Produit scalaire

Produit scalaire
Exercice 1. Produits scalaires ?
Dire si les applications suivantes sont des produits scalaires :
0
1) E = R2 , ((x, x0 ) | (y, y 0 )) = axy + bxy 0 +P
cx0 y + dx0 yP
(étudier ((1, t) | (1, t)), t ∈ R).
P
P
n
2) E = R , ((x1 , . . . , xn ) | (y1 , . . . , yn )) = a i xi yi + b i6=j xi yj (on montrera que ( xi )2 6 n x2i ).
Pn
3) E = Rn [X], (P | Q) = i=0 P (i)Q(i).
Exercice 2. Intégrale double
Soit D le disque unité fermé de R2 . On considère l’espace E des fonctions f : D → R de classe C 1 nulles
sur le bord, C, de D.
RR ∂g
∂f ∂g
Pour f, g ∈ E, on pose (f | g) = D ∂f
+
∂x ∂x
∂y ∂y dxdy. Montrer que c’est un produit scalaire.
Exercice 3. Produit scalaire
Soit E = C([a, b], R) et u : [a, b] → R une fonction continue par morceaux. On pose pour f, g ∈ E :
Rb
(f | g) = t=a u(t)f (t)g(t) dt.
1) A quelle condition sur u définit-on ainsi un produit scalaire ?
2) Soient u, v deux fonctions convenables. A quelle condition les normes associées sont-elles équivalentes ?
Exercice 4. Produit scalaire ?
Soit E = C([a, b], R) et (an ) une suite
P∞d’éléments de [a, b].
Pour f, g ∈ E, on pose : (f | g) = n=0 2−n f (an )g(an ).
1) A quelle condition sur la suite (an ) définit-on un produit scalaire ?
2) Soient a = (an ) et b = (bn ) deux telles suites telles que les ensembles {an , n ∈ N} et {bn , n ∈ N} sont
distincts. Montrer que les normes correspondantes sont non équivalentes.
3) Question ouverte : à quelle condition les normes associées à deux suites (an ) et (bn ) sont-elles équivalentes ?
4) Montrer qu’il n’existe pas de suite (an ) pour laquelle E soit complet.
Exercice 5. Base de Schmidt
R1
Trouver une base orthonormée de R3 [X] pour le produit scalaire : (P | Q) = t=−1 P (t)Q(t) dt.
Exercice 6. Base de Schmidt
P4
Soit E = R2 [X] muni du produit scalaire : (P | Q) = i=0 P (i)Q(i). Chercher une base orthonormée
de E.
Exercice 7. Trouvez le produit scalaire
Soit (Pn )n∈N une suite de polynômes à coefficients réels de degrés étagés (deg Pn = n). Montrer qu’il
existe un unique produit scalaire sur R[X] pour lequel la famille (Pn ) est orthonormée.
Exercice 8. Somme directe orthogonale
Soit E un espace préhilbertien et F1 , . . . , Fn des sev tels que pour i 6= j, Fi ⊥ Fj . Montrer que la somme
F1 + . . . + Fn est directe.
Exercice 9. Espace `2
P 2
Soit E l’ensemble des suites (un )n∈N
à termes réels telles que la série
un converge.
P∞
Pour u, v ∈ E, on pose : (u | v) = n=0 un vn .
1) Montrer que E est un espace vectoriel sur R.
2) Montrer que (u | v) existe.
3) Montrer qu’on définit ainsi un produit scalaire sur E.
4) Montrer que E, muni de la norme associée, est complet.
prodscal.tex – mercredi 3 août 2016
Exercice 10. f (x) ⊥ x ⇒ f = 0
Soit E un espace vectoriel préhilbertien complexe et f ∈ L(E) tel que pour tout vecteur x ∈ E, on a
f (x) ⊥ x.
1) Montrer que pour tous vecteurs x, y ∈ E, on a (f (x) | y) = 0.
2) Montrer que f = 0.
3) Comparer avec le cas réel.
Exercice 11. Équation du second degré
Soient E ev euclidien, a ∈ E et α, β, γ ∈ R avec α 6= 0. Résoudre l’équation α(x | x) + β(x | a) + γ = 0.
Exercice 12. Inégalité de Cauchy-Schwarz
E −→ R
Rb
Rb
f 7−→
f × a 1/f.
a
Montrer que min{Φ(f ) tq f ∈ E} = (b − a)2 et chercher les fonctions réalisant le minimum.
Soit E l’ensemble des fonctions : [a, b] → R+∗ continues et Φ :
Exercice 13. Inversion
Soit E un ev euclidien. On pose pour x 6= 0 : i(x) =
x .
kxk2
1) Montrer que i est une involution et conserve les angles non orientés de vecteurs.
kx − yk
2) Vérifier que : ∀ x, y ∈ E \ {0}, ki(x) − i(y)k =
.
kxkkyk
3) Déterminer l’image par i :
a) d’un hyperplan affine ne passant pas par 0.
b) d’une sphère passant par 0.
c) d’une sphère ne passant pas par 0.
Exercice 14. Inégalité de Ptolémée
Soit E un espace euclidien.
x . Montrer que : ∀ x, y ∈ E \ {0}, kf (x) − f (y)k = kx − yk .
kxk2
kxkkyk
2) Soient a, b, c, d ∈ E. Montrer que ka − ckkb − dk 6 ka − bkkc − dk + kb − ckka − dk. Indication : se
ramener au cas a = 0 et utiliser l’application f .
1) Pour x ∈ E \ {0}, on pose f (x) =
Exercice 15. Calcul de distance
P
P
P
On munit E = Rn [X] du produit scalaire : Pour P = i ai X i et Q = i bi X i , (P | Q) = i ai bi . Soit
H = {P ∈ E tq P (1) = 0}.
1) Trouver une base orthonormale de H.
2) Calculer d(X, H).
Exercice 16. Calcul de minimums
Calculer le minimum sur R2 de f :
R2
(a, b)
−→
7−→
R
Rπ
x=0
(sin x − ax2 − bx)2 dx.
Exercice 17. Calcul de minimums
R1
1) Soit ϕ : Rn → R définie par ϕ(x1 , . . . , xn ) = t=0 (1 + tx1 + . . . + tn xn )2 dt. Montrer que ϕ admet un
minimum absolu et le calculer lorsqueR n = 3.
+∞
2) Même question avec ψ(x1 , . . . , xn ) = t=0 e−t (1 + tx1 + . . . + tn xn )2 dt.
Exercice 18. Expression analytique
Soit E un espace euclidien de dimension 4, B = (e1 , . . . , e4 ) une base orthonormée de E, et F le sev
d’équations dans B :
x+y+z+t=0
x + 2y + 3z + 4t = 0
1) Trouver une base orthonormée de F .
2) Donner la matrice dans B de la projection orthogonale sur F .
3) Calculer d(e1 , F ).
prodscal.tex – page 2
Exercice 19. Projection sur un hyperplan
On munit Rn du produit scalaire usuel. Soit H = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn tq a1 x1 + . . . + an xn = 0}
où a1 , . . . , an sont des réels donnés non tous nuls. Chercher la matrice dans la base canonique de la
projection orthogonale sur H.
Exercice 20. Caractérisation des projections orthogonales
Soit E un ev euclidien et p ∈ L(E) une projection. Montrer que :
p est une projection orthogonale ⇔ ∀ x, y ∈ E, (x | p(y)) = (p(x) | y) ⇔ ∀ x ∈ E, kp(x)k 6 kxk.
Pour la deuxième caractérisation, considérer x ∈ (Ker p)⊥ et faire un dessin.
Exercice 21. Composition de projecteurs
Soient F , G deux sev d’un ev euclidien E tels que F ⊥ ⊥ G⊥ . On note pF et pG les projections orthogonales
sur F et sur G. Montrer que pF + pG − pF ∩G = idE et pF ◦ pG = pG ◦ pF = pF ∩G .
Exercice 22. Projecteurs commutant
Soit E un espace vectoriel euclidien et p, q deux projections orthogonales. Montrer que p et q commutent
si et seulement si (Im p ∩ Im q)⊥ ∩ Im p et (Im p ∩ Im q)⊥ ∩ Im q sont orthogonaux.
Exercice 23. Caractérisation des bases orthonormales
Pn
Soit E un ev euclidien, et e1 , . . . , en des vecteurs unitaires tels que : ∀ x ∈ E, kxk2 = i=1 (x | ei )2 .
1) Démontrer que (e1 , . . . , en ) est une base orthonormale de E.
2) On remplace l’hypothèse : ei unitaire par : dim E = n.
a) Démontrer que (e1 , . . . , en ) est une base
Pnde E.
b) Démontrer que : ∀ x, y ∈ E, (x | y) = i=1 (x | ei )(y | ei ).
c) On note G la matrice de Gram de e1 , . . . , en . Démontrer que G2 = G et conclure.
Exercice 24. Polytechnique MP∗ 2000
Soit E un espace euclidien, (yj )j∈I une famille de vecteurs de E telle qu’il existe A et B strictement
positifs vérifiant :
X
∀ x ∈ E, Akxk2 6
(x | yj )2 6 Bkxk2 .
j∈I
1) Montrer que (yj )j∈I engendre E.
2) On choisit E = R2 . Montrer que y1 =
0
1
, y2 =
√
− 3/2
,
−1/2
y3 = y2 conviennent.
3) Si A = B = 1 et kyj k = 1 pour tout j, montrer que (yj )j∈I est une base orthonormale.
P
4) Si A = B, montrer que pour tout x ∈ E, x = 1 j∈I (x | yj )yj .
A
Exercice 25. Déterminant de Gram
Soit E un espace préhilbertien et u1 , . . . , un ∈ E. On note G = (gij ) ∈ Mn (K) la matrice de Gram de
ces vecteurs (gij = (ui | uj )).
1) On suppose E de dimension finie, rapporté à une base orthonormée B = (e1 , . . . , ep ). Exprimer G en
fonction de M = MatB (u1 , . . . , un ).
2) En déduire que det(G) est un réel positif ou nul, et nul si et seulement si les vecteurs ui sont liés.
3) Montrer le même résultat sans supposer que E est de dimension finie.
4) Examiner le cas particulier n = 2.
5) Application : Le tétraèdre ABCD est tel que AB = AC = AD = 1 et (AB, AC) ≡ π4 , (AB, AD) ≡ π3 ,
(AC, AD) ≡ π2 . Calculer son volume.
Exercice 26. Angles > 2π/3
Soit E un espace euclidien de dimension supérieure ou égale à 3. Montrer qu’il n’existe pas trois vecteurs
u1 , u2 , u3 unitaires faisant entre eux deux à deux des angles strictement supérieurs à 2π
3 .
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Exercice 27. Matrice de Gram
Soient x1 , . . . , xn des vecteurs d’un ev euclidien E, et G(x1 , . . . , xn ) leur matrice de Gram.
1) Montrer que rg G(x1 , . . . , xn ) = rg(x1 , . . . , xn ).
P
2) Montrer que det G(x1 , . . . , xn ) est inchangé si on remplace xk par xk − i6=k λi xi .
3) Soit F = vect(x1 , . . . , xn ) et x ∈ E. On note d(x, F ) = min(kx − yk, y ∈ F ).
det G(x1 , . . . , xn , x)
Montrer que d(x, F )2 =
.
det G(x1 , . . . , xn )
Exercice 28. Congruence des matrices de Gram
Soit E un ev hermitien et B, B 0 deux bases quelconques. On note P la matrice de passage de B à B 0 , et
G, G0 les matrices de Gram de B et B 0 . Quelle relation y a-t-il entre P , G et G0 ?
Exercice 29. Gram(u(ei ))
Soit E un espace vectoriel euclidien, u ∈ L(E) et (e1 , . . . , en ) une base quelconque de E. On note G le
déterminant de Gram. Montrer que G(u(e1 ), . . . , u(en )) = (det u)2 G(e1 , . . . , en ).
Exercice 30. Forme quadratique associée à la matrice de Gram
−1
Soit E un espace euclidien,
P (e1 , . . . , en ) une base de 2E, G sa matrice de Gram et G = (aij ).
Montrer que : ∀ x ∈ E, i,j aij (ei | x)(ej | x) = kxk .
Exercice 31. Vecteur défini par ses produits scalaires
Soient f1 , f2 , . . . , fn : [0, 1] → R continues.
R1
Existe-t-il f : [0, 1] → R continue telle que : ∀ i, t=0 f (t)fi (t) dt = 1 ?
Exercice 32. Famille duale de 1, X, X 2 , . . .
R +∞
1) Montrer qu’il existe des polynômes P0 , . . . , Pn ∈ Rn [X] tels que : ∀ i, j 6 n, t=0 e−t ti Pj (t) dt = δij .
2) Montrer qu’il n’existe pas de suite de polynômes (P0 , . . . , Pn , . . .) telle que :
R +∞
∀ i, j ∈ N, t=0 e−t ti Pj (t) dt = δij .
Exercice 33. Décomposition QR
1) Soit M ∈ Mn (R) inversible. Montrer qu’il existe une matrice orthogonale, P , et une matrice triangulaire supérieure à coefficients diagonaux positifs, T , uniques telles que M = P T .
2) Application : inégalité de Hadamard. Soit E un espace vectoriel euclidien, (e1 , . . . , en ) une base
orthonormée, et u1 , . . . , un des Q
vecteurs quelconques.
Démontrer que | det(ei ) (uj )| 6 j kuj k. Étudier les cas d’égalité.
Exercice 34. Coefficients diagonaux dans la méthode de Schmidt
Soit E un espace euclidien, B = (u1 , . . . , un ) une base de E et B 0 = (e1 , . . . , en ) la base orthonormée
déduite de B par la méthode de Schmidt. On note P la matrice de passage de B à B 0 .
Montrer que Pii × d(ui , vect(u1 , . . . , ui−1 )) = 1.
Exercice 35. Coordonnées des vecteurs de Schmidt
Soit E un espace euclidien, B = (u1 , . . . , un ) une base de E et B 0 = (e1 , . . . , en ) la base orthonormée
déduite de B par la méthode de Schmidt.
On note Gn le déterminant de Gram de u1 , . . . , un , et ∆i,n le cofacteur de (ui | un ) dans Gn .
Pn
Montrer que en = p 1
∆i,n ui .
Gn−1 Gn i=1
Exercice 36. det(tAA)
Soit A ∈ Mn,p (R). Montrer que det(t AA) > 0.
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Exercice 37. Polynômes orthogonauxR
1
Soit E = R[X]. On pose (P | Q) = t=0 P (t)Q(t) dt
1) Démontrer que ( | ) est un produit scalaire sur E.
2) Démontrer qu’il existe une unique famille (P0 , P1 , . . . , Pn , . . .) de polynômes vérifiant :

 deg Pi = i
le coefficient dominant de Pi est strictement positif

la famille (Pi ) est orthonormée.
Exercice 38. Polynômes orthogonaux
R1
Soit E = Rn [X] et (P | Q) = t=0 P (t)Q(t) dt.
1) Montrer que E, muni de ( | ), est un espace euclidien.
2) Soit K = Rn−1 [X]⊥ et P ∈ K \ {0}. Quel est le degré de P ?
R1
3) Soit Φ : x 7→ t=0 P (t)tx dt. Montrer que Φ est une fonction rationnelle.
4) Trouver Φ à une constante multiplicative près.
5) En déduire les coefficients de P .
6) En déduire une base orthogonale de E.
Exercice 39. Réduction en carrés d’une forme quadratique
Soient f1 , . . . , fp , p formes linéaires sur Rn telles
Ppque rg(f1 , . . . , fp ) = n.
En considérant le produit scalaire : (x | y) = i=1 fi (x)fi (y), démontrer qu’il existe n formes linéaires
g1 , . . . , gn telles que :
∀ x ∈ Rn ,
p
X
i=1
fi (x)2 =
n
X
gi (x)2 .
i=1
exemple : réduire x2 + (x + y)2 + (x + 2y)2
Exercice 40. Famille de vecteurs unitaires équidistants
Soit E un ev euclidien, et (x1 , . . . , xn ) une famille libre. Démontrer qu’il existe une famille (u1 , . . . , un )
vérifiant :
ui est unitaire, kui − uj k = 1, vect(u1 , . . . , ui ) = vect(x1 , . . . , xi ).
Démontrer que toute famille (u1 , . . . , un ) vérifiant les deux premières propriétés est libre.
Exercice 41. Famille obtusangle
Soit E un ev euclidien et u1 , . . . , un une famille de vecteurs vérifiant : ∀ i 6= j, (ui | uj ) < 0.
1) On suppose (u1 , . . . , un ) libre. Soit (e1 , . . . , en ) la famille de Schmidt associée et M la matrice de
passage de (u1 , . . . , un ) à (e1 , . . . , en ). Montrer que M est à coefficients positifs.
2) Dans le cas général, démontrer par récurrence sur n que rg(u1 , . . . , un ) > n − 1.
3) Si rg(u1 , . . . , un ) = n − 1, démontrer que toute famille de n − 1 vecteurs extraite de (u1 , . . . , un ) est
libre, et que les composantes dans cette famille du vecteur retiré sont strictement négatives.
Exercice 42. F + F ⊥ 6= E
R1
Soit E = C([0, 1], R) muni du produit scalaire : (f | g) = t=0 f g(t) dt, et F = {f ∈ E tq f (0) = 0}.
Montrer que F ⊥ = {0}.
Exercice 43. Forme linéaire sur R2 [X]
R1
On munit R2 [X] du produit scalaire : (P | Q) = t=0 P Q(t) dt.
1) Vérifier que
c’est effectivement un produit scalaire.
R2 [X] −→ R
2) Soit ϕ :
Trouver le polynôme A tel que : ∀ P ∈ R2 [X], ϕ(P ) = (A | P ).
P 7−→ P (0).
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Exercice 44. Norme uniforme sur R3 [X]
R1
Soit P ∈ R[X] de degré inférieur ou égal à 3 tel que t=−1 P 2 (t) dt = 1.
√
Montrer que sup{|P (x)| tq − 1 6 x 6 1} 6 2 2.
R1
Indication : pour a ∈ R montrer qu’il existe Pa ∈ R3 [X] tel que : ∀ P ∈ R3 [X], P (a) = t=−1 P (t)Pa (t) dt.
Calculer explicitement Pa , et appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
Exercice 45. Hanh-Banach pour une boule
Soit E un espace préhilbertien réel et B une boule ouverte de E ne contenant pas 0. Montrer qu’il existe
une forme linéaire f ∈ E ∗ telle que : ∀ x ∈ B, f (x) > 0.
Exercice 46. Orthogonal de R[X]
Soit E = C([0, 1], R) muni du produit scalaire usuel, F le sev des fonctions polynomiales et g la fonction
exponentielle sur [0, 1].
1) Montrer que g ∈
/ F.
2) Montrer qu’il existe une suite (fn ) de fonctions polynomiales convergeant vers g pour la norme euclidienne.
3) En déduire que F n’a pas de supplémentaire orthogonal.
Exercice 47. Orthogonal d’un hyperplan
R 12
Soit E = C([0, 1], R) muni du produit scalaire usuel et, pour f ∈ E : ϕ(f ) = t=0
f (t) dt.
1) Montrer que ϕ est continue.
2) Montrer que H = Ker ϕ est fermé.
3) Montrer que H ⊥ = {0}.
Exercice 48. Centrale MP 2000
R
Soit E = C 1 ([0, 1], R) et ϕ(f, g) = [0,1] f g + f 0 g 0 .
1) Montrer que ϕ est un produit scalaire.
2) Soit V = {f ∈ E tq f (0) = f (1) = 0} et W = {f ∈ E tq f 00 = f }. Montrer que V et W sont
supplémentaires orthogonaux et exprimer la projection orthogonale Rsur W .
3) Soit Eαβ = {f ∈ E tq f (0) = α et f (1) = β}. Déterminer inf f ∈Eαβ [0,1] f 2 + f 02 .
Exercice 49. ku(x)k 6 kxk
Soit E un espace euclidien et u ∈ L(E) tel que ∀ x ∈ E, ku(x)k 6 kxk.
⊥
Montrer que E = Ker(u − id) ⊕ Im(u − id).
Exercice 50. X MP∗ 2000
Soit E un espace euclidien de dimension n > 1. Trouver toutes les fonctions f de E dans R continues
telles que u ⊥ v ⇒ f (u + v) = f (u) + f (v).
Exercice 51. Magistère de Ker Lann 2010
n
X
1 1 i 1 j
1) Calculer pour (i, j) ∈ N2 : lim
.
n→∞
2k 2k
2k
k=0
n
X
1 1 1
2) Soient P, Q ∈ R[X]. Calculer lim
P k Q k .
n→∞
2k
2
2
k=0
3) On note (P | Q) cette limite.
Justifier
qu’on
définit
ainsi
un produit scalaire sur R[X].
R[X] −→ R
4) Soit la forme linéaire Φ :
P 7−→ P (0).
Montrer qu’il n’existe pas de Q ∈ R[X] tel que, pour tout P ∈ R[X], Φ(P ) = (P | Q). Commenter.
Exercice 52. Familles libres, Mines 2015
Soit (E, ( | )) un espace préhilbertien. Montrer que A = {(x, y) ∈ E × E, (x, y) est libre} est ouvert.
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solutions
Exercice 1.
1) a > 0, b = c, d > 0, ad − bc > 0.
2) a − b > 0 et a + (n − 1)b > 0.
Exercice 3.
1) u > 0 et u−1 (0) est d’intérieur vide.
2) Il existe α, β > 0 tels que αu 6 v 6 βu.
Exercice 4.
1) (an ) est partout dense.
4) Si les an sont distincts, on choisit pour tout n une fonction fn comprise entre 0 et 1 valant alternativement 1 et −1 en a0 , . . . , an . Alors la suite (fn ) est de Cauchy mais ne converge pas car si fn → f
alors f 2 = 1, absurde.
Exercice
5.
q
q
q 3
5
7
2
3
√1 , X
,
(3X
−
1)
+
(5X
−
3X)
2
8
8 .
2
Exercice 6.
2
√1 , X−2
√
√
, X −4X+2
.
5
10
14
Exercice 10.
1) (f (x) | y) = −(f (y) | x) et (f (ix) | y) = −(f (y) | ix).
Exercice 11.
βa
sphère de centre − , ce point ou ∅.
2α
Exercice 12.
f = cste.
Exercice 13.
2) Élever au carré.
3) a) (x | u) = 1 ⇔ (i(x) | u − i(x)) = 0 : sphère passant par 0.
b) hyperplan ne passant pas par 0.
2
a
R2
2
2
c) kx − ak = R ⇔ x −
: sphère ne passant pas par 0.
2
2 =
2
kak − R
(kak − R2 )2
Exercice 14.
1) Élever au carré.
Exercice√15.
2) 1/ n + 1.
Exercice 16.
a = π203 − 320
π5 , b =
240
π4
−
12
π2 ,
m=
π
2
−
8
π
+
160
π3
−
1280
π5 .
Exercice 17.
1
1) 16
.
1
2) 4 .
Exercice 18.
1) ( √16 (1, −2, 1, 0), √130 (2, −1, −4, 3)).


3
2)
1  −4
10
−1
2
3)
q
−4 −1
2
7 −2 −1 
.
−2
7 −4
−1 −4
3
7
10 .
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Exercice 19.
P1 2 (I − (ai aj )).
ai
Exercice 22.
Si p ◦ q = q ◦ p : Soient x ∈ (Im p ∩ Im q)⊥ ∩ Im p et y ∈ (Im p ∩ Im q)⊥ ∩ Im q.
Alors p ◦ q(x) = q(x) ∈ Im p ∩ Im q, donc (q(x) | y) = (x | y) = 0.
⊥
Si A = (Im p∩Im q)⊥ ∩Im p et B = (Im p∩Im q)⊥ ∩Im q sont orthogonaux : Alors Im p = (Im p∩Im q) ⊕ A,
⊥
⊥
⊥
⊥
Im q = (Im p ∩ Im q) ⊕ B, et E = (Im p ∩ Im q) ⊕ A ⊕ B ⊕ (Im p⊥ ∩ Im q ⊥ ). Par décomposition, on
obtient p ◦ q = q ◦ p = la projection orthogonale sur Im p ∩ Im q.
Exercice
Pn 23.
1) i=1 (ej | ei )2 = 1 ⇒ famille orthonormée et vect(ei )⊥ = {0}.
Exercice 24.
1) Le sev engendré a un orthogonal nul.
2) N’importe quelle famille
P génératrice convient (équivalence des normes).
3) 1 = kyi k2 = kyi k4 + j6=i (yi | yj )2 ⇒ ∀ j 6= i, (yi | yj ) = 0.
P
P
4) Par polarisation on a : ∀ x, y, j∈I (x | yj )(y | yj ) = A(x | y) donc j∈I (x | yj )yj − Ax ∈ E ⊥ .
Exercice 25.
1
5) 12
.
Exercice 26.
ku1 + u2 + u3 k2 < 0.
Exercice 30.
Soit B une base orthonormée de E et P la matrice de passage de B à (ei ).
Le premier membre vaut t XP G−1 t P X = t XX.
Exercice 32.
2) Soit P0 = Q00 . Par IPP on obtient Q0 est orthogonal à la famille (jX j−1 − X j )j>1 qui est une base
R +∞
de R[X] donc Q0 = 0 = P0 et t=0 e−t t0 P0 (t) dt 6= δ0,0 .
Exercice 35.
 
0
 .. 
Soit X la matrice de en dans B. On a GX =  .  et t XGX = λxp = 1. On applique alors les formules
0
λ
de Cramer.
Exercice
R 1 38.
3) t=0 tk tx dt = 1/(k + x + 1).
4) Φ a pour pôles au plus simples −1, −2, . . . , −n − 1 et pour racines 0, 1, . . . , n − 1. Comme Φ(x) −→ 0
x→∞
x(x − 1) . . . (x − n + 1)
on a donc Φ(x) = λ
.
(x + 1) . . . (x + n + 1)
(n + k)!
5) ak = résidu de Φ en −k − 1 = (−1)n+k λ
.
(k!)2 (n − k)!
Exercice 39.
√
√
x2 + (x + y)2 + (x + 2y)2 = ( 3(x − y))2 + ( 2y)2 .
Exercice 42.
f ∈ F ⊥ ⇒ xf ⊥ f .
Exercice 43.
2) 30X 2 − 36X + 9.
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Exercice 44.
Pa (t) = 38 (3 − 5t2 − 5a2 + 15a2 t2 ) + 58 at(15 − 21t2 − 21a2 + 35a2 t2 ),
√
8kPa k2 = 9 + 45a2 − 165a4 + 175a6 est maximal pour a = ±1 et kPa k = 2 2.
Exercice 47.
R1
R1
3) Soit g ∈ H ⊥ non nulle. Les formes linéaires : f 7→ 02 f et f 7→ 0 f g sont nulles sur H, donc
proportionnelles, ce qui est impossible pour g continue.
Exercice 48.
sh(1 − t)
sh(t)
2) π(f )(t) = f (0)
+ f (1)
.
sh(1)
sh(1)
3) L’inf est atteint pour la fonction f ∈ W telle que f (0) = α et f (1) = β, soit f (t) = α
et inf =
sh(1 − t)
sh(t)
+β
sh(1)
sh(1)
(α2 + β 2 ) ch(1) − 2αβ
.
sh(1)
Exercice 49.
Soient x ∈ Ker(u − id) et y = u(z) − z ∈ Im(u − id). On a y = u(z + λx) − (z + λx) d’où :
kz + λxk2 > ku(z + λx)k2 = kz + λxk2 + 2λ(x | y) + 2(z | y) + kyk2 .
En faisant tendre λ vers ±∞ on obtient (x | y) = 0 et on conclut avec le thm. du rang.
Exercice 50.
f linéaire et f = x 7→ kxk2 conviennent et l’ensemble E des fonctions f vérifiant la propriété est stable
par combinaison linéaire donc toute fonction de la forme x 7→ `(x) + akxk2 avec ` ∈ E ∗ et a ∈ R convient.
On montre que ce sont les seules : Soit f ∈ E l’on décompose en sa partie paire g et sa partie impaire h.
Alors g, h ∈ E.
Soient x, y ∈ E avec kxk = kyk et x ⊥ y. On a h(x±y) = h(x)±h(y) et h(2x) = h(x+y)+h(x−y) = 2h(x).
Ensuite, h(2x) + h(x) − h(y) = h(2x + y) + h(x − 2y) = h(3x − y) = h(3x) − h(y) d’où h(3x) = 3h(x)
et de proche en proche h(kx) = kh(x) pour k ∈ N puis pour k ∈ Z, Q, R successivement vu la continuité
de f . En prenant une base (e1 , . . . , en ) orthonormale on a h(x1 e1 + . . . + xn en ) = x1 h(e1 ) + . . . + xn h(en )
pour tous x1 , . . . , xn réels donc h est linéaire.
Soient à présent x, y ∈ E avec kxk = kyk alors g(x + y) + g(x − y) = g(2x) et g(x + y) + g(y − x) = g(2y)
d’où g(2x) = g(2y). Ainsi g est constante sur les sphères de centre 0. On écrit g(x) = ϕ(kxk2 ) avec
ϕ : R+ → R prolongée à R par imparité (g(0) = 0 de manière évidente).
On a alors ϕ(a2 + b2 ) = g(ae1 + be2 ) = g(ae1 ) + g(be2 ) = ϕ(a2 ) + ϕ(b2 ) d’où l’on conclut que ϕ est
linéaire.
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Exercice 51.
2i+j+1 .
1) i+j+1
2
−1
2) Décomposer P, Q sur la base canonique de R[X]. On peut aussi remarquer que la série converge car
P et Q sont bornés sur [0, 1].
4) Si Q existe alors pour P = X n on obtient :
S0 =
∞
X
2−k Q(2−k ) = 1 et Sn =
k=0
∞
X
2−(n+1)k Q(2−k ) = 0 pour tout n 6 1.
k=0
On a facilement Sn −→ Q(1), d’où Q(1) = 0 et 2n+1 Sn =
n→∞
P∞
k=1
2−(n+1)(k−1) Q(2−k ) −→ Q( 12 ). Ainsi
n→∞
Q( 12 ) = 0 et de proche en proche, Q(2−k ) = 0 pour tout k. Ceci implique Q = 0, en contradiction
avec la valeur de S0 . Ainsi Φ n’est pas représentable par un produit scalaire, ce qui fournit un
contre-exemple au théorème de Riesz en dimension infinie. On peut remarquer d’ailleurs que Φ est
discontinue
pour le produit scalaire
choisi : si Pn = (1 − X)(1 − 2X) . . . (1 − 2n X), on a Φ(Pn ) = 1 et
P∞
P∞
2
−k 2 −k
kPn k = k=n+1 2 P (2 ) 6 k=n+1 2−k −→ 0.
n→∞
Exercice 52.
E × E −→ R
On a, en appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz,
(x, y) 7−→ kxkkyk − |(x|y)|.
−1
A = f (]0, +∞[), donc c’est un ouvert car f est continue et R∗ ouvert.
On considère f :
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