Statistiques descriptives Partie 1

Transcription

CHAPITRE 5
1. Introduction
Les méthodes quantitatives sont omniprésentes dans la vie quotidienne.
Il existe tellement de firmes de sondage et chacune d’entre elles possède sa
propre méthodologie de recherche.
Voici quelques adresses internet intéressantes où vous trouverez beaucoup
d’informations sur les sondages :
• http ://www.som.ca/Services/ProduitsServices/sondages.htm, le site
de sondage Som, la firme qui fait les sondages pour La Presse/Le Soleil,
• http ://www.statcan.ca/menu-fr.htm, le site de Statistiques Canada
où l’on trouve de l’information sur toutes sortes de sujets, tels que
l’IPC, le taux de chômage etc. ,
• http ://www.stat.gouv.qc.ca/, le site de l’Institut de la Statistique du
Québec où vous trouverez beaucoup d’informations sur la province.
Afin de réaliser certaines études, il est important de respecter une procédure,
que l’on appelle en Méthodes Quantitatives la méthode scientifique. Tout
au long de la session, nous étudierons chacune des étapes constituant cette
démarche.
2. La méthode scientifique
Les premières choses à faire lorsqu’on veut faire un sondage ou une étude
sont de définir l’objet de l’étude, la problématique et les objectifs recherchés.
Il faut également s’assurer de la faisabilité du projet : échéancier, ressources
matérielles, financières et humaines. Nous ne nous attarderons pas sur ces
aspects. Voici les étapes de la méthode scientifique :
69
70
5. Statistiques descriptives Partie 1
Table 1. Les étapes de la méthode scientifique.
Étape 1 : La
définition
des
hypothèses statistiques.
• Opérationnalisez la démarche en faisant une analyse
conceptuelle.
• Énoncez les hypothèses statistiques que vous êtes
intéressés à vérifier.
Étape 2 : La définition de la population.
• Identifiez la population cible et, si nécessaire, dressez
une liste complète de la population statistique.
Étape 3 : L’élaboration
d’un
plan de collecte
de données.
• Déterminez si vous optez pour le recensement ou
pour le sondage.
• Dans le cas du sondage, précisez la taille de l’échantillon, la technique d’échantillonnage et, s’il y a lieu
de le faire maintenant, sélectionnez les unités statistiques.
Étape 4 : La
conception
du
questionnaire.
• Les questions doivent être claires, pertinentes,
neutres, complètes et non menaçantes. Certaines
auront pour but de vérifier la représentativité de
l’échantillon.
• Le questionnaire sera le plus court possible, aéré et
fonctionnel.
Étape 5 : La collecte de données.
• Précisez la façon de recueillir les données et de diminuer les non-réponses.
Étape
6
et
7 : Dépouillement, description,
analyse et interprétation des
données.
• Préparez les données (nettoyer, mettre en ordre, regrouper en tableaux et en graphiques).
• Calculez certaines mesures (de tendance centrale, de
dispersion et de position).
• Analysez, inférez (estimation ou tests d’hypothèses)
et interprétez les résultats.
• Confirmez ou infirmez les hypothèses et, parfois,
formulez-en de nouvelles.
Étape 8 : La rédaction du rapport.
• Présentez la démarche, les résultats et les conclusions de votre étude.
5.3. Quelques définitions
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3. Quelques définitions
Le type d’étude que l’on choisit dépend de plusieurs facteurs. Avant de
tenter de bien comprendre ces facteurs, définissons quelques termes.
Définition 1. Quelques définitions en méthodes quantitatives :
Population cible: c’est l’ensemble de tous les individus, objets ou faits que
l’on désire étudier.
Unité statistique: c’est un élément de la population cible.
Population statistique: c’est l’ensemble de toutes les unités accessibles au
moment de l’étude.
Taille d’une population: c’est le nombre d’unités statistiques dans la population, notée par N .
Exemple 5.1. Si l’objet d’étude est le nombre d’heures de travail rémunéré des élèves de niveau collégial en 2008, alors la population est l’ensemble
des élèves de niveau collégial en 2008.
Exemple 5.2. Un gestionnaire veut étudier le revenu mensuel de son entreprise, alors la population est constituée de tous les mois depuis l’ouverture
de l’entreprise.
Exemple 5.3. Un biologiste désire étudier le nombre de poulets atteints
d’une maladie dans les fermes du Québec. Quelle est la population étudiée ?
SOLUTION
allo le monde
Définition 2. Un recensement est une étude statistique faite sur toutes
les unités statistiques de la population.
Le recensement présente des avantages, mais également certains désavantages.
Avantages
• Les résultats obtenus ne sont pas une estimation, mais correspondent
à la réalité.
• Le recensement permet de traiter des sous-ensembles de la population sans difficulté. Par exemple, si l’on étudie les québécois, on peut
facilement étudier les québécois fumeurs.
Désavantages
• Le coût en ressources financières, matérielles et humaines est très élevé.
• Les résultats ne sont pas immédiats. Ça prend du temps faire un recensement !
L’alternative au recensement est le sondage.
Définition 3. Le sondage est une étude qui est faite sur un sousensemble de la population. Ce sous-ensemble est appelé échantillon. La
taille de l’échantillon est notée par n.
Intuitivement...
Pour le cours,
population
cible=population
statistique=
population.
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4. Les variables
Dans le cadre du cours de Méthodes Quantitatives pour Sciences Humaines, nous allons parler surtout de sondage dont le principal outil est le
questionnaire. Cette section porte sur la façon de construire ce questionnaire, d’aborder les différents sujets à traiter et de commencer l’analyse de
ces sujets.
Intuitivement...
Le sexe, la couleur
préférée, le nombre de
téléviseurs par foyer
ou encore l’âge sont
des variables.
Définition 4 (Variable). Une variable est une caractéristique étudiée
dans une population donnée.
Exemple 5.4. À la session Hiver 2009, 2 professeurs à la retraite ont
effectué une enquête (sondage) sur 311 étudiants. On leur posait alors des
questions sur leurs habitudes liées à la consommation de drogue, leur travail
rémunéré, leurs études, leur milieu familial, leurs amis et leur intimité. Déterminez la population, l’unité statistique, la taille de l’échantillon ainsi que
le nom de 2 variables à l’étude dans cette enquête.
SOLUTION
allo le monde
Il existe 2 types de variables :
Intuitivement...
Le sexe, le programme
d’études ou l’état civil
sont des exemples de
variables qualitatives.
Intuitivement...
L’âge, le poids et la
taille sont des
exemples de variables
quantitatives.
Intuitivement...
Le degré de
satisfaction par
rapport à votre
fournisseur cellulaire.
Les différentes
modalités seraient :
très satisfait,
satisfait, insatisfait,
très insatisfait. Les
variables qualitatives
ordinales sont très
souvent des degrés de
satisfaction,
d’approbation, etc...
Définition 5. allo le monde
Les variables qualitatives: sont des variables dont les résultats possibles
sont des qualités. Ces résultats sont appelés modalités.
Les variables quantitatives: sont des variables dont les résultats possibles
sont des valeurs numériques. Ces résultats sont appelés valeurs.
Nous pouvons séparer les variables qualitatives en deux catégories.
Les variables qualitatives nominales: sont des variables qualitatives dont
les modalités ne possèdent aucun ordre naturel.
Les variables qualitatives ordinales: sont des variables qualitatives dont
les modalités peuvent être ordonnées.
Nous pouvons également séparer les variables quantitatives en deux catégories.
Définition 7. Les variables quantitatives discrètes: sont des variables quantitatives dont les valeurs possibles peuvent être énumérées sans risque d’en oublier.
5.4. Les variables
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Les variables quantitatives continues: sont des variables quantitatives
dont les valeurs possibles ne peuvent être énumérées sans risque
d’en oublier.
Le diagramme 5.1 résume bien le tout.
Type de variable
Qualitative
Nominale
• Sexe : f ou g
• Langues parlées
• Saveur de crème glacée préférée
Quantitative
Ordinale
• Degré de satisfaction
• Notes alphabétiques
(A+, A,..)
Discrète
• Âge
• Nombre d’enfants
• Nombre
de
buts
comptés
Continue
• Température
• Poids
• Grandeur
Figure 5.1. Diagramme des différents types de variables.
Exemple 5.5. On décide d’étudier les habitants de Saint-Jean-sur-Richelieu
afin d’établir le portrait de la région. On questionne 1000 johannais et johannaises sur leur langue maternelle, leur état civil, leur degré de satisfaction
par rapport à leur ville, le nombre de personnes dans leur ménage, leur revenu ainsi que le prix de leur habitation.
a) Quelle est la population étudiée ?
b) Quelle est l’unité statistique ?
c) Est-ce un recensement ou un sondage
d) Quel est l’échantillon et sa taille ?
e) Quelles sont les variables étudiées ?
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f) Quelles sont les modalités ou les valeurs possibles de chacune des
variables ?
g) Identifier le type de chacune des variables ?
Intuitivement...
Le mot clé pour les
retenir est NOIR.
Intuitivement...
Un zéro arbitraire est
un zéro qui ne
correspond pas à une
absence. La
température en est un
exemple. Le zéro est
fixé au point de
congélation de l’eau,
alors qu’on aurait bien
pu décider de fixer le
zéro de la température
au point de
congélation du Cheez
Whiz.
Intuitivement...
Un zéro absolu est un
zéro qui correspond à
une absence. Le
nombre d’heures
d’étude pour un
examen est mesuré à
l’aide d’une échelle de
rapports parce que 0
heure d’étude
correspond à une
absence d’étude.
4.1. Les échelles de mesure. L’étude des variables doit se faire avec
des outils de mesure. Il n’est pas possible de mesurer le degré de satisfaction
de la même façon qu’on peut mesurer la taille d’un individu. Voilà pourquoi, on utilise différentes échelles de mesures. Il existe 4 types d’échelles de
mesure.
(1) L’échelle de mesure est dite Nominale si les résultats sont des modalités ne possédant pas d’ordre naturel.
(2) L’échelle de mesure est dite Ordinale si les résultats possèdent un
ordre naturel.
(3) L’échelle de mesure est dite d’Intervalles si les résultats sont des
valeurs ayant un zéro arbitraire.
(4) L’échelle de mesure est dite de Rapports si les résultats sont des
valeurs ayant un zéro absolu.
Exemple 5.6 (Échelle d’intervalles). Lorsque la température augmente
de 10 degrés Celsius à 20 degrés Celsius, on ne peut pas dire qu’il fait 2 fois
plus chaud, parce que 10 degrés Celsius correspond à 50 degrés Farenheit et
20 degrés Celsius correspond à 68 degrés Farenheit, ce qui ne correspond pas
au double de la température. Alors on peut seulement dire qu’il fait 10 degrés
de plus.
Exemple 5.7 (Échelle de rapports). Par contre, dans le cas d’une variable mesurée à l’aide d’une échelle de rapports, on peut affirmer qu’un élève
qui a 2 emplois a deux fois plus d’emplois qu’un élève qui n’a qu’un seul emploi.
5.4. Les variables
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Type de variable
Qualitative
Nominale
• Échelle nominale
Quantitative
Ordinale
• Échelle ordinale
Discrète
• Échelle d’intervalles
• Échelle de rapports
Continue
• Échelle d’intervalles
• Échelle de rapports
Figure 5.2. Diagramme des différentes échelles de mesure.
Exemple 5.8. Pour chacune des situations suggérées, identifier les éléments suivants :
(1) La population
(2) L’unité statistique
(3) L’échantillon
(4) La variable
(5) Le type de variable
(6) L’échelle de mesure
a) Dans le but de déterminer le degré de satisfaction des étudiants
sur la qualité des services offerts par la Coop, on interroge les étudiants qui suivent un cours de méthodes quantitatives. (modalités :
peu...très satisfait)
b) On interroge tous les professeurs du cégep pour savoir le nombre
de repas qu’ils ont pris à la cafétéria au cours de la semaine dernière.(valeurs : 0, 1, 2,...)
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c) Afin de connaître l’âge auquel les jeunes adultes de la région obtiennent leur permis de conduire, on a interrogé tous les étudiants
qui ont utilisé les espaces de stationnement du cégep lundi dernier.
(question ouverte, aucune valeur)
d) On interroge tous les membres d’un club social pour savoir s’ils sont
intéressés à souscrire à une assurance médicaments. (modalités :
oui, non)
e) Pour connaître le degré de satisfaction de sa clientèle, un grand magasin a interrogé toutes les personnes qui ont fait un achat samedi
dernier. (modalités : peu...très satisfait)
f) Le cégep Saint-Jean-sur-Richelieu mène une étude auprès de ses
élèves pour connaître le plus haut niveau de scolarité de leur mère.
On décide d’interroger tous les élèves qui ont un cours complémentaire d’espagnol. (modalités : primaire, secondaire, ...)
5.5. Le questionnaire
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g) Un professeur interroge tous ses élèves afin de connaître le nombre
de bières qu’ils ont consommées la semaine dernière. (valeurs : 0,
1 à 3, 4 à 6, 7 à 10, plus de 10)
h) Un élève qui projette poursuivre ses études universitaires en pédagogie interroge des professeurs du cégep afin de connaître les aspects
qu’ils jugent positifs et négatifs de la profession d’enseignant. (question ouverte, aucune modalité)
5. Le questionnaire
Il y plusieurs façons de récolter des données, telles que des grilles d’observations, des expériences, des appareils d’enregistrements et même des recherches bibliographiques mais la plus utilisée est sans aucun doute le questionnaire. Dans cette section, nous verrons d’abord les 5 qualités à retenir
afin de construire un questionnaire fiable et ensuite les différents types de
question pouvant en faire partie.
5.1. Les règles de formulation des questions. Pour construire un
questionnaire donnant des résultats fiables, les questions doivent posséder
cinq qualités
Claire: Les questions doivent être précises, ne contenir aucun terme vague
tel que des acronymes (FTQ, REER), être les plus courtes possibles
et traiter d’un seul sujet. Si elles possèdent des choix de réponses,
ceux-ci doivent être mutuellement exclusifs.
Trouvez l’erreur : Combien de cigarettes fumez-vous ?
Complète: Elles doivent contenir toute l’information. Si elles possèdent des
choix de réponses, ceux-ci doivent être exhaustifs.
Trouvez l’erreur :Parmi les choix suivants, quelle est votre couleur
préférée ?
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Neutre: Les questions ne doivent pas suggérer de réponse.
Trouvez l’erreur : Selon des spécialistes en nutrition, il est crucial
de bien déjeuner. Déjeunez-vous ?
Non-menacante: Les questions qui portent sur des sujets personnels, privés
ou délicats doivent être réservées pour la fin du questionnaire.
Trouvez l’erreur : Avez-vous une maîtresse ?
Pertinente: Les questions doivent porter sur le sujet de l’étude.
Trouvez l’erreur : Pour une étude portant sur les jeux vidéos, on
pose une question sur les animaux domestiques.
5.2. Les types de questions. Les questionnaires traditionnels contiennent
surtout des questions à choix de réponses mais il existe plusieurs types de
questions. D’abord il existe deux catégories, les questions ouvertes et les
questions fermées.
(1) Les questions ouvertes permettent au répondant de développer sur
le sujet. C’est le type de question idéale pour récolter des opinions.
Que pensez-vous de la hausse des frais de scolarité ?
(2) Les questions fermées restreignent les répondants à quelques choix
seulement
(a) Une question à réponse brève est une question où l’on répond
sur une petite ligne.
(b) Une question dichotomique est une question ayant 2 choix de
réponses seulement comme des vrai ou faux, des oui ou non.
(c) Une question à choix multiples est une question où l’on propose
plusieurs réponses mais le répondant ne peut qu’en choisir une.
(d) Une question « cafétéria » est une question où l’on propose
plusieurs réponses mais le répondant peut en choisir plusieurs.
(e) Une question de nature hiérarchique est une question où l’on
doit classer les réponses par ordre d’importance.
6. Les techniques d’échantillonnage
Dans cette section, nous étudierons les différentes techniques à utiliser
afin de sélectionner les unités statistiques d’un échantillon. Celles-ci auront
des avantages et des inconvénients, notamment au niveau de l’analyse des résultats. Certaines techniques nous permettront de faire de l’inférence, tandis
que d’autres nous limiterons considérablement.
6.1. Les techniques d’échantillonnage aléatoire. Les techniques
d’échantillonnage aléatoire reposent sur le hasard. Les unités statistiques
sont désignées par le hasard et ont toutes la même probabilité d’être choisies. Ces techniques ont aussi l’avantage de permettre de calculer la marge
d’erreur d’échantillonnage. Il sera donc possible de généraliser les résultats
à l’ensemble de la population tout en mesurant l’erreur maximale commise.
5.6. Les techniques d’échantillonnage
79
Définition 9 (Base de sondage). Une base de sondage est une liste des
individus à partir de laquelle on prélève un échantillon. Cette liste détermine
la population.
Il existe 4 techniques d’échantillonnage aléatoire.
Intuitivement...
L’annuaire
téléphonique est un
bon exemple de base
de sondage.
(1) L’échantillonnage aléatoire simple consiste à choisir des individus au hasard parmi la base de sondage.
Procédure :
(a) Numéroter les unités statistiques de 1 à N .
(b) Tirer au hasard n unités statistiques de la population qui formeront l’échantillon.
(2) L’échantillonnage aléatoire systématique est une technique où
les unités statistiques sont choisies à intervalle régulier dans la base
de sondage.
Procédure :
(a) Numéroter les unités statistiques de 1 à N.
(b) Calculer l’intervalle de sélection (le pas de sondage). On le calcule avec la formule N/n.
(c) Tirer au hasard une unité statistique de la population qui fera
partie de l’échantillon.
(d) Tirer les autres unités en appliquant le pas de sondage.
(3) L’échantillonnage aléatoire stratifié suppose que la population
peut être divisée en sous-ensembles distincts en fonction de caractéristiques telles que le sexe, l’âge, l’ethnie, etc... Ces différents sousensembles sont appelés des strates.
Cette méthode consiste à prélever un échantillon ayant une composition plus comparable à celle de la population à l’égard des caractéristiques choisies.
IMPORTANT
On détermine les strates selon des caractéristiques que l’on suppose
ayant une influence sur la variable étudiée. Par exemple : le taux de
décrochage est influencé par le sexe, donc on stratifie selon le sexe.
Procédure :
(a) Diviser la population en strates.
(b) Pour chaque strate, choisir de façon aléatoire simple un nombre
d’unités statistiques pour constituer l’échantillon de telle sorte
que le pourcentage d’unités dans chacune des strates de l’échantillon soit le plus près possible du pourcentage d’unités dans
chacune des strates de la population.
80
Intuitivement...
Un groupe d’élèves
faisant partie de la
même classe, des
habitants du même
immeuble, des
habitants du même
quartier ou même des
équipes sportives sont
des exemples de
grappes.
(4) L’échantillonnage aléatoire par grappes consiste à choisir des
sous-ensembles plutôt que de choisir des unités statistiques isolées.
Définition 10 (grappe). Une grappe est un sous-ensemble non
homogène de la population défini, en général, selon la proximité.
Procédure :
(a) Diviser la population en grappes.
(b) Choisir de façon aléatoire simple un certain nombre de grappes.
(c) L’échantillon sera alors composé de toutes les unités statistiques appartenant aux grappes choisies.
Voici un tableau comparant chacune des méthodes avec leurs avantages et
leurs inconvénients.
Table 2. Les techniques d’échantillonnage aléatoires.
Technique
Avantages
Échantillonnage
simple
(1) Échantillon générale- (1) Nécessite une base de
sondage complète
ment représentatif
(2) Peut être long et ardu
(2) Simple à réaliser
Échantillonnage
systématique
(1) Bonne répartition de
l’échantillon
(2) Rapidité
Inconvénients
(1) Nécessite une base de
sondage complète
(2) Attention à la périodicité
(1) Grande précision
Échantillonnage
stratifié
(2) Modèle réduit de la po(1) Coûteux
pulation
(3) Comparaison des sous- (2) Connaissance de la population requise
populations par rapport aux variables étudiées
(1) Rapidité
Échantillonnage
par grappes
(1) Peut ne pas être représentatif si les grappes
(2) Évite les longs déplacesont homogènes
ments
5.6. Les techniques d’échantillonnage
81
Exemple 5.9. Identifiez la méthode d’échantillonnage aléatoire qui a été
utilisée.
a) À l’automne 2008, Santé Québec a mené une enquête auprès de la population québécoise. On a choisi au hasard des quartiers de certaines
municipalités et on a interrogé tous les individus habitant dans ces quartiers.
b) Lors d’un recensement au Canada, on utilise deux types de questionnaire :
un questionnaire court et un long. À partir de la liste complète de tous
les foyers, on choisit au hasard un foyer, puis à tous les cinq foyers
visités, on remet un questionnaire long ; les autres foyers reçoivent un
questionnaire court.
c) Une ligue de soccer désire recueillir l’opinion des joueuses de diverses
équipes au sein d’une même catégorie quant à l’entretien des terrains où
se disputent les matchs. Pour ce faire, elle choisit au hasard, dans chacune des équipes, deux joueuses à qui elle fait parvenir un court sondage
par la poste.
d) Pour déterminer le taux de chômage au Québec, on sélectionne au hasard
un échantillon de personnes âgées de 15 ans et plus afin de connaître leur
situation à propos de l’emploi.
6.2. Les techniques d’échantillonnage non aléatoire. Contrairement aux techniques d’échantillonnage aléatoire, il est impossible de calculer
la marge d’erreur d’échantillonnage. Cependant, ces méthodes sont beaucoup
moins coûteuses, plus rapides et plus simples. Il est par contre peu recommandé de généraliser les résultats provenant de ces méthodes à l’ensemble
de la population, puisque toutes les unités statistiques n’ont pas la même
chance d’être choisies, ce qui peut rendre l’échantillon moins représentatif.
(1) L’échantillonnage accidentel est une technique simple et peu
coûteuse. On choisit une unité statistique qui se trouve à un endroit
donné à un moment donné. Par exemple, un élève se place à l’entrée
de la cafétéria et demande de remplir un questionnaire à toutes les
personnes passant par là à ce moment précis.
(2) L’échantillonnage par volontaire est une des méthodes les plus
utilisées actuellement sur le marché. Les compagnies pharmaceutiques sont les pionnières en la matière. Les unités statistiques décident de faire partie de l’étude de leur propre gré.
(3) L’échantillonnage par quotas est la technique selon laquelle les
chercheurs veulent respecter les proportions de la population, mais
ils vont choisir leurs sujets de façon accidentelle.
Par exemple, un chercheur se place à l’entrée de la cafétéria et a
comme mandat de questionner 15 filles et 15 garçons afin de respecter la proportion de chacun des sexes dans le cégep.
Procédure :
(a) Diviser la population en catégories homogènes.
82
(b) Pour chaque catégorie, choisir de façon accidentelle un nombre
d’unités statistiques pour constituer l’échantillon de telle sorte
que le pourcentage d’unités dans chacune des catégories de
l’échantillon soit le plus près possible du pourcentage d’unités
dans chacune des catégories de la population.
(4) L’échantillonnage au jugé est une technique basée uniquement
sur les connaissances du chercheur sur la population. En effet, le
chercheur choisit les unités statistiques qu’il juge possédant les caractéristiques typiques de la population à l’étude.
Exemple 5.10. Identifiez la méthode d’échantillonnage non aléatoire qui
a été utilisée.
a) On sait que Saint-Jean-sur-Richelieu est un comté baromètre, c’est-à-dire
qu’on y élit généralement le parti gagnant. On choisit donc un échantillon
dans ce comté afin de deviner lequel des partis politiques formera le prochain gouvernement.
b) Pour les besoins d’une émission de télévision, on interroge des passants
sur la rue Sainte-Catherine à Montréal un certain vendredi entre 12h00
et 13h00.
c) Des sociologues s’intéressent à l’opinion des élèves du collège sur la peine
de mort. Ils connaissent la distribution des élèves selon le sexe et la
langue maternelle. Ils reconstituent un échantillon qui respecte cette distribution et envoient dans le collège un enquêteur libre de choisir les
élèves à la condition de respecter la distribution.
d) Une firme veut tester, chez les humains, un nouveau médicament prometteur pour le traitement d’une certaine maladie. On fait passer des
annonces à la radio ciblant une catégorie de personnes et offrant une
somme d’argent en guise de dédommagement.
Exemple 5.11. Déterminez la méthode d’échantillonnage utilisée.
a) La SAAQ veut établir le profil des conducteurs québécois. À partir de la
liste de tous les conducteurs, on choisit au hasard un dossier parmi les
500 premiers, puis les autres à intervalle de 500.
b) Pour connaître l’opinion des amateurs de hockey, les animateurs de l’émission radiophonique « Les amateurs de sport » demandent aux auditeurs
de téléphoner pour faire part de leur opinion.
c) L’AGE veut connaître le pourcentage des élèves qui bénéficient d’un prêt
du Ministère de l’Éducation pour la présente session. On demande à un
étudiant en statistique de mener l’enquête suivante :
(a) Construire l’échantillon en circulant dans les corridors du cégep et
interroger certains étudiants rencontrés.
(b) Construire l’échantillon en choisissant au hasard des étudiants à
partir de la liste de tous les étudiants du cégep.
5.7. Présentation des données
d)
e)
f)
g)
83
(c) Construire l’échantillon en choisissant au hasard dans chacun des
programmes un nombre d’élèves proportionnel à l’importance de ce
programme dans le cégep.
Pour connaître l’opinion des élèves qui ont un cours le lundi matin à
8h00, on choisit au hasard huit groupes dans la liste de groupes ayant un
cours à ce moment-là et on questionne tous les élèves de ce groupe.
Dans le cadre d’une recherche sur les allergies, une équipe de chercheurs
fait paraître l’annonce suivante dans les journaux : «On recherche des
hommes et des femmes âgés de 18 à 55 ans souffrant d’une allergie. Les
répondants doivent être en bonne condition physique.»
Les responsables de la Coop veulent connaître le degré de satisfaction des
membres. On décide d’interroger 40 élèves du secteur technique, 50 du
secteur pré-universitaire et 10 membres du personnel(afin de respecter les
proportions de la population). On demande à la personne préposée à la
caisse de prélever cet échantillon.
Un professeur veut connaître l’opinion de ses étudiants sur un sujet
donné. Il questionne quelques étudiants qu’il estime représentatifs de tous
ses élèves.
Exemple 5.12. Afin de connaître les motifs qui font qu’un client quitte
sa banque, la direction d’une banque a demandé que l’on effectue un sondage auprès de 300 anciens clients. Pour ce faire, la banque a dressé une
liste complète, de tous ses anciens clients, puis elle les a numérotés. Par
la suite, de façon aléatoire, elle a choisi de contacter tout d’abord l’ancien
client #1045, puis elle a rejoint tous les autres clients en appliquant un pas
de sondage de 15. Une des questions posées était celle-ci : « Parmi les motifs
suivants, lequel vous a le plus incité à quitter notre banque : taux, service,
déménagement,etc. ?»
b) Quelle est la taille de la population étudiée ?
c) Quelle est l’unité statistique ?
d) Quel est l’échantillon ?
e) Quelle est la taille de l’échantillon ?
f) Quelle est la variable à l’étude ?
g) Quel type de variable est-ce ?
h) Quelle est l’échelle de mesure utilisée ?
i) Quelle méthode d’échantillonnage est utilisée ?
7. Présentation des données
La présentation des données est très importante lors de l’étape d’analyse
des résultats. Elle permet de faire ressortir, de manière visuelle, certaines
tendances des données. Bien entendu, il faudra effectuer d’autres tests pour
quantifier le tout, mais la présentation des données nous aidera grandement.
84
7.1. Tableaux de fréquences. Après avoir complété une étude, nous
devons traiter nos résultats. Il est donc important de les rassembler dans un
tableau de fréquences. C’est ce tableau que l’on présente habituellement dans
les rapports de recherche. Il est donc important de suivre la présentation
à la lettre. Voici un exemple de tableau de fréquences pour une variable
qualitative nominale.
Table 3. Répartition de 125 répondants, selon le sexe
Sexe
Nombre de répondants
Masculin
65
Féminin
60
Total
125
Ce type de tableau est un tableau de fréquences absolues (ou tableau des
effectifs). Il présente le nombre de données obtenues pour chaque résultat de
la variable.
Il existe également des tableaux de fréquences relatives dont la deuxième
colonne correspond au pourcentage des données obtenues pour chaque résultat de la variable.
Table 4. Répartition (en %) de 125 répondants, selon le sexe
Sexe
Pourcentage des répondants (%)
Masculin
52
Féminin
48
Total
100
Lorsque les résultats sont tirés d’un rapport, d’un journal ou autres, on
doit spécifier cette source. En voici un exemple :
Table 5. Répartition (en %) des jeunes Québécois âgés entre
15 et 29 ans, selon le degré de satisfaction à l’égard de leur
emploi, Québec, 2000
Degré de satisfaction Pourcentage des jeunes Québécois (%)
Très satisfait
50.9
Assez satisfait
34.3
Peu satisfait
10.9
Pas du tout satisfait
3.9
Total
100.0
Source : M.-C. Lortie,«Les jeunes aiment leur emploi», La Presse, 20 février 2000, p.A8.
Les éléments essentiels dans la présentation d’un tableau de fréquences sont
les suivants :
85
Titre: Il doit contenir le nom de la variable. On ajoute également diverses
informations utiles comme la date de l’étude et le lieu.
Identifier les colonnes: Il faut indiquer clairement le nom de la variable
et identifier le type de fréquences données et s’il y a lieu, l’unité de
mesure entre parenthèses.
Le total: Effectuer le total des fréquences afin de vérifier si toutes les données sont présentes.
La source: Citer la source des résultats s’ ils ne viennent pas de vous.
Le prochain exemple nous montrera comment construire un tableau de fréquences pour une variable quantitative continue.
Exemple 5.13. Nous avons recueilli le nombre d’heures d’ensoleillement
en octobre à Montréal pour un échantillon de 49 années. Ces données sont
présentées ci-dessous.
163 169 183 224 140 163 172
104 121 141 139 135 126 163
127 141 136 95 128 95 133
92 119 103 150 149 110 148
153 156 151 109 143 123 75
189 126 173 171 128 153 142
148 112 112 150 121 162 120
Construisez un tableau de fréquences.
SOLUTION
Table 6. Répartition de 49 mois d’octobre selon nombre
d’heures d’ensoleillement
Nombre d’heures
Nombre de
Pourcentage
d’ensoleillement mois d’octobre
[75; 100[
4
8,2
[100; 125[
11
22,4
[125; 150[
17
34,7
[150; 175[
14
28,6
[175; 200[
2
4,1
[200; 225[
1
2,0
Total
49
100
7.2. Présentation graphique des variables qualitatives. Regardons maintenant les différentes façons de montrer les variables qualitatives
sous forme graphique.
86
7.2.1. Diagramme circulaire.
Répartition en % des jeunes Québécois selon le degré de
satisfaction à l’égard de leur emploi
(50.9%)
pas
très
assez
peu
(3.9%)
(10.9%)
(34.3%)
L’important ici est de savoir comment calculer l’angle que fait chaque secteur.
Pour ce faire, il faut se rappeler qu’il y a 360◦ dans un cercle. Il faut donc faire
un rapport. Commençons par l’angle du secteur de la valeur "Très satisfait",
que l’on appelle x. On a que
50.9
x
=
.
100
360◦
Cette équation signifie que dans un cercle (représenté par le 360◦ ) il y a
100%. On veut savoir à combien de degrés (x) correspondent 50.9%. On
utilise donc le produit croisé pour obtenir que
x=
360◦ × 50.9
= 183.24◦ .
100
Calculons maintenant l’angle pour "Assez satisfait". On utilise le même principe.
x=
360◦ × 34.3
= 123.48◦ .
100
On répète le même processus pour "Peu satisfait" et "Pas du tout satisfait".
7.2.2. Diagramme à bandes horizontales et à bandes verticales. Puisqu’une image vaut mille mots, voici le diagramme à bandes horizontales
des résultats tirés de la table 5.
87
Degré de
satisfaction
Peu satisfait
Assez satisfait
Très satisfait
10
20
30
40
50
% des
jeunes
Québécois
60
Il y a aussi le diagramme à bandes verticales.
% des
jeunes
Québécois 60
50
40
30
20
10
s
Pa
ss
du
ut
to
it
fa
tis
sa
it
fa
tis
sa
it
fa
tis
sa
it
fa
tis
sa
ez
u
Pe
A
ès
Tr
Degré de
satisfaction
IMPORTANT
Il est à noter que dans chacun des cas, il y a un titre et les axes sont
identifiés et gradués.
88
Exemple 5.14. Complétez le tableau suivant et faites un diagramme à
bandes horizontales et un diagramme circulaire.
Répartition de 1009 québécois selon leur degré de satisfaction
face à Michael Ignatieff
Pourcentage
Niveau de sa- Nombre de qué- Pourcentage de
cumulé
de
tisfaction
bécois
québécois
québécois
Peu satisfait
Assez satisfait
Très satisfait
Total
484
172
232
121
1009
SOLUTION
allo le monde
89
7.3. Présentation des variables quantitatives discrètes. Afin de
représenter les variables quantitatives discrètes, il n’y a qu’un seul type de
graphique et on l’appelle le diagramme à bâtons. Ce dernier est une représentation graphique ressemblant au diagramme à bandes verticales dans sa
construction.
Répartition de 856 ménages québécois en fonction du nombre de
personnes dans le ménage
Nombre de perNombre de mé- Pourcentage de
sonnes par ménages
ménages
nage
1
249
29,09
2
267
31,19
3
151
17,64
4
134
15,65
5
36
4,21
6
13
1,52
7
4
0,47
8
2
0,23
Total
856
100
Voyez maintenant le diagramme à bâtons qui est associé à ce tableau.
Répartition de 856 ménages en fonction du nombre de personnes
dans le ménage
270
240
210
Nombre de 180
ménages 150
120
90
60
30
1
2
3
4
5
6
7
8Nombre de
personnes
par ménage
Intuitivement...
Attention les bandes
ne sont pas collées !
90
7.4. Présentation des variables quantitatives continues. Il existe
trois façons de présenter graphiquement une variable quantitative continue :
l’histogramme, le polygone de fréquences (relatives) et le polygone de fréquences (relatives) cumulées (ogive). Pour expliquer ces trois graphiques,
utilisons les données suivantes :
Répartition du nombre de naissances (en milliers) selon l’âge de
la mère au moment de la naissance
Âge
Nombre de naissances Pourcentage Pourcentage cumulé
[15,20[
[20,25[
[25,30[
[30,35[
[35,40[
[40,45[
[45,50[
Total
2,46
12,84
30,69
28,17
11,32
2,02
0,11
87,61
2,81
14,66
35,03
32,15
12,92
2,31
0,12
100
2,81
17,47
52,5
84,65
97,57
99,88
100
http ://www.stat.gouv.qc.ca/donstat/societe/demographie/naisn_ deces/naissance/414.htm, consulté
le 28 juin 2009
7.4.1. L’histogramme. L’histogramme est un diagramme à bandes verticales dont les bandes sont collées. Voici les étapes à suivre pour tracer un
histogramme :
(1) Titrer le graphique.
(2) Identifier les axes. L’axe horizontal est généralement gradué selon
les classes du tableau de fréquences tandis que l’axe vertical peut
être gradué selon le pourcentage ou selon les fréquences absolues.
(3) Pour la première classe, tracer une bande rectangulaire de la hauteur
désirée. Pour la classe suivante, tracer aussi une bande rectangulaire
que vous prendrez soin de coller sur la précédente.
Nombre de mères
Répartition du nombre de naissance (en milliers) selon l’âge de la
mère au moment de la naissance
30
25
20
15
10
5
5
10
15
20
25
30
35
Âge de la mère
40
45
50
91
7.4.2. Le polygone de fréquence (relatives). Le polygone de fréquence a
comme principe de base que les données dans une classe sont réparties uniformément. Ceci implique que la progression des données dans une classe est
linéaire et donc que l’on peut représenter la fréquence dans une classe par
un segment de droite. En rejoignant tous les segments, on forme le polygone
de fréquence. Voici les étapes pour tracer un polygone de fréquences :
(1) Tracer l’histogramme
(2) Identifier le point milieu de chaque classe.
(3) Relier chacun de ces points milieux par un segment de droite.
(4) Compléter le polygone en rejoignant l’axe des x à chacune des extrémités en ajoutant une classe supplémentaire au début et à la
fin.
Nombre de mères
Répartition du nombre de naissance (en milliers) selon l’âge de la
mère au moment de la naissance
b
30
25
20
15
10
5
b
b
b
b
b
b
b
5
10
15
20
25
30
35
Âge de la mère
40
45
b
50
7.4.3. La courbe de fréquences (relatives) cumulées. La courbe de fréquences (relatives) cumulées ou ogive est basée sur la somme des fréquences
des classes inférieures. Il sera donc possible, par exemple, de savoir combien
(ou quel pourcentage) de mères avaient moins de 35 ans au moment de la
naissance. Voici les étapes pour tracer une ogive :
(1) Titrer le graphique
(2) Identifier les axes. L’axe horizontal est gradué selon les classes et
l’axe vertical est gradué pour les fréquences relatives cumulées, soit
de 0 % à 100%.
(3) Pour chaque classe, positionner les points sur le graphique dont les
coordonnées sont (borne supérieure de la classe ; fréquence relative
cumulée de la classe)
(4) Ajouter le point supplémentaire suivant : (borne inférieure de la
première classe, 0) afin que la courbe débute à 0%.
(5) Relier chacun des points par un segment de droite.
Intuitivement...
Habituellement,
l’ogive en est une de
fréquences relatives.
92
Fréquences relatives cumulées (%)
Répartition cumulée du nombre de naissance (en milliers) selon
l’âge de la mère au moment de la naissance
%
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
b
b
b
b
b
b
b
b
25
30
35
40
45
50 Âge
Âge de la mère
Exemple 5.15. Complétez le tableau suivant et tracez l’histogramme, le
polygone de fréquence et l’ogive.
Répartition de 178 personnes de la petite PME «Forage inc.»
selon leur revenu annuel
Revenu
Point
Nombre de
Pourcentage
annuel
Pourcentage
personnes
cumulé
(en
mil- milieu
liers)
[20,25[
1
[25,30[
8
[30,35[
28
[35,40[
36
[40,45[
42
[45,50[
37
[50,55[
20
[55,60[
4
[60,65[
2
Total
178
5
10
15
20
SOLUTION
allo le monde
allo le monde
93
7.4.4. Classes inégales.
Exemple 5.16. Nous avons recueilli le revenu d’un ménage (milliers de
$) pour un échantillon de 75 ménages. Ces données sont présentées dans le
tableau ci-dessous.
11 13 13 14 14 17 18 18 19 20 21 22 23 23 24
24 24 25 25 27 28 28 29 30 30 31 35 35 37 37
37 38 40 41 42 43 44 46 46 50 50 50 53 53 54
55 56 56 56 57 57 57 58 60 61 62 62 63 65 66
66 68 68 70 72 75 76 80 80 85 88 88 95 110 115 155
Présentez ces données dans un tableau et tracez l’histogramme.
SOLUTION
Table 7. Répartition de 75 ménages selon leur revenu.
Revenu
Milieu de Nombre de Pourcentage Pourcentage
(milliers $) la classe
ménages
cumulé
[10; 30[
20
22
29,33
29,33
[30; 50[
40
16
21,33
50,66
[50; 70[
60
24
32,0
82,66
[70; 90[
80
9
12,0
94,66
[90; 110[
100
1
1,33
95,99
[110; 130[
120
2
2,67
98,66
[130; 150[
140
0
0,0
98,66
[150; 170[
160
1
1,33
99,99
Total
75
99,99
% de ménages
L’histogramme sera donc :
Répartition de 75 ménages selon leurs revenus.
30
25
20
15
10
5
0
20
40
60
80 100 120 140 160
Revenu (milliers de $)
On remarque que les dernières classes n’ont pas le même ordre de grandeur
d’effectifs que les précédentes. Donc, il peut être utile de changer l’amplitude
des dernières classes. Nous aurons donc des classes de largeurs inégales. Nous
allons donc construire des classes d’amplitude 10 et une dernière classe plus
grande que les autres, d’amplitude 80.
94
Revenu
Milieu de Nombre de Pourcentage Pourcentage
(milliers $) la classe
ménages
cumulé
[10; 20[
15
9
12,0
12,0
[20; 30[
25
13
17,33
29,33
[30; 40[
35
9
12,0
41,33
[40; 50[
45
7
9,33
50,66
[50; 60[
55
14
18,66
69,32
[60; 70[
65
10
13,33
82,65
[70; 80[
75
4
5,33
87,98
[80; 160[
120
9
12,0
99,98
Total
75
99,98
À ce moment l’histogramme serait :
% de ménages
20
15
10
5
0
20
40
60
80
100
120
140
160
L’histogramme précédent est un trompe l’oeil, car on pourrait croire qu’il
y a beaucoup plus de fréquences dans la dernière classe, ce qui n’est pas
le cas. Il faut respecter la densité de chacune des classes, c’est-à-dire que
l’aire des rectangles doit être proportionnelle. Cela rendra l’histogramme plus
compréhensible.
Puisque la dernière classe est 8 fois plus large que les autres, il faut diviser la
hauteur par 8. Ainsi, sa hauteur sera 12÷8 = 1.5. Finalement, l’histogramme
sera
5.8. Exercices récapitulatifs du chapitre 5
95
% de ménages
20
15
10
5
0
20
40
60
80
100
120
140
160
8. Exercices récapitulatifs du chapitre 5
Exercice 1. Quels sont les principaux avantages à choisir un sondage
plutôt qu’un recensement ?
Exercice 2. Pour chacun des cas suivants, identifiez le nom de la variable et son type.
a) Une entreprise désire étudier le nombre d’absences (en jours) de chacun
de ses employés afin d’établir le nombre de jours de maladie nécessaires
dans la nouvelle convention collective.
b) Le Vatican fait une étude sur la religion de trente pays afin de connaître
la diversité des croyances.
c) La température maximale de chacune des journées de l’été.
d) Le cégep désire étudier le nombre de cours de la session H09 de chacun
des élèves du programme sciences humaines.
e) La Presse a fait un sondage auprès de 1000 québécois afin de connaître
leur degré d’approbation vis-à-vis la présence canadienne en Afghanistan.
Exercice 3. Pour chacun des tableaux suivants, donnez l’unité statistique, la variable, le type, l’échelle de mesure ainsi que les différentes modalités ou valeurs.
a) allo le monde
96
Table 8. Distribution de 515 québécois selon le joueur des
canadiens qui les a le plus déçu dans la saison 2008-2009
Nom du joueur
Carey Price
Saku Koivu
Plekanec
Andrei Kostitsyn
Alex Kovalev
Sergei Kostitsyn
Aucun
Total
Nombre de québécois
159
77
77
66
60
38
38
515
Journal de Montréal, Édition du mardi 28 avril 2009, p.95
97
b) allo le monde
Table 9. Répartition de 300 étudiants selon leur revenu annuel.
Revenu annuel (en miliers
Nombre d’étudiants
de $)
[0,5[
66
[5,10[
60
[10,15[
72
[15,20[
50
[20,25[
13
25 et plus
39
Total
300
c) allo le monde
Table 10. Répartition de 300 étudiants selon le nombre de
cours par session.
Nombre de cours
1
2
3
4
5
6
7
Total
Nombre d’étudiants
4
13
30
88
117
36
12
300
Exercice 4. Quelles sont les 5 qualités nécessaires à la formulation
d’une bonne question ? Expliquez chacune des qualités.
Exercice 5. Voici un tableau présentant certaines caractéristiques concernant certains joueurs des Alouettes. Pour chacune des variables présentées,
déterminez la variable, le type de la variable ainsi que l’échelle de mesure
utilisée.
98
Fiche
Joueurs
Position
Étienne
demiBoulay
défensif
Ben Ca- Demihoon
inséré
Anthony
Calvillo
Bryan
Chiu
Damon
Duval
des joueurs des Alouettes
Taille
Poids
Age
5’8”
180 lbs
25
5’8”
184lbs
36
Quartarrière
6’0”
200
36
Centre
6’2”
299 lbs
34
Botteur
6’0”
200 lbs
29
Ville
Montréal,
QC
Orem, UT
Los
Angeles,
CA
Vancouver,
BC
Morgan
City, LA
http ://www.rds.ca/football/cfl/stats/cfl_prof_equipe.php ?tid=5612&display=roster, consulté le 25
juin 2009
Exercice 6. Afin de connaître l’opinion des québécois et québécoises
sur la souveraineté du Québec, le Parti Québécois a fait distribuer au hasard
et par la poste un questionnaire à 300 personnes âgées de 18 ans et plus.
Déterminez d’abord :
a) La population visée ;
b) l’unité statistique ;
c) l’échantillon ;
d) Voici quelques questions que contenait le questionnaire. Pour chacune
des questions, déterminez la variable, son type et son échelle de mesure.
De plus, dites si la question est bien construite, sinon donnez le critère
de qualité qui n’est pas respecté.
(a) Dans quel groupe d’âge êtes-vous ?
( ) 18-30 ans
( ) 30-45 ans
( ) 45-60 ans
( ) 60 ans et plus
(b) De quel sexe êtes-vous ?
( ) Homme
( ) Femme
(c) Croyez-vous que la souveraineté soit réalisable ?
(d) Combien de frères avez-vous ?
()0
()1
()2
()3
( ) plus de 3
99
(e) Quel est votre revenu ?
(f ) Les journaux critiquent beaucoup Pauline Marois. Quel est votre degré de satisfaction vis-à-vis de la chef du Parti Québécois ?
( ) Très satisfait
( ) Satisfait
( ) Insatisfait
( ) Très insatisfait
Exercice 7. Quel est le principal avantage à utiliser une technique
d’échantillonnage aléatoire plutôt que non aléatoire ?
Exercice 8. Qu’est-ce qu’une base de sondage ? Donnez-en un exemple.
Exercice 9. Quelle est la différence entre une strate et une grappe ?
Exercice 10. Pour les énoncés suivants, dites si la méthode utilisée est
aléatoire ou non et identifiez la technique d’échantillonnage.
a) Afin d’étudier le sens de l’organisation, un chercheur sélectionne au hasard des hommes et des femmes tout en respectant la proportion des
différents sexes dans le groupe.
b) On interroge des personnes qu’on choisit spontanément dans la file d’attente d’un spectacle d’humour et on leur demande si elles accepteraient
de donner l’équivalent du prix de leur billet pour supporter la recherche
sur le cancer du sein.
c) Afin de vérifier la satisfaction des élèves inscrits au programme de sportsétudes, un collège contacte dix athlètes membres du programme, dont le
bulletin témoigne d’un rendement scolaire au-dessus de la moyenne, pour
recueillir leur opinion sur le contenu du programme.
d) Une compagnie effectuant une étude de marché concernant l’arrivée d’un
nouveau restaurant marocain dans le centre-ville choisit 20 pages de l’annuaire et téléphone à toutes les personnes de ces pages afin de connaître
leur opinion à ce sujet.
e) On choisit au hasard dans la liste complète des élèves du cégep 200 élèves
afin qu’ils répondent à un questionnaire sur la qualité de la nourriture de
la cafétéria.
f) Lors d’un téléthon, on demande à toutes les personnes qui appellent pour
faire un don si elles sont intéressées à se présenter au poste la semaine
suivante afin de répondre à un questionnaire sur la façon dont le téléthon
a été publicisé.
g) Une grande entreprise sélectionne 200 employés pour un sondage, en
veillant à ce que l’échantillon respecte la proportion des employés à savoir
s’ils oeuvrent dans l’usine ou dans le bureau.
h) Un chef cuisinier veut vérifier le degré de satisfaction de tous ses clients
réguliers. Alors, il fait une liste de tous ses clients. Il appelle le troisième
de la liste, puis un à tous les 5 clients.
100
Exercice 11. Des individus travaillant pour une compagnie souhaitent
se syndicaliser. Ils désirent effectuer un sondage auprès des employés afin de
savoir s’ils sont intéressés. Ils souhaitent cependant respecter les proportions
des différents types d’employés. Voici la distribution des employés :
Distribution de 300 employés selon leur type d’emploi
Type d’employés
Nombre d’employés
Temps plein
98
Temps partiel
82
Employés de marchandise
62
Employés de bureau
58
Total
300
a) Quelle technique d’échantillonnage leur suggérez-vous ?
b) Si on désire prendre un échantillon de 50 personnes, combien d’employés
à temps partiel ce groupe de personnes devrait-il questionner ?
Exercice 12. Dans un sondage effectué par Léger Marketing sur l’opinion des québécois paru dans le journal de Montréal le 28 avril 2009, voici ce
qu’on pouvait lire à la fin de l’étude : « Ce sondage éclair Léger Marketing
a été réalisé dans Internet le 23 avril auprès de 547 québécois. Les données
finales ont été pondérées selon le sexe, l’âge, la langue maternelle et la région, de façon à être représentatives de la population du Québec, selon les
dernières données de Statistique Canada.» Selon vous, quelle méthode a été
utilisée ? 1
Exercice 13. Un enquêteur veut étudier les 50 dossiers sur lesquels il
a travaillé en 2008 afin de vérifier le temps de résolution de ses enquêtes.
b) Quelle est la taille de la population ?
c) Combien de cas de viol a-t-il résolu en 2008 ? de meurtres ?
d) Parmi les 50 cas, quelle est la proportion de vol parmi les cas résolus de
cet enquêteur ?
e) Quelle est la base de sondage dans ce cas-ci ?
f) S’il n’a pas le temps d’étudier tous ses dossiers, quelle méthode d’échantillonnage lui suggères-tu ?
g) Supposons qu’il n’a le temps d’étudier que 40 % de ses dossiers, quelle
est la taille de l’échantillon ?
h) Donnez le type des variables présentes dans le tableau ainsi que leur
échelle de mesure.
1. Journal de Montréal, Édition du mardi 28 avril 2009, p.95
Les 50 dossiers de
Temps de résoType de dossier
lution (en sem)
Vol
24
Viol
5
Vol
15
Vol
1
Meurtre
42
Délit de fuite
3
Vol
21
Viol
11
3
Disparition
Vol
2
Viol
14
5
Vol
Fugue
3
Vol
4
72
Disparition
Vol
2
Meurtre
1
Délit de fuite
3
Vol
22
Viol
11
Vol
5
Fugue
3
Vol
4
Disparition
2
13
Vol
101
l’enquêteur
Type de dossier
Meurtre
Vol
Meurtre
Vol
Viol
Vol
Vol
Vol d’identité
Vol
Vol
Délit de fuite
Viol
Vol
Vol
Vol
Vol
Viol
Vol
Vol
Vol d’identité
Viol
Vol
Vol
Vol
Vol
Durée de résolution(en sem)
1
3
8
2
4
12
9
6
17
3
2
22
32
2
10
2
4
1
9
3
22
32
4
1
6
Exercice 14. On a interrogé 30 joueurs de football sur leur degré de
satisfaction face à leur entraîneur-chef. Les choix possibles étaient très satisfait, satisfait, insatisfait et très insatisfait. Voici les données obtenues :
102
Degré de satisfaction de 30 joueurs
entraîneur.
très satisfait
satisfait
satisfait
insatisfait
insatisfait
satisfait
satisfait
satisfait
satisfait
très satisfait
insatisfait
satisfait
satisfait
satisfait
très insatisfait très satisfait
satisfait
satisfait
satisfait
très satisfait
de football face à leur
satisfait
très satisfait
très satisfait
très insatisfait
insatisfait
insatisfait
satisfait
satisfait
satisfait
insatisfait
a) Que représente une unité statistique ?
b) Quelle est la variable à l’étude ?
c) De quelle nature est la variable ?
d) Quelle échelle de mesure utilisera-t-on ?
e) Quelles sont les différentes modalités ?
f) Présentez ces données dans un tableau de fréquences absolues et relatives.
g) Donnez une représentation graphique appropriée des données.
Exercice 15. Un Centre de la Petite Enfance a compté pour chacun
de ses enfants, combien de fois ils ont été absents de la garderie ce mois-ci.
Voici les résultats :
Distribution de 70 enfants selon leur nombre d’absences de la
garderie ce mois-ci
01052304651320
30454320010121
20034500101020
13454020011301
00002146121004
a) Quelle est la variable à l’étude ? Donnez son type.
b) Quelle échelle de mesure a-t-on employé ?
c) Présentez ces données sous la forme d’un tableau de fréquences.
d) Représentez ces données sous une forme graphique appropriée.
103
Exercice 16. Examinez la série statistique suivante donnant la superficie occupée par un échantillon de municipalités régionales de comté (MRC)
de la montérégie en 2008.
Répartition des 15 MRC de la montérégie selon leur superficie
MRC
Superficie (km2 ) MRC
Superficie (km2 )
VaudreuilBeauharnois854
489
Soulanges
Salaberry
Le
Haut-SaintLes
Jardins-de1 168
802
Laurent
Napierville
Roussillon
422
Le Haut-Richelieu 936
La Haute YaBrome-Missisquoi 1 537
750
maska
Rouville
482
Acton
579
La
Vallée-du587
Longueuil
282
Richelieu
Lajemmerais
347
Les Maskoutains
1 303
Pierre-De Saurel 594
www.stat.gouv.qc.ca/regions/profils/region_ 16/region_ 16_ 00.htm, consulté en ligne le 30 juin
2009
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Quelle est l’unité statistique ?
Quelle est le type de la variable « superficie» ?
Quelle échelle de mesure a-t-on employée pour mesurer cette variable ?
Présentez cette série sous forme de tableau de fréquence en utilisant 200
km2 comme limite inférieure de la première classe et 200km2 comme
amplitude des classes. Respectez les normes de présentation.
Tracez l’histogramme à partir du tableau dressé en e.
Tracez l’ogive.
À partir de l’ogive, dites quelle est le pourcentage des MRC qui ont une
superficie inférieure à 1 000 km2 .
À l’aide de vos graphiques, estimez le pourcentage des MRC qui ont une
superficie entre 800 km2 et 1400 km2 .
Exercice 17. Une municipalité a publié les résultats suivants concernant les comptes de taxes de ses citoyens :
Répartition en pourcentage des comptes de taxes selon le montant
Montant de taxes Pourcentage des citoyens
[500,750[
5
[750,1 000[
25
[1 000,1 250[
30
[1 250,1 500[
20
[1 500,1 750[
15
[1 750,2 000[
5
Total
100
104
a) Tracez un histogramme et une ogive.
b) Estimez le pourcentage de personnes qui paient un compte de taxes de
moins 1 400$ ?
c) Quel est le montant maximal payé par plus de 60% des citoyens de cette
municipalité ?
CHAPITRE 6
1. Les mesures de tendance centrale
Les mesures de tendance centrale servent à caractériser une variable à
l’aide d’une valeur ou d’une modalité typique. Il existe trois mesures de
tendance centrale : le mode, la médiane et la moyenne.
1.1. Le mode.
Définition 1 (Le mode). Le mode d’une variable correspond à la valeur
ou à la modalité la plus fréquente. On note le mode par M o.
Exemple 6.1. Soit le tableau suivant :
Répartition des votes aux élections municipales selon le candidat.
Candidat
Pourcentage des votes (% )
Joël Allard
13
Carla Bruni
45
Jules Verne
24
Richard Zetnik
18
Total
100
Ici, le mode est donné par Carla Bruni (M o : Carla Bruni), car c’est la
modalité qui possède la plus grande fréquence.
Lorsque les données sont regroupées en classes, on parle plutôt de la classe
modale. Celle-ci correspond à la classe possédant la plus grande fréquence. Il
faut cependant s’assurer que toutes les classes sont de la même largeur, sinon
la classe modale n’est pas définie. Dans le cas où il y a une classe ouverte, il
n’y a habituellement aucun problème, car il s’agit de cas marginaux.
105
106
Exemple 6.2. Soit le tableau suivant :
Répartitions des monarques d’Angleterre (roi ou reine) selon la
durée de leur règne, 827-1952.
Durée du règne Nombre de monarques
[0, 10[
22
[10, 20[
16
[20, 30[
11
[30, 40[
7
[40, 50[
1
[50, 60[
3
[60, ∞[
1
Total
61
Intuitivement...
Dans certains livres,
on dit que le mode est
le milieu de la classe
modale, Mo = 5 dans
le dernier exemple.
Source : R. Porkess, Dictionary of Statistics, Londres, Collins, 1988, p.70.
Ici, la classe modale est [0, 10[.
Définition 2. Une variable est dite bimodale si la fréquence la plus
élevée correspond à deux modalités ou valeurs de la variable.
1.2. La médiane.
Définition 3. La médiane est la valeur de la variable telle que le nombre
de donnés qui lui sont inférieures ou égales est égal au nombre de données
qui lui sont supérieures ou égales. On la note M d.
IMPORTANT
La médiane existe seulement pour les variables quantitatives.
Pour calculer la médiane, nous devons placer les valeurs en ordre croissant.
Pour trouver la médiane, il faut d’abord trouver la position de cette dernière.
n+1
.
Cette position est donnée par
2
Exemple 6.3. Soit les 7 données suivantes :
1, 2, 4, 6, 7, 13, 18
Trouvez la médiane.
SOLUTION
7+1
= 4. Ainsi, la médiane se trouve à la 4e position,
Calculons la position :
2
d’où M d = 6.
Exemple 6.4. Soit les 8 données suivantes :
1, 2, 4, 6, 7, 9, 13, 18
Trouvez la médiane.
SOLUTION
6.1. Les mesures de tendance centrale
107
8+1
= 4.5. Puisqu’une position ne peut être fracCalculons la position :
2
tionnaire, la médiane sera la moyenne des valeurs aux positions 4 et 5. D’où,
6+7
Md =
= 6.5
2
Exemple 6.5. Trouvez la médiane des données suivantes :
Répartition des répondants selon le niveau d’aptitude à la lecture.
Niveau Nombre de répondants Cumulatif des répondants
1
17
17
2
23
40
3
55
95
4
155
250
Total
250
SOLUTION
allo le monde
Voici la technique pour déterminer la médiane lorsque les données sont
regroupées en classes.
Exemple 6.6. Trouvez la médiane des données suivantes :
Répartition des monarques d’Angleterre (roi ou reine) selon la
Durée du règne Nombre de monarques Fréquences cumulées
[0, 10[
22
22
[10, 20[
16
38
[20, 30[
11
49
[30, 40[
7
56
[40, 50[
1
57
[50, 60[
3
60
[60, ∞[
1
61
Total
61
SOLUTION
La première étape est de calculer les fréquences cumulées afin de déterminer
la classe médiane, c’est-à-dire la classe qui contient la médiane. Puisque
celle-ci se trouve à la position n+1
2 = 31, alors la classe médiane [10, 20[.
Pour trouver la valeur de la médiane, rappelons-nous l’allure de l’ogive sur
l’intervalle [10, 20[. Il s’agissait d’un segment de droite.
108
38
b
31
22
b
10
M d 20
Puisque les trois points se situent sur la même droite, nous pouvons calculer
la pente de cette dernière de deux manières différentes ce qui nous permettra
de trouver M d.
31 − 22
38 − 22
=
20 − 10
M d − 10
9
1.6 =
M d − 10
9
M d − 10 =
1.6
M d = 15.625 ans
Exemple 6.7. Soit les données suivantes :
Répartition des mois d’octobre selon le nombre d’heures
d’ensoleillement
Nombre d’heures Milieu de
Nombre de
Pourcentage Pourcentage
d’ensoleillement la classe mois d’octobre
cumulé
[75; 100[
87,5
4
8,2
8,2
[100; 125[
112,5
11
22,4
30,6
[125; 150[
137,5
17
34,7
65,3
[150; 175[
162,5
14
28,6
93,9
[175; 200[
187,5
2
4,1
98,0
[200; 225[
212,5
1
2,0
100,0
Total
49
100,0
Déterminez la médiane du nombre d’heures d’ensoleillement.
SOLUTION
allo le monde
109
1.3. La moyenne. La moyenne est la mesure de tendance centrale la
plus connue. On la note x̄ si les données proviennent d’un échantillon ou µ
si elles proviennent d’une population.
Définition 4 (Moyenne).
x̄ =
X
x1 + x2 + x3 + ... + xn
1 n
xk =
n k=1
n
1
µ=
N
Xx
N
k
=
k=1
x1 + x2 + x3 + ... + xN
N
où les xk sont les résultats obtenus.
Exemple 6.8. Trouver la moyenne de la série des 25 données suivantes :
2, 4, 3, 4, 2, 4, 3, 5, 5, 4, 3, 5, 5, 4, 5, 4, 3, 2, 3, 4, 5, 3, 5, 4, 3.
SOLUTION
x1 + x2 + x3 + ... + xn
n
x1 + x2 + x3 + ... + x25
=
25
1
= (2 + 4 + 3 + 4 + 2 + 4 + 3 + 5 + 5 + 4 + 3
25
+ 5 + 5 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 3 + 4 + 5 + 3 + 5 + 4 + 3)
95
=
25
=3.76
x̄ =
Lorsque les données sont groupées par valeurs, on calcule la moyenne à
l’aide de la formule suivante :
x̄ =
1
n
Xv f
k
i i
i=1
=
v1 f1 + v2 f2 + ... + vk fk
,
n
où
• vi est la i-ème valeur
• fi est la fréquence de la i-ème valeur
• k est le nombre de valeurs possibles
Exemple 6.9. Trouvez la moyenne des résultats présentés dans le tableau
suivant :
110
Note obtenue à un mini-test Fréquences
2
3
3
7
4
8
5
7
Total
25
SOLUTION
v1 f1 + v2 f2 + ... + vk fk
n
2×3+3×7+4×8+5×7
=
25
= 3.76
x̄ =
Lorsque les données sont regroupées en classes, on ne connaît pas la valeur
de la variable pour chaque fréquence. On prend alors le milieu de la classe.
La moyenne est obtenue avec la formule suivante :
x̄ =
1
n
Xm f
k
i i
i=1
=
m1 f1 + m2 f2 + ... + mk fk
,
n
où
• mi est le milieu de la i-ème classe
• fi est la fréquence de la i-ème classe
• k est le nombre de classes
Exemple 6.10. Trouvez le temps moyen de règne des monarques de l’Angleterre.
Durée du règne Nombre de monarques
[0, 10[
22
[10, 20[
16
[20, 30[
11
[30, 40[
7
[40, 50[
1
[50, 60[
3
[60, 70[
1
Total
61
SOLUTION
111
On cherche µ, car c’est une population.
m1 f1 + m2 f2 + ... + m7 f7
N
5 × 22 + 15 × 16 + 25 × 11 + 35 × 7 + 45 × 1 + 55 × 3 + 65 × 1
=
61
1145
=
61
= 18.8 ans
µ=
IMPORTANT
Il faut écrire les unités après les mesures de tendance centrale.
Exemple 6.11. Pour chacun des tableaux suivants, trouvez, si possible,
le mode, la médiane et la moyenne.
a) allo le monde
Répartition des 3 200 335 Québécois de la population active
selon le mode de transport utilisé pour aller au travail
Nombre de Québé- Pourcentage de QuéMode de transport
cois
bécois
Automobile
2 502 900
78.21
Transport en commun
411 175
12.85
221 725
6.93
À pied
Bicyclette
39 935
1.25
Moto
3 010
0.09
Taxi
6 050
0.19
Autres moyens
15 540
0.48
Statistiques Canada
allo le monde
b) allo le monde
Répartition de 300 étudiants selon leur degré de satisfaction
envers le nouveau service de sautés de la cafétéria
112
Niveau de satisfaction Nombre de Québécois Pourcentage
33
11
Peu satisfait
48
16
Assez satisfait
152
50.67
Très satisfait
67
22.33
Total
300
100
allo le monde
c) allo le monde
Répartition de 856 ménages québécois en fonction du nombre
de personnes dans le ménage
Nombre de personnes Nombre de ménages Pourcentage de ménage
1
249
29,09
2
267
31,19
3
151
17,64
4
134
15,65
5
36
4,21
6
13
1,52
7
4
0,47
8
2
0,23
Total
856
100
allo le monde
d) allo le monde
Répartition du nombre de naissances (en milliers) selon l’âge
de la mère au moment de la naissance
113
Âge Nombre de naissances Pourcentage Pourcentage cumulé
[15,20[
2,46
2,81
2,81
[20,25[
12,84
14,66
17,47
[25,30[
30,69
35,03
52,5
[30,35[
28,17
32,15
84,65
[35,40[
11,32
12,92
97,57
[40,45[
2,02
2,31
99,88
[45,50[
0,11
0,12
100
Total
87,61
100
http ://www.stat.gouv.qc.ca/donstat/societe/demographie/naisn_ deces/naissance/414.htm,
consulté le 28 juin 2009
allo le monde
1.4. Caractéristiques.
Mode
Médiane
Moyenne
Type de variables. Caractéristique
• Rapide à trouver.
• Peut ne pas être unique.
• Ne tient pas compte des données marginales.
Toutes
• Bonne représentation si la fréquence du
mode est nettement supérieure.
Quantitatives
Quantitatives
• Moyennement rapide à calculer, car il
faut ordonner les données.
• Unique
• Ne tient pas compte des données marginales.
• Utiliser lorsque les données sont asymétriques
• Bon complément à la moyenne.
Long à calculer.
Unique
Influencé par les données marginales.
Utiliser lorsque les données sont symétriques
• Point central de l’inférence statistique.
•
•
•
•
114
1.5. Calcul de la moyenne avec la calculatrice. Puisque le calcul
de la moyenne peut être long, il est possible de se simplifier la tâche grâce
au mode STATISTIQUE de la majorité des calculatrices. Nous regarderons
ici, comment utiliser ce mode sur la calculatrice de marque SHARP. Voici la
procédure à suivre :
1) Mettre la calculatrice en mode statistique. MODE -> 1 -> 0 (SD)
2) Entrée des résultats : 2 façons
Données non regroupées: Valeur de la donnée -> M+
Données regroupées: Valeur de la donnée -> STO -> fréquence -> M+
3) Vérification : le nombres de données. ALPHA -> 0 (n)
4) Moyenne : ALPHA -> 4 (x̄)
5) Vider la mémoire : 2ndF -> ALPHA -> 0 -> 0
2. Les mesures de dispersion
Les mesures de dispersion quantifient l’étalement, la variabilité et l’homogénéité des données. Toutefois, les mesures de dispersion ne se calculent
que pour les variables quantitatives.
2.1. L’étendue.
Définition 5. L’étendue, symbolisée par E, est l’écart entre la valeur
maximale Vmax et la valeur minimale Vmin des résultats
E = Vmax − Vmin
Exemple 6.12. Trouvez l’étendue.
Répartition des répondants, selon le niveau d’aptitude à la lecture.
Niveau Nombre de répondants Cumulatif des répondants
1
17
17
2
23
40
3
55
95
4
155
250
Total
250
SOLUTION
E = Vmax − Vmin
=4−1
= 3 niveaux
Pour calculer l’étendue d’une variable quantitative continue dont les résultats sont regroupés en classe, il suffit de soustraire la borne inférieure de
la classe inférieure à la borne supérieure de la classe supérieure.
Exemple 6.13. Trouvez l’étendue.
6.2. Les mesures de dispersion
115
[0, 10[
22
22
[10, 20[
16
38
[20, 30[
11
49
[30, 40[
7
56
[40, 50[
1
57
[50, 60[
3
60
Total
60
SOLUTION
E = Limsup − Liminf
= 60 − 0
= 60 ans
2.2. L’écart-type et la variance. La variance et l’écart-type (que
nous avons vu pour les variables aléatoires) tiennent compte de l’ensemble
des résultats contrairement à l’étendue. Par contre, il y aura une subtilité
importante dans le calcul selon que les résultats proviennent d’un échantillon
ou d’une population.
Définition 6 (La variance). La variance des résultats, notée σ 2 pour
une population et s2 pour un échantillon, est donnée par
P (x − µ)
N
i
2
σ =
i=1
P (x − x̄)
n
2
i
2
N
s =
i=1
n−1
2
.
IMPORTANT
Contrairement au calcul de la moyenne, il y a une différence majeure
dans le calcul de la variance pour une population et pour un
échantillon. Dans le premier, on divise par N et dans le second, c’est
par n − 1. Ceci provient de la théorie des estimateurs et ne sera pas
abordée dans ce cours.
Il sera rare que nous travaillerons avec la variance d’une série de données.
Par contre, nous utiliserons énormément l’écart-type qui, comme on le sait,
est la racine carrée de la variance.
Définition 7 (Écart-type). L’écart-type σ, pour une population, est la
racine carrée de la moyenne des écarts entre les valeurs et la moyenne. Elle
116
correspond également à la racine carré de la variance. Dans le cas d’un échantillon, il y a la même correction que pour le calcul de la variance. Ainsi,
Í
N
n
2
i
σ=
ÍP
P (x − µ)
i=1
s=
N
(xi − µ)2
i=1
n−1
Ce que nous donne l’écart-type est la dispersion des données autour de la
moyenne. Plus l’écart-type est faible, plus les données sont dispersées près de
la moyenne. Inversement, plus l’écart-type est élevée, plus les données sont
dispersées loin de la moyenne.
Il existe d’autres formules en fonction du type de regroupement des données.
Population
Échantillon
ÍP
N
Aucun regroupement
i=1
ÍP
σ=
k
Regroupées par valeurs
σ=
σ=
N
ÍP
n
s=
N
k
s=
N
s=
n−1
(xi − µ)2 fi
i=1
ÍP
k
(mi − µ)2 fi
i=1
(xi − µ)2
i=1
ÍP
(xi − µ)2 fi
i=1
k
Regroupées en classes
(xi −
ÍP
µ)2
n−1
(mi − µ)2 fi
i=1
n−1
Exemple 6.14. Trouvez l’écart-type sachant que x̄ = 3.39.
Répartition des répondants, selon le niveau d’aptitude à la lecture.
Niveau Nombre de répondants Fréquences cumulées des répondants
1
17
17
2
23
40
3
55
95
4
155
250
Total
250
ÍP
k
s=
Ê
SOLUTION
(xi − x̄)2 fi
i=1
n−1
(1 − 3, 39)2 × 17 + (2 − 3, 39)2 × 23 + (3 − 3, 39)2 × 55 + (4 − 3, 39)2 × 155
249
= 0, 91
=
6.3. Le coefficient de variation
117
Exemple 6.15. Trouvez l’écart-type.
[0, 10[
22
22
[10, 20[
16
38
[20, 30[
11
49
[30, 40[
7
56
[40, 50[
1
57
[50, 60[
3
60
Total
60
SOLUTION
Supposons que nous savons que la moyenne est 18.
Í
P (m − µ) f
k
2
i
σ=
Ê
i
i=1
N
(5 − 18)2 × 22 + (15 − 18)2 × 16 + ... + (55 − 18)2 × 3
60
= 13, 70 ans
=
2.3. Calcul de l’écart-type avec la calculatrice. Il faut d’abord
avoir entré les données.
1) Population : ALPHA -> 6 (σ)
2) Échantillon : ALPHA -> 5 (s)
3. Le coefficient de variation
Le coefficient de variation permet de comparer la variabilité de deux séries qui ont des moyennes très différentes ou même qui ne sont pas exprimées
dans les mêmes unités puisque le coefficient de variation exprime l’écart-type
en pourcentage de la moyenne.
Définition 8 (Le coefficient de variation). Le coefficient de variation
(CV ) est donné par
σ
s
CV = × 100% CV = × 100%
µ
x̄
Le coefficient de variation donne l’homogénéité de la série. Si le coefficient
de variation est inférieur à 15%, on considère que les données sont homogènes
(c’est-à-dire qu’elles sont similaires) et inversement, si le coefficient de variation est supérieur à 15%, on dit que les données sont hétérogènes.
Exemple 6.16. Pour chacun des tableaux suivants, trouvez l’étendue,
l’écart-type et le coefficient de variation et interprétez le résultat.
118
a) allo le monde
Répartition de 856 ménages québécois en fonction du nombre
de personnes dans le ménage
Nombre de per- Nombre de mé- Pourcentage de
sonnes
nages
ménage
1
2
3
4
5
6
7
8
Total
249
267
151
134
36
13
4
2
856
29,09
31,19
17,64
15,65
4,21
1,52
0,47
0,23
100
allo le monde
b) allo le monde
Répartition du nombre de naissances (en milliers) selon l’âge
de la mère au moment de la naissance
Âge Nombre de naissances Pourcentage Pourcentage cumulé
[15,20[
[20,25[
[25,30[
[30,35[
[35,40[
[40,45[
[45,50[
Total
2,46
12,84
30,69
28,17
11,32
2,02
0,11
87,61
2,81
14,66
35,03
32,15
12,92
2,31
0,12
100
2,81
17,47
52,5
84,65
97,57
99,88
100
http ://www.stat.gouv.qc.ca/donstat/societe/demographie/naisn_ deces/naissance/414.htm,
consulté le 28 juin 2009
allo le monde
6.4. Les mesures de position
119
3.1. Caractéristiques.
Étendue E
Variance (σ 2 , s2 )
Écart-type (σ, s)
•
•
•
•
Rapide à calculer.
Mêmes unités que la variable.
Ne tient compte que des données extrêmes.
Influencé par les données marginales.
• Long à calculer.
• Mêmes unités que la variable, mais au carré.
• Tient compte de toutes les données.
•
•
•
•
•
•
Coefficient de va•
riation (CV )
•
Long à calculer.
Mêmes unités que la variable.
Tient compte de toutes les données.
Le plus utilisé.
Long à calculer
Aucune unité
Tient compte de toutes les données.
Caractérise l’homogénéité des données
4. Les mesures de position
Les mesures de position permettent de situer une donnée par rapport
aux autres. Nous en étudierons deux types : les quantiles et les rangs.
4.1. Les quantiles. Les quantiles sont des valeurs qui divisent une série
de données ordonnées en plusieurs groupes égaux.
Définition 9 (Les quartiles). Les quartiles, notés par Q1 , Q2 et Q3 ,
divisent une série de données ordonnées en quatre groupes égaux comprenant
chacun 25% des données de la série. On dit que
(1) 25% des données sont inférieures ou égales à Q1
Définition 10 (Les déciles). Les déciles, notés par D1 , D2 , ..., D8 et D9 ,
divisent une série de données ordonnées en dix groupes égaux comprenant
chacun 10% des données de la série. On dit que
(1) 10% des données sont inférieures ou égales à D1
(3) ...
120
Définition 11 (Les quintiles). Les quintiles, notés par V1 , V2 , V3 et V4 ,
divisent une série de données ordonnées en 5 groupes égaux comprenant chacun 20% des données de la série. On dit que
(1) 20% des données sont inférieures à ou égales V1
Définition 12 (Les centiles). Les centiles, notés par C1 , C2 , ...C98 et C99 ,
divisent une série de données ordonnées en 100 groupes égaux comprenant
chacun 1% des données de la série.
On dit que
(1) 1% des données sont inférieures ou égales à C1
(3) ...
Il existe deux façons d’obtenir les quantiles. La première façon est d’utiliser l’ogive, mais attention vous n’obtenez qu’une estimation de la réponse.
La deuxième façon donne une réponse exacte.
Exemple 6.17. Trouvons Q1 à l’aide des deux méthodes.
Durée du règne Nombre de monarques Fréquences relatives cumulées
[0, 10[
22
36,06
[10, 20[
16
62,30
[20, 30[
11
80,33
[30, 40[
7
91,80
[40, 50[
1
93,44
[50, 60[
3
98,36
[60, 70[
1
100
Total
61
Pour utiliser la première méthode, il faut tracer l’ogive associée à la variable
durée du règne. Par la suite, on peut retrouver l’information sur le graphique.
Ici, on cherche Q1 telle que 25% des données sont inférieures ou égales à cette
valeur. Pour déterminer cette valeur, on doit tracer un segment de droite
horizontal partant du point (0, 25) jusqu’à la courbe. À partir de ce point, on
descend une droite verticale jusqu’à l’axe des x. Nous pouvons donc estimer
Q1 ≈ 7ans .
% cumulé
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
121
Répartitions des fréquences cumulées des monarques d’Angleterre
(roi ou reine) selon la durée de leur règne, 827-1952.
b
b
b
b
b
b
b
durée du règne (années)
b
20
30
40
50
60
Q1 10
La deuxième façon nous permet de déterminer la valeur exacte. On cherche
la première classe pour laquelle le pourcentage cumulé dépasse 25%, c’est
alors dans cette classe que se situe Q1 . Ainsi, Q1 se trouve entre 0 et 10.
On sait que la valeur 0 est associée à 0% et que la valeur 10 est associée à
36, 06%. On cherche la valeur associée à 25%. Puisque ces trois points sont
sur une même droite, on a alors
Q1 − 0
10 − 0
=
.
36, 06 − 0
25 − 0
En isolant Q1 , on obtient Q1 = 6, 93ans.
Exemple 6.18. Trouvez D6 pour l’exemple précédent.
SOLUTION
D6 correspond à la valeur de la variable telle que 60% des données lui sont
inférieures ou égales. D6 appartient donc à la classe [10, 20[. Nous avons
donc un triplet de points (10, 36.06), (D6 , 60) et (20, 62.30). Puisque ces trois
points sont sur une même droite, on a alors
D6 − 10
20 − 10
=
.
62.30 − 36, 06
60 − 36.06
En isolant D6 , on obtient D6 = 19.12ans.
Il en va de même pour toutes les autres mesures de position, puisque
chaque mesure de position correspond à un pourcentage précis, il sera possible de calculer de cette façon chacun des quantiles demandés.
Exemple 6.19. Voici un tableau représentant des données provenant de
statistiques canada sur le nombre de femmes au chômage :
Répartition de 902 femmes au chômage à la recherche d’emploi
selon l’âge
70
122
Âge Nombre de femmes Pourcentage Pourcentage cumulée
[15,25[
339
[25,35[
273
[35,45[
147
[45,55[
121
[55,65[
22
Total
902
a) Complétez le tableau.
b) À partir de ce tableau, calculez Q1 , C65 , C15 et D3 . Interprétez le résultat.
c) Calculez Q2 . Peut-on donner un autre nom à cette mesure ?
SOLUTION
allo le monde
123
4.2. Les rangs. Nous verrons trois types différents de rang : le rang
brut, le rang cinquième et le rang centile.
4.2.1. Le rang brut. Le rang brut sert à situer les données les unes par
rapport aux autres. Il suffit de classer les données en ordre.
Exemple 6.20. Les notes d’un examen sont les suivantes : 99, 98, 98,
98, 97, etc...
Est-ce que la personne qui a le troisième 98 est quatrième de sa classe ? ?
Bien sûr que non, elle est aussi deuxième. Par contre, la personne ayant la
note 97 se retrouve au cinquième rang puisqu’il y a 4 personnes ayant eu une
meilleure note qu’elle.
Il y a une formule très simple pour calculer le rang brut d’une donnée :
Si les données sont placées en ordre croissant :
Rb (x) = 1 + nombre de données de valeur inférieure à x
Si les données sont placées en ordre décroissant :
Rb (x) = 1 + nombre de données de valeur supérieure à x
4.2.2. Le rang cinquième et le rang centile dans le cas de variables groupées par valeurs. Pour calculer le rang centile, on utilise la formule vue au
chapitre 4 :
nb de données inférieures à x + 21 nb de données égales à x
× 100.
nb total de données
Pour ce qui est du rang cinquième, on peut le déterminer à partir du rang
centile de la façon suivante :
• Si R100 (x) est dans l’intervalle [80, 100[, alors R5 (x) = 1.
• Si R100 (x) est dans l’intervalle [60, 80[, alors R5 (x) = 2.
• etc...
4.2.3. Le rang cinquième et le rang centile dans le cas de données groupées
en classes. Dans le cas des variables groupées en classes, le rang cinquième
et le rang centile se calculent à l’aide d’un raisonnement similaire à celui
utilisé pour calculer les quantiles. Le prochain exemple illustre la méthode.
R100 (x) =
Exemple 6.21. Le conseil étudiant a fait un étude sur le salaire moyen
des élèves pendant leurs études collégiales.
Répartition de 500 élèves selon le revenu d’emploi (en milliers)
Revenu d’emploi Nombre d’élèves Pourcentage Pourcentage cumulé
[0, 5[
156
[5, 10[
184
[10, 15[
82
[15, 20[
42
[20, 25[
36
Total
500
124
b) Donnez le rang centile et le rang cinquième d’un élève qui gagne 17000
$ par année.
c) Quelle est la signification de la réponse précédente ?
d) Quelle est la valeur du 53e centile ?
e) Un élève affirme qu’il est dans le quatrième rang cinquième. Que peut-on
affirmer à propos de son revenu d’emploi ?
SOLUTION
allo le monde
125
5. Exercices récapitulatifs du chapitre 6
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Exercice 1. Vrai ou Faux ?
Le mode est unique.
Le mode subit l’influence des valeurs extrêmes.
La médiane correspond nécessairement à une valeur de la série.
La médiane d’une série comportant 25 observations est la 13ième donnée.
Si on change la plus haute donnée de la série par une donnée 5 fois plus
grande, la médiane sera affectée.
Pour calculer la moyenne, il faut classer les données en ordre croissant.
La moyenne subit l’influence des valeurs extrêmes.
Exercice 2. Pour chacun des cas suivants, trouvez le mode, la médiane
et la moyenne si possible. Interprétez chacune de vos réponses. Lorsque les
données sont présentées sous forme graphique, construisez le tableau de fréquence.
a) allo le monde
Table 1. Répartition de la population mondiale selon le
continent, en 2007
Continent
Nombre de personnes en millions
Asie
4 030
Afrique
965
Europe
731
Amérique latine et Caraïbes
572
Amérique du Nord
339
Océanie
34
Total
6 671
http ://fr.wikipedia.org/wiki/Population_ mondiale, consulté le 5 juillet 2009
b) allo le monde
Répartition de 500 personnes selon leur degré d’approbation
envers l’installation d’un nouveau pont reliant Montréal à la
Rive-Sud.
Très en accord, 347
Très en désaccord, 16
En désaccord, 29
En accord, 108
126
c) allo le monde
Répartition des canadiens selon leur groupe sanguin en 2006
%
39
36
40
30
20
7
10
6
7.5
1.5 2.5 0.5
O+ O− A+ A− B+ B− AB+AB−
Groupe
d) allo le monde
Répartition de 60 étudiants selon le nombre de café
consommés aujourd’hui
Nombre de cafés Nombre d’étudiants Pourcentage
0
14
1
23
2
18
3
4
4
1
e) allo le monde
127
Répartition de 250 élèves selon le
nombre de fautes de français à l’Épreuve uniforme de français.
Nombre d’élèves
125
100
75
50
25
8
f) allo le monde
16
24
32
40Nombre de fautes
Table 2. Répartition de 110 personnes selon le montant dépensé au restaurant Le Cumulus du quartier Dix30
Montant dépensé Nombre de personnes Pourcentage
[0,30[
24
[30,60[
47
[60,90[
25
[90,120[
10
[120,150[
4
Exercice 3. Le médecin veut étudier le temps qu’il a mis à établir un
diagnostic de cancer pour ses patients. Il décide alors de fouiller dans ses
dossiers et note le temps pris entre la première rencontre avec le patient et
le jour où il lui a annoncé officiellement le diagnostic. Il trouve 40 dossiers
pour les 2 dernières années. Voici la liste des temps notés par ce médecin
pour ces 40 dossiers :
Durée de diagnostic pour 40 dossiers (en jour)
23 42 58 12 8 33 8 72
17 11 46 19 21 24 26 31
53 25 31 22 42 24 30 21
23 24 41 27 28 38 21 4
35 17 25 30 23 42 26 25
b) Quel est l’unité statistique ?
128
c) Quelle est la variable à l’étude ? Donnez son type.
d) Ce médecin a-t-il fait un recensement ? Sinon expliquez sa technique
d’échantillonnage.
e) Faites un tableau de fréquences.
f) Faites une ogive représentant ce tableau.
g) À l’aide de l’ogive dites quelle pourcentage des patients reçoivent un diagnostic en moins de 30 jours.
h) À l’aide du tableau, trouvez la moyenne, le mode et la moyenne. Interprétez chacune de vos réponses.
Exercice 4. Pourquoi utilise-t-on les mesures de dispersions ?
a) L’étendue tient compte de toutes les valeurs d’une série.
b) L’écart-type est donné par la racine carrée de la variance.
c) La variance peut être nulle.
d) Si deux séries statistiques ont des moyennes similaires, celle qui présentent la plus grande variance est alors la plus étalée.
Exercice 6. Un groupe d’amis fête le nouvel an. L’âge moyen est de
36,5 ans et la variance est 12,3. Le même groupe d’amis se revoient à la
même date l’an suivant pour fêter encore le nouvel an. Donnez la moyenne
et la variance de cette dernière fête.
Exercice 7. Pour chacun des cas suivants, calculez l’étendue, la variance et l’écart-type.
a) allo le monde
Répartition de 60 étudiants ou étudiantes selon le nombre de
café consommés aujourd’hui
0
14
1
23
2
18
3
4
4
1
Total
b) allo le monde
129
Distribution de 110 personnes selon le montant dépensé au
restaurant Le Cumulus du quartier Dix30
[0,30[
24
[30,60[
47
[60,90[
25
[90,120[
10
[120,150[
4
Total
c) allo le monde
Distribution de 250 étudiants selon le nombre de fautes de
français à l’épreuve uniforme de français.
Nombre de fautes commises Nombre d’étudiants Pourcentage
[0,8[
26
10.4
[8,16[
119
47.6
[16,24[
54
21.6
[24,32[
32
12.8
[32,40[
19
7.6
Total
250
100
Exercice 8. Un travailleur qui réside sur la rive-sud de Montréal et qui
travaille à Montréal peut utiliser n’importe lequel des ponts de l’est. Il les a
tous utilisés tout au long d’une année et a calculé la moyenne et l’écart-type
du temps pris pour traverser chacun des ponts. Voici les données : PontTunnel Hippolyte-Lafontaine ( 46 ; 8.5), Pont Jacques-Cartier (40 ; 8), Pont
Victoria (45 ; 10), Pont Champlain (35 ; 12). Lequel des trajets est le plus
homogène quant au temps de parcours ?
Exercice 9. Un policier a noté toutes les vitesses enregistrées à l’aide de
son radar lors de sa ronde de surveillance sur la route 104 dans la zone où la
vitesse maximale permise est 90 km/h. Voici toutes les vitesses enregistrées :
Table 3. Les 34 vitesses enregistrées
95,6
98,7
100,2
101,7
102,5
102,7
103,1
104,5
105,0
105,1
105,3
106,1
106,3
106,5
106,8
107,1
110,1
110,2
a) Quelle est la variable à l’étude ?
b) De quelle nature est-elle ?
110,2
110,3
110,5
111,2
111,6
112,4
113,5
114,3
114,8
114,9
115,3
118,3
119,5
122,3
124,0
129,0
130
c) Quelle échelle de mesure a été employé ?
d) Regroupez ces observations dans un tableau de fréquences. Prenez 95km/h
comme limite inférieure et 5km/h comme amplitude. Respectez les normes
de présentation.
e) Calculez le mode, la médiane et la moyenne.
f) Calculez l’étendue et l’écart-type.
g) Un autre policier a aussi fait le même exercice. Il a obtenu une moyenne
de 105,6 et un écart-type de 8,4. Laquelle des deux séries d’observations
est la plus homogène ?
a) 30% des données sont supérieures à D3 .
b) Si un individu se situe au premier rang cinquième, cela signifie qu’il fait
partie des 20% meilleurs.
c) 7% des données sont inférieures à D7 .
Exercice 11. À l’aide de l’ogive suivante, répondez aux questions.
Répartition du nombre de naissance (en milliers) selon l’âge de
la mère au moment de la naissance
%
100
b
b
b
90
b
80
70
60
b
50
40
30
20
b
10
b
b
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50 Âge
a) Parmi les femmes qui ont donné naissance à un enfant, quel pourcentage
des mères étaient âgées de moins de 30 ans ?
131
b) Estimez C80 et dites ce que ce nombre signifie.
c) Trouvez l’étendue.
Exercice 12. allo le monde
a) Calculez Q3 .
Répartition de 60 étudiants ou étudiantes selon le nombre de
café consommés aujourd’hui
0
14
1
23
2
18
3
4
4
1
Total
b) Calculez D4 et V4 .
Distribution de 110 personnes selon le montant dépensé au
restaurant Le Cumulus du quartier Dix30
[0,30[
24
[30,60[
47
[60,90[
25
[90,120[
10
[120,150[
4
Total
c) Calculez C22 .
Distribution de 250 étudiants selon le nombre de fautes de
français à l’épreuve uniforme de français.
Nombre de fautes commises Nombre d’étudiants Pourcentage
[0,8[
26
10.4
[8,16[
119
47.6
[16,24[
54
21.6
[24,32[
32
12.8
[32,40[
19
7.6
Total
250
100
Exercice 13. À l’aide du tableau suivant, répondez aux questions suivantes :
132
Répartition d’un échantillon de 90 employés d’une usine selon le
salaire brut hebdomadaire
Salaire Nombre d’employés Pourcentage % cumulé
[300,350[
18
[350,400[
26
[400, 450[
26
[450,500[
20
Total
90
b) Calculez la médiane et interprétez le résultat.
c) Calculez la moyenne et interprétez le résultat.
d) Calculez l’étendue.
e) Calculez l’écart-type.
f) Calculez le coefficient de variation et interprétez le résultat.
g) Calculez le premier quartile et le troisième quartile et interprétez chacun
des résultats.
h) Calculez le 85e centile.
i) Calculez le rang centile de la donnée 420$.
j) Tracez l’ogive et vérifiez vos réponses aux 3 précédentes questions.
Réponses
165

Statistiques descriptives Partie 1

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