Extrait du livre - Editions Ellipses

NOMBRES ENTIERS ET DÉCIMAUX
LA MÉTHODE
Un marchand a vendu 72 kilos de sucre pour 82,80 euros.
Ce sucre lui a coûté 90 euros les 100 kilos.
Quels sont les prix de vente et d’achat d’un kilo de sucre ?
Combien le marchand a-t-il gagné en vendant les 72 kilos ?
SOLUTION
1 On détermine le prix de vente du kilo de sucre :
Le marchand vend le kilo de sucre 1,15 euro car 82,80 ÷ 72 = 1,15.
Pour cela, on a posé l’opération suivante :
8
- 7
1
-
2,
2
0
7
3
- 3
8 0
7 2
8
eu
2
6 0
6 0
0
1, 1 5
1, 1 5
- 0, 9 0
0, 2 5
2 On détermine le prix de revient du kilo de sucre :
Le marchand a payé 0,90 euro le kilo de sucre car 90 ÷ 100 = 0,90.
3 On détermine le bénéfice réalisé par kilo de sucre :
Le marchand gagne 0,25 euro par kilo de sucre car 1,15 – 0,90 = 0,25.
Le calcul est posé ci-dessus.
4 On détermine enfin le bénéfice total :
Le marchand a donc gagné 72 * 0,25 = 18 euros.
7 2
* 0, 2 5
3 6 0 ← 72 * 5
+ 1 4 4 0 ← 72 * 20
1 8, 0 0
FICHE 1 : NOMBRES ENTIERS ET DÉCIMAUX
3
LES CONSEILS
Pour résoudre un exercice où interviennent les nombres, il faut
connaître ses tables de multiplication et les règles de priorité.
LA PRATIQUE
Exercice 1 : Les opérations
Effectuer les opérations suivantes sans calculatrice :
A = 259,18 + 27,419 ; B = 937,5 × 1,52 ;
C = 590,32 ÷ 47 ;
D = 12,1 – 3,73.
Exercice 2 : Le classement
1. Classer les nombres décimaux suivants par ordre décroissant :
25,7 ; 25,07 ; 25,25 ; 25,4 ; 257,2 ; 2,57 ; 25,69 ; 2,500 5 ; 2,05.
2. Classer les nombres décimaux suivants par ordre croissant :
– 1,01 ; – 1,101 ; – 1,001 ; – 1,1 ; – 10,01 ; – 10,011 ; – 1,11 ; – 1,111.
Exercice 3 : Le capitaine HADDOCK
¤ combien de sabords équivalent « mille milliards de mille sabords » ?
Exercice 4 : Le tissu
Une personne achète 2,75 mètres puis 3,25 mètres et 1,5 mètre de
tissu respectivement à 26 euros, 32 euros et 27,50 euros le mètre.
Quel est le prix moyen du mètre de tissu ?
Exercice 5 : Le concours
Pour l’oral d’un concours, il y a 69 candidats pour 6 jurys.
Répartir les candidats par jury, le plus équitablement possible.
Exercice 6 : Les encadrements
Encadrer les nombres suivants par deux nombres à la précision donnée.
a) … < 257,53 < … à l’unité près ;
b) … < – 9,27 < … au dixième près ;
c) … < 0,239 < … au centième près.
Exercice 7 : Les nombres
Écrire en lettres les nombres suivants :
2 285 5 000
7 280 300,7
2 000 500 257,25 3 480
1 254,341 0,234 5 23,34
900
0,023
LES APPLICATIONS
Exercice 8 : La conversion
On découvre dans une armoire la somme de 1 478 francs.
Que représente cette somme en euros ?
On arrondira le résultat au centime d’euro près.
Exercice 9 :
planète
Les planètes
diamètre
(en milliers de km)
Uranus
47
Vénus
12,1
Neptune
48
distance au soleil
(en km)
2 869 000 000
108 200 000
4 497 000 000
Terre
12,76
149 600 000
Mars
6,8
228 000 000
Jupiter
142,2
778 300 000
Mercure
4,84
58 000 000
Saturne
119,3
1 425 800 000
3
5 912 400 000
Pluton
1. Citer les planètes qui ont un rayon compris entre 2 500 km et
7 500 km ?
2. Réécrire les distances des planètes au soleil, en prenant comme
unité le milliard de kilomètres.
3. Ranger ces planètes de notre système solaire, de la plus proche
à la plus éloignée du soleil.
Exercice 10 : L’inconnue
Le but de cet exercice est de déterminer un nombre entier a.
Ce nombre s’écrit avec 4 chiffres.
Il est supérieur à 7000.
Il est multiple de 45.
Il est impair.
Et le chiffre des milliers est le double de celui des centaines.
Quel est ce nombre ?
FICHE 1 : NOMBRES ENTIERS ET DÉCIMAUX
5
CORRECTIONS
Exercice 1 :
2 5 9, 1
+
2 7, 4
2 8 6, 5
5
- 4
1
-
9
7
2
9
2
- 2
Les opérations
8 0
1 9
9 9
4
9
1 4
0, 3 2
0
4
6
3
2
- 2
4 7
1 2, 5 6
*
1
6
3
2
9 3
1,
8 7
8 7
7 5
5, 0
7,
5
5
5
0
0
5
2
0
0
0
0
← 9 375 * 2
← 9 375 * 50
← 9 375 * 100
1
-
1
12, 11 10
13, 17
3
8, 3 7
3
5
8 2
8 2
0
Exercice 2 : Le classement
1. Dans l’ordre décroissant, on a :
257,2 > 25,7 > 25,69 > 25,4 > 25,25 > 25,07 > 2,57 > 2,500 5 > 2,05.
2. Dans l’ordre croissant, on a :
– 10,011 < – 10,01 < – 1,111 < – 1,11 < – 1,101 < – 1,1 < – 1,01 < – 1,001.
Pour classer des nombres négatifs, on peut les classer sans le signe
moins puis changer le sens des inégalités.
Exercice 3 : Le capitaine HADDOCK
Mille = 103 ; un milliard = 109 ; un million = 106.
D’où mille milliards de mille sabords vaut 103 × 109 × 103 sabords.
Cela fait donc 1015 sabords.
On rappelle que 103 × 109 × 103 = 103 + 9 + 3 = 1015.
Comme 1015 = 106 × 109, cela donne un million de milliards de
sabords.
Exercice 4 : Le tissu
La personne a acheté 2,75 + 3,25 + 1,5 = 7,5 mètres de tissu pour
un prix total de 2,75 * 26 + 3,25 * 32 + 1,5 * 27,50 = 216,75 euros.
216,75
Le prix moyen du mètre de tissu est de 28,90 euros car
= 28,90.
7,5
Exercice 5 : Le concours
On effectue la division euclidienne de 69 par 6 : 69 = 6 * 11 + 3.
Chacun des 6 jurys aura 11 candidats et il restera 3 candidats que
l’on répartira sur 3 jurys.
3 jurys vont donc interroger 11 candidats et 3 jurys interrogent
11 + 1 = 12 candidats.
On a bien en tout 69 candidats car : 3 * 11 + 3 * 12 = 33 + 36 = 69.
Exercice 6 :
Les encadrements
a) 257 < 257,53 < 258 à l’unité près ;
b) – 9,3 < – 9,27 < - 9,2 au dixième près ;
c) 0,23 < 0,239 < 0,24 au centième près.
Exercice 7 : Les nombres
• 2 285 = deux mille deux cent quatre-vingt-cinq ;
• 5 000 = cinq mille ;
• 2 000 500 = deux millions cinq cents ;
• 257,25 = deux cent cinquante-sept virgule vingt-cinq
ou deux cent cinquante-sept unités vingt-cinq centièmes.
• 3 480 = trois mille quatre cent quatre-vingts ;
• 900 = neuf cents.
• 7 280 = sept mille deux cent quatre-vingts ;
• 300,7 = trois cents virgule sept
ou trois cents unités sept dixièmes.
• 1 254,341 = mille deux cent cinquante-quatre virgule trois cent
quarante et un
ou mille deux cent cinquante-quatre unités trois cent quarante et
un millièmes.
• 0,234 5 = zéro virgule deux mille trois cent quarante-cinq
ou deux cent trente-quatre millièmes cinq dix-millièmes.
• 23,34 = vingt-trois virgule trente-quatre
ou vingt-trois unités trente-quatre centièmes.
• 0,023 = zéro virgule zéro vingt-trois ou vingt-trois millièmes.
FICHE 1 : NOMBRES ENTIERS ET DÉCIMAUX
7
Exercice 8 : La conversion
1 euro représente 6,559 57 francs.
Les 1 478 francs donnent donc approximativement 225,32 euros
car : 1 478 ÷ 6,559 57 ≈ 225,32.
Exercice 9 : Les planètes
1. On cherche donc les planètes qui ont un diamètre compris
entre 5 000 km et 15 000 km soit entre 5 et 15 milliers de km.
Il y en a trois : Vénus, Terre et Mars.
2. On rappelle que : 1 milliard de km = 109 km.
planète
Uranus
distance au soleil
(en km)
distance au soleil
(en milliards de km)
2 869 000 000
2 ,869
108 200 000
0,108 2
4 497 000 000
4 ,497
Terre
149 600 000
0,149 6
Mars
228 000 000
0,228
Jupiter
778 300 000
0,778 3
Mercure
58 000 000
0,058
Saturne
1 425 800 000
1 ,425 8
Pluton
5 912 400 000
5, 912 4
Vénus
Neptune
3. Ranger ces planètes de la plus proche à la plus éloignée du soleil
revient à classer par ordre croissant les distances au soleil.
Afin de simplifier les écritures, on classe les distances au soleil
exprimées en milliards de km.
• On compare les parties entières.
La plus petite est 0, puis 1, puis 2, puis 4 et enfin 5.
Dans l’ordre, on a donc les nombres qui commencent par 0, puis
1,425 8 ; 2,869 ; 4,497 et enfin 5,912 4.
• Il suffit alors de classer les nombres de partie entière 0 :
0,108 2 ; 0,149 6 ; 0,228 ; 0,778 3 et 0,058.
Pour les classer, on compare les chiffres des dixièmes, puis les
chiffres des centièmes, etc (si nécessaire).
Ainsi le plus petit chiffre des dixièmes est 0, puis 1, puis 2 et enfin 7.
Les nombres 0,108 2 et 0,149 6 ont la même partie entière 0 et le
même chiffre des dixièmes 1.
• Pour les classer, on compare les chiffres des centièmes.
On a donc :
0,058 < 0,108 2 < 0,149 6 < 0,228 < 0,778 3 < 1,425 8 < 2,869 < 4,497 < 5,912 4.
Les planètes, de la plus proche à la plus éloignée du soleil, sont :
Mercure ; Vénus ; Terre ; Mars ; Jupiter ; Saturne ; Uranus ;
Neptune et Pluton.
Exercice 10 : L’inconnue
Le nombre a cherché s’écrit avec 4 chiffres.
On le note m c d u.
u est le chiffre des unités, d celui des dizaines, c celui des centaines
et m celui des milliers.
m, c, d et u sont quatre entiers compris entre 0 et 9.
• On sait que a est supérieur à 7000 et donc m ∈ {7 ; 8 ; 9}.
Comme le chiffre des milliers est le double de celui des centaines,
m est pair et donc m = 8 et par conséquent c = 4.
Si un nombre est multiple de 45, il est multiple de 5 et de 9.
Si un nombre est multiple de 5, il se termine par 0 ou 5.
• a est multiple de 5, il se termine par 0 ou 5 et comme il est
impair, il se termine par 5 et donc u = 5.
Il reste à déterminer d.
Si un nombre est multiple de 9, la somme de ses chiffres est multiple
de 9.
• a est aussi multiple de 9 et donc on a :
m + c + d + u = 8 + 4 + d + 5 = 17 + d qui est divisible par 9.
La seule solution est d = 1.
On rappelle que 0 ≤ d ≤ 9.
Le nombre cherché est donc 8 415.
FICHE 1 : NOMBRES ENTIERS ET DÉCIMAUX
9
PUISSANCES
LA MÉTHODE
2
7 * 10- 12 * 6 * (103)
sous forme d’une fraction
21 * 10- 4
irréductible, sous forme décimale puis en notation scientifique.
Écrire le nombre A =
SOLUTION
1 On regroupe les puissances de 10 avec les puissances de 10
et on simplifie.
Pour cela on utilise les formules suivantes :
p
( a n ) = a n*p .
A=
a n * a p = a n+p.
A=
7 * 10- 12 * 6 * 103 * 2
7 * 10- 12 * 6 * 106
=
;
21 * 10- 4
21 * 10- 4
7 * 2 * 3 * 10- 12 + 6
7 * 2 * 3 * 10-6
2 * 10- 6
=
=
;
-4
-4
3 * 7 * 10
10- 4
3 * 7 * 10
an
1
= a n-p = p-n .
p
a
a
2 * 10- 6
= 2 * 10- 6 - (- 4) = 2 * 10- 6 + 4 = 2 * 10- 2.
10- 4
2 On donne les résultats sous les différentes formes :
A=
•
•
•
2
1
=
;
100 50
Sous forme décimale : A = 2 * 10- 2 = 2 * 0,01= 0,02 ;
En écriture scientifique : A = 2 * 10- 2.
Sous forme fractionnaire : A = 2 * 10- 2 =
Écrire un nombre positif sous forme scientifique, c’est le
mettre sous la forme a * 10 p avec 1 ≤ a <10 et p ∈ Î.