Votre guide dans le monde de la métrologie

Corpos Finitos
Matheus Bernardini de Souza
25 de junho de 2014
Matheus Bernardini de Souza
´
T´
opicos de Algebra
II
Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Defini¸c˜ao 1
Um corpo K ´e um anel comutativo (K, +, ·) de tal forma que
1 ∈ K, com 1 6= 0;
Para todo k ∈ K(k 6= 0), existe k −1 ∈ K tal que k · k −1 = 1.
Observa¸c˜ao 1
Se K ´e um corpo, ent˜ao K∗ := K \ {0} com a opera¸c˜ao · ´e um
grupo abeliano.
Exemplo 1
Q, R, C s˜ao corpos.
˜ ´e um corpo, apesar de ser um anel comutativo com
Z NAO
1 ∈ Z.
Seja p um n´
umero primo. Ent˜ao Zp := Z/pZ ´e um corpo.
Matheus Bernardini de Souza
´
T´
opicos de Algebra
II
Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Defini¸c˜ao 1
Um corpo K ´e um anel comutativo (K, +, ·) de tal forma que
1 ∈ K, com 1 6= 0;
Para todo k ∈ K(k 6= 0), existe k −1 ∈ K tal que k · k −1 = 1.
Observa¸c˜ao 1
Se K ´e um corpo, ent˜ao K∗ := K \ {0} com a opera¸c˜ao · ´e um
grupo abeliano.
Exemplo 1
Q, R, C s˜ao corpos.
˜ ´e um corpo, apesar de ser um anel comutativo com
Z NAO
1 ∈ Z.
Seja p um n´
umero primo. Ent˜ao Zp := Z/pZ ´e um corpo.
Matheus Bernardini de Souza
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T´
opicos de Algebra
II
Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Defini¸c˜ao 1
Um corpo K ´e um anel comutativo (K, +, ·) de tal forma que
1 ∈ K, com 1 6= 0;
Para todo k ∈ K(k 6= 0), existe k −1 ∈ K tal que k · k −1 = 1.
Observa¸c˜ao 1
Se K ´e um corpo, ent˜ao K∗ := K \ {0} com a opera¸c˜ao · ´e um
grupo abeliano.
Exemplo 1
Q, R, C s˜ao corpos.
˜ ´e um corpo, apesar de ser um anel comutativo com
Z NAO
1 ∈ Z.
Seja p um n´
umero primo. Ent˜ao Zp := Z/pZ ´e um corpo.
Matheus Bernardini de Souza
´
T´
opicos de Algebra
II
Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Proposi¸c˜ao 1
Se D um dom´ınio finito, ent˜ao D ´e um corpo.
Dem.: Seja d ∈ D \ {0}. Considere a fun¸c˜ao
f : D −→ D
x 7−→ dx.
Note que f ´e injetiva, pois dados x e y ∈ D tais que
f (x) = dx = dy = f (y ), temos que d(x − y ) = 0. Como D ´e
dom´ınio e d 6= 0, segue que x − y = 0, isto ´e, x = y . Como D ´e
um conjunto finito, segue que f ´e sobrejetiva. Assim, existe
d −1 ∈ D tal que dd −1 = 1, pois 1 ∈ D.
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II
Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Proposi¸c˜ao 1
Se D um dom´ınio finito, ent˜ao D ´e um corpo.
Dem.: Seja d ∈ D \ {0}. Considere a fun¸c˜ao
f : D −→ D
x 7−→ dx.
Note que f ´e injetiva, pois dados x e y ∈ D tais que
f (x) = dx = dy = f (y ), temos que d(x − y ) = 0. Como D ´e
dom´ınio e d 6= 0, segue que x − y = 0, isto ´e, x = y . Como D ´e
um conjunto finito, segue que f ´e sobrejetiva. Assim, existe
d −1 ∈ D tal que dd −1 = 1, pois 1 ∈ D.
Matheus Bernardini de Souza
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II
Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Exemplo 2
Seja R um anel comutativo e m um ideal de R. Ent˜ao
R/m ´e corpo se, e somente se, m ´e ideal maximal de R.
Seja K um corpo e K[X ] o anel de polinˆ
omios em uma
vari´avel. Ent˜ao para todo polinˆ
omio irredut´ıvel f ∈ K[X ], o
ideal (f ) ´e maximal e K[X ]/(f ) ´e um corpo.
Matheus Bernardini de Souza
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Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Exemplo 2
Seja R um anel comutativo e m um ideal de R. Ent˜ao
R/m ´e corpo se, e somente se, m ´e ideal maximal de R.
Seja K um corpo e K[X ] o anel de polinˆ
omios em uma
vari´avel. Ent˜ao para todo polinˆ
omio irredut´ıvel f ∈ K[X ], o
ideal (f ) ´e maximal e K[X ]/(f ) ´e um corpo.
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Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Caracter´ıstica de um corpo
F∗
e um grupo c´ıclico
q ´
Caracter´ıstica de um corpo
Defini¸c˜ao 2
Seja K um corpo. Definimos a caracter´ıstica de K (char (K)) como
o menor inteiro positivo n tal que n · 1 = 0, caso esse inteiro n
exista. Se n˜ao existir nenhum n satisfazendo essa condi¸c˜ao,
dizemos que o corpo tem caracter´ıstica 0.
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Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Caracter´ıstica de um corpo
F∗
e um grupo c´ıclico
q ´
Proposi¸c˜ao 2
Seja K um corpo de finito. Ent˜ao existe p primo tal que
char (K) = p e neste caso Zp ´e isomorfo a um subcorpo de K.
Dem.: Primeiro observe que char (K) 6= 0. De fato, como K ´e
finito, existem k e ` ∈ N, com k > ` tais que k · 1 = ` · 1. Assim,
(k − `) · 1 = 0, isto ´e, char (K) ≤ k − ` que ´e finito.
Seja char (K) = p > 0 e suponha que p = a · b n˜ao seja primo.
Da´ı, 1 < a, b < p e ent˜ao
0 = p · 1 = (a · b) · 1 = (a · 1) · (b · 1).
Como cada elemento est´a em K, o qual ´e um corpo, segue que
a · 1 = 0 ou b · 1 = 0, o que contraria a minimalidade de p.
Portanto, p ´e primo.
Matheus Bernardini de Souza
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II
Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Caracter´ıstica de um corpo
F∗
e um grupo c´ıclico
q ´
Proposi¸c˜ao 2
Seja K um corpo de finito. Ent˜ao existe p primo tal que
char (K) = p e neste caso Zp ´e isomorfo a um subcorpo de K.
Dem.: Primeiro observe que char (K) 6= 0. De fato, como K ´e
finito, existem k e ` ∈ N, com k > ` tais que k · 1 = ` · 1. Assim,
(k − `) · 1 = 0, isto ´e, char (K) ≤ k − ` que ´e finito.
Seja char (K) = p > 0 e suponha que p = a · b n˜ao seja primo.
Da´ı, 1 < a, b < p e ent˜ao
0 = p · 1 = (a · b) · 1 = (a · 1) · (b · 1).
Como cada elemento est´a em K, o qual ´e um corpo, segue que
a · 1 = 0 ou b · 1 = 0, o que contraria a minimalidade de p.
Portanto, p ´e primo.
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Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Caracter´ıstica de um corpo
F∗
e um grupo c´ıclico
q ´
Para a segunda parte, considere o homomorfismo de aneis
ϕ : Zp = {0, . . . , p − 1} −→ K
a
7−→ a · 1.
Note que ϕ ´e injetivo: sejam a, b ∈ Zp , com a ≤ b tais que
ϕ(a) = a · 1 = b · 1 = ϕ(b), ent˜ao (a − b) · 1 = 0. Como
char (K) = p > a − b, segue que a − b = 0, isto ´e, a = b. Pelo
Teorema do Isomorfismo, segue Zp ' ϕ(Zp ), sendo o u
´ltimo um
subcorpo de K.
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Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Caracter´ıstica de um corpo
F∗
e um grupo c´ıclico
q ´
Proposi¸c˜ao 3
Seja K um corpo finito e L uma extens˜ao de K, com [L : K] = n.
Ent˜ao |L| = |K|n .
Dem.: Seja {`1 , . . . , `n } uma base de L sobre K. Dado ` ∈ L,
existem u
´nicos α1 , . . . , αn ∈ K tais que
` = α1 `1 + · · · + αn `n .
Para cada αi , existem |K| possibilidades. Portanto, existem |K|n
possibilidades para `.
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oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Caracter´ıstica de um corpo
F∗
e um grupo c´ıclico
q ´
Proposi¸c˜ao 3
Seja K um corpo finito e L uma extens˜ao de K, com [L : K] = n.
Ent˜ao |L| = |K|n .
Dem.: Seja {`1 , . . . , `n } uma base de L sobre K. Dado ` ∈ L,
existem u
´nicos α1 , . . . , αn ∈ K tais que
` = α1 `1 + · · · + αn `n .
Para cada αi , existem |K| possibilidades. Portanto, existem |K|n
possibilidades para `.
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II
Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Caracter´ıstica de um corpo
F∗
e um grupo c´ıclico
q ´
Corol´ario 1
Seja K um corpo finito com char (K) = p. Ent˜ao existe n ∈ N tal
que |K| = p n .
Dem.: Pela Proposi¸c˜ao 2, temos que K ´e uma extens˜ao (finita) de
Zp . Logo, existe n ∈ N tal que [K : Zp ] = n. Pela Proposi¸cao 3,
temos que |K| = |Zp |n = p n .
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Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Caracter´ıstica de um corpo
F∗
e um grupo c´ıclico
q ´
Corol´ario 1
Seja K um corpo finito com char (K) = p. Ent˜ao existe n ∈ N tal
que |K| = p n .
Dem.: Pela Proposi¸c˜ao 2, temos que K ´e uma extens˜ao (finita) de
Zp . Logo, existe n ∈ N tal que [K : Zp ] = n. Pela Proposi¸cao 3,
temos que |K| = |Zp |n = p n .
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Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Caracter´ıstica de um corpo
F∗
e um grupo c´ıclico
q ´
Pergunta 1
Dado p primo e n ∈ N, existe um corpo com q = p n elementos?
Esse corpo ´e u
´nico?
Observa¸c˜ao 2
Mostraremos em breve que as respostas para ambas as perguntas
s˜ao positivas e a partir de agora denotaremos um corpo finito por
Fq , em que q = p n para algum p primo e algum n ∈ N.
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Propriedades
Corpos Finitos
Caracter´ıstica de um corpo
F∗
e um grupo c´ıclico
q ´
Pergunta 1
Dado p primo e n ∈ N, existe um corpo com q = p n elementos?
Esse corpo ´e u
´nico?
Observa¸c˜ao 2
Mostraremos em breve que as respostas para ambas as perguntas
s˜ao positivas e a partir de agora denotaremos um corpo finito por
Fq , em que q = p n para algum p primo e algum n ∈ N.
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Caracter´ıstica de um corpo
F∗
e um grupo c´ıclico
q ´
F∗q ´e um grupo c´ıclico
Proposi¸c˜ao 4
Seja K um corpo e G um subgrupo finito de K∗ . Ent˜ao G ´e
c´ıclico, com G ' Z/|G |Z.
Dem.: Seja n a ordem de G , isto ´e, o menor inteiro positivo tal
que g n = 1, ∀g ∈ G . Pelo Teorema de Lagrange, n | |G |, logo
n ≤ |G |. Por outro lado, como g n − 1 = 0, ∀g ∈ G , todos os
elementos de G s˜ao ra´ızes do polinˆ
omio X n − 1. Mas esse
polinˆomio tem no m´aximo n ra´ızes, isto ´e, |G | ≤ n. Portanto,
|G | = n. Assim, G ´e c´ıclico, isto ´e, G ' Z/|G |Z.
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oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Caracter´ıstica de um corpo
F∗
e um grupo c´ıclico
q ´
F∗q ´e um grupo c´ıclico
Proposi¸c˜ao 4
Seja K um corpo e G um subgrupo finito de K∗ . Ent˜ao G ´e
c´ıclico, com G ' Z/|G |Z.
Dem.: Seja n a ordem de G , isto ´e, o menor inteiro positivo tal
que g n = 1, ∀g ∈ G . Pelo Teorema de Lagrange, n | |G |, logo
n ≤ |G |. Por outro lado, como g n − 1 = 0, ∀g ∈ G , todos os
elementos de G s˜ao ra´ızes do polinˆ
omio X n − 1. Mas esse
polinˆomio tem no m´aximo n ra´ızes, isto ´e, |G | ≤ n. Portanto,
|G | = n. Assim, G ´e c´ıclico, isto ´e, G ' Z/|G |Z.
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oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Caracter´ıstica de um corpo
F∗
e um grupo c´ıclico
q ´
Corol´ario 2
F∗q ´e um grupo c´ıclico de ordem q − 1, com F∗q ' Z/(q − 1)Z.
Dem.: Basta tomar K∗ = G = F∗q na proposi¸c˜ao anterior.
Observa¸c˜ao 3
Dessa forma, podemos escrever
Fq = {0, α, . . . , αq−2 , αq−1 = 1}.
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Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Caracter´ıstica de um corpo
F∗
e um grupo c´ıclico
q ´
Corol´ario 2
F∗q ´e um grupo c´ıclico de ordem q − 1, com F∗q ' Z/(q − 1)Z.
Dem.: Basta tomar K∗ = G = F∗q na proposi¸c˜ao anterior.
Observa¸c˜ao 3
Dessa forma, podemos escrever
Fq = {0, α, . . . , αq−2 , αq−1 = 1}.
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oes e Exemplos
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Corpos Finitos
Caracter´ıstica de um corpo
F∗
e um grupo c´ıclico
q ´
Corol´ario 2
F∗q ´e um grupo c´ıclico de ordem q − 1, com F∗q ' Z/(q − 1)Z.
Dem.: Basta tomar K∗ = G = F∗q na proposi¸c˜ao anterior.
Observa¸c˜ao 3
Dessa forma, podemos escrever
Fq = {0, α, . . . , αq−2 , αq−1 = 1}.
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Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Constru¸c˜
ao de F4 a partir de F2
Existˆ
encia de Corpos Finitos com p n elementos
Fecho Alg´
ebrico de um Corpo Finito
Constru¸c˜ao de F4 a partir de F2
Exemplo 3
Considere o corpo finito F2 = {0, 1} e o polinˆ
omio
2
f (X ) = X + X + 1 ∈ F2 [X ]. Como f (0) = f (1) = 1 6= 0 e
∂f = 2, segue que f ´e irredut´ıvel. Seja α tal que α2 + α + 1 = 0,
isto ´e, α2 = α + 1, temos
F := F2 [α] = {a + bα : a, b ∈ F2 } ' F2 [X ]/(X 2 + X + 1)
cont´em F2 e [F : F2 ] = 2. Assim,
F = {0, 1, α, α2 = α + 1}.
Denotamos o corpo F por F4 , pois tem 4 elementos.
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oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Constru¸c˜
ao de F4 a partir de F2
Existˆ
encia de Corpos Finitos com p n elementos
Fecho Alg´
ebrico de um Corpo Finito
Observa¸c˜ao 4
Para essa constru¸c˜ao de F4 a partir de F2 = Z2 , usamos o fato de
existir um polinˆomio irredut´ıvel de grau 2 com coeficientes em F2 .
Assim para contruir o corpo F2n , seria natural procurarmos um
polinˆomio irredut´ıvel de grau n com coeficientes em F2 .
Observa¸c˜ao 5
Em geral para a constru¸c˜ao de Fpn a partir de Fp = Zp o
procedimento ´e an´alogo.
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Propriedades
Corpos Finitos
Constru¸c˜
ao de F4 a partir de F2
Existˆ
encia de Corpos Finitos com p n elementos
Fecho Alg´
ebrico de um Corpo Finito
Observa¸c˜ao 4
Para essa constru¸c˜ao de F4 a partir de F2 = Z2 , usamos o fato de
existir um polinˆomio irredut´ıvel de grau 2 com coeficientes em F2 .
Assim para contruir o corpo F2n , seria natural procurarmos um
polinˆomio irredut´ıvel de grau n com coeficientes em F2 .
Observa¸c˜ao 5
Em geral para a constru¸c˜ao de Fpn a partir de Fp = Zp o
procedimento ´e an´alogo.
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oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Constru¸c˜
ao de F4 a partir de F2
Existˆ
encia de Corpos Finitos com p n elementos
Fecho Alg´
ebrico de um Corpo Finito
Pergunta 2
Dado n ∈ N, existe um polinˆ
omio irredut´ıvel de grau n com
coeficientes em Fp = Zp ?
Observa¸c˜ao 6
Veremos adiante que a resposta dessa pergunta ´e positiva.
Matheus Bernardini de Souza
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Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Constru¸c˜
ao de F4 a partir de F2
Existˆ
encia de Corpos Finitos com p n elementos
Fecho Alg´
ebrico de um Corpo Finito
Existˆencia de Corpos Finitos com p n elementos
Teorema 1
Dado p primo e n ∈ N, existe um corpo finito com q = p n
elementos, o qual ´e denotado por Fq .
Dem.: A motiva¸c˜ao para a demonstra¸c˜ao desse teorema ´e o fato
que se K ´e um corpo finito com q elementos, ent˜ao K∗ ´e um grupo
c´ıclico. Logo todo elemento de K ´e ra´ız do polinˆ
omio X q − X .
J´a sabemos que Fp = Zp ´e corpo. Seja n ∈ N e tome q = p n .
Considere o polinˆomio
fq (X ) = X q − X ∈ Fp [x].
Seja R ⊆ Fp o conjunto das ra´ızes de fq . Pelo Teorema
´
Fundamental da Algebra,
#R ≤ q. Por outro lado, f 0 (X ) = −1.
Assim toda raiz de f ´e simples. Portanto, a quantidade de ra´ızes
de fq ´e igual a q.
Matheus Bernardini de Souza
´
T´
opicos de Algebra
II
Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Constru¸c˜
ao de F4 a partir de F2
Existˆ
encia de Corpos Finitos com p n elementos
Fecho Alg´
ebrico de um Corpo Finito
Existˆencia de Corpos Finitos com p n elementos
Teorema 1
Dado p primo e n ∈ N, existe um corpo finito com q = p n
elementos, o qual ´e denotado por Fq .
Dem.: A motiva¸c˜ao para a demonstra¸c˜ao desse teorema ´e o fato
que se K ´e um corpo finito com q elementos, ent˜ao K∗ ´e um grupo
c´ıclico. Logo todo elemento de K ´e ra´ız do polinˆ
omio X q − X .
J´a sabemos que Fp = Zp ´e corpo. Seja n ∈ N e tome q = p n .
Considere o polinˆomio
fq (X ) = X q − X ∈ Fp [x].
Seja R ⊆ Fp o conjunto das ra´ızes de fq . Pelo Teorema
´
Fundamental da Algebra,
#R ≤ q. Por outro lado, f 0 (X ) = −1.
Assim toda raiz de f ´e simples. Portanto, a quantidade de ra´ızes
de fq ´e igual a q.
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´
T´
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oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Constru¸c˜
ao de F4 a partir de F2
Existˆ
encia de Corpos Finitos com p n elementos
Fecho Alg´
ebrico de um Corpo Finito
Resta mostrar que R forma um corpo: sejam α, β ∈ R. Ent˜ao
αq = α e β q = β.
(α ± β)q = αq ± β q = α + β e
(αβ −1 )q = αq (β q )−1 = αβ −1 .
Denotaremos o conjunto R por Fq , em que q = p n .
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´
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oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Constru¸c˜
ao de F4 a partir de F2
Existˆ
encia de Corpos Finitos com p n elementos
Fecho Alg´
ebrico de um Corpo Finito
Resta mostrar que R forma um corpo: sejam α, β ∈ R. Ent˜ao
αq = α e β q = β.
(α ± β)q = αq ± β q = α + β e
(αβ −1 )q = αq (β q )−1 = αβ −1 .
Denotaremos o conjunto R por Fq , em que q = p n .
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oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Constru¸c˜
ao de F4 a partir de F2
Existˆ
encia de Corpos Finitos com p n elementos
Fecho Alg´
ebrico de um Corpo Finito
Teorema 2
Seja K um corpo com q = p n elementos, ent˜ao K ' Fq .
Dem.: Seja K um corpo com q = p n elementos e considere que o
grupo c´ıclico K ∗ seja gerado por β ∈ K∗ . Dessa forma, K∗ ´e o
menor subcorpo de K que cont´em Fp e β. Da´ı, K = Fp [β]. Seja
g (X ) ∈ Fp [X ] o polinˆomio mˆ
onico de menor grau (n, por exemplo)
que tem β como raiz. Dessa forma, temos o isomorfismo
Fp [β] ' Fp [X ]/(g (X )) e ent˜ao
∂g = n = [K : Fp ].
Como β ´e raiz de X q − X , segue que g (X ) | X q − X . Seja α ∈ Fp
outra raiz de g (X ).
Matheus Bernardini de Souza
´
T´
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II
Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Constru¸c˜
ao de F4 a partir de F2
Existˆ
encia de Corpos Finitos com p n elementos
Fecho Alg´
ebrico de um Corpo Finito
Teorema 2
Seja K um corpo com q = p n elementos, ent˜ao K ' Fq .
Dem.: Seja K um corpo com q = p n elementos e considere que o
grupo c´ıclico K ∗ seja gerado por β ∈ K∗ . Dessa forma, K∗ ´e o
menor subcorpo de K que cont´em Fp e β. Da´ı, K = Fp [β]. Seja
g (X ) ∈ Fp [X ] o polinˆomio mˆ
onico de menor grau (n, por exemplo)
que tem β como raiz. Dessa forma, temos o isomorfismo
Fp [β] ' Fp [X ]/(g (X )) e ent˜ao
∂g = n = [K : Fp ].
Como β ´e raiz de X q − X , segue que g (X ) | X q − X . Seja α ∈ Fp
outra raiz de g (X ).
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´
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Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Constru¸c˜
ao de F4 a partir de F2
Existˆ
encia de Corpos Finitos com p n elementos
Fecho Alg´
ebrico de um Corpo Finito
Proposi¸c˜ao 5
O corpo Fpm ´e um subcorpo de Fpn (por isomorfismo) se, e
somente se, m | n. Nesse caso, Fpm pode ser visto como o
m
conjunto das ra´ızes de X p − X ∈ Fp [X ] em Fpn .
Dem.: (⇒) Seja K um subcorpo de Fpn . Da´ı, existe m tal que
|K| = p m . Note que
n = [Fpn : Fp ] = [Fpn : K] · [K : Fp ] = [Fpn : K] · m,
isto ´e, m | n.
Matheus Bernardini de Souza
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Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Constru¸c˜
ao de F4 a partir de F2
Existˆ
encia de Corpos Finitos com p n elementos
Fecho Alg´
ebrico de um Corpo Finito
Proposi¸c˜ao 5
O corpo Fpm ´e um subcorpo de Fpn (por isomorfismo) se, e
somente se, m | n. Nesse caso, Fpm pode ser visto como o
m
conjunto das ra´ızes de X p − X ∈ Fp [X ] em Fpn .
Dem.: (⇒) Seja K um subcorpo de Fpn . Da´ı, existe m tal que
|K| = p m . Note que
n = [Fpn : Fp ] = [Fpn : K] · [K : Fp ] = [Fpn : K] · m,
isto ´e, m | n.
Matheus Bernardini de Souza
´
T´
opicos de Algebra
II
Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Constru¸c˜
ao de F4 a partir de F2
Existˆ
encia de Corpos Finitos com p n elementos
Fecho Alg´
ebrico de um Corpo Finito
(⇐) Sejam m e n ∈ N tais que m | n. Olhando Fpm como o
m
conjunto das ra´ızes de X p − X ∈ Fp [X ] em Fp . Como m | n,
n
segue que todo elemento de Fpn ´e tamb´em raiz de X p − X , pois
m
n
se m | n, ent˜ao X p − X | X p − X . De fato:
m | n ⇒ n = mr ⇒ p n − 1 = p mr − 1 = (p m )r − 1 = (p m − 1)t,
para algum t ∈ Z. Logo
n
Xp − X
= X (X p
= X ((X
= (X
pm
n −1
− 1) = X (X (p
p m −1 t
m −1)t
) − 1) = X (X
− 1)
p m −1
− 1)h(X )
− X )h(X ),
em que h(X ) ∈ Fp [X ]. Portanto, Fpm ´e isomorfo a um subcorpo
de Fpn e pelo Teorema 2 ele o u
´nico com p m elementos.
Matheus Bernardini de Souza
´
T´
opicos de Algebra
II
Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Constru¸c˜
ao de F4 a partir de F2
Existˆ
encia de Corpos Finitos com p n elementos
Fecho Alg´
ebrico de um Corpo Finito
Teorema 3
Dados um corpo finito K e um inteiro positivo n, existe um
polinˆomio irredut´ıvel de grau n em K[X ].
Dem.: Temos que existem p primo e m ∈ N tais que K ' Fpm .
Pela Proposi¸c˜ao 5, Fpm pode ser considerado um subcorpo de
Fpmn . Seja α um gerador de F∗pmn . Como Fpmn ´e o menor subcorpo
que cont´em α e Fpm , segue que Fpmn = Fpm [α]. Seja f (X ) o
polinˆomio minimal que tem α como raiz. Temos que
∂f = [Fpmn : Fpm ] =
[Fpmn : Fp ]
mn
=
= n.
[Fpm : Fp ]
m
Portanto, f (X ) ∈ Fpn [X ] ´e um polinˆ
omio irredut´ıvel de grau n.
Matheus Bernardini de Souza
´
T´
opicos de Algebra
II
Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Constru¸c˜
ao de F4 a partir de F2
Existˆ
encia de Corpos Finitos com p n elementos
Fecho Alg´
ebrico de um Corpo Finito
Teorema 3
Dados um corpo finito K e um inteiro positivo n, existe um
polinˆomio irredut´ıvel de grau n em K[X ].
Dem.: Temos que existem p primo e m ∈ N tais que K ' Fpm .
Pela Proposi¸c˜ao 5, Fpm pode ser considerado um subcorpo de
Fpmn . Seja α um gerador de F∗pmn . Como Fpmn ´e o menor subcorpo
que cont´em α e Fpm , segue que Fpmn = Fpm [α]. Seja f (X ) o
polinˆomio minimal que tem α como raiz. Temos que
∂f = [Fpmn : Fpm ] =
[Fpmn : Fp ]
mn
=
= n.
[Fpm : Fp ]
m
Portanto, f (X ) ∈ Fpn [X ] ´e um polinˆ
omio irredut´ıvel de grau n.
Matheus Bernardini de Souza
´
T´
opicos de Algebra
II
Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Constru¸c˜
ao de F4 a partir de F2
Existˆ
encia de Corpos Finitos com p n elementos
Fecho Alg´
ebrico de um Corpo Finito
Fecho Alg´ebrico de um Corpo Finito
Teorema 4
O fecho alg´ebrico de Fp ´e
Fp =
[
Fp n .
n∈N
Lema 1
Todo polinˆomio irredut´ıvel de grau n em Fp [X ] ´e um fator de
n
X p − X ∈ Fp [X ]. Mais ainda, os fatores irredut´ıveis de
n
X p − X ∈ Fp [X ] s˜ao os polinˆ
omios irredut´ıveis os quais o grau
divide n.
N˜ao demonstraremos esse fato. Apenas usaremos na demonstra¸c˜ao
do Teorema 4.
Matheus Bernardini de Souza
´
T´
opicos de Algebra
II
Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Constru¸c˜
ao de F4 a partir de F2
Existˆ
encia de Corpos Finitos com p n elementos
Fecho Alg´
ebrico de um Corpo Finito
Fecho Alg´ebrico de um Corpo Finito
Teorema 4
O fecho alg´ebrico de Fp ´e
Fp =
[
Fp n .
n∈N
Lema 1
Todo polinˆomio irredut´ıvel de grau n em Fp [X ] ´e um fator de
n
X p − X ∈ Fp [X ]. Mais ainda, os fatores irredut´ıveis de
n
X p − X ∈ Fp [X ] s˜ao os polinˆ
omios irredut´ıveis os quais o grau
divide n.
N˜ao demonstraremos esse fato. Apenas usaremos na demonstra¸c˜ao
do Teorema 4.
Matheus Bernardini de Souza
´
T´
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oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
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Existˆ
encia de Corpos Finitos com p n elementos
Fecho Alg´
ebrico de um Corpo Finito
Fecho Alg´ebrico de um Corpo Finito
Teorema 4
O fecho alg´ebrico de Fp ´e
Fp =
[
Fp n .
n∈N
Lema 1
Todo polinˆomio irredut´ıvel de grau n em Fp [X ] ´e um fator de
n
X p − X ∈ Fp [X ]. Mais ainda, os fatores irredut´ıveis de
n
X p − X ∈ Fp [X ] s˜ao os polinˆ
omios irredut´ıveis os quais o grau
divide n.
N˜ao demonstraremos esse fato. Apenas usaremos na demonstra¸c˜ao
do Teorema 4.
Matheus Bernardini de Souza
´
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II
Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Constru¸c˜
ao de F4 a partir de F2
Existˆ
encia de Corpos Finitos com p n elementos
Fecho Alg´
ebrico de um Corpo Finito
Faremos agora a demonstra¸c˜ao do Teorema 4.
Dem.: (⊆) Seja α ∈ Fp e considere f (X ) o polinˆ
omio minimal que
tem α como raiz. Suponha que ∂f = n. Pelo Lema 1, temos que
n
n
f (X ) | X p − X , logo α ´e raiz de X p − X , isto ´e, α ∈ Fpn .
n
(⊇) Dado α ∈ Fpn , temos que α ´e raiz de X p − X ∈ Fp [X ], isto
´e, α ∈ Fp .
Matheus Bernardini de Souza
´
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Defini¸c˜
oes e Exemplos
Propriedades
Corpos Finitos
Constru¸c˜
ao de F4 a partir de F2
Existˆ
encia de Corpos Finitos com p n elementos
Fecho Alg´
ebrico de um Corpo Finito
ROMAN, S. Field Theory. Graduate Texts in Mathematics
158. Springer New York.
MOKARI, F. Y., A Note on Finite Fields.
Matheus Bernardini de Souza
´
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opicos de Algebra
II
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oes e Exemplos
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Corpos Finitos
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Existˆ
encia de Corpos Finitos com p n elementos
Fecho Alg´
ebrico de um Corpo Finito
OBRIGADO!
Matheus Bernardini de Souza
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II