Barycentres.

Barycentres.
I Rappel sur les vecteurs.
II Barycentre de deux points.
III Généralisation.
Faire la manipulation du balai avec les doigts qui glissent (forces de frottement plus fortes si
on est près du centre de gravité).
Le meunier au XIIIième siècle pesait sa farine avec une balance romaine.
Encore de nos jours sur les marchés, on peut la trouver.
I Rappel sur les vecteurs.
→
Définition : On rappelle qu’un vecteur u est la donnée d’une direction, d’un sens et
→
d’une longueur appelée norme du vecteur et notée || u ||. Un vecteur de norme 1 est dit
unitaire.
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Propriété (5.A) : Soient u un vecteur et k un réel
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- || u ||=0 ssi u = 0 .
→
→
- ||k u ||=|k|.|| u ||.
→  x 
→
- Dans un repère orthonormal, si u  y , alors || u ||= x2+y2
  → →
Proposition (Inégalité triangulaire 5.B) : Soient u et v deux vecteurs :
→
→
→
→
|| u + v || || u ||+|| v ||
Ou encore en terme de distance : d(A,C) d(A,B)+d(B,C),
Ou en terme de valeur absolue : |x+y| |x|+|y|
→
→
Définition : On dit que deux vecteurs u et v sont colinéaires s‘il existe un réel k
tel que
→
→
→
→
u =k v ou s’il existe un réel k’ tel que v =k’ u .
→  x 
→  x' 
En termes de coordonnées, on dit que deux vecteurs u  y  et v  y'  sont
 
 
x x’
colinéaires si et seulement si leur déterminant y y’ =xy’-x’y=0.
Propriété (5.B) : Soient A,B,C et D quatre points, on a les propriétés suivantes :
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→
→
→
- (AB)//(CD) si et seulement si AB et CD sont colinéaires et AB≠ 0 et CD≠ 0 .
→
→
- A,B et C sont alignés si t seulement si AB et AC sont colinéaires.
→
→
- La droite (AB) est l’ensemble des points M tels que AM et AB soient colinéaires.
Quelle est l’équation de la droite passant par A(-1 ;2) et parallèle à la droite d’équation
cartésienne 2x-3y=2 ? [2x-3y=-8]
II Barycentre de deux points.
Retour à la balance romaine :
Les élèves doivent trouver tout seul les points
d’équilibre.
La super-balance romaine.
Définition :.Un point pondéré est un couple (A,α) dans lequel A est un point et α est
un réel (la masse). Un système pondéré est un ensemble de points pondérés.
Par exemple, pour deux points pondérés, on a deux couples {(A,α);(B,β)}
Définition : Soit {(A,α);(B,β)} un système pondéré tel que α+β
β≠0, il existe un unique
point G, appelé barycentre du système pondéré tel que αGA+β GB= 0 . Si α=β, on parle
d’isobarycentre de A et B.
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→
→
Remarques : - L’unicité de ce point vient de l’unicité du représentant d’un vecteur quand on
→
β →
en fixe l’origine. En effet, grâce à Chasles, on a AG=
AB.
α+β
→
→
→
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→
- Dans le cas où α+β=0, l’équation αGA+βGB= 0 devient βAB= 0 qui n’a pas
de sens si A≠B ou β≠0.
- Si A=B, alors A,B et G sont confondus.
- L’isobarycentre de deux points est le milieu des deux points (just prove it !).
Construire les barycentres des systèmes suivants :
{(A,3) ;(B,2)} ; {(A,-1) ;(B,3)} ; {(A,-1) ;(B,-2)} ; {(A,-2) ;(B,6)}
Proposition (5.C) : Le barycentre du système {(A,α);(B,β)}, quand il existe, est le
même que celui du système {(A,kα);(B,kβ)} pour tout réel k.
Démonstration : …
G n’appartient pas toujours à [AB].
Proposition (5.D) : Si G est le barycentre de {(A,α) ;(B,β)}, alors, de A et de B, le
point le plus près de G est celui dont la pondération a la plus grande valeur absolue.
Démonstration : αGA+βGB= 0 , donc αGA= -βGB et |α|.||GA||=|β|.||GB||et si, e.g. α β,
→
→
alors ||GA|| ||GB||, donc G est plus proche de A que de B.
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→
Théorème de réduction (5.E) : Si G est le barycentre de {(A,α) ;(B,β)}, alors
αMA+βMB=(α+β)MG , pour tout point M.
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→
→
Démonstration : il suffit d’éclater avec Chasles.
III Généralisation.
Définition : Soient n points A1,A2,…,An et n réels α1,α2,…,αn, si
n
∑ αi≠0, alors il
i=1
n
existe un unique point G tel que ∑ αiGAi= 0 . Il s’agit du barycentre du système pondéré
→
→
i=1
{(A1;α1) ;… ;(An;αn)}
Trouvez le barycentre de {(A ;1) ;(B ;2) ;(C ;3)} (avec B milieu de [AC], puis avec ABC
équilatéral)
Il est clair que la proposition 5.C et que le théorème 5.E se généralisent…. Les faire écrire par
les élèves.
Proposition (5.F) : Le barycentre du système {(A1;α1) ;… ;(An;αn)}, quand il existe, est
le même que celui du système {(A1;kα1) ;… ;(An;kαn)} pour tout réel k.
Théorème de réduction (5.G) : Si G est le barycentre de {(A1;α1) ;… ;(An;αn)}, alors
 n  →
→
α
MA
=
∑ i i  ∑ αiMG , pour tout point M.
i=1 
i=1
n
Théorème d’associativité (ou du barycentre partiel 5.H) : Si G est le barycentre de
{(A1;α1) ;… ;(An;αn)}et si H est le barycentre de {(A1;α1) ;… ;(Ap;αp)} avec p<n (cela suppose
évidemment
n
p
i=1
i=1
∑ αi≠0 et ∑ αi≠0,
p
alors G est le barycentre de {(H,
∑ αi) ;(Ap+1;αp+1) ;… ;(An;αn)}
i=1
Montrer que l’isobarycentre d’un triangle est le centre de gravité du triangle.
On trace un quadrilatère convexe ABCD. Soient I,J,K et L les centres de gravité respectifs
de ABD,BCD,ABC,ADC. Montrer que le point d’intersection de (IJ) et (KL) est le centre de
gravité de ABCD.
Défi : Montrer que, pour un quadrilatère général, le centre de gravité n’est pas
l’isobarycentre. Quelle condition faut-il pour que ce soit le cas ? [parallélogramme]
Trouver le barycentre de {(A;1);(B;m);(C;1-m)}.
Défi : Si je jette une punaise (considérée comme constituée d’un plateau circulaire de
même masse que la tige et de diamètre la longueur de la tige). On suppose qu’elle ne rebondit
pas. Quelle est la probabilité qu’elle se stabilise sur le plateau, tige en haut ?
[
probabilité : 63.4/180=0.3524]
tan (b)=0.5 donc b=26.56 et a=63.4° d’où la

→

→
Théorème (5.I) : Dans un repère (O; i , j ), les coordonnées de G barycentre de
n
{(A1;α1) ;… ;(An;αn)} sont xG=
n
∑ αixAi
∑ αiyAi
i=1
n
i=1
n
∑ αi
i=1
yG=
∑ αi
i=1
Démonstration: Dans le théorème de réduction 5.G, il suffit de prendre M=O.
L’isobarycentre d’un quadrilatère n’est pas, en général, le centre de gravité du quadrilatère.
Montrer que, pour un cerf-volant, les deux points sont confondus si et seulement si celui-ci est
un losange.
Prenons un cerf-volant ABCD. On note M le milieu de [AC] et J le point d’intersection de
(AC) et (BD). Par la règle d’associativité, l’isobarycentre I est le milieu de [MJ]. Pour le
centre de gravité G, il suffit de considérer les deux triangles ABD et BCD. Les deux centre de
gravité respectifs K et L sont tels que AK=2/3AJ et CL=2/3CJ G est alors le barycentre de
{(K,aire(ABD)),(L,aire(BCD))} soit encore le barycentre de {(K ;AJ),(L ;JC)}.
En posant A d’abscisse 0, le point C d’abscisse 1 et J d’abscisse a, on obtient les abscisses
suivantes : M(1/2), K(2a/3), L(2a/3+1/3), I((2a+1)/4) et G((a+1)/3).
Les points G et I sont confondus si et seulement si (2a+1)/4=(a+1)/3. soit a=1/2.