Poutres.

Université
Paul
Sabatier
Master 1. Conception et Calcul de Structures.
Toulouse III
Poutres.
Michel SUDRE
Notes de Cours.
http://www.mecaero.ups-tlse.fr/Calcul.html
Jan 2014
Poutres
M SUDRE
Chap1: Rappels d’Elasticité.
1 Contraintes
1.1 vecteur contrainte
Considérons à l’intérieur d’un solide, en un point P, un petit cube de dimensions infinitésimales dont les faces sont perpendiculaires aux axes du repère ( x , y , z ).
z
z
z
C
τxy
P,x
dfx
τxz
P
x
dSx
y
x
y
σx
x
y
La matière extérieure exerce, sur le petit cube isolé, des efforts élémentaires qui sont
différents sur chacune des 6 faces. Ils sont notés dfn ( n représentant la normale à la
face). Par exemple sur la face de normale x de surface dSx s’exerce dfx .
Par définition, le vecteur contrainte agissant sur la face de normale x est:
C
=
P,x
dfx
.
dSx
La contrainte s’exprime donc en N/m2. On utilise plus généralement le MPa (N/mm2).
Pour un point P donné, il existe donc un vecteur contrainte différent pour chaque face
considérée.
Exprimons dans la base ( x , y , z ) le vecteur contrainte CP,x agissant sur la face de normale x .
Sa composante suivant x est la projection suivant la normale à la face.
On l’appelle contrainte normale et on la note σx .
σx>0 correspond à une sollicitation de tension.
Une contrainte σx<0 correspond à une sollicitation de compression.
Une contrainte
Les composantes suivant y et z sont appelées contraintes tangentielles et sont
notées τxy et τxz. Le signe des composantes τxy et τxz ne permet aucune interprétation physique.
De façon identique, CP,y et CP,z sont définis sur les faces de normales y et z .
2
Poutres
M SUDRE
On remarque que les 3 contraintes normales sont affectées d’un seul indice qui fait
référence à la facette.
Les contraintes tangentielles sont affectées de 2 indices: le premier qui fait référence
à la facette, le second qui fait référence à la composante.
1.2 matrice des contraintes
Si on ’range’ dans une matrice les 3 vecteurs contraintes CP,x , CP,y , CP,z agissant sur
les 3 faces de normales +x , +y , +z , on obtient [σ]P: matrice des contraintes en P.
σx
[σ]P=
τxy
τxz
τyx
σy
τyz
τzx
τzy
σz
Les équations traduisant l’équilibre des moments agissant sur le petit cube élémentaire conduisent à montrer que: τyz=τzy , τzx=τxz , τxy=τyx.
La matrice [σ]P est donc symétrique.
On en conclut qu’elle ne contient que 6 termes indépendants. On peut montrer que
ces 6 informations suffisent à caractériser l’état de contraintes en P.
Ainsi, si on veut calculer le vecteur contrainte CP,u agissant en P sur une facette de
normale u quelconque, il suffit de multiplier la matrice [σ]P par le vecteur unitaire u
exprimé dans la base ( x , y , z ): CP,u = [σ]P x u
La contrainte normale agissant sur cette facette de normale u sera ensuite obtenue en projetant CP,u sur u :
σu = ([σ]P x u ).u
τuv agissant sur cette facette de normale
τuv= ([σ]P u ).v
u est calculée en projetant CP,u sur v :
La contrainte de cisaillement
direction v
u dans la
x
1.3 condition aux limites
z
Considérons à la frontière du solide:
f
P
-un point P où s’exerce un effort f par unité de surface
-une facette tangente en P à la frontière et de normale z .
x
en P, on peut poser CP,z = f .
3
y
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1.4 état plan de contraintes
Considérons à la frontière du solide:
z
-un point P où ne s’exerce aucune sollicitation
P
-une facette tangente en P à la frontière et de normale z .
x
y
Si aucune sollicitation extérieure ne s’exerce en P, on peut poser CP,z = 0 .
La matrice des contraintes [σ]P prend alors la forme particulière suivante:
σx
τxy
[σ]P=
0
τyx
0
σy
0
0
0
Il s’agit d’un état plan de contraintes.
Cette situation se rencontre lors du dépouillement de jauges de déformations, les jauges étant collées à la surface libre d’un solide.
Dans le plan ( x , y ), calculons
σx
C =
P,u
τyx
τxy σy
0
0
0
0
0
C
P,u
σu = ([σ]P x u ).u
,
τuv= ([σ]P u ).v
et
x
v
cos(α)
x
:
u
sin(α)
0
α
y
σu= σx.cos2(α)+σy.sin2(α)+2τyx.sin(α)cos(α)
P
x
τuv=(σy-σx).sin(α)cos(α)+τyx.(cos2(α)-sin2(α))
Cherchons les valeurs de α telles que τuv=0. Ce sont les directions des fibres qui ne
subissent pas de cisaillement. En utilisant l’arc double, on obtient:
τuv= σy-σx .sin(2α) +τyx.cos(2α)
2
τuv = 0
tan(2α)=
On obtient 2 directions perpendiculaires.
4
2τyx
σx-σy
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Cherchons les valeurs de α telles que σu est mini ou maxi. Pour cela, dérivons par
rapport à α et posons que cette dérivée est nulle.
On trouve à nouveau tan(2α)=
2τyx
σx-σy .
Les 2 directions correspondantes sont appelées directions principales de contrainte.
Les contraintes normales agissant dans ces directions sont appelées contraintes principales. Ce sont les contraintes "minor" et "major".
1.5 contraintes principales
Revenons au cas général. Il existe en tout point P une base (u1,u2,u3) dans laquelle la
matrice [σ]P s’écrit sous forme diagonale:
[σ]P=
σ1
0
0
0
σ2
0
0
0
σ3
Les 3 directions perpendiculaires définies par u1, u2 et u3 correspondent en P aux
facettes qui subissent une contrainte normale pure (pas de composante tangentielle).
Les contraintes normales σ1 ,σ2 ,σ3 agissant sur ces facettes sont les 3 contraintes
principales.
1.6 cercle de Mohr:
Plaçons nous dans la base principale définie précédemment.
Considérons une fibre de direction n située dans le plan formé par u1 et u2.
u2
n
α
u1
P
t
On désigne par α l’angle que fait cette fibre de direction n avec u1. σ est la contrainte
normale agissant sur cette fibre. On pose la convention suivante:
La contrainte tangentielle
τ agissant sur cette fibre de direction
n doit être mesu-π
rée suivant la direction t qui se déduit de n par une rotation de 2 autour de u3.
On obtient ainsi pour chaque valeur de α un couple de valeurs (σ,τ) et il est aisé de
5
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montrer que:
σ= σ1 + σ2
τ=
σ1 - σ2
+
2
2
σ1 - σ2 .sin(2α)
2
.cos(2α)
Plaçons nous dans le plan (σ,τ). Les relations précédentes représentent l’équation
τ
σ1 + σ2 , 0 )
2
τ
σ2
et de rayon R=
σ1 - σ2
2
.
σ1 -
σ2
te
an
ult
rés
2
paramétrée d’un cercle de centre (
σ1+σ2
2
2α
σ
σ
σ1
C’est le cercle de Mohr des contraintes. Comme on le voit sur la figure, ce cercle
est centré sur l’axe des σ. Chaque point sur ce cercle correspond à une facette de
normale n .
Les 2 points représentatifs des directions principales sont diamétralement opposés.
π
Ils correspondent dans la réalité à des fibres distantes de Θ= 2 alors qu’ils sont distants de π sur le cercle.
Les angles sont doublés quand ils sont mesurés sur le cercle.
Soit un état plan de contraintes défini par le tenseur [σ]P dans les axes ( x , y ):
σx
τyx
0
0
τxy σy
0
0
0
Cherchons à tracer le cercle de Mohr.
-le point représentatif de la direction x a pour coordonnées:
−τxy
σx
-le point représentatif de la direction y a pour coordonnées:
+τyx
σy
6
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Une fois que ces 2 points ont
été rapportés dans le plan, il
suffit de les joindre par un
segment pour obtenir le centre C du cercle.
+τyx
τ
y
σy
σ2
Il reste à tracer le cercle puis
à lire les valeurs σ1 et σ2.
Les directions des fibres principales sont données par les
angles ( α entre x et u1).
C
σx
σ1
σ
2α
−τxy
x
En suivant le même raisonnement dans les plans (u2 , u3) et (u3 , u1), on obtient 2
autres cercles. La figure est nommée tricercle de Mohr des contraintes.
τ
e
nt
ta
ul
s
ré
σ3
σ2
σ1
σ
On montre que pour une fibre quelconque, le point (σ,τ) est situé dans la zone
colorée limitée par les 3 demi-cercles.
Si la fibre considérée est perpendiculaire à une direction principale alors le point
(σ,τ) correspondant est sur l’un des 3 demi-cercles.
Si la fibre considérée correspond à l’une des directions principales, le point est à
l’intersection de 2 demi-cercles ce qui correspond aux valeurs principales σ1 ,σ2 ou
σ3.
7
Poutres
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2 Déformations
2.1 matrice de déformation
On s’intéresse à la déformation de la matière en P (x,y,z).
dx
On montre que si Q est infiniment voisin de P ( PQ = dy ) alors il existe la relation suidz
vante entre les déplacements de ces 2 points:
u(Q) = u(P) + Ω ^ PQ + [ε]P x PQ .
(1)
(2)
Le premier terme (1) correspond à un déplacement d’ensemble (changement de
place). On reconnait une relation de type ’torseur des petits déplacements’.
Le second terme (2) correspond à une déformation (changement de forme) de la
matière au voisinage de P.
La matrice [ε]P est la matrice des déformations en P.
[ε]P=
εx
εxy
εxz
εyx
εy
εyz
εzx
εzy
εz
Cette matrice est symétrique.
u
Les termes de [ε]P s’expriment en fonction du déplacement u(P) = v par les relations:
w
εx =
εy=
εz=
εyz=εzy= 12 (
εzx=εxz= 12 (
εxy=εyx= 12 (
u
x
v
y
w
z
v+
z
w+
x
u+
y
w)
y
u)
z
v)
x
Cherchons à interpréter physiquement les termes de [ε]P .
y
o
α
π/2
x
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εx, εy et εz sont les dilatations relatives.
Pour comprendre ce que représente εx, il faut tracer sur la pièce non déformée un
Sur la diagonale,
petit segment de longueur
o
dans la direction de x.
A l’application des efforts, le petit segment subit un changement de place et un changement de longueur (
o
).
On ne s’intéresse qu’à ce changement de longueur:
εx =
-
o
.
o
Pour calculer la dilatation linéaire dans une direction u quelconque, il suffit de multiplier la matrice [ε]P par l’unitaire u puis de projeter le résultat sur u :
εu = ([ε]P u ).u
x
εyz, εzx et εxy sont des distorsions.
Pour comprendre ce que représente εxy, il faut tracer sur la pièce non déformée une
Hors de la diagonale,
petite croix dont les axes sont dans les directions de x et de y.
A l’application des efforts, la petite croix subit un changement de place et une distorsion. L’angle initialement égal à π/2 vaut α.
On ne s’intéresse qu’à la distorsion angulaire: 2εxy =
π/2 - α
.
2.2 déformations principales
La matrice [ε]P étant symétrique, il existe une base (u1,u2,u3) dans laquelle elle s’écrit
sous forme diagonale.
Les 3 directions perpendiculaires définies par u1,u2,u3 sont en P les 3 directions de distorsion nulle.
2.3 variation relative de volume
Considérons un petit cube de côté ∆ dont les arêtes sont parallèles aux directions
principales définies par u1,u2,u3. Après déformation, ses dimensions deviennent:
(1+ε1)∆ suivant u1, (1+ε2)∆ suivant u2 et (1+ε3)∆ suivant u3.
La variation de volume vaut donc: (1+ε1)(1+ε2)(1+ε3)∆3 - ∆3
(ε1+ε2+ε3)∆3
Donc la variation relative de volume δV = ε1+ε2+ε3. C’est la trace du tenseur de
V
déformation. Elle est indépendante du repère.
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2.4 partie sphérique, partie déviatrice
Considérons le tenseur [ε]P exprimé dans la base principale: (u1,u2,u3).
[ε]P peut être décomposé en une partie sphérique [εs] (variation de volume sans
changement de forme) et une partie déviatrice [εd] (changement de forme sans
variation de volume).
[εs]=
ε1+ε2+ε3
3
1
0
0
0
1
0
0
0
1
et [εd]=
3
1
2ε1-ε2-ε3
0
0
2ε2-ε3-ε1
0
0
0
0
2ε3-ε1-ε2
Remarquons que la trace de [εs]=ε1+ε2+ε3 et que la trace de [εd]=0.
3 Lois de comportement
Pour un matériau linéaire isotrope, il existe des relations (appelées Lois de comportement) entre déformations et contraintes faisant intervenir 3 coefficients caractéristiques du matériau:
le module de Young E [MPa],
le coefficient de Poisson ν [sans dimension],
le coefficient de dilatation thermique α [°C-1].
L
Le module de Young E [MPa] et le
coefficient de Poisson ν sont obtenus
par un essai de traction uniaxial.
F
F
S
x
Quand la force F croît à partir de 0, les fibres parallèles à F subissent un allongement
L - Lo
F
relatif εx =
proportionnel à σx= . On pose σx= E.εx
Lo
S
Dans les directions perpendiculaires, on remarque que: εy = εz = -ν εx
σx
limite élastique
issue de l’essai de traction
Re
...........
E
domaine élastique
0
10
εx
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Valeurs usuelles:
Matériau
E [GPa]
ν [sans dimension]
α [°C-1]
Acier
Alliage d’alu
210
70
0.3
0.3
15 10-6
25 10-6
Les 4 causes provoquant une dilatation
εx d’une fibre de direction x sont:
σx dans cette direction . C’est la loi de Hooke.
(2) la présence d’une contrainte σy par effet Poisson.
(3) la présence d’une contrainte σz par effet Poisson.
(1)
la présence d’une contrainte
(4)
une variation de température ∆T.
On écrit par superposition:
εx = σE x - ν σE y - ν σE z + α ∆T
(1)
(2)
(3)
(4)
On obtient de manière analogue:
εy = σE y - ν σE z - ν σE x + α ∆T
εz = σE z - ν σE x - ν σE y + α ∆T
Pour les relations entre cisaillement et distorsion angulaire:
2εyz = τyz
G
τ
2εzx = zx
G
τ
2εxy= xy
G
E
module de cisaillement
avec G =
2(1+ν)
4 Energie élastique
Considérons un petit cube de dimensions infinitésimales ( 0 ). dSx représente l’aire des
faces de normale x . La face arrière est supposée bloquée. La face avant est libre et
sous l’effet d’un effort dfx appliqué suivant x , elle se déplace de "du"( 1 ).
force
dfx
dSx
1
dfx
dx
0
x
dx+du
1
x
déplacement
0
du
L’effort ayant été appliqué progressivement, le travail effectué pour passer de
0
à
1
est: 1 . dfx.du . Ce travail s’est transformé sous forme d’énergie élastique accumulée
2
11
Poutres
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dans le petit cube :
dW=
1 . df .du
1
= .
x
2
2
σxdSx . εxdx
= 1.
2
σxεx . dv
Ce résultat reste valable si la face arrière est libre.
En considérant de même les faces de normales y et z , on montre que l’énergie totale
associée aux contraintes normales est
dW= 1 . (σxεx+ σyεy+ σzεz). dv
2
Ce résultat montre que dans le repère principal (u1,u2,u3), l’énergie élastique par unité
de volume s’écrit:
dW 1 . (σ ε + σ ε + σ ε )
1 1
2 2
3 3
=
2
dv
En repère non principal, il faut ajouter la contribution du cisaillement:
dW 1 . (τ .2ε + τ .2ε + τ .2ε )
=
yz
yz
zx
zx
xy
xy
2
dv
5 Contrainte équivalente de Von Misès
Considérons la partie sphérique [εs] (variation de volume sans changement de forme)
et une partie déviatrice [εd] (changement de forme sans variation de volume):
[εs]=
ε1+ε2+ε3
3
1
0
0
0
1
0
0
0
1
ε
1
et [ d]=
3
0
2ε1-ε2-ε3
0
2ε2-ε3-ε1
0
0
0
0
2ε3-ε1-ε2
L’énergie de déformation par unité de volume calculée sur la partie sphérique prend
donc la forme suivante:
dW
= 1.
dv s 2
σ1+σ2+σ3
.
ε1+ε2+ε3
3
1-2ν .
= 1.
2 3E
σ1+σ2+σ3
2
Or l’énergie de déformation complète par unité de volume s’écrit:
dW 1 . 1 .
=
2 E
dv
σ12+σ22+σ32 - 2ν.(σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1)
Donc il est possible d’obtenir par différence l’énergie calculée sur la partie déviatrice:
dW
= 1 . 2(1+ν) .
dv d 2
3E
σ12+σ22+σ32 -σ1σ2 -σ2σ3 -σ3σ1
12
(1)
Poutres
M SUDRE
Le critère de Von Misès est un critère énergétique.
Il consiste à borner l’énergie de déformation calculée sur la partie déviatrice. En effet,
on montre que l’écoulement plastique se produit quand cette énergie de déformation
calculée sur la partie déviatrice atteint une valeur seuil.
Pour calculer ce seuil, prenons comme référence un essai de traction uniaxiale d’axe u1:
σ1=σeq
σ2 = σ3 = 0.
et
Dans ce cas, l’énergie de déformation par unité de volume calculée sur la partie
déviatrice est:
dW
1 2(1+ν) . σ 2
= .
(2)
eq
dv d 2
3E
Si on désigne par Re la limite élastique issue de cet essai de traction, on vérifie que le
seuil de plastification est atteint quand: σeq = Re .
En identifiant
(1)
et
(2)
(traduisant ainsi l’égalité des seuils critiques), on obtient:
σeq2= σ12+σ22+σ32 -σ1σ2 -σ2σ3 -σ3σ1
ou encore:
2σeq2= (σ1-σ2)2 + (σ2-σ3)2 + (σ3-σ1)2
La limite élastique est atteinte localement quand
σeq = Re
Les programmes de calcul permettent d’afficher les cartes des champs de contraintes
sous forme d’isovaleurs colorées. Les cartes donnant la variation des composantes de
contrainte (σx ,σy ...) ne donnent qu’une image partielle et ne permettent aucune
interprétation sur les risques de dépassement de Re.
De plus elles dépendent du repère dans lequel ces composantes sont exprimées.
La contrainte équivalente de Von Misès est une combinaison de ces composantes et ne
dépend pas du repère.
Seule la carte de la contrainte équivalente de Von Misès permet de conclure sur la zone
soumise au risque de plastification.
13
Poutres
M SUDRE
Chap2: Poutres.
1 Définitions et Hypothèses
1.1 définitions
Une poutre est définie par une courbe (C) (la ligne moyenne) et par une section droite
(S) perpendiculaire à (C) dont le centre géométrique G décrit la ligne moyenne:
amont
aval
(C)
+
G
(S)
O
Nous supposerons que le rayon de courbure de (C) est grand et que la forme de la
section ne varie pas.
Une origine O, un sens de parcours et une abcisse curviligne
sont mis en place.
La section droite de centre G et d’abcisse sépare la partie amont (tronçon de poutre situé avant G) et la partie aval (tronçon de poutre situé après G), conformément
au sens de parcours.
Le système de coordonnées (O, , , ) est le repère global dans lequel seront exprimés les déplacements.
Un autre système de coordonnées (G, x , y , z ) est défini. C’est le repère local que nous
allons préciser:
G est le centre géométrique de la section.
x est tangent en G à la ligne moyenne dirigé dans le sens positif,
y et z sont les directions principales de la section droite (S).
Y
Y
x
G
+
x
Z
Z
(S)
( S)
Les contraintes seront exprimées dans ce repère.
14
G
Poutres
M SUDRE
Comment trouver les directions principales?
quand la section possède un axe de symétrie, G est sur cet axe et l’axe définit une
direction principale.
sinon: exemple d’une cornière à ailes inégales:
Y
Z
G
G
(S)
Dans des axes arbitrairement choisis ( , ), on cherche les coordonnées de G.
On calcule ensuite dans ces axes centrés en G la matrice des moments quadratiques:
2
dS
(S)
dS
(S )
dS
dS
-
élément surfacique.
2
dS
(S )
(S )
Les directions ( y , z ) recherchées sont les directions principales de cette matrice.
Les valeurs propres sont les moments quadratiques principaux: Iy= z2dS et Iz= Y 2dS .
(ϖ )
(S )
1.2 contraintes
Dans les axes ainsi définis, considérons dans la section droite (S) un point P(Y,Z). En
ce point s’exerce un vecteur contrainte CP,x agissant sur la face de normale x . Sa
composante suivant x est la contrainte normale
sont
τXY et τXZ. Le
vecteur
σx. Les composantes suivant
Y
et Z
τ = τXY y + τXZ z est le vecteur cisaillement.
y
amont
τXY
τ
τXZ
z
P
σx
G
x
( S)
Hypothèse fondamentale: on considère que, dans les zones courantes (loin des
liaisons et loin des points d’application des efforts), les autres composantes: σY, σZ et
τYZ
sont négligeables devant
σX, τXY et τXZ.
15
Poutres
M SUDRE
La matrice des contraintes [σ]P prend donc la forme particulière suivante:
τ
τ
XY
0
0
XZ
0
0
σx
[σ]P=
τ
τ
YX
ZX
1.3 torseur des efforts intérieurs
Nous allons exprimer sur la section droite (S), le torseur écrit en G des efforts dus
au champ des contraintes
σx, τXY et τXZ.
(yτXZ - zτXY) dS = Mx
σX dS = N
(S )
C
(S )
P,x
dS
=
(S )
τ
XY dS
τ
XZ dS
=
(S )
=
(S )
TY
GP^ C
(S )
P,x
dS
=
zσX dS = MY
(S )
-yσX dS = MZ
TZ
(S )
C’est le torseur des efforts intérieurs ou torseur de cohésion en G.
La composante sur X de la résultante est notée N : effort Normal .
Les composantes sur Y et Z de la résultante sont notées TY et TZ : efforts Tranchants.
La composante sur X du moment en G est notée Mx : moment Longitudinal.
Les composantes sur
Flexion.
Y
et
Z
du moment en G sont notées MY et MZ : moments de
En pratique, le calcul de ces composantes N , TY , TZ , MX , MY et MZ va s’effectuer
directement à partir des efforts exercés en aval (ou en amont) de la section considérée.
En effet, si on isole la partie amont, elle est en équilibre sous l’effet:
-du torseur des efforts intérieurs sur la section de centre G,
-du torseur de tous les efforts (connus ou de liaison) exercés en amont.
donc: torseur en G des efforts intérieurs
+ torseur en G des efforts exercés en amont = torseur nul.
torseur en G des efforts intérieurs
On en déduit que:
= - (torseur en G des efforts exercés en amont )
= + (torseur en G des efforts exercés en aval )
16
Poutres
M SUDRE
2 Effort Normal et Moments de Flexion
2.1 contraintes et déformations
Dans ce cas:
C
( S)
P,x
dS
=
σx dS x
=
N x et
GP^ C dS =
P,x
(S )
(S )
zσx dS
Z +
-yσx dS Z = MY
(S )
(S )
Y +
MZ
Z
La matrice des contraintes [σ]P prend la forme particulière suivante:
[σ]P=
σx
0
0
0
0
0
0
0
0
Si MY =0 et MZ =0 , alors la poutre travaille à l’effort normal pur.
La section droite subit une translation d’ensemble u suivant x :
y
u
P
σx = N
G
z
S
x
(S)
Chaque fibre de direction x subit le même allongement
identique en tout point P(y,z). On obtient:
σx = N
S
et
εx. La contrainte σx est donc
εx = du = N
dX
ES
.
L’énergie élastique s’écrit:
2
dW 1 . (σ ε )
1 N
=
x x = . 2
2 ES
2
dv
2
dW
1 N
= .
2 ES
dX
par unité de volume:
par unité de longueur de poutre:
Pour une poutre droite d’axe
et de longueur L, chaque tranche d’épaisseur d subit
17
Poutres
M SUDRE
une variation de longueur
εxd
. Donc la variation totale de longueur est:
L
L
εxd
0
Si N =0 et MY =0
Nd
=
0
ES
, alors la poutre travaille en flexion pure dans le plan XY.
La section droite (S) subit une rotation d’ensemble Θz autour de z :
Y
u
P
P
Y
σx
Θz
x
(S)
Chaque point P, situé à une distance Y de la fibre moyenne, subit (dans l’hypothèse
des petits déplacements) un déplacement u= - YΘz suivant x .
La déformation en P de la fibre de direction x et de cote Y est donc
La contrainte
σx
z.
εx= - Y dΘ
dx
qui règne en P dans cette fibre vaut: -E Y dΘz .
dx
On remarque que
σx
est une fonction linéaire de Y.
Si on calcule le moment Mz par
dΘz
Mz = E
dx
-Yσx dS , on obtient:
(S )
2
Y dS = E dΘz Iz
(S )
d’où
dx
σx=
Mz
Iz Y .
L’énergie élastique s’écrit:
2
dW 1 . (σ ε )
1 Mz 2
Y
=
x x = .
2 EI 2
2
dv
z
2
M
dW
1
= . z
2 EI
dx
z
par unité de volume:
par unité de longueur de poutre:
Pour une poutre droite d’axe
, on désigne par v( ) la translation d’ensemble suivant
y de la section droite (S). Dans ce cas, la rotation d’ensemble Θ z= dv .
d
18
Poutres
M SUDRE
Cela conduit, en remplaçant
dΘz
dans l’expression de Mz , à l’équation différentielle
d
2
Mz =EIz d v2
de la déformée:
d
Si N =0 et MZ =0
, alors la poutre travaille en flexion pure dans le plan XZ.
La section droite (S) subit une rotation d’ensemble ΘY autour de Y :
z
u
z
+
P
P
σx
x
ΘY
(S)
Chaque point P(z) subit (dans l’hypothèse des petits déplacements) un déplacement
u= zΘY suivant x .
La déformation d’une fibre de direction x et de cote z est donc
Dans cette fibre, la contrainte
σx=
Si on calcule le moment MY par
E z dΘY . C’est une fonction linéaire de z.
dX
z σx dS , on obtient:
(S )
dΘY z 2dS = EI dΘY
MY = E
Y
dX
(S )
Y.
εx= z dΘ
dX
dX
d’où
σ x=
MY
.
IY z
L’énergie élastique s’écrit:
2
dW 1 . (σ ε )
1 . MY 2
z
=
=
x x
2 EI 2
2
dv
Y
2
dW
1 . MY
=
2 EI
dX
Y
par unité de volume:
par unité de longueur de poutre:
Pour une poutre droite d’axe
, on désigne par
19
( ) la translation d’ensemble sui-
Poutres
M SUDRE
vant z de la section droite (S). Dans ce cas, la rotation d’ensemble ΘY=- dw .
d
dΘY
Cela conduit, en remplaçant
dans l’expression de MY , à l’équation différentielle
d
MY =-E IY d
2
de la déformée:
d
2
Si MY =0 et MZ =0 , alors la poutre travaille en flexion déviée.
Soit par exemple une cornière à ailes inégales soumise à un moment M unitaire dirigé
suivant l’axe :
P
Y
Θ
24°
carte de σx [103 Pa]
pour un moment unitaire
M=1 mN
Q
Pour M unitaire, les composantes MY et MZ se calculent dans les axes principaux:
MY= -sin(24).1 = -0.406 et MZ= cos(24).1 = 0.914
Pour M unitaire, la contrainte calculée en P de coordonnées (Y , Z) s’écrit:
σx= MY .Z - MI Z .Y = - (.346 Y+.862 Z ).106 Pa
IY
Z
[m]
Les valeurs extrèmes sont atteintes en P et en Q (voir la carte de
σx ci-dessus).
Les isovaleurs sont inclinées de Θ par rapport à l’axe principal Y (tanΘ= - .346 )
.862
20
Poutres
M SUDRE
3 Torsion
3.1 Préambule
Dans ce cas, la seule composante non nulle du torseur des efforts intérieurs est le
moment longitudinal: Mx =
(YτXZ - ZτXY) dS
(S )
La matrice des contraintes [σ]P prend la forme particulière suivante:
0
[σ]P=
τ
τ
τ
YX
τ
ZX
XY
0
0
XZ
0
0
Trois types de sections, représentées ci-dessous avec les champs de cisaillement dus
à la torsion, seront envisagés:
(1)
section circulaire pleine
ou creuse
(2)
section non circulaire
pleine
(3)
section mince fermée
le problème est complètement résolu analytiquement de manière exacte.
(2) le problème ne peut pas être résolu analytiquement.
(3) le problème est résolu analytiquement de manière approchée grâce à une théorie
simplifiée.
(1)
La différence de traitement des sections circulaires et des sections non-circulaires provient du fait que les sections circulaires restent planes alors que les sections non circulaires gauchissent.
la section circulaire reste plane
Mx
la section rectangulaire gauchit
Mx
Mx
21
Mx
Poutres
M SUDRE
3.2 Cas d’une section circulaire
La section droite circulaire de rayon R, d’abcisse OG=x subit une rotation d’ensemble ωx(x) autour de x
R
A
y
O
B
B’
(S)
ωx(x)
G
z
x
Considérons un cylindre d’axe OG, de rayon r<R et dans ce cylindre, une tranche
d’épaisseur dx située à l’abcisse x.
r
Q
R
O
P
R’
dωx
Θ
d ωx
R
x
G
dx
dx
Les 2 faces de cette tranche subissent une rotation relative dωx et l’angle droit initial
PQR devient PQR’ .
Cette distorsion angulaire (égale à 2εxΘ ) s’exprime sous la forme:
RR’ r.dωx
=
dx
QR
En utilisant la loi de comportement: 2εxθ = τxθ on en déduit l’expression de la conG
trainte valable en tout point de la section sur un rayon r:
22
τx θ
=
r.G
dωx
dx
Poutres
M SUDRE
Le champ des contraintes de cisaillement a donc la forme suivante dans la section:
y
τxθ
Gx
z
(S)
Si on calcule le moment Mx par
r.τxθ
dS
dωx r 2dS = G I dωx
Mx = G
x
dx
(S )
, on obtient:
( S)
dx
et l’équation différentielle de la déformée:
d’où l’expression:
τxθ= MIxx r
dωx Mx
=
GIx
dx
L’énergie élastique s’écrit:
2
par unité de volume:
par unité de longueur de poutre:
dW 1 .(2ε τ )
1 Mx 2
r
=
xθ xθ = .
2 GI 2
2
dv
x
2
M
dW
1
= . x
2 GI
d
x
3.3 Cas d’une section pleine non circulaire
Dans ce cas, la section gauchit: tout point P(Y,Z) de la section (S) subit non seulement l’effet de la rotation ωx(x) autour de x mais aussi une composante de déplacement u(X,Y,Z) suivant x .
Conséquence: il n’existe pas de solution analytique pour calculer les contraintes et la
déformée. Ce problème sera traité par la méthode des éléments finis.
L’équation différentielle de la déformée devient:
dωx Mx
=
GJ
dx
avec J, constante de
torsion.
Cette constante ne peut être calculée, elle aussi, que par des moyens numériques
(méthode des éléments finis par exemple).
23
Poutres
M SUDRE
3.4 Cas d’une section mince fermée
Dans ce cas, une théorie simplifiée est utilisée, basée sur l’hypothèse suivante:
y
P
τx
Gx
z
profil moyen
P
(S)
Pour toute position P sur la section mince, on suppose les contraintes de cisaillement
tangentes au profil moyen et constantes dans l’épaisseur.
Le point C pris comme origine est le centre de torsion. C’est le point autour duquel
s’effectue la rotation de la section droite.
(1) En P, situé sur ce profil moyen, on désigne par e( ) l’épaisseur et par τx le cisaillement.
B
t
τx
τB e(B)
e( )
B
P
x
z
A
A
τA
e(A)
dx
Cx
y
(1)
(2)
Traduisons l’équilibre suivant x du tronçon limité par AB
τA.e(A).dx = τB.e(B).dx
d’où:
(2).
On obtient:
τA.e(A) = τB.e(B) = O = cste
O est le flux de cisaillement. Il est constant le long du profil.
Calculons Mt : moment en C de la distribution de cisaillement:
Mt x =
(S )
CP ^ e.τx t d
24
Poutres
M SUDRE
Il vient:
Mt x = O
(S )
= O .2A x
CP ^ t d
donc:
Mt = 2A . O
e.τx
A est l’aire intérieure au profil moyen.
Considérons un caisson sollicité en torsion. Isolons un tronçon de dimension ∆ suivant x. Le moment Mt est supposé constant sur ce domaine:
e1
e2
e4
e3
a1
O
a2
x
a4
a3
∆
Isolons chacun des panneaux de dimensions ei x ai x ∆.
τ1 = Oe1
τ2 = Oe2
τ4 = Oe4
τ3 = Oe3
Ils sont sollicités en cisaillement pur avec un flux de cisaillement O .
L’énergie de déformation Wi de chaque panneau s’exprime sous la forme:
2
1 1 O2
1 O .a .∆
Wi =
ei.ai.∆=
i
(
)
2 G ei
2 Gei
En remplaçant O par son expression en fonction de Mt: O =
On obtient:
Wi =
Et par addition:
W=
1 Mt2 .a .∆
i
2 4 A 2 G ei
1 Mt2
2 4 A2 G
(
25
)
a i .∆
ei
Mt
2A
x
Poutres
M SUDRE
En dérivant cette expression par rapport à Mt, on obtient par Castigliano :
∆ ωx =
Mt
4A
2G
(
a i .∆
ei
)
∆ ωx =
qui s’identifie avec:
Mt
GJ
.∆
2
4A
J=
ai
ei
d’ où l’expression de J :
(
)
Il est facile d’en déduire que dans le cas d’un profil courbe:
J=
4A
e
2
d
d
x
e
∆
Nous pouvons ainsi mettre en place la formule de la circulation du cisaillement.
4A
=
e
J
d
2
La circulation de
>
τx
d
e=
O
O
d
e
= τx
M 4A2
= 2 At .
d
τx
le long du profil fermé:
J
d = 2 A Mt
J
L’énergie élastique s’écrit:
par unité de longueur de poutre:
2
dW
1 M
= . t
2 GJ
dx
Considérons à présent le cas d’une section cloisonnée:
Y
O2
P
τx
P
profil moyen
O1
Z
(cavité
S)
1
Gx
O3
cavité 2
cavité 3
La démarche déjà utilisée pour une section simple conduit à montrer que le flux de
cisaillement O est constant sur chaque branche du profil. Il est également facile de
montrer qu’au niveau d’un noeud, le flux entrant est égal au flux sortant.
26
Poutres
M SUDRE
On peut donc mettre en place la démarche suivante:
numéroter les cavités de 1 à N.
(2) désigner par O i le flux constant mesuré dans la branche située entre la
cavité numéro i et l’extérieur.
(3) exprimer les flux mesurés dans les branches intérieures en fonction des
N flux O i grâce à la loi des noeuds.
(1)
Le nombre de flux inconnus est donc égal à N.
Calculons Mt le moment en C de la distribution de cisaillement:
Mt x =
On obtient:
Mt =
N
i=1
,
2A i . Oi
(S )
CP ^ e.τx t d
A i étant l’aire intérieure à la cavité numéro i
Il a été démontré pour un caisson simple que:
dωx
O
=
dx 2 A G
(
d
e
)
>
2G
dωx
= O
dx
A
(
1
=
)
e
A
d
On en déduit, si il existe N cavités subissant la même rotation
2G
dωx
= 1 O de
dx
A1 cavité 1
(
)
1
= A
2
O
d
(cavité
e
2)
Donc par définition de la constante de torsion J (
τx
(cavité i )
d
= 2A iMt
J
O
d
e
ωx , que:
= ..... = A1 O de
N
cavité N
(
Mt
dωx
=
GJ
dx
)
):
i=1,N
On dispose donc de N+1 relations pour N+1 inconnues (N flux O i et la constante J)
3.5 Cas d’une section mince ouverte
L’hypothèse selon laquelle les contraintes de cisaillement sont constantes dans l’épais-
27
Poutres
M SUDRE
seur du profil est remise en cause:
y
P
τx
Gx
z
profil moyen
P
(S)
3
J = L.e
où L est la longueur déve3
loppée du profil moyen. Ce résultat montre que la rigidité de torsion d’un profilé
ouvert est très faible.
La constante de Torsion J se calcule par:
3.6 Torsion gênée
Les résultats mis en place dans les précédents chapitres supposent que la poutre est
libre de gauchir. Or il est fréquent que la section d’origine de la poutre soit encastrée.
(ex: la voilure est liée de manière rigide au fuselage)
Dans ce cas, les sections situées près de l’encastrement ne peuvent pas gauchir librement. On parle de torsion gênée.
Ce phénomène augmente la rigidité de torsion. Il n’apparait pas pour les sections circulaires et est particulièrement important pour les sections minces ouvertes.
4 Effort Tranchant
4.1 Préambule
La composante du torseur des efforts intérieurs étudiée est:
TY
=
τxy S .
d
(S )
L’équation qui traduit l’équilibre d’une tranche de poutre montre que cet effort tranchant s’accompagne toujours d’un moment de flexion MZ avec la relation:
TY
=-
dMZ
dx
La matrice des contraintes [σ]P prend donc la forme suivante:
σx
[σ]P=
τ
τ
τ
YX
τ
ZX
XY
0
0
XZ
0
0
28
Poutres
M SUDRE
Nous envisagerons le cas d’une section rectangulaire pleine et le cas d’un profilé
mince (ouvert ou fermé). Toute autre situation devra être traitée numériquement.
4.2 Section rectangulaire pleine
Nous supposons que l’effort tranchant TY crée en tout point P une contrainte τXY fonction uniquement de la cote Y.
Y
τXY (Y)
P
Y
Gx
z
h
P
Y
(S)
b
Traduisons l’équilibre suivant x du tronçon d’épaisseur dx situé en dessous du plan
(1) de cote Y.
-M
Le moment de flexion Mz produit un champ de contraintes σx(Y) = z Y sur la face
Iz
-(M + dMz )
d’abcisse x et un champ de contraintes (σx+dσx)(Y) = z
Y sur la face
Iz
d’abcisse x+dx:
τY
( )
(σx+dσx)
(1)
σx
Y
x
G
(2)
x
dx
La résultante suivant x des contraintes exercées sur l’élément isolé s’écrit:
τ
(Y)
b.dx +
= b.dx [
τY
( )
-(Mz + dMz )
Y.dS Iz
(2)
+
TY
Iz
- Mz
Y.dS
Iz
(2)
Y
3
Y . dY ]
-h
2
29
avec Iz=
bh
12
Poutres
M SUDRE
L’équilibre implique:
τY
( )
=-
L’énergie élastique s’écrit:
par unité de volume:
avec:
τXY =
Y
TY
2
Y . dY = 3 T Y [ 1- ( 2Y ) ]
Iz
2 bh
-h
2
Formule de BREDT
h
dW 1 .(2ε τ )
XY XY
=
2
dv
3 T Y [ 1- ( 2Y )2 ]
2 bh
h
et
2εxy =
τxy
G
par unité de longueur de poutre:
+h
dW
=
dX
1
2
(
ε τXY).dS
2 XY
(section)
2
= 1 . [ 3 TY ]
2G 2 bh
2
2
2 2
T
[ 1- ( 2Y ) ] b.dY = 1 . 6 . Y
2G 5 bh
h
-h
2
2
On définit le coefficient de section réduite k Y par la formule:
La section réduite S Y est égale à k Y S:
dW 1 . 1 T Y .
=
2 k Y GS
dX
dW 1 . T Y2
=
2 GSY
dX
Dans le cas d’une section rectangulaire pleine,
k Y = 5 et S Y = 5 S
6
6
4.3 Cas d’une section mince ouverte ou fermée
Dans ce cas, une théorie simplifiée est utilisée, basée sur l’hypothèse suivante:
Pour toute position P sur la section mince, on suppose les contraintes de cisaillement
tangentes au profil moyen et constantes dans l’épaisseur.
En P, situé sur ce profil moyen
cisaillement.
(1),
on désigne par e( ) l’épaisseur et par
Traduisons l’équilibre suivant x du tronçon limité par AB
produit un champ de contraintes
σx Y =-Mz Y
( )
Iz
30
(2).
τx
le
Le moment de flexion Mz
sur la face d’abcisse x et un champ de
Poutres
M SUDRE
-(M + dMz )
contraintes (σx+dσx)(Y) = z
Y sur la face d’abcisse x+dx
Iz
τB e(B)
B
τx
t
B
σx
e( )
(σx+dσx)
x
P
τA
A
e(A)
A
dx
(1)
(2)
La résultante suivant x des contraintes exercées sur l’élément isolé s’écrit:
B
-(Mz + dMz )
Y e ( ) .d
-τA e(A).dx + τB e(B).dx +
Iz
A
τ
= -
A
e(A).dx + τB e(B).dx + (
L’équilibre implique:
τ
B
e(B) =
τ
B
TY
Y e ( ).d
Iz
A
e(A)
Iz
Y e ( ).d
Gx
τB en B à condition de connaitre τA en
y
Ty
z
(S)
Ty
z
Gx
Gx
( S)
(1)
(S)
(2)
section ouverte:
en P, extrémité du profil ouvert,
(2)
Formule de BREDT
A
P
Ty
(1)
B
TY
y
P
z
) dx
A
Cette relation permet de calculer la contrainte
A. Elle n’est donc pas suffisante.
Trois cas peuvent se présenter:
y
B
- Mz
Y e ( ) .d
Iz
A
(3)
τP =0.
section fermée symétrique par rapport à l’axe de chargement y:
en P, situé sur l’axe de symétrie,
31
τP =0.
Poutres
M SUDRE
(3)
section fermée non symétrique par rapport à l’axe de chargement y:
τx
on peut exploiter:
d
=
2A M t
=0
J
4.4 Centre de Torsion
Le centre de torsion C a déja été défini. C’est le point autour duquel s’effectue la
rotation de la section droite.
Dans le cas d’un effort tranchant pur T = TY Y + TZ Z , les contraintes de cisaillement
générées dans la section produisent en C un moment nul.
Mt x =
(S )
CP ^ τ ds
= 0
C’est la relation qu’il faut utiliser pour déterminer la position de C.
32
Poutres
M SUDRE
5 Méthodes énergétiques
5.1 Théorème de Maxwell-Betti
Considérons la poutre suivante encastrée à l’origine. La section médiane est repérée
par A1 et la section extrème par A2:
A1
A2
Appliquons l’effort F1 en A1.
Conséquence: le point A1 se déplace de v11=s11.F1 et le point A2 de v21=s21.F1
v11=s11.F1
v21=s21.F1
F1
L’énergie de déformation emmagasinée par la structure est égale au travail de l’effort
F1 mis en jeu pour passer de 0 à 1 :
force
F1
1
W=
1
1
2
v11.F1
déplacement
0
v11
Appliquons l’effort F2 en A2.
Conséquence: le point A1 se déplace de v12=s12.F2 et le point A2 de v22=s22.F2
v11=s11.F1
v12=s12.F2
v21=s21.F1
F1
v22=s22.F2
F2
L’énergie de déformation emmagasinée par la structure est égale au travail des efforts
F1 et F2 mis en jeu pour passer de 1 à 2 :
W= v12.F1+
2
33
1
2
v22.F2
Poutres
M SUDRE
Au final, l’énergie de déformation emmagasinée par la structure est égale à:
W+W =
1
2
1
2
v11.F1 + v12.F1 +
1
v .F
2 22 2
Si on inverse la séquence de chargement en appliquant d’abord F2 puis F1 , on aboutit
au même état final avec une énergie égale à:
W=
1
2
v22.F2 + v21.F2 +
1
v .F
2 11 1
On en déduit que:
v12.F1 = v21.F2
C’est le théorème de Maxwell-Betti:
Le travail de F1 dans le déplacement du à F2 est égal
au travail de F2 dans le déplacement du à F1.
Si on remplace v12 et v21 par leurs expressions v12=s12.F2 et v21=s21.F1 :
d’où:
s12.F2.F1 = s21.F1.F2
s12 = s21
5.2 Matrice de souplesse - matrice de raideur
Désignons par v1 = v11 + v12 le déplacement total du point A1 et par v2 = v21 + v22 le
déplacement total du point A2. Il est alors possible d’écrire:
v1 = v11 + v12 = s11.F1 + s12.F2
v2 = v21 + v22 = s21.F1 + s22.F2
Sous forme matricielle:
{ }
v1
=
v2
s11
s12
s21
s22
{ }
{ }
F1
F1
=[ S ]
F2
F2
La matrice [ S ] est la matrice de souplesse. Son inverse [ S ]-1 est appelée matrice
de raideur (notée [ K ]).
Le théorème de Maxwell-Betti (s12 = s21) démontre la symétrie de la matrice [ S ] et
donc de la matrice [ K ].
34
Poutres
M SUDRE
5.3 Théorème de Castigliano
A la fin de la séquence de chargement, l’énergie de déformation a été exprimée
sous la forme :
W=
1
2
v11.F1 + v12.F1 + 1 v22.F2
2
Si on remplace v11, v12 et v22 par leurs expressions en fonction de F1 et F2, on obtient
W en fonction des forces appliquées :
W=
1
2
s11.F12 + s12.F1.F2 + 1 s22.F22
2
Dérivons cette expression de W par rapport à F1 et F2 :
W
= s11.F1 + s12.F2 = v11 + v12 = v1
F1
W
= s21.F1 + s22.F2 = v21 + v22 = v2
F2
C’est le théorème de Castigliano:
Quand on dérive l’énergie de déformation W par rapport à l’effort Fi , on obtient
le déplacement du point d’application de Fi mesuré dans la direction de Fi.
5.4 Théorème de Ménabréa
C’est le théorème de Castigliano appliqué à des structures hyperstatiques.
Considérons l’exemple hyperstatique de degré 1 suivant. L’appui en B génère un effort
YB. Cet effort constitue une 4° inconnue qui vient s’ajouter aux 3 actions d’encastrement en O. Cet effort sera désigné comme inconnue hyperstatique:
B
A
F
Le "système isostatique associé" est le système pour lequel la liaison en B est remplacée par l’effort Y (supposé connu) correspondant à l’inconnue hyperstatique YB :
Y
A
B
F
35
Poutres
M SUDRE
Exprimons l’énergie élastique W en fonction de l’effort F connu et de Y.
Si Y représente l’action générée par l’appui en B alors le théorème de Castigliano nous
permet d’écrire que:
W
=0
Y
ce qui traduit que le point B ne se déplace pas suivant la verticale.
Cette relation constitue l’équation supplémentaire qui manquait pour calculer les
actions de liaison.
Si l’action inconnue est un moment M, on écrit de même:
W
=0
M
ce qui traduit que le point d’application ne subit pas de rotation.
Le théorème de Ménabréa s’applique quelque soit le degré d’hyperstatisme: h.
Il suffit de désigner h inconnues hyperstatiques, de calculer W en fonction des forces
données et de ces h inconnues puis d’écrire que la dérivée de W par rapport à chacune de ces inconnues est égale à 0.
5.5 Principe des travaux virtuels - Méthode de Ritz
Une fonction arbitraire choisie pour représenter le déplacement qui est continue sur
le domaine et qui respecte les conditions limites cinématiques est dite "cinématiquement admissible". Deux exemples sont donnés ci-dessous:
F
F
L
(1)
v(x) = a.x2 + b.x3
(2)
v(x) = a. sin (
πx)
L
Pour un corps élastique à l’équilibre sous l’action de forces extérieures, si on impose
un champ de déplacement virtuel cinématiquement admissible, l’accroissement de
l’énergie élastique W est égal au travail des forces extérieures dans ce déplacement.
δW =
Fi . δ u i
Si on admet que les forces Fi dérivent d’un potentiel U, alors le résultat précédent
peut s’exprimer comme une condition d’extémum:
Fi = - δU
δ ui
,
Fi . δ ui = - δU d’où δ (W+U) = 0
U est l’opposé de , travail des forces Fi calculé dans le déplacement virtuel (en sup36
Poutres
M SUDRE
posant les forces Fi constantes).
W+U = W- est l’énergie potentielle totale. On montre que pour un corps en équilibre stable, l’extrémum de l’énergie potentielle totale est un minimum absolu.
On énonce le principe du minimum de l’énergie potentielle totale ainsi:
Parmi tous les champs cinématiquement admissibles,
celui qui rend minimale l’énergie potentielle totale
correspond à la solution.
Une méthode de résolution des problèmes d’élasticité et de RdM est basée sur
l’application de ce principe: la méthode de Ritz.
Elle est illustrée par le problème de flexion qui suit:
A1
A2
F
L
F
L
Utilisons la méthode de Ritz pour calculer les déplacements des points A1 et A2.
Choisissons de représenter la déformée sur le domaine [0,2L] par:
v(x) = a.x2 + b.x3
et exprimons l’énergie potentielle totale W- .
2L
W est l’énergie de flexion:
2L
2
2
Mz2 dx
1.
= 1 . ( EIz ddxv2 ) dx
2 0 EIz
2 EIz 0
en remplaçant v(x) par a.x2 + b.x3 , on obtient: W = 4EIzL.( a2 + 12b2L2 + 6abL)
est le travail des 2 efforts F:
-F.v(L) -F.v(2L)
en remplaçant v(x) par a.x2 + b.x3 , on obtient:
= -FL2.( 5a+ 9bL)
Il reste, pour obtenir la ’meilleure solution’ compatible avec la fonction v(x) choisie, à
minimiser W- par rapport aux 2 coefficients a et b.
37
Poutres
M SUDRE
(W- ) = 0
a= - 11FL
8EIz
(W- ) = 0
b=
a
b
Les déplacements des points A1 et A2 sont donc :
F
4EIz
3
a.L2 + b.L3= - 9FL
8EIz
a.(2L)2 + b.(2L)3 = -
7FL3
2EIz
6 Flambage
6.1 Présentation
Considérons une poutre droite soumise à un effort longitudinal de compression F:
B
A
F
Il est aisé de montrer que les efforts extérieurs se réduisent alors à:
F
B
A
F
Tant que l’effort F reste inférieur à une valeur seuil FC, le système reste stable.
Cela signifie que, si on le perturbe, en imposant par exemple un petit déplacement
transversal, il va osciller au voisinage de sa position initiale:
F
B
A
F
équilibre stable
Quand l’effort F dépasse la valeur seuil FC, le système devient instable.
Cela signifie que la moindre perturbation extérieure provoque une flexion de la poutre
38
Poutres
M SUDRE
de grande amplitude qui l’éloigne de manière irréversible de sa position initiale:
F A
B
F
équilibre instable
A la frontière de ces 2 situations, quand l’effort F égale FC, on se trouve dans un
état dit d’équilibre indifférent. Toute position du système est alors une position d’équilibre sous l’effet de FC:
FC A
B
FC
équilibre indifférent
Nous pouvons donc calculer l’effort FC en postulant qu’il s’agit de l’effort qui permet de
maintenir le système dans une situation d’équilibre différente de la situation initiale.
6.2 Essai de flambage
Considérons le système précédent et augmentons progressivement l’effort F, à partir
de 0. Pour chaque valeur de F, mesurons le déplacement longitudinal uB:
B
A
F
La courbe suivante est obtenue:
F
FC
(2)
(1)
|uB|
Cette courbe montre:
- que si F< FC, nous observons un comportement de compression pure [courbe (1)].
- qu’ après dépassement de la valeur seuil FC (système devenu instable), de nouvelles
positions d’équilibre différentes de la situation initiale sont obtenues [courbe (2)].
- qu’au-delà de cette valeur seuil FC , on observe une chute de la rigidité.
39
Poutres
M SUDRE
6.3 Force critique de flambage
FC est la force critique de flambage. Cette force peut être calculée en se plaçant,
comme cela a été expliqué précédemment, dans la situation d’équilibre indifférent au
voisinage de la situation initiale:
L
FC A
B
G
v(x)
FC
Etant en situation de petits déplacements, il est possible d’exprimer le moment fléchissant Mz dans le but d’exploiter l’équation différentielle de la déformée:
2
Mz =EIz d v2
d
En raisonnant sur la situation de la figure précédente, il apparait que le moment en G
des forces en aval est égal à -FC.v(x).
Donc:
Posons
d2v -FC.v(x)
=
d 2
EIz
soit:
F
d2v
+ C .v(x)=0
d 2
EIz
FC = ω2
. La solution de l’équation différentielle s’écrit:
EIz
v(x)= A cos(ωx) + B sin(ωx)
Les conditions limites v(0)=0 et v(L)=0 conduisent à:
A=0
B.sin(ωL)=0
si B=0, nous retrouvons la situation initiale v(x)=0,
si sin(ωL)=0, nous trouvons la situation d’équilibre différente de la situation initiale.
La condition d’existence de cette solution est ωL=kπ, soit:
kπ 2
FC
=( )
EIz
L
kπ ) 2
L
L’effort le plus faible permettant de maintenir la poutre en situation d’équilibre
D’où l’expression de la force critique:
FC= EIz (
s’obtient en posant k=1. C’est la charge critique d’Euler:
FC=
π 2 EIz
L2
Cette expression confirme que le risque de flambement est d’autant plus important
que la longueur L est grande ou que le moment quadratique Iz est faible.
40