PROJET : Roller Coaster

Transcription

Lardeur Jean-Baptiste
Rapport de projet
P R O J E T : R o l l e r C o a s t e r Préparé pour : Examen IP3 Préparé par : Lardeur Jean-‐Baptiste Date : Janvier 2009 IP3 2009
Rapport de projet
IP3 2009
Table des matières : I. Présentation du projet : ................................................................................................3 A. Objectifs et description du projet : ..................................................................................................................... 3 B. Hypothèse de départ : .............................................................................................................................................. 4 II. Conception du programme : .........................................................................................4 A. Historique : ................................................................................................................................................................... 4 B. Sous programme informatique et méthode :................................................................................................. 5 a. Sous Programme :....................................................................................................................................................... 5 b. Méthode analytique : ................................................................................................................................................. 5 C. Construction d’un hub parfait, pente simple : ............................................................................................... 5 a. Hub parfait pente simple descente : ................................................................................................................... 5 b. Hub parfait portion plane :..................................................................................................................................... 8 c. Hub parfait portion montante : ............................................................................................................................ 9 III. Analyse de hub parfait dans sa globalité : ...................................................................10 A. Analyse de la vitesse et de la position : ..........................................................................................................10 a. Un aller simple : .........................................................................................................................................................10 b. Deux allers-retours : ................................................................................................................................................11 B. Etude énergétique : .................................................................................................................................................11 a. Un aller simple : .........................................................................................................................................................11 b. Deux allers retours : .................................................................................................................................................12 C. Conclusion sur le Hub parfait : ...........................................................................................................................13 IV. Le Hub réel :................................................................................................................14 A. Construction du hub réel : ...................................................................................................................................14 a. Pente simple réel : .....................................................................................................................................................14 b. Portion plane : ............................................................................................................................................................14 c. Portion montante du hub réel : ...........................................................................................................................15 B. Hub réel dans sa globalité :..................................................................................................................................17 a. Force de frottement élevé : ...................................................................................................................................17 b. Masse identique mais force de frottement plus faible : ............................................................................18 V. Conclusion : ................................................................................................................19 VI. Bibliographie ..............................................................................................................19 2
Rapport de projet
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I. Présentation du projet :
A. Objectifs et description du projet :
Le but de se projet est relativement simple a mettre en évidence. Dans notre enfance
nous sommes tous un jours monté sur une montagne russe. Ici, dans se projet, nous nous
proposons d’étudier le mouvement d’un wagonnet sur un parcours prédéfinit pouvant être
assimilé à une montagne russe.
On choisira arbitrairement différent support tout au long de notre rapport ou nous étudierons le
mouvement (vitesse et position) et l’énergie (cinétique, potentielle et mécanique).
Sur ce schéma, on
peut définir un
parcours simple
représentant une
montagne russe
suivant le parcours
ABCD, soit une partie
AB et CD en pente
séparé par une partie
plane BC.
La boule représente le
wagonnet, et les
flèches le sens du
mouvement.
( Schéma 1)
Dans cette étude, nous allons utilisé l’outil informatique pour répondre au différentes question
que nous pose se problème, c’est a dire qu’elle est la position de l’objet, sa vitesse a un instant
‘t’, l’influence de la pente sur ces deux paramètre, ainsi que l’influence de la masse du
wagonnet et des coefficients de frottements.
L’outil informatique joue ici un rôle important car il permet d’effectuer un grand
nombre de calcul en un temps très court. Ainsi grâce à lui on peut à chaque instant donner les
valeurs qui nous intéresse. Même si il est vrai que dans le cas du parcours ci dessus le
mouvement peut être explicité par une formule, l’utilisation de l’informatique permet
d’aboutir à une solution analytique au prix d’un moindre effort. De surcroît on pourra voir que
dans certain cas l’utilisation de l’informatique est obligatoire pour répondre au problématique
du sujet, à savoir si le support représente des courbes.
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B. Hypothèse de départ :
Avant de commencer à étudier les résultats et la construction du programme il
convient de mettre en lumière les hypothèses de départ qui ont permis de construire le
programme.
• Le wagonnet coulisse librement sur son parcours, en absence de frottement celui si
ne doit ni perdre ni gagnez d’énergie, si au cour de la simulation les résultat montre une
contradiction avec ces hypothèses, le programme sera clairement mal conçue, et il conviendra
de mettre en évidence l’origine des ces discordances.
• Le wagonnet est fixé sur son rail il ne peut en aucun cas le quitter.
• Comme nous l’avons vu sur le schéma (1), au point B, il y a une jonction entre la
pente et la partie plane, nous considérerons ici que la vitesse à la fin de la partie A est
identique à celle en début de partie B, autrement dit le wagonnet ne perd ni ne gagne d’énergie
lors de la collision. (Tout revient a enlever le point B du parcours et de faire en sorte que tout
se passe ‘commme si’ le wagonnet débutait en B avec comme vitesse initiale la vitesse final de
la partie A. (On fait la même hypothèse au point C).
• Les variables comme le poids (P), la masse (m), la gravité (g), et (k) le coefficient
des forces de frottements sont constants au cours d’une même expérience, il peuvent changer
d’une expérience a l’autre, (on pourra ainsi étudier leurs influences).
• Quand le wagonnet arrive en haut au point D ou sa vitesse est nulle alors il repart
dans l’autre sens avec une vitesse nulle, ceci indéfiniment en l’absence de tout frottement.
II. Conception du programme :
A. Historique :
Le choix du projet effectuer, le début de sa réalisation s’est avéré difficile en raison de
nombre de variable important de problème. Mon manque d’expérience cumulé a la complexité
du problème ne mon permis d’abordé le problème de manière frontale. J’ai donc décidé de
simplifier puis de complexifié au fur et a mesure de mon avancé le programme, afin de
construire un script qui correspondait a mes connaissance et qui offrait des réponses
cohérentes a notre problématique
Nous allons donc étudier les résultats qui mon permis de construire mon projet final,
dans l’ordre chronologique ou il sont apparus.
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B. Sous programme informatique et méthode :
a. Sous Programme :
Pour la construction du programme on a utilisé :
• Numpy qui a permis de construire des tableaux ou sont stockées les différentes valeurs qui
nous sont utile comme la vitesse la position ou l’énergie.
• Mathplolib pour tracer des courbes afin de mettre en évidence sous forme graphique les
resultat analytique et voir si nos résultat on du sens.
• Divers module comme Mathlab qui on permis de faire des calcul scientifique.
b. Méthode analytique :
Avant de commencer réellement a expliquer le programme il convient de mettre en
évidence les méthodes de calcul numérique que j’ai utilisé dans le programme.
L’unique méthode qui mérite une explication est celle d’Euler, qui permet de résoudre
des équations différentielles, dans notre cas celle du mouvement (vitesse et position).
Ici Euler se résume a :
V1 = Vi + g . dt - K . Vi
X1 = Xi + V1 . dt
(g=9.81, Vi,Xi=Vitesse et position initiale, dt=temps très court, KVi=force de frottement)
On obtient donc une valeur de V1et X1 que l’on réinjecte :
V2=V1+g . dt - K . V1
X2=X1+V1 . dt
Ceci permet a chaque instant de donner la vitesse grâce a la méthode d’euler, le ‘t’ petit
définit le pas d’intégration.
On programme cette méthode sur une boucle pour reproduire ce calcul un grand nombre
de fois afin de pouvoir déterminer un grand nombre de valeur.
C. Construction d’un hub parfait, pente simple :
Dans ce premier hub simple nous allons étudier le cas présenté sur le schéma 1.
Ce hub (ou circuit) est dit parfait, c’est à dire que les forces de frottements sont nulles.
Pour construire ce programme j’ai diviser mon hub en trois parties, AB, BC, CD, comme sur
le schéma, dont nous allons voir maintenant la construction.
a. Hub parfait pente simple descente :
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Dans ce hub parfait on considère que les frottements sont nuls.
Dans cette
partie on va s’intéressé
uniquement a la
construction de la
partie AB, soir une
pente d’angle 45° de
longueur LAB.
(Schéma 1 : Hub parfait)
On définit un triangle isocèle rectangle d’hypoténuse AB. On se place dans un repère
qui coïncide avec le vecteur AB.
On définit la longueur de coté 5cm.
Sur ce graphique on a
représenté :
• La vitesse : en vert, qui
augmente linéairement avec
le temps.
• La position : en bleu, qui
n’augmente pas linéairement
avec le temps mais de plus en
plus rapidement au fur et a
mesure que la vitesse
augmente.
Si l’on considère l’absence
de force de frottement ceci
constitue un premier
résultât cohérent.
(vitesse et position en fonction du temps)
On peut de même étudier l’aspect énergétique, comme le montre les courbes ci dessous.
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On peut voir sur cette courbe :
• L’énergie cinétique : en vert
qui augment avec la vitesse de
façon exponentielle.
• L’énergie potentielle : en
vert qui décroît au fur et a
mesure que la position
diminue.
• L’énergie mécanique : qui
correspond a la somme de
l’énergie potentielle et
mécanique, qui semble rester
constante au cours du temps.
(Energie en fonction du temps)
Cependant si on trace uniquement l’énergie mécanique en fonction du temps on
obtient la courbe suivante.
On voit que l’énergie décroît de 1% quand celle ci est supposée être constante.
On voit
donc ici la première
contradiction avec les
lois de la mécanique qui
de toute évidence prouve
que le programme n’est
fiable qu’a 99%, ce qui
reste tout de même un
très bon pourcentage.
(le temps d’intégration
est le même que
précédemment les
valeurs en abscisse
tienne compte d’un pas
d’intégration très faible
(le dt de la méthode
d’Euler))
(Représentation de l’énergie mécanique en fonction du temps)
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b. Hub parfait portion plane :
On se trouve ici dans la partie BC du schéma 1, on considère que les frottement sont toujours
nuls.
La vitesse doit donc rester constante et la position augmenter linéairement. En l’absence de
toute force de frottement comme on l’as déjà supposé ici.
Pour le programme on définit une boucle qui calcule vitesse, position et énergie sur un
parcours de longueur fini que l’on nomme BC.
On obtient donc différent résultat que l’on peut expliciter :
On peut voir sur se
graphique :
• La position = En bleu qui
augmente linéairement. On
peut remarquer que la position
de départ n’est 0, mais une
longueur arbitraire (ici 23).
• La vitesse : en vert qui reste
constante au cours du temps,
en l’absence de tout
frottement.
(Représentation de la vitesse et position en fonction de temps)
On peut voir sur ce
graphique :
• L’énergie cinétique : en
vert qui reste constante tout
comme la vitesse.
• L’énergie potentielle : en
rouge qui est nulle car
l’origine de calcule de la
hauteur est pris a l’altitude
(BC).
• L’énergie mécanique : en
vert qui coïncide
parfaitement avec l’énergie
cinétique.
(
R
(Représentation de l’énergie (mécanique, cinétique et potentielle en
fonction du temps))
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c. Hub parfait portion montante :
On ca étudier ici le mouvement du wagonnet sur la portion CD du hub. Cette portion
est montante de pente 45° et de longueur identique aà AB.
On fabrique une boucle pour calculer toutes nos informations. On part du principe qu’il y a
une vitesse initiale non nul, au point C, que la bille en montant la pente perd de l’énergie
cinétique jusqu'à ce que sa vitesse devienne nulle, on arrive alors a la fin de la partie aller du
mouvement, la bille peut repartir dans l’autre sens.
Mais avant de voir le mouvement dans sa globalité intéressons nous d’abord aux résultats
obtenus pour la partie CD :
On peut voir sur se graphique :
• La position : en vert qui
augmente de moins en moins
rapidement au fur et a mesure que la
vitesse diminue pour atteindre une
valeur de xf : position de la longeur
final ou la vitesse est nul.
• La vitesse : en bleu qui décrois au
fur et a mesure que le wagonnet
monte la pente.
(Représentation de la vitesse et position en fonction de temps)
On peut voir de meme sur schéma :
• L’énergie cinétique : en vert qui
décrois avec la vitesse.
• L’énergie potentielle en bleu qui
augmente avec la position (qui prend
de l’altitude).
• L’énergie mécanique qui reste
constante.
(
R
(Représentation de l’énergie (mécanique, cinétique et potentielle
en fonction du temps))
On peut remarquer deux choses sur le graphique précédant :
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1°) Il ressemble énormément au graphique obtenue sur la partie
descendante du hub. Avec une symétrie par rapport au temps
médian. (graphique a gauche).
2°) Comme précédemment on observe
que l’énergie mécanique n’est pas
parfaitement conservé elle augmente
dans des rapport de l’odre de 1% comme
on avais pur le voir sur la portion
descendente du hub parfait
III. Analyse de hub parfait dans sa globalité :
Apres avoir étudie le mouvement sur le hub de façon décomposé sur trois segments et
sur un aller simple, on peut maintenant étudier les paramètres du système sur le hub en entier
mais de surcroît lors de plusieurs trajet aller retour.
A. Analyse de la vitesse et de la position :
a. Un aller simple :
On peut voir en vert la
vitesse, et en bleu la position,
ce qui coïncide parfaitement
avec la forme du hub.
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b.
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Deux allers-retours :
La position est ici en vert,
la vitesse en bleu, les
points sur le schéma
représente les points des
différentes section du hub.
Les flèches sur le
graphique représente le
sens du mouvement sur le
hub dans un référentielle
terrestre galiléen d’origine
A.
B. Etude énergétique :
a. Un aller simple :
On voit ici :
• L’énergie
potentielle en
vert, l’énergie
cinétique en
bleu et
l’énergie
mécanique en
rouge.
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On a représenter a droite sur un graphique dédie l’énergie
mécanique du graphique d’au dessus. On voit clairement
que cette énergie n’est pas constante.
- De A➙B : l’Em décroît
- De B➙B’ : point de transition entre les portion
descendente et plane. On voit clairement que le
programme effectue mal la transition
- De B➙C : ici tout va bien on est sur la portion plane.
- De C➙D : l’Em augmente mais il n’y a pas de
discontinuité en C.
On peut remarque que quand l’Ep décrois l’Em aussi et
que quand l’EP croit, l’Em aussi. Ceci me fait dire que le problème vient du calcul de l’énergie
potentielle qui doit être erroné, celui de l’énergie cinétique étant probablement juste. On
tachera d’expliquer plupart les incohérences, en notant tout de même que les variation reste
relativement faible.
b.
Deux allers retours :
On peut voir :
L’énergie cinétique en
vert , l’énergie potentille
en bleu et l’énergie
mécanique en rouge.
Le sens du mouvement
sur le hub est monter par
les fleches..
(Représentation de l’énergie (mécanique, cinétique et potentielle en fonction du
temps))
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Ici on peut voir
l’énergie
mécanique en
fonction du
temps. Varie
assez peu, mais
varie tout de
meme.
(Représentation de l’énergie mécanique en fonction du temps)
C. Conclusion sur le Hub parfait :
D’après les premiers résultat
on peut dire que le programme réalise
correctement le calcul de la position
et de la vitesse cependant le repère de
calcul coïncide avec celui de la
courbe, c’est a dire qu’on a former
trois repère dont l’axes des x
correspond aux trois portions de
courbe. Dans ce repère le calcul de la
position et de la vitesse s’avère très
simple.
Cependant pour calculer l’Ep
il faut changer de repère et c’est ce
changement de repère qui s’avère
délicat et qui donne en partie des
résultats trop variables.
De surcroît, le programme ne
répond pas efficacement a mes
attentes, si on prend le cas concret de
la portion CD celle de la montée, je
programme un boucle avec pour
instruction : tant que la vitesse n’est pas nulle on continu le calcul. Comment on peut le voir
sur cette extrait de terminal ma dernière valeur n’est pas nul mais qui plus est négative.
Ainsi à chaque transition de phase il se crée une erreur.
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IV. Le Hub réel :
Apres avoir étudier un hub parfait dont on a vu que les résultats était correctement
exprimer pour des temps cours soit un trajet plus court on va ici construire un hub avec des
frottement et voir comme on doit s’y attendre que le wagonnet s’arête.
A. Construction du hub réel :
a. Pente simple réel :
On voit en vert la vitesse et en bleu
la position.
Tres clairement la vitesse
n’augmente plus linéairement , tout
comme la position qui augmente
plus rapidement avec la vitesse
On voit ici les différentes
énergies mises en jeu.
- L’énergie cinétique en bleu
- l’énergie potentille en vert
-l’énergie mécanique en rouge.
(Représentation de l’énergie
(mécanique, cinétique et
potentielle en fonction du
temps))
b. Portion plane :
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On est ici sur la portion
plane du hub ou très
clairement la vitesse en
vert continue de
diminuer et la position
en bleu augmente.
On peut voir que tout
semble normale et que
ces résultat coincide
avec nos attente.
Sur ce graphique on peut
noter :
- L’énergie cinétique en
vert qui coincide avec
l’énergie mécanique
- L’énergie potentielle
qui est nulle.
(Représentation de l’énergie (mécanique, cinétique et potentielle en
fonction du temps))
c. Portion montante du hub réel :
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On est ici sur la portion
montante du hub, la
position en bleu
continue d’augmenter et
la vitesse en vert
diminue avec le temps
et la distance au sol.
On peut voir ici :
- L’énergie cinétique en
bleu qui diminue
grandement du fait de la
perte de vitesse du a la
hauteur et au frottement.
L’Ec devient nul donc on
la vitesse aussi. Ce qui
cohérent.
- En vert l’énergie
potentielle témoigne que
l’on prend de l’altitude.
(Représentation de l’énergie (mécanique, cinétique et potentielle en fonction
du temps))
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B. Hub réel dans sa globalité :
Ici on va étudier le hub réel dans sa globalité, pour cela nous allons prendre deux
situation ou la masse et le coefficient des forces de frottement change. Dans un cas la bille
s’arrête rapidement dans l’autre cas nos.
a. Force de frottement élevé :
Etudions attentivement ce
gaphique :
- En vert la vitesse
-En bleu la position.
On voit ici que la vitesse
augmente sur le parcours
AB, puis sur le parcours
BC elle diminue,ainsi que
sur CD (dont on voir
qu’elle diminue beaucoup
plus rapidement qu’avant)
puis réaugmente sur DC.
Pour devenir null sur le
parcours CB.
La vitesse étant nulle sur
un parcours plan de lae
wagonnet s’arrette sur la
portion plane BC.
(Représentation de l’énergie
(mécanique, cinétique et
potentielle en fonction du temps))
On represente ici l’énergie
potentielle en bleu, l’énergie
cinétique en vetrt et l’énergie
mécanique en rouge.
On voit que sur la fin l’EP, Ec et
l’Em sont nul la bille est belle est
bien arrêté.
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b. Masse identique mais force de frottement plus faible :
Ici on va effectuer notre deuxième expérience nous allons diminuer le coefficient des force de
frottemt car seul lui intervient réellement sur le mouvement. La masse elle ne change que la
quantité d ‘énergie mis en jeu mais n’a pas d’infuence sur le mouvement.
Ici clairement les forces de frottements son plus faible la distance parcourus est plus
grande. La courbe bleu représente la position qui clairement augmente pour redescendre,
remonter jusqu’au point final qui est sur la portion plane BC comme on pouvait si attendre.
La vitesse elle varie avec la pente comme on commmence a en avoir l’habitude.
Sur ce graphique on voit
l’énergie cinétqique en vert,
l’énergie potentielle en bleu et
l’énergie mécanique en rouge.
Sur la fin l’énergie mécanique est
nulle, donc la vitesse est nulle ,
ce qui sur une portion plane
indique que l’objet est arrété.
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V. Conclusion :
A travers toute ces expériences le logiciel proposé a su répondre efficacement a la
problématique du sujet, il a donné des réponses cohérente sur le mouvement du wagonnet,
(vitesse et position). Cependant les résultats des calculs des énergies ne sont pas parfait, du a
de petite erreur pour l’Ec et des erreures plus importantes pour l’Ep le tout restant dans des
proportions très raisonnable (moins de 2% de la valeur totale).
Ces différentes expériences nous on permis de réellement appréhender toutes les
possibilités offertes par l’informatique, outil d’une grande efficacité. A travers la méthode
d’Euler qui permet de résoudre des équations du premier et second ordre, grâce a des boucles
qui on pu calculer des intégrales non triviale. L’informatique apparaît donc comme un moyen
utile dans notre situation pour étudie le mouvement mais peut parfois être indispensable, sa
maîtrise est donc un enjeu important pour le physicien.
VI. Bibliographie
• Livre :
- Apprendre a programmer avec python de Gérard Swinnen (libre de droit)
- Feuille de TD1,2,3., en particulier les exemples traitant des tableau numpy et ceux sur la
résolution d’équation différentielle.
• Forum internet :
- http://www.pythonfrance.com : site qui ma beaucoup aider dans une méthode qui n’as au
final pas donner de résultât et que j’ai du abandonner.
- http://www.developpez.net/forums/ en remerciant tout particulièrement ‘oiffrig’ (‘pseudo’)
qui m’a apporter des réponses utiles quant a la gestion des tableaux avec numpy.
- http://www.myphysicslab.com/RollerSimple.html : site qui ma largement inspiré quand a la
méthode pour programmer le logiciel.
• Logiciel utilisé pour ce rapport :
- Grapher : qui m’a permit de dessinerle bub du schéma 1.
- Appercu : qui ma permis d’incruster les reperes (ABCD) et les fleches sur mes graphique.
- Word : qui a été utilisé pour l’écriture du rapport.
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