Corrigé disponible en format pdf

CORRIGE BACCALAUREAT ES ANTILLES-GUYANE JUIN 2003
Exercice 1 (commun à tous les candidats) (5 points)
1°) a) D'après le tableau 1 , cette probabilité est P(A/E) = 0,542
b) D'après le tableau 1, cette probabilité est P(C) = 0,047
2°)
a) P(E ∩ A) = P(A/E) P(E) = 0,542 *0,249 = 0,134
P(E ∩ A ) 0,134
b) P(E/A) =
=
= 0,236
P(A)
0,567
P(E ∩ B) P(B/E) P(E) 0,26 * 0,249
c) P(E/B) =
=
=
= 0,281
P(B)
P(B)
0,227
Exercice 2 (candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité) (5 points)
Les détails des calculs statistiques ne sont pas demandés.
La production nette d'électricité nucléaire en France, en milliards de kWh est donnée par le
tableau suivant :
Année xi
Production
yi
85
90
95
96
97
98
99
213
298
359
378
376
368
382
1°) Le plan est rapporté à un repère orthogonal :
sur l'axe des abscisses, on placera 84 à l'origine et on choisira 1 cm pour 1 an.
Sur l'axe des ordonnées, on placera 0 à l'origine et on choisira 1 cm pour 20 milliards de kWh.
a) Représenter le nuage des points associé à la série statistique (xi , yi).
Le dessin n'est pas ici à l'échelle.
Production d'électricité nucléaire en FRANCE
450
400
350
milliards kWh
300
250
yi
200
150
100
50
0
84
86
88
90
92
94
96
98
100
Années
b) G a pour coordonnées les moyennes des xi et des yi donc G(94,28 ; 339,14)
2°) Ajustement affine
a) En utilisant la méthode des moindres carrés, donner une équation de la droite de régression
de y en x. Les coefficients seront arrondis au centième.
Voici une feuille de calcul Excel qui réalise les calculs :
xi = années
yi = production en
Milliards de kWh
ni
1
1
1
1
1
1
1
7
xi
85
90
95
96
97
98
99
660
yi
213
298
359
378
376
368
382
2374
ni * xi
85
90
95
96
97
98
99
660
ni * yi
213
298
359
378
376
368
382
2374
xi * xi
7225
8100
9025
9216
9409
9604
9801
62380
94,28
var(x)
=
339,14
var(y)
=
moyen
ne x
moyen
ne y
a=
b=
yi * yi
45369
88804
128881
142884
141376
135424
145924
828662
ni * yi * yi
45369
88804
128881
142884
141376
135424
145924
828662
21,633
cov(x,y) =
262,53
3362,4
ecarttype(x) =
4,65
ecarttype(y) =
57,986276
12,135
84906
805,09
43396
ni * xi * xi
7225
8100
9025
9216
9409
9604
9801
62380
xi * yi
18105
26820
34105
36288
36472
36064
37818
225672
r=
0,9734
19054
pour x
=
120
on
estime
y=
651,21
En arrondissant les coefficients au centième ,, la droite de régresssion de y en x a pour équation
y = 12,14 x - 805,09
b) Si x = 84 alors y = 12,14 * 84 - 805,09 = 213,40
Pour tracer la droite de régression linéaire de y en x d'équation y = a x + b dans le repère, il
suffit de tracer 2 points : le point de coordonnées (84 ;213,40) et le point moyen G qui
appartient à la droite de régression . Comme r= 0,97 est supérieur à 0,80 alors
l'ajustement affine est validé.
3°) Estimation de production
ni * xi * yi
18105
26820
34105
36288
36472
36064
37818
225672
a) En supposant que le modèle affine reste valable jusqu'en 2020, on peut alors estimer à l'aide
de ce modèle, au milliard de kWh près, la production d'électricité nucléaire en France en
2020. Pour x = 120 on obtient y = 12,14 * 120 - 805,09 = 651,71 qu'on arrondit à 652
milliards de kWh
b) On pose X = ln(x).
l'équation de la droite de régression de y en X obtenue par la méthode des moindres carrés
est y = 1119 X - 4745.
En supposant que le modèle logarithmique reste valable jusqu'en 2020, on peut alors estimer
à l'aide de ce modèle, au milliard de kWh près, la production d'électricité nucléaire en France
en 2020 , y = 1119 ln(120) - 4745 = 612,20 qu'on arrondit à 612 milliards de kWh
Exercice 2 (candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité) (5 points)
I - Un musée est constitué de 9 salles notées A, B, C, D, E, F , G, H et S.
Le plan du musée est représenté ci-dessous :
1°) Voici un graphe modélisant la situation décrite.
2°)
Sommet S
A
B
C
D
E
F
G
H
degré
3
3
3
1
4
4
2
3
3
La somme des degrés vaut 26. Le nombre d'arêtes est 13. On vérifie bien le théorème qui dit que
la somme des degrés de tous les sommets est le double du nombre d'arêtes.
De plus, visiter le musée en empruntant chaque porte une fois et une seule c'est déterminer une
chaîne eulérienne du graphe ,c'est-à-dire une chaîne qui contient une et une seule fois chaque
arête du graphe.
Or ce graphe est connexe car entre 2 sommets quelconques , il existe une chaîne qui les relie.
Or d'après le théorème d'Euler, un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si et seulement
si le nombre de sommets de degré impair vaut 0 ou 2.
Or ici le nombre de sommets de degré impair est 6 donc il est impossible de visiter le musée en
empruntant chaque porte une fois et une seule
3°) On cherche ici le nombre chromatique du graphe c'est-à-dire le plus petit nombre de couleurs
permettant de le colorer.
On voit bien sur le dessin ci-dessus qu'il est nécessaire d'avoir 3 couleurs minimum.
Comme il existe au moins un sous graphe complet d'ordre 3 par exemple S - A - D , donc 3
couleurs sont suffisantes.
Le nombre chromatique est donc 3
II - On note M la matrice à 9 lignes et 9 colonnes associée au graphe précédent, en convenant de
l'ordre suivant des salles : S, A, B, C, D, E, F, G, H.
Le graphe n'étant pas orienté, la matrice M sera une matrice symétrique.
III - On donne la matrice
18 12 11 02 20 12 06 12 12
12 20 03 06 11 20 05 18 05
11 03 16 00 19 03 08 04 12
02 06 00 03 01 07 01 04 01
4
20 11 19 01 31 09 11 12 19
M =
12 20 03 07 09 28 09 20 09
06 05 08 01 11 09 09 08 09
12 18 04 04 12 20 08 20 06
12 05 12 01 19 09 09 06 17












4
Le terme a i,j de la matrice M indique le nombre de chaînes de longueur 4 reliant le sommet i au
sommet j donc
1°) le nombre de chemins qui en 4 étapes partent de D et reviennent à D est a 4,4 = 31
2°) le nombre de chemins qui en 4 étapes partent de S et reviennent à C est a 1,4 = 2
Ces 2 chemins sont SDABC et SDEBC
3°) Il n'est pas toujours possible de joindre en 4 étapes deux salles quelconques . C'est le cas
des salles B et C car a 3,4 = 0.
Problème (commun à tous les candidats) (10 points)
Le but du problème est la recherche du meilleur moment de revente d'une machine-outil en
tenant compte de sa valeur marchande ainsi que du coût de son entretien.
On étudie dans la partie A, deux fonctions qui contribuent à la résolution du problème traité
dans les parties B et C.
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A : Etude de fonctions.
+
1°) Soit la fonction f définie sur Y par f(x) = 10 - 10 e
-0,2 x
0,5x
+e
a) Calculer la limite de f en + ∞
Quand x tend vers + ∞ alors -0,2 x tend vers - ∞ Or quand X tend vers - ∞ , exp(X) tend vers 0
-0,2 x
tend vers 0
donc e
Quand x tend vers + ∞ 0,5 x tend vers + ∞ Or quand X tend vers + ∞ , exp(X) tend vers + ∞ donc
0,5 x
tend vers + ∞
e
Donc quand x tend vers + ∞ alors f(x) tend vers + ∞
+
b) Etudier les variations de la fonction f sur Y et dresser son tableau de variation.
Préciser les limites en 0 et en + ∞
+
+
f est dérivable sur Y et pour tout x de Y
on a f'(x) = -10 (-0,2) e
-0,2 x
0,5x
+ 0,5 e
=2e
Comme pour tout réel X exp(X) > 0 donc e
-0,2 x
-0,2 x
0,5x
+ 0,5 e
0,5x
> 0 et e
+
> 0 donc 2 e
-0,2 x
0,5x
+ 0,5 e
> 0 donc
f'(x) > 0 donc f est strictement croissante sur Y
Quand x tend vers 0 alors -0,2 x tend vers 0 Or quand X tend vers 0 , exp(X) tend vers 1 donc
e
-0,2 x
tend vers 1
Quand x tend vers 0, 0,5 x tend vers 0 Or quand X tend vers 0 , exp(X) tend vers 1 donc e
x
0
+∞
tend vers 1
Donc f(x) tend vers 10 - 10 + 1 f'(x)
c'est-à-dire 1. +
+∞
f(x)
1
2°) Soit la fonction g définie sur ] 0 ; + ∞ [ par g(x) = f(x)/x
On donne une partie de la courbe représentative de la fonction g' dérivée de la fonction g.
0,5 x
Soit A le point d'intersection de cette courbe avec l'axe des abscisses. On prendra 2,5 comme
valeur approchée de l'abscisse de A.
Comme le suggère le graphique, on admet que la fonction g' reste négative entre 0 et 2,5.
a) En utilisant ce graphique , on peut déterminer les variations de la fonction g sur l'intervalle
]0;8]:
x 0
g'(x)
2,5
-
8
+
g(x)
b) On en déduit une valeur approchée du minimum de la fonction g sur l'intervalle ] 0 ; 8 ]
f(2,5) 7,42
C'est g(2,5) =
≈
≈ 2,97
2,5
2,5
Partie B : Dépréciation d'un matériel
Toutes les valeurs marchandes sont exprimées en milliers d'euros , et on suppose raisonnable de
négliger les variations monétaires.
Une machine-outil achetée neuve, coûte 10 milliers d'euros. Au bout d'un an, son prix de revente
a diminué de 18 % et on admet qu'il en est ainsi chaque année.
1°) Soit v0 = 10 000 €. Soit vn le prix de revente de la machine au bout de n années, en milliers
d'euros .Au bout de la première année le prix de revente v1 = 0,82 * v0
2
Au bout de la deuxième année le prix de revente v2 = 0,82 * v1 = (0,82) * v0
3
Au bout de la troisième année le prix de revente est v3 = 0,82* v2 = (0,82) * v0
3
v3 = (0,82) * 10 ≈ 5,514 milliers d'€
n
n
2°) a) Par récurrence , on démontre que vn = (0,82) * v0 = 10 (0,82)
a) le prix de revente de la machine sera inférieur ou égal à 1,5 millier d'euros.
n
n
n
⇔ 10 (0,82) ≤ 1,5 ⇔ (0,82) ≤ 0,15 ⇔ ln (0,82) ≤ ln(0,15) car ln est croissante
ln(0,15)
⇔ n ln (0,82) ≤ ln(0,15) ⇔ n ≥
car ln(0,82) < 0 car 0 < 0,82 < 1
ln(0,82)
ln(0,15)
Or
≈ 9,55 donc n = 10 est le nombre d'années à partir duquel le prix de revente
ln(0,82)
de la machine sera inférieur ou égal à 1,5 millier d'€
-0,2x
3°) Soit k la fonction définie sur [ 0 ; 8 ] par k(x) = 10 e
-0,2x
a) I = ⌡
⌠ 5 k(x) dx = ⌡
⌠ 5 10 e
0
0
-0,2x
dx = 10 ⌡
⌠5 e
0
5
. On note I =⌠
⌡ k(x) dx
0
1
1
-0,2x 5
dx = 10 [ -(
)e
]0= 50 ( 1 - )
0,2
e
I ≈ 31,60 donc à l'unité la plus proche I ≈ 32
b) Comme on admet que k(n) est une bonne approximation de vn pendant les 8 premières années.
donc la valeur moyenne du prix de revente de la machine sur 5 années d'utilisation est :
32
1 5
k(x) dx c'est-à-dire
≈ 6,4 milliers d'€
⌠
⌡
0
5
5
Partie C : Coût total d'un matériel.
La machine-outil a un coût d'entretien. On estime qu'il peut être calculé par la fonction E définie
0,5 x
où x désigne l'âge de la machine en années.
sur [ 0 ; 8 ] par E(x) = e
1°) Le coût total d'utilisation de la machine-outil en fonction de son âge, exprimé en milliers
d'euros, est défini sur ( 0 ; 8 ] par la formule :
prix d'achat de la machine - prix de revente vn - coût d'entretien.
Or vn est approximé par k(x) sur [0;8]
-0,2 x
0,5x
= f(x)
coût total
f(x)
2°) Le coût moyen par année d'utilisation =
=
= g(x).
nombre d'années d'utilisation
x
Donc le meilleur moment pour revendre la machine est la valeur de x qui rend g minimum
c'est-à-dire 2,5 années.
donc le coût total = 10 - 10 e
+ e
THAT'S ALL FOLKS !!!