Estimer une VaR - Ressources actuarielles

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CPA - Séminaire « mesures de risque »
www.winter-associes.fr
Estimer
Estimer une
une VaR
VaR
Aspects
pratiques
Aspects
pratiques
Version 1.0
Version 1.0
Frédéric PLANCHET
ISFA
WINTER & Associés
Mars 2006
Arthur CHARPENTIER
ENSAE
Page 1
Contexte
On s’intéresse ici au calcul pratique d’une VaR ; il s’agit donc d’estimer un quantile
d’une distribution à partir d’un échantillon de taille n donné.
On se trouve en pratique confronté à deux situations nécessitant potentiellement des
traitements distincts :
- le calcul d’un quantile de niveau « petit » : VaR à 75% pour le niveau
des provisions en solvabilité 2 ;
- le calcul d’un quantile de niveau élevé : contrôler la probabilité de ruine
à un an pour qu’elle ne dépasse pas 0,05%.
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Page 2
Contexte
A priori l’estimation d’un quantile d’ordre peu élevé sera plus aisée que celle d’un
quantile d’ordre élevé, du fait de données plus nombreuses : les événements rares ne
se produisent pas souvent, ce qui complique leur mesure…
En pratique toute fois on sera amené à distinguer les approches paramétriques et non
paramétriques (par rapport à la loi initiale).
Le recours à la théorie des valeurs extrêmes permet de construire des estimateurs
non paramétriques.
Dans la suite de cette présentation, on aborde ces différentes approches.
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Page 3
Qu’est ce qu’un événement rare ?
On considère un événement dont la probabilité d’apparition est p ; dans un modèle à
temps discret, la distribution du premier instant de réalisation de l’événement est
une loi géométrique de paramètre p, ie :
Pr(T = k ) = p(1 − p )
k −1
En particulier, le temps moyen d’attente de la réalisation de l’événement est :
E(T ) = 1
p
On peut donc apprécier le caractère exceptionnel d’un événement au travers de sa
fréquence : un événement qui se produit une fois par siècle est ainsi associé à une
probabilité de survenance dans l’année de 1%.
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L’approche paramétrique usuelle
On fait l’hypothèse que la loi du phénomène sous-jacent appartient à une famille
paramétrique (normale, log-normale, Pareto, Benktander, etc.).
L’estimation d’un quantile d’ordre quelconque peut alors être envisagée de la
manière suivante :
- estimation des paramètres (par maximum de vraisemblance ou autre
méthode) ;
- inversion de la fonction de répartition ;
−1
ˆ (α ) = F ˆ
- Estimation de la VaR par VaR
θ
(α )
;
- recherche d’un intervalle de confiance.
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Intervalles de confiance
−1
ˆ (α ) = F ˆ
On a donc estimé la VaR par VaR
θ
l’estimateur ainsi obtenu.
(α ) et on s’intéresse à la précision de
On se place dans le cas particulier où le paramètre est estimé par l’estimateur du
maximum de vraisemblance ; on déduit des propriétés générales de l’estimateur du
ˆ (α ) est alors l’estimateur du maximum de
maximum de vraisemblance que VaR
vraisemblance de la VaR. Il est donc asymptotiquement sans biais et gaussien. En
obtenant une estimation de sa variance asymptotique on pourra donc construire un
intervalle de confiance.
ˆ (α ) est toutefois difficile à déterminer, et on est conduit à
La loi de la statistique VaR
se tourner vers des techniques de simulation, et tout particulièrement la méthode
« Bootstrap».
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Le principe de la méthode consiste à remarquer que pour un échantillon de taille
suffisante, la fonction de répartition de la loi sous-jacente peut être approchée par la
fonction de répartition empirique. Evaluer des statistiques par simulation se ramène
alors à générer des échantillons à l’aide de la distribution empirique. Hors un tirage
dans la distribution empirique s’obtient simplement par un tirage avec remise des n
n
valeurs dans l’échantillon initial. On obtient ainsi au plus n échantillons
« boostrapés » à partir desquels on va calculer les estimateurs empiriques des
statistiques d’intérêt.
Dans le cas de l’estimation d’une VaR, l’échantillon initial est constitué par les n
observations de X utilisées pour estimer les paramètres du modèle. La statistique
d’intérêt est :
ˆ (α ) = F ˆ−1 (α )
VaR
θ
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On peut procéder de deux manières pour construire l’intervalle de confiance
recherché :
- estimation de la variance boostrapée de VaR
ˆ (α ) , que l’on utilise ensuite
ensuite avec l’hypothèse de normalité asymptotique ;
- estimation directe d’un intervalle de confiance boostrapé via la méthode
BCa (« Bias corrected and accelerated »).
On rappelle ci-après le principe de la méthode BCa. On notera B la taille de
l’échantillon bootstrap.
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La méthode consiste à déterminer les bornes de l’intervalle de confiance de sorte
que :
P ⎣⎡b1 ≤ VaRα ( X ) ≤ b2 ⎦⎤ = 1 − a
ˆ (α ) bootstrapé.
en prenant pour bi la valeur d’indice B × βi de l’échantillon des VaR
On a :
⎛
⎞
⎜
⎟
z0 + u a
⎜
⎟
2
⎟
β1 = φ ⎜ z0 +
⎜
⎛
⎞⎟
⎜
1 − γ ⎜ z0 + u a ⎟ ⎟
⎜
⎜
⎟⎟
2 ⎠⎠
⎝
⎝
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⎛
⎞
⎜
⎟
z0 + u a
⎜
⎟
1−
2
⎟
β 2 = φ ⎜ z0 +
⎜
⎛
⎞⎟
⎜
1 − γ ⎜ z0 + u a ⎟ ⎟
⎜
⎜
1− ⎟ ⎟
2 ⎠⎠
⎝
⎝
Page 9
Les notations suivantes ont été utilisées :
- uc le quantile d’ordre c de la loi normale centrée réduite ;
−1
- z0 = φ ( k )avec k la proportion des échantillons boostrapés pour lesquels
ˆ (α )
la VaR obtenue est inférieure à VaR
n
-
γ=
∑
i =1
% (α ) − VaR
% i (α ) )
(VaR
3
⎡ n
2⎤
% (α ) − VaR
% i (α ) ) ⎥
6 ⎢ (VaR
⎢⎣ i =1
⎥⎦
∑
3
2
% αi ( X ) la VaR obtenue sur le iième échantillon « jackknife »
en désignant par VaR
(c’est à dire l’estimation de la VaR obtenue à partir de l’échantillon initial duquel on
a retiré la iième valeur)
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Page 10
Exemple : loi log-normale
De l’expression :
⎡ ln ( X ) − m VaR p ( X ) − m ⎤
≥
P⎢
⎥ = 1− p
σ
σ
⎢⎣
⎥⎦
On déduit une expression explicite de la fonction quantile :
(
VaR p ( X ) = F −1 ( p ) = exp m + σφ −1 (1 − p )
)
Puis un estimateur naturel de la VaR :
(
ˆ p ( X ) = exp mˆ + σφ
ˆ −1 (1 − p )
VaR
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)
Page 11
Exemple : loi log-normale
La sensibilité de l’estimation aux paramètres peut être approchée par :
∂
VaR p ( X ) = 1
VaR p ( X ) ∂m
1
∂
VaR p ( X ) = φ −1 (1 − p )
VaR p ( X ) ∂σ
1
On en déduit qu’une erreur de mesure de 1% sur l’espérance conduit à une erreur de
mesure de 1% sur la valeur à risque ; mais parallèlement une erreur de mesure de
−1
1% sur la volatilité induit une erreur de φ (1 − p ) sur la valeur à risque. Au seuil
p=99,5% , on a
φ −1 ( 99, 5%) = 2, 58
et donc une erreur de 1% sur la volatilité conduit à une erreur 2,6 fois plus grande
sur la VaR.
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Page 12
Exemple : loi de Pareto
La fonction de répartition de la loi de Pareto est donnée par :
α
⎛x ⎞
F ( x) = 1− ⎜ m ⎟
⎝ x ⎠
x ≥ xm
La fonction quantile a là encore une expression simple :
−
F −1 ( p ) = xm (1 − p ) α
1
D’où l’on déduit l’estimateur :
−1 ˆ
−1
ˆ
ˆ
F ( p ) = xm (1 − p ) α
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La sensibilité de l’estimation aux paramètres peut être approchée par :
∂
1
VaR p ( X ) =
VaR p ( X ) ∂xm
xm
1
ln (1 − p )
∂
VaR p ( X ) =
VaR p ( X ) ∂α
α2
1
Pour des valeurs du paramètre de forme proches de 1, au seuil 99,5% on trouve que
la sensibilité par rapport à α est de l’ordre de –5. L’estimation de la VaR par cette
méthode est donc très sensible aux erreurs d’estimation de ce paramètre.
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L’approche non paramétrique
On ne suppose plus ici d’hypothèse sur la forme a priori de la loi sous-jacente ; on
dispose dans ce contexte de la fonction de répartition empirique :
Fn(u ) = 1 ∑1{X i ≤u}
n i =1
n
Une approche naturelle consiste à utiliser directement cette approximation de la
vraie loi pour proposer des estimateurs, par exemple :
−1
Fˆ ( p ) = ([ pn ] − pn + 1) X
([ pn]) + ( pn − [ pn ]) X ([ pn]+1)
Cependant, pour un quantile d’ordre élevé cette approche est inefficace car les
données sont insuffisantes.
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Page 15
L’approche non paramétrique
En l’absence de données suffisantes il faut imaginer un moyen d’intégrer au modèle
des contraintes structurantes. La théorie des valeurs extrêmes fournit ces
contraintes.
Elle indique en effet que la forme de la queue de distribution est déterminée par une
même forme paramétrique, quelle que soit la distribution d’origine.
On est donc ramené d’une certaine manière à un cadre paramétrique « classique »,
qui va permettre de calculer des VaR et des TVaR pour des quantiles d’ordre élevé.
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La théorie des valeurs extrêmes
On considère un échantillon d’une loi exponentielle de paramètre λ :
F ( x) = 1− e
−λ x
On voit que :
⎛ e− x
⎛
x + ln ( n ) ⎞
P λ X ( n ) − ln ( n ) ≤ x = P ⎜ X1 ≤
⎟ = ⎜1 −
⎜
n
λ
⎝
⎠
⎝
)
(
Et donc :
(
n
⎞
⎟
⎟
⎠
n
)
lim P λ X ( n ) − ln ( n ) ≤ x = exp ( − exp ( − x ) )
n→∞
La loi limite du maximum est la loi de Gumbel.
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Si on considère maintenant un échantillon d’une loi F dont le comportement à
l’origine vérifie :
F ( x)
lim
=1
α
+
x →0 λ x
⎛ x
⎛ α
⎞ ⎡⎢
P ⎜ n X (1) > x ⎟ = 1 − F ⎜ 1
⎜ α
⎝
⎠ ⎢⎣
⎝n
1
En remarquant que :
on trouve que
⎞⎤
⎟⎥
⎟⎥
⎠⎦
n
()
⎡
⎤
1
⎛ x ⎞⎤ ⎡ ⎛ x ⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
1
α
ln⎜ P⎜ n X(1) > x ⎟ ⎟ = nln⎢1− G⎜⎜ 1 ⎟⎟⎥ = n⎢− λ⎜⎜ 1 ⎟⎟α + o ⎥
n⎥
⎠⎠
⎝ ⎝
⎢⎣
⎝ n α ⎠⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ n α ⎠
⎦
1
⎛
lim P⎜ n α X (1) >
n →∞ ⎝
x ⎞⎟ = e−λx
⎠
α
On reconnaît la loi de Weibull.
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Page 18
De manière générale on a le théorème de Gnedenko (1943) qui montre qu’il n’y a
que 3 lois possibles pour les extrêmes ; il exprime que si pour une loi H non
dégénérée et des constantes de normalisation :
X ( n ) − μn
σn
→d H
alors H est l’une des 3 lois suivantes :
Fréchet
⎧ 0,
Φα(x) = ⎨
-α
⎩ exp(-x ),
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Weibull
x≤0
⎧ exp − (−x)α ,
Ψα(x) = ⎨
x>0
⎩1,
{
}
x≤0
Gumbel
Λ(x) = exp(−e−x), x ∈ R
x>0
Page 19
En pratique on introduit l’indice de queue tel que :
Fréchet
ξ = α−1 > 0
μn = 0
−1 ⎛
1⎞
σn = F ⎜1− ⎟
⎝ n⎠
Weibull
ξ = −α−1 < 0
μn = ω ( F )
−1 ⎛
1⎞
σn = ω ( F ) − F ⎜1− ⎟
⎝ n⎠
Gumbel
ξ=0
⎛
1⎞
⎝
⎠
μn = F −1 ⎜1− ⎟
n
σn =
1
∞
S ( t ) dt
∫
S ( μn )
μn
La loi de Gumbel est la loi des extrêmes pour les lois normales et log-normales, que
la loi de Fréchet est associée aux distributions de Cauchy, Pareto et Student ; une loi
uniforme a pour loi des extrêmes la loi de Weibull. Janssen et de Vries [1991] ont
montré que dans le cas de données modélisées par un processus ARCH, la loi limite
pour les extrêmes était la loi de Fréchet. Cette dernière loi apparaît donc comme
étant a priori assez naturelle dans un contexte financier ou assurantiel.
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Page 20
Les distributions des extrêmes :
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Page 21
La représentation de Jenkinson-Von Mises :
1
⎧
⎧
− ⎫
⎪
x−μ ⎞ ξ ⎪
x−μ
⎪ ⎛
ξ
ξ
exp
−
1
+
si
1
+
> 0, ξ ≠ 0,
⎨ ⎜
⎬
⎪
⎟
σ ⎠ ⎪
σ
⎪ ⎝
⎪⎪
⎩
⎭
Hξ ,μ ,σ ( x ) = ⎨
⎪
⎪
⎧
⎛ x − μ ⎞⎫
exp ⎨− exp ⎜ −
⎪
⎬ si ξ = 0
⎟
σ ⎠⎭
⎝
⎩
⎩⎪
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Page 22
On se ramène en général via normalisation à une représentation ne faisant intervenir
que l’indice de queue :
lim F n(μ n + σn x ) = H ξ( x )
n → +∞
1
⎧
⎧⎪
⎪
− ⎫
⎪exp ⎨− (1 + ξ x ) ξ ⎬ si 1 + ξ x > 0, ξ ≠ 0
⎪
⎪⎩
⎪⎭
Hξ ( x ) = ⎨
⎪
⎪ exp {− exp ( − x )}
si ξ = 0
⎩
Estimation du paramètre de queue : paramétrique ou non paramétrique. Cette
dernière utilise l’ensemble des données initiales, et non seulement les maxima ou les
minima, pour estimer alors que la méthode paramétrique consiste à estimer les trois
paramètres de la fonction H par le maximum de vraisemblance sur les séries des
maxima et des minima.
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Page 23
Identification du type de valeurs extrêmes
En pratique, on souhaite déterminer, pour un échantillon donné, la forme de la
queue de distribution, et, à tout le moins, avoir une idée du domaine d’attraction de
la distribution. La méthode des graphiques quantile-quantile permet de fournir une
indication de l’appartenance probable à un des domaines d’attraction possibles.
Son principe est de représenter graphiquement les quantiles de la distribution
exponentielle
(− ln(ki ) / 1 ≤ i ≤ k )
contre les « excès ordonnés » :
(X (
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n −k +i )
− X (n − k ) / 1 ≤ i ≤ k
)
Page 24
Identification du type de valeurs extrêmes
Si la loi dont sont issues les données appartient est de type Gumbel alors les points
du graphique sont approximativement alignés et on peut déterminer les paramètres
d’échelle et de position de la loi par régression linéaire. Si en revanche les points du
graphique ont tendance à se disperser vers le haut, les données sont
vraisemblablement issues d’une loi de Fréchet , et inversement de si la dispersion
est orientée vers le bas.
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Page 25
Et maintenant ?
Si on est capable d’estimer l’indice de queue, on sera en mesure de proposer des
estimateurs des quantiles d’ordre élevés (approche VaR).
Avec un peu de travail supplémentaire, on pourra en déduire des estimateurs de la
CTE et de la TVaR.
Comment estimer l’indice de queue ? On va utiliser la statistique d’ordre
X k,n ≤ ... ≤ X 1,n
En calibrant k pour avoir des « valeurs extrêmes » dans cet échantillon.
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Page 26
L’estimateur de Pickands
Il est défini par la statistique
⎛ X − X 2k,n ⎞
⎟
ξˆ kP,n = 1 ln⎜⎜ k,n
ln 2 ⎝ X 2k,n − X 4k,n ⎟⎠
Il présente l’intérêt d’être valable quelle que soit la distribution des extrêmes
(Gumbel, Weibull ou Fréchet). La représentation graphique de cet estimateur en
fonction du nombre k d’observations considérées montre un comportement en
général très volatil au départ, ce qui nuit à la lisibilité du graphique. De plus, cet
estimateur est très sensible à la taille de l’échantillon sélectionné, ce qui le rend peu
robuste. Il est donc d’un maniement délicat.
ξˆ kP,n − ξ
k
→ N(0,1)
σ(ξ )
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ξ 22ξ +1 + 1
σ(ξ ) =
2 2ξ − 1 ln(2 )
(
)
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L’estimateur de Hill
Il est défini par la statistique
k −1
⎛ X j,n ⎞
ˆξH = 1
⎟⎟
ln⎜⎜
k, n
k −1 ∑
X
j =1
⎝ k,n ⎠
Il n’est valable que pour le domaine de Fréchet ; il est EMV dans le modèle
S ( x ) = 1 − F ( x ) = Cx
Dans le modèle plus général S ( x ) = 1 − F ( x ) = x
important, ce qui rend son utilisation difficile.
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−1
ξ
−1
ξ
L ( x)
il présente un biais
Page 28
L’estimateur de Hill
L’estimateur de Hill est également asymptotiquement gaussien
ξˆ kH,n − ξ
k
→ N(0,1)
ξ
Même si l’estimateur de Hill est bien moins volatil que celui de Pickand (quand on
le représente en fonction du nombre d’observations considérées), il manque de
précision et sa phase de stabilisation, qui devrait correspondre à la valeur de l’indice
de queue, est parfois difficile à identifier. Resnick et Starica [1997] ont mis au point
une méthode très simple pour effectuer un « agrandissement » du démarrage du
graphe de l’estimateur de Hill. Pour ce faire, l’idée est de changer d’échelle sur
l’axe des abscisses pour passer en échelle logarithmique. Ainsi, la partie de courbe
correspondant aux premières valeurs extrémales est agrandie et plus précise, par
opposition à la partie de courbe correspondant aux valeurs qui ne font probablement
pas partie de la queue de la distribution.
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Page 29
L’estimateur des moments
Il est définit par la statistique
ξˆkM,n
⎛ ⎛ (1) ⎞ 2 ⎞
ξˆk ,n ⎟ ⎟
⎜
⎜
(1) 1
⎠ ⎟
= 1 + ξˆk ,n − ⎜1 − ⎝
1
2⎜
ξˆk( ,n) ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
−1
avec
⎛1
i)
(
ˆ
ξ k ,n = ⎜
⎜k
⎝
⎛ X j ,n ⎞ ⎞
ln ⎜
⎟⎟
⎜ X k −1,n ⎟ ⎟
⎠⎠
j =1 ⎝
k
i
∑
Utilisable uniquement pour le domaine de Fréchet il est asymptotiquement gaussien
ξˆkH,n − ξ
k
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1+ ξ
2
→ N ( 0,1)
Page 30
Comparaison
Le comportement en terme de précision des différents estimateurs présentés est
illustré ci-après dans le cas d’une loi de Pareto ; on obtient l’allure typique
suivante :
Mars 2006
Page 31
Un estimateur d’un quantile élevé
Dans le cas du domaine de Fréchet, on remarque que :
S ( x) = 1− F ( x) = x
On en déduit que
−1
ξ
L ( x)
⎛ x ⎞
⎜
⎟
=
S X ( n−k )
L X ( n− k ) ⎜⎝ X ( n−k ) ⎟⎠
(
S ( x)
) (
L ( x)
−1
ξ
)
En considérant alors le rapport des fonctions à variation lente proche de un on
trouve que
−1
⎛ x ⎞
⎟
S ( x ) = S X ( n−k ) ⎜
⎜ X ( n−k ) ⎟
⎝
⎠
(
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)
ξ
Page 32
Un estimateur d’un quantile élevé
Cela conduit à proposer comme estimateur de la fonction de répartition, pour
x > X ( n−k )
− 1 H
⎞ ξˆ
⎛ x
k
⎟
Fˆ ( x ) = 1 − ⎜
n ⎜ X ( n−k ) ⎟
⎝
⎠
k ,n
Par inversion on propose l’estimateur suivant de la VaR :
⎛n
⎞
x p = X ( n−k ) ⎜ (1 − p ) ⎟
⎝k
⎠
Mars 2006
H
−ξˆk ,n
Page 33
Approche alternative : approximation GPD
On peut également utiliser l’estimateur suivant :
⎧
−ξˆ
⎤
ˆ ⎡⎛ n
β
⎞
⎪X
+ ⎢⎜ (1 − p ) ⎟ − 1⎥ si ξˆ ≠ 0
−
n
k
(
)
⎪
⎥
ξˆ ⎢⎝ k
⎠
⎪
⎣
⎦
xp = ⎨
⎪
⎪
ˆ ln ⎛ n (1 − p ) ⎞ si ξˆ = 0
X
−
β
⎜k
⎟
⎪
( n−k )
⎝
⎠
⎩
Il trouve sa justification dans l’étude de la loi des « excès au selà d’un seuil », dont
on peut montrer qu’il s’agit d’une loi universelle, la loi de Pareto généralisé.
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Page 34
Approximation GPD : justification
On part de la relation S ( x ) = S ( u ) Su ( x )
pour écrire
F(x) = Pr(X ≤ x) = (1 − Pr( X ≤ u ))Fu(x − u) + Pr(X ≤ u)
On en déduit l’approximation de la fonction de répartition au-delà du seuil :
Fˆ ( x ) = (1 − Fn (u ))Gξˆ βˆ ( x ) + Fn (u )
,,
⎧
−ξˆ
⎡
⎤
ˆ
⎛
⎞
⎪u + β ⎢ 1 − p
− 1⎥ si ξˆ ≠ 0
⎜
⎟
⎪
⎜
⎟
⎥
ξˆ ⎢⎝ 1 − Fn (u ) ⎠
⎛
⎞
⎪
p
F
u
(
)
−
⎢
⎥⎦
⎣
n
x p = u + Gξ−ˆ ,1βˆ ⎜⎜
=
⎟⎟ ⎨
1
F
u
(
)
−
n
⎝
⎠ ⎪
⎛ 1− p ⎞
⎪
ˆ
⎟⎟ si ξˆ = 0
⎪ u − β ln ⎜⎜
⎝ 1 − Fn (u ) ⎠
⎩
Et par inversion on tire :
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Page 35
On considère
α
⎛x ⎞
F ( x) = 1− ⎜ m ⎟
⎝ x ⎠
L’approximation GDP est ici exacte :
⎛x⎞
1 − Fu ( x − u ) = Pr ( X > x X > u ) = ⎜ ⎟
⎝u⎠
ξ=
1
α
−α
⎛ ξ
⎞
= ⎜1 + ( x − u ) ⎟
⎝ β
⎠
−1
ξ
β (u ) = ξ u
On compare les 2 estimateurs proposés et l’approche « naïve » :
Fˆ −1 ( p ) = ([ pn ] − pn + 1) X
Mars 2006
([ pn]) + ( pn − [ pn ]) X ([ pn]+1)
Page 36
Les différents estimateurs conduisent à :
Mars 2006
Page 37

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