Probabilités, cours pour la classe de Terminale STG

Probabilités, cours pour la classe de Terminale
STG
F.Gaudon
16 février 2008
Table des matières
1
Probabilités (rappels)
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2
Événements
3
3
Calculs de probabilités
4
4
Probabilités conditionnelles
4.1 Notion de probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Arbre pondérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Indépendance d’événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5
6
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1
Probabilités (rappels)
Définitions :
• Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs issues aussi appelées éventualités possibles dont on ne peut pas prévoir laquelle sera
réalisée.
• L’ensemble de toutes les éventualités constitue l’univers de tous les possibles.
Exemple :
Le lancer d’un dé à six faces constitue une expérience aléatoire d’issue xi
pour i allant de 1 à 6 et correspondants à la sortie de la face i du dé. Il y a donc 6
issues ou éventualités possibles.
Définition :
Soit E = {x1 ; x2 ; . . . ; xr } l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire,
on définit une loi de probabilité sur E en associant à chaque issue xi un
nombre pi tel que :
• pour tout entier i tel que 0 6 pi 6 1 ;
• p1 + p2 + . . . + pn = 1.
pi est appelée probabilité de l’issue xi .
Propriété :
Si on répète une expérience aléatoire dont les issues sont {x1 ; x2 ; . . . ; xn } un
nombre n de fois, alors
• les fréquences d’apparition des xi vérifient f1 + f2 + . . . + fr = 1 et 0 6
fi 6 1 ;
• si n devient grand, les fréquences se stabilisent autour de la probabilité pi
(loi des grands nombres).
Exemple : On jette un dé 100 fois et on note la face apparue à chaque lancer. Si le
12
1 apparaı̂t 12 fois la fréquence de sortie est 100
= 0, 12. On a f1 +f2 +. . .+f6 = 1.
Si le nombre de lancers devient grand, les fréquences se stabilisent autour de
1
, probabilité d’apparition du 1.
6
2
Exemple :
Une pièce de monnaie est truquée de sorte que la probabilité d’obtenir pile est
le double de celle d’obtenir face. On appelle p1 la probabilité d’obtenir pile et p2
celle d’obtenir face. On a donc p1 + p2 = 1. Or p1 = 2 × p2 donc 2p2 + p2 = 1
d’où 3p2 = 1 et p2 = 13 et p1 = 1 − 13 = 23 .
Définition :
Lorsque les r issues d’une expérience aléatoire ont la même probabilité p de
se réaliser, on parle de loi équirépartie. Alors p = 1r .
Exemple :
Pour le lancer d’un dé non truqué à six faces, chaque face ayant la même
probabilité d’apparaı̂tre, la loi est équirépartie et chaque face i a une probabilité
pi d’apparaı̂tre égale à pi = 61
2
Événements
Définition :
Soit E l’univers associé à une expérience aléatoire.
• Toute partie de l’univers est appelé un événement et le nombre d’éléments
d’un événement A est appelé son cardinal.
• Tout événement formé d’une seule éventualité est appelé événement
élémentaire.
• ∅ est appelé événement impossible.
• E est l’événement certain.
Exemple : lancer d’un dé à six faces :
• « obtenir 1 ou 2 »est un événement ;
• « obtenir 1 »est un événement élémentaire ;
• « obtenir 7 »est l’événement impossible.
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Définition :
Soit P une loi de probabilité définie sur un ensemble E, alors la probabilité
d’un événement est la somme des probabilités des issues qui le réalise.
Propriété :
• P (∅) = 0 ;
• P (E) = 1 ;
• pour tout événement A, 0 6 P (A) 6 1.
Propriété (cas d’une loi équirépartie) :
Dans le cas d’une loi équirépartie, la probabilité d’un événement A est :
P (A) =
3
nombre d’issues favorables à A
nombre d’issues possibles dans E
Calculs de probabilités
Définition :
Soient A et B deux événements.
• L’événement A ∩ B (lire « A inter B »ou « A et B ») est l’ensemble des
issues qui réalisent à la fois A et B.
• Lorsqu’aucune issue ne réalise A et B, c’est à dire A ∩ B = ∅, on dit que
A et B sont incompatibles.
• L’événement A ∪ B (lire « A union B »ou « A ou B ») est l’ensemble des
issues qui réalisent A ou B, c’est à dire au moins l’un des deux événements.
• L’événement Ā appelé événement complémentaire ou contraire de A est
l’ensemble des issues qui ne réalisent pas A.
Propriété :
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Soit P une loi de probabilité sur un ensemble E.
• Pour tous les événements A et B, on a :
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
• En particulier, si A et B sont des événements incompatibles, alors P (A ∪
B) = P (A) + P (B).
• Pour tout les événements A et B,
P (Ā) = 1 − P (A)
Preuve :
• Il suffit de dénombrer les issues élémentaires composant chacun des événements.
• Si A et B sont incompatibles, on a A ∩ B = ∅ donc P (A ∩ B) = 0 d’où la
formule.
• On a E = A ∪ Ā et A ∩ Ā = ∅ donc A et Ā sont incompatibles et P (E) =
P (A ∪ Ā) = P (A) + P (Ā). Or P (E) = 1 donc 1 = P (A) + P (Ā) d’où
P (Ā) = 1 − P (A).
4
Probabilités conditionnelles
4.1
Notion de probabilité conditionnelle
Définition :
Pour tout événement A et tout événement B non impossible, on appelle probabilité conditionnelle de A sachant B et notée PB (A) le nombre
PB (A) =
P (A ∩ B)
P (B
Exemple :
Lors d’un sondage, 50% personnes des interrogées déclarent pratiquer un
sport régulièrement et 75% des personnes interrogées déclarent aller au cinéma
régulièrement. De plus, 40% des personnes déclarent faire du sport et aller au
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cinéma régulièrement. On interroge à nouveau une de ces personnes au hasard et
on considère les événements « la personne interrogée pratique un sport régulièrement »
et « la personne interrogée va au cinéma régulièrement » que l’on notent S et C
respectivement. On cherche à calculer la probabilité que la personne pratique un
sport régulièrement sachant qu’elle va régulièrement au cinéma.
0,4
= 0,75
≈ 0, 53.
On a P (C) = 0, 75 et P (S ∩C) = 0, 4. Donc PC (S) = PP(S∩C)
(C)
Remarque :
Soient A et B deux événements non impossibles d’un univers donné. La
connaissance de la probabilité d’un événement B et de la probabilité conditionnelle d’un événements A sachant B permet de retrouver la probabilité P (A ∩ B)
de l’intersection de A et B avec la formule P (A ∩ B) = PB (A)P (B).
4.2
Arbre pondérés
Définition :
Le schéma ci-dessus est appelé arbre pondéré ou arbre à probabilités. Il comporte 4 chemins : A ∩ B, A ∩ B̄, Ā ∩ B et Ā ∩ B̄. Un noeud est un point d’où
partent plusieurs branches.
Propriété :
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Dans un arbre pondéré ou arbre à probabilités comme ci-dessus,
• La somme des probabilités portées sur les branches issues d’un même
noeud est égale à 1 (par exemple, PB (A) + PB (Ā) = 1) ;
• la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités portées par ses
branches (par exemple, P (A ∩ B) = P (B) × PB (A)) ;
• la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins
qui le compose(par exemple, P (A) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B̄)).
Exemple :
La tableau suivant montre la répartition d’une population dans une usine :
Hommes
Femmes
Total
Cadres
100
50
150
Ouvriers
200
150
350
Total
300
200
500
On rencontre un employé au hasard. On note H l’événement « l’employé rencontré est un homme » et C l’événement « l’employé rencontré est un cadre ».
100
200
= 0, 6, PH (C) = 300
= 13 et PH (C̄) = 300
= 23 . On a bien
On a P (H) = 300
500
PH (C) + PH (C̄) = 1. En outre, P (H ∩ C) = P (H) × PH (C) = 0, 6 × 1/3
0, 2 et
=
P (C) = P (C ∩ H) + P (C ∩ H̄).
4.3
Indépendance d’événements
Définition :
On dit que deux événements A et B sont indépendants lorsque
P (A ∩ B) = P (A)P (B)
Remarque :
Si P (B) 6= 0 alors deux événements A et B sont indépendants à condition
que PB (A) = P (A) (ou PA (B) = P (B) si P (A) 6= 0), ce qui signifie que la
probabilité que l’un des deux événements se réalise ne dépend pas de la probabilité
que l’autre se réalise.
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Exemple :
On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes. On appelle A l’évenement
« on tire un as », T l’événement « on tire un trèfle » et C l’événement « on tire un
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8
4
= 18 , P (T ) = 32
= 18 et P (C) = 32
= 14 .
carreau ». On a P (A) = 32
D’une part A ∩ T est l’événement « on tire l’as de trèfle » et P (A)P (T ) = 81 ×
1
1
= 32
qui est bien égal à P (A ∩ T ) ce qui montre que A et T sont indépendants.
4
D’autre part, T ∩ C est l’événement « on tire un trèfle et un carreau » dont la
1
probabilité est 0 mais on a P (T )P (C) = 41 14 = 16
6= P (T ∩ C) ce qui confirme
que les événements T et C ne sont évidemment pas indépendants.
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