Le nombre d`or De quoi s`agit-il

Le nombre d’or
Ah ! le fameux Nombre d’Or, la formule magique, le « gri-gri » censé transformer
instantanément toute création en œuvre d’art ! Il n’a pas été inventé par Stradivarius, ni par Le
Corbusier, ni même par Leonard de Vinci. Sa présence est attestée dès la plus haute antiquité
(dans la Pyramide de Kheops, par exemple qui date de 2800 avant JC). Ses propriétés
remarquables ont fasciné les esprits : Pythagore (mathématicien Grec (580-490 avant JC) l’a
associé à sa secte. Un moine mathématicien du quattrocento, Luca Pacioli (env. 1450-1514),
l’a appelée « divine proportion ». Au 19ème siècle on l’a baptisé de la lettre grecque « phi » en
hommage au sculpteur Grec Phidias (490-430 avant JC).
De quoi s’agit-il ?
Le nombre d’or est un nombre décimal qui vaut 1,618034…(les décimales s’égrènent à
l’infini). C’est le résultat de la fraction (√5 +1) / 2. Il s’agit donc d’un rapport de deux
grandeurs. C’est tout ? Oui, mais ce rapport a des propriétés uniques et remarquables.
Explications : Dès lors que vous voulez créer quelque chose, vous serez amené à définir des
dimensions : faire un dessin, agencer votre jardin, construire un objet, bâtir une maison, tout
cela fait intervenir des grandeurs, en général différentes, et qu’on compare instinctivement
entre elles. On parle alors de proportion(s) : le(s) rapport(s) entre les différentes dimensions.
Un tableau, par exemple, est d’abord une surface qui se définit par une largeur et une
longueur. Si ces deux grandeurs sont égales, c’est un carré. Le nombre d’or définit une
proportion particulière en ce sens qu’elle se répète à l’infini : prenons une grandeur AB
représentée par un segment de droite.
On peut diviser ce segment par un point C en une infinité de manières qui donneront des
rapports différents : si C est au milieu de AB, le rapport est AC/BC=1 et AB/AC=2.
Lorsque C divise AB de telle sorte que le grand segment est au petit dans le même rapport que
le tout est au plus grand, la proportion est égale à AC/BC = AB/AC = (√5 +1) / 2 = phi.
En additionnant chaque nouveau segment au précédent, cette relation se répète à l’infini, dans
un sens ou dans l’autre, croissant ou décroissant.
Pourquoi cette fascination pour cette relation particulière ?
Comme l’a démontré au 13ème siècle déjà le savant Italien Leonardo Fibonacci, dit Leonard de
Pise, le nombre d’or est la limite d’une série mathématique convergente qui porte désormais
son nom : la série de Fibonacci, soit 1-1-2-3-5-8-13-21-34-55…etc, chaque nouveau terme
étant la somme des deux précédents. Leonard l’a découverte en étudiant la reproduction d’un
couple de lapins. En fait cette série se retrouve dans tous les phénomènes de croissance de la
nature : plantes, coquillages, animaux, soit quasiment partout ! On peut ainsi retrouver le
nombre d’or dans les différentes parties du corps humain : hauteur du corps (de la tête aux
pieds) par rapport à celle du nombril, longueur des différents os de la main, etc…
Cette série est rapidement convergente, et ceci est vrai quels qu’en soient les premiers termes.
En effet amusez votre entourage avec ce « tour de magie » : faites choisir à quelqu’un deux
nombres quelconques M et N (entre 1 et 10 pour faciliter le calcul, mais ça peut être
n’importe quels nombres). Sans qu’il les dévoile, dites-lui de les additionner : M+N=N1, puis
encore N+N1=N2, N1+N2=N3,…chaque nouveau nombre trouvé est augmenté du précédent.
Au bout de six à dix additions, demandez-lui de donner le rapport entre les deux derniers
N10/N9. Vous constaterez que ce résultat est très proche de 1,618, quels que soient les
nombres de départ. Graphiquement, cette propriété s’illustre par le dessin suivant : les deux
nombres de départ définissent la largeur et la hauteur d’un rectangle.
Construisez ensuite sur le grand côté de ce rectangle un carré : l’ensemble constitue un
nouveau rectangle sur le grand côté duquel vous construisez à nouveau un carré, et ainsi de
suite. Vous obtenez rapidement un rectangle phi.
Partant par exemple des nombres 2 et 7 (le rectangle en noir), on obtient après huit itérations
seulement : 280/173=1.6185, et plus on avance, plus le rapport se rapproche de phi=1.618034
Nombre d’or et chiffre 5
Le nombre d’or est le rapport qui permet de diviser le cercle en cinq arcs égaux. Il permet
donc de construire un pentagone régulier, convexe ou étoilé. Les côtés de ce dernier se
coupent dans la proportion phi, ce qui permet de reproduire la figure à l’infini. Cette propriété
a fortement marqué les esprits et on retrouve ainsi le pentagramme ou pentacle (en fait le
pentagone étoilé) dans beaucoup de signes et symboles, depuis la Kabbale et les sectes
pythagoriciennes (dont c’était le signe de ralliement) jusqu’aux emblèmes nationaux de
nombreux pays (Chine, Etats-Unis, ex-URSS, etc…). Par ailleurs son expression
mathématique fait intervenir le nombre 5 (voir ci-dessus) et c’est cette proportion qui permet
de construire les corps Platoniciens, les polyèdres réguliers inscriptibles dans la sphère, et qui
sont au nombre de…cinq, ni plus, ni moins : pyramide, cube, tétraèdre, icosaèdre et
dodécaèdre.
Musique et nombre d’or
Beaucoup d’artistes ont utilisé le nombre d’or : les architectes de l’Antiquité, les bâtisseurs de
cathédrales, ceux de la Renaissance, les peintres, orfèvres, céramistes, ingénieurs, designers,
luthiers…Son emploi n’est pas la garantie d’une œuvre d’art réussie : on peut faire des choses
laides en l’utilisant de même qu’on peut créer des merveilles sans lui. Il a surtout dominé le
Moyen-Age. A la Renaissance, on a commencé à lui préférer les rapports de nombre entiers
comme 8/5 =1.6, assez proche de 1.618…mais permettant de construire des accords
musicaux. En effet l’acoustique musicale est aussi affaire de proportion : la corde vibrante
peut être divisée en segments qui rendent des sons différents selon leurs longueurs. Une corde
de longueur AB divisée par un point C situé aux 2/3 de sa longueur donne une quinte, aux ¾
une quarte. Cette propriété est connue aussi depuis la plus haute antiquité et a beaucoup
occupé Pythagore, encore lui.
N.B. Pour ceux qui voudraient en savoir plus je conseille l’excellent ouvrage de M Marius
CLEYET MICHAUD « Le Nombre d’Or » dans la collection « Que Sais-je » aux Presses
Universitaires de France.
Quelques constructions classiques :
La construction sur le double carré :
AB/AC=AC/CB= phi
Variante sur le carré :
AB/AC=AC/CB= phi
La construction par la quinte musicale :
AB = 3/2 AC et BC = √5/2 AC = AD
©2006 Peguiron luthier Nancy www.peguiron.com
BD/AC = phi