resistance des materiaux - Hervé JARDIN

Terminale S.T.I.
Jardin-Nicolas Hervé
http://perso.orange.fr/herve.jardin-nicolas/
EFFORTS DE COHESION
Résistance des matériaux
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RESISTANCE
DES
MATERIAUX
RESISTANCE DES MATERIAUX.
EFFORTS DE COHESION
I] OBJET DE LA R.D.M.
Tout corps se déforme lorsqu’il est sollicité par des actions mécaniques.
L’amplitude des déformations croît avec l’intensité de ces actions et peut conduire à la rupture.
La R.D.M. a pour objet d’étudier les relations qui existent entre les actions mécaniques appliquées sur un
solide de forme simple et la nature et l’amplitude des déformations qu’elles engendrent sur ce dernier.
Cette science permet de déterminer les dimensions mini des pièces afin :
Qu’elles résistent aux actions mécaniques qui lui sont appliquées.
Qu’elles n’aient pas de déformations inadmissibles pour le fonctionnement du mécanisme.
II] FORCES DE COHESION.
Un matériau est constitué d’atomes répartis suivant un réseau cristallin.
Des forces interatomiques maintiennent les atomes aux nœuds de ce réseau.
Ces forces provoquent la cohésion des particules de matières entre elles et ainsi permettent au solide de
conserver à peu près sa forme initiale lorsqu’il est soumis à plusieurs actions mécaniques extérieures.
Ces forces interatomiques s’appellent des FORCES DE COHESION.
Lorsqu’une pièce s’est rompue, c’est que les forces de cohésion n’étaient pas suffisamment importantes
pour maintenir les particules « collées » les unes aux autres.
III] HYPOTHESES DE LA R.D.M. EN SE QUI CONCERNE LE MATERIAU DU
SOLIDE ETUDIE.
En R.D.M. on suppose que le matériau possède les propriétés suivantes.
•
L’homogénéité : En tout point du solide, le matériau possède la même composition chimique
et la même structure .Même si les alliages ne répondent pas à cette hypothèse, l’expérience montre
qu’ils la respectent au vues des résultats.
•
L’isotropie : En tout point du solide et dans toutes les directions, le matériau possède les
mêmes propriétés mécaniques (résistance, déformation etc…).
Ex. : Le bois n’est pas isotrope car sa résistance est plus grande dans le sens des fibres que
transversalement.
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IV] HYPOTHESE DE LA R.D.M. EN CE QUI CONCERNE LA FORME DES
SOLIDES ETUDIES.
La R.D.M. étudie des solides de formes simples appelés POUTRES.
Les solides de formes plus complexes sont étudiés en ELASTICITE avec la méthode de calcul
par éléments finis. (discipline enseignée à un niveau Bac. +3)
1) Définition géométrique d’une poutre au sens de la R.D.M.
Une poutre est un volume engendré par le déplacement d’une surface plane « S » dont le centre de
gravité « G » décrit une ligne ( notée Lm ) perpendiculaire en tout point au plan contenant la
surface « S ».
Lm est appelé LIGNE MOYENNE DE LA POUTRE.
Exemple : Volumes engendrés par le déplacement d’une surface circulaire.
S
+
G
a) LE CYLINDRE.
Lorsque le point « G » se déplace le long d’un segment perpendiculaire à « S », le volume
engendré est un CYLINDRE.
La ligne moyenne « Lm » est l’axe du cylindre (une droite).
Ce solide est une poutre droite.
Droite
Lm
G
S
Cylindre
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b) LE TORE.
Lorsque le point « G » se déplace le long d’un cercle avec pour chaque position « S »
perpendiculaire aux tangentes au cercle, le volume engendré est un TORE.
La ligne moyenne « Lm » est l’axe du tore (un cercle).
Ce solide est une poutre courbe.
2) Autres conditions géométriques.
a) La ligne moyenne doit être continue même si les dimensions de « S » elles peuvent varier lors de
la génération du volume.
C’est une poutre au sens de la
R.D.M.
Le centre de gravité de chaque
section droite décrit une ligne
moyenne continue.
Ce n’est pas une poutre au sens
de la R.D.M.
La ligne moyenne n’est pas
continue.
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b) Cette poutre ne doit pas comporter de variations de sections trop brutales.
V]
MODELISATION DES ACTIONS DE COHESION DE DEUX SECTIONS
DROITES CONTIGUES.
L’étude de l’équilibre d’une poutre réalisée en statique ne permet pas de déterminer les actions
INTERIEURES à la matière.
Elle permet seulement de déterminer les actions EXTERIEURE appliquées sur cette poutre.
Exemple :
L’équilibre de la poutre est définit par le P.F.D.S. suivant :
{T(E→E)}= {T (1→E)}+ {T(2→E)}+ {T(3→E)}+ {T(4→E)}={0}
A
A
A
A
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1) PRINCIPE UTILISE.
Le principe utilisé pour déterminer les actions de cohésion de deux sections droites
contiguës est de couper de façon imaginaire la poutre « E » en deux morceaux « E1 » et
« E2 ».
Le plan de coupure imaginaire sera perpendiculaire à la ligne moyenne et sera situé
entre ces deux sections.
Une fois coupée en deux morceaux « E1 » et « E2 », il suffira de réaliser une étude de
statique appliquée au morceau « E1 » ou « E2 ».
Etude de l’équilibre de « E1 ».
Isolons le morceau « E1 ».
Nous voyons apparaître les forces de
cohésions « fi » qui permettent dans la
réalité à « E1» d’être « collé » à « E2 »
pour former la poutre E.
JK
JK JK JK
Si « E » était en équilibre sous l’action des forces extérieures A , B , C et D le morceau « E1 » ne
JK
JK
peut pas être en équilibre sous les seules forces extérieures A et B .
Les actions de cohésion exercées par le morceau « E2 » participe à l’équilibre de « E1 ».
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Si on modélise les actions de cohésion de E2 sur E1 par le torseur de cohésion suivant noté :
{T Coh(E2→E1)}
G
Alors l’expression de l’équilibre de « E1 » sera la suivante :
Pour notre exemple :
A déterminer
Connus
{T(1→ E1)}+G{T(2→ E1)}+G{T Coh(E2→ E1)}={0}
G
Actions extérieures appliquées
sur E1 pouvant être notées
{T(E1→E1)}
Actions de
cohésion.
G
« G » Centre de gravité
de la section de coupure
2) CAS GENERAL:
Condition d’équilibre d’un morceau E1 :
{T(E1→E1)}+ {T
G
G
(E2→E1)}={0}
Coh
La somme des torseurs des actions extérieures appliquées sur E1 plus le torseur associé aux
actions de cohésion exercées par E2 sur E1 au pt « G » est égale à torseur nul.
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3) TORSEUR DE COHESION DE E2 SUR E1.
IMPORTANT : Le torseur associé aux actions de cohésion de E2 sur E1 est
toujours exprimé au pt « G » (centre de gravité de la section de coupure
imaginaire).
Ses 6 éléments de réduction au pt G seront toujours notés de la façon suivante :
⎧⎪ Nx Mt ⎫⎪
{T (E2→ E1)}= ⎨ Ty ; Mfy ⎬
⎪⎩ Tz Mfz ⎪⎭
Coh
G
R
K
(Avec (O, x) , porté par la ligne moyenne « Lm »)
4) DEFINITION DES 6 ELEMENTS DE REDUCTION DU TORSEUR DE
COHESION.
Nx : Est appelé EFFORT NORMAL dans la section
droite de coupure.
G
Nx correspond à la somme des projections sur (G, x) de toutes les forces de
cohésion existant en chaque point de la section droite de coupure.
JK K
Nx = ∑ fi.x
Lorsque Nx ≠ 0 cela veut dire que la poutre est sollicité en TRACTION ou
COMPRESSION.
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JK
Ty : Est appelé EFFORT TRANCHANT de direction (G, y) dans la section droite
de coupure
JK
Ty correspond à la somme des projections sur (G, y) de toutes les forces de cohésion
existant en chaque point de la section droite de coupure.
JK JK
Ty = ∑ fi. y
Lorsque Ty ≠ 0 cela veut dire que la poutre est sollicité en FLEXION SIMPLE au
CISAILLEMENT.
K
Tz : Est appelé EFFORT TRANCHANT de direction (G, z) dans la section droite
de coupure avec de la même façon :
JK K
Tz = ∑ fi.z
Mt : Est appelé MOMENT DE TORSION dans la section droite de coupure
K
Mt correspond à la somme des moments au pt « G » en projections sur (G, x) de
chacune des forces de cohésion existant en chaque point de la section droite de
coupure.
JJJK JK K
Mt = ∑ M G ⎡⎣ fi ⎤⎦ .x
Lorsque Mt ≠ 0 cela veut dire que la poutre est sollicité en TORSION.
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JK
Mfy : Est appelé MOMENT DE FLEXION autour de (G, y)
JK
Mfy correspond à la somme des moments au pt « G » en projections sur (G, y) de
chacune des forces de cohésion existant en chaque point de la section droite de
coupure.
JJJK JK JK
Mfy = ∑ M G ⎡⎣ fi ⎤⎦ . y
JK
Lorsque Mfy ≠ 0 cela veut dire que la poutre est sollicité en FLEXION autour de y .
K
Mfz : Est appelé MOMENT DE FLEXION autour de (G, z) .
K
Mfz correspond à la somme des moments au pt « G » en projections sur (G, z) de
chacune des forces de cohésion existant en chaque point de la section droite de
coupure.
JJJK JK K
Mfz = ∑ M G ⎡⎣ fi ⎤⎦ .z
Lorsque
Mfz ≠ 0 cela veut dire que la poutre est sollicité en FLEXION autour
K
de z .
5) REPRESENTATION GRAPHIQUE DE LA RESULTANTE
JK
R( E 2 → E1)
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6) REPRESENTATION GRAPHIQUE DU MOMENT RESULTANT AU POINT
JJJK
« G » M G ( E 2 → E1)
7) RELATION ENTRE MOMENT FLECHISSANT ET EFFORT TRANCHANT.
a) Poutre soumise à des charges concentrées.
En dehors des sections où s’appliquent les efforts concentrés, la dérivée des moments de flexion
par rapport à l’abscisse est égale à l’effort tranchant perpendiculaire changé de signe.
Soit :
Et :
dMfz(x)=−Ty(x)
dx
dMfy(x)
=−Tz(x)
dx
b) Poutre soumise à des charges réparties.
Pour les portions de poutres uniquement sollicitées par des charges réparties (fonction de
répartition p(x)) nous avons les relations suivantes.
Soit :
Et :
dMfz(x)=−Ty(x)
dx
dTy(x)
=−p(x)
dx