Homomorphisme entre SU(2) et SO(3)

Homomorphisme entre SU (2) et SO (3)
On montre dans ce document qu’il existe un homomorphisme entre les
groupes SU (2) et SO (3). La preuve se base sur la représentation adjointe
du groupe SO (2) et de son algèbre.
Soit le groupe SU (2) = { g ∈ GL(2, C)| g g† = 1, det g = 1} et son algèbre
su(2) = { X ∈ M (2, C)| X = X † , tr X = 0}, et le groupe SO (3) = { g ∈ GL(3, R)| g g T =
1, det g = 1} avec son algèbre so(3) = { X ∈ M (3, R)| X = − X † }. Nous considérons que les générateurs des algèbres portent des i afin d’avoir les définitions données ici.
Les deux algèbres que l’on considère peuvent être écrites comme un espace vectoriel réel si l’on prend les bon générateurs. On pose ( Ji )m n = − i ε imn
et σ i les matrices de Pauli. On arrive à
so(3) = span( J1 , J2 , J3 )
su(2) = span (σ1 , σ2 , σ3 ) .
©1
On choisira 2 σ i comme base de su(2) et { Ji } comme base de so(3). Le
groupe SO (3) est un groupe compact et connexe et le groupe SU (2) est simplement connexe. On sait donc que
ª
i1
2 σi
∀ g ∈ SU (2)
∃(α1 , α2 , α3 ) ∈ R3
t.q.
g = e iα
∀ h ∈ SO (3)
∃(β1 , β2 , β3 ) ∈ R3
t.q.
h = e iβ
et
i
Ji
(1)
.
Intéressons nous à la représentation adjointe de su(2) :
µ
¶ ·
¸
1
1
1
1
ad 1 σ i σ j = σ i , σ j = i ε i jk σk .
2
2
2
2
2
©1 ª
En terme matriciel, dans la base 2 σ i , on a ainsi
³
´
= i ε i jk .
ad 1 σ i
2
kj
En notant ad 1 σ i la matrice représentant l’opérateur ad 1 σ i dans la base
2
2
©1 ª
σ
de
su
(2),
il
vient
i
2
´
³
j
ad 1 σ i
= i ε ik j = − i ε i jk = ( Ji ) k ∀ j, k =⇒ ad 1 σ i = Ji
(2)
2
jk
Daniel FARQUET
2
EPFL - Physique
2
Soit¡ U ∈ SU (2).
¢ En vertu de (1), on peux toujours écrire que U = U (δ, n) =
exp − i δ2 n i σ i avec n ∈ R3 tel que ||n|| = 1 et δ ∈ R. En écrivant la représentation adjointe de cet élément U, et en utilisant l’égalité Ad e tX = e tad X , on
trouve
AdU = Adexp³− i δ n i σ ´ = e
− i δad 1 n i σ
2
i
2
i
=e
− i δ n i ad 1 σ
2 i
,
où on a utilisé la linéarité de ad X . En notant AdU pour préciser que l’opérateur AdU est vu comme une matrice, la relation (2) mène alors à
AdU = e− iδn
i
Ji
∈ SO (3).
On voit donc, avec cette représentation, que l’adjoint d’un élément U de
SU (2) est un élément de SO (3). Il est alors clair que la représentation adjointe de SU (2) correspond à la représentation fondamentale de SO (3). Mais
nous avons montré mieux que ça. On a exhibé un homomorphisme entre
SU (2) et SO (3). En effet, l’application φ définit par
φ :
SU (2)
U=e
− i δ2 n i σ i
SO (3)
→
7→ φ(U ) = AdU = e− iδn
i
Ji
est un homomorphisme car AdU1U2 = AdU1 AdU2 et donc φ(U1U2 ) = φ(U1 )φ(U2 ).
Remarquons également qu’avec notre notation, φ(U (δ, n)) représente une
rotation d’angle δ autour de la direction n ∈ R3 . Cette constatation montre
que notre homomorphisme n’est pas injectif car φ(U (2π, n)) = φ(U (4π, n)),
mais il est par contre surjectif. Poussons plus loin cette analyse. On sait que
δ
U (δ, n) = e− i 2 n·σ = 1 cos
δ
δ
− i (n · σ) sin ,
2
2
ce qui implique que U (2 mπ, n) = (−1)m 1 = ±1. Mais, d’un autre côté, on sait
que φ(U (2 mπ, n)) = 1. Le noyau de l’application φ, i.e. l’ensemble des éléments envoyé sur l’identité, est donc kerφ = Z2 = {−1, 1}. Le théorème d’isomorphisme stipule que si deux groupes G et G 0 sont reliés par un homomorphisme f , alors cet homomorphisme induit un isomorphisme de G /ker f
vers f (G ). L’application φ étant surjective, on a φ(SU (2)) = SO (3) et on peut
conclure que
SO (3) ' SU (2)/Z2 .
Daniel FARQUET
EPFL - Physique