivité électrique σ ( S.m −1 ), le coefficient d’émission nette ε N
( W.m −3 .ster −1 ) et le coefficient de diffusion de la vapeur dans le gaz plasmagène D
( m 2 .s −1 ). Les propriétés thermodynamiques utilisées sont : la densité de masse ρ ( kg.m −3 ),
la chaleur spécifique C P ( J.kg −1 .K −1 ), l'enthalpie spécifique hi (J.kg-1), la chaleur latente
d’évaporation du matériau Lmat ( J.kg −1 ) ainsi que la pression de vapeur saturante Pvap .
I) Propriétés de transport du plasma
Les viscosités, les coefficients d’émission nette, les densités de masse, les conductivités
thermique et électrique des gaz purs ont été utilisés pour la modélisation de la colonne de
plasma. Pour l’argon, les données sont issues du Thermal Plasma [Bo] et de la thèse d'Erraki
[Er] pour le coefficient d’émission nette. Pour l’air, elles sont issues du Thermal Plasma [Bo]
et de la thèse de Naghizadeh [Na] pour le coefficient d’émission nette. Ces grandeurs ont été
calculées pour la pression atmosphérique en supposant une équirépartition de l'énergie entre
les électrons et les autres particules, soit l'existence d'une seule température pour l'ensemble
des espèces [Va], [Bo]. Les propriétés de transport et thermodynamiques du gaz sont
fortement dépendantes de la température. Elles ont été tabulées en fonction de la température
par pas de 100K. Une interpolation linéaire permet de retrouver les valeurs entre deux pas.
- 49 -
Les figures suivantes (Figures de II-1 à II-7) représentent respectivement la conductivité
thermique, électrique, la viscosité, la chaleur spécifique, la densité massique, l'enthalpie et
enfin le coefficient d'émission nette - pris pour un rayon de 5 mm - de l'argon et de l'air.
Sur la Figure II-1, on peut remarquer que les conductivités thermiques des deux gaz
augmentent avec la température. Celle de l'air est supérieure à celle de l'argon pour quasiment
toute la gamme de température considérée. On constate que sur les deux courbes apparaissent
des pics. Ils sont dus, pour l'air, à la dissociation de la molécule d'O2 (vers 3500K), la
dissociation de la molécule de N2 (vers 7000K) et à l'ionisation de l'oxygène et de l'azote vers
15000K. Pour l'argon, on peut remarquer la présence d'une bosse vers 15000K qui correspond
à un pic d'ionisation.
Figure II-1 : Conductivités thermiques de l'argon et de l'air en fonction de la température.
Sur la Figure II-2, on constate que les conductivités électriques des deux gaz, données en
fonction de la température, croissent. Elles présentent une forte variation jusqu'à,
approximativement, 15000K puis connaissent une croissance plutôt faible à partir de cette
température. En fait, la conductivité électrique est directement proportionnelle au carré de la
densité électronique qui croît fortement à partir de 5000K avec l'ionisation du milieu. Elle
commence à stagner dès l'apparition des premières espèces deux fois ionisées, vers 15000K,
dans notre cas.
- 50 -
Figure II-2 : Conductivités électriques de l'argon et de l'air en fonction de la température.
Sur la Figure II-3, nous donnons l'évolution de la viscosité en fonction de la température
pour l'air et l'argon. La viscosité augmente avec la température puis décroît à partir de 10000K
pour l'argon et 12000K pour l'air. La viscosité dépend essentiellement des particules lourdes.
Lorsque la température du plasma augmente, la viscosité est d'abord contrôlée par les
molécules et/ou par les particules neutres (pente ascendante) puis par les particules chargées
lorsque ces dernières deviennent majoritaires (pente descendante). On peut dire que le
maximum de viscosité représente le passage d'un milieu neutre vers un milieu ionisé. Le pic
de l'argon se situe à des températures plus faibles que celui de l'air du fait que son énergie
d'ionisation est plus faible que celle de l'oxygène et de l'azote.
Figure II-3 : Viscosités de l'argon et de l'air en fonction de la température.
- 51 -
Sur la Figure II-4 sont représentées les chaleurs spécifiques de l'argon et de l'air. Ces
courbes ressemblent à celles de la conductivité thermique et sont à corréler avec ces dernières.
En effet, sur la courbe relative à l'air, les deux premiers pics correspondent à des pics de
dissociation et le troisième à un pic d'ionisation. Pour l'argon : le pic à 15000K représente un
pic d'ionisation.
Figure II-4 : Chaleurs spécifiques de l'argon et de l'air en fonction de la température.
Sur la Figure II-5, les courbes de densités massiques de l'air et de l'argon sont représentées.
Elles diminuent avec la température. Celle de l'argon se situe au-dessus de celle de l'air de par
le fait que sa masse molaire ( M Ar = 39.948 × 10 −3 kg.mol −1 ) est supérieure à celle de l'air
( M Air = 28.8 × 10 -3 kg.mol -1 ).
Figure II-5 : Densités massiques de l'argon et de l'air en fonction de la température.
- 52 -
Les enthalpies spécifiques de l'argon et de l'air sont représentées sur la Figure II-6. On
constate que l'enthalpie augmente avec la température pour les deux gaz considérés. Nous
rappelons que :
T
h(T ) = h0 + ∫ C P dT
(Eq. II-1)
273
Avec :
h0 = h(T = 273K ) = 0 J .kg −1
(Eq. II-2)
Ces courbes présentent donc des variations brutales vers 15000K lors de l'ionisation ou
encore, dans le cas de l'air, vers 8000K lors de la dissociation.
Figure II-6 : Enthalpies massiques de l'argon et de l'air en fonction de la température.
La Figure II-7 regroupe les courbes du coefficient d'émission nette de l'argon et de l'air pris
pour un rayon de 5mm. Le cas R=0mm correspondrait au cas fictif où il n'y aurait pas
d'absorption. On peut constater sur la Figure II-7 que le coefficient d'émission nette de l'air est
supérieur à celui de l'argon sur quasiment toute la gamme de température considérée. Pour les
deux milieux, le coefficient d'émission nette augmente avec la température de par l'ionisation
et les collisions radiatives qui en découlent.
- 53 -
Figure II-7 : Coefficients d'émission nette de l'argon et de l'air en fonction de la
température, pris pour un rayon de 5mm.
Nous venons de nous intéresser aux propriétés de transport des composés en phase gazeuse
de l'air et de l'argon. Dans le paragraphe suivant, nous allons étudier les propriétés de
transport des matériaux métalliques utilisés.
II) Propriétés de transport du matériau
Les matériaux étudiés peuvent être séparés en deux groupes : les matériaux métalliques
(cuivre, fer et aluminium) conducteurs du courant et le matériau composite. Dans le cas des
métaux, les données de base sont relativement faciles à trouver dans la littérature tandis que
pour le matériau composite, ces données nous ont été fournies par EADS CCR Suresnes [Ra1].
1°) Matériaux métalliques
Les coefficients de transport des phases condensées des différents matériaux (la chaleur
spécifique, les conductivités thermiques et électriques) sont fonction de la température mais
aussi des phases. Ils sont tabulés tous les 100K. D’autres données spécifiques du matériau
sont répertoriées dans le Tableau II-1. Les températures de fusion et d’ébullition, la densité de
masse, le travail de sortie des électrons et la masse molaire y sont répertoriés en fonction des
différents types de matériau étudiés. Elles sont issues du NIST [Ni] et du CRC Handbook of
Chemistry and Physics (3rd Electronic Edition) [Ha-3].
- 54 -
Cuivre
Fer
Aluminium
T fus [Ni]
1357 K
1811K
933K
Tébu [Ni]
2840K
3134K
2329K
ρ [Ja]
8920kg.m -3
7874kg.m -3
2700kg.m -3
Φ W [Ha-3]
4.65V
4 .7 V
4 .2 V
M mol [Ja]
65.546 × 10 −3 kg.mol -1
55.845 × 10 −3 kg.mol -1
26.98 × 10 −3 kg.mol -1
Tableau II-1 : Propriétés thermodynamiques et électriques des différents matériaux étudiés.
La Figure II-8 présente les conductivités électriques du cuivre, du fer et de l’aluminium.
On peut constater que le fer est bien moins conducteur que les deux autres matériaux.
Figure II-8 : Conductivités électriques des différents matériaux d’anode.
La Figure II-9 représente les conductivités thermiques du cuivre, du fer et de l’aluminium.
Le cuivre a un pouvoir de conduction de la chaleur supérieur à celui de l'aluminium ou bien
du fer. Cela signifie qu'il évacuera mieux la chaleur que les deux autres métaux.
- 55 -
Figure II-9 : Conductivités thermiques des différents matériaux d’anode.
La Figure II-10 présente les chaleurs spécifiques du cuivre, du fer et de l’aluminium. Ces
trois courbes présentent toutes un pic plus ou moins prononcé lors du changement de phase
(fusion).
Figure II-10 : Chaleurs spécifiques des différents matériaux d’anode.
Les coefficients de transport du matériau solide (la chaleur spécifique, les conductivités
thermiques et électriques) sont issus des tables de Janaf [Ja], du Handbook [Ha-2] et de la
thèse de Trenty [Tr].
- 56 -
2°) Matériau composite
Un matériau composite est constitué d'un arrangement de fibres de matériau résistant qui
sont noyées dans une matrice dont la résistance mécanique est beaucoup plus faible (Figure
II-11). De ce fait, un matériau composite est très hétérogène et fortement anisotrope.
Figure II-11 : Représentation d'un matériau composite type en trois dimensions.
Cela signifie que ses propriétés sont différentes suivant les directions. Dans cette étude, le
matériau étudié est appelé TC1; il s'agit d'un composite utilisé dans l'industrie aéronautique. Il
est constitué de fibres de carbone tissées baignant dans une résine époxyde.
Sur la Figure II-11, nous avons représenté trois directions suivant lesquelles les propriétés
de transport sont différentes. Par la suite, nous allons considérer que les coefficients de
transport dans la direction 1 seront identiques à ceux dans la direction 2. Ils ne dépendront
donc que des directions longitudinales et transversales. De plus, ces coefficients sont
homogénéisés suivant chacune de ces directions.
Les coefficients de transport de ce matériau ont été fournis par EADS CCR de Suresnes
[Ra-1]. Elles sont fonction de la température, de la direction et des phases. Pour un matériau
composite, c'est un abus de langage de parler de phases car bien évidemment, il n'existe pas
de phases solides, liquides ou gazeuses. Ce terme sera tout de même utilisé pour désigner une
phase de résine non dégradée, dégradée ou encore une phase de dégradation totale. Comme
pour les autres grandeurs, nous avons tabulé ces coefficients de transport tous les 100K.
- 57 -
a) Chaleur spécifique
La Figure II-12 représente la chaleur spécifique du matériau composite considéré.
Figure II-12 : Chaleur spécifique du matériau composite en fonction de la
température.
On peut tout d'abord constater que la chaleur spécifique massique du composite est
constante sur deux plages de température et qu'elle présente une variation brutale entre ces
deux plages. Le saut, situé vers 723K, représente un "changement de phase".
La chaleur spécifique n'a pas été prise en fonction des directions. Cette hypothèse peut
s'expliquer par le fait que la chaleur spécifique d'un matériau est une propriété
thermodynamique correspondant à l'énergie qu'il faut fournir à 1kg de ce matériau pour que sa
température augmente de 1K. Cela représente plus un effet en volume qu'un effet lié à un
transport dû à un gradient et donc lié à une direction spécifique.
L'estimation de la chaleur spécifique a été effectuée à partir d'Analyse Calorimétrique
Différentielle (A.C.D.). Son principe consiste à placer dans un calorimètre un échantillon de
masse connue puis à imposer à cet échantillon une variation de température connue. Le calcul
de la chaleur massique se fait en effectuant le rapport entre la quantité de chaleur injectée et la
variation de température imposée. Ce rapport nous est donné par la relation [Uh] :
CP =
1
WR
mR
(Eq. II-3)
- 58 -
C P est la chaleur massique de l'échantillon, m est la masse de l'échantillon, R est la vitesse
de chauffage et WR est la puissance thermique apportée à l'échantillon.
b) Conductivités thermiques longitudinales et transversales
Les conductivités thermiques longitudinales et transversales du matériau composite sont
représentées sur les Figures II-13 et II-14.
Figure II-13 : Conductivité thermique longitudinale du matériau composite en
fonction de la température.
Figure II-14 : Conductivité thermique transversale du matériau composite en
- 59 -
On remarque que les deux courbes de conductivité thermique présentent la même allure :
elles augmentent linéairement entre 300 et 723K, présentent une décroissance brutale puis
sont constantes sur le reste de la gamme des températures. Le saut, situé vers 723K,
représente, comme dans le cas de la chaleur spécifique, un "changement de phase" du
composite.
En comparant ces deux figures, on peut aussi constater que la conductivité thermique
longitudinale du matériau est près de quatre fois plus importante que sa conductivité
thermique transversale. Cela signifie que l'évacuation de la chaleur sera beaucoup plus
efficace radialement que axialement.
Si on compare maintenant les conductivités thermiques du composite à celles d'un
matériau métallique, on peut remarquer qu'il existe presque deux ordres de grandeurs entre
elles, ce qui signifie que le matériau composite conduit moins bien la chaleur qu'un métal.
Expérimentalement, la grandeur qui a été obtenue n'est pas la conductivité thermique mais
la diffusivité thermique du matériau. Connaissant la chaleur spécifique massique, on obtient
alors la conductivité thermique par la relation :
κ = aρ C P
(Eq. II-4)
Où a est la diffusivité thermique, κ est la conductivité thermique, ρ la densité massique
du matériau et C P la chaleur spécifique massique.
La diffusivité thermique a été obtenue à partir de la méthode "flash". Cela consiste à
appliquer à la surface d'un matériau une impulsion brève de flux de chaleur avec soit un laser,
soit une lampe flash et à analyser la réponse en température du matériau sur la face opposée.
Pour le composite qui a des composantes transversales et longitudinales différentes, il est
nécessaire que le flux de chaleur ait une forme géométrique bien précise (le plus souvent une
ligne flash suffit) pour pouvoir analyser la répartition bidimensionnelle transitoire de la
température sur la face opposée grâce à une caméra infrarouge. Les mesures seront effectuées
pour différentes températures du matériau pour obtenir une valeur des conductivités
thermiques en fonction de la température.
- 60 -
c) Conductivités électriques longitudinales et transversales
Les Figures II-15 et II-16 représentent les conductivités électriques longitudinales et
transversales du matériau composite utilisé.
Figure II-15 : Conductivité électrique longitudinale du matériau composite en
Figure II-16 : Conductivité électrique transversale du matériau composite en
En comparant les conductivités électriques longitudinales et transversales du matériau
composite, on constate que la conductivité longitudinale est supérieure de trois ordres de
grandeur par rapport à la conductivité transversale. Cela montre que le matériau composite est
- 61 -
un meilleur conducteur électrique radialement que axialement. Le courant aura donc tendance
à rester à la surface du matériau plutôt qu'à y pénétrer.
Pour mesurer les conductivités électriques du matériau composite ou plutôt les résistivités,
il faut injecter, dans le matériau, un courant soit suivant le sens transversal, soit suivant le
sens longitudinal et ensuite mesurer, à l'aide de prises de tension, la différence de potentiel
entre les bornes du matériau. Connaissant le courant injecté, on en déduit la résistivité du
matériau et ensuite sa conductivité. Les mesures seront répétées pour différentes températures
du composite pour obtenir les conductivités électriques en fonction de la température.
d) Autres propriétés utilisées
Les autres données relatives au matériau, et nécessaires pour sa description, sont prises
constantes et sont répertoriées dans le Tableau II-2.
La densité massique ainsi que les températures de changement de "phase" ont été fournies
par EADS CCR [Ra-1]. Pour la masse molaire et pour le travail de sortie des électrons, le
manque de données spécifiques au matériau composite nous a conduit à utiliser celles du
carbone pur. Elles sont issues du NIST [Ni] et du CRC Handbook of Chemistry and Physics
(3rd Electronic Edition) [Ha-3].
On peut s'interroger sur la légitimité de prendre le travail de sortie des électrons du carbone
pur à la place de celui du matériau composite étant donné que la première couche d'un
matériau composite est une couche de résine. Cependant, il est nécessaire de rappeler que ce
genre de donnée n'est pas disponible pour le matériau étudié. Nous utiliserons donc pour les
propriétés de cette couche celles du carbone pur.
T phase1 [Ra-1]
T phase 2 [Ra-1]
ρ [Ra-1]
Φ W [Ra-1]
M mol [Ra-1]
723K
1173K
1500kg.m -3
5.00V
12.01kg.mol −1
Tableau II-2 : Propriétés thermodynamiques et électriques du matériau composite.
III) Propriétés de transport des vapeurs métalliques – lois de mélange
La prise en compte des vapeurs issues de la vaporisation de l'anode au sein du plasma se
fait au travers de l'utilisation des coefficients de transport des composés purs considérés en
phase gazeuse. Pour le matériau composite, on a considéré que seul le carbone se retrouvait en
- 62 -
phase gazeuse. Les coefficients ont été tabulés tous les 100K. Les vapeurs métalliques issues
de l'érosion de l'anode vont modifier les propriétés de transport du plasma. Pour calculer,
localement, les nouveaux coefficients de transport, les lois de Wilke [Wi] ont été utilisées
pour la viscosité et la diffusion, les relations données par Bird [Bi] pour la conductivité
thermique et la densité massique, et Bauchire [Ba] pour la conductivité électrique. Ces lois de
mélange sont fonction des propriétés des composés à l’état gazeux pur. Pour les calculs on va
considérer que seuls, la conductivité électrique, la conductivité thermique et le coefficient
d’émission nette vont être modifiés par la présence de ces vapeurs comme cela a pu être
montré par Abdelhakim [Ab].
Les nouveaux coefficients de transport ϕ sont calculés, pour la plupart, au prorata des
fractions molaires xi , à partir de lois que nous présentons maintenant.
ϕ = ϕ 1 x1 + ϕ 2 x 2
(Eq. II-5)
Cependant, pour la conductivité thermique [Bi], la viscosité [Bi], [Wi] et la densité [Bi],
les relations utilisées sont :
xiκ i
n
κ mix = ∑
i =1
n
∑ x j Φ ij
(Eq. II-6)
et Φ ij =
j =1
xi µ i
n
µ mix = ∑
i =1
∑x Φ
j =1
ρ mix =
(Eq. II-7)
n
j
M 
1 
1+ i 
8  M j 
−1
2
 
1 +  µ i
  µ j

ρi
+
2
Mj

 Mi



1
4




2
ij
1
Xi




1
(Eq. II-8)
Xj
ρj
Où X i et X j sont les fractions massiques des différents composés.
Le rayonnement du mélange ne se calcule pas avec les lois de Wilke mais avec une relation
issue de la thèse de Bauchire [Ba] :
- 63 -
ϕ = y1' ϕ 1 + y 2' ϕ 2
(Eq. II-9)
Avec :
y1' =
x1
x2
et y 2' =
= 1 − y1'
x1 + x 2
x1 + x 2
(Eq. II-10, II-11)
Nous avons utilisé ces relations car elles donnent de bons résultats, au niveau de la
viscosité et de la conductivité thermique, comparés au calcul direct pour un même
pourcentage [Au]. Pour ce qui est du coefficient d'émission nette et de la conductivité
électrique, nous avons comparé les résultats obtenus avec les lois de mélange et ceux calculés
directement par certains auteurs de la littérature [Cr], [Ad], [Li]: les deux types de résultats
ne diffèrent que de quelques pourcents.
Les Figures II-17 et II-18 montrent l’influence de différents pourcentages de vapeurs de
cuivre sur le coefficient d’émission nette pour un rayon de 5mm ainsi que sur la conductivité
électrique de l’argon. Ces deux grandeurs ont été calculées à partir des relations (équations II6 et II-9) présentées précédemment.
Figure II-17 : Influence des vapeurs de cuivre sur le coefficient d’émission nette de l’argon.
- 64 -
On peut constater que la conductivité électrique d’un mélange argon-cuivre est plus
importante que celle de l’argon pur, pour des températures inférieures à, approximativement,
16000K. Cela est dû au faible potentiel d’ionisation du cuivre qui conduit, pour une
température donnée, à une densité électronique plus importante et donc à une conductivité
électrique plus élevée. Pour des températures supérieures à 16000K, on peut remarquer une
inversion au niveau des courbes : la conductivité du mélange argon-cuivre diminue et devient
moins importante que celle de l’argon pur à cause de l’apparition de l'espèce ionique Cu + + .
Ces ions, doublement chargés, augmentent les interactions sur de plus longues distances ce
qui augmente alors les fréquences de collisions inélastiques et diminue donc la conductivité
électrique.
Figure II-18 : Influence des vapeurs de cuivre sur la conductivité électrique de l’argon.
Au niveau du coefficient d’émission nette, pour une valeur de la température fixée, la
présence de vapeurs augmente considérablement le rayonnement. Ce phénomène est
nettement marqué pour les faibles températures. Ceci est dû au faible potentiel d’ionisation du
cuivre par rapport à l’argon. A des températures plus élevées, le degré d’ionisation est
relativement peu dépendant du type de gaz ou de la présence de vapeurs ainsi le coefficient
d’émission nette n’est plus aussi affecté par la proportion de cuivre comme c’est le cas pour
des températures plus faibles.
Les propriétés de transport des vapeurs de fer, ont été extraites d’Adachi [Ad], des données
de Chervy [Ch-1] et d’Erraki [Er]. Pour les vapeurs de cuivre et d’aluminium, les coefficients
- 65 -
de transport ont été calculés et tabulés par Cressault [Cr]. Pour le matériau composite, nous
avons supposé que sa vaporisation ne pouvait produire que des vapeurs de carbone pur. Les
données relatives au carbone ont été calculées et tabulées par Swierczynski [Sw]. Pour
l’aluminium, la comparaison avec les valeurs obtenues par Dassayanake et Etemadi [Da]
montre un bon accord avec des différences inférieures à 10%.
Les coefficients de diffusion entre deux espèces ont été obtenus à partir de la formule
donnée par Wilke [Wi] et utilisée par Etemadi [Zh-1] ou Menart [Me] :
D=


2 2 1
+ 1

M
M
i
j 


ρ i2

 1.385 2 µ i2 M i





0.25
0.5

ρ 2j

+
 1.385 2 µ 2 M
j
j





0.25




2
(Eq. II-12)
M i , ρ i , µ i sont, respectivement, la masse molaire, la densité de masse et la viscosité de
l’espèce i .
IV) Autres propriétés utiles
Afin de tenir compte également, de l’évaporation de l’anode, il faut connaître la chaleur
latente d’évaporation du matériau considéré (en J .kg −1 ). La chaleur latente de fusion
représente la quantité d'énergie qu'il faut fournir à 1kg d'un matériau pour le faire passer de
l'état solide à l'état liquide tout en gardant sa température constante. Nous avons obtenu cette
grandeur à partir des travaux de Kaddani [Ka-1] pour le cuivre, de Yoshida [Yo] pour le fer et
du CRC Handbook of Chemistry and Physics (3rd Electronic Edition) [Ha-3] pour
l’aluminium. Pour le matériau composite, elle est issue du rapport interne à EADS [Ra-1] et
est supposée constante en fonction de la température. Les expressions des chaleurs latentes
pour les différents matériaux sont données ci-dessous :
LCu (T ) = 4.84589 × 10 6
8390 − T
8390 − 2868
(Eq. II-13)
LFe (T ) = 7.514 × 10 6 − 4.425 × 10 2 T + 1.514 × 10 −2 T 2
- 66 -
(Eq. II-14)
T 

L Al (T ) = 6.31953 × 10 1 −

 7151 
0.38
6
(Eq. II-15)
LTC1 (T ) = 5.10 7 J.kg −1
(Eq. II-16)
Nous avons aussi utilisé Pvap : la pression de vapeur saturante du matériau. Elle représente
la pression partielle d'un gaz lorsque celui-ci est en équilibre avec son liquide. Cette dernière a
été tirée du Handbook ([Ha-3], Eq. II-17 et II-19) pour le cuivre et l’aluminium, et de
Yoshida ([Yo], Eq. II-18) pour le fer :
[
]
1.12 × 10 4
log Pvap (T ) = −82.62 +
+ 3.1336 × 101 log(T ) − 8.9074 × 10 −3 T
T
(Eq. II-17)

4.33 × 10 4 

Pvap (T ) = exp13.8 −
T


(Eq. II-18)
[
]
log Pvap (T ) = 9.988 −
1.38 × 10 4
− 3.4595 × 10 −1 log(T ) + 1.1361 × 10 −11 T
T
(Eq. II-19)
Pour le matériau composite, étant donné le manque de données sur cette grandeur, nous
B

avons utilisé, une expression du type Pvap (T ) = exp A +  . Cette expression se base sur la
T

forme des expressions de la pression de vapeur saturante des autres composés et notamment
de celle du fer. Les coefficients A et B ont ensuite été déterminés à partir des points singuliers
de changement de phase :
-
à T=723K (T phase1 ), Pvap (T ) = 1 × 10 −8 .
(Eq. II-20)
-
à T=1173K (T phase 2 ), Pvap (T ) = 0.98 .
(Eq. II-21)
Les valeurs de la pression de vapeur saturante utilisées comme points singuliers de
changement de phase pour le matériau composite (Equations II-20 et II-21), proviennent des
valeurs que l'on obtiendrait dans le cas de matériaux conducteurs, si l'on remplaçait la
- 67 -
température par leur température de changement de phase dans leur expression de la pression
de vapeur saturante (Equations II-17, II-18 et II-19).
Ce qui nous donne A=29.54 et B=-34677K. On obtient alors la relation pour le composite
TC1 :
34677 

Pvap (T ) = exp 29.54 −

T 

(Eq. II-22)
Ces expressions de la pression de vapeur saturante et de la chaleur latente de fusion, seront
utiles, comme nous le verrons plus tard, pour déterminer le taux de vapeurs produites par le
bain liquide du matériau considéré grâce à l’équation de bilan au niveau de la surface de
l’anode.
V) Conclusion
Dans cette partie, nous nous sommes familiarisés avec les coefficients de transports des
phases gazeuses et condensées. Nous avons aussi introduit quelques grandeurs et propriétés
thermodynamiques que nous allons utiliser dans les chapitres suivants. Nous avons présenté et
définit les propriétés particulières du matériau composite TC1 ainsi que les approximations
que nous avons effectuées sur ce matériau dues aux manques de données sur les composites
dans la littérature. Nous avons pu constater que ce matériau est peu conducteur aussi bien
thermiquement qu'électriquement et notamment dans le sens transversal.
Ces données, tabulées, sont ensuite utilisées comme paramètres d'entrée dans les modèles
que nous allons développer dans les chapitres III, IV et V. Ils permettront la mise en place du
code de calcul décrivant l'interaction entre un arc électrique et un matériau en deux et trois
dimensions.
- 68 -
Chapitre III : Modélisation
en deux dimensions.
- 69 -
- 70 -
Chapitre III : Modélisation en deux dimensions
Dans ce chapitre, nous présentons la modélisation en deux dimensions (2D) de l'interaction
entre un arc électrique et une surface. Ce modèle ne sera appliqué, dans cette partie, que pour
les matériaux conducteurs que sont le cuivre, le fer et l'aluminium.
Le traitement du matériau composite se fera, de façon détaillée, dans le chapitre V. Dans
un premier temps, on explicitera le modèle mathématique, la géométrie ainsi que les
conditions aux limites utilisées. On appliquera ensuite ce modèle à des cas simples afin de
comparer, voire de valider, les résultats obtenus avec ceux de la littérature. Ensuite, nous
passerons à une étude paramétrique, plus générale, relative au modèle mis en place.
I) Modèle mathématique
Lorsqu’un arc transféré n’est soumis à aucune force extérieure (magnétique,
convective,…), il présente un axe de symétrie naturel et peut donc être modélisé en deux
dimensions axisymétriques (r, z).
Généralement, les équations utilisées pour décrire le comportement d’un plasma thermique
sont celles utilisées par la mécanique des fluides (équations de Navier-Stokes) auxquelles on
ajoute les équations de l’électromagnétisme (équations de conservation du courant et
résolution des potentiels vecteurs pour le calcul du champ magnétique azimutal). Dans notre
cas, l’arc est symétrique axialement et les équations de la magnétohydrodynamique peuvent
s’écrire en 2D cylindriques.
1°) Hypothèses
Afin de simplifier le problème, on va appliquer les hypothèses suivantes :
-
La colonne de plasma est supposée être en E.T.L. : malgré les pertes par
rayonnement, les processus collisionnels sont suffisamment nombreux pour assurer
seuls un équilibre thermique local des différentes espèces (électrons, ions, particules
neutres,…) et donc impliquer une seule température du milieu.
-
Le plasma est un fluide newtonien et son écoulement est considéré laminaire et
stationnaire.
-
Les effets de gravité sont négligés. En effet, pour des arcs de forte intensité
(supérieure à 30A pour un arc dans l'air) où l'effet Maecker (pompage magnétique au
- 71 -
niveau de la pointe de la cathode) est important, le terme de gravité ( ρg ) est très
faible devant celui de gradient de pression (
-
∂P
) et peut être donc omis [Lo].
∂z
On supposera que la surface de l’anode est indéformable spatialement et
temporellement.
-
On ne modélisera pas les effets au niveau du bain liquide (Effet Marangoni, pression
de l’arc, pression magnétique, traînée de viscosité,…).
-
On négligera, dans le bilan de flux au niveau de l’anode, le rayonnement du plasma
vers l’anode ainsi que de l’anode vers le plasma. Cette hypothèse sera étudiée et
vérifiée dans les paragraphes III-4 et III-5 de ce chapitre.
-
La gaine cathodique ne sera pas représentée.
2°) Equations utilisées
Les équations de conservation, en stationnaire, peuvent être écrites sous la forme
généralisée proposée par Patankar [Pa] :
(
)
r r
r
r
∇.(ρv Φ ) = ∇. ΓΦ ∇Φ + S Φ
(Eq. III-1)
r
Où ρ est la densité du fluide considéré, v est le vecteur vitesse, ΓΦ est le coefficient de
diffusion, S Φ le terme source et Φ représente les grandeurs scalaires qui doivent être
résolues dans les différentes équations de conservation. Ces trois dernières variables sont
données pour chacune des équations de conservation résolues dans le Tableau III-1 :
Equations de conservation
Φ
ΓΦ
SΦ
Masse
1
0
0
Moment axial
u
µ
−
∂P
∂  ∂u  1 ∂   ∂u ∂v 
µr  + 
+ 2 µ  +
∂z
∂z  ∂z  r ∂r   ∂r ∂z 
−
2 ∂   ∂u 1 ∂
(rv ) + j r .Bθ
µ +

3 ∂z   ∂z r ∂r

- 72 -
Moment radial
v
µ
−
∂P 2 ∂  ∂v  ∂   ∂v ∂u 
µ + 
+
 µr  +
∂r r ∂r  ∂r  ∂z   ∂z ∂r 
−
2 1 ∂   ∂u 1 ∂
(rv ) − µ 2v2 − j z .Bθ
µr  +

3 r ∂r   ∂z r ∂r
r

j r2 + j z2
5 k B  ∂T
∂T 
+ jr
 jz

σ
2 e  ∂z
∂r 
∂X 
κ 
∂ 
(hi − ha ) i 
+  ρD −
∂z 
∂z 
CP 
∂X 
1 ∂  
κ 
(hi − ha ) i 
+
r  ρD −
∂r 
r ∂r  
CP 
Energie
T
κ
Potentiel électrique
V
σ
0
Potentiel vecteur axial
Az
1
µ0 jz
Potentiel vecteur radial
Ar
1
µ 0 jr −
−U +
Ar
r2
Tableau III-1 : Equations de conservation mises sous la forme généralisée de Patankar.
Dans les équations du Tableau III-1, µ , κ , C P , et σ sont, respectivement, la viscosité, la
conductivité thermique, la chaleur spécifique massique et la conductivité électrique du gaz
considéré. D est le coefficient de diffusion de la vapeur métallique dans le gaz plasmagène.
hi et ha sont les enthalpies spécifiques de la vapeur métallique et du gaz plasmagène. Ce sont
des grandeurs qui dépendent de la température locale du gaz et de la nature du milieu. P
représente la pression du gaz, u et v sont les composantes axiales et radiales du vecteur
vitesse, V est le potentiel électrique. Le terme source de l’équation de l’énergie, S Φ , est
composé respectivement du chauffage par effet Joule, des pertes par rayonnement ( U ), du
flux enthalpique des électrons et des termes de diffusion enthalpique dus aux vapeurs
métalliques. Le terme de pertes radiatives de l’équation de l’énergie se mettra sous la forme
4πε N où ε N est le coefficient d’émission nette pris, dans notre cas, pour un rayon de 5mm.
X i représente la fraction massique du matériau évaporé dans le plasma. j z et j r sont les
densités de courant axiale et radiale, Ar et Az sont les composantes radiale et axiale du
- 73 -
potentiel vecteur qui permettent le calcul de la composante azimutale du champ magnétique
Bθ .
r
Afin de fermer le système d’équations, on rajoute, le calcul du champ magnétique B :
r r r
B = ∇× A
soit dans notre cas axisymétrique:
Bθ =
∂Ar ∂Az
−
∂z
∂r
(Eq. III-2)
ainsi que le calcul des composantes de la densité de courant :
j z = −σ
∂V
∂z
et
j r = −σ
∂V
∂r
(Eq. III-3)
Il est à préciser que pour le calcul du champ magnétique, nous avons utilisé deux
méthodes : la première utilise la résolution des potentiels vecteurs tandis que la seconde passe
par la loi d’Ampère. Cette dernière méthode permet de remonter au champ magnétique
azimutal directement à partir de la relation :
Bθ =
µ0
r
R
∫j
z
(Eq. III-4)
(r )rdr
0
Ces deux méthodes donnent des résultats relativement identiques en terme de champ de
température, ce qui n'est pas le cas au niveau des valeurs des vitesses : la loi d’ampère donne
des valeurs de vitesses plus importantes que la formulation par les potentiels vecteurs. Ce
point sera discuté plus en détail dans le paragraphe II-1 de ce chapitre.
3°) Modélisation de l’anode
Les équations résolues dans le matériau d’anode sont les équations de conservation de
l’énergie et du courant :
1 ∂  ∂T  ∂  ∂T  j r2 + j z2
=0
 rκ
 + κ
+
∂r  ∂z  ∂z 
r ∂r 
σ
(Eq. III-5)
- 74 -
1 ∂ 
∂V  ∂  ∂V 
=0
 rσ
 + σ
r ∂r 
∂r  ∂z  ∂z 
(Eq. III-6)
Dans la plupart des articles scientifiques issus de la littérature [Am], [Me], [Zh-1], [Fr],
[Hs], [Sc-1], [Ko], la résolution de l'équation de l'énergie n'est effectuée que dans le plasma.
L'anode se présente donc comme une simple surface en limite de domaine sur laquelle un
profil de température [Me], [Zh-1], [Hs], [Sc-1], une condition de flux nul [Fr], [Bl] ou bien
un bilan de flux [Am] sont imposés.
Une des particularités de l'approche présentée, réside dans la prise en compte du matériau
d'anode dans le domaine de résolution. Ainsi l'équation de l'énergie est aussi résolue (Eq. III5) dans l'électrode. Nous pouvons voir que l'effet Joule est ajouté comme terme source. Il est
à noter que le terme en effet Joule a très peu d'influence dans les matériaux conducteurs mais
va avoir un rôle prépondérant dans les matériaux composites. Nous discuterons de ce point
dans le paragraphe III-7 de ce chapitre. Pour prendre en compte cet effet, nous devons donc
assurer la continuité du courant entre les deux milieux : plasma et anode qui présentent des
conductivités électriques qui diffèrent de plusieurs ordres de grandeur. Ainsi, dans notre
modèle, l'accrochage de l'arc sur l'anode est libre et n'est déterminé que par la tâche de
passage du courant qui est fonction des caractéristiques du matériau. Cette approche est
essentielle pour l'étude de nos développements en trois dimensions (3D) avec l'application de
forces magnétiques ou d’un soufflage latéral qui vont perturber la symétrie naturelle de
l'écoulement et de l'arc.
Pour permettre la modélisation de l'ensemble plasma-anode, il est nécessaire de modéliser
la couche qui correspond à la zone de transition entre la colonne de l'arc et le matériau.
a) La couche de transition "plasma-matériau".
Physiquement, il existe une fine couche (d'épaisseur λ ≈ 10 −4 m ) séparant l’anode et la
colonne de plasma, à l’intérieur de laquelle les gradients sont très importants. Cette couche,
composée de la gaine ( λ ≈ λ D ≈ 10 −7 - 10 -9 m ), de la pré-gaine ( λ ≈ λe ≈ 10 −6 - 10 -7 m ) et de
la zone frontière ( λ ≈ 10 −4 m ), n’est pas en E.T.L. [Ta] : la température des particules lourdes
est proche de celle du matériau d’anode (typiquement de l’ordre de 2000-3000K) tandis que
- 75 -
celle des électrons est bien plus élevée afin de maintenir un chemin conducteur entre plasma
et anode. λ D représente la longueur de Debye et λe le libre parcours moyen des électrons.
L'existence de cette couche discutée dans la littérature [Wu-2], [Di], [Ka-1], [Tr], [Me],
[Go-4] permet d’assurer la conservation du courant entre le plasma et le matériau. Les deux
premiers auteurs, Wu [Wu-2] et Dinulescu [Di], utilisent une modélisation complète et
complexe de la gaine anodique mais ne modélisent ni l'arc, ni le matériau. Kaddani [Ka-1] et
Trenty [Tr], quant à eux, utilisent un modèle de gaine relativement simplifié mais modélisent
l'ensemble de l'arc et de l'anode. Gonzalez [Go-4] et Menart [Me], utilisent une solution plus
simple qui consiste à ne pas modéliser cette couche d'une façon particulière mais d'utiliser sur
cette épaisseur, non pas la conductivité électrique du plasma, mais celle du matériau. Ces
diverses méthodes donnant des résultats, en terme de flux anodiques, relativement similaires,
nous avons choisi d'utiliser la méthode proposée par les deux derniers auteurs [Me], [Go-4]
car elle est plus simple à mettre en place et moins coûteuse en temps de calcul. Elle a aussi
l'avantage d'être facilement transposable en 3D. Elle est décrite, plus en détails, dans le
paragraphe suivant.
Pour simplifier la modélisation de cette couche, les gradients radiaux sont négligés par
rapport aux gradients le long de l’axe (c’est une hypothèse admise et utilisée par de nombreux
auteurs comme Kaddani [Ka-1] ou Trenty [Tr]). La zone anodique est considérée comme
étant un conducteur ohmique qui fait la transition entre la colonne de plasma et l’électrode.
Pour cela, sur la dernière couche de cellules du plasma dont l'épaisseur est adaptée à 10-4m
dans notre code de calcul, nous allons utiliser comme coefficients de transport, la conductivité
électrique du matériau mais laisser la viscosité, la conductivité thermique ainsi que la chaleur
spécifique relative au gaz plasmagène.
b) Condition sur la surface de l’anode.
Pour maintenir la conservation des valeurs (courant électrique et énergie), entre plasma
(indice pla) et électrode (indice mat), on impose à l’interface la conservation du flux de
potentiel (ce qui équivaut à la conservation de la densité de courant) ainsi que celui de la
température. Pour cela, on utilise les relations données par :
- 76 -
  ∂T 
  ∂T 
5 kB

− κ  ∂z  = − κ  ∂z  + j z  2 e (Tmat − T pla ) + Va + Φ a  − Lmat Φ v
 pla
 mat  


 
S
+ ∫ rad2 cos(Ψ )dV j − εσ SB T 4
V j 4πri , j
  ∂V 
  ∂V
− σ  ∂z  = − σ  ∂z
 mat  
 


 pla
(Eq. III-7)
(Eq. III-8)
où, Va , Φ a et Lmat sont respectivement, la chute de tension anodique (en V ), le travail de
sortie effectif (en V ) et la chaleur latente d’évaporation du matériau (en J.kg −1 ). S rad
représente le terme de pertes radiatives qui, dans notre cas, sera calculé à partir du coefficient
d’émission nette. ri, j est la distance entre l'élément de surface de l'anode ( S i ) et l'élément de
volume du plasma ( V j ). Ψ représente l'angle effectué entre ces deux éléments et la normale à
l'élément de surface S i . ε est l'émissivité de la surface et σ SB est la constante de StefanBoltzmann ( σ SB = 5.67 × 10 −8 W.m -2 .K −4 ). Le terme Φ v est proportionnel à un flux de masse
de vapeur métallique et est donné par la relation :
Φv =
1
(ρD )a  ∂X i 
1 − ( X i )a
 ∂z  a
(Eq. III-9)
L'indice "a" signifie que les grandeurs que l'on va utiliser se situent à la surface du
matériau d'anode.
Explicitons plus en détail chaque terme de l'Equation III-7. Le terme de gauche représente
le terme de perte par conduction dans le matériau. A droite de l'équation, le premier terme est
l'apport du flux par conduction provenant du plasma sur la surface du matériau. Le deuxième
terme, quant à lui, peut être découpé en trois parties. La première représente le flux
enthalpique des électrons : c'est l'apport d'énergie des électrons au niveau de l'anode dû à leur
gain d'énergie cinétique dans la colonne de plasma. Le deuxième, j zV A , est l'énergie
potentielle gagnée par les électrons en traversant la gaine anodique. Et enfin, le dernier,
j z Φ A , est l'énergie restituée par l'électron lors de son intégration dans le matériau. En effet,
pour extraire un électron d'un matériau, c'est-à-dire, pour le faire passer du niveau de Fermi au
niveau du vide, il faut lui appliquer une certaine énergie : c'est le travail de sortie. Cette
- 77 -
énergie sera restituée au matériau lorsqu'un électron viendra s'y intégrer. Enfin, le dernier
terme de cette équation représente le flux évaporé et tient compte de la chaleur latente de
fusion du matériau ainsi que de sa pression de vapeur saturante comme on va le voir un peu
plus loin dans ce paragraphe. Les deux derniers termes représentent, respectivement, le flux
rayonné par le plasma et apporté à l'anode et le flux rayonné par le matériau. Kaddani [Ka-1]
et Trenty [Tr] n'ont pas pris en compte, dans leur calcul, les deux derniers termes de
l'équation III-7. Nous discuterons de ces deux termes et de leur influence sur le flux total, de
façon plus détaillée, dans le paragraphe III.
La chute de potentiel dans la gaine anodique est supposée constante et vaut 3.5V. Cette
valeur est généralement acceptée dans la littérature pour ce genre de configuration [Gl], [Ka1], [Sa], [Tr].
Pour tenir compte de la présence des vapeurs dans le milieu plasmagène, il est nécessaire
de résoudre une équation supplémentaire qui est celle de la conservation de la fraction
massique. Conformément à l'Equation III-1, elle va s’écrire :
Φ
ΓΦ
SΦ
Fraction massique
Xi
ρD
0
Tableau III-2 : Equation de la conservation de la fraction massique mise sous la forme
généralisée de Patankar.
Où X i est la fraction massique du matériau dans le plasma et D, le coefficient de diffusion
de la vapeur métallique dans le gaz.
A la surface du matériau, la fraction massique va être calculée à partir de la relation donnée
dans la littérature [Gl], [Go-2], [Go-3], [Me] :
(X i ) =
Pv M mat
Pv M mat + (1 − Pv ) M pla
(Eq. III-10)
Où M mat et M pla sont les masses molaires respectivement des composés du matériau et du
plasma et Pv est la pression de vapeur saturante du matériau.
- 78 -
4°) Domaine de calcul et conditions aux limites
Comme nous l’avons indiqué dans l’introduction, une des premières étapes de nos
développements consiste à valider notre modèle. Pour cela, nous utilisons une géométrie d’arc
libre, classiquement utilisée dans la littérature, et dont les dimensions sont données sur la
Figure III-1.
Figure III-1 : Géométrie étudiée
Afin de modéliser la configuration d’arc libre en deux dimensions représentée par la Figure
III-1, nous avons utilisé un domaine de 15 × 18mm (r, z). La droite (BD) représente un axe de
symétrie. Il comprend une cathode en tungstène de 60o d’angle au sommet et d’une longueur
de 3mm. L’anode étudiée est d’une épaisseur de 5mm et d’un rayon de 15mm. La distance
inter-électrode est, typiquement, de quelques millimètres. Les matériaux d’anode étudiés sont
le cuivre, le fer et l’aluminium. Suivant le cas étudié, l’intensité pourra varier entre 100A et
800A. La pression du milieu est la pression atmosphérique.
Afin de modéliser cette configuration d’arc libre, nous avons utilisé une grille de 40 × 32
cellules de 18mm de hauteur et 15mm de largeur représentée par la Figure III-2. Nous avons
employé un maillage exponentiel qui a été affiné dans la "zone d'arc" ainsi qu’à l’interface
plasma-anode.
- 79 -
Figure III-2 : Maillage de 40 × 32 cellules utilisé pour notre code de calcul 2D.
La cathode n'a pas été modélisée. Les conditions aux limites utilisées sont reportées dans le
Tableau III-3. Comme conditions aux limites en potentiel au niveau de la pointe de la cathode
(BG) nous avons pris la distribution de densité de courant utilisée par bon nombre d’auteurs :
Gonzalez [Go-2], [Go-3], Hsu [Hs]. Elle s'exprime sous la forme de l'Equation III-11 :
j z (r ) = J max exp(− br )
(Eq. III-11)
J max et b sont des constantes. J max , la densité de courant maximale sur l'axe, est
communément prise à 1.4 × 10 8 A.m −2 pour une cathode en tungstène, dans de l'argon, et b
est calculée à partir de la relation :
I = 2π
RC
∫ j (r )rdr
(Eq. III-12)
z
0
RC est le rayon de conduction de l’arc. Il est pris égal à 3mm pour le calcul de b . Ce
choix de RC ne modifie pas significativement la solution finale de b du fait de la
décroissance exponentielle du profil de densité de courant.
- 80 -
BD
DE
EF
CF
FH
AH
AB
BG
u
∂u
=0
∂r
u = 0m.s −1
u = 0m.s −1
u = 0m.s −1
u = 0m.s −1
∂ρu
=0
∂z
u = 0m.s −1
v
v = 0m.s −1
v = 0m.s −1
v = 0m.s −1
v = 0m.s −1
∂ρv
=0
∂r
v = 0m.s −1
v = 0m.s −1
T
∂T
=0
∂r
T = 1000 K
T = 1000 K
Eq. III-7
T = 1000 K
T = 1000 K
T = 3500 K
V
∂V
=0
∂r
V = 0V
V = 0V
Eq. III-8
∂V
=0
∂r
∂V
=0
∂z
∂V
r =0
∂n
Ar
∂Ar
=0
∂r
∂Ar
=0
∂z
∂Ar
=0
∂r
∂Ar
=0
∂z
∂Ar
=0
∂r
∂Ar
=0
∂z
∂Ar
r =0
∂n
Az
∂Az
=0
∂r
∂Az
=0
∂z
∂Az
=0
∂r
∂Az
=0
∂z
∂Az
=0
∂r
∂Az
=0
∂z
∂Az
r =0
∂n
Xi
∂X i
=0
∂r
Xi =1
Xi =1
Eq. III-10
∂X i
=0
∂r
∂X i
=0
∂z
Xi = 0
Eq. III-11
Tableau III-3 : Conditions aux limites typiques pour un arc libre.
Nous utilisons aussi des conditions aux limites en température sur les bords (DE) et (FE)
qui correspondent à des températures de refroidissement de l’anode et qui nous permettrons
de contrôler la présence de vapeurs dans le plasma. Nous pourrions aussi utiliser une
condition de Newton :
 ∂T 
− κ
= h[T ( z = z o ) − T∞ ]

 ∂z  z = z0
(Eq. III-13)
Cette relation représente mieux l'échange d'énergie au niveau de la paroi mais est très peu
utilisée dans la littérature car elle nécessite pour sa mise en place la connaissance de
grandeurs expérimentales. La plupart des auteurs ne possédant pas de moyens de mesures par
thermocouples au sein du matériau ou de systèmes calorimétriques, la condition en
température imposée est préférée. Afin de comparer les résultats obtenus avec ceux des autres
- 81 -
auteurs de la littérature, nous adopterons pour nos développements une température fixe,
comme condition aux limites, afin de se placer dans la même configuration.
Le temps de calcul pour amener un cas en deux dimensions à convergence est de l'ordre de
quatre heures avec un Pentium IV 1.5GHz avec 512Mo de mémoire vive.
5°) Méthode numérique
Pour résoudre le système d’équations, nous utilisons le code commercial en volumes finis
FLUENT version 4.5 qui est basé sur l’algorithme SIMPLE, décrit en détails par Patankar
[Pa].
a) Quelques rappels sur "la méthode de Patankar" – Diffusion pure
A partir de l'Equation III-1, les équations de conservation en stationnaire, lorsque les effets
de convection sont négligeables, peuvent s'écrire sous la forme généralisée suivante :
(
)
r
r
∇. ΓΦ ∇Φ + S Φ = 0
(Eq. III-14)
Figure III-3 : Schéma d'un volume de contrôle défini par la méthode des volumes finis.
La méthode de Patankar permet alors de résoudre des équations du type de l'Equation III14 par une discrétisation sur un domaine bien déterminé. Pour cela, on intègre les équations
sur chaque volume de contrôle défini par le maillage et représenté par la zone hachurée sur la
Figure III-3. Pour une équation à une dimension, on obtient :
- 82 -
d  dΦ 
dΦ 

∫ dx  Γ dx dV + ∫ SdV =  ΓA dx 
∆V
∆V
e
dΦ 

−  ΓA
 + S ∆V = 0
dx  w

(Eq. III-15)
Où S est la valeur moyenne du terme source S sur le volume de contrôle. A est l'aire de la
face normale au volume de contrôle représentée en gris sur la Figure III-3. Les termes
diffusifs sont évalués à partir des relations :
 Φ − ΦP
dΦ 

 ΓA
 = Γe Ae  E
dx  e

 ∆x e



 Φ − ΦW
dΦ 

 ΓA
 = Γw Aw  P
dx  w

 ∆x w
(Eq. III-16)



(Eq. III-17)
On discrétise enfin les équations obtenues pour les mettre sous la forme :
a P Φ P = a E Φ E + aW Φ W + b
(Eq. III-18)
On remarque que le point central P, où est calculée la grandeur Φ P à déterminer, est
fonction des points environnants W (west), E (east). La méthode des volumes finis stipule,
dans les règles de base à satisfaire, que les coefficients a N doivent être positifs pour avoir une
bonne stabilité.
Dans l'Equation III-18, la variable b est déterminée par la relation :
b = S ∆V
(Eq. III-19)
Ce terme source S est, dans beaucoup de cas, fonction de la variable Φ P que l'on cherche à
obtenir. Dans de telles situations, la méthode des volumes finis préconise d'approximer le
terme source par une forme linéaire :
b = SU + S P Φ P
(Eq. III-20)
- 83 -
SU est la partie constante du terme source. S P est le coefficient dépendant de la variable
Φ P et doit être négatif.
La méthode de Patankar revient ainsi à résoudre un système linéaire d'équations plutôt
qu’un système différentiel. La résolution de ce système d'équations linéaires permet de
déterminer les coefficients Φ N et s'effectue à partir d'une méthode itérative : le TDMA (TriDiagonal Matrix Algorithm) [Pa].
b) Schémas numériques pour les problèmes de convection-diffusion
Dans les cas où les écoulements jouent un rôle significatif, on doit tenir compte des effets
de convection et les équations de conservation en stationnaire s'écrivent sous la forme
généralisée (Equation III-1) :
(
)
r r
r
r
∇.( ρv Φ ) = ∇. ΓΦ ∇Φ + S Φ
Lorsqu'on intègre et que l'on discrétise les équations à une dimension, la relation suivante
est obtenue :
(ρvAΦ )e − (ρvAΦ )w =  ΓA ∂Φ 

 ∂Φ 
−  ΓA
 + S ∆V
∂x  e 
∂x  w
(Eq. III-21)
Comme dans le paragraphe précédent, S représente la valeur moyenne du terme source S
sur le volume de contrôle et A est l'aire de la face normale au volume de contrôle représentée
sur la Figure III-3.
Si on pose F = ρv et D =
Γ
on obtient alors :
∆x
Fe Φ e − Fw Φ w = De (Φ E − Φ P ) − Dw (Φ P − Φ W )
(Eq. III-22)
Dans cette relation, on peut se rendre compte qu'il est aussi nécessaire de calculer les
variables Φ sur les faces e et w . Pour ces calculs, de nombreux schémas numériques ont été
mis au point. Nous allons présenter les plus connus et les plus utilisés dans le domaine de la
mécanique des fluides et des plasmas thermiques :
- 84 -
-
Le schéma des différences centrées : ce schéma se base sur l'interpolation linéaire
pour calculer les valeurs des variables Φ sur les faces e et w . On obtient alors pour
un maillage uniforme :
Φe =
1
(Φ P + Φ E )
2
(Eq. III-23)
Φw =
1
(Φ W + Φ P )
2
(Eq. III-24)
Ce schéma est simple d'utilisation et de programmation mais ne tient pas compte
dans sa formulation de la direction privilégiée du flux.
-
Le schéma upwind : ce schéma tient compte de la direction de l'écoulement et calcule
les valeurs aux faces à partir de la valeur au point amont. Le terme amont ne désigne
pas forcément l'amont au sens géométrique du terme mais amont par rapport à la
direction de l'écoulement.
Figure III-4 : Schéma de principe du schéma convectif upwind.
On obtient les relations :
Si u w > 0 et u e > 0 ( Fw > 0 et Fe > 0 ) alors :
Φ w = ΦW
(Eq. III-25)
Φe = Φ P
(Eq. III-26)
Si u w < 0 et u e < 0 ( Fw < 0 et Fe < 0 ) alors :
Φw = ΦP
(Eq. III-27)
Φe = Φ E
(Eq. III-28)
- 85 -
Ce schéma est simple à programmer et tient compte de la direction du flux. Par
contre, en 2D ou 3D, lorsque l'écoulement, n'est pas parfaitement parallèle au sens du
maillage, il peut produire des résultats erronés par l'apparition de diffusion dont
l'origine est purement numérique.
-
Le schéma power-law : Ce schéma de discrétisation mis en place par Patankar [Pa]
calcule la valeur de la variable Φ en utilisant la solution exacte de l'équation de
convection-diffusion à une dimension. On obtient comme relation pour la variable
Φ:
x

exp Pe  − 1
Φ(x ) − Φ 0
 L
=
Φ L − Φ0
exp(Pe ) − 1
(Eq. III-29)
Avec Φ 0 = Φ ( x = 0) , Φ L = Φ ( x = L ) et Pe =
-
F
(nombre de Péclet).
D
Le schéma QUICK : Ce schéma, contrairement aux précédents, est un schéma du
second ordre. Cela signifie que les valeurs de la variable Φ aux faces e et w sont
calculées, non seulement à partir des variables les entourant, mais aussi des variables
encore adjacentes. Il emploie une interpolation quadratique entre les deux voisins
amont et un voisin aval afin d'estimer la variable Φ (Figure III-5). De plus, il tient
compte de la direction du flux.
Figure III-5 : Schéma de principe du schéma convectif QUICK.
- 86 -
Les valeurs de la variable Φ aux faces e et w s'écrivent :
Si u w > 0 et u e > 0 ( Fw > 0 et Fe > 0 ) alors :
Φw =
6
3
1
Φ W + Φ P − Φ WW
8
8
8
(Eq. III-30)
Φe =
6
3
1
Φ P + Φ E − ΦW
8
8
8
(Eq. III-31)
Si u w < 0 et u e < 0 ( Fw < 0 et Fe < 0 ) alors :
Φw =
6
3
1
Φ P + ΦW − Φ E
8
8
8
(Eq. III-32)
Φe =
6
3
1
Φ E + Φ P − Φ EE
8
8
8
(Eq. III-33)
Ce schéma est d'une plus grande précision que les précédents notamment pour la capture
des ondes de choc mais reste néanmoins très instable [Ve], [Fr].
c) Algorithmes de résolution pour le couplage pression-vitesses
Dans la méthode présentée, les vitesses, la densité de masse, la température sont résolues à
partir des équations de conservation. La pression, elle, n'est pas calculée directement à partir
d'une équation de conservation mais c'est une correction de pression qui est résolue à partir
d'une équation déduite de l'équation de conservation de la masse.
Figure III-6 : Décalage des mailles pour le calcul des vitesses.
- 87 -
De plus, les composantes des vecteurs vitesses au niveau des termes convectifs de
l'équation généralisée devront être calculées pour les faces e et w (Equation III-22). Par
contre, les autres variables seront directement calculées au niveau des centres des volumes de
contrôle. Pour remédier à ce problème, un maillage décalé est utilisé. L'idée est de calculer les
variables telles que la densité de masse, la température et la pression au centre des volumes de
contrôle et de calculer les vitesses en leur face. La pression et les vitesses ne se calculent pas
sur le même maillage pour éviter des effets d'oscillation numérique de la pression. La Figure
III-6 permet de visualiser le principe du maillage décalé en 2D.
Comme nous l'avons dit précédemment, la pression n'est pas résolue directement à partir
d'une équation de conservation. L'algorithme SIMPLE, introduit par Patankar, permet de
résoudre la pression à partir d'un champ de pression estimé et d'une équation de correction de
pression. Cet algorithme peut se résumer ainsi :
1 – On estime le champ de pression P*.
2 – On résout les équations de conservation des moments pour obtenir les champs de
vitesse v*.
3 – On résout l'équation de correction de pression déduite de l'équation de conservation de
la masse qui nous donne P'.
4 – On corrige la pression recherchée en ajoutant P' à P*. Ce qui nous donne P=P*+P'.
5 – On calcule ensuite les valeurs de v à partir des équations de correction des vitesses et
des v* estimées en (2).
6 – On calcule toutes les autres variables du problème (température, potentiel, fraction
massique de la vapeur métallique,…).
7 – On prend la pression corrigée comme nouvelle valeur de pression et on revient ensuite
à l'étape 2.
Par itérations successives, l'algorithme SIMPLE permet de remonter à la solution exacte.
d) Schéma à l'interface plasma-matériau
Comme nous l'avons mentionné, une des originalités de ce travail est relative à la prise en
compte du matériau dans le domaine de calcul. Cela suppose donc d'être capable d'assurer la
continuité du courant entre les deux sous domaines : plasma et matériau. Entre ces deux
domaines, le maillage est affiné afin de mieux prendre en compte les forts gradients. Le calcul
- 88 -
des dérivées est alors pondéré par une grandeur FX (L ) qui est un facteur d'interpolation
permettant de tenir compte d'un maillage non-uniforme (Figure III-7) :
FX (L ) =
∆x M
(si le pas est constant FX (L ) = 0.5 )
∆x M + ∆x P
(Eq. III-34)
Figure III-7 : Distances associées au noeud L.
Au niveau de l'interface plasma-matériau vient se rajouter au maillage non régulier une
difficulté supplémentaire liée à la différence des propriétés des deux milieux : les
températures du plasma à la surface de l'anode sont de l'ordre de 6000K avec
σ pla ≈ 1000 S.m −1 et celles du matériau de l'ordre de 2000K à 3000K environ, avec
σ mat ≈ 1.10 6 − 1.10 7 S.m −1 . D'un point de vue numérique, il est alors difficile de par la
différence des ordres de grandeur sur la conductivité électrique d'assurer la conservation du
courant.
Nous avons donc développé, pour cette grandeur, une interpolation pondérée par les
conductivités électriques et les épaisseurs de maille. Soit :
AX (L ) =
∆x M σ ( L M )
∆x M σ ( L M ) + ∆x P σ ( L )
(Eq. III-35)
En fonction des FX (L ) , on obtient :


σ (L )  1

AX (L ) = 1 +
− 1
 σ (LM )  FX (L ) 
−1
(Eq. III-36)
- 89 -
On remplace ensuite, dans la numérisation du gradient du potentiel, l’interpolation en
FX (L ) par celle en AX (L ) .
Nous allons présenter, dans le paragraphe suivant, les résultats théoriques obtenus pour la
configuration d'arc libre ainsi qu'une comparaison avec des résultats expérimentaux issus de
la littérature.
II) Résultats et discussions
Les résultats suivants ont été obtenus à partir d’une configuration d’arc libre dans de
l’argon en présence d’anodes en cuivre, en fer ou en aluminium suivant la théorie et les
hypothèses énoncées précédemment. Comme nous l’avons déjà mentionné, un tel dispositif a
été utilisé car il est légitime pour étudier la phase continue de l’onde de courant de la
réglementation internationale. Cette configuration étant par ailleurs très souvent étudiée dans
la littérature, elle nous permettra de valider certaines grandeurs comme le champ de
température et de voir l’influence de paramètres comme les flux et les densités de courant à
l’anode.
1°) Etude expérimentale de Hsu [Hs]
Une des premières étapes de validation a consisté à comparer les résultats trouvés par notre
modèle à ceux théoriques et expérimentaux obtenus par Hsu [Hs], pour un arc dans l’argon à
200A. Les champs de température du plasma obtenus par notre code (à droite) par la
formulation des potentiels vecteurs et ceux obtenus par Hsu (à gauche) sont présentés sur la
Figure III-8.
Dans notre cas, le matériau d’anode utilisé est le cuivre tandis que dans l’étude de Hsu
[Hs], ce point n’est pas précisé. On obtient, toutefois, une bonne concordance entre les deux
ensembles de résultats.
Cette comparaison avec les résultats expérimentaux de Hsu [Hs] a été faite dans un plasma
d’argon non ensemencé en vapeurs métalliques. On a toutefois pu vérifier que quelle que soit
la nature de l’anode utilisée, on ne remarquait pas ou peu de différences au niveau des champs
de température dans le plasma. Les différences apparaissent, de façon minime au niveau de
l’interface avec l’anode car la conductivité électrique du matériau influence la tâche
d’accrochage.
- 90 -
Figure III-8 : Isothermes d’un plasma d’argon (I=200A). Résultats expérimentaux de Hsu
(à gauche) et de notre modèle avec anode en cuivre (à droite).
La zone la plus chaude du plasma est située près de la cathode et atteint une température
maximale de 21000K dans les deux cas. Radialement, la zone chaude matérialisée par la
dernière isotherme 11000K est identique pour la configuration théorique et celle
expérimentale. Le plus gros écart est relevé pour l'isotherme 15000K qui expérimentalement
s'étend plus le long de l'axe. On peut toutefois relever que cette courbe expérimentale ne
comporte pas de barres d'erreurs (car non fournies par l'auteur) et que la différence reste
minime, de l'ordre de quelques centaines de kelvins.
La Figure III-9 représente l’évolution de la vitesse axiale de la colonne de plasma suivant
l’axe. Nos résultats sont comparés avec ceux théoriques de Hsu [Hs].
Comme nous l’avons expliqué précédemment, nous avons utilisé deux méthodes pour
calculer le champ magnétique Bθ : le formalisme des potentiels vecteurs ou la loi d’Ampère.
Les travaux de la littérature utilisent indifféremment l'une ou l'autre des formulations sans
justifications majeures mis à part le gain en temps. Nous avons donc testé ces deux méthodes.
Nous obtenons, à partir de ces formulations, des valeurs de vitesses sur l’axe différentes. Ces
courbes sont représentées sur la Figure III-9 et sont comparées aux résultats obtenus par le
modèle de Hsu [Hs].
- 91 -
Figure III-9 : Vitesses axiales au centre de la colonne d’un plasma d’argon (I=200A).
Une première constatation est que le calcul de la vitesse par la méthode des potentiels
vecteurs donne des valeurs inférieures à celles obtenues par Hsu [Hs] alors que le calcul de la
vitesse par la loi d’Ampère donne des valeurs supérieures. Les données que Hsu [Hs] obtient
sont extraites de son modèle et ne sont comparées avec aucunes autres valeurs
expérimentales. Toujours pour la même configuration, d’autres auteurs comme Wu [Wu-1],
Menart [Me] ou Gonzalès [Go-5] trouvent des profils de vitesse très proches dans leur forme
mais avec des valeurs de vitesses maximales très différentes : respectivement 235, 360 et 190
m.s-1. Il est utile de préciser que les premiers codes de calcul tel celui que Hsu [Hs] a mis en
place, utilisaient des contrôles de volume rectangulaires indéformables : les pointes de
cathode se présentaient alors en forme d’escalier. Actuellement, les codes intègrent des
volumes de contrôle déformables, ce qui permet de créer des bords de cathodes lisses avec de
réels angles au sommet. Goodarzi [Go-6] a montré dans son article que l’angle au sommet de
la cathode influençait considérablement la position et la valeur du maximum de la vitesse du
plasma sur l’axe. Les valeurs de la vitesse, données par Hsu [Hs], du fait de leur incertitude,
ne sont utilisées qu’à titre de comparaison et non de validation.
La Figure III-10 montre l’influence du type de calcul utilisé pour la résolution du champ
magnétique sur les champs de température d’un plasma d’argon à 200A. On peut remarquer
que le choix des potentiels vecteurs ou de la loi d’Ampère n’a d’effet qu’au voisinage de
l'anode et peu au voisinage de la cathode.
- 92 -
Figure III-10 : Isothermes de la colonne d’un plasma d’argon (I=200A) fonctions du
calcul de la vitesse par les potentiels vecteurs (pointillés) ou par la loi d’Ampère (trait
plein).
Ramirez [Ra-2] a lui aussi comparé les deux méthodes et a aussi trouvé des disparités au
niveau des vitesses. Il explique que l'approche par les potentiels vecteurs est plus légitime que
celle de la loi d'Ampère de par la présence d'une singularité sur l'axe dans cette dernière
formulation.
Ainsi, la validation en température (Figure III-8) ayant été effectuée en utilisant la
formulation des potentiels vecteurs, et devant la disparité des champs de vitesse donnés par
différents auteurs de la littérature, nous appliquons pour la suite de cette étude
systématiquement le calcul du champ magnétique via l’utilisation des potentiels vecteurs.
Cette méthode sera utilisée en 2D et 3D.
2°) Etude expérimentale de Schmidt et Speckhofer [Sc-1]
Le modèle de Hsu [Hs] ne permet pas d’aller plus loin dans la validation de notre code.
Nous l’avons utilisé car il sert souvent de cas test dans la littérature. Nous allons à présent
adapter notre code à d’autres configurations de la littérature pour lesquelles il est possible
d’obtenir d’autres grandeurs comme les densités de courant et les flux déposés par le plasma à
la surface de l'anode.
- 93 -
La configuration utilisée par Schmidt [Sc-1] comprend un plasma d’argon de 100A pour
une distance inter-électrode de 3mm, une cathode d’angle au sommet de 60°, de diamètre
5mm et une anode en cuivre de 40mm de diamètre. Les champs de température obtenus sont
représentés sur la Figure III-11. Les résultats de notre code sont représentés par les courbes
noires continues, celles de Schmidt [Sc-1] sont en pointillées. On remarque une bonne
concordance entre nos données et celles trouvées par les auteurs. En effet, les isothermes étant
représentées tous les 1000K, on peut s’apercevoir que des barres d’erreur de 500K
permettraient amplement une superposition des isocontours. Cette valeur de 500K correspond
tout à fait à la barre d’erreur minimale qu’il existerait dans les mesures expérimentales.
Cette configuration et ces résultats ne sont pas originaux, mais ils amènent un plus : ce sont
des résultats expérimentaux qui sont plus récents que ceux de Hsu [Hs] et qui permettront
ultérieurement une confrontation avec le code en configuration 3D car ces auteurs ont aussi
réalisé des résultats expérimentaux sur une configuration disymétrique que nous étudierons
dans le chapitre suivant.
Figure III-11 : Isothermes d’un plasma d’argon (I=100A). Résultats expérimentaux de
Schmidt (en blanc) et de notre modèle avec anode en cuivre (en noir).
3°) Etude expérimentale de Nestor [Ne]
Les résultats présentés dans les paragraphes précédents ont montré que les valeurs des
températures seules ne pouvaient permettre de vérifier la validité de nos développements.
Nous avons donc changé une nouvelle fois de configuration pour pouvoir comparer nos
résultats sur des grandeurs telles que les flux d’énergie ou sur des estimations de profil de
densités de courant. Pour cela, nous avons modifié la configuration de base : nous avons pris
- 94 -
un arc libre de 200A dans de l’argon avec une anode en cuivre, pour une distance interélectrode de 6.3mm, configuration correspondante à celle de Nestor [Ne]. Cette comparaison
est telle qu'elle n'engendre pas de vapeurs métalliques au niveau du plasma. Nous avons
reporté nos résultats sur les figures suivantes (III-11 et III-12).
Figure III-12 : Densités de flux anodiques.
Au niveau des flux anodiques représentés sur la Figure III-12, Nestor a décomposé le flux
total en deux flux : un flux relatif au travail de sortie des électrons ( jΦ ) et un flux ( q k ) qui
correspond à : q k = qtotal − jΦ . Nous pouvons constater que les valeurs de flux total ainsi que
les différents flux ( q k et jΦ ) correspondent assez bien avec les résultats obtenus avec notre
modèle.
Figure III-13 : Densités de courant à la surface de l’anode.
- 95 -
Sur la Figure III-13, nous remarquons un bon accord entre les valeurs de la densité de
courant prédites par le modèle et celles obtenues expérimentalement par Nestor. Le maximum
de la densité de courant est pratiquement identique sur l'axe de la décharge : 5.2 × 10 6 A.m −2
donné par l'expérience pour 5.7 × 10 6 A.m −2 par le modèle. Ces valeurs de la densité de
courant sont représentatives de la tâche d'accrochage sur l'anode. Notre modèle donne une
densité de courant légèrement supérieure au niveau de l'axe; l'intensité totale devant être
conservée, nous obtenons une zone de passage de courant inférieure à celle obtenue
expérimentalement.
4°) Bilan sur la comparaison avec les travaux de la littérature
Une fois notre modèle développé, nous avons cherché à comparer et valider les résultats
obtenus avec différents travaux de la littérature. Pour cela, nous avons dû utiliser différentes
configurations afin d'en extraire le plus de grandeurs possibles. La configuration de Hsu [Hs]
étant largement répandue dans notre communauté, nous l'avons-nous aussi utilisée afin de
comparer les champs de température dans le plasma. Cependant, cet auteur ne précisant pas la
nature de l'électrode utilisée ni les ordres de grandeur des flux appliqués sur le matériau, nous
avons adapté notre modèle à la configuration de Nestor [Ne]. La comparaison sur les flux et
sur les densités de courant est très satisfaisante, validant ainsi nos développements. Ceci nous
permet maintenant d'utiliser notre code pour une étude paramétrique.
III) Résultats et études paramétriques
1°) Influence du maillage
Avant d'aborder l'étude sur les paramètres physiques, nous allons nous intéresser à
l'influence que peut avoir le maillage sur les résultats. Pour cela, nous avons utilisé deux
grilles : une première qui comporte 40 × 32 cellules et une deuxième qui possède 84 × 51
cellules. Cette dernière est représentée par la Figure III-14 :
- 96 -
Figure III-14 : Maillage de 84 × 51 cellules.
Il faut noter que le raffinement de la nouvelle grille par rapport à l'ancienne a été effectué
dans le matériau et moins au niveau de l'arc.
Les résultats obtenus en terme de champs de température sont présentés sur la Figure III15.
Figure III-15 : Influence du maillage sur les isothermes d'un plasma et du matériau pour
une configuration Ar-Cu à 200A.
- 97 -
On remarque que dans le plasma et le matériau, les isothermes restent quasiment
inchangées. On peut cependant noter, dans le matériau, pour la grille raffinée, une diminution
de la température maximale et donc une diminution de la taille du bain liquide (isotherme l).
Figure III-16 : Influence du maillage sur les flux anodiques pour une configuration Ar-Cu
à 200A.
Si on regarde maintenant, plus en détail, au niveau des flux déposés par le plasma au
niveau de l'anode, on peut remarquer sur la Figure III-16 que le flux total déposé lors du
raffinement de la grille est de l'ordre de 4.4 × 10 6 W .m −2 alors que dans le cas de la grille de
base le flux total est de l'ordre de 4.8 × 10 6 W .m −2 . Par contre, le rayon d'application de ce flux
le long de l'anode reste quasiment inchangé et est de l'ordre, dans les deux cas, de 7mm.
Tout au long de notre étude, nous allons donc continuer à utiliser le maillage 40 × 32 car il
permet un bon compromis entre les valeurs obtenues et le temps de calcul (avec le maillage
raffiné le temps de calcul est multiplié par, environ 5).
2°) Champ de températures et densités de courant
Pour cette étude paramétrique, nous revenons à la configuration de Hsu [Hs], à savoir : un
arc à 200 Ampères pour une distance inter-électrode de 10mm, pour laquelle nous discutons
plus en détail nos résultats. La Figure III-17 présente les isothermes dans la colonne de
plasma d'argon et dans l’anode. Les températures dans le plasma atteignent au maximum
21000K et 1370K dans l’anode. Sachant que la température de fusion du cuivre est de 1357K
(isotherme n sur la Figure III-17), on peut donc en déduire la présence d’un petit bain liquide
- 98 -
au niveau de l’anode et la présence de quelques vapeurs métalliques venant ensemencer le
plasma. Toujours au niveau de l’anode, on peut observer un écrasement des isothermes dû à la
valeur de température imposée en condition à la limite inférieure (dans ce cas 1000K) qui
gouverne le refroidissement de l’anode et donc le taux de production de vapeurs.
Figure III-17 : Isothermes d’un plasma d’argon (I=200A) et d’une anode en cuivre.
L’isotherme 1357K est représentée par la courbe "n" et correspond à la température de fusion
du cuivre.
La Figure III-18, représente les densités de courant axiales dans le plasma et dans l’anode
(en cuivre), pour de l’argon à 200A.
Figure III-18 : Densités de courant axiales d’un plasma d’argon (I=200A) et d’une anode
en cuivre.
- 99 -
On peut remarquer une bonne continuité des grandeurs entre le milieu plasma et le
matériau. La forme particulière des isovaleurs dans l’électrode vient du fait que nous n’avons
pas laissé s’échapper le courant sur les bords latéraux (bords EF de la Figure III-1) : pour cela
nous avons imposé sur les bords de l’anode une conductivité électrique très faible
( ≈ 10 −15 S.m −1 ). Une étude paramétrique sur les différentes configurations de passage du
courant sera détaillée dans les sections suivantes.
Les figures suivantes représentent des résultats de flux au niveau de la surface anodique
fonctions du type de matériau ou du gaz plasmagène.
3°) Composantes du flux appliqué à l'anode
La Figure III-19 montre les différents flux calculés (les flux électrique et de recombinaison
5 k

 ∂T 
J e (Va + Φ a ) , le flux par conduction − κ 
 , le flux enthalpique j z  B (Tmat − T pla ) , le
 ∂z 
2 e

flux rayonné par le plasma
S rad
∫ 4πr
Vj
2
i, j
cos(Ψ )dV j et le flux par vaporisation − Lmat Φ v ) ainsi que
leur contribution dans le flux total arrivant sur l’anode.
Figure III-19 : Flux à la surface de l’anode pour un arc dans l’argon (I=200A) et une
anode en cuivre refroidie à 1000K.
On peut observer que les flux électrique et de recombinaison sont largement majoritaires
sur l'axe, ils sont de l’ordre de 65% du flux total. Le flux par conduction au centre de l’anode
- 100 -
ne représente que 35% du flux total. Par contre, il devient majoritaire sur ses bords. Le flux
enthalpique, quant à lui, représente 10% du flux total. Le flux rayonné par le plasma est, lui,
légèrement inférieur à 10%. Enfin, le flux perdu par vaporisation est négligeable dans ce cas
car il n’y pas ou alors très peu de vapeurs métalliques dans le milieu. Nous retrouvons, sur ces
résultats de flux, des tendances obtenues par Zhu [Zh-2] à savoir des flux électrique et de
recombinaison très majoritaires au centre de l’anode devant le flux par conduction qui lui est
majoritaire sur les bords de l’anode.
Toutefois, cette conclusion doit être prise avec précaution car la composante majoritaire du
flux total est fortement dépendante de la chute de tension anodique (le travail de sortie du
matériau est supposé connu et constant). Une incertitude de cette valeur de l'ordre de 1 ou 2V
ne changerait pas la prépondérance de ce flux. Par contre, pour des valeurs d'incertitude
supérieures, nous devons pondérer cette conclusion car le flux par conduction deviendrait lui
aussi important.
Une comparaison peut-être faite pour un arc dans de l’argon à 200A, entre nos résultats de
flux et ceux obtenus par Goodarzi [Go-6]. Même s’il ne possède pas le même matériau
d’anode que celui de notre étude (dans son cas, il utilise de l'acier AISI 304), cela permettra
tout de même d’avoir un ordre de grandeur des différentes composantes du flux. Comme de
nombreux auteurs (Zhu [Zh-2] ou Choo [Ch-2]), Goodarzi [Go-6] intègre le flux enthalpique
et de recombinaison dans le flux électrique. Goodarzi trouve alors une contribution du flux
électrique de l’ordre de 73% du flux total au centre de l'anode. Si nous additionnons, les flux
électrique, de recombinaison et enthalpique calculés par notre modèle sur une anode en
cuivre, on obtiendrait alors une valeur de l'ordre de 75% du flux total (dont 10% de flux
enthalpique) au centre de cette même anode. On peut constater que l'on a le même ordre de
grandeur au niveau de ces flux.
Dans la suite de ce travail, nous engloberons sous la terminologie de flux électrique, la
contribution du flux électrique et celui par recombinaison.
4°) Influence du flux rayonné par le plasma
Dans le calcul du flux total sur l’anode, la plupart des auteurs dans la littérature [Go-3],
[Go-4] ne tiennent pas compte des flux rayonnés par le plasma vers le matériau et
réciproquement.
Nous proposons de vérifier la légitimité de ces approximations pour deux configurations
Ar-Fe et Ar-Cu. Dans les deux configurations, nous avons utilisé des températures de
- 101 -
refroidissement du matériau d'anode de 1000K. Dans le cas de l'anode en cuivre, il n'y a pas
de production de vapeurs pour cette température là. Par contre, pour l'anode en fer, des
vapeurs viennent ensemencer le plasma et modifier son rayonnement. Ces deux cas extrêmes
nous permettrons de quantifier les flux rayonnés vers le plasma et vers l'anode et de les
comparer au flux total.
Le flux rayonné par le plasma a été calculé par certains auteurs [Go-6], [Gu] et peut se
mettre sous la forme :
Φ RP =
S rad
∫ 4πr
Vj
2
i, j
cos(Ψ )dV j
(Eq. III-37)
Ce flux peut-être déterminé à partir de la méthode des "view factors" [Ch-2]. L’intégrale
est évaluée pour chaque élément de surface donnée et est sommée pour chaque élément de
volume du milieu étudié (Figure III-20). S rad représente le terme de pertes radiatives qui,
dans notre cas, sera calculé à partir du coefficient d’émission nette. ri, j est la distance entre
l'élément de surface de l'anode (i) et l'élément de volume du plasma (j).
Figure III-20 : Principe schématique de la méthode des "views factor"
Les résultats obtenus pour les configurations étudiées (Ar-Cu et Ar-Fe) sont représentés
par les figures de III-20 à III-25.
- 102 -
Figure III-21 : Influence du flux rayonné par le plasma sur le flux total pour une
configuration Ar-Cu à 200A.
Dans la configuration de l'anode en cuivre, nous avons utilisé un refroidissement en fond
d’anode de 1000K afin d’éviter la présence en grande quantité de vapeurs métalliques et
d’influencer le rayonnement du plasma. Dans ce cas, le flux rayonné par le plasma ne
représente que 10% du flux total (Figure III-19). Le fait de le négliger ne change donc pas de
façon significative le flux total (Figure III-21) sur l’axe de la décharge.
Figure III-22 : Influence du flux rayonné sur les isothermes d'un plasma et du matériau
pour une configuration Ar-Cu à 200A.
Regardons plus en détails son influence au niveau des isothermes dans le plasma et dans le
matériau. Le fait de négliger le flux rayonné par le plasma sur l'anode ne change pas de façon
significative la distribution de températures dans le plasma et dans le matériau (Figure III-22).
- 103 -
Dans le cas de l'anode en fer, nous avons imposé un refroidissement de 1000K sur les
bords latéraux et inférieur du matériau pour avoir, dans le plasma, une grande quantité de
vapeurs métalliques et modifier considérablement le rayonnement du milieu. La Figure III-23
représente une répartition de ces vapeurs au dessus du matériau d'anode. La fraction massique
de ces vapeurs est de l'ordre de 1% à quasiment 1mm au dessus de l'anode.
Figure III-23 : Champ de vapeurs métalliques pour une configuration Ar-Fe (I=200A) et
avec un refroidissement de 1000K en fond d’anode.
Les composantes du flux anodique, pour cette configuration, sont représentées par la
Figure III-24 et l’on peut remarquer que le flux rayonné est plus important dans ce cas que
dans le cas d’une configuration Ar-Cu. Cependant, sa proportion dans le flux total reste faible
et de l’ordre de 15%.
Figure III-24 : Flux à la surface de l’anode pour un arc dans l’argon (I=200A) et une
anode en fer refroidie à 1000K.
- 104 -
Figure III-25 : Influence du flux rayonné par le plasma sur le flux total pour une
configuration Ar-Fe à 200A.
On remarque donc que la présence des vapeurs métalliques augmente le rayonnement du
milieu et ainsi la valeur du flux total sur l’anode.
Le fait de négliger le flux rayonné par le plasma, en présence de vapeurs métalliques, ne
change pas de façon significative le flux total (Figure III-25) notamment au centre où le flux
total est maximum.
Si on regarde plus précisément au niveau des champs des températures du plasma et du
matériau, on se rend compte que seules les isothermes de l'anode sont légèrement modifiées
par la prise en compte dans le bilan, du flux rayonné par le plasma (Figure III-26). Dans le cas
de l'anode en fer, le bain liquide, plus important que dans le cas de l'anode en cuivre, est
représenté par la zone en gris clair.
Figure III-26 : Influence du flux rayonné sur les isothermes d'un plasma et du matériau
pour une configuration Ar-Fe à 200A.
- 105 -
En conclusion, pour deux configurations, l’une Ar-Cu sans production de vapeurs
métalliques, l’autre Ar-Fe avec présence de vapeurs dans le plasma, nous avons quantifié le
flux rayonné vers l’anode afin de voir sa contribution dans le flux total. Dans les deux cas, le
flux rayonné ne représente pas plus de 15% du flux total transféré à l’anode pour des vapeurs
de l'ordre de 1% dans le milieu plasmagène. Ainsi, par la suite, cette contribution sera
négligée afin de ne pas alourdir le temps de calcul : en effet, on obtient une multiplication du
temps de calcul de quasiment dix lors de la prise en compte du flux rayonné par le plasma.
Cette augmentation est due au fait que, pour chaque point à la surface de l'anode, on intègre la
contribution des pertes radiatives de chaque point du volume du plasma.
5°) Influence du flux rayonné par le matériau
Intéressons nous maintenant au flux rayonné par le matériau. Il est donné par quelques
auteurs comme Haïdar [Ha-1] à partir de la relation du rayonnement du corps noir :
Φ RM = εσ SB T 4
(Eq. III-38)
ε : émissivité de la surface.
σ SB : constante de Stefan-Boltzmann ( σ SB = 5.67 × 10 −8 W.m -2 .K −4 ).
Pour cette étude, nous avons utilisé une configuration d'arc dans de l'argon avec une anode
en cuivre, pour une intensité de 200A. Sur la Figure III-27, le flux rayonné par le matériau est
comparé au flux rayonné par le plasma. Pour le calcul, l'émissivité du cuivre est issue de la
littérature [Ni] et égale à 0.023. Le flux rayonné par le matériau est de l’ordre de 1 à 10% du
flux rayonné par le plasma pour la configuration étudiée. Le flux rayonné par le plasma étant
négligeable devant le flux total, nous pouvons donc aussi négliger le flux rayonné par le
matériau.
- 106 -
Figure III-27 : Comparaison entre le flux rayonné par le plasma et le flux rayonné par le
matériau
6°) Bilan en puissances
Après cette étude sur les flux, regardons maintenant la répartition des puissances au sein de
notre configuration. La Figure III-28 schématise les différentes composantes qui rentrent en
jeu.
Figure III-28 : Bilan en puissance au niveau d'un arc libre.
Ptot représente la puissance totale injectée et peut être estimée à partir de :
Ptot = U .I + (Va + Φ a ).I
(Eq. III-39)
- 107 -
Dans les deux cas, nous avons rajouté une "puissance anodique" injectée dont nous avons
tenu compte dans le bilan de flux et qui correspond à la chute de tension anodique ainsi qu'au
travail de sortie des électrons.
Psurf est la puissance perdue par l'arc et donnée au niveau de la surface de l'anode par flux
électrique, flux enthalpique et flux de conduction :
∫q
Psurf =
anode
(Eq. III-40)
dS
Sanode
Pradia est la puissance perdue par rayonnement :
r r
Pradia = ∫ ∇.q radia dV = ∫ 4πε N dV
V
(Eq. III-41)
V
Pconv est la puissance perdue par convection sur les bords du domaine :
Pconv =
∫ ρhv dS
(Eq. III-42)
r
S ext
Pcond est la puissance perdue par conduction sur les bords de ce même domaine :
Pcond =
∂T
∫ κ ∂r dS
(Eq. III-43)
S ext
Ce bilan nous permet d'écrire l'Equation III-44 :
Ptot = Psurf + Pradia + Pconv + Pcond + Pvap + Pradpla + Pradsurf
(Eq. III-44)
Analysons plus en détail les différentes composantes de la puissance au travers de deux
exemples : Ar-Al et Air-Al, l'aluminium étant le matériau d'anode. Pour cela, nous avons
travaillé à puissance constante en injectant Ptot = 3666W dans les deux configurations. Cela
conduit à injecter 137.76A dans le cas Air-Al (la tension étant de 26.61V) et 200A dans le cas
Ar-Al (la tension étant de 18.33V). Dans ces deux exemples, les conditions en puissance
injectée font qu'il n'y pas ou très peu de production de vapeurs à la surface de l'anode : Pvap
- 108 -
est donc négligeable. Il en est de même pour les deux termes de l'Equation III-45 comme nous
l'avons vu précédemment ( Pradpla et Pradsurf ).
Le bilan, estimé pour les deux configurations, est donné par la Figure III-29.
Figure III-29 : Quantification des termes en puissance dans deux configurations :
Air-Al et Ar-Al pour une puissance injectée de 3666W.
On peut constater que la plus grande part de puissance est celle dissipée vers la surface de
l'anode (75% de la puissance totale) devant celles perdues par rayonnement et par convection.
Enfin, les puissances perdues par conduction et convection sont, quant à elles, négligeables
(de l'ordre de la dizaine de watts). On peut aussi remarquer que pour une même puissance
totale injectée, la puissance d'un plasma d'air dissipée vers l'anode est plus importante que
celle d'un plasma d'argon. A contrario, la puissance perdue par rayonnement d'un plasma
d'argon est plus importante que celle d'un plasma d'air. Cela peut s'expliquer par le fait que le
plasma d'argon est nettement plus chaud que celui d'air. Il va donc rayonner beaucoup plus.
Les autres contributions restent quasiment inchangées, quel que soit le gaz plasmagène utilisé.
7°) Influence de l'effet Joule
Dans ce paragraphe, nous avons étudié l'influence de l'effet Joule dans les matériaux
conducteurs. Les travaux de la littérature n'incluent pas en général ce terme dans l'équation de
l'énergie. Il est considéré être négligeable de par l'importance des valeurs de la conductivité
électrique. Cependant, dans le cas des matériaux composites que nous aborderons dans le
chapitre V, ce terme a un rôle prépondérant. Nous allons maintenant vérifier son influence
pour les matériaux métalliques.
- 109 -
Pour cela, nous avons utilisé une configuration Ar-Cu à 200A. Dans un cas, nous avons
résolu l'équation de conservation de l'énergie, à l'intérieur de l'anode, avec comme terme
source, l'effet Joule et dans l'autre cas, nous avons résolu cette même équation sans prendre en
compte ce terme source. La Figure III-30 présente les résultats obtenus au niveau des champs
de température dans le matériau comme dans la colonne de plasma pour les deux cas
considérés.
Figure III-30 : Influence de l'effet Joule sur les isothermes d'un plasma et du matériau
pour une configuration Ar-Cu à 200A.
On peut constater que dans le cas du cuivre (et dans les matériaux conducteurs en général)
l'effet Joule n'a aucun rôle significatif au niveau des champs de températures aussi bien dans
le matériau que dans le plasma.
8°) Influence du matériau d’anode
Dans ce paragraphe, nous étudions l’influence du matériau d’anode sur les composantes du
flux. Pour cela, nous avons appliqué notre code pour une anode en cuivre et en fer à 200A, en
l'absence de vapeurs, en ajustant le refroidissement de l’anode : dans les deux configurations,
il a été pris à 300K sur les bords latéraux et sur le fond du matériau. Les résultats sont donnés
sur la Figure III-31. Les propriétés du matériau jouent légèrement sur les flux anodiques
(notamment les flux électriques) ainsi que sur la tache d’accrochage au niveau du matériau.
Cela s’explique par la différence de conductivité électrique du matériau qui influence les
densités de courant entrantes. La conductivité électrique du fer solide étant plus faible que
- 110 -
celle du cuivre, l’arc a tendance à s’accrocher sur une zone légèrement plus grande sur une
anode en fer que sur une anode en cuivre.
Figure III-31 : Influence du type de matériau d’anode sur les flux anodiques (I=200A)
pour un refroidissement de 1000K.
Ces derniers résultats permettent d'expliquer le bon accord avec les travaux de Hsu [Hs],
qui ne précise pas la nature du matériau de son électrode. Donc quel que soit le matériau
métallique de l'anode, le champ de température obtenu au niveau de la décharge sera
sensiblement le même, lorsque le plasma n'est pas ensemencé de vapeurs métalliques.
9°) Influence des vapeurs métalliques
Nous allons maintenant étudier l’influence des vapeurs métalliques sur des grandeurs telles
que les températures, les densités de courant et les flux anodiques.
La Figure III-32 montre un champ de vapeurs métalliques pour un plasma d'argon et une
anode en fer avec un refroidissement de 1000K en fond d'anode. On peut constater la
propagation des vapeurs suivant l’axe de la décharge par diffusion et suivant le rayon de la
décharge par des effets conjugués de diffusion et de convection. Ces vapeurs sont de l'ordre
de 1% à presque 1mm au dessus de l'anode et s'étendent radialement sur tout le domaine de
calcul.
- 111 -
Figure III-32 : Champ de vapeurs métalliques pour une configuration Ar-Fe (I=200A)
avec un refroidissement de 1000K au niveau de l’anode.
Dans les figures suivantes (III-32 et III-33), nous étudions l'influence des vapeurs
métalliques sur les températures et les densités de courant pour une configuration Ar-Fe à
200A. Une condition aux limites de refroidissement de 1000K a été appliquée en fond et sur
les bords de l'anode pour obtenir des vapeurs dans le plasma. Pour prendre en compte ou non
la présence des vapeurs dans le milieu on a résolu ou non l’équation de conservation de la
fraction massique du fer.
Tout d'abord, nous avons remarqué que la présence de vapeurs augmente, en valeur
absolue, la chute de tension de la colonne de plasma d'à peu près 1.5V. Ainsi, la puissance
injectée dans le plasma, pour les deux cas, n'est pas la même. Pour effectuer une étude
comparative, nous avons donc travaillé à puissance constante ( P = 3927W ).
Figure III-33 : Influence des vapeurs métalliques sur les isothermes d’un plasma Ar-Fe
(I=200A).
- 112 -
Les champs de température pour les deux configurations (avec et sans prise en compte des
vapeurs) sont présentés sur la Figure III-33. Nous avons ajouté en pointillés l'iso-valeur de la
fraction massique de fer ( X i = 0.01 ). Les champs de température obtenus dans les deux cas
ont des valeurs très proches près de la cathode. Dans la zone où se situent essentiellement les
vapeurs (entre la courbe représentant l'iso-valeur X i = 0.01 et l'anode), on remarque que leur
présence tend à refroidir la colonne de plasma sur les bords de cette dernière. En fait, les
vapeurs métalliques ont une influence significative sur le coefficient d'émission nette pour des
températures comprises entre 5000K et 10000K. L'augmentation du coefficient d'émission
nette entraîne une augmentation des pertes radiatives et ainsi une diminution de la
température au niveau de ces zones. Ce résultat a aussi été trouvé par Menart [Me] et
Gonzalez [Go-1], [Go-2]. Cette diminution de température sur les bords de la colonne a pour
effet de diminuer localement la conductivité électrique du milieu et de réduire ainsi le rayon
de conduction. En présence de vapeurs, l'augmentation de la température au centre de l'arc
peut s'expliquer par la conservation de l'intensité du courant sur chaque section : la densité de
courant tend à augmenter au centre de la colonne de plasma pour compenser la diminution du
rayon de conduction : proche de l'anode, les densités de courant sont de − 9.2 × 10 6 A.m −2 pour
le cas avec vapeurs métalliques contre − 3.85 × 10 6 A.m −2 pour le cas sans vapeurs.
Figure III-34 : Influence des vapeurs métalliques sur les densités de courant d’un plasma
Ar-Fe (I=200A).
Sur la Figure III-34, on constate que les densités de courant augmentent au centre de l'arc
et diminuent sur les bords de la colonne de plasma, en présence de vapeurs. L'augmentation
- 113 -
des densités de courant provient de l'augmentation des conductivités électriques au centre
tandis que leur réduction sur les bords est due à la prédominance des pertes radiatives. C'est
un résultat qui est en contradiction avec ceux donnés par Menart [Me] : cet auteur a trouvé
une augmentation des densités de courant sur les bords de la colonne de plasma et une
réduction au centre due aux vapeurs métalliques.
Pour compléter cette étude paramétrique, nous montrons sur la Figure III-35 l’influence
des vapeurs métalliques sur les flux anodiques. Dans le cas où l'on résout l'équation de
conservation de la fraction massique, la présence des vapeurs augmente les densités de
courant et donc le flux électrique. Comme ce dernier représente la part prépondérante du flux
total, la présence des vapeurs l'augmente. Au contraire, sur les bords du plasma (r>3mm), la
présence de vapeurs va entraîner la diminution du flux total. Cela provient de l'abaissement du
rayon de conduction et donc des flux électriques. Effectivement, dans cette zone, il y a deux
effets concurrentiels dus à la présence de vapeurs métalliques : le premier effet tend à
augmenter la conductivité électrique car il est directement lié à la présence des vapeurs tandis
que le second effet tend à diminuer la conductivité électrique car il est dû à l'accroissement
des pertes radiatives qui entraîne une réduction de la température. Le second effet semble être
supérieur au premier, entraînant ainsi une diminution de la conductivité électrique.
Figure III-35 : Influence des vapeurs métalliques sur les flux anodiques pour une
configuration Ar-Fe à puissance constante P=3927W.
- 114 -
10°) Influence du modèle de rayonnement
Le terme de pertes radiatives de l’équation de l’énergie peut se mettre, comme nous
l’avons vu précédemment, sous la forme 4πε N où ε N est le coefficient d’émission nette. Il
peut aussi se calculer à partir de la méthode P-1. L’intérêt de cette dernière méthode est de
tenir compte de l'auto-absorption du rayonnement par les régions froides du plasma. Cette
méthode nécessite, tout de même, la résolution de 5 à 12 équations supplémentaires suivant le
nombre de bandes de fréquences utilisées lors du découpage du coefficient d’absorption du
gaz considéré. Le principe de la méthode peut se résumer de la façon suivante [Mo].
L’équation du transfert radiatif s’écrit :
σ
)r
s .∇I λ = κ λ I bλ − (κ λ + σ Sλ )I λ + Sλ
4π
)
) )
∫π I λ (s )Φ λ (s , s )dΩ
i
i
i
(Eq. III-45)
4
)
s : vecteur unitaire décrivant les angles azimutal Ψ et polaire θ .
I λ : intensité radiative spectrale.
κ λ : coefficient d’absorption spectrale.
σ Sλ : coefficient de diffusion.
I bλ : intensité spectrale du corps noir.
Φ λ : fonction de diffusion spectrale.
Ω i : angle solide.
En approximation P-N, l’intensité radiative est décomposée en série de Fourier
généralisée :
∞
r )
I λ (r , s ) = ∑
+l
r
)
∑ I (r )Y (s )
l = 0 m = −l
m
l
m
(Eq. III-46)
l
)
Yl m (s ) sont des harmoniques sphériques. Dans la méthode P-1, seul le premier terme de
r)
l’expression est gardé et I λ (r ,s ) peut s’écrire :
- 115 -
r )
1
(G λ + 3qr λ .s) )
I λ (r , s ) =
4π
(Eq. III-47)
Gλ : radiation incidente.
r
qλ : flux radiatif.
En substituant I λ par sa valeur dans l’Equation III-45 et en intégrant sur tout l’angle
solide, on obtient alors :
r
v
∇G λ = −3κ λ q λ
v 1 r 
⇒ ∇. −
∇Gλ  = κ λ (4πI bλ − Gλ )
 3κ λ

(Eq. III-48)
r v
∇.q λ = κ λ (4πI bλ − Gλ )
(
)
r
r
Cette équation peut se mettre sous la forme généralisée de Pantakar : ∇. ΓΦ ∇Φ + S Φ = 0 ,
en posant : Φ = Gλ , ΓΦ =
1
3κ λ
et S Φ = κ λ (4πI bλ − Gλ ) .
Au niveau numérique, l’intégration sur toutes les longueurs d'onde λ est impossible du fait
d’un temps de calcul très important.
La principale difficulté provient du spectre d’absorption qui inclut beaucoup de raies
superposées à un fond continu. Pour limiter le temps de calcul, on va découper ce spectre
d’absorption en bandes de fréquences :
G=
N bandes
∑ Gl
N bandes
∑ ql
q=
l =1
l =1
N bandes r
r
∇.q = ∑ ∇.ql
l =1
Finalement, les pertes radiatives se mettent sous la forme :
r
S rad = ∇.q =
N bandes
∑ κ (4πI
l =1
l
bl
− Gl )
(Eq. III-49)
- 116 -
I bl =
2hν 3 n²
  hν  
c02 exp
 − 1
  kT  
(luminance du corps noir).
(Eq. III-50)
Pour montrer l'influence du modèle P-1 par rapport à l'utilisation du coefficient d'émission
nette, nous avons utilisé une configuration Ar-Cu à 200A, sans vapeurs métalliques. Pour le
coefficient moyen d'absorption de l'argon par bandes de fréquences, nous avons utilisé celui
calculé par Erraki [Er], pour un rayon de 5mm, représenté sur la Figure III-36.
Figure III-36 : Coefficient moyen d'absorption de l'argon par bandes de fréquences.
Pour vérifier la validité du code mis en place nous avons, tout d'abord, calculé la
divergence du flux radiatif pour un cylindre uniforme de 15000K par la méthode P-1 et par
celle du coefficient d'émission nette. La configuration utilisée est représentée sur la Figure III37.
Figure III-37 : Configuration utilisée pour la validation du modèle P-1.
- 117 -
Nous avons étudié le rayonnement d'un cylindre de 3mm de rayon et d'une température de
15000K à l'intérieur d'un domaine de calcul cylindrique de 15mm de rayon et d'une
température uniforme de 1000K.
Les résultats obtenus à partir des deux modèles sont représentés sur les Figures III-37 et
III-38.
Figure III-38 : Divergence du flux radiatif suivant l'axe du cylindre.
Figure III-39 : Divergence du flux radiatif suivant le rayon du domaine.
Nous ne remarquons pas de différences notoires au niveau de la divergence du flux radiatif
entre les deux modèles, suivant l'axe du domaine (Figure III-38). Nous constatons aussi
(Figure III-39) que le modèle P-1 présente une forte émission sur la zone chaude puis une
absorption du rayonnement par la zone froide sur les premiers millimètres.
- 118 -
Cela correspond bien aux résultats attendus et nous permet donc de valider le modèle P-1,
que nous avons mis en place. En effet, suivant l'axe, nous avons une température chaude
uniforme de 15000K : les résultats du calcul avec le modèle P-1 et le coefficient d'émission
nette donnent des valeurs constantes de la divergence du flux qui se superposent. Suivant le
rayon, il existe un gradient de température qui passe brutalement de 15000K à 1000K. Dans
cette direction là, la divergence du flux va d'abord être importante sur un rayon de 3mm de la
zone chaude et va décroître pour avoir une valeur nulle (coefficient d'émission nette) ou
négative (modèle P-1) sur les premiers millimètres au niveau de la zone froide
Ce modèle est ensuite appliqué à la configuration Ar-Cu explicitée précédemment. Les
résultats obtenus en terme de champ de températures et de flux anodiques sont représentés sur
les Figures III-39 et III-40 suivantes.
Figure III-40 : Influence du P-1 sur les isothermes d'un plasma d'argon à 200A.
Figure III-41 : Influence du P-1 sur les flux anodiques d'un plasma d'argon pour une
anode en cuivre à 200A.
- 119 -
On peut remarquer que l'utilisation du modèle P-1, comparé à celui du coefficient
d'émission nette, a tendance à refroidir le plasma, essentiellement, au niveau de l'axe de la
décharge. Sur la Figure III-42, la température de l'arc obtenue sur l'axe de la colonne de
plasma est représentée. Elle a été déterminée en utilisant les deux méthodes : coefficient
d'émission nette et P-1. Il existe un écart de température qui est au maximum de 500K pour
z=5mm. Une explication est donnée par la Figure III-43 qui montre que sur l'axe du plasma
les pertes radiatives calculées à partir de la méthode P-1 sont plus importantes que celles
calculées à partir du coefficient d'émission nette ce qui aura pour conséquence de refroidir le
plasma dans cette zone.
Sur la Figure III-43, on peut aussi remarquer que pour un rayon supérieur à 1.5mm, les
pertes radiatives obtenues à partir du P-1 sont moins importantes que celles obtenues à partir
du coefficient d'émission nette. Cela aura pour conséquence de réchauffer le plasma dans ces
zones là. Ainsi, sur la Figure III-40, on peut constater que, pour les isothermes inférieures à
12000K, les températures calculées en utilisant la méthode P-1 sont légèrement plus
importantes que celles calculées à partir du coefficient d'émission nette.
Figure III-42 : Influence du P-1 sur la température de l'axe d'un plasma d'argon à 200A.
- 120 -
Figure III-43 : Divergence du flux radiatif calculée sur un rayon d'arc dans de l'argon à
200A pour z=5mm.
Figure III-44 : Flux rayonnés par un plasma d'argon sur une anode en cuivre à 200A.
L'utilisation du modèle P-1 n'a que peu d'influence sur les flux anodiques (Figure III-44)
mais son application augmente légèrement le flux rayonné par le plasma vers l'anode qui reste
somme toute négligeable (Figure III-45).
Nous avons étudié, dans cette partie, deux modèles permettant d'estimer les pertes
radiatives au niveau de la colonne de plasma. Le modèle du coefficient d'émission nette est
suffisant pour décrire les zones chaudes du plasma et ne nécessite pas de mise en place
particulière d'équation car il est tabulé comme un coefficient de transport et il est de plus peu
coûteux en temps de calcul. Par contre, si on veut étudier plus précisément les phénomènes
radiatifs de l'arc, le modèle P-1 est nécessaire mais il demande la résolution d'équations
supplémentaires et donc des temps de calcul beaucoup plus importants. On a pu aussi
- 121 -
constater que le calcul des flux radiatifs, effectué à partir des deux méthodes, donnait des
résultats similaires. Cela signifie que l'utilisation du coefficient d'émission nette pour estimer
les pertes radiatives est totalement justifiée dans notre étude en terme de flux radiatif transféré
à l'anode.
11°) Influence du passage du courant dans l’anode
Dans ce paragraphe, nous avons étudié différentes configurations de passage de courant
dans l’anode et leur influence sur le comportement de l’arc et des transferts d’énergie au
niveau du matériau. Pour cela, nous avons testé trois zones de passage : par le fond de
l’anode, sur les côtés et enfin par une couronne en fond d’anode. Cette couronne possède un
rayon interne de 10mm et un rayon externe de 15mm. La configuration étudiée est un arc dans
de l’argon avec une anode en cuivre à 200A. Afin de favoriser le passage du courant dans
certaines zones, nous avons imposé une conductivité électrique sur les autres bords de l’anode
à 1 × 10 −15 S .m −1 . Les différents résultats obtenus au niveau de la surface de l’anode ont été
représentés par les figures suivantes.
Figure III-45 : Influence du passage du courant dans l’anode sur la densité de courant
radiale à la surface de l’anode.
On a pu constater que seules les densités de courant radiales à la surface de l’anode sont
modifiées par les différentes zones de passage de courant.
Sur la Figure III-45 nous avons représenté la composante radiale de la densité de courant
pour les trois configurations de passage du courant au sein de l’anode. On peut voir que les
composantes sont directement influencées par la zone de circulation avec des valeurs plus
- 122 -
élevées sur les bords lorsque le courant y circule, puis des valeurs intermédiaires lorsque
l’évacuation a lieu en couronne.
La Figure III-46 montre la circulation des vecteurs densité de courant dans le matériau
pour les trois configurations d’échappée du courant : en fond de l'anode, sur les bords latéraux
de l'anode et sous forme d'une couronne en fond d'anode.
Figure III-46 : Echappée de courant du matériau par a) le fond de l'anode, b) les bords
latéraux de l'anode, c) sous forme d'une couronne en fond d'anode.
Nous pouvons remarquer que les vecteurs densités de courant, au niveau de la surface de
l'anode, ne sont quasiment pas influencés par les différentes zones de passage du courant.
III) Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons modélisé l’interaction d’un arc électrique avec différents
matériaux sous polarité anodique et nous avons quantifié les transferts d’énergie à la surface
de ces derniers. Dans un premier temps, nous avons utilisé des configurations décrites dans la
littérature [Hs], [Sc-1], [Ne] avec lesquelles nous avons pu comparer et valider les résultats
de notre modèle en terme de champ de température dans le plasma et de flux anodiques. Au
niveau du matériau, il n'existe pas de champs de température expérimentaux sur lesquels nous
- 123 -
avons pu nous baser pour valider la propagation de la température dans l'anode. Cependant,
des comparaisons entre des résultats obtenus avec le logiciel FLUENT et le logiciel SYSTUS,
utilisé par EADS Suresnes, dans des configurations identiques de flux appliqués au niveau de
l'anode ont montré un bon accord au niveau des isothermes dans le matériau.
Dans un deuxième temps, une fois notre modèle validé, nous avons étudié l’influence de
divers paramètres, aussi bien géométriques que physiques, sur la colonne de plasma, les flux
ou encore sur les températures de l’anode.
Tout d’abord, nous avons analysé l'influence du maillage sur les résultats obtenus par notre
modèle et en particulier sur les champs de température : nous avons constaté que ces derniers
sont peu modifiés par une grille raffinée et c'est pour cette raison que nous avons utilisé pour
une géométrie à deux dimensions un maillage qui permettait un bon compromis entre un
temps de calcul raisonnable et une bonne approximation des résultats obtenus.
Nous avons remarqué, par la suite, que les flux électriques, au niveau de la surface de
l’anode sont prépondérants devant le flux par conduction, le flux enthalpique et le flux par
vaporisation. De même, nous avons estimé le flux rayonné par le plasma ainsi que celui
rayonné par le matériau et nous avons constaté que nous pouvions les négliger car ils ne
représentent, respectivement, que 10 et 0.1% du flux total.
Nous avons aussi vérifié que la prise en compte de l'effet Joule dans l'anode n'avait aucune
influence au niveau des matériaux métalliques. Nous avons quand même conservé ce terme
dans l'équation de l'énergie en vue de l'étude sur le matériau composite car il n'était pas
pénalisant en temps de calcul.
Nous avons ensuite étudié l’influence de la nature du matériau d’anode sur les flux
anodiques. Cette étude a été effectuée à courant constant. Nous avons constaté que les flux
restent quasiment inchangés mais qu'ils présentent des étalements plus ou moins importants
suivant la nature du matériau. Moins le matériau est conducteur, plus l’arc a tendance à
s’accrocher sur une plus large zone et donc plus les flux sont étalés.
Nous avons aussi étudié l’influence des vapeurs métalliques issues de la fusion du matériau
d’anode sur la colonne de plasma ainsi que sur les flux anodiques. La présence des vapeurs a
tendance à refroidir le plasma essentiellement sur les bords. Les densités de courant, en
présence de vapeurs métalliques, augmentent au centre de l’arc et diminuent sur les bords. Au
niveau des flux anodiques, la présence de vapeurs augmente le flux total. On constate aussi
que les vapeurs augmentent les termes électriques et donc les densités de courant au niveau de
l’anode. L'augmentation du flux total provient de l’accroissement du flux électrique dû en
grande partie à l’augmentation des conductivités électriques.
- 124 -
Nous avons ensuite étudié l’influence du modèle de rayonnement sur la colonne de plasma
ainsi que sur les flux anodiques. Nous avons constaté que l'application du modèle P-1 ne
modifie pas de façon significative les isothermes et les flux d'un plasma d'argon à 200A. Nous
sommes arrivés à la conclusion que l'application d'un tel modèle n'est pas nécessaire dans
notre configuration d'arc libre car elle n'y apporte aucune modification pour un temps de
calcul plus important qu'avec l'utilisation du coefficient d'émission nette.
Enfin, nous avons étudié l’influence du passage du courant sur les flux anodiques et nous
avons remarqué que suivant les cas étudiés, les différentes configurations de passage
n’influençaient pas les flux à la surface de l’anode.
Ces études ont eu pour effets d’approfondir et d'analyser l’influence de divers paramètres
sur le plasma ainsi que sur le matériau. Une fois notre modèle validé en deux dimensions et
l’influence de divers paramètres étudiés, nous avons modifié notre code pour passer en trois
dimensions. Cette étude en trois dimensions n’est légitime que si l’arc perd sa symétrie
naturelle. Pour cela, nous allons appliquer un champ magnétique extérieur pour pouvoir
déflecter notre arc et le comparer avec des données expérimentales de la littérature [Sp].
- 125 -
- 126 -
Chapitre IV : Modélisation
en trois dimensions.
- 127 -
- 128 -
Chapitre IV : Modélisation en trois dimensions
Dans ce chapitre, nous présentons la modélisation en trois dimensions (3D) de l'interaction
entre un arc électrique et un matériau. Ce code est appliqué, comme dans le chapitre
précédent, à différentes configurations et pour des anodes en matériaux conducteurs : le
cuivre, le fer et l'aluminium. Le cas d'un matériau composite sera traité dans le chapitre V. La
première partie du chapitre est consacrée à la présentation du modèle 3D, au domaine de
calcul et aux conditions aux limites utilisées. Le code, ainsi mis en place, est premièrement
utilisé pour une configuration d'arc libre (sans force extérieure appliquée) afin de conserver la
symétrie naturelle de l'arc. Les résultats obtenus sont comparés à notre modèle à deux
dimensions (2D). Nous appliquons ensuite, sur la colonne de plasma, une force extérieure
magnétique ou convective, qui nous permet de comparer les résultats obtenus avec ceux de la
littérature et d'effectuer diverses études paramétriques. Cette dernière partie permet de valider
indirectement le transfert d'énergie à l'anode à partir du déplacement du pied d'arc.
I) Modèle mathématique
Lorsque la symétrie naturelle de l’arc libre est brisée (par un soufflage latéral ou une
déflection magnétique), il devient nécessaire de modéliser l’arc en trois dimensions. L’arc
sera alors décrit par des équations hydrodynamiques en 3D cartésiennes (x, y, z).
1°) Hypothèses utilisées
Afin de simplifier les calculs, il nous faut poser quelques hypothèses :
-
La colonne de plasma est supposée être en E.T.L. tout comme nous l'avions supposé
pour le modèle 2D.
-
Le plasma est un fluide newtonien et son écoulement est considéré laminaire et
stationnaire.
-
Les effets de gravité sont négligés .
-
L’anode est indéformable spatialement et temporellement.
-
Les effets au niveau du bain liquide (Effet Marangoni, pression de l’arc, pression
magnétique, traînée de viscosité, …) ne sont pas pris en compte.
-
vers l’anode ainsi que de l’anode vers le plasma, conformément aux études
paramétriques effectuées dans le chapitre III.
- 129 -
-
Les gaines, au niveau des électrodes ne seront pas modélisées. Néanmoins, on tiendra
compte de la gaine anodique sous forme de termes sources et de conditions aux
limites inclus dans le modèle de l’arc
Les équations de conservation en stationnaire, comme en deux dimensions, vont s'écrire
sous la forme généralisée proposée par Patankar [Pa] :
(
)
r r
r
r
∇.(ρv Φ ) = ∇. ΓΦ ∇Φ + S Φ
(Eq. IV-1)
Les différents termes, sont répertoriés dans le Tableau IV-1 :
Equations de
conservation
Masse
Moment suivant x
Moment suivant y
Moment suivant z
Φ
ΓΦ
SΦ
1
0
0
µ
−
∂P ∂   ∂u 2 r r  ∂   ∂u ∂v 
+
µ  2 − ∇.v  +  µ  + 
∂x ∂x   ∂x 3
 ∂y   ∂y ∂x 
+
∂   ∂u ∂w 
µ +
 + j y Bz − j z B y
∂z   ∂z ∂x 
−
∂P ∂   ∂v 2 r r  ∂   ∂v ∂u 
+  µ  2 − ∇.v  +  µ  + 
∂y ∂y   ∂y 3
 ∂x   ∂x ∂y 
+
∂   ∂v ∂w 
 + j z B x − j x B z
µ  +
∂z   ∂z ∂y 
−
∂P ∂   ∂w 2 r r  ∂   ∂w ∂u 
− ∇.v  +  µ 
+
+ 
µ 2
∂z ∂z   ∂z 3
 ∂x   ∂x ∂z 
+
∂   ∂w ∂v 
+  + j x B y − j y B x
µ 
∂y   ∂y ∂z 
u
v
w
µ
µ
- 130 -
Energie
T
κ
Potentiel
V
σ
j x2 + j y2 + j z2
 ∂T
∂T
∂T 
+
 j x
+ jy
+ jz
σ
∂y
∂z 
 ∂x
∂X 
κ 
∂ 
(hi − ha ) i  +
 ρD −
CP 
∂x 
∂x 
∂X 
κ 
∂ 
(hi − ha ) i  +
 ρD −
CP 
∂y 
∂y 
∂X 
κ 
∂ 
(hi − ha ) i  − U
 ρD −
∂z 
CP 
∂z 
+
5 kB
2 e
0
Tableau IV-1 : Equations de conservation mises sous la forme généralisée de Patankar.
Afin de fermer le système, on rajoute à ces équations, le calcul des densités de courant :
j x = −σ
∂V
∂V
∂V
, j y = −σ
et j z = −σ
.
∂x
∂y
∂z
(Eq. IV-2- IV-4)
Pour le calcul du champ magnétique, nous avons utilisé la résolution des potentiels
vecteurs.
Φ
ΓΦ
SΦ
Potentiel vecteur suivant x
Ax
1
µ0 jx
Potentiel vecteur suivant y
Ay
1
µ0 jy
Potentiel vecteur suivant z
Az
1
µ0 jz
Tableau IV-2 : Equations de conservation des potentiels vecteurs mises sous la forme généralisée de Patankar.
Nous remontons ensuite aux composantes du champ magnétique à partir de la relation :
r r r
B = ∇× A
Soit : B x =
(Eq. IV-5)
∂Ay ∂Ax
∂A
∂Az ∂Ay
∂A
−
, B y = x − z , Bz =
−
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
- 131 -
(Eq. IV-6- IV-8)
Il est à noter que nous aurions pu, comme certains auteurs de la littérature [Sp-2], [Sc-2],
r
[Sc-3], calculer le champ magnétique B , à partir de la loi intégrale de Biot et Savart [Pe] :
r r
µ
B (r ) = 0
4π
r v
r r
r − r′
(
)
j
r
×
r v 3 dV
∫∫∫
− r′
r
V
(Eq. IV-9)
Nous n'avons pas utilisé cette formulation parce qu'elle présente des temps de calcul élevés
en 3D : en effet, il faut, en chaque point du domaine de calcul, intégrer les densités de courant
sur tous les autres points de ce même domaine, ce qui, en trois dimensions, rajoute un nombre
d'opérations très importants. De plus, par souci d'uniformité, nous avons gardé la formulation
des potentiels vecteurs utilisée en 2D.
Dans les quelques articles scientifiques issus de la littérature traitant de modélisation
tridimensionnelle, soit seule la colonne de l'arc est modélisée [Ka-2], soit seule l'anode est
modélisée [Te]. Dans ce deuxième article, les auteurs s'intéressent à la modélisation du
foudroiement d'une plaque en aluminium. Ils représentent l'arc comme une simple tâche de
flux à la surface de l'anode mais aucun couplage avec la colonne de plasma n'est effectué.
La modélisation de l’anode en trois dimensions s'appuie sur le même principe que celle en
deux dimensions : les équations de la conservation de l’énergie et du courant dans le matériau
sont résolues dans un système cartésien. En trois dimensions, comme en deux dimensions, le
chauffage par effet Joule à l'intérieur du matériau est pris en compte. Cela se traduit par la
résolution des équations IV-10 et IV-11 suivantes :
2
2
2
∂  ∂T  ∂  ∂T  ∂  ∂T  j x + j y + j z
 + κ
=0
+
κ
 + κ
σ
∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂z  ∂z 
∂  ∂V  ∂  ∂V  ∂  ∂V 
 + σ
σ
 + σ
=0
∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂z  ∂z 
(Eq. IV-10)
(Eq. IV-11)
Pour maintenir la conservation des valeurs - courant et flux d'énergie - entre plasma et
électrode, on utilise à l’interface la conservation du flux de potentiel (ce qui correspond à la
- 132 -
conservation de la densité de courant) et un bilan de flux pour la température. Pour simplifier
la modélisation de cette couche, les gradients le long des axes x et y sont négligés par rapport
aux gradients le long de l’axe d'écoulement z. On aura donc, à l’interface les mêmes équations
qu'en 2D :
  ∂T 
  ∂T 
5 kB

− κ  ∂z  = − κ  ∂z  + j z  2 e (Tmat − T pla ) + Va + Φ a  − Lmat Φ v
 mat  
 pla


 
(Eq. IV-12)
  ∂V
− σ  ∂z
 
(Eq. IV-13)
  ∂V

 = − σ 
 mat   ∂z


 pla
Dans l'équation IV-12, les termes de flux radiatifs du plasma et du matériau n'ont pas été
intégrés. Les études paramétriques, du chapitre III, ont montré que ces termes pouvaient être
négligés. Ils ne seront donc pas pris en compte dans toute l'étude en 3D.
De plus, afin de tenir compte de la présence éventuelle de vapeurs métalliques dans le
plasma, nous résolvons l’équation de conservation de la fraction massique :
Φ
ΓΦ
SΦ
Fraction massique
Xi
ρD
0
Tableau IV-3 : Equation de la conservation de la fraction massique mise sous la forme généralisée de
Patankar.
A la surface du matériau, la fraction massique est calculée à partir de la relation donnée
dans le chapitre précédent :
(X i ) =
Pv M mat
(Eq. IV-14)
Nous utilisons, les mêmes grandeurs et coefficients de transport en trois dimensions qu’en
deux dimensions.
- 133 -
II) Domaine de calcul et conditions aux limites
Pour modéliser la configuration de 18mm de hauteur et 30mm de largeur et longueur,
présentée sur la Figure IV-1, nous avons utilisé une grille de (63× 63× 41) cellules.
Figure IV-1 : Géométrie utilisée pour la modélisation 3D.
Nous avons appliqué un maillage exponentiel qui a été raffiné au centre du domaine ainsi
qu’à l’interface plasma-anode. Une coupe de ce maillage sur le plan (x = 0 ) est représentée
sur la Figure IV-2 :
Figure IV-2 : Coupe sur le plan x = 0 du maillage utilisé pour notre code de calcul 3D.
- 134 -
Cette géométrie et ces dimensions ont été utilisées afin de comparer avec la configuration
d’arc libre en deux dimensions. La cathode, d’une longueur de 3mm, possède un angle au
sommet de 60o. L’épaisseur de l'anode est de 5mm, sa longueur et sa largeur sont de 30mm.
La distance inter-électrode est de 10mm. Les matériaux d’anode utilisés sont le cuivre, le fer
et l’aluminium. L’intensité appliquée est de l'ordre de la centaine d'ampère. Typiquement, la
pression du milieu est la pression atmosphérique.
Les conditions aux limites sont les mêmes qu’en deux dimensions si ce n'est qu’elles ont
été adaptées à trois dimensions en passant en coordonnées cartésiennes. Ainsi, le profil de
densité de courant à la cathode [Fr] - plan parallèle (KF) - est donné par :
(
j z (r ) = J max exp − b x 2 + y 2
)
(Eq. IV-15)
Où J max = 1.4 × 10 8 A.m −2 et b = 3mm . Ces valeurs sont identiques à celles utilisées pour le
code en 2D. Les autres conditions aux limites ont été reportées dans le Tableau IV-4 et
corrélées avec la Figure IV-3.
Figure IV-3 : Conditions aux limites pour la configuration 3D sur le plan x = 0 .
- 135 -
AB, BC, CD
LA, DE
EF, FG, LK, KJ
GH, HI, IJ
JG
u
u = 0m.s −1
u = 0m.s −1
u = 0m.s −1
u = 0m.s −1
u = 0m.s −1
v
v = 0m.s −1
v = 0m.s −1
∂ρv
=0
∂y
v = 0m.s −1
v = 0m.s −1
w
w = 0m.s −1
∂ρw
=0
∂z
w = 0m.s −1
w = 0m.s −1
w = 0m.s −1
T
T = 3500 K
T = 1000 K
T = 1000 K
T = 1000 K
Eq. IV-12
V
∂V
r =0
∂n
∂V
=0
∂z
∂V
=0
∂y
V = 0V
Eq. IV-13
Xi
Xi = 0
Xi = 0
∂X i
=0
∂y
Xi =1
Eq. IV-14
Ax
∂Ax
r =0
∂n
∂Ax
=0
∂z
∂Ax
=0
∂y
∂Ax
r =0
∂n
∂Ax
r =0
∂n
Ay
∂A y
r =0
∂n
∂A y
∂A y
=0
∂A y
r =0
∂n
∂A y
r =0
∂n
Az
∂Az
r =0
∂n
∂Az
=0
∂z
∂Az
=0
∂y
∂Az
r =0
∂n
∂Az
r =0
∂n
∂z
=0
∂y
KF
Eq. IV-15
Tableau IV-4 : Conditions aux limites typiques pour un arc libre en 3D.
Le temps de calcul pour amener un cas en trois dimensions à convergence est de l'ordre de
deux jours avec un Pentium IV 1.5GHz avec 512Mo de mémoire vive.
III) Comparaison 2D/3D
Dans un premier temps, pour s'assurer de la validité du modèle 3D développé, il a été
nécessaire de comparer les résultats obtenus sans application de forces extérieures avec ceux
obtenus avec notre code en deux dimensions. Pour cela, nous avons utilisé la configuration
Ar-Cu à 200A du paragraphe III-2 du chapitre III. Cette configuration, avec les paramètres
utilisés, ne conduit qu'à peu de vapeurs métalliques.
- 136 -
Figure IV-4 : Comparaison 2D-3D des isothermes d’un plasma d’argon avec une
anode en cuivre à 200A.
La Figure IV-4 présente la comparaison entre les champs de température d’un plasma
d’argon à 200A et d'une anode en cuivre obtenus avec le code 2D et 3D. On peut constater un
bon accord entre les deux modèles aussi bien au niveau du matériau que dans le plasma. Les
disparités les plus importantes sont obtenues, sur l'axe de la décharge, pour les isothermes
14000K et 15000K. L'isotherme "l" correspond à la température de fusion du cuivre et
délimite la taille du bain liquide représenté par la surface grisée.
Figure IV-5 : Comparaison 2D-3D entre les flux anodiques d’un plasma d’argon
et une anode en cuivre à 200A.
La Figure IV-5 représente la comparaison entre les flux anodiques pour les mêmes
conditions. Les résultats du code 2D et 3D sont représentés respectivement en symboles
- 137 -
blancs et en symboles pleins noirs. On peut remarquer, ici aussi, un bon accord entre les deux
types de courbes aussi bien au niveau de l'intensité de chacune des composantes du flux du
plasma vers l'anode qu'à leur rayon d'influence.
Figure IV-6 : Comparaison 2D-3D de la température à la surface de l'anode.
Sur la Figure IV-6, nous avons présenté les températures de surface de l'anode en 2D et
3D. On peut les corréler avec les flux anodiques et constater qu'au niveau de ces températures,
il existe aussi un bon accord entre les deux types de résultats. L'écart maximum se situe au
centre où le code 3D donne une température d'anode inférieure d'une vingtaine de kelvins par
rapport au code 2D.
Les modules de la vitesse sur l’axe sont représentés sur la Figure IV-7 pour les deux
configurations. Dans les deux cas, nous avons utilisé la formulation des potentiels vecteurs.
On retrouve bien, pour la configuration 3D, les résultats obtenus en 2D avec somme toute, des
vitesses inférieures sur l'axe de la décharge, de l'ordre de 10m.s-1 pour le modèle
tridimensionnel. Cette différence peut s'expliquer par le fait que la grille en trois dimensions
inclut une cellule centrale ce qui n'est pas le cas en deux dimensions ce qui induit donc un
décalage entre les deux maillages. Cela signifie aussi que le profil de densité de courant
imposé en deux et trois dimensions est décalé. La valeur de j z (r ) est plus importante en 3D,
néanmoins, en 2D, nous imposons ∂j z
∂r
= 0 et donc la valeur de j z sur l'axe de symétrie est
reportée sur la cellule juste à côté ce qui entraîne un meilleur pompage du gaz ambiant.
- 138 -
Figure IV-7 : Comparaison 2D-3D entre vitesses axiales au centre de la colonne
d’un plasma d’argon (I=200A).
Nous avons montré, dans une configuration 3D présentant un axe de symétrie naturel, le
bon accord entre les résultats du modèle en deux dimensions avec celui en trois dimensions.
Nous avons testé notre code au niveau des champs de température, des vitesses sur l'axe de la
décharge et sur les flux déposés à l'anode. Ceci valide indirectement nos développements 3D
sur une configuration sans déflection de la colonne de plasma. Dans le chapitre suivant, nous
allons comparer nos résultats avec ceux de Speckhofer [Sp] et de Blais [Bl-1], [Bl-2] qui ont
étudié l’influence d’un champ magnétique sur un plasma.
IV) Comparaison avec la littérature
Dans l'étape précédente, nous avons vérifié la validité de notre code lorsque la colonne de
plasma n'était soumise à aucune force extérieure et qu'elle gardait sa symétrie naturelle.
Maintenant, nous allons continuer l'étape de validation en appliquant une force magnétique
extérieure à la colonne de l'arc afin de la déflecter et de pouvoir comparer nos résultats avec
ceux obtenus dans la littérature.
1°) Comparaison avec l'étude de Speckhofer et Schmidt [Sp]
Afin de mener cette étude comparative avec les travaux de Speckhofer et Schmidt [Sp],
nous avons changé de configuration pour nous placer dans des conditions similaires. Nous
avons donc étudié un arc dans de l’argon, à 100A et à la pression atmosphérique, avec une
- 139 -
anode en cuivre de 5mm d’épaisseur et pour une distance inter-électrode de 3mm. L’arc est
déflecté par l'application d'un champ magnétique externe constant B x = 3.5mT .
Les résultats expérimentaux de Speckhofer [Sp] ont été obtenus par tomographie avec 13
angles de vue et 31 positions axiales en se déplaçant de la cathode vers l’anode.
Les isothermes obtenues par notre modèle sur le plan x = 0 ont été reportées sur la Figure
IV-8, et comparées avec les résultats expérimentaux de Speckhofer [Sp]. Un bon accord a été
trouvé entre les deux types de données.
Figure IV-8 : Comparaison entre les champs de température obtenus par notre
modèle 3D (en pointillés) et ceux obtenus expérimentalement par Speckhofer (en
trait plein).
2°) Comparaison avec l'étude de Blais [Bl-2]
La comparaison avec les résultats de Speckhofer [Sp] nous a permis de valider le
déplacement de l'arc sous l'effet d'une force magnétique constante. Nous allons maintenant
poursuivre l'étape de comparaison avec les travaux de Blais [Bl-2]. Dans cet article, les
auteurs modélisent la déflection d'un arc sous l'influence d'une distribution de champ
magnétique, créée par la circulation du courant dans un fil conducteur parallèle à la colonne
d'arc et placé, sur l'axe x, à une distance xC = 20mm .
La configuration utilisée par cet auteur est un arc dans de l'argon à 200A. L'intensité
injectée dans ce fil est de l'ordre de la centaine d'ampère ce qui permet de créer un champ
magnétique non constant de l'ordre du millitesla. Les valeurs suivant x et y des composantes
du champ magnétique sont données par les relations :
- 140 -
Bx =
By =
µ 0 I conducteur cos arctan y x 



(Eq. IV-16)
2π x 2 + y 2
µ 0 I conducteur sin arctan y x 


2π x + y
2

(Eq. IV-17)
2
Bz = 0
(Eq. IV-18)
Où µ 0 la perméabilité magnétique du vide vaut µ 0 = 4π × 10 −7 H .m −1 .
Les Figures IV-9 et IV-10 représentent les valeurs des composantes du champ magnétique
calculées sur les plans x = 0 et y = 0 . Les valeurs maximales de ces champs se situent au
proche voisinage du fil conducteur.
Figure IV-9 : Composantes du champ magnétique appliquées sur le plan x = 0 .
- 141 -
Figure IV-10 : Composantes du champ magnétique appliquées sur le plan y = 0 .
Dans ses travaux, Blais [Bl-2] ne modélise pas l'interaction avec le matériau et seule une
condition de flux nul est appliquée à la surface de l'anode. La déviation du pied d'arc est
définie à partir de la distance entre l'axe naturel de la colonne et la cellule qui contient la plus
haute température. Cette distance est calculée au voisinage de l'anode.
Les valeurs du champ magnétique, calculées en "préprocessing", ont ensuite été injectées
dans notre code afin de simuler les travaux de Blais. Les résultats obtenus au niveau de la
déflection du pied d'arc sont reportés sur la Figure IV-11 :
Figure IV-11 : Déviations du pied d'arc dans le cas de Blais (cercles blancs) et
données par notre modèle avec modélisation de l'anode (carrés noirs).
On constate que les résultats obtenus par notre modèle ne sont pas en accord avec ceux de
Blais. La seule différence entre les deux modèles provient du traitement de l'anode : dans
- 142 -
notre cas, elle est modélisée et l'accrochage dépend des propriétés intrinsèques du matériau
tandis que dans le cas de Blais, seule une condition de flux nul est appliquée.
Afin de nous assurer que les différences proviennent bien de la description faite au niveau
de l'anode, nous avons, nous aussi, utilisé une condition de flux nul, sans considérer le
matériau dans notre domaine de calcul. Les résultats obtenus sont reportés sur la Figure IV-12
et comparés à ceux obtenus par Blais pour les mêmes configurations.
Figure IV-12 : Déviations du pied d'arc dans le cas de Blais (cercles blancs) et
données par notre modèle avec flux nul (triangles noirs).
On peut noter, maintenant, un bien meilleur accord avec des différences voisines de un
demi-millimètre. Dans le cas précédent, elles étaient de l'ordre de 2 à 3 millimètres.
Pour terminer la comparaison et finalement valider notre modèle de transfert d'énergie à
l'anode via le calcul du déplacement du pied d'arc, nous allons utiliser une configuration non
plus d'arc libre mais d'arc transféré soufflé. En effet, dans les années 70, à Odeillo, des études
expérimentales ont été effectuées sur cette configuration [Bl-1]. La colonne de plasma était
déflectée par un champ magnétique créé par un fil traversé par un courant continu. Blais a
aussi modélisé cette configuration toujours par l'application d'une condition de flux nul au
niveau de l'anode. Nous nous sommes alors placés dans la configuration présentée sur la
Figure IV-13 afin de déterminer, par comparaison avec les résultats expérimentaux, si la
modélisation de l'interaction de l'anode est nécessaire à la prédiction de la déflection de l'arc.
- 143 -
Figure IV-13 : Configuration 3D utilisée par Blais [Bl-1].
Nous avons utilisé une grille de 139 × 139 × 100 ce qui représente 1932100 cellules. La
configuration comprend une cathode en tungstène de 60° d'angle au sommet et une longueur
de 15mm. La cathode est insérée dans une tuyère selon le schéma de la Figure IV-13. Au
sommet de cette tuyère est injecté de l'argon. La configuration comprend aussi une anode en
cuivre de 45mm de largeur et de longueur et de 5mm d'épaisseur. La distance inter-électrode
est de 80mm. Le champ magnétique extérieur est créé à partir d'un fil situé à 22mm de l'axe
de la torche et traversé par un courant continu identique en intensité au courant servant à
alimenter la torche. Nous allons étudier le cas où l'intensité injectée est de 100A (dans le fil et
dans le plasma) et le débit de gaz de 5l.min-1. Ces paramètres ont été choisis afin de pouvoir
comparer les résultats obtenus par notre modèle avec ceux donnés expérimentalement [Bl-1].
Les autres côtes (en mm) sont représentées sur la Figure IV-14 :
- 144 -
Figure IV-14 : Coupe sur le plan x = 0 de la configuration 3D utilisée par Blais [Bl-1].
Les conditions aux limites associées à la Figure IV-15 et utilisées ont été répertoriées dans
le Tableau IV-5.
Figure IV-15 : Conditions aux limites pour la configuration 3D sur le plan x = 0 .
- 145 -
Une pression d'entrée Pin de 9.8 × 10 −3 atm est appliquée afin d'obtenir un débit d'argon de
5l.min-1.
ABML
BC
CD
DE
EFGH
HI
P = Pin
P
IJ
JKL
P = 1atm
u
u = 0m.s −1
u = 0m.s −1
u = 0m.s −1
u = 0m.s −1
u = 0m.s −1
u = 0m.s −1
u = 0m.s −1
v
v = 0m.s −1
v = 0m.s −1
v = 0m.s −1
v = 0m.s −1
v = 0m.s −1
∂ρv
=0
∂y
v = 0m.s −1
w
∂w
=0
∂y
w = 0m.s −1
∂w
=0
∂y
w = 0m.s −1
w = 0m.s −1
w = 0m.s −1
w = 0m.s −1
T
∂T
=0
∂y
T = 3500 K
V
∂V
=0
∂y
Xi
Ax
Ay
Az
Eq. IV-
MJ
T = 500 K T = 500 K T = 500 K T = 500 K T = 1000 K Eq. IV-12
∂V
r =0
∂n
∂V
=0
∂z
∂V
=0
∂z
∂V
=0
∂z
∂V
=0
∂z
V = 0V
Eq. IV-13
∂X i
=0
∂y
∂X i
r =0
∂n
∂X i
=0
∂z
∂X i
=0
∂z
∂X i
=0
∂z
∂X i
=0
∂z
Xi =1
Eq. IV-15
∂Ax
=0
∂y
∂Ax
r =0
∂n
∂Ax
=0
∂z
∂Ax
r =0
∂n
∂Ax
=0
∂z
∂Ax
r =0
∂n
∂Ax
r =0
∂n
∂A y
=0
∂A y
r =0
∂n
∂A y
=0
∂A y
r =0
∂n
∂A y
=0
∂A y
r =0
∂n
∂A y
r =0
∂n
∂Az
=0
∂y
∂Az
r =0
∂n
∂Az
=0
∂z
∂Az
r =0
∂n
∂Az
=0
∂z
∂Az
r =0
∂n
∂Az
r =0
∂n
∂y
14
∂z
∂z
Tableau IV-5 : Conditions aux limites pour la configuration 3D.
Le temps de calcul pour amener une telle configuration à trois dimensions à convergence
est de l'ordre de quinze jours avec un serveur Compaq Alpha à huit processeurs avec 8Go de
mémoire vive.
Les résultats obtenus en terme de champs de température dans le plasma et dans le
matériau sont représentés sur la Figure IV-16. Dans la colonne de l'arc, la température
maximale est de 21231K et dans l'anode elle est de l'ordre de 1100K.
- 146 -
Figure IV-16 : Isothermes dans un plasma d'argon à 100A et dans une anode en cuivre
soumis à un champ magnétique induit par un fil traversé par un courant de 100A.
Sur la Figure IV-17, est représenté un isocontour du champ de vitesse pour une valeur
v = 20m.s −1 . On constate que les forces de Laplace modifiées par le champ magnétique
extérieur vont changer le champ de vitesses dans la colonne de plasma et ainsi déflecter l'arc.
Proche de la cathode, là où les forces de Lorentz sont très importantes, le champ magnétique
n'aura pas une influence suffisante pour déflecter l'arc. Plus on s'éloigne de la cathode, plus la
colonne de plasma va s'expanser entraînant ainsi un étalement des densités de courant et donc
une diminution des forces de Lorentz. Le champ magnétique extérieur a alors suffisamment
d'influence pour déflecter l'arc. Proche de l'anode, le champ magnétique extérieur est très
faible du à l'augmentation de la distance fil-colonne et il n'induit qu'une déviation peu
significative.
- 147 -
Figure IV-17 : Isocontour v=20m.s-1.
Sur la Figure IV-18, nous avons reporté les déviations du pied de l'arc données par notre
modèle, en fonction du courant et comparé ces valeurs avec les résultats expérimentaux et
théoriques [Bl-1]. La déviation du pied d'arc a été déterminée à partir de la distance entre l'axe
naturel de la colonne et la cellule qui contient la plus haute température au niveau de l'anode.
Figure IV-18 : Déviations du pied d'arc issues de [Bl-1] (carrés blancs), du modèle
sans modélisation de l'anode de [Bl-1] et données par notre modèle avec
modélisation de l'anode (carrés noirs).
- 148 -
Dans le cas expérimental [Bl-1], la valeur de déplacement du pied d'arc est de 17.9mm et
de 23.5mm, pour des intensités injectées respectivement de 100 et 125A. Le déplacement
calculé par le code 3D prenant en compte l'interaction avec l'anode est de 15.2mm et de
20.6mm, pour les mêmes intensités. Les barres d'erreur ne sont pas fournies par l'auteur, mais
on peut noter un bon accord entre les résultats de notre code et ceux expérimentaux. Les
valeurs du déplacement du pied d'arc estimées par le modèle de l'auteur, avec une condition
de flux nul à la surface de l'anode, sont, quant à elles, assez éloignées des valeurs
expérimentales.
Bien que cette étape de comparaison avec les résultats de Blais [Bl-2] ait été développée
afin de valider notre code avec des travaux de la littérature, elle montre clairement que la prise
en compte de la modélisation globale - plasma plus matériau - est nécessaire pour toute
prédiction du déplacement de l'arc soumis à une force magnétique extérieure.
La prédiction du déplacement de l'arc avec les travaux expérimentaux d'Odeillo [Bl-1]
constitue pour nous une validation indirecte du transfert d'énergie et de la modélisation du
domaine anodique.
V) Application d'une force convective extérieure
Une fois l'étude sur l'application d'une force magnétique présentée, nous avons testé
l'influence d'une force convective transverse appliquée sur l'arc libre. L'étude a été menée
dans de l'argon avec une anode en cuivre, pour une intensité de 200A. Les vitesses appliquées
sont de 2, 5 et 10m.s-1. Elles sont constantes sur toute une face en bord de domaine
tridimensionnel.
La Figure IV-19 représente les isothermes du plasma et de l'anode lorsque la colonne est
soumise à une force convective de 5m.s-1.
- 149 -
Figure IV-19 : Isothermes du plasma et de l'anode pour une configuration Ar-Cu à
200A et pour une force convective de 5m.s-1.
On peut remarquer, sur la Figure IV-19, que la température maximale dans le plasma est de
21000K et dans le matériau de l'ordre de 1350K. Ce sont sensiblement les mêmes
températures que dans le cas où il n'y a pas de forces latérales. On peut aussi constater que les
isothermes de l'arc et du matériau sont déflectées. Ces déviations sont calculées pour
différentes vitesses transverses appliquées, suivant le même principe que pour la force
magnétique, et sont représentées sur la Figure IV-20.
Figure IV-20 : Déplacement du pied d'arc pour une configuration Ar-Cu à 200A et
pour différentes valeurs de forces convectives.
Le déplacement ainsi évalué est de 8.75 × 10 −4 m, 1.79 × 10 −3 m et 2.72 × 10 −3 m pour une
force convective de, respectivement, 2, 5 et 10m.s-1. On peut remarquer que les résultats ne
- 150 -
sont pas linéaires suivant la vitesse appliquée. Cette non-linéarité dans les résultats peut
s'expliquer par le fait que ce n'est pas la vitesse qui déflecte l'arc mais la force convective
associée. Selon Bernouilli, cette force convective est proportionnelle à ρv 2 et donc la
linéarité du déplacement est fonction du carré de la vitesse et non de la vitesse.
Sur les Figures IV-21 à IV-23, sont représentés les flux anodiques déposés par la colonne
de plasma suivant les vitesses appliquées en bord de domaine. Ces flux ont été relevés sur le
plan x = 0 . La droite R = 0 correspond à l'axe de symétrie naturel de l'arc lorsque ce dernier
n'est pas déflecté. Si l'on regarde plus en détail, on peut constater que le profil des flux a été
modifié par les vitesses extérieures appliquées. On peut aussi noter que la valeur maximale du
flux total a augmenté en fonction des vitesses : elle vaut 4.6 × 10 7 W .m −2 pour une vitesse
appliquée de 2m.s −1 , 5.1 × 10 7 W .m −2 pour 5m.s −1 et 5.5 × 10 7 W .m −2 pour 10m.s −1 .
Figure IV-21 : Flux anodiques pour une configuration Ar-Cu à 200A et pour une force
convective de 2m.s-1.
- 151 -
Si l'on regarde maintenant les températures à la surface de l'anode, on peut voir, sur la
Figure IV-24 que ces dernières, ont un maximum qui est décalé et qui présente une valeur
plus importante, suivant la force latérale appliquée. En effet, pour des vitesses de 2, 5 et
10m.s-1, on observe une température maximale à la surface de l'anode de 1350K, 1379K et
1385K. Cela traduit bien les résultats que l'on a trouvés au niveau des flux anodiques.
Figure IV-24 : Températures en surface d'anode pour une configuration Ar-Cu à 200A
et pour différentes valeurs de forces convectives.
Pour expliquer cette augmentation de la température en fonction de la vitesse injectée, il
faut regarder les composantes des flux anodiques. Sur les Figures IV-21, IV-22 et IV-23,
seule la valeur maximale de la composante du flux électrique est notablement modifiée par la
- 152 -
force convective. Cela signifie qu'à un facteur multiplicatif près, les densités de courant au
niveau de l'anode ont augmenté avec les vitesses transverses appliquées. On peut en effet
remarquer sur ces mêmes figures que, l'application des flux électriques a diminué sur l'axe
x = 0 : elle passe de quasiment 12.5mm suivant l'axe des vitesses pour une valeur de 2m.s −1 à
près de 10mm pour une vitesse de 10m.s −1 . Une diminution du rayon d'influence va alors
entraîner, pour une même intensité, une augmentation locale des densités de courant.
VI) Conclusions
Les développements effectués en trois dimensions, nous ont permis d'étudier l’influence de
l'application d’un champ magnétique extérieur ou d'une force convective sur la colonne de
plasma. Tout d'abord, nous avons utilisé une configuration simple d'arc libre en 3D, sans
déflection et comparé les résultats avec ceux obtenus en 2D. Un bon accord a été trouvé aussi
bien dans le plasma que dans le matériau en terme de champ de température et de vitesses,
validant ainsi nos développements.
Nous avons ensuite modifié la configuration et appliqué une force magnétique constante.
Les résultats obtenus par le modèle ont été comparés avec ceux donnés expérimentalement
par des auteurs comme Speckhofer [Sp]. Là aussi, un bon accord a été obtenu sur les champs
de température et sur les valeurs de déplacement du pied d'arc. Pour terminer cette étape de
validation et de comparaison, nous avons ensuite appliqué un champ magnétique extérieur
induit par le passage de courants dans un fil. Nous avons ainsi validé indirectement le
transfert d'énergie via les déplacements de pied d'arc mesurés tout en montrant la nécessité de
la prise en compte d'un modèle global (plasma+anode) pour la prédiction des déplacements
des arcs sous l'influence d'une force magnétique extérieure.
Nous avons ensuite appliqué une force extérieure de type convective et noté son influence
sur la colonne de plasma ainsi que sur le déplacement du pied d'arc. Nous avons ainsi observé
l'influence de cette force sur les flux appliqués à l'anode et sur les températures à la surface de
celle-ci.
Dans les prochaines étapes de cette thèse, nous allons nous rapprocher du problème relatif
au foudroiement d'un aéronef. Pour cela, la mise en place des développements 2D et 3D que
nous avons présentés s'avérait indispensable. Dans le cas d'un foudroiement d'avion les pieds
d'arc sur la voilure sont soumis à des forces convectives; nous allons donc appliquer une force
convective latérale afin de simuler l'influence de l'avancée d'un aéronef.
- 153 -
Comme nous l'avons déjà mentionné, nous allons étudier une des phases de dégradation
que représente la composante continue "C". Nous devons donc appliquer des intensités
comprises entre 200 et 800A pendant un temps caractéristique de 0.25 et 1s (Figure I-4). Ce
code sera alors appliqué sur des anodes en matériau composite.
- 154 -
Chapitre V : Application du
modèle au matériau
composite.
- 155 -
- 156 -
Chapitre V : Application du modèle au matériau composite
Ce chapitre est consacré à la modélisation en deux et trois dimensions, en régime transitoire,
de l'interaction entre un arc électrique et un matériau composite. Le matériau composite étudié
est identique à celui que nous avons décrit dans le chapitre II. L'objectif principal consiste à se
placer dans des configurations similaires à celles définies par la réglementation internationale
afin de caractériser au mieux les matériaux lors du foudroiement. Comme nous l'avons déjà
précisé, seule la composante continue C sera appliquée tout au long de ce chapitre comme
cela est fait lors des essais expérimentaux. Dans un premier temps, nous effectuerons une
modélisation en deux dimensions permettant de caractériser les dommages subis par le
matériau composite. Dans un deuxième temps, nous étudierons l'ensemble arc-composite en
trois dimensions sous l'effet d'un soufflage latéral.
I) Modèle mathématique de l'étude en deux dimensions
Dans ce paragraphe, nous allons procéder à l'étude en deux dimensions de l'interaction
entre un arc électrique initié dans l'air et une anode en composite. Cette analyse s'effectuera en
transitoire afin de se positionner dans la réglementation internationale et de quantifier
l'énergie déposée par le plasma. Les équations utilisées pour décrire le comportement de l'arc
sont les mêmes que celles utilisées dans le chapitre III (équations de Navier-Stokes auxquelles
on ajoute les équations de l’électromagnétisme) avec un terme temporel supplémentaire. Sans
l'application d'une force perturbatrice extérieure, l’arc est symétrique axialement ce qui
signifie que les équations de la magnétohydrodynamique vont s’écrire en 2D cylindriques (r,
z).
1°) Hypothèses
Afin de simplifier le traitement de ces équations, on utilise les hypothèses suivantes :
-
La colonne de plasma est supposée être en E.T.L..
-
L’écoulement est considéré laminaire.
-
Les effets de gravité sont négligés.
-
On supposera que la surface de l’anode est indéformable spatialement et
temporellement.
-
vers l’anode ainsi que de l’anode vers le plasma.
- 157 -
-
Les gaines anodiques et cathodiques ne seront pas représentées.
Les équations de conservation, en transitoire, vont s'écrire sous la forme généralisée
proposée par Patankar [Pa] :
r
r
∂ ( ρΦ ) r r
+ ∇.(ρv Φ ) = ∇. ΓΦ ∇Φ + S Φ
∂t
(
)
(Eq. V-1)
r
résolues dans les différentes équations de conservation. Ces trois grandeurs sont explicitées
pour chacune des équations de conservation résolues dans le Tableau II-1 du chapitre II. Le
terme en temporel, ne sera rajouté que pour les équations de Navier-Stokes et n'interviendra
pas dans les équations de l'électromagnétisme.
Afin de boucler le système d’équations, on y rajoute, le calcul du champ magnétique :
r r r
B = ∇× A
soit
Bθ =
∂Ar ∂Az
−
∂z
∂r
(Eq. V-2)
ainsi que le calcul des densités de courant dans la colonne de plasma :
j z = −σ
∂V
∂z
et
j r = −σ
∂V
∂r
(Eq. V-3)
Dans la configuration étudiée en régime transitoire, les densités de courant, en incluant les
 ∂V ∂Az 
 ∂V ∂Ar
termes temporels, devraient s'écrire : j z = −σ 
+
+
 et j r = −σ 
∂t 
∂t
 ∂z
 ∂r

 . Les

termes temporels, variant très peu dans la colonne de plasma, seront négligés durant toute
l'étude.
- 158 -
Les équations résolues dans le composite sont un peu plus complexes que celles résolues
pour la phase condensée du matériau conducteur car les propriétés de transport dépendent des
directions du fait de l'anisotropie du milieu. Les équations de conservation de l'énergie et du
courant vont alors s'écrire [Je] :
∂ ( ρC P T ) 1 ∂ 
j z2
∂T  ∂  ∂T  j r2
=
+
 rκ r
 + κ z
+
∂t
r ∂r 
∂r  ∂z  ∂z  σ r σ z
(Eq. V-4)
1 ∂ 
∂V  ∂  ∂V 
=0
 + σ z
 rσ r
r ∂r 
∂z 
∂r  ∂z 
(Eq. V-5)
Dans les équations V-4 et V-5, κ r et κ z représentent les conductivités thermiques
longitudinales et transversales du matériau et σ r et σ z sont les conductivités électriques
longitudinales et transversales. Le calcul des densités de courant dans le matériau se fera à
partir des relations données par l'Equation V-3 modifiées pour tenir compte de l'anisotropie du
matériau :
j z = −σ z
∂V
∂z
et
j r = −σ r
∂V
∂r
(Eq. V-6)
Pour maintenir la conservation du courant et du flux de chaleur entre le plasma et
l'électrode, on utilise les mêmes équations que celles décrites dans les chapitres précédents, en
négligeant toujours les gradients radiaux par rapport aux gradients le long de l’axe, au
voisinage de l'anode. On aura donc, à l’interface :



5 kB
 ∂T 
 ∂T 
− κ z  ∂z  = − κ z  ∂z  + j z  2 e (Tmat − T pla ) + Va + Φ a  − Lmat Φ v


 mat 
 pla




 ∂V
− σ z  ∂z



 ∂V

 = − σ z 
 ∂z
 mat 


 pla
(Eq. V-7)
(Eq. V-8)
- 159 -
Afin de tenir compte de la présence de vapeurs de carbone dans le plasma, il faut résoudre
l’équation de conservation de la fraction massique (voir Tableau V-1).
Equation de conservation
Φ
ΓΦ
SΦ
Fraction massique
Xi
ρD
0
Tableau V-1 : Equation de la conservation de la fraction massique mise sous la forme généralisée de
Patankar.
Où X i est la fraction massique du matériau dans le plasma et D, le coefficient de diffusion
du carbone dans le gaz plasmagène, en l'occurrence, ici, l'air.
A la surface du matériau, la fraction massique va être calculée de la même façon que pour
les matériaux conducteurs, à partir de la relation :
(X i ) =
Pv M mat
(Eq. V-9)
Nous utiliserons la géométrie d’arc libre en deux dimensions que nous avons déjà
présentée dans les chapitres précédents et dont les dimensions sont rappelées sur la Figure V1:
Figure V-1 : Géométrie étudiée.
- 160 -
Elle comprend une cathode en tungstène de 60o d’angle au sommet et d’une longueur de
3mm. L’anode a une épaisseur de 2mm et un rayon de 15mm. La distance inter-électrode est
de 10 millimètres. L’intensité pourra varier entre 200A et 800A et la durée de vie de l'arc va
varier de 1s à 250ms. La pression du milieu est la pression atmosphérique.
Afin de modéliser cette configuration, nous avons utilisé un maillage de (299 × 52) pour
15mm de hauteur et 15mm de largeur. Ce maillage exponentiel est affiné aux bords du
domaine ainsi qu’à l’interface plasma-anode. De plus, comme l'a suggéré Jennings [Je], nous
σ
avons appliqué dans l'anode un maillage tel que ∆z ≈  z
σr
1
 2
 ∆r . Cela signifie que pour

l'anode de 15mm de rayon et de 2mm de hauteur, nous avons utilisé une grille de 250 × 52
cellules.
Les conditions aux limites utilisées pour la modélisation sont identiques à celles décrites
dans le chapitre III. Seule la condition de refroidissement en fond et sur le bord latéral de
l'anode va être modifiée : en effet, on va appliquer une température de refroidissement de
300K dans le cas du composite contre une température de 1000K pour les matériaux
métalliques. La température de "vaporisation" du matériau composite étant de 1173K, cette
valeur de la température de refroidissement permet d'éviter la présence excessive de vapeurs
de carbone.
Le temps de calcul pour amener une configuration avec anode en composite, à deux
dimensions et en transitoire, à convergence est de l'ordre de six heures avec un Pentium IV
2.66MHz avec 512Mo de mémoire vive.
5°) Méthode numérique
Pour résoudre le problème en transitoire, la discrétisation du terme temporel se fera de la
façon suivante :
t + ∆t
∫
t
∂
(ρΦ )dt = (ρΦ )1 − (ρΦ )0
∂t
(Eq. V-10)
Φ est la grandeur scalaire à résoudre et les indices 1 et 0 correspondent respectivement
aux valeurs des grandeurs au temps t + ∆t et t .
- 161 -
Le terme convectif sera discrétisé en fonction de ses valeurs à l'instant t et t + ∆t , et
s'exprimera de la façon suivante :
∫ (ρuΦ )dt = [ f (ρuΦ ) + (1 − f )(ρuΦ ) ]∆t
t + ∆t
1
0
(Eq. V-11)
t
Pour f = 0 , le schéma utilisé est appelé schéma explicite. Pour f = 1 , il s'agit du schéma
implicite complet.
Le schéma explicite peut conduire à des résultats physiquement non réalistes. Il est alors
contrôlé par un critère de stabilité [Pa], [Ve] :
∆t <
ρC P (∆x )2
2κ
(Eq. V-12)
κ , ρ , C P , ∆x et ∆t sont respectivement la conductivité thermique, la densité massique,
la chaleur spécifique, le pas spatial et le pas de temps. La résolution temporelle va donc varier
comme le carré de la résolution spatiale. Donc si l'on veut raffiner une grille, il faudra aussi
fortement raffiner le pas de temps. Ainsi, pour des pas de temps extrêmement fins, il est
possible d'utiliser le schéma explicite. Cependant, une forte diminution du pas de temps va
augmenter considérablement le temps de calcul global.
Le logiciel FLUENT utilise uniquement le schéma implicite complet ce qui signifie que
c'est la nouvelle valeur en t + ∆t qui prévaut. L'avantage du schéma implicite complet est
qu'il est inconditionnellement stable.
6°) Procédure de convergence en temporel
Pour mettre en place le modèle de transfert d'énergie en transitoire, une première étape
d'accrochage de l'arc à la surface de l'anode a été nécessaire. Ainsi, nous avons modélisé l'arc
en stationnaire s'accrochant sur l'anode avec une condition de flux nul. Une fois la colonne de
plasma établie, nous avons enclenché la variation temporelle avec la résolution du transfert
d'énergie et des équations de conservation dans le matériau et dans le plasma.
- 162 -
II) Résultats et discussions sur l'étude en deux dimensions
Les résultats du code 2D ont été obtenus à partir d'une configuration d'arc libre présentée
sur la Figure V-1. Le gaz plasmagène est de l'air et l'anode est constituée par le matériau
composite qui a été présenté dans le chapitre II. L'intensité pour ces études sera de 200, 400 et
800 Ampères. Comme la charge déposée doit être de 200C, conformément à la
réglementation internationale sur la composante continue C, les temps appliqués seront donc
de 1, 0.5 et 0.25s.
Avant de présenter l'étude paramétrique réalisée dans cette configuration, nous allons
comparer les résultats obtenus dans le matériau composite avec ceux présentés par Jennings
[Je].
1°) Validation des développements dans le matériau composite
Afin de valider la propagation de l'énergie dans le matériau, nous avons effectué une
recherche bibliographique. Il s'avère qu'il n'existe que très peu de travaux relatifs à ce sujet et
les résultats théoriques ne sont que rarement comparés et validés avec l'expérience. Nous
avons toutefois trouvé les résultats de Jennings [Je] que nous allons utiliser maintenant.
Nous avons, pour cela, modifier le code en deux dimensions. Le domaine de calcul a été
restreint au matériau seul. Dans cette anode en composite, seules les équations de
conservation de l'énergie et du courant seront résolues. Le domaine de calcul sera identique à
celui utilisé par l'auteur et est représenté sur la Figure V-2 : il est constitué d'une anode de
2mm de hauteur et de 40mm de rayon. Le maillage utilisé comprend 40 cellules de 1mm dans
la direction radiale et 32 cellules de 0.0625mm dans la direction axiale.
Figure V-2 : Géométrie étudiée par Jennings [Je].
- 163 -
En surface de ce matériau nous avons appliqué une condition en densité de courant et en
densité de flux thermique dont les variations sont présentées sur les Figures V-3 et V-4
suivantes.
Figure V-4 : Densité de courant injectée à la surface de
l'anode.
Figure V-3 : Densité de flux injectée à la surface de
l'anode.
Les conditions aux limites sont répertoriées dans le Tableau V-3 suivant.
AB
BC
CD
DA
T
∂T
=0
∂r
T = 300 K
T = 300 K
Fig. V-3
V
∂V
=0
∂r
V =0
V =0
Fig. V-4
Tableau V-3 : Conditions aux limites utilisées par Jennings [Je].
Les coefficients de transport et les propriétés thermodynamiques nécessaires à la
modélisation ont été repris de l'article de Jennings. Ils sont donnés dans le Tableau V-4.
1800kg.m −3
Densité
Température de vaporisation
573K
Chaleur latente de vaporisation
Chaleur spécifique
0 J .kg −1
1000 J .kg −1 .K −1
Conductivité électrique radiale 25600S .m −1
Conductivité thermique radiale 6W .m −1 .K −1
100S .m −1
Conductivité thermique axiale 0.4W .m −1 .K −1
Conductivité électrique axiale
Tableau V-4 : Coefficients de transport utilisés par Jennings [Je].
- 164 -
Enfin, nous avons aussi utilisé les mêmes pas de temps que cet auteur, à savoir : 60
périodes de durée ∆t = 8.3333 × 10 −3 s pour une durée totale 0.5s.
Les résultats en terme de champ de température, ou plus exactement de dégradation du
matériau, sont représentés au bout de 0.5s sur la Figure V-5 suivante :
Figure V-5 : Dégradation du matériau obtenue par notre code (à gauche) et donnée par
Jennings [Je] (à droite).
Sur la Figure V-5, les résultats obtenus par notre code 2D sont comparés à ceux donnés par
Jennings et issus d'expériences. En gris foncé sont représentées les zones de dégradation totale
du matériau. Dans notre calcul cela correspond au fait que la température de vaporisation du
composite a été atteinte. Nous obtenons des résultats similaires à ceux expérimentaux, aussi
bien au niveau du rayon de la détérioration que de sa profondeur.
Figure V-6 : Dégradation du matériau obtenue numériquement (à gauche) et
expérimentalement (à droite) par Jennings [Je].
Sur la Figure V-6, sont représentés les résultats numériques et expérimentaux obtenus par
Jennings [Je]. On constate que les résultats issus du modèle diffèrent en terme de dégradation
par rapport à ceux expérimentaux. Les différences se situent aussi bien au niveau de la
profondeur de la zone dégradée qu'au niveau de son rayon.
Cette première partie nous a permis de comparer, avec la littérature, les résultats issus des
développements mis en place dans le matériau composite. Un bon accord en terme de
dégradation de matériau a été trouvé en comparaison avec ceux expérimentaux donnés par
Jennings. Nous allons maintenant utiliser ces développements pour les appliquer à trois
valeurs de l'intensité : 200, 400 et 800A.
- 165 -
2°) Etude paramétrique sur l'intensité de l'arc
Dans cette partie, nous allons revenir à la configuration d'arc libre présentée dans le
paragraphe I-4 de ce chapitre. Nous allons étudier un arc dans l'air pour des intensités de 200,
400 et 800A et pour des durées de 1, 0.5 et 0.25s. Chaque période a été divisée en 20 pas de
temps identiques. Les résultats pour chacun des cas, en terme de champ de température ainsi
qu'en terme de flux injectés à l'anode, sont représentés pour chaque intensités par les figures
suivantes :
Figure V-6 : Isothermes d'un plasma d'air et d'une anode en composite, à 200A, pour une durée de 0.2s.
- 166 -
Figure V-7 : Isothermes de dégradation du matériau d'anode (à gauche) et flux anodiques (à droite) pour une
configuration air-composite à 200A
- 167 -
Sur la Figure V-6 sont représentées les isothermes du plasma d'air et celles de l'anode en
composite pour une configuration à 200A et pour une durée de 0.2s. Au niveau de la colonne
du plasma, on peut constater que la température maximale est de l'ordre de 18000K et qu'elle
varie peu au cours du temps. Nous nous sommes donc focalisés (Figure V-7) sur la
dégradation dans le matériau composite.
Les résultats présentés, sur la Figure V-7, ont été enregistrés pour des temps de 0.2, 0.4,
0.6, 0.8 et 1.0s. Les surfaces grisées dans le matériau composite (côté gauche Figure V-7)
correspondent aux différentes phases de dégradation du matériau. La couleur gris foncé
correspond à la phase de dégradation totale du matériau, la couleur gris clair, correspond à la
dégradation partielle et la couleur blanche correspond à la partie du matériau qui n'a pas subi
de dégradation. Ces zones ont été évaluées à partir des températures de changement de phase
du matériau. Pour des températures égales à 1173K, nous avons considéré que l'anode était
totalement dégradée, elle est donc représentée par la couleur gris foncé. Cette couleur n'est
visible que pour les cas de 400 et 800A. Pour des températures comprises entre 723K et
1173K, nous avons considéré le matériau partiellement dégradé et nous lui avons attribué la
couleur gris clair. Enfin, pour des températures inférieures à 723K, nous avons considéré que
le matériau n'était pas dégradé et nous l'avons représenté par la couleur blanche. La
dégradation dans le matériau composite est surtout radiale et peu axiale. Cela s'explique par le
fait que les conductions thermiques et électriques se font préférentiellement dans la direction
radiale.
Dans la partie de droite (Figure V-7) sont représentés les flux anodiques enregistrés aux
mêmes instants que les champs de température. On peut tout d'abord constater que le flux
total ainsi que ses composantes varient très peu au cours du temps. La valeur maximale du
flux total appliqué est voisine de 1.2 × 10 8 W .m −2 et son rayon d'application est de l'ordre de
6mm. On peut aussi noter que la composante majoritaire du flux anodique appliqué, est le
flux électrique comme pour les matériaux métalliques. Le flux par conduction est le deuxième
flux le plus influant au centre de la décharge mais reste le plus important sur les bords du
domaine. Les composantes du flux enthalpique sont quasiment négligeables comparées aux
autres composantes que sont le flux électrique et le flux par conduction.
- 168 -
- 169 -
Sur la Figure V-8 sont représentées les températures du plasma d'air et du matériau
composite pour une configuration à 400A et pour une durée de 0.1s. Au niveau des
isothermes du plasma d'air, la température maximale enregistrée est de l'ordre de 22000K. Les
isothermes du plasma variant peu au cours du temps, comme dans le cas à 200A, nous allons
nous focaliser sur les champs de température du matériau d'anode (Figure V-8).
Les résultats présentés ont été obtenus pour les temps de 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 et 0.5s. Dans le
matériau composite (partie de gauche), le code de couleur dans l'anode est le même que pour
- 170 -
le cas à 200A. Dans la partie de droite, sont représentés les flux anodiques associés aux
mêmes instants.
Au niveau de la dégradation dans le matériau, on peut constater que les extensions radiales
et axiales sont différentes de celles du cas à 200A. Au niveau des flux anodiques, les profils
enregistrés sont sensiblement les mêmes que pour les cas précédents et varient peu au cours
du temps. Les composantes majoritaires du flux total restent le flux électrique et le flux par
conduction. Le flux électrique a augmenté par rapport au cas à 200A, ce qui signifie que les
densités de courant à la surface de l'anode ont aussi augmenté amplifiant ainsi l'effet Joule
dans le matériau. La dégradation a donc augmenté par rapport à la configuration précédente.
La valeur maximale du flux total est de l'ordre de 1.9 × 10 8 W .m −2 sur 0.2s puis cette valeur
diminue pour atteindre ensuite 1.7 × 10 8 W .m −2 . La diminution du flux total est due à la
diminution du flux électrique sur les temps considérés puisque le flux par conduction ne varie
pas sensiblement durant toute l'étude à 400A. Les rayons d'application de ces flux sont
identiques au cas à 200A et valent environ 6mm. Le profil du flux électrique est différent de
ce que l'on a vu jusqu'à présent : il n'a plus tout à fait un profil gaussien et présente un léger
plateau au niveau de l'axe de la décharge. Cela signifie que les densités de courant à la surface
de l'anode possèdent aussi ce même type de profil. Leurs valeurs maximales ayant diminué et
leur rayon d'application restant le même, le profil s'est donc adapté pour conserver le courant
total dans le plasma.
Les flux enthalpiques et le flux par vaporisation restent négligeables.
- 171 -
- 172 -
Sur la Figure V-10 sont représentées, les températures du plasma d'air et du matériau
composite pour une configuration à 800A et pour une durée de 0.25s. La température
maximale du plasma d'air est de 28000K.
Les résultats présentés, ici, ont été obtenus pour les temps de 0.05, 0.1, 0.15, 0.2 et 0.25s.
Dans l'anode, le même code de couleur que pour les cas précédents (partie gauche) a été
utilisé. La dégradation dans l'anode est peu différente de celle obtenue avec 400A, que ce soit
dans le sens axial ou dans le sens radial.
- 173 -
Dans la partie droite de la Figure V-11, les flux anodiques sont représentés. On peut
remarquer que les flux ne sont quasiment pas modifiés au cours du temps. La valeur
maximale du flux total est de l'ordre de 3.4 × 10 8 W .m −2 . Son rayon d'application est
légèrement plus important dans le cas à 800A que dans les cas précédents : de l'ordre de
7.5mm. Le flux par conduction est devenu maintenant la composante majoritaire sur l'axe de
la décharge devant le flux électrique et le flux enthalpique. On peut aussi constater que dans
ce cas-ci, le flux électrique redevient majoritaire pour un rayon de 3mm environ puis relaisse
la part dominante du flux total à la conduction, sur le bord du domaine.
3°) Etude paramétrique sur l'effet Joule dans le matériau composite
Dans ce paragraphe, nous allons regarder, l'influence de l'effet Joule dans le matériau
composite. Nous avons déjà constaté qu'il ne possédait aucun effet sur les matériaux
métalliques conducteurs. Pour cela nous avons utilisé le cas d'un arc libre dans l'air à 400A et
le matériau composite étudié précédemment. Nous allons résoudre l'équation de conservation
de l'énergie dans l'anode avec et sans la prise en compte du terme source dû à l'effet Joule.
Nous avons représenté les champs de température au niveau du plasma et de l'anode sur la
Figure V-12.
Figure V-12 : Températures du plasma et dans l'anode pour une configuration air-composite à 400A sans effet
Joule dans le matériau (à gauche) et avec effet Joule dans le matériau (à droite).
La Figure V-12 est obtenue pour le temps 0.50s. On peut constater que dans le cas du
matériau composite l'effet Joule possède un effet significatif dans le matériau composite.
- 174 -
Cette différence d'effet entre un matériau conducteur et le composite s'explique par les
conductivités électriques faibles de ce dernier. Le terme de chauffage par effet Joule, rarement
pris en compte dans les modèles au niveau des matériaux, doit donc impérativement être pris
en compte s'il s'agit d'un composite.
4°) Conclusion sur l'étude en deux dimensions
Dans cette partie, nous avons étudié une configuration d'arc libre dans l'air venant impacter
une anode en matériau composite. Après avoir validé nos développements dans le matériau
composite, nous avons étudié plusieurs intensités de courant. En même temps, nous avons
adapté le temps d'application du transfert d'énergie pour se conformer à la réglementation
internationale. Durant cette étude paramétrique, nous avons pu remarquer qu'au niveau des
flux anodiques, plus on augmente l'intensité plus le flux par conduction devient majoritaire.
Nous avons aussi constaté que la dégradation au niveau du composite s'effectue
préférentiellement dans la direction radiale. Nous avons ensuite démontré l'influence
significative de l'effet Joule dans ce type de matériau.
Par la suite, nous allons étudier cette configuration d'arc libre en appliquant une force
convective pour déflecter la colonne de plasma. Cette étude sera donc tridimensionnelle.
III) Modèle mathématique de l'étude en trois dimensions
Nous passons maintenant à l'étude du matériau composite à trois dimensions. Cette étude
va comprendre l'analyse du comportement de la colonne de plasma sous l'effet d'une force
extérieure convective simulant le déplacement de l'avion dans l'air, lors d'un foudroiement.
Cela nous permettra de regarder plus en détails le comportement de l'arc et du matériau. Pour
tenir compte de la dissymétrie de la colonne de plasma, on va résoudre les équations de
conservation en 3D cartésienne (x, y, z). Cette analyse s'effectuera en stationnaire et nous
permettra de quantifier les flux anodiques déposés par notre plasma.
1°) Hypothèses
Afin de simplifier le traitement de ces équations tridimensionnelles, on va utiliser les
hypothèses suivantes :
- 175 -
-
La colonne de plasma est supposée toujours être en E.T.L..
-
L’écoulement est considéré laminaire.
-
Les effets de gravité sont négligés.
-
La surface de l’anode est, indéformable spatialement et temporellement.
-
Dans le bilan de flux au niveau de l’anode, le rayonnement du plasma vers l’anode
ainsi que de l’anode vers le plasma seront négligés.
-
Les gaines, au niveau des électrodes ne seront pas modélisées. Néanmoins, on tiendra
compte de la gaine anodique sous forme de termes sources et de conditions aux
limites inclus dans le modèle de l’arc
Les équations de conservation vont s'écrire sous la forme généralisée proposée par
Patankar [Pa] :
r
r
∂ ( ρΦ ) r r
+ ∇.(ρv Φ ) = ∇. ΓΦ ∇Φ + S Φ
∂t
(
)
(Eq. V-13)
r
résolues dans les différentes équations de conservation. Ces trois derniers termes sont donnés
pour chacune des équations de conservation résolues dans le Tableau III-1 du chapitre III.
Afin de boucler le système d’équations, on y rajoute, le calcul du champ magnétique :
r r r
B = ∇× A
(Eq. V-14)
Soit :
Bx =
∂Ay ∂Ax
∂A
∂A
∂Az ∂Ay
−
−
, B y = x − z , Bz =
∂x
∂y
∂z
∂z
∂x
∂y
Ainsi que le calcul des densités de courant dans le plasma :
- 176 -
(Eq. V-15)
j x = −σ
∂V
∂V
∂V
, j y = −σ
et j z = −σ
.
∂y
∂x
∂z
(Eq. V-16)
Les équations résolues dans le matériau composite sont identiques à celles résolues en 2D
mais adaptées pour être en 3D cartésiennes. Les équations de conservation de l'énergie et du
courant vont alors s'écrire :
j y2
j2
∂  ∂T  ∂  ∂T  ∂  ∂T  j x2
 +  κ z
+
+ z =0
 +  κ y
+
κ x
∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂z  ∂z  σ x σ y σ z
(Eq. V-17)
∂  ∂V  ∂  ∂V  ∂  ∂V 
 + σ z
σ x
 + σ y
=0
∂x 
∂x  ∂y 
∂y  ∂z 
∂z 
(Eq. V-18)
Dans les équations V-17 et V-18, κ x , κ y , κ z , σ x , σ y et σ z représentent les
conductivités thermiques puis électriques suivant les axes x, y et z. Nous allons supposer pour
la suite de notre calcul en 3D que les propriétés de transport suivant l'axe x sont identiques à
celles suivant l'axe y. Les densités de courant sont évaluées, dans le matériau composite, par
la relation :
j x = −σ x
∂V
∂V
∂V
, j y = −σ y
et j z = −σ z
.
∂x
∂y
∂z
(Eq. V-19)
Pour maintenir la conservation du courant et du flux de chaleur entre le plasma et
l'électrode, on utilise les mêmes équations que celles décrites dans les chapitres précédents, en
négligeant toujours les gradients radiaux par rapport aux gradients le long de l’axe. On aura
donc, à l’interface :


5 kB

 ∂T 
 ∂T 
− κ z  ∂z  = − κ z  ∂z  + j z  2 e (Tmat − T pla ) + Va + Φ a  − Lmat Φ v

 pla

 mat 



- 177 -
(Eq. V-20)


 ∂V 
 ∂V 
− σ z  ∂z  = − σ z  ∂z 


 mat 
 pla

(Eq. V-21)
De plus, afin de tenir compte de la présence de vapeurs de carbone dans le plasma, il faut
résoudre l’équation de conservation de la fraction massique présentée dans le Tableau V-5 :
Φ
ΓΦ
SΦ
Fraction massique
Xi
ρD
0
Tableau V-5 : Equation de résolution de la conservation de la fraction massique mise sous la forme
généralisée de Patankar.
X i est la fraction massique du matériau dans le plasma et D , le coefficient de diffusion du
carbone dans l'air.
A la surface du matériau, la fraction massique va être calculée à partir de la relation :
(X i ) =
Pv M mat
(Eq. V-22)
Pour mener à bien cette étude tridimensionnelle, nous avons utilisé la configuration d'arc
libre en trois dimensions que nous avons présentée au chapitre IV. Elle comprend une cathode
en tungstène de 60o d’angle au sommet et d’une longueur de 3mm. L’anode a une épaisseur
de 2mm et un rayon de 15mm. La distance inter-électrode est de 10 millimètres. L’intensité
est de 200A. La pression du milieu est la pression atmosphérique.
Afin de modéliser cette configuration, nous avons utilisé un maillage de (280 × 63 × 63)
cellules pour 15mm de hauteur, de longueur et de largeur. Nous avons utilisé un maillage
exponentiel qui a été affiné aux bords du domaine ainsi qu’à l’interface plasma-anode. De
plus, comme nous l'avions indiqué dans l'étude en deux dimensions concernant le matériau
composite, nous avons utilisé, dans l'anode, un maillage adapté à ses propriétés comprenant
250 × 63 × 63 cellules.
Les conditions aux limites utilisées pour la modélisation sont identiques à celles décrites
dans le chapitre IV. Seule la condition de refroidissement en fond et sur les bords latéraux de
- 178 -
l'anode va être modifiée et avoir une valeur imposée de 300K. La force convective appliquée
sur un bord de domaine va être décrite dans la partie suivante.
Le temps de calcul pour faire converger une configuration avec anode en composite, à trois
dimensions, en transitoire, est de l'ordre de vingt jours avec un serveur Compaq Alpha à huit
processeurs avec 8Go de mémoire vive.
5°) Simulation du déplacement de l'avion
Pour simuler le déplacement de l'avion dans l'air, on suppose que l'arc va être soumis à une
force convective extérieure. Pour établir une telle force, nous nous sommes référés au cas
d'une couche limite incompressible décrivant un écoulement bidimensionnel, stationnaire,
incompressible d'un fluide sans force de masse. Pour le cas d'une plaque plane, représentant
dans notre cas le fuselage de l'avion, Schlichting [Sc-4] a montré que les équations de la
couche limite (déduites des équations de Navier-Stokes) s'écrivent :
Equation de continuité :
∂u ∂v
+
=0
∂x ∂y
(Eq. V-23)
Equation de quantité de mouvement en x :
u
∂u
∂v
1 ∂p
∂ 2u
+v
=−
+ν 2
∂x
∂y
ρ ∂x
∂y
(Eq. V-24)
Equation de quantité de mouvement en y :
0=−
1 ∂p
ρ ∂y
(Eq. V-25)
Les conditions aux limites sont :
A la paroi: y = 0, u = v = 0 .
- 179 -
A l'extérieur de la couche limite: y → ∞, u → u e , p → p e . Avec u e et p e qui viennent
de la solution des équations d'Euler :
ue
∂u e
1 ∂p e
=−
∂x
ρ ∂x
(Eq. V-26)
L'écoulement au-dessus d'une plaque plane représente l'exemple le plus simple de la
description d'une couche limite. C'est le cas de Blasius (Figure V-13).
Figure V-13 : Couche limite dans un écoulement longitudinal au dessus d'une
plaque plane.
Du fait que u e est constante, on obtient avec l'équation d'Euler que
∂p e
= 0 . Donc dans les
∂x
équations de la couche limite le gradient de pression va être nul. Les équations V-23 et V-24
vont donc s'écrire :
∂u e ∂ve
+
=0
∂x
∂y
ue
(Eq. V-27)
∂u e
∂v
∂ 2ue
+ ve e = ν e
∂x
∂y
∂y 2
(Eq. V-28)
En adimensionnant le système, Blasius a montré que le profil de la vitesse suivant la
couche limite va pouvoir être représenté selon l'évolution donnée par la Figure V-14 :
- 180 -
Figure V-14 : Profil des vitesses de Blasius représentant les vitesses d'un
écoulement au dessus d'une plaque plane en fonction de la distance au dessus de
cette plaque.
La vitesse normalisée représente le rapport entre la vitesse au point considéré et la vitesse
maximale u e . La distance normalisée est fonction des positions, de la viscosité et de la vitesse
maximale. Selon Larsson [La-2], la couche limite d'un avion en vol est typiquement de l'ordre
de 10 à 20mm ou moins. Dans notre cas, nous appliquerons notre profil de Blasius sur 10mm,
c'est-à-dire sur toute la distance inter électrode.
C'est ce profil de vitesse que nous allons appliquer en bord de domaine afin de déflecter la
colonne de plasma qui impacte l'anode en matériau composite.
6°) Etude de l'arc de foudre dévié par un profil de vitesses de Blasius
Dans cette partie, nous allons étudier l'interaction entre un arc électrique dans l'air et une
anode en matériau composite, en régime stationnaire puis en régime transitoire. Cet arc sera
soumis à une force transverse dont le profil de vitesse est représenté par le profil de Blasius,
profil typique en aéronautique, dont nous avons discuté dans le paragraphe précédent.
Dans un premier temps, nous avons appliqué, en stationnaire, une valeur maximale du
profil de vitesse de 20m.s −1 afin de simuler le déplacement de l'avion dans l'air. Cette valeur
est inférieure à 100m.s −1 typiquement donnée dans la littérature [Um] pour les vitesses
d'avion en phase de décollage ou d'atterrissage, moments où il est le plus vulnérable. Nous
n'appliquerons donc qu'une intensité de 200A afin que l'arc puisse être déflecté sans être
chassé hors de la géométrie.
- 181 -
Les isothermes du plasma d'air et la zone de dégradation partielle dans le composite sont
représentées sur la Figure V-15 :
Figure V-15 : Isothermes du plasma et de l'anode pour une configuration air-composite à
200A et pour une force convective de type Blasius avec une valeur maximale v=20m.s-1.
La valeur maximale de la température dans le plasma d'air est environ de 18000K. La zone
grisée dans le matériau correspond à la zone de dégradation partielle. La répartition des
vitesses au niveau de la colonne de plasma est présentée sur la Figure V-16 :
Figure V-16 : Vecteurs vitesse du plasma pour une configuration air-composite à 200A
et pour une force convective de type Blasius avec une valeur maximale v=20m.s-1.
La norme maximale des vecteurs vitesse est de 330m.s-1 et est située en pointe de cathode.
On peut remarquer que les forces de Laplace tendent à redresser l'arc au niveau de cette pointe
de cathode alors que les effets convectifs de la force extérieure déplacent l'arc au niveau de la
colonne et réduisent leur influence au proche voisinage de l'anode où la vitesse de Blasius
tend vers zéro.
- 182 -
Dans un deuxième temps, nous sommes placés dans une configuration plus réaliste de
foudroiement en vol en appliquant un profil de vitesses de Blasius avec pour valeur
maximale : 100m.s −1 . Cette étude est menée en régime transitoire. Nous n'appliquerons une
intensité de 800A que pendant 0.25s afin de tenir compte de la réglementation internationale
et de la charge de 200C qu'il faut déposer à la surface du matériau. Le profil de Blasius,
représenté en bord de la Figure V-17 (côté droit), a été appliqué sur toute une face en limite
du domaine tridimensionnel. Pour amener à convergence notre code de calcul, nous avons
utilisé la même procédure que pour le code en deux dimensions : à savoir, nous avons
supposé comme instant initial, un arc dans de l'air établi entre les deux électrodes (Figure V17) et déjà soumis au profil de vitesses de Blasius avec une condition de flux nul à la surface
de l'anode, le matériau n'étant pas résolu. Nous avons ensuite enclenché simultanément : la
résolution des équations en régime transitoire dans le plasma et le matériau ainsi que le
transfert d'énergie.
Figure V-17 : Champ de température dans la colonne de plasma pour une configuration
air-composite à 800A et pour une force convective de type Blasius avec une valeur
maximale de la vitesse v=100m.s-1.
Sur toute la hauteur de la cathode, une vitesse constante ue est appliquée. Sur la Figure V18, sont représentés les vecteurs vitesse sur un plan horizontal se situant à mi-hauteur de la
- 183 -
cathode (z = 1.5mm ) . Les vitesses issues du profil de Blasius et imposées en bord de domaine,
viennent heurter la cathode. L'électrode créant un obstacle dans l'écoulement, une partie du
fluide contourne la cathode, l'autre est entraînée par les forces de Laplace et cela d'autant plus
facilement que la cathode est conique. Il se crée alors une dépression du côté opposé à
l'écoulement qui engendre une recirculation du gaz et qui déflecte à son tour le plasma,
expliquant l'allure générale du champ de température donné Figure V-17.
Figure V-18 : vecteurs vitesse (z=1.5mm) dans la colonne de plasma pour une
configuration air-composite à 800A et pour une force convective de type Blasius avec une
valeur maximale de la vitesse v=100m.s-1.
Toujours pour cette configuration, nous montrons, Figure V-19, l'évolution du champ de
température dans la colonne de plasma et dans le matériau pour différents instants. L'échelle
des températures est la même que celle Figure V-17.
- 184 -
- 185 -
Figure V-19 : Evolution des champs de température dans la colonne de plasma pour une
configuration air-composite à 800A et pour une force convective de type Blasius avec une valeur
La première constatation que nous pouvons faire est relative au comportement instable du
plasma. A partir de sa position initiale, pour laquelle une condition de flux est applqiuée à la
surface du matériau, l'arc se met en mouvement. En effet, la condition d'accrochage est
maintenant donnée par la résolution du domaine anodique et fait intervenir les propriétés du
matériau. Les conductivités électriques étant plus importantes dans la direction transversale,
le courant circule plus facilement en surface et a tendance à s'étaler. L'accrochage devenant
plus diffus, l'arc moins résistif se déplace dans le sens de la force appliquée. La vitesse
moyenne de déplacement de l'arc, calculée entre deux instants est de v ≈ 3 × 10 −2 m.s −1 . La
longueur de l'arc augmentant au cours du temps, on peut observer une diminution de la
tension (Figure V-20) jusqu'à une valeur nominale de -86V. Nous observons ensuite, un
reclacage de l'arc vers une position voisine de sa position initiale, l'arc ayant tendance à
s'accrocher de façon à vouloir minimiser cette chute de tension. La vitesse moyenne de l'arc
entre les deux positions extrêmes est voisine de v ≈ 5 × 10 −2 m.s −1 .
- 186 -
Figure V-20 : Evolution temporelle de la chute de tension dans la colonne de plasma pour une
Si l'on regarde maintenant l'évolution des puissances injectées dans le matériau composite
en fonction du temps (Figure V-21), on constate que leur variation correspond à celle des
différences de potentiel (Figure V-20) : c'est-à-dire que, pour le temps de 0.15s qui
correspond à l'instant de quasi-décrochage de l'arc, on observe sur la Figure V-20 une forte
diminution de la différence de potentiel ce qui se traduit par une forte augmentation de la
puissance injectée au niveau de la surface de l'anode.
Figure V-21 : Evolution temporelle des puissances injectées à l'anode pour une configuration aircomposite à 800A et pour une force convective de type Blasius avec une valeur maximale de la vitesse
v=100m.s-1.
- 187 -
La Figure V-22 (côté gauche) représente l'évolution du champ de température dans l'anode
en matériau composite en fonction du temps. Les proportions des dimensions du matériau ont
été modifiées de façon à pouvoir observer plus précisément les isothermes du matériau en
composite. Les champs de température ont été représentés dans un plan de coupe et sont
comparés à ceux obtenus dans le matériau composite pour une configuration air-composite à
800A en deux dimensions (partie de droite).
- 188 -
Figure V-22 : Evolution temporelle des champs de température dans le matériau composite pour une
maximale v=100m.s-1 (à gauche) et pour une configuration air-composite à 800A sans force convective
en 2D (à droite).
Nous avons représenté sur chacune de ces figures, en courbe noire, l'isotherme 723K qui
correspond à la température de dégradation partielle du matériau composite. On peut
constater, tout d'abord que dans le cas où l'on applique une force de Blasius sur la colonne de
plasma (à gauche) et dans le cas où l'arc n'est pas déflecté (à droite), la dégradation augmente
préférentiellement de manière radiale. A l'instant final, la dégradation obtenue lors de
l'application du profil de Blasius (côté gauche) est sensiblement plus importante dans la
profondeur du matériau que dans le cas 2D sans force convective extérieure (côté droit). Ceci
provient de l'augmentation de la puissance injectée, au cours du temps due à l'allongement de
l'arc.
IV) Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons appliqué le modèle que nous avons développé à une
configuration plus proche du foudroiement d'un avion : c'est-à-dire à des arc électriques dans
l'air impactant une anode en matériau composite, en régime transitoire.
Dans un premier temps, nous avons modifié le code en deux dimensions pour tenir compte
de l'anisotropie du matériau. Pour valider ces développements, nous avons comparé les
résultats obtenus par notre code avec ceux expérimentaux donnés par Jennings [Je]. Pour
cette étude, seul le matériau a été modélisé et un bon accord en terme de dégradation de
l'anode a été trouvé entre les deux types de résultats. Le code ainsi validé a été ensuite
appliqué à trois intensités d'arc 200, 400 et 800A pour des durées de 1, 0.5 et 0.25s afin de
tenir compte des exigences de la réglementation internationale. Les champs de température et
les flux apportés à l'anode par le plasma ont été présentés. Durant cette étude, nous avons pu
remarquer qu'au niveau des flux anodiques, plus on augmente l'intensité plus le flux par
conduction devient majoritaire. Nous avons aussi constaté que la dégradation au niveau du
- 189 -
composite s'effectue préférentiellement dans la direction radiale. Nous avons ensuite
démontré l'influence significative de l'effet Joule dans ce type de matériau.
Dans un deuxième temps, nous avons appliqué une force convective extérieure à l'arc.
Cette force de type Blasius possède, tout d'abord, une vitesse maximale de 20m.s-1. Les forces
de Laplace proche de la cathode tendent à redresser l'arc tandis que dans la colonne, les effets
convectifs de cette force extérieure déplacent le pied d'arc. La déflection observée étant faible,
nous n'avons pas détaillé le transfert d'énergie dans le matériau composite. Les conclusions
sont en effet très proches de celles obtenues, dans le paragraphe II, en deux dimensions. Nous
avons ensuite augmenté la vitesse nominale du profil de Blasius permettant de déflecter l'arc.
Cette configuration, proche d'un cas de foudroiement d'un avion en vol, a permis d'estimer la
dégradation du matériau composite soumis à un arc, initié dans l'air, à 800A. Les dégâts
estimés sont proches de ceux obtenus par le code en deux dimensions.
Dans cette étude sur l'interaction et la dégradation des matériaux composites, il ne faut pas
perdre de vue que les dégâts sont surtout occasionnés par le laminage et l'arrachement (par
expulsion thermique) [Re] de la structure du composite. Ceci explique pourquoi la
réglementation internationale ne soit définie qu'en terme d'intensité appliquée sur un laps de
temps et non en terme de puissance. La chute de tension principalement due à la longueur de
l'arc n'intervient donc pas dans les flux transférés aux matériaux qui produisent sa
vaporisation partielle. Les dégâts occasionnés par le terme d'effet Joule restant prépondérants
[Av-2].
- 190 -
Conclusion générale.
- 191 -
- 192 -
Conclusion générale
Cette étude portait sur la modélisation de l'interaction entre un arc électrique et un matériau
sous polarité anodique. Elle a ensuite été adaptée au cas du foudroiement d'un aéronef.
Dans la première partie, nous avons effectué un bref rappel historique, portant sur l'arc de
foudre, qui nous a permis d'aboutir aux connaissances actuelles concernant ce phénomène.
Nous avons aussi décrit les différentes étapes du déroulement d'un coup de foudre. Nous
avons montré que le foudroiement d'un avion n'est pas un phénomène exceptionnel puisqu'un
avion civil est en moyenne foudroyé une à deux fois par an. Une réglementation
internationale a permis la mise en place d'une onde de courant type, définissant plus
précisément le phénomène pour les avionneurs, afin de caractériser et de certifier les
matériaux. L'arc de foudre occasionne de nombreux dégâts au niveau des matériaux de
fuselage, notamment depuis l'avènement des matériaux composites, peu conducteurs. Parmi,
les différentes composantes de l'onde de courant, nous avons étudié la composante continue
C, qui peut être modélisée sous forme d'un arc libre de quelques centaines d'ampères, car c'est
l'une des composantes qui occasionne le plus de dégâts. Devant la difficulté de
reproductibilité de ce phénomène en laboratoire et des constantes de temps, l'outil
informatique s'avère être indispensable afin de cerner la physique et le comportement de la
décharge. Cependant, les modèles nécessitent au cours de leur développement de s'appuyer
sur des données expérimentales afin d'être confrontés et validés. Cela explique la démarche
que nous avons suivie, en adaptant au cours de son développement notre modèle à différentes
configurations, changeant la nature du gaz utilisé ou la nature des matériaux afin d'obtenir le
maximum de recoupements possibles avec les travaux de la littérature.
Dans une deuxième partie, nous avons regroupé les différentes données de base,
coefficients de transport ou propriétés thermodynamiques nécessaires et utilisées dans le
modèle développé. Nous avons, tout d'abord, évoqué les différents gaz plasmagènes utilisés
(argon et air), les différents matériaux métalliques (cuivre, fer et aluminium) et enfin le
matériau composite dont EADS Suresnes nous a donné les caractéristiques. Nous avons ainsi
constaté que pour ce matériau anisotrope, les propriétés longitudinales avaient un poids plus
important que les propriétés transversales. Enfin, dans une dernière partie, nous avons montré
l'importance de la prise en compte des vapeurs métalliques issues de l'évaporation de l'anode
sur certains coefficients de transport du gaz plasmagène comme la conductivité électrique, la
conductivité thermique et le coefficient d'émission nette.
Dans une troisième partie, nous avons modélisé une configuration d'arc libre en deux
dimensions. Nous avons utilisé comme gaz plasmagène de l'argon et comme matériaux
d'anode des matériaux métalliques afin de comparer les résultats obtenus par notre code avec
- 193 -
ceux donnés par la littérature. Un bon accord a été trouvé, en terme de champs de température
dans le plasma, de densités de courant ou de flux d'énergie transféré à l'anode, entre les deux
types de résultats. Une fois les développements validés sur cette configuration, nous avons
aussi démontré le peu d'influence que pouvaient avoir les flux radiatifs issus du plasma et
ceux issus du matériau sur le transfert d'énergie à l'anode. Il sont de l'ordre de,
respectivement, 10% et 0.1% du flux total. Nous avons aussi appliqué notre code à différentes
études paramétriques portant sur l'influence du maillage ou du matériau d'anode qui ont
permis de montrer leurs effets sur les champs de température obtenus dans le matériau. Les
vapeurs métalliques ont une influence qui n'est pas négligeable sur les flux totaux ainsi que
sur les flux de type électronique. Nous avons aussi constaté que le passage du courant dans le
matériau n'avait de véritable influence que sur les densités de courant radiales proches de la
surface du matériau étudié.
Dans la quatrième partie, nous avons adapté les développements de notre code
bidimensionnel en trois dimensions afin de traiter les situations pour lesquelles la colonne de
plasma était soumise à une force extérieure. Nous avons, dans un premier temps, étudié un arc
libre qui n'était soumis à aucune force perturbatrice. Nous avons comparé nos résultats avec
ceux établis en deux dimensions. Nous obtenons un bon accord sur les champs de
températures dans le plasma et le matériau ainsi que sur les vitesses du plasma et le flux
d'énergie transféré à l'anode. Nous avons ensuite appliqué à l'arc une force magnétique
extérieure constante et comparé nos résultats avec ceux expérimentaux de Speckhofer [Sp].
Les champs de température obtenus dans la colonne de plasma sont en bon accord avec ceux
obtenus par cet auteur, validant ainsi nos développements. Nous avons enfin utilisé les
résultats de Blais pour démontrer l'importance de la modélisation du transfert d'énergie dans
le matériau pour estimer correctement le déplacement du pied d'arc lorsque celui-ci est soumis
à une force extérieure.
Enfin, dans la dernière partie, nous nous sommes placés dans une configuration de
foudroiement, c'est-à-dire une configuration transitoire d'arc dans l'air impactant une anode en
composite. Nous avons utilisé, tout d'abord un modèle en deux dimensions grâce auquel nous
avons pu valider les développements effectués dans le matériau composite. Pour cela, nous
avons comparé les résultats donnés par notre code pour le matériau d'anode avec ceux estimés
expérimentalement par Jennings [Je]. Nous avons appliqué ensuite notre code bidimensionnel
à plusieurs configurations d'arc libre stipulées par la réglementation internationale : c'est-àdire des arcs dans l'air avec des ampérages de 200, 400 et 800A pour des durées de 1, 0.5 et
0.25s respectivement. On a constaté que lorsque l'on augmentait l'intensité de l'arc, le flux
- 194 -
majoritaire sur l'anode en composite passait du flux électrique au flux par conduction. On a pu
observer que pour les flux appliqués, les dégradations obtenues dans le matériau composite
sont plus importantes dans le sens longitudinal que transversal. Ensuite, nous avons appliqué
une force extérieure convective à la colonne de plasma afin de simuler le déplacement de
l'avion dans l'air. Pour cela, nous avons utilisé un profil de Blasius (profil de vitesse typique
en aéronautique) pour déflecter la colonne de plasma. On a pu mettre en évidence le rôle des
forces de Laplace au niveau de la cathode qui tendent à redresser l'arc et à le faire revenir sur
son axe naturel.
Nous avons, au cours de cette thèse mis au point et développé une modélisation d'arc
transféré en deux et trois dimensions fonctionnant en stationnaire et transitoire. Cet outil,
élaboré à l'aide du logiciel commercial FLUENT, permet de prédire le transfert d'énergie dans
les matériaux sous polarité anodique. Les développements effectués permettent, de plus,
d'estimer la dégradation dans les matériaux hétérogènes tels que ceux en composite,
moyennant la connaissance de leurs caractéristiques physiques.
Cette étude sur le foudroiement d'un aéronef, pour être complète, devrait inclure l'étude du
matériau composite sous sa polarité cathodique. En effet, lorsque l'avion est foudroyé, il fait
partie intégrante du canal de foudre et son fuselage possède un point d'entrée et un point de
sortie. Cela signifie qu'une des interactions arc-matériau s'effectue sous polarité cathodique.
Dans ce cas, un modèle de gaine au niveau de la cathode serait incontournable. Ceci constitue
un travail à part entière. Un stage de DEA a donc débuté cette année et devrait donner lieu au
commencement d'une thèse dès septembre prochain.
Le second point qui devrait être approfondi est relatif au matériau impacté. De nombreuses
comparaisons et validations ont pu être effectuées sur la colonne de plasma ainsi qu'à la
surface du matériau mais aucune à l'intérieur de celui-ci. Le manque de données
expérimentales dans les matériaux étudiés ne nous a donc pas permis une validation complète
du champ de température. Pour être caractérisé, le matériau devrait être muni de
thermocouples dans son épaisseur. Ainsi par développements de méthodes inverses, les
mesures ponctuelles de la température en temporel permettraient de remonter au flux appliqué
à la surface du matériau et donc au champ de température à l'intérieur de celui-ci. Une double
étude expérimentale et théorique a donc débuté dans cette direction et constitue le sujet de
thèse de Mathieu Masquère.
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[Wu-2]
"Modeling the anode boundary layer of high-intensity argon arcs".
C.S. Wu, M. Ushio, M. Tanaka
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[Yo]
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- 208 -
- 209 -
- 210 -
AUTHOR :
Frédéric LAGO
TITLE :
Modelling of the interaction of an electric arc with a surface: application to a lightning
stroke of an aircraft.
THESIS DIRECTOR :
PLACE AND DATE :
At the Centre de physique des Plasma et de leurs Applications de Toulouse, March 26th
2004.
SUMMARY :
This work concerns the study of the interaction of an electric arc with a surface. Its aim is
the installation of a modelling which takes into account the various intervening mechanisms
in the energy transfer, mainly by conduction, radiation, electric flux. The model developed
with the commercial code FLUENT (the Finite Volume Method) allows to study twodimensional (2D) and three-dimensional (3D) configurations. After a comparison and
validation with experimental data, a parametric study is presented: nature of material, inter
electrodes distance, current intensity, ambient gas. Finally, in a last time, a transient 3D model
is applied to heterogeneous materials used in aeronautics in order to estimate the heat flows
and the degradation of the anode.
KEYWORDS :
Electric arc
2D/3D
Numerical modelling
Transient
Energy transfers
Heterogeneous materials
Metallic vapours
Arc root deflection
DISCPLINE :
Physics and engineering of plasma discharges.
- 211 -
-2-
-3-
AUTEUR :
Frédéric LAGO
TITRE :
Modélisation de l'interaction entre un arc électrique et une surface : application au foudroiement
d'un aéronef.
DIRECTEUR DE THESE :
LIEU ET DATE DE SOUTENANCE :
Centre de physique des Plasma et de leurs Applications de Toulouse, le 26 Mars 2004.
RESUME :
Ce travail porte sur l’étude de l’interaction d’un arc électrique avec une surface. Il a pour finalité
la mise en place d’une modélisation prenant en compte les différents mécanismes intervenants dans
le transfert d’énergie, principalement par conduction, rayonnement, flux électrique. Le modèle
développé à partir du code commercial FLUENT (méthode des volumes finis) permet l’étude de
configurations bidimensionnelles (2D) et tridimensionnelles (3D). Après une étape de comparaison
et de validation des résultats avec des données expérimentales, une étude paramétrique est
présentée : nature du matériau, distance inter électrodes, intensité du courant, gaz ambiant. Enfin
dans un dernier temps le modèle 3D en transitoire est appliqué sur des matériaux hétérogènes
utilisés dans l’aéronautique afin d’estimer les flux de chaleur et la dégradation de l’anode.
MOTS-CLES :
Arc électrique
2D/3D
Modélisation numérique
Transitoire
Transferts d’énergie
Matériaux composites
Vapeurs métalliques
Déviation du pied d’arc
DISCPLINE :
Physique et ingénierie des plasmas de décharge.
-4-

Frédéric Lago - laboratoire plasma et conversion d`energie

Transcription

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