Première S Devoir à la maison n°3

Première S
Devoir à la maison n°3 : corrigé
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Exercice 1
Pour chacun des polynômes ax² + bx + c suivants :
f(x) = x² - 5x + 6
g(x) = 3x² - 7x – 20
h(x) = -2x² - 8x + 10
Partie I :
1. Calculer les racines x’ et x’’, si elles existent,
2. On pose S = x’ + x’’ et P = x’ × x’’, donner une relation entre S, P, a, b, c .
f(x) = x² - 5x + 6 g(x) = 3x² - 7x – 20
h(x) = -2x² - 8x + 10
1, -5, 6
3, -7, -20
-2, -8, 10
Coefficients a, b ,c
25 – 24 = 1
49 + 240 = 289 = 17² 64 + 80 = 144 = 12²
Discriminant ∆ = b² – 4ac
2
2
2
Nombres de racines
2
-5/3
1
x’ =
3
4
-5
x’’ =
5
7/3
-4
S=
6
-20/3
-5
P=
b
c
RELATIONS : Il semble que S = - et P =
a
a
Partie II
1. Ecrire les trinômes x² – Sx + P et chercher les racines.
f(x) = x² - 5x + 6 g(x) = 3x² - 7x – 20 h(x) = -2x² - 8x + 10
7
20
x² – 5x + 6
x² + 4x - 5
x² – Sx + P
x² - x –
3
3
16 + 20 = 36 = 6²
25 – 24 = 1
Discriminant ∆ = b² – 4ac
49 80 289 ⎛17⎞²
+ =
=⎜3⎟
9
3
9 ⎝ ⎠
2
2
2
Nombres de racines
2
-5/3
-5
x’ =
3
4
1
x’’ =
2. Emettre une conjecture
On retrouve les mêmes solutions, donc les équations sont équivalentes.
c
b
x² – Sx + P = 0 ⇔ x² + x + = 0
a
a
3. La démontrer
Soit ax² + bx + c = 0 (1) avec a non nul et ∆ > 0 alors il y a deux solutions
-b - ∆
-b + ∆
x’ =
et x’’ =
2a
2a
-b - ∆ -b + ∆ -2b
b
leur somme est
S = x’ + x’’ =
+
=
=2a
2a
2a
a
⎛-b - ∆⎞⎛-b + ∆⎞ (-b)² - ∆ b² - (b² - 4ac) 4ac c
⎟⎜
⎟=
leur produit est
P = x’x’’ = ⎜
=
=
=
4a²
4a²
4a² a
⎝ 2a ⎠⎝ 2a ⎠
b
c
Or en divisant (1) par a on obtient x² + x + = 0 soit x² – Sx + P = 0
a
a
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Partie III
• Trouver deux nombres x et y tels que leur somme soit 7 et leur produit 10.
Les deux nombres sont, d’après ce qui précède, les racines de x² – Sx + P = 0
avec S = 7 et P = 10
Soit les racines de x² – 7x + 10 = 0
La résolution donne x’ = 2 et x’’ = 5.
Conclusion les deux nombres cherchés sont : x = 5 et y = 2 ou x = 2 et y = 5
Exercice 2
« J ai acheté plusieurs pièces de tissu pour 180 écus. Si j’avais acheté pour la même somme
trois pièces de tissu de plus, j’aurais eu la pièce de tissu à un meilleur marché de 3 écus.
Combien ai-je acheté de pièces de tissu ? »
Appelons n le nombre de pièces achetées et x le prix d’une pièce. (x est non nul)
« J’ai acheté plusieurs pièces de tissu pour 180 écus »donne n × x = 180
« Si j’avais acheté pour la même somme trois pièces de tissu de plus, j’aurais eu la pièce de
tissu à un meilleur marché de 3 écus » donne (n + 3)(x – 3) = 180
Il faut donc résoudre le système :
⎧
n x = 180
⎨
⎩(n + 3)(x – 3) = 180
La seconde donne : nx – 3n + 3x – 9 = 180. Or nx = 180 d’où
3x – 3n = 9 Ou encore
x–n=3
Le système se ramène à
⎧nx = 180
⎨
⎩x – n = 3
180
180
qu’on reporte dans la deuxième : x –
=3
x
x
Soit x² - 180 = 3x autrement dit x² - 3x – 180 = 0
Equation du second degré avec a = 1 ; b = -3 ; c = - 180 d’où ∆ = b² - 4ac = 729 = 27²
3-27
3 + 27
Il y a deux solutions : x’ =
= -12 ce qui ne va pas pour un prix et x’’ =
= 15 qui
2
2
convient.
Le prix est 15 écus et le nombre de pièces : 12
De la première on tire n =
Vérification : 15 × 12 = 12 × 15 = 180