Diapositives chapitre 15

Transcription

Chapitre 15 – Options et actifs conditionnels
 Plan






Fonctionnement des options
Utilisation des options
La parité put-call
Volatilité et valeur des options
Les modèles de détermination de prix d’option



Modèle à deux états
Réplication dynamique et modèle binomial
Modèle de Black et Scholes
 Autres applications de la théorie des options
1
Bodie Merton - Chapitre 15
www.escpeurope.eu/~bmt
© Christophe Thibierge - 2011
Fonctionnement des options
 Même principe qu’un contrat à terme
Sous-jacent, prix d’exercice et date d’échéance
 Sans obligation d’achat ou de vente
 Option d’achat (call) ou de vente (put)
2
Les options sur les marchés organisés
 Fait correspondre acheteurs et vendeurs (compensation)
 Prix et date d’échéance sont déterminés par le marché
Sous-jacent, prix d’exercice et date d’échéance
 Sans obligation d’achat ou de vente
 Option d’achat (call) ou de vente (put)
 Portent sur les actions, sur les indices, sur tout...
3
Exemple
4
Valeur intrinsèque et valeur temps
 Valeur intrinsèque

Valeur d’une option si elle arrivait à expiration immédiatement
 Valeur temps

Différence entre la valeur intrinsèque et le cours de clôture
négocié
 Valeur intrinsèque nulle

L’option est dite hors de la monnaie.
 Valeur intrinsèque positive

L’option est dite dans la monnaie.
5
Utilisation des options
Profil de gain d'un call
Gain issu de l'exercice du call
120
100
Le prix d’exercice est de 100.
80
Notons ST le prix de l’action à échéance
de l’option.
60
40
20
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Profil de gain d'un put
200
Gain issu de l'exercice du put
Cours de l'action à échéance
Le gain sur le call est égal au maximum
de [ST-100 ; 0]. Si le prix de l’action < 100,
le call ne vaut rien.
Le gain sur le put est égal au maximum
de [100-ST ; 0]. Si le prix de l’action > 100,
le put ne vaut rien.
120
100
80
60
40
20
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
6
Taux de rentabilité d’un portefeuille:
3 stratégies différentes
Profils de gains correspondant à différentes stratégies
(tendance haussière)
•Tendance haussière du marché
140
120
100
Taux de rentabilité du
portefeuille (%)
•1 action = 100 € / 1 option = 10 €
100% d'actions
100% d'options calls
10%d'options calls
80
•100 000 € en actions sans dividendes
(100% d’actions)
60
40
•100 000 € en options (100%
d’options)
20
0
-20
-40
•10 000 € en options et le reste en
actif sans risque (10% d’options)
-60
-80
-100
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
Il faut déterminer ses propres anticipations (l’économie croissante, stable, en
récession) et sa tolérance au risque.
Minimum de rentabilité garantie dans la 3ème stratégie et pente de gain
identique à celle d’un investissement en actions.
7
Stratégie Action + Put
 Achat d’actions + puts de l’action
 Le portefeuille garantit la valeur de l’action
Profil de gain pour la stratégie action + put
200
Put
Action
Action + Put
160
Gain
120
80
40
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Cours de l'action à l'échéance
8
Stratégie Actif sans risque + Call
 Placement en actif sans risque + calls sur action.
 Le portefeuille garantit la valeur de l’actif sans risque.
Profil de gain pour la stratégie actif sans risque + call
200
Call
Actif sans risque
Actif sans risque + call
160
Gain
120
80
40
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Cours de l'action à l'échéance
9
La relation de parité put – call


Action + put au prix d’exercice E  Actif sans risque au
nominal de E + call au prix d’exercice de E.
D’après la loi du prix unique:
S est le cours de l’action,
E le prix d’exercice,
P la valeur de l’option de vente (put),
r le taux sans risque,
T la durée à l’échéance de l’option
C la valeur de l’option d’achat (call).

S+P=
Un call est composé de:
L’achat de l’action S,
L’emprunt réalisé pour cet achat (levier),
L’achat d’une assurance contre le risque de baisse (put)
E
(1 + r )
T
C=S−
+C
E
(1 + r ) T
+P
10
Exemple 1


S = 100, E = 100, T = 1 an, r = 0.08 et P = 10
C devra être de 17.41 €

Si le call est coté 18 €, que doit-on faire?
⇒ Vendre ses calls et acheter des calls synthétiques.

Call synthétique: achat d’une action à l’aide d’un emprunt de 92.59 €.
Soit un coût de 7.41 € pour une action + achat d’un put à 10 €.

Bilan:
Vente d’un call à 18 € - achat d’un call synthétique à 17.41 € = 0.59 €
de gain.
11
Parité put – call et implications
C−P=S−
E
(1 + r ) T

Si le cours de l’action est égal à la valeur actuelle du prix d’exercice de
l’option, alors le prix du call est égal au prix du put.

Si le cours de l’action est supérieur à la valeur actuelle du prix d’exercice
de l’option, alors le prix du call est supérieur au prix du put.

Si le cours de l’action est inférieur à la valeur actuelle du prix d’exercice
de l’option, alors le prix du put est supérieur au prix du call.
12
Volatilité et valeur des options

Plus plus le prix du sous-jacent est volatil, plus les
gains espérés sur le put ou le call augmentent.

Les prix respectifs du put et du call croissent en
conséquence.
13
Le modèle à deux états
Hypothèses
Une action peut prendre deux valeurs (deux états) à l’issue de l’échéance
de l’option.
On construit un call synthétique (action + actif sans risque)
Exemple
Call à 1 an : E = 100 €, cours actuel à 100 €.
Perspectives d’évolution : + ou – 20%
Taux sans risque : 5%
14
Le modèle à deux états (suite)
Call : dans 1 an
Cours de l’action Gain sur le call
120
20
80
0
Call synthétique
Action financée par un emprunt. On ne peut emprunter que sur une valeur
garantie de l’action dans 1 an, soit 80 € / 1.05 = 76.19 €.
Transaction
Cash-flow
immédiat
Cash-flow
dans 1 an
si S = 120
Cash-flow
dans 1 an
si S = 80
Achat d’une action
-100
120
80
Emprunt à taux sans risque
76.19
-80
-80
Portefeuille total
-23.81
40
0
15
Le modèle à deux états : ratio de couverture

Proportion d’actions dans le
exactement les recettes du call
Ratio de couverture =

portefeuille
qui
réplique
Amplitude des valeurs de l' option
Amplitude des valeurs de l' action
Dans notre exemple : ratio de couverture = 0.5
Nous achetons une moitié d’action et empruntons 38.095 € à 5%.
Actif
Cash-flow
immédiat
Cash-flow
dans 1 an
si S = 120
Cash-flow
dans 1 an
si S = 80
20
0
Call
Achat d’1/2 action
-50
60
40
Emprunt au taux sans risque
38.095
-40
-40
Call synthétique
-11.905
20
0
16
Le modèle à deux états : conclusion

Évaluation du prix d’un call sans le prix du put
correspondant

D’après la loi du prix unique,
C = 0.5 S – 38.095 = 11.905 €
17
La réplication dynamique
et le modèle binomial


Deux périodes; l’action peut monter ou baisser de 10 € à chaque période.
Stratégie d’investissement autofinancée
Cours actuel de l'action
Cours de l'action dans 6 mois
Cours de l'action dans 1 an
Valeur finale du portefeuille
120 €
Vente de l'action 120
Remboursement de l'emprunt -100
Portefeuille total 20
100 €
Vente de l'action 100
Remboursement de l'emprunt -100
80 €
110 €
Achat
d'1/2 action
Emprunt de 55
€
Investissement total = 10
€
100 €
Achat
d'1/2 action Emprunt de 45
€ Investissement total = 5
€
90 €
Vente d'1/2 action
Remboursement de l'emprunt
Investissement total = 0 €

Investissement initial = 5 € , le prix du
18 call

L’investisseur ajuste le portefeuille de réplication en continu
C = N (d 1 ) S − N (d 2 ) E × e − rT
d1 =
ln(S / E ) + (r + σ 2 / 2)T
σ T
où :
d 2 = d1 − σ T
C = prix du call
S = cours de l’action
E = prix d’exercice de l’option
r = taux sans risque
T = durée jusqu’à l’échéance de l’option, en années
σ = écart-type du taux de rentabilité annuel (en continu) de l’action
ln = logarithme népérien (ou naturel)
e = l’exponentielle (approximativement 2,71828)
N(d) = Densité de probabilité cumulée de d (probabilité qu’un tirage au hasard
dans une distribution normale centrée réduite soit inférieur à d).
19

Les déterminants du prix des options
Augmentation
Du cours de l’action S
Du prix d’exercice E
De la volatilité σ
De la durée à l’échéance T
Du taux sans risque r
Des dividendes versés d
Call
Augmentation
Baisse
Augmentation
Augmentation
Augmentation
Baisse
Put
Baisse
Augmentation
Augmentation
Augmentation
Baisse
Augmentation
20
Volatilité implicite
Valeur qui égalise la valeur de marché de
l’option et valeur obtenue par la formule
d’évaluation des options
21
Indice de volatilité - 1990-2010
22
Théorie des options appliquée à la finance
d’entreprise

La formule de la valeur des capitaux propres est:
CP = N (d 1 )V − N (d 2 ) B × e
− rT
d1 =
ln(V / B ) + (r + σ 2 / 2)T
σ T
où : V = valeur de l’entreprise (valeur des actifs)
d 2 = d1 − σ T
CP = valeur des capitaux propres
B = valeur de remboursement de la dette à l’échéance (ici, valeur nominale de
l’emprunt obligataire)
r = taux sans risque
T = durée jusqu’à l’échéance de l’emprunt, en années
σ = écart-type du taux de rentabilité annuel (en continu) des actifs
ln = logarithme népérien (ou naturel)
e = l’exponentielle (approximativement 2,71828)
N(d) = Densité de probabilité cumulée de d (probabilité qu’un tirage au hasard
dans une distribution normale centrée réduite soit inférieur à d.)
23
Évaluation des cautions et garanties

Dette risquée + Garantie sur la dette = Dette sans risque

Comment évaluer cette garantie ?
On compare la valeur actuelle de la dette sans garantie à celle d’un
emprunt sans risque qui aurait les mêmes modalités de
remboursement.

Valeur de la garantie = Valeur avec garantie – Valeur sans
garantie
24
Autres applications
de la théorie des options

Renégociation de taux d’intérêt d’emprunt

Crédit-bail

Options de choix d’investissement:
Option de démarrage ou d’abandon d’un projet
Option de sous-traitance…
25

Diapositives chapitre 15

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