Jeux Répétés

Transcription

Jeux Répétés

Théorie des jeux
Jeux sous forme extensive / Jeux répétés
Jeux Répétés
(23 janvier 2007)
Théorie des jeux
Jeux Répétés
(23 janvier 2007)
• Étudier les interactions de long terme en considérant un jeu de base (simultané)
répété entre les mêmes joueurs
Théorie des jeux
Jeux Répétés
(23 janvier 2007)
➥ Normes sociales (stratégies de long terme)
Théorie des jeux
Jeux Répétés
(23 janvier 2007)
☞ Comportements sophistiqués
Théorie des jeux
Jeux Répétés
(23 janvier 2007)
☞ Menaces, dissuasion, punitions, promesses
Théorie des jeux
Jeux Répétés
(23 janvier 2007)
☞ Possibilités de coopération, amélioration de l’efficience au sens de Pareto ?
Théorie des jeux
Jeux Répétés
(23 janvier 2007)
• Deux grandes classes de jeux répétés : horizon fini / horizon infini image
Théorie des jeux
Jeux Répétés
(23 janvier 2007)
• Hypothèses ici : “super-jeu”
Théorie des jeux
Jeux Répétés
(23 janvier 2007)
– Information complète
Théorie des jeux
Jeux Répétés
(23 janvier 2007)
– Observation parfaite et publique des actions passées
Théorie des jeux
Jeux Répétés
(23 janvier 2007)
⇒ Jeu à information presque parfaite
Théorie des jeux
Jeux Répétés
(23 janvier 2007)
⇒ Jeu à information presque parfaite
• Introduction éventuelle d’un taux d’actualisation
Théorie des jeux
Taux d’actualisation
Théorie des jeux
Préférence pour le présent : accorder plus de valeur aux gains présents que futurs
Théorie des jeux
Taux d’actualisation (facteur d’escompte) δ ∈ [0, 1] : le joueur est indifférent entre
recevoir x demain et δ x aujourd’hui ➠ patience ⇔ δ élevé
Théorie des jeux
Exemple : ∀ δ < 1, (1, −1, 0, 0, . . .) ≻ (0, 0, 0, 0, . . .)
Théorie des jeux
Exemple : ∀ δ < 1, (1, −1, 0, 0, . . .) ≻ (0, 0, 0, 0, . . .)
• Gain actualisé total (valeur présente) d’un flux de gain x(t), t = 1, 2, . . . , T :

T
PT x(t) si δ = 1
X
t=1
δ t−1 x(t) =
x(1)
si δ = 0
t=1
Théorie des jeux
Exemple : ∀ δ < 1, (1, −1, 0, 0, . . .) ≻ (0, 0, 0, 0, . . .)
• Gain actualisé total (valeur présente) d’un flux de gain x(t), t = 1, 2, . . . , T :

T
PT x(t) si δ = 1
X
t=1
δ t−1 x(t) =
x(1)
si δ = 0
t=1
• Gain actualisé moyen :
PT

PT
t−1 x(t)
δ
t=1
t=1
=
PT
t−1
x(1)
t=1 δ
x(t)
T
si δ = 1
si δ = 0
Théorie des jeux
Théorie des jeux
• Cas infini (δ < 1) :
lim
T →∞
PT
∞
t−1
X
δ
x(t)
t=1
= (1 − δ)
δ t−1 x(t)
PT
t−1
t=1 δ
t=1
= x si x(t) = x pour tout t
Théorie des jeux
lim
T →∞
PT
∞
t−1
X
δ
x(t)
t=1
= (1 − δ)
δ t−1 x(t)
PT
t−1
t=1 δ
t=1
• Autres interprétations possibles :
Théorie des jeux
lim
T →∞
PT
∞
t−1
X
δ
x(t)
t=1
= (1 − δ)
δ t−1 x(t)
PT
t−1
t=1 δ
t=1
– le jeu continue à chaque étape (après la première) avec probabilité δ
Théorie des jeux
lim
T →∞
PT
∞
t−1
X
δ
x(t)
t=1
= (1 − δ)
δ t−1 x(t)
PT
t−1
t=1 δ
t=1
– le jeu continue à chaque étape (après la première) avec probabilité δ
– taux d’intérêt r ⇒ δ =
1
1+r
(1 + r e demain ∼ 1 e aujourd’hui)
Théorie des jeux
Théorie des jeux
Définitions
Théorie des jeux
Définitions
• Le niveau de paiement minmax, ou paiement de punition, du joueur i dans un
jeu sous forme normale G est le niveau le plus faible auquel les autres joueurs
peuvent le contraindre :
vi =
σ−i ∈
ui (ai , σ−i )
Qmin∆(A ) amax
∈A
j6=i
j
i
i
Théorie des jeux
Définitions
vi =
σ−i ∈
ui (ai , σ−i )
Qmin∆(A ) amax
∈A
j6=i
j
i
i
• Profil de stratégies minmax contre i : une solution du problème de minimisation
ci-dessus
Théorie des jeux
Définitions
vi =
σ−i ∈
ui (ai , σ−i )
Qmin∆(A ) amax
∈A
j6=i
j
i
i
• Profil de stratégies minmax contre i : une solution du problème de minimisation
ci-dessus
Remarque. En général, minmax 6= maxmin dans un jeu à plus de deux joueurs.
Dans les jeux à deux joueurs vi = meilleur niveau d’utilité garanti possible (en
stratégies mixtes) pour le joueur i
Théorie des jeux
Théorie des jeux
• Un profil de paiements w = (w1 , . . . , wn ) est (strictement) individuellement
rationnel si chaque joueur gagne au moins son paiement de punition : pour tout
i ∈ N,
wi ≥ (>)
σ−i ∈
ui (ai , σ−i ) ≡ vi
Qmin∆(A ) amax
∈A
j6=i
j
i
i
Théorie des jeux
i ∈ N,
wi ≥ (>)
σ−i ∈
Qmin∆(A ) amax
∈A
j6=i
j
i
i
☞ Punition la plus sévère qui peut être infligée à i dans G (sans corrélation des
stratégies)
Théorie des jeux
i ∈ N,
wi ≥ (>)
σ−i ∈
Qmin∆(A ) amax
∈A
j6=i
j
i
i
stratégies)
Explication. wi est individuellement rationnel pour le joueur i s’il existe un profil de
stratégies τ−i des autres joueurs (le profil de stratégies minmax contre i) qui assure
que quoique fasse le joueur i, son gain n’est pas plus grand que wi :
Théorie des jeux
i ∈ N,
wi ≥ (>)
σ−i ∈
Qmin∆(A ) amax
∈A
j
j6=i
i
i
stratégies)
Explication. wi est individuellement rationnel pour le joueur i s’il existe un profil de
stratégies τ−i des autres joueurs (le profil de stratégies minmax contre i) qui assure
que quoique fasse le joueur i, son gain n’est pas plus grand que wi :
wi ≥
σ−i ∈
Qmin∆(A ) amax
∈A
j6=i
j
i
⇔ wi ≥ max ui (ai , τ−i )
ai ∈Ai
i
⇔
wi ≥ ui (ai , τ−i ),
∀ ai ∈ Ai
Théorie des jeux
Jeux répétés à horizon fini
Théorie des jeux
Définition. Étant donné un jeu sous forme normale G = hN, (Ai ), (ui )i, le jeu
répété fini G(T, δ) est le jeu sous forme extensive où G est joué en T étapes, où les
actions de toutes les étapes passées sont publiquement et parfaitement observées,
et où les utilités des joueurs sont les utilités totales (ou moyennes) actualisées au
taux δ
Théorie des jeux
taux δ
• Profil d’actions à l’étape t : at = (at1 , . . . , atn ) ∈ A = A1 × · · · × An
Théorie des jeux
taux δ
• Histoire à l’étape t : (a1 , a2 , . . . , at−1 ) ∈ At−1 = A × · · · × A
|
{z
}
t−1 fois
Théorie des jeux
taux δ
|
{z
}
t−1 fois
• Stratégie (pure) du joueur i : si = (s1i , . . . , sTi ), où sti : At−1 → Ai
Théorie des jeux
taux δ
|
{z
}
t−1 fois
• Stratégie (pure) du joueur i : si = (s1i , . . . , sTi ), où sti : At−1 → Ai
• Résultat / trajectoire générée par s : a1 = s1 , a2 = s2 (a1 ), a3 = s3 (a1 , a2 ), . . .
Théorie des jeux
Théorie des jeux
Unique EN (ENPSJ) du dilemme des prisonniers répété un nombre fini de fois : les
deux joueurs dénoncent à toutes les périodes
Théorie des jeux
Particularité du jeu du dilemme des prisonniers : les paiements d’équilibre sont les
paiements minmax
Théorie des jeux
Particularité du jeu du dilemme des prisonniers : les paiements d’équilibre sont les
paiements minmax
Proposition. Si tous les profils de paiements d’équilibre de G coı̈ncident avec le
profil de paiements minmax de G alors toutes les trajectoires (a1 , . . . , aT )
d’équilibres de Nash du jeu répété fini sont telles que at est un équilibre de Nash de
G pour tout t = 1, . . . , T .
Théorie des jeux
Théorie des jeux
Variante du dilemme des prisonniers.
D
C
P
D
(1, 1)
(0, 3)
(−1, −1)
C
(3, 0)
(2, 2)
(−1, −2)
P
(−1, −1)
(−2, −1)
(−3, −3)
Théorie des jeux
D
C
P
D
(1, 1)
(0, 3)
(−1, −1)
Unique EN du jeu de base : (D, D)
C
(3, 0)
(2, 2)
(−1, −2)
P
(−1, −1)
(−2, −1)
(−3, −3)
Théorie des jeux
D
C
P
D
(1, 1)
(0, 3)
(−1, −1)
C
(3, 0)
(2, 2)
(−1, −2)
Jeu en deux étapes (sans actualisation) :
P
(−1, −1)
(−2, −1)
(−3, −3)
Théorie des jeux
D
C
P
D
(1, 1)
(0, 3)
(−1, −1)
C
(3, 0)
(2, 2)
(−1, −2)
– Première étape : s1i = C
P
(−1, −1)
(−2, −1)
(−3, −3)
Théorie des jeux
D
C
P
D
(1, 1)
(0, 3)
(−1, −1)
C
(3, 0)
(2, 2)
(−1, −2)
P
(−1, −1)
(−2, −1)
(−3, −3)

D
– Deuxième étape : s2i (a11 , a12 ) =
P
si (a11 , a12 ) = (C, C)
sinon.
est un équilibre de Nash
Théorie des jeux
D
C
P
D
(1, 1)
(0, 3)
(−1, −1)
C
(3, 0)
(2, 2)
(−1, −2)
P
(−1, −1)
(−2, −1)
(−3, −3)

D
P
si (a11 , a12 ) = (C, C)
sinon.
est un équilibre de Nash
⇒ un équilibre de Nash du jeu répété ne consiste pas nécessairement à répéter
les équilibres du jeu de base, même si le jeu de base a un unique EN
Théorie des jeux
Théorie des jeux
D
C
P
D
(1, 1)
(0, 3)
(−1, −1)
C
(3, 0)
(2, 2)
(−1, −2)
P
(−1, −1)
(−2, −1)
(−3, −3)
Mais l’unique ENPSJ est la défection mutuelle aux deux périodes
Théorie des jeux
D
C
P
D
(1, 1)
(0, 3)
(−1, −1)
C
(3, 0)
(2, 2)
(−1, −2)
P
(−1, −1)
(−2, −1)
(−3, −3)
Mais l’unique ENPSJ est la défection mutuelle aux deux périodes
Proposition. Si le jeu de base G a un unique équilibre de Nash, alors pour tout T
fini et pour tout taux d’actualisation δ ∈ (0, 1], le jeu répété G(T, δ) a un unique
équilibre de Nash parfait en sous jeu, où l’équilibre de Nash du jeu de base est joué
à chaque étape (quelle que soit l’histoire)
Théorie des jeux
Émergence de nouveaux comportements à un ENPSJ.
Théorie des jeux
D
C
P
D
(1, 1)
(0, 3)
(−1, −1)
C
(3, 0)
(2, 2)
(−1, −2)
P
(−1, −1)
(−2, −1)
(− 12 , − 12 )
Théorie des jeux
D
C
P
D
(1, 1)
(0, 3)
(−1, −1)
C
(3, 0)
(2, 2)
(−1, −2)
P
(−1, −1)
(−2, −1)
(− 12 , − 12 )
Deux EN en stratégies pures dans le jeu de base : (D, D) et (P, P )
Théorie des jeux
D
C
P
D
(1, 1)
(0, 3)
(−1, −1)
C
(3, 0)
(2, 2)
(−1, −2)
P
(−1, −1)
(−2, −1)
(− 12 , − 12 )
Jeu répété deux fois (sans actualisation) :
Théorie des jeux
D
C
P
D
(1, 1)
(0, 3)
(−1, −1)
C
(3, 0)
(2, 2)
(−1, −2)
P
(−1, −1)
(−2, −1)
(− 12 , − 12 )
Théorie des jeux
D
C
P
D
(1, 1)
(0, 3)
(−1, −1)
C
(3, 0)
(2, 2)
(−1, −2)
P
(−1, −1)
(−2, −1)
(− 12 , − 12 )

D
P
si (a11 , a12 ) = (C, C)
sinon.
est un ENPSJ
Théorie des jeux
D
C
P
D
(1, 1)
(0, 3)
(−1, −1)
C
(3, 0)
(2, 2)
(−1, −2)
P
(−1, −1)
(−2, −1)
(− 12 , − 12 )

D
P
si (a11 , a12 ) = (C, C)
sinon.
est un ENPSJ
⇒ un équilibre de Nash parfait en sous-jeux du jeu répété ne consiste pas
nécessairement à répéter les équilibres du jeu de base
Théorie des jeux
D
C
P
D
(1, 1)
(0, 3)
(−1, −1)
C
(3, 0)
(2, 2)
(−1, −2)
P
(−1, −1)
(−2, −1)
(− 12 , − 12 )

D
P
si (a11 , a12 ) = (C, C)
sinon.
est un ENPSJ
⇒ un équilibre de Nash parfait en sous-jeux du jeu répété ne consiste pas
nécessairement à répéter les équilibres du jeu de base
Mais dans cet exemple les joueurs punissent avec un “mauvais” EN.
“Re-négociation” à la deuxième période si (C, C) n’est pas joué à la première ?
Théorie des jeux
Théorie des jeux
Exemple sans incitation à la “re-négociation”.
Théorie des jeux
D
C
M
N
D
(1, 1)
(0, 3)
(0, −2)
(0, 0)
C
(3, 0)
(2, 2)
(0, −2)
(0, 0)
M
(0, 0)
(0, 0)
(2, −1)
(0, 0)
N
(−2, 0)
(−2, 0)
(−2, −2)
(−1, 2)
Théorie des jeux
D
C
M
N
D
(1, 1)
(0, 3)
(0, −2)
(0, 0)
C
(3, 0)
(2, 2)
(0, −2)
(0, 0)
M
(0, 0)
(0, 0)
(2, −1)
(0, 0)
Trois EN en stratégies pures dans le jeu de base :
N
(−2, 0)
(−2, 0)
(−2, −2)
(−1, 2)
Théorie des jeux
D
C
M
N
D
(1, 1)
(0, 3)
(0, −2)
(0, 0)
C
(3, 0)
(2, 2)
(0, −2)
(0, 0)
M
(0, 0)
(0, 0)
(2, −1)
(0, 0)
Trois EN en stratégies pures dans le jeu de base :
(D, D), (M, M ), et (N, N )
(non Pareto comparables)
N
(−2, 0)
(−2, 0)
(−2, −2)
(−1, 2)
Théorie des jeux
D
C
M
N
D
(1, 1)
(0, 3)
(0, −2)
(0, 0)
C
(3, 0)
(2, 2)
(0, −2)
(0, 0)
M
(0, 0)
(0, 0)
(2, −1)
(0, 0)
Un ENPSJ du jeu en deux étapes (sans actualisation) :
N
(−2, 0)
(−2, 0)
(−2, −2)
(−1, 2)
Théorie des jeux
D
C
M
N
D
(1, 1)
(0, 3)
(0, −2)
(0, 0)
C
(3, 0)
(2, 2)
(0, −2)
(0, 0)
M
(0, 0)
(0, 0)
(2, −1)
(0, 0)
N
(−2, 0)
(−2, 0)
(−2, −2)
(−1, 2)
Théorie des jeux
D
C
M
N
D
(1, 1)
(0, 3)
(0, −2)
(0, 0)
C
(3, 0)
(2, 2)
(0, −2)
(0, 0)
M
(0, 0)
(0, 0)
(2, −1)
(0, 0)
N
(−2, 0)
(−2, 0)
(−2, −2)
(−1, 2)
– Deuxième étape : s21 (a11 , a12 ) =



D
M



N
si (a11 , a12 ) = (C, C) ou {a11 et a12 6= C}
si a11 = C et a12 6= C
si a11 6= C et a12 = C
Théorie des jeux
D
C
M
N
D
(1, 1)
(0, 3)
(0, −2)
(0, 0)
C
(3, 0)
(2, 2)
(0, −2)
(0, 0)
M
(0, 0)
(0, 0)
(2, −1)
(0, 0)
N
(−2, 0)
(−2, 0)
(−2, −2)
(−1, 2)



D
si (a11 , a12 ) = (C, C) ou {a11 et a12 6= C}
M si a11 = C et a12 6= C



N si a11 6= C et a12 = C

1
1
1
1

D
si
(a
,
a
)
=
(C,
C)
ou
{a
et
a

1
2
1
2 6= C}

s22 (a11 , a12 ) = M si a11 = C et a12 6= C



6 C et a12 = C
N si a11 =
Théorie des jeux
D
C
M
N
D
(1, 1)
(0, 3)
(0, −2)
(0, 0)
C
(3, 0)
(2, 2)
(0, −2)
(0, 0)
M
(0, 0)
(0, 0)
(2, −1)
(0, 0)
N
(−2, 0)
(−2, 0)
(−2, −2)
(−1, 2)



D
si (a11 , a12 ) = (C, C) ou {a11 et a12 6= C}
M si a11 = C et a12 6= C



N si a11 6= C et a12 = C

1
1
1
1

D
si
(a
,
a
)
=
(C,
C)
ou
{a
et
a

1
2
1
2 6= C}

s22 (a11 , a12 ) = M si a11 = C et a12 6= C



6 C et a12 = C
N si a11 =
☞ Le joueur qui punit est “rémunéré”
Théorie des jeux
Jeux répétés à horizon infini
Théorie des jeux
répété infini G(∞, δ) est le jeu sous forme extensive où G est répété indéfiniment,
où les actions de toutes les étapes passées sont publiquement et parfaitement
observées, et où les utilités des joueurs sont les utilités moyennes actualisées au
taux δ
Théorie des jeux
taux δ
Définition. Un profil de paiements x ∈ Rn est réalisable s’il existe ρ ∈ ∆(A) tel
que
X
xi =
ρ(a) ui (a), ∀ i ∈ N
a∈A
Théorie des jeux
taux δ
Définition. Un profil de paiements x ∈ Rn est réalisable s’il existe ρ ∈ ∆(A) tel
que
X
xi =
ρ(a) ui (a), ∀ i ∈ N
a∈A
☞ Combinaison convexe, conv(u(A)), de tous les paiements possibles du jeu de base
Théorie des jeux
Théorie des jeux
Exemple. Paiements réalisables dans le dilemme des prisonniers
D
C
D
(1, 1)
(0, 3)
C
(3, 0)
(2, 2)
Théorie des jeux
Exemple. Paiements réalisables dans le dilemme des prisonniers
D
(1, 1)
(0, 3)
D
C
3
C
(3, 0)
(2, 2)
b
b
2
b
1
b
0
0
1
2
3
Théorie des jeux
Théorie des jeux
Exemple. Paiements réalisables dans la bataille des sexes
a
b
a
(3, 2)
(0, 0)
b
(1, 1)
(2, 3)
b
3
b
2
b
1
0
b
0
1
2
3
Théorie des jeux
Exemple. Paiements réalisables dans la bataille des sexes
a
b
a
(3, 2)
(0, 0)
b
(1, 1)
(2, 3)
b
3
b
2
b
1
0
b
0
1
2
3
Remarque. L’ensemble de ces paiements réalisables est généralement strictement
plus grand que l’ensemble des paiements espérés qui peuvent être obtenus dans le
jeu en un coup avec des stratégies mixtes (indépendantes). Par exemple, (2.5, 2.5)
n’est pas un paiement espéré associé à un profil de stratégies mixtes
Théorie des jeux
Théorie des jeux
Stratégies et automates
Automate pour i dans le jeu répété infini :
Théorie des jeux
• Ensemble d’états Ei
Théorie des jeux
• État initial e0i ∈ Ei
Théorie des jeux
• Fonction output fi : Ei → Ai
Théorie des jeux
• Fonction output fi : Ei → Ai
• Fonction de transition des états τi : Ei × A → Ei
Théorie des jeux
Remarques.
Théorie des jeux
Remarques.
– Dans certaines approches (par exemple, dans celles sur la rationalité limitée) on
définit la fonction de transition par τi : Ei × A−i → Ei . Dans ce cas l’action de i
ne dépend pas de ses propres actions passées
Théorie des jeux
Remarques.
– Dans certaines approches (par exemple, dans celles sur la rationalité limitée) on
définit la fonction de transition par τi : Ei × A−i → Ei . Dans ce cas l’action de i
ne dépend pas de ses propres actions passées
– On caractérise parfois la complexité d’une stratégie par la taille (le nombre
d’états) du plus petit automate permettant de la représenter
Théorie des jeux
Théorie des jeux
Exemple. Dilemme des prisonniers répété infiniment.
Théorie des jeux
Stratégie “grim” : Commencer par jouer C puis jouer C ssi les deux joueurs ont
toujours joué C
Théorie des jeux
toujours joué C
• E = {e0 , e1 }
Théorie des jeux
toujours joué C
• E = {e0 , e1 }
• f (e0 ) = C et f (e1 ) = D
Théorie des jeux
toujours joué C
• E = {e0 , e1 }

e0
• τ (e, a) =
e1
• f (e0 ) = C et f (e1 ) = D
si e = e0 et a = (C, C)
sinon
Théorie des jeux
toujours joué C
• E = {e0 , e1 }

e0
• τ (e, a) =
e1
• f (e0 ) = C et f (e1 ) = D
si e = e0 et a = (C, C)
sinon
{(C, C)}
0
e :C
{a ∈ A}
{a 6= (C, C)}
e1 : D
Théorie des jeux
Théorie des jeux
Stratégie “Tit for Tat” (donnant-donnant) du joueur 1 : Commencer par jouer C
puis jouer C ssi l’autre joueur a joué C à l’étape précédente
Théorie des jeux
• E = {e0 , e1 }
Théorie des jeux
• E = {e0 , e1 }
• f (e0 ) = C et f (e1 ) = D
Théorie des jeux
• E = {e0 , e1 }
• f (e0 ) = C et f (e1 ) = D
• τ (e, a) = e ssi a = (·, f (e))
Théorie des jeux
• E = {e0 , e1 }
• f (e0 ) = C et f (e1 ) = D
• τ (e, a) = e ssi a = (·, f (e))
{(·, C)}
0
e :C
{(·, D)}
{(·, D)}
{(·, C)}
e1 : D
Théorie des jeux
• E = {e0 , e1 }
• f (e0 ) = C et f (e1 ) = D
• τ (e, a) = e ssi a = (·, f (e))
{(·, C)}
0
e :C
{(·, D)}
{(·, D)}
e1 : D
{(·, C)}
Les deux joueurs jouent “grim” ou “Tit for Tat” ⇒ coopération à toutes les
périodes
Théorie des jeux
Conditions pour que “grim” pour chaque joueur soit un EN ?
Théorie des jeux
Période t :
C −→ (1 − δ)[V + 2δ t−1 + 2δ t + 2δ t+1 + · · · ]
D −→ ≤ (1 − δ)[V + 3δ t−1 + 1δ t + 1δ t+1 + · · · ]
Théorie des jeux
Période t :
C −→ (1 − δ)[V + 2δ t−1 + 2δ t + 2δ t+1 + · · · ]
D −→ ≤ (1 − δ)[V + 3δ t−1 + 1δ t + 1δ t+1 + · · · ]
La déviation vers D n’est pas profitable si
2δ t−1 + 2δ t + 2δ t+1 + · · · ≥ 3δ t−1 + 1δ t + 1δ t+1 + · · ·
⇔
δ
2
≥3+
1−δ
1−δ
⇔
δ ≥ 1/2
Théorie des jeux
Période t :
C −→ (1 − δ)[V + 2δ t−1 + 2δ t + 2δ t+1 + · · · ]
D −→ ≤ (1 − δ)[V + 3δ t−1 + 1δ t + 1δ t+1 + · · · ]
2δ t−1 + 2δ t + 2δ t+1 + · · · ≥ 3δ t−1 + 1δ t + 1δ t+1 + · · ·
⇔
δ
2
≥3+
1−δ
1−δ
⇔
δ ≥ 1/2
C’est aussi un ENPSJ car dans les sous-jeux hors équilibre (i.e., ∃ s < t, as1 ou
as2 = D)
C −→ ≤ (1 − δ)[W + 0δ t−1 + 1δ t + 1δ t+1 + · · · ]
D −→ (1 − δ)[W + 1δ t−1 + 1δ t + 1δ t+1 + · · · ]
Théorie des jeux
Période t :
C −→ (1 − δ)[V + 2δ t−1 + 2δ t + 2δ t+1 + · · · ]
D −→ ≤ (1 − δ)[V + 3δ t−1 + 1δ t + 1δ t+1 + · · · ]
2δ t−1 + 2δ t + 2δ t+1 + · · · ≥ 3δ t−1 + 1δ t + 1δ t+1 + · · ·
⇔
δ
2
≥3+
1−δ
1−δ
⇔
δ ≥ 1/2
C’est aussi un ENPSJ car dans les sous-jeux hors équilibre (i.e., ∃ s < t, as1 ou
as2 = D)
C −→ ≤ (1 − δ)[W + 0δ t−1 + 1δ t + 1δ t+1 + · · · ]
D −→ (1 − δ)[W + 1δ t−1 + 1δ t + 1δ t+1 + · · · ]
⇒ un ENPSJ du jeu répété infini ne consiste pas nécessairement à répéter les
équilibres du jeu de base, même si le jeu de base a un unique EN
Théorie des jeux
“Folk Theorems”
Théorie des jeux
“Folk Theorems”
Fig. 1 – Robert Aumann (1930– ), prix Nobel d’économie en 2005
Théorie des jeux
Proposition. Si (x1 , . . . , xn ) est un profil de paiements réalisable et strictement
individuellement rationnel, et si δ est suffisamment proche de un, alors il existe un
équilibre de Nash du jeu répété infini G(∞, δ) qui donne un paiement actualisé
moyen égal à (x1 , . . . , xn ).
Théorie des jeux
moyen égal à (x1 , . . . , xn ).
☞ Punition du déviant avec la stratégie minmax contre le déviant à toutes les
périodes suivantes (“trigger strategy”)
Théorie des jeux
moyen égal à (x1 , . . . , xn ).
☞ Punition du déviant avec la stratégie minmax contre le déviant à toutes les
périodes suivantes (“trigger strategy”)
Proposition. Soient (e1 , . . . , en ) les paiements d’un équilibre de Nash de G et
(x1 , . . . , xn ) un profil de paiements réalisable. Si xi > ei pour tout i et si δ est
suffisamment proche de un, alors il existe un équilibre de Nash parfait en sous-jeux
du jeu répété infini G(∞, δ) qui donne un paiement actualisé moyen égal à
(x1 , . . . , xn ).
Théorie des jeux
Exemple : dilemme des prisonniers
Théorie des jeux
3
2
1
0
0
1
2
3
Théorie des jeux
3
2
1
Paiements réalisables
0
0
1
2
3
Théorie des jeux
Paiements individuellement rationnels
3
2
1
0
0
1
2
3
Théorie des jeux
3
2
Paiements d’équilibre
1
0
0
1
2
3
Théorie des jeux
3
2
Paiements d’équilibre
1
0
0
1
2
3
⇒ très particulier car paiement à l’EN du jeu de base = paiement minmax

Jeux Répétés

Transcription

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