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MPSI - Électrocinétique II - Régime sinusoı̈dal forcé
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Régime sinusoı̈dal forcé
1
Rôle générique pour l’étude des régimes périodiques
forcés
Table des matières
1 Rôle générique pour l’étude des régimes périodiques forcés
2 Signaux sinusoı̈daux
2.1 Amplitude, phase, pulsation et fréquence .
2.2 Valeur moyenne et valeur efficace . . . . .
2.3 Notation complexe . . . . . . . . . . . . .
2.4 Représentation de Fresnel . . . . . . . . .
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1
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1
1
2
2
3
3 Étude du RLC série
3.1 Régime sinusoı̈dal forcé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Simplification apportée par la notation complexe . . . . . . . . . .
3.3 Réponse en intensité - Résonance d’intensité . . . . . . . . . . . . .
3.4 Réponse en charge - Résonance de tension aux bornes du condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
4
4 Impédance
4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Dipôles R, L et C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Générateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
6
6
5 Réseaux linéaires en régime sinusoı̈dal forcé
5.1 Loi des noeuds . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Loi des mailles . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Association série - Diviseur de tension . . . . .
5.4 Association parallèle - Diviseur de courant . . .
5.5 Loi des noeuds en terme de potentiel . . . . . .
5.6 Générateurs équivalents de Thévenin et Norton
.
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7
7
7
7
7
7
7
6 Puissance en régime sinusoı̈dal forcé
6.1 Puissance instantanée - Puissance moyenne - Facteur de puissance
6.2 Notation complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
7
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5
Nous allons reprendre l’étude du régime libre en ajoutant à l’équation différentielle
un second membre sinusoı̈dal.
ẍ + 2αẋ + ω02 x = A cos(ωt)
2π
peut s’écrire comme une combiω
naison linéaire de signaux sinusoı̈daux (série de Fourier)
Tout signal périodique s(t) de période T =
n=∞
X
A0
(An cos(nωt) + Bn sin(nωt))
s(t) =
+
2
n=1
Si nous rajoutons à l’équation différentielle un second membre périodique (non
sinusoı̈dal), connaissant la solution avec second membre sinusoı̈dal nous pouvons
en déduire la solution avec second membre périodique.
En effet L’équation différentielle étant linéaire, la solution avec second membre
périodique peut s’écrire comme une combinaison linéaire des solutions avec second
membre sinusoı̈dal d’où le rôle générique du régime sinusoı̈dal forcé pour l’étude
des régimes périodiques forcés.
2
2.1
Signaux sinusoı̈daux
Amplitude, phase, pulsation et fréquence
Une grandeur sinusoı̈dale peut-être représentée par
Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 2007
x(t) = Xm cos(ωt + ϕ)
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x(t)
< x >= 0 pour une fonction sinusoı̈dale.
Xm
t
0
On définit d’une manière générale pour un signal périodique la valeur
efficace notée X par
Z
1 T 2
x (t) dt
X2 =
T 0
Pour une fonction sinusoı̈dale
T
X2 =
2 1
Xm
Xm
T ⇒ X= √
T 2
2
Xm est l’amplitude (dimension de la grandeur x)
2.3
ω est la pulsation en rad.s−1
Notation complexe
Toute grandeur sinusoı̈dale de pulsation ω peut-être mise sous la forme
ωt + ϕ est la phase à l’instant t (en radian)
ϕ est la phase à l’origine des temps (en radian)
La période temporelle est la durée au bout de laquelle le signal se reproduit identique à lui-même
2π
T =
ω
x(t) = Xm cos(ωt + ϕ)
La représentation complexe de x(t) est la fonction complexe
x(t) = Xm exp j(ωt + ϕ) = X m exp jωt
avec j 2 = −1
X m = Xm exp jϕ est l’amplitude complexe, son module est égale à
l’amplitude de la grandeur x(t)
en seconde (s)
La fréquence du signal est le nombre de périodes (ou cycles) par seconde
ω
1
f= =
T
2π
Xm = |X m |
son argument est égale à la phase à l’origine des temps de la grandeur x(t)
en hertz (Hz)
2.2
ϕ = arg(X m )
Valeur moyenne et valeur efficace
On définit d’une manière générale pour un signal périodique la valeur moyenne
notée < x > par
Z
1 T
< x(t) >=
x(t) dt
T 0
Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 2007
Le retour à la grandeur réelle s’effectue en prenant la partie réelle de la fonction
complexe
x(t) = Re{x(t)}
Attention Xm 6= Re{Xm }
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2.4
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Représentation de Fresnel
En reportant q(t) dans l’équation différentielle, on trouve
−Qm ω 2 (cos ωt cos ϕ − sin ωt sin ϕ) − 2αQm ω(sin ωt cos ϕ + cos ωt sin ϕ)
La représentation de Fresnel de x(t) = Xm cos(ωt + ϕ) est la représentation
géométrique de X m dans le plan complexe.
3
3.1
Régime sinusoı̈dal forcé
i
L
q
e(t)
C
u






La solution est la somme
3.2
q = q (h) + q (p)
1
2α
q (p) , solution particulière, est de la forme Qm cos(ωt + ϕ)
En régime sinusoı̈dal forcé, le régime libre a disparu, on cherche donc une
solution de la forme
q(t) = Qm cos(ωt + ϕ)
La réponse q(t) à la même pulsation que l’excitation e(t) ; reste à déterminer
l’amplitude et le déphasage.
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tan ϕ =
cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1 ⇒ Qm
Em
cos ωt
L
q (h) correspond au régime libre qui disparaı̂t au bout de quelques τ =
Em 2
(ω0 − ω 2 )
L
[(ω02 − ω 2 )2 + 4α2 ω 2 ]Qm
Em
−2αω
L
sin ϕ =
[(ω02 − ω 2 )2 + 4α2 ω 2 ]Qm






 cos ϕ =
Nous avons déjà étudié le régime libre e(t) = 0 et la réponse à un échelon de
tension e(t) = E.
Nous allons étudié le cas où e(t) = Em cos ωt
q̈ + 2αq̇ + ω02 q =
Em
cos ωt
L
En identifiant les termes en cos ωt et les termes en sin ωt
(
Em
(ω02 − ω 2 )Qm cos ϕ − 2αω Qm sin ϕ =
L
−2αω Qm cos ϕ − (ω02 − ω 2 )Qm sin ϕ = 0
Étude du RLC série
R
+ω02 Qm (cos ωt cos ϕ − sin ωt sin ϕ) =
−2αω
ω02 − ω 2
Em
L
=p 2
(ω0 − ω 2 )2 + 4α2 ω 2
Simplification apportée par la notation complexe
Soit q(t) la représentation complexe de q(t).
L’équation différentielle étant linéaire, si q(t) est solution alors q(t) est aussi solution (on remplace cos ωt par exp(jωt) dans l’équation différentielle)
−ω 2 Qm exp j(ωt) + 2αjω Qm exp j(ωt) + ω02 Qm exp j(ωt) =
On simplifie par exp(jωt)
Qm
Em
L
= 2
ω0 − ω 2 + j 2αω
Em
exp(jωt)
L
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et on en déduit directement l’amplitude
Qm
et le déphasage
avec x =
Em
L
= |Qm | = p 2
(ω0 − ω 2 )2 + 4α2 ω 2
ϕ = arg(Qm ) = arctan
−2αω
ω02 − ω 2
ω
Lω0
et Q =
ω0
R
Im = |Im | =
1
Q=0,2
Q=0,5
Réponse en intensité - Résonance d’intensité
e(t) = Ri + L
di
1
+
dt C
Z
1
2
1
1 + Q2 x −
x
RIm/Em
Retenons que d’une manière générale en notation complexe :
- dériver revient à multiplier par jω (à tourner de π/2 dans le plan complexe) ;
- intégrer revient à diviser par jω (à tourner de −π/2 dans le plan complexe).
3.3
Em
R
Q=5
idt
En régime sinusoı̈dal forcé (i(h) → 0), on cherche une solution de la forme
i(t) = Im cos(ωt + ϕ)
x
1
On observe un phénomène de résonance d’autant plus marqué que le facteur
de qualité est élevé.
ayant pour représentation complexe
i(t) = I m exp(ωt)
ϕ = arg(I m ) = − arctan Q(x −
avec I m = Im exp(jϕ)
1
)
x
phi
pi/2
i(t) est solution de l’équation différentielle
Em
1
di
Em exp(jωt) = Ri + L +
dt C
1 1
Im
= R + Ljω +
C jω
Im =
Z
idt
E
E
1
m
= m
1
1
R
R + j Lω −
1 + jQ x −
Cω
x
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1
-pi/2
x
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Um/Em
Quelque soit le facteur de qualité, il y a toujours résonance d’intensité pour
ω = ω0 ; à la résonance, l’intensité est maximale et le déphasage entre la réponse
(l’intensité) et l’excitation (tension e(t)) est nul.
3.4
Réponse en charge - Résonance de tension aux bornes du
condensateur
Q=5
1
Q=0,5
d2 u
du
+ LC 2 + u
e(t) = RC
dt
dt
Q=0,2
En régime sinusoı̈dal forcé (u(h) → 0), on cherche une solution de la forme
x
1
u(t) = Um cos(ωt + ϕu )
On n’observe pas toujours un phénomène de résonance. S’il y a résonance,
celle-ci est d’autant plus marquée que le facteur de qualité est élevé.
ayant pour représentation complexe
u(t) = U m exp(ωt)
avec U m = Um exp(jϕu )
ϕu = arg(U m ) = − arctan
u(t) est solution de l’équation différentielle
Em
phi
d2 u
du
+ LC 2 + u
Em exp(jωt) = RC
dt
dt
= RCjω − LCω 2 + 1 U m
Em
Um =
1−
avec x =
ω2
ω02
=
+ jRCω
Em
1 − x2 + j
x
Q
1
-pi/2
ω
1
et Q =
ω0
RCω0
Um = |Um | = s
(1 − x2 )2 +
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-pi
Em
x2
Q2
x
Q(1 − x2 )
x
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1
Si le facteur de qualité est supérieur à √ , il y a résonance de tension aux bornes
2
du condensateur pour une pulsation d’autant plus proche de ω0 que le facteur
de qualité est élevé ; à la résonance, la tension est maximale mais le déphasage
entre la réponse (la tension aux bornes du condensateur) et l’excitation (tension
e(t)) n’est pas nul.
Il y a résonance si Um admet un maximum ou si (1−x2 )2 +
c’est à dire si
x2
admet un minimum
Q2
2x
2(1 − x )(−2x) + 2 = 0
Q
Z contient tout ce qui caractérise le comportement du dipôle en régime sinusoı̈dal
forcé
Um
U
|Z| =
=
Im
I
rapport des valeurs maximales (oscilloscope) ou rapport des valeurs efficaces (multimètre) en ohm (Ω)
arg Z = ϕu − ϕi
déphasage de la tension par rapport à l’intensité
2
1
x2 = 1 −
2Q2
On trouve ωr =
Um vaut alors
r
1
1
1−
à condition que Q > √
2
2Q
2
Um (ωr ) =
QEm
≃ QEm
1
1−
4Q2
Q est aussi appelé facteur de surtension.
4.2
Dipôles R, L et C
Pour une résistance R
u = Ri → Z = R
Pour une inductance L
u=L
di
= Ljωi → Z = jLω
dt
La tension est en avance de π/2 sur l’intensité.
Pour un condensateur C
4
Impédance
i=C
4.1
Définition
Soit un dipôle passif linéaire fonctionnant en régime sinusoı̈dal forcé. Si U m et I m
désignent les amplitudes complexes associées à u(t) et i(t), on appelle impédance
complexe du dipôle la grandeur notée Z et définie en convention récepteur par
La tension est en retard de π/2 sur l’intensité.
4.3
u
U
Z= = m
i
Im
On définie aussi l’admittance complexe
1
Y =
Z
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du
1
= Cjωu → Z =
dt
jCω
Générateurs
linéaire en régime sinusoı̈dal forcé si
u = e − Zi
e est la fem complexe du générateur
Z est l’impédance interne du générateur
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5
Réseaux linéaires en régime sinusoı̈dal forcé
Un réseau linéaire en régime sinusoı̈dal forcé est un réseau constitué de dipôles
passifs linéaires et de générateurs linéaires délivrant des tensions ou des courants
sinusoı̈daux que nous choisirons tous de même pulsation ω.
Tous les résultats vus sur les réseaux linéaires sont transposables à condition de
raisonner sur les amplitudes complexes et d’élargir la notion de résistance à la
notion d’impédance.
Loi des noeuds
5.2
Loi des mailles
5.3
Association série - Diviseur de tension
La puissance instantanée reçue par le dipôle
p(t) = u(t)i(t) = Um Im cos(ωt) cos(ωt + ϕ) =
Z2
U
=
Z1 + Z2 m
La puissance moyenne
Um Im
cos ϕ = U I cos ϕ
2
Aux bornes d’une résistance
P = UI
Aux bornes d’une bobine ou d’un condensateur
Association parallèle - Diviseur de courant
I 2m =
Y1
I
Y1+Y2 m
P =0
6.2
Notation complexe
La puissance moyenne peut s’écrire
Loi des noeuds en terme de potentiel
P = Re
V Nm
5.6
6
6.1
Um Im
(cos(2ωt + ϕ) + cos ϕ)
2
cos ϕ est le facteur de puissance
U 2m
5.5
traversant.
P =
5.1
5.4
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P
Y V
= Pk k m
Yk
Générateurs équivalents de Thévenin et Norton
Soit u(t) = Um cos(ωt) la tension aux bornes d’un dipôle linéaire quelconque
orienté en convention récepteur et i(t) = Im cos(ωt + ϕ) l’intensité du courant le
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1 ∗
ui
2
en effet u i∗ = Um exp(jωt)Im exp −(jωt + ϕ) = Um Im exp −jϕ
Posons Z = R + jX alors
Puissance en régime sinusoı̈dal forcé
Puissance instantanée - Puissance moyenne - Facteur de puissance
P = Re
= Re
1
Z |I m |2
2
1
Z I m I ∗m
2
=
|I m |2
Re {Z} = RI 2
2