Fonction d`autocorrélation partielle

Fonction d’autocorrélation
partielle
Modèles ARMA et techniques
d’identification
Motivations pour l’autocorrélation
partielle

On a vu que pour une moyenne mobile d’ordre q,
ou un MA(q), que la fonction d’autocorrélation
s’annule à partir du délai q:

𝜌 ℎ = 0, ℎ > 𝑞.

C’est donc un outil d’identification.

On aimerait un outil similaire pour les modèles
AR(p).
Motivations pour l’autocorrélation
partielle: modèle AR(1)

Considérons le modèle: 𝑋𝑡 = 𝜙𝑋𝑡−1 + 𝑤𝑡 .

On a vu que 𝛾 ℎ = 𝜙 ℎ 𝛾(0), pour ℎ ≥ 1.

En particulier, 𝑋𝑡 et 𝑋𝑡−2 sont corrélés: 𝛾 2 = 𝜙 2 𝛾(0).

En fait: cov 𝑋𝑡 , 𝑋𝑡−2 = cov(𝜙𝑋𝑡−1 + 𝑤𝑡 , 𝑋𝑡−2 )

On sait que 𝑋𝑡−1 et 𝑋𝑡−2 sont corrélés mais 𝑤𝑡 et 𝑋𝑡−2 ne sont pas
corrélés.

La corrélation entre 𝑋𝑡 et 𝑋𝑡−2 survient compte tenu de la
dépendance avec 𝑋𝑡−1 .

L’idée principale vise à retirer la dépendance avec la variable
intermédiaire 𝑋𝑡−1 .
Motivations pour l’autocorrélation
partielle: modèle AR(1) (suite)

Rappel: 𝑋𝑡 = 𝜙𝑋𝑡−1 + 𝑤𝑡 .

On rappelle également que 𝑋𝑡 et 𝑋𝑡−2 sont corrélés: 𝛾 2 =
𝜙 2 𝛾(0).

Regardons la corrélation entre 𝑋𝑡 − 𝜙𝑋𝑡−1 et 𝑋𝑡−2 − 𝜙𝑋𝑡−1 :

cov 𝑋𝑡 − 𝜙𝑋𝑡−1 , 𝑋𝑡−2 − 𝜙𝑋𝑡−1 = cov(𝑤𝑡 , 𝑋𝑡−2 − 𝜙𝑋𝑡−1 )

On constate que cov 𝑋𝑡 − 𝜙𝑋𝑡−1 , 𝑋𝑡−2 − 𝜙𝑋𝑡−1 = 0

On va voir que 𝜙𝑋𝑡−1 peut être interprété comme la meilleure
prévision de 𝑋𝑡 en fonction de 𝑋𝑡−1 (ou comme la meilleure
prévision de 𝑋𝑡−2 en fonction de 𝑋𝑡−1 ).

Reprenant une interprétation tirée de la régression: 𝑋𝑡 − 𝜙𝑋𝑡−1
est ce qui reste dans 𝑋𝑡 une fois que l’effet de 𝑋𝑡−1 est retiré.
Définition de l’autocorrélation partielle

Considérons 𝑃 𝑋ℎ 𝑋ℎ−1 , … , 𝑋1 ) la régression de 𝑋ℎ sur l’ensemble
𝑋ℎ−1 , … , 𝑋1 :
𝑃 𝑋ℎ 𝑋ℎ−1 , … , 𝑋1 ) = 𝛽1 𝑋ℎ−1 + ⋯ + 𝛽ℎ−1 𝑋1

De même, considérons 𝑃 𝑋0 𝑋1 , … , 𝑋ℎ−1 ) la régression de 𝑋0 sur
l’ensemble 𝑋1 , … , 𝑋ℎ−1 :

𝑃 𝑋0 𝑋1 , … , 𝑋ℎ−1 ) = 𝛼1 𝑋1 + ⋯ + 𝛼ℎ−1 𝑋ℎ−1

Remarques:

1) Il faudra discuter comment trouver les coefficients 𝛽1 , … , 𝛽ℎ−1 et
𝛼1 , … , 𝛼ℎ−1 .

2) L’ouvrage de référence note 𝑋ℎℎ−1 = 𝑃(𝑋ℎ |𝑋ℎ−1 , … , 𝑋1 ). La
notation utilisée ici est comme dans Brockwell & Davis et permet
une utilisation des propriétés des opérateurs de prévision.
Définition de l’autocorrélation partielle

Définition formelle: Soit 𝑋𝑡 un processus stationnaire. L’autocorrélation
partielle d’ordre h, notée 𝜙ℎℎ , est définie comme:



𝜙11 = corr 𝑋1 , 𝑋0 = 𝜌 1 ;
𝜙ℎℎ = corr(𝑋ℎ − 𝑃 𝑋ℎ 𝑋ℎ−1 , … , 𝑋1 , 𝑋0 − 𝑃(𝑋0 |𝑋1 , … , 𝑋ℎ−1 )), ℎ ≥ 2
Remarques:
Les écarts (ou résidus; ou erreurs de prévisions) 𝑋ℎ − 𝑃(𝑋ℎ |𝑋ℎ−1 , … , 𝑋1 )
et 𝑋0 − 𝑃 𝑋0 𝑋1 , … , 𝑋ℎ−1 sont non corrélées avec les variables
intermédiaires 𝑋1 , … , 𝑋ℎ−1 ; ce sera montré plus tard.
 1)
 2)
La définition fait du sens car dans le cas d’un processus Gaussien, c’està-dire si 𝑋𝑡 est Gaussien, alors l’autocorrélation partielle telle que
définie précédemment est en fait le coefficient de corrélation de la
distribution conditionnelle:
𝑋ℎ

|𝑋ℎ−1 , … , 𝑋1 . Autrement dit: 𝜙ℎℎ = corr(𝑋ℎ , 𝑋0 |𝑋ℎ−1 , … , 𝑋1 ).
𝑋0
Exemple: AR(1), 𝑋𝑡 = 𝜙𝑋𝑡−1 + 𝑤𝑡

Ainsi selon la définition 𝜙11 = 𝜌 1 = 𝜙.

Pour calculer 𝜙22 , on fait une régression de 𝑋2 sur
𝑋1 . On aura 𝑃 𝑋2 𝑋1 = 𝛽𝑋1 .

Pour trouver 𝛽, on minimise le critère 𝐸 (𝑋2 −
Exemple: AR(1), 𝑋𝑡 = 𝜙𝑋𝑡−1 + 𝑤𝑡 (suite)

Pour trouver 𝛼, on procède de même et on note qu’en
raison de la stationnarité, des similitudes apparaissent:

Or 𝑓2 𝛼 = 𝐸 𝑋0 − 𝛼𝑋1 2 = 𝐸𝑋02 − 2𝛼𝐸 𝑋0 𝑋1 + 𝛼 2 𝐸𝑋12 =
𝛾 0 − 2𝛼𝛾 1 + 𝛼 2 𝛾(0).

On dérive on égale à 0: 𝑓2′ 𝛽 = −2𝛾 1 + 2𝛼𝛾 0 ⇒ 𝛼 =
𝛾 1
𝛾 0
= 𝜌 1 = 𝜙.

On trouve donc que 𝜙22 = cor X2 − 𝜙𝑋1 , 𝑋0 − 𝜙𝑋1 =
cor 𝑤2 , 𝑋0 − 𝜙X1 = 0.

On va voir qu’en fait, pour un AR(p), toutes les
autocorrélations partielles 𝜙ℎℎ sont nulles pour ℎ ≥ 𝑝 + 1.