Options Exotiques Projet De Fin D`étude

Transcription

PFE – Les Options Exotiques
Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER
Projet De Fin D’étude
Le 01/04/2004
Options
Exotiques
École Internationale des Sciences du Traitement de l’Information
Version Finale - Compte Rendu - lundi 15 mars 2004
http://optionsexotiques.free.fr
Emmanuel BIOUX
Matthieu FOURNIL-MOUSSÉ
Loïc TONNELIER
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Le 01/04/2004
Sommaire
REMERCIEMENTS................................................................................................................................................ 4
INTRODUCTION .................................................................................................................................................... 5
PARTIE 1 MODELISATION DES OPTIONS EXOTIQUES ........................................................................... 7
1.
INTRODUCTION CONCERNANT LES MODELISATIONS .................................................................................. 10
1.1
Modélisation à temps discret ........................................................................................................... 10
1.2
Modélisation à temps continu .......................................................................................................... 10
2.
LES OPTIONS NON PATH-DEPENDANT ........................................................................................................ 12
2.1
Option Binaire.................................................................................................................................. 12
a)
b)
c)
d)
e)
2.2
a)
b)
c)
d)
2.3
a)
b)
c)
d)
3.
Définitions et caractéristiques ........................................................................................................................... 12
Intérêt ................................................................................................................................................................. 14
Modélisation en temps discret........................................................................................................................... 14
Modélisation en temps continu ......................................................................................................................... 16
Exemples de stratégie ........................................................................................................................................ 22
Option à panier ................................................................................................................................ 24
Éléments de « pricing » ..................................................................................................................................... 24
Intérêt ................................................................................................................................................................. 25
Exemple de stratégie.......................................................................................................................................... 26
Option Chooser ................................................................................................................................ 29
Intérêt ................................................................................................................................................................. 30
Exemples de stratégie ........................................................................................................................................ 31
LES OPTIONS PATH-DEPENDENT ................................................................................................................. 33
3.1
Option barrière ................................................................................................................................ 33
a)
b)
c)
d)
3.2
a)
b)
c)
d)
3.3
a)
b)
c)
d)
e)
Intérêt ................................................................................................................................................................. 35
Option Lookback .............................................................................................................................. 41
Intérêt ................................................................................................................................................................. 46
Option Asiatique (ou à Moyenne).................................................................................................... 54
Intérêt ................................................................................................................................................................. 55
Modélisation en temps discret........................................................................................................................... 55
PARTIE 2 SIMULATION DES OPTIONS EXOTIQUES ............................................................................... 60
1.
INTRODUCTION A LA SIMULATION ............................................................................................................. 61
1.1
Problématique .................................................................................................................................. 61
1.2
Génération de Variables Normalement Distribuées ....................................................................... 64
f)
Génération de variables uniformément distribuées........................................................................................... 64
g)
Transformation d'une variable aléatoire uniformément distribuée en variable aléatoire normalement
distribuée ...................................................................................................................................................................... 68
1.3
a)
b)
c)
1.4
a)
Performances des méthodes de génération de valeurs normalement distribuées .......................... 71
Performances temporelles ................................................................................................................................. 71
Performances pures : Qualité du résultat fourni ............................................................................................... 72
Application au pricing d’une option standard................................................................................................... 73
Cas des Options Path Dependent .................................................................................................... 74
Ponts Browniens : Correction de la probabilité d’atteindre la barrière ............................................................ 75
1.5
Génération de vecteurs aléatoires Gaussiens : Décomposition de Choleski ................................. 76
2.
VOLATILITE ................................................................................................................................................ 78
2.1
Volatilité historique ou non conditionnelle ..................................................................................... 78
2.2
Volatilité conditionnelle ou Garch .................................................................................................. 79
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2.3
Volatilité implicite............................................................................................................................ 81
CONCLUSION ....................................................................................................................................................... 82
REFERENCES ....................................................................................................................................................... 85
GLOSSAIRE ........................................................................................................................................................... 87
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REMERCIEMENTS
Ce rapport est l’aboutissement d’un travail continu de quatre mois au sein de
l’option Ingénierie Financière à l’EISTI et constitue notre projet de fin d’étude.
Nous tenons à remercier particulièrement M. Erik Tafiln – Responsable de
l’option – pour nous avoir conseillé et encadré tout au long de ce travail.
Nous adressons également un remerciement particulier à Mme Marieta
Manolessou pour nous avoir conseillé et encadré tout au long de notre PFE.
Enfin, nous tenons à associer à ces remerciements M. Nesim Fintz pour son
soutien et sa grande disponibilité.
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INTRODUCTION
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Lorsqu'en 1973, Black et Scholes ont découvert la formule d'évaluation des
options sur actions, un nouvel espace de stratégies d'investissement a été
ouvert aux financiers. Le grand choix de possibilités offertes, tant pour la
couverture d'actifs, que pour la spéculation ou l'arbitrage, a permis le
développement rapide de ce marché.
En agissant sur la quantité de refinancement offerte au système bancaire, la
politique monétariste de Paul Volker, à partir de 1979, a eu pour conséquence
un brusque décrochage des taux d'intérêt. Les opérateurs financiers ont alors
été amenés à prendre des positions importantes sur les taux, dont la volatilité
croissait fortement. La technique optionnelle constituait à cette époque, une
réponse appropriée à ces mouvements de cours, faisant des opérations à
terme ferme des instruments de couverture trop contraignants.
Les faillites du Comté d'Orange (perte de 1.5 milliard de dollars) et de la
banque Barings, ainsi que les procès intentés par Procter and Gamble (perte
de 102 millions de dollars) à Bankers Trust ou récemment par la Seita (perte
de 150 millions de francs) à Salomon Brothers, démontrent que ces produits
peuvent générer de lourdes pertes. La Seita a notamment reproché à sa
contrepartie de ne pas avoir respecté son devoir d'information et de conseil,
et d'avoir volontairement présenté «de manière inexacte ou incomplète des
données relatives aux produits». Les deux obstacles à l'emploi des options
sont ainsi clairement mis en avant dans cette accusation. D'une part, le
paiement de l'investissement optionnel par l'entreprise constitue souvent une
charge financière importante. Cachée dans un produit structuré, l'option est
parfois vendue par l'entreprise et peut générer des pertes considérables. La
contrepartie a un rôle de formation et de conseil auprès de l'investisseur, dans
la
détermination
du
risque.
D'autre
part,
les
banques,
contreparties
obligatoires d'intérêts très spécifiques des investisseurs, ont développé des
structures optionnelles de plus en plus complexes. Afin de mettre en avant
leur capacité d'innovation et de créativité, elles ont investi dans des
ordinateurs, puissants et dans le recrutement de scientifiques de haut niveau,
contribuant
à
une
sophistication
croissante
de
l'option.
Des
formules
d'évaluation d'options dites de «seconde génération», ou «exotiques», sont
ainsi apparues. Elles ont initialement été développées, afin de réduire le coût
de leurs aînées.
Nous allons tenter d'exposer ici dans un premier temps les différents types
d’options exotiques ainsi que leurs modélisations respectives en temps discret
et continu, pour s’intéresser ensuite à leurs modélisations.
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PARTIE 1
MODELISATION DES
OPTIONS
EXOTIQUES
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Nous présenterons dans cette partie les différentes options exotiques, et pour
chacune d’entre elles, nous les modéliserons en temps discret et temps
continu.
Or, il est courant de distinguer les options exotiques en deux grandes
catégories :
•
Les option « non-path-dependent » : ce sont les options dont la valeur
finale ne dépendent pas du chemin suivi par le cours du sous jacent
pendant toute la durée de vie de l'option.
•
Les options « path-dependent » : le prix de ces options dépend du
chemin suivi par le cours du sous jacent pendant toute la durée de vie
de l'option.
C’est ainsi que nous avons choisi de classer les différentes options exotiques
selon ce critère de path dependent.
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1. INTRODUCTION CONCERNANT LES MODELISATIONS
Nous décrirons dans ces parties les principales notations utilisées dans notre
PFE.
De
plus,
nous
présenterons
les
principes
généraux
des
deux
modélisations que sont la modélisation en temps discret et la modélisation en
temps continu.
1.1
•
Modélisation à temps discret
Notations
{
Les temps possibles t de transaction sont donnés par t ∈  = 0,1,K, T
}
où
l’entier T ≥ 1 est l’horizon temporel du modèle.
Soit l’espace de probabilité {Ω, - , P}munie d’une filtration ( ( ( = {- t }t∈ ) qui
décrit l’incertitude et la dynamique informationnelle.
Nous définissons une option dans cet espace.
Soient :
•
K : Prix d’exercice de l’option
•
S t : Cours de l’actif sous-jacent au temps t
•
X : Payoff de l’option
Nous modéliserons les options exotiques en temps discret en utilisant un
modèle binomial.
1.2
Modélisation à temps continu
Pour les parties modélisation, nous effectuerons les hypothèses suivantes :
-
Les marchés financiers sont considérés comme parfaits (bonne liquidité,
pas d’écart entre le prix demandé et le prix offert pour l’option, absence
d’opportunité d’arbitrage, pas de coût de transaction, ni de taxe ou
d’impôt)
-
Le cours de l’actif a une distribution lognormale
-
Les taux de prêt et d’emprunt sont égaux et constants sur toute la durée
de vie de l’option
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-
La cotation de l’actif sous jacent se fait en temps continu sans saut ni
décrochement.
-
L’option est de type européen. Elle n’est donc exerçable qu’à la date
d’échéance.
-
Aucune distribution de dividendes n’a lieu avant échéance de l’option.
-
La volatilité historique est supposée constante sur toute la durée de vie
résiduelle de l’option
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2. LES OPTIONS NON PATH-DEPENDANT
2.1
Option Binaire
a) Définitions et caractéristiques
L'option binaire ou encore appelée digitale confère à son acheteur une somme
fixe d'argent si le cours du sous-jacent atteint ou franchit le prix d'exercice
préalablement fixé. Ce prix est le prix d’exercice de l’option binaire.
La famille des options binaires regroupe 4 types d’options :
•
L’option all or nothing (Tout ou rien) : (Aussi appelée « Cash or
nothing ») Le détenteur d’une telle option reçoit un coupon fixe,
déterminé à l’avance, si l’option arrive à l’échéance dans la monnaie.
Dans le cas contraire, la prime de l’option est perdue.
•
L’option « asset or nothing » (Actif ou rien) : Cette option présente
quasiment les mêmes caractéristiques que l’option « all or nothing », à
la seule exception, que si elle arrive à l’échéance le coupon versé ne
sera pas un montant fixé mais la valeur de l’actif sous-jacent ou un
multiple de celui-ci.
•
L’option gap : Cette option permet de recevoir un coupon représentant
la différence entre la valeur de l’actif sous-jacent et une constante
déterminée à l’avance si l’option arrive dans la monnaie.
•
L’option « contingent premium » : Aussi appelée option à prime
contingente, ou « Capitalized option ». Dans sa version « standard »,
elle présente la particularité de définir une prime contingente qui est
retranchée au prix d’exercice lors du remboursement final. A l’opposé,
les options à prime contingente dite complexe, définissent une ou
plusieurs zones de cours de l’actif sous-jacent à l’échéance, dans
lesquelles un montant cash, ou prime contingente complexe, est ajouté
au remboursement final. Nous ne traiterons ici, dans un souci de clarté,
que les options à prime contingent standard.
Nous pouvons interpréter l’option à prime contingent standard de la
façon suivante :
•
Si l’option expire en dehors de la monnaie, le remboursement
est égal à zéro.
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•
Dans le cas contraire, le remboursement est réduit au montant
de la prime contingente, en comparaison avec une option
standard.
Nous pouvons regrouper dans un tableau l’ensemble des pay-off pour les
différents cas :
Payoff X
Type
Call
Put
All or nothing
⎧ N si ST ≥ K
⎨
⎩ 0 si ST < K
⎧ N si ST ≤ K
⎨
⎩ 0 si ST > K
Asset or nothing
⎧M ⋅ ST si ST ≥ K
⎨
⎩ 0 si ST < K
⎧M ⋅ ST si ST ≤ K
⎨
⎩ 0 si ST > K
Gap1
⎧(ST − Y ) si ST ≥ K
⎨
⎩ 0 si ST < K
⎧(ST − Y ) si ST ≤ K
⎨
⎩ 0 si ST > K
⎧ K − ST − D si ST ≥ K
⎨
0 si ST < K
⎩
⎧ K − ST − D si ST ≤ K
⎨
0 si ST > X
⎩
Contingent
Premium
Avec les notations :
-
N
K
M
Y
D
:
:
:
:
:
coupon payé à l’échéance,
prix d’exercice du sous-jacent,
Multiple constant,
Constante prédéterminée à l’avance appelée montant cash
prime contingente
En utilisant une fonction de Heaviside H , nous pouvons définir d’une manière
générale le payoff d’une option binaire dans le cas d’un call :
X CallBinaire = H (ST − K )⋅ G
Et dans le cas d’un put :
X PutBinaire = H (K − ST )⋅ G
1
Le montant S Final -Y est appelé « Gap »
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Avec G le « gain » de l’option considérée en cas de réussite de la condition:
•
G AllOrNothing = N
•
G AssetOrNothing = M ⋅ ST
•
GGap = ST − Y
•
GContingent Pr emium = K − ST − D
b) Intérêt
Certitude du « pay-off » : contrairement aux options standards, dont le
« pay-off » est aléatoire (puisque fonction de la valeur finale du sous-jacent),
l'acheteur d'une option digitale ou binaire est certain de recevoir Q (en cas
d'évolution favorable) ou zéro.
Flexibilité pour le client : outre la possibilité de choisir le prix d'exercice, le
client est libre de déterminer le montant qu'il souhaite recevoir en cas
d'évolution favorable du sous-jacent.
Vente d'options binaires ou digitales : lorsqu'un client décide de vendre
une option standard, il reçoit immédiatement une prime, mais s'expose des
pertes illimitées en cas d'évolution défavorable du sous-jacent. La vente
d'options digitales permet également de bénéficier de primes de façon
instantanée tout en connaissant parfaitement le risque maximal de pertes.
c) Modélisation en temps discret
Nous considérons donc un marché avec un seul actif risqué, et un actif sans
risque. Soit le modèle binomial, représenté ici avec 2 périodes de temps :
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u 2 ⋅ S0
u ⋅ S0
p
u ⋅ S0
S0
u ⋅ S0
1− p
u ⋅ S0
d 2 ⋅ S0
La présence d’un actif sans risque fait que la probabilité p peut s’exprimer :
p=
1+ r − d
u−d
Et immédiatement il vient:
1− p =
u − r −1
u−d
Le prix à l’instant t = 0 d’une option s’écrit :
⎡ X (S T ) ⎤
P0 = Eπ ⎢
T ⎥
⎢⎣ (1 + r ) ⎥⎦
D’où :
P0 =
(
T
1
T −n
⋅
CTn ⋅ p n ⋅ (1 − p ) ⋅ X S0 ⋅ u n ⋅ d T − n
∑
T
(1 + r ) n = 0
)
Or, en remplaçant p et 1 − p par leurs valeurs, nous obtenons :
P0 =
T
1
⎛1+ r − d ⎞
⋅ Cn ⋅
⎟
T ∑ T ⎜
(1 + r ) n = 0 ⎝ u − d ⎠
n
T −n
(
⎛ u − r −1⎞
⋅⎜
⎟
⎝ u−d ⎠
⋅ X S0 ⋅ u n ⋅ d T − n
)
Soit finalement :
P0 =
T
1
((1 + r )(u − d ) )
T
⋅ ∑ CTn ⋅ (1 + r − d ) ⋅ (u − r − 1)
n =0
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n
T −n
(
⋅ X S 0 ⋅ u n ⋅ d T −n
)
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Nous partirons donc dans la plupart des modélisations de cette formule que
nous adapterons en fonction des payoffs respectifs.
Nous introduisons une fonction H dite de Heaviside :
⎧1 si x > 0
H (x ) = ⎨
⎩0 si x < 0
On obtient les valeurs d’un call et d’un put pour chacune des options binaires.
En effet, nous avons :
P0 =
T
1
((1 + r )(u − d ))
T
(
⋅ ∑ CTn ⋅ (1 + r − d ) ⋅ (u − r − 1)
T −n
n
n =0
)
(
(
⋅ X S 0 ⋅ u n ⋅ d T −n
)
)
Or, X CallBinaire = H ST − K ⋅ G et X PutBinaire = H K − ST ⋅ G
Donc en remplaçant, nous obtenons :
C Binaire =
C Binaire =
T
1
((1 + r )(u − d ))
T
⋅ ∑ CTn ⋅ (1 + r − d ) (u − r − 1)
((1 + r )(u − d ))
T
T −n
n =0
T
1
n
⋅ ∑ CTn ⋅ (1 + r − d ) (u − r − 1)
n
n =0
T −n
(
)
(
)
H S 0 ⋅ u n ⋅ d T −n − K ⋅ G
H K − S 0 ⋅ u n ⋅ d T −n ⋅ G
Avec :
•
G AllOrNothing = N
•
G AssetOrNothing = M ⋅ ST
•
GGap = ST − Y
•
GContingent Pr emium = K − ST − D
d) Modélisation en temps continu
Nous utilisons les hypothèses décrites dans la partie présentation de la
modélisation temps continu.
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Nous devons de plus distinguer les différentes options constituant cette famille
d’option binaire.
Nous utilisons l’équation de Black and Scholes et nous pricons un call d’une
telle option.
La solution de l’équation de Black and Scholes s’écrit :
∞
2
⎞
⎛ ⎛
⎜ ⎜ y − (T − t )⎛⎜ r − 1 σ 2 ⎞⎟ ⎞⎟ ⎟
⎜ ⎜
2 ⎠ ⎟⎠ ⎟
1
⎝
exp⎜ − ⎝
⎟dy
2σ 2 (T − t )
2πσ 2 (T − t )
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
( )
F (t , x ) = e −r (T −t ) ∫ f xe y
−∞
(
)
Or, le payoff d’une option call binaire est X CallBinaire = H ST − K ⋅ G
(
Nous prenons donc : f ST e
•
y
) = H (S
T
e y − K )⋅ G
L’option all or nothing (Tout ou rien) :
Soit C AllOrNothing le prix d’un call binaire de type all or nothing
(
Plus précisément, ici : f ST e
y
) = H (S
T
e y − K )⋅ N
Alors,
2
⎛ ⎛
⎞
⎜ ⎜ y − (T − t )⎛⎜ r − 1 σ 2 ⎞⎟ ⎞⎟ ⎟
∞
⎜
⎟
⎜
2 ⎠⎠ ⎟
1
⎝
C AllOrNothing (t , ST ) = e −r (T −t ) ∫ H ST e y − K ⋅ N ⋅
exp⎜ − ⎝
⎟dy
2
(
)
T
−
t
2
σ
2πσ 2 (T − t )
−∞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛K ⎞
y
⎟
Or, ST e − K > 0 ⇒ y ≥ ln⎜
⎜S ⎟
⎝ T⎠
(
)
Donc :
C AllOrNothing (t , ST ) = e
− r (T −t )
∞
N
∫
⎛ K
ln ⎜
⎜S
⎝ T
⎞
⎟
⎟
⎠
2
⎛ ⎛
⎞
⎜ ⎜ y − (T − t )⎛⎜ r − 1 σ 2 ⎞⎟ ⎞⎟ ⎟
⎜ ⎜
2 ⎠ ⎟⎠ ⎟
1
⎝
exp⎜ − ⎝
⎟dy
2σ 2 (T − t )
2πσ 2 (T − t )
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
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(
)
Soit, C AllOrNothing t , ST = e
− r (T −t )
∞
⋅N⋅
∫ n(t , y )dy
⎛ K
ln ⎜
⎜S
⎝ T
⎞
⎟
⎟
⎠
On effectue un changement de variable, avec :
1 ⎞
⎛
y − (T − t )⎜ r − σ 2 ⎟
2 ⎠
⎝
z=
σ T −t
1
⎛S ⎞ ⎛
⎞
ln⎜ T ⎟ + ⎜ r − ⋅ σ 2 ⎟ ⋅ (T − t )
⎛K
K
2
⎠
⎝ ⎠ ⎝
Soit z0 = −
= − d 2 (calculé à pour : y = ln⎜⎜
σ ⋅ T −t
⎝ ST
⎞
⎟)
⎟
⎠
Nous obtenons :
C AllOrNothing (t , ST ) = e
− r (T −t )
⋅N ⋅
d2
∫
−∞
z2
1 −2
e dz
2π
D’où le résultat :
C AllOrNothing = N ⋅ e − r⋅(T −t ) ⋅ N (d 2 )
•
L’option asset or nothing (Actif ou rien) :
Soit C AssetOrNothing le prix d’un call binaire de type Asset or nothing
(
)
(
)
Cette option donne un payoff X = H ST − K ⋅ M ⋅ ST
( )
Donc la fonction f s’écrit : f ST = H ST − K ⋅ M ⋅ ST
2
⎞
⎛ ⎛
⎜ ⎜ y − (T − t )⎛⎜ r − 1 σ 2 ⎞⎟ ⎞⎟ ⎟
∞
⎜ ⎜
M ⋅ ST e y
2 ⎠ ⎟⎠ ⎟
⎝
C AssetOrNothing (t , ST ) = e −r (T −t ) ∫ H ST e y − K ⋅
exp⎜ − ⎝
⎟dy
2σ 2 (T − t )
2πσ 2 (T − t )
−∞
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
⎛K ⎞
y
⎟
Or, ST e − K > 0 ⇒ y ≥ ln⎜
⎜S ⎟
⎝ T⎠
(
)
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Donc :
∞
C AssetOrNothing (t , ST ) = e −r (T −t ) ⋅ M ⋅ ST ⋅
∫
⎛ K
ln ⎜
⎜S
⎝ T
2
⎛
⎞
⎜ − 2 yσ 2 (T − t ) + ⎛⎜ y − (T − t )⎛⎜ r − 1 σ 2 ⎞⎟ ⎞⎟ ⎟
⎜
⎜
2 ⎠ ⎟⎠ ⎟
1
⎝
⎝
exp⎜ −
⎟dy
2σ 2 (T − t )
2πσ 2 (T − t )
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
∞
∫
⎛ K
ln ⎜
⎜S
⎝ T
⎞
⎟
⎟
⎠
2
⎛
⎛
1 ⎞⎞ ⎞
⎛
⎜
⎜⎜ y − (T − t )⎜ r − σ 2 ⎟ ⎟⎟ ⎟
⎜
2 ⎠⎠ ⎟
1
⎝
exp⎜ y − ⎝
⎟dy
2
(
)
2
σ
T
t
−
2πσ 2 (T − t )
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
Or, si nous posons :
2
⎛
1 ⎞
1 ⎞⎞
⎛
⎛
q ( y ) = −2 yσ 2 (T − t ) + ⎜⎜ y − (T − t )⎜ r − σ 2 ⎟ ⎟⎟ et a = (T − t )⎜ r − σ 2 ⎟
2 ⎠⎠
2 ⎠
⎝
⎝
⎝
Alors :
(
q ( y ) = −2 yσ 2 (T − t ) + y 2 − 2ay + a 2
(
(
)
)
q ( y ) = y 2 + y − 2a − 2σ 2 (T − t ) + a 2
q( y ) = y
)
(− 2a − 2σ (T − t )) + ⎛⎜ (− 2a − 2σ (T − t )) ⎞⎟
+ 2y
2
2
⎜
⎝
2
(
) ⎞⎟
⎛ − 2a − 2σ 2 (T − t )
−
⎟ ⎜⎜
2
⎠ ⎝
2
2
2
2
2
⎟ +a
⎠
Remplaçons a par sa valeur :
2
⎛
⎞⎞
⎞⎞ ⎛⎛
⎛
1 ⎞
1 ⎞
⎛
⎛
⎜
⎜⎜ − 2(T − t )⎜ r − σ 2 ⎟ − 2σ 2 (T − t )⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎜ − 2(T − t )⎜ r − σ 2 ⎟ − 2σ 2 (T − t )⎟⎟ ⎟
2 ⎠
2 ⎠
⎜
⎝
⎝
⎠⎟
⎠⎟ −⎜⎝
q( y ) = ⎜ y + ⎝
⎟
⎜
⎟
2
2
⎟⎟
⎟⎟ ⎜⎜
⎜⎜
⎠
⎠ ⎝
⎝
⎛
1 ⎞⎞
⎛
+ ⎜⎜ (T − t )⎜ r − σ 2 ⎟ ⎟⎟
2 ⎠⎠
⎝
⎝
2
2
2
⎛
1 ⎞⎞ ⎛
1 ⎞⎞ ⎛
1 ⎞⎞
⎛
⎛
⎛
q ( y ) = ⎜⎜ y − (T − t )⎜ r + σ 2 ⎟ ⎟⎟ − ⎜⎜ (T − t )⎜ r + σ 2 ⎟ ⎟⎟ + ⎜⎜ (T − t )⎜ r − σ 2 ⎟ ⎟⎟
2 ⎠⎠ ⎝
2 ⎠⎠ ⎝
2 ⎠⎠
⎝
⎝
⎝
⎝
2
⎛
1 ⎞⎞
2
⎛
q ( y ) = ⎜⎜ y − (T − t )⎜ r + σ 2 ⎟ ⎟⎟ − 2rσ 2 (T − t )
2 ⎠⎠
⎝
⎝
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2
2
Le 01/04/2004
Nous en déduisons :
∞
∫
⎛ K
ln ⎜
⎜S
⎝ T
⎞
⎟
⎟
⎠
2
⎞
⎛ ⎛
⎜ ⎜ y − (T − t )⎛⎜ r + 1 σ 2 ⎞⎟ ⎞⎟ − 2rσ 2 (T − t )2 ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
2 ⎠⎠
1
⎝
exp⎜ − ⎝
⎟dy
2
(
)
T
t
2
σ
−
2πσ 2 (T − t )
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
Soit,
2
⎞
⎛ ⎛
⎜ ⎜ y − (T − t )⎛⎜ r + 1 σ 2 ⎞⎟ ⎞⎟ ⎟
∞
⎟
⎜
⎜
2 ⎠⎠ ⎟
1
⎝
C AssetOrNothing (t , ST ) = e −r (T −t ) ⋅ M ⋅ ST ⋅ e r (T −t ) ∫
exp⎜ − ⎝
⎟dy
2
2
(
)
T
t
2
σ
−
(
)
T
t
πσ
2
−
⎛ K ⎞
⎟
⎜
⎟
ln ⎜
⎜S ⎟
⎟
⎜
⎝ T ⎠
⎠
⎝
2
⎛ ⎛
⎞
⎜ ⎜ y − (T − t )⎛⎜ r + 1 σ 2 ⎞⎟ ⎞⎟ ⎟
∞
⎟
⎜
⎜
2 ⎠⎠ ⎟
1
⎝
C AssetOrNothing (t , ST ) = M ⋅ ST ⋅ ∫
exp⎜ − ⎝
⎟dy
2
2
2σ (T − t )
(
)
T
t
πσ
2
−
⎛ K ⎞
⎜
⎟
⎟
ln ⎜
⎜S ⎟
⎜
⎟
⎝ T ⎠
⎝
⎠
Nous effectuons un changement de variable, avec :
1 ⎞
⎛
y − (T − t )⎜ r + σ 2 ⎟
2 ⎠
⎝
z=
σ T −t
1
⎛x⎞ ⎛
⎞
ln⎜ ⎟ + ⎜ r + ⋅ σ 2 ⎟ ⋅ (T − t )
K
2
⎠
z0 = ⎝ ⎠ ⎝
= d1
σ ⋅ T −t
Nous obtenons :
C AllOrNothing (t , ST ) = M ⋅ ST ⋅
z0
∫
−∞
z2
1 −2
e dz
2π
= M ⋅ ST ⋅ N ( z 0 )
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Le 01/04/2004
D’où le résultat :
C AssetOrNothing = M ⋅ S ⋅ N (d1 )
•
L’option « Gap » :
Soit C Gap le prix d’un call binaire de type gap
( )
(
)
Plus précisément, ici : f S T = H S T − K ⋅ (S T − Y )
2
⎛ ⎛
⎜ ⎜ y − (T − t )⎛⎜ r − 1 σ 2 ⎞⎟ ⎞⎟
∞
⎜ ⎜
2 ⎠ ⎟⎠
1
⎝
exp⎜ − ⎝
CGap (t , S T ) = e − r (T −t ) ∫ H S T e y − K ⋅ S T e y − Y ⋅
2σ 2 (T − t )
2πσ 2 (T − t )
−∞
⎜
⎜
⎝
(
)(
)
2
⎛ ⎛
⎞
⎜ ⎜ y − (T − t )⎛⎜ r − 1 σ 2 ⎞⎟ ⎞⎟ ⎟
∞
⎜
⎟
⎜
2 ⎠⎠ ⎟
1
⎝
exp⎜ − ⎝
CGap (t , ST ) = e −r (T −t ) ⋅ ST ⋅ ∫ H ST e y − K ⋅ e y ⋅
⎟dy
2
2σ (T − t )
2πσ 2 (T − t )
−∞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
(
)
2
⎛ ⎛
⎞
⎜ ⎜ y − (T − t )⎛⎜ r − 1 σ 2 ⎞⎟ ⎞⎟ ⎟
∞
⎜ ⎜
2 ⎠ ⎟⎠ ⎟
1
⎝
exp⎜ − ⎝
− e −r (T −t ) ⋅ Y ⋅ ∫ H ST e y − K ⋅
⎟dy
2
2σ (T − t )
2πσ 2 (T − t )
−∞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
(
)
⎛K
⎜S
⎝ T
Or, ST e − K > 0 ⇒ y ≥ ln⎜
y
⎞
⎟
⎟
⎠
Donc :
2
⎛
⎛
1 2 ⎞ ⎞ ⎞⎟
⎛
⎜
⎜⎜ y − (T − t )⎜ r − σ ⎟ ⎟⎟
∞
⎜
2 ⎠⎠ ⎟
1
⎝
− r (T −t )
⋅ ST ⋅ ∫
CGap (t , ST ) = e
exp⎜ y − ⎝
⎟dy
2
2
2σ (T − t )
(
)
−
T
t
πσ
2
⎛ K ⎞
⎜
⎟
⎟
ln ⎜
⎜S ⎟
⎜
⎟
⎝ T ⎠
⎝
⎠
2
⎛ ⎛
⎞
⎜ ⎜ y − (T − t )⎛⎜ r − 1 σ 2 ⎞⎟ ⎞⎟ ⎟
∞
⎜
⎟
⎜
2 ⎠⎠ ⎟
1
⎝
− e −r (T −t ) ⋅ Y ⋅ ∫
exp⎜ − ⎝
⎟dy
2
2
2σ (T − t )
(
)
−
T
t
2
πσ
⎛ K ⎞
⎜
⎟
⎟
ln ⎜
⎜S ⎟
⎜
⎟
⎝ T ⎠
⎝
⎠
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⎞
⎟
⎟
⎟dy
⎟
⎟
⎠
Le 01/04/2004
Or, les deux intégrales ont été calculées précédemment dans les parties All or
Nothing et Asset Or Nothing. Donc :
CGap (t , ST ) = S ⋅ N (d1 ) − e − r⋅(T −t ) ⋅ N (d 2 )
(
C gap = b ⋅ S ⋅ e − d ⋅t ⋅ N (b ⋅ x ) − b ⋅ X ⋅ e − r⋅t ⋅ N b ⋅ x − b ⋅ σ ⋅ t
⎛ S ⋅ e − d ⋅t
ln⎜⎜
X ⋅ e −r⋅t
⎝
Avec : x =
σ t
)
⎞
⎟⎟
⎠ + 1 ⋅ σ ⋅ t , b un coefficient binaire égal à 1 pour un
2
call, et -1 pour un put.
e) Exemples de stratégie
Combinaison d'options binaires : Les options corridor sont composées
d'une série d'options binaires comprenant, pour chaque jour entre la date de
l'opération et la date d'échéance, l'achat d'un call binaire et la vente d'un call
binaire de strike plus élevé. Cette combinaison permet de recevoir un montant
proportionnel au nombre de jours durant lesquels le sous-jacent restera entre
les bornes choisies.
L'acheteur d'options corridor anticipe que le sous-jacent restera le plus
longtemps possible l'intérieur d'une bande de « trading » pendant la durée de
vie de l'option.
L'indice étant à 3000 points, un trésorier anticipe qu'il va rester entre 2750 et
3250 points au cours de l'année à. venir. Il achète une option corridor qui lui
versera un coupon proportionnel à 8.25%, selon le nombre de jours durant
lesquels l'indice sera resté dans la bande de « trading ». L'option corridor
coûte 3.87 %. A l'échéance de I'option, on constate que l'indice a côté 300
fois entre 2750 et 3250 points. Le trésorier de l'option reçoit donc un coupon
de 6,78% (=300/365*8,25%).
Anticipations directionnelles : Nous sommes au mois de janvier et des
élections législatives doivent avoir lieu en France le 10 mai. Au vu des
sondages, le gérant anticipe une baisse ponctuelle, mais forte, de l'indice.
L'indice étant à 2700 points, il pense qu'il devrait franchir les 2500 points à
l'annonce des résultats -soit une baisse significative de 7.5%. Plutôt que
l'achat d'un put standard 2500 (prime 1,98%), il décide d'acheter un put
binaire 2500, portant sur un nominal de 1000000 Euros, qui lui versera un
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Le 01/04/2004
montant fixe de 100000 Euros (soit un coupon de 10%) en cas d'exercice de
l'option. L'option étant très en dehors de la monnaie, le prix de l'option n'est
que de 2.85%. A l'échéance de l'option, l'indice est 2450 points.
CARACTÉRISTIQUE
ACHAT PUT BINAIRE
ACHAT PUT STANDARD
Maturité
1 an
1 an
Strike
2500
2500
Prix
2.85%
1.98%
Pay-off
10%
1.9%
Remarques :
1. Le choix de l'option binaire a été judicieux puisque le levier obtenu est
positif et nettement supérieur à celui d'un put standard.
2. Le levier important en cas de gain compense le paiement d'une prime plus
élevée lors de l'achat de l'option.
3. L'option étant binaire, le choix de la date d'échéance est essentiel. Si la
baisse de l'indice était intervenue à une autre date que le 10 mai, il est
probable que l'indice n'aurait pas franchi le seuil de 2500 points à cette date
là. En cas de doute sur la date d'occurrence d'un événement, on préférera
l'option digitale à I'option binaire, bien que son coût soit nettement supérieur.
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Le 01/04/2004
2.2
Option à panier
Cette option, aussi appelée « panier » ou « basket », se classe dans la famille
des options sur plusieurs actifs sous-jacents. Cette option ne prend pas en
compte la somme des performances de chacun des actifs sous-jacent du
panier, pris de façon indépendante, mais elle a les mêmes caractéristiques de
remboursement à l’échéance que l’option standard, mais l’actif sous-jacent
servant de référence représente, en fait, un panier de plusieurs actifs
équipondérants ou non. Le détenteur de ce panier peut ainsi voir la baisse
d’un actif compenser, en tout ou partie, la hausse d’un autre.
Il est aisé de comprendre que l’effet de corrélation entre les actifs vient
grandement diminuer le coût d’achat de cette option par rapport à la somme
des primes d’options standard sur chacun des actifs retenus. En outre, la
volatilité résultante est toujours plus faible que la moyenne arithmétique des
volatilités respectives de chaque actif. Cette option offrant ce grand avantage,
connaît en engouement important sur les marchés à forte volatilité.
Par la suite, nous ne considérerons des paniers avec que deux actifs sousjacents.
b) Éléments de « pricing »
Comme beaucoup d’option impliquant plusieurs actifs sous-jacents, il n’existe
pas de formule analytique simple permettant de réaliser le « pricing » de
l’option, il et ainsi nécessaire de recourir à une approche binomiale ou à une
intégration numérique.
Le remboursement à l’échéance de l’option sur panier de n actifs s’exprime
sous la forme algébrique suivante :
Pour un call sur panier : X c = max⋅ ((a1 ⋅ S1 + a 2 ⋅ S 2 + K + a n ⋅ S n ) − X ,0 )
Pour un put sur panier : X p = max⋅ ( X − (a1 ⋅ S1 + a 2 ⋅ S 2 + K + a n ⋅ S n ),0 )
Avec : S n cours du nième actif sous-jacent, constaté à l’échéance
X prix d’exercice du panier
a n coefficient pondérant le titre n
Afin d’apporter quelques éléments sur la valorisation des « basket options »,
nous allons prendre en considération deux actifs distincts A et B. Bien que les
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Le 01/04/2004
cours de A et de B aient un comportement dit lognormal, il n’en va pas de
même de l’évolution du panier A+B, c’est pourquoi il n’existe pas de solution
immédiate. Afin d’évaluer les paramètres de l’option, il est nécessaire
d’effectuer l’approximation que A+B est lognormal et d’observer l’écart de
divergence. La formule de Black & Scholes peut être utilisée. Ainsi, si A+B est
lognormal, les valeurs de la volatilité et du cours « forward » du panier sont
les suivantes :
FA+ B = FA + FB
σ
2
A+ B
(
)
ln FA2 ⋅ eσ A + 2 ⋅ FA ⋅ FB ⋅ e ρ ⋅σ A ⋅σ B ⋅t + FB2 ⋅ eσ B ⋅t − 2 ⋅ ln (FA + FB )
=
t
2
2
Avec :
FA : cours forward de l’actif A
FB : cours forward de l’actif B
FA+ B : cours forward de la valeur du panier
σ A : volatilité de l’actif A
σ B : volatilité de l’actif B
ρ : coefficient de corrélation entre A et B
t : durée de vie résiduelle de l’option
σ A+ B : volatilité du panier
Nous observons que la valeur de la volatilité est très sensible au cœfficient de
corrélation entre A et B. Si la corrélation décroît, la volatilité du panier
diminue
et
par
conséquent,
la
prime
de
l’option
sur
panier
baisse.
L’intégration numérique qui procure les valeurs exactes de la prime nous
apprend
que
l’approximation
susvisée
donne
des
résultats
excellents,
conduisant à un écart de divergence inférieur à 1%, pour des niveaux de
corrélation compris entre -0.85 et +1. Pour des niveaux inférieurs à -0.85,
l’approximation n’est plus satisfaisante car l’écart vient à dépasser 10%.
c) Intérêt
Réduction du prix : le prix de l'option sur panier doit être comparé à la
somme pondérée des primes d'options sur chacun des actifs composant le
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Le 01/04/2004
panier. Lorsque les composantes sont assez peu corrélées entre elles, le prix
de l'option sur panier sera largement inférieur à la somme des options sur
chacune.
Diversification des risques : le client souhaitant acheter ou vendre ce
genre d'options a la possibilité de créer un produit synthétique pouvant
intégrer tous les indices et actions de son choix. Il devient donc possible de
créer une option sur l'ensemble de son portefeuille : le client bénéficie alors
des avantages de la diversification et des avantages liés à l'option.
Le choix de la devise de référence : lorsque le client décide d'investir sur
des indices ou des actions cotées dans des devises différentes, la prime et le
« pay-off » de l'option seront exprimés dans la devise de référence de
l'investisseur (option quanto), ce qui lui évite la gestion du risque de change
sur chacun des sous-jacents.
d) Exemple de stratégie
Anticipation directionnelle : le panier sur actions. Un gérant français, qui
anticipe une bonne performance du secteur européen des « Telecoms », aura
la possibilité de créer un panier intégrant les titres les plus représentatifs du
secteur et de souscrire une option sur ce panier.
Nous
pourrions
lui
proposer
un
panier
équipondéré
de
cinq
valeurs
représentant autant de pays européens:
« British
Telecom »,
« Deutsche
Telekom »,
« Telefonica
Espagna »,
« Telecom Italia », « France Telecom ».
Le « pay-off » à l'échéance sera fonction des évolutions respectives de chaque
action considérée sur son marché boursier et dans sa devise d'origine, mais
qui seront agrégées sous forme d'une somme algébrique de pourcentages
d'évolution. Si cette somme est positive, le « pay-off » sera égal à son produit
par le rationnel en Euros de l'option.
Illustration :
Le client achète pour un nominal de 100 M EUR un Call sur le panier, contre
une prime de 10 % (soit 10 M EUR).
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Le 01/04/2004
Action
Évolution sur 1 an
British Telecom
+5%
Deutsche Telekom
-15%
Telefonica Espana
+35%
Telecom Italia
+25%
France Telecom
10%
L'évolution du panier équipondéré sur l'année est de :
(5-15+35+25+10):5=+12%.
Le « pay-off » du Call sera de +12 % x 100 M EUR = 12 M EUR.
Choix de la diversification : le panier d'indices. Un client souhaite investir
dans un panier d'actifs représentant les différentes économies industrialisées
mondiales. L'objectif est d'utiliser la faible corrélation entre des indices de
places internationales différentes afin de réduire le prix de l'option. Pour
représenter la zone Europe, il choisi le DAX et le FTSE, le SP500 pour la zone
Amérique et le NIKKEI pour la zone Asie. La matrice de corrélation entre les
différents indices est la suivante :
CORRELATION
DAX 30
FTSE 100
NIKKEI 225
ENTRE INDICES
FTSE 100
0.5
NIKKEI 225
0.2
0.1
SP 500
0.5
0.5
Page 27 sur 88
0.3
Le 01/04/2004
Ces corrélations, très inférieures à la limite supérieure de 1, permettent de
réduire fortement le prix par rapport à une somme pondérée de quatre
options sur ces quatre indices. En admettant que l'investissement a une
maturité de 2 ans et que les quatre indices ont la même pondération de 25 %,
le prix de l'option sur panier sera de 13.5 %, alors que la moyenne pondérée
des quatre options aurait été de 16.7%, chacun des « Calls » individuels étant
plus cher que le « Call » sur le panier (DAX: 18.5%; FTSE: 16.5%; S&P:
17%; Nikkei : 14%).
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Le 01/04/2004
2.3
Option Chooser
Une «as-you-like-it» option, plus communément appelée « chooser option »
spécifie les prix d'exercice de deux options standards à la date d'émission, et
permet à son détenteur de décider après cette période, déterminée à l'origine
(« the choose, choice date ou conversion period »), de convertir l'option en
call ou en put. Après avoir décidé la conversion de la « chooser option », le
profil de performance est celui d'une option standard avec un prix d'exercice
connu. Pendant la première période, l'investisseur peut attendre que
l'événement générant l'incertitude se résolve et choisir, au début de la
seconde période, la classe d'option optimale. En d'autres termes, cette option
n'est ni un call ni un put jusqu'à ce que, à une date définie à la date
d'émission
(fin
de
la
première
période),
le
détenteur
choisisse
sa
transformation en call ou en put standard, sur un actif sous-jacent déterminé.
La prime de la « chooser option » est plus élevée que celle d'un call ou d'un
put, mais bien moins chère que le coût d'acquisition d'un « straddle » (primes
du call et du put additionnées, de même échéance et de même prix
d'exercice). En comparant la « chooser option » avec le « straddle », nous
observons que le remboursement final d'une « chooser option » ne sera
inférieur à celui d'un « straddle » que si, après la « choice date » et la
conversion en call ou en put, d'autres événements viennent inverser la
tendance dans le sens opposé à celui choisi.
Précisons, en outre, que si le call et le put ont les mêmes prix d'exercice et les
mêmes dates d'échéance, l'option est dite « regular chooser» .et peut être
évaluée selon un modèle analytique. si, au contraire les prix d'exercice sont
différents et/ou les dates d'échéance différentes, ces «complex choosers»
nécessitent l'utilisation de modèles numériques pour leurs évaluations.
Les options « chooser » donnent le droit, et non l’obligation, à leurs
acheteurs, contre paiement immédiat d’une prime, de choisir à une date
donnée du futur fixée à l’avance T0 de recevoir soit un call soit un put de
strike K et de date prédéfinis T .
Nous pouvons distinguer deux « chooser options », les « regular » et les
« complex chooser ». Nous ne traiterons que les « regular chooser options ».
A la date du choix entre le call et le put standard, la valeur d'une « regular
chooser option » est égale à max(C, P), où C représente la valeur du call et P
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Le 01/04/2004
la valeur du put. En considérant la parité call/put pour des options de type
européen, nous obtenons I'égalité suivante :
(
max(C , P ) = max C , C − Se − d (t2 −t1 ) + X ⋅ e − r (t2 −t1 )
)
Ou encore
(
max(C , P ) = C + e − d (t2 −t1 ) + max 0, X ⋅ e − (r −d )⋅(t2 −t1 ) − S
)
Avec
S : cours de l’actif sous-jacent
X : prix d’exercice
r : taux d’intérêt sans risque
d : taux de dividende
t : date actuelle
t1 : choice date
t 2 : date d’échéance de l’option
b) Intérêt
Dans des moments de grande incertitude sur l'évolution future du cours d'un
actif, beaucoup d'investisseurs choisissent de rester en dehors du marché.
Nous pouvons citer, par exemple, le cas d'élections dont l'issue n'est pas sûre,
ou encore le cas d'un conflit armée, lors des négociations avec l'Irak après.
Dans ces scénarios, les investisseurs pensent que ces événements auront un
impact important sur la valeur d'un marché boursier, amenant de très fortes
fluctuations des cours à la hausse ou à la baisse.
Une « chooser », convient à ce type de situation incertaine, en permettant à
l'investisseur de
reporter des décisions de couverture d'actifs ou
spéculation, durant une période définie.
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de
Le 01/04/2004
c) Modélisation en temps continu
L’expression vu précédemment dans la partie définition montre qu’une
« regular chooser option » résulte de la combinaison d’un call standard, de
− d (t − t )
prix d’exercice X et de maturité t 2 et de e 2 1 put standard, de prix
d’exercice X ⋅ e
− ( r − d )⋅(t 2 −t1 )
et de maturité t1 .
D’une façon plus générale, la valorisation d’une « regular chooser option » est
la suivante :
(
C reg = S ⋅ e − d ⋅(t2 −t ) ⋅ N ( x ) − X ⋅ e − r⋅(t2 −t ) ⋅ N x − σ ⋅ t 2 − t
(
− S ⋅ e − d ⋅(t2 −t ) ⋅ N (− y ) + X ⋅ e −r⋅(t2 −t ) ⋅ N − y + σ ⋅ t1 − t
)
)
Avec
⎛ S ⋅ e −d ⋅(t2 −t ) ⎞
⎟
ln⎜⎜
X ⋅ e − r⋅(t2 −t ) ⎟⎠ 1
⎝
x=
+ ⋅σ ⋅ t2 − t
2
σ ⋅ t2 − t
⎛ S ⋅ e − d ⋅(t2 −t ) ⎞
⎟
ln⎜⎜
X ⋅ e −r⋅(t2 −t ) ⎟⎠ 1
⎝
y=
+ ⋅ σ ⋅ t1 − t
2
σ ⋅ t1 − t
d) Exemples de stratégie
Une « complex chooser option » présente les mêmes caractéristiques qu’une
« regular chooser option », à l’exception que les prix d’exercice et/ou les
échéances du call et du put, à choisir ultérieurement, ne sont pas identiques.
Type d'option : « complex chooser option »
Sous-jacent : indice CAC 40
Nominal : 1000000 €
Devise : Franc français
Cours de l'indice CAC 40 à l'émission : 2000 points
Prix d'exercice du call : 2100 points
Prix d'exercice du put : 1900 points
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Le 01/04/2004
Date d'émission : 2 janvier N
Date d'échéance : 2 janvier N+1
Choice date : 2 mars N
Prime de l'option : 7.1%
Résultat théorique :
La « choice date » est essentielle, puisqu'elle impose au détenteur de cette
option de choisir la transformation en put ou en call standard, de maturité le 2
janvier N+1.
Nous pouvons envisager deux évolutions possibles du cours de l'indice CAC 40
sur la période :
1) Le cours de l'indice CAC 40 s'établit à 2200 points le 2 mars N (« choice
date »). Le détenteur de cette « complex chooser option » décide, bien
entendu, de convertir celle-ci en call européen standard.
Ainsi, en considérant un cours de l'indice égal à 2384 points le 2 janvier N+1
(date d'échéance), le remboursement final par option s'élèvera à 284 (2384 2100).
La contrepartie s'engage donc à verser un coupon de 14,2% (284/2000), soit
142000 €, pour un investissement initial de 71000 € La performance de
l'investissement s'établit à 100%.
2) Le cours de l'indice vient à se déprécier fortement sur les deux premiers
mois de l'année, pour s'établir à 1700 points le 2 mars N. L'investisseur
décide alors de transformer son option en put européen, de prix d'exercice
1900 points.
A maturité, si le cours de l'indice s'élève à 1722.5 points, le remboursement
final par option sera égal à 177.5 (1900 – 1722.5), ou un coupon de 8.88%
(177.5/2000), représentant un montant de 88.750 €. Sous ces hypothèses, la
performance de l'investissement est égale à 25%.
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Le 01/04/2004
3. LES OPTIONS PATH-DEPENDENT
3.1
Option barrière
Les options à barrière sont des options dont la valeur est conditionnée par
l’évolution, pendant leur durée de vie, du prix du sous-jacent par rapport à un
ou plusieurs seuils. Nous pouvons distinguer deux catégories de produit :
•
Les options à barrière désactivantes :
Ces options, dites de type « out », sont des options européennes
classiques en tout point sauf qu’elles disparaissent si le cours du
sous
jacent
atteint
dans
la
période
de
référence
un
seuil
prédéterminé. Ces options peuvent être « down and out » si la
barrière est atteinte par une baisse du cours du sous-jacent ou « up
and out » si elle est, au contraire, atteinte par une hausse de celuici.
•
Les options à barrière activantes :
Ces options ne commencent à exister que si le cours du sous-jacent
atteint un certain cours fixé à l’avance. Cependant, la prime est
payée dès le départ, qu’une option apparaisse ou non par la suite.
Ces options peuvent également être « down and in » si la barrière
activante est atteinte une baisse du cours du sous-jacent ou « up
and in » si la barrière est atteinte par une hausse de celui-ci.
Il est important de préciser quelques termes notamment sur les noms qui sont
le plus souvent utilisés pour définir ces options :
o
Barrière activante : « in barrier » ou « knock-in » ou « lightable
option »
o
Barrière désactivant : « out barrier » ou « knock-out » ou
« extinguishable »
Il existe donc 8 types d’options à barrières : « 4 calls », et « 4 puts ».
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Le 01/04/2004
Utilisons les notations suivantes pour définir leurs « payoff » respectifs :
- K : prix strike,
- S : cours spot,
- B : barrière
Calls barrière :
Type
Payoff
Down and out
⎧max (0, ST − K ) si ∀t S t > B
X B _ CDO = ⎨
0 Sinon
⎩
Up and out
⎧max (0, ST − K ) si ∀t S t < B
X B _ CUO = ⎨
0 Sinon
⎩
Down and in
⎧max (0, ST − K ) si ∃t / S t ≤ B
X B _ CDI = ⎨
0 Sinon
⎩
Up and in
⎧max (0, ST − K ) si ∃t / S t ≥ B
X B _ CUI = ⎨
0 Sinon
⎩
Puts barrière :
Type
Payoff
Up and out
⎧max (0, K − ST ) si ∀t S t < B
X B _ PUO = ⎨
0 Sinon
⎩
Down and out
⎧max (0, K − ST ) si ∀t S t > B
X B _ PDO = ⎨
0 Sinon
⎩
Up and in
⎧max (0, K − ST ) si ∃t / S t ≥ B
X B _ PUI = ⎨
0 Sinon
⎩
Down and in
⎧max (0, K − ST ) si ∃t / S t ≤ B
X B _ PDI = ⎨
0 Sinon
⎩
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Le 01/04/2004
b) Intérêt
Nous pouvons remarquer trois points principaux dans l’utilisation des options
à barrière :
Prix des options : le prix des options à barrière peut être selon le niveau de
la barrière, nettement plus faible que celui d'une option standard de mêmes
caractéristiques.
Grande flexibilité : la multiplicité des options à barrière permet d'élaborer
des stratégies très précises tant en terme d'anticipation, qu'en terme de
couverture : pour une classe donnée d'options standard, il existe quatre types
d'options à barrière.
Levier et rendement importants : le versement d'une prime faible combiné
à un « pay-off » identique à celui d'une option standard en cas d'évolution
favorable
du
sous-jacent
permettent
d'améliorer
le
levier
de
façon
significative, ainsi que le rendement de l'option.
Nous allons ici donner la modélisation temps continu des options « Down and
out call » et « Up and out call » proposée par Musiela & Rutkowski [1].
Call Down and Out:
Nous
supposons
B < K et
que
que
B < S 0 sont
satisfaites.
Vues
les
caractéristiques générales de l’option, il est clair qu’elle est annulée lorsqu’elle
∗
est out-of-the-money. Nous rappelons que sous la mesure de martingale 
nous avons :
∗
S t = S 0 ⋅ e σ S ⋅Wt + λ ⋅t = S 0 ⋅ e X t
Où X t = σ S ⋅ Wt + λ ⋅ t pour t ∈ [0, T ] , et
1
2
⎛ B ⎞⎫⎪
⎧
⎫ ⎧⎪
⎨ω ∈ Ω min S t ≥ B ⎬ = ⎨ω ∈ Ω mt ≥ ln⎜⎜ ⎟⎟⎬
0<t <T
⎩
⎭ ⎪⎩
⎝ S 0 ⎠⎪⎭
∗
Où mt = min 0≤t ≤T X t et ainsi
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λ = r − ⋅ σ S2 donc
Le 01/04/2004
Ct1 = (S t − K ) ⋅ I {St ≥ K , min 0≤t ≤T St ≥ B} = S 0 ⋅ e X T ⋅ I D − K ⋅ I D
Où D est dans l’ensemble :
⎧⎪
⎛K⎞
⎛ B ⎞⎫⎪
D = ⎨ω ∈ Ω X t ≥ ln⎜⎜ ⎟⎟, mt ≥ ln⎜⎜ ⎟⎟⎬
⎪⎩
⎝ S0 ⎠
⎝ S 0 ⎠⎪⎭
Nous pouvons alors conclure que le prix au temps t = 0 de l’option « downand-out call », admet les représentations suivantes :
(
)
C01 = exp(− r ⋅ T ) ⋅ S 0 ⋅  ∗ e X T ⋅ I D − exp(− r ⋅ T ) ⋅ K ⋅  ∗ {D}
Où 
∗
est une mesure de martingale sur le marché. Dans le but d’évaluer
directement C0 au moyen de l’intégration, nous avons besoin de trouver en
1
premier la distribution de probabilité jointe pour les variables aléatoires X T et
mt . Nous pouvons voir que pour tout x, y tel que y ≤ 0 et y ≤ x , nous avons :
⎛ − x + λ ⋅T ⎞
⎛ − x + 2 ⋅ y + λ ⋅T ⎞
 ∗ {X T ≥ x, mt ≥ y } = N ⎜
⎟ − exp 2 ⋅ λ ⋅ y ⋅ σ −2 ⋅ N ⎜
⎟
σ⋅ T
⎝ σ⋅ T ⎠
⎝
⎠
(
)
Où pour la convention d'écriture, nous notons σ pour σ S , par conséquent, la
fonction de densité probabiliste de ( X T , mT ) est la suivante :
f ( x, y ) =
− 2 ⋅ (2 ⋅ y − x )
σ 3 ⋅T
3
2
⎛ − x + 2 ⋅ y + λ ⋅T ⎞
⋅ exp(2 ⋅ λ ⋅ y ⋅ σ −2 )⋅ n⎜
⎟
σ⋅ T
⎝
⎠
Pour y ≤ 0, y ≤ x où n est la fonction de densité standard Gaussienne. Nous
avons alors :
⎛ ⎛ B2 ⎞
⎞
⎛ ⎛ S0 ⎞
⎞
⎜ ln⎜
⎟
−2
⎟
+
⋅
λ
T
⎜ ln⎜ ⎟ + λ ⋅ T ⎟
2⋅λ ⋅σ
⎛B⎞
⎜ ⎜⎝ S 0 ⋅ K ⎟⎠
⎟
K⎠
⎝
∗
⎜
⎟
− ⎜⎜ ⎟⎟
⋅ N⎜
 {D} = N
⎟
⎜
⎟
S0 ⎠
σ⋅ T
σ⋅ T
⎝
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Et ainsi :
def
(
)
(
I1 =  ∗ e X T ⋅ I D =  ∗ e X T ⋅ I {X T ≥ln ( K / S0 ), mT ≥ln ( B / S0 )}
Nous avons besoin d’évaluer la double intégrale :
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)
Le 01/04/2004
∫∫ e
x
⋅ f ( x, y ) ⋅ dx ⋅ dy
A
Où
⎧
⎫
⎛K⎞
⎛B⎞
A = ⎨(x, y ); x ≥ ln⎜⎜ ⎟⎟, y ≥ ln⎜⎜ ⎟⎟, y ≤ 0, y ≤ x ⎬
⎝ S0 ⎠
⎝ S0 ⎠
⎩
⎭
Et nous mène au résultat suivant :
I1 = e
⎛
⎛B⎞
⎜ ⎟
⎜⎜ N (h1 (S 0 , T )) − ⎜ S ⎟
⎝ 0⎠
⎝
(rd −r f )⋅T ⎜
2⋅λ ⋅σ −2 + 2
⎞
⋅ N (c1 (S 0 , T ))⎟⎟
⎟
⎠
Où
1
⎞
⎛ s⎞ ⎛
ln⎜ ⎟ + ⎜ r ± ⋅ σ 2 ⎟ ⋅ t
2
K
⎠
h1, 2 (s, t ) = ⎝ ⎠ ⎝
σ⋅ t
Et
⎛ B2 ⎞ ⎛
1
⎞
⎟⎟ + ⎜ r ± ⋅ σ 2 ⎟ ⋅ t
ln⎜⎜
2
s⋅K ⎠ ⎝
⎠
c1, 2 (s, t ) = ⎝
σ⋅ t
En reprenant les formules précédentes nous arrivons à la conclusion que le
prix initial de l’option knock-out admet les représentations suivantes :
C01 = C0S − J 0 = Standard call − Knockout Discount
Où
C0S = S 0 ⋅ N (h1 ) − K ⋅ e − r⋅T ⋅ N (h2 )
Et
⎛B⎞
J 0 = S 0 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ S0 ⎠
2⋅λ ⋅σ −2 + 2
⋅ N (c1 ) − K ⋅ e
− r ⋅T
⎛B⎞
⋅ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ S0 ⎠
2⋅λ ⋅σ −2
⋅ N (c2 )
Où h1, 2 = h1, 2 (S 0 , T ) et c1, 2 = c1, 2 (S 0 , T ) . Notons que la preuve de cette formule
peut se simplifier par une application du théorème de Girsanov. Nous
définissons une mesure de probabilité auxiliaire  :
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Le 01/04/2004
d
1
⎛
⎞
= exp⎜ σ ⋅ WT∗ − ⋅ σ 2 ⋅ T ⎟ = ηT , ∗ a ⋅ s
∗
d
2
⎝
⎠
Le théorème de Girsanov indique que le processus Wt = Wt − σt suit un
∗
mouvement Brownien standard sous la mesure de probabilité  . De plus nous
pouvons établir la définition suivante :
(
)
E∗ ⋅ e X t ⋅ I D = e (r )⋅T ⋅ E∗ ⋅ (ηT ⋅ I D )
et ainsi
⎧
⎛K⎞
⎛ B ⎞⎫
I1 = e (r )⋅T ⋅ {D} = e (r )⋅T ⋅  ⎨X T ≥ ln⎜⎜ ⎟⎟, mT ≥ ln⎜⎜ ⎟⎟⎬
⎝ S0 ⎠
⎝ S 0 ⎠⎭
⎩
Finalement, la semi martingale du processus X sous  est
1
⎞
⎛
X t = σ ⋅ Wt + ⎜ r + ⋅ σ 2 ⎟ ⋅ t , ∀t ∈ [0, T ]
2
⎝
⎠
par conséquent pour tout y ≤ 0, y ≤ x nous avons :
⎛B
{D} = N (h1 (S 0 , T )) − ⎜⎜
⎝ S0
⎞
⎟⎟
⎠
2⋅λ ⋅σ −2 + 2
⋅ N (c1 (S 0 , T ))
Call Up and Out:
Quand K < S 0 et B < S 0 nous avons:
⎧⎪
⎛ B ⎞⎫⎪
D = ⎨ω ∈ Ω mT ≥ ln⎜⎜ ⎟⎟⎬
⎪⎩
⎝ S 0 ⎠⎪⎭
⎧
⎛ B ⎞⎫ ⎧
⎛K
⎟⎟⎬ ⊂ ⎨ X T ≥ ln⎜⎜
⎝ S 0 ⎠⎭ ⎩
⎝ S0
Tant que ⎨mT ≥ ln⎜⎜
⎩
⎞⎫
⎟⎟⎬
⎠⎭
ce qui est bien connu depuis
Harrison (1985) où pour tout y ≤ 0 nous avons :
⎛ − y + λ ⋅ T ⎞ 2⋅λ ⋅ y⋅σ − 2
⎛ y + λ ⋅T ⎞
⎟⎟ − e
⋅ N ⎜⎜
⎟⎟
 ∗ {mT ≥ y} = N ⎜⎜
⎝ σ⋅ T ⎠
⎝ σ⋅ T ⎠
Et ainsi
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Le 01/04/2004
⎛ ⎛ S0 ⎞
⎞
⎜ ln⎜ ⎟ + λ ⋅ T ⎟
B
⎟ − ⎛⎜ B
 ∗ {D} = N ⎜⎜ ⎝ ⎠
⎟ ⎜S
σ⋅ T
⎜⎜
⎟⎟ ⎝ 0
⎝
⎠
⎞
⎟⎟
⎠
2⋅λ ⋅σ − 2
⎛
⎛S
⎜ − ln⎜ 0
⎝ B
⋅ N ⎜⎜
σ⋅
⎜⎜
⎝
⎞
⎞
⎟ + λ ⋅T ⎟
⎟
⎠
⎟
T
⎟⎟
⎠
D’un autre coté, nous avons :
⎧
⎛ B ⎞⎫
I1 =  ∗ e X T ⋅ I D = e (r )⋅T ⋅  ⎨  ≥ ln⎜⎜ ⎟⎟⎬
⎝ S 0 ⎠⎭
⎩
(
)
Donc
I1 = e
(r )⋅T
2⋅λ ⋅σ
⎛ )
⎛B⎞
⎜
⋅ ⎜ N h1 (S 0 , T ) − ⎜⎜ ⎟⎟
⎜
⎝ S0 ⎠
⎝
(
)
−2
+2
⎞
)
⋅ N (c1 (S 0 , T ))⎟⎟
⎟
⎠
Où
1
⎛s⎞ ⎛
⎞
ln⎜ ⎟ + ⎜ r ± ⋅ σ 2 ⎟ ⋅ t
)
B
2
⎠
h1, 2 (s, t ) = ⎝ ⎠ ⎝
σ⋅ t
Et
1
⎛B⎞ ⎛
⎞
ln⎜ ⎟ + ⎜ r ± ⋅ σ 2 ⎟ ⋅ t
s
2
⎠
cˆ1, 2 (s, t ) = ⎝ ⎠ ⎝
σ⋅ t
1
Par conséquent, le prix de l’option au temps t = 0 est C 0 = Cˆ 0 − Jˆ 0 où
(
)
(
)
Cˆ 0 = S 0 ⋅ N hˆ1 (S 0 , T ) − K ⋅ e − r⋅T ⋅ N hˆ2 (S 0 , T )
Est le prix standard du call avec un strike B et nous avons alors
cˆ1, 2 = cˆ1, 2 (S 0 , T ) et :
⎛B⎞
Jˆ0 = S 0 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ S0 ⎠
2⋅λ ⋅σ −2 + 2
⋅ N (cˆ1 ) − K ⋅ e
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− r ⋅T
⎛B⎞
⋅ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ S0 ⎠
2⋅λ ⋅σ −2
⋅ N (cˆ2 )
Le 01/04/2004
Couverture : les « calls down-and-out » et les « puts up-and-out » sont très
utilisés pour la couverture d'une position sur action, car ils permettent
d'abandonner la couverture si le sous-jacent évolue de façon favorable.
Un gérant souhaite se protéger contre une éventuelle baisse du titre qu'il
détient. Le cours étant actuellement de 700 €, il achète un « put up-andout », avec une barrière a 750 € et un « strike » à 700 € ; l'option est « à la
monnaie ». Le prix de cette option est de 5.50 % contre 13 % pour l'achat
d'un « put » standard.
A l'échéance de l'option plusieurs possibilités sont envisageables selon le
processus d'évolution du titre au cours de la durée de vie de l'option :
Si la barrière est franchie, le détenteur de l'option à barrière perd sa
couverture : cette perte de couverture n'est à priori pas gênante puisque le
cours du titre évolue dans un sens favorable. Cependant, si le titre se met à
baisser fortement après le franchissement de la barrière, la position n'est plus
couverte et les pertes peuvent être importantes.
Si la barrière n'est pas franchie, le détenteur de l'option possède un put
standard qu'il a acquis en payant une faible prime : l'opérateur est alors
parfaitement couvert tout au long de la durée de vie de l'option.
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Le 01/04/2004
3.2
Option Lookback
Le profil de performance de ces options est extrêmement intéressant pour leur
détenteur, car elles procurent à ce dernier le niveau le plus favorable atteint
par le cours de l’actif sous-jacent, sur une période définie à l’origine. En
contrepartie, la prime est inévitablement très chère, conduisant à un effet de
levier souvent assez bas. Cependant, ces options résolvent totalement le
problème de la détermination du moment optimal d’acquisition d’un actif sur
un marché donné (« market timing »).
Il existe 3 types d’options Lookback :
o
“price lookback option”, appelée également Lookforward option
o
“strike lookback option”
o
“partial lookback option”
Elles sont toutes les 3 régulièrement utilisées sur le marché, et seront donc
toutes 3 analysées.
•
“price lookback option”
Elle permet à son détenteur de recevoir à l’échéance la différence entre le prix
d’exercice défini à l’origine, et le cours du plus haut dans le cas d’un call, ou
du plus bas dans le cas d’un put, atteint par l’actif sous-jacent, sur une
période déterminée.
Bien que beaucoup plus chère, l'option revêt des avantages nets par rapport à
une option standard. En effet, tout en ayant les mêmes caractéristiques que
cette dernière, elle offre, sur une période donnée, le plus haut rendement d'un
actif sous-jacent, sans se soucier au jour le jour des performances en cours et
à prévoir. Ceci donne la garantie à l’investisseur de vendre au plus haut.
Le « payoff » d’une option « lookforward » est le suivant :
•
X LBC _ price = max(sup(S ) − K ,0 ) dans le cas d’un call
•
X LBP _ price = max(K − inf (S ),0 ) , dans le cas d’un put
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Le 01/04/2004
•
“Strike lookback option”
Comme les options à moyenne, les options « lookback » peuvent avoir un prix
d’exercice fixe ou flottant. Les « strike lookback options » donnent à leur
détenteur le droit de choisir comme prix d’exercice, le cours de l’actif le plus
favorable sur la période considérée.
Dans
la
pratique,
et
comme
pour
la
« price
lookback
option »,
cet
investissement est digne d’intérêt, si l’acheteur pense qu’il existera une forte
variation des cours sur la période, mais en en ignorant complètement la date,
ainsi que le parfait moment d’investissement.
Bien entendu, puisque cette option permet de choisir le prix d’exercice, elle
s’avère beaucoup plus chère qu’une option européenne standard semblables
en tout autre point.
Le « payoff » de l’option « strike lookback » est le suivant :
•
X LBC _ strike = max(S T − inf (S ),0 ) dans le cas d’un call
•
X LBP _ strike = max (sup(S ) − S T ,0) , dans le cas d’un put
•
“Partial lookback option”
Il s’agit d’une option de type européen, dont le prix d’exercice est déterminé
comme étant le cours le plus bas (call), ou le plus haut (put), pendant une
période restreinte préalablement fixée. Après cette première période, l’option
devient une option standard, européenne ou américaine, avec une échéance
déterminée dès l’origine de la transaction. La durée de la première période,
qui commence à l’origine et qui s’achève avant l’échéance, représente un des
critères importants d’évaluation de l’option, le montant de la prime étant une
fonction croissante de la durée de cette dite période.
Dans la pratique, cette période s’étend habituellement de 1 à 3 mois,
permettant à l’investisseur un recul complémentaire, pour seulement 2 à 3%
de prime supplémentaire.
Pour traiter ce type d'option, il est nécessaire d'avoir une anticipation assez
précise sur l'évolution de l'actif sous-jacent. En effet, un « partial lookback
call », par exemple, est l'instrument idéal pour l'investisseur ayant une
opinion fortement baissière sur le court terme, et une vue haussière sur le
long terme, sans pouvoir précisément définir la limite temporelle. Si le cours
le plus bas est atteint par l'actif sous-jacent pendant la première période, suivi
d'une hausse comme attendu au cours de la seconde période, l'acheteur du
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Le 01/04/2004
« partial lookback call » se retrouve détenteur d'un call de style européen,
avec le prix d'exercice le plus favorable depuis la date de négociation du
contrat.
Le « payoff » de l’option « partial lookforward » est le suivant :
•
⎛
⎞
⎜
⎟
X LBC _ lookforward = max⎜ sup ( S ) − K ,0 ⎟ dans le cas d’un call
⎜ Pemière
⎟
⎝ Période
⎠
•
⎛
⎞
X LBP _ lookforward = max⎜ K − inf (S ),0 ⎟ , dans le cas d’un put
Pemière
⎜
⎟
Période
⎝
⎠
Et celui de la « partial strike lookback » est le suivant :
•
⎞
⎛
X LBC _ pStrikeLookForward = max⎜ S T l − inf (S ),0 ⎟ dans le cas d’un call
Pemière
⎟
⎜
Période
⎠
⎝
•
⎛
⎞
⎜
⎟
X LBP _ pStrikeLookForward = max⎜ sup (S ) − S T l ,0 ⎟ , dans le cas d’un put
⎜ Pemière
⎟
⎝ Période
⎠
•
Option High-Low (Hi-Lo Option)
Il s’agit d’un outil de gestion de la volatilité. En effet, cette option offre à son
détenteur la différence entre les extrêmes du cours d’un sous-jacent pendant
la vie de l’option. Elle résulte en fait de la combinaison d’un « lookback call »
et
d’un
« put ».
Néanmoins,
son
prix
dissuasif
rend
son
utilisation
exceptionnelle au cas où l’investisseur s’attend une volatilité inaccoutumée.
Le « payoff » s’écrit alors sur la période donnée :
X LB _ HiLo = max(S ) − min(S )
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Le 01/04/2004
•
Option Refixable (Reset Option)
Une « reset option » présente des caractéristiques très proches de celles
d'une « partial lookback option ». En effet, dans son sens général, cette
option offre un profil de remboursement dépendant de niveaux préétablis. Son
prix est déterminé, dès que le cours de l'actif sous-jacent franchit un palier
préalablement fixé. Le prix d'exercice d'un reset « call », par exemple, est
abaissé lorsque le cours de l'actif baisse en dessous d'un niveau défini à
l'origine. La « reset option » présente une alternative moins coûteuse que la
« strike lookback option ». Son prix est compris entre celui d'une option
standard et celui d'une « partial lookback option ». En fait il s’agit d’une
variante à la baisse de la « ladder option » des options à barrière.
Il convient d'apporter deux précisions supplémentaires sur les caractéristiques
de l'option :
•
Lorsque le palier atteint correspond au nouveau prix d'exercice,
l'option est appelée « automatic strike price reset option ». Il est
possible en effet de choisir un prix d'exercice différent de la
barrière préétablie. Dans cette hypothèse, trois niveaux sont
nécessaires pour décrire la reset option : le prix d'exercice si la
barrière n'est pas atteinte, la barrière proprement dite et le prix
d'exercice en cas de franchissement de cette barrière.
•
La faculté pour le détenteur de la « reset option », d'obtenir un
meilleur prix d'exercice, peut, ou bien s'appliquer durant toute la
vie de l'option, ou bien être limitée dans le temps. Dans ce
dernier cas, la constatation du franchissement potentiel de la
barrière n'est observable que pendant une ou plusieurs périodes
définies à l'origine de la transaction, appelées « reset dates ».
Seuls le premier et le dernier cours de cette période sont pris en
compte. Pour un « reset call », par exemple, le prix d'exercice
définitif sera ainsi la valeur la plus basse des deux.
Dans la majorité des cas, ce type d'option ne comporte qu'une seule « reset
date », permettant à l'investisseur d'acheter une option à temps voulu, sans
craindre des variations ultérieures (limitées à la « reset date ») du cours de
l'actif sous-jacent.
Il convient de bien dissocier les quatre types de « reset options », dépendants
soit du niveau de la barrière franchie à la hausse ou à la baisse, soit du sens
souhaité par le détenteur de l’option pour son remboursement final (« put »
ou « call »).
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Le 01/04/2004
Type
Payoff X
Call/Call
⎧max(ST − K 2 ,0 ) si S resetDate ≥ B
⎨
⎩max(ST − K1 ,0) sinon
Call/Put
⎧max(K1 − ST ,0 ) si S resetDate < B
⎨
⎩max(K 2 − ST ,0 ) sinon
Put/Call
⎧max(ST − K1 ,0) si S resetDate > B
⎨
⎩max(ST − K 2 ,0 ) sinon
Put/Put
⎧max(K1 − ST ,0) si S resetDate > B
⎨
⎩max(K 2 − ST ,0 ) sinon
⎧ B : niveau de la barrière
⎪
Avec : ⎨ K1 : prix d ' exercice initial
⎪
⎩ K 2 : reset strike
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Le 01/04/2004
b) Intérêt
Capter les point extrêmes : les options « lookback » permettent d'obtenir
le niveau le plus favorable atteint par le cours de l'actif sous-jacent sur la
période d'observation. Ces options offrent l'avantage de ne pas avoir à
déterminer le moment optimal d'acquisition de l'actif (résout le problème du
« market-timing »).
La vente d'options « lookback » : permet de bénéficier de primes élevées,
les primes pouvant être deux fois plus importantes que celles des options
standards. Cependant, le vendeur est exposé à des pertes importantes si le
sous-jacent est très volatile.
Voici la modélisation en temps continu des options énoncées précédemment :
•
price lookback option
« CALL » Europeen « LookForward »
Clookforward = S ⋅ N (a1 ) − S ⋅
σ2
⎡
⎤
σ2
⋅ N (− a1 ) − S MIN ⋅ e − r ⋅t ⎢ N (a 2 ) −
⋅ e c1 ⋅ N (− a3 )⎥
2⋅r
2 ⋅ (r − d )
⎣
⎦
avec:
⎛ S
ln⎜⎜
S
a1 = ⎝ MIN
⎞ ⎛
σ2⎞
⎟⎟ + ⎜⎜ r +
⎟⋅t
2 ⎟⎠
⎠ ⎝
σ⋅ t
a 2 = a1 − σ ⋅ t
⎛ S
ln⎜⎜
S
a3 = ⎝ MIN
⎞ ⎛
σ2⎞
⎟⎟ + ⎜⎜ − r +
⎟⋅t
2 ⎟⎠
⎠ ⎝
σ⋅ t
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Le 01/04/2004
⎛
σ2⎞ ⎛ S
⎟ ⋅ ln⎜
2 ⋅ ⎜⎜ r −
2 ⎟⎠ ⎜⎝ S MIN
⎝
c1 = −
2
σ
⎞
⎟⎟
⎠
Avec:
S MIN : cours le plus bas atteint par l’actif Durant la vie de l’option
S : cours actuel de l’actif
t : durée de vie résiduelle de l’option « lookforward »
« PUT » européen « Lookforward » :
⎡
⎤
σ 2 c2
σ2
Plookforward = S MAX ⋅ e −r ⋅t ⋅ ⎢ N (b1 ) −
⋅ e ⋅ N (− b3 )⎥ + S ⋅
⋅ N (− b2 ) − S ⋅ N (b2 )
2⋅r
2⋅r
⎣
⎦
Avec :
σ2⎞
⎛S
⎞ ⎛
⎟⋅t
ln⎜ MAX ⎟ + ⎜⎜ − r +
2 ⎟⎠
⎝ S ⎠ ⎝
b1 =
σ⋅ t
b2 = b1 − σ ⋅ t
b3 =
⎛S
ln⎜ MAX
⎝ S
σ2⎞
⎞ ⎛
⎜
⎟⋅t
+
r
−
⎟ ⎜
2 ⎟⎠
⎠ ⎝
σ⋅ t
⎛
σ 2 ⎞ ⎛ S MAX ⎞
⎟ ⋅ ln⎜
2 ⋅ ⎜⎜ r −
⎟
2 ⎟⎠ ⎝ S ⎠
⎝
c2 =
2
σ
•
Strike lookback option
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Le 01/04/2004
« CALL Strike lookback »
C look = C s + C SBC
avec
−λ
⎤
⎛S⎞ ⎡
⎛S⎞
C SBC = ⎜ ⎟ ⋅ ⎢e − r⋅t ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ N x + λ ⋅ σ ⋅ t − N ( x )⎥
⎝ λ ⎠ ⎢⎣
⎝ B⎠
⎥⎦
(
)
« PUT Strike lookback »
Plook = PS + PSBC
avec
−λ
⎤
⎛S⎞ ⎡
⎛S⎞
PSBC = ⎜ ⎟ ⋅ ⎢e −r⋅t ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ N y + λ ⋅ σ ⋅ t − 1 − ( N ( y ) − 1)⎥
⎝ λ ⎠ ⎣⎢
⎝H⎠
⎦⎥
( (
) )
Avec
σ²⎞
⎛S⎞ ⎛
− ln⎜ ⎟ + ⎜ δ +
⎟⋅t
2 ⎠
B⎠ ⎝
⎝
x=
σ⋅ t
σ²⎞
⎛S⎞ ⎛
− ln⎜ ⎟ + ⎜ δ +
⎟⋅t
2 ⎠
H⎠ ⎝
⎝
y=
σ⋅ t
C look : prime d’un « strike lookback call »
C SBC : prime d’un « strike bonus call »
Plook : prime d’un « strike lookback put »
PSBC : prime d’un « strike bonus put »
S : cours de l’actif
λ=
2⋅r
σ²
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Le 01/04/2004
r : taux d’intérêt sans risque
δ =r
t : durée de vie résiduelle de l’option
B : cours de l’actif le plus bas de la période
H : cours de l’actif le plus haut de la période
σ : volatilité
Vérifier le nom
•
Partial lookforward option
« CALL partial lookforward option »
C 0 = S ⋅ N (d1 ) − e − r ⋅(T −t ) ⋅ X ⋅ N (d 2 )
− 2⋅ r
⎡
⎛
⎛ 2 ⋅ r ⋅ t1 − t ⎞
σ²
⎛ 2⋅r ⋅ T −t ⎞
S
⎛
⎞
⎢− ⎜ ⎟
⎟; −
⎟, − f 1 + ⎜
⋅ M ⎜ d1 − ⎜⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎢
K
σ
σ
⎝
⎠
σ²
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
+ e − r ⋅(T −t ) ⋅
⋅S ⋅⎢
2⋅r
⎢
⎛
(t − t ) ⎞⎟
⎢+ e r ⋅(T −t ) ⋅ M ⎜ e1 , d1 ; 1 − 1
⎜
(T − t ) ⎟⎠
⎝
⎣⎢
⎛
(t − t ) ⎞⎟
− S ⋅ M ⎜⎜ − e1 , d1 ;− 1 − 1
(T − t ) ⎟⎠
⎝
⎛
(t − t ) ⎞⎟
− e − r ⋅(T −t ) ⋅ X ⋅ M ⎜⎜ f 2 ,− d 2 ;− 1
(T − t ) ⎟⎠
⎝
σ² ⎞
⎛
+ e − r ⋅(T −t1 ) ⋅ ⎜1 −
⎟ ⋅ S ⋅ N ( f 1 ) ⋅ N (− e2 )
⎝ 2⋅r ⎠
Avec
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(t1 − t ) ⎞⎟⎤⎥
(T − t ) ⎟⎠⎥
⎥
⎥
⎥
⎦⎥
Le 01/04/2004
1
⎛ B⎞ ⎛
⎞
− ln⎜ ⎟ + ⎜ r + ⋅ σ ² ⎟ ⋅ (T − t )
2
⎝S⎠ ⎝
⎠
d1 =
σ ⋅ T −t
d 2 = d1 − σ ⋅ T − t
1
⎛
⎞
⎜ r + ⋅ σ ² ⎟ ⋅ (T − t1 )
2
⎠
e1 = ⎝
σ ⋅ T − t1
e2 = e1 − σ ⋅ T − t1
1
⎛b⎞ ⎛
⎞
− ln⎜ ⎟ + ⎜ r + ⋅ σ ² ⎟ ⋅ (t1 − t )
2
⎝S⎠ ⎝
⎠
f1 =
σ ⋅ t1 − t
f 2 = f 1 − σ ⋅ t1 − t
Avec
S : cours de l’actif sous-jacent
B : cours le plus bas atteint par l’actif sur la période
t : date actuelle
t1 : fin de la période d’application de l’effet « lookback »
T : échéance de l’option
X : prix d’exercice
M (.,.;.) : fonction de la loi normale bivariée
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Le 01/04/2004
•
Partial strike lookback option
« CALL partial strike lookback option »
C 0 = S ⋅ N (d1 − g1 ) − λ ⋅ B ⋅ e − r ⋅(T −t ) ⋅ N (d 2 − g1 )
− 2⋅r
⎡
⎛
σ²
2 ⋅ r ⋅ t1 − t
S
2⋅r ⋅ T −t
⎞
⎛
⎢⎜ ⎟
⋅ M ⎜ − f1 +
− g1 ;
, − d1 +
⎜
⎢⎝ B ⎠
σ
σ
σ²
− r ⋅(T −t )
⎝
+e
⋅
⋅λ ⋅S ⋅⎢
2⋅r
⎢ r ⋅(T −t ) 2⋅r
⎛
(t1 − t ) ⎞⎟
⋅ λ σ ² ⋅ M ⎜⎜ − d1 + g1 , e1 + g 2 ; −
⎢− e
(T − t ) ⎟⎠
⎝
⎣⎢
(t1 − t ) ⎞⎟⎤⎥
(T − t ) ⎟⎠⎥
⎛
(t − t ) ⎞⎟
+ S ⋅ M ⎜⎜ − d1 + g1 , e1 − g 2 ; − 1 − 1
(T − t ) ⎟⎠
⎝
⎛
(t1 − t ) ⎞⎟
+ e − r ⋅(T −t ) ⋅ λ ⋅ B ⋅ M ⎜⎜ − f 2 , d 2 − g1 ; −
(T − t ) ⎟⎠
⎝
σ² ⎞
⎛
+ e − r ⋅(T −t1 ) ⋅ ⎜1 +
⎟ ⋅ S ⋅ λ ⋅ N (e2 − g 2 ) ⋅ N (− f 1 )
⎝ 2⋅r ⎠
avec
λ : Constante ajustant le cours extrême (le prix d’exercice est considéré
comme un pourcentage de ce ours extrême) Ici λ ≥ 1
g1 =
g2 =
ln λ
σ ⋅ T −t
ln λ
σ ⋅ T − t1
•
Prenons l'exemple d’un investisseur anticipant que le marché approche
de son plus bas niveau et pensant que la reprise est imminente. Il
pourra acheter un « strike reset call », jouant ainsi le retournement de
tendance, sans supporter une nouvelle baisse des cours. Au contraire,
la dégradation du marché permet à l'investisseur, jusqu'à la « reset
date » d'espérer le franchissement de la barrière, et pourtant, d'obtenir
la fixation d'un nouveau prix d'exercice à un niveau inférieur. En outre,
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⎥
⎥
⎥
⎦⎥
Le 01/04/2004
si le marché repart à la hausse comme attendu, il profitera de ne pas
avoir manqué la reprise.
Bien entendu, du fait de l’opportunité supplémentaire procurée, la
« reset option » est légèrement plus chère qu’une option standard de
caractéristiques semblables. Son coût dépend évidemment du niveau
de la barrière, du niveau du « reset », et de la période d’application.
•
Option « lookback » à strike flottant : Nous sommes au mois de mars
2004, et le trend de l'indice est haussier. A cette date le niveau de
l'indice est de 2650 points. Cependant, des élections vont avoir lieu
dans un peu moins d'un mois en France. Dans ce contexte troublé, on
risque d'assister à une forte baisse de l'indice, même si celle-ci n'est
que ponctuelle. Le client souhaite bénéficier de cette incertitude en
investissant pour une durée de trois mois.
Deux stratégies sont alors possibles : achat d'un « call » strike flottant
ou bien achat d'un « put » standard « at the money ». Au cours de ces
trois mois, l'indice atteint un plus bas à 2200 points, et cote 2550 à
l’échéance de l'option.
CARACTÉRISTIQUES
ACHAT « CALL LOOKBACK »
ACHAT PUT STANDARD
STRIKE FLOTTANT
Date d'achat
01 mars 2004
01 mars 2004
Date d'échéance
01 août 2004
01 août 2004
Strike
2250
2650
Prix de l'option
10.23%
6.03%
Pay-off
2550-2250 = 300
2650-2550 = 100
Pay-off/Prime
1.10
0,62
Remarques sur la stratégie :
Le choix d'une option « lookback » par rapport au put standard s'est
avéré
judicieux, puisque le levier est nettement positif. Le prix de
l'option « lookback » est beaucoup plus important : pour atteindre le
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Le 01/04/2004
point mort, l'indice doit atteindre des valeurs très éloignées de sa
valeur initiale.
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Le 01/04/2004
3.3
Option Asiatique (ou à Moyenne)
Il existe deux types d’options Asiatiques :
•
L’option à moyenne sur le prix : C’est une option de type européen
donnant droit à son détenteur de recevoir à l’échéance de l’option et à
concurrence de son montant nominal, la différence positive éventuelle
entre le prix d’exercice de cette option et la moyenne arithmétique (ou
éventuellement géométrique) des cours du sous-jacent.
Le « payoff » d’un « call » peut donc s’exprimer par :
X CallAsiatique = max⎛⎜ Moy(St ) − K ,0 ⎞⎟
⎝ t
⎠
Avec :
- K : Prix d’exercice de l’option
- S t : Cours de l’actif sous-jacent au temps t
- Moy (St ) : moyenne de l’actif sous-jacent.
t
Elle est calculée sur n observations et peut se calculer des deux
manières :
- Moyenne arithmétique : Moy (St ) =
Arithm .
- Moyenne géométrique : Moy (S t ) =
Géom.
1 N
⋅ ∑ SObsi
N i =1
N
N
∏S
i =1
Obsi
SObsi étant i-ème cours de l’actif sous jacent observé (Avec un total de
N observations.
Et celui d’un « put » d’une telle option en utilisant les mêmes
notations :
X PutAsiatique = max⎛⎜ K − Moy(St ),0 ⎞⎟
t
⎝
⎠
•
L’option à moyenne sur le prix d’exercice : Le « payoff » à l’échéance,
ou lors de l’exercice, de cette option est déterminé en effectuant la
différence entre le cours de l’actif à l’échéance et le prix d’exercice
moyen calculé comme étant le cours moyen de cet actif sous-jacent sur
un nombre fixe de points.
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Le 01/04/2004
b) Intérêt
Réduction du risque : contrairement aux options classiques, dont le « payoff » est exposé à un mouvement brutal du cours de l'actif sous-jacent à
I'échéance, les options asiatiques permettent de figer des valeurs du Sousjacent au cours de la durée de vie de l'option. Ces options sont donc
particulièrement intéressantes lorsque le marché est faiblement liquide ou
fortement volatil.
Flexibilité du produit : outre le choix de la maturité et du prix d'exercice,
l'acheteur d'une option asiatique l’acheteur à la possibilité de déterminer :
•
la période de constatation : au lieu de calculer une moyenne sur
l'ensemble de la durée de vie de l'option, il est possible de réduire la
période d'observation.
•
La fréquence de constatation : décidée lors de la négociation du
contrat,
elle
peut
être
quotidienne,
hebdomadaire,
mensuelle,
trimestrielle, semestrielle...
•
le type de moyenne : généralement, le calcul de la moyenne se fait de
façon arithmétique. Cependant, il est aussi possible d'utiliser des
moyennes géométriques ou bien d'affecter une pondération différente à
chacune des valeurs au gré de la volonté de l'acheteur.
c) Modélisation en temps discret
Nous modéliserons ici l’option à moyenne sur le prix pour une moyenne
arithmétique et géométrique.
Partons de la fin de la partie modélisation temps discret, nous avons compte
tenu du nombre d’observations :
P0 =
•
T
1
((1 + r )(u − d ))
T
⋅ ∑ CTn ⋅ (1 + r − d ) ⋅ (u − r − 1)
n
n =0
T −n
(
⋅ X S 0 ⋅ u n ⋅ d T −n
)
Moyenne arithmétique :
Or, pour une option asiatique à moyenne arithmétique sur le prix, le
« payoff » d’un « call » et d’un « put » s’écrivent :
⎛1 N
⎞
X CallAsiatique = max⎛⎜ Moy(St ) − K ,0 ⎞⎟ = max⎜ ⋅ ∑ SObsi − K ,0 ⎟
⎝ t
⎠
⎝ N i =1
⎠
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Le 01/04/2004
⎛
⎞
1 N
X PutAsiatique = max⎛⎜ Moy(St ) − K ,0 ⎞⎟ = max⎜ K − ⋅ ∑ SObsi ,0 ⎟
N i =1
⎝ t
⎠
⎝
⎠
En remplaçant, nous obtenons :
C As. Arithm =
PAs. Arithm =
•
1
((1 + r )(u − d ))T
1
((1 + r )(u − d ) )T
T ⎛
N
⎞ ⎞
n
T −n ⎛ 1
⋅ ∑ ⎜⎜ CTn ⋅ (1 + r − d ) ⋅ (u − r − 1) ⋅ ⎜ ⋅ ∑ S 0 ⋅ u i ⋅ d N −i − K ⎟ ⎟⎟
n =0 ⎝
⎝ N i =1
⎠+ ⎠
(
)
T ⎛
⎞ ⎞
1 N
n
T −n ⎛
⋅ ∑ ⎜⎜ CTn ⋅ (1 + r − d ) ⋅ (u − r − 1) ⋅ ⎜ K − ⋅ ∑ S 0 ⋅ u i ⋅ d N −i ⎟ ⎟⎟
N i =1
n =0 ⎝
⎝
⎠+ ⎠
(
Moyenne géométrique :
Nous avons juste à changer la moyenne arithmétique par la moyenne
géométrique. En effet, nous avons les « payoffs » :
⎛ N
⎞
X CallAsiatique = max⎛⎜ Moy (S t ) − K ,0 ⎞⎟ = max⎜ N ∏ S Obsi − K ,0 ⎟
⎜ i =1
⎟
⎝ t
⎠
⎝
⎠
N
⎛
⎞
X PutAsiatique = max⎛⎜ K − Moy(S t ),0 ⎞⎟ = max⎜ K − N ∏ S Obsi ,0 ⎟
⎜
⎟
t
⎝
⎠
i =1
⎝
⎠
C As. Arithm =
PAs. Arithm =
1
((1 + r )(u − d ) )T
1
((1 + r )(u − d ) )T
T ⎛
⎛ N
⎞ ⎞
n
T −n
⋅ ∑ ⎜ CTn ⋅ (1 + r − d ) ⋅ (u − r − 1) ⋅ ⎜ N ∏ S 0 ⋅ u i ⋅ d N −i − K ⎟ ⎟
⎜ i =1
⎟ ⎟
⎜
n =0
⎝
⎠+ ⎠
⎝
N
T ⎛
⎛
⎞ ⎞
n
T −n
⋅ ∑ ⎜ CTn ⋅ (1 + r − d ) ⋅ (u − r − 1) ⋅ ⎜ K − N ∏ S 0 ⋅ u i ⋅ d N −i ⎟ ⎟
⎜
⎟ ⎟
⎜
n =0
i =1
⎝
⎠+ ⎠
⎝
d) Modélisation en temps continu
Nous modéliserons ici l’option à moyenne sur le prix pour une moyenne
arithmétique et géométrique.
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)
Le 01/04/2004
•
Moyenne géométrique :
Kemna et Vorst ont montré, [9] que cette option pouvait être évaluée de la
même façon qu'une option standard, de caractéristiques semblables, mais en
retenant, comme niveau de volatilité et de taux de dividende, les valeurs
suivantes :
σ′=
σ
3
1 ⎛
σ2⎞
⎟
d ′ = ⋅ ⎜⎜ r + d +
2 ⎝
6 ⎟⎠
Dans le cas où le calcul de la moyenne correspond à la durée de vie de
l'option, Rubinstein et Reiner ont en outre fourni la formule suivante [10] :
C ag = X 0 ⋅ e − r ⋅t ⋅ e
y+
z²
2
⋅ N ( x ) − X ⋅ e − r ⋅t ⋅ N ( x − z )
Avec
⎛X ⎞
ln⎜ 0 ⎟ + y
X ⎠
x= ⎝
+z
z
T1
X0 = A
(T1 +T2 + f )
(T2 + f )
(T1 +T2 + f )
⋅ S0
⎡
T ⋅ (T + f ) ⎤ ⎛
σ²⎞
y = ⎢T0 + 2 2
⎥ ⋅⎜r − d − ⎟
2 ⋅ (T1 + T2 + f ) ⎦ ⎝
2 ⎠
⎣
⎡
T ⋅ (T + f ) ⋅ (2 ⋅ T2 + f )⎤
z ² = ⎢T0 + 2 2
⎥ ⋅σ ²
2
(
)
T
T
f
6
⋅
+
+
1
2
⎣
⎦
S 0 : cours de l'actif sous-jacent à l'origine
t : durée de vie résiduelle de l'option
T : date d'échéance de l'option
T0 : temps restant avant que la moyenne ne commence à être calculée
T1 : période de temps passé, pendant laquelle la moyenne a déjà commencé
à être calculée
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Le 01/04/2004
T2 : (T − T0 ) temps restant pour le calcul de la moyenne
A : moyenne géométrique, à l'instant où le calcul de la valeur de l'option est
effectué (si T , > 0 ). Dans le cas où la moyenne n'est pas encore calculée, alors
A = 1 avec T , = 0
f : Fréquence utilisée dans le calcul de la moyenne
•
Moyenne arithmétique :
Geman et Yor ont apporté une solution pour la formule des options asiatiques
[11], considérant une moyenne arithmétique de cours. Elle prend pour
hypothèse, que le moment t, de l'analyse appartient à la période de calcul de
la moyenne ( t 0 < t < T ), et que les valeurs déjà retenues dans ce calcul sont
suffisamment élevées pour que l'option soit déjà dans la monnaie. En évitant
les approximations et en retenant un faible écart de temps entre deux points
de référence, l'expression mathématique de la formule de cette option est
relativement simple :
C aa
(1 − e
=S⋅
− r ⋅(T −t1 )
r ⋅ (T − t 0 )
)−e
− r ⋅(T −t1 )
t1
⎡
⎤
1
⋅ ⎢X −
⋅ ∫ S (u ) ⋅ du ⎥
T − t 0 t0
⎢⎣
⎥⎦
Avec
T
1
⋅ S (u ) ⋅ du : moyenne calculée entre t 0 et T
T − t 0 t∫0
S : cours de l’actif à l’instant t , de l’analyse
e) Exemple de stratégie
Cession de participations : une société souhaite utiliser une stratégie
optionnelle pour céder sa participation dans un autre groupe. La méthode
retenue est celle d'une cession en bloc, ayant lieu dans un an. L'objectif de
cette société n'est pas d'assurer un prix minimum de cession, mais d'éviter
une opération dont le prix pourrait être très défavorable. La société achète un
put à moyenne trimestrielle, lui permettant de réaliser la cession à un prix
moyen sur l'année et la protégeant contre une baisse violente du sous-jacent
à l'échéance.
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Le 01/04/2004
Anticipations directionnelles : pour l'année à venir, un gérant anticipe une
forte hausse de l'indice, suivie d'une relative stagnation. En utilisant une
option à moyenne trimestrielle, il espère pouvoir obtenir un « pay-off » proche
de celui d'une option standard, mais en payant une prime très inférieure : la
hausse rapide anticipée devrait permettre d'éviter un lissage trop important
des cours. Au moment de l'achat de l'option, l'indice cote 2500 points. Aux
quatre dates anniversaires utiles au calcul du « pay-off » de l'option, le cours
du sous-jacent est respectivement de 2250, 3050, 3700 et 3000 points. La
valeur à l'échéance servant au calcul de l'option « plain vanilla » (ou option
classique) est de 3000, identique à celle servant au calcul de I'option
asiatique :
(2250 + 3050 + 3700 + 3000) / 4 = 3000
Type d’option
Maturité
Strike
Prime
Pay-off
Payoff/prime
Call
1 an
2500
Plain Vanilla
Call
10.3%
500
1.94
500
2.82
(257.5)
1 an
2500
Moyenne Trimestrielle
7.1%
(177.5)
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Le 01/04/2004
PARTIE 2
SIMULATION DES
OPTIONS
EXOTIQUES
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Le 01/04/2004
1. INTRODUCTION A LA SIMULATION
1.1
Problématique
C'est en 1977 que Boyle a eu l'idée d'utiliser la méthode de simulation de
Monte Carlo pour évaluer le prix d'une option. La théorie financière moderne
permet, en effet, d'exprimer la valeur de la plupart des actifs financiers sous
la forme de l'espérance d'une variable aléatoire. L'évaluation d'un actif
financier peut se résumer alors a un calcul approché de la moyenne de cette
variable dès lors que l'on sait la simuler.
À titre d'exemple, considérons l'évaluation d'une option écrite sur une action
dont le cours, S, est supposé suivre un mouvement brownien géométrique, tel
que, dans l'univers risque neutre :
dS
= r ⋅ dt + σ ⋅ dWˆ
S
^
où W représente un brownien standard de valeur nulle à l'instant 0, r le taux
d'intérêt sans risque et
σ la volatilité de l'action.
L'utilisation du lemme d'Itô, suivie d'une intégration, permet d'exprimer la
valeur de l'action, à une date future T , en fonction de sa valeur en t :
(
)
⎡⎛
⎤
1
⎞
S (T ) = S (t ) ⋅ exp ⎢⎜ r − ⋅ σ ² ⎟ ⋅ (T − t ) + σ ⋅ Wˆ (T ) − Wˆ (t ) ⎥
2
⎠
⎣⎝
⎦
Avec
Wˆ (T ) = ε ⋅ T
^
Avec W
, où ε suit une loi normale centrée réduite.
En découpant le temps en périodes successives de durée égale, ∆t , et en
retenant au hasard, à chaque période, une réalisation de la variable aléatoire
ε , il est possible, connaissant le cours de l'action au début d'une période, de
simuler celui-ci en fin de chaque période et d'obtenir ainsi pas à pas une
trajectoire de la valeur de l'action. En répétant l'opération un grand nombre
de fois, on obtient un ensemble de trajectoires à partir duquel il devient
possible d'évaluer non seulement une option simple, mais aussi une option
complexe, écrite sur cet actif.
Page 61 sur 88
Le 01/04/2004
Il est alors possible de simuler plusieurs trajectoires comme le montre le
graphique :
106
105
104
103
102
101
100
99
98
97
96
02/01/04
02/04/04
02/07/04
02/10/04
02/01/05
02/04/05
02/07/05
02/10/05
Caractéristiques du Sous-jacent
taux sans risque (r)
Volatilité ( σ )
2,0%
30,0%
par an
par an
prix initial (V0)
Duration (T)
100
2
€
année(s)
La simulation d'un plus grand nombre de trajectoires permettrait de
distinguer le « couloir » d'évolution de l'actif risqué.
Lorsqu'il s'agit d'évaluer une option européenne « path-independent », seule
la valeur de l'actif à l'échéance compte. Pour cette raison, il suffit, de simuler
N valeurs selon une loi normale centrée réduite pour obtenir N valeurs du
« pay-off » final de l'option. La moyenne actualisée de ces N valeurs constitue
une estimation du prix de l'option.
La génération des nombres aléatoires permettant de simuler un brownien
constitue l'un des points critiques de cette approche. Des méthodes "naïves"
peuvent, en effet, engendrer un biais quasiment systématique dans le calcul
du prix de l'option. Ainsi, l'application à plusieurs reprises d'une telle méthode
à l'évaluation d'un call conduit aux résultats figurant sur le tableau suivant :
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Le 01/04/2004
Série 1
Série 2 Série 3 Série 4 Série 5
1 000
valeurs
18,747
19,191 21,932 21,492 20,506
7,45%
5,26%
5 000
valeurs
20,425
20,827 19,554 20,650 21,396
-0,83%
-2,82%
10 000
valeurs
20,762
19,221 20,277 19,570 19,360
-2,50%
5,11%
100 000
valeurs
20,417
20,446 20,306 20,110 20,488
-0,79%
-0,94% -0,25%
-8,28% -6,10% -1,23%
3,47%
-0,11%
-1,94% -5,63%
3,39%
0,72%
4,42%
-1,15%
En ayant choisi les paramètres suivants :
Volatilité (σ)
4,0%
30,0%
par an
par an
prix initial (V0)
Strike (K)
200
260
2
20,256
€
€
année(s)
€
Duration (T)
Valeur exacte (B&S)
Les valeurs du call obtenues pour ces séries de simulations sont très
différentes et, malgré un nombre a priori élevé de trajectoires (jusqu’à
100 000), l'écart avec celles données par la formule de Black et Scholes peut
être assez important, en dépit de paramètres d'entrée identiques.
Trois enseignements peuvent être tirés de cet exemple :
•
le nombre de simulations doit être réellement conséquent pour que
l'intervalle de confiance du prix simulé soit suffisamment faible.
•
lorsque l'on cherche, par exemple, à calculer les sensibilités de l'option
par rapport a ses divers paramètres, il est nécessaire, pour des
conditions d'évaluation identiques, d'obtenir toujours le même prix.
Cette contrainte conduit soit a "contrôler le hasard", de manière à
obtenir la même valeur pour des paramètres d'entrées identiques et
ainsi pouvoir calculer les dérivées du prix du call, soit à enregistrer les
valeurs des browniens de manière à effectuer le calcul des sensibilités à
partir des mêmes tirages d'aléas.
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Le 01/04/2004
•
L’erreur quoi qu’apparemment faible, qui devrait tendre vers 0 lorsque
l’on
N2,
augmente
1 000 000
valeurs
n’est
jamais
complètement
20,237
20,243 20,190 20,328 20,243
0,09%
0,07%
10 000 000
valeurs
0,33%
-0,36%
annulée :
0,07%
20,278
-0,111%
Ceci nous incite donc à être très vigilant concernant le choix des
générateurs de nombres aléatoires, et à s’intéresser au biais qui leur
est propre.
Si la méthode d'évaluation par simulation ne présente guère d'intérêt pour
déterminer la valeur d'une option standard, elle s'avère, en revanche,
particulièrement intéressante pour évaluer un actif financier complexe pour
lequel il n'existe pas de formule d'évaluation analytique ou de méthode
efficace de résolution numérique régissant la valeur de l'actif.
1.2
Génération de Variables Normalement
Distribuées
La théorie financière fait largement appel au mouvement brownien pour
représenter l'évolution des variables. L'une des propriétés remarquables de ce
processus est qu'il est à accroissements indépendants, identiquement et
normalement distribués. C'est pourquoi il est important de pouvoir générer
des variables aléatoires indépendantes et distribuées selon la loi normale
centrée réduite de densité :
f (x ) =
1
− ⋅x ²
1
⋅e 2
2 ⋅π
La simulation de variables distribuées selon cette loi exige d'abord la
génération de variables uniformément distribuées.
Il faut donc s’intéresser dans un premier temps aux méthodes de génération
de ces dernières, pour aborder ensuite les techniques de transformations de
variables uniformément distribuées en valeurs normalement distribuées.
f) Génération de variables uniformément distribuées
2
N
désignant le nombre de valeurs simulées et
standard de l'estimateur est approximée par
σ
N
σ
l'écart type des valeurs de l'actif dérivé résultant de ces simulations, l'erreur
. Cette erreur décroît donc avec la racine carrée du nombre de trajectoires de
l'actif sous-jacent.
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Le 01/04/2004
Il existe plusieurs procédés de génération de variables uniformément
distribuées, aucun d'entre eux n'étant purement aléatoire. Les premiers de
ces générateurs, qualifiés de pseudo-aléatoires et implémentés par défaut
dans les langages informatiques usuels (type C++ ou Pascal), sont des
générateurs linéaires congruentiels. Comme tout générateur, ils produisent
des valeurs déterministes et parfaitement prévisibles, mais dont les propriétés
statistiques sont satisfaisantes.
Ainsi, les tests d'indépendance de répartition d'échantillons obtenus par ces
générateurs sont statistiquement validés. Un second type de générateurs,
qualifiés
de
quasi
uniformément
aléatoires,
distribuées.
La
permet
aussi
différence
de
simuler
fondamentale
des
entre
variables
ces
deux
procédés est que le premier conduit à des tirages différents tandis que le
second donne toujours exactement les mêmes valeurs.
•
Les générateurs pseudo-aléatoires
Les techniques de générations actuellement implémentées dans les langages
de
programmation
(rnd,
rand,
random)
permettent
de
générer
des
réalisations de variables aléatoires de loi uniforme sur l'intervalle [0,1] et
indépendantes. Elles sont généralement issues de la méthode du générateur
congruentiel. Par essence, un programme informatique ne peut créer
l'imprévisible.
Les Générateurs Linéaires Congruentiels
Ils sont de la forme :
Xn=(a Xn-1 + b) mod m
où
Xn
est
a,
b,
m
le
sont
ne
terme
des
de
la
suite
constantes,la
et
valeur
Xn-1
initiale
le
terme
X0
est
précédent.
le
germe.
Ce générateur a une période qui n’est pas plus grande que m : la période est
maximale si a, b, m sont choisis correctement.
Le choix de ces valeurs n'est pas un problème à négliger (bien que se
résolvant facilement). En effet, voici pour quelques valeurs prises au hasard,
la mise en évidence des périodes obtenues:
Page 65 sur 88
Le 01/04/2004
Autre exemple:
Les valeurs semblent ici correctes (il n'est bien sûr pas question de vérifier
que la période est de 10 000 000), mais on observe que le dernier chiffre des
valeurs générées est incrémenté à chaque nouvelle valeur d'une unité: le
résultat est alors biaisé.
Page 66 sur 88
Le 01/04/2004
Un contrôle d'abord visuel s'avère alors en premier lieu nécessaire, et doit
être suivi de tests (détaillés page suivante).
Il est fortement recommandé lors du choix des constantes de vérifier les
hypothèses d'un théorème de Knuth [5] p.16:
La suite définie par Xn=(a Xn-1 + b) mod m est de période maximale m si et
seulement si :
i)
b est premier avec m
ii)
quel que soit p premier divisant m, c=a-1 est un multiple de p
iii) si m est multiple de 4, alors b est multiple de 4
On peut notamment citer le générateur utilisant les constantes:
m = 1012 - 11
a = 427419669081
b = 0:
Il est en particulier utilisé dans le logiciel Maple.
Ce générateur ne vérifie pas les hypothèses du théorème précédent, il n'est
donc pas de période maximale; néanmoins Knuth aborde le cas particulier des
générateurs pour lesquels b est nul: ceci permet l'économie d'une addition, et
on peut notamment faire en sorte lorsque m est premier (ce qui est ici le cas),
d'atteindre un période de m-1.
Les Registres à Décalage à Rétroaction Linéaire
Linear Feedback Shift Register (LFSR) en anglais.
On utilise un tableau à n bits dans lequel on effectue une opération, comme
une addition, puis on effectue un décalage dans le tableau en ajoutant le
nouvel élément.
Exemple avec 4 bits:
Ici on utilise un ou exclusif (addition sans retenue) sur les deux derniers bits.
Page 67 sur 88
Le 01/04/2004
Le registre est successivement à la valeur 0111, 0011, 0001, 1000, 0100...
Pour un LFSR à n bits, on peut faire en sorte d’obtenir une période maximale
de 2n–1.
Exemple de générateur: Les entiers étant codés sur 32 bits, on fait
fonctionner dans un tableau de 55 entiers, un LFSR effectuant une addition
modulo 230-1 sur le 1er et 25ème entier.
g) Transformation d'une variable aléatoire uniformément
distribuée
en
variable
aléatoire
normalement
distribuée
•
La technique de la somme
Cette méthode qui pouvait présenter un intérêt à l'époque du calcul manuel
apparaît aujourd'hui largement dépassée.
Soit Yi , i ∈ {1;K;12} , douze tirages de variables aléatoires de loi uniforme à
valeur dans l'intervalle [0,1] et indépendantes. Alors la variable aléatoire Y
suivante
⎛ 12 ⎞
Y = ⎜ ∑ Yi ⎟ − 6
⎝ i =1 ⎠
est d'espérance nulle et de variance 1.
Par le théorème central limite, on peut considérer que la loi de Y est peu
différente d'une loi normale [0,1] .
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Le 01/04/2004
Cette méthode, des plus simples à mettre en oeuvre, est toutefois assez peu
efficace par rapport aux autres méthodes que nous présenterons par la suite.
Elle est, en effet, assez coûteuse en temps de calcul à cause des douze tirages
de valeurs aléatoires qu'elle exige. De plus, on est relativement éloigné des
conditions d'approximation du théorème central limite, 12 termes seulement
étant retenus.
Signalons, en outre, que les valeurs prises par Y appartiennent à l'intervalle
[− 6;6[ et non à . Bien que cela limite l'ensemble des valeurs possibles, la
probabilité qu'une variable aléatoire distribuée selon une loi normale centrée
réduite soit en dehors de cet intervalle est négligeable dans la grande
majorité des cas.
•
Inversion de la fonction de répartition de la loi
normale centrée réduite
N −1 désigne la fonction inverse de la fonction de répartition de la loi normale
centrée réduite. Cette technique s'appuit sur le fait que si X est une variable
aléatoire uniformément distribuée, à valeur dans l’intervalle [0;1] , la variable
−1
aléatoire Y = N ( x ) est distribuée selon une normale centrée réduite.
•
Inversion de Moro
La technique de Moro (1995) s'avère être d'une très grande précision.
L'approximation est faite en deux parties en fonction de la valeur de N ( x ) .
Soit y = N ( x ) − 0.5
Si y ≤ 0.42 , alors l'approximation proposée est égale à :
3
x = y⋅
∑a ⋅ y
2⋅i
∑b ⋅ y
2⋅i
i =0
4
j =0
Si en revanche
i
i
y > 0.42 alors l’approximation est obtenue, à ‘aide des
polynômes de Tchebychev, par la formule suivante :
c
⎡8
⎤
x = ε ⋅ ⎢∑ ci ⋅ Ti (t )⎥ − ε ⋅ 0
2
⎣ i =0
⎦
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Le 01/04/2004
Où
⎡
⎛
⎣
⎝
⎞⎞
⎠⎠
⎛1
⎝
⎤
ε est le signe de y et t = k1 ⋅ ⎢2 ⋅ ln⎜⎜ − ln⎜ − y ⎟ ⎟⎟ − k 2 ⎥
2
⎦
Le tableau suivant donne la valeur des coefficients ai , bi , ci , et k i
i
ai
0
1
2
3
4
5
6
7
8
bi
ci
2,50662823884
-18,61500625290
41,39119773534
-25,44106049637
1
-8,4735109309
23,08336743743
-21,06224101826
3,13082909833
⎡
Enfin, la fonction f (t ) = ⎢
⎤ c0
8
∑ c ⋅ T (t )⎥⎦ − 2
⎣
i =0
i
i
ki
7,71088707054878 0,417988642492643
2,77720135336851 4,2454686881376500
0,3614964129261000
0,0373418233434554
2,82971430369670E-03
1,625716917922E-04
8,0173304740E-06
3,8409198650E-07
1,29707170E-08
peut être approchée par l’algorithme
suivant :
Soit d10 et d 9 deux réels nuls.
Soit d i , les réels déterminées par : d i = 2 ⋅ t ⋅ d i +1 − d i + 2 + c j ⋅ d i pour i = 8,7,K,1
alors :
f (t ) = t ⋅ d1 − d 2 +
Page 70 sur 88
c0
2
Le 01/04/2004
1.3
Performances des méthodes de génération de
valeurs normalement distribuées
a) Performances temporelles
Pour 500 000 valeurs générées, voici les temps de calculs nécessaires pour 4
méthodes :
Mesure du Temps de génération
debut
fin
delta(min:sec)
Moro
05/03/2004 14:49:55
05/03/2004 14:49:58
00:03
Nb Valeurs : 500 000
Excel 2003
TCL
05/03/2004 14:49:58
05/03/2004 14:56:39
05/03/2004 14:56:39
05/03/2004 14:56:40
06:41
00:01
rejet polaire
05/03/2004 14:56:40
05/03/2004 14:56:42
00:02
La méthode qu’emploie Excel est présente ici à titre de comparaison, car elle
n’est malheureusement pas assez rapide, malgré des performances très
intéressantes (comme le montre le prochain tableau) : Elle recherche une
valeur x de sorte que LOI.NORMALE.STANDARD(x) = probabilité. Elle utilise
une technique de recherche grâce à 100 itérations.
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Le 01/04/2004
b) Performances pures : Qualité du résultat fourni
Inversion de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, et vérification
Excel
Valeurs aléatoires
valeurs médianes
Valeurs extrêmes (critiques)
u
inversion
Moro
erreur
inversion
0,1000000000000000000000
-1,281551566
0,1000000000000000000000
vérification
2,77556E-16
-1,2815516
0,1000000003979540000000
vérification
-3,97954E-09
erreur
0,0100000000000000000000
-2,326347874
0,0099999999999999000000
1,02349E-14
-2,3263479
0,0100000000025551000000
-2,55508E-10
0,0010000000000000000000
-3,090232306
0,0009999999999998900000
1,10155E-13
-3,0902323
0,0009999999994620980000
5,37902E-10
0,0001000000000000000000
-3,719016485
0,0000999999999975465000
2,45351E-11
-3,7190165
0,0001000000000497270000
-4,9727E-10
0,0000100000000000000000
-4,264890794
0,0000100000000076150000
-7,61503E-10
-4,2648908
0,0000100000000118339000
-1,18339E-09
0,0000010000000000000000
-4,753424341
0,0000010000000216781000
-2,16781E-08
-4,7534243
0,0000010000000730814300
-7,30814E-08
0,0000001000000000000000
-5,199337618
0,0000000999999999999995
4,76456E-15
-5,1993376
0,0000001000000191524930
-1,91525E-07
0,0000000100000000000000
-5,612001259
0,0000000100000000000001
-5,9557E-15
-5,6120012
0,0000000100000008726393
-8,72639E-08
0,0000020000000000000000
-4,611382362
0,0000019999999987252400
6,37378E-10
-4,6113824
0,0000020000001010878100
-5,05439E-08
0,0000005000000000000000
-4,89163848
0,0000005000000034005580
-6,80112E-09
-4,8916385
0,0000005000000409260960
-8,18522E-08
0,0000001250000000000000
-5,157701351
0,0000001250000000000000
0
-5,1577013
0,0000001250000260015900
-2,08013E-07
0,0000000312500000000000
-5,411497142
0,0000000312500000000001
-4,23516E-15
-5,4114971
0,0000000312500039641678
-1,26853E-07
0,0000000078125000000000
-5,654555629
0,0000000078125000000000
-1,05879E-15
-5,6545556
0,0000000078125006310775
-8,07779E-08
0,0000000019531250000000
-5,888115127
0,0000000019531250000000
-4,02341E-15
-5,8881151
0,0000000019531251047816
-5,36482E-08
0,0000000004882812500000
-6,113194466
0,0000000004882812500000
4,87044E-15
-6,1131945
0,0000000004882812680394
-3,69446E-08
0,0000000001220703125000
-6,330643639
0,0000000001220703125000
-5,0822E-15
-6,3306436
0,0000000001220703156692
-2,59623E-08
0,0000000000305175781250
-6,541180393
0,0000000000305175781250
6,98802E-15
-6,5411804
0,0000000000305175786790
-1,81537E-08
0,0000000000076293945313
-6,745417243
0,0000000000076293945313
-4,65868E-15
-6,7454172
0,0000000000076293946259
-1,24087E-08
0,0000000000019073486328
-6,943881797
0,0000000000019073486328
7,19978E-15
-6,9438818
0,0000000000019073486495
-8,75875E-09
0,2000000000000000000000
-0,841621234
0,2000000000000000000000
2,77556E-16
-0,8416212
0,1999999996290280000000
1,85486E-09
0,3000000000000000000000
-0,524400513
0,3000000000000000000000
0
-0,5244005
0,3000000002786370000000
-9,28789E-10
0,4000000000000000000000
-0,253347103
0,4000000000000000000000
2,77556E-16
-0,2533471
0,3999999999282780000000
1,79305E-10
0,5000000000000000000000
-1,39214E-16
0,5000000000000000000000
2,22045E-16
0
0,5000000000000000000000
0
0,6000000000000000000000
0,253347103
0,6000000000000000000000
0
0,2533471
0,6000000000717220000000
-1,19537E-10
0,7000000000000000000000
0,524400513
0,7000000000000000000000
1,58603E-16
0,52440051
0,6999999997213630000000
3,98053E-10
0,8000000000000000000000
0,841621234
0,8000000000000000000000
0
0,84162123
0,8000000003709720000000
-4,63715E-10
0,9000000000000000000000
1,281551566
0,9000000000000000000000
1,23358E-16
1,28155156
0,8999999996020460000000
4,42171E-10
0,0240623693117081000000
-1,97626529
0,0240623693117081000000
0
-1,9762653
0,0240623693133439000000
-6,79818E-11
-4,45197E-10
0,4178365483934810000000
-0,207431228
0,4178365483934810000000
0
-0,2074312
0,4178365485795010000000
0,0894225690141415000000
-1,344319359
0,0894225690141413000000
2,48309E-15
-1,3443194
0,0894225689584911000000
6,2233E-10
0,9189512374928240000000
1,398051758
0,9189512374928240000000
0
1,39805176
0,9189512374776290000000
1,65355E-11
0,4714335577295720000000
-0,071666753
0,4714335577295720000000
2,35499E-16
-0,0716668
0,4714335580813780000000
-7,46248E-10
0,8336624565344900000000
0,968739685
0,8336624565344900000000
0
0,96873968
0,8336624561540650000000
4,5633E-10
0,0243061641042443000000
-1,971976159
0,0243061641042444000000
-2,28383E-15
-1,9719762
0,0243061641057782000000
-6,31091E-11
0,4647065915413670000000
-0,088583171
0,4647065915413670000000
0
-0,0885832
0,4647065919417720000000
-8,6163E-10
0,9669499979111570000000
1,837744901
0,9669499979111570000000
0
1,8377449
0,9669499979135720000000
-2,4975E-12
0,6385367504681540000000
0,354550321
0,6385367504681540000000
1,7387E-16
0,35455032
0,6385367509034210000000
-6,81663E-10
0,2260305436843460000000
-0,751983324
0,2260305436843460000000
0
-0,7519833
0,2260305433798500000000
1,34715E-09
0,6434438712542060000000
0,367679461
0,6434438712542060000000
1,72544E-16
0,36767946
0,6434438716873350000000
-6,73141E-10
0,4760397285329480000000
-0,060095647
0,4760397285329480000000
0
-0,0600956
0,4760397288415760000000
-6,48324E-10
0,5927481059257260000000
0,234619867
0,5927481059257260000000
1,87301E-16
0,23461987
0,5927481058899670000000
6,03278E-11
0,1491770870192150000000
-1,039969278
0,1491770870192150000000
0
-1,0399693
0,1491770873515220000000
-2,2276E-09
0,1733064746964870000000
-0,941179365
0,1733064746964870000000
6,40613E-16
-0,9411794
0,1733064749396470000000
-1,40306E-09
0,9507869655487080000000
1,652532385
0,9507869655487080000000
1,16769E-16
1,65253239
0,9507869655535760000000
-5,11938E-12
0,9099120349277460000000
1,340213542
0,9099120349277460000000
0
1,34021354
0,9099120349157850000000
1,31453E-11
0,8534594722552880000000
1,051386627
0,8534594722552880000000
0
1,05138663
0,8534594719888260000000
3,12213E-10
0,1267702938019300000000
-1,141791762
0,1267702938019300000000
1,75155E-15
-1,1417918
0,1267702934163440000000
3,04161E-09
0,1519427455431260000000
-1,028136781
0,1519427455431260000000
0
-1,0281368
0,1519427459283160000000
-2,5351E-09
Page 72 sur 88
Le 01/04/2004
On observe un très grande précision des valeurs fournies par les deux
méthodes, avec néanmoins un avantage pour excel, qui globalement ne pêche
que par la lenteur de sa méthode.
c) Application au pricing d’une option standard
Comparaison de 3 méthodes différentes pour pricer une option sur un sousjacent de caractéristiques suivantes:
Volatilité (σ)
prix initial (V0)
Strike (K)
Duration (T)
3,0%
20,0%
100
110
2
par an
par an
€
€
année(s)
Option Européenne Classique
CALL
PUT
Nombre de Simulations : 90 000
Valeur exacte (Black&Scholes)
Résulat approché
9,740
9,735
€
€
erreur 0,049%
Résulat approché 9,825 €
erreur 0,873%
erreur 0,727%
Valeur exacte (Black&Scholes) 13,334 €
erreur 0,124%
erreur 0,729%
erreur 0,456%
Les résultats précédents incitent donc à choisir la méthode de Moro pour les
pricings à venir. Néanmoins, elle n’arrive pas systématiquement en tête de la
comparaison, même si ceci est fréquent.
Nous choisissons donc d’utiliser la méthode de Moro associée à un générateur
uniforme, car le biais de l’inversion de la loi normale est très faible, de l’ordre
de 10-10, ce qui permet donc réduire le biais global de la génération de valeurs
normales, au seul générateur de loi uniforme. Ceci qui présente un intérêt
considérable, inégalable par les autres méthodes précédemment abordées.
Page 73 sur 88
Moro
TCL
rejet
polaire
Le 01/04/2004
1.4
Comme
Cas des Options Path Dependent
déjà
dit
precedemment,
lorsqu'il
s'agit
d'évaluer
une
option
européenne « path-independent », seule la valeur de l'actif à l'échéance
compte. Pour cette raison, il suffit, de simuler N valeurs selon une loi normale
centrée réduite pour obtenir N valeurs du « pay-off » final de l'option. La
moyenne actualisée de ces N valeurs constitue une estimation du prix de
l'option.
L’exercice est bien plus complexe dans le cas des options path dependent, car
la valeur finale ne donne pas d’indications sur le comportement passé de
l’actif, comme le montre cet exemple :
102,5
102
101,5
101
100,5
100
99,5
99
98,5
98
02/01/2004 02/04/2004 02/07/2004 02/10/2004 02/01/2005 02/04/2005 02/07/2005 02/10/2005
Ainsi, dans ce cas d’une barrière « Down and Out », donc désactivante à la
baisse, l’option est annulée.
Il est donc primordial d’avoir une connaissance précise du comportement du
sous-jacent.
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Le 01/04/2004
L’approche naïve consiste a discrétiser la simulation, et à vérifier si les règles
d’existence ne sont pas contredites, dans le cas d’une barrière par exemple,
ou pour déterminer le pay-off, dans le cas d’une « lookback » ou d’une
asiatique. Néanmoins, ceci présente deux inconvénients majeurs : La période
d’étude doit être fractionnée en suffisamment de périodes pour minimiser le
risque de rater une forte variation de cours, et le temps de calcul est
considérablement augmenté par le nombre de périodes considérées. Dans la
pratique, cette technique réduit considérablement le nombre de simulations
pour un temps donné, et donne donc des résultats peu satisfaisants.
D’autres méthodes sont donc préférables, et passent notamment par
l’utilisation de ponts browniens pour calculer empiriquement la probabilité
d’atteindre une barrière enter deux valeurs de l’actif.
a) Ponts
Browniens :
Correction
de
la
probabilité
d’atteindre la barrière
Nous présentons ici le principe de correction de la probabilité d’atteinte
proposé par Andersen et Brotherton-Ratcliffe (1996) [6] dans le cas d’une
option de type down & out, et up & out :
La probabilité
ξ d’atteinte de la barrière est donnée par:
Down & Out
Up & Out
⎞ ⎛ ST ⎞
⎟⎟ ln ⎜
⎟
⎠ ⎝ B ⎠
σ 2 (T − t )
⎛ B
2 ln ⎜⎜
⎝ St
⎛ B
2 ln ⎜⎜
⎝ St
ξ = 1− e
ξ =e
⎞ ⎛ ST ⎞
⎟⎟ ln ⎜
⎟
⎠ ⎝ B ⎠
σ 2 (T − t )
Avec S t la valeur initiale du prix de l’actif (à la date t ) et S T sa valeur finale
(après une période de durée T − t ). On suppose que les deux valeurs sont
inférieures à la valeur B de la barrière.
L’obtention d’un « payoff » positif est conditionné par le non franchissement
de la barrière. Les auteurs proposent de pondérer le résultat de chaque
simulation par la probabilité d’atteinte de la barrière, c'est-à-dire générer un
aléa uniformément distribué sur l’intervalle ]0;1[ que l’on compare à ξ , ce qui
détermine si la barrière a été franchie, le cas échéant.
Page 75 sur 88
Le 01/04/2004
1.5
Génération de vecteurs aléatoires Gaussiens :
Décomposition de Choleski
Un vecteur aléatoire X = ( X 1 , X 2 , L , X n ) a une distribution multi-normale non
dégénérée s’il admet une densité de la forme :
f X (x ) =
où
1
(2 ⋅ π )
n
2
⋅ det (∑ )
1
2
⎡ 1
⎤
T
⋅ exp ⎢− ⋅ (x − µ ) ⋅ ∑ −1 ⋅( x − µ )⎥
⎣ 2
⎦
µ = (µ 1 , µ 2 , K , µ n ) est le vecteur des espérances des lois marginales et ∑
la matrice des variances-covariances, det (∑ ) son déterminant et ∑
−1
son
inverse.
On note ∑ :
⎛ σ 11 σ 12
⎜
σ 22
⎜σ
∑ = ⎜ 21
L L
⎜
⎜σ
⎝ n1 σ n 2
L σ 1n ⎞
⎟
L σ 2n ⎟
L L⎟
⎟
L σ nn ⎟⎠
σ ii représente la variance du rendement logarithmique de l’actif i et σ ij la
covariance des rendements des actifs i et j .
Où
Puisque ∑ est symétrique, défini positive, il existe, selon la décomposition de
Cholesky, une unique matrice triangulaire inférieure C telle que :
∑ = C ⋅CT
On note C :
⎛ c11
⎜
⎜c
C = ⎜ 21
L
⎜
⎜c
⎝ n1
0
c 22
L
cn2
L 0 ⎞
⎟
L 0 ⎟
L L⎟
⎟
L c nn ⎟⎠
On démontre que, si Z est un vecteur i.i.d. de loi commune N [0,1] , le vecteur :
X = C⋅Z + µ
A pour espérance
µ et pour matrice des variances-covariance ∑ .
Calcul de C :
Page 76 sur 88
Le 01/04/2004
Chaque composante du vecteur X peut d’écrire à l’aide d’une relation linéaire
en Z . Il vient :
X 1 = c11 ⋅ Z 1 + µ 1
1
Puisque Var ( X 1 ) = c11 = σ 11 , on a c11 = σ 112
2
X 2 = c 21 ⋅ Z 1 + c 22 ⋅ Z 2 + µ 2
Or : Var ( X 2 ) = c 21 + c 22 = σ 22
2
2
Et Cov ( X 1 , X 2 ) = σ 12 = E [c11 ⋅ Z 1 ⋅ (c 21 ⋅ Z 1 + c 22 ⋅ Z 2 )]
c 21 =
σ 12
c11
1
⎛
σ 2 ⎞2
= ⎜⎜ σ 22 − 12 ⎟⎟
σ 11 ⎠
⎝
et c 22
On montre que d’une manière générale :
j −1
c ij =
σ ij − ∑ c ik ⋅ c jk
k =1
1
j −1
⎛
⎞2
⎜⎜ σ jj − ∑ c 2jk ⎟⎟
k =1
⎝
⎠
Pour simuler un vecteur X d’une loi normale multivariée centrée en 0, il suffit
donc de générer un vecteur Z i.i.d. et de le multiplier par la matrice
tridiagonale C . Cette méthode s’avère utile pour la simulation de l’évolution
de produits dérivés dépendants de plusieurs actifs risqués.
Page 77 sur 88
Le 01/04/2004
2. VOLATILITE
La volatilité est la variable déterminante de l’évaluation des options.
On distingue deux concepts de volatilité :
•
la volatilité historique : qui n’est que la constatation ex post des
fluctuations passées des cours.
•
la volatilité implicite : qui est une prévision de marché par nature
tournée vers l’avenir.
2.1
Volatilité historique ou non conditionnelle
La volatilité historique est calculée à partir des cours passés de l’actif sousjacent. Les étapes de calcul de cette dernière passent avant tout par la
division des cours passés en périodes élémentaires.
Deux mesures de volatilité historique, simple et pondérée, peuvent être
utilisées.
•
La volatilité historique simple
Elle est évaluée au moyen d’un écart type annualisé des fluctuations
quotidiennes des taux de change passés, sur une fenêtre de 20 jours :
Vht =
1 20 2
⋅ ∑ Rt −i +1 ⋅ 250
20 i=1
⎛ St ⎞
⎟⎟ est le rendement de l’actif.
S
t
−
1
⎝
⎠
où Rt = ln⎜⎜
Cette mesure reflète la volatilité inconditionnelle des cours, c’est-à-dire qu’elle
ne permet pas d’isoler la partie de la volatilité passée anticipée sur la base de
l’information disponible. La volatilité historique est donc une mesure ex post
des variations du cours.
Elle est considérée comme une prévision de la volatilité future mais elle
souffre d’un inconvénient majeur. Une fenêtre de t jours est spécifiée dans le
calcul de la volatilité ; or ce choix peut apparaître entièrement arbitraire,
puisqu’il n’existe pas de tests statistiques permettant de déterminer une
fenêtre optimale. De plus, l’hypothèse que la volatilité calculée sur la base des
Page 78 sur 88
Le 01/04/2004
t jours précédents reste la même pour les t prochains jours peut apparaître
restrictive.
•
La volatilité historique pondérée
Cette seconde mesure assigne un poids plus élevé aux observations passées
les plus récentes. Les poids décroissent de façon exponentielle avec le temps.
L’idée sous-jacente de ce schéma de pondération est que le marché accorde
moins d’importance aux évolutions des cours les plus éloignées dans le temps.
Cette volatilité, sur une fenêtre d’un mois, est définie comme suit :
Vhpt =
1 20 2
⋅ ∑ Rt′−i+1 ⋅ 250 où R′ = w j ⋅ R 2j
20 i=1
La valeur du facteur de pondération est donnée par :
w j = λi −1 ⋅
1− λ
⋅ 20 Avec λ = 0.94 à l’échéance d’un mois (La valeur est tirée
1 − λ20
de JP Morgan’s Riskmetrics.)
2.2
Volatilité conditionnelle ou Garch
La volatilité historique ou inconditionnelle est la somme de deux composantes,
l’une anticipée l’autre non. Or, ce qui importe pour la prise de décision
financière des opérateurs est le niveau de la volatilité anticipée, qui constitue
une évaluation du risque ex ante. La mesure de la volatilité conditionnelle
issue des modèles économétriques de type Garch permet d’extraire cette
volatilité anticipée en ignorant la volatilité due à des événements de type «
news » ou chocs aléatoires. Cette mesure de volatilité permet donc
d’appréhender la volatilité, telle qu’elle est anticipée par le marché ex ante sur
la base de l’information disponible, liée à l’évolution passée de la volatilité. A
ce titre, elle peut être comparée à la volatilité implicite des options. De plus,
elle permet de mesurer l’effet de persistance propre aux séries financières : à
des périodes troublées, où de fortes variations des cours, positives ou
négatives sont susceptibles d’être suivies par des fluctuations de même
amplitude, succèdent des périodes calmes dans lesquelles prévalent de faibles
fluctuations des taux de change.
Ce type de modèle Arch, d’abord introduit par Engle (1982) et généralisé par
Bollerslev (1986), a fait l’objet de nombreuses études empiriques. La
spécification la plus répandue est le Garch(1,1) qui permet une représentation
assez générale des processus de volatilité conditionnelle.
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Le 01/04/2004
Rt = µ + ε t où ε t ≈ D(0, ht )
µ représente la pente d’une tendance temporelle déterministe du prix de
l’actif. Les erreurs sont non-auto corrélées sur la base de l’hypothèse de bruit
blanc, mais elles ne sont pas indépendantes, puisque liées par leur moment
du second ordre. Ce modèle fait dépendre la variance conditionnelle d’une
combinaison linéaire du carré des erreurs de prévision et de la variance
conditionnelle de la période précédente.
ht = α 0 + α 1 ⋅ ε t2−1 + β1 ⋅ ht −1
Cette équation modélise la variance conditionnelle des erreurs comme une
variable aléatoire. α 0 est une constante, α 1 est un coefficient liant la valeur
passée du carré des résidus au niveau courant de la variance ;
β1 est un
coefficient qui lie la variance courante à celle de la période précédente. Plus
α 1 + β1 est proche de 1, plus la persistance est élevée. Pour garantir la
α 0 > 0 et α 1 , β 1 ≥ 0 . La
condition α 1 + β 1 < 1 assure que la variance non conditionnelle des ε t est finie
positivité de la variance, les paramètres sont tels que
(Bollerslev, 1986) ; dans ce cas la variance non conditionnelle est égale à
α0
1 − α 1 − β1
Selon cette spécification, l’impact des chocs sur la variance conditionnelle est
symétrique ; ils sont supposés avoir un même effet, qu’ils soient positifs ou
négatifs. De plus, l’effet d’un choc sur la volatilité courante se réduit de
manière géométrique dans le temps. Deux caractéristiques indésirables des
modèles Garch peuvent apparaître : une variance conditionnelle intégrée et
des résidus standardisés non normaux (Hsieh, 1989). Puisque les modèles
Garch(1,1) appliqués aux taux de change connaissent une persistance
particulièrement forte dans la variance conditionnelle, le modèle Igarch(1,1)
de Engle et Bollerslev (1986) est testé également à des fins prédictives
(Lopez, 1995). Dans ce modèle intégré en variance ( α 1 + β 1 = 1 ), l’importance
des variances passées et des erreurs de prévision ne décroît pas avec le
temps ; un choc sur la variance conditionnelle actuelle se répercute sur toutes
les valeurs futures prévues. Il ne peut donc pas y avoir de phénomène de
retour à la moyenne de la variance conditionnelle. En outre, la variance non
conditionnelle n’est pas définie.
ht = α 0 + α 1 ⋅ ε t2−1 + (1 − α 1 ) ⋅ ht −1
Pour répondre aux deux problèmes mentionnés, d’autres densités sur les
erreurs peuvent être proposées, comme la distribution t de Student ou la
distribution de l’erreur généralisée (GED), et une autre spécification de la
Page 80 sur 88
Le 01/04/2004
variance conditionnelle de type Garch asymétrique peut être envisagée
(Nelson, 1991 ; Higgins et Bera, 1992 ; Glosten, Jagannathan et Runkle, 1993
; Ding, Granger and Engle, 1993). L’impact asymétrique des chocs sur la
variance conditionnelle a été mis en évidence par Black (1976) et confirmé
par French, Schwert et Staumbaugh (1987). Hsieh (1989) montre que le
garch exponentiel s’ajuste bien mieux au séries de taux de change que le
simple Garch(1,1), tandis que Engle et Ng (1993), comparant l’asymétrie des
réponses aux news de différentes spécifications de la variance conditionnelle,
montrent que la variabilité de la variance conditionnelle issue du modèle
Egarch est trop élevée. Parmi les modèles Garch asymétriques, le modèle
Garch exponentiel de Nelson a souvent été utilisé pour tester l’efficience
informationnelle
du
marché
des
options.
Les
prévisions
issues
d’une
spécification Egarch(1,0) sont ainsi comparées à la volatilité implicite dans le
prix des options de change de Philadelphie (Xu et Taylor, 1995). Day et Lewis
(1992) confrontent le pouvoir prédictif de la volatilité implicite sur l’indice S&P
100 avec les prévisions issues d’un Egarch(1,1). Le problème
soulevé par
cette étude est que l’horizon de prévision hebdomadaire du modèle diffère de
l’échéance des options, ce qui biaise les résultats de leurs tests. Les tests
conduits à partir d’un modèle Egarch (1,0) et Egarch(1,1) dans cet article
évitent cette incohérence des horizons de prévision. Le modèle Garch
exponentiel fait dépendre le logarithme de la variance conditionnelle de celui
de la période précédente, des chocs standardisés en (t-1) et de l’écart entre la
valeur absolue des chocs standardisés et leur espérance en (t-1).
2.3
Volatilité implicite
La volatilité historique intègre l’information passée sur le cours de l’action
sous-jacente mais elle est souvent instable et elle n’est pas la meilleure
estimation de la volatilité anticipée. C’est la raison pour laquelle les traders
préfèrent utiliser les volatilités implicites qui sont disponibles sur les réseaux
Reuter ou Telerate etc.…
Page 81 sur 88
Le 01/04/2004
CONCLUSION
Page 82 sur 88
Le 01/04/2004
De nos jours, la volatilité des marchés financiers est devenue une norme.
Dans
un
contexte
de
mondialisation
des
échanges
de
capitaux,
cet
environnement économique instable oblige les entreprises à gérer leurs
risques de façon plus dynamique.
Le développement des produits dérivés a d'abord été une réponse aux
demandes des investisseurs en matière de gestion du risque et de protection
contre les fluctuations du marché. La croissance et le succès du marché des
options reposent principalement sur deux raisons. D'une part, les techniques
de
gestion
traditionnelle
de
couverture
du
risque
apparaissent
trop
contraignantes et d'autre part, la grande souplesse d'utilisation des options
permettent une multitude de stratégies de couverture, de spéculation et
d'arbitrage - critère indispensable à tout succès d'un nouveau marché -,
appliquées à tout actif sous-jacent, pour répondre exactement à la demande
de chaque investisseur.
De plus, l’une des spécificités majeure des options (de première génération)
et des options exotiques (de seconde génération) est la possibilité de réaliser
des opérations importantes en engageant des capitaux limités. L'effet de
levier de ces options est tel que les résultats sont étonnement important par
rapport aux fonds engagés.
Nous avons présenté dans ce mémoire, plusieurs facettes des options
exotiques. Notre examen des options exotiques, réparties en deux grandes
parties (non path dependent et path dependent) offre un récapitulatif précis
notamment sur les éléments de « pricing » de ces options. Nous avons par la
suite réalisé une simulation des principales options afin d’apporter un œil
critique sur ces dernières.
Il ne fait aucun doute que les options constituent une boîte à outils
incontournable pour tous les professionnels des marchés, dans un contexte de
sophistication
croissante
des
placements
financiers.
Les
investisseurs
devraient rapidement prendre conscience du choix sans limite de ces
instruments sur mesure, leur permettant de gérer très précisément leurs
anticipations en terme de risque et de rentabilité espérée.
Bénéficiant de la créativité des bureaux de recherche des établissements
financiers et de l'innovation des marchés, les entreprises et les gérants de
fonds peuvent recourir aujourd'hui, pour gérer un risque ou prendre position
sur un actif
donné,
à une panoplie d'instruments
flexibles
dont les
particularités ne sont limitées que par l'imagination de leurs utilisateurs.
Ce mémoire de fin d’étude nous a beaucoup apporté, tant sur le plan
intellectuel que sur le plan de l’intérêt personnel. En effet, nous avons pu au
Page 83 sur 88
Le 01/04/2004
travers de nos
recherches et lectures, découvrir l’univers des options de la
finance de marché, options qui de plus en plus utilisées par les principaux
acteurs de ces marchés. De plus, nous intéressant aux options comme les
warrants pour notre gestion personnel de portefeuille, nous avons pu mieux
assimiler les mécanismes d'évaluation et d'utilisation.
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REFERENCES
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[1]
MUSIELA
&
RUTKOWSKI
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[2] Alain RUTTIENS « Manuel des produits dérives », Edition ESKA,
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[3] Florin AFTALION « Marché des changes et des produits dérivés »,
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[4] Robert Sedgewick « Algorithms Addison Wesley »
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[5] Donald E. Knuth « The Art of Computer Programming Vol. 2 »
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[6] Andersen L., Brotherton-Ratcliffe R., (1996) « Exact Exotics. Risk 9,
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[11] GEMAN H. et YOR M., «Bessel Processes, asian options, and
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GLOSSAIRE
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Premium
C’est la prime d’une option. Elle correspond au prix auquel une option
s'achète ou se vend.
Effet de levier
L'effet de levier explique le taux de rentabilité comptable des capitaux
propres en fonction du taux de rentabilité après impôt de l'actif
économique (rentabilité économique) et du coût de la dette. Par définition,
il est égal à la différence entre la rentabilité des capitaux propres et la
rentabilité économique. Lorsqu'il est positif, le recours à l'endettement a
permis d'augmenter la rentabilité des capitaux propres de l'entreprise. En
revanche, lorsque la rentabilité économique est inférieure au coût de
l'endettement, l'effet de levier joue négativement ! De plus, celui-ci reste
(en principe) une tautologie comptable qui ne doit pas faire oublier que le
recours à l'endettement augmente le risque lié aux capitaux propres, et ne
crée pas au total de valeur.
Dans la monnaie
On dit qu'une option d'achat (respectivement de vente) est dans la
monnaie
lorsque
le
cours
de
l'actif
sous-jacent
est
supérieur
(respectivement inférieur) au prix d'exercice. (Valeur intrinsèque positive).
En dehors de la monnaie
On dit qu'une option d'achat (respectivement de vente) est en dehors de la
monnaie
lorsque
le
cours
de
l'actif
sous-jacent
est
inférieur
(respectivement supérieur) au prix d'exercice. (Valeur intrinsèque nulle).
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Options Exotiques Projet De Fin D`étude

Transcription

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