Pronostic à base de modèles

Pronostic à base de modèles
Estimation du comportement de la dégradation pour le
pronostic à base de modèles
David Gucik-Derigny
Laboratoire des Sciences de l’Information et des Systèmes, LSIS
UMR CNRS 6168, Université Paul Cézanne Aix-Marseille III
Domaine universitaire de Saint Jérôme, 13397 Marseille Cedex 20, France
[email protected]
RÉSUMÉ. Dans ce papier, les définitions préliminaires de la dégradation et du pronostic de dégra-
dation seront données. La définition du pronostic de dégradation sera traduite en une définition
mathématique. La principale contribution fut d’introduire une méthodologie de pronostic à base
de modèle pour reconstruire les dynamiques de l’accumulation de l’état de dégradation d’un
système seulement avec les mesures d’entrées sorties. La méthodologie est basée essentiellement sur le fait que la dégradation sera ramenée à une entrée inconnue. L’état sera reconstruit
exactement en un temps fini prédéfini en utilisant un observateur à entrée inconnue. Une expression de l’entrée inconnue contenant l’information de l’état de dégradation cumulée sera
estimée. Puis, l’estimation de l’état de dégradation est ramenée à un problème d’inversion. Finalement, un processus d’identification est conçu pour identifier les dynamiques reconstruites
de l’état de dégradation cumulée avec une classe de modèles non linéaires de dégradation.
ABSTRACT. In this paper,
preliminary definitions on damage and damage prognosis will be given.
A damage prognosis definition will be translated into a mathematical definition. The main
contribution is to introduce a model-based prognosis methodology for reconstructing dynamics
of cumulative damage state with only inputs and outputs measurements. The methodology is
based essentially on the fact that damage will be lead back to an unknown input. The state will
be reconstructed exactly in a predefined finite-time using a finite time unknown input observer.
An expression of unknown input containing cumulative damage state information will be estimated. Then damage state estimation becomes an inverse problem. Finally, an identification
process is designed to identify reconstructed dynamics of cumulative damage state with a class
of nonlinear damage models.
MOTS-CLÉS : observateurs, processus d’estimation des paramètres, dégradation, processus d’identification, méthodes prédictives.
KEYWORDS:
methods.
observers, process parameter estimation, damage, process identification, predictive
1. Introduction
Le réel besoin d’augmenter un peu plus la disponibilité des systèmes sans compromettre la sécurité de ces derniers est, de nos jours, un champ de recherche très
actif. Les outils de maintenance conditionnelle (MC) pour augmenter la rentabilité en
réduisant les coûts de maintenance, les coûts logistiques et en optimisant les coûts liés
aux cycles de vie nécessitent d’être repensés. Par le passé, les stratégies de maintenance basées sur le diagnostic étaient utilisées pour faciliter la maintenance corrective
en détectant, en localisant et en identifiant les défauts sur un système. De nos jours,
la Gestion du Pronostic de Santé (GPS) tente de développer des méthodologies de
pronostic de dégradation afin d’estimer les dynamiques de l’état de dégradation d’un
système ainsi que de prédire le Temps de Vie Restant (TVR). Pour cela, une classe de
modèle générale classique est utilisée :

χ̇ = f (χ, u)



y = h(χ, u)
(1)
χ ∈ ν, u ∈ U, y ∈ δ



f (., .) : ν × U → ν, y(., .) : ν × U → δ
T
χ = [x, φ] est associé à l’état x et à la dégradation φ. f est une fonction qui est
au moins de classe C 1 . ν est un ensemble ouvert de Rn , U est un ensemble ouvert
de Rm caractérisant les conditions environnementales et de charge. δ est un ensemble
ouvert de Rp . t ∈ R+ est la variable de temps.
Dans le but de décrire le comportement de ce système, une sous-classe du modèle
(1) utilisée dans [Luo et al.(2003)] retiendra notre attention :

 ẋ = f (x, λ(φ), u), x(t0 ) = x0
(2)
φ̇ = ǫg(x, φ), φ(t0 ) = φ0

y = h(x, φ, u)
où x ∈ Rn est un ensemble d’états associés à un comportement à dynamique rapide. λ ∈ Rr est le vecteur des paramètres, une fonction de φ. φ ∈ Rq est l’ensemble
des états de dégradation associés à une dynamique lente. u ∈ Rm est le vecteur composé des conditions environnementales et de sollicitation. Le ratio de séparation de
l’échelle de temps entre les dynamiques rapide et lente est décrit par 0 < ǫ ≪ 1.
y ∈ Rp est le vecteur des sorties. La dégradation est un processsus considéré comme
thermodynamiquement irréversible, c’est pourquoi φ̇ = ǫg(x, φ) ≥ 0. f, g, h sont
supposées comme étant des fonctions continûment différentiables de leurs arguments
x, φ, u.
La principale contribution de ce papier fut d’introduire une méthodologie de pronostic à base de modèles pour reconstruire les dynamiques de l’accumulation de l’état
de dégradation, seulement à partir de la connaissance des mesures d’entrées et de
sorties du système. La méthodologie est basée essentiellement sur le fait que la dégradation sera ramenée à une entrée inconnue. L’état sera reconstruit exactement en
2
un temps fini, prédéfini par l’utilisateur, en utilisant un observateur à entrée inconnue à convergence en temps fini [Raff et al.(2006)]. Une expression de l’entrée inconnue contenant l’information de l’accumulation de la dégradation sera reconstruite
[Hou et al.(1992)]. Puis, l’estimation de l’état de dégradation est ramenée à un simple
problème d’inversion. Enfin, un processus d’identification est conçu pour identifier
les dynamiques reconstruites de l’état de dégradation accumulée avec une classe de
modèles non linéaires de dégradation.
Le papier est organisé comme suit. La section 2 présente les définitions préliminaires. La section 3 explique la méthodologie du pronostic de dégradation pour évaluer l’état de dégradation cumulée ainsi que sa dynamique. La section 4 illustre la
pertinence de la méthodologie de pronostic obtenue sur un exemple académique de
suspension de véhicule. La section 5 conclut le papier avec un résumé et les perspectives de recherches futures.
2. Définitions préliminaires
2.1. Définitions de la dégradation et du pronostic à base de dégradation
La dégradation est définie comme un processus d’altération causé par des changements dans les propriétés structurelles propres au système, qui affecte les performances présentes et futures de manière irréversible. Le processus d’altération est dépendant des conditions environnementales et de sollicitation du système. La dégradation est synonyme de perte de fonctionnalité lorsqu’elle atteint un seuil critique. La diversité des définitions de pronostic de dégradation dans la littérature [Goh et al.(2006)]
nous a invité à proposer une nouvelle définition qui regroupe une majeur partie de
celles proposées dans la littérature. Le pronostic consiste à prédire la dégradation sur
un horizon de temps fini ainsi que le Temps de Vie Restant (TVR) d’un système avant
que des défaillances n’apparaissent.
2.2. Concept mathématique du pronostic
Le but de cette sous-section est de définir le concept mathématique de pronostic
pour un système contrôlé défini en (1). Soit T1 ≥ 0 un temps fini arbitraire et ϕ(t, t0 ,
χ0 , u(.)) : [t0 , T1 ] → ν est solution de (1) sur un horizon de temps fini. A ⊂ ν est
un ensemble d’états admissibles, B ⊂ ν est un ensemble d’états inadmissibles (le
système ne peut assurer les fonctions avec un niveau de performance pour lequel il a
été conçu). Le pronostic peut-être ramené à un concept d’atteignabilité connu dans la
littérature scientifique. L’atteignabilité est définie par
reach(τ1 , B) = {χ0 ∈ ν|∃u(.) ∈ U, ∃τ1 ∈ [t0 , T1 ] ,
ϕ(τ1 , t0 , χ0 , u(.)) ∈ B}
(3)
ψTU1 (A) = {ϕu (τ1 , t0 , χ0 , u), 0 ≤ τ1 ≤ T1 , u ∈ U, χ0 ∈ A}
(4)
et
3
Le concept de pronostic est associé à :
Un critère géométrique : B est dit atteignable à partir de A si et seulement si
ψTU1 (A) ∩ B 6= ∅
(5)
Un critère temporel : Si B est dit atteignable à partir de A, le Temps Avant Défaillance
(TAD) est
τ1 = Inf (ψTU1 (A) ∩ B 6= ∅)
(6)
T1 ∈R+
3. Principaux résultats
Au regard du peu de moyens existant sur le marché pour mesurer la dégradation
directement à partir de capteurs sur les systèmes physiques, l’idée développée ici est
d’introduire une méthodologie de reconstruction de l’état de dégradation cumulée et
de sa dynamique avec un observateur à entrée inconnue à convergence en temps fini.
3.1. Observateur à entrée inconnue pour le pronostic de dégradation
Hypothèse 1 : La fonction de sortie C n’est pas une fonction de l’état de dégradation.
Considérons un sous-ensemble de classe de modèles de (2) :
ẋ = A(φ)x + B(φ)u
y = Cx
(7)
x ∈ Rn , y ∈ Rp , u ∈ Rm , φ ∈ Rq et les matrices A, B, C sont définies avec des
dimensions appropriées.
Hypothèse 2 : Les changements causés par la dégradation dans les propriétés structurelles sont supposés être modélisés de manière linéaire comme suit :
q
q
X
X
A(φ) = A0 +
Ai φi , B(φ) = B0 +
Bi φi
(8)
i=1
i=1
En remplaçant (8) dans (7) et en considérant l’hypothèse 2, on aboutit à :
ẋ = A0 x + B0 + ∆(x, u, φ)
y = Cx
(9)
Hypothèse 3 : Il est supposé que rang(D) ≤ p. De plus, il existe D tel que
rang(D) = q ≤ p et ∆ = D∆1 .
ẋ = A0 x + B0 u + D∆1 (x, u, φ)
(10)
y = Cx
Dans le but de concevoir un observateur pour des systèmes linéaires, la méthodologie développée dans [Hou et al.(1992)] est utilisée.Soit T une
matrice de transformation non singulière d’état x = T x telle que T = N D1 with N ∈ Mn,(n−q) ,
4
⊥
D1 ∈ Mn,q , D1 ∈ span {Di , i = 1...n}, N = span {Di , i = 1...n} , Di (i = 1...n)
représente les vecteurs colonnes de la matrice D. En appliquant la transformation
d’état T ,
ẋ = A0 x + B 0 u + T −1 D∆1 (x, u, φ)
(11)
y = Cx
avec les matrices définies de la manière suivante
A11 A12
B1
, B 0 = T −1 B =
, C = CT
A0 = T −1 A0 T =
A21 A22
B2
Le vecteur d’état est décomposé en deux parties, une partie x1 qui n’est pas affectée
T
par la dégradation et une autre partie x2 affectée par la dégradation. x = x1 , x2 ,
x1 ∈ Rn−q ,x2 ∈ Rq .
Soit une matrice de transformation non singulière P −1 pour les opérations sur la
colonne de D et rang(P ) = n tel quel
ẋ = A0 x + B 0 u + T −1 DP −1 P ∆1 (x, u, φ)
(12)
y = Cx
avec
0n−q,n−q
0q,n−q
Dv(x, u, φ) = P ∆1 (x, u, φ)
D = T −1 DP −1 =
0n−q,q
Iq,q
Le système (12) peut s’écrire de la forme suivante
ẋ = A0 x + B 0 u + Dv(x, u, φ)
y = Cx
(13)
Hypothèse 4 : Une transformation sur la sortie est réalisée sous l’hypothèse que la
matrice CD1 soit de rang plein colonne.
y , y 2 = U −1 y avec les matrices
En utilisant la transformation desortie
y= 1
U
suivantes U = CD1 Q , U −1 = 1 et les matrices Q ∈ Mp,(p−q) , U1 ∈ Mq,p ,
U2
U2 ∈ Mp−q,p . Il s’en suit que
y 1 = U1 y = U1 CN x1 + x2
(14)
y 2 = U2 y = U2 CN x1
(15)
En utilisant l’expression (14), l’expression suivante peut-être déduite
x2 = U1 y − U1 CN x1
(16)
En remplaçant (16) dans (13), et en utilisant l’expression de sortie (15) qui n’intègre
pas le comportement de la dégradation et en conservant seulement x1 l’état du (13) ;
le système transformé obtenu est écrit comme
ẋ1 = Ã1 x1 + B 1 u + E1 y
(17)
y 2 = C˜1 x1
5
avec les matrices suivantes définies comme
Ã1 = A11 − A12 U1 CN
E1 = A12 U1
C˜1 = U2 CN
o
n
Si la paire Ã1 , C̃1 est observable ou détectable, on peut concevoir un observateur
d’ordre réduit afin de reconstruire une partie du vecteur d’état non affectée par la
dégradation en utilisant la procédure conventionnelle des observateurs de Luenberger.
x̂˙ 1 = (Ã1 − LC̃1 )x̂1 + B 1 u + (LU2 + E1 )y
(18)
Avec l’expression (16) et en se souvenant que la transformation d’état T a été
appliquée dans l’expression de (11), le vecteur d’état est défini comme
x̂1
x̂ = T
(19)
U1 y(t) − U1 CN x̂1
Théorème 1 : [Hou et al.(1992)] : L’observateur à entrée inconnue (18) pour le
système (17) existe si et seulement si les conditions suivantes sont satifisfaites :
rang(CD
1 ) = rang(D) sIn−q − A11 −A12
= n, ∀s ∈ C, Re(s) ≥ 0
rang
CN
CD1
(20)
Le lecteur peut se référer à [Hou et al.(1992)] ainsi que les références associées
pour un complément d’informations.
3.2. Observateur à entrée inconnue à convergence en temps fini pour le pronostic
de dégradation
Jusqu’à présent, seuls les états reconstruits convergeant asymptotiquement vers les
états réels ont été développés pour le système (18). Or, le pronostic de systèmes doitêtre réalisé sur un horizon de temps fini. Ainsi la convergence asymptotique n’apparaît
pas comme la meilleur solution à adopter dans la reconstruction des états, dans l’estimation de l’état de dégradation ainsi que leurs dynamiques associées. Ces derniers ont
besoin d’être reconstruits et estimés exactement en un temps fini τ , afin d’estimer le
temps de vie restant avec précision. En effet, la conséquence est d’écarter l’accumulation d’erreurs de reconstruction et d’estimation nuisant à l’identification du processus
de dégradation avec précision. Pour concevoir un observateur à entrée inconnue à
convergence en temps fini τ pour les systèmes linéaires, la méthodologie développée
dans [Raff et al.(2006)] est utilisée. L’observateur à entrée inconnue à convergence en
temps fini consiste en deux observateurs à entrées inconnues (18). Sous la forme compacte, l’observateur proposé à entrée inconnue et à convergence en temps fini pour le
système (10) est décrit par :
6
ż(t) = F z(t)
+ Hy(t) + Gu(t)
q(t) = K z(t) − eF τ z(t − τ)
q(t)
x̂ = T
U1 y(t) − U1 CN q(t)
(21)
avec les matrices
suivantes
F1
0n−q,n−q
L1 U2 + E1
In−q
F =
,H =
,S =
0n−q,n−q
F2
L2 U2 + E1
In−q
−1
B1
, K = In−q,n−q 0n−q,n−q S eF τ S
G=
B1
Fi = Ã1 − (Li U2 + E1 )C˜1 , i = 1, 2
z est défini comme l’état courant de l’observateur, q est l’estimé de l’état transformé du système (17).
Théorème 2 : [Raff et al.(2006)] : Supposons que les conditions du théorème 1 sont
vérifiées telles que l’observateur à entrée inconnue
(21) pour le système (11) existe.
De plus, supposons que la matrice inverse de S eF τ S existe. Ensuite, (17) définit
un observateur à entrée inconnue à convergence en un temps fini pour le système (10)
dans le sens que l’observateur estime l’état exact du système (10) en temps fini τ :
x̂(t) = x(t), ∀t ≥ t0 + τ et l’erreur d’estimation e(t) = x̂(t) − x(t) reste bornée
∀t ∈ [t0 , t0 + τ ].
Le lecteur est renvoyé à l’article [Raff et al.(2006)] ainsi qu’aux références associées pour un complément d’informations. Il s’ensuit que :
x1 (t)
∀t ≥ t0 + τ, q(t) = x1 (t), x̂(t) = T
x2 (t)
3.3. Entrée inconnue et reconstruction de l’état de dégradation en un temps fini
prédéfini
Après avoir reconstruit exactement l’état en un temps préfini τ , une expression de
l’entrée inconnue au travers de la dérivée de la sortie (14) est établie :
∀t ≥ t0 + τ ,
ẏ 1
⇔ U1 ẏ
= U1 ẏ = U1 CN ẋ1 + ẋ2
= U1 CN ((A11 − A12 U1 CN )q + B 1 u + A12 U1 y)
+(A21 − A22 U1 CN )q + A22 U1 y + B 2 u + v
(22)
En développant (22) et isolant l’entrée inconnue des autres éléments, on obtient :
v
= U1 ẏ + (−U1 CN A11 + U1 CN A12 U1 CN − A21
+A22 U1 CN )q + (−U1 CN B 1 − B 2 )u
+(−U1 CN A12 U1 − A22 U1 )y
(23)
7
Mathématiquement, l’entrée inconnue est reconstruite ∀t ≥ t0 +τ . Pour continuer,
une expression de l’état de dégradation basée sur l’entrée inconnue peut-être établie.
Les matrices associées avec (12) sont développées pour cet objectif.
Dv= P ∆1 (x, u, φ) 0n−q,n−q 0n−q,q vn−q
⇔
0q,n−q
Iq,q
vq
P ∆1n−q,n−q (x, u, φ)
=
P ∆1q,n−q (x, u, φ)
P ∆1n−q,q (x, u, φ)
P ∆1q,q (x, u, φ)
(24)
Puis, nous avons
P ∆1q,q (x, u, φ) = vq
(25)
Finalement, nous pouvons déduire le résultat suivant.
Proposition 1 : φ est solution de l’équation (25) où u est connue et x, vq sont
estimées.
Notons que (25) peut-être résolue explicitement et numériquement par exemple
en utilisant le théorème d’inversion lorsque les conditions d’inversion sont vérifiées.
Dans la prochaine section, nous allons montrer comment utiliser ce résultat pour le
problème du pronostic.
3.4. Processus d’identification d’une classe de modèles non linéaires de
dégradation
Cette section présente la stratégie à adopter en vue d’identifier les dynamiques de
l’état de dégradation cumulée. Sur des intervalles de temps où la dégradation peut-être
reconstruite exactement en un temps fini prédéfini par l’utilisateur, il est supposé que
la classe de modèles non linéaires de dégradation basée sur [Adams(2002)] est utilisée
pour approximer les dynamiques de l’état de dégradation cumulée :
n
X
Pi (x)φi .
(26)
φ̇ =
i=1
où Pi (x) est l’expression polynomiale de x et les conditions spécifiques associées sont
définies telles que
n
X
Pi (x) ≥ 0
(27)
degPi (x) ≤ n et
i=1
Remarque 1 : La méthodologie présentée aurait été la même et fonctionnerait également pour d’autres classes d’équation de dégradation.
Remarque 2 : Basé sur l’analyse de données d’un système, [Chelidze et al.(2005)] présente une méthodologie pour estimer la dimension du vecteur d’état de dégradation.
8
4. Résultats sur un système de suspension automobile
Pour illustrer la pertinence de notre méthodologie de pronostic, une simulation est
conduite sur un système de type suspension automobile. Un modèle de quart de suspension linéaire (Fig. 1) est adopté. La partie de suspension active n’est pas considérée
pour notre travail. Le quart de suspension est soumis à des excitations irrégulières de
la surface de la route en entrée. Il est supposé que nos positions de référence pour les
déplacements sont les points d’équilibre statiques.
Figure 1. Schéma d’un quart de suspension
Les variables d’état du système sont x1 le déplacement du châssis, x2 la vitesse
du châssis, x3 le déplacement de la roue, x4 la vitesse de la roue. Les équations du
modèle sont données par

x˙1 = x2


 x˙ = − 1 [K ′ (x − x ) + C (x − x )]
2
3
a 2
4
a 1
Mb
(28)
x
˙
=
x

3
4


1
′
x˙4 = Mus [Ka (x1 − x3 ) + Ca (x2 − x4 ) − Kt (x3 − u)]
Les paramètres du modèle sont : Mb = 290kg, masse du ressort du châssis de la
voiture, Mus = 59kg, masse de l’assemblage de la roue, Ka = 16182N/m, ressort passif de la voiture, Ca = 1000N/m/s, absorbeur de choc de la voiture, Kt =
19000N/m/s, ressort servant à modéliser la compressibilité pneumatique.
Une fissure isotropique se propageant dans la direction perpendiculaire aux plus grandes
composantes principales positives (charge externe) dans la suspension automobile est
considérée. Par conséquent, la dégradation affecte principalement le paramètre physique interne lorsque la fissure évolue. Une image de la dégradation est prise en
compte pour notre étude. Il est supposé que Ka′ atteint un niveau critique lorsque
Ka′ = Ka /2. Réécrivons 28 sachant que Ka′ = Ka + φ :

 
 
0
1
0
0
x1
x˙1
C
K
C
K
a
a
− Ma − Ma
 x2 
x˙2 
M
M
b
b
b
b
 
 = 
 0
x˙3 
0
0
1  x3 
Ka
Ca
Ca
t +Ka)
x4
x˙4
− (KM
Mus
us
 − Mus

Mus 
(29)
0
0
(x
−x
)
 1 3 φ
 0 

 Mb

+

 0 u + 
0


Kt
(−x1 +x3 )
φ
Mus
Mus
9
L’expression générale de dégradation cumulée est définie comme suit
φ̇ = ǫg(x, φ)
(30)
L’expression des sorties de (29) est exprimée de la manière suivante

 y1 = x1 − x3
y2 = x2 − x4

y3 = x2
(31)
(30) sera estimée ici en développant la méthodologie introduite dans la section 3. La
matrice de transformation d’état non singulière T est définie par :

1
0
T =
−1
−1
0
−1
1
Mb
Mus

0
0
0
1 

0
0 
Mb
1 −M
us
(32)
La matrice de transformation non singulière P −1 s’écrit
P −1

0
1
=
0
0
0
0
0
1
Mb
−M
us
0
Mb
−M
us
0

1
1

0
1
(33)
Après avoir appliqué les deux transformations précédentes, le système (29) peut s’écrire

 
 
ẋ1
0
−1
0
1
x1
 −1
 x2 
ẋ2 
−1
+
M
/M
1
1
−
M
/M
b
us
b
us
 
 = 
Kt/Mus −1 − Kt/Mus 0
 x3 
ẋ3 
1
α1
α2
α3
α4
x4
ẋ4




(34)
0
0


 0 
0



+

 Kt  u + 
0
Mus
(2x1 −x2 )
φ
0
Mb
avec αi , i = 1..4 définis par
Ka
Ca
Ca
Ka
α1 = −2 M
−1− M
, α2 = −1 + M
+M
+ (1 +
b
b
b
b
Mb
Ca
Ca
Ca
)
α3 = (1 + Mb ), α4 = (1 − Mb ) − (1 + Mb )( M
us
Mb
Ca
Mb )( Mus )
La transformation de sortie non singulière U −1 est exprimée comme suit


0 0
1

0
U −1 = 1 0
Mb
0 1 −1 − M
us
10
(35)
Le temps de convergence prédéfini de l’observateur est fixé à 0.1 seconde pour la
simulation. Pour calculer l’entrée inconnue et l’état de dégradation basés sur (23)-(25),
les expressions suivantes sont considérées :
v
1
(2x1 − x2 )φ
Mb
2Ka + Ca
Ka
Ca
= ẏ3 +
x1 −
x2 −
x3
Mb
Mb
Mb
Mb
Ca
Ca
Mb
+ −
+
+ 1+
y3
Mus
Mb
Mb
Mus
=
(36)
L’expression d’état de dégradation est
φ(v, x) =
Mb v
2x1 −x2
(37)
En appliquant la transformation inverse T −1 , on aboutit à
φ(v, x) =
Mb v
x1 −x3
(38)
Techniquement, trois principaux problèmes vont apparaître en simulation. La dégradation est un phénomène de type basse fréquence, détectée au travers de mesures
comme une dérive lente des variables d’état. L’entrée inconnue est calculée en dérivant les sorties du système pour reconstruire la fonction de dégradation. Dériver
numériquement impliquent l’amplification des hautes fréquences dans les signaux de
sortie. L’information sur la dégradation cumulée risque d’être difficilement extricable
lorsque l’état de dégradation est à un niveau faible. Un second problème correspond
au problème d’inversion dans (38) pour estimer l’état de dégradation cumulée. L’état
de dégradation φ diverge lorsque x1 − x3 → 0. Un traitement numérique peut-être implémenté pour reconstruire et approximer l’état de dégradation durant ces intervalles.
Toutefois, un troisième problème apparaît ; ces traitements numériques ont pour effet
d’entraîner une perte d’information sur la dynamique de l’état de dégradation, dégradant l’abilité d’identifier les coefficients de la classe de modèles non linéaires de
dégradation.
Les résultats de simulation sur le système de suspension automobile sont présentés
dans les figures suivantes. Des solutions pour chaque problème seront introduites. Un
profil de route spécifique est généré dans le but de solliciter le système dans un domaine de fréquences où les effets sont représentatifs du phénomène d’accumulation
de dégradation, sans pour autant solliciter fortement les hautes fréquences (un signal
créneau sera utilisé comme signal de sollicitation).
Les états réels du système (Fig. 2) sont exactement reconstruits en un temps τ =
0.1s. L’entrée inconnue reconstruite (Fig. 3) est convenablement reconstruite également. L’état de dégradation reconstruit sans traitement numérique est inexploitable
pour notre méthodologie à cause du problème engendré par l’inversion. Après traitements numériques, l’état de dégradation obtenu est illustré en Fig. 4. Notons une
11
Vitesse du chassis en m/s
Déplacement de la roue en m
Déplacement du chassis en m
−3
2
Déplacement du chassis en fonction du temps
x 10
Référence
Reconstruit
0
−2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Temps en seconds
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Vitesse du chassis en fonction du temps
0.02
−0.02
Vitesse de la roue en m/s
Référence
Reconstruit
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
−3
5
0.5
Temps en seconde
0.6
0.7
0.8
0.9
0.7
0.8
0.9
Déplacement de la roue en fonction du temps
x 10
Référence
Reconstruit
0
−5
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Temps en seconde
0.6
1
Vitesse de la roue en fonction du temps
Référence
Reconstruit
0.2
0
−0.2
−0.4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Temps en seconde
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Figure 2. Les états du quart de suspension
Entrée inconnue de référence et reconstruite en simulation
Amplitude de l entrée inconnue
0.04
Référence
Reconstruire
0.03
0.02
0.01
0
−0.01
−0.02
−0.03
50.5
51
51.5
52
52.5
53
Temps en seconde
53.5
54
54.5
55
Figure 3. Le signal d’entrée inconnue
légère différence observable entre l’état de dégradation simulé de reférence et l’état
de dégradation simulé reconstruit. Ceci est dû en partie à des erreurs de calcul réalisées
sur les signaux de dérivée de sortie et sur l’amplification des composantes hautes fréquences de l’état du système dû au type de sollicitation. L’amélioration de traitement
numérique pourrait améliorer le résultat présenté. Pour un processus de surveillance
de l’état de santé qui nécessite seulement de traquer l’état de dégradation, la méthodologie présentée est suffisante.
Cependant dans le but de réaliser un pronostic de dégradation, une connaissance
précise sans traitement numérique sur les dynamiques de l’état de dégradation est
essentielle. L’expression de la dégradation (30) ne dépend pas du type de profil de
routes. Le processus d’identification ne dépendra pas directement des profils égale-
12
Dégradation en fonction du temps avec traitement numérique
Amplitude de la dégradation
5000
Référence
Reconstruite et lissée
4000
3000
2000
1000
0
10
20
30
Temps en heure
40
50
Figure 4. Les courbes de dégradation cumulée
ment. Il reste à trouver une commande admissible telle que le critère x1 − x3 = 0 soit
minimisé. Les dynamiques suivantes x1 (t) − x3 (t) seront données par
x1 (t) − x3 (t) = x1 (0) − x3 (0) + asin(ωt)
(39)
a nécessite d’être fixée à
a = (3/4)(x1 (0) − x3 (0))
(40)
Les conditions initiales sur l’état seront fixées à
x1 (0) = max(x1 ), x3 (0) = min(x3 )
x2 (0) = aω = (3ω/4)(x1 (0) − x3 (0)), x4 (0) = 0
(41)
Avec les conditions (40) et (41), les contraintes suivantes seront satisfaites.
x1 (t) − x3 (t) 6= 0 et |x1 (t) − x3 (t)| ≤ ǫ
(42)
Basées sur les équations (29), cela consiste à donner les dynamiques suivantes à
x2 (t) + x4 (t)
x˙1 (t) − x˙3 (t) = x2 (t) + x4 (t) = aωcos(ωt)
(43)
En dérivant l’expression (41), il est obtenu
x˙2 (t) − x˙4 (t) = −aω 2 sin(ωt)
(44)
Basé sur (29), la commande suivante est conçue.
u
= −(Mus /Kt )(−aω 2 sin(ωt) + (1/Mb )(Ka (x1 − x3 )
+Ca (x2 − x4 ) − φ(x1 − x3 ))) − (1/Kt )(Ka (x1 − x3 )
+Ca (x2 − x4 ) − φ(x1 − x3 ) − Kt x3 )
(45)
A partir de la connaissance de l’état de dégradation reconstruit, de sa dérivée et l’état
de dégradation exact du système, il est possible d’identifier les coefficients Pi (x) du
modèle non linéaire de dégradation à partir de l’algorithme des moindres carrés :
φ̇ =
3
X
Pi (x)φi .
(46)
i=1
13
où Pi (x) est une expression polynomiale de x les conditions spécifiques associées
sont définies telles que
X
Pi (x) =
Ap xj1 xk2 xl3 xm
4 et
p
j+k+l+m=2
j,k,l,m≤2
3
X
i=1
Pi (x) =
3
X
tr(Ai xxT ) ≥ 0
(47)
i=1
En développant (46) en appliquant les conditions décrites ci-dessus, on aboutit à :
φ̇ = tr(A1 xxT )φ + tr(A2 xxT )φ2 + tr(A3 xxT )φ3
(48)
T
tel que x = x1 x2 x3 x4 et la matrice suivante définie par


ai,1 ai,2 ai,3 ai,4
 0 ai,5 ai,6 ai,7 
 , i = 1...3
Ai = 
 0
0 ai,8 ai,9 
0
0
0 ai,10
Après avoir appliqué la méthode précédemment décrite et obtenue l’équation (48), le
modèle de dégradation est simulé sur un profil de route jusqu’à ce qu’un niveau critique de l’état de dégradation soit atteint, correpondant au temps d’apparition de la
défaillance (TAD) en comparant avec la dégradation de référence utilisée précédemment pour le processus d’identification (Fig. 5).
Figure 5. Les courbes de dégradation accumulée
Le Temps de Vie Restant (TVR) est la différence de temps entre le Temps d’Apparition de la Défaillance (TAD) et le temps présent de référence lorsque le système
évolue. Lorsque le processus d’identification est accompli avec succès, un modèle de
dégradation représentatif est utilisable pour déterminer l’état de dégradation pour tous
les profils de route.
5. Conclusion
Si traquer l’état de dégradation est nécessaire pour planifier des maintenances sur
certains systèmes, une partie de la méthodologie avec des traitements numériques est
14
réalisable pour concevoir un processus de surveillance de l’état de santé du système.
Sinon une méthodologie de pronostic peut-être appliquée pour estimer le Temps de
Vie Restant d’un système. Des améliorations peuvent naturellement être apportées sur
la méthodologie présentée précédemment. Concevoir une nouvelle loi de commande
pour le processus d’identification est une voie à explorer pour appliquer la méthodologie sur des systèmes réelles. De plus l’utilisation d’autres classes d’observateurs, ne
dérivant pas la sortie du système pour estimer l’entrée inconnue, pourraient être utilisées et apportées des résultats intéressants pour s’affranchir de contraintes inhérentes
à la méthode présentée.
6. Bibliographie
[Adams(2002)] D.E Adams. A nonlinear dynamical systems framework for structural diagnosis and prognosis. International Journal of Engineering Science, volume 40, pages 1919–
1941, 2002.
[Chelidze et al.(2005)] D. Chelidze, M. Liu. Dynamical Systems Approach to Fatigue Damage
Identification. Journal of Sound and Vibration, volume 281, pages 887–904, 2005.
[Farrar et al.(2007)] C. R. Farrar, N.A.J. Lieven. Damage prognosis : the future of structural
health monitoring. Philosophical transactions of the Royal Society, volume 365, pages
623–632, 2005.
[Goh et al.(2006)] K.M. Goh. A review of Research in Manufacturing Prognostics. IEEE
International Conference on Industrial Informatics, pages 417–422, 2006.
[Hou et al.(1992)] M. Hou, P.C Müller. Design of Observers for Linear Systems with Unknown
Inputs. IEEE Transaction on Automatic and Control., volume 37, pages 871–875, 1992.
[Luo et al.(2003)] J. Luo. Model-Based Prognostic Techniques. IEEE Readiness Technology
Conference, volume 4(2), pages 443–451, 2003.
[Raff et al.(2006)] T. Raff, F. Lachner., F. Allgöwer. A finite Time unknown Input Observer
for Linear Systems. Mediterranean Conference on Control and Automation, 2006.
15