Lycée Saint Sernin TOULOUSE ~ DC2 – 1S ~ Lundi 2 Mars 2015
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Lycée Saint Sernin TOULOUSE ~ DC2 – 1S ~ Lundi 2 Mars 2015 ~ 51 Min. Exercice 1 : (2 Pts. ) Soit la suite (un) définie pour n entier naturel par : un = n² - n. 1Prouver que pour tout entier n, on a : un+1 = un + 2n 2Montrer que la suite (un) est croissante. Exercice 2 : (5 Pts. ) Soit la suite (vn) définie par v0 =4 et pour tout entier naturel n, vn+1 = 2vn – 3. 1Calculer v3 sans calculatrice. 2Voici un algorithme. Expliquer ce que fait cet algorithme en liaison Saisir N avec la suite (vn) . Affecter 4 à la variable A 3Calculez v10 (méthode à votre convenance mais clairement explicitée.) POUR I de 1 à N, Affecter 2A-3 à la variable A 4En admettant que, pour tout entier naturel n, vn 4, montrer que Fin POUR la suite (vn) est croissante. Afficher A. 5Déterminer à la calculatrice le plus petit entier n qui vérifie : pour tout 0 entier n, si n n0 alors un > 10 . (On donnera quelques explications) 9 Exercice 3 : (3 Pts. Seule la justification est valorisée) La courbe C’ ci-contre est la représentation graphique d’une fonction f ’, fonction dérivée d’une fonction f , définie et dérivable sur , qu’on ne précise pas. Répondre par « vrai » ou « faux » puis justifier votre réponse. 1. Pour tout réel x inférieur ou égal à -1, on a f ’(x) positif. 2. La fonction f est croissante sur [0 ; 2]. 3. La courbe de la fonction f admet une tangente horizontale au point d’abscisse -1 1 Exercice 4 : (5 Pts. ) Soit la fonction définie sur * par f(x) = x + . x 1Expliquer pourquoi f est dérivable sur tout intervalle de son ensemble de définition. 2Pour x réel non nul, calculer f ’(x). 3Etudier le signe de f ’(x) pour x non nul, puis donner les variations de f sur son ensemble de définition. 4Déterminer les coordonnées des points de la courbe de la fonction f, où la tangente est parallèle à la droite d d’équation y = 0,5 x + 4 Exercice 5 : (1,5 Pts. ) Vrai ou Faux ? Argument ou preuve ! Pour une parabole P qui représente une fonction polynôme du second degré, il existe deux points de P, différents, où les tangentes sont parallèles. (Argumenter à partir d’un graphique ne suffit pas) Exercice 6 : (3,5 Pts. 2+1,5 ) ABCD est un parallélogramme. La figure vous est donnée seulement pour aider votre raisonnement qui s’appuiera exclusivement sur le calcul vectoriel (partie 1) ou algébrique (partie 2) Partie 1 : 1Exprimer le vecteur DB à l’aide des seuls vecteurs AB et AD 2 1 2Le point E est défini par l’égalité vectorielle : DE AB AD . 3 3 Exprimer le vecteur CE à l’aide des seuls vecteurs AB et AD 3Peut-on en déduire le parallélisme des droites (EC) et (DB) (justifier) Partie 2 On se place maintenant dans le repère (A,B,D). Donner sans justification les coordonnées des points A, B, C, et D. a. Cherchez une équation de la droite (BD). 1 2 1 2 b. Les points B, D, et H( ; ) sont-ils alignés ? 2 2