Exercice 1 - Calcul de la VaR d`une obligation

Exercice 1 du cours Management Bancaire : « Calcul de la VaR d’une obligation » L’une des préoccupations des gestionnaires des risques dans les banques est de prendre en compte les caractéristiques des portefeuilles comme la non­linéarité de la valeur des portefeuilles par rapport aux facteurs de risques retenus. Cet exercice aborde le calcul de la VaR d’une obligation en tenant compte de la convexité du prix de l’obligation par rapport au taux de rendement (considéré comme le seul facteur de risque). I. Problématique La Direction des Risques de Marché (DRM) d’une grande banque doit calculer la VaR sur ses portefeuilles obligataires afin de fixer des limites de risque en terme de VaR pour les opérationnels, d’évaluer l’activité sur la base des fonds propres économiques alloués et de calculer les fonds propres réglementaires pour couvrir les risques de marché associés. La DRM étudie différentes méthodes pour calculer la VaR du produit de base : une obligation à taux fixe. II. Modélisation du pr ix d’une obligation A) Prix d’une obligation Le prix d’une obligation à la date 0, noté P 0, peut se calculer comme la valeur de ses flux futurs (F t)t=1 à T actualisés au taux r :
T F t . t t =1 (1 + r ) P0 = å
où les dates t représentent les dates de paiement des intérêts et de remboursement du capital et T la maturité de l’obligation. Le taux r correspond au taux de rendement jusqu’à maturité de l’obligation (yield to maturity). Ce taux représente aussi le taux de rendement interne de la séquence de flux de l’obligation. B) Approximation au premier ordre et duration La duration (encore appelée duration de Macauley) est définie comme la moyenne des dates de paiement des flux de l’obligation pondérée par le montant du paiement:
F t t T 1 + r ) (
D = å t ×
. P 0 t = 1 La duration mesure la dimension temporelle de l’obligation en prenant en compte tous les flux qui interviennent. Elle s’interprète comme la maturité effective de l’obligation.
© François Longin www.longin.fr La duration mesure aussi la sensibilité du prix de l’obligation au taux de rendement comme le montre la formule suivante : dP
P = - D . dr 1 + r La duration est parfois remplacée par la duration modifiée D* définie par D . 1 + r D * = Ce modèle simple peut être utilisé pour calculer la variation du prix de l’obligation en fonction du taux de rendement r qui joue le rôle de facteur de risque. La variation du prix de l’obligation est en première approximation une fonction linéaire du taux de rendement : dP = - P × D * × dr . L’utilisation du taux de rendement et de la duration n’est compatible qu’avec un processus d’évolution de la courbe des taux d’intérêt bien spécifique. Comme les flux à une date quelconque sont actualisés avec le même taux, cela suppose une courbe des taux plate. Une variation du taux identique pour toutes les maturités implique que le mouvement de la courbe des taux est parallèle. De plus, comme le calcul de la duration est fondé sur une approximation au premier ordre de la relation entre la valeur de l’obligation et la valeur du taux, la duration n’est utilisable que pour des mouvements de taux de faible amplitude. C) Approximation au deuxième ordre et convexité Pour obtenir une meilleure approximation du prix de l’obligation, il faut aller jusqu’au deuxième ordre du développement de Taylor :
dP 1 dP 1 d 2 P » dr +
(dr )2 = - D * × dr + 1 C × (dr ) 2 . 2 P P dr 2 P dr 2 où la convexité C est définie par
F t (1 + r ) t . 1 d P 1 C =
=
t ×
t +
1 ×
(
)
å
P dr 2 (1 + r ) 2 t = 1 P 0 2 T La variation de prix peut alors s’exprimer comme suit æ
è
1 2 ö
ø
dP » - P × ç D * - C × dr ÷ × dr . Quand la variation du taux est faible, le terme de convexité peut être ignoré. La convexité entraîne une diminution de la duration suite à une hausse des taux, et inversement, une augmentation de la duration suite à une baisse des taux.
© François Longin www.longin.fr III. Méthodologie de calcul de la VaR A) Processus de taux Pour modéliser l’évolution du taux d’intérêt (taux de rendement jusqu’à maturité), la DRM envisage de supposer que le taux d’intérêt futur est distribué selon une loi normale. La dynamique du taux sous la probabilité historique est alors donnée par le processus suivant : drt = m × dt + s × dW t où m représente la tendance instantanée, s la volatilité instantanée et W un mouvement brownien standard. Les paramètres m et s sont supposés constants au cours du temps. D’après l’équation ci­dessus, la variation du taux entre la date t et la date t+Dt, notée Dr t, est calculée comme suit
Drt = r t + Dt - r t = m × Dt + s × (W t +Dt - W t ). B) Méthodes pour la VaR La DRM a retenu trois méthodes pour calculer la VaR. La première méthode, appelée « exact normal », calcule la distribution exacte de la variation du prix de l’obligation à l’aide de simulations de Monte Carlo. La deuxième méthode, appelée « duration normal », suppose une relation linéaire entre la variation du prix de l’obligation et la variation du taux (approximation au premier ordre). La troisième méthode, appelée « duration convexity normal », suppose une relation non­linéaire entre la variation du prix de l’obligation et la variation du taux (approximation au deuxième ordre). Pour les trois méthodes, il est supposé que le taux d’intérêt futur est distribué selon une loi normale. C) Mise en oeuvre Afin d’avoir un panorama des résultats, la DRM considère deux obligations (l’une de maturité courte, l’autre de maturité longue) et différentes valeurs pour les paramètres de la VaR. Les caractéristiques des obligations sont les suivantes : ­ Nominal N : 100 € (l’obligation est émise et remboursée au pair) ­ Taux facial Tf : 10% (le coupon est versé annuellement) ­ Maturité T : 5 ans (pour l’obligation de courte maturité) et 10 ans (pour l’obligation de longue maturité) ­ Nature de la position : longue (achat de l’obligation) et courte (vente à terme de l’obligation) ­ Taux de rendement r : 10% (taux observé à la date de calcul de la VaR). Les valeurs des paramètres utilisés pour calculer la VaR sont les suivantes : ­ Horizon H : 1 jour et 10 jours (il s’agit de jours ouvrés, une année comptant 250 jours ouvrés) ­ Seuil de probabilité p : 95%, 99% et 99,9%.
© François Longin www.longin.fr Pour l’estimation des paramètres du modèle de taux (moyenne m et écart­type s), la DRM a construit une base de données journalières de prix et de taux de rendement d’obligations zéro­ coupons de maturité 4 ans et 7 ans (une obligation zéro­coupon est une obligation ne versant pas de coupon intermédiaire). IV. Questions Pour la présentation des résultats, on pourra utiliser les tableaux de l’Annexe 1. A) Etude du prix d’une obligation Question 1 : calculer numériquement la duration et la convexité de l’obligation de courte maturité (5 ans) et de l’obligation de longue maturité (10 ans). Question 2 : représenter graphiquement la valeur exacte d’une obligation en fonction du taux de rendement (pour des valeurs allant de 0% à 20%). On représentera aussi sur le graphique les approximations au premier ordre (utilisation de la duration) et au deuxième ordre (utilisation de la duration et de la convexité). On fera des graphiques séparés pour l’obligation de courte maturité et l’obligation de longue maturité. Laquelle des deux obligations est la plus sensible à une variation du taux de rendement ? Question 3 : déterminer sur quel intervalle de taux les approximations au premier ordre et au deuxième ordre sont valides avec une erreur maximale de 0,5% et de 1%. On pourra se contenter de valeurs approchées pour la borne inférieure et la borne supérieure des intervalles obtenues à partir de la question précédente mais on pourra aussi calculer les valeurs exactes en résolvant les équations associées. B) Calcul de la VaR d’une obligation Dans cette partie, on s’intéresse au calcul de la VaR d’une obligation et en particulier à l’impact des approximations du 1 er ordre et du 2 ème ordre sur la VaR. On considère uniquement un processus de taux normal. Les paramètres m et s du processus seront estimés directement à partir de la base de données fournies. Question 4 : calculer numériquement la VaR de l’obligation par la méthode « exact normal » en effectuant des simulations de Monte Carlo (voir l’Annexe 2 pour l’utilisation d’outils de simulation avec un tableur). On réfléchira au nombre de simulations à effectuer. Représenter graphiquement la distribution statistique de la variation du prix de l’obligation. On indiquera sur le graphique la VaR pour les différents seuils de probabilité considérés. Question 5 : calculer formellement la VaR d’une obligation par la méthode « duration normal ». Pour le prix futur de l’obligation, on tiendra aussi compte du passage du temps. Représenter graphiquement la distribution statistique de la variation du prix de l’obligation. On indiquera sur le graphique la VaR pour les différents seuils de probabilité considérés.
© François Longin www.longin.fr Question 6 (facultative) : calculer numériquement la VaR de l’obligation par la méthode « duration­convexity normal ». On décomposera la variation de prix d’une obligation sous la forme :
D P = a × (W + b ) + c 2 où a , b et c sont trois paramètres que l’on identifiera (a >0 et b>0) et W une variable aléatoire distribuée d’après une loi normale centrée réduite. On étudiera la distribution statistique de cette variable aléatoire. C) Risques de modèle Question 7 : indiquer quels sont les risques de modèle liés aux méthodes précédentes. V. Référ ences A) Méthode de calcul de la VaR Crouhy M., D. Galai et R. Mark (2001) “Risk Management” McGraw Hill, Chapitre 5 “Measuring Market Risk: The VaR Approach”. Jorion Ph. (1997) “Value at Risk” Irwin, Chapitre 5 “Measuring Value at Risk”. Hull J.C. (2003) “Options, Futures, and Other Derivatives” Prentice Hall, Chapitre 5 “Interest Rate Markets”. Longin F. (2000) “From VaR to Stress Testing: The Extreme Value Approach,” Journal of Banking and Finance, 24, 1097­1130. B) Réglementation bancaire française Comité de Réglementation Bancaire et Financière, Règlement n°95­02 du 21 juillet 1995 relatif à la surveillance prudentielle des risque de marchés (remplacé par le règlement n°99­01 du 21 juin 1999). C) Sites utiles www.commission­bancaire.org: site de la Commission Bancaire (service de la Banque de France chargé de la surveillance des banques en France). www.bis.org: site de la Banque des Règlements Internationaux (BRI) présentant des textes réglementaires officiels ainsi que des études. www.gloriamundi.org: site de ressources sur la VaR. www.longin.fr: aller dans la partie réservée au cours « Management bancaire » / « Bank management » pour télécharger le fichier de données de prix et de taux de rendement d’obligations zéro­coupon.
© François Longin www.longin.fr Annexe 1 Pr ésentation des r ésultats Table 1A. VaR d’une obligation de courte maturité (position longue). Paramètres de la VaR Méthodes de calcul de VaR 1 jour 95% 99% 10 jours 99,9% 95% 99% 99,9% Exact normal Duration normal Duration­convexity normal Table 1B. VaR d’une obligation de courte maturité (position courte). Paramètres de la VaR Méthodes de calcul de VaR 1 jour 95% 99% 10 jours 99,9% 95% 99% 99,9% Exact normal Duration normal Duration­convexity normal Table 2A. VaR d’une obligation de longue maturité (positon longue). Paramètres de la VaR Méthodes de calcul de VaR 1 jour 95% 99% 10 jours 99,9% 95% 99% 99,9% Exact normal Duration normal Duration­convexity normal Table 2B. VaR d’une obligation de longue maturité (positon courte). Paramètres de la VaR Méthodes de calcul de VaR 1 jour 95% 99% 10 jours 99,9% 95% 99% 99,9% Exact normal Duration normal Duration­convexity normal
© François Longin www.longin.fr Annexe 2 Simulation de var iables aléatoir es La variation du taux de rendement entre la date t et la date t+Dt, notée Dr t, est calculée comme suit Dr t = r t +Dt - r t = m × Dt + s × Dt × W . où Dt est un intervalle de temps donné (disons une année) et W une variable aléatoire distribuée selon une loi normale standardisée (avec une moyenne égale à 0 et un écart­type égal à 1). Utilisation du générateur de nombres aléatoires tirés d’une loi uniforme (macro) Sous Excel, un simulateur de nombres aléatoires se trouve dans la macro complémentaire « Analyse de données » / « Data analysis ». Pour accéder à cette macro, cliquer sur « Outils » / « Tools » dans la barre de menu du haut, puis sur « Analyse de données » et enfin sur « Simulateur de nombres aléatoires » / « Random Number Generation ». Si la macro complémentaire « Analyse de données » / « Data analysis » n’est pas activée, cliquer sur « Outils » / « Tools », puis sur « Macros complémentaires » / « Additional macro » et cocher la case devant « Analyse des données » / « Data analysis ».
Entrer le nombre de variables (1 dans le cas présent), le nombre de nombres aléatoires (à définir), le type de distribution (« Normal »), les valeurs des paramètres de la loi normale (moyenne et écart­type à définir) et la plage de données. Utilisation du générateur de nombres aléatoires tirés d’une loi uniforme (fonction) A défaut, il est toujours possible d’utiliser le simulateur de base qui donne des nombres aléatoires tirées d’une loi uniforme. Sous Excel, cliquer sur « Insertion » dans le menu du haut, puis sur « Fonctions » et sélectionner la fonction « Aléa ». Des nombres aléatoires tirés d’une loi normale peuvent ensuite être obtenus à partir de nombres aléatoires tirés d’une loi uniforme avec la transformation suivante :
W1 = - 2 × ln (U 1 ) × cos (2 × p × U 2 ) W2 = - 2 × ln (U 1 ) × sin (2 × p × U 2 ) où W1 et W2 sont des nombres aléatoires tirés d’une loi normale et U1 et U2 des nombres aléatoires tirés d’une loi uniforme.
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