Chapitre 1 Chapitre 2

Master ISIFAR 2ème année
Exercices pour le cours “Mathématiques Financières”
Chapitre 1
Exercice 1. * Calculer le prix à terme d’échéance T d’une obligation de nominal
N , qui verse un coupon C à la date t < T .
Exercice 2. * A la date 0, le prix à terme d’échéance T d’un actif financier
ne versant pas de dividendes est égal à F . Supposant que vous avez pris une
position longue dans un contrat forward sur cet actif, calculez le prix de votre
contrat à la date t < T .
Exercice 3 (Dividendes discrets). On considère une action dont le prix sera
noté par S, et qui verse un dividende connu D à la date t < T . Les prix à
l’instant 0 des options call et put sur S d’echéance T et de strike K seront notés
C(T, K) et P (T, K). Le taux d’intérêt est supposé constant et égal à r.
1. Calculer le prix forward d’échéance T à l’instant 0 de l’action.
2. Donner la relation de parité call-put pour C(T, K) et P (T, K).
3. En déduire les bornes inférieures pour C(T, K) et P (T, K). Donner également
les bornes supérieures pour les prix de ces options.
Chapitre 2
Exercice 4 (Le risk reversal). On se place dans le cadre du modèle BlackScholes standard avec volatilité σ et taux d’intérêt r. Un risk reversal est un
contrat qui consiste à vendre un put de strike K1 et à acheter un call de strike
K2 > K1 .
1. Tracer le pay-off du risk-reversal en fonction de la valeur du sous-jacent à
l’échéance ST .
2. Tracer le vega du risk-reversal à l’instant T = 0 en fonction de la valeur
du sous-jacent S0 .
3. Pour une valeur fixée de S0 , donner une condition sur les strikes K1 et K2
pour que le risk-reversal soit vega-neutre. Interpréter cette condition en
termes du delta du call et du put.
Exercice 5 (Le strangle). Le strangle est un achat simultané d’un put de strike
K1 et d’un call de strike K2 > K1 , les deux options ayant la même échéance.
1. Tracer le pay-off d’un strangle à l’échéance en fonction de la valeur ST .
1
2. Tracer le prix, le delta et le vega d’un strangle à la date t = 0, en fonction
de la valeur S0 , en justifiant brièvement la forme des différentes courbes.
3. Donner la valeur de S0 pour laquelle le strangle est delta-neutre à la date
t = 0.
4. A la date t = 0, on achète un strangle en utilisant un call et un put qui
ont 3 mois jusqu’à l’échéance, alors que la volatilité implicite de toutes
les options vaut σ0 = 20%. Dans un mois, le strangle est revendu. En
négligeant l’effet de taux d’intérêt, déterminer si cette opération, sera
gagnante ou perdante dans les deux cas suivants:
(a) Dans un mois, la valeur du sous-jacent et la volatilité implicite restent
inchangées.
(b) Dans un mois, la valeur du sous-jacent reste inchangée mais la volatilité
implicite monte à σ1 = 30%.
Justifiez votre réponse par un calcul des sensibilités.
Exercice 6 (Robustesse du modèle Black-Scholes). Une option asiatique est
une option dont le pay-off à l’instant T est
HT =
1
T
Z
!+
T
Su du − K
.
0
Le but de cette partie est de donner une borne supérieure pour le prix d’une
option asiatique, ainsi qu’une stratégie de surcouverture, en utilisant le résultat
de robustesse du modèle de Black-Scholes rappelé dans la première partie.
1. Soit
"
1 −r(T −t)
Xt = E
e
T
Z
0
T
#
Su duFt .
En utilisant la forme explicite de Su , calculer l’espérance conditionnelle
ci-dessus.
2. Montrer que l’option asiatique peut être vu comme une option européenne
sur l’actif X.
3. Calculer la dynamique de Xt et montrer qu’elle a la forme
dXt
= rdt + σt dWt
Xt
avec la volatilité σt à préciser.
4. Montrer que cette volatilité σt admet une borne supérieure déterministe
σmax .
2
5. En utilisant la première partie, en déduire une borne supérieure sur le prix
de l’option asiatique.
6. Décrire la stratégie de surcouverture correspondante.
7. En conclusion, montrer que le prix de l’option asiatique est majoré par le
prix de l’option européenne de même strike.
Dans les trois exercices suivants on se place dans le modèle de Black-Scholes,
où le sous-jacent St est solution de
dSt = σSt dWt + bSt dt.
Les paramètres b et σ ainsi que le taux d’intérêt r sont constants. On note par
E l’espérance sous la probabilité risque-neutre.
Exercice 7 (Options puissance). On considère une option de pay-off h(ST ) =
STn dans le modèle de Black-Scholes. Calculer le prix de cette option en utilisant
la règle d’évaluation risque-neutre.
Exercice 8 (Option forward start). On considère une option Call d’échéance
T2 dont le strike est fixé à une date future T1 < T2 à un certaine proportion m
de la valeur du sous-jacent à cette date. Calculer le prix de cette option dans
le modèle de Black-Scholes à la date t < T1 , en utilisant la règle d’évaluation
risque-neutre.
Exercice 9 (Option à choix). Une option à choix sur un titre est un produit
dérivé qui donne le droit au détenteur de choisir à une date τ s’il veut un call
ou un put de maturité T > τ , et de strike K. On notera Ct et Pt les prix du
call et du put à la date t.
1. Quel est le pay-off de l’option à choix?
2. Vérifier que le prix d’arbitrage à la date t = 0 de cette option à choix est
Π0 = C0 + E Q [e−rT (K − ST )1Cτ <Pτ ].
3. Montrer que ce prix s’écrit encore:
Π0 = C0 +E Q [e−rτ (Ke−r(T −τ ) −Sτ )+ ] = P0 +E Q [e−rτ (Sτ −Ke−r(T −τ ) )+ ].
Exercice 10 (Power straddle dans le modèle de Black-Scholes). Dans cette
exercice on considère un “power straddle”, une option dont le pay-off à l’instant
T est égal à
HT = (ST − K)2 .
1. En utilisant le principe de valorisation risque-neutre, calculer le prix du
power straddle dans le modèle Black-Scholes à une date t < T .
3
2. Calculer le delta du power straddle et donner la stratégie de couverture
dynamique pour cette option. Quelle doit être la valeur de St pour que le
power straddle soit delta neutre?
3. Calculer le gamma et le vega du power straddle à la date t. Representer ces
quantités sur un graphique (en fonction de St ). Quels sont les avantages du
power straddle en tant qu’instrument de couverture du risque de volatilité?
4. Supposons que la volatilité n’est pas connue, mais on sait qu’elle se trouve
dans l’intervalle [σ1 , σ2 ]. Donner les bornes sur le prix du power straddle
en utilisant le résultat de robustesse de la formule de Black-Scholes.
Exercice 11 (Options puissance). Dans cet exercice on considère une option
puissance de type A, de pay-off
HTA = (ST2 − K 2 )+
et une option puissance de type B de pay-off
HTB = ((ST − K)+ )2 ,
dans le cadre du modèle de Black-Scholes.
1. En utilisant la valorisation risque-neutre, calculer le prix Ft à l’instant t
d’un actif qui paie ST2 à l’instant T . Montrer que Ft1 suit le modèle de
Black-Scholes, calculer sa volatilité.
2. Montrer que l’option puissance de type A peut être vue comme une option
call standard sur l’actif F 1 . En utilisant la formule de Black-Scholes,
calculer le prix à l’instant t de l’option puissance de type A.
3. Calculer le delta (en utilisant la formule de dérivation d’une fonction composée) et décrire la stratégie de couverture dynamique pour cette option.
4. Montrer que le pay-off de l’option puissance de type B peut être exprimé
en termes du pay-off de l’option de type A et du pay-off de l’option call
de strike K.
5. En déduire le prix de l’option de type B à l’instant t < T .
6. Calculer le delta de l’option puissance de type B.
7. En déduire le gamma de l’option puissance de type B et montrer qu’il
est borné par une constante indépendante de t et St . Quelles sont les
implications pour la couverture de cette propriété?
Exercice 12 (Leveraged ETF). * On considère le modèle de Black-Scholes
standard avec un actif sous-jacent risqué (indice de marché) de dynamique
dSt
= µdt + σdWt ,
St
4
où W est un mouvement brownien, et un actif sans risque S 0 , capitalisé avec le
taux sans risque r. On suppose que µ > r.
Un Leveraged ETF est un fonds géré en utilisant la stratégie dynamique
suivante: à chaque instant t,
• Une proportion m de la valeur du fonds est investie dans l’actif risqué S;
• Un proportion 1 − m de la valeur est investie dans l’actif sans risque.
Ici, m est une constante, qui peut être supérieure à 1. Cette dernière situation
correspond à emprunter pour investir plus dans l’actif risqué: on appelle cela
levier ou leverage. La valeur du leveraged ETF à l’instant t sera notée par Vt ;
on pose V0 = v (investissement initial).
1. Ecrire l’équation différentielle stochastique vérifiée par V . Quelle est la
volatilité de V ?
2. Calculer la valeur Vt en resolvant explicitement l’EDS.
3. Calculer l’espérance de VT . Au vu de votre résultat, quelle est la valeur
de m à prendre pour maximiser la performance de la stratégie.
4. La médiane d’une variable aléatoire Z est la valeur z0 telle que P[Z ≤
z0 ] = P[Z > z0 ] = 12 , c’est-à-dire, Z est inférieur ou égal à z0 dans 50%
des cas. Calculer la médiane de Wt .
5. Calculer la médiane de VT . Si le but de l’investisseur est de maximiser la
performance du fonds dans 50% des cas, quelle valeur de m doit-il prendre?
6. Calculer le prix d’une option call de pay-off (VT − K)+ .
7. Imaginez que vous êtes conseiller en investissement, et un client vous demande un produit avec les caractéristiques suivantes:
• Il souhaite investir un montant initial x, avec un horizon d’investissement
T.
• Le capital en T , noté par XT doit dans tous les cas être supérieur ou
égal à B > 0.
• L’espérance du rendement E XTx−x doit être égale à α > B−x
x .
(a) Est-il toujours possible de satisfaire les souhaits de l’investisseur?
Donner la relation entre x et B pour qu’un tel produit puisse exister.
(b) Dans le cas où un tel investissement est possible, proposer une stratégie
utilisant un actif sans risque et un leveraged ETF, avec le multiplicateur m à préciser.
5
Chapitre 3
Exercice 13. Soit W un mouvement brownien sur R. On considère un marché
avec un actif sans risque (de taux d’intérêt constant r) et deux actifs risqués S 1
et S 2 de dynamique
dSt1 = S 1 (b1 dt + σdWt ),
dSt1 = S 1 (b2 dt + σdWt ),
avec b1 6= b2 , c’est-à-dire, les deux actifs ont la même volatilité et sont dirigés par
le même mouvement brownien, mais leurs rendements moyens sont différents.
Montrer qu’on peut construire un portefeuille d’arbitrage dans ce marché. Quelle
est la condition nécessaire pour construire un arbitrage si les deux actifs ont des
volatilités différentes (mais sont toujours dirigés par le même brownien)?
Exercice 14. On considère un marché financier avec un actif sans risque de
taux d’intérêt r, un actif risqué S 1 suivant le modèle de Black-Scholes
dSt = σSt dWt + bSt dt,
et un actif risqué S 2 (par exemple, une option) dont le prix à toute date est
donnée par une fonction déterministe regulière du temps et de la valeur de S 1 :
St2 = v(t, St1 ).
1. En appliquant la formule d’Itô, calculer la volatilité et le taux de rendement de S 2 .
2. En utilisant la caractérisation de non-arbitrage via l’existence d’une prime
de risque, montrer directement que v(t, S) vérifie l’EDP de Black-Scholes.
Exercice 15 (Option sur panier). On se place dans le modèle Black-Scholes
standard en dimension 2. Les prix des actifs risqués sont notés S 1 et S 2 , leurs
volatilités sont σ1 et σ2 et il y a une corrélation ρ entre les rendements. Le taux
d’intérêt est égal à r.
1. Ecrire la dynamique des actifs S 1 et S 2 sous la probabilité risque-neutre,
en faisant apparaı̂tre deux mouvements browniens indépendants W 1 et
W 2.
On considère une option de pay-off à l’instant T donné par
HT = (αST1 + (1 − α)ST2 − K)+ ,
avec α ∈ (0, 1). Soit P (t, St1 , St2 ) le prix de cette option à l’instant t. Soient
également P1 (t, St1 ) le prix de l’option de pay-off HT1 = (ST1 − K)+ et P2 (t, St2 )
le prix de l’option de pay-off HT2 = (ST2 − K)+ .
2. Donner la formule pour la fonction P (t, St1 , St2 ) faisant intervenir une
espérance sous la probabilité risque-neutre.
3. En appliquant la formule d’Itô, déterminer l’EDP vérifiée par la fonction
P (t, x, y). Ne pas oublier la condition terminale.
6
4. Montrer que P (t, St1 , St2 ) ≤ αP1 (t, St1 ) + (1 − α)P2 (t, St2 ).
5. Montrer que
1
2
P (t, St1 , St2 ) ≥ E Q [e−r(T −t) (eα log ST +(1−α) log ST − K)+ ].
6. En utilisant le principe de valorisation risque-neutre, calculer le prix Ft à
1
2
l’instant t d’un actif qui paie eα log ST +(1−α) log ST à l’instant T . Montrer
que cet actif suit le modèle de Black-Scholes, calculer sa volatilité.
7. En utilisant la formule de Black-Scholes, déduire de la question précédente
une borne inférieure explicite pour le prix de l’option sur panier.
Exercice 16 (Options asiatiques).
1. Soit K une constante. Montrer que le processus
Z
1 T
Su du − K)+ |Ft ]
Mt = E[(
T 0
est une martingale.
Rt
2. Montrer que, si l’on pose ζt = St−1 (K − T1 0 Su du), on a
Z
1 T Su
Mt = St E[(
du − ζt )+ |Ft ].
T t St
RT
RT
3. Soit φ(t, x) = E[( T1 t SSut du−x)+ ]. Montrer que φ(t, x) = E[( T1 t
x)+ |Ft ] et que Mt = St φ(t, ζt ).
Su
St du−
4. Ecrire la formule d’Itô pour M . En déduire une équation aux dérivées
partielles vérifiée par φ.
Exercice 17 (Options de change). On considère une économie avec deux marchés,
le marché domestique, où les prix sont exprimés en monnaire domestique, et le
marché étranger avec les prix en monnaie étrangère. Le taux de change entre les
deux marchés Xt est défini comme le prix à l’instant t d’une unité de monnaie
étrangère dans le marché domestique. Les taux d’intérêt dans les deux marchés
seront notés rf et r, et sont supposés constants. La dynamique du taux de
change (sous la probabilité historique) est donnée par
dXt
= bX dt + σ X dWtX ,
Xt
où W X est un mouvement Brownien standard. On considère des options écrites
sur une action S cotée dans le marché étranger, qui ne paie pas de dividendes
et suit la dynamique
p
dSt
= bdt + σ(ρdWtX + 1 − ρ2 dWt ),
St
où W est un mouvement Brownien standard indépendant de W X .
7
1. Calculer le prix sur le marché domestique à l’instant t = 0 d’une option
call de strike K en monnaie étrangère.
2. Option sur un actif étranger avec strike en monnaie domestique. Dans
cette question on considère une option de pay-off HT = (ST XT − K)+ en
monnaie domestique, où K est le strike en monnaie domestique.
a. Montrer que le processus St Xt est un mouvement Brownien géométrique,
calculer son drift et sa volatilité.
b. Justifier par des arguments financiers que St Xt est le prix d’un portefeuille autofinançant dans le marché domestique.
c. Exprimer le prix de cette option avec la formule de Black-Scholes.
Exercice 18 (Formule de Garman-Kolhagen avec taux stochastiques). On
cherche à généraliser la formule de Garman-Kolhagen au cas où les taux doméstiques
et étrangers sont stochastiques. On se donne la dynamique des zéro-coupons
(un zéro-coupon est une obligation qui verse le pay-off de 1 à la date T , en
monnaie doméstique ou étrangère selon les cas):
dBt (T )
= bB dt + σ B dWt
Bt (T )
dBtf (T )
Btf (T )
f
f
= bB dt + σ B dWt ,
et la dynamique de taux de change
dXt
= bX dt + σ X dWt
Xt
où W est un mouvement Brownien en dimension 3.
• Calculer le prix à l’instant t d’une option qui verse le pay-off (XT − K)+
à la date T . Donner la stratégie de couverture associée.
Exercice 19 (Le numéraire de marché). On considère le marché Black-Scholes
avec d actifs risqués tel qu’il a été introduit en cours. Soit un actif M de
dynamique
dMt
= r(t)dt + λ(t)⊥ (λ(t)dt + dWt ), M0 = 1.
Mt
1. Montrer que les prix de tous les actifs exprimés en utilisant M comme
numéraire sont des martingales sous la probabilité historique. Ce numéraire
s’appelle le numéraire de marché.
2. Donner une règle de pricing sous la probabilité historique utilisant le
numéraire de marché.
8
3. Donner une stratégie de portefeuille qui permet de repliquer le numéraire
de marché avec les actifs disponibles.
4. Montrer la formule de arbitrage pricing théory, l’excès de rendement d’un
actif Z est donné par l’excès de rendement du numéraire de marché, multiplié par le beta de l’actif:
bz (t) − r(t) = β Z (bM (t) − r(t)),
βZ =
t dZt
Covt ( dM
Mt , Zt )
t dMt
Covt ( dM
Mt , Mt )
Remarque: on peut demontrer (mais les techniques de la preuve sortent du cadre
de cet exercice) que le numéraire de marché correspond à un multiple du portefeuille de l’ensemble des agents du marché, sous l’hypothèse que chaque agent
detient un portefeuille efficient, c’est-à-dire, optimal au sens de l’optimisation
moyenne-variance de Markowitz.
Exercice 20 (Option “one-touch”). Soit S un actif sous-jacent de dynamique
dSt
= bdt + σdWt .
St
Le taux d’intérêt est supposé nul dans tout l’exercice. On considère une option
à barrière digitale de pay-off à la date T donné par
HT = 1τB ≤T ,
avec
τB := inf{t ≥ 0 : St ≥ B}.
1. Montrer que l’inégalité suivante est valable pour tout K < B:
1τB ≤T ≤
Sτ − ST
(ST − K)+
+ B
1τB ≤T .
B−K
B−K
2. En déduire une stratégie de surreplication pour l’option one-touch, utilisant une position statique en un call Européen de strike K et un contrat
forward.
3. Montrer que le prix Π0 [HT ] admet la borne supérieure
Π0 [HT ] ≤ inf
K<B
C0 (K, T )
,
B−K
où C0 (K, T ) est le prix à la date 0 d’un call européen de strike K et
d’échéance T .
4. Justifier que ce résultat est valable sans supposer que le sous-jacent suit
la dynamique Black-Scholes.
Exercice 21 (Replication d’une option reverse). Soit S un actif sous-jacent de
dynamique
dSt
= bdt + σdWt .
St
9
On considère une option à barrière UIC reverse avec K < B. Dans la terminologie du cours cette option est reverse car il a un pay-off non nul au-délà de
la barrière. Le taux d’intérêt est supposé nul dans cet exercice, ce qui fait que
le paramètre γ du cours est égal à 1.
1. Par une decomposition de la fonction pay-off, montrer que cette option
peut être representée comme la somme d’une option européenne de payoff (ST − K)1ST ≥B et d’une option UI regular.
2. Montrer que la partie européenne peut être repliqué par un call et une
option digitale.
3. En utilisant les résultats du cours, donner la stratégie de replication pour
l’option UI regular.
4. Montrer que l’option européenne qui apparaı̂t dans la stratégie de replication peut être synthétisée avec 2 puts et une option digitale.
Exercice 22 (Power straddle et swap de variance pondéré). Dans cet exercice
on se place dans le cadre d’un modèle général de la forme
dSt
= rdt + σt dWt ,
St
où σ est un processus aléatoire. On s’intéresse au produit dont le pay-off à
l’instant T est donné par
Z T
V PT =
St2 σt2 dt,
0
c’est-à-dire, la variance intégrée, pondérée par la valeur du sous-jacent au carré.
Dans tout l’exercice, le taux d’intérêt est supposé nul.
1. Expliquer comment le pay-off d’un power straddle peut être répliqué par
les pay-offs des calls et des puts. En déduire le prix du power straddle à
l’instant t = 0, en fonction des prix des options européennes à cette date.
Les prix des options européennes seront notés par Ct (T, K) et Pt (T, K).
2. Appliquer la formule d’Itô au pay-off du power straddle. En déduire que
le pay-off V PT peut être répliqué par un power straddle et un portefeuille
dynamique contenant l’actif sous-jacent et le cash.
3. Calculer le prix à l’instant t = 0, d’un produit qui paie V PT à la date T ,
en fonction des prix des options européennes.
Chapitre 4
Exercice 23. En utilisant l’equation (4.17) du poly, calculer la limite en temps
court de la volatilité implicite dans le modèle CEV (4.3). Montrer que cette
limite est différente du premier terme dans le développement de Hagan et Woodward (4.4), mais que les deux formules s’accordent à l’ordre 2 en F0 − K.
10
Exercice 24. Montrer que la paramétrisation de Gatheral et Jacquier (4.19)
vérifie les contraintes de non-arbitrage sous les conditions données en bas de la
page 69 du poly. du poly.
Travail pratique sur ordinateur: simulation de la
couverture en delta
Le but de ce TP est d’étudier la performance de la couverture en delta dans le
modèle de Black et Scholes, dans le cas où le portefeuille n’est reajusté qu’un
nombre fini de fois pendant la durée de vie de l’option.
Le P&L (profit and loss) d’une stratégie de couverture est mesuré comme la
différence entre le prix de l’option CBS (T, ST ) à la date finale (égal au pay-off
de l’option) et la valeur terminale du portefeuille de couverture XT .
Pour simuler l’évolution du portefeuille de couverture en delta sur une grille
de temps ti = iT /N , i = 0, . . . , N , on utilisera l’algorithme suivant:
• Simuler le prix du sous-jacent aux dates ti , i = 0, . . . , N , à partir de
l’équation
St = S0 e(µ−
σ2
2
)t+σWt
.
• Poser le ratio initial de couverture égal à δ0 = ∂C∂SBS (0, S0 ) et la valeur
initial du portefeuille égale à X0 = CBS (0, S0 ) (on suppose que tous les
revenus provenant de la vente de l’option sont affectés au portefeuille de
couverture).
• Pour toute date ti , i = 1, . . . , N , calculer le nouveau ratio de couverture
δti = ∂C∂SBS (ti , Sti ) et ajuster la valeur du portefeuille
Xti = Xti−1 + (Xti−1 − δti−1 Sti−1 )(er(ti −ti−1 ) − 1) + δti−1 (Sti − Sti−1 ).
Exercice 25. Simuler une trajectoire du prix de l’action et l’évolution du
prix de l’option call et du portefeuille de couverture correspondant dans le
modèle Black-Scholes. Utiliser la même valeur de volatilité pour la valorisation de l’option et la simulation du prix de l’action. Tracer le prix de l’option
et l’évolution du portefeuille de couverture sur le même graphique.
Exercice 26. Simuler plusieurs (par exemple 10000) trajectoires et tracer
• La moyenne et la variance du P&L en fonction du temps.
• L’histogramme du P&L à la date finale.
Exercice 27. Calculer la moyenne et la variance du P&L final pour le nombre
de dates de rebalancement égal à 1024, 512, 256 etc. Etudier la dépendance
de la moyenne et de la variance en fonction du nombre d’interventions. Que
constatez-vous?
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Exercice 28. Tracer l’histogramme du P&L final dans le cas où
• La volatilité utilisée pour le pricing et le calcul du delta est supérieure à
celle utilisée pour simuler le cours de l’action.
• La volatilité utilisée pour le pricing et le calcul du delta est inférieure à
celle utilisée pour simuler le cours de l’action.
Que constatez-vous?
Indications informatiques
• Vous pouvez faire ce TP en C++, Scilab ou un autre langage de programmation de votre choix.
• Les variables aléatoires gaussiennes peuvent facilement être générés avec
la méthode de Box-Muller: si X1 et X2 sont deux variables uniformes sur
(0, 1) indépendantes alors
p
Y1 = −2 log X1 cos 2πX2
p
Y2 = −2 log X1 sin 2πX2
sont deux variables N (0, 1) indépendantes.
• Le code pour calculer la fonction de repartition de la loi normale est
disponible à l’adresse
http://www.math.jussieu.fr/~tankov/isifar/numerics.cpp
• Pour tracer des graphiques vous pouvez utiliser Scilab, Gnuplot, Excel, ou
une autre application graphique de votre choix.
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Variante 1
Exercice 1 (Le risk reversal). On se place dans le cadre du modèle BlackScholes standard avec volatilité σ et taux d’intérêt r. Un risk reversal est un
contrat qui consiste à vendre un put de strike K1 et à acheter un call de strike
K2 > K1 .
1. Tracer le pay-off du risk-reversal en fonction de la valeur du sous-jacent à
l’échéance ST .
2. Tracer le delta, le gamma et le vega du risk-reversal à l’instant T = 0 en
fonction de la valeur du sous-jacent S0 , en justifiant brièvement la forme
des courbes.
3. Pour une valeur fixée de S0 , donner une condition sur les strikes K1 et K2
pour que le risk-reversal soit vega-neutre. Interpréter cette condition en
termes du delta du call et du put.
Exercice 2 (Options sur panier et robustesse de la formule de Black-Scholes).
On se place dans le modèle Black-Scholes standard en dimension 2. Les prix
des actifs risqués sont notés S 1 et S 2 , leurs volatilités sont σ1 et σ2 et il y a
une corrélation ρ entre les rendements. Le taux d’intérêt est égal à r. Le prix
à l’instant t d’un panier contenant S 1 et S 2 avec poids α et 1 − α pour un
α ∈ (0, 1) sera noté par
Xt = αSt1 + (1 − α)St2 .
Soit P (t, St1 , St2 ) le prix à l’instant t d’une option qui paie HT = (XT − K)+ à
l’instant T . Le prix Black-Scholes à l’instant t d’une option call sur un actif S
avec volatilité σ, date d’expiration T et strike K sera noté par
C BS (t, St , T, K, σ).
et le ratio de couverture correspondant sera noté par
∆BS (t, St , T, K, σ).
1. Ecrire la dynamique des actifs S 1 et S 2 sous la probabilité risque-neutre,
en faisant apparaı̂tre deux mouvements browniens indépendants W 1 et
W 2.
2. Ecrire la dynamique du panier sous la probabilité risque-neutre. Quelle
est la volatilité du panier?
Supposons que le trader utilise la stratégie suivante pour la couverture approchée de l’option sur panier.
• Vendre l’option à l’instant t = 0 pour le prix Black-Scholes avec volatilité
σ: C BS (0, X0 , T, K, σ).
• A tout instant t, detenir dans le portefeuille le nombre d’unités du panier
Xt donné par le delta Black-Scholes calculé avec volatilité σ: ∆BS (t, Xt , T, K, σ).
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La valeur du portefeuille du trader sera notée par Vt
3. Ecrire la dynamique du portefeuille du trader.
4. Calculer, en utilisant la formule d’Itô, la différence C BS (T, XT , T, K, σ) −
C BS (0, X0 , T, K, σ).
5. En déduire l’expression pour l’erreur de couverture, c’est-à-dire, la différence
entre le portefeuille du trader et HT , notée par ET = VT − HT .
6. En utilisant l’EDP de Black-Scholes, exprimer cette erreur en termes de la
différece entre la volatilité σ utilisée par le trader et la volatilité du panier.
7. Calculer la valeur minimale de la volatilité σ telle que l’erreur de couverture ET est positive p.s. En déduire une stratégie de sur-couverture pour
l’option sur panier et une borne supérieure sur son prix.
8. Calculer la valeur maximale de la volatilité σ telle que l’erreur de couverture ET est negative p.s. En déduire une stratégie de sous-couverture pour
l’option sur panier et une borne inférieure sur son prix.
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Variante 2
Exercice 1 (Dividendes discrets). On considère une action dont le prix sera
noté par S, et qui verse un dividende connu D à la date t < T . Les prix à
l’instant 0 des options call et put sur S d’echéance T et de strike K seront notés
C(T, K) et P (T, K). Le taux d’intérêt est supposé constant et égal à r.
1. Calculer le prix forward d’échéance T à l’instant 0 de l’action.
2. Donner la relation de parité call-put pour C(T, K) et P (T, K) tenant
compte du versement du dividende.
3. En déduire les bornes inférieures pour C(T, K) et P (T, K). Donner également
les bornes supérieures pour les prix de ces options.
Exercice 2 (Option sur panier). On se place dans le modèle Black-Scholes
standard en dimension 2. Les prix des actifs risqués sont notés S 1 et S 2 , leurs
volatilités sont σ1 et σ2 et il y a une corrélation ρ entre les rendements. Le taux
d’intérêt est égal à r.
1. Ecrire la dynamique des actifs S 1 et S 2 sous la probabilité risque-neutre,
faisant apparaı̂tre deux mouvements browniens indépendants W 1 et W 2 .
On considère une option de pay-off à l’instant T donné par
HT = (αST1 + (1 − α)ST2 − K)+ ,
avec α ∈ (0, 1). Soit P (t, St1 , St2 ) le prix de cette option à l’instant t. Soient
également P1 (t, St1 ) le prix de l’option de pay-off HT1 = (ST1 − K)+ et P2 (t, St2 )
le prix de l’option de pay-off HT2 = (ST2 − K)+ .
2. Donner la formule pour la fonction P (t, St1 , St2 ) faisant intervenir une
espérance sous la probabilité risque-neutre.
3. Montrer que P (t, St1 , St2 ) ≤ αP1 (t, St1 ) + (1 − α)P2 (t, St2 ).
4. Montrer que
1
2
P (t, St1 , St2 ) ≥ E Q [e−r(T −t) (eα log ST +(1−α) log ST − K)+ ].
5. En utilisant le principe de valorisation risque-neutre, calculer le prix Ft à
1
2
l’instant t d’un actif qui paie eα log ST +(1−α) log ST à l’instant T . Montrer
que cet actif suit le modèle de Black-Scholes, calculer sa volatilité.
6. En utilisant la formule de Black-Scholes, déduire de la question précédente
une borne inférieure explicite pour le prix de l’option sur panier.
15
16
Variante 3
Exercice 1 (Power straddle dans le modèle de Black-Scholes). Dans cet exercice on considère un “power straddle”, une option dont le pay-off à l’instant T
est égal à
HT = (ST − K)2 .
1. En utilisant le principe de valorisation risque-neutre, calculer le prix du
power straddle dans le modèle Black-Scholes à une date t < T .
2. Calculer le delta du power straddle et donner la stratégie de couverture
dynamique pour cette option. Quelle doit être la valeur de St pour que le
power straddle soit delta neutre?
3. Calculer le gamma et le vega du power straddle à la date t. Representer
ces quantités sur un graphique (en fonction de St ).
4. Supposons que la volatilité n’est pas connue, mais on sait qu’elle se trouve
dans l’intervalle [σ1 , σ2 ]. Donner les bornes sur le prix du power straddle
en utilisant le résultat de robustesse de la formule de Black-Scholes.
Exercice 2. Option de surperformance On considère une économie avec deux
marchés, le marché domestique, où les prix sont exprimés en monnaie domestique, et le marché étranger avec les prix en monnaie étrangère. Le taux de
change entre les deux marchés Xt est défini comme le prix à l’instant t d’une
unité de monnaie étrangère dans le marché domestique.
On considère une option de pay-off à l’instant T donné par
!
(2) +
(1)
ST
ST
− X (2)
,
HT =
(1)
S0
S0
où S (1) est un titre domestique, par exemple, Eurostoxx50, et S (2) est un titre
étranger, par exemple, FTSE100. L’option paie donc la différence entre la performace de l’actif domestique et celle de l’actif étranger, multiplée par un taux
de change fixe X. Les taux d’intérêt domestique et étranger seront notés par r
et re respectivement, et sont supposés constants. La dynamique des titres sous
la probabilité historique s’écrit:
(1)
dSt
(1)
St
= b(1) dt + γ (1) dWt
(2)
dSt
(2)
St
= b(2) dt + γ (2) dWt ,
où γ (1) et γ (2) appartiennent à R3 et W est un mouvement brownien standard
en dimension 3. La dynamique du taux de change X est
dXt
= bX dt + γ X dWt ,
Xt
avec γ X ∈ R3 .
17
(1)
1. Calculer les prix Ft
X
(2)
ST
(2)
S0
(2)
et Ft
(1)
des portefeuilles de replication des flux
ST
(1)
S0
et
. Montrer que ces actifs sont log-normaux, calculer leurs volatilités.
2. En utilisant la formule de Black-Scholes généralisée, calculer le prix à
l’instant t de l’option de surperformance.
3. Donner la stratégie de couverture pour cette option.
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Variante 4
Exercice 1 (Options puissance). Dans cet exercice on considère une option
puissance, de pay-off
HT = (ST2 − K 2 )+
dans le cadre du modèle de Black-Scholes.
1. En utilisant la valorisation risque-neutre, calculer le prix Ft à l’instant t
d’un actif qui paie ST2 à l’instant T . Montrer que Ft suit le modèle de
Black-Scholes, calculer sa volatilité.
2. Montrer que l’option puissance peut être vue comme une option call standard sur l’actif F . En utilisant la formule de Black-Scholes, calculer le
prix à l’instant t de l’option puissance.
3. Calculer le delta à l’instant t (en utilisant la formule de dérivation d’une
fonction composée) et décrire la stratégie de couverture dynamique pour
cette option.
4. Calculer le gamma et le vega de l’option puissance à l’instant t et représenter
ces quantités sur un graphique.
Exercice 2 (Option à barrière digitale). On se place dans le cadre du modèle
de Black-Scholes standard. Une option digitale de type call est une option de
pay-off à l’instant T donné par 1ST ≥K , et une option digitale de type Put a un
pay-off 1ST ≤K .
1. Calculez les prix des options digitales de type Call et Put à une date t < T
en utilisant le principe de valorisation risque-neutre.
On considère une option à barrière digitale de pay-off à l’instant T donné par
HT = 1ST ≤K 1max0≤t≤T St ≥B .
2. En utilisant la technique de replication des options à barrière regulières,
donner la stratégie de replication semi-statique pour l’option à barrière
digitale utilisant une option digitale et une option européenne dont le
pay-off est a préciser.
3. Exprimer le prix de cette stratégie de couverture à l’instant t = 0 en
termes du prix d’une option digitale.
4. En supposant que le taux d’intérêt est nul, representer la stratégie de
couverture au moyen d’une option digitale et une option européenne de
type call/put.
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Variante 5
Exercice 1 (Le vega-weighted butterfly). On se place dans le cadre du modèle
Black-Scholes standard avec volatilité σ et taux d’intérêt r. On considère un
contrat qui consiste à acheter x puts de strike K1 , x calls de strike K3 et de
vendre 21 − x calls et 12 − x puts de strike K2 , avec K1 < K2 < K3 , où x ∈ (0, 1)
est un paramètre.
1. Tracer le pay-off de ce contrat en fonction de la valeur du sous-jacent à
l’échéance ST pour x = 0, x = 41 et x = 12 . Quels contrats reconnaissezvous?
2. Tracer le delta, le gamma et le vega du contrat à l’instant T = 0 en fonction
de la valeur du sous-jacent S0 pour x = 14 , en justifiant brièvement la forme
des courbes.
3. Pour une valeur fixée de S0 , donner la condition sur x pour que le contrat
soit vega-neutre. Il s’appelle alors vega-weighted butterfly.
Exercice 2 (Gamma swap). Dans cet exercice on se place dans le cadre d’un
modèle général de la forme
dSt
= rdt + σt dWt ,
St
où σ est un processus aléatoire. On s’intéresse au “gamma swap” dont le pay-off
à l’instant T est donné par
Z
T
V PT =
0
St 2
σ dt,
S0 t
c’est-à-dire, la variance intégrée, pondérée par la valeur normalisée du sousjacent.
Dans tout l’exercice, le taux d’intérêt est supposé nul.
1. Soit f (x) = Sx0 log Sx0 − Sx0 + 1. Expliquer comment le pay-off f (ST ) peut
être répliqué par les pay-offs de calls et de puts. En déduire le prix à
l’instant t = 0 d’une option qui paie f (ST ) en T , en fonction des prix des
options européennes en t = 0. Les prix des options européennes seront
notés par Ct (T, K) et Pt (T, K).
2. Appliquer la formule d’Itô à f (ST ). En déduire que le pay-off V PT peut
être répliqué par une option de pay-off f (ST ) et un portefeuille dynamique
contenant l’actif sous-jacent et le cash.
3. Calculer le prix à l’instant t = 0, d’un produit qui paie V PT à la date T ,
en fonction des prix des options européennes.
21
22
Variante 6
Exercice 1 (Stratégie du coussin). La stratégie du coussin est une stratégie
de gestion de portefeuille dont l’objectif est de profiter du rendement d’un actif
risqué tout en assurant à l’investisseur un montant garanti N à l’échéance T .
Pour cela, le gestionnaire investit une fraction de la richesse dans l’actif risqué
dont le prix est noté par St et le reste dans une obligation zéro-coupon d’échéance
T et de nominal N , dont le prix est noté par Bt . La valeur du portefeuille est
notée par Vt et la stratégie consiste à investir le montant mCt dans l’actif risqué
où Ct = Vt − Bt s’appelle le coussin, et m > 1 est un multiplicateur constant.
1. Calculer le prix Bt de l’actif sans risque à l’instant t < T si le taux d’intérêt
est constant et égal à r.
2. Ecrire la dynamique du portefeuille Vt sachant que le prix de l’actif risqué
suit le modèle de Black-Scholes
dSt
= bdt + σdWt .
St
En déduire la dynamique du coussin Ct .
3. Montrer que la dynamique du coussin est également la dynamique BlackScholes. Quelle est la volatilité du coussin? En déduire la valeur du coussin
à l’échéance CT et la valeur du portefeuille à l’échéance VT .
4. Calculer l’espérance et la variace de la valeur du portefeuille. Que peut-on
en déduire concernant le choix du multiplicateur m?
Exercice 2 (Power straddle et swap de variance pondéré). Dans cet exercice
on se place dans le cadre d’un modèle général de la forme
dSt
= rdt + σt dWt ,
St
où σ est un processus aléatoire. On s’intéresse au produit dont le pay-off à
l’instant T est donné par
Z T
V PT =
St2 σt2 dt,
0
c’est-à-dire, la variance intégrée, pondérée par la valeur du sous-jacent au carré.
On considère également un “power straddle”, une option dont le pay-off à
l’instant T est égal à
HT = (ST − K)2 .
Dans tout l’exercice, le taux d’intérêt est supposé nul.
1. Expliquer comment le pay-off d’un power straddle peut être répliqué par
les pay-offs des calls et des puts. En déduire le prix du power straddle à
l’instant t = 0, en fonction des prix des options européennes à cette date.
Les prix des options européennes seront notés par Ct (T, K) et Pt (T, K).
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2. Appliquer la formule d’Itô au pay-off du power straddle. En déduire que
le pay-off V PT peut être répliqué par un power straddle et un portefeuille
dynamique contenant l’actif sous-jacent et le cash.
3. Calculer le prix à l’instant t = 0, d’un produit qui paie V PT à la date T ,
en fonction des prix des options européennes.
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Variante 7
Exercice 1 (Options puissance). Dans cet exercice on considère une option
puissance, de pay-off
HT = [(ST − K)+ ]2
dans le cadre du modèle de Black-Scholes.
1. En utilisant la valorisation risque-neutre, calculer le prix Ft à l’instant t
d’un actif qui paie ST2 à l’instant T . Montrer que Ft suit le modèle de
Black-Scholes, calculer sa volatilité.
2. Montrer que l’option puissance peut être representée comme la différence
d’une option call standard sur FT et de 2K options calls standard sur ST .
En utilisant la formule de Black-Scholes, calculer le prix à l’instant t de
l’option puissance.
3. Calculer le delta à l’instant t et décrire la stratégie de couverture dynamique pour cette option.
4. Calculer le gamma et le vega de l’option puissance à l’instant t et représenter
ces quantités sur un graphique.
Exercice 2 (Options de change). On considère une économie avec deux marchés,
le marché domestique, où les prix sont exprimés en monnaie domestique, et le
marché étranger avec les prix en monnaie étrangère. Le taux de change entre les
deux marchés Xt est défini comme le prix à l’instant t d’une unité de monnaie
étrangère dans le marché domestique. Les taux d’intérêt dans les deux marchés
seront notés rf et r, et sont supposés constants. La dynamique du taux de
change (sous la probabilité historique) est donnée par
dXt
= bX dt + σ X dWtX ,
Xt
où W X est un mouvement Brownien standard. On considère des options écrites
sur une action S cotée dans le marché étranger, qui ne paie pas de dividendes
et suit la dynamique
p
dSt
= bdt + σ(ρdWtX + 1 − ρ2 dWt ),
St
où W est un mouvement Brownien standard indépendant de W X .
1. Calculer le prix sur le marché domestique à l’instant t = 0 d’une option
call de strike K en monnaie étrangère.
2. Option sur un actif étranger avec strike en monnaie domestique. Dans
cette question on considère une option de pay-off HT = (ST XT − K)+ en
monnaie domestique, où K est le strike en monnaie domestique.
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a. Calculer le prix Ft à l’instant t d’un actif qui paie ST XT en monnaie
domestique à l’instant t. Monter que Ft suit le modèle Black-Scholes,
calculer sa volatilité.
b. Exprimer le prix de cette option avec la formule de Black-Scholes
généralisée.
c. Donner la stratégie de couverture pour cette option.
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