Jeux et logique

Cours MPRI 2004-2005
Jeux et logique
Chevaleret 0C2, lundi 12h30-15h30
http://mpri.master.univ-paris7.fr/C-2-20.html
Jeux et Logique
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Jeux et logique - Enseignants 2004-2005
Olivier Carton (Prof. P7, LIAFA)
Anca Muscholl (Prof. P7, LIAFA)
Jean-Eric Pin (Dir. rech. CNRS, LIAFA)
Wieslaw Zielonka (Prof. P7, LIAFA)
http://liafa.jussieu.fr/
~carton, ~anca, ~jep, ~zielonka
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Formation à la recherche
• LIAFA (Laboratoire CNRS/P7), Equipe
Automates (resp. J.-E. Pin), ENST
• Groupe de travail sur les automates le vendredi
de 14h 30 à 15h 30 à Chevaleret.
• Groupe de travail Vérification le lundi de 11h à
12h 30 à Chevaleret.
• Séminaires "Thésards" tous les mois environ.
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Formation à la recherche
• Ecoles de jeunes chercheurs (GDR ALP, resp.
Ch. Frougny)
• Projets scientifiques nationaux (projets CNRS
Math-STIC, etc.)
• Projets scientifiques internationaux (projet
européen GAMES -- responsable français
Anca Muscholl, projet ADVANCE en
vérification, etc.)
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Objectifs
Les jeux constituent un formalisme mathématique
puissant utilisé dans des sciences très variées:
économie, théorie de la décision, sciences politiques,
recherche opérationnelle, mathématiques, informatique,
etc.
Dans ce module on s'intéresse principalement aux
aspects liés à l'informatique et aux mathématiques, en
particulier la théorie des automates, la vérification et la
logique, trois domaines étroitement reliés.
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Jeux et logique
• But du cours
Présenter divers types de jeux ayant des
applications en théorie des automates, en
vérification et en logique informatique.
• Domaines d'application
Modélisation des systèmes réactifs (automate
bancaire, système-environnement), problèmes de
contrôle, théorie de la décision, problèmes de
routage sur Internet, économie, etc.
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Plan du cours (1)
Automates et mots infinis
Cette partie du cours s'appuiera sur le livre Infinite Words
de D. Perrin et J.-E. Pin. Utiliser les automates finis pour
reconnaître des mots infinis est une idée un peu surprenante
en soi. On verra les différentes façons d'y parvenir
(automates de Büchi, de Muller et de Rabin) et les
algorithmes correspondants. On montrera ensuite comment
les approches algorithmique, algébrique, topologique et
logique se combinent entre elles de façon particulièrement
attractive.
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Plan du cours (2)
Automates d'arbres et logique
Cette partie du cours s'appuiera sur les chapitres de livres
Automata on infinite objects (Handbook of Theoretical
Computer Science) et Languages, automata, and logic
(Handbook of Formal Languages), de W. Thomas, ainsi que
sur le livre Tree Automata Techniques and Applications, de
H. Comon et al. On montrera les liens entre les automates
d'arbres et la logique du second ordre, ainsi qu'entre les jeux
et les automates d'arbres alternants.
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Plan du cours (3)
Jeux de parité et jeux stochastiques
Cette partie du cours montrera le lien entre le mu-calcul et
les jeux de parité, ainsi que les algorithmes récents proposés
pour décider le gagnant dans les jeux de parité sur les
graphes finis. Ensuite elle introduira la théorie des jeux
stochastiques, qui jouent un rôle clé dans les problèmes de
contrôle, et les algorithmes permettant de déterminer le
gagnant pour des conditions simples de victoire.
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Plan du cours (4)
Jeux et graphes infinis
Cette partie du cours sera dediée aux jeux sur des graphes
infinis. On montrera le théorème de determination et de
l'existence de stratégies sans mémoire pour les jeux à condition
de chaine de Rabin (Gurevich/Harrington, McNaughton,
Zielonka). Ensuite on montrera les résultats de décidabilité et de
construction de stratégies pour les jeux sur les graphes
d'automates à pile et sur des modèles étendus.
Jeux combinatoires
Cette partie du cours introduira la théorie des jeux combinatoires
à la Conway, en s'appuyant sur le livre On Numbers and Games
de John H. Conway.
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Différents types de jeux
On classe les jeux suivant différents critères:
• Le nombre de joueurs (de 0 à l'infini !)
• Jeu à somme nulle (ce qui est gagné par l'un
est perdu par l'autre et réciproquement) ou
non.
• Jeu déterministe (pas de hasard) ou non
• Jeu synchrone (les joueurs jouent
simultanément) ou non
• Jeu fini ou non
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Jeux sans joueur
Certains systèmes dynamiques très simples constituent des
jeux sans joueur. L'un des plus célèbres est le problème de la
fourmi de Langton.
Une fourmi se déplace sur un plateau quadrillé initialement
rempli de cases blanches. La fourmi se déplace à chaque tour
d'une case. Si elle tombe sur une case blanche, elle la peint en
noir et tourne à droite. Si la case est noire, elle la peint en
blanc et tourne à gauche.
On peut changer la configuration initiale en noircissant
certaines cases avant de commencer.
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La fourmi de Langton
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Jeux à un joueur
De nombreux jeux combinatoires sont de ce type. Par
exemple le solitaire
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Jeux à somme nulle
Ce qui est gagné par l'un est perdu par l'autre, et
réciproquement.
Les exemples les plus connus de ce type sont les
échecs, le go, le poker, mais aussi le jeu "Pierre,
Feuille, Ciseaux".
Un jeux est à somme non-nulle si certaines issues sont
globalement plus profitables pour tous, ou plus
dommageables pour tous.
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Un jeu à somme non nulle
Deux suspects sont arrêtés par la police. La police n'a pas
suffisamment de preuves contre eux et leur propose
séparément le marché suivant:
 si vous avouez et que votre complice refuse
d'avouer, il aura 10 ans de prison et vous serez libre;
 s'il avoue et que vous ne dites rien, ce sera l'inverse;
 si aucun de vous n'avoue, on pourra seulement vous
coller 6 mois à tous les deux;
 et si vous avouez tous les deux, vous écoperez de 6
ans chacun.
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Le dilemne du prisonnier
Le dilemne du prisonnier se retrouve souvent dans la
vie courante. Par exemple, lors de l'échappée de deux
coureurs dans le tour de France...
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Equilibre de Nash
John Nash (Prix Nobel d'économie en 1994, avec
Reinhard Selten et John Harsanyi).
Deux stratégies, S1 du joueur I et S2 du joueur II, sont
dans un équilibre de Nash lorsque:
• si le joueur I adopte S1, le joueur II ne peut pas faire
mieux que d'utiliser S2.
• si le joueur II adopte S2, le joueur I ne peut pas faire
mieux que de d'utiliser S1.
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Jeu des Euros
Deux joueurs choisissent simultanément un nombre
entre 0 et 10 compris. Les deux joueurs remportent
autant d'euros que le plus petit des deux nombres
annoncés. De plus, celui des deux qui a choisi le plus
grand nombre doit donner 2 euros à l'autre joueur.
L'unique équilibre de Nash de ce jeu est que les deux
joueurs annoncent zéro! Dans toutes les autres paires
de stratégies, le joueur qui annonce plus ou autant peut
améliorer son résultat en déclarant moins.
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Marchands de glace
Deux marchands de glace doivent choisir un
emplacement sur une plage de longueur donnée. Les
prix et les produits étant les mêmes, chaque client ira
vers le marchand le plus proche de lui.
Le seul équilibre de Nash pour ces deux marchands
sera celui où ils sont tous deux côte à côte au centre
de la plage, bien que ce soit la position la moins
adéquate pour la satisfaction de leur clientèle.
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Plusieurs équilibres de Nash
On modifie la règle du jeu des Euros: les deux joueurs
gagnent la somme correspondante s'ils choisissent le
même nombre, et rien sinon: il y a alors 11 équilibres
de Nash.
Théorème. Dans le cas d'un jeu à somme nulle à deux
joueurs, il existe un unique équilibre de Nash.
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Jeux de l'ange et du démon
Le jeu se joue sur un plan quadrillé initialement
rempli de cases blanches. A chaque tour, le
diable noircit une case de son choix, qui est alors
interdite à l'ange pour toujours.
L'ange se déplace de deux cases (ou de N cases,
pour un ange de puissance N...) dans n'importe
quelle direction.
Le diable peut-il capturer l'ange ?
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Jeux de l'ange et du démon
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Le jeu des mots
a
b
a
a
b
b
b
a
a
b
On fixe un ensemble fini P de mots. Si un mot de P apparaît,
le joueur I gagne. Sinon II gagne.
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Le jeu des mots
a
b
a
a
b
b
I joue
a
b
a
a
b
Si P = {aba, baa}, I gagne.
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Le jeu des mots
a
b
a
a
b
b
II joue
aa
b
a
a
b
Si P = {aba, baa}, I gagne.
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Le jeu des mots
a
b
a
a
b
b
I joue
aab
b
a
a
b
Si P = {aba, baa}, I gagne.
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Le jeu des mots
a
b
a
a
b
b
II joue
aabb
b
a
a
b
Si P = {aba, baa}, I gagne.
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Le jeu des mots
a
b
a
a
b
b
I joue
aabba
b
a
a
b
Si P = {aba, baa}, I gagne.
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Le jeu des mots
a
b
a
a
b
b
II joue
aabbab
b
a
a
b
Si P = {aba, baa}, I gagne.
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Le jeu des mots
a
b
a
a
b
b
I joue
aabbaba
b
a
a
b
Si P = {aba, baa}, I gagne.
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Le jeu des mots
a
b
a
a
b
b
I joue
a
b
a
a
b
Si P = {aaa, baa}, II gagne.
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Le jeu des mots
a
b
a
a
b
b
II joue
ab
b
a
a
b
Si P = {aaa, baa}, II gagne.
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Le jeu des mots
a
b
a
a
b
b
I joue
abb
b
a
a
b
Si P = {aaa, baa}, II gagne.
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Le jeu des mots
a
b
a
a
b
b
II joue
abbb
b
a
a
b
Si P = {aaa, baa}, II gagne.
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35
Le jeu des mots
a
b
a
a
b
b
I joue
abbba
b
a
a
b
Si P = {aaa, baa}, II gagne.
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Le jeu des mots
a
b
a
a
b
b
II joue
abbbab
b
a
a
b
Si P = {aaa, baa}, II gagne.
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Le jeu des mots
a
b
a
a
b
b
I joue
abbbabb
b
a
a
b
Si P = {aaa, baa}, II gagne.
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Jeux sur les graphes
Le système d'un côté et l'environnement de l'autre peuvent
être représentés par deux joueurs S et E qui jouent
respectivement sur les sommets bleus et jaunes du graphe.
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Jeux sur les graphes
Le système d'un côté et l'environnement de l'autre peuvent
être représentés par deux joueurs S et E qui jouent
respectivement sur les sommets bleus et jaunes du graphe.
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Jeux sur les graphes
Le système d'un côté et l'environnement de l'autre peuvent
être représentés par deux joueurs S et E qui jouent
respectivement sur les sommets bleus et jaunes du graphe.
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Jeux sur les graphes
Le système d'un côté et l'environnement de l'autre peuvent
être représentés par deux joueurs S et E qui jouent
respectivement sur les sommets bleus et jaunes du graphe.
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Jeux sur les graphes
Le système d'un côté et l'environnement de l'autre peuvent
être représentés par deux joueurs S et E qui jouent
respectivement sur les sommets bleus et jaunes du graphe.
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Jeux de Nim
On dispose des paquets
d'allumettes sur une table.
Chaque joueur, à tour de rôle,
prend autant d'allumettes qu'il
veut (au moins une) dans l'un
des paquets. Le gagnant est
celui qui prend la dernière
allumette.
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Un jeu infini
I et II jouent alternativement une lettre. I gagne si le chemin
obtenu passe infiniment souvent par chacun des états.
I a une stratégie gagnante, mais pas de statégie sans mémoire.
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Jeux de Wadge
On se donne deux ensembles de mots infinis X et Y.
Les joueurs jouent alternativement des lettres:
I choisit a0 , II choisit b0
I choisit a1 , II choisit b1
I choisit a2 , II choisit b2 , etc.
A la fin, on examine les mots x = a0a1a2 ... et y = b0b1b2 ...
Le joueur II gagne si x est dans X et y est dans Y ou si
x n'est pas dans X et y n'est pas dans Y.
Sinon c'est I qui gagne.
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Jeux de Wadge
Théorème de Wadge
Soient X et Y deux parties de Aω.
Le joueur I a une stratégie gagnante dans le jeu G(X, Y)
si et seulement si il existe une fonction continue f de Aω
dans Aω telle que Y = f-1(X).
Ce résultat donne un lien très important entre jeux et
topologie.
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Jeux de va et vient
Jeu à deux joueurs sur deux mots
u = a0a1a2 ... et v = b0b1b2 ...
Le joueur I cherche à prouver que les deux mots sont
différents, le joueur II qu'ils se ressemblent. Chaque
joueur a r jetons x1, ..., xr. A l'étape i,
• Le joueur I place xi sur une des lettres d'un des mots
• Le joueur II place son jeton xi sur une des lettres de
l'autre mot.
Le jeu s'arrête au bout de r étapes. II gagne si u et v sont
indiscernables, sinon I gagne.
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Deux exemples de jeu de va et vient
Règles : les jetons doivent être posés sur des lettres
identiques et l'ordre des positions des jetons doit être
respecté.
(1) On joue sur les mots
u = ab et v = baa
Le joueur I gagne en 2 coups.
(2) On joue sur les mots
u = babbba et v = babbbb
Le joueur I gagne en 2 coups en placant x1 sur la dernière
lettre de u. II place son jeton sur le a de v. Le joueur I
répond
jouant la dernière lettre de v.
Jeux eten
Logique
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Jeux sur les graphes
• Jeux finis. Soit X un ensemble de sommets. Le
joueur S est déclaré vainqueur si le jeton arrive
dans un sommet de X.
• Jeux infinis. Le joueur S gagne si le jeton passe
infiniment souvent par des sommets de X
• Jeux avec poids sur les arêtes (notion de gain)
• Jeux probabilistes.
• Stratégies gagnantes ? De quelle type ? Avec ou
sans mémoire ? Complexité ?
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Jeux
• Jeux de Wadge. Applications aux mots infinis
• Jeux d'Ehrenfeucht-Fraïssé
Méthode générale pour le problème de définissabilité logique de structures finies ou infinies par des
formules ayant un nombre fixé de quantificateurs.
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Bibliographie (1)
Automates, Jeux et Logique
[1] Dominique Perrin et Jean-Éric Pin, Infinite Words, Academic Press,
Pure and Applied Mathematics Vol 141, 2004.
[2] Erich Grädel, Wolfgang Thomas et Thomas Wilke, Automata, Logics,
and Infinite Games, Springer, Lecture Notes in Computer Science 2500,
2002.
Jeux finis
[1] E.Berlekamp, J.H.Conway, R.Guy, Winning ways for your
mathematical plays, vol.1 et 2.
[2] John H. Conway, On Numbers and Games.
[3] Bernd Kummer, Spiele auf Graphen, Deutscher Verlag d.
Wissenschaften, Berlin und Birkhäuser Basel 1979 (ISNM Series, Vol 44)
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Bibliographie (2)
Jeux boréliens et jeux de Wadge
[1] A. Kechris, Classical Descriptive Set Theory
[2] Y. Moschovakis, Descriptive Set Theory
Jeux d'Ehrenfeucht-Fraïssé
[1] H-D Ebbinghaus, J.Flum, Finite Model Theory
Jeux stochastiques
[1] J. Filar, K. Vrieze, Competitive Markov decision processes,
Springer, 1997.
Théorie classique des jeux
[1] N.N. Vorob'ev, Game theory, Springer Verlag
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Un petit problème pour finir...
Matériel : Un plateau avec 4 jetons blancs d'un côté,
noirs de l'autre. Configuration initiale inconnue.
But du jeu : retourner les 4 jetons
du côté blanc.
Règles du jeu
(a) Le joueur a les yeux bandés.
(b) A chaque tour de jeu, le joueur
peut retourner 0, 1, 2 ou 3 jetons.
(c) Le maître de jeu annonce si le joueur a gagné, puis
tourne le plateau de 0, 1, 2 ou 3 quarts de tour...
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Configurations
A une rotation près, le plateau peut avoir 6 configurations différentes. Seule la configuration 0 est
gagnante.
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